Algèbre linéaire et variable complexe

Pierre L. Douillet

18 novembre 2016

Ce polycopié regroupe les notes de cours correspondant aux modules E1-cplex:2001/2002, E1-cplex:2002/2003 et A1-cplex:2002/2003. Le cours 2001/2002 portait sur les parties 2, 3, 4, 5tandis que le cours 2002/2003 portait sur les parties 1, 2, 3, 5. Autrement dit la partie "sériesgénératrices" a été repoussée en 2ème année pour faire place à des rappels d’algèbre linéaire.

Table des matières

1 Algèbre linéaire 71.1 Le signe = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Équations affines et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Déterminant 2× 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Déterminant 3× 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Le déterminant mesure le volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Valeurs propres, vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6.1 Matrice de rotation 2× 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6.2 Matrice d’impédance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Les nombres complexes comme action sur les points d’un plan 132.1 Multiplier un vecteur par un nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Espace vectoriel, espace affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Conjugaison et module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Angles et cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5 Racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Cycles et homographies 173.1 Similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Homographies : définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4 Un exemple : l’algorithme de la racine carrée (Newton) . . . . . . . . . . . . . . . 203.5 Les homographies conservent les cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.6 Sphère de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.7 Récurrences homographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Séries génératrices 254.1 Définition et rappels sur les séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2 Propriétés élémentaires des séries génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3 Exemples élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.4 Les polynômes de Chebyschev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.5 Séries génératrices et stats-probas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5 Séries de Fourier 295.1 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.3 Gramm-Schmidt par l’exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.4 Parseval par l’exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.5 Projections orthogonales et inégalité de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3

4 TABLE DES MATIÈRES

Table des figures

1.1 Un circuit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1 Diviser un segment en 7 parties égales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Théorème de l’angle au centre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Racine carrée d’un nombre complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1 Un carré et son image par homographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Un cercle et sa projection stéréographique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5

6 TABLE DES FIGURES

Chapitre 1

Algèbre linéaire

1.1 Le signe =

Definition 1.1.1. identité. On appelle identité une règle de substitution toujours valable. Ainsila règle :

∀a, b : sin a− sin b = 2 sina− b

2cos

a+ b

2

indique que le membre de gauche peut, en toutes circonstances, être remplacé par le membrede droite (règle de factorisation). L’échange des membres de gauche et de droite conduit à lasubstitution réciproque (règle de linéarisation).

Definition 1.1.2. affectation. En informatique, l’écriture x := 2 veut dire que, désormais, lalettre x ne désigne plus une variable abstraite, mais le nombre 2.

Definition 1.1.3. équation. On appelle équation une situation pour laquelle on se demandequelles sont les valeurs des lettres qui vérifient une relation particulière.

Corollary 1.1.4. Résoudre une équation consiste à déterminer toutes les solutions d’une équa-tion.

Remark 1.1.5. Lorsque l’on enseigne à un ordinateur, il convient de distinguer soigneusement lestrois notions. Cela s’appelle l’informatique. Lorsque l’on enseigne à des étudiants, ils sont sensésse débrouiller par eux mêmes en utilisant le contexte. Cela s’appelle les mathématiques.

1.2 Équations affines et matrices

Remark 1.2.1. Écriture matricielle. L’objectif est de réécrire une équation affine à plusieursvariables sous la forme AX = B et de déterminer les situations où cette équation peut seréécrire en X = A−1B, conduisant à une solution et une seule.

Definition 1.2.2. matrice. On réécrit un système tel que2x+ 3 y = 8

4x− y = 2

sous la forme (2 34 −1

)(xy

)=

(82

)La matrice d’un système est donc le tableau rectangulaire des coefficients des inconnues.

Definition 1.2.3. produit matriciel. Le produit M1M2 de deux matrices (dans cet ordre) estdéfini lorsque les lignes de M1 ont la même longueur que les colonnes de M2. Cela revient à direque le nombre des colonnes deM1 est égal au nombre des lignes deM2. En pareil cas, un élémentdu produit est le produit scalaire d’une ligne de M1 par une colonne de M2.

7

8 1.4. Déterminant 3× 3

Exercise 1.2.4. Soient deux matrices, A de taille (m, n) et B de taille (p, q). A quelle conditiona-t-on l’existence des deux produits AB et BA ? Et alors, quelle est la condition supplémentairepour qu’ils aient mêmes dimensions ?

Remark 1.2.5. Méthode pratique. Il est recommandé de disposer le produit de deux matricessous la forme : (

t uv w

)(a bc d

) (a t+ b v a u+ bwc t+ d v c u+ dw

)Theorem 1.2.6. Le produit de matrices est associatif : les produits (AB)C et A (BC) existenten même temps et alors sont égaux.

Theorem 1.2.7. Si l’on se limite aux matrices carrées d’une taille donnée, et si l’on définitl’addition case par case, les règles algébriques usuelles continuent d’être valable, à l’exception dufait que la multiplication n’est plus commutative.

Exercise 1.2.8. Vérifier que la matrice nulle est neutre pour l’addition. Quelle est la matriceneutre pour la multiplication ? Quel sens donner à l’écriture A+ 4 ?

Exercise 1.2.9. Vérifier que A2 − 5A+ 6 donne la matrice nulle dans les deux cas suivants :

lorsque A =

(2 00 3

)ou lorsque A =

(0 1−6 −5

).

Exercise 1.2.10. Déterminer toutes les matrices de taille 2× 2 telles que A2 − 5A+ 6 = 0.

1.3 Déterminant 2× 2

Definition 1.3.1. coA (matrice complémentaire). Pour une matrice carrée de taille 2, on pose :

co

(a bc d

)=

(d −b−c a

)Definition 1.3.2. déterminant. Pour une matrice carrée de taille 2, on pose :

det

(a bc d

)= a d− b c

Theorem 1.3.3. Pour toute matrice carrée, on a M coM = coM M = detM I

Exercise 1.3.4. Vérifier en posant le calcul.

Theorem 1.3.5. Le déterminant détermine si une matrice est inversible.

Theorem 1.3.6. Le déterminant dtu produit de deux matrices carrées est le produit des déter-minants.

Exercise 1.3.7. Vérifier en posant le calcul. Puis retrouver la démonstration générale...

1.4 Déterminant 3× 3

1. Présentation. On considère le système suivant, à trois équations et trois inconnues :a x+ b y + c z = udx+ e y + f z = vg x+ h y + j z = w

Si l’on avait c = f = j = 0, ce serait un système à deux inconnues : on peut donc supposerque l’un des coefficients est non nul (dans ce qui suit, on suppose c 6= 0).

1.4. Déterminant 3× 3 9

2. Par combinaisons linéaires, on obtient la condition nécessaire :(a f − d c)x+ (b f − e c) y = t f − u c(g c− a j)x+ (c h− b j) y = c v − j t

et, par de nouvelles combinaisons linéaires, à :

[(g c− a j) (b f − e c)− (a f − d c) (c h− b j)] x = [() ()− () ()]

3. On constate que c 6= 0 se met en facteur, et on trouve :

(aej + bfg + cdh− afh− bdj − ceg)x = (uej + bfw + cvh− ufh− bvj − cew)

Ce résultat peut être mémorisé par la règle de Sarrus, et conduit à∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h j

∣∣∣∣∣∣x =

∣∣∣∣∣∣u b cv e fw h j

∣∣∣∣∣∣Theorem 1.4.1. Cramer. La quantité ∆ = (aej + bfg + cdh− afh− bdj − ceg) détermine lessystèmes affines ayant une solution et une seule. Celle-ci est alors égale à

xj = ∆j ÷∆, j = 1 · · · 3

Exercise 1.4.2. Le point clef est que chacun des trois calculs (pour chacune des indéterminées)conduit au même dénominateur. Vérifier que tel est bien le cas.

Exercise 1.4.3. Les calculs précédents établissent des conditions nécessaires. Vérifier qu’ellessont suffisantes.

Exercise 1.4.4. Vérifier que le déterminant d’un produit de matrices 3 × 3 est bien encore leproduit des déterminants.

Definition 1.4.5. cofacteur. Le cofacteur de Ajk est le facteur de cet élément dans le dévelop-pement du déterminant de A.

Definition 1.4.6. mineur. Le déterminant mineur associé à Aij est le déterminant plus petitobtenu en supprimant la ligne et la colonne de Ajk.

Theorem 1.4.7. Le cofacteur de Ajk est égal au mineur associé, affecté du signe + ou − selonque l’élément occupe une place paire (j + k pair) ou une place impaire (j + k impair).

Definition 1.4.8. matrice complémentaire. Chaque ligne de la matrice coA est formée descofacteurs associés à une colonne de A.

Example 1.4.9. Soit A =

∣∣∣∣∣∣1 2 35 2 7−1 2 2

∣∣∣∣∣∣. Alors la matrice complémentaire est :

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣ 2 72 2

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 2 3

2 2

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 2 32 7

∣∣∣∣−∣∣∣∣ 5 7−1 2

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 3−1 2

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 3

5 7

∣∣∣∣∣∣∣∣ 5 2−1 2

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 2−1 2

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 25 2

∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣−10 2 8−17 5 812 −4 −8

∣∣∣∣∣∣Theorem 1.4.10. On a AcoA = coAA = detAI3

Exercise 1.4.11. Les valeurs diagonales viennent de la définition même. Qu’en est-il pour lesautres éléments ?

Exercise 1.4.12. Calcul d’inverses variés.

10 1.6. Valeurs propres, vecteurs propres

1.5 Le déterminant mesure le volume

Theorem 1.5.1. En dimension n = 2, le déterminant mesure la surface du parallélogrammeconstruit sur les deux vecteurs.

Démonstration. On a la formule :∣∣∣ −→M1−→M2

∣∣∣2 + (M1, M2)2 = (x1y2 − x2y1)2 + (x1x2 + y1y2)

2

=(x21 + y21

)×(x22 + y22

)Comme le produit scalaire est le produit des longueurs par le cosinus, le déterminant est leproduit des longueurs par le sinus (par continuité, le signe reste constant et ne dépend que del’orientation du repère).

Definition 1.5.2. En dimension n, le déterminant mesure l’hyper-volume construit sur les nvecteurs.

Theorem 1.5.3. changement de variable dans une intégrale. Le déterminant de la matrice ja-cobienne mesure la façon dont se transforme le volume élémentaire au dessus duquel on calculel’intégrale.

Remark 1.5.4. Rappel n = 1. On a :∫ t=φ(b)

t=φ(a)f (t) dt =

∫ u=b

u=a(f φ) (u)× φ′ (u) du

Exercise 1.5.5. Vérifier que∫ t=9t=1 t

3 dt = 14

(94 − 44

)= 1640 et comparer avec

∫ u=3u=1 u

6 2udu =27

(37 − 17

)= 1640.

Exercise 1.5.6. Calculer∫ ba

1√(b−x)(x−a)

dx par changement de variable.

Proposition 1.5.7. Jacobien en polaire. On a les relations :x = ρ cos θy = ρ sin θ

;

(dxdy

)=

(cos θ −ρ sin θsin θ ρ cos θ

)(dρdθ

); Jac = ρ

Exercise 1.5.8. Retrouver la formule du jacobien en coordonnées sphériques.

Exercise 1.5.9. On considère la pyramide définie par x > 0, y > 0, z > 0, 1 > x + y +z. Vérifier que le changement de variables u = x + y + z, v = (x+ y) / (x+ y + z) et w =x/ (x+ y) transforme l’intérieur de la pyramide en l’intérieur d’un cube. Utiliser le jacobien dela transformation pour retrouver le volume de la pyramide.

Proposition 1.5.10. intégrale de Gauss. L’existence de I =∫ +∞−∞ exp

(−x2

2

)dx est assurée par

convergence dominée. Et on obtient :

I2 =

∫ +∞

−∞exp

(−x

2

2

)dx

∫ +∞

−∞exp

(−y

2

2

)dy =

∫R2

exp

(−x

2 + y2

2

)dx dy

=

∫R2

exp

(−ρ

2

2

)ρ dρ dθ =

∫ ∞0

exp

(−ρ

2

2

)dρ2

∫ +π

−πdθ = 2π

1.6 Valeurs propres, vecteurs propres

Definition 1.6.1. Pour commencer, un "vecteur propre" est un vecteur non nul (ce qui importe,c’est sa direction).

Remark 1.6.2. Rappel. Un espace vectoriel est un ensemble sur lequel le mode d’opération "na-turel" est les combinaisons linéaires.

1.6.1. Matrice de rotation 2× 2 11

Definition 1.6.3. Définition : application linéaire. C’est une application d’un espace vectorieldans un autre qui est compatible avec les opérations (l’image d’une somme est la somme desimages et, plus généralement, l’image d’une combinaison linéaire est la combinaison linéaire desimages).

Definition 1.6.4. Définition. Si φ : E → E est une application linéaire, on dit que le vecteurnon nul v est vecteur propre associé à la valeur propre λ lorsque φ (v) = λ v.

Definition 1.6.5. Définition : équation caractéristique. Il y a équivalence entre "v est vecteurpropre" et (φ− λ id) (v) = 0 et donc équivalence avec

det (φ− λ id) = 0

Le nom "caractéristique" vient de ce que cette équation est indépendante de la base choisie pourécrire les équations. En effet, on a M = P−1M P et donc

det(M − λ

)= det

(P−1M P − P−1 λP

)= detP−1 det (M − λ) detP = det (M − λ)

1.6.1 Matrice de rotation 2× 2

1. On sait que les rotations de centre O dans le plan euclidien ont pour matrice M =(cos θ − sin θsin θ cos θ

).

2. Leur polynôme caractéristique est :

χM (λ) = det (M − λ) = λ2 − 2 cos θ λ+ 1

3. Les valeurs propres sont donc cos θ ± i sin θ = exp (±i θ). Un peu de calcul montre que

les vecteurs propres sont(

1±i

). Il n’est pas inutile de normaliser la matrice de passage

qui s’écrit alors

P =1√2

(1 1

+i −i

); P−1 =

1√2

(1 −i1 +i

)4. Et l’on voit que P−1M P est une matrice diagonale, dont les éléments sont les valeurs

propres.

1.6.2 Matrice d’impédance

Figure 1.1 – Un circuit.

1. Il est bien connu qu’un circuit éléctrique comme celui de la Fig. 1.1 peut être décrit"selon les branches" ou bien "selon les mailles". La première méthode est plus facile àautomatiser (description composant par composant), tandis que la deuxième nécessite uneidentification préalable des "mailles indépendantes".

12 1.6. Valeurs propres, vecteurs propres

2. Une fois la liste des mailles établies, la mise en équation est aisée, et conduit à : E1

E2

E3

=

R+ ρ −ρ 0−ρ R+ 2ρ −ρ

−ρ R+ ρ

i1i2i3

La matrice m×m intervenant dans cette équation (matrice d’impédance) a pour élémentsdiagonaux Zjj les résistances de maille (c’est à dire la somme de toutes les résistances ap-partenant à la maille j), tandis que les autres éléments Zjk sont les opposés des résistancesde branche (les résistances communes aux mailles j et k).

3. Une telle matrice est évidemment symétrique (et donc ses valeurs propres sont réelles).Comme de plus ces matrices sont à diagonale dominante, les valeurs propres sont positives.

4. Pour l’exemple donné, ... (à traiter en TD !)

Chapitre 2

Les nombres complexes comme actionsur les points d’un plan

2.1 Multiplier un vecteur par un nombre

L’objectif de cette section est de rappeler le mode d’emploi d’un certain nombre de notionsde géométrie. La question du bien fondé de ces notions "élémentaires" est une question tout àfait intéressante (et tout à fait difficile). Nous nous limiterons à faire remarquer que ces notions"ne peuvent pas être totalement infondées" car elles font partie, d’une manière ou d’une autredes réflexes acquis qui permettent la vie quotidienne.

Remark 2.1.1. L’un des grands progrès de la géométrie a consisté à "introduire des nombres"et à remplacer autant que possible les problèmes de géométrie par des problèmes (algèbre ouanalyse) concernant les nombres.

Definition 2.1.2. Un repère cartésien (O, ~u, ~v) sert à décrire les points M du plan par M =O + x~u+ y ~v. L’opération (x, ~v) 7→ x~v, pour x nombre et ~v vecteur, est donc fondamentale.

Definition 2.1.3. Produit d’un vecteur par un nombre. On procède par étapes.

1. On définit n~v, pour n ∈ N par le fait de mettre bout à bout n vecteurs égaux à ~v . Enparticulier 0~v = ~0 et 1 ~u = ~u.

2. La multiplication par un entier négatif consiste à reporter les vecteurs dans le sens opposé,et l’on a donc n~v + (−n) ~v = ~0.

3. Multiplier un vecteur ~v par la fraction nd (avec d > 0) consiste à calculer n

(1d~v), tandis que

diviser un vecteur par un entier (non-nul !) consiste à appliquer le théorème de Thalès : onconstruit le segment [A; C] en reportant d fois un segment issu lui aussi de A, mais situésur une autre droite. Les droites parallèles à la droite (BC) et passant par les subdivisionséquidistantes de [A, C] découpent le segment [A, B] en segments égaux.

C

BA

Figure 2.1 – Diviser un segment en 7 parties égales.

13

14 2.3. Conjugaison et module

4. Le produit λ~v, pour λ ∈ R s’obtient en encadrant λ par des rationnels de plus en plusproche et en passant à la limite sur les points obtenus.

5. Les produits λ~v introduits jusqu’ici conservent la direction du vecteur (ou amènent cevecteur sur ~0). L’introduction des complexes permettra les changements de direction.

6. Encore une fois, ce qui précède est destiné à décrire ce qui se passe, et pas à en démontrerle bien-fondé.

2.2 Espace vectoriel, espace affine

Definition 2.2.1. On rappelle qu’un espace vectoriel est un ensemble pour lequel l’opération"naturelle" est la combinaison linéaire, donnant un vecteur a~v + b ~w à partir des deux vecteurs~v et ~w.

Definition 2.2.2. Un espace affine est un ensemble pour lequel l’opération "naturelle" est lebarycentre (combinaisons linéaire dont la somme des masses vaut 1), donnant un point aM+b Pà partir des deux points M et P .

Remark 2.2.3. L’illustration la plus simple des espaces vectoriels est une droite passant parl’origine. Toutes les combinaisons linéaires restent sur la droite.

Remark 2.2.4. L’illustration la plus simple des espaces affines est une droite parallèle à la précé-dente. Si cette droite affine ne passe pas par l’origine, seules les combinaisons linéaires aM + b Pde masse totale a + b = 1 restent sur la droite, les autres sortent de la droite, et viennent seplacer sur une autre parallèle, dépendant de la valeur de a+ b.

Exercise 2.2.5. Soient M1 · · · Mndes points du plan et a1 · · · an des coefficients. Montrer quel’expression

∑j ajMj définit un objet intrinsèque (c’est à dire indépendant du repère) si et

seulement si∑aj = 0 (définissant un vecteur) ou

∑aj = 1 (définissant un point).

2.3 Conjugaison et module

Definition 2.3.1. On définit i par i ~v est le vecteur obtenu en faisant pivoter ~v d’un quart detour.

Proposition 2.3.2. On a donc i2 = −1, parce que un quart de tour suivi d’un autre quart detour, cela fait un demi-tour.

Definition 2.3.3. conjugaison. Si l’on regarde le plan "par en-dessous", l’orientation change eti est remplacé par −i : c’est la conjugaison, définie par a+ i b = a− i b (pour a, b ∈ R).

Theorem 2.3.4. conjugaison. On a z1 + z2 = z1 + z2 et z1 × z2 = z1 × z2.

Démonstration. En effet, la conjugaison consiste à regarder le même spectacle, mais en se plaçantsoit d’un côté du plan, soit de l’autre côté.

Definition 2.3.5. On pose <z = x (partie réelle) et =z = y (partie imaginaire). On remarqueraque la partie imaginaire est un réel (c’est ennuyeux, mais c’est comme cela).

Proposition 2.3.6. Formules. <z = 12 (z + z) et =z = 1

2 i (z − z).

Theorem 2.3.7. Théorème de Pythagore. On a OM2 = x2 + y2 = (x+ i y) (x− i y) = z z.

Definition 2.3.8. module. On pose |z| =√z z =

√x2 + y2.

Exercise 2.3.9. Calculer les modules de 3 + 4i, 5 + 12i, 2 + i, 56− 33i.

Proposition 2.3.10. module. On a ∀z ∈ C : 0 ≤ |z| et (z = 0)⇔ (|z| = 0).

Exercise 2.3.11. Trouver z tel que |z + 5| = |z − i|.

2.4. Angles et cercles 15

Exercise 2.3.12. Montrer que, pour tous z1, z2 ∈ C, on a : |z1 + z2|2+|z1 − z2|2 = 2(|z1|2 + |z2|2

).

Interprétation géométrique ?

Theorem 2.3.13. inverse. Tout complexe non nul possède un inverse, à savoir 1|z|2 z.

Remark 2.3.14. rappel: un théorème n’est pas quelque chose de difficile à prouver, mais quelquechose ayant de grandes conséquences.

Exercise 2.3.15. Simplifier 1+cosx+i sinx1−cosx−i sinx

2.4 Angles et cercles

Definition 2.4.1. partie unitaire. Pour z 6= 0, on pose u(z) = z ÷ |z|.Exercise 2.4.2. Vérifier que u(z) est unitaire, c’est à dire que |u(z)| = 1 (cercle trigonomé-trique).

Exercise 2.4.3. Module et argument de 11+i tanx .

Theorem 2.4.4. écriture multiplicative. Tout complexe z non nul s’écrit z = k u avec k > 0,u ∈ U. Cette décomposition est unique et de plus (k1 u1) (k2 u2) = (k1 k2) (u1 u2) : isomorphisme.

Proposition 2.4.5. Transformation M 7→ zM . Pour k > 0 fixé, la transformation plane M 7→kM est une homothétie. Pour u ∈ U fixé, la transformation plane M 7→ uM est une rotation.Dans le cas général, M 7→ zM définit une similitude (conservation des angles et proportionnalitédes longueurs).

Exercise 2.4.6. Tracer le carré 1 + i, 2 + i, 2 + 2i, 1 + 2i. Déterminer et tracer son produit par3+4i5 (on trouve un carré de même taille), puis par −2 + i (on trouve un carré plus grand).

Theorem 2.4.7. Al Kashi. Dans un triangle de côtés a, b, c on a cos A = b2+c2−a22b c .

Exercise 2.4.8. Retrouver cette formule en calculant le carré scalaire de−−→BC =

−−→BA+

−→AC.

Proposition 2.4.9. Projection stéréographique. On considère (Fig. 2.2) les points M (c, s) etS (−1, 0) du cercle trigonométrique. On appelle P le point (SM)∩iR, avec P (0, i t). On trouve :

c =1− t2

1 + t2, s =

2t

1 + t2

O A

P

M

S

Figure 2.2 – Théorème de l’angle au centre.

Theorem 2.4.10. Théorème de l’angle au centre. Les formules ci-dessus montrent que l’angleASM est la moitié de l’angle AOM . Plus précisément, on a

((SA) , (SM)) =1

2

(−→OA,

−−→OM

)l’angle

(−→OA,

−−→OM

)étant un angle orienté de vecteurs non nuls, défini à un tour près par sinus

et cosinus (i.e. par w = c + i s) et l’angle ((SA) , (SM)) étant un angle de droites, défini à undemi-tour près par une tangente (i.e. t ∈ R ∪ ∞ ).

16 2.5. Racines carrées

2.5 Racines carrées

Fact 2.5.1. Tout réel positif est le carré d’un et d’un seul réel positif que l’on appelle sa racinecarrée. Le symbole

√x est réservé à cet usage.

Remark 2.5.2. Cette propriété est fondamentale (et difficile à prouver correctement. Sans elle,pas de module des nombres complexes... et donc pas de nombres complexes tout court.

Theorem 2.5.3. racine carrée complexe. Tout nombre complexe z 6= 0 possède deux racinescarrées (complexes). Ces deux racines sont opposées.

v

N

O A

P

M

Figure 2.3 – Racine carrée d’un nombre complexe.

Proposition 2.5.4. Méthode de calcul. On décompose z en z = |z| w avec |z| > 0 et w ∈ U,c’est à dire |w| = 1. Un nombre ζ tel que ζ2 = z se décompose en ζ = k v. Par identification, ona w = v2 et |z| = k2. On a donc (dans R+) k =

√|z|.

Supposons w 6= −1 et appelons N (Fig. 2.3) le point ayant 1+w pour affixe. Alors la droite (ON)

est la bissectrice de l’angle(−→OA,

−−→OM

). Elle coupe le cercle en deux points opposés, qui sont les

points v et −v cherchés. D’où la formule

ζ, −ζ = ± z + |z||z + |z||

√|z|

Exercise 2.5.5. Calculer les racines carrées des nombres 3 + 4i, 4 + 3i, 2 + 3i

Theorem 2.5.6. (d’Alembert). Tout polynôme complexe possède exactement autant de racines(complexes) que son degré (en convenant de compter multiplement les racines multiples).

Exercise 2.5.7. Montrer que l’équation a z2 + b z + c = 0 avec a, b, c ∈ C (et a 6= 0) se résoutpar les formules habituelles. Exemple : (1 + i) z2 + (4− 2i) z + (−9− 7i).

Exercise 2.5.8. L’équation z3 − (3 + 2i) z2 + (3 + 11i) z − 2 (1 + 7i) = 0 a-t-elle des racinesréelles ? Résoudre. De même avec z3 − (4 + 4i) z2 − (2− 8i) z + 12 = 0.

Exercise 2.5.9. Soit z = exp(i2π7). On pose S = z + z2 + z4 et T = z3 + z5 + z6. Montrer que

S, T sont conjugués et que = (S) > 0. Calculer S + T et S T . Conclure.

Exercise 2.5.10. Soit P (z) un polynôme du troisième degré à coefficients complexes. Montrerque les racines de P ′ (z) appartiennent au triangle déterminé par les racines de P (z).

Chapitre 3

Cycles et homographies

3.1 Similitudes

Definition 3.1.1. similitude. C’est le nom donné aux transformations C → C : z 7→ a z + bpour a 6= 0 et a, b ∈ C fixés.

Proposition 3.1.2. Propriétés. Une similitude est une bijection (par définition, a 6= 0).

Exercise 3.1.3. Montrer que l’ensemble des similitudes est un groupe. En particulier, déterminerla transformation inverse d’une similitude donnée.

Proposition 3.1.4. Point fixe d’une similitude. Pour l’identité, tous les points sont fixes. Pourune "vraie" translation, aucun point de C n’est fixe. Et lorsque a 6= 1, il y a exactement un pointfixe.

Theorem 3.1.5. Théorème : caractérisation. La donnée de z1 6= z2 et de ζ1 6= ζ2 caractériseune similitude. Autrement dit, il existe une et une seule similitude σ telle que σ (z1) = ζ1 etσ (z2) = ζ2.

Exercise 3.1.6. Vérifier ce théorème en calculant les coefficients a, b de cette similitude.

Theorem 3.1.7. triangles semblables. Le triplet de points distincts (z1, z2, z3) peut être envoyépar une similitude sur le triplet de points distincts (ζ1, ζ2, ζ3) si et seulement si∣∣∣∣∣∣

ζ1 ζ2 ζ3z1 z2 z31 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

Exercise 3.1.8. Démontrer ce théorème en montrant que le système t ζi + a zi + b× 1 ; i = 1, 2, 3doit avoir (−1, a, b) pour solution, en plus de la solution évidente (0, 0, 0).

Proposition 3.1.9. Invariant de similitude. La quantité c−ab−a caractérise les triangles qui sont

semblables à un triangle donné. Plus précisément,∣∣∣ c−ab−a

∣∣∣ caractérise la proportion entre les côtés

ab et ac, tandis que u(c−ab−a

)caractérise l’angle orienté bac.

Exercise 3.1.10. Montrer que a2+b2+c2−a b−b c−c a = 0 caractérise les triangles équilatéraux.

Exercise 3.1.11. Soient A (−1 + i), B (2− i), M (z) et w = 1 + i. Caractériser les points telsque

∣∣∣ z−zAz−zB

∣∣∣ = |w|, u(z−zAz−zB

)= u(w), z−zA

z−zB = w.

3.2 Cycles

Definition 3.2.1. Plan complété. C = C ∪ ∞, avec ∞ /∈ C.

Remark 3.2.2. Ce n’est pas "presque un plan". En fait, c’est une sphère. Non pas presque unesphère, mais une sphère pour de bon, à la façon de la planète Terre.

17

18 3.2. Cycles

Definition 3.2.3. cycle. Un cycle est soit un cercle ordinaire, soit une droite complétée par∞ ∈ C.

Proposition 3.2.4. droite définie par deux points distincts. Les points M = x+ i y de la droite(AB) définie par A = a+ i α 6= B = b+ i β (les x, y, a, α, b, β sont des coordonnées, c’est à diredes réels) sont caractérisés par : ∣∣∣∣∣∣

x y 1a α 1b β 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

Proposition 3.2.5. cycle défini par trois points distincts. Trois points M1, M2, M3 de C (deuxà deux distincts) définissent un cycle. Lorsque ces trois points sont à distance finie, l’équation ducycle est : ∣∣∣∣∣∣∣∣

x2 + y2 x y 1x21 + y21 x1 y1 1x22 + y22 x2 y2 1x23 + y23 x3 y3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 ou bien

∣∣∣∣∣∣∣∣zz z z 1z1z1 z1 z1 1z2z2 z2 z2 1z3z3 z3 z3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

Example 3.2.6. On considère les points 2 − 3 I, −1 + 2 I, 1 + I, x + I y. L’équation ci-dessus

s’écrit :

∣∣∣∣∣∣∣∣x2 + y2 x y 1

13 2 −3 15 −1 2 12 1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0, se développe en

(x2 + y2

) ∣∣∣∣∣∣2 −3 1−1 2 1

1 1 1

∣∣∣∣∣∣− x∣∣∣∣∣∣

13 −3 15 2 12 1 1

∣∣∣∣∣∣+ y

∣∣∣∣∣∣13 2 15 −1 12 1 1

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣13 2 −35 −1 22 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

soit 7x2 + 7 y2 + 23x+ 25 y− 62 = 0. Que l’on réécrit en(x+ 23

14

)2+(y + 25

14

)2 − 144598 = 0 pour

faire apparaître le centre ω = −2314 −

2514 i et le rayon ρ =

√144598 .

Exercise 3.2.7. Reprendre les calculs pour le cycle défini par les points 1− i, 2 + i et −3 + 2i.

Exercise 3.2.8. Démontrer cette formule. Examiner le cas des points alignés.

Proposition 3.2.9. angles inscrits. Soient A, B, M non alignés, et Ω le centre de leur cerclecirconscrit. Alors ((MA) , (MB)) = 1

2

(−→ΩA,

−→ΩB).

Exercise 3.2.10. Démontrer cette formule (se ramener au cercle trigonométrique, et décomposer(z − zA) / (z − zB) en module fois partie unitaire).

Theorem 3.2.11. arc capable. L’ensemble des points M tels que(−−→MA,

−−→MB

)= α, c’est à dire

u(z−zAz−zB

)= Cte est un arc de cercle limité par les points A et B (supposés distincts). Le centre

de l’arc est sur la médiatrice de [A, B].

Exercise 3.2.12. Enoncer clairement ce qui se passe pour α = 0 et α = π.

Theorem 3.2.13. cercle de Poncelet. L’ensemble des points M tels que MA/MB = k (ou, defaçon équivalente, tels que

∣∣∣ z−zAz−zB

∣∣∣ = k) est la médiatrice de [A, B] lorsque k = 1 et sinon estun cercle contenant l’un des deux points à son intérieur. Le centre de ce cercle est sur la droite(AB).

Exercise 3.2.14. Démontrer ces deux théorèmes en utilisant la propriété des angles inscrits.

Proposition 3.2.15. points cocycliques. Quatre points distincts A, B, C, D sont cocycliques siet seulement si

(−→CA,

−−→CB

)=(−−→DA,

−−→DB

)ou(−→CA,

−−→CB

)=(−−→DA,

−−→DB

)+ π. Dans le premier

cas C, D sont sur le même arc︷︸︸︷AB et dans le deuxième cas, il y en a un sur chaque arc.

3.3. Homographies : définitions 19

Definition 3.2.16. birapport. Le birapport de quatre points z1, z2, z3, z4 ∈ C dont au moinstrois sont distincts se définit par

β (z1, z2, z3, z4) =z4 − z2z4 − z1

÷ z3 − z2z3 − z1

Exercise 3.2.17. Examiner les cas particuliers : points confondus, point(s) à l’infini.

Exercise 3.2.18. Montrer que les 24 permutations des quatre points ne conduisent pas à plusde six valeurs du birapport. Déterminer les cas particuliers, c’est à dire ceux pour lesquels il y amoins de six valeurs distinctes.

Theorem 3.2.19. La cocyclicité est caractérisée par la réalité du birapport. Le pointz ∈ C appartient au cycle défini par les trois points distincts z1, z2, z3 ∈ C si et seulement siβ (z1, z2, z3, z) appartient au cycle des réels, c’est à dire β (z1, z2, z3, z) ∈ R ∪ ∞

Exercise 3.2.20. Vérifier que cet énoncé gère tous les cas particuliers : points alignés, pointsà l’infini, point z confondu avec l’un des trois autres.

Exercise 3.2.21. Calculer le birapport des points 1, i, −1, −i.

Exercise 3.2.22. Reprendre les calculs de l’exemple 2 − 3 I, −1 + 2 I, 1 + I, x + I y. Vérifierque l’on obtient la même équation.

Exercise 3.2.23. Montrer que "β appartient au cycle imaginaire", c’est à dire β (z1, z2, z3, z) ∈iR ∪ ∞ définit un autre cycle. Comment se place-t-il par rapport au cycle (z1, z2, z3) ?

3.3 Homographies : définitions

Objectif : déterminer les transformations cycliques de C, c’est à dire celles qui transformenttout cycle en un cycle.

Definition 3.3.1. Définition : homographie. Une homographie est l’application h : C → Cassociée à la formule z 7→ a z+b

c z+d les constantes a, b, c, d vérifiant la relation a d − b c 6= 0. Plusprécisément :

1. pour c = 0, on pose h (∞) =∞ et sinon h (z) = ad z+ b

d (vu la définition, on a d 6= 0 et hest une similitude, car a

d 6= 0).

2. pour c 6= 0, on pose h (∞) = ac , h

(−dc

)=∞ et sinon h (z) = a z+b

c z+d .

Proposition 3.3.2. formules de variation (pour c 6= 0).

h (∞)− h (z) =a d− b cc (c z + d)

et h (z1)− h (z2) = (z1 − z2)a d− b c

(c z1 + d) (c z2 + d)

Theorem 3.3.3. les homographies sont des bijections C → C.

Démonstration. Tel est déjà le cas pour les similitudes. Lorsque c 6= 0, les formules de variationprouvent l’injectivité (car a d− b c 6= 0). La surjectivité peut être montrée en composant h avecζ 7→ d ζ−b

−c ζ+a .

Exercise 3.3.4. Image de la droite iR, des droites k + iR par la transformation h (z) = z+1z+2 .

On commencera par calculer et placer un certain nombre de points.

Exercise 3.3.5. Même question pour les droites R + k i et la transformation h (z) = z−iz+i .

Definition 3.3.6. pôle. Le pôle d’une homographie est le point ∞ pour une similitude, et −dc

sinon.

20 3.4. Un exemple : l’algorithme de la racine carrée (Newton)

Proposition 3.3.7. composition. Les homographies se composent comme les matrices et on a :(z 7→ αz + β

γz + δ

)(z 7→ az + b

cz + d

)=

(z 7→ Az +B

Cz +D

)avec

(A BC D

)=

(α βγ δ

)(a bc d

)Exercise 3.3.8. Examiner le lien entre cette proposition et le déterminant des matrices concer-nées.

Exercise 3.3.9. Démontrer cette formule en décomposant h en h = pφq avec q : z 7→(z1

),

φ :

(z1

)7→(ζ1ζ2

)=

(a bc d

)(z1

)et enfin p :

(ζ1ζ2

)7→ ζ = ζ1

ζ2. On traitera à part les

cas particuliers (pôle et infini).

Exercise 3.3.10. Examiner les problèmes d’unicité dans l’exercice précédent. En particulier, on

remarquera que q : z 7→(k zk

)ferait tout aussi bien l’affaire.

Theorem 3.3.11. l’ensemble des homographies est un groupe de bijections agissant sur C.

3.4 Un exemple : l’algorithme de la racine carrée (Newton)

1. Pour a ∈ C fixé, on appelle algorithme de Newton la suite des images itérées d’un certainnombre z0 par la fonction new : new (z) = 1

2

(z + a

z

). On a donc zn+1 = new (zn) 1.

2. Pour a = 2 + I et les points de départ z0 = 1 ou z0 = i, on obtient les résultats suivants :

1.1.500000000 + .5000000000 I1.450000000 + .3500000000 I1.455337079 + .3435393258 I1.455346690 + .3435607498 I1.455346690 + .3435607497 I1.455346690 + .3435607496 I1.455346690 + .3435607496 I

,

1. I.5000000000− .5000000000 I.7500000000 + 1.250000000 I1.022058823 + .2132352942 I1.546442566 + .3798048309 I1.457971100 + .3450512174 I1.455348807 + .3435629317 I1.455346690 + .3435607496 I

On constate une convergence rapide vers un nombre qui est l’une des racines carrées dunombre a.

Exercise 3.4.1. Reprendre les calculs pour a = 1− 2i et les mêmes z0.

3. Soit α l’une des racines carrées de a (l’existence de α a été prouvée par ailleurs) eth : z 7→ ζ = z−α

z+α . L’objectif est d’envoyer l’un des points remarquables sur 0 et l’autresur ∞. La bijection réciproque est h−1 : ζ 7→ z = α1+ζ

1−ζ . Définissons ζn par ζn = h (zn).

4. On peut calculer directement ζn+1 à partir de ζn par la formule ζn+1 =(h new h−1

)(ζn).

Le calcul donne : ζn+1 = ζ2n. On voit donc que |ζ0| < 1 implique ζn → 0 et donc z → α,tandis que |ζ0| > 1 implique ζn →∞ et donc z → −α.

5. Dans les deux cas, la convergence est très rapide : le nombre de décimales exactes doubleà chaque fois. Dans l’exemple, z0 = 1 aboutit légèrement plus rapidement que z0 = iparce que les valeurs respectives de ζ0 sont ≈ 0.23 et ≈ 0.81.

6. Il reste un mauvais cas : |ζ0| = 1. Le point z0 est à égale distance des deux solutions pos-sibles... et les zn continuent à vérifier cette propriété : ils restent confinés sur la médiatricedu segment [+α, −α].

Exercise 3.4.2. Il est clair que l’algorithme repose sur un choix optimal de la fonction new.Comment choisir cette fonction pour résoudre, en général, une équation f (z) = 0 ?

1. Il paraît qu’il n’est pas totalement évident que "new" est un "joke" entre new=nouveau et New, premièresyllabe de Newton, Isaac, l’homme à la pomme.

3.5. Les homographies conservent les cycles 21

3.5 Les homographies conservent les cycles

Theorem 3.5.1. une homographie conserve le birapport. Autrement dit,

β (z1, z2, z3, z4) = β (h (z1) , h (z2) , h (z3) , h (z4))

dès que trois au moins des points sont distincts.

Exercise 3.5.2. Démontrer ce résultat en séparant le cas des similitudes et le cas général.

Theorem 3.5.3. une homographie transforme un cycle en un cycle.

Exercise 3.5.4. Vérifier qu’il s’agit d’une application immédiate du théorème précédent

Exercise 3.5.5. Déterminer toutes les homographies qui conservent globalement le cycle réel,c.à.d. h (R ∪ ∞) = R ∪ ∞.

Exercise 3.5.6. Même question pour le cycle imaginaire et pour le cercle unité.

Theorem 3.5.7. une homographie est caractérisée par la donnée de trois points distincts et deleurs images. Et h (z) est caractérisé par β (h (z1) , h (z2) , h (z3) , h (z)) = β (z1, z2, z3, z).

Exercise 3.5.8. Prendre pour exemple 1+ i 7→ 0, 1− i 7→ ∞, 2 7→ 1. On trouve h (z) = i z−(1+i)z−(1−i) .

Proposition 3.5.9. Formule : pour a 6= b, les homographies a 7→ 0, b 7→ ∞ s’écrivent h (z) =Cte z−az−b (la constante est déterminée par le troisième point).

Definition 3.5.10. transformation conforme. On appelle ainsi une transformation qui conserveles angles entre les courbes. On prendra garde au fait que la droite tangente à l’image d’unecourbe n’a aucune raison d’être l’image de la droite tangente à la courbe originelle : il s’agit doncd’une propriété locale, concernant des angles ayant des côtés infinitésimaux.

Theorem 3.5.11. une transformation dérivable est conforme en tout point où sa dérivée est nonnulle.

Démonstration. dζ ∼ f ′ (z0) dz définit une similitude.

Example 3.5.12. l’homographie z 7→ z−1z+1 (cf Fig. 3.1).

Exercise 3.5.13. Montrer que toute droite se transforme en un cycle passant par ζ = 1

Exercise 3.5.14. Montrer que tout cycle passant par z = −1 se transforme en une droite

Exercise 3.5.15. Montrer que toutes les droites horizontales se transforment en autant de cyclestangents entre eux

Exercise 3.5.16. Montrer que toutes les droites verticales se transforment en autant de cyclestangents entre eux et orthogonaux aux cycles précédents

Exercise 3.5.17. Considérer en particulier le cycle R + i. Montrer géométriquement qu’il setransforme en le cercle de rayon 1 centré en 1 + i. Vérifier ensuite par report de h (z) dansl’équation du cercle.

3.6 Sphère de Riemann

Definition 3.6.1. sphère de Riemann. Il s’agit de la sphère unité S de R3, c’est à dire a2+b2+c2 =1 considérée comme image du plan complexe C par la projection stéréographique.

Definition 3.6.2. projection stéréographique. Par définition, σ (∞) = S, le point S (0, 0, −1)étant le pôle sud de la sphère. Pour tout autre point M ∈ C (c’est à dire pour M ∈ C !), sonimage P = σ (M) est la deuxième intersection de la droite (SM) et de la sphère S.

22 3.7. Récurrences homographiques

–3

–2

–1

0

1

2

3

–3 –2 –1 1 2 3

–3

–2

–1

0

1

2

3

–1 0 1 2 3 4

Figure 3.1 – Un carré et son image par homographie.

Proposition 3.6.3. Formules directes. Pour z ∈ C, on a

a+ i b =2 z

1 + |z|2, c =

1− |z|2

1 + |z|2, longitude = θ, latitude =

π

2− 2 arctan |z|

Exercise 3.6.4. Vérifier ces formules.

Exercise 3.6.5. Quelle est l’image du cycle réel, du cycle imaginaire, du cercle trigonométrique,du cercle ayant [0, 1] pour diamètre ?

Proposition 3.6.6. Formules réciproques. Pour P ∈ S \ S, on a

x =a

1 + c, y =

b

1 + c, |z|2 =

1− c1 + c

Exercise 3.6.7. Vérifier ces formules.

Theorem 3.6.8. L’image d’un cycle (Γ) de C est un cercle (Θ) de S.

Exercise 3.6.9. Montrer que l’image du cercle x2 + y2 − 2αx− 2β y + γ = 0 est l’intersectionde S et du plan 2αa+ 2β b+ (1− γ) c = 1 + γ. Commencer par traiter un exemple.

Exercise 3.6.10. On appelle Q le point(

2α1+γ ,

2β1+γ ,

1−γ1+γ

). Montrer que OQ ≥ 1 et que Q ∈ S

équivaut à ρ = 0 (ρ est le rayon du cercle Γ, vérifiant donc γ = α2 + β2 − ρ2) .

Exercise 3.6.11. Montrer que le centre θ de Θ est sur la droite (OQ), tandis que l’image σ (ω)du centre ω de Γ est sur la droite (SQ).

Example 3.6.12. La Fig. 3.2 montre l’image du cercle de centre ω =(13 ,

23

)et de rayon 2

3 .Prendre des points sur ce cercle et calculer leurs images par σ. Vérifier que ces images appar-tiennent au plan prévu.Calculer les coordonnées des points Q, σ (ω), θ. Les vérifier sur le dessin. Écrire et calculer lesdéterminants exprimant les alignements prévus.

3.7 Récurrences homographiques

Objectif. On veut étudier le comportement des suites zn = (hn) (z0), définies par une condi-tion initiale z0 et la récurrence zn+1 = h (zn).

Definition 3.7.1. les points fixes d’une transformation f sont les points z tels que f (z) = z.

Proposition 3.7.2. Si f est continue et si (fn) (z0) admet une limite λ, alors cette limite estun point fixe.

3.7. Récurrences homographiques 23

0 1

0

1

–1

1

a

–1

1b

–1

1

c

Figure 3.2 – Un cercle et sa projection stéréographique.

Proposition 3.7.3. Pour une homographie, l’équation aux points fixes s’écrit c z2+(d− a) z−b =0. Il y a donc le cas particulier c = 0, d = a, b = 0 pour le quel tous les points sont fixes. Etsinon, il y a un point fixe double ou bien deux points fixes distincts selon que le discriminant∆ =

(d−a2

)2+ b c =

(a+d2

)2 − (a d− b c) est nul ou non.

Theorem 3.7.4. Homographies ayant deux points fixes α, β ∈ C. On pose :

ζ.= g (z) =

z − αz − β

; H = g h g−1 ; k =c β + d

cα+ d

g envoie α sur 0, β sur ∞, et l’on a ζn.= g (zn) = (Hn) (ζ0). Comme les points fixes de H sont

0 et ∞, l’homographie H est donc une transformation ζ 7→ k ζ pour un certain k 6= 0. On endéduit :

si |k| < 1 et z0 6= β alors ζn → 0 et zn → αsi |k| > 1 et z0 6= α alors ζn →∞ et zn → βsi k ∈ U \ 1 alors non convergence

Exercise 3.7.5. Vérifier la nature de H en posant le produit :

a b 1 −αc d 1 −β

β −α β a− α c β b− αd −αd− c β α+ β a+ b c α2 + (d− a) α− b1 −1 a− c b− d −c β2 − (d− a) β + b −αa+ c β α− b+ β d

Exercise 3.7.6. Montrer que le multiplicateur k est en fait la dérivée de h en α, c’est à dire quek = a d−b c

(c α+d)2. On pourra utiliser le fait que k est aussi la dérivée de H (en tout point).

Exercise 3.7.7. Traiter l’exemple z0 = 0, h (z) = (2+i)z−iz+1 : calculer les 10 premières valeurs.

Les placer sur un dessin. Déterminer une courbe contenant tous ces points. Déterminer la limite.Que se passe-t-il lorsque l’on part de z0 = 1

5 (1 + 4i).

Theorem 3.7.8. Homographies avec un seul point fixe. Si c = 0, le point fixe double est λ =∞et on a une translation. Sinon, (d− a)2 + 4b c = 0 et λ = a−d

2 c . On définit g par g (z) = 1z−λ .

Posant H = g h g−1, on voit que ∞ est le seul point fixe de H qui est donc une "vraie"translation. D’où ζn → ∞ et zn → λ. On remarquera que h′ (λ) = H ′ (ζ) = 1 : la convergenceest donc très lente.

24 3.7. Récurrences homographiques

Chapitre 4

Séries génératrices

4.1 Définition et rappels sur les séries

Definition 4.1.1. la série génératrice associée à la suite (un)n∈N est, par définition, la sérieSg (z) =

∑n∈N un z

n.

Remark 4.1.2. Dans cette définition z est un nombre complexe, avec éventuellement une condition|z| < k pour assurer la convergence. Tandis que la suite un est à valeurs dans n’importe quellealgèbre sur C. Par exemple C lui même, ou bien C [X] (les polynômes) ou bien ...

Definition 4.1.3. On appelle sommes partielles de la série∑vn les nombres sn =

∑k=nk=0 vk.

Theorem 4.1.4. Une série à termes positifs converge toujours, soit vers +∞, soit vers un réel,qui est alors la borne supérieure des sn.

Exercise 4.1.5. Montrer que∑ 1

k2→ π2

6 .

Definition 4.1.6. maximum. Soit X une partie non vide de R. Un nombre m vérifiant à la foism ∈ X et X ≤ m, c’est à dire ∀x ∈ X : x ≤ m est appelé un maximum de X. Il est immédiatque le maximum est unique s’il existe.

Definition 4.1.7. borne supérieure. Soit X une partie non vide de R. Un nombre µ vérifiant àla fois X ≤ µ et µ ≤M pour tout majorant M de X est appelé borne supérieure de X.

Proposition 4.1.8. Il est immédiat que la borne supérieure est unique, et que le maximumlorsqu’il existe est aussi la borne supérieure.

Theorem 4.1.9. Toute partie non vide majorée de R admet une borne supérieure.

Exercise 4.1.10. Redémontrer cette propriété en construisant une suite croissante d’élémentsxn ∈ X et une suite décroissante Mn de majorants de X de telle sorte que ces suites soientadjacentes (l’existence d’un x0 et d’un M0 sont données par l’hypothèse).

Theorem 4.1.11. Une série normalement convergente est convergente, c’est à dire : la conver-gence de la série

∑|un| implique la convergence de

∑un.

Exercise 4.1.12. Redémontrer cette propriété en remarquant que |sn+p − sn| ≤∑k=n+p

k=n |uk| eten utilisant le critère de Cauchy.

Example 4.1.13. La série harmonique. Par définition, Hn =∑n

11k . La propriété est que Hn →

∞.

Exercise 4.1.14. Démontrer ce résultat en prouvant que H2p > (p+ 1) /2.

Definition 4.1.15. Série alternée. Il s’agit d’un cas tout à fait spécial de séries à termes réels,définie par un décroît vers 0, i.e. un+1 ≤ un et un → 0.

Exercise 4.1.16. Démontrer que toute série alternée admet une limite λ, vérifiant en outreλ ∈ [un, un+1] pour tout n (il est rappelé que la notation [a, b] ne suppose pas que a ≤ b).

Exercise 4.1.17. Quelle est la limite de la série harmonique alternée ?

25

26 4.4. Les polynômes de Chebyschev

4.2 Propriétés élémentaires des séries génératrices

Proposition 4.2.1. Proposition. La série génératrice de la suite n 7→ 1 est S (z) = 11−z .

Proposition 4.2.2. Proposition. La série génératrice de la suite n 7→ n est S (z) = z(1−z)2 .

Exercise 4.2.3. Démontrer ce résultat par un développement limité de la série proposée.

Proposition 4.2.4. La série génératrice S (u+ v) (n) de la suite n 7→ un + vn est la somme desséries génératrices des suites n 7→ un et n 7→ vn. Autrement dit :

S (u+ v) (z) = S (u) (z) + S (v) (z)

Proposition 4.2.5. Le produit des séries génératrices est la série génératrice de la convolutiondes deux suites, i.e. la série génératrice de la suite n 7→ wn =

∑n0 uk vn−k (cette règle est

exactement celle que l’on applique pour le produit de deux polynômes). Autrement dit :

S (u ? v) (z) = S (u) (z)× S (v) (z)

Proposition 4.2.6. Le produit par z traduit un décalage d’un cran vers la droite de la suiteoriginelle (on convient de ce que les termes de rang négatif sont nuls). Autrement dit :

z × S (n 7→ un) (z) = S (n 7→ un−1) (z)

Proposition 4.2.7. Décalage à gauche. On a :

S (n 7→ un+1) (z) =1

z× (S (n 7→ un) (z)− u0)

Proposition 4.2.8. La série génératrice de la suite nun est donnée par :

S (n 7→ nun) (z) = z × d

d z(S (n 7→ un) (z))

4.3 Exemples élémentaires

Exercise 4.3.1. S (n) (z) = z(1−z)2 . Méthode : on dérive S (1) (z) = 1

1−z . Ne pas oublier dere-multiplier par z, car la dérivation décale les termes d’un cran vers la gauche.

Exercise 4.3.2. S (n+ 1) (z) = 1(1−z)2 . Méthode : on remarque que (n 7→ n+ 1) = (n 7→ 1) ?

(n 7→ 1), puisque n + 1 =∑k=n

k=0 (1× 1). Remarque: On peut passer de (1) à (2) par la règle dedécalage.

Exercise 4.3.3. S (n 7→ n (n− 1)) = 2z2

(1−z)3 . Méthode : on dérive deux fois S (1) (z).

Exercise 4.3.4. S(n 7→ 1

2n (n+ 1))

= z(1−z)3 . Méthode : on remarque que

∑k=nk=0 (1× k) =

n(n+1)2 et l’on procède par convolution.

Exercise 4.3.5. Calculer de différentes façons S(n2)

(z).

Exercise 4.3.6. De même, calculer S(n 7→ n3

)(z) et S

(n 7→ n4

)(z).

4.4 Les polynômes de Chebyschev

Proposition 4.4.1. cos (n t) s’exprime polynomialement à partir de cos t.

Proposition 4.4.2. sin (n t)÷ sin t s’exprime polynomialement à partir de cos t.

Definition 4.4.3. Définition. On appelle polynômes de Chebyschev (de première espèce) lespolynômes Tn (X) ∈ C [X] tels que cos (n t) = Tn (cos t).

4.5. Séries génératrices et stats-probas 27

Exercise 4.4.4. Déterminer les polynômes T0 à T5.

Exercise 4.4.5. Démontrer les deux propositions ci-dessus en partant de la formule exp (i t) =cos t+ i sin t.

Definition 4.4.6. On appelle polynômes de Gegenbauer les polynômes Un (X) ∈ C [X] tels quesin ((n+ 1) t) = sin t× Un (cos t).

Exercise 4.4.7. Déterminer les polynômes U0 à U5.

Exercise 4.4.8. Montrer que les polynômes Tn et Un sont de degré n (attention aux décalages :U2 est de degré 2, mais concerne sin 3t !).

Lemma 4.4.9. Une formule de trigo. On a cos p+ cos q = 2 cos p+q2 cos p−q2 .

Exercise 4.4.10. Retrouver ce résultat à partir de la formule de Moivre.

Proposition 4.4.11. Formule de récurrence. On a donc Tn−1 (cos t)+Tn+1 (cos t) = 2 cos t Tn (cos t),et par prolongement des identités :

Tn+1 (X) + Tn−1 (X) = 2X Tn (X)

Proposition 4.4.12. Série génératrice. On multiplie par zn et on somme pour 1 ≤ n. Il vient∑1 z

n Tn+1 +∑

1 zn Tn−1 − 2X

∑1 z

nTn = 0, soit 1z

∑2 z

n Tn + z∑

0 zn Tn − 2X

∑1 z

n Tn = 0En posant

∑0 z

n Tn = S (z), on obtient S (z)×(1z + z − 2X

)= 1

z (T0 + z T1)− 2X T0 = 1z −X.

Finalement :S (Tn) (z)

.=∑n∈N

zn Tn (X) =1− z X

1− 2z X + z2

Exercise 4.4.13. Déterminer de même la série génératrice des Un. On constatera qu’il s’agit dela même récurrence, avec des conditions initiales différentes.

4.5 Séries génératrices et stats-probas

Reprise du cours de statistiques et probabilités du premier semestre.

Definition 4.5.1. série génératrice associée à une variable discrète X. Pour z ∈ C, on pose :S (z) =

∑k Pr (X = k) zk Une telle série converge uniformément pour |z| ≤ 1− ε.

Exercise 4.5.2. Vérifier que, pour la loi de Bernoulli, S (z) = q + p z.

Proposition 4.5.3. Pour une variable discrète, on aS (1) =

∑k Pr (X = k) = 1,

S′ (1) =∑

k k Pr (X = k) = E (X) etS′′ (1) =

∑k k (k − 1)Pr (X = k) = E (X (X − 1)). On a donc :

E (X) = S′ (1) et var (X) = S′′ (1) + S′ (1)−(S′ (1)

)2Exercise 4.5.4. exo 1. Vérifier ces formules pour la loi de Bernoulli.

Lemma 4.5.5. Rappel (TeAF). Si la fonction f est dérivable sur ]a, b[ et de plus est continueaux bornes, il existe c ∈ ]a, b[ tel que f (b) = f (a) + (b− a) f ′ (c). Bien entendu, on supposea 6= b...

Lemma 4.5.6. Rappel (L’Hôpital). Si les fonctions f et g sont dérivables sur ]a, b[, continuesaux bornes et si de plus g′ ne s’annule jamais, il existe c ∈ ]a, b[ tel que f(b)−f(a)

g(b)−g(a) = f ′(c)g′(c) . Bien

entendu, on suppose a 6= b...

Exercise 4.5.7. Vérifier que la série génératrice d’une variable uniforme sur 1, 2, · · · , m estS (z) = zm+1−z

z−1 . Combiner ce résultat avec la règle de L’Hôpital pour retrouver les paramètres dedispersion.

28 4.5. Séries génératrices et stats-probas

Theorem 4.5.8. La série génératrice de la somme de deux variables aléatoires discrètes indé-pendantes est le produit des séries génératrices.

Lemma 4.5.9. Rappel : loi binomiale. Une variable binomiale K décrit le nombre de succès enn épreuves de Bernoulli indépendantes, la probabilité de chaque succès individuel étant p.Formules : Pr (K = k) =

(nk

)pkqn−k et E (K) = n p, var (K) = n p q.

Exercise 4.5.10. Vérifier que S (z) = (q + p z)n. Utilisation pour retrouver E (K) et var (K).

Lemma 4.5.11. Rappel : loi hypergéométrique. Définition : on prélève, sans remise et avec uneprobabilité uniforme, un échantillon de taille n au sein d’une population de N individus. Ons’intéresse à un certain caractère binaire (i.e. présent ou absent), et on appelle m le nombred’occurences de ce caractère dans l’échantillon et p sa prévalence (fréquence) dans la population.La loi hypergéométrique Hyp (N, n, p) est Pr (M = m) =

(N pm

)×(N qn−m

)÷(Nn

)Formules : E (X) = np et var (X) = n p q N−nN−1 .

Exercise 4.5.12. Déterminer la série génératrice associée. Commencer par des exemples.

Lemma 4.5.13. Rappel : loi de Poisson. Il s’agit de la loi limite d’une loi binomiale pour laquellen p→ λ (ni nul ni infini) tandis que n→∞.Formules : Pr (K = k) = λk

k! exp (−λ), E (K) = λ et var (K) = λ.

Exercise 4.5.14. Vérifier que la série génératrice associée est expλ (z − 1). Utiliser cette sériepour retrouver les paramètres de dispersion.

Chapitre 5

Séries de Fourier

5.1 Quelques rappels

Definition 5.1.1. espace vectoriel. Dire que l’ensembleE, ou plus précisément le triplet (E, +, .),est un espace vectoriel sur C veut dire que :

1. + est une opération E×E → E avec les propriétés usuelles d’associativité : (u+ v)+w =

u + (v + w), de commutativité : v + w = w + v, l’existence d’un neutre noté−→0 ou 0E

ou même 0 tel que u + 0 = 0 + u = u, existence d’un opposé pour chaque vecteur avecu+ (−u) = 0.

2. . est une opération C × E → E avec les propriétés usuelles de linéarité (λ+ µ) .v =λ.v+µ.v et λ. (u+ v) = (λ.u)+(λ.v), d’associativité (λµ) .v = λ. (µ.v), ainsi que 1.v = v

Definition 5.1.2. distance. Une distance d sur un ensemble E est une application E ×E → Rayant les propriétés suivantes :

1. définie positive, i.e. : d (x, y) ≥ 0 et d (x, y) = 0 équivaut à x = y.2. symétrique, i.e. : d (x, y) = d (y, x).3. Inégalité triangulaire, i.e. : d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y)

Exercise 5.1.3. Vérifier que d (x, x) = 0 et d (x, y) = 1 si x 6= y définit une distance surn’importe quel ensemble.

Exercise 5.1.4. Vérifier que d (x, y) = 2 |x−y|√1+|x|2

√1+|y|2

, prolongée par d (x, ∞) = 2√1+|x|2

définit

une distance sur C.

Definition 5.1.5. Définition : norme. Une norme sur un espace vectoriel E est une applicationE → R : v 7→ |v| vérifiant :

1. définie positive, i.e. : |v| ≥ 0 et |v| = 0 équivaut à v = 0.2. lien avec les homothéties, i.e. : |λ v| = |λ| |v|.3. Inégalité triangulaire, i.e. : |u+ v| ≤ |u|+ |v|

Exercise 5.1.6. Dans E = R3, vérifier que |v|1 = |x|+ |y|+ |z| définit une norme.

Exercise 5.1.7. Dans E = R3, vérifier que |v|∞ = max (|x| , |y| , |z|) définit une norme.

Theorem 5.1.8. Si |.| est une norme sur l’espace vectoriel E, alors l’application (u, v) 7→ |u− v|définit une distance.

5.2 Produit scalaire

Definition 5.2.1. Un produit scalaire sur un espace vectoriel E est une application E × E →C : (u, v) 7→ 〈u | v〉 ayant les propriétés suivantes :

1. distributivité : 〈u+ v | w〉 = 〈u | w〉+ 〈v | w〉

29

30 5.3. Gramm-Schmidt par l’exemple

2. semi-commutativité : 〈v | u〉 = 〈u | v〉3. lien avec les homothéties : 〈u | λ v〉 = λ 〈u | v〉 et donc 〈µu | v〉 = µ 〈u | v〉4. positivité stricte : 〈u | u〉 ≥ 0 et 〈u | u〉 = 0 équivaut à u = 0.

Exercise 5.2.2. Vérifier que (x, y) 7→ x y définit un produit scalaire sur l’espace vectoriel réelR.

Exercise 5.2.3. Vérifier que (x, y) 7→ x y définit un produit scalaire sur l’espace vectoriel réelC.

Exercise 5.2.4. On se place dans l’espace vectoriel complexe E = C2, et on note −→v = (z, ζ).Montrer que (−→v1 , −→v2) 7→ z1 z2 + ζ1 ζ2 est un produit scalaire.

Remark 5.2.5. le terme "produit hermitien" est également utilisé pour les espaces vectorielscomplexes.

Theorem 5.2.6. On considère l’espace vectoriel E des fonctions continues à valeurs complexesdéfinies sur un intervalle réel [a, b], avec a < b. Alors

(f, g) 7→∫ b

aµ (t) f (t)g (t) dt

définit un produit scalaire sur E à condition que le poids µ soit positif sur [a, b] et ne s’annulequ’en des points isolés.

Theorem 5.2.7. Si 〈. | .〉 est un produit scalaire, alors u 7→√〈u | u〉 est une norme, appelée

norme quadratique, ou encore "norme 2", ou "norme euclidienne".

Definition 5.2.8. Dans un espace vectoriel réel, on appelle angle non orienté de deux vecteursl’angle (compris entre 0 et 180 degrés) défini par

cos θ =〈u | v〉√

〈u | u〉√〈v | v〉

Exercise 5.2.9. Vérifier que ce quotient est effectivement compris entre −1 et +1.

5.3 Gramm-Schmidt par l’exemple

On considère l’espace vectoriel réel E = R2 [x] des fonctions polynomiales de degré deux auplus, et on pose 〈f | g〉 =

∫ 10 f (t) g (t) dt.

On prendra garde au fait que, pour des polynômes, la numérotation des vecteurs, de mêmeque celle des lignes et des colonnes des matrices, commence à 0, de façon à avoir la même valeurpour le numéro et pour le degré des polynômes. En particulier, R2 [x] est un espace de dimension3.

Remark 5.3.1. La lettre x désigne ici l’application identique −→x = t 7→ t ∈ E, et il convient dedistinguer entre 1 ∈ R et 1 ∈ E, car ce 1 là est en fait

−→1 = (t 7→ 1).

Definition 5.3.2. Décomposition. Un élément f ∈ E s’écrit f = a x2+b x+c =(1, x, x2

) cba

.

On pose de même g = αx2 + β x+ γ =(1, x, x2

) γβα

.

Definition 5.3.3. Matrice de Gramm. Le produit scalaire 〈f | g〉 =⟨a x2 + b x+ c | αx2 + β x+ γ

⟩se développe en une somme de 9 termes. On voit mieux ce qui se passe en l’écrivant sous la forme⟨

(c, b, a)

1xx2

∣∣∣∣∣∣(1, x, x2) γ

βα

⟩ = (c, b, a) G

γβα

5.4. Parseval par l’exemple 31

dans laquelle la matrice G (matrice de Gramm) est la matrice définie par

G =

1xx2

⊗ (1, x, x2) =(⟨xj | xk

⟩)0≤j, k≤2

1. Méthode de Schmidt (objectif poursuivi). On cherche une base (ej) telle que la matricede Gramm correspondante G ait une forme plus simple que G, c’est à dire soit diagonale.

2. Méthode de Schmidt. On redresse successivement les vecteurs de la base initiale. Oncommence donc par garder le premier vecteur e0 =

−→1 . Puis on redresse le deuxième

vecteur, en posant e1 = −→x + λ−→1 et en choisissant λ tel que 〈e1 | e0〉 = 0. Comme

〈x+ λ 1 | 1〉 = 12 + λ 1, on obtient λ = −1

2 .3. Schmidt, suite. On redresse le troisième vecteur, en posant e2 = x2 + λx + µ 1 et en

choisissant λ et µ tels que 〈e2 | x〉 = 0 et 〈e2 | 1〉 = 0. Les calculs se trouvent facilitésen les écrivant e2 = x2 + a e1 + b e0, avec 〈e2 | e1〉 = 〈e2 | e0〉 = 0. On obtient alors〈e2 | e1〉 =

⟨x2 | x− 1

2

⟩+ a 〈e1 | e1〉 = 1

12 + a 112 , d’où a = −1 ; de même 〈e2 | e0〉 =⟨

x2 | 1⟩

+ b 〈e0 | e0〉 = 13 + b 1, d’où b = −1

3 .4. Schmidt, bilan. On a obtenu la formule de changement de base :

(e0, e1, e2) =(1, x, x2

) 1 −12

16

0 1 −10 0 1

la matrice de passage P étant triangulaire (et inversible, comme il se doit pour une matricede passage). Et la nouvelle matrice de Gramm vaut :

G = tP GP =

1 0 00 1

12 00 0 1

180

Exercise 5.3.4. Poser à la fois les intégrales correspondant au calcul direct des 〈ej | ej〉 et lesproduits matriciels correspondant à G = tP GP .

Exercise 5.3.5. Retrouver les formules de changement de coordonnées, et en déduire la formuleG = tP GP .

5.4 Parseval par l’exemple

Definition 5.4.1. Lorsque la base (ej) est orthogonale, les coefficients cj de la décompositiondu vecteur f ∈ E en f =

∑cj ej s’appellent également coefficients de Fourier du vecteur f .

Theorem 5.4.2. Théorème. Le k-ième coefficient de Fourier du vecteur f vaut

ck =〈f | ek〉〈ek | ek〉

On remarquera que ce coefficient est indépendant du choix des autres vecteurs de la base (tantque cette base reste une base orthogonale).

Exercise 5.4.3. Démontrer cette formule.

Exercise 5.4.4. Appliquer cette formule à l’exemple f = x2 + x+ 1 et vérifier que f = 116 e0 +

2e1 + 1e2.

Theorem 5.4.5. (égalité de Parseval). Lorsque f ∈ E, on obtient |f |2 .= 〈f | f〉 =

∑|cj |2 〈ej | ej〉.

Exercise 5.4.6. Vérifier cette formule en calculant∣∣x2 + x+ 1

∣∣2 de deux manières différentes.

Exercise 5.4.7. Démontrer cette formule, et faire le lien avec G = tP GP .

Exercise 5.4.8. Reprendre tous les calculs avec le produit scalaire 〈f | g〉 =∫ 10 t f (t) g (t) dt.

Exercise 5.4.9. Reprendre tous les calculs avec le produit scalaire 〈f | g〉 =∫ 10 t

2 f (t) g (t) dt.

32 5.5. Projections orthogonales et inégalité de Bessel

5.5 Projections orthogonales et inégalité de Bessel

Exercise 5.5.1. On applique la formule des coefficients de Fourier au vecteur φ = x3 (malgréle fait que f /∈ E). Vérifier que l’on trouve c0 = 1

4 , c1 = 910 et c2 = 3

2 .

La présente section consiste à trouver la signification de ces coefficients.

Definition 5.5.2. somme directe. On dit que deux sous-espaces E1 et E2 d’un espace E sonten somme directe lorsque E = E1 + E2 et que, en même temps, E1 ∩ E2 =

−→0. On note en

pareil cas E = E1 ⊕ E2.

Definition 5.5.3. décomposition. Lorsque E = E1 ⊕ E2, tout vecteur x ∈ E peut s’écrirex = x1 + x2 avec xj ∈ Ej , et cette décomposition est unique.

Definition 5.5.4. projecteurs. Lorsque E = E1 ⊕ E2, les applications pj : E → Ej : x 7→ xjs’appellent les projecteurs associés à la décomposition en somme directe.

Proposition 5.5.5. Caractérisation. Une application p : E → E est un projecteur si et seule-ment si p est linéaire et vérifie p p = p. Le projecteur associé est alors id− p.

Proposition 5.5.6. La somme de deux projecteurs p et q est encore un projecteur si et seulementsi p q = q p = 0

Exercise 5.5.7. Vérifier ce résultat pour des projecteurs associés.

Exercise 5.5.8. Démontrer ce résultat dans le cas général.

Definition 5.5.9. Projecteur orthogonal selon un vecteur non nul. Pour e non nul fixé, l’appli-cation v 7→ p (v)

.= e 〈v|e〉〈e|e〉 est une projection sur V ec (e), et de plus ∀v : 〈p (v) | q (v)〉 = 0.

Theorem 5.5.10. Théorème : projecteur orthogonal sur un sous espace. Lorsque les vecteursej sont non nuls et orthogonaux deux à deux, c’est à dire forment une base orthogonale deV ec (e0, · · · , en), l’application

v 7→ p (v).=∑

ej〈v | ej〉〈ej | ej〉

est une projection sur V ec (e), et de plus 〈p (v) | v − p (v)〉 = 0.

Exercise 5.5.11. Vérifier ces orthogonalités sur l’exemple choisi, i.e. 〈p0 (f) | f − p0 (f)〉 = 0,puis 〈(p0 + p1) (f) | f − (p0 + p1) (f)〉 = 0 et 〈(p0 + p1 + p2) (f) | f − (p0 + p1 + p2) (f)〉 = 0.

Theorem 5.5.12. (inégalité de Bessel). Lorsque l’on supprime l’hypothèse f ∈ E, l’égalité deParseval doit être remplacée par

∑|cj |2 〈ej | ej〉 ≤ 〈f | f〉. Cette relation combine l’égalité de

Parseval pour ψ .= p (φ) avec l’inégalité |ψ| ≤ |φ|.

Exercise 5.5.13. Appliquer cette formule à l’exemple choisi (on trouve 57400 ≤

17).