CONCEPTION DES BARRAGES VOUTES

Alain CARRERE, COYNE ET BELLIER, 9 allée des Barbanniers, 92632 GENNEVILLIERS Cedex

Plan : I - Rappels sur le fonctionnement des barrages voûtes

II - Facteurs à prendre en considération dans l'analyse

III - Méthodes de calcul utilisées

IV - Influence de la forme sur le comportement des structures

V - Sélection de critères de projet

VI - Processus d'élaboration d'un projet Figures in fine

Page 1 sur 26

I - RAPPELS SUR LE FONCTIONNEMENT DES BARRAGES VOÛTES

1.1 - Les arcs : schéma résistant fondamental

"Un barrage voûte reporte la majeure partie de la poussée de l'eau sur les rives par des effets d'arc.[...] La stabilité de ce genre d'ouvrage diffère essentiellement de celle des barrages poids, qui résulte d'une certaine inégalité entre la poussée de l'eau et le poids. Si l'eau monte, si la poussée augmente, un barrage poids glisse sur le sol ou même culbute lorsque l'équilibre statique vient à manquer. Ici au contraire, les réactions d'appui croissent en raison directe de la poussée de l'eau. Plus elle augmente, plus fortement elle applique l'ouvragecontre le sol, comme dans une fermeture autoclave. Pas de glissade ou de culbute possible, à condition que les rives tiennent bon" ( [1] ).

· Equilibre du voussoir élémentaire (fig.1) : effort normal induit par une pression d'extrados sur une poutre courbe.

Formulation du tube : s = P x Ram / e (uniforme dans tout l'arc)

U = P x (Ram x Rmoy / e) / Eb (uniforme dans tout l'arc)

Hypothèse équivalente : appuis parfaitement glissants radialement.

· Formulation de l'arc élastique sur appuis élastiques (fig.2) :

- dans l'arc, formule de la résistance des matériaux : éléments de réduction (M, N, T) et déplacements en repère local (U, V, W),

- en fondation, approximation de Vogt : (Uf, Vf, Wf) expression linéaire de (Mf, Nf, Tf),

- système linéaire 3 x 3 établi pour des arcs symétriques ou non, circulaires ou non (dans ce cas, approximation par voussoirs circulaires équivalents assemblés).

Des catalogues d'arcs existent pour tous les cas (fig.3).

· L'arc actif : une approche non linéaire historique (fig.4) :

Au départ, deux constations physiques invalident partiellement l'approche élastique :

- la non résistance du béton (ou des joints verticaux) à la traction,

- la perméabilité très augmentée du béton fissuré ouvert.

Conséquence : tout se passe comme si les parties tendues des arcs n'existaient pas.

Un arc soumis à la pression d'extrados est tendu à l'amont aux naissances et à l'aval en clé, lorsque sont excédées certaines limites en matière de :

- élancement (épaisseur relative par rapport au rayon),

- courbure relative (rayon aval par rapport à la largeur de la vallée),

- raideur de fondation (ratio Eb/Er).

Le rapporteur Géhin permet de trouver l'arc élastique inscrit à l'intérieur du béton non fissuré, pour un arc réel circulaire symétrique sur fondation rigide (fig.5).

Des catalogues d'arcs existent pour des cas plus généraux.

Page 2 sur 26

Cette approche très réaliste (et trop oubliée aujourd'hui) est directement issue des travaux de RESAL sur lesponts, voici un siècle.

1.2 - Les consoles : cohérence verticale des déplacements radiaux

· Déformée naturelle des arcs indépendants (fig. 6)

En général, incompatibilité avec la continuité verticale des déformations des consoles.

· Transfert vertical des charges par les consoles (fig. 7)

Pour s'adapter aux déplacements que les arcs tendent à leur imposer, les consoles réagissent en transmettant verticalement des efforts (par M et T) entre les arcs, et aussi entre les arcs et la fondation à leur base.

· Principe de l'ajustement des déplacements radiaux (fig. 8)

On considère un double réseau de poutres horizontales (les arcs) et verticales (les consoles) ; la pression du réservoir P se répartit en chaque point entre :

- un terme Pa appliqué à l'arc passant en ce point,

- le reste, soit Pc ( = P - Pa) appliqué à la console passant en ce point.

On conçoit qu'il existe une solution c'est–à–dire un ensemble de valeurs de Pa tel que les déplacements radiaux obtenus dans le calcul des arcs (chargés par les Pa) soient partout égaux à ceux obtenus dans le calcul des consoles (chargées par les Pc).

Ce raisonnement est utilisé dans la formulation de l'ajustement radial en clé et de la "Trial Load" (voir section IV).

1.3 - La coque : basculement et transfert de poids vers les rives (fig. 9)

Le modèle précédent néglige les différences de déplacements tangentiels et plus généralement les raideurs à l'intérieur de la surface de la voûte.

Dans la masse de la voûte, il existe des arcs plongeants plus raides que les arcs horizontaux ; ils attirent lesefforts.

L'équilibre entre la poussée hydrostatique et les réactions des arcs plongeants impose un effort de soulèvement des consoles centrales.

De même que les efforts horizontaux sont transférés du centre vers les rives par les effets d'arcs, les effortsverticaux sont transférés vers les rives par la raideur de coque.

1.4 - Sollicitation des appuis (fig. 10)

En première approche, les arcs transmettent la poussée hydrostatique horizontalement vers les rives (incidencegéométrique).

En réalité, plus les arcs sont épais et de faible angle au centre, plus les forces sont orientées vers l'aval.

Ces efforts hydrostatiques se combinent avec le poids du barrage pour orienter les résultantes vers le bas, ceci étant plus ou moins modulé par l'effet de soulèvement central.

Au centre de la voûte, les consoles transmettent à la fondation des efforts de cisaillement qui sont parfoisconsidérables.

Page 3 sur 26

1.5 - Résumé

Le schéma résistant fondamental d'un barrage voûte est le fonctionnement en arcs horizontaux, qui est à la fois le mode de dimensionnement historique et, probablement, le dernier et solide recours de la voûte lorsque les autres phénomènes mécaniques ont été mis en échec.

Cependant, l'hyperstatisme de la structure d'une voûte crée dès le début du chargement un équilibre tout différent, qui se résume par deux phénomènes principaux :

- dans le sens vertical, les consoles prennent une part du chargement hydrostatique en flexion et cisaillement, à la manière des sections des barrages poids ; il faudra vérifier s'il y a risque ou non de dépasser la résistance de ces consoles verticales, et évaluer les conséquences d'un tel dépassement ;

- de rive à rive, la raideur de coque occasionne un plongement des efforts vers les rives et, par voie de conséquence, une tendance au soulèvement des consoles centrales. Ce second phénomène hyperstatique aggrave les conditions de résistance de la base des consoles centrales.

La fondation est sollicitée selon la ligne d'appui de rive à rive par une sorte d'éventail de forces qui prolongent plus ou moins la coque, et tendent à s'orienter plus nettement vers l'aval dans les parties raides de celle-ci.

Toutes ces indications générales prennent plus ou moins d'importance selon la géométrie de la vallée (largeur relative L/H, forme en U ou en V), la raideur de la fondation (relativement à celle du béton), et bien entendu selon la forme de la voûte elle-même comme on le verra en section III.

Page 4 sur 26

II - FACTEURS A PRENDRE EN CONSIDERATION DANS L'ANALYSE

2.1 - Structures à dimensionner et vérifier

· Résistance du barrage

Vérification de la stabilité du schéma résistant fondamental

· Comportement du barrage

Etude structurale réaliste en tenant compte de tous les hyperstatismes, de toutes les combinaisons de chargeattendues dans la vie de l'ouvrage, et autant que possible des lois de comportement réel du béton et du rocher de la fondation.

· Stabilité et comportement de la fondation

Etude de stabilité des massifs d'appui soumis aux diverses charges apportées par le barrage ou directement induites aux appuis par le réservoir (gradients hydrauliques et sous pressions).

Dans le cas de particularités géotechniques (anisotropie, failles ou hétérogénéités), l'étude structurale de la fondation doit être approfondie en même temps que celle du barrage, grâce à des modèles numériques globaux (voir section IV).

2.2 - Charges appliquées aux voûtes

· Poids propre de la voûte

- doit tenir compte du mode de construction : souvent, par blocs indépendants (fig. 14)

· Pressions exercées sur les parements

- pression hydrostatique amont

- pression hydrostatique aval

- pression des dépôts solides

· Gradients hydrauliques et sous-pressions

- gradient hydraulique appliqué en fondation (réparti ou à travers le voile d'injection)

- sous-pressions (permanentes ou transitoires) au contact avec la fondation

- gradients hydrauliques dans la voûte proprement dite (souvent négligé)

· Variations dimensionnelles

- équilibre thermique moyen, à partir de la température de clavage

- variations saisonnières (couplées avec les variations du niveau du réservoir)

- retrait ou gonflement à long terme (souvent inconnu au départ)

· Sollicitations sismiques

- inertie

Page 5 sur 26

- pressions hydrodynamiques (fig. 15)

2.3 - Rhéologie des matériaux

· Caractère dissymétrique du béton

- faible résistance à la traction (nulle en pratique)

- impossibilité pratique de concevoir un ouvrage réaliste totalement élastique

· Irréalisme des modèles élastiques de fondation

- les essais mécaniques montrent toujours des courbes efforts-déformations très peu rectilignes : effet des discontinuités, résistance à la traction nulle (mais cohésion variable, parfois très forte).

· Nécessité de modèles non linéaires

- conséquence des considérations précédentes.

· Nécessité de prise en compte des contraintes effectives (études biphasiques)

- du moins pour les grands ouvrages relativement épais pour lesquels les forces de sous-pression sont du même ordre de grandeur que le poids.

Page 6 sur 26

III - METHODES DE CALCUL UTILISEES

3.1 - Modèles physiques (pour mémoire)

· Modèles en plâtre

- avec jauges de contraintes

- mauvaise appréciation du poids propre et des effets thermiques

· Modèles à membranes

- détermination optimale des formes (illusoire)

- mauvaise appréciation du poids propre et des effets thermiques

3.2 - Modèles numériques 2D

· Formule du tube

- pour première évaluation grossière

- variante globale moderne : le nombre de Lombardi NL = S2/HV

· Arcs élastiques

- usage limité à une première évaluation

· Arc actifs

- vérification rapide avec le rapporteur Géhin

- usage sous forme de référence à un catalogue pour recherche d'une première forme

3.3 - Modèles numériques 3D élastiques

· L'ajustement radial en clé

- peu utilisé

- principe : résolution d'un système linéaire conduisant à la détermination de la répartition arcs/consoles (fictive) des pressions hydrostatiques.

· La "trial load"

- sous sa forme initiale, simple extension de l'ajustement radial à toutes les consoles

- version "moderne" à 6 ajustements rendant compte de l'effet de coque, encore utilisée assez souvent comme référence ; ou comme seul justificatif pour les petits ouvrages

- la fondation est représentée par l'approximation de Vogt : méthode aux équations intégrales avec interaction simplifiée

· Les méthodes aux éléments finis

Page 7 sur 26

- éléments finis élastiques de volume : béton et fondation sont représentés par des éléments de volume affectés des modules correspondants : bonne formulation mathématique, sorties commodes, mais précautions dans le choix du maillage

- éléments de coque mince (sans prise en considération des efforts tranchants) : à éviter car simplification excessive même par rapport à la trial load

- éléments de coque épaisse (prise en compte des moments et efforts tranchants) : bon compromis donnantla même représentativité que la trial load, avec une formulation mathématique plus solide.

3.4 - Modèles numériques 3D non linéaires

Leur intérêt est de rendre compte directement de la résistance du béton à la traction, faible sinon même nulle en pratique si l'on considère les joints verticaux et les reprises de bétonnage, dont il faut estimer qu'un certain pourcentage est défectueux.

En pratique, il s'agit de programmes aux éléments finis élastiques dont les capacités ont été augmentées. Le comportement le plus fréquemment représenté est le "no-tension" : toute contrainte principale en traction est annulée et remplacée par son équivalent en déformation d'extension (ceci simule l'apparition de fissures).

Une autre catégorie de modèle no-tension consiste à introduire dans le modèle des éléments joints qui obéissent au modèle de Mohr-Coulomb :

- ouverture si la contrainte normale tend vers la traction,

- glissement si l'inclinaison de la résultante excède un angle ø prédéfini.

De tels modèles, introduits dans la pratique vers 1980, ont permis de retrouver les analyses non linéaires des arcs actifs utilisées autrefois en 2 dimensions, qu'il avait fallu abandonner quand on était passé au tridimensionnel.

3.5 - Modèles non linéaires biphasiques

Très souvent, l'apparition de fissures dans un modèle non linéaire en cours de chargement se produit près du parement amont, donc au contact du réservoir.

Dès lors, il est judicieux de se poser la question du rôle de l'eau en pression qui peut ainsi pénétrer dans le béton et y exercer des forces de sous-pression. C'est d'ailleurs le raisonnement qui est suivi dans l'analyse dela stabilité des barrages poids.

Un programme moderne est donc venu enfin combler la lacune qui subsistait à cet égard. C'est le programme BETHY (BETon Hydraulique), qui permet d'appréhender la mécanique des voûtes en tenant compte à la fois :

- de l'aspect tridimensionnel du problème,

- du caractère non linéaire du béton et du rocher,

- et des effets de l'eau.

Bien que la nécessité en semble évidente lorsqu'on énonce ainsi la nature des problèmes en jeu, la résolution en est complexe, car il existe une interconnexion entre deux types de calculs, qui doivent être faits en même temps par le même programme :

- l'analyse mécanique sur les solides (béton, fondation) fait apparaître des fissures qui modifient la perméabilité des matériaux, et modifient donc les conditions d'écoulement,

Page 8 sur 26

- l'analyse de l'écoulement, découlant de la définition des fissures, conduit à un champ de pression qui à son tour modifie les charges mécaniques (sous-pressions).

De tels calculs sont encore lourds et ne peuvent être utilisés en standard pour la mise au point des formes. En revanche, leur emploi devrait se généraliser pour la justification finale des projets, et aussi pour l'évaluation de la sécurité des ouvrages en service.

Page 9 sur 26

IV - IINFLUENCE DE LA FORME SUR LE COMPORTEMENT DES STRUCTURES

4.1 - Influence des rayons de courbure

Petits rayons = contraintes plus faibles ou épaisseurs moindres : gain de volume ; c'est donc la règle numéro 1 des projeteurs. La limite réside au niveau de la crête, l'arc supérieur devant avoir des incidences convenables sur les rives. Plus bas, on ne peut réduire trop vite les rayons sous peine d'aboutir à une forme non stable sous son propre poids.

4.2 - Rôle de la double courbure

Permet de réduire les rayons des arcs les plus chargés vers le bas.

Permet de réduire les cisaillements horizontaux en pied de consoles centrales.

Précontraint le béton en pied amont en concentrant le poids là où des tractions sont attendues, et réduit l'ampleur des ouvertures de pied amont.

4.3 - Utilité de la courbure variable

Avec des arcs circulaires, les consoles latérales plus courtes mobilisent une plus grande part de la poussée hydrostatique ; en conséquence à un niveau donné un arc n'est pas chargé uniformément ; il est virtuellement plus chargé au centre que vers les rives. Plutôt que de réduire son épaisseur en allant de la clé vers les rives, ce qui présente beaucoup d'inconvénients, on préfère augmenter les rayons de courbure. Ceci peut être fait brutalement (définition "3 cercles") ou bien mieux progressivement avec la spirale logarithmique.

V - SÉLECTION DE CRITÈRES DE PROJET

Sélection de valeurs limites admissibles des résultats (contraintes, forces, directions des forces, déplacements) avec des marges de sécurité.

Classification en fonction :

de la fréquence d'occurrence des combinaisons de charge (risques encourus)

- cas de charge usuels

- cas de charge exceptionnels

- cas de charge extrêmes

du type d'analyse

- stabilité

. du barrage (schéma résistant ultime)

. de la fondation

. à l'interface

- analyse détaillée du comportement

de la méthode de calcul

Par exemple :

Page 10 sur 26

. contraintes maximales en P*R/e : 4 à 5 MPa

. contraintes admissibles en analyse élastique : 8 MPa en compression, 1,2 MPA en traction, pour lescombinaisons usuelles,

. gradients hydrauliques maximaux en section non fissurée : 10

. cisaillement sur reprise de bétonnage 45° et cohésion de 1 Mpa (équivalent dilatance)

VI - PROCESSUS D'ELABORATION D'UN PROJET

· Acquisition des données

Topographie, propriétés mécaniques, climatiques, sismiques,…

· Sélection des critères

Résistance du béton, du rocher, coefficients de sécurité, méthodes

· Sélection du type de voûte recherché

Simple ou double courbure, …

· Détermination d'une première forme

Abaques ou catalogues de voûtes existantes

Systèmes experts

· Affinage de la forme

Processus itératif "tester/corriger" :

- tester : calcul élastique 3D sur les cas de charge principaux

- corriger : systèmes d'aide à la conception

· Vérification du comportement

Calculs plus réalistes : non linéaires, biphasiques

Calculs dynamiques

· Stabilité de la fondation

Méthode de Londe (fig. 11, 12, 13)

ILLUSTRATIONS :

Figures 1 à 6 : étude des arcs indépendants

" 7 & 8 : transfert des charges par les consoles

" 9 : arcs plongeants

Page 11 sur 26

" 10 : sollicitation des appuis

" 11 à 13 : étude de stabilité d'une rive rocheuse

" 14 : calcul initial, poids propre "non clavé"

" 15 : sollicitations sismiques et hydrodynamiques

" 16 : formules de l'USBR

Page 12 sur 26

Page 13 sur 26

Page 14 sur 26

Page 15 sur 26

Figure 7 : Transfert vertical des charge par les consoles

Page 16 sur 26

Page 17 sur 26

Page 18 sur 26

Page 19 sur 26

Page 20 sur 26

Fig.12 : Stabilité, Méthode de Londe, "coin rocheux"

Page 21 sur 26

Page 22 sur 26

Page 23 sur 26

Page 24 sur 26

Page 25 sur 26

[1] André Coyne, 1943, Cours à l'Ecole Nationale des Ponts et Chaussées

Page 26 sur 26