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ALGEBRE DE BOOLE

I°) DEFINITIONS :

1°) Présentation :

Les circuits électroniques sont classés en deux grandes catégories : les circuits digitaux

(numériques) et les circuits analogiques.

Dans un circuit analogique, les signaux électriques ont une amplitude variant continuellement.

Cette amplitude peut prendre un nombre très élevé de valeurs entre le minimum et le maximum. Un

amplificateur basse fréquence, par exemple, est un circuit analogique. Il amplifie aussi bien les

signaux faibles que les signaux forts. L'amplitude varie sans cesse, suivant le niveau de la voix ou de

la musique à amplifier.

Un circuit digital est un circuit dans lequel les signaux ne peuvent avoir que deux niveaux,

soit le niveau 1, soit le niveau 0. Un interrupteur, par exemple, est un circuit digital. Les circuits

logiques utilisent la technique digitale

Les circuits logiques ont besoin d’une alimentation pour fonctionner, cette alimentation ne

sera pas représentée pour ne pas compliquer les schémas, mais elle existera toujours !!!

2°) Introduction :

* En logique binaire, on a deux symboles possibles : 0 et 1.

* En électricité, on a deux possibilités : présence ou absence de courant ou de tension.

En associant les deux, on obtient deux choix possibles :

- En logique positive :

Une logique est dite positive si l'on associe le potentiel électrique le plus élevé à l'état 1.

1 -> Présence de courant ou de tension.

0 -> Absence de courant ou de tension.

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- En logique négative :

Une logique est dite négative si l'on associe le potentiel électrique le plus élevé à l'état

logique 0.

0 -> Présence de courant ou de tension.

1 -> Absence de courant ou de tension.

Remarque :

D'une façon générale, dans les schémas logique, on travaille en logique positive.

Le niveau logique 0 correspond à la tension 0V.

Le niveau logique 1 correspond à une tension positive (5V ou 12V par exemple).

* Chronogrammes :

On représente les états logiques en fonction du temps.

3°) Variable logique :

Une variable logique ou binaire, notée X, est une grandeur qui ne peut prendre que deux états

(0 ou 1):

X = 0 si X ≠ 1

X = 1 si X ≠ 0

Un interrupteur K ne peut prendre que deux états, il est ouvert, ou il est fermé. L'état de cet

interrupteur peut être décrit par une variable logique X. En général, on attribue la valeur 0 à cette

variable quand K est ouvert, et la valeur 1 quand K est fermé

4°) Opérateurs logiques :

On définit cinq opérateurs logiques de base :

OUI,

NON,

OU Inclusif, (et son complément),

ET, (et son complément),

OU Exclusif, (et son complément).

5°) Fonction logique :

Une fonction logique est une associations de variables, reliées par des opérations, qui ne peut

prendre que deux valeurs (0 et 1). Par suite une fonction logique pourra à son tour être considérée

comme une variable vis-à-vis d'une autre fonction logique (fonction de fonction).

JFA11 3 BTS-BOOLE

Exemple :

Si S dépend de e1 et e2, S est une fonction des variables e1 et e2

S=e1+e2

6°) Table de vérité :

La fonction S peut-être définie à partir d'un tableau appelé TABLE DE VERITE, qui indique

la valeur de S, selon les toutes valeurs de e1 et de e2. Chaque table de vérité définit une fonction

logique.

e1 e2 S

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Remarque :

L'état 1 est aussi appelé état haut (H); l'état 0 est l'état bas (B, L).

II°). DIFFERENTES FONCTIONS LOGIQUES :

Voir feuille de synthèse

III°) DIFFERENTES RELATIONS :

1°) Relations de bases :

Les opérations fondamentales sont :

la somme, le produit, le complément.

* Toute variable A a un inverse appelé complément ,et noté A tel que :

A + A = 1 A . A = 0

* Les opérations sont commutatives :

A + B = B + A

A . B = B . A

* Les opérations sont distributives :

- Distributivité du ET par rapport au OU

Une table de vérité permet de vérifier que :

A.(B + C) = A.B + A.C

Cette propriété autorise à développer ou, inversement, à mettre en facteurs

comme en algèbre classique.

Exemple :

A=xyz + xq +w = x.(y.z+q)+w

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- Distributivité du OU par rapport au ET

De même, on peut vérifier que :

A + (B.C) = (A+B).(A+C)

Cette relation est intéressante pour mettre une expression sous forme de

produit logique (ET) de OU logique.

Exemple :

A= x+(y.z.q) +w = (x+y).(x+z).(x+q)+w

2°) Autres relations :

ATTENTION :

A A.B A A B) (A A

BA .BAA A.B B) A(A

EXERCICES :

BA. A.B X

.CBA. A.B 1 X

.B.C.DAA.B 2 X

ddbdbbdbaddadbadaa ............3 X

D)C).(AB).(A(AX4

)BAB).((AX5

CBC ...AB.AX6

A.B.C .CB.A C.BA. C.B.A X7

3°) Théorème de DE MORGAN :

a) 1er Théorème :

Le complément d'un produit de variables, est égal à la somme des compléments de

variables.

CB A A.B.C

b) 2ème Théorème :

Le complément d'une somme de variables, est égal au produit des compléments de

variables.

C.B .A CBA

Ils permettent des simplifications remarquables des équations logiques, donc des

réductions de schémas.

Exemple :

Trouver le complément de :

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B.C A X

C.D A.B X1

C.D A.B X2

ED...CA.B.CBA.A X3

Utilisation du théorème de DE MORGAN :

On utilise le théorème de DE MORGAN pour mettre la fonction avec une seule sorte

d'opérateurs :

Transformer la fonction suivante de manière à n'avoir que des NANDs :

Ex1 : S ab bc a b ad ( ) => bcaS

S a bc .

Ex2 : Z a b c à mettre avec des portes NANDs à 2 entrées.

cbaZ .. ou cbaZ .. (6 portes NANDs à 2 entrées).

Transformer la fonction suivante de manière à n'avoir que des NORs :

Ex1 : S ab bc a b ad ( ) => bcaS

S a b c . Ex2 : Z a b c à mettre avec des portes NORs à 2 entrées.

Z a b c ou cbaZ (4 portes NORs à 2 entrées).

IV°) Réalisation des fonctions logiques à l'aide des différents opérateurs :

Toute fonction logique peut-être réalisée de manières suivantes :

- Soit avec des opérateurs ET, OU, NON.

- Soit avec des opérateurs NON ET (NAND).

- Soit avec des opérateurs NON OU (NOR).

Le schéma obtenu s'appelle le logigramme.

Exemple : Soit la fonction telle que .ba ba. F .

Réalisation avec des opérateurs ET, OU, NON :

JFA11 6 BTS-BOOLE

Schéma :

V°) LES SYSTEMES LOGIQUES :

1°) Définition :

Toute fonction logique peut-être réalisée de manières suivantes :

- Soit avec des opérateurs ET, OU, NON.

- Soit avec des opérateurs NON ET (NAND).

- Soit avec des opérateurs NON OU (NOR).

Nous dirons que ces groupes d’opérateurs forment « un système complet ».

On appelle fonction logique, une combinaison de variables booléennes reliées par des opérateurs

logiques :

c).d).(ab(a F

Le schéma obtenu s'appelle un logigramme.

Exemple : Réaliser le schéma de l'équation suivante avec tous types de portes :

d.b ca. F

Schéma :

Exercice : Rechercher l'équation et représenter le logigramme d'un système correspondant au

fonctionnement suivant :

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S= a + b si x = 1

S= a . b si x = 0

Solution :

xb)..(ab).x(a S

xb..ab.xa.x S

b.x)xb.a.(x S

b.xb.a.x S a

Schéma :

VI°) FONCTIONS LOGIQUES :

1°) Fonction complètement définie :

Une fonction est complètement définie quand on connaît sa valeur (0 ou 1) pour toutes les

combinaisons possibles des variables d'entrées.Ces combinaisons sont au nombre de 2n pour n

variables d'entrées. On établit alors la table de vérité de la fonction.

Exemple : Table de vérité de la fonction majorité sur 3 variables : la fonction vaut 1 si la

majorité des variables d'entrées sont à 1. Il y a 23 = 8 combinaisons des 3 variables a, b, c. La

fonction F est complètement définie si on connaît son état logique (0 ou 1) pour chacune de ces 8

combinaisons. On aura la table de vérité suivante :

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c b a F

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

2°) Fonction incomplètement définie :

Une fonction est incomplètement définie quand sa valeur est indifférente ou non spécifiée

pour certaines combinaisons des variables d'entrées. Ce cas se rencontre lorsque certaines

combinaisons sont impossibles physiquement. On notera X la valeur de la fonction dans ce cas. Ces

cas non définis sont très intéressants pour la simplification des fonctions.

Exemple : Table de vérité de la fonction majorité pour 4 variables d'entrées.

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d c b a F

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 0 1 1 X

0 1 0 0 0

0 1 0 1 X

0 1 1 0 X

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 0 1 X

1 0 1 0 X

1 0 1 1 1

1 1 0 0 X

1 1 0 1 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

c) Forme NON ET :

Dans la pratique, on est amené à réaliser des fonctions avec une seule sorte de portes

logiques, ici des NON ET. Il faut donc expliciter la fonction avec seulement des

multiplications. La méthode consiste à complémenter 2 fois la fonction et à utiliser le

théorème de DE MORGAN avec une seule des complémentations.

Exemple : Si on prends la fonction majorité précédente :

a.b.c ca.b. .cba. .b.ca F1

a.b.cca.b..cba..b.ca F1

)a.b.c).(ca.b.).(.cba.).(.b.ca( F1

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Schéma :

&123

4

&123

4

F1

b

&1

23

&1

23

a

&123

4

&123

4

&1234

5

&1

23

c

Transformer les 3 entrées et 4 entrées en 2 entrées :

Il suffit de rajouter 2 barres là où ca nous arrange pour avoir 2 entrées :

)a.b.c).(ca.b.).(.cba.).(.b.ca( F1

)a.b.c).(ca.b.(.).cba.).(.b.ca( F1

).ca.b).(c.a.b(.).cba.).(.c.ba( F1

&1

23

&1

23

a

&1

23

&1

23

b

&1

23

&1

23

&1

23

c

&1

23

&1

23

&1

23

F1

&1

23

&1

23

&1

23

&1

23

&1

23

&1

23

&1

23

&1

23

&1

23

&1

23

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d) Forme NON OU :

On peut aussi réaliser la fonction avec seulement des NON OU. Il faut donc expliciter la

fonction avec seulement des additions. On la complémente 2 fois, et on utilise le théorème de

DE MORGAN.

Exemple : si on prends la fonction majorité précédente

)cba).(cbc).(aba).(cba( F0 F1

)cba).(cbc).(aba).(cba( F0

)cba()cb(ac)ba()cba( F0

Schéma :

12

31

F0123

1

4

5

123

14

123

14

b

123

14

a

12

31

123

14

12

31

c

Transformer les 3 entrées en 2 entrées.

Il suffit de rajouter 2 barres là où ca nous arrange pour avoir 2 entrées :

)cba()cb(ac)ba()cba( F0

)cba()cba(c)ba()cba( F0

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12

31

12

31

b

12

31

12

31

12

31

c

12

31

12

31

12

31

12

31

12

31

a

12

31

12

31

12

31

12

31

12

31

12

31

12

31

12

31

12

31

12

31

F0

e) Nombre de circuits intégrés utilisés :

Pour calculer le nombre de circuits intégrés utilisées, il faut partir d’un circuit intégré

qui possède 14 broches. On utilise 2 broches pour l’alimentation. Il en reste donc 12 broches.

Si on veut des portes à 1 entrée :

Il y a donc 1 broche en entrée plus 1 pour la sortie soit 2 broches par porte !

Donc 12 broches / 2 broches par portes = 6 portes à 1 entrée par Circuit Intégré (C.I.).

Si on veut des portes à 2 entrées :

Il y a donc 2 broches en entrée plus 1 pour la sortie soit 3 broches par porte !

Donc 12 broches / 3 broches par portes = 4 portes à 2entrées par CI.

Si on veut des portes à 3 entrées :

Il y a donc 3 broches en entrée plus 1 pour la sortie soit 4 broches par porte !

Donc 12 broches / 4 broches par portes = 3 portes à 3 entrées par CI.

Si on veut des portes à 4 entrées :

Il y a donc 4 broches en entrée plus 1 pour la sortie soit 5 broches par porte !

Donc 12 broches / 5 broches par portes = 2 portes à 4 entrées par CI.

Si on veut des portes à 8 entrées :

Il y a donc 8 broches en entrée plus 1 pour la sortie soit 9 broches par porte !

Donc 12 broches / 9 broches par portes = 1 porte à 8 entrées par CI.

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f) Portes restantes :

Une fois le nombre de circuits intégrés déterminé, il peut rester des portes logiques non

utilisées. Ces portes pour ne pas consommer inutilement à cause des parasites, doivent être

branchées en entrée à un potentiel donné (soit VCC, soit GND), et laissées en l’air pour la

sortie (On met une croix verte sous Orcad Capture).

Exemples :

12

31 &

1

2311 2

g) Diminution du prix :

Pour des raisons de simplicité et matérielles, on est amené à rechercher la forme la plus

réduite d'une fonction. On arrive à ce résultat par des mises en facteur, et avec l'algèbre de

Boole, pour trouver des facteurs communs.

1er Exemple : Simplifier la fonction suivante :

a.b.c ca.b. .cba. ca.b. F1

a.c b.c a.b F1

En faire le logigramme, le moins cher, et compter le nombre de C.I. utilisés et

représenter les portes restantes.

2ème Exemple :

Faire de même en transformant les portes à 3 entrées en portes à 2 entrées.

Solutions :

AA.1)BA.(B BA. A.B X

C)A.(B.C)BA.(B .CBA. A.B 1 X

B.C.DA.B .B.C.DAA.B 2 X

dbdbddbbdabddadbadaaX 3

B.C.DA D)C).(AB).(A(AX4

.BAB.A )BAB).((AX5

CABABABCA

CACBABACACAABCACABCBC

...)1.(.

.....)..(.).(...AB.AX6

CB A A.B.C .CB.A C.BA. C.B.A X7