Devoirs en MPSI 1 - 2000/2001douillet/mathapp/MPSI-devoirs.pdf · 2016-11-17 · Devoir № 1 TriangledeNapoléon-Homographies 15/09/2000 1.1 TriangledeNapoléon. 1.Soient p 1;p 2;q

Devoirs en MPSI 1 - 2000/2001

Pierre L. Douillet

17 novembre 2016

2

—

Ces devoirs ont été donnés durant l’année 2000-2001 dans une classe de MPSI.

Table des matières

1 Triangle de Napoléon - Homographies 71.1 Triangle de Napoléon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Homographies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 ds1 : De tout un peu 92.1 Une transformation ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Cercle de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Construction de l’inverse d’un complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Formules de Dirichlet et de Féjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 Différence symétrique de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Théorème de la double injection 113.1 Premiers résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Théorème de la double injection (Bernstein) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2.1 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.3 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 ds2 : Borne supérieure et suites réelles 134.1 Diamètre d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Récurrence homographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3 Une autre suite récurrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.4 Une suite récurrente double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Suite récurrente quadratique 155.1 Résolution dans R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2 Vitesse de convergence pour u0 ∈ ]−1, 0 [ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.3 Résolution pour z0 ∈ C lorsque |z0| ≥ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.4 Résolution dans le pavé −1 ≤ < (z) ≤ 0, −

√3

2 ≤ = (z) ≤√

32 . . . . . . . . . . . . . . 15

6 Polynômes de Legendre 17

7 ds3 : Dualité fonctionelle - Absolue monotonie 197.1 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197.2 Dualité fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

7.2.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197.2.2 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

7.3 Fonctions absolument monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

8 Polynômes de Laguerre 21

3

4 TABLE DES MATIÈRES

9 ds4 : Polynômes de Hermite 239.1 Exercice convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239.2 Polynômes de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

9.2.1 Relations de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239.2.2 Somme des carrés des racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

10 Misc. : morphisme ; analyse ; Douai 86 2510.1 Morphisme de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2510.2 Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2510.3 Mines de Douai 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

11 ds5 : Groupes ; polynômes de Bernoulli 2711.1 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2711.2 DL et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2711.3 Polynômes de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

12 Polynômes de Lagrange ; Bernoulli (2) 2912.1 Polynômes de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2912.2 Polynômes de Bernoulli (suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

13 ds6 : Commutant d’un projecteur 3113.1 Problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

13.1.1 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3113.1.2 Une relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3113.1.3 Projecteurs tels que f ◦ g − g ◦ f ∈ V ect (f, g). . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

13.2 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3213.2.1 Diagonalisation d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3213.2.2 Commutant d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

14 Suites de matrices ; matrices hamiltoniennes 3314.1 Suites et séries dansMn (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3314.2 Problème 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

15 ds7 : Matrices et récurrences 3515.1 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3515.2 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3515.3 Problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

15.3.1 Première partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3615.3.2 Deuxième partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

16 Transformation de LaplacePolynômes de Laguerre 3716.1 Transformation de Laplace et polynômes de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

16.1.1 Formule de Rodriguès pour les polynômes de Laguerre . . . . . . . . . . . . . 3716.1.2 Relation de Parseval-Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3716.1.3 Transformation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

17 ds8 : Formule de Simpson - Intégrales elliptiques 3917.1 Exercice 22.2.2-11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3917.2 Une famille de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3917.3 Récurrence intégrale de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

17.3.1 Moyenne de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4017.3.2 Une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

TABLE DES MATIÈRES 5

18 Opérateurs quantiques dans C[X,Y ] 4118.1 Opérateurs quantiques dans C [X, Y ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

18.1.1 Définition des opérateurs D et S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4118.1.2 Nombre quantique principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4118.1.3 Exemples de vecteurs propres de S (n ≤ 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4118.1.4 Nombre quantique orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4118.1.5 Polynômes harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

19 ds9 : Calcul d’intégrales par équations différentielles19.1 Premier problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19.2 Deuxième problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20 dsA : Isométries ; minimisations20.1 Premier problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20.2 Problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20.2.1 Application ϕk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20.2.2 Étude préliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20.2.3 Interprétation de mk lorsque k ≤ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20.2.4 Détermination de mk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 coming soon

22 dsB : Sujet de révision22.1 Exercice : suite récurrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22.2 Problème 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22.2.1 Partie 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22.2.2 Partie 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22.3 Problème 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22.3.1 Partie I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22.3.2 Partie 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 TABLE DES MATIÈRES

Devoir № 1

Triangle de Napoléon - Homographies

15/09/2000

1.1 Triangle de Napoléon.

1. Soient p1, p2, q1, q2 ∈ C avec p1 6= p2 et q1 6= q2. Existence, unicité, détermination de lasimilitude σ : z 7→ α z + β telle que q1 = σ (p1) et q2 = σ (p2).

2. En déduire que la quantité s = t2−t1t3−t1 caractérise les triangles qui sont (directement) sem-

blables à un triangle donné (t1, t2, t3). Interprétation géométrique ?

3. En déduire que (a, b, c) équilatéral équivaut à(a+ b j + c j2

) (a+ b j2 + c j

)= 0.

4. On donne un triangle T = (a, b, c) et on construit Θ = (α, β, γ) tel que les triangles (α, b, c),(a, β, c) et (a, b, γ) soient semblables entre eux. Montrer que T et Θ ont même centre degravité.

5. On suppose T équilatéral. Montrer que tous les triangles Θ sont équilatéraux.

6. On suppose T non équilatéral. Montrer qu’un seul triangle Θ est semblable à T , et un seul(autre) triangle Θ est équilatéral.

1.2 Homographies

On pose C = C ∪ {ω}, avec ω /∈ C (aucune autre propriété n’est supposée sur l’objet ω).

1. On suppose α ∈ C∗ et β ∈ C. L’application s : C ↪→ C définie par s (ω) = ω et sinons (z) = α z + β est appelée similitude. Montrer qu’une similitude est une bijection et donnerson application réciproque.

2. On suppose a, b, c, d ∈ C avec a d − b c 6= 0 et c 6= 0. L’application h : C ↪→ C définiepar h (ω) = a

c , h(−dc

)= ω et sinon h (z) = a z+b

c z+d est appelée homographie non dégénérée.Montrer que h est une bijection et donner son application réciproque.

3. On appelle homographie une application qui est soit du type (1) soit du type (2). Montrerla composée de deux homographies est encore une homographie. Donner la formule corres-pondant à h = h2 ◦ h1 avec h1 (z) = a z+b

c z+d et h2 (z) = α z+βγ z+δ .

4. A quelle condition h (z) = a z+bc z+d est-elle involutive, c’est-à-dire vérifie h ◦ h = (z 7→ z) ?

5. Montrer qu’une homographie possède soit un soit deux points fixes, c’est à dire que l’équationh (z) = z possède soit une, soit deux solutions.

6. On suppose que h (z) = a z+bc z+d possède deux points fixes w1 = h (w1) et w2 = h (w2) (avec

w1 6= w2). On pose ϕ (z) = z−w2z−w1

. Que vaut ϕ ◦ h ◦ ϕ−1 ? Quels sont ses points fixes ?

7. On suppose que h (z) = a z+bc z+d ne possède qu’un seul point fixe w = h (w). On pose ϕ (z) =

1z−w . Que vaut ϕ ◦ h ◦ ϕ−1 ? Quels sont ses points fixes ?

7

8 DEVOIR № 1. TRIANGLE DE NAPOLÉON - HOMOGRAPHIES

8. On appelle cycle soit un cercle soit une droite complétée par le point ω. Montrer que quatrepoints distincts z1, z2, z3, z4 sont sur un même cycle si et seulement si z3−z2z3−z1÷

z4−z2z4−z1 ∈ R∪{ω}.

9. Soit h une homographie. On pose Z1 = h (z1), etc. Montrer que Z3−Z2Z3−Z1

÷ Z4−Z2Z4−Z1

= z3−z2z3−z1 ÷

z4−z2z4−z1 . En déduire que l’image d’un cycle par une homographie est encore un cycle.

10. Exemple : images successives du cercle trigonométrique par l’homographie z 7→ 3z−3z+3 .

Devoir № 2

ds1 : De tout un peu

23/09/2000“Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa

composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre (concours Mines-Ponts)”

Le sujet comporte deux pages, les exercices sont indépendants

2.1 Une transformation ponctuelle

On considère l’application f : C ↪→ C : z 7→ f (z) = |z|2 + (z)2

1. Expliciter f (x+ i y) pour x, y ∈ R. Calculer f(exp

(i k π3

))pour k ∈ [0 .. 5].

2. Condition sur z1, z2 pour que f (z1) = f (z2).

3. Quelle est l’image par f du cercle trigonométrique ?

4. Quels sont les z ∈ C tels que (f (z)− 1)2 = 1 ?

2.2 Cercle de Nyquist

Les nombres a, b, c, d sont des réels donnés, x est un réel variable. On considère le complexez = a+i b x

c+i d x et M son image dans le plan rapporté à un repère orthonormé.

1. Déterminer l’image A de z quand x = 0. On appelle B le point d’abscisse bd (il correspond à

l’image de z quand x→∞.

2. Calculer ζ = z − 12

(ac + b

d

). Déterminer le module de |ζ|. En déduire le lieu de M lorsque x

parcourt R.

2.3 Construction de l’inverse d’un complexe.

Dans ce qui suit, z désigne un complexe non réel (autrement dit z ∈ C \ R) et l’on cherche àdéterminer son inverse par des moyens géométriques..

1. Montrer que les points ayant pour affixes les nombres 1, −1, z, 1/z appartiennent à un mêmecercle.

2. Indiquer comment déterminer ce cercle. En déduire une construction géométrique de l’inversedu nombre z.

2.4 Formules de Dirichlet et de Féjer

1. Redonner les étapes du calcul de Dn (t) =∑k=+n

k=−n cos (k t).

2. Que vaut alors Fn (t) =∑k=n

k=0 Dk (t) ?

9

10 DEVOIR № 2. DS1 : DE TOUT UN PEU

2.5 Différence symétrique de deux ensembles

Soit E un ensemble donné une fois pour toutes. Pour A, B ∈ P (E) on pose A∆B = (A ∪B) \(A ∩B).

1. Donner la fonction caractéristique χA∆B de A∆B à partir des fonctions caractéristiquesχA et χB des ensembles A et B.

2. Montrer que (P (E) , ∆) est un groupe commutatif. On apportera un soin particulier à ladémonstration de l’associativité.

3. Examiner une éventuelle distributivité de ∪ ou de ∩ sur ∆.

4. En supposant A, B, C finis, déterminer Card (A∆B∆C) à partir des cardinaux des en-sembles A, B, C et de leurs intersections.

5. Caractériser simplement les éléments de A1 ∆A2 ..∆An lorsqu’il y a un nombre quelconqued’ensembles, et non plus trois seulement.

Devoir № 3

Théorème de la double injection

06/10/2000Rappel : l’objectif poursuivi dans les devoirs en temps libre est le travail de la qualité de la rédaction.

Notations

— P (A) désigne l’ensemble des parties de l’ensemble A.— Soit f une application A ↪→ B. Pour une partie X de A (c’est à dire X ∈ P (A)), on pose

f (X) = {f (x) |x ∈ X } (= image directe), tandis que pour une partie Y de B (c’est à direY ∈ P (B)), on pose tf (Y ) = {x ∈ X | f (x) ∈ Y } (=image réciproque).

3.1 Premiers résultats

On considère une application f : E ↪→ F .

1. Montrer que, pour tout X ∈ P (E), on a : X ⊂ tf(f (X)

).

2. Montrer que si f est injective, on a en fait une égalité.

3. Montrer que, pour tous X, Y ∈ P (E), on a : f (A ∩B) ⊂(f (A) ∩ f (B)

).

4. Montrer que, si f est injective, on a en fait une égalité.

5. Une partition d’un ensemble est une famille de sous ensembles, non vides, deux à deuxdisjoints et dont la réunion recouvre l’ensemble initial. Montrer que, si f est injective, et si{A, B, C} est une partition de E, alors

{f (A) , f (B) , f (C)

}est une partition de f (E).

Donner un contre-exemple pour une application non-injective.

6. Soient p ∈ N, {D0, D1 .. Dp} une partition de E et {K1, K2, K3} une partition de D0.Montrer que {K1, K2, K3, D1 .. Dp} est alors une partition de E.

3.2 Théorème de la double injection (Bernstein)

On suppose que E, F sont deux ensembles non vides, et qu’il existe une injection f : E ↪→ Fet une injection g : F ↪→ E. On pose h = g ◦ f et A = h (E).

3.2.1 Cas particuliers

1. Montrer que si A = g (F ), alors f est bijective.

2. Montrer que si g (F ) = E, alors g est bijective.

On suppose désormais que ni f ni g ne sont surjectives. On pose A0 = A, B0 = B = g (F ) \ A etC0 = C = E \ g (F ) puis, pour tout n ∈ N, An+1 = h (An), Bn+1 = h (Bn) et Cn+1 = h (Cn).

11

12 DEVOIR № 3. THÉORÈME DE LA DOUBLE INJECTION

3.2.2 Exemple

Pour cette seule question, on choisit E = F = N, f : x 7→ 2x et g : y 7→ 3y. On sait que chaquenombre entier m ≥ 1 peut s’écrire m = 2α(m)3β(m)q, le nombre entier q n’étant divisible ni par 2 nipar 3. On pose α (0) = β (0) = ∞. Montrer que les ensembles A, B, C puis les ensembles An, Bnet Cn sont caractérisés par des relations portant sur les α et les β de leurs éléments.

3.2.3 Cas général

1. Montrer que {A, B, C} est une partition deE, puis que, pour tout n ∈ N, {An+1, Bn+1, Cn+1}est une partition de An.

2. Montrer que, pour tout n ∈ N, {An, B0, B1, .. Bn, C0, C1, .. Cn} est une partition de E.

3. On pose U = ∩n∈NAn, V0 = ∪n∈NBn, W = ∪n∈NCn et V = U ∪ V0. Montrer que V et Wforment une partition de E.

4. Montrer que “si x ∈ V alors k (x) = x et si x ∈ W alors k (x) = h (x)” définit une bijectionk : E ↪→ g (F ).

5. Montrer que, pour tout x ∈ E, k (x) possède un et un seul antécédent par g. Soit alors µ (x)cet antécédent. Montrer que µ est une bijection de E vers F .

6. On reprend l’exemple 3.2.2. Décrire ce que sont les ensembles U, V, W ainsi que les applica-tions k et µ à l’aide des fonctions α et β.

Devoir № 4

ds2 : Borne supérieure et suites réelles



Le sujet comporte deux pages, les exercices sont indépendants

4.1 Diamètre d’un ensemble

Soit A une partie bornée non vide de R. On pose E = {|x− y| /x, y ∈ A}.1. Montrer que E possède une borne supérieure, que l’on notera δ (A).2. Comparer δ (A) et le nombre supA− inf A.

4.2 Récurrence homographique

On considère la fonction f : f (z) = 7z+2 , ainsi qu’une suite (x) définie par son premier terme

x0 ∈ C et la récurrence xn+1 = f (xn).1. Montrer que l’équation f (z) = z admet deux solutions dans R. On les appellera α et β avecα < β.

2. Exprimer xn en fonction de n et de x0. En déduire la nature et la limite éventuelle de lasuite (xn). Pour quelles valeurs de x0 la suite est-elle définie (au sens de xn ∈ C).

3. On prend x0 = 4. Vérifier que l’on est bien dans le cas où la suite (xn) admet une limiteλ ∈ C. Déterminer les valeurs de n ∈ N telles que |xn − λ| soit inférieur à 10−4, puis à 10−8.

4. Tracer le graphe de la fonction réelle x ∈ R, x 7→ f (x). Utiliser ce graphe pour retrouver lafaçon dont la suite définie par x0 = 4 converge vers sa limite.

4.3 Une autre suite récurrente

Soit E l’intervalle ]0, +∞[ et f la fonction E ↪→ R : f (t) = 1t+1−exp(−t) .

1. Étudier la fonction f , en particulier ses limites aux bornes de E.2. Montrer que pour tout n ∈ N \ 0 il existe un et un seul xn ∈ E tel que f (xn) = n.3. La suite (xn) est-elle monotone ? Est-elle convergente (et en pareil cas, donner sa limite).4. Soit a ∈ R et g la fonction g (t) = a

t . Montrer qu’il existe une et une seule valeur de a pourque limt→∞

f(t)g(t) = 1. Utiliser ce résultat pour déterminer une suite très simple (yn) telle

que lim xnyn

= 1.A partir de maintenant, on s’intéresse à β = x1 (c’est à dire au nombre tel que f (β) = 1).

5. Montrer que β est l’unique solution réelle de l’équation exp (−x) = x et justifier le fait que1e ≤ β ≤ 1.

13

14 DEVOIR № 4. DS2 : BORNE SUPÉRIEURE ET SUITES RÉELLES

6. Soit g la fonction x 7→ exp (−x) et I l’intervalle[

1e , 1

]. Montrer que g (I) ⊂ I et déterminer

un réel k ∈ ]0, 1[ tel que ∀x ∈ I : |g′ (x)| ≤ k.7. On considère la suite (yn) définie par y0 = 1 et yn+1 = g (yn). Vérifier que, pour tout n,yn ∈ I, puis montrer que ∀n ∈ N : |yn − β| ≤ kn |1− β|.

8. En déduire la convergence de (yn) vers β. Déterminer un entier N tel que ∀n > N :|yn − β| ≤ 10−6.

4.4 Une suite récurrente double

Soit K une partie non vide et majorée de R. On peut donc choisir u0 qui soit élément de K etun w0 qui soit un majorant de K. Puis on construit par récurrence deux suites (un) et (wn) de lafaçon suivante. Si un+wn

2 n’est pas un majorant de K, on prend (un+1, wn+1) =(un+wn

2 , wn)et si

non, on prend (un+1, wn+1) =(un,

un+wn2

).

1. Dans cette seule question , on prend K =[0, 1[ ∪ [3, 4[, u0 = 0 et w0 = 10. Déterminer(un, wn) pour n ≤ 4.

2. On revient au cas général . Montrer que, pour tout n, un ≤ wn.3. Montrer que les suites (un) et (wn) sont adjacentes. Soit alors β leur limite commune.

4. Montrer que chaque wn est un majorant de K, et que β est aussi un majorant de K.

5. Montrer qu’il existe une suite d’éléments de K qui converge vers β.

6. Conclure.

Devoir № 5

Suite récurrente quadratique


On se propose d’étudier les suites un+1 = u2n + un, c’est à dire les suites récurrentes définies par

une condition initiale u0 et la fonction itérable f : z 7→ z2 + z.

5.1 Résolution dans R.

1. Étudier la fonction R ↪→ R : x 7→ x2 + x. Graphe en repère orthonormé.

2. Montrer que si u0 ∈[−1

4 , 0]alors (u)→ 0 et que si u0 > 0 alors (u)→ +∞.

3. Que se passe-t-il pour u0 < −14 ?

5.2 Vitesse de convergence pour u0 ∈ ]−1, 0 [

1. Montrer que, pour tout n > 0, on a − 1n+1 < un < 0.

2. Montrer que la suite (v) définie par vn = nun est décroissante.

3. Montrer que (v) converge vers une limite λ ∈ [−1, 0 [.

4. Montrer que la suite (w) définie par wn = n (vn+1 − vn) converge vers λ (1 + λ).

5. Soit (t) une suite croissante telle que ∃a > 0 : ∃N ∈ N : ∀n ≥ N : tn+1 − tn ≥ an . Montrer

que l’on a alors ∀n ≥ N : t2n − tn ≥ a2 , puis que (t)→ +∞.

6. On suppose que λ 6= −1. Montrer que (−vn) vérifierait les conditions du lemme précédent.Conclure.

7. Utiliser les résultats précédents pour évaluer la plus ou moins grande rapidité avec laquelle(u) converge vers sa limite lorsque un ∈ ]−1, 0 [.

5.3 Résolution pour z0 ∈ C lorsque |z0| ≥ 2

1. Montrer que pour a ∈ C, |a| ≥ 2 on a |1 + a| ≥ 1 et que, pour a 6= −2, cette inégalité eststricte.

2. En déduire que |z0| ≥ 2 implique ∀n ≥ 2 : |zn| > 2.

3. On pose ε = |z1| − 2. Montrer que, pour tout n ≥ 1, on a |zn+1| ≥ (1 + ε) |zn|. Conclure.

5.4 Résolution dans le pavé −1 ≤ < (z) ≤ 0, −√

32 ≤ = (z) ≤

√3

2

1. On pose xn = < (zn) et yn = = (zn). Exprimer xn+1 et yn+1 en fonction de xn et de yn.

15

16 DEVOIR № 5. SUITE RÉCURRENTE QUADRATIQUE

2. Montrer que le rectangle K défini ci-dessus est stable par f . Montrer que l’intérieur K durectangle est lui aussi stable par f . Déterminer quels sont les points de la frontière dontl’image reste sur la frontière. En déduire que ∀n ≥ 3 : zn ∈ K, à moins que z3 = 0,hypothèse que l’on exclut désormais.

3. En déduire que la suite |yn| converge vers une limite µ telle que µ ≤√

32 .

4. Montrer que (x)→ 0 implique µ = 0 et que µ 6= 0 implique (x)→ 0.

5. En déduire que (y) converge vers 0.

6. On procède au changement de variable g : z 7→ ζ = z + 12 . Décrire le rectangle K dans le

nouveau repère. Que vaut f .= g ◦ f ◦ g−1 ?

7. On pose ζn = g (ζn), ξn = < (ζn), ηn = = (ζn) et ρn = |ζn|. Donner les relations de récurrencesconcernant la suite (ζ) d’une part, et les suites (ξ) et (η) d’autre part.

8. Montrer que l’on a, pour tout n,(ρ2n − 1

4

)2 ≤ ρ2n+1 ≤

(ρ2n + 1

4

)2.9. Déterminer le nombre ρd caractérisé par : “

(ρ2n − 1

4

)− ρn > 0 équivaut à ρn > ρd”.

10. En supposant que ρ0 > ρd, montrer que la suite ρn est croissante. Quelle est sa limite ?Conclure sur la suite (z) correspondante.

11. En supposant que ρ0 <12 , montrer qu’à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite

(ζ) sont confinés dans le carré[

0, 12

]×[−1

4 ,14

]. Montrer que pour deux points ζ1 et ζ2 de

ce carré on a∣∣∣f (ζ1)− f (ζ2)

∣∣∣ ≤ √22 |ζ1 − ζ2|. Conclure.

Devoir № 6

Polynômes de Legendre


Polynômes de Legendre

On pose Φn (x) =(x2 − 1

)n et Pn (x) = α (n) Φ(n)n (x) = α (n) dn

d xnΦn (x). Le nombre α (n) 6= 0sera précisé par la suite.

1. Déterminer, pour 0 ≤ n ≤ 4, les polynômes Pn (x). On remarquera que ∀n : dg (Pn) = n.

2. Montrer que, pour tout n, le polynôme Pn (x) possède exactement n racines réelles, toutessituées dans ]−1; +1[.

3. Utiliser Φ(n)n (x) = dn

d xn ((x− 1)n (x+ 1)n) pour calculer de deux façons le coefficient domi-nant de Pn (x). En déduire la valeur de

∑nk=0

(nk

)2.4. Déterminer α (n) par la condition Pn (1) = 1. Tracer (sur un même graphe) les courbes

représentatives de Pn (x) pour 0 ≤ n ≤ 4 et −1 ≤ x ≤ +1.

5. Utiliser Φ(n+1)n+1 (x) = dn

d xn

(Φ

(1)n+1 (x)

)= dn+1

d xn+1

((x2 − 1

)Φn (x)

)pour obtenir deux relations

entre Φ(n+1)n+1 , Φ

(n+1)n , Φ

(n)n et Φ

(n−1)n . En déduire une relation entre Pn+1 (x), Pn (x) et P ′n (x).

6. Montrer que, pour tout n, P ′n+1 (x) = (n+ 1)Pn (x) + xP ′n (x).

7. En déduire une relation entre Pn (x), P ′n (x) et P ′′n (x).

8. On a donc la relation(Pn+1

P ′n+1

)=

(∗ ∗

n+ 1 x

)(PnP ′n

). Partir de

(P0

P ′0

)=

(10

)et

poser les calculs pour aboutir à(P3

P ′3

).

9. Obtenir Pn et P ′n en fonction de Pn+1 et de P ′n+1.

10. Montrer que les racines de Pn s’intercalent entre les racines de Pn+1 (commencer par testercela pour n ≤ 3).

17

18 DEVOIR № 6. POLYNÔMES DE LEGENDRE

Devoir № 7

ds3 : Dualité fonctionelle - Absoluemonotonie



Le sujet comporte deux pages, les problèmes sont indépendants

7.1 Exercice

1. Soient S le segment [a, b] avec a 6= b et f une fonction S ↪→ R. On suppose f trois foisdérivable sur S. Montrer ∃ c ∈ ]a, b[ : f (b) + (b− a) f ′

(a+b

2

)+ (b−a)3

24 f (3) (c). On pourraconsidérer une fonction ϕ (x) = f

(a+b

2 + x)− f

(a+b

2 − x)− 2x f ′

(a+b

2

)−K x3.

7.2 Dualité fonctionnelle

7.2.1 Préliminaires

Soit N l’ensemble des fonctions f : R+ ↪→ R+ vérifiant f (0) = 0 et admettant une fonction dérivéepositive, continue et strictement croissante sur R+. Soit f ∈ N .

1. Quels sont les différents comportements possibles de f ′ (x) lorsque x→ +∞ ?

2. Montrer que ∀x > 0 : f (x) < xf ′ (x).

3. En déduire que x 7→ f(x)x est strictement croissante sur ]0, ∞[.

4. Montrer que ∀x ≥ 0 : x f ′ (x) ≤ f (2x). On pourra considérer la fonction x→ f (2x)−f (x).

5. Montrer qu’il y a équivalence entre limx→+∞ f′ (x) = +∞ et limx→+∞

f(x)x = +∞.

7.2.2 Dualité

Soit N0 l’ensemble des f ∈ N vérifiant de plus f ′ (0) = 0 et lim+∞ f′ = +∞. Désormais, f ∈ N0.

1. Pour t ≥ 0, on définit la fonction ωt : R+ ↪→ R par ωt (x) = t x− f (x). Montrer qu’il existeun et un seul xt ≥ 0 tel que ωt (xt) = max {ω (x) /x ≥ 0}. On définit les fonctions ϕ et f∗

par ϕ (t) = xt et f∗ (t) = ωt (xt) et on se propose de les étudier.

2. Montrer que ϕ est continue, strictement croissante, que ϕ (0) = 0 et que ϕ (t)→ +∞ lorsquet→ +∞.

3. Désormais t > 0 et h est un réel tel que |h| ≤ t. Établir l’existence d’un réel αt,h comprisentre t et t + h tel que f (ϕ (t+ h)) − f (ϕ (t)) = αt,h (ϕ (t+ h)− ϕ (t)). En déduire quef∗ (t+ h)− f∗ (t) = hϕ (t) + βt,h (ϕ (t+ h)− ϕ (t)) avec |βt,h| ≤ h.

4. Montrer que f∗ est dérivable sur ]0, ∞[ et que dd t f

∗ (t) = ϕ (t).

19

20 DEVOIR № 7. DS3 : DUALITÉ FONCTIONELLE - ABSOLUE MONOTONIE

5. Montrer que f∗ est dérivable en t = 0 et préciser (f∗)′ (0).

6. Montrer que f ′ et (f∗)′ sont des fonctions réciproques l’une de l’autre. En déduire f∗ ∈ N0

et (f∗)∗ = f .

7. Lemme : soit ψ : R+ ↪→ R+ strictement croissante et telle que ∀x ≥ 0 : ψ ◦ ψ (x) = x.Montrer que ∀x ≥ 0 : ψ (x) = x.

8. On cherche les fonctions f ∈ N0 telles que f = f∗. Commencer par examiner ce que l’onpeut dire de f ′.

7.3 Fonctions absolument monotones

Pour I = ] a, b [ avec a, b ∈ R, on dit qu’une fonction I ↪→ R est absolument monotone sur I sif est indéfiniment dérivable et si ∀x ∈ I : ∀n ∈ N : f (n) (x) ≥ 0.

Pour a < b, on dit que f est absolument monotone sur [ a, b [ si f est absolument monotone sur] a, b [ et de plus est continue en a.

1. Déterminer quelles sont, parmi les fonctions suivantes, celles qui sont absolument monotones :x 7→ expx sur R, x 7→ coshx sur R, x 7→ −1

x sur ]−∞, 0[.

2. On considère f (x) = 1√1−x2 pour x ∈ ]−1, +1 [. Montrer que f est indéfiniment dérivable et

que f (n) s’écrit sous la forme f (n) (x) = Pn (x)÷(1− x2

)n+ 12 avec Pn polynôme à coefficients

réels. Étudier la parité de Pn.

3. Vérifier que, pour tout x ∈ ]−1, +1 [,(1− x2

)f ′ (x) − x f (x) = 0. En déduire que, pour

tout n ∈ N \ 0 et tout x ∈ ]−1, +1 [

Pn+1 (x) = (2n+ 1)xPn (x) + n2(1− x2

)Pn−1 (x)

P ′n (x) = n2Pn−1 (x)

On admet que ces relations restent valables pour tout x ∈ R.4. Pour n ∈ N, calculer Pn (0). Montrer que tous les coefficients d’un polynôme Pn donné sont

positifs.

5. Montrer que arcsin est absolument monotone sur ]−1, +1 [.

6. Montrer que la somme et le produit de deux fonctions absolument monotones sur R sontencore des fonctions absolument monotones sur R.

7. Montrer qu’il y a équivalence entre “f absolument monotone sur R” et “∀x ∈ R : f (x) ≥ 0et f ′ absolument monotone sur R”.

8. Montrer que la composée de deux fonctions absolument monotones sur R est encore unefonction absolument monotone sur R.

9. Soient α, β ∈ R avec a < b, et f absolument monotone sur ]α, β [. Montrer que f estprolongeable par continuité en α. Montrer que la fonction ainsi prolongée (que l’on continuerade noter f) est indéfiniment dérivable en α.

10. Soit f absolument monotone sur [ a, b [. On pose Sn (x) =∑n

k=0(x−a)k

k! f (k) (a). Montrer que∀x ≥ a : ∀n ∈ N : Sn (x) ≤ f (x). En déduire que, pour tout x ∈ [ a, b [, la suite (Sn (x))n∈Nest convergente, et que sa limite, notée S (x), vérifie S (x) ≤ f (x).

Devoir № 8

Polynômes de Laguerre


Polynômes de Laguerre

On pose Φn (x) = (−x)n exp (−x) et Pn (x) = 1n! exp (x) dn

dxnΦn (x).

1. Déterminer, pour 0 ≤ n ≤ 4, les fonctions Pn (x). Tracé (sur un même graphe).

2. Montrer que , pour tout n ∈ N, Pn est un polynôme de degré n. Déterminer les coefficientscn (k) définis par Pn (X) =

∑nk=0 cn (k)Xk.

3. Exprimer Φ(n)n (x), Φ

(n+1)n (x) et Φ

(n+2)n (x) en fonction de Pn (x), P ′n (x) et P ′′n (x).

4. Utiliser Φ(n+1)n+1 (x) = dn+1

dxn+1 (−xΦn (x)) une relation entre Pn+1 (X), Pn (X) et P ′n (X).

5. Utiliser Φ(n+1)n+1 (x) = dn

d xn

(Φ

(1)n+1 (x)

), ainsi que la relation précédente pour obtenir une rela-

tion entre P ′n+1 (X), Pn (X) et P ′n (X).

6. En déduire une relation entre Pn (X), P ′n (X) et P ′′n (X). Transformer cette équation diffé-rentielle en une relation de récurrence entre les coefficients de Pn. Vérifier cette relation àl’aide de Q2.

7. Mettre les résultats de Q4 et Q5 sous la forme(Pn+1

P ′n+1

)= Mn

(PnP ′n

)où Mn désigne

une matrice 2× 2 à coefficients dans C1 [x]. Partir de(P0

P ′0

)=

(10

)et poser les calculs

aboutissants à(P3

P ′3

).

8. Montrer que les polynômes Pn n’ont pas de racines multiples (dans C [X]).

9. Pour Q1, Q2 ∈ R [X], on pose ϕ (Q1, Q2) =∫∞

0 Q1 (x)Q2 (x) exp (−x) dx. Trouver les va-leurs de ϕ

(Xk, Xj

)pour j, k ∈ N, ainsi que les valeurs de ϕ (Pk, Pj) pour j, k ≤ 4.

10. Montrer que pour n ∈ N fixé et tout Q ∈ R [X], on a ϕ (Pn, Q) = λ (n)∫∞

0 Φn (x)Q(n) (x) dxpour une certaine constante λ (n) que l’on déterminera. En déduire ϕ (Pk, Pj) pour j, k ∈ N.

11. Utiliser le résultat précédent pour montrer que les racines d’un polynôme Pn donné sonttoutes simples et situées dans ]0, +∞[.

12. Montrer que les racines de Pn s’intercalent entre les racines de Pn+1.

21

22 DEVOIR № 8. POLYNÔMES DE LAGUERRE

Devoir № 9

ds4 : Polynômes de Hermite

09/12/2000

9.1 Exercice convexité

Pour tous a, b, x, y > 0, montrer que x ln xa + y ln y

b ≥ (x+ y) ln x+ya+b .

9.2 Polynômes de Hermite

On pose Φ (x) = exp(−1

2x2)et Pn (x) = 1

n! exp(

12x

2)

dn

dxnΦ (x).

9.2.1 Relations de récurrence

1. Déterminer, pour 0 ≤ n ≤ 4, les fonctions Pn (x). Tracé rapide (sur un même graphe).2. Montrer que , pour tout n ∈ N, Pn est un polynôme. Déterminer le degré, le coefficient

dominant et la parité éventuelle de ces polynômes.3. Utiliser Φ(n+1) (x) = d

dx

(Φ(n) (x)

)pour obtenir Pn+1 (x) en fonction de Pn (x) et P ′n (x).

4. Utiliser Φ(n+2) (x) = dn+1

dxn+1

(Φ(1) (x)

)et obtenir une relation analogue pour P ′n+1 (x).

5. En déduire une relation entre Pn (X), P ′n (X) et P ′′n (X). Transformer cette équation diffé-rentielle en une relation de récurrence entre les coefficients de Pn.

6. Résoudre la récurrence de Q5 et obtenir une formule effective pour les coefficients de Pn (x).On choisira d’écrire ce polynôme sous la forme Pn (x) =

∑j=E(n/2)j=0 c (n, j)xn−2j .

7. Mettre les résultats de 2.1.4 et 2.1.5 sous la forme(Pn+1

P ′n+1

)= Mn

(PnP ′n

)où Mn désigne

une matrice 2× 2 à coefficients dans C1 [x]. Partir de(P0

P ′0

)=

(10

)et poser les calculs

aboutissants à(P3

P ′3

).

8. Montrer que les racines des polynômes Pn sont toutes des racines simples.9. On admettra que toutes les racines des Pn sont réelles. Quelle relation y a-t-il entre les racines

de deux polynômes successifs ?

9.2.2 Somme des carrés des racines d’un polynôme

1. Soit Q (x) = xn+ b xn−1 + c xn−2 +R (x) un polynôme de degré n ≥ 2 (avec dg (R) ≤ n−3).On désigne ses racines par xj (1 ≤ j ≤ n). Exprimer

∑n1 x

2j en fonction de b et de c.

2. Calculer la somme des carrés des racines des polynômes Pn (x) pour n ≤ 4.3. Utiliser 2.1.6 pour généraliser le résultat de la question précédente. Que peut-on en déduire

pour la plus grande racine de Pn (x) ?

23

24 DEVOIR № 9. DS4 : POLYNÔMES DE HERMITE

4. Soit Q (x) = xn + β xn−2 + γ xn−4 + R (x) un polynôme de degré n ≥ 4 ayant la parité deson degré (avec dg (R) ≤ n− 6). On désigne ses racines par xj (1 ≤ j ≤ n). Exprimer

∑n1 x

4j

en fonction de β et de γ.

5. Appliquer le résultat précédent aux polynômes Pn (x). Que peut-on en déduire pour la plusgrande racine de Pn (x) ? Comparer avec le majorant obtenu en 2.2.3.

Devoir № 10

Misc. : morphisme ; analyse ; Douai 86

11/01/2001Rappel : l’objectif poursuivi dans les devoirs en temps libre est le travail de la qualité de la rédaction.Le sujet se compose de trois parties indépendantes

10.1 Morphisme de groupes

Soit f un morphisme de groupes de (G, ∗) sur (G′, ⊥). Soit H ′ un sous-groupe de G′. Montrerque f−1 〈H ′〉 est un sous-groupe de G.

10.2 Analyse

Soit f une fonction continue R ↪→ R telle que pour tout couple de réels x, y, on ait :

|f (x)− f (y)| ≥ |x− y|

1. Montrer que f est injective.

2. Montrer que f est strictement monotone.

3. Montrer que f est non bornée et bijective.

4. On suppose dans ce paragraphe qu’il existe un segment [a, b] ⊂ R (avec a < b) dont l’imagepar f est incluse dans [a, b].

(a) Montrer qu’il existe un c ∈ [a, b] tel que f (c) = c.

(b) On suppose f croissante. Peut-on avoir f (a) > a ou f (b) < b ? Déterminer la restrictionde la fonction f à [a, b].

(c) On suppose f décroissante. Déterminer sa restriction à [a, b]. On pourra poser g (x) =a+ b− f (x).

5. On suppose désormais f croissante.

(a) Montrer que si pour tout x réel, on a f (x) < x, alors f (x) ∼+∞ x.

(b) Montrer que si pour tout x réel, on a on a f (x) > x, alors f (x) ∼−∞ x.

(c) Soit U l’ensemble des x ∈ R tels que f (x) = x. Montrer que l’on se retrouve dans l’undes deux cas précédents, ou bien que U est un intervalle non vide.

. .../...

25

26 DEVOIR № 10. MISC. : MORPHISME ; ANALYSE ; DOUAI 86

10.3 Mines de Douai 86

Dans ce problème, on note de la même façon un polynôme et la fonction polynôme associée. Ondésigne par C∗ l’ensemble des nombres complexes non nuls. Par convention : ∀z ∈ C∗ : z0 = 1. Onconsidère l’application z 7→ f (z) = z + 1

z .

1. Propriétés algébriques de f :

(a) Montrer que f est surjective.

(b) Soit Γ = {z ∈ C /|z| = 1}. Déterminer l’image F de Γ par f . Montrer que l’image réci-proque de F est Γ.

(c) Soit D = {z ∈ C /0 < |z| < 1}. Montrer que l’application g : D ↪→ C \ F : z 7→ z + 1z

est une bijection.

2. Étude d’une suite de polynômes :

(a) Montrer que pour tout entier positif ou nul n, il existe un unique polynôme Pn tel que∀z ∈ C∗ : f (zn) = Pn (f (z)) et que ∀n ≥ 1 : Pn+1 = X Pn − Pn−1.

(b) Expliciter Pj pour 0 ≤ j ≤ 3.

(c) Déterminer le degré de Pn. Étudier la parité de Pn.

3. Pour tout nombre entier n > 0, on considère (dans C) l’équation algébrique (En) : Pn (x) =0. Résoudre cette équation. Vérifier que (En) admet n racines réelles distinctes, et que (pourn > 0) les racines de En s’intercalent entre les racines de En+1.Étant donné un nombre complexe b et un entier n > 2, on considère (dans C) l’équationalgébrique (Fn) : Pn (x) = b.

4. On suppose que b n’appartient pas à l’intervalle réel [−2, +2]. Montrer que (Fn) admet nracines distinctes.

5. On suppose que b ∈ [−2, +2] et on pose θ = arccos b2 . Exprimer les racines de (Fn) enfonction de θ. Pour quelles valeurs de θ l’équation (Fn) admet-elle des racines doubles ?

6. Décomposer en éléments simples sur C la fraction rationnelle 1Pn

.

Devoir № 11

ds5 : Groupes ; polynômes de Bernoulli




11.1 Groupes

Soit H = {(a, b) / a > 0 et b ∈ R}.1. On considère sur H la loi ⊥ définie par (a, b) ⊥ (c, d) = (a c, b+ d). Montrer que (H, ⊥) est

un groupe commutatif.2. On considère sur H la loi ∆ définie par (a, b) ∆ (c, d) = (a c, b c+ a d). Est-ce que (H, ∆)

est un groupe ? Est-ce que (H, ⊥, ∆) est un anneau ?3. Soit k ∈ R. On pose fk ((a, b)) = (k ln a, b). Montrer que fk est un morphisme de groupes

(H, ⊥) ↪→(R2, +

). Pour quelles valeurs de k l’application fk est-elle un isomorphisme ?

4. On pose g ((a, b)) = (exp b, ln a). Montrer que g est un endomorphisme de groupe (H, ⊥) ↪→(H, ⊥). Calculer g ◦ g. Que peut-on en déduire pour g ?

11.2 DL et limites

Déterminer, pour x→ 2, lim(

2x+3x

2x+1+5x/2

) 12−x .

11.3 Polynômes de Bernoulli

Dans ce qui suit, on a n, m ∈ N et x ∈ R. On définit une suite Bn de polynômes par B0 (x) = 1et par la récurrence

B′n (x) = nBn−1 (x)

Bn+1 (x+ 1)−Bn+1 (x) = (n+ 1)

∫ x+1

xBn (t) dt = (n+ 1)xn

et l’on appelle nombre de Bernoulli d’ordre n le nombre bn = Bn (0).1. Montrer que B1 (x) = x− 1

2 et que B2 (x) = x2 − x+ 16

2. Vérifier que B1 (0) = −B1 (1) et montrer que, pour n ≥ 2, Bn (1) = Bn (0).3. Montrer par récurrence sur n que Bn (x) =

∑nk=0

(nk

)bk x

n−k. En déduire que, pour n ≥ 2,∑n−1k=0

(nk

)bk = 0.

4. On définit Pn (x) = Bn (x) − (−1)nBn (−x) + nxn−1. Montrer que P ′n (x) = nPn−1 (x).Montrer que Pn (x) = Bn (x+ 1)− (−1)nBn (−x).Pour n impair, montrer que

∫ 10 Pn (−t) dt = 0. En conclure que, pour tout n, Pn (x) = 0.

27

28 DEVOIR № 11. DS5 : GROUPES ; POLYNÔMES DE BERNOULLI

5. En déduire que, pour m ≥ 1, B2m+1 (0) = B2m+1 (1) = b2m+1 = 0. Prouver que les fonctionsx 7→ Bn

(x+ 1

2

)sont paires ou impaires avec n. En déduire que, pour toutm, B2m+1

(12

)= 0.

6. Montrer que les polynômes Qn (x) = Bn(x+ 1

2

)+Bn (x)− 1

2n−1Bn (2x) sont pairs ou impairsavec n et vérifient Q′n+1 (x) = (n+ 1)Qn (x).

7. Montrer que Q0 = 0 et que, pour tout m, Q2m = 0 implique Q2m+1 = 0. Montrer queQ2m = 0 implique en outre Q2m+2 = 0 (considérer Q2m+3). En conclure que B2m

(12

)=(

122m−1 − 1

)b2m.

8. On suppose que B2m (0) > 0 et que B2m n’a qu’une racine, simple, sur[0, 1

2

]. Mon-

trer qu’alors B2m+1 (x) ≥ 0 pour x ∈[0, 1

2

], puis que B2m+2 (0) < 0 et que B2m+2 n’a

qu’une racine, simple, sur[0, 1

2

]. Montrer qu’alors B2m+3 (x) ≤ 0 pour x ∈

[0, 1

2

], puis que

B2m+4 (0) > 0 et que B2m+4 n’a qu’une racine, simple, sur[0, 1

2

].

9. En déduire que, pour tout m ≥ 1, b2m est du signe de (−1)m+1.

10. Montrer que, pour n ≥ 1,∫ 1

0 Bn (t) dt = 0 et que, pour m ≥ 1,∫ 1/2

0 B2m (t) dt = 0.

11. Utiliser Q7 pour montrer que, pour m ≥ 1,∣∣∣∫ 1/2

0 B2m+1 (t) dt∣∣∣ |b2m+2|

m+1 .Et que supx∈[0, 1] |B2m+2 (x)| = |b2m+2|.

Devoir № 12

Polynômes de Lagrange ; Bernoulli (2)


12.1 Polynômes de Lagrange

On se place dans E = C3 [X] rapporté à sa base naturelle[1, X, X2, X3

]. La lettre j désigne

l’un des éléments de l’ensemble {−1, 1, 2, 3}.1. Soient ϕ−1 = P 7→ P (−1), ϕ1 = P 7→ P (1), ϕ2 = P 7→ P (2) et ϕ3 = P 7→ P (3). Montrer

que ces applications linéaires forment une base de F = L (E, C).2. Déterminer les polynômes L−1, L1, L2 et L3 tels que ϕj (Lj) = 1 pour j ∈ {−1, 1, 2, 3} etLj ∈ Ker (ϕk) pour j 6= k.

3. Montrer que les polynômes L−1, L1, L2 et L3 forment une base de E et indiquer commentse décompose un polynôme P ∈ E sur cette base.

4. On considère la matrice M =

0 1 0 00 0 1 00 0 0 16 −5 −5 5

. Déterminer le polynôme χ ∈ C4 [X] \ 0

caractérisé par cd (χ) = 1, χ (M) = 0.5. On considère les matrices Aj = Lj (M). Montrer que ces matrices vérifient A2

j = Aj . Onconsidère les applications linéaires ψj ∈ L (E,E) dont les matrices dans la base canoniquede E sont les Aj . Déterminer leurs images et leurs noyaux.

6. Montrer que la matrice M est une combinaison linéaire des matrices Aj .

12.2 Polynômes de Bernoulli (suite)

On admet l’existence d’une fonction S (x, z), indéfiniment dérivable par rapport à z, et telle quepour un m ∈ N “assez grand” on ait S (x, z) =

∑mk=0

1k!Bk (x) zk + o (zm).

1. Comment se traduit, en termes de fonction S (x, z), la relation Bn (1) = Bn (0) pour n 6= 1 ?2. Comment se traduit, en termes de fonction S (x, z), la relation d

dxBn+1 (x) = (n+1)Bn (x) ?3. On pose s (z) = S (0, z). Quels sont les coefficients du développement limité de s ?4. Comment se traduit, en termes de fonction s (z), la relation

∑n−1k=0

(nk

)bk = 0 pour n ≥ 2 ?

En déduire la valeur de s (z).

5. Vérifier que la fonction z exp(x z)exp z−1 remplit les conditions Q1 et Q2. Poser les calculs permettant

d’obtenir le développement limité en z, au voisinage de 0 et à l’ordre 4 de cette fonction.6. Traduire chacune des relations restantes du problème 11 en une relation sur S (x, z), et

vérifier cette relation sur la fonction de la Q5.

29

30 DEVOIR № 12. POLYNÔMES DE LAGRANGE ; BERNOULLI (2)

Devoir № 13

ds6 : Commutant d’un projecteur


composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre”


13.1 Problème

Soit E un R-espace vectoriel, différent de {0}. On ne suppose pas que dimE est finie. On appelleP l’ensemble des projecteurs de E, autrement dit P = { p ∈ L (E) / p ◦ p = p}.

13.1.1 Un exemple

Dans cette partie on prend E = R3 et on définit p ∈ L (E) par p

xyz

=

2x− y + 2zy

−x+ y − z

.

1. Calculer p ◦ p et conclure.

2. Déterminer une base de Ker p.

3. Déterminer une base de Im p.

13.1.2 Une relation d’ordre

1. Montrer que si p ∈ P alors Im p = {x ∈ E / p (x) = x} et E = Ker p⊕ Im p.

2. On définit sur P une relation binaire R par pR q ⇔ (p ◦ q = q ◦ p = p). Montrer que R estune relation d’ordre sur P.Dans les questions 3, 4, 5 ci-dessous on suppose que p, q ∈ P et que p ◦ q = q ◦ p. On définitalors u = p ◦ q et w = p+ q − p ◦ q.

3. Montrer que u ∈ P et w ∈ P.4. Vérifier que uRp et uRq. Montrer que ∀s ∈ P : (sRp et sRq)⇔ (sRu).

5. Vérifier que pRw et qRw. Montrer que ∀s ∈ P : (pRs et qRs)⇔ (wRs).6. On considère, pour p ∈ P fixé, l’application ψp : L (E) ↪→ L (E) définie par ψp (f) =f ◦ p − p ◦ f . Montrer que ψp est un endomorphisme de L (E). Montrer qu’il y a équivalenceentre “ψp (f) = 0” et “Ker p et Im p sont stables par f ”.

13.1.3 Projecteurs tels que f ◦ g − g ◦ f ∈ V ect (f, g).

Dans cette partie, on considère deux projecteurs f, g ∈ P non nuls, distincts et qui de plusvérifient ψg (f) = f ◦ g − g ◦ f = α f + β g pour deux réels α, β fixés.

1. Dans cette question on suppose α = 0 et β 6= 0.

31

32 DEVOIR № 13. DS6 : COMMUTANT D’UN PROJECTEUR

(a) En déduire que ∀k ∈ N \ 0 : f ◦ g − g ◦ f = k β g.

(b) Montrer que cette supposition est absurde.

2. Dans cette question, on suppose α 6= 0 et α 6= 1.

(a) Montrer que 2α g ◦ f + β (1 + α) g = α (1− α) f .

(b) En déduire Im f ⊂ Im g puis g ◦ f = f .

(c) Montrer, dans un ordre ou un autre, que α+ β = 0 et Im g ⊂ Im f et α = −1.

(d) Établir directement que Im f = Im g implique ψg (f) = g − f .

3. Dans cette question, on suppose α = 1.

(a) Montrer, dans un ordre ou un autre que Ker f ⊂ Ker g et f ◦ g = f et Ker g ⊂ Ker f etβ = −1.

(b) Établir directement que Ker f = Ker g implique ψg (f) = f − g.

13.2 Exercice

Soient A =

−4 −6 06 7 20 2 −2

, n ∈ N\0, B = (e1, e2, e3) la base canonique de R3 et u ∈ L(R3)

l’endomorphisme de R3 tel que A = mat (u, B).

13.2.1 Diagonalisation d’un endomorphisme

1. Déterminer l’image par u du vecteur −2e1 + e2 + 2e3.

2. Déterminer Keru ; en préciser une base.

3. Déterminer Ker (u− 2 id) ; en préciser une base.

4. On pose e′1 = −2e1 + e2 + 2e3, e′2 = −3e1 + 2e2 + 2e3 et e′3 = −2e1 + 2e2 + e3. Vérifier queB′ = (e′1, e

′2, e′3) est une base de R3. Déterminer (sans calculs ! ! !) A′ = mat (u, B′).

5. Écrire la matrice P de passage de la base B à la base B′. Poser les calculs (pivot de Gauss)de l’inverse de P .

6. Écrire le lien matriciel entre A et A′, puis entre An et A′n. Préciser la valeur de A′n.

13.2.2 Commutant d’une matrice

On cherche les matrices X ∈ M3 (R) vérifiant X A = AX. On pose X ′ = p−1X P , avec P lamatrice du 2.1.5.

1. Montrer l’équivalence entre X A = AX et X ′A′ = A′X ′.

2. Caractériser les matrices X ′ telles que X ′A′ = A′X ′ (poser les calculs pour X ′ = (xi j)).

3. Montrer que E = {X ∈M3 (R) /X A = AX } est un sous-espace vectoriel deM3 (R). Quepouvez-vous dire de sa dimension ?

Devoir № 14

Suites de matrices ; matriceshamiltoniennes


14.1 Suites et séries dans Mn (R)

Soit A = (Aj k) ∈MN (R). On posera N (A) = sup {|Aj k| | 1 ≤ j ≤ n ; 1 ≤ k ≤ n}.1. Montrer que

∀A, B ∈Mn (R)∀λ ∈ R∀p ∈ N

N (A) = 0 ⇔ A = 0N (λA) = |λ| N (A)

N (A+B) ≤ N (A) +N (B)N (AB) ≤ nN (A)N (B)N (Ap) ≤ np−1 (N (A))p

(14.1)

Donner des exemples d’égalité, et de non-égalité pour les trois dernières relations.

2. On dira, par définition, que la suite matricielle (Bp)p∈N converge vers 0 pour p → ∞ sichacune des n2 suites formées par les éléments (Bp)j k d’une place (j, k) donnée convergevers 0 en tant que suite réelle. Montrer que la suite matricielle (Bp)p∈N converge vers 0 si etseulement si la suite réelle N (Bp)p∈N converge vers 0.

3. Soit alors, pour chaque r entier, 1 ≤ r ≤ n − 1, la matrice Jr dont tous les éléments sontnuls sauf les éléments (Jr)j k tels que k = j + r, et qui, eux, valent 1. (J comme Jordan).

(a) Déterminer les produits Jr Js pour 0 ≤ r ≤ n ; 0 ≤ s ≤ n (on commencera par déterminerl’action de J1 sur une matrice M quelconque dans chacun des produits J1M et M J1).

(b) Soit F le sous-espace vectoriel deMn (R) engendré par les Jr. Quelle est sa dimension ?Montrer que F est en fait une sous algèbre de Mn (R). Existe-t-il des diviseurs de zérodans F ? Quels sont les éléments inversibles ?

4. On se limite désormais aux matrices A qui peuvent s’écrire A = λ0J0 + λ1J0.

(a) Déterminer, pour p ∈ N, les valeurs de Ap et de N (Ap). En déduire une conditionnécessaire et suffisante pour la convergence vers 0 de la suite (Ap).

(b) On considère la suite de matrices Bp définies par Bp =∑k=p

k=01k!A

k. Donner la décom-position de ces matrices Bp dans la base des Jr. Montrer que ces coefficients formentautant de séries réelles convergentes, et en donner la limite. Examiner le cas particulierA = J0 + J1.

(c) En conclure l’existence d’une matrice EA telle que (Bp − EA)→ 0 quand p→∞.

33

34 DEVOIR № 14. SUITES DE MATRICES ; MATRICES HAMILTONIENNES

14.2 Problème 2

Soit n ∈ N\0. On note E l’espace vectoriel complexe des matrices colonnes d’ordre 2n à coefficientsdans C. On note M l’espace vectoriel complexe des matrices carrées d’ordre 2n à coefficients dans

C. On note J la matrice deM définie par J =

(0n In−In 0n

)où 0n et In sont les matrices d’ordre n,

respectivement nulle et unité. Pour X, Y ∈ E, on pose [X, Y ] =tX J Y . On remarquera que cettequantité est une matrice à une ligne et une colonne que l’on peut identifier à un complexe.

1. Calculer tJ et J2. En déduire que J est inversible et que J−1 =tJ . Calculer le déterminantde J .

2. Vérifier que ∀X, Y ∈ E, on a [X, Y ] + [Y, X] = 0.

3. Soit U ∈ E. Montrer que (∀X ∈ E : [U, X] = 0) implique U = 0.

4. Soit A ∈M . Montrer qu’il existe une et une seule matrice deM , notée A∗, telle que ∀X, Y ∈E : [X, AY ] = [A∗X, Y ]. On exprimera A∗ en fonction de A et J . Montrer, pour toutesmatrices A, B ∈M , les relations

t(A∗) =(tA)∗

; (A∗)∗ = A ; (AB)∗ = B∗A∗

5. On appelle matrice hamiltonienne toute matrice A ∈ M telle que A + A∗ = 0 et on noteH l’ensemble de ces matrices. Montrer que A ∈ H si, et seulement si, il existe une matricesymétrique Q ∈ M telle que A = J Q. Montrer que H est un sous-espace vectoriel de M .Quelle est sa dimension ?

6. Soit A ∈ E. Montrer que le polynôme caractéristique de A est pair. En déduire que la tracede A est nulle. Montrer que, si n = 1, cette condition sur la trace est suffisante pour queA ∈ H.

7. Étant donné a, b ∈ R∗, on considère la matrice A définie par A =

a −b 0 0b a 0 00 0 −a −b0 0 b −a

.

Montrer que A ∈ H. Vérifier que a+ ib est valeur propre de A. Déterminer toutes les valeurspropres de A et les sous-espaces propres associés.

Devoir № 15

ds7 : Matrices et récurrences




15.1 Exercice

Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique estA =

2 −1 −1−1 2 −1−1 −1 2

.

1. Déterminer les sous-espaces Ker f et Im f . Montrer qu’ils sont supplémentaires dans R3.

2. Déterminer une base de R3 qui soit réunion d’une base de Ker f et d’une base de Im f .Donner la matrice de f dans cette base.

15.2 Exercice

Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3, [e1, e2, e3] une base de E et f ∈ L (E) l’endomor-

phisme défini dans cette base par la matrice A =

0 1 00 0 1

−12 4 3

.1. Déterminer les nombres λ1 < λ2 < λ3 tels que Ker (f − λ id) 6= {0}.

2. Pour chacun de ces nombres λ, déterminer le vecteur de Ker (f − λ id) dont la composantesur e1 vaut 1.

3. Écrire la matrice P telle que [v1, v2, v3] = [e1, e2, e3]P . Montrer que ces vecteurs v formentune base de E. Calculer l’inverse de P (donner les détails du calcul).

4. Quelle est la matrice décrivant f dans la base [v1, v2, v3] ?

5. Pour un vecteur w ∈ E, on appelle W l’espace engendré par les images successives de w,c’est dire par w, f (w) , f2 (w) etc. Quels sont les vecteurs w tels que dimW < 3 ?

6. Donner une équation du plan Vect (v1, v2).

7. On pose C0 =

xyz

, C1 = AC0 et C2 = AC1. Donner l’expression factorisée du détermi-

nant det (C0, C1, C2) ayant les Cj pour colonnes. Comparer avec Q5.

35

36 DEVOIR № 15. DS7 : MATRICES ET RÉCURRENCES

15.3 Problème

15.3.1 Première partie

Soit Bn la matrice tridiagonale de taille n telle que ajj = 2x + 1 pour les éléments diagonaux,ajk = −x pour les éléments sous diagonaux (i.e. tels que |j − k| = 1) et enfin ajk = 0 ailleurs. Ainsi

B4 =

2x+ 1 −x 0 0−x 2x+ 1 −x 00 −x 2x+ 1 −x0 0 −x 2x+ 1

. On pose Qn (x) = detBn.

1. Donner les valeurs de Q0 (x), Q1 (x) et Q2 (x). Détailler le calcul de Q3 (x).

2. Établir une relation de récurrence entre les polynômes Qn (x).

3. Soit N ∈ N un entier fixé (N ≥ 3). On définit S par S (x, z) =∑k=N+2

k=0 zkQk (x). Exprimerle développement limité, au voisinage de z = 0 et à l’ordre N , de

∑k=Nk=0 zkQk+1 (x) et de∑k=N

k=0 zkQk+2 (x) en fonction de S (x, z).

4. En déduire que S (x, z) = 11−2z x−z+x2 z2 + o (zn).

5. Utiliser la relation de récurrence Q2 pour déterminer le coefficient constant des polynômesQn (x). Retrouver cette valeur en utilisant la valeur de S (x, z).

6. Utiliser la relation de récurrence Q2 pour déterminer le coefficient dominant des polynômesQn (x). Comment retrouver cette valeur en utilisant la valeur de S (x, z) ?

7. Quelle est la somme des racines du polynôme Qk (x).

15.3.2 Deuxième partie

Soit An la matrice carrée de taille n dont l’élément générique est ajk = max (j, k). Ainsi,

A4 =

1 2 3 42 2 3 43 3 3 44 4 4 4

. On pose Pn (x) = det (x I −An).

1. Que vaut detAn ? (On pourra utiliser des combinaisons de colonnes).

2. Donner les valeurs de P0 (x), P1 (x) et P2 (x). Détailler le calcul de P3 (x).

3. Établir une relation de la forme Pn+2 (x) = α (x) Qn+1 (x)+β (x) Qn (x), les quantités α (x)et β (x) étant des polynômes en x de forme simple et de degré constant.

4. On définit T par T (x, z) =∑k=N+2

k=0 zk Pk (x). Utiliser une méthode analogue à 1.Q3 pourdéterminer T (x, z).

Devoir № 16

Transformation de LaplacePolynômes de Laguerre


16.1 Transformation de Laplace et polynômes de Laguerre

Soit E le R-ev des fonction polynomiales [0, ∞[ ↪→ R et, pour n ∈ N, En = {f ∈ E |dg f ≤ n}.

16.1.1 Formule de Rodriguès pour les polynômes de Laguerre

1. Pour n ∈ N, montrer l’existence et calculer la valeur de∫∞

0 tn exp (−t) dt.

2. Soit F l’ensemble des f : R+ ↪→ R de classe C∞ telles que l’intégrale∫ ∞0|f (t)|2 exp (−t) dt

existe. Montrer que F est un sous-espace de C∞ (R+, R) et que E est un sous espace de F .

3. Montrer l’existence, pour toutes f, g ∈ F , de l’intégrale

ϕ (f, g).=

∫ ∞0

f (t) g (t) exp (−t) dt

puis que cette intégrale définit une application ϕ : F × F ↪→ R qui est symétrique, linéaireen chaque variable et vérifie : ϕ (g, g) = 0E implique g = 0F (ϕ est un produit scalaire). Onpose ‖g‖ =

√ϕ (g, g).

4. Rappeler pourquoi Ln (x).= expx

n!dn

dxn (xn exp (−x)) est polynôme. En donner le degré et lecoefficient dominant.

5. Soit g ∈ E. Exprimer ϕ (g, Ln) en fonction de∫∞

0 g(n) (t) tn exp (−t) dt. En déduire la valeurde ϕ (Lm, Ln) lorsque n 6= m, ainsi que la valeur de ϕ (Ln, Ln).

6. Montrer que les n racines de Ln sont distinctes, réelles et positives.

16.1.2 Relation de Parseval-Bessel

1. Pour n ∈ N et g ∈ F , montrer que ϕ (g, tn) ≤ ‖g‖√

(2n)! . Que vaut

sup

{1

‖g‖ϕ (g, tn) |g 6= 0

}?

37

38 DEVOIR № 16. TRANSFORMATION DE LAPLACE POLYNÔMES DE LAGUERRE

2. On pose g (k) = ϕ (g, Lk) et on définit pn : F ↪→ En par pn (g).=∑n

0 g (k)Lk. Montrer quecette application est un projecteur et que, de plus,

ϕ (pn (g) , g − pn (g)) = 0.

3. En déduire ‖pn (g)‖2 ≤ ‖g‖2 puis que∑n

0 |g (k)|2 converge pour n→∞.

4. Illustrer ces résultats en prenant g = sin, n = 4.

16.1.3 Transformation de Laplace

1. On pose L (f) = p 7→∫∞

0 f (t) exp (−p t) dt. Montrer que L (f) (p) est définie pour toutp > 0 lorsque f ∈ E, et que L (f) définit une fraction rationnelle.

2. Calculer l’image Laplace des polynômes de Laguerre (prendre des exemples et généraliser).

3. En déduire l’image Laplace de g : g (x) = exp(−x

2

)∑n0 ckLk (x).

4. On pose h = u 7→ 12

1+u1−u . Que vaut alors L (g)(h(u))

1−u ?

5. On rappelle que Pn (x) = 12nn!

dn

dxn

((x2 − 1

)n) (Legendre). Montrer que

L (Pn (exp (−t))) (p)

est une fraction rationelle qui se factorise remarquablement (commencer par traiter desexemples).

Devoir № 17

ds8 : Formule de Simpson - Intégraleselliptiques




17.1 Exercice 22.2.2-11

Soit f une application de classe C3 sur [a, b], et n ∈ N \ 0. On pose ∆x = b−an , xk = a+ k∆x,

Sn (f) = ∆x∑n−1

k=0 f (xk), et on définit de même Sn (f ′) et Sn (f ′′). On pose en outre M3 =sup

{f (3) (x) | a ≤ x ≤ b

}.

Montrer que∣∣∣∫ ba f(x) dx− Sn (f)− b−a

2n Sn (f ′)− (b−a)2

6n2 Sn (f ′′)∣∣∣ ≤ (b−a)4

24n3 M3.

Prouver que∫ ba f(x) dx = Sn (f) + b−a

2n (f (b)− f (a))− (b−a)2

12n2 (f ′ (b)− f ′ (a)) + O(

1n3

).

17.2 Une famille de polynômes

On considère les fractions rationnelles Pn ∈ C (X) définies par la récurrence P0 (x) = 1, P1 (x) =x et (pour n ≥ 1) En : P 2

n (x) = 1 + Pn−1 (x)Pn+1 (x). L’objectif est de monter que Pn ∈ C [X],c’est à dire que les Pn sont des polynômes, puis de les étudier.

1. Calculer P2, P3 et P4.On suppose que, pour un certain n ≥ 3, on ait Pn−3, Pn−2, Pn−1 et Pn polynômes et quePn+1 ne soit pas un polynôme.

2. Avec ces hypothèses, démontrer que ∃a ∈ C : ∃p ∈ N \ 0 : ∃A, B polynomes :Pn+1 (x) =B(x)

(x−a)pA(x)avec A (a) 6= 0 et B (a) 6= 0.

3. Puis que ∃r ∈ N : ∃D polynome : Pn−1 (x) = (x− a)p+rD (x) avec D (a) 6= 0.4. Puis que Pn−2 (a) = ±1, Pn (a) = −Pn−2 (a) et r ≥ 1. On pose b = Pn (a).5. Montrer que l’on peut écrire Pn (x) = b+ (x− a)q C (x) et Pn−2 = −b+ (x− a)sE (x) avecq, s ∈ N \ 0 et C, E polynomes tels que C (a) 6= 0 et E (a) 6= 0.

6. Montrer que l’on a q = r et s = r, puis que ces résultats sont contradictoires avec la relationEn−2 : P 2

n−2 (x) = 1 + Pn−1 (x)Pn−3 (x).7. Sachant maintenant que Pn est un polynôme, préciser le degré et le terme dominant.8. Quelles sont les racines de P1 et de P2 ?9. Montrer que (pour n ≥ 1) les racines de chaque polynôme Pn sont toutes réelles et que (pourn ≥ 2) ces racines sont séparées par celles de Pn−1. On procédera par récurrence, en notantaj les racines de Pn−1 et bk celles de Pn avec bn < an−1 < · · · < a2 < b2 < a1 < b1.

39

40 DEVOIR № 17. DS8 : FORMULE DE SIMPSON - INTÉGRALES ELLIPTIQUES

17.3 Récurrence intégrale de Gauss

Pour a, b > 0 on considère les suites α, β définies par la récurrence

α0 = a, β0 = b, αn+1 =√αnβn, βn+1 =

1

2(αn + βn)

17.3.1 Moyenne de Gauss

1. Montrer que les suites α et β convergent vers la même limite, que l’on notera ϕ (a, b).

2. Comparer ϕ (a, b) avec ϕ (b, a).

3. Pour k > 0, exprimer ϕ (k a, k b) en fonction de k et de ϕ (a, b). En déduire que l’étude desnombres ϕ (a, b) peut être remplacée par celle de la fonction ϕ définie par ϕ (x) = ϕ (1, x).

17.3.2 Une intégrale

On définit , pour α > 0 et β > 0,

I (α, β) =

∫ π2

0

dθ√α2 cos2 θ + β2 sin2 θ

1. Montrer que I (α, β) existe et que I (α, β) = I (β, α). On suppose désormais 0 < α ≤ β.2. Ranger par ordre croissant les nombres I (α, β), I (α, α), et I (β, β). En déduire un enca-

drement simple de I (α, β).On pose ω = arctan

√αβ . On a donc 0 < ω ≤ π

4 .

3. Transformer∫ π

2ω

dθ√α2 cos2 θ+β2 sin2 θ

, qui vaut I (α, β) −∫ ω

0dθ√

α2 cos2 θ+β2 sin2 θen posant ψ =

arctan(

αβ tan θ

)et en considérant que

∫ π2ω

dθ√··· = limX→π

2;X<π

2

∫ Xω

dθ√··· . En déduire une rela-

tion simple entre I (α, β) et∫ ω

0dθ√

α2 cos2 θ+β2 sin2 θ.

4. Transformer 2∫ ω

0dθ√

α2 cos2 θ+β2 sin2 θen posant ψ = 2 arctan

(√βα tan θ

). Poursuivre les cal-

culs jusqu’à obtenir la forme∫ π

20

dψ√a+b cos2 ψ

.

5. Montrer que I (α, β) = I(√αβ, 1

2 (α+ β)). Montrer que ∀n ∈ N : I (αn+1, βn+1) = I (αn, βn),

puis que ϕ (a, b) I (a, b) = π2 pour tous a, b > 0.

6. En particulier, pour a = 1, on obtient ϕ (x) f (x) = π2 avec ϕ la fonction de Q3.1.3 et

f (x).= I (1, x) = I (x, 1) =

∫ π2

0dθ√

x2 cos2 θ+sin2 θ.

7. Étudier la monotonie de f sur ]0, ∞[.

8. On fixe ε > 0 et on prend x0 ≥ ε et x ≥ 12ε. En considérant |f (x)− f (x0)|, montrer que f

est continue en x0. En déduire la continuité de f sur ]0, ∞[, puis celle de ϕ.On admet que f (x) = limA→∞

∫ A0

dt√(1+t2)(x2+t2)

. On pose u (x).=∫ 1

0dt√

(1+t2)(x2+t2)et

v (x).=∫ 1

0dt√

(x2+t2).

9. Calculer v (x). Donner un équivalent de v (x) pour x→ 0.

10. Montrer que si 0 < x ≤ 1 alors v (x) − u (x) est borné. En déduire un équivalent de u (x)pour x→ 0.

11. Déterminer un équivalent de f (x) pour x.

Devoir № 18

Opérateurs quantiques dans C[X, Y ]


18.1 Opérateurs quantiques dans C [X, Y ].

18.1.1 Définition des opérateurs D et S

Soit E .= C [X, Y ]. On désigne par X et Y les applications P 7→ X P et P 7→ Y P , et par ∂

∂X et∂∂Y les applications P 7→ P ′X et P 7→ P ′Y .

1. Montrer que les opérateurs D .= X ◦ ∂

∂X +Y ◦ ∂∂Y et D .

= Y ◦ ∂∂X −X ◦

∂∂Y sont des applications

linéaires de E dans E.2. Montrer que D et S commutent, c’est à dire que ∀P ∈ E : (D ◦ S) (P ) = (S ◦D) (P ).3. Calculer S2 +D2, c’est à dire S ◦ S +D ◦D (on obtient une expression simple...).

18.1.2 Nombre quantique principal

1. Redémontrer que le sous-espace Hn des polynômes homogènes de degré n est sous-espacepropre de D pour la valeur propre λ = n, puis établir que E =

⊕n∈NHn.

2. En conclure que : “les valeurs propres de D sont les entiers naturels et les vecteurs propresde D sont les polynômes homogènes”.

18.1.3 Exemples de vecteurs propres de S (n ≤ 3)

1. Montrer que le polynôme 1 est vecteur propre de S.2. Ecrire et résoudre les équations que doit vérifier un polynôme P ∈ H1 pour être vecteur

propre de S, c’est à dire pour qu’il existe λ ∈ C tel que S (P ) = λP .3. Même question pour les polynômes homogènes de degré 2 et 3.

18.1.4 Nombre quantique orbital

1. On convient de noter un P homogène de degré n par P =∑

k∈Z akXn−kY k avec ak = 0

lorsque k /∈ [0 .. n]. Donner la relation de récurrence que doivent vérifier les coefficients akpour que P soit vecteur propre de S avec λ comme valeur propre.

2. Montrer que le système obtenu possède une solution non nulle (i.e. P 6= 0) si et seulementsi λ vérifie une certaine équation polynomiale Rn (λ) = 0, dont on donnera le degré (il n’estpas demandé d’expliciter cette équation).

3. Montrer que ∀P1, P2 ∈ E : S (P1P2) = S (P1)P2 + P1 S (P2). En déduire que P1P2 estvecteur propre de S dès que P1 et P2 le sont. Quelle est alors la valeur propre associée àP1P2 ?

41

42 DEVOIR № 18. OPÉRATEURS QUANTIQUES DANS C[X,Y ]

4. Appliquer ce résultat aux polynômes X + i Y et X − i Y afin de montrer que, parmi lespolynômes homogènes de degré n, les vecteurs propres de S sont exactement les polynômes :α (X + i Y )k (X − i Y )n−k, avec α ∈ C∗ et 0 ≤ k ≤ n. Indiquer les valeurs propres corres-pondantes.

5. Montrer que les polynômes (X + i Y )j (X − i Y ) forment une base de E, adaptée à la fois à ladécomposition de E en sous-espaces propres de D et à la décomposition de E en sous-espacespropres de S.

6. En déduire que “les valeurs propres de S sont les éléments de iZ”, puis une caractérisationsimple des sous-espaces propres de S, et en particulier de KerS.

18.1.5 Polynômes harmoniques

1. On appelle laplacien l’opérateur ∆.= ∂2

∂X2 + ∂2

∂Y 2 . Utiliser les questions précédentes pourmontrer que Ker ∆ = C [X + i Y ]⊕ C [X − i Y ].

Devoir № 19

ds9 : Calcul d’intégrales par équationsdifférentielles




19.1 Premier problème

Soit a ∈ R∗ et b ∈ R fixés et l’équation différentielle

y′′ − 4y = a |x|+ b (19.1)

1. Donner la solution générale de (19.1) sur R∗+. Donner la solution générale de (19.1) sur R∗−.2. Montrer qu’il existe des solutions ϕ de (19.1) sur R et donner leur expression (on donneraϕ (x) pour x > 0, ϕ (x) pour x < 0 et ϕ (0)) en fonction de deux paramètres).

3. Soit ϕ0 la solution de (19.1) sur R vérifiant ϕ (0) = 0 et ϕ′ (0) = 0. Donner ϕ0 (x) pourx > 0 et vérifier que ϕ0 est paire.

4. Étudier la branche infinie de ϕ0 au voisinage de +∞. On montrera que le graphe de ϕ0 admetune droite asymptote au voisinage de +∞ si et seulement si a = −2b.Soit J (x) =

∫ +∞0

sin2(t x)t2

dt.5. Montrer que J (x) existe pour tout réel x. Étudier la parité de J .6. Montrer que ∀x ∈ R : J (x) = |x| J (1).

On considère f (x) =∫ +∞

0sin(t x)t2(1+t2)

dt, g (x) =∫ +∞

0sin(2t x)t(1+t2)

dt et h (x) =∫ +∞

02 cos(2t x)

(1+t2)dt.

7. Montrer que f, g, h sont définies sur R.8. Citer clairement le théorème de la formule de Taylor-Lagrange puis de l’inégalité de Taylor-

Lagrange. Établir que

∀t, u ∈ R :∣∣sin2 (t (x+ u))− sin2 (t x)− t u sin (2 t x)

∣∣ ≤ t2u2

9. En déduire que ∀x ∈ R, ∀u 6= 0 :∣∣∣f(x+u)−f(x)

u − g (x)∣∣∣ ≤ π

2 |u|, puis que f est dérivable surR et que f ′ = g.On admet que l’on a de même g dérivable sur R et g′ = h.

10. Calculer f (x)− J (x) en fonction de h (x).11. Montrer que f est solution de (19.1) sur R pour des valeurs de a et b que l’on exprimera en

fonction de J (1) et de π.12. En se servant des conditions initiales, exprimer f (x) en fonction de x et de J (1).13. Montrer que ∀x > 0 : 0 ≤ xJ (1)− f (x) ≤ π

2 . En déduire J (1) = π2 .

DEVOIR № 19. DS9 : CALCUL D’INTÉGRALES PAR ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

19.2 Deuxième problème

1. On prend x 6= 0, x réel. Montrer que si α > 12 alors

∫ ∞0

t arctan (1/t)

(t2 + x2)αdt existe.

On pose g (x) =

∫ +∞

0

t arctan (1/t)

t2 + x2dt et h (x) =

∫ +∞

0

t arctan (1/t)

(t2 + x2)2 dt.

2. Montrer que, pour x > 0, h (x) = π4x2(x+1)

. En déduire h (x) pour x < 0.

3. Montrer que, pour u > 0, 0 ≤ arctanu ≤ u. En déduire ∀x > 0 : 0 ≤ g (x) ≤ π2x . Préciser

limx→+∞ g (x).

4. On suppose 0 < x < 1. Montrer que∫ 1

0

t arctan (1/t)

t2 + x2dt ≥ π

8ln

(x2 + 1

x2

). En déduire que

limx→0+ g (x) = +∞.On admet que g est dérivable pour x > 0 et que ∀x > 0 : g′ (x) = −2xh (x).

5. Déterminer g (x) pour x > 0 et x < 0. Quelle est la valeur de∫ +∞

0

t arctan (1/t)

t2 + 1dt ?

E désigne l’ensemble des fonctions f ∈ C (R+, R) telles que f2 soit intégrable sur R+.

6. Montrer que ∀a, b ∈ R |a b| ≤ 12

(a2 + b2

).

7. Montrer que si u, v ∈ E alors x 7→ u (x) v (x) est intégrable sur R+ et que(∫ +∞

0u (t) v (t) dt

)2

≤(∫ +∞

0u (t)2 dt

)(∫ +∞

0v (t)2 dt

)8. Montrer que E est un R espace vectoriel.

Devoir № 20

dsA : Isométries ; minimisations

26 mai 2001“Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa


20.1 Premier problème

Dans ce qui suit, les vecteurs sont notés en gras. Les candidats pourront utiliser des flèches... et mêmene pas en utiliser, à leur convenance.

On considère l’espace vectoriel E = R3 muni de la structure euclidienne associée à la baseB = (i, j, k). On note 〈 , 〉 le produit scalaire correspondant. Soit alors n = a i+ b j+ ck un vecteurunitaire, D .

= V ect (n) la droite dirigée par n, p la projection orthogonale sur D, Π.= D⊥ le plan

orthogonal à D, q la projection orthogonale sur Π et enfin P .= Mat (p, B) et Q .

= Mat (q, B) lesmatrices de p et de q dans la base B.

1. Pour u ∈ E, exprimer p (u) en fonction de u et de n. Déterminer P . Préciser les valeurspropres et les vecteurs propres de p.Soit ϕ : E ↪→ E : u 7→ n ∧ u.

2. Montrer que ϕ ∈ L (E). Préciser Kerϕ et Imϕ. Déterminer Φ = Mat (ϕ, B).3. Vérifier que ϕ ◦ q = ϕ. Comparer les normes de ϕ (u) et de q (u), et déterminer l’angle de

vecteurs (q (u) , ϕ (u)). Montrer que ϕ ◦ ϕ = −q.4. Soit f .

= p + ϕ. Montrer que f ∈ GL (E). Donner F = Mat (f, B). Vérifier que F ∈ O (3).Montrer que f (n) = n et caractériser f |Π. En déduire la nature géométrique de f .

5. On pose g = f ◦f . Montrer que ∀u ∈ E : g (u) = 2 〈u | n〉n−u. Caractériser g en précisantses éléments remarquables.

6. Soit r la rotation d’angle π3 autour de l’axe dirigé par le vecteur (1, 1, 1). Déterminer, par

une méthode ou une autre, la matrice R = Mat (r, B).

20.2 Problème

On considère n + 1 réels fixés y0, · · · , yn. Pour k ∈ N, on appelle ∆k l’application Rk [X] ↪→R : ∆k (P ) =

∑n0 (yi − P (i))2. L’objet du problème est de déterminer les polynômes P ∈ Rk [X]

conduisant à la valeur minimale de ∆k (P ) et de préciser cette valeur minimale mk.

20.2.1 Application ϕk

Soit ϕk : Rk [X] ↪→ Rn+1 : P 7→ ϕk (P ) = (P (0) , P (1) , · · · , P (n)). Il est admis que cetteapplication est linéaire.

1. Déterminer Kerϕk, en discutant le résultat selon des valeurs de k par rapport à celle de n.Préciser la dimension de ce noyau. En donner une base.

DEVOIR № 20. DSA : ISOMÉTRIES ; MINIMISATIONS

2. Étudier, selon les valeurs de k, le rang de ϕk. Préciser les valeurs de k pour lesquelles ϕk estsurjective, est un isomorphisme.

3. En déduire l’existence et l’unicité d’un Y ∈ Rn [X] tel que (∀i, 0 ≤ i ≤ n) (P (i) = yi).

20.2.2 Étude préliminaire

1. Démontrer l’existence et l’unicité d’une base (B).= (B0, B1, · · · , Bn) de Rn [X] telle que,

pour tous i, j entiers entre 0 et n, on ait Bi (i) = 1 et Bi (j) = 0 lorsque i 6= j. Quellessont les coordonnées d’un polynôme P ∈ Rn [X] dans cette base (B), et en particulier lepolynôme Y ?

2. Soit k entier supérieur ou égal à n. Déterminer la valeur du minimum mk de la quantité∆k (P ) lorsque P décrit Rk [X]. Déterminer tous les polynômes P ∈ Rk [X] pour lesquels∆k (P ) = mk.

20.2.3 Interprétation de mk lorsque k ≤ n

1. Prouver l’existence et l’unicité dans Rn [X] d’un produit scalaire, noté 〈 , 〉, tel que la base(B) soit orthonormale. Préciser la valeur de 〈P, Q〉 lorsque P, Q ∈ Rn [X]. On note ‖ ‖ lanorme associée, soit ‖P‖ =

√〈P, P 〉.

2. Calculer les produits scalaires 〈1, 1〉, 〈1, X〉,⟨1, X2

⟩et⟨1, X3

⟩. On pourra utiliser

∑n1 p

2 =16n (n+ 1) (2n+ 1) et

∑n1 p

3 = 14n

2 (n+ 1)2.

3. D’après les notations introduites, on a ∆k (P ) = ‖Y − P ‖2. En déduire l’existence et l’unicitédu polynôme Pk ∈ Rk [X] pour lequel ∆k (P ) atteint son minimum mk. Définir Pk au moyende Y et de Rk [X]. Que dire de Y − Pk et de Rk [X] ?

20.2.4 Détermination de mk

1. Montrer l’existence et l’unicité d’une base (C) = (C0, C1, · · · , Cn) de Rn [X] telle quedg (Cj) = j (base étagée) et que cd (Cj) =

(2nn

). On commencera par déterminer C0 et C1,

puis l’on déterminera Ck à l’aide des polynômes Xk et Qk, projection de Xk sur Rk−1 [X].

2. Démontrer, pour 1 ≤ k ≤ n, que le polynôme Ck (n−X) (associé à la fonction x 7→Ck (n− x)) est orthogonal à Rk−1. En déduire une relation simple entre Ck (n−X) etCk.

3. Déterminer les coordonnées de Pk (cf. 2.3.3) dans la base (C). Que vaut Pn ?

4. En déduire, pour 1 ≤ k ≤ n, les relations

Pk = Pk−1 +〈Ck, Y 〉‖Ck‖2

Ck ; mk = mk−1 −(〈Ck, Y 〉‖Ck‖

)2

Devoir № 21

coming soon

coming soon

DEVOIR № 21. COMING SOON

Devoir № 22

dsB : Sujet de révision

Juin 2001“Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa


22.1 Exercice : suite récurrente

On considère la fonction g telle que : g (x) = x+ tanx

1. Montrer que sur l’intervalle ]0, π] il existe une et une seule solution de l’équation g (x) = 0.Soit α cette solution. Montrer que α appartient à

[√3, π

].

2. Montrer que α vérifie la relation : α = π − arctanα.On définit la suite (u) par u0 =

√3 et, pour n ∈ N, par un = π − arctanun.

3. Montrer que, pour tout n, un ∈[√

3, π](Indication : on pourra utiliser tan 5π

12 = 2+√

3 > π).4. Montrer que, pour tout n, |un+1 − α| ≤ 1

4 |un − α|.5. En déduire que la suite (u) converge vers α.

22.2 Problème 1

22.2.1 Partie 1

Le plan est rapporté à un repère orthonormal(O,−→i ,−→J), et f est la fonction définie, pour

x ∈ R\0 par f (x) = x coshx−sinhxcoshx−1 et par f (0) = L pour un certain L ∈ R. La courbe représentative

de f est désignée par désignée par (C).1. Déterminer le développement limité de f à l’ordre 3 au voisinage de 0. En déduire L pour

que f soit continue en 0. On prendra désormais L égal à la valeur trouvée. Démontrer quef est dérivable en 0. Préciser la position de la courbe par rapport à sa tangente au pointd’abscisse 0.

2. Étudier les variations de f sur [0, +∞[. Donner le tableau de variations de f .3. Étudier les asymptotes éventuelles de (C) et préciser la position de (C) par rapport à ses

asymptotes. Tracer (C).4. On considère l’équation différentielle (E) : (coshx− 1) y′ + (sinhx) y = x sinhx. Résoudre

(E) sur chacun des intervalles : I1 = ]−∞, 0[ et I2 = ]0, +∞[. Résoudre (E) sur R.

22.2.2 Partie 2

1. Soit g une fonction continue sur [0, +∞[. Établir les deux résultats suivants qui pourrontêtre utilisés par la suite :

(a) Il existe une fonction u unique, définie sur [0, +∞[, admettant des dérivées première etseconde, telle que : u′′ = g, u (0) = 0, u′ (0) = 0.

DEVOIR № 22. DSB : SUJET DE RÉVISION

(b) Si g (x) = a xn + xn ε1 (x) avec a > 0, n ∈ N, limx→0+ ε1 (x) = 0, alors∫ x

0 g (t) dt =a

n+1xn+1 + xn+1 ε2 (x) avec limx→0+ ε2 (x) = 0.

Soit g une fonction continue sur [0, +∞[ et strictement positive sur ]0, +∞[. On associe à gla fonction G définie par G (0) = 0 et, pour x > 0, par G (x) =

∫ x0 t g (t) dt÷

∫ x0 g (t) dt.

2. Justifier que G est effectivement définie sur [0, +∞[. En appliquant à g le résultat de laquestion 1.a, établir, pour x ∈ ]0, +∞[ la relation : G (x) = xu′(x)−u(x)

u′(x) . Montrer que 0 <

G (x) < x pour x > 0. En déduire que G est continue.3. Démontrer que G est dérivable et strictement croissante sur ]0, +∞[. Démontrer que si g

vérifie la condition (b) de la question 1, alors G est dérivable à droite en 0. Préciser sonnombre dérivé.

4. Déterminer une fonction g telle que la fonction G qui lui est associée soit la restriction à[0, +∞[ de la fonction étudiée dans la partie 1.

5. On suppose que g est la fonction définie sur [0, +∞[ par g (x) = arctan (x+ 1). DéterminerG. Quel est le nombre dérivé de G à droite en 0 ?

22.3 Problème 2

Notations : On considère dans tout le problème un C-espace vectoriel E de dimension finie nnon nulle. On note IE l’application identité de E et L (E) l’ensemble des endomorphismes de E.On noteMn (C) l’ensemble des matrices carrées d’ordre n sur C et In la matrice unité d’ordre n.

Si u ∈ L (E) et si F est un sous-espace vectoriel de E, on dira que F est stable par u si u (F ) ⊂ F .On rappelle que, par définition, une valeur propre λ d’un endomorphisme u de E est un complexe

tel qu’il existe un vecteur x ∈ E tel que x 6= −→0 et que u (x) = λx. Un tel vecteur x est alors appelévecteur propre de u pour la valeur propre λ.

Un endomorphisme diagonalisable est un endomorphisme tel qu’il existe une base de E danslaquelle la matrice de u est diagonale.

22.3.1 Partie I

Dans cette partie, u désigne un endomorphisme de E tel qu’il existe une base B de E vérifiant

MatB (u) =

λ1 0 · · · 0

0 λ2...

.... . . 0

0 · · · 0 λn

avec λ1, · · · , λn complexes distincts.

1. Quelles sont les valeurs propres de u ?Soit P =

∑ni=0 aiX

i un polynôme de C [X] et v l’endomorphisme de E défini par :

v = P (u) =

n∑i=0

aiui = anu

n + · · ·+ aiui + · · · a0IE

2. Montrer que u ◦ v = v ◦ u. Montrer que v est diagonalisable. Calculer les valeurs propres dev et son déterminant en fonction des valeurs propres de u.

3. Application. Soit A =

0 0 0 0 11 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 0

et B =

5 4 3 2 11 5 4 3 22 1 5 4 33 2 1 5 44 3 2 1 5

.

(a) Déterminer les valeurs propres de A.(b) Montrer qu’il existe cinq complexes a0, · · · , a4 tels que B = a0I5 +a1A+a2A

2 +a3A3 +

a4A4 + a5A

5. En déduire les valeurs propres de B et une expression du déterminant deB.

22.3. PROBLÈME 2

(c) Soit z ∈ C tel que z5 = 1 et z 6= 1. Simplifier (z − 1)(5z5 + 4z4 + 3z3 + 2z2 + z

). En

déduire que detB = 3× 54.

4. Soit v un endomorphisme de E tel que u ◦ v = v ◦ u. On note (e1, · · · , en) une base de Eformée de vecteurs propres de u.

(a) Montrer que ∀i ∈ [1..n] : ∃µi ∈ C : v (ei) = µiei.(b) Soit n nombres complexes fixés, notés µ1, · · · , µn. Montrer qu’il existe un unique poly-

nôme P ∈ C [X] tel que dg (P ) < n et que P (λi) = µi pour 1 ≤ i ≤ n.(c) Déduire des questions précédentes qu’il existe un polynôme P tel que dg (P ) < n et

v = P (u).

5. Soit Cu = {v ∈ L (E) : u ◦ v = v ◦ u}. Montrer que les trois propriétés suivantes sont équi-valentes :

(a) v ∈ Cu(b) il existe une base de E sur laquelle les matrices de u et v sont diagonales(c) il existe un polynôme P ∈ C [X] tel que dg (P ) < n et v = P (u).

Montrer que Cu est une C-algèbre commutative. Quelle est sa dimension ?

6. Application. Soit A =

2 0 43 −4 121 −2 5

.

(a) Déterminer les valeurs propres de A et une matrice P telle que P−1AP soit diagonale.(b) On se propose de chercher les matrices B telles que B3 = A. Montrer qu’en pareil cas

AB = BA. En déduire toutes les solutions de B3 = A.(c) Si (B1, · · · , Bm) est l’ensemble de ces solutions, calculer

∑mj=1Bj et Πm

j=1Bj .

22.3.2 Partie 2

Soit G un sous-groupe fini et commutatif du groupe L (E) des automorphismes de E. On noteq le nombre d’éléments de G.

1. On se propose de montrer que tous les éléments de G ont au moins un vecteur propre encommun.

(a) Traiter le cas n = 1.(b) Traiter le cas où tous les éléments de G sont des homothéties.(c) Montrer que si un automorphisme g ∈ G n’est pas une homothétie et si n > 1, g admet au

moins une valeur propre λ et un sous-espace propre associé Eλ de dimension strictementinférieure à n. Vérifier que Eλ est stable par tous les éléments de G.

(d) Démontrer par récurrence sur l’entier n qu’il existe un vecteur propre commun à tous leséléments de G.

2. A tout élément f de L (E) on associe f défini par f = 1q

∑g∈G g ◦ f ◦ g−1. Montrer que

f ∈ L (E) et que ∀g ∈ G : g ◦ f ◦ g−1 = f .3. Un sous-espace vectoriel F de E est dit stable par G s’il est stable par tout élément de G.

Soit F un sous-espace vectoriel stable par G.

(a) Montrerque : ∀g ∈ G : g (F ) = F .(b) Soit Π un projecteur de E d’image F . Montrer que Π (défini au 2) est un projecteur de

E d’image F et de noyau stable par G.(c) En déduire que tout sous-espace vectoriel de E stable par G a un supplémentaire dans

E stable par G.

4. Déduire des questions précédentes qu’il existe une base de E sur laquelle tous les élémentsde G ont une matrice diagonale.

5. Énoncer une condition nécessaire et suffisante pour qu’un sous-groupe fini de L (E) soitcommutatif.

Documents

Devoirs en MPSI 1 - 2000/2001douillet/mathapp/MPSI-devoirs.pdf · 2016-11-17 · Devoir № 1 TriangledeNapoléon-Homographies 15/09/2000 1.1 TriangledeNapoléon. 1.Soient p 1;p 2;q