RESEAUX DE NEURONES, LOGIQUE FLOUE

ET ALGORITHMES GENETIQUES

Jalel ZRIDA

Ecole Supérieure des Sciences et Techniques de Tunis

etUnité Signaux et Système, ENIT

La Logique Floue

De nos jours, nos problèmes impliquent souvent des systèmes de plus en plus complexes et à une échelle très grande. S ajoute à cela une forte poussée vers une sophistication de plus en plus subtile mettant de fortes contraintes sur la solution désirée et faisant cette recherche de la solution une tâche phénoménale.Malgré les avancées technologiques extraordinaires qui ont poussé la puissance de calcul à des limites inimaginables, l approche analytique s est vue arriver à sa limite dans plusieurs cas de problèmes.Malgré que la capacité de calcul de la machine dépasse largement celle de l homme, ce dernier aborde et résout certains problèmes d une façon beaucoup plus efficace.

La théorie de la logique floue est l une des rares théories qui s est fixée le but de copier la performance humaine.L idée consiste à examiner comment est ce que l homme se fait pour lui-même un modèle de tout ce qu il l entoure et comment il utilise ce modèle pour se doter de stratégies avec lesquelles il arrive à

maîtriser et à asservir son environnement.

Les bases de la logique floue ont été établies en 1965 par le professeur Lotfi Zadeh de l université de Californie de Berkeley.

A cette époque, cette théorie n a pas été prise aux sérieux jusqu à ce que, dans les années 80, nombre d applications spectaculaires au Japon d abord puis en Europe se sont imposées dans le monde. Contrairement à la logique classique de Boole, la logique floue est un outil qui permet de manipuler des variables dites floues pouvant appartenir simultanément à des ensembles qui sont, selon la logique classique, disjoints. Cette appartenance est cependant caractérisée par un facteur d appartenance, un nombre entre 0 et 1 donnant le degré de confiance à cette appartenance.

âge

1

0

0 20 40 60 80 ans

âgéadultejeune

Considérons le problème de classifier les personnes selon leurs âges et considérons les trois ensembles jeune , adulte , et âgé . La logique classique de

Boole prendrait une décision qui ressemble à ce qui est représenté sur la figure suivante :

Pas logique !

âge

1

0

0 20 40 60 80 ans

âgéadultejeune

La logique floue, elle, donne une classification plus réaliste et plus humaine qui peut, par exemple, être

Plus logique !

Dans la vie quotidienne, la description d une situation donnée se fait toujours à l aide de variables linguistiques qui sont toujours à connotation floue mais

qui reste, en général, très acceptable. Par exemple, un automobiliste décrirait sa façon de conduire àl autoroute derrière un autre automobiliste :

Si la distance qui me sépare de la voiture devant moi est assez raisonnable, je roule normalement. Si cette distance décroît subitement, je freine fortement. Si cette distance change trop souvent, je vire légèrement àma gauche pour le dépasser.

.2température

1

0

0 10 20 30 40°

chaudfroid

15

.8

Afin de traiter numériquement ces variables linguistiques, des fonctions d appartenance sont utilisées pour quantifier leur signification. Prenons par exemple pour variable linguistique la température d un local. On peut la caractériser par deux ensembles flous : froid et chaud . Deux fonctions d appartenance sont associées à ces deux ensembles flous. Ces fonctions peuvent avoir l allure suivante :

Selon ces fonctions d appartenance, une température de 15°appartient à l ensemble flou froid avec un facteur d appartenance de 0.8 et appartient aussi à l ensemble flouchaud avec un facteur d appartenance de 0.2.

Cette allure trapézoïdale des fonctions d appartenance n est pas obligatoire, d autres allures telles triangulaires ou gaussiennes entre autres sont possibles. Une subdivision plus fine peut être essayée pour plus de précision ou de résolution. Par exemple, la variable température peut être décrite par trois ensembles flous : froid , tiède , et chaud .

L outil de modélisation en logique floue est la règle floue. Une règle floue est une assertion logique qui s exprime en terme de variables linguistiques floues reliées entre elles par des opérateurs logiques tels ETet OU. Ils existent deux types de règles floues : celles formant un critère et ayant la forme générale

et celles formant des implications et ayant la forme générale

où la condition ainsi que l opération dépendent de

variables linguistiques floues.

nxxxxJ ET OU ET OU

321

Opération

Alors

Condition,

Si

Inférence à une seule règle

Le cas d une inférence à une seule règle se présente chaque fois où une classification de plusieurs échantillons ou concurrents est désirée. Cette situation se présente le plus souvent avec de problèmes non techniques et se base sur un

critère de prise de décision J qui s exprime par une seule règle

ayant la forme

nxxxxJ ET OU ET OU

321

où les sont les variables linguistiques floues sont reliées entre elles par les opérateurs logiques ET et OU qui seront redéfinis selon le nouveau contexte de la logique floue.

ix

Déductions ou inférences floues (Cont )

Inférence à plusieurs règlesDans le cas où des décisions différentes sont à prendre selon les valeurs des variables linguistiques, plusieurs règles sont nécessaires pour l inférence. Ces règles ont la forme générale

où les conditions dépendent de variables linguistiques floues et sont reliées entre elles par des opérateurs logiques . Les opérations dépendent aussi d un certain nombre de variables linguistiques floues et sont reliées entre elles par des opérateurs logiques . Les règles sont également reliées entre elles par l opérateur OU. Une décision globale émanant des opérations produites par chaque règle sera finalement adoptée selon un processus qui sera décrit plus tard.

m.Opération Alorsm,Condition Si

Ou2,Opération Alors2,Condition Si

Ou1,Opération Alors1,Condition Si

Opérateur NON

Selon la logique classique, l ensemble complémentaire d un ensemble a est l ensemble

aNONac

défini comme étant l ensemble c des éléments de x qui n appartiennent pas à a. Dans la logique floue, ce concept s exprime en termes des fonctions d appartenance comme suit :

xxac

1

x

1

0

x

1

0

Opérateur NON (Cont )La figure suivante représente la relation de l opérateur NON:

a

c

Opérateur ET

Selon la logique classique, l opérateur ET correspond à l ensemble cintersection de deux ensembles a et b, et on écrit

babac ET

Dans la logique floue, ce concept peut se réaliser en prenant le minimum des fonctions d appartenance. Ainsi

xxxbac

,min

x

1

0

x

1

0

x

1

0

Opérateur ET (Cont )La figure suivante représente la relation de l opérateur ET:

a

b

c

Opérateur OU

Selon la logique classique, l opérateur OU correspond à l ensemble cunion de deux ensembles a et b, et on écrit

babac OU

Dans la logique floue, ce concept peut se réaliser en prenant le maximum des fonctions d appartenance. Ainsi

xxxbac

,max

x

1

0

x

1

0

x

1

0

Opérateur OU (Cont )La figure suivante représente la relation de l opérateur OU:

a

b

c

Autre réalisations de l opérateur ET et de l opérateur OU

Opérateur ET

L opérateur ET peut aussi se réaliser à l aide du produit,

xxxbac

C est l opérateur produit.

x

1

0

x

1

0

x

1

0

Autre réalisations de l opérateur ET et de l opérateur OU (Cont ) Opérateur ET (Cont )

La figure suivante représente la relation de l opérateur produit :

a

b

c

Autre réalisations de l opérateur ET et de l opérateur OU (Cont ) Opérateur OU

L opérateur OU quant à lui peut aussi se réaliser à l aide de la somme, ou plus précisément la moyenne,

2/xxxbac

C est l opérateur somme.

x

1

0

Autre réalisations de l opérateur ET et de l opérateur OU (Cont ) Opérateur OU (Cont )

La figure suivante représente la relation de l opérateur somme :

a

x

1

0

b

c

x

1

0

Opérateur ET flou et opérateur OU flouOpérateur ET flou

L opérateur ET flou est défini par

xxxxxbabac 2

1,min

pour

1,0

Opérateur ET flou et opérateur OU flou (Cont ) Opérateur OU flou

L opérateur OU flou est défini par

pour

1,0

xxxxxbabac 2

1,max

11011

10001

10110

00100

Comparaison avec la logique classique

a ab baba

Exemple d inférence à une seule règle

Engagement d un collaborateurExemple de critère qui sert à déterminer le profil souhaité et les aptitudes recherchées:

Critère:=

(formation OU expérience) ET

(indépendance OU aptitude à collaborer) ET âge

Exemple d inférence à une seule règle (Cont )

Tableau des données

0.2 0.8 0.5 0.8 0.6 0.3 0.2 0.9 1.0 0.60.6 0.4 0.7 1.0 0.50.4 0.5 0.2 1.0 0.81.0 0.5 0.7 0.1 0.6

FormationExpérience

IndépendanceAptitude à collaborer

âge

Candidats2 3 4 5Variables

f

e

i

a

gea

Exemple d inférence à une seule règle (Cont )

Calcul des facteurs d appartenance

geaiafegeaiafecr 31

,,min

efeffe 21

,max

aiaiia 21

,max

Exemple d inférence à une seule règle (Cont )

Tableau d évaluation des données

0.2 0.8 0.5 0.8 0.6

0.3 0.2 0.9 1.0 0.60.6 0.4 0.7 1.0 0.50.4 0.5 0.2 1.0 0.8

1.0 0.5 0.7 0.1 0.6

FormationExpérience

IndépendanceAptitude à collaborer

âge

Candidats

2 3 4 5Variables

f

e

i

a

gea

0.30 0.50 0.70 0.10 0.60

0.37 0.51 0.66 0.25 0.610.44 0.51 0.63 0.39 0.62

0.51 0.50 0.62 0.53 0.620.58 0.48 0.62 0.67 0.62

critère

00.175.050.025.000.0

cr

Exemple d inférence à plusieurs règles

Réglage de température d un local

On mesure la température à l aide d un capteur qui fournit la valeur de la grandeur à régler y.On forme alors l écart de réglage e comme étant la différence entre la grandeur de consigne w et la grandeur à régler y.Pour varier le flux de chaleur du radiateur, on intervient sur la position d une valve de mélange en l ouvrant ou en la fermant d une certaine quantité .u

Exemple d inférence à plusieurs règles (Cont )

Réglage de température d un local (Cont )

Règles d inférence

Variation de la position de la valve:=

SI écart positif, ALORS ouvrir la valve, OU

SI écart zéro, ALORS ne pas bouger la valve, OU

SI écart négatif, ALORS fermer la valve.

Exemple d inférence à plusieurs règles (Cont )

Réglage de température d un local (Cont )

Règles d inférence (Cont )

SI e positif, ALORS positif, OU

SI e zéro, ALORS zéro, OU

SI e négatif, ALORS négatif.

u

u

u

Exemple d inférence à plusieurs règles (Cont )

Réglage de température d un local (Cont )

Fonction d appartenance de l écart e

positif

zéropositif

0 21 3 4 5-1-2-3-4-5 température C

e

1

Exemple d inférence à plusieurs règles (Cont )

Réglage de température d un local (Cont )

Fonction d appartenance de l incrément de commande

ouvrirne pas bougerfermer

1

0.2 0.4 0.6-0.2-0.4-0.6 u

u

0

système

ueRéf. y

_

Le problème classique de l asservissement d un système est illustré par le diagramme en bloc suivant :

e

Le régulateur flou, comme tout régulateur, a pour tâche de produire une loi de commande u pour chaque combinaison de ses entrées e et de sorte que l erreur tend vers zéro le plus vite possible.

e

u

Une représentation en bloc de ce régulateur flou a donc la forme suivante :

ee

fuzzification inférence défuzzification

e x u

La structure interne de ce régulateur flou est représentée dans le diagramme fonctionnel suivant :

e

fu

où trois blocs appelés fuzzification, inférence, et défuzzificationsont utilisés et dont la fonctionnalité est décrite dans ce qui suit.

Le processus de la fuzzification consiste à simplement attribuer aux différentes variables linguistiques d entrée des fonctions d appartenance convenables. Cette opération est nécessaire vu que la mesure de la sortie y et la donnée de la référence ou consigne sont toujours exprimées en des variables qui sont netteset précises et que le régulateur flou ne peut traiter que des variables floues.

L inférence est le processus par lequel des actions ou opérations floues sont prises au fur et à mesure que des informations sur les entrées sont recueillies et ce selon les règles définissant le système. Ils existent plusieurs méthodes d inférence dont La méthode d inférence max-min : réalise le OUreliant les règles par le l opérateur max et le ALORSpar l opérateur min.La méthode d inférence max-produit : réalise le OUreliant les règles par le l opérateur max et le ALORSpar l opérateur produit.La méthode d inférence somme-produit : réalise le OU reliant les règles par le l opérateur somme et le ALORS par l opérateur produit.

Voici un exemple de calcul d une loi de commande d un système à deux entrées et à une sortie u. Pour simplifier, le système est supposé être décrit par uniquement les deux règles suivantes :

21 et xx

P.est AlorsEZ,est xETNest Si

OuN,est AlorsP,est xETEZest Si

21

21

ux

ux

On suppose que les variables ainsi que la sortie usont normalisées entre 1 et -1 et ont tous une même fonction d appartenance à trois sous-ensembles flous :

N pour négatif , EZ pour environ zéro et P pour positif

21 et xx

Cette fonction d appartenance a l allure suivante :

On se place à l instant où on mesure que , et et on se propose de calculer la commande

u à produire en utilisant la méthode d inférence max-min, max-produit, puis somme-produit.

-1

PN

EZ

1

75.02x

5.01x

Exemple (Cont )La méthode d inférence max-min

Nest Alors P,est ET EZest Si21

uxx

Pest Alors EZ,est ET Nest Si21

uxx

0.25

0.5

X1=-0.5

X2=0.75

0.5

0.50.75

0.50.25

min

min

min

min

max

0.25

Exemple (Cont )La méthode d inférence max-produit

Nest Alors P,est ET EZest Si21

uxx

Pest Alors EZ,est ET Nest Si21

uxx

0.25

3/8

X1=-0.5

X2=0.75

0.5

0.50.75

1/8

3/161/16

max

Exemple (Cont )La méthode d inférence somme-produit

Nest Alors P,est ET EZest Si21

uxx

Pest Alors EZ,est ET Nest Si21

uxx

0.25

3/8

X1=-0.5

X2=0.75

0.5

0.50.75

1/8

3/161/16

L étape précédente a produit une loi de commande exprimée en terme d une fonction d appartenance donc une loi de commande floue. Comme le système à asservir ne peut accepter que une commande définie et nette, cette fonction d appartenance doit être traduite en une commande non floue, nette et précise. Ce processus est connu sous le nom de défuzzification. Ils existent plusieurs méthodes de défuzzification dans la littérature dont une méthode qui est le plus souvent plus efficace que les autres, celle de la défuzzification par centre de gravité.La défuzzification par centre de gravité : Cette méthode calcule la loi de commande non floue en tant que l abscisse du centre de gravitéde la fonction d appartenance de la loi de commande ,

uu

RES

1

1

1

1

duu

duuu

u

RES

RES

La défuzzificationLe cas de la méthode d inférence somme-produit

La loi de commande par la méthode de défuzzification par centre de gravité se programme difficilement en général. Seul dans le cas où la méthode d inférence somme-produit est utilisé, la programmation de la loi de commande se simplifie énormément. En effet, dans ce cas, la fonction d appartenance de la loi de commande est donnée par

m

iOCRES

um

uii

1

1

iC : le facteur d appartenance de la condition i

uiO : le facteur d appartenance de l opération i

m : nombre total de règles

règle i : Si Condition i Alors Opération i

La défuzzificationLe cas de la méthode d inférence somme-produit

(Cont )

m

iiC

m

iiiC

m

iOC

m

iOC

m

iOC

m

iOC

RES

RES

S

Su

duu

duuu

duu

duuu

duu

duuu

u

i

i

ii

ii

ii

ii

1

1

*

1

1

1

1

1

11

1 1

1

1 11

1

1

1

duuSiOi

1

1

ii

Sduuuu Oi /1

1

*

représente la surface sous la fonction d appartenance du sous-ensemble flou impliqué dans la règle i.

représente l abscisse du centre de gravité de la fonction d appartenance du sous-ensemble flou impliqué dans la règle i.

Pour reprendre l exemple traité précédemment, comme la fonction d appartenance pour la loi de commande a l allure suivante :

RES

3/161/16

u-1 1

On a que

3/12/12/33/11

161

163

161

163

0

1

1

0

1

0

20

1

2

1

1

1

1

uduudu

duuduu

duu

duuu

u

RES

RES

Ce résultat s accorde bien entendu avec l autre formule, à savoir,

3/1

2

1

8

1

2

1

8

32

1

3

2

8

1

2

1

3

2

8

3

21

2

*

21

*

1

1

1

*

*

21

21

SS

SuSu

S

Suu

CC

CC

m

iiC

m

iiiC

i

i

Asservissement de la vitesse d un moteur à CC

1

v

1

.191s+.011

Transfer Fcn1

1.55

.014s+1.14

Transfer Fcn Sum2Sum1

Sum

26

Gain2

.06

Gain1

1.55

Gain

2

Cr

1

vref

Asservissement de la vitesse d un moteur à CC (Cont.)

ZOH1

ZOH

z

1

Unit Delay1

z

1

Unit Delay

Sum2

Sum1

Sumvref

Cr

v

Subsystem

Step1

Step

Scope

Mux

Mux

.1

GainFLC

Asservissement de la vitesse d un moteur à CC (Cont.)

Asservissement de la vitesse d un moteur à CC (Cont.)

Asservissement de la vitesse d un moteur à CC (Cont.)

Asservissement de la vitesse d un moteur à CC (Cont.)

Asservissement de la vitesse d un moteur à CC (Cont.)

Asservissement de la vitesse d un moteur à CC (Cont.)

ee

négatif

négatif

zéro

zéro

positif

positif

Sortie grande négative

Sortie négative

Sortie zéro

Sortie zéro

Sortie zéroSortie négative

Sortie positive

Sortie positive

Sortie grande positive

Asservissement de la vitesse d un moteur à CC (Cont.)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Temps (sec)

Vite

sse

Asservissement de la vitesse d un moteur à CC (Cont.)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

Temps (sec)

Com

man

de (

Vol

ts)

Fin

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