Allocation stratégique d’actifs dans le cadre de … · retenues permet d’obteni des résultats concluants: Le portefeuille obtenu par la méthode de ... Les choix de la méthode

2015

Allocation stratégique d’actifs dans le cadre de l’épargne-retraite BERRADA SOUNI Salma

ACTUARIS | 1

Elève BERRADA SOUNI Salma

Encadrant MARIUZZA David

Allocation stratégique d’actifs dans le cadre de l’épargne-retraite

2015


ACTUARIS | 2

Résumé

Mots clés : épargne-retraite, Solvabilité II, allocation stratégique d’actifs, gestion actif-passif, optimisation du surplus, assurance-vie, produit d’épargne, Markowitz, Sharpe et Tint, Leibowitz.

L’allocation stratégique d’actifs dans le cadre d’un régime de retraite est un exercice délicat dans la

mesure où il n’est pas suffisant d’optimiser le portefeuille d’actifs en terme de couple rendement-

risque. Il est également nécessaire de tenir compte des engagements. En effet les régimes de retraite

sont exposés au risque de sous financement : c’est-à-dire que la valeur des engagements soit

supérieure à la valeur des actifs. En effet, le surplus du régime, représentant l’écart entre la valeur

de marché des actifs et la valeur des engagements techniques, change au cours du temps. Cela est

essentiellement dû aux fluctuations de la valeur de marché des différentes composantes du bilan. Le

surplus est donc une mesure de la solvabilité du fonds. La situation de sous financement a lieu

lorsque le surplus devient négatif. Comment est-il alors possible de déterminer l’allocation qui

optimise ce surplus en terme de couple risque/rendement? Les modèles de Sharpe et Tint, de

Leibowitz et de Talfi répondent à cette question.

Le modèle de Sharpe et Tint, de par sa similitude avec Markowitz, reste relativement simple à

implémenter et à appréhender. D’ailleurs, pour une configuration donnée de ses paramètres, le cas

de Markowitz est retrouvé. Néanmoins, il ne tient pas compte des caractéristiques pouvant être

propres à une classe d’actifs donnée (comme la duration pour une obligation par exemple). Le

modèle de Leibowitz se différencie ainsi du modèle de Sharpe et tint car il permet non seulement de

déterminer la proportion d’actions à détenir dans le portefeuille mais également la duration

optimale de la composante obligataire à détenir. Cependant, ce modèle se restreint à un portefeuille

composé d’une action et d’une composante obligataire. Ceci le rend difficilement adaptable en

pratique. Enfin, le modèle de Talfi est un mélange des méthodes de Sharpe et Tint et de Leibowitz. Il

y ajoute une notion d’horizon de temps et de tolérance au risque. Dans le cadre de ce mémoire, ses

travaux ont de plus été prolongés de façon à ce que ce modèle soit applicable à un portefeuille

composé de plus de deux classes d’actifs.

Dans le cadre d’une application de ces méthodes à un régime de retraite, le modèle de Leibowitz est

écarté. En effet, son implémentation est relativement complexe et difficilement applicable à un

régime investissant dans plus de deux classes d’actifs. Cependant, l’application des méthodes

retenues permet d’obtenir des résultats concluants : Le portefeuille obtenu par la méthode de

Markowitz induit le ratio de couverture le plus élevé et surperforme l’allocation initiale du régime en

termes de surplus. Le portefeuille obtenu par Sharpe et Tint permet d’afficher un surplus encore plus

élevé que Markowitz pour une couverture du SCR inchangée par rapport à l’allocation initiale. Quant

à la méthode de Talfi, elle induit le surplus le plus élevé. Cependant, cette performance a un coût en

termes de couverture du SCR qui diminue par rapport à l’allocation initiale. Les choix de la méthode

utilisée ainsi que des hypothèses retenues pour chacune d'elles sont donc prépondérants. En effet,

une aversion au risque importante entraînera, en moyenne, un surplus plus important mais se

traduira par un coût en capital plus élevé.

De plus, des tests de sensibilité ont été mis en place pour mesurer l’impact du changement de

certaines variables d’entrée sur les résultats produits. Les résultats obtenus indiquent qu’une

attention particulière doit être donnée aux hypothèses de départ et à leur calibrage.

2015


ACTUARIS | 3

Abstract

Key words: pension plans, solvability II, strategic asset allocation, Asset and Liability Management, asset allocation by surplus optimization, life insurance, Markowitz, Sharpe et Tint, Leibowitz.

The strategic asset allocation is a difficult exercise since it is not sufficient to optimize the asset

portfolio in terms of risk-return. It is also necessary to take liabilities into account, particularly in the

context of pension plans. Thus, this study will focus on asset allocation through surplus optimization

methods. The surplus is defined as "the difference between the market value of assets and technical

liabilities". Sharpe and Tint, Leibowitz and Talfi‘s methods are studied.

The Sharpe and Tint model, by its similarity with Markowitz, is relatively simple to implement and to

understand. Moreover, for a given set of parameters, Sharpe and Tint model turns into Markowitz.

However, it does not take into account the characteristics that may be specific to a particular class of

assets (such as duration for a bond). Thus, the Leibowitz model differs from Sharpe and Tint as it

allows to determine the optimal duration of bond to hold in addition to the proportion of actions to

be held. However, this model is restricted to a portfolio built exclusively on stocks and bonds. This

makes it difficult to adapt in practice. Finally, Talfi’s approach is a mixture of Sharpe Tint and

Leibowitz methods. Talfi adds a notion of time horizon and risk tolerance. In this thesis, his work has

been extended so that his model can be applicable to a portfolio containing more than two asset

classes.

The use of retained methods applied to a pension plan provides good results. For most of the key

indicators to be analyzed, surplus optimization methods provide better results than initial allocation

as well as the Markowitz allocation.

Nevertheless, sensitivity tests have been performed in a simplified framework and show evidence

that result are very dependent on the assumptions made about the asset and liabilities. It is then

very important to fine tune these assumptions and to provide a realistic judgment on whether or not

they are plausible.

2015


ACTUARIS | 4

Note de synthèse

ENSAE PARISTECH

3 Avenue Pierre Larousse - 92245 MALAKOFF CEDEX, FRANCE

Mémoire d’Actuariat – Promotion 2015

Allocation stratégique d’actifs dans le cadre de l’épargne-retraite

Salma BERRADA SOUNI

Mots clés : épargne-retraite, Solvabilité II, allocation stratégique d’actifs, gestion actif-passif, optimisation du surplus, assurance-vie, produit d’épargne, Markowitz, Sharpe et Tint, Leibowitz.

Les organismes d’assurance orientent leur portefeuille d’investissement majoritairement vers des

actifs obligataires. En effet, leur politique d’investissement est liée aux tendances économiques,

démographiques et réglementaires favorables passées. Or, le contexte économique actuel de « taux

bas » remet en question la classe d’actifs « obligation » qui perd de plus en plus en rentabilité. Par

ailleurs, la nouvelle réglementation Solvabilité II pénalise la détention d’actifs plus rentables et

risqués, en imposant un capital réglementaire plus élevé. Enfin, les changements démographiques

relatifs à l’allongement de l’espérance de vie et les problématiques de rachat induisent des

contraintes de liquidité plus fortes que dans le passé.

Dans ce cadre, les organismes concernés sont amenés à repenser leur stratégie d’investissement. Or,

dans le cadre d’un régime de retraite notamment, l’allocation d’actifs est un exercice délicat dans la

mesure où il n’est pas suffisant d’optimiser le couple rendement-risque du portefeuille. Il est

également nécessaire de tenir compte des engagements et de leurs interactions avec l’actif.

Comment est-il alors possible de déterminer une allocation optimale, en terme de couple

rendement-risque, qui tient compte du passif ? Pour répondre à cette question, Sharpe et Tint

(1990), Leibowitz (1992) et Talfi (2007) proposent des modèles intégrant des contraintes sur l’actif

mais également sur le passif. Ces modèles introduisent la notion de surplus défini comme « l’écart

entre la valeur de marché des actifs et les engagements techniques ». L’objectif de ce mémoire est

d’étudier ces méthodes et de les adapter au cas d’un régime de retraite réel. Les allocations

obtenues sont ensuite comparées à travers une analyse prospective du bilan du régime de retraite.

Etude des modèles dans un cadre simplifié Soit un univers d’investissement composé de n actifs risqués. Le vecteur des rendements des actifs

du portefeuille est supposé suivre une loi normale multivariée d’espérance μ et de matrice de

covariance V. La démarche de Markowitz consiste à obtenir le vecteur des poids 𝑥 minimisant la

variance du rendement du portefeuille d’actifs 𝑅��(𝑥) sous contrainte d’un rendement minimum 𝜇𝑃

et d’unité de la somme des poids.

2015


ACTUARIS | 5

min𝑥𝑅�� (𝑥) = 𝑥

𝑇𝑉𝑥

𝑠𝑐: {𝑥𝑇𝜇 = 𝜇𝑃

𝑥𝑇𝑒 = 1

La frontière efficiente est une représentation des portefeuilles efficients pour un univers

d’investissement donné. Elle prend une forme parabolique dans ce modèle. Celle-ci permet de lire la

volatilité du portefeuille optimale relative à un rendement minimum donné. Des tests de sensibilité

sur celle-ci sont effectués dans un cadre simplifié : univers d’investissement composé de deux actifs

risqué. Les résultats permettent de constater que :

- Pour plus de rendement, l’investisseur est contraint d’augmenter son exposition au risque.

- Dans un univers d’investissement plus risqué, les volatilités des portefeuilles efficients

augmentent : la volatilité augmente pour un rendement inchangé.

- La volatilité des portefeuilles efficients diminue lorsque la corrélation entre les actifs diminue :

c’est le principe de la diversification.

Le principal avantage du modèle de Markowitz est la simplicité de sa mise en œuvre et la facilité de

son appréhension. Cependant, ce modèle optimise un portefeuille d’actifs sans tenir compte des

engagements. Ce point constitue une limite importante.

Le modèle de Sharpe et Tint est une version améliorée du modèle de Markowitz qui tient compte du

passif. Les engagements techniques sont supposés évoluer selon un taux 𝑅�� appelé « croissance des

engagements ». Ce taux suit une loi normale de moyenne 𝜇𝐿 et de variance 𝜎𝐿2. Ce modèle introduit

la notion de surplus comme l’« écart entre la valeur de marché des actifs et les engagements

techniques » et de ratio de financement 𝑓0 « rapport entre la valeur de marché des actif et les

engagements techniques ». Sa démarche consiste à minimiser la variance du rendement du

surplus 𝑅�� sous contrainte d’un rendement du surplus minimum 𝑟𝑆. Une réécriture détaillée du

programme donne un problème similaire à celui de Markowitz :

min𝑥∈𝑅𝑛

1

2𝑥𝑇𝑉𝑥 −

1

𝑓0𝑥𝑇𝛾

⏞ 𝑇𝑒𝑟𝑚𝑒 𝑒𝑛 𝑝𝑙𝑢𝑠 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑟𝑘𝑜𝑤𝑖𝑡𝑧

𝒔𝒄: {𝑥𝑇𝜇 = 𝑟

𝑥𝑇𝑒 = 1

Avec �� = 𝑟𝑠 +𝑚

𝑓0𝜇𝐿

Le passif est alors pris en compte au travers du vecteur des corrélations entre le passif et les actifs 𝛾

et du ratio de financement 𝑓0. Le terme 1

𝑓0𝑥𝑇𝛾 est un indicateur sur le niveau de couverture du passif

par l’actif.

La frontière efficiente prend une forme parabolique et permet de lire la volatilité optimale du

rendement du surplus pour un rendement du surplus donné. La contrainte de déficit imposant que

« le ratio de financement à l’instant final 𝑓1(𝑥) soit inférieur à 1 (cas de sous-financement) avec une

probabilité donnée 𝛿 » est représentée par une droite. Le portefeuille efficient qui respecte cette

contrainte se trouve à l’intersection de la droite et de la frontière efficiente.

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ACTUARIS | 6

Frontière efficiente (en bleu) de Sharpe et Tint représentée avec la contrainte de déficit (en noir)

Des tests de sensibilité sont effectués dans un cadre simplifié : univers d’investissement composé de

deux actifs risqués et un passif avec une croissance donnée. Les résultats permettent de constater

que :

- Lorsque la croissance moyenne des engagements augmente, les rendements du surplus

diminuent pour des volatilités inchangées. Ainsi, la volatilité et le rendement du portefeuille

efficient vérifiant la contrainte de déficit augmentent : lorsque l’investisseur anticipe une

hausse des engagements, il investit plus fortement dans les actifs risqués pour respecter la

contrainte sur le rendement du surplus.

- Une hausse des corrélations entre les actifs avec le passif induit des portefeuilles efficients

avec des volatilités du surplus moins élevées pour des rendements inchangés. En effet, une

corrélation à la hausse des actifs avec le passif induit une meilleure couverture des variations des

engagements.

- Une hausse du ratio de financement initial induit une hausse des rendements pour des

volatilités inchangées. La frontière efficiente est alors translatée positivement de la même façon

que si les actifs du portefeuille avaient des rendements plus élevés.


implémenter et à appréhender. D’ailleurs, lorsque le ratio de financement initial est fixé à 1 et que

les paramètres liés au passif sont fixés à 0, le cas de Markowitz est alors retrouvé. Néanmoins, il ne

tient pas compte des caractéristiques pouvant être propres à une classe d’actifs donnée (comme la

duration pour une obligation par exemple).

Le modèle de Leibowitz s’applique à un portefeuille composé de deux classes d’actifs : action et

obligation. Il permet d’une part de déterminer le pourcentage d’actions 𝛼∗ à détenir et la duration

𝐷𝑂∗ optimale de la composante obligataire.

Ce modèle suppose que la corrélation entre le passif et l’actif de type obligataire 𝜌𝑜𝑝 est égale à 1,

que la volatilité de l’actif de type obligataire est proportionnelle à sa duration : 𝜎𝑂 = 𝐷𝑂𝜎𝑡𝑎𝑢𝑥1𝑎𝑛 et

que la croissance du passif à la même moyenne et volatilité que l’obligation du portefeuille d’actifs.

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ACTUARIS | 7

Dans le cadre de cette approche, le rendement du surplus 𝑅�� est maximisé. Deux contraintes sont

imposées. Elles consistent à limiter les probabilités 𝑝 et 𝑝′ que les rendements du surplus 𝑅�� et du

portefeuille d’actifs ��𝑃𝑓 soient inférieurs respectivement aux seuils 𝑢 et 𝑢′.

Max (𝑅𝑆 )

sc : {𝑃(��𝑆 < 𝑢) < 𝑝 𝑪𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒊𝒏𝒕𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝒍𝒆 𝒔𝒖𝒓𝒑𝒍𝒖𝒔

𝑃(��𝑃𝑓 < 𝑢′) < 𝑝′ 𝑪𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒊𝒏𝒕𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓𝒕𝒆𝒇𝒆𝒖𝒊𝒍𝒍𝒆 𝒅′𝒂𝒄𝒕𝒊𝒇𝒔

Résolution graphique du programme de Leibowitz

Les seuils et les probabilités fixés dépendent de la tolérance au risque de l’investisseur. Sur le plan

(rendement du portefeuille, volatilité du portefeuille), les solutions vérifiant les deux contraintes se

trouvent à la fois à l’intérieur de l’œuf de Leibowitz (en jaune) représentant la contrainte sur le

rendement du surplus et dans la partie supérieure à la droite de déficit (en bleu), représentant la

contrainte sur le rendement du portefeuille.

Les résultats des tests de sensibilité ont permis de constater que:

- Une augmentation de la volatilité de l’action implique un univers d’investissement plus risqué

ce qui réduit la rentabilité du portefeuille optimal (compression de l’œuf de Leibowitz).

- Une augmentation du ratio de financement implique l’augmentation de la volatilité du

portefeuille optimale : ce modèle suggère plus d’investissements en actions en cas de

diminution du ratio de financement.

- Si le ratio de financement n’est pas assez élevé, une solution vérifiant les deux contraintes

n’existe pas.

- Une aversion au risque plus prononcée (diminution des limites en probabilité 𝒑 et 𝒑′ ou

augumentation des seuils 𝒖 et 𝒖′) induit une diminution de la volatilité du portefeuille optimal.

- Une augmentation de la corrélation entre le passif et l’actif risqué permet d’obtenir un

portefeuille optimal avec un rendement supérieur pour une augmentation moindre de la

volatilité : dès que l’actif le plus risqué et le plus rentable est suffisamment corrélé à l’actif le

moins risqué, l’investisseur est incité à investir davantage dans l’actif le plus rentable car il est

suffisamment corrélé à l’actif sans risque pour suivre ses variations.

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ACTUARIS | 8

Le modèle de Leibowitz se différencie du modèle de Sharpe et Tint car il permet non seulement de

déterminer la proportion d’actions à détenir dans le portefeuille mais également la duration

optimale de la composante obligataire à détenir. Cependant, ce modèle se restreint à un portefeuille

composé d’une action et d’une composante obligataire. Ceci le rend difficilement adaptable à la

réalité dans laquelle un gérant peut allouer sa richesse dans un large nombre d’actifs.

Le modèle de Talfi s’inspire des travaux de Leibowitz et de Sharpe et Tint. Il intègre de plus un

paramètre de tolérance au risque 𝑡𝑜𝑙. Dans son étude, un régime de retraite à prestations définies

est considéré sur un horizon de temps H (durée de l’étude). Le portefeuille d’actifs est composé de

deux classes d’actifs : actions et obligations.

Le groupe d’assurés dans le fonds de pension est supposé fermé (absence de nouvelles adhésions et

population sans mortalité durant la période considérée). De plus, le gérant ne paie pas les

prestations aux dates prévues (entre 0 et H) mais seulement à l’échéance. Ces hypothèses

permettent de modéliser le passif par une obligation zéro coupon de maturité H. Le rendement de

cette obligation et sa volatilité sont supposés égaux à ceux de l’actif obligataire du portefeuille. Dans

le cadre de cette approche, une fonction du rendement du surplus 𝑅��, de type espérance-variance,

est maximisée.

max𝑢𝐸[𝑅��] −

𝑣𝑎𝑟(𝑅��)

𝑡𝑜𝑙

Dans le cadre des tests de sensibilité aux différents paramètres du modèle, la chronique des

prestations entre 0 et H ainsi que la provision mathématique à l’instant final sont fixées.

L’investisseur est de plus supposé riscophobe. Les résultats des tests de sensibilité ont permis de

constater que :

- Avec une corrélation entre l’actif risqué et l’actif obligataire assez faible, une hausse des

engagements induit une augmentation du poids de l’obligation qui épouse bien les variations

du passif (figure ci-dessous à droite).

Poids l’actif risqué en fonction du montant des engagements [Corrélation entre l’actif obligataire et l’actif risqué élevée

(à gauche) / Corrélation entre l’actif obligataire et l’actif risqué élevée (à droite)]

- Dès que la corrélation entre l’actif et le passif dépasse un certain seuil, la stratégie de

couverture contre une hausse des engagements consiste à investir plus dans l’actif risqué :

l’actif risqué traduit fidèlement les variations du passif et est de plus davantage rentable que

l’obligation (figure ci-dessous à gauche).

- L’allocation en actif risqué est croissante avec le coefficient de tolérance au risque.

Poids des engagements par rapport à leur poids initial Poids des engagements par rapport à leur poids initial

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ACTUARIS | 9

Le modèle de Talfi est un mélange des méthodes de Sharpe et Tint et de Leibowitz. Il y ajoute une

notion d’horizon de temps et de tolérance au risque. Dans le cadre de ce mémoire, les travaux de

Talfi ont de plus été prolongés de façon à ce que ce modèle soit applicable à un portefeuille composé

de plus de deux classes d’actifs.

Application à un régime de retraite Le cas de l’étude correspond à un régime de retraite fermé à prestations définies. Les chroniques de

décaissements (prestations-cotisations) futures dans le cadre d’un scénario central sont connues. Un

univers d’investissement composé de sept classes d’actifs est considéré. Le calibrage des rendements

et des volatilités des classes d’actifs est établi sur la base d’éléments financiers transmis par le

gestionnaire d’actifs.

Les méthodes de Markowitz, de Sharpe et Tint et de Talfi sont retenues pour leur simplicité

d’implémentation et parce qu’elles sont applicables à un portefeuille composé de plus de deux actifs.

L’application de ces méthodes permet d’obtenir des allocations différentes selon les contraintes de

rendement, de tolérance au risque et d’investissement imposées. L’analyse du ratio de Sharpe

permet de sélectionner quatre portefeuilles parmi les portefeuilles obtenus (en plus du portefeuille

initial).

Le tableau ci-dessous récapitule les allocations retenues. Le portefeuille A correspond à l’allocation

initiale. Les portefeuilles B et C correspondent respectivement aux allocations obtenues par les

méthodes de Markowitz et Sharpe et Tint avec un rendement du portefeuille minimum égal au

rendement initial, c’est-à-dire à 3,62%. Les portefeuilles D et E correspondent aux allocations

obtenues par la méthode de Talfi pour des tolérances au risque de 10% et 20% respectivement.

Catégories modélisées Portefeuille A Portefeuille B Portefeuille C Portefeuille D Portefeuille E

Actions 12,78% 5,5% 6,4% 10,3% 17,4%

Obligations d'Etat 2,93% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%

Obligations d'entreprises 72,88% 62,4% 57,9% 58,3% 53,8%

Immobilier 3,36% 15,9% 18,3% 17,4% 14,8%

Monétaire 4,60% 2,2% 3,4% 0,0% 0,0%

OPCVM Obligataire 0,31% 10,0% 10,0% 10,0% 10,0%

Classes alternatives 3,15% 4,0% 4,0% 4,0% 4,0%

Rendement 3,62% 3,62% 3,62% 3,90% 4,25%

Volatilité 3,38% 3,00% 3,00% 3,32% 3,87%

Ratio de Sharpe 1,02 1,16 1,15 1,13 1,02

Analyse prospective Une analyse prospective sur 10 ans pour chacun des portefeuilles est effectuée. Celle-ci consiste en

la projection du bilan du régime selon un scénario moyen « monde réel » d’une part. Celui–ci est

conforme aux anticipations en termes de performance des actifs du régime. D’autre part, le bilan est

projeté selon un scénario moyen « risque neutre » de façon à être en mesure d’effectuer des calculs

relatifs à Solvabilité II. Les figures suivantes présentent les principaux résultats :

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ACTUARIS | 10

Évolution du surplus par portefeuille (Valeur de marché - Provisions techniques)

Variation du ratio de couverture dans 1 an entre des portefeuilles (fonds propres économiques/SCR)

Les portefeuilles C, D et E obtenus par des méthodes d’optimisation du surplus surperforment

l’allocation initiale et l’allocation obtenue par Markowitz en termes de surplus. En effet, bien que les

portefeuilles B et C soient caractérisés par le même rendement, la prise en compte du passif, pour le

portefeuille C permet de mieux performer en terme de surplus. Par ailleurs, une tolérance au risque

de 20% (portefeuille E) induit un surplus plus élevée que pour une tolérance au risque de 10%

(portefeuille D).

Cependant, le SCR calculé à partir du portefeuille initial est inférieur aux SCR relatifs aux autres

portefeuilles. Cela s’explique par la variation du SCR de marché. En effet, la détention d’actifs plus

risqués (immobilier, OPCVM obligataires et classes alternatives) induit un coût en capital plus fort.

Cependant, la diminution du best estimate au passif induit une augmentation des fonds propres

économiques pour les portefeuilles B, C, D et E. Ceci vient compenser la hausse du SCR. Finalement,

le ratio de couverture (Fonds propres économiques/ SCR) reste assez élevé pour ces portefeuilles.

Pour conclure :

Le portefeuille B obtenu par la méthode de Markowitz induit le ratio de couverture le plus élevé

et surperforme l’allocation initiale en termes de surplus.

Le portefeuille C, obtenu par Sharpe et Tint, permet d’afficher un surplus encore plus élevé que

pour le portefeuille B, et ce, pour une couverture du SCR inchangée.

Quant aux portefeuilles D et E, obtenus par la méthode de Talfi, ils induisent les surplus les plus

élevés. Cependant, cette performance a un coût en termes de couverture du SCR qui diminue de

10% et 14% respectivement par rapport à l’allocation initiale.

Les choix de la méthode utilisée ainsi que des hypothèses retenues pour chacune d'elles sont donc

prépondérants. En effet, une aversion au risque importante entraînera, en moyenne, un surplus plus

important mais se traduira par un coût en capital plus élevé.

100 000 000

150 000 000

200 000 000

250 000 000

300 000 000

350 000 000

2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025

Portefeuille A Portefeuille B Portefeuille C Portefeuille D Portefeuille E

158% 164%

157%

148% 144%

0 m€

50 m€

100 m€

150 m€

200 m€


Fonds propres économiques SCR Total Ratio

2015


ACTUARIS | 11

Summary

ENSAE PARISTECH

3 Avenue Pierre Larousse - 92245 MALAKOFF CEDEX, FRANCE

Actuarial thesis – Year 2015

Strategic asset allocation for pension funds

Salma BERRADA SOUNI

Key words: pension plans, Solvability II, strategic asset allocation, Asset and Liability Management, asset allocation by surplus optimization, life insurance, Markowitz, Sharpe et Tint, Leibowitz.

Insurance undertakings orient their investment portfolio mainly on bonds. Their investment policy is

related to past economic, demographic and regulatory trends. However, the current "low rates"

economic environment raises questions about the profitability and safety of bonds. Furthermore, the

new Solvency II regulatory framework penalizes the possession of profitable and risky assets by

imposing a higher regulatory capital. Finally, the increase in life expectancy implies stronger liquidity

constraints.

In this context, asset allocation takes an important place. The bodies concerned are asked to change

their investment strategy but this may be a subtle exercise since it is not sufficient to optimize the

asset portfolio in terms of risk-return. It is also necessary to take liabilities into account. How is it

then possible to determine an optimal allocation methods in terms of risk-return, which takes

account of these liabilities? To answer this question, Sharpe and Tint (1990), Leibowitz (1992) and

Talfi (2007) proposed models integrating constraints on assets but also on liabilities. These models

introduce the concept of surplus defined as "the difference between the market value of assets and

technical commitments." The objective of this thesis is to study these methods and adapt them to

the case of a real pension plan. The allocations obtained are then compared through a prospective

analysis of the balance sheet of the pension plan.

Models study in a simplified framework

Let n be the number of risky assets in the investment universe. The vector of returns of the portfolio

assets is assumed to follow a multivariate normal distribution. Let μ be its mean and V its covariance

matrix. Markowitz's goal is to determine the vector of weight x that minimizes the variance of

portfolio return 𝑅��(𝑥) under the constraint of a minimum return 𝜇𝑃. The sum of weights should be

equal to 1.

2015


ACTUARIS | 12

min𝑥𝑅�� (𝑥) = 𝑥

𝑇𝑉𝑥


𝑥𝑇𝑒 = 1

The efficient frontier is a representation of efficient portfolios for a given investment universe. It

takes a parabolic shape in this model. This allows the reading of the optimal portfolio volatility

relatively to a minimum return. Sensitivity tests were made in a simplified framework. The following

results are found:

- For performance higher return, the investor is forced to increase its risk exposure.

- In a riskier investment universe, efficient portfolios volatilities increase: the volatility increases

for an unchanged return.

- Volatilities of efficient portfolios decrease when the correlation between the assets decreases:

principle of diversification.

The main advantage of Markowitz model is its simplicity. However, this model optimizes a portfolio

of assets without taking liabilities into account.

The Sharpe and Tint model is an improved version of the Markowitz method as it takes liabilities into

account. The technical commitments are assumed to grow at a rate 𝑅�� called “liabilities’s growth”.

This rate follows a normal distribution of mean 𝜇𝐿 and variance 𝜎𝐿2. This model introduces the

surplus as “the difference between the market value of assets and the technical liabilities” and𝑓0 as

the funding ratio of the assets market value over the book value of technical liabilities. Its goal is to

minimize the variance of the surplus return 𝑅�� under the constraint of a minimum surplus return 𝑟𝑆.

The program is a similar to Markowitz one:

min𝑥∈𝑅𝑛

1


1

𝑓0𝑥𝑇𝛾

⏞ 𝑁𝑒𝑤 𝑡𝑒𝑟𝑚


𝑥𝑇𝑒 = 1

With �� = 𝑟𝑠 +𝑚

𝑓0𝜇𝐿

Liabilities are taken into account through both the vector of correlations between liabilities and

assets and the funding ratio 𝑓0. The term 1

𝑓0𝑥𝑇𝛾 is an indicator on the level of the coverage of

liabilities by the assets.

The efficient frontier is a representation of efficient portfolios for a given investment universe. It

takes a parabolic shape in this model. This allows reading the optimal portfolio volatility of the

surplus relatively to a minimum return of the surplus. The deficit constraint requiring that "funding

ratio at the final instant 𝑓1(𝑥) is less than 100% (case of underfunding ) with a given probability δ “ is

represented by a straight line. The efficient portfolio that meets this constraint is at the intersection

of the line and the efficient frontier.

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ACTUARIS | 13

Efficient Frontier (blue) Sharpe and Tint shown with the deficit constraint (in black)

Sensitivity tests are performed in a simplified framework : two risky assets and liabilities with a given

growth. The results are:

- When the average growth of liabilities increases, surplus return reduces for an unchanged

volatility. Thus, the surplus volatility and the surplus return of the efficient portfolio that meet

the deficit constraint increase: when the investor anticipates an increase in liabilities, he invests

more heavily in risky assets to meet the constraint on the return of the surplus.

- An increase in correlations between assets and liabilities generates efficient portfolios with

lower volatilities of surplus. Indeed, an increased correlation between the assets and the

liabilities produces better coverage.

- An increase in initial funding ratio induces higher surplus returns for unchanged volatilities. The

efficient frontier is then translated as if the portfolio assets had higher returns

The Sharpe and Tint model, by its similarity with the Markowitz method, is relatively simple to

implement and to understand. Moreover, for a given set of parameters, Sharpe and Tint model turns

into Markowitz. However, it does not take the characteristics that may be specific to a particular

class of assets (such as duration for a bond) into account.

Leibowitz's model is applicable to a portfolio of two asset classes: stocks and bonds. It allows for

determining the percentage of shares 𝛼∗ to be held as well as the optimal duration 𝐷𝑂∗ for bond

component of the portfolio.

This model assumes that the correlation between bonds and liabilities is equal to 1, that the volatility

of the bond is proportional to its duration: 𝜎𝑂 = 𝐷𝑂𝜎𝑡𝑎𝑢𝑥1𝑎𝑛 and that the mean and variance of the

growth of liabilities are equal to those of the bond’s return.

The return of surplus 𝑅�� is maximized. Two constraints are imposed. It consists in limiting the

probabilities p and p’ that the returns of surplus 𝑅�� and of the asset portfolio ��𝑃𝑓 fall below the

thresholds u and u' respectively.

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ACTUARIS | 14

Max (𝑅𝑆 )

sc : {𝑃(��𝑆 < 𝑢) < 𝑝 𝑪𝒐𝒏𝒔𝒕𝒓𝒂𝒊𝒏𝒕 𝒐𝒏 𝒔𝒖𝒓𝒑𝒍𝒖𝒔

𝑃(��𝑃𝑓 < 𝑢′) < 𝑝′ 𝑪𝒐𝒏𝒔𝒕𝒓𝒂𝒊𝒏𝒕 𝒐𝒏 𝒕𝒉𝒆 𝒂𝒔𝒔𝒆𝒕 𝒑𝒐𝒓𝒕𝒇𝒐𝒍𝒊𝒐

Graphical solution of Leibowitz model

These thresholds and probabilities depend on the risk tolerance of the investor. The solutions

satisfying the two constraints are found both inside the Leibowitz egg (yellow) representing the

constraint on the return of surplus and above the straight line (blue ) representing the constraint on

the portfolio return.

The sensitivity tests results revealed that:

- An increase in the volatility of the assets implies a riskier investment universe which reduces

the profitability of the optimal portfolio ( compression of Leibowitz egg )

- An increase of the funding ratio implies an increase of the volatility of the optimal portfolio:

this model suggests more investment in risky assets in case of a decrease of the funding ratio.

- If the funding ratio is not high enough, a solution satisfying both constraints does not exist.

- A more pronounced risk aversion induces a decrease in the volatility of the optimal portfolio.

- An increase in the correlation between liabilities and risky assets provides an optimal portfolio

with higher return for a lower increase of the volatility: when the riskiest and most profitable

asset is sufficiently correlated with the least risky asset, investors are encouraged to invest more

in the most profitable asset because it is sufficiently correlated to the less risky asset to track its

variations.

The model of Leibowitz differs from Sharpe and Tint as it allows determining the optimal duration of

bond to hold in addition to the proportion of stocks to be held. However, this model is restricted to a

portfolio exclusively built on stocks and bonds. This makes it difficult to adapt in practice.

The model of Talfi is a mixture of Leibowitz and Sharpe and Tint models. It integrates a parameter of

risk aversion: 𝑡𝑜𝑙. In this study, a pension plan with defined benefits is considered on a time horizon

H (study period). The portfolio contains two asset classes: stocks and bonds.

2015


ACTUARIS | 15

The group of policy holders in the pension fund is assumed to be closed (no new members and no

mortality during the period). In addition, the manager of the pension plan does not pay benefits on

the scheduled dates (between 0 and H) but only at t=H. These assumptions are used to model

liabilities with zero-coupon bonds with maturity H. The return of this bond and its volatility are

assumed to be equal to the return and volatility of the bonds in the portfolio. A “mean-variance”

function of the surplus return is maximized:



𝑡𝑜𝑙

For sensitivity tests, chronic benefits between 0 and H and the mathematical reserve for the final

time are set. The investor is assumed to be risk averse. The results of the sensitivity tests revealed

that:

- With a relatively low correlation between risky assets and bond assets, higher commitments

induce an increase in the weight of the bond (see the right figure below).

Weight of risky assets based on the book value of liabilities [ High correlation between bonds risky assets (left) / High

correlation between bonds risky assets (right)]

- As soon as the correlation between the assets and liabilities exceeds a certain threshold, the

hedging strategy against an increase of the value of liabilities is to invest more in the risky

asset : the risky asset accurately reflects changes in the liability and is becoming more profitable

than the bond ( figure below left) .

- The risky asset allocation increases with the coefficient of risk tolerance.

Talfi’s approach is a mixture of Sharpe Tint and Leibowitz methods. Talfi adds a notion of time

horizon and risk tolerance. This thesis, his work has been extended so that his model can be

applicable to a portfolio containing more than two asset classes.

Methods application to a pension fund The case study corresponds to a run off pension plan with defined benefit plans. An investment

universe composed of seven asset classes is considered. The calibration of returns and volatilities of

asset classes is established on the basis of financial data transmitted by the asset manager.

2015


ACTUARIS | 16

The Markowitz, Sharpe and Tint and Talfi methods are retained because they are relatively simple to

implement and because they are applicable to a portfolio of more than two assets. The application of

these methods provides different allocations depending on performance constraints and risk

tolerance. The analysis of the Sharpe ratio allows to select four portfolios among the portfolios

obtained (in addition to the initial portfolio).

The table below summarizes retained portfolios. The portfolio A corresponds to the initial allocation.

Portfolios B and C correspond to the allocation obtained by the methods of Markowitz and Sharpe

and Tint ( respectively ) with a minimum investment return equal to the initial return (that is to say

3.62%). Portfolios D and E correspond to the allocation obtained by Talfi’s method for risk tolerances

of 10% and 20% respectively Asset classes Portfolio A Portfolio B Portfolio C Portfolio D Portfolio E

Stocks 12,78% 5,5% 6,4% 10,3% 17,4%

Governmental bonds 2,93% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%

Corporate bonds 72,88% 62,4% 57,9% 58,3% 53,8%

Real estate 3,36% 15,9% 18,3% 17,4% 14,8%

Monetary 4,60% 2,2% 3,4% 0,0% 0,0%

Bond UCITS 0,31% 10,0% 10,0% 10,0% 10,0%

Alternative investments 3,15% 4,0% 4,0% 4,0% 4,0%

Return 3,62% 3,62% 3,62% 3,90% 4,25%

Volatility 3,38% 3,00% 3,00% 3,32% 3,87%

Sharpe Ratio 1,02 1,16 1,15 1,13 1,02

Prospective analysis A prospective analysis on 10 years for each of the portfolios is done. Firstly, the balance sheet of the

pension plan is projected accordingly to an average “real world” scenario reflecting the pension plan

returns anticipations. Secondly, the projection is made accordingly to an “risk neutral” average

scenario so that Solvency 2 regulatory calculations can be properly implemented. The following

figures show the main results:

Evolution of the surplus (market value - Technical reserves)

portfolio coverage ratio (economic capital / SCR)

100 000 000

150 000 000

200 000 000

250 000 000

300 000 000

350 000 000

2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025


158%

164%

157%

148% 144%

0 m€

50 m€

100 m€

150 m€

200 m€



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ACTUARIS | 17

The portfolios C, D and E obtained by surplus optimization methods outperform the original

allocation and the allocation obtained through the use of the Markowitz methods in terms of surplus.

Indeed, although the portfolios B and C are characterized by the same return. Taking into account

liabilities allows portfolio C to perform better.

However, the SCR calculated from the initial portfolio is lower than the SCR derived from the other

portfolios. This is largely explained by the variations of the Market Risk SCR. Indeed, riskier assets

such as real estate, investment funds and alternative asset classes are more costly in the sense that

the amount of SCR that must correspond to these is higher. On the other hand, the decrease in the

value of the Best Estimates and Deferred Taxes Liabilities induces a rise of the amount of required

economic own funds for portfolios B, C, D and E which compensates the SCR amount augmentation.

Finally, the cover ratio (Economic Own Funds / SCR) remains high enough for these portfolios.

The results obtained with the surplus optimization methods are satisfactory and optimize the surplus

while maintaining a high coverage ratio. However, the sensitivity tests carried out in a simplified

framework have shown that the results are sensitive to assumptions on assets and liabilities. It is

therefore necessary to ensure of the robustness of the assumptions and their calibration.

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Remerciements

Je remercie l'ensemble des consultants du pôle vie du cabinet ACTUARIS pour leur accueil chaleureux,

leur professionnalisme et leur disponibilité quotidienne durant ma période de stage.

Je remercie en particulier David MARIUZZA, mon tuteur de mémoire au sein d'ACTUARIS pour la

qualité de son encadrement et le temps qu'il m’a consacré tout au long de cette année.

Je tiens aussi à remercier Delphine MORGANA, Marine NIEDZWIEDZ, Anne-Claire MARTIAL, Lucy

AUBRY et Céline DEMOULIN pour leur disponibilité au sein du cabinet, leurs relectures et leurs

précieux conseils.

Enfin, je remercie le corps enseignant de l'ENSAE, notamment Olivier LOPEZ, Xavier MILHAUD,

Caroline HILAIRET et Nicolas BARADEL pour la qualité de leur suivi et leurs recommandations.

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Table des matières

Introduction générale ................................................................................................................. 22

Partie 1 : Contexte ...................................................................................................................... 24

I. Le système de retraite en France .................................................................................................. 25

II. Un moyen de financer l’économie ................................................................................................ 27

III. Cadre réglementaire : Solvabilité II ........................................................................................... 27

IV. Les enjeux de la retraite en lien avec l’allocation stratégique d’actifs ..................................... 30

V. Les différentes classes d’actifs ...................................................................................................... 30

Les actions ................................................................................................................................. 31 1.

Les produits de taux .................................................................................................................. 31 2.

Les actifs immobiliers ................................................................................................................ 32 3.

La gestion alternative ................................................................................................................ 32 4.

Les investissements non cotés ou « private equity » ............................................................... 33 5.

Les infrastructures ..................................................................................................................... 34 6.

VI. Environnement « taux bas » et nouveau cadre réglementaire : vers quelle stratégie

d’allocation de portefeuille? ................................................................................................................. 34

VII. Revue de littérature .................................................................................................................. 36

VIII. Conclusion de la partie 1 ........................................................................................................... 38

Partie 2 : Mise en œuvre dans un cadre simplifié ......................................................................... 39

I. Le modèle de Markowitz (1952).................................................................................................... 40

Le programme d’optimisation de Markowitz ............................................................................ 41 1.

Résolution du problème ............................................................................................................ 41 2.

Frontière efficiente .................................................................................................................... 43 3.

Sensibilités du modèle de Markowitz ....................................................................................... 45 4.

Conclusion sur le modèle de Markowitz ................................................................................... 47 5.

II. Modèle de Sharpe et Tint (1990) .................................................................................................. 48

Modélisation du passif .............................................................................................................. 48 1.

Modélisation de l’actif ............................................................................................................... 48 2.

Le problème d’optimisation ...................................................................................................... 49 3.

Résolution du programme d’optimisation de Sharpe et Tint.................................................... 51 4.

Frontière efficiente de Sharpe et Tint ....................................................................................... 54 5.

Ajout d’une contrainte de déficit .............................................................................................. 56 6.

Sensibilités du modèle de Sharpe et Tint .................................................................................. 58 7.

2015


ACTUARIS | 20

Pour aller plus loin : Hypothèses supplémentaires pour le passif ............................................ 62 8.

III. Modèle de Leibowitz (1992) ...................................................................................................... 63

Modélisation du passif .............................................................................................................. 63 1.


Modélisation du surplus ............................................................................................................ 64 3.

Contrainte sur le rendement surplus ........................................................................................ 64 4.

Contrainte sur le rendement du portefeuille d’actifs ............................................................... 66 5.

Résolution du programme d’optimisation de Leibowitz ........................................................... 66 6.

Sensibilités du modèle de Leibowitz ......................................................................................... 69 7.

Conclusion sur le modèle de Leibowitz ..................................................................................... 74 8.

IV. Modèle de Talfi (Thèse 2007) ................................................................................................... 75


Représentation du passif par un portefeuille dupliquant ......................................................... 76 2.

Modélisation du surplus du fonds ............................................................................................. 77 3.

Programme d’optimisation ....................................................................................................... 78 4.

Résolution du programme d’optimisation de Talfi ................................................................... 79 5.

Probabilité de déficit ................................................................................................................. 80 6.

Application et sensibilités du modèle ....................................................................................... 81 7.

Généralisation en présence de plus de deux actifs ................................................................... 87 8.

Conclusion sur le modèle de Talfi .............................................................................................. 89 9.

V. Conclusion de la partie 2 ............................................................................................................... 90

Partie 3: Application dans le cadre d’un régime de retraite .......................................................... 91

I. Le régime étudié ............................................................................................................................ 92

Le passif du régime .................................................................................................................... 92 1.

L’actif du régime ........................................................................................................................ 93 2.

II. Les hypothèses retenues ............................................................................................................... 93

Le taux de participation aux bénéfices ...................................................................................... 94 1.

Les rendements et les volatilités annuels des classes d’actifs .................................................. 94 2.

La matrice de corrélation des classes d’actifs ........................................................................... 96 3.

Les corrélations des classes d’actifs avec le passif .................................................................... 96 4.

III. Allocations optimales obtenues ................................................................................................ 96

Démarche .................................................................................................................................. 96 1.

Méthode de Markowitz ............................................................................................................. 97 2.

Méthode de Sharpe et Tint ....................................................................................................... 99 3.

2015


ACTUARIS | 21

Méthode de Talfi ..................................................................................................................... 103 4.

Portefeuilles retenus pour les tests......................................................................................... 106 5.

IV. Analyse prospective................................................................................................................. 107

1. Modèle de gestion actif-passif ................................................................................................ 107

Générateur de scénarios économiques .................................................................................. 110 2.

Résultats « monde réel » ......................................................................................................... 111 3.

Résultats « risque neutre » ..................................................................................................... 117 4.

Conclusion de la partie 3 ......................................................................................................... 121 5.

Conclusion générale .................................................................................................................. 122

Annexes .................................................................................................................................... 124

Annexe 1: bilans simplifiés S1 et S2 : portefeuille A ....................................................................... 124

Annexe 2: bilans simplifiés S1 et S2 : portefeuille B ........................................................................ 125

Annexe 3: bilans simplifiés S1 et S2 : portefeuille C ........................................................................ 126

Annexe 4: bilans simplifiés S1 et S2 : portefeuille D ....................................................................... 127

Annexe 5: bilans simplifiés S1 et S2 : portefeuille E ........................................................................ 128

Annexe 6: plus-values latentes relatives aux classe « actions » et « alternatives » ....................... 129

Index des graphiques ................................................................................................................. 130

Index des équations .................................................................................................................. 131

Index des tableaux .................................................................................................................... 132

Bibliographie ............................................................................................................................. 133

2015


ACTUARIS | 22

Introduction générale

L’évolution démographique actuelle et l’allongement de l’espérance de vie mettent le sujet de

l’avenir des retraites au centre des préoccupations. De plus, le contexte économique de « taux bas »

a une influence négative sur l’état financier des régimes de retraite. Ainsi, une série de réformes des

systèmes de retraites ont été mises en place afin de répondre aux enjeux financiers et

démographiques. L’étude s’intéresse particulièrement à l’allocation stratégique d’actifs comme

une réponse à ces enjeux.

Les techniques d’allocation d’actifs utilisées par les organismes d’assurance en France sont souvent

basées sur l’expérience. Ainsi, leurs choix d’investissement se retrouvent majoritairement orientés

vers les obligations. Cependant, cette classe d’actifs n’est plus rentable dans un contexte de « taux

bas ». De plus, l’environnement réglementaire Solvabilité II influence les politiques d’investissement

des régimes de retraite. En effet, bien que les actifs risqués ou réels tels que les actions et

l’immobilier soient avantageux en termes de rendement/risque sur le long terme, leur détention est

fortement pénalisée dans la formule standard 1(contrairement aux obligations).

L’allocation stratégique d’actifs, dans le contexte économique et réglementaire actuel est donc

devenue une problématique importante et complexe. Dans le cadre d’un régime de retraite, elle vise

à proposer une répartition du portefeuille d’investissement qui doit permettre de répondre à un

objectif de performance financière tout en respectant les engagements.

En effet, les régimes de retraite sont exposés à des risques financiers (risque actions, risque de taux,

risque de défaut, risque de crédit, etc.) et des risques actuariels (risque de longévité, risque de

souscription, etc.). La combinaison de ces risques expose le régime au risque de sous financement :

c’est-à-dire que la valeur des engagements soit supérieure à la valeur des actifs. En effet, le surplus

du régime, représentant l’écart entre la valeur des actifs et la valeur des engagements actualisés,

change au cours du temps. Cela est essentiellement dû aux fluctuations de la valeur de marché des

différentes composantes du bilan. Le surplus est donc une mesure de la solvabilité du fonds. La

situation de sous financement a lieu lorsque le surplus devient négatif. Comment est-il alors possible

de déterminer l’allocation qui optimise ce surplus en terme de couple risque/rendement? Pour

répondre à cette question, ce mémoire s’intéresse à l’étude et à l’application de modèles

d’allocations d’actifs statiques dits « d’optimisation du surplus ». Les modèles étudiés sont ceux de

Leibowitz, de Sharpe et Tint et de Talfi.

La première partie de ce mémoire présente le contexte de la retraite en France, l’environnement

économique et réglementaire ainsi que les enjeux en lien avec le sujet de l’allocation stratégique

d’actifs.

La seconde partie s’intéresse à la mise en œuvre et à l’étude de quatre méthodes d’allocation

stratégique d’actifs. La première méthode implémentée est celle de Markowitz. Cette méthode

optimise en termes de couple rendement/risque le portefeuille d’actifs indépendamment des

engagements. Les trois autres modèles mis en œuvre (Leibowitz, Sharpe et Tint et Talfi) sont basés

sur la notion de surplus et intègrent le passif dans leur modélisation. Dans ce cadre, un univers

d’investissement composé de deux actifs risqués et d’un passif, doté d’un rendement moyen et

1 Méthode de calcul des capitaux économiques dans la réglementation Solvabilité II.

2015


ACTUARIS | 23

d’une volatilité, sont considérés. L’étude s’attache à réaliser des tests de sensibilité de ces modèles

par rapport à leurs paramètres d’entrée (engagements, rendements, corrélations,…). La méthode de

Leibowitz est écartée pour la suite de l’étude. En effet, celle-ci est relativement complexe et est

difficilement adaptable à un portefeuille composé de plus de deux classes d’actifs.

La dernière partie présente une application des méthodes retenues à un régime de retraite à

prestations définies souscrit dans le cadre de l’assurance vie.

Les trois méthodes retenues sont appliquées en intégrant des contraintes d’investissement

spécifiques au régime considéré. L’étude du ratio de Sharpe, du rendement du surplus et de sa

volatilité permettent alors de retenir cinq allocations (dont l’allocation initiale).

Une analyse prospective est alors effectuée où chaque allocation est projetée en fonction de la règle

de gestion actif-passif du régime en question. Dans ce cadre, deux sortes de projections sont

effectuées. La projection dite « monde réel » évolue selon le scénario économique moyen anticipé

par le régime. Celle-ci permet d’analyser l’évolution du surplus, de la valeur de marché du

portefeuille et du taux de revalorisation relatifs à chaque allocation. La projection « risque neutre »

évolue selon un scénario dans lequel tous les actifs ont pour rendement le taux sans risque. Celle-ci

permet d’analyser le capital économique (SCR : Solvability Capital Requirement) et le ratio de

couverture (SCR/fonds propres économiques) pour chacune des allocations testées.

2015


ACTUARIS | 24

Partie 1 : Contexte

2015


ACTUARIS | 25

Ce mémoire s’intéresse à l’allocation stratégique d’actifs dans le cadre de l’épargne-retraite. Par

conséquent, cette partie s’attache à présenter le système de la retraite en France et ses enjeux en

lien avec l’allocation d’actifs. Les différentes classes d’actifs pouvant être adossées au passif d’un

régime de retraite sont ensuite présentées. Les enjeux réglementaires et économiques de l’allocation

d’actifs sont de plus mis en exergue. Enfin, une revue de littérature sur les méthodes d’allocation

d’actifs depuis 1952 à aujourd’hui est effectuée.

I. Le système de retraite en France

Le système de retraite français est caractérisé par deux types de régimes légalement obligatoires :

ce sont les régimes de base et les régimes complémentaires. A ceux-là s’ajoutent ensuite des

dispositifs d’épargne retraite individuelle et collective supplémentaires.

Il existe divers régimes selon des critères d’appartenance socioprofessionnelle. La plupart des

régimes obligatoires (de base et complémentaires) sont gérés par des organismes de Sécurité Sociale

ou par des Institutions de Retraite Complémentaire. Pour la plupart, ces régimes sont gérés par

répartition2. Cependant, les premières assurances sociales dans les années 1930 reposaient sur un

système de retraite par capitalisation. Après la guerre, l’idée de solidarité s’est imposée. Les

ordonnances de 1945 créant la Sécurité Sociale ont institué un régime par répartition, qui prévaut

aujourd’hui pour les régimes de base et complémentaires.

Plusieurs pays, face aux difficultés de financement des retraites, ont décidé d’introduire de la

capitalisation privée dans leurs systèmes de protection sociale comme en Allemagne. La France a

pour l’instant privilégié les dispositifs publics, à travers la mise en place en 1999 d’un Fonds de

Réserve des Retraites pour contribuer à financer les retraites.

Les régimes de base3 sont proposés par la Sécurité Sociale. Ils sont gérés par répartition et sont à

prestations définies4 (les pensions sont calculées en fonction du salaire), ils proposent environ 50%

de la moyenne des 25 meilleurs salaires plafonnée à un certain montant de salaire appelé

communément PASS (Plafond de la Sécurité Sociale).

2 Un système de retraite par répartition est caractérisé par le fait que les cotisations versées par les actifs sont

immédiatement utilisées pour le paiement des pensions. Ce système repose sur la solidarité

intergénérationnelle et son équilibre dépend du rapport entre le nombre d’actifs cotisants et le nombre de

retraités.

3 Il existe plus de vingt régimes de base en France regroupés par catégories socioprofessionnelles : le régime

des salariés du secteur privé (le "régime général" géré par l’Assurance retraite) couvre 68,7 % des actifs en

2013, les régimes spéciaux des salariés du secteur public (État, collectivités locales, entreprises publiques)

représentent 18,1 % des actifs (2013). Enfin, les régimes des non-salariés (artisans, commerçants, professions

libérales et agriculteurs) concernent 10,6 % des actifs (en 2013).

4 Dans un régime à prestations définies, les prestations sont fixées à l’avance. Les cotisations sont alors ajustées

en fonction de l’objectif que s’est fixé l’assureur pour les futurs retraités. Dans ce type de système, ce sont les

cotisants qui supportent l’essentiel des risques. Le risque porté par les retraités est minimum. Néanmoins, si

l’assureur prend des engagements irréalistes, il peut faire faillite et les retraités risquent alors de voir leurs

pensions disparaitre.

2015


ACTUARIS | 26

Les régimes complémentaires sont des régimes qui se superposent aux régimes de base depuis

1947 avec la création de l’Association Générale des Institutions de Retraite des Cadres (AGIRC), puis

en 1961, avec la création de l’Association des Régimes de Retraite Complémentaires (ARRCO). Ils

sont gérés par les partenaires sociaux. Chez les travailleurs non-salariés, un régime complémentaire

obligatoire est créé pour les artisans en 1979, un régime facultatif est mis en place pour les

industriels, les commerçants (1978) et les exploitants agricoles (1988-1990). De même, des systèmes

complémentaires très variés apparaissent pour les professions libérales.

Une grande variété de dispositifs d’épargne retraite supplémentaires complétant la retraite

obligatoire (de base et complémentaire) existe. Les retraites constituées dans le cadre de l’assurance

vie en font partie. En effet, depuis la loi Fillon du 21 août 2003, ce type de dispositif est encouragé à

titre privé ou dans le cadre de l’entreprise. Cette loi a abouti à l’ajout de trois dispositifs

supplémentaires pouvant être souscrits à titre privé : Le Plan d’Epargne Retraite Populaire (PERP), le

Plan d’Epargne pour la Retraite d’Entreprise (PERE) et le Plan d’Epargne pour la Retraite Collectif

(PERCO).

Dans le cadre de l’entreprise, il existe des régimes de retraite supplémentaire collectifs par

capitalisation5 dont bénéficient tous les salariés ou une catégorie spécifique de salariés. Ces régimes

sont communément appelés « article 83 » (si à cotisations définies), « article 39 » (si à prestations

définies) ou encore PERE (Plan d’Epargne Retraite Entreprise). Le code des impôts indique des

traitements fiscaux avantageux pour ce type de régime:

Pour récapituler, il existe 3 niveaux de retraite pour les Français : le premier niveau est représenté

par les régimes de base et complémentaires. Le second niveau correspond aux régimes de retraite

supplémentaire collectifs par capitalisation installés dans l’entreprise dont bénéficient tous les

salariés ou une catégorie spécifique de salariés. Enfin, le troisième niveau correspond aux retraites

supplémentaire souscrites individuellement et aux retraites constituées dans le cadre de l’assurance

vie6.

Dans le cadre de cette étude, les méthodes d’allocation implémentées sont appliquées7 à un régime

de retraite supplémentaire (souscrit dans le cadre de l’assurance vie) par capitalisation, à prestations

définies. Celui-ci appartient au troisième niveau du système de retraite. Il est de plus concerné par la

nouvelle réglementation « Solvabilité II ».

5 Un système de retraite par capitalisation suit quant à lui une logique différente. Dans ce système, les actifs

cotisent en vue de leur propre retraite. Leurs cotisations sont revalorisées par le biais de placements financiers

ou immobiliers dont les rendements dépendent de la conjoncture économique. Ce système ne semble pas

intégrer de notion de solidarité a priori, néanmoins, il peut être effectué dans un cadre collectif (ex : accord

d’entreprises) auquel cas il peut permettre de réintroduire de la solidarité.

7 Voir partie 3

2015


ACTUARIS | 27

II. Un moyen de financer l’économie

D’après la FFSA (la Fédération Française des Sociétés d’Assurances), les assureurs sont aujourd’hui

des financeurs essentiels de l’économie et notamment des entreprises. En effet, les assureurs

français ont investi à fin 2012 plus de 1060 milliard d’euros dans les entreprises (principalement sous

forme d’actions et d’obligations), dont 42 milliards d’euros dans les PME et ETI. Le rôle de

financement de l’économie par les assureurs est donc prépondérant, notamment via l’assurance vie

qui fait partie du troisième niveau du système de de retraite.

Figure 1 : investissements des sociétés françaises d’assurance en 2012

Par ailleurs, l’épargne-retraite, est amenée à devenir un outil de financement des projets

d’infrastructures (transport, énergie et télécoms), les besoins en financement de ces projets

s’élevant à près de 1,2 milliard d’euros en France d’ici 2020. L’épargne-retraite pourrait de plus être

un moyen de financement des petites et moyennes entreprises encore très fortement dépendantes

des banques qui, d’après la commission européenne, représentent les deux tiers de l'emploi au sein

de l'Union. Ces types d’investissements, de long terme et dans le sens de la croissance, se trouvent

en effet adaptés aux attentes des régimes de retraite qui souhaitent adosser des actifs rentables à

des passifs de longue duration.

III. Cadre réglementaire : Solvabilité II

Les autorités européennes ont estimé que l’évolution de l’environnement économique des

compagnies a rendu nécessaire une adaptation des normes réglementaires.

Le régime de contrôle Solvabilité I n’est plus satisfaisant car il n’est pas basé sur les risques. Par

conséquent, Il ne reflète pas la réalité économique du métier des assureurs et des réassureurs.

Le projet de la réforme de la réglementation européenne Solvabilité II a donc été lancé au des

années 2000. Elle a pour objectif de :

Proposer un système prudentiel plus moderne en adéquation avec le pilotage opérationnel

des entreprises.

D’accroitre la protection des assurés.

De garantir une égalité de concurrence aux assureurs européens.

57,0% 31,0%

12,0%

Investissements par les sociétés françaises d’assurances dans l’économie en 2012 (Source: FFSA)

Entreprises

Dette publique

Autres (Immobilier, liquidités etc.)

2015


ACTUARIS | 28

Solvabilité II influence les stratégies d’investissement des assureurs de façon à préserver le rôle

économique fondamental des assureurs comme cela a été vu dans section précédente. La réforme

Solvabilité II concerne donc l'économie dans sa globalité et les entreprises plus spécialement, par le

biais des investissements conséquents (plus de la moitié des investissements) par les assureurs dans

les entreprises (actions, obligations).

La réforme s’articule autour de trois piliers :

Le pilier I - Exigences financières quantitatives : Définit les normes quantitatives d’évaluation

des actifs et des passifs, de calcul des provisions techniques, d’exigence de marge de solvabilité

et les règles d’investissement. Les organismes d’assurance peuvent choisir d’utiliser la « Formule

Standard » définie par le régulateur ou un modèle interne calibré et mis en place par leurs soins.

- Les niveaux réglementaires sont alors définis pour les fonds propres et représentés par :

o Le MCR : représente le niveau en dessous duquel l’intervention de l’autorité de contrôle

sera automatique.

o Le SCR : Représente le capital nécessaire pour éviter la ruine avec une probabilité de

99,5%. C’est l’un des points les plus importants de la réforme. Il est calculé comme la

Value-at-Risk (VaR) à 99,5% de la distribution des pertes de l’assureur. La méthodes de

calcul du SCR est laissée à la discrétion de chaque compagnie d’assurance, deux choix se

présentent :

Formule standard (voir figure ci-dessous): Le régulateur propose aux compagnies

une méthode simplifiée de calcul du SCR. Celui-ci est calculé par l’agrégation de

SCR marginaux liés à des risques particuliers. Le calcul du SCR tient compte d’une

panoplie de facteurs de risque (taux, action, spread, concentration, liquidité,

etc.) agrégés sous forme de modules et ce en fonction du domaine d’activité de

la compagnie.

Modèle Interne (validé par le régulateur) : Les compagnies peuvent aussi

développer leur propre modèle afin d’évaluer le capital réglementaire de

solvabilité. Dans un premier temps, ce modèle projette les cash-flows de la

compagnie d’assurance, en intégrant l’ensemble des risques auxquels elle est

soumise. Dans un second temps, le modèle permet d’estimer la distribution des

fonds propres économiques de l’assureur, à un horizon d’un an. Enfin, le SCR est

calculé comme étant la VaR à 99,5% de la distribution des pertes de l’assureur.

- Valorisation en Juste valeur : Les actifs et les passifs doivent être évalués à leur juste valeur.

Les actifs sont évalués à leur valeur de marché. Dans ce cas, si les titres sont cotés, la

valorisation se fait en « mark-to-market ». Sinon, la valorisation se fait en « mark-to-model »,

c’est-à-dire que la valeur de l’actif est évaluée par le biais d’un modèle calibré de façon

adéquate. Les provisions techniques sont quant à eux évalués en « Best Estimate » en plus

d’une marge pour le risque, appelé « Risk Margin ».

- Notion de « Best Estimate » : Le « Best Estimate » est la valeur actuelle probable des flux de

trésoreries futurs, brut de réassurance, sans intégrer de marge de prudence. Du fait des

garanties et options de certains contrats d’assurance, ce calcul peut s’avérer complexe. La

« Risk Margin » est définie étant le coût du capital pour un assureur qui reprendrait le passif.

2015


ACTUARIS | 29

Le pilier II – Autorité de contrôle et système de gouvernance: Fixe les normes qualitatives pour

la gestion des risques, les activités de surveillance et de gouvernance des assureurs.

Le pilier III – Discipline de marché: Concerne la discipline de marché, c’est-à-dire les éléments

d’information que les assurances doivent mettre à disposition du public. .

L’application de Solvabilité II aux opérations de retraite semble problématique, étant donné la

particularité de ces dernières :

Horizon de gestion : La probabilité de ruine à un an n’est pas forcément une mesure de risque

pertinente pour juger de la solvabilité de l’activité de retraite, pour laquelle les engagements se

font sur le long terme. Ceci laisse donc une grande marge de pilotage pour les régimes de retraite

susceptibles d’amortir sur le long terme les risques à court terme.

Politique d’investissement : Une gestion adaptée aux contrats retraite tournée vers des actifs

risqués induit un besoin en capital de solvabilité élevé. La détention d’actifs réels ou risqués, tels

que les actions ou l’immobilier, est fortement pénalisée dans la formule standard, alors qu’il

s’agit de supports qui présentent des avantages notables sur le long terme pour optimiser le

couple rendement/risque.

Toutefois, le positionnement par rapport à la grille d'analyse des risques proposée par Solvabilité II

est incontournable compte tenu de la référence que constitue ce référentiel. De ce fait, l'analyse des

risques supportés par un régime de retraite sera effectuée dans la suite (Partie 3) conformément à

cette grille de lecture.

Mortality

CAT

BSCRAdj

Health

SLT

Health

CAT Non-SLT

Health

Default Life

Mortality

Longevity

Disability

Morbidity

Lapse

Expenses

Revision

Non-life

Premium

Reserve

Lapse

Market

SCR

Op

Intang

= adjustment for the

loss-absorbing capacity

of technical provisions

under the modular

approach

CAT

Illiquidity

Interest

rate

Equity

Property

Spread

Currency

Con-

centration

Premium

Reserve

Lapse

Longevity

Disability

Morbidity

Lapse

Expenses

Revision

Figure 2 : formule standard sous Solvabilité II

2015


ACTUARIS | 30

IV. Les enjeux de la retraite en lien avec l’allocation stratégique d’actifs

Les régimes de retraite sont touchés par la crise économique qui entraine leur dégradation. Ces

régimes sont déjà structurellement déficitaires du fait de l’arrivée à l’âge de la retraite des

générations du baby-boom, de l’allongement de l’espérance de vie résiduelle à 60 ans, de la faible

croissance et du taux de chômage élevé. Tous ces changements ont pour conséquence

l’augmentation du nombre de personnes âgées par rapport aux autres classes d’âge et induisent de

fortes contraintes de liquidité.

Par ailleurs, la question du choix d’investissement se pose. Les organismes concernés en France

tendent à placer la majorité de leurs investissements dans des obligations. Or, dans le

contexte « taux bas » actuel, cela risque de les mettre dans une situation défavorable si les taux

augmentent. Dans ce cas, les obligations afficheraient des moins-values latentes. Dans le cas

contraire, où les taux continuent à baisser, la rentabilité des obligations est remise en cause.

Enfin, les changements réglementaires impliquent des changements d’habitudes et de pratiques

pouvant avoir des conséquences néfastes sur les organismes concernés. En particulier, la nouvelle

réglementation pénalise fortement la détention d’actifs risqués.

Pour résumer, les changements démographiques imposent des contraintes de liquidité aux

organismes de retraite. De plus, la nouvelle réglementation contraint les organismes concernés à

détenir de la dette et des instruments de taux peu risqués mais de moins en moins rentables. D’autre

part, l’environnement de taux historiquement bas incite à investir dans des actifs alternatifs (autres

que les obligations) ou moins liquides dont la rentabilité attendue est plus élevée.

Dans ce cadre, l’allocation stratégique d’actifs constitue un enjeu important de la retraite dans la

mesure où l’horizon de placement est lointain et le montant des encours est conséquent8. Les

régimes de retraite sont contraints d’adapter, de surveiller et de réviser de façon régulière leurs

stratégies d’allocation d’actifs en fonction de leur environnement. Les régimes à prestations définies

sont particulièrement concernés. En effet, ceux-là ont une obligation contractuelle envers leurs

assurés.

V. Les différentes classes d’actifs

Cette section vise à présenter et à comparer les différentes classes d’actifs pouvant être adossés à un

régime de retraite. En effet, un régime de retraite à la possibilité d’investir dans différentes classes

d’actifs directement ou à travers des fonds dédiés, dans le cadre de sa gestion actif-passif, selon ses

engagements, ses contraintes de liquidité, son aversion au risque et les contraintes réglementaires.

Traditionnellement, l’allocation d’actifs se réfère à la répartition d’un portefeuille entre actions,

obligations et produits monétaires. Cependant, l’univers d’investissement considéré dans le choix

d’une allocation d’actif s’élargit à d’autres classes d’actifs dites alternatives telles que les

investissements non côtés appelés aussi « private equity », la gestion alternative ou encore les

infrastructures.

8 Les assureurs vie possédaient un encours de 1060 milliards d’euros en 2012, source FFSA.

2015


ACTUARIS | 31

Chacune de ces catégories d'actifs peut être une réponse aux besoins des investisseurs. Toutefois,

une bonne gestion de portefeuille ne s'entend qu'en diversifiant ses investissements à l'aide des

différentes classes d'actifs. Un investisseur averti les utilisera en les combinant au mieux afin de

détenir un portefeuille diversifié et de diminuer ses risques dans les contextes économiques et

réglementaires actuels.

Par ailleurs, il convient de réaliser une diversification à l’intérieur de chaque classe d’actifs. Sur les

actions et les obligations par exemple, les investissements peuvent être choisis par zones

géographiques, secteurs (financier, immobilier, télécom…), tailles des capitalisations (grandes,

moyennes ou petites valeurs) ou encore style de gestion (valeurs de rendement, de croissance,

décotées).

Les actions 1.

Les actions sont des titres de propriété d’une entreprise. Il est nécessaire de faire la distinction entre

une action ordinaire et une action à dividende prioritaire dite « ADP ».

En effet, détenir une action ordinaire permet d’accéder à un certain nombre de droits différents9 . Le

droit de vote dans le cas des actions à dividendes prioritaires est en revanche détaché, le dividende

est quant à lui prioritaire10. Les droits étant moindres, ce type d’action est par conséquent mieux

rémunéré.

Les placements en actions offrent les meilleures performances relativement aux autres classes

d’actifs dans la durée. En revanche, les actions comportent un risque et donc une volatilité à court

terme élevée.

Les produits de taux 2.

Les produits de taux comprennent les produits monétaires et les produits obligataires.

L’avantage principal des produits monétaires (Livret A, Certificat de dépôt, Bon du Trésor, Billet de

trésorerie) est leur disponibilité au jour le jour, sans risque, ce qui permet de bien répondre à des

contraintes de liquidité. Cela dit, l’inconvénient principal est leur faible taux de performance indexé

sur le taux directeur de la banque centrale européenne, actuellement historiquement bas11 .

L’avantage des produits obligataires est la sécurité des placements, en particulier en ce qui concerne

les obligations d’état car elles sont en général12 bien notées (car peu risquées). Par ailleurs, la

rentabilité possible sur le marché obligataire est généralement plus élevée que sur le marché

monétaire. De plus, l’investissement obligataire permet, en assurance, d’éviter l’écart de duration

actif-passif et d’adosser l’actif au passif. Néanmoins, les obligations privées restent plus rentables

que les obligations d’état. Ceci est une conséquence du spread de taux non négligeable entre les

obligations privées et les obligations d’état qui provient du fait que le risque de défaut pour une

obligation d’entreprise est plus élevé.

9 Au détenteur de l’action ordinaire est conféré le droit de participer à la gestion de l’entreprise, le droit sur les

bénéfices de l’entreprise proportionnellement à la part détenue et le droit sur l’actif net en cas de faillite. 10

Le versement du dividende s’effectue en priorité par rapport aux actions ordinaires. 11

Le taux directeur de la banque centrale en 2015 est de 0,05% 12

Il existe des obligations d’état faiblement notées, exemple : Les obligations grecques.

2015


ACTUARIS | 32

Par ailleurs, même si les obligations confèrent de la sécurité, elles comportent deux risques

principaux : le risque de défaut et le risque de marché. Les placements en obligations faiblement

notées exposent plus fortement à un risque de faillite que les obligations mieux notées. Par ailleurs,

le risque de marché provient de l’évolution des taux d’intérêt à long terme qui peut entraîner de

sensibles variations du cours des obligations sur le marché secondaire.

L’investissement dans des produits obligataires est intéressant en cas d’anticipation d’une baisse des

taux longs. Dans le cas contraire, il est plus pertinent de désinvestir.

Les actifs immobiliers 3.

Les produits immobiliers sont représentés par des biens fonciers réels et physiques qui participent

directement à l’activité productive. Cette classe d’actifs peut être décomposée en différentes

catégories dont l’immobilier d’entreprise et les logements par exemple.

Cette classe d’actif a fait ses preuves en termes de rentabilité à long terme : l’indice IPD13 de

croissance de l’immobilier en France a atteint en 2011 une performance totale de 8,4 %, alors qu’au

cours de la même période, la performance globale du CAC 40 affichait environ - 13 % et celle de la

dette souveraine française était inférieure à 5 %. C’est donc une bonne source de diversification.

Néanmoins, l’inconvénient principal de cette classe d’actif vient du fait que les biens immobiliers

sont difficilement divisibles et de ce fait peu liquides sans oublier des coûts de transaction élevés. De

plus, du fait de son caractère physique et réel, un bien immobilier est couteux en entretien et en

suivi opérationnel.

Par ailleurs, il est difficile d’anticiper les prix et les revenus pour ce type d’actifs. En effet, les modèles

financiers théoriques14 ont été conçus pour des actifs permettant d’avoir des séries de données

denses et une fréquence de publication des prix élevée. Or, un immeuble fait l’objet de transactions

espacées de plusieurs années dans le temps alors que le prix d’une actions peut être constaté au jour

le jour voir chaque minute. Ainsi, malgré le fort intérêt des investisseurs pour l’immobilier, les actions

et les obligations ont été les objets exclusifs du développement des théories financières.

La gestion alternative 4.

Les fondements de la gestion alternative reposent sur la décorrélation par rapport aux indices

conventionnels du marché, l’exploitation des inefficiences des marchés, la maitrise de la volatilité,

l’usage d’options et l’effet de levier financier.

La décorrélation consiste en l’assemblage d’un portefeuille de différents actifs dont les variations ne

sont pas liées les unes aux autres. La performance recherchée est donc qualifiée d’ « absolue », c’est-

à-dire positive quel que soit l’orientation des marchés.

13

IPD pour « Investment Property Databank » est l’indice de référence pour les produits dérivés de

l’immobilier. 14

Parmi ces modèles théoriques, nous pouvons citer : Black &Scholes (modèle d’évolution des prix), Markowitz

(modèle d’optimisation de portefeuille), Vasicek ( modèle d’ évolution des taux d’intérêts).

2015


ACTUARIS | 33

L’exploitation des inefficiences des marchés consiste à profiter d’aberrations constatées pendant un

bref laps de temps15. Cela va de pair avec l’objectif d’afficher une performance absolue.

La maitrise de la volatilité est un autre fondement important de la gestion alternative. En effet, cela

consiste à minimiser la volatilité tout en garantissant un niveau de rentabilité élevé.

L’usage d’options permet de constituer un effet de levier. En effet les options sont un moyen de

s’exposer aux actions sans pour autant investir de façon importante.

L’effet de levier consiste à emprunter pour investir. Un investisseur est en général tenté de le faire

lorsqu’il est sûr de ses anticipations de gains.

La gestion alternative possède plusieurs atouts pour les investisseurs. En effet, les fonds de gestion

alternative ont des aptitudes particulières à surperformer le marché. Par ailleurs, en 2013, plus de

6000 milliards de dollars étaient investis dans les stratégies de gestion alternative par des

investisseurs institutionnels.

Néanmoins, certains scandales ont entachés la réputation de la gestion alternative. En 1998, le fonds

LTCM (Long Term Capital Management), dans l’incapacité de rembourser les emprunts effectués, fait

quasiment faillite après un abus des effets de levier. En 2000, le Manhattan Investment Fund ment

sur ses performances peu flatteuses. Outre ces scandales, celle-ci a aussi pour réputation de générer

de la volatilité.

Les investissements non cotés ou « private equity » 5.

Les investissements non cotés ou « private equity » désignent les titres financiers de sociétés qui ne

sont pas cotées sur un marché. Cette classe d’actifs fait désormais partie intégrante des actifs

alternatifs.

Elle est de plus en plus demandée par les investisseurs car elle offre des performances intéressantes

en plus d’avantages fiscaux. Par ailleurs, c’est une source de diversification des placements.

Ainsi, les investissements non cotés sont devenus une composante significative des portefeuilles des

investisseurs institutionnels avec une allocation représentant près de 6,8%16 du total des actifs en

2013.

L’investissement dans l’univers des entreprises non cotées présente divers avantages :

Faible corrélation avec les investissements traditionnels,

Rendements historiques élevés17,

Avantages fiscaux,

Marché à fort potentiel de croissance.

15

Cela renvoie à la notion d’opportunité d’arbitrage.

16 Source : McKinsey, étude globale sur l’investissement des investisseurs institutionnels

17 Les rendements sont intéressants car ils sont assortis d’une prime d’illiquidité.

2015


ACTUARIS | 34

En revanche, les investissements non cotés ont pour inconvénient d’être illiquides et ne dégagent

pas de revenus réguliers. Or, les contraintes assurancielles exigent de la liquidité. De plus, ce marché

ne comporte pas assez de transparence et n’est pas facile d’accès.

Les infrastructures 6.

Les infrastructures se décomposent en :

- Infrastructures dites « économiques » recouvrant des actifs tels que les systèmes

d’assainissement et de distribution d’eau, les aéroports, les autoroutes, les voies ferrées etc.

- Infrastructures dites « sociales » recouvrant des actifs tels que les hôpitaux, les cliniques, les

prisons, les écoles, les universités et les bâtiments administratifs.

Les infrastructures apportent un service direct ou indirect à la collectivité et pas seulement à un

individu ou à une entreprise. Elles permettent la circulation des marchandises et des personnes et

contribuent à la productivité et à la croissance.

Il s’agit d’actifs de longs termes, capables de générer des rendements récurrents et stables, indexés,

au moins partiellement, à l’inflation. Le rendement cible indicatif de cette classe d’actif est compris

entre 6% pour les actifs les plus matures et 20% pour les actifs les plus risqués.

L’inconvénient de cette classe d’actifs reste principalement l’illiquidité ainsi que l’accès difficile à des

fonds d’infrastructure du fait d’une capacité minimale d’investissement élevé.

VI. Environnement « taux bas » et nouveau cadre réglementaire : vers

quelle stratégie d’allocation de portefeuille?

Après avoir présenté les différentes classes d’actifs dans lesquelles un régime de retraite peut

d’investir, cette section s’attache à établir une réflexion qualitative sur la stratégie d’allocation à

adopter dans les contextes économique et réglementaire actuels. La stratégie consistant à allouer la

majorité du portefeuille en obligation est-elle toujours pertinente?

Le marché de l’assurance s’accorde sur un scénario consensuel qui suggère que les taux seront

maintenus à un niveau bas tandis que leur volatilité aura tendance à augmenter. En effet, la Banque

Central Européenne n’a pas d’incitation à remonter les taux. Celle-ci souhaite en effet donner le

temps nécessaire aux gouvernements pour redresser la productivité de l’Europe. De plus, La

politique monétaire de la BCE poursuit l’objectif d’atteindre un niveau d’inflation de 2%. Or, le

contexte économique n’est pas favorable à l’augmentation du taux d’inflation :

Chômage élevé

Le niveau élevé du chômage ne permet pas une remontée de l’inflation salariale. Par ailleurs, la

forte baisse salariale en Europe n’est pas favorable au retour de l’inflation salariale, même dans

une perspective de plein emploi.

Baisse du prix du baril de pétrole

La production de pétrole est plus élevée que sa consommation. Par conséquent, un problème de

capacité de stockage se posera et continuera à soutenir la baisse actuelle du prix du pétrole.

2015


ACTUARIS | 35

Baisse des prix des matières premières

L’économie se transforme en économie de service et s’éloigne de plus en plus du modèle

d’économie industrielle. Or, dans une économie de service, les prix de toutes les matières

premières est plus bas que dans une économie industrielle.

Néanmoins, les assureurs doivent anticiper des scénarios adverses et s’en prémunir en optant pour

une stratégie d’allocation d’actifs adaptée. En effet, l’expérience a montré que les stress tests

proposés par L’EIOPA sont très pertinents. Dans ce contexte, le dernier stress test demandé par

l’EIOPA dans le cadre de l’exercice ORSA constitue une sorte d’avertissement pour les assureurs : il

prévoit une baisse des taux pendant 3 ans puis une remontée brutale de 4 à 5% les années suivantes.

Cela aurait pour effet de dégrader la valeur de marché des obligations des organismes concernés.

Ainsi, d’un point de vue allocation d’actifs, le contexte actuel de taux bas remet en question la

pertinence des investissements obligataires.

Une première alternative consiste à investir dans des actifs non liquides (infrastructures, immobiliers

etc..) afin de bénéficier d’une prime d’illiquidité. En effet, la classe d’actifs « infrastructures » paraît

destinée à croître dans le portefeuille des investisseurs de long terme. L’OCDE estime dans un

rapport de 2008 à 30 00 milliards de dollars de besoins d’infrastructures minimum dans les pays de

l’OCDE. De plus, les finances publiques sont dans l’incapacité de soutenir tous les grands projets

d’infrastructures. Par conséquent, des moyens alternatifs aux prêts bancaires et au financement par

l’état sont nécessaires. Enfin, la classe d’actifs « infrastructures » est une source de rendement

attractive, stable et corrélée à l’inflation à long terme.

Cependant, cette idée d’orientation vers des actifs illiquides doit être mise en regard avec le fait que

les assureurs sont soumis à des contraintes de liquidités et de concurrence. Dans ce cadre, la

détention d’actifs illiquides, risque de ne pas répondre pas aux besoins des assureurs. Il faudra en

effet diversifier leurs sources de rendement.

Outre le risque économique lié à l’environnement de taux bas, les organismes concernés doivent

également adapter leur stratégie d’allocation en fonction de la nouvelle réglementation Solvabilité II.

En effet, cette réglementation va modifier profondément la politique d’allocation d’actifs.

Le changement dans la méthodologie de calcul du ratio de solvabilité incite à adapter l’allocation

d’actifs afin de rechercher des solutions optimales. En effet, les pénalités imposées par Solvabilité II

impactent fortement la stratégie d’allocation : les actions cotées, avec un choc de 49%, couteront

trop cher en SCR. Cela dit, une clause transitoire à 22% est applicable si les titres ont été acquis

avant le 1er janvier 2016. Les OPCVM, ne peuvent bénéficier de cette clause transitoire dite de

« grand-père » et doivent supporter des chocs à 39% ou 40%. Enfin, les obligations d’entreprise de

rating intermédiaire (A et BBB) et de maturité élevée voient quant à elles leur SCR ajusté en fonction

de la conjoncture économique : la réglementation permet de voir leur SCR diminuer en période de

croissance économique et augmenter dans le cas contraire. Les assureurs soucieux de la stabilité de

leur SCR pourraient alors réallouer leurs actifs en conséquence. Par ailleurs, la transparisation, qui

impose de détailler les positions des fonds détenus, en ligne à ligne, en valeur de marché et

caractéristiques incite les assureurs à évoluer vers une gestion simple.

2015


ACTUARIS | 36

Pour conclure, à court terme, le contexte économique des taux bas incite à ne pas vendre les

obligations acquises depuis un certain temps afin de continuer à bénéficier de taux de coupon

avantageux. D’un autre côté, les mesures transitoires les incitent à sauvegarder les actions achetées

avant janvier 2016. A moyen/long terme, les assureurs devront petit à petit se tourner vers des

classes d’actifs alternatives : « private equity », immobilier, infrastructure etc.

VII. Revue de littérature

D’après ce qui précède, la problématique d’allocation d’actifs, dans le contexte actuel, prend une

dimension plus complexe qu’autrefois. Les organismes concernés sont amenés à repenser leur

stratégie de gestion actif-passif et à diversifier leurs choix d’investissement. Pour ce faire, des

méthodes permettant d’allouer leurs portefeuilles de façon optimale entre les différentes classes

d’actifs présentées sont nécessaires. La littérature propose plusieurs modèles.

La théorie moderne de portefeuille a commencé par les travaux de Markowitz en 1952. Son

approche mène à un ensemble de portefeuilles efficients. En présence d’un actif sans risque, ceux-là

peuvent être représentés par une combinaison de deux portefeuilles de référence18: un portefeuille

risqué d’actions ordinaires d’une part et un investissement dans un actif non risqué d’autre part. En

l’absence d’un actif sans risque, l’ensemble des portefeuilles efficients sont la combinaison d’un

portefeuille dont la volatilité est minimale et d’un autre portefeuille dont la volatilité est plus élevée.

Cependant, dans le cadre d’un régime de retraite, ce modèle ne tient pas compte des engagements.

Ainsi, avec la croissance grandissante de l’assurance vie, en particulier des fonds de pension, une

attention particulière est donnée à des modèles de gestion de portefeuille qui tiennent compte de la

présence du passif.

C’est en ce sens que les modèles d’immunisation de portefeuille19 (adossement des flux de

trésorerie20, adossement par la duration21) ont été développés. Cependant, ces modèlent supposent

que le portefeuille d’actifs est exclusivement composé d’actifs obligataires. C’est en ce sens

également que Kim/Santomero 1988), Sharpe/Tint (1990), Elton/Grober (1992),

Jager/Zimmermann(1992), Leibowitz (1992) et Talfi (2008) ont développé des modèles tenant

compte du passif. Ces modèles introduisent la notion surplus défini comme étant la différence entre

le montant d’actif et les engagements de l’assureur. Cependant, ces modèles ont pour inconvénient

de fonctionner dans un cadre mono-périodique uniquement.

Les travaux de Merton viennent pallier à ce problème. En effet, Merton développe des modèles

d’allocation inter-temporels (1969, 1971,1973) en temps continu. Samuelson quant à lui étudie le cas

18

Théorème de séparation en deux fonds

19 Redington [1952] définit l’immunisation du portefeuille comme « l'investissement de l'actif d'une telle

manière que le portefeuille soit protégé contre un changement des taux d'intérêt ». 20

Il s'agit de la procédure d'immunisation la plus simple et la plus ancienne. Elle consiste à investir la richesse

initiale dans un portefeuille de titres (le plus souvent des zéro-coupons) qui produisent exactement, et aux

échéances prévues, les flux du passif. 21

Cette technique consiste à apparier les sensibilités de l'actif et du passif vis-a- vis de la variation des taux

d'intérêt. En d'autres termes, elle consiste à définir une stratégie d'investissement qui fait que la valeur de

marché des actifs suit tout mouvement de la valeur actuelle des engagements.

2015


ACTUARIS | 37

discret. Dans ces modèles, l’investisseur maximise une espérance d’utilité inter-temporelle. La

variable d’état est modélisée comme étant un terme stochastique affectant les processus de prix des

actifs. Le portefeuille de couverture sert à se prémunir contre les variations de la variable d’état et

les pertes financières dues aux variations des prix qui en découlent. Ce portefeuille est donc très

corrélé à la variable d’état en question.

Depuis, plusieurs études ont récemment été menées dans le but de concilier l’approche par

optimisation du surplus avec l’approche dynamique en temps continu de Merton. Ceci aurait une

utilité pratique dans la mesure où les fonds de pension et les assureurs vie ont l’obligation de couvrir

le passif à chaque instant par des actifs adaptés. Les fonds de pensions diversifient leur portefeuille

d’actifs à l’international, ainsi, ces études considèrent le taux de change comme étant la variable

d’état du problème.

L’article de Rudolf et Ziemba (1999), par exemple, est une synthèse des travaux de Merton et des

modèles d’optimisation du surplus. Cet article reprend une des études de Merton qui étudie une

problématique dans un domaine différent par une approche similaire à l’optimisation du surplus.

Cette dernière étude porte sur la gestion d’un fonds de dotation d’une université. Sa fonction

objectif est de maximiser l’utilité espérée des activités de l’université avec ses coûts spécifiques. Le

portefeuille contient dans ce cadre des activités telles que : l’éducation, la formation, la recherche

etc. Ces activités doivent être optimisées sous contrainte de leurs coûts. Ceux-là peuvent être

considérés comme un passif pour les universités. Néanmoins, Merton les considère comme une

variable d’état. Il en déduit que la solution optimale implique la détention de trois fonds : le

portefeuille de marché, l’actif sans risque et le portefeuille de couverture de la variable d’état.

Ziemba et Rudolf s’inspirent alors de ce dernier modèle et y adaptent le modèle d’optimisation du

surplus de Sharpe et Tint. Pour ce faire, des modifications dans la modélisation sont effectuées. En

effet, le rendement du passif est intégré dans le rendement du surplus (ce n’est donc plus une

variable d’état). Ce surplus est supposé être dépendant d’une ou plusieurs variables d’état.

Cependant, tous ces modèles d’optimisation inter-temporels nécessitent un temps d’implémentation

considérable ainsi que des outils mathématiques complexes.

2015


ACTUARIS | 38

VIII. Conclusion de la partie 1

Cette partie a permis de faire un point sur la retraite en France. Les chiffres présentés démontrent

que celle-ci est une source importante de financement de l’économie. Par ailleurs, les portefeuilles

des régimes de retraite en France sont majoritairement composés d’obligations et d’actions. Or, les

changements économiques, réglementaires, démographiques imposent aux régimes de retraite des

contraintes (d’immobilisation de capitaux, de liquidité, de concurrence etc.) et les poussent à

diversifier leurs choix d’investissement. Dans ce cadre, différentes classes d’actifs sont disponibles :

les actions, les produits de taux, la gestion alternative, les investissements non cotés et les

infrastructures.

Après avoir cerné les avantages et les inconvénients de chacune de ces classes d’actifs, les contextes

économique et réglementaire actuels de taux bas dans une réglementation basée sur les risques

(Solvabilité II) ont été détaillés. Une analyse qualitative a ensuite mené à une prise de conscience de

la nécessité, pour les régimes de retraite, de repenser leurs allocations d’actifs et de changer la

tendance actuelle dans laquelle les obligations restent prépondérantes. En effet, dans un scénario

de taux bas, les obligations ne sont plus rentables. Par ailleurs, dans le contexte réglementaire actuel,

les actions sont pénalisées par un choc significatif pouvant contraindre à immobiliser un capital

économique significatif. La classe d’actifs infrastructures a alors été mise en avant comme une

alternative intéressante, mais, tout en rappelant les contraintes de liquidité et de concurrence qui

poussent les assureurs à diversifier leurs investissements.

Les différentes méthodes d’allocation stratégique, dans la littérature classique, ont ensuite été

présentées. Dans le cadre de ce mémoire, les modèles de Markowitz, de Sharpe et Tint, de Leibowitz

et de Talfi sont retenues. Les modèles d’adossement sont écartés car ils supposent que le

portefeuille en question est exclusivement composé d’obligations. Les modèles d’optimisation inter-

temporels nécessitent quant à eux des outils mathématiques complexes ainsi qu’un temps

d’implémentation significatif.

2015


ACTUARIS | 39

Partie 2 : Mise en œuvre dans un cadre simplifié

Partie 2

Mise en œuvre dans un cadre

simplifié

2015


ACTUARIS | 40

I. Le modèle de Markowitz (1952)

Le modèle de Markowitz a été développé en 1952 et constitue le fondement de la théorie moderne de portefeuille. Markowitz a été le premier à distinguer le risque du rendement et à en donner des mesures : espérance et variance. Son approche « moyenne-variance » consiste à optimiser les poids des actifs du portefeuille en fonction de leurs rendements espérés, leurs variances et leurs covariances.

Une fois les rendements, les variances et les covariances estimés, l’approche consiste en la résolution du programme de minimisation de la variance du portefeuille sous contrainte d’une rendement minimum. La résolution de ce programme fournit la composition du portefeuille « efficient » et guide l’investisseur dans sa politique de diversification.

La représentation des portefeuilles efficients dans le plan (volatilité du portefeuille, rendement du portefeuille) porte le nom de frontière efficiente. Si l’on suppose que le marché est constitué de n actifs risqués, la frontière efficiente prend une forme parabolique.

Dans le cadre de l’étude, et en vue d’être au plus proche de la réalité, le portefeuille est supposé être exclusivement composé de n actifs risqués.

Notations :

𝑛: Nombre d’actifs risqués

𝑅��: Rendement de l’actif i du portefeuille d’actifs (scalaire)

�� : Vecteur aléatoire des rendements des actifs, de taille 𝑛 × 1

𝜇 : Vecteur des rendements espérés des actifs, de taille 𝑛 × 1

𝑒 : Vecteur de taille 𝑛 × 1 contenant uniquement des 1

𝑉 : La matrice de covariance des actifs risqués du vecteur ��

𝑥𝑖: Le poids de l’actif i dans le portefeuille

𝑥 : Le vecteur des poids des actifs du portefeuille, de taille 𝑛 × 1, l’inconnue du problème

𝑅��(𝑥) : Rendement aléatoire du portefeuille en fonction des poids

𝜇𝑃: Le rendement espéré minimum du portefeuille

𝜎𝑃 : La volatilité du portefeuille optimal

Hypothèse :

�� : Suit une loi normale multivariée d’espérance 𝜇 et de matrice de covariance V

2015


ACTUARIS | 41

Le programme d’optimisation de Markowitz 1.

Le problème d’optimisation de Markowitz s’écrit de la façon suivante :

min𝑥𝑥𝑇𝑉𝑥


𝑥𝑇𝑒 = 1

Équation 1 : programme d’Optimisation de Markowitz

Le lagrangien de ce problème s’exprime de la façon suivante22 :

𝐿(𝑥) =1

2𝑥𝑇𝑉𝑥 − 𝛿(𝑥𝑇𝜇 − 𝜇𝑃) − 𝛾(𝑥

𝑇𝑒 − 1)

Où 𝛿 et 𝛾 sont les multiplicateurs de Lagrange.

Résolution du problème 2.

La condition de premier ordre s’écrit de la façon suivante :

𝑑𝐿(𝑥)

𝑑𝑥= 0

Soit :

𝑉𝑥 − 𝛿𝜇 − 𝛾𝑒 = 0

En supposant que la matrice de covariance 𝑉 est inversible:

𝑥 = 𝛿𝑉−1𝜇 + 𝛾𝑉−1𝑒

Afin de déterminer les expressions de 𝛿 et de 𝛾, nous réinjectons cette solution dans les deux contraintes du programme d’optimisation, le système suivant est obtenu :

{𝛿𝜇𝑇𝑉−1𝜇 + 𝛾𝜇𝑇𝑉−1𝑒 = 𝜇𝑃𝛿𝑒𝑇𝑉−1𝜇 + 𝛾𝑒𝑇𝑉−1𝑒 = 1

(𝑆)

Il est par ailleurs, utile d’introduire les portefeuilles suivants :

{

𝑥1 =1

𝑒𝑇𝑉−1𝑒𝑉−1𝑒

𝑥𝜇 =1

𝑒𝑇𝑉−1𝜇𝑉−1𝜇

Le portefeuille 𝑥1 est le portefeuille de variance minimale23 . 𝑥𝜇 est un autre portefeuille plus risqué

tel que 𝜇 ≠ 𝑒 (il n’est pas particulièrement reconnaissable).

D’après ce qui précède :

𝑥 = (𝛿𝑒𝑇𝑉−1𝜇)𝑥𝜇 + (𝛾𝑒𝑇𝑉−1𝑒)𝑥1

22

Le facteur 1

2 est ajouter afin de faciliter les calculs, il ne change rien au résultat.

23 C’est la solution du problème de Markowitz sans prise en compte de la contrainte sur le rendement

minimum du portefeuille.

2015


ACTUARIS | 42

Or d’après le système précédent,

𝛿𝑒𝑇𝑉−1𝜇 = 1 − 𝛾𝑒𝑇𝑉−1𝑒 = 𝜆

La solution finale s’exprime alors de la façon suivante :

𝑥 = 𝜆𝑥𝜇 + (1 − 𝜆)𝑥1

Où,

{

𝜆 = 𝛿𝑒𝑇𝑉−1𝜇

𝑥1 =1


𝑥𝜇 =1


Le portefeuille optimal est donc une combinaison linéaire des deux portefeuille 𝑥1 et 𝑥𝜇 .

Expression de du coefficient 𝝀

Soient 𝐴 = 𝜇𝑇𝑉−1𝜇 ; 𝐵 = 𝜇𝑇𝑉−1𝑒 et 𝐶 = 𝑒𝑇𝑉−1𝑒

Le système précédent (S) s’écrit aussi de la façon suivante :

[𝐴 𝐵𝐵 𝐶

] × [𝛿𝛾] = [

𝜇𝑃1]

En supposant que la matrice [𝐴 𝐵𝐵 𝐶

] est inversible, alors :

[𝛿𝛾] = [

𝐴 𝐵𝐵 𝐶

]−1

× [𝜇𝑃1]

Or,

[𝐴 𝐵𝐵 𝐶

]−1

=1

𝐴𝐶 − 𝐵2× [

𝐶 −𝐵−𝐵 𝐴

]

Ainsi :

[𝛿𝛾] =

1

𝐴𝐶 − 𝐵2× [

𝐶 −𝐵−𝐵 𝐴

] × [𝜇𝑃1]

D’où :

𝛿 =1

𝐴𝐶 − 𝐵2× (𝐶𝜇𝑃 − 𝐵)

Or, comme :

𝜆 = 𝛿𝑒𝑇𝑉−1𝜇 = 𝛿𝐵

Alors :

𝜆 =𝐵𝐶𝜇𝑃 − 𝐵

2

𝐴𝐶 − 𝐵2

Remarque : Le coefficient linéaire 𝜆 est croissant avec la contrainte de rendement minimum imposée

2015


ACTUARIS | 43

Finalement, la solution au problème d’optimisation de Markowitz est:

𝒙 = 𝝀𝒙𝝁 + (𝟏 − 𝝀)𝒙𝟏

{

𝑥1 =

1


𝑥𝜇 =1


𝜆 =𝐵𝐶𝜇𝑃 − 𝐵

2

𝐴𝐶 − 𝐵2

𝐴 = 𝜇𝑇𝑉−1𝜇

𝐵 = 𝜇𝑇𝑉−1𝑒

𝐶 = 𝑒𝑇𝑉−1𝑒

Équation 2 : solution du programme d’optimisation de Markowitz

Le coefficient linéaire étant croissant avec le rendement minium imposé, l’équation ci-dessus permet

de constater qu’une augmentation du rendement minimum attendu implique un investissement plus

faible dans le portefeuille de variance minimal et plus fort dans le portefeuille risqué 𝑥𝜇.

Frontière efficiente 3.

La frontière efficiente est une représentation des portefeuilles efficients de Markowitz sur le plan

(𝜇𝑃 , 𝜎𝑃2).

En effet, dans le cadre de Markowitz, à chaque contrainte de rendement minimum est associé un portefeuille efficient caractérisé par un niveau optimal de risque. La fonction qui pour chaque contrainte de rendement minimum 𝜇𝑃 du portefeuille associe la variance optimale 𝜎𝑃 est une

parabole : 𝜎𝑃2 =

𝐴−2𝐵𝜇𝑃+𝐶𝜇𝑃2

𝐴𝐶−𝐵2.

Une relation parabolique entre la volatilité et la rentabilité du portefeuille est ainsi obtenue. Elle permet d’identifier les couples (risque, rendement) possibles avec les actifs disponible et de distinguer la frontière efficiente.

Preuve :

𝜎𝑃2 = (𝜆𝑥𝜇 + (1 − 𝜆)𝑥1)

𝑇× 𝑉 × (𝜆𝑥𝜇 + (1 − 𝜆)𝑥1)

= (𝜆𝑥𝜇𝑇𝑉 + (1 − 𝜆)𝑥1

𝑇𝑉) × (𝜆𝑥𝜇 + (1 − 𝜆)𝑥1)

= (𝜆

𝑒𝑇𝑉−1𝜇𝜇𝑇𝑉−1𝑉 +

(1 − 𝜆)

𝑒𝑇𝑉−1𝑒𝑒𝑇𝑉−1𝑉) × (𝜆𝑥𝜇 + (1 − 𝜆)𝑥1)

= (𝜆

𝐵𝜇𝑇 +

(1 − 𝜆)

𝐶𝑒𝑇) × (

𝜆

𝐵𝑉−1𝜇 +

(1 − 𝜆)

𝐶𝑉−1𝑒)

=𝜆

𝐵𝜇𝑇𝑥⏟=𝜇𝑃

+(1 − 𝜆)

𝐶𝑒𝑇 × (

𝜆

𝐵𝑉−1𝜇 +

(1 − 𝜆)

𝐶𝑉−1𝑒)

= 𝜆

𝐵𝜇𝑃 +

𝜆(1 − 𝜆)

𝐵𝐶𝑒𝑇𝑉−1𝜇 +

(1 − 𝜆)2

𝐶2𝑒𝑇𝑉−1𝑒

2015


ACTUARIS | 44

Suite de la preuve :

𝜎𝑃2

=𝜆

𝐵𝜇𝑃 +

𝜆(1 − 𝜆)

𝐵𝐶𝐵 +

(1 − 𝜆)2

𝐶2𝐶

=𝜆

𝐵𝜇𝑃 +

𝜆(1 − 𝜆)

𝐶+(1 − 𝜆)2

𝐶

= 𝜆

𝐵𝜇𝑃 +

𝜆 − 𝜆2 + 1 − 2𝜆 + 𝜆2

𝐶

= 𝜆

𝐵𝜇𝑃 +

1 − 𝜆

𝐶

= 𝜆𝐶𝜇𝑃 + 𝐵(1 − 𝜆)

𝐵𝐶

=1

𝐵𝐶× (

𝐵𝐶2𝜇𝑃2 − 𝐶𝐵2𝜇𝑃 + 𝐴𝐵𝐶 − 𝐵

3 − 𝐵2𝐶𝜇𝑃 + 𝐵3

𝐴𝐶 − 𝐵2)

=𝐶𝜇𝑃

2 − 𝐵𝜇𝑃 + 𝐴 − 𝐵𝜇𝑃𝐴𝐶 − 𝐵2

= 𝐴 − 2𝐵𝜇𝑃 + 𝐶𝜇𝑃

2

𝐴𝐶 − 𝐵2

- Application numérique

Soit un univers d’investissement restreint à deux actifs risqués avec les caractéristiques suivantes :

Classes d'actifs Rendements Volatilité

A1 5,0% 10,0%

A2 3,0% 5,0%

Covariance A1 A2

A1 1,00% 0,00%

A2 0,00% 0,25%

La figure suivante représente la parabole associée à ces caractéristiques. La frontière efficiente est identifiée en bleu.

L'investisseur doit alors choisir son portefeuille dans ceux situés sur la ligne bleu qui forme la frontière efficiente de Markowitz.

Les autres portefeuilles sur la ligne rouge ne sont pas efficients car il est possible de trouver un portefeuille sur la ligne rouge présentant le même niveau de risque qu’un portefeuille sur la ligne bleue, mais possédant un rendement moins élevé que ce dernier.

2015


ACTUARIS | 45

Figure 3 : frontière efficiente de Markowitz

Sensibilités du modèle de Markowitz 4.

Dans cette section, les sensibilités du modèle aux variations des paramètres d’entrée sont étudiées.

- Sensibilité aux volatilités des actifs

- Description du test de sensibilité : les volatilités des deux actifs sont choquées de 5% par rapport à l’exemple précédent.


A1 5,0% 10% + 5,0%

A2 3,0% 5% + 5,0%

Covariance A1 A2

A1 1,00% 0,00%

A2 0,00% 0,25%

- Description des résultats du test : la figure ci-dessous représente la frontière efficiente avant choc (courbe grise) et après choc (courbe bleue). Lorsque la volatilité des actifs augmente les volatilités des portefeuilles efficients augmentent. Après choc, la volatilité optimale associée à un rendement de 7,5% est d’environ 37% au lieu de 24% avant application du choc.

2015


ACTUARIS | 46

Figure 4 : sensibilité de la frontière efficiente de Markowitz à un choc de volatilité

- Interprétation : Si l’investisseur souhaite plus de rendement, il doit augmenter son exposition au

risque. Inversement, en diminuant son exposition au risque, celui-ci doit s’attendre à moins de

rendement. Chaque investisseur est plus ou moins « risquophobe », il a sa propre appréciation

de l’équilibre « optimal » risque/rendement.

- Sensibilité à la corrélation entre les actifs du portefeuille

- Description du test de sensibilité : La corrélation entre les deux actifs est ici choquée de 50%. L’impact sur la frontière efficiente est observé.


A1 5,0% 10%

A2 3,0% 5%

Covariance A1 A2

A1 1% 10%*5%*50%=0,25%

A2 0,25% 1%

- Description des résultats du test : la figure ci-dessous représente la frontière efficiente avant

choc (courbe grise) et après choc (courbe bleue). Lorsque le rendement minimum imposé est inférieur à 5% (rendement de l’actif A1), les volatilités des portefeuilles efficients augmentent. Lorsque le rendement minimum imposé est supérieur à 5%, celles-ci diminuent.

2015


ACTUARIS | 47

Figure 5 : sensibilité de frontière efficiente de Markowiz à un choc positif de la corrélation entre les actifs

- Interprétation : Ce test met en avant le principe de « diversification » qui est à la base de la théorie moderne de portefeuille. Pour expliquer ce phénomène il est nécessaire de s’intéresser à l’expression de la variance du rendement du portefeuille en fonction des poids des actifs 𝑤1 et 𝑤2, de leur corrélation 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑅1, 𝑅2) et de leurs variances 𝑉(𝑅1) et 𝑉(𝑅2).

𝑉(𝑤1𝑅1 +𝑤2𝑅2) = 𝑤12𝑉(𝑅1) + 𝑤2

2𝑉(𝑅2) + 𝑤1𝑤2𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑅1, 𝑅2)𝑉(𝑅1)𝑉(𝑅2) En effet, lorsque le rendement imposé est inférieur au rendement de l’actif le plus rentable. Le poids attribué à A1 et à A2 est entre 0% et 100%. Dans ce cas-là, une corrélation plus élevée induit une volatilité du portefeuille plus élevée (selon la formule). Dans le cas contraire, afin d’atteindre un rendement supérieur à celui de l’actif le plus rentable, le poids attribué à A1 est supérieur à 100% tandis que celui attribué à A2 est négatif (vente à découvert). Dans ce cas-là, la volatilité du portefeuille diminue lorsque la corrélation augmente. Ainsi, lorsque l’on se restreint à des poids positifs, il est intéressant de diversifier son portefeuille. Cela consiste à investir dans des actifs non corrélés ou négativement corrélés, et permet de réduire la volatilité globale.

Conclusion sur le modèle de Markowitz 5.

L’avantage principal du modèle de Markowitz est la simplicité de sa mise en œuvre. Cependant, ce

modèle optimise un portefeuille d’actifs sans tenir compte des engagements. Ce point constitue une

limite importante. En effet, un assureur ou un fonds de pension est contraint par ses engagements et

doit faire face à des contraintes de liquidité. Il lui faut surveiller constamment que ses actifs peuvent

financer à tout moment ses engagements. Par ailleurs, le modèle suppose la normalité des

rendements. Or, cette hypothèse est à considérer avec précaution en pratique. De plus, les deux

contraintes du problème d’optimisation ne suffisent généralement pas dans le cas pratique d’un

régime de retraite. Il faut aussi tenir compte d’autres contraintes de nature réglementaire et

assurantielles pour une meilleure adaptation du modèle.

2015


ACTUARIS | 48

II. Modèle de Sharpe et Tint (1990)

Le modèle théorique de base de la gestion actif-passif a été posé par Sharpe et Tint. Il met le problème d’intégration du passif dans la problématique de gestion de portefeuille et utilise une approche similaire à l’approche espérance-variance traditionnelle de Markowitz.

En effet, Sharpe et Tint ont remarqué l’hésitation de la plupart des institutions de retraite à prendre en compte le passif dans leurs stratégies de gestion. La plupart de ces institutions n’étaient pas prêtes à se défaire de l’approche traditionnelle de Markowitz. Par conséquent, un modèle qui s’en inspire tout tenant compte du passif s’est imposé.

Celui-ci est applicable à une entité possédant des actifs en face d’engagements, notamment une assurance ou un fonds de pension. En effet, dans la mesure où c’est le passif qui est contraignant, l’actif doit être géré de façon à couvrir les variations du passif.

Par conséquent, l’allocation optimale par le biais de ce modèle est différente de celle qui résulterait d’une allocation standard par Markowitz qui ne tient pas compte du passif. Elle cherche à couvrir des risques du passif et à optimiser le surplus de l’investisseur financier. Le surplus24 est la différence entre la valeur de l’actif et le produit de la valeur des engagements par un poids (compris en 0 et 1).

Modélisation du passif 1.

Comme les éléments du passif ne sont pas réellement échangés sur un marché, ils n’ont pas de valeur de marché à proprement dit.

Par conséquent, des règles spécifiques de comptabilité25 et d’actualisation sont supposées utilisées pour le calcul de la valeur initiale du passif ou des engagements à t=0 noté 𝐿0 .

Ces mêmes règles permettent alors de définir les engagements à t=1 noté 𝐿1 . Par ailleurs la croissance des engagements (variation des engagements entre l’instant initial et finale) est définie comme suit :

𝑅�� =𝐿1 − 𝐿0𝐿0

Hypothèse

𝑅�� : Suit une loi normale multivariée d’espérance 𝜇𝐿 et de variance 𝜎𝐿2.

Modélisation de l’actif 2.La valeur de marché initiale des actifs détenus est notée 𝐴0. En vue d’être au plus proche de la réalité, le portefeuille est supposé être exclusivement composé d’actifs risqués. Il existe n actifs

risqués, chaque actif i possède un rendement 𝑅��.

Comme pour l’approche de Markowitz, la matrice de covariance de ces actifs est notée 𝑉. La stratégie d’investissement du régime de retraite consiste en le choix d’un portefeuille 𝑥 = (𝑥𝑖) avec la contrainte suivante :

∑𝑥𝑖 = 1.

La valeur de marché des actifs à t=1 est : 𝐴1 = 𝐴0[1 + 𝑅��(𝑥)]

24

La notion de surplus est définie plus précisément plus bas.

25 Les assurances utilisent des méthodes actuarielles pour le calcul de leurs engagements, ce mémoire ne

donne pas plus de détails sur ces méthodes.

2015


ACTUARIS | 49

Où 𝑅��(𝑥) représente le rendement du portefeuille avec 𝑅��(𝑥) = ∑𝑥𝑖𝑅�� = 𝑥𝑇�� et �� =

[ 𝑅1𝑅2

⋮𝑅��]

Hypothèse

�� : Suite une loi normale multivariée d’espérance 𝜇 = 𝐸

[ 𝑅1𝑅2

⋮𝑅��]

et de matrice de covariance 𝑉.

Le problème d’optimisation 3.

Soit un gérant26 avec un surplus initial 𝑆0 tel que :

𝑆0 = 𝐴0 −𝑚𝐿0

Le paramètre 𝑚 correspond au poids que le gérant accorde au passif. Pour un fonds de pension à prestations définies, ce poids est fixé à 1. Pour un fonds à cotisations définies assumant peu de garanties, le poids du passif est compris entre 0 et 127. Ce poids peut, de plus, permettre de quantifier et de modéliser les frais qui incombent au gestionnaire en plus des engagements sociaux.

L’approche consiste à optimiser une fonction de la variation du surplus entre le temps de départ (t=0) et le temps d’arrivée (t=1).

Le surplus en t=1 se calcul de la façon suivante

𝑆1 = 𝐴0[1 + 𝑅��(𝑥)] − 𝑚𝐿0[1 + 𝑅��]

Soit :

𝑆1 − 𝑆0 = 𝐴0𝑅��(𝑥) − 𝑚𝐿0𝑅��

Le rendement du surplus est noté 𝑅�� tel que:

𝑅�� =𝑆1 − 𝑆0𝐴0

= 𝑅��(𝑥) −𝑚

𝑓0𝑅��

Équation 3 : expression du rendement du surplus dans le modèle de Sharpe et Tint

Le programme d’optimisation est similaire à celui de Markowitz mais porte sur la minimisation de la

variance de la rentabilité du surplus 𝑅�� au lieu de celle du portefeuille d’actifs.

26

Assureur ou fonds de pension

27 D’autant plus proche de 1 que ce fonds se rapproche d’un modèle à prestations définies.

2015


ACTUARIS | 50

Le programme d’optimisation est le suivant :

min𝑥𝑉𝑎𝑟[𝑅𝑆 ] = 𝑉𝑎𝑟[𝑅��(𝑥) −

𝑚

𝑓0𝑅��]

sc : {𝐸 [𝑅��(𝑥) −

𝑚

𝑓0𝑅��] = 𝑟𝑆

∑𝑥𝑖 = 1

La donnée 𝑟𝑆 correspond au rendement minimum du surplus que le gérant se fixe. Cette donnée reflète la tolérance au risque du gérant.

Hypothèses :

- Les moments d’ordre 1 et 2 de 𝑅�� sont supposés exister - La matrice 𝑉 = (𝑉𝑖𝑗)𝑖,𝑗∈𝐼 est supposée régulière

Réécriture du programme d’optimisation Les termes du programme d’optimisation sont explicités :

𝑉𝑎𝑟 [𝑅��(𝑥) −1

𝑓0𝑅��] = 𝑉𝑎𝑟 [𝑥

𝑇�� −𝑚

𝑓0𝑅��]

= 𝑥𝑇𝑉𝑥 +𝑚2

𝑓02 𝑉𝑎𝑟(𝑅��) − 2𝐶𝑜𝑣 (𝑥

𝑇��,𝑚

𝑓0𝑅��)

= 𝑥𝑇𝑉𝑥 +𝑚2

𝑓02 𝑉𝑎𝑟(𝑅��) −

2𝑚

𝑓0𝑥𝑇𝛾

La variance du rendement du surplus s’exprime donc de la façon suivante :

𝑉𝑎𝑟 [𝑅��(𝑥) −1

𝑓0𝑅��] = 𝑥

𝑇𝑉𝑥 +𝑚2

𝑓02 𝑉𝑎𝑟(𝑅��) −

2𝑚

𝑓0𝑥𝑇𝛾

Où : 𝛾 = [

𝛾1⋮𝛾𝑛] = [

𝐶𝑜𝑣(𝑅1, 𝑅��)⋮

𝐶𝑜𝑣(𝑅��, 𝑅��)]

Interprétation du paramètre 𝜸 :

Plus les termes de 𝜸 sont élevés plus le terme 2𝑚

𝑓0𝑥𝑇𝛾 l’est aussi. Ceci vient diminuer la variance du

surplus. Or, le gérant cherche à atteindre un niveau de volatilité du surplus minimum afin de couvrir

au mieux les variations du passif. Par conséquent, plus le portefeuille d’actif est corrélé

(positivement) au passif, mieux le risque est couvert.

Une corrélation négative du passif avec le portefeuille d’actifs serait quant à elle source de

dégradation de la volatilité du rendement du surplus et augmenterait le risque par conséquent. Par

ailleurs, un portefeuille comportant des actifs positivement corrélés au passif, c’est-à-dire 𝑥𝑇𝛾 >0,

est équivalent à un portefeuille avec une volatilité moins élevée et sans corrélation avec le passif.

2015


ACTUARIS | 51

Le programme d’optimisation se réécrit alors de la façon suivante :

min𝑥∈𝑅𝑛

1


𝑚

𝑓0𝑥𝑇𝛾 +

𝑚2

𝑓02 𝑉𝑎𝑟(𝑅��)


𝑥𝑇𝑒 = 1


𝑓0𝜇𝐿

𝑒 représente le vecteur de taille 𝑛 × 1 contenant uniquement des 1. Comme le terme 𝑚

𝑓02 𝑉𝑎𝑟(𝑅��)

ne dépend pas des poids des actifs, le programme d’optimisation se réécrit de la façon suivante :

min𝑥∈𝑅𝑛

1


𝑚

𝑓0𝑥𝑇𝛾

𝑠𝑐: {𝑥𝑇𝜇 = 𝑟

𝑥𝑇𝑒 = 1


𝑓0𝜇𝐿

Équation 4 : programme d’optimisation de Sharpe et Tint

Résolution du programme d’optimisation de Sharpe et Tint 4.

De même que pour Markowitz, le calcul du lagrangien du problème d’optimisation précédent est

calculé de la façon suivante (un facteur 1

2 est ajouté afin de faciliter les calculs) :

𝐿(𝑥) =1


𝑚

𝑓0𝑥𝑇𝛾 − 𝜆(𝑥𝑇𝜇 − ��) − 𝜗(𝑥𝑇𝑒 − 1)

La condition de premier ordre suivante :

𝑉𝑥∗ −𝑚

𝑓0𝛾 − 𝜆𝜇 − 𝜗𝑒 = 0 Avec 𝜆 ≥ 0 et 𝜗 ∈ 𝑅

Le vecteur des poids du portefeuille efficient de Sharpe et Tint s’exprime donc de la façon suivante

en fonction des multiplicateurs de Lagrange.

𝑥∗ =𝑚

𝑓0𝑉−1𝛾 + 𝜆𝑉−1𝜇 + 𝜗𝑉−1𝑒

- Calcul des poids du portefeuille de variance minimale

Dans un premier temps, le poids du portefeuille de variance minimale est calculé. C’est-à-dire que la contrainte de rendement minimum n’est pas prise en compte. Dans ce cas, l’expression du vecteur des poids du portefeuille de variance minimale s’exprime de la façon suivante en fonction du multiplicateur de Lagrange 𝜗 :

𝑥𝑚𝑖𝑛 =𝑚

𝑓0𝑉−1𝛾 + 𝜗𝑉−1𝑒

2015


ACTUARIS | 52

En remplaçant cette expression dans la condition 𝑥𝑇𝑒 = 1, alors:

(𝑚

𝑓0𝑉−1𝛾 + 𝜗𝑉−1𝑒)𝑇𝑒 = 1

Soit :

𝑚

𝑓0𝛾𝑇𝑉−1𝑒 + 𝜗𝑒𝑇𝑉−1𝑒 = 1

Soit :

𝜗 =1

𝑒𝑇𝑉−1𝑒[1 −

𝑚

𝑓0𝛾𝑇𝑉−1𝑒]

Remarque : 𝛾𝑇𝑉−1𝑒 = 𝑒𝑇𝑉−1𝛾

En remplaçant l’expression de 𝜗 dans l’expression de 𝑥𝑚𝑖𝑛 précédente:

𝑥𝑚𝑖𝑛 =1

𝑓0𝑉−1𝛾 +

1

𝑒𝑇𝑉−1𝑒[1 −

1

𝑓0𝑒𝑇𝑉−1𝛾]𝑉−1𝑒

=𝑚

𝑓0𝑉−1𝛾 +

𝑚

𝑓0[𝑓0𝑉

−1𝑒

𝑒𝑇𝑉−1𝑒−𝛾𝑇𝑉−1𝑒. 𝑉−1𝑒

𝑒𝑇𝑉−1𝑒]

Finalement :

𝑥𝑚𝑖𝑛 =1


⏞ 𝑥𝑚𝑖𝑛

+𝑚

𝑓0[𝑉−1𝛾 −

𝑒𝑇𝑉−1𝛾

𝑒𝑇𝑉−1𝑒𝑉−1𝑒]

⏞ 𝑧𝑚𝑖𝑛

𝑥𝑚𝑖𝑛 est le portefeuille qui minimise la variance du rendement surplus minimal.

Le terme 𝑥𝑚𝑖𝑛 =1

𝑒𝑇𝑉−1𝑒𝑉−1𝑒 correspond au portefeuille de variance minimale en absence de passif

(on retrouve ce terme dans l’approche de Markowitz).

Le second terme représenté par 𝑧𝑚𝑖𝑛 =𝑚

𝑓0[𝑉−1𝛾 −


𝑒𝑇𝑉−1𝑒𝑉−1𝑒] est tel que ∑ 𝑧𝑚𝑖𝑛𝑖 = 0. Ce terme

est linéaire en 𝛾. C’est ce terme qui permet de constater que le passif est pris en compte.

Preuve que ∑ 𝑧𝑚𝑖𝑛𝑖 = 0 :

∑ 𝑧𝑚𝑖𝑛𝑖 = 𝑧𝑚𝑖𝑛𝑇𝑒 =

𝑚

𝑓0[𝛾𝑇𝑉−1𝑒 −


𝑒𝑇𝑉−1𝑒𝑒𝑇𝑉−1𝑒] =

𝑚

𝑓0[𝛾𝑇𝑉−1𝑒 − 𝑒𝑇𝑉−1𝛾]=0

Car : 𝛾𝑇𝑉−1𝑒 = 𝑒𝑇𝑉−1𝛾

Ainsi les poids 𝑥𝑚𝑖𝑛 du portefeuille qui minimise la variance du rendement du surplus minimale se calculent de la façon suivante :

𝑥𝑚𝑖𝑛 = 𝑥𝑚𝑖𝑛 + 𝑧𝑚𝑖𝑛

{

𝑥𝑚𝑖𝑛 =1


𝑧𝑚𝑖𝑛 =𝑚

𝑓0[𝑉−1𝛾 −



2015


ACTUARIS | 53

- Solution du programme d’optimisation initial

De même que pour la résolution du problème de Markowitz, la solution optimale est exprimée de la façon suivante :

𝑥∗ =𝑚


=𝑚


=𝑚

𝑓0𝑉−1𝛾 + (𝜆𝑒𝑇𝑉−1𝜇)𝑥𝜇 + (𝜗𝑒

𝑇𝑉−1𝑒)𝑥1

Avec : 𝑥1 =1

𝑒𝑇𝑉−1𝑒𝑉−1𝑒, 𝑥𝜇 =

1


Par ailleurs, en remplaçant l’expression de 𝑥∗dans les contraintes du problème, le système suivant est obtenu:

{

𝜆𝜇𝑇𝑉−1𝜇 + 𝜗𝜇𝑇𝑉−1𝑒 = 𝑟 −𝑚

𝑓0𝛾𝑇𝑉−1𝜇

𝜆𝑒𝑇𝑉−1𝜇 + 𝜗𝑒𝑇𝑉−1𝑒 = 1 −𝑚

𝑓0𝛾𝑇𝑉−1𝑒

(𝑆)

De la même façon que pour le problème de Markowitz, ce système se résout en posant :

𝐴 = 𝜇𝑇𝑉−1𝜇 ; 𝐵 = 𝜇𝑇𝑉−1𝑒 et 𝐶 = 𝑒𝑇𝑉−1𝑒

Alors :

𝜆 =1

𝐴𝐶 − 𝐵2× (𝐶 × (𝑟 −

𝑚

𝑓0𝛾𝑇𝑉−1𝜇) − 𝐵 +

𝑚 × 𝐵 × (𝛾𝑇𝑉−1𝑒)

𝑓0)

Ainsi,

𝑥∗ =𝑚

𝑓0𝑉−1𝛾 + 𝜆𝑉−1𝜇 + (1 −

𝑚

𝑓0𝛾𝑇𝑉−1𝑒 − 𝜆𝑒𝑇𝑉−1𝜇)

1


=1

𝑒𝑇𝑉−1𝑒𝑉−1𝑒 +

𝑚

𝑓0[𝑉−1𝛾 −



⏟ =𝑃𝑜𝑟𝑡𝑒𝑓𝑒𝑢𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑢 𝑠𝑢𝑟𝑝𝑙𝑢𝑠 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒 𝑥𝑚𝑖𝑛

+ 𝜆 [𝑉−1𝜇 −𝑒𝑇𝑉−1𝜇


Le terme correspondant au vecteur des poids du portefeuille de variance de surplus minimale est alors reconnu. Pour conclure, le portefeuille solution du problème pour un niveau 𝑟 donné est :

𝑥∗ = 𝑥𝑚𝑖𝑛 + 𝑧𝑚𝑖𝑛 + 𝜆𝑧∗

{

𝑧∗ = 𝑉−1𝜇 −

𝑒𝑇𝑉−1𝜇


𝜆 =1

𝐴𝐶 − 𝐵2× (𝐶 × (𝑟 −

𝑚

𝑓0𝛾𝑇𝑉−1𝜇) − 𝐵 +

𝑚 × 𝐵 × (𝛾𝑇𝑉−1𝑒)

𝑓0)

Équation 5 : solution du problème de Sharpe et Tint

Remarque : 𝑧∗ ne dépend pas du passif et il est facilement vérifiable que ∑ 𝑧𝑖∗

𝑖∈𝐼 = 𝑧∗𝑇𝑒 = 0

2015


ACTUARIS | 54

Frontière efficiente de Sharpe et Tint 5.

Le portefeuille efficient de niveau de contrainte 𝑟 vérifie :

{

𝐸 [𝑅��(𝑥∗) −

𝑚

𝑓0𝑅��] = 𝐸 [𝑅��(𝑥

𝑚𝑖𝑛) −𝑚

𝑓0𝑅��] + 𝜆𝐸[𝑅��(𝑧

∗)]

𝑉𝑎𝑟 [𝑅��(𝑥∗) −

𝑚

𝑓0𝑅��] = 𝑉𝑎𝑟 [𝑅��(𝑥


𝑓0𝑅��] + 𝜆

2𝑉𝑎𝑟[𝑅��(𝑧∗)]

Il suffit pour cela de prouver que 𝐶𝑜𝑣 (𝑅��(𝑧∗), 𝑅��(𝑥

𝑚𝑖𝑛) −1

𝑓0𝑅��) = 0

Preuve :

𝐶𝑜𝑣 (𝑅��(𝑧∗), 𝑅��(𝑥


𝑓0𝑅��) = 𝑧

∗𝑇𝑉𝑥𝑚𝑖𝑛 −𝑚

𝑓0𝑧∗𝑇𝛾

= 𝑧∗𝑇𝑉 × (1

𝑒𝑇𝑉−1𝑒𝑉−1𝑒 +

𝑚

𝑓0[𝑉−1𝛾 −


𝑒𝑇𝑉−1𝑒𝑉−1𝑒]) −

𝑚


=1

𝑒𝑇𝑉−1𝑒𝑧∗𝑇𝑒⏟=0

+𝑚

𝑓0𝑧∗𝑇𝛾 −


𝑒𝑇𝑉−1𝑒𝑧∗𝑇𝑒⏟=0

−𝑚


= 0

Il existe encore une fois une relation parabolique entre l’espérance du rendement du surplus

𝜇𝑆 = 𝐸 [𝑅��(𝑥∗) −

𝑚

𝑓0𝑅��] et sa volatilité 𝜎𝑆 = 𝜎 [𝑅��(𝑥

∗) −𝑚

𝑓0𝑅��]. Cela dit, cette relation parabolique

existe si et seulement si:

𝑉𝑎𝑟 [𝑅��(𝑥𝑚𝑖𝑛) −

𝑚

𝑓0𝑅��] > 0

Interprétation de condition précédente:

cette condition signifie que le portefeuille 𝑥𝑚𝑖𝑛 qui minimise la variance du surplus ne couvre pas de façon parfaite les variations du passif. Cela implique qu’il n’existe pas de portefeuille 𝑥 couvrant de

façon parfaite les variations du passif et vérifiant 𝑉𝑎𝑟 [𝑅��(𝑥) −1

𝑓0𝑅��] = 0. Cette inégalité est de plus

équivalente à :

𝑉𝑎𝑟[𝑅��] > 2𝑓0𝑚𝑥𝑚𝑖𝑛

𝑇𝛾 + 𝑅��(𝑥

𝑚𝑖𝑛)

Remarque : lorsque 𝑉𝑎𝑟 [𝑅��(𝑥𝑚𝑖𝑛) −

𝑚

𝑓0𝑅��], la frontière effciente devient une ligne droite.

2015


ACTUARIS | 55


Les hypothèses suivantes sont considérées. Correl_actif représente la corrélation entre l’actif risqué A1 et l’actif risqué A2.Le poids du passif m est fixé à 1.

Ratio de financement

100,0%

Croissance du passif

Espérance 3,0%

Volatilité 2,0%


A1 3,0% 5,0%

A2 10,0% 20,0%

Covariance A1 A2

A1 0,3% 0,2%

A2 0,2% 4,0%

Classes d'actifs Correl_passif

A1 10,0%

A2 10,0%

Correl_actifs 20,0%

La figure ci-dessous représente la frontière efficiente de Sharpe et Tint. L’axe des abscisses représente la volatilité du rendement du surplus tandis que l’axe des ordonnés représente la volatilité du rendement du surplus. Comme pour Markowitz, la frontière efficiente (identifiée en bleu) associe tous les portefeuilles efficients que le gérant peut choisir tout en respectant un rendement du surplus minimum.

Figure 6 : frontière efficiente de Sharpe et Tint

Cas d’une couverture parfaite du passif par l’actif avec 𝑽𝒂𝒓 [𝑹��(𝒙𝒎𝒊𝒏) −

𝒎

𝒇𝟎𝑹��] = 𝟎 :

La frontière efficiente devient une ligne droite, les variations du portefeuille d’actif de volatilité minimum couvrent parfaitement celle du passif. Néanmoins, ce cas ne se présente que dans le cas exceptionnel où il existe (𝑏0, . . , 𝑏𝑛) ∈ 𝑅

𝑛+1 tels que :

𝑅�� = 𝑏0 +∑ 𝑏𝑖𝑅��𝑛𝑖=1 et ∑ 𝑏𝑖

𝑛𝑖=1 =

𝑓0

𝑚

2015


ACTUARIS | 56

La figure suivante représente la forme de la frontière efficiente dans ce cas

Figure 7 : frontière efficiente de Sharpe et Tint dans le cas d’une couverture parfaite du passif par le portefeuille de variance du surplus minimale

Ajout d’une contrainte de déficit 6.

Une contrainte qui interdit le ratio le financement à t=1 d’être en dessous d’un certain seuil est ajouté. Celle-ci peut être une mesure de l’aversion au risque de l’investisseur.

Le ratio de financement définit à t=1 est par définition :

𝑓1(𝑥) = 𝑓01 + 𝑅��(𝑥)

1 + 𝑅��

La contrainte de déficit est exprimée de la façon suivante :

𝑃(𝑓1(𝑥) ≤ 𝑓) ≤ 𝛿

Une investisseur averse au risque aura tendance à fixer un seuil 𝑓 élevé et une probabilité 𝛿 faible.

2015


ACTUARIS | 57

En supposant de plus que (𝑅�� , 𝑅1 , 𝑅2, … , 𝑅��) suit une loi normale multivariée, alors:

𝑃(𝑓1(𝑥) ≤ 𝑓) = 𝑃 (𝑓01 + 𝑅��(𝑥)

1 + 𝑅��≤ 𝑓)

= 𝑃 (1 + 𝑅��(𝑥) ≤𝑓

𝑓0+𝑓

𝑓0𝑅��)

= 𝑃 (𝑅��(𝑥) −𝑓

𝑓0𝑅�� ≤

𝑓

𝑓0− 1)

= 𝑃((𝑅��(𝑥) −

𝑚𝑓

𝑓0𝑅��) − 𝐸 [𝑅��(𝑥) −

𝑚𝑓

𝑓0𝑅��]

𝜎 [𝑅��(𝑥) −𝑚𝑓

𝑓0𝑅��]

≤ (𝑓

𝑓0− 1) − 𝐸 [𝑅��(𝑥) −

𝑚𝑓

𝑓0𝑅��]

𝜎 [𝑅��(𝑥) −𝑚𝑓

𝑓0𝑅��]

)

Ainsi, la contrainte de déficit est équivalente à :

(𝑓

𝑓0− 1) − 𝐸 [𝑅��(𝑥) −

𝑚𝑓

𝑓0𝑅��]

𝜎 [𝑅��(𝑥) −𝑚𝑓

𝑓0𝑅��]

< 𝑧𝛿

Où 𝑧𝛿 est le quantile d’ordre 𝛿 de la loi normale centrée réduite. La contrainte de déficit peut donc

être représentée par une droite d’ordonnée à l’origine 𝐸 [𝑅��(𝑥) −𝑚𝑓

𝑓0𝑅��] et de pente 𝑧𝛿.

(𝑓

𝑓0− 1) − 𝐸 [𝑅��(𝑥) −

𝑓

𝑓0𝑅��] ≥ 𝑧𝛿 × 𝜎 [𝑅��(𝑥) −

𝑓

𝑓0𝑅��]

Si 𝑓 = 1 , une contrainte linéaire dans l’espace ( volatilité optimale du rendement du surplus

[𝑅��(𝑥) −𝑚

𝑓0𝑅��] , rendement du surplus minimal 𝐸 [𝑅��(𝑥) −

𝑚

𝑓0𝑅��] ) est obtenue.


En reprenant les hypothèses de l’application numérique précédente et en fixant le seuil 𝑓 à 1, 𝛿 à 0.4 et le poids m à 1.

Le portefeuille représenté par l’intersection entre la frontière efficiente et la contrainte de déficit

correspond à l’aversion au risque fixé par l’investisseur. Celle-ci est définie dans ce cas par la

probabilité suivante :

𝑃(𝑓1(𝑥) ≤ 100%) ≤ 0,4

L’existence d’une intersection prouve qu’il existe un portefeuille dans l’ensemble des portefeuilles efficients qui répond à cette contrainte. Cela veut dire qu’il existe un 𝜆 associé à une contrainte de rendement de surplus donnée vérifiant la contrainte de déficit.

2015


ACTUARIS | 58

Figure 8 : frontière efficient (en bleu) de Sharpe et Tint représentée avec la contrainte de déficit (en noir)

Sensibilités du modèle de Sharpe et Tint 7.

Dans cette sous-section, le comportement du modèle face aux variations de certains paramètres est

observé. Pour tous les tests qui suivent, le seuil 𝑓 est fixé à 1, 𝛿 à 0.4 et le poids m à 1.

Le modèle de Sharpe et tint se comporte de la même façon28 que celui de Markowitz par rapport aux

variations de la corrélation entre les actifs, de leurs volatilité et de leurs rendements. Ces sensibilités

ne seront donc pas étudiées.

28

Se référer aux tests de sensibilité effectués dans le cadre du modèle de Markowitz

2015


ACTUARIS | 59

- Sensibilité à une hausse de la croissance des engagements

Description du test de sensibilité : La croissance du passif est choquée de 2% par rapport à l’exemple

précédent.

Ratio de financement

100,0%


Espérance 3,0% + 2,0%

Volatilité 2,0%


A1 3,0% 5,0%

A2 10,0% 20,0%

Covariance A1 A2

A1 0,3% 0,2%

A2 0,2% 4,0%


A1 10,0%

A2 10,0%

Correl_actifs 20,0%

Description des résultats du test : la figure ci-dessous représente la frontière efficiente avant choc

(courbe grise) et après choc (courbe bleue). La droite noire représente la contrainte de déficit. Les

volatilités associées aux portefeuilles efficients augmentent de la même façon (déplacement

parallèle de la frontière efficiente). Par ailleurs les rendement et volatilités du portefeuille efficient

vérifiant la contrainte de déficit augmentent.

Figure 9 : sensibilité de la frontière efficiente de Sharpe et Tint à une hausse de la croissance du passif

Interprétation : Par définition du rendement du surplus, celui-ci est décroissant avec la croissance

des engagements. Cela signifie qu’une anticipation à la hausse des engagements entraine une baisse

du niveau du surplus. Cela explique pourquoi les rendements du surplus associés aux portefeuilles

efficient diminuent. Pour compenser cela, l’investisseur avec son aversion au risque choisit d’investir

dans plus d’actifs risqués. De cette façon la volatilité associé au portefeuille efficient et vérifiant la

contrainte de déficit augmente.

2015


ACTUARIS | 60

- Sensibilité à une hausse de la corrélation des actifs avec le passif

Description du test de sensibilité : Les corrélations des actifs avec le passif sont choquées de 1%.

Ratio de financement 100,0%


Espérance 3,0%

Volatilité 2,0


A1 3,0% 5,0%

A2 10,0% 20,0%

Description des résultats du test : Dans la figure ci-dessous, il est possible de constater la position

de la frontière efficiente avant choc (courbe grise) et après choc (courbe bleue). La droite noire

représente la contrainte de déficit. Une augmentation de la corrélation du portefeuille avec le passif

implique la diminution des volatilités des portefeuilles efficients.

Figure 10 : sensibilité à une hausse de la corrélation des actifs avec le passif

Interprétation : Face à un choc positif de corrélation du portefeuille d’actifs avec le passif, la

frontière efficiente de Sharpe et Tint se comporte de manière équivalente à un choc négatif de

volatilité des actifs du portefeuille. Ainsi, un portefeuille comportant des actifs positivement corrélés

au passif est équivalent à un portefeuille avec une volatilité du portefeuille moins élevée et sans

corrélation avec le passif. De cette façon, pour la même aversion au risque (contrainte de deficit), le

portefeuille efficient vérifiant la contrainte est moins performant mais moins risqué.

Covariance A1 A2

A1 0,3% 0,2%

A2 0,2% 4,0%


A1 10% + 1%

A2 10% + 1%

Correl_actifs 20,0%

2015


ACTUARIS | 61

- Sensibilité à une variation du ratio de financement initial

Description du test de sensibilité : Un choc de 50% du ratio de financement initial est effectué.

Ratio de financement 100,0% + 50%


Espérance 3,0%

Volatilité 2,0%


A1 3,0% 5,0%

A2 10,0% 20,0%

Description des résultats du test : la figure ci-dessous représente la frontière efficiente avant choc

(courbe grise) et après choc (courbe bleue). Une augmentation du ratio de financement implique

l’augmentation des rendements des portefeuilles efficients et la diminution de leurs volatilités.

Figure 11 : sensibilité à une variation du ratio de financement initial

Interprétation : Face à un choc positif du ratio de financement initial, la frontière efficiente de

Sharpe et Tint se comporte de manière équivalente à un choc positif des rendements des actifs du

portefeuille. Cela s’explique par la définition même du rendement du surplus qui est croissant avec

le ratio de financement initial. Un meilleur rendement est obtenu pour une volatilité inchangée.

Covariance A1 A2

A1 0,3% 0,2%

A2 0,2% 4,0%


A1 0,0%

A2 0,0%

Correl_actifs 20,0%

2015


ACTUARIS | 62

Pour aller plus loin : Hypothèses supplémentaires pour le passif 8.

Il a été vu précédemment que le portefeuille 𝑧𝑚𝑖𝑛 dépend linéairement de

(𝛾𝑖)𝑖∈𝐼 = (𝐶𝑜𝑣(𝑅��, 𝑅��))𝑖,𝑗∈𝐼 (Partie II.4). Afin de tirer profit de cette observation, il est possible de

supposer que:

𝑅�� = 𝐶0 +∑𝐶ℎ��𝐿ℎ

𝑘

ℎ=1

En effet, il est possible de considérer que le rendement du passif dépend linéairement de différents

facteurs notés ��𝐿ℎ, ℎ = 1,… , 𝑘 tels que l’inflation, la croissance économique, etc. Il serait par ailleurs

possible d’estimer les coefficients 𝐶ℎ par des méthodes économétriques. Dans ce cas :

𝑧𝑚𝑖𝑛 =1

𝑓0∑𝐶ℎ𝑧

ℎ

𝑘

ℎ=1

Avec :

𝑧ℎ = 𝑉−1𝛾ℎ −𝑒𝑇𝑉−1𝜇


Et :

𝛾 = ∑𝐶ℎ𝛾ℎ

𝑘

ℎ=1

Et :

𝛾𝑖ℎ = 𝐶𝑜𝑣(��𝐿

ℎ, 𝑅��)

C’est-à-dire que chaque facteur ��𝐿ℎ iinduit un portefeuille 𝑧ℎ couvrant ses variation. Ainsi la solution

du problème de Sharpe et Tint s’exprime de la façon suivante :

𝑥∗ = 𝑥𝑚𝑖𝑛 +1

𝑓0∑𝐶ℎ𝑧

ℎ

𝑘

ℎ=1

+ 𝜆𝑧∗

- Conclusion sur le modèle de Sharpe et Tint


implémenter et à comprendre. D’ailleurs, lorsque le ratio de financement initial est fixé à 1 et que les

paramètres liés au passif sont fixés à 0, le cas de Markowitz est alors retrouvé.

L’atout majeur de ce modèle est qu’il prend en compte les engagements du gérant par le biais du

ratio de financement et de la corrélation de l’actif avec le passif.

Cependant, le modèle suppose la normalité des rendements considérés. Cette hypothèse peut être

éloignée de la réalité. De plus, un bon calibrage des corrélations est essentielle pour le

fonctionnement de ce modèle. Or, de façon pratique, il est assez difficile d’en donner une estimation

exacte en particulier en ce qui concerne les corrélations des actifs avec le passif.

D’autre part, une solution efficiente qui répond à la contrainte de déficit peut ne pas exister si le

gérant présente une aversion au risque prononcée qui se traduit par des seuils de déficits exigeants.

Enfin, comme pour Markowitz, les contraintes du modèle de base ne suffisent pas dans les cas

pratiques. Il faudrait aussi tenir compte des autres contraintes auxquelles un régime de retraite

pourrait faire face.

Allocation stratégique d’actifs dans le cadre de l’épargne BERRADA SOUNI Salma

ACTUARIS | 57

III. Modèle de Leibowitz (1992)

Le modèle de Leibowitz a été développé par Martin Leibowitz et son équipe au sein de la banque Salomon Brothers.

Ce modèle s’applique à un portefeuille composé de deux classes d’actifs : action et obligation. Son objectif est de déterminer le pourcentage d’actions et la duration de la composante obligataire optimaux permettant de maximiser le rendement du surplus. Le problème se résout sous une contrainte de rendement minimal du surplus et une contrainte de rentabilité minimale de l’actif.

La résolution du problème de Leibowitz passe par la recherche du portefeuille maximisant le rendement du surplus, et appartenant à l’intersection des ensembles de solutions des deux contraintes. Ces contraintes sont modélisées en probabilité et concernent des grandeurs exprimés en valeur de marché ou valeurs actualisées.

Modélisation du passif 1.

Le passif représente le montant des engagements de l’assureur calculé par le biais de méthodes actuarielles.

La variation de la valeur actuelle des engagements est notée 𝑅��. Elle est aussi appelée croissance du passif.

Hypothèse

𝑅�� : Suit une loi normale d’espérance 𝑅𝑝 et de variance 𝜎𝑝2.

Modélisation de l’actif 2.

L’existence de deux classes d’actifs est ici supposée: Les actions et les obligations. Le rendement de l’actif de

type action est noté 𝑅�� et le rendement de l’obligation est noté 𝑅��.

La proportion d’actifs de type action est notée 𝛼. Le rendement du portefeuille s’écrit donc:

��𝑃𝑓 = 𝛼��𝐴 + (1 − 𝛼)��𝑂

La corrélation entre l’actif obligataire et l’actif du type action est noté 𝜌. L’écart-type du taux d’intérêt pour les

emprunts 1 an est noté 𝜎𝑡𝑎𝑢𝑥1𝑎𝑛 .

Hypothèses

i. 𝑅�� : Suit une loi normale d’espérance 𝑅𝐴 et de variance 𝜎𝐴2.

ii. 𝑅�� : Suit une loi normale d’espérance 𝑅𝑂 et de variance 𝜎𝑂2.

iii. La corrélation entre le passif et l’actif de type obligataire 𝜌𝑜𝑝 est égal à 1.

iv. La volatilité de l’actif de type obligataire est proportionnelle à sa duration : 𝜎𝑂 = 𝐷𝑂𝜎𝑡𝑎𝑢𝑥1𝑎𝑛

Interprétation de l’hypothèse iii

Cette hypothèse suppose que les flux reçus par le biais de l’obligation sont bien adossés au passif.

Interprétation de l’hypothèse iv

D’une part, la duration 𝐷𝑂 donne une approximation de l’amplitude du changement de prix de l’obligation en

pourcentage pour une variation du taux de rendement de 1%. D’autre part, 𝜎𝑡𝑎𝑢𝑥1𝑎𝑛 donne la valeur

moyenne de la variation du taux de rendement en question. Ainsi, il est cohérent d’approximer la volatilité

moyenne de l’obligation par 𝐷𝑂𝜎𝑡𝑎𝑢𝑥1𝑎𝑛.

2015


ACTUARIS | 64

Modélisation du surplus 3.

Le surplus est la différence entre le montant d’actif et la valeur des engagements de l’assureur. Les valeurs de marché du portefeuille d’actifs à t=0 et à t=1 sont notées 𝐴0 et 𝐴1. De façon similaire 𝑃0 et 𝑃1 sont les valeurs actuelles des engagements.

Le surplus à t=0 est défini de la façon suivante

𝑆0 = 𝐴0 − 𝑃0

A t=1, le surplus s’écrit :

��1 = ��1 − ��1

Le rendement du surplus est noté 𝑅��. Le modèle de Leibowitz le définit ainsi 29:

𝑅�� =𝑆1 − 𝑆0𝑃0

Compte tenu des hypothèses prises pour l’actif et pour le passif, 𝑅�� suit une loi normale d’espérance 𝑅𝑆 et de variance 𝜎𝑆

2.

𝑅�� =(𝐴1 − 𝑃1) − (𝐴0 − 𝑃0)

𝑃0

=(𝐴1 − 𝐴0)

𝐴0×𝐴0𝑃0−(𝑃1 − 𝑃0)

𝑃0= 𝜑𝑅𝑃�� − 𝑅��

Où 𝜑 est le ratio de financement initial tel que : 𝜑 =𝐴0

𝑃0 et 𝑅�� est la croissance du passif

Contrainte sur le rendement surplus 4.

Il est possible d’exprimer mathématiquement l’affirmation suivante : « La probabilité que le rendement du surplus soit inférieur au seuil u doit être inférieure à une probabilité p ».

𝑃(𝑅�� < 𝑢) < 𝑝

Équation 6 : contrainte sur le rendement du surplus de Leibowitz

Les seuils et probabilités des différentes contraintes sont fixés selon la tolérance au risque de l’investisseur.

- Cette contrainte se traduit de la façon suivante : 𝑅𝑆 > 𝑢 − 𝜎𝑆𝑞𝑝𝑁(0,1)

où 𝑞𝑝𝑁(0,1)

est le quantile d’ordre p

d’une normale centrée réduite.

Preuve:

𝑃(𝑅�� < 𝑢) = 𝑃 (𝑅�� − 𝑅𝑆

𝜎𝑆<𝑢 − 𝑅𝑆

𝜎𝑆)

= 𝑃 (𝑁(0,1) <𝑢 − 𝑅𝑆

𝜎𝑆)

29 Le modèle de Sharpe et Tint définit le rendement du surplus de façon différente: 𝑅�� =𝑆1−𝑆0

𝐴0

2015


ACTUARIS | 65

Ainsi, par définition du quantile d’ordre p, la contrainte 𝑃(��𝑆 < 𝑢) < 𝑝 est équivalente à :

𝑢 − 𝑅𝑆

𝜎𝑆< 𝑞𝑝

𝑁(0,1)

Soit à :

𝑅𝑆 > 𝑢 − 𝜎𝑆𝑞𝑝𝑁(0,1)

La courbe qui définit cette contrainte est donc caractérisée par :

𝑅𝑆 = 𝑢 − 𝜎𝑆𝑞𝑝𝑁(0,1)

- Expression de la contrainte sur le rendement du surplus dans le plan (𝑹𝑷𝒇 , 𝝈𝒑𝒇).

Pour rappel, 𝑅𝑃𝑓 représente le rendement espéré du portefeuille d’actifs et 𝜎𝑝𝑓 sa volatilité.

D’après ce qui précède: 𝑅𝑆 = 𝜑𝑅𝑃𝑓 − 𝑅𝑝

De plus,

𝜎𝑆2 = 𝑐𝑜𝑣(𝑅��, 𝑅��)

= 𝑐𝑜𝑣(𝜑𝑅𝑃�� − 𝑅��, 𝜑𝑅𝑃�� − 𝑅��)

= 𝜑2𝜎𝑝𝑓2 + 𝜎𝑃

2 − 2𝜑𝐶𝑜𝑣(𝑅𝑃�� , 𝑅��)

Or : 𝐶𝑜𝑣(𝑅𝑃�� , ��𝑝) = α𝐶𝑜𝑣(𝑅��, 𝑅��) + (1 − α)Cov(𝑅��, 𝑅��)

Et : 𝐶𝑜𝑣(𝑅��, 𝑅��) = 𝜎𝐴𝜎𝑃𝜌 et Cov(𝑅�� , 𝑅��) = 𝜎𝑂𝜎𝑃 avec 𝜌𝑜𝑝 = 1 (d’après l’hypothèse iii)

D’un autre côté,

𝜎𝑝𝑓2 = 𝐶𝑜𝑣(𝛼𝑅�� + (1 − 𝛼)𝑅��, 𝛼𝑅�� + (1 − 𝛼)𝑅��)

= 𝛼2𝜎𝐴2 + 2𝛼(1 − 𝛼)𝜎𝐴𝜎𝑂𝜌 + (1 − 𝛼)

2𝜎𝑂2

Ainsi :

𝜎𝑆2 = 𝜑2(𝛼2𝜎𝐴

2 + 2𝛼(1 − 𝛼)𝜎𝐴𝜎𝑂𝜌 + (1 − 𝛼)2𝜎𝑂

2) + 𝜎𝑃2 − 2𝜑(α𝜎𝐴𝜎𝑃𝜌 + (1 − α)𝜎𝑂𝜎𝑃)

= 𝜑2(1 − 𝛼)2𝜎𝑂2 + [2 𝜑2𝛼(1 − 𝛼)𝜎𝐴𝜌 − 2𝜑(1 − 𝛼)𝜎𝑃]𝜎𝑂 − [2𝜑α𝜎𝐴𝜎𝑃𝜌 − 𝜑

2𝛼2𝜎𝐴2 − 𝜎𝑃

2]

De plus, à la frontière de la contrainte sur le surplus :

𝜎𝑆 =𝑅𝑆 − 𝑢

−𝑞𝑝𝑁(0,1)

=𝜑𝑅𝑃𝑓 − 𝑅𝑝 − 𝑢

−𝑞𝑝𝑁(0,1)

=𝜑(𝛼𝑅𝐴 + (1 − 𝛼)𝑅𝑂 ) − 𝑅𝑝 − 𝑢

−𝑞𝑝𝑁(0,1)

2015


ACTUARIS | 66

L’équation de la frontière de la contrainte sur le surplus (œuf de Leibowitz) est alors obtenue:

𝐴(𝛼)𝜎𝑂2 + 𝐵(𝛼)𝜎𝑂 + 𝐶(𝛼) = 0

Où :

{

𝑨(𝜶) = 𝜑2(1 − 𝛼)2

𝑩(𝜶) = 2𝜑2𝛼(1 − 𝛼)𝜎𝐴𝜌 − 2𝜑(1 − 𝛼)𝜎𝑃

𝑪(𝜶) = −[𝜑(𝛼𝑅𝐴+(1−𝛼)𝑅𝑂)−𝑅𝑝 −𝑢

𝑞𝑝𝑁(0,1)

2

− 𝜑2𝛼2𝜎𝐴2 + 2𝜑α𝜎𝐴𝜎𝑃𝜌 − 𝜎𝑃

2

Équation 7 : équation de la frontière de la contrainte sur le rendement du surplus sur le plan (RPf , σpf)

Dans cette équation de second degré, il y a deux inconnues : 𝛼 et 𝜎𝑂. Pour un 𝛼 fixé, sous condition que ∆(𝛼) = 𝐵(𝛼)2 − 4𝐴(𝛼)𝐶(𝛼) > 0, les 𝜎𝑂 correspondants aux solutions de cette équation peuvent être trouvés.

L’ensemble des valeurs de 𝛼 et des 𝜎𝑂 ainsi obtenu permet d’obtenir l’ensemble des (𝑅𝑃𝑓 , 𝜎𝑝𝑓) correspondant

et se trouvant sur la frontière caractérisant la contrainte sur le surplus. Cette ensemble forme alors un ovoïde appelé « œuf de Leibowitz » sur le plan (𝑅𝑃𝑓 , 𝜎𝑝𝑓).

Contrainte sur le rendement du portefeuille d’actifs 5.

De même que précédemment, il est possible d’exprimer mathématiquement l’affirmation suivante : « La probabilité pour que la soit inférieure à un certain seuil u’ ne doit pas dépasser une probabilité p’ »

𝑃(𝑅𝑃�� < 𝑢′) < 𝑝′

Équation 8 : expression de la contrainte sur le rendement du portefeuille d’actifs

De même, les seuils et probabilités des différentes contraintes sont fixés selon la tolérance au risque de l’investisseur.

De la même façon que précédemment, cette contrainte implique :

𝑅𝑃𝑓 > 𝑢′ − 𝜎𝑃𝑓𝑞𝑝𝑁(0,1)

La droite dans le plan (𝑅𝑃𝑓 𝜎𝑝𝑓) qui définit cette contrainte est donc caractérisée par une droite d’équation:

𝑅𝑃𝑓 = 𝑢′ − 𝜎𝑃𝑓𝑞𝑝𝑁(0,1)

Équation 9 : équation de la frontière de la contrainte sur le rendement du portefeuille sur le plan (RPf , σpf)

Résolution du programme d’optimisation de Leibowitz 6.

La méthode de Leibowitz est dite duale car elle permet de maximiser le surplus sous les deux contraintes précédentes. Le programme d’optimisation s’écrit :

Max (𝑅𝑆 )

sc : {𝑃(��𝑆 < 𝑢) < 𝑝

𝑃(��𝑃𝑓 < 𝑢′) < 𝑝′

Équation 10 : programme d’optimisation de Leibowitz

2015


ACTUARIS | 67

Grâce à une méthode graphique, le programme ci-dessus peut être résolu. Dans ce cadre, la figure ci-dessous présente les deux contraintes pour les hypothèses suivantes :

𝝆 = 0.35 ; 𝝋 = 1.7 ; 𝝈𝑨 = 0.2 ; 𝝈𝑷 = 0.15 ; 𝑹𝑨 = 0.13 ; 𝑹𝑶 = 0.06 ; 𝑹𝑷 = 0.06 ;

𝒑 = 𝒑′ = 0.2 et 𝒖 = 𝒖′ = 0

Les portefeuilles sur le plan ( 𝑅𝑃𝑓 , 𝜎𝑝𝑓), vérifiant les deux contraintes se trouvent à la fois à l’intérieur de l’œuf

de Leibowitz (en jaune) et dans la partie supérieure à la droite de déficit (en bleu).

�

Figure 12 : résolution graphique du programme de Leibowitz

Le portefeuille optimal vérifiant les deux contraintes se trouve à l’intersection des deux contraintes (point

d’intersection entre la courbe jaune et la droite bleu). Ce point d’intersection est noté :(𝑅𝑃𝑓 ∗, 𝜎𝑝𝑓∗)

La part optimale d’action à détenir correspondant à cette intersection s’écrit :

𝛼∗ =𝑅𝑃𝑓 ∗ − 𝑅𝑂

𝑅𝐴 − 𝑅𝑂

Équation 11 : expression de la part d’action optimale à détenir selon le modèle de Leibowitz

2015


ACTUARIS | 68

Preuve:

Par définition :

RPf ∗ = α∗RA + (1 − α∗)RO = α

∗(RA − RO ) + RO

Ce qui est équivalent à α∗ =RPf ∗− RO

RA − RO

De plus, pour un 𝛼∗ fixé, il possible de montrer que la solution 𝜎𝑂∗ répondant à la contrainte sur le rendement

du surplus s’écrit :

𝜎𝑂∗ =

−𝛼∗𝜎𝐴𝜌 + √𝛼∗2𝜎𝐴

2(𝜌2 − 1) + 𝜎𝑝𝑓

∗2

1 − 𝛼∗

Équation 12 : expression de la volatilité optimale de l’obligation à détenir selon Leibowitz

Preuve:

D’après ce qui précède, pour 𝛼∗ fixé, l’équation de second degré en 𝜎𝑂 suivante est obtenue:

(1 − 𝛼∗)2𝜎𝑂2 + 2𝛼∗(1 − 𝛼∗)𝜎𝐴𝜌𝜎𝑂 + 𝛼

∗2𝜎𝐴2 − 𝜎𝑝𝑓

∗2 = 0

Avec : 𝜎𝑝𝑓∗2 = 𝛼∗2𝜎𝐴

2 + 2𝛼∗(1 − 𝛼∗)𝜎𝐴𝜎𝑂𝜌 + (1 − 𝛼∗)2𝜎𝑂

2

Calculons le déterminant :

∆(𝛼) = (2𝛼∗(1 − 𝛼∗)𝜎𝐴𝜌)2 − 4(1 − 𝛼∗)2(𝛼∗2𝜎𝐴

2 − 𝜎𝑝𝑓∗2)

= 4𝛼∗2(1 − 𝛼∗)2𝜎𝐴2𝜌2 − 4(1 − 𝛼∗)2(𝛼∗2𝜎𝐴

2 − 𝜎𝑝𝑓∗2)

= 4(1 − 𝛼∗)2 [𝛼∗2𝜎𝐴2𝜌2 − 𝛼∗2𝜎𝐴

2 + 𝜎𝑝𝑓∗2] = 4(1 − 𝛼∗)2 [𝛼∗2𝜎𝐴

2(𝜌2 − 1) + 𝜎𝑝𝑓

∗2]

Ainsi,

𝜎𝑂 =

{

−2𝛼∗(1 − 𝛼∗)𝜎𝐴𝜌 + 2(1 − 𝛼

∗)√𝛼∗2𝜎𝐴2(𝜌2 − 1) + 𝜎𝑝𝑓

∗2

2(1 − 𝛼∗)2

−2𝛼∗(1 − 𝛼∗)𝜎𝐴𝜌 − 2(1 − 𝛼∗)√𝛼∗2𝜎𝐴

2(𝜌2 − 1) + 𝜎𝑝𝑓

∗2

2(1 − 𝛼∗)2

La seconde solution étant toujours négative, elle est donc impossible. Ainsi :

𝜎𝑂 =−𝛼∗𝜎𝐴𝜌 + √𝛼

∗2𝜎𝐴2(𝜌2 − 1) + 𝜎𝑝𝑓

∗2

1 − 𝛼∗

- Avec les hypothèses précédentes, alors : 𝛼∗ = 28.5% et 𝜎𝑜∗ = 30.2%

De plus, comme la volatilité de l’actif obligataire est supposée proportionnelle à sa duration, alors, la duration optimale de la composante obligataire à détenir peut être déduit.

2015


ACTUARIS | 69

Sensibilités du modèle de Leibowitz 7.

La sensibilité de ce modèle aux différents paramètres est examinée dans les paragraphes suivants.

- Sensibilité à une variation de la volatilité de l’action

Description du test de sensibilité : La volatilité de l’actif est augmentée de 20%.

Scénario initial Scénario choqué

𝜌 = 0.35

𝜑 = 1.7

𝝈𝑨 = 𝟎. 𝟐

𝜎𝑃 = 0.15

𝑅𝐴 = 0.13

𝑅𝑂 = 0.06

𝑅𝑃 = 0.06

𝑝 = 𝑝′ = 0.2

𝑢 = 𝑢′ = −0.01

𝜌 = 0.35

𝜑 = 1.7

𝝈𝑨 = 𝟎. 𝟒

𝜎𝑃 = 0.15

𝑅𝐴 = 0.13

𝑅𝑂 = 0.06

𝑅𝑃 = 0.06

𝑝 = 𝑝′ = 0.2

𝑢 = 𝑢′ = −0.01

Description des résultats du test : Dans la figure ci-dessous sont représentées les deux contraintes de Leibowitz. L’effet d’une augmentation de la volatilité de l’actif de type action de 20% a pour effet de compresser l’œuf de Leibowitz (la courbe en vert correspond à l’oeuf après choc) . Par ailleurs, le rendement du portefeuille optimal diminue significativement de même que la volatilité optimale.

Figure 13 : sensibilité à une variation de la volatilité de l’action

Interprétation : Les portefeuilles vérifiant la contrainte sur le rendement du surplus étant à l’intérieur de l’œuf de Leibowitz, une compression signifie que le nombre de portefeuilles vérifiant cette contrainte diminu. En effet, augmenterla volatilité de l’action implique un univers d’investissement plus risqué. La rentabilité étant croissante avec le risque, celle-ci diminue.

2015


ACTUARIS | 70

- Sensibilité à une variation du ratio de financement

Description du test de sensibilité : le ratio de financement est graduellement diminué et les changements provoqués sont observés.

Scénario initial Scénario choqué 1 Scénario choqué 2 Scénario choqué 3

𝜌 = 0.35 𝝋 = 𝟏. 𝟕 𝜎𝐴 = 0.2 𝜎𝑃 = 0.15 𝑅𝐴 = 0.13 𝑅𝑂 = 0.06 𝑅𝑃 = 0.06 𝑝 = 𝑝′ = 0.2 𝑢 = 𝑢′ = −0.01

𝜌 = 0.35 𝝋 = 𝟏. 𝟓 𝜎𝐴 = 0.2 𝜎𝑃 = 0.15 𝑅𝐴 = 0.13 𝑅𝑂 = 0.06 𝑅𝑃 = 0.06 𝑝 = 𝑝′ = 0.2 𝑢 = 𝑢′ = −0.01

𝜌 = 0.35 𝝋 = 𝟏. 𝟑 𝜎𝐴 = 0.2 𝜎𝑃 = 0.15 𝑅𝐴 = 0.13 𝑅𝑂 = 0.06 𝑅𝑃 = 0.06 𝑝 = 𝑝′ = 0.2 𝑢 = 𝑢′ = −0.01

𝜌 = 0.35 𝝋 = 𝟏. 𝟏 𝜎𝐴 = 0.2 𝜎𝑃 = 0.15 𝑅𝐴 = 0.13 𝑅𝑂 = 0.06 𝑅𝑃 = 0.06 𝑝 = 𝑝′ = 0.2 𝑢 = 𝑢′ = −0.01

Description des résultats du test : La diminution graduelle du ratio de financement s’accompagne d’une compression graduelle de l’œuf de leibowitz et de l’augmentation des volatilités des solutions vérifiants la contrainte sur le surplus. La droite de déficit, quant à elle, reste inchangée.

Figure 14 : sensibilité à une variation du ratio de financement

Interprétation: En diminuant le ratio de financement, l’ensemble des solutions vérifiant la contrainte sur le surplus diminue aussi. La volatilité du portefeuille optimale dans ce cas augmente tandis que sa rentabilité diminue. Ce modèle suggère alors plus d’investissements en actions en cas de diminution du ratio de financement. Par ailleurs, à partir d’un certain ratio de financement, il n’existe plus de solution vérifiant les deux contraintes (Scénario choqué 3).

2015


ACTUARIS | 71

- Sensibilité à une variation des seuils probabilités de déficit

Description du test de sensibilité : les probabilités de déficit de l’actif et du surplus sont diminuées de 5% (aversion au risque plus prononcée) et les changements provoqués sont observés.


𝜌 = 0.35

𝜑 = 1.7

𝜎𝐴 = 0.2

𝜎𝑃 = 0.15

𝑅𝐴 = 0.13

𝑅𝑂 = 0.06

𝑅𝑃 = 0.06

𝒑 = 𝒑′ = 𝟎. 𝟐

𝑢 = 𝑢′ = −0.01

𝜌 = 0.35

𝜑 = 1.7

𝜎𝐴 = 0.2

𝜎𝑃 = 0.15

𝑅𝐴 = 0.13

𝑅𝑂 = 0.06

𝑅𝑃 = 0.06

𝒑 = 𝒑′ = 𝟎. 𝟏𝟓

𝑢 = 𝑢′ = −0.01

Description des résultats du test : une diminution des seuils de probabilité ont pour effet de compresser l’œuf de Leibowitz d’un coté et d’augmenter la pente de la droite de déficit de l’autre (la droite en bleu correspond à la droite après choc).

Figure 15 : sensibilité à une variation des seuils de probabilité de déficit

Interprétation : l’ensemble des solutions répondant à la contrainte sur le rendement du surplus se réduit. En

effet, le cas choqué présente un cas d’aversion au risque plus prononcé (probabilités de déficit plus faibles)

que le cas initial. L’aversion au risque se traduit par la diminution de la volatilité du portefeuille optimal. En

effet, plus l’investisseur est averse au risque, moins le portefeuille choisi est volatil.

2015


ACTUARIS | 72

- Sensibilité à une variation des seuils de rendement du surplus et du portefeuille d’actifs

Description du test de sensibilité : Les seuils de rendement du surplus et du portefeuille d’actifs sont augmentés de 1% et les changements provoqués sont observés.


𝜌 = 0.35 𝜑 = 1.7 𝜎𝐴 = 0.2 𝜎𝑃 = 0.15 𝑅𝐴 = 0.13 𝑅𝑂 = 0.06 𝑅𝑃 = 0.06 𝑝 = 𝑝′ = 0.2 𝑢 = 𝑢′ = −0.01

𝜌 = 0.35 𝜑 = 1.7 𝜎𝐴 = 0.2 𝜎𝑃 = 0.15 𝑅𝐴 = 0.13 𝑅𝑂 = 0.06 𝑅𝑃 = 0.06 𝑝 = 𝑝′ = 0.2 𝒖 = 𝒖′ = 𝟎

Description des résultats du test : L’effet de ce choc est une compression de l’œuf de Leibowitz et un déplacement parallèle de la droite de déficit, c’est-à-dire qye l’ordonnée à l’origine est plus elevée ((la droite en bleu correspond à la droite après choc).

Figure 16 : sensibilité à une variation des seuils u et u’

Interprétation : Une augmentation des seuils de rendement du surplus traduit une aversion au risque plus

prononcée. Ceci réduit l’ensemble des portefeuilles répondant à la contrainte sur le rendement du surplus

d’une part et diminue la volatilité du portefeuille optimal (même raisonnement que le test précédent).

2015


ACTUARIS | 73

- Sensibilité à une variation de la corrélation entre l’actif obligataire et l’actif risqué

Description du test de sensibilité : la corrélation entre l’actif obligataire et l’actif risqué est augmentée de 20% et les changements provoqués sont observés.


𝜌 = 0.35

𝜑 = 1.7

𝜎𝐴 = 0.2

𝜎𝑃 = 0.15

𝑅𝐴 = 0.13

𝑅𝑂 = 0.06

𝑅𝑃 = 0.06

𝑝 = 𝑝′ = 0.2

𝑢 = 𝑢′ = −0.01

𝝆 = 𝟎. 𝟓𝟓

𝜑 = 1.7

𝜎𝐴 = 0.2

𝜎𝑃 = 0.15

𝑅𝐴 = 0.13

𝑅𝑂 = 0.06

𝑅𝑃 = 0.06

𝑝 = 𝑝′ = 0.2

𝑢 = 𝑢′ = −0.01

Description des résultats du test : l’œuf de Leibowitz s’étire vers le haut, tandis que la droite de déficit reste inchangée.

Figure 17 : sensibilité à une variation de la corrélation entre l’actif obligataire et l’actif risqué

Interprétation : L’augmentation de la corrélation entre l’actif obligataire et l’actif risqué permet d’obtenir un

portefeuille optimal avec un rendement supérieur : dès que l’actif le plus risqué et le plus rentable est

suffisamment corrélé à l’actif le moins risqué, l’investisseur est incité à investir davantage dans l’actif le plus

rentable car il est suffisamment corrélé à l’actif sans risque pour suivre ses variations. Ceci permet d’obtenir

un portefeuille optimal plus rentable sans pourtant augmenter fortement la volatilité.

2015


ACTUARIS | 74

Conclusion sur le modèle de Leibowitz 8.

Comme pour Sharpe et Tint, l’intérêt majeur de ce modèle est qu’il prend en compte les engagements du

gérant. De plus, le modèle de leibowitz se différencie du modèle de Sharpe et tint car il permet non

seulement de déterminer la proportion d’actions à détenir dans le portefeuille mais également la duration

optimale de la composante obligataire à détenir. Cela permet d’avoir une démarche plus précise.

Cependant, le modèle suppose des hypothèses fortes :

La duration de l’actif obligataire proportionnelle à sa volatilité.

Les obligations de toutes les maturités fournissent le même rendement

Les rendements sont normalement distribués.

Par ailleurs, ce modèle se restreint à un portefeuille composé d’une action et d’une composante obligataire.

Ceci le rend difficilement adaptable à la réalité pratique dans laquelle un gérant peut allouer sa richesse dans

un large nombre d’actifs. De plus, Le modèle est relativement plus complexe à implémenter et le programme

se résout en partie graphiquement contrairement aux deux autres modèles qui donnent une expression

analytique de la solution.

Enfin, comme les deux derniers modèles, les contraintes de base du modèle ne sont pas suffisantes en

pratique. Ce modèle économique ne respecte pas les contraintes assurantielles du gérant. Il surestime donc la

capacité de prise de risque.

2015


ACTUARIS | 75

IV. Modèle de Talfi (Thèse 2007)

Dans sa thèse de 2007, Mohamed Talfi présente un modèle d’optimisation du surplus pour un régime de retraite à prestations définies. Il développe une allocation avec deux actifs, inspirée des travaux de Leibowitz. Il y intègre également l’approche initiée par Sharpe et Tint.

Dans sa thèse, Talfi part d’une structure du marché et des fonds de pension avec des investissements en actifs risqués seulement. Deux classes d’actifs sont alors modélisées : Les actions et les obligations (comme dans le modèle de Leibowitz).

Dans ce qui suit, les résultats principaux du modèle de Talfi sont présentés et démontrés. Le modèle est ensuite appliqué à un cas concret et sa sensibilité aux divers paramètres est évaluée.

Enfin, ses travaux sont prolongés avec une généralisation des résultats obtenus au cas d’un portefeuille comportant un nombre n d’actifs supérieur à deux.

Modélisation de l’actif 1.

Un portefeuille composé d’une action et d’une composante obligataire est considéré. Afin de contourner les problèmes liés à l’inflation, les rentabilités utilisées dans la modélisation sont supposées réelles et non nominales.

L’horizon de temps en années choisi30 est noté H.

𝑅�� représente le rendement de l’actif risqué. Le rendement de l’actif obligataire est noté ��.

Le vecteur aléatoire 𝑍𝐻 = (𝑧𝑎,𝐻𝑧𝑟,𝐻) est introduit, où 𝑧𝑎,𝐻 et 𝑧𝑟,𝐻 suivent deux lois normales centrées réduites.

Ces variables caractérisent l’incertitude du marché liée à l’action et à l’obligation.

La matrice de corrélation du vecteur aléatoire 𝑍𝐻 est notée:

𝜌 = (1 𝜌𝑎𝑟𝜌𝑎𝑟 1

)

La covariance entre 𝑅�� et �� se calcule donc de la façon suivante :

𝜎𝑎𝑟 = 𝜎𝑎𝜎𝑏𝜌𝑎𝑟

La prime de risque annuelle de l’action sur l’obligation est notée:

𝜆 = 𝜇𝑎 − 𝑟𝑏

Les rendements de l’action et de l’obligation entre t=0 et t=H sont alors définis de la façon suivante :

{𝑅�� = (1 + 𝜇𝑎)

𝐻 − 1 + 𝜎𝑎𝑧𝑎,𝐻 �� = (1 + 𝑟𝑏)

𝐻 − 1 + 𝜎𝑏𝑧𝑟,𝐻

Or, comme : 𝜇𝑎 = 𝜆 + 𝑟𝑏, ��𝑎 et �� peuvent être exprimés de la façon suivante :

{𝑅�� = (1 + 𝜆 + 𝑟𝑏)

𝐻 − 1 + 𝜎𝑎𝑧𝑎,𝐻 �� = (1 + 𝑟𝑏)

𝐻 − 1 + 𝜎𝑏𝑧𝑟,𝐻

30

Ce modèle a pour particularité d’entrer en paramètre l’horizon de temps tandis que les trois autres modèles présenté

précédemment n’en tiennent pas compte.

2015


ACTUARIS | 76

En effet, exprimer les rendements en fonction de la de prime de risque 𝜆 permet une meilleure compréhension de la dynamique du portefeuille d’actifs en fonction de l’écart de rendement entre les deux actifs.

𝑋0 et 𝑋𝐻 sont les valeurs du portefeuille à t=0 et à t=H.

Hypothèses i. Le marché est supposé complet31.

ii. 𝑋0 est la valeur du portefeuille après règlement des pensions dues à t=0.

iii. 𝑋�� est la valeur du portefeuille avant règlement des pensions dues à t=H.

La proportion d’actions investies en t=0 est notée u, et:

𝑋�� = 𝑢𝑋0(1 + 𝑅��) + (1 − 𝑢)𝑋0(1 + ��)

En remplaçant 𝑅𝑎 et �� par leurs expressions respectives, alors:

𝑋�� = 𝑋0 + 𝑋0(𝜇𝑋 + 𝜎𝑋𝑇𝑍𝐻)

Où: {𝝁𝑿 = 𝒖(𝟏 + 𝝀 + 𝒓𝒃)

𝑯 + (𝟏 − 𝒖)(𝟏 + 𝒓𝒃)𝑯 − 𝟏

𝝈𝑿 = (𝒖𝝈𝒂

(𝟏−𝒖)𝝈𝒃)

Par conséquent, le rendement du portefeuille s’écrit:

𝑅�� = 𝑋�� − 𝜇𝑋 + 𝜎𝑋𝑇𝑍��

Où: {𝜇𝑋 = 𝑢(1 + 𝜆 + 𝑟𝑏)

𝐻 + (1 − 𝑢)(1 + 𝑟𝑏)𝐻 − 1

𝜎𝑋 = (𝑢𝜎𝑎

(1−𝑢)𝜎𝑏)

Équation 13 : expression du rendement du portefeuille d’actifs à l’horizon H dans le modèle de Talfi

Représentation du passif par un portefeuille dupliquant 2.

Un régime à prestation définies est considéré. Le portefeuille d’assurés considéré contient plusieurs groupes de personnes. Certaines sont déjà à la retraite et reçoivent des pensions annuelles tandis que d’autres accèdent à la retraite quelques années seulement après le début de la période d’étude. Enfin, un groupe d’assurés n’aura pas encore atteint l’âge de la retraite au terme de la période d’étude H.

Talfi choisit de modéliser le passif sur la période d’étude considérée par une obligation zéro coupon de maturité H. Dans ce cadre, la valeur des provisions mathématiques en t=H est notée 𝐿𝐻 et est calculée sur la base des prestations restantes à verser aux groupes d’individus à t=H et après t=H32.

𝑃𝑡𝑜𝑡(𝐻) est la somme des prestations à verser entre t=0 et t=H capitalisées en t=H.

𝑃𝑡𝑜𝑡(𝐻) = ∑𝑝𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠ℎ

𝐻

ℎ=0

× (1 + 𝑟𝐿)𝐻−ℎ

Où 𝑟𝐿 est le taux technique d’actualisation du passif.

31

Toute option est replicable au travers d’une stratégie financière.

32 Ceci nous permet de rester cohérents avec l’hypothèse que XH est la valeur du portefeuille avant règlement des

pensions dues à t=H.

2015


ACTUARIS | 77

Hypothèses vi. Le groupe d’assurés dans le régime est supposé fermé. C’est-à-dire qu’il y a absence de nouvelles

adhésions33 sur l’horizon de temps H considéré. La population est de plus considérée stable et sans mortalité sur la période [0,H].

vii. Le gérant de fond ne paie pas les pensions aux dates prévues mais seulement à l’échéance34. viii. Seuls les mouvements du marché sont supposés influencer les engagements de la firme, et le marché est

supposé complet d’où 𝑟𝐿 = 𝑟𝑏.

La valeur espérée du passif à l’échéance et avant règlement des prestations dues à t=H est :

𝐸[𝐿��] = 𝐿𝐻 + 𝑃𝑡𝑜𝑡(𝐻)

La valeur des provisions mathématiques à t=0 est de plus notée 𝐿0. Le taux annuel d’actualisation des flux de prestations est supposé constant et égal au taux moyen de rendement de l’obligation, et:

𝐿0 = (𝑃𝑡𝑜𝑡(𝐻) + 𝐿𝐻 )(1 + 𝑟𝐿)−𝐻

Ainsi comme 𝑟𝐿 = 𝑟𝑏,

𝐿𝐻 + 𝑃𝑡𝑜𝑡(𝐻) = 𝐿0(1 + 𝑟𝑏)𝐻

Finalement,

𝐸[𝐿𝐻 ] = 𝐿0(1 + 𝑟𝑏)𝐻

Ainsi, en présence des hypothèses vi, vii et viii, le passif se comporte de façon similaire à une obligation zéro coupon de maturité H, de taux actuariel 𝑟𝑏 et de volatilité 𝜎𝑏 . Les engagements suivent donc la dynamique suivante entre 0 et H:

𝐿�� = 𝐿0(1 + ��) = 𝐿0((1 + 𝑟𝑏)𝐻 + 𝜎𝑏𝑧𝑟,𝐻)

Le passif est donc représenté par une obligation qui figurera en négatif dans le portefeuille d’actifs.

La situation est similaire au cas où l’assureur serait émetteur de 𝐿0 unités d’obligations dont le rendement moyen est égal au rendement moyen de l’actif obligataire dans le portefeuille d’actifs.

Modélisation du surplus du fonds 3.

La modélisation du surplus s’inspire de Leibowitz et de Sharpe et Tint.

Plus précisément, le surplus est défini ainsi :

𝑆�� = 𝑋�� −𝑚𝐿��

Remarque : la présence d’un poids donné au passif provient du modèle de Sharpe et Tint.

33

Les sociétaires évoluent néanmoins selon leurs âges. On suppose les dates de paiement de prestations fixées. La source

de variation du passif provient alors des facteurs d’actualisation et des prestations effectives versées.

34 Il est possible d’imaginer que le gérant de fond mandate un courtier qui paie les pensions à sa place. La régularisation

des comptes entre le courtier et l’assureur se fait alors à l’échéance H.

2015


ACTUARIS | 78

Le rendement du surplus se calcul ainsi :

𝑅�� =𝑆�� − 𝑆0𝐿0

=(𝑋�� −𝑚𝐿��) − (𝑋0 −𝑚𝐿0)

𝐿0

=(𝑋�� − 𝑋0) − 𝑚(𝐿�� − 𝐿0)

𝐿0

=(𝑋�� − 𝑋0)

𝑋0×𝑋0𝐿0−𝑚 ×

𝐿�� − 𝐿0𝐿0

= 𝜑𝑅�� −𝑚𝑅��

Avec 𝜑 : Le ratio de financement initial qui correspond à 𝑋0

𝐿0 ; 𝑅�� = 𝜇𝑋 + 𝜎𝑋

𝑇𝑍𝐻 et 𝑅�� = �� .

Ainsi, 𝑅�� suit une loi normale car c’est une combinaison linéaire de lois normales.

Remarque : la présence du passif initial au dénominateur provient du modèle de Leibowitz. Par ailleurs, le coefficient m s’interprète de la même façon que dans le modèle de Sharpe et Tint.

Programme d’optimisation 4.

Soit 𝑡𝑜𝑙 la tolérance au risque de l’assureur.

Interprétation du paramètre 𝒕𝒐𝒍

Plus la tolérance au risque est élevée plus l’assureur est capable de prendre le risque de perdre de l'argent pour gagner davantage.

En revanche, un investisseur prudent, avec une tolérance faible au risque, tend à favoriser une allocation de ses actifs qui permettent de préserver son capital initial.

On recherche une combinaison d’actifs maximisant la rentabilité du surplus et minimisant le risque relatif 𝑣𝑎𝑟(𝑅𝑆)

𝑡𝑜𝑙 . Dans ce cadre, le programme d’optimisation de Talfi est le suivant :



𝑡𝑜𝑙

Remarque : Le choix de la fonction à maximiser précédente se justifie par l’utilisation de la fonction d’utilité CARA : u(x) = −e−2αx où 2α est le coefficient d’aversion au risque.

Preuve : La maximisation de E[u(RS)] est équivalente à la maximisation de 𝐸[𝑅𝑆] −𝑣𝑎𝑟(𝑅��)

𝑡𝑜𝑙 , en effet:

𝐸[𝑢(𝑅��)] = 𝐸[−𝑒−2𝛼𝑅��]

= −𝑒−2𝛼𝐸[𝑅𝑆]+2𝛼2𝑉[𝑅��]

= 𝑢(𝐸[𝑅��] − 𝛼𝑉[𝑅��])

= 𝑢 (𝐸[𝑅��] −1

𝑡𝑜𝑙𝑉[𝑅��]) (𝑝𝑎𝑟 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑙)

Or, comme la fonction d’utilité u est croissante alors, maximiser 𝐸[𝑢(𝑅��)] revient à maximiser 𝐸[𝑅��] −1

𝑡𝑜𝑙𝑉[𝑅��]

2015


ACTUARIS | 79

L’espérance et la variance du rendement du surplus tel qu’il a été défini précédemment peuvent être calculées ainsi:

𝐸[𝑅��] = 𝜑𝐸[𝑅��] − 𝑚𝐸[𝑅��] = 𝜑𝐸[𝑅��] − 𝑚𝐸[��]

𝑉[𝑅��] = 𝜑2𝑉[𝑅��] + 𝑚

2𝑉[��] − 2𝑚𝜑𝐶𝑜𝑣(𝑅�� , ��)

Ainsi,

𝐸[𝑅��] −1

𝑡𝑜𝑙𝑉[𝑅��] = 𝜑𝐸[𝑅��] −

𝜑2

𝑡𝑜𝑙𝑉[𝑅��] +

2𝑚𝜑

𝑡𝑜𝑙𝐶𝑜𝑣(𝑅��, ��) − (𝑚𝐸[𝑅��] + 𝑚

2𝑉[��])

Or comme (𝑚𝐸[𝑅��] + 𝑚2𝑉[��]) ne dépend pas de u, le programme devient :

max𝑢𝜑𝐸[𝑅��] −

𝜑2


2𝑚𝜑

𝑡𝑜𝑙𝐶𝑜𝑣(𝑅��, ��)

Équation 14 : programme d’optimisation de Talfi

Interprétation du terme : 𝟐𝒎𝝋

𝒕𝒐𝒍𝑪𝒐𝒗(𝑹𝑿, ��) − 𝒎

Le terme 2𝑚𝜑

𝑡𝑜𝑙𝐶𝑜𝑣(𝑅𝑋, ��) − 𝑚 est appelé L.H.C (Liability Hedging Credit) et s’interprète comme une

couverture contre le risque lié au passif.

Plus la corrélation entre l’actif et le passif est grande plus l’actif constitue une bonne couverture contre le risque de passif.

De même lorsque le passif initial croît, le ratio de financement initial 𝜑 =𝑋0

𝐿0 décroit ce qui diminue l’utilité lié à

la couverture du passif.

Résolution du programme d’optimisation de Talfi 5.

En posant la condition de premier ordre par rapport à u, la solution suivante est obtenue:

𝑢∗ =𝑡𝑜𝑙

2𝜑

[(1 + 𝜆 + 𝑟𝑏)𝐻 − (1 + 𝑟𝑏)

𝐻]

𝜎𝑎2 + 𝜎𝑏

2 − 2𝜎𝑎𝑟⏟ 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑢 𝑠𝑢𝑟𝑝𝑙𝑢𝑠 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎𝑙

+ (1 −𝑚

𝜑)

[𝜎𝑏2 − 𝜎𝑎𝑟]


2 − 2𝜎𝑎𝑟⏟ 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑢 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑢 𝑠𝑢𝑟𝑝𝑙𝑢𝑠 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑎𝑙

Équation 15 : solution du programme d’optimisation de Talfi à deux actifs

Le premier terme correspond à la solution obtenue avec une simple maximisation du rendement du surplus.Le deuxième terme dans cette expression correspond à la solution obtenue avec une simple minimisation de la variance du surplus.

Preuve:

L’expression de la fonction à maximiser f(u) en fonction du poids u se détaille de la façon suivante:

𝑓(𝑢) = 𝜑𝐸[𝑅��] − 𝜑2


2𝑚𝜑

𝑡𝑜𝑙𝐶𝑜𝑣(𝑅�� , ��)

= 𝜑𝑢(1 + 𝜆 + 𝑟𝑏)𝐻 +𝜑(1 − 𝑢)(1 + 𝑟𝑏)

𝐻

−𝜑2

𝑡𝑜𝑙[(𝑢𝜎𝑎)

2 + (1 − 𝑢)2𝜎𝑏2 − 2𝑢(1 − 𝑢)𝜎𝑎𝜎𝑏𝜌𝑎𝑟] +

2𝑚𝜑

𝑡𝑜𝑙[𝑢𝜎𝑎𝜎𝑏𝜌𝑎𝑟 + (1 − 𝑢)

2𝜎𝑏2]

2015


ACTUARIS | 80

Ainsi,

𝑓′(𝑢) = −2𝜑2𝑢

𝑡𝑜𝑙[𝜎𝑎

2 + 𝜎𝑏2 − 2𝜎𝑎𝜎𝑏] +

2𝜑2

𝑡𝑜𝑙[𝜎𝑏

2 − 𝜎𝑎𝜎𝑏𝜌𝑎𝑟] −2𝑚𝜑

𝑡𝑜𝑙[𝜎𝑏

2 − 𝜎𝑎𝜎𝑏𝜌𝑎𝑟] + 𝜑(1 + 𝜆 + 𝑟𝑏)𝐻

− 𝜑(1 + 𝑟𝑏)𝐻

La condition de premier ordre 𝑓′(𝑢) = 0 est donc équivalente à l’égalité :

−2𝜑2𝑢

𝑡𝑜𝑙[𝜎𝑎

2 + 𝜎𝑏2 − 2𝜎𝑎𝜎𝑏] = [−

2𝜑2

𝑡𝑜𝑙+2𝑚𝜑

𝑡𝑜𝑙] [𝜎𝑏

2 − 𝜎𝑎𝜎𝑏𝜌𝑎𝑟] − 𝜑[(1 + 𝜆 + 𝑟𝑏)𝐻 + (1 + 𝑟𝑏)

𝐻]

Celle égalité est-elle même équivalente à :

𝑢 = −𝑡𝑜𝑙

2𝜑2𝑢×[−2𝜑2

𝑡𝑜𝑙+2𝑚𝜑𝑡𝑜𝑙

] [𝜎𝑏2 − 𝜎𝑎𝜎𝑏𝜌𝑎𝑟] − 𝜑[(1 + 𝜆 + 𝑟𝑏)

𝐻 + (1 + 𝑟𝑏)𝐻]

[𝜎𝑎2 + 𝜎𝑏

2 − 2𝜎𝑎𝜎𝑏]

=𝑡𝑜𝑙

2𝜑

[(1 + 𝜆 + 𝑟𝑏)𝐻 − (1 + 𝑟𝑏)

𝐻]


2 − 2𝜎𝑎𝑟+ (1 −

𝑚

𝜑)

[𝜎𝑏2 − 𝜎𝑎𝑟]


2 − 2𝜎𝑎𝑟

Interprétation des deux termes de la solution 𝑢∗

Portefeuille de variance du rendement du surplus minimal (premier terme): Un accroissement du passif initial mène à l’accroissement de l’inverse du ratio de financement initial qui à son tour s’accompagne d’un accroissement de l’allocation sur l’actif risqué. Donc, le modèle suggère qu’il faut augmenter l’allocation en actifs risqués pour faire face à une hausse des engagements.

Portefeuille de rendement du surplus maximal (second terme): Un accroissement du passif ou du poids m auront comme effet de diminuer ou d’augmenter l’allocation en actif risqué selon la corrélation entre l’actif risqué et l’actif obligataire. En effet :

Si𝜌𝑎𝑟 <𝜎𝑏

𝜎𝑎 alors 𝜎𝑏

2 − 𝜎𝑎𝑟 > 0, une diminution dans l’allocation de l’actif risqué est observée.

Si 𝜌𝑎𝑟 >𝜎𝑏

𝜎𝑎 alors 𝜎𝑏

2 − 𝜎𝑎𝑟 < 0, une augmentation dans l’allocation de l’actif risqué est observée.

Ainsi, tant que la corrélation entre l’actif risqué et l’actif obligataire est assez faible (<𝜎𝑏

𝜎𝑎 ), la stratégie de

couverture contre les variations du passif est d’augmenter l’allocation en actif obligataire qui épouse bien les variations du passif et les couvre par conséquent. En revanche, dès que la corrélation entre actif et passif

dépasse un certain seuil (>𝜎𝑏

𝜎𝑎), la stratégie de couverture consiste à investir davantage dans l’actif risqué qui

devient assez corrélés au passif pour que ses variations soient directrices des variations de l’actif le moins risqué. En effet, dans ce cas, l’actif risqué traduit fidèlement les variations du passif et est de plus davantage rentable que l’obligation.

Probabilité de déficit 6.

Il est intéressant d’évaluer la probabilité d’avoir un surplus ou une richesse inférieure à des seuils donnés. Pour ce faire, les expressions des probabilités de ruine sont détaillées ici.

L’espérance du rendement du surplus est définie de la façon suivante :

𝜇𝑆 = 𝐸[𝑅𝑆] = 𝜑𝑢(1 + 𝜆 + 𝑟𝑏)𝐻 + 𝜑(1 − 𝑢)(1 + 𝑟𝑏)

𝐻 −𝑚(1 + 𝑟𝑏)𝐻 − (𝜑 −𝑚)

2015


ACTUARIS | 81

Par ailleurs, la variance du rendement du surplus est définie par :

𝜎𝑆2 = 𝑉𝑎𝑟[𝑅𝑆] = 𝜑

2𝑢2𝜎𝑎2 + [𝜑(1 − 𝑢)]2𝜎𝑏

2 + 2𝜑2𝑢(1 − 𝑢)𝜎𝑎𝑟 +𝑚2𝜎𝑏

2

La probabilité pour que le rendement du surplus soit inférieur à une certaine rentabilité 𝑟𝑆 s’écrit :

𝑃(𝑅�� < 𝑟𝑆) = 𝛷(𝑟𝑆 − 𝜇𝑆𝜎𝑆

)

Où 𝛷 est la fonction de répartition d’une loi normale centrée réduite.

Pour ce qui de la probabilité liée au surplus lui-même, on a :

𝑅�� =𝑆�� − (𝜑 −𝑚)

𝐿0

Ainsi,

𝑆�� = 𝑅�� × 𝐿0 + (𝜑 −𝑚)

D’où

𝑃(𝑆�� < 𝑠) = 𝑃(𝑅�� × 𝐿0 + (𝜑 −𝑚) < 𝑠)

Finalement, comme 𝑅��~𝑁(𝜇𝑆, 𝜎𝑆2), alors:

𝑃(𝑆�� < 𝑠) = 𝛷(

[𝑠 − (𝜑 −𝑚)]𝐿0

− 𝜇𝑆

𝜎𝑆)

Application et sensibilités du modèle 7.

Dans cette section, l’exemple pratique présenté dans la thèse de Talfi est repris et davantage de tests de

sensibilité sont ajoutés afin d’observer les sensibilités du modèle face à la variation de différents paramètres.

Dans ce cadre, l’horizon de gestion est fixé à H=7 ans. Les prestations à payer sont les suivantes pour une

population multi-âges comprenant à l’instant de départ des actifs comme des retraités avec possibilité de

passage de l’état actif vers l’état inactif :

t Prestations à Payer

1 15 000 €

2 15 000 €

3 31 000 €

4 31 000 €

5 141 000 €

6 141 000 €

7 141 000 €

2015


ACTUARIS | 82

Conformément aux hypothèses de passif citées précédemment, la valeur 𝐿𝐻 des engagements du fonds à t=H inclut :

Les pensions futures restantes à verser aux membres inactifs.

Les provisions (ou pensions acquises) pour les membres encore actifs à t=H.

𝑿𝟎 𝝁𝒂 𝝈𝒂 𝒓𝒃 𝝈𝒃 𝝆𝒂𝒓 𝑳𝑯 𝝋 𝒕𝒐𝒍

3 500 000 € 15% 53% 6% 4% 35% 3 000 000 € 147% 10%

Calcule de 𝑷𝒕𝒐𝒕(𝑯) :

𝑃𝑡𝑜𝑡(𝐻) = ∑𝑝𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠ℎ

𝐻

ℎ=0

× (1 + 𝑟𝐿)𝐻−ℎ

= 15 000 × (1 + 6%)7−0 + 15 000 × (1 + 6%)7−1 + 31 000 × (1 + 6%)7−2 +⋯+ 141 000× (1 + 6%)7−7

= 566 297,3€

Calcule de 𝑬[𝑳��] :

𝐸[𝐿��] = 𝐿𝐻 + 𝑃𝑡𝑜𝑡(𝐻)

= 3 000 000 € + 566 297,3 €= 3 566 297,3€

Ainsi, le passif à t=0 est déduit:

𝐿0 = (𝑃𝑡𝑜𝑡(𝐻) + 𝐿𝐻 )(1 + 𝑟𝐿)−𝐻

= 3 566 297,3 × (1 + 6%)−7

= 2 371 791 €

Donc, la valeur actuelle moyenne du passif est de 2 371 791 € avec une pension totale cumulée et capitalisée

à t=H de 566 297,3 € à régler à l’échéance. La valeur moyenne à l’échéance du passif est de 3 566 297,3 €

avant règlement de la pension, et sa volatilité sur les 7 années est de 4%. La valeur de l’actif du fonds étant de

3 500 000 €, le ratio de financement initial est alors de 3 500 000 €/2 371 791 € soit 147%.

Une tolérance au risque de 10% est prise en compte (le gérant est plutôt riscophobe).

- Influence du poids du passif m

Dans cette partie, l’influence du poids accordé au passif m sur le poids optimal de l’actif risqué, sur

l’espérance du rendement du surplus, sur la probabilité de déficit et sur la volatilité du rendement du surplus

du portefeuille optimal est évaluée.

Sur le poids optimal de l’actif risqué

Description du test : Dans le cadre de ce test, le seuil de corrélation35 𝜎𝑏

𝜎𝑎 est égal à 0,35, d’après les

hypothèses précédentes. Les variations du poids optimal de l’actif risqué en fonction du poids du passif m sont alors tracées dans deux cas :

35

Le seuil de corrélation a été introduit dans la section « Remarque sur le comportement deux termes de la solution »

Voir : « Partie3-IV-5 »

2015


ACTUARIS | 83

1er Cas : seuil de corrélation 𝜎𝑏

𝜎𝑎< 0,35

2ème Cas : seuil de corrélation 𝜎𝑏

𝜎𝑎> 0,35

Description des résultats du test :

1er Cas : seuil de corrélation 𝜎𝑏

𝜎𝑎< 0,35

Dans ce cas, le poids de l’actif risqué est croissant avec le poids donné au passif m.

Figure 18 : poids de l’actif risqué en fonction du poids du passif m ( 1er Cas) – Talfi

2ème Cas : seuil de corrélation 𝜎𝑏

𝜎𝑎> 0,35

Dans ce cas , le poids de l’actif risqué est décroissant avec le poids donné au passif m.

Figure 19 : poids de l’actif risqué en fonction du poids du passif m (2ème Cas) - Talfi

2015


ACTUARIS | 84

Interprétation : tant que la corrélation entre l’actif risqué et l’actif obligataire est assez faible (<𝜎𝑏

𝜎𝑎 ), la

stratégie de couverture contre les variations du passif est d’augmenter l’allocation en actif obligataire qui épouse bien les variations du passif et les couvre par conséquent.

Par ailleurs, dès que la corrélation entre actif et passif dépasse un certain seuil (>𝜎𝑏

𝜎𝑎), la stratégie de

couverture consiste à investir davantage dans l’actif risqué qui devient assez corrélés au passif pour que ses variations soient directrices des variations de l’actif le moins risqué. En effet, dans ce cas, l’actif risqué traduit fidèlement les variations du passif et est davantage rentable que l’obligation.

Dans les deux cas, malgré la très forte variation de m (de 0 à 2). L’allocation en actifs risqué ne varie pas beaucoup (de 12,46% à 15,41%). Pour un investisseur pour qui le passif n’aurait aucune importance(m=0), l’allocation est de 12,46% tandis que celle-ci passe à 13,93% pour un investisseur considérant le passif sans charge supplémentaire (m=1).

Remarque : si le passif n’est pas pris en compte (en donnant un poids de 0 au passif et en considérant le ratio

de financement initial à 1), l’allocation optimale de l’actif risqué est de 19,43% (contre 14% dans le cas d’un

poids m=1 et d’un ratio de financement initial de 147%). La prise en compte du passif mène à une diminution

de l’allocation en actifs risqués. Cela peut être expliqué par l’avance disponible au temps de départ grâce au

ratio de financement initial (147%).

Sur la volatilité du rendement du surplus du portefeuille optimal

Description du test : Les variations de la volatilité du rendement du surplus associé au portefeuille optimal en fonction du poids du passif m sont tracées avec 𝝆𝒂𝒓 = 𝟎, 𝟑𝟓 et 𝝆𝒂𝒓 = 𝟎, 𝟎𝟓 .

Description des résultats du test : La variation du rendement du surplus est croissante avec le poids du passif. La vitesse d’augmentation de la variance en fonction de m est croissante avec la corrélation entre l’actif risqué et l’obligation.

Figure 20 : volatilité du du surplus associée au portefeuille optimal en fonction du poids du passif (Talfi)

2015


ACTUARIS | 85

Interprétation : Plus l’assureur a d’engagements (poids du passif élevé) plus il cherchera à réaliser des plus-values importantes afin de rattraper ses pertes. Or, les actifs engendrant les rendements les plus intéressants sont les plus volatiles. Cela explique pourquoi la volatilité du rendement du surplus du portefeuille optimal est croissante avec le poids du passif. Cette croissance est d’autant plus rapide que la corrélation entre l’action et l’obligation est élevée. L’investisseur sera encouragé à investir dans l’actif risqué s’il sait que celui-ci est fortement corrélé à un actif moins risqué.

Sur la probabilité de déficit associée au portefeuille optimal

Description du test : Avec 𝝆𝒂𝒓 = 𝟎, 𝟑𝟓, les variations de la probabilité de déficit 𝑃(𝑆�� < 100%) associée au

portefeuille optimal sont tracées en fonction du poids du passif m.

Description des résultats du test : La probabilité de ruine est croissante avec le poids du passif m.

Figure 21 : probabilité de déficit associée au portefeuille optimal en fonction du poids du passif (Talfi)

Interprétation : Plus l’assureur à d’engagements (poids du passif élevé), plus son surplus diminue et moins il a de chance de respecter la contrainte de déficit qu’il s’est fixé.

2015


ACTUARIS | 86

- Influence du ratio de financement initial

Dans cette partie, l’influence du ratio de financement initial sur le poids optimal de l’actif risqué et sur

l’espérance du rendement du surplus est étudiée.

Sur le poids optimal de l’actif risqué

Description du test : Les variations du poids de l’actif risqué en fonction du ratio de financement initial en

faisant varier la corrélation entre les deux actifs (de 0 à 100%) sont tracées.

Description des résultats du test : le poids optimal de l’actif risqué est globalement décroissant avec le ratio de financement initial. Lorsque le ratio de financement est en dessous d’un certain seuil (ici 140%), l’allocation en actifs risqué est croissante avec la corrélation entre l’actif risqué et l’actif obligataire. Par ailleurs, lorsque le ratio de financement initial est au-dessus de 140%, l’allocation en actif risqué est décroissante avec la corrélation.

Figure 22 : poids optimal de l’actif risqué en fonction du ratio de financement initial

Interprétation : Lorsque le ratio de financement initial est assez élevé, la part d’obligations dans le portefeuille

est prépondérante. En effet, avec un ratio de financement initial assez élevé, l’investisseur choisit de sécuriser

ses placements. Il investit la majorité de son portefeuille dans des obligations en particulier si celles-ci sont

corrélées à l’actif le plus rentable. Si le ratio de financement initial n’est pas assez élevé, c’est la part de l’actif

le plus rentable qui est prépondérante. L’investisseur souhaite rentabiliser ses placements. Or, dans ce cas,

plus l’actif risqué est corrélé à l’actif obligataire, plus l’investisseur est incité à investir dans l’actif risqué.

2015


ACTUARIS | 87

Généralisation en présence de plus de deux actifs 8.

Dans cette sous-section, les travaux de Talfi sont prolongés en généralisant ses résultats au cas d’un univers d’investissement comprenant plus de deux actifs risqués.

L’actif le moins risqué, représenté par une obligation, est considéré et son rendement aléatoire est noté ��:

�� = (1 + 𝑟𝑏)𝐻 − 1 + 𝜎𝑏𝑧𝑟,𝐻 .

Le vecteur des poids des actifs risqués est de plus noté 𝜋 =

𝜋1⋮𝜋𝑛

et 𝜋0 est le poids de l’actif le moins risqué.

Le vecteur des espérances de rendement des actifs risqués est noté 𝑅 :

𝑅 = (

(1 + 𝜆1 + 𝑟𝑏)𝐻

(1 + 𝜆2 + 𝑟𝑏)𝐻

⋮(1 + 𝜆1 + 𝑟𝑏)

𝐻

) avec 𝜆𝑖 = 𝜇𝑖 − 𝑟𝑏

Le vecteur 𝑍𝐻 = (

𝜎1𝑧1,𝐻𝜎2𝑧2,𝐻⋮

𝜎𝑛𝑧𝑛,𝐻

) est introduit, les 𝑧𝑖,𝐻 suivent des lois normales centrées réduites.

𝑉( 𝑍𝐻) étant sa matrice de variance avec 𝑉( 𝑍𝐻) = (𝜎12 ⋯ 𝜎1

2𝜎𝑛2𝜌𝑛1

⋮ ⋱ ⋮𝜎12𝜎𝑛

2𝜌𝑛1 ⋯ 𝜎𝑛2

)

𝐶𝑜𝑣( 𝑍𝐻 , 𝑧𝑟,𝐻) est le vecteur de covariance avec le passif avec 𝐶𝑜𝑣( 𝑍𝐻 , 𝑧𝑟,𝐻) = (

𝜎1𝜌1𝑟𝜎2𝜌2𝑟⋮

𝜎𝑛𝜌𝑛𝑟

)

Le rendement du portefeuille d’actifs se calcule par conséquent de la façon suivante :

𝑅𝑋 = 𝜋𝑇𝑅 + (1 − 𝜋𝑇𝑒)(1 + 𝑟𝑏)

𝐻 − 1 + 𝜋𝑇𝐻 + (1 − 𝜋𝑇𝑒)𝜎𝑏𝑧𝑟,𝐻

Son espérance :

𝐸[𝑅𝑋] = 𝜋𝑇𝑅 + (1 − 𝜋𝑇𝑒)(1 + 𝑟𝑏)

𝐻 − 1

Sa variance :

𝑉[𝑅𝑋] = 𝜋𝑇𝑉( 𝑍𝐻)𝜋 + (1 − 𝜋

𝑇𝑒)2𝜎𝑏2 + 2𝜋𝑇(1 − 𝜋𝑇𝑒)𝜎𝑏𝐶𝑜𝑣( 𝑍𝐻 , 𝑧𝑟,𝐻)

La covariance du portefeuille avec le passif se calcule quant à elle ainsi :

𝐶𝑜𝑣(𝑅𝑋,��) = 𝜎𝑏𝜋𝑇𝐶𝑜𝑣( 𝑍𝐻 , 𝑧𝑟,𝐻) + (1 − 𝜋

𝑇𝑒)𝜎𝑏2

Dans le cas avec n>2 actifs, la fonction à maximiser en fonction du vecteur de poids 𝜋 s’écrit toujours de la

même façon :

𝑓(𝜋) = 𝜑𝐸[𝑅𝑋] − 𝜑2

𝑡𝑜𝑙𝑉[𝑅𝑋] +

2𝑚𝜑

𝑡𝑜𝑙𝐶𝑜𝑣(𝑅𝑋 , ��)

2015


ACTUARIS | 88

La solution du programme de maximisation donne :

𝜋 = 𝐴−1𝑡𝑜𝑙

2𝜑[𝑅 − (1 + 𝑟𝑏)

𝐻𝑒] + 𝐴−1 (1 −𝑚

𝜑) [𝑒𝜎𝑏

2 − 𝜎𝑏𝐶𝑜𝑣( 𝑍𝐻 , 𝑧𝑟,𝐻)]

𝜋0 = (1 − 𝜋𝑇𝑒)

Où 𝐴 = 𝑉( 𝑍𝐻) + 𝜎𝑏2𝑒𝑒𝑇 − 2𝜎𝑏 𝐶𝑜𝑣( 𝑍𝐻 , 𝑧𝑟,𝐻)𝑒

𝑇

Équation 16 : solution du programme d’optimisation de Talfi en présence de n>2 actifs risqués

Preuve :

𝑓(𝜋) = 𝜑𝐸[𝑅𝑋] − 𝜑2

𝑡𝑜𝑙𝑉[𝑅𝑋] +

2𝑚𝜑

𝑡𝑜𝑙𝐶𝑜𝑣(𝑅𝑋, ��)

= 𝜑(𝜋𝑇𝑅 + (1 − 𝜋𝑇𝑒)(1 + 𝑟𝑏) − 1) − 𝜑2

𝑡𝑜𝑙(𝜋𝑇𝑉( 𝑍𝐻)𝜋 + (1 − 𝜋

𝑇𝑒)2𝜎𝑏2

+ 2𝜋𝑇(1 − 𝜋𝑇𝑒)𝜎𝑏𝐶𝑜𝑣( 𝑍𝐻 , 𝑧𝑟,𝐻)) +2𝑚𝜑

𝑡𝑜𝑙(𝜎𝑏𝜋

𝑇𝐶𝑜𝑣( 𝑍𝐻 , 𝑧𝑟,𝐻) + (1 − 𝜋𝑇𝑒)𝜎𝑏

2)

𝑓′(𝜋) = 𝜑(𝑅 − (1 + 𝑟𝑏)𝐻𝑒)

− 𝜑2

𝑡𝑜𝑙(2𝑉( 𝑍𝐻)𝜋 − 2𝑒(1 − 𝜋

𝑇𝑒)2𝜎𝑏2 + 2(1 − 𝜋𝑇𝑒)𝜎𝑏𝐶𝑜𝑣( 𝑍𝐻 , 𝑧𝑟,𝐻)

− 2𝜋𝑇𝑒𝜎𝑏𝐶𝑜𝑣( 𝑍𝐻 , 𝑧𝑟,𝐻)) +2𝑚𝜑

𝑡𝑜𝑙(𝜎𝑏𝐶𝑜𝑣( 𝑍𝐻 , 𝑧𝑟,𝐻) − 𝑒𝜎𝑏

2)

= 𝜑(𝑅 − (1 + 𝑟𝑏)𝐻𝑒)

− 𝜑2

𝑡𝑜𝑙(2𝑉( 𝑍𝐻)𝜋 − 2𝑒𝜎𝑏

2 + 2𝑒 𝜋𝑇𝑒⏞=𝑒𝑇𝜋

𝜎𝑏2 + 2𝜎𝑏𝐶𝑜𝑣( 𝑍𝐻 , 𝑧𝑟,𝐻) − 2𝜋

𝑇𝑒𝜎𝑏𝐶𝑜𝑣( 𝑍𝐻 , 𝑧𝑟,𝐻)

− 2𝜋𝑇𝑒𝜎𝑏𝐶𝑜𝑣( 𝑍𝐻 , 𝑧𝑟,𝐻)) +2𝑚𝜑


2)

= 𝜑(𝑅 − (1 + 𝑟𝑏)𝐻𝑒)

− 𝜑2

𝑡𝑜𝑙(2𝑉( 𝑍𝐻)𝜋 − 2𝑒𝜎𝑏

2 + 2𝑒𝑒𝑇𝜋𝜎𝑏2+ 2𝜎𝑏𝐶𝑜𝑣( 𝑍𝐻 , 𝑧𝑟,𝐻) − 4𝜎𝑏𝐶𝑜𝑣( 𝑍𝐻 , 𝑧𝑟,𝐻)𝑒

𝑇𝜋)

+2𝑚𝜑


2)

= 𝜑(𝑅 − (1 + 𝑟𝑏)𝐻𝑒)

− 𝜑2

𝑡𝑜𝑙[2 (𝑉( 𝑍𝐻) + 𝜎𝑏

2𝑒𝑒𝑇 − 2𝜎𝑏 𝐶𝑜𝑣( 𝑍𝐻 , 𝑧𝑟,𝐻)𝑒𝑇)⏞

=𝐴

𝜋 − 2𝑒𝜎𝑏2 + 2𝜎𝑏 𝐶𝑜𝑣( 𝑍𝐻 , 𝑧𝑟,𝐻)𝑒

𝑇]

+2𝑚𝜑


2)

= 𝜑(𝑅 − (1 + 𝑟𝑏)𝐻𝑒) −

𝜑2

𝑡𝑜𝑙[2𝐴𝜋 − 2𝑒𝜎𝑏

2 + 2𝜎𝑏 𝐶𝑜𝑣( 𝑍𝐻 , 𝑧𝑟,𝐻)𝑒𝑇]

+2𝑚𝜑


2)

Ainsi, 𝑓′(𝜋) = 0 est équivalent à :

𝜋 = 𝐴−1𝑡𝑜𝑙

2𝜑[𝑅 − (1 + 𝑟𝑏)

𝐻𝑒] + 𝐴−1 (1 −𝑚

𝜑) [𝑒𝜎𝑏

2 − 𝜎𝑏𝐶𝑜𝑣( 𝑍𝐻 , 𝑧𝑟,𝐻)]

2015


ACTUARIS | 89

Conclusion sur le modèle de Talfi 9.

Ce modèle est un mélange des méthodes de Sharpe et Tint et de Leibowitz. Talfi y ajoute une notion d’horizon

de temps et de tolérance au risque. De plus, Talfi propose une méthodologie permettant d’appliquer ce

modèle sur un horizon donné à un cas pratique. Par ailleurs, ce modèle permet toujours d’obtenir une

solution. En effet, l’absence de contraintes fait que ce modèle permet d’obtenir une solution dans tous les cas.

Cependant, il suppose aussi la normalité des rendements. Or, cette hypothèse peut être éloignée de la réalité

en particulier si le calibrage des paramètres des lois normales n’est pas fait correctement. D’autre part, le

modèle nécessite de calibrer le paramètre de tolérance au risque. Or, ceci n’est pas une tâche aisée dans la

mesure où la tolérance au risque est un concept difficilement quantifiable. Enfin, comme pour les autres

modèles, il ne tient pas compte des contraintes spécifiques au régime en question.

2015


ACTUARIS | 90

V. Conclusion de la partie 2

Les auteurs des modèles d’optimisation du surplus, plutôt que de se restreindre au cadre classique du modèle

de Markowitz (1952), ajoutent des contraintes de rentabilités, à la fois sur le portefeuille et sur le surplus.

Sharpe et Tint (1990) propose une optimisation maximisant l’espérance de gain tout en réduisant le risque ou

variance du rendement du surplus. Le modèle propose une méthodologie de sélection d’un portefeuille parmi

les portefeuilles efficients en tenant compte en plus d’un facteur de goût du risque (contrainte de déficit). Ce

modèle, de par sa similitude avec Markowitz, reste relativement simple à implémenter et à appréhender.

D’ailleurs, pour une configuration donnée de ses paramètres, le cas de Markowitz est retrouvé. Néanmoins, il

ne tient pas compte des caractéristiques pouvant être propres à une classe d’actifs donnée (comme la

duration pour une obligation par exemple).

Leibowitz (1992) s’est intéressé au portefeuille efficient maximisant l’espérance du rendement du surplus

tout en couvrant le passif. Des contraintes exprimées en probabilité sur les rentabilités du portefeuille d‘actifs

et du surplus sont prises en comptes. Dans le plan rentabilité-risque du portefeuille d’actifs, les portefeuilles

vérifiant la contrainte sur le surplus se trouvent dans le demi-plan supérieur de l’espace délimité par une

droite. Les portefeuilles vérifiant les contraintes de rentabilité du surplus se trouvent à l’intérieur d’un ovoïde

(œuf de Leibowitz). De l’intersection des deux figures, le portefeuille optimal vérifiant toutes les contraintes de

rentabilité est déduit. Ce modèle se différencie ainsi du modèle de Sharpe et tint car il permet non seulement

de déterminer la proportion d’actions à détenir dans le portefeuille mais également la duration optimale de la

composante obligataire à détenir. Cependant, ce modèle se restreint à un portefeuille composé d’une action

et d’une composante obligataire. Ceci le rend difficilement adaptable en pratique.

Talfi (2007) propose une modélisation simplifié d’un régime de retraite à prestations définies. Comme pour

Leibowitz, seuls deux types d’actifs sont admis aux investissements : les actions et les obligations. L’étude

introduit une notion de durée de placement et est menée sur un horizon de temps H. Cependant, le modèle

proposé reste mono-périodique car seuls les instants de départ t=0 et d’arrivée t=H sont considérées.

L’allocation optimale est alors recherché à l’aide d’une utilité de type « moyenne-variance » incluant un

coefficient d’aversion au risque. Ce modèle est un mélange des méthodes de Sharpe et Tint et de Leibowitz. Il

y ajoute une notion d’horizon de temps et de tolérance au risque. Dans le cadre de ce mémoire, ses travaux

ont de plus été prolongés de façon à ce que ce modèle soit applicable à un portefeuille composé de plus de

deux classes d’actifs.

Les tests de sensibilité aux hypothèses d’entrée, mis en œuvre dans un cadre simplifié pour ces modèles, ont

permis de bien appréhender les facettes de l’allocation stratégique dans un univers économique statique.

Cependant, les résultats obtenus indiquent une sensibilité significative à certains paramètres. Par conséquent,

une attention particulière doit être donnée aux hypothèses de départ et à leur calibrage. Par ailleurs, l’étude

de Talfi a été généralisée au cas d’un régime investissant dans plus de deux actifs.

Dans la partie suivante, un régime de retraite par capitalisation et à prestations définies est considéré.

L’objectif de cette partie est de proposer des allocations permettant de surperformer l’allocation initiale du

régime. Dans ce cadre, le modèle de Leibowitz est écarté pour la complexité de son implémentation et parce

qu’il est difficilement applicable à un régime investissant dans plus de deux classes d’actifs. Les trois autres

modèles sont alors adaptés à ce cas pratique par la prise en compte des contraintes spécifiques au régime en

question.

2015


ACTUARIS | 91

Partie 3: Application dans le cadre d’un régime de retraite

Partie 3

Application dans le cadre d’un

régime de retraite

2015


ACTUARIS | 92

Cette partie a pour vocation d’appliquer les méthodes de Markowitz, de Sharpe et Tint et de Talfi au cas d’un

régime de retraite par capitalisation et à prestations définies. Les allocations optimales obtenues sont alors

intégrées dans un modèle qui permet d’effectuer une analyse prospective du bilan. Le modèle en question

s’appuie sur un générateur de scénarios économique. I. Le régime étudié

L’étude s’intéresse à un régime de retraite supplémentaire, par capitalisation, à prestations définies et

souscrit dans le cadre de l’assurance vie36.

Le régime est supposé fermé, c’est-à-dire que le nombre d’adhérents au régime est définitif et non variable. Le

régime n’accepte donc aucune nouvelle adhésion. En revanche, les adhérents versent des cotisations

annuelles tant qu’ils ne sont pas encore à la retraite.

De plus, le régime en question relève du code de la mutualité et doit par conséquent respecter les contraintes

d’investissement fixées par celui-ci. Par ailleurs, ce régime est concerné par la réforme Solvabilité II.

Le passif du régime 1.

Une estimation des chroniques de décaissements (prestations-cotisations) futures non revalorisées, dans le

cadre d’un scénario central37, a été effectuée pour le régime de retraite en question. L’estimation effectuée se

base principalement sur des hypothèses de mortalité de la population considérée38. Dans le cadre de l’étude,

les rachats sont négligés. Enfin, le taux technique retenu pour le calcul des engagements techniques est fixé à

0,35%.

Figure 23 : évolution de la chronique de décaissement du régime étudié

La duration du passif est d’environ 12 ans.

36

Le régime en question est classifié en Branche 20

37 Le scenario central correspond à des conditions « normales » du marché au sens du régulateur.

38 L’estimation se base sur la table de mortalité générationnelle TGH-TGF 05

-

20 000 000,00

40 000 000,00

60 000 000,00

80 000 000,00

100 000 000,00

120 000 000,00

140 000 000,00

160 000 000,00

20

14

20

16

20

18

20

20

20

22

20

24

20

26

20

28

20

30

20

32

20

34

20

36

20

38

20

40

20

42

20

44

20

46

20

48

20

50

20

52

20

54

20

56

20

58

20

60

20

62

20

64

2015


ACTUARIS | 93

L’actif du régime 2.

Au 31/12/2014, le régime possède un actif valorisé en valeur de marché à 2,8 milliards d’euros et à 2,5

milliards d’euros en valeur comptable. Sa composition est essentiellement orientée sur les titres obligataires, à

73% contre 12,8% pour la poche actions et 3,36% pour la poche immobilière. La part de la plus-value latente

de la poche obligataire dans la plus-value latente globale est supérieure à 88%.

Figure 24 : répartition de l’actif du régime entre les différentes classes au 31/12/2014

Classe d’actifs Valeur comptable Valeur de marché Plus-Value latente39 Poids40

Actions 333,7 M€ 357,8 M€ 7,74% 12,78%

Obligations d'Etat 69,6 M€ 82,0 M€ 4 ,00% 2,93%

Obligations d'entreprises 1 777,7 M€ 2 041,2 M€ 84,72% 72,88%

Immobilier 91,3 M€ 94,0 M€ 0,86% 3,36%

Monétaire 128,7 M€ 128,7 M€ 0,01% 4,60%

OPCVM Obligataire 8,4 M€ 8,7 M€ 0,11% 0,31%

Classes alternatives 8,2 M€ 88,1 M€ 2,57% 3,15%

Total 2 489,5 M€ 2 800,5 M€ 100% 100% Tableau 1 : caractéristiques de l’actif du régime

La duration du portefeuille d’actif est d’environ 8 ans.

II. Les hypothèses retenues

Les différentes hypothèses retenues correspondent aux valeurs des paramètres anticipées par le régime suite

à une étude et un calibrage rigoureux. Elles seront maintenues tout au long de l’étude. Elles se rapportent aux

rendements et volatilités des différentes classes d’actifs, leur matrice de corrélation et la corrélation du

portefeuille d’actif avec le passif. Pour la projection du bilan, le modèle nécessite de faire une hypothèse sur

le taux de participation aux bénéfices usuel.

39

Calculée comme la part de la plus-value relative à la classe d’active dans la plus-value totale

40 Calculé comme étant égal à la valeur de marché de la classe d’actif rapportée à la valeur de marché globale

12,78%

2,93%

72,88%

3,36% 4,60%

0,31%

3,15%

Actions

Obligations d'état

Obligations d'entreprises

Immobilier

Monétaire

OPCVM Obligataire

Classes alternatives

2015


ACTUARIS | 94

Le taux de participation aux bénéfices 1.

Le taux de participation aux bénéfices est ici fixé à 90%.C’est le taux usuel distribué par régime.

Les rendements et les volatilités annuels des classes d’actifs 2.

Les rendements annuels des classes d’actifs sont supposés suivre des lois normales avec des rendements

moyens et des volatilités fixées comme suit :

Catégories modélisées Rendement Volatilité

Actions 7,5% 16%

Obligations d'état 1,17% 3,5%

Obligations d’entreprises 3,17% 3,5%

Immobilier 3% 7%

Monétaire 0,01% 0,32%

OPCVM Obligataire 5% 7%

Classes alternatives 6,5% 14%

Tableau 2 : tableau récapitulatif des rendements et des volatilités des classes d’actifs du régime étudié

Le calibrage est établi sur la base des éléments fournis par le régime en question, notamment sur la base

d’éléments financiers transmis par le gestionnaire d’actifs. Dans ce qui suit, les principaux éléments sur

lesquels le calibrage se base sont présentés.

- Actions

A partir du calcul du rendement et de la volatilité empirique sur un cycle économique41 du fonds actions dans

lequel le régime investit, un rendement de 7,5% et une volatilité de 16% sont retenus.

- Obligations d’Etat et d’entreprises

Tout nouvel investissement en obligations est supposé fait pour une maturité de 15 ans. Le rendement des obligations d’état est donc déduit de la courbe des taux zero-coupons au 31/12/2014. Pour une maturité de 15 ans, celui-ci est de 1,174%

Figure 25 : courbe des taux zéro coupon au 31 décembre 2014

41

L’économie est supposée évoluer de façon cyclique. Un cycle économique correspond à une durée de 5 ans.

-

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

1,400

1,600

1,800

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59

2015


ACTUARIS | 95

En ce qui concerne les obligations d’entreprises, un spread de 200 bps, dont 100 bps pour la composante «crédit» et 100 bps pour la composante «liquidité» est ajouté au rendement des obligations d’état. Un rendement de 3,17% est alors obtenu. Les volatilités de ces deux types d’obligations sont quant à elles calibrées sur l’historique des taux sans risque 15 ans. Une volatilité de 3,5% est obtenue.

- Immobilier

La rentabilité de l’immobilier provient d’une part du capital et d’autre part du loyer. Il est supposé que seul le capital est moteur de la rentabilité de l’immobilier. L’historique des indices de capital (IPD42) permet alors de fixer un rendement de 3% pour une volatilité de 7%.

- Monétaire

Le rendement et la volatilité de la classe d’actifs « monétaire » sont calibrés sur l’historique des taux sans risque 1 an. Un rendement de 0,01% et une volatilité de 0,32% sont obtenus.

- OPCVM Obligataire

Pour le calibrage de la classe OPCVM Obligataire, les rendements et les volatilités empiriques annuels sont

calculés pour les trois indices suivants :

- Un indice pour le High Yield 43 - Un indice pour la partie des convertibles44 - Un indice pour les émergeants45

Ces 3 types d’obligations étant uniformément réparties dans l’OPCVM obligataire, le rendement et la volatilité retenus pour cette classe d’actifs est une moyenne sur les 3 indices. Cela donne un rendement de 5% pour une volatilité de 7%.

- Classes alternatives

Pour le calibrage de la poche alternative (« private equity », infrastructures et gestion alternative), l’absence

de données historiques conduit à calibrer à dire d’expert. Cela permet de conclure à un rendement de 6,5 % et

une volatilité de 14%.

42

IPD pour « Investment Property Databank » est l’indice de référence pour les produits dérivés de l’immobilier.

43Il s'agit d'obligations émises par des sociétés en retournement ou présentant une faible surface financière, c'est à dire

un niveau d'endettement élevé. Leur notation financière par les agences de rating est inférieure à BBB-. La rémunération

de ces titres, comme leur niveau de risque, est donc très élevée.

44 L'obligation convertible est une obligation qui donne à son détenteur, pendant la période de conversion, la possibilité

de l'échanger contre une ou plusieurs actions de la société émettrice. L'obligation convertible s'assimile à une obligation

classique avec une option d'achat sur des actions nouvelles de l'émetteur.

45 Obligations représentant la dette des pays émergeants.

2015


ACTUARIS | 96

La matrice de corrélation des classes d’actifs 3.

La matrice des corrélations suivante est retenue :

Actions

Obligations d'Etat

Obligations d'entreprises

Immobilier Monétaire OPCVM

Obligataire Classes

alternatives

Actions 100% 25% 25% 50% 25% 50% 25%

Obligations d'Etat 25% 100% 75% 25% 50% 25% 25%

Obligations d'entreprises 25% 75% 100% 25% 50% 25% 25%

Immobilier 50% 25% 25% 100% 25% 25% 50%

Monétaire 25% 50% 50% 25% 100% 25% 25%

OPCVM Obligataire 50% 25% 25% 25% 25% 100% 25%

Classes alternatives 25% 25% 25% 50% 25% 25% 100%

Tableau 3 : matrice des corrélations entre les classes d’actifs retenue

Les corrélations des classes d’actifs avec le passif 4.

Le passif est corrélé positivement à toutes les classes d’actifs par le biais de la participation aux bénéfices.

Par ailleurs, une corrélation de 100% entre l’actif et le passif signifie que les variations du passif sont

couvertes de façon optimale par celles de l’actif. Ceci est vrai si la duration du portefeuille d’actifs est égale à

la duration du passif et que le portefeuille d’actifs est exclusivement composé d’obligations ou si la

participation aux bénéfices est égale à 100%.

Or, pour le cas de l’étude, la duration de l’actif est d’environ 8 ans tandis que celle du passif est d’environ 12

ans. De plus, le portefeuille n’est pas exclusivement composé d’obligations et la participation aux bénéfices est

de 90% seulement. Par conséquent, les corrélations des classes d’actifs avec le passif sont estimées à 50%.

III. Allocations optimales obtenues

Démarche 1.

Les méthodes retenues dans la précédente partie sont appliquées dans un premier temps sans contraintes

d’investissements. Des contraintes d’investissements sont ajoutées dans un second temps. Les contraintes

d’investissement retenues sont à la fois réglementaires et techniques. Les contraintes réglementaires sont les

suivantes :

Titres Référence Limites (en poids)

Actions, FCP, Sicav obligataires et

assimilés libellés en euros 6° au 12° et 14° quater de l'article R. 212-31 du Code de la Mutualité Max 65%

Actifs Immobiliers 13°, 14° ter et 14° de l'article R. 212-31 du Code de la Mutualité Max 40 %

Actions, FCP 8°, 9°, 10°, 10° bis, 10 ter, 11° et 14° de l'article R. 212-31 Max 10%

Prêts et dépôts 15°, 16° et 17° de l'article R. 212-31 du Code de la Mutualité Max 10%

Tableau 4 : contraintes réglementaires issues du Code de la Mutualité

Aux contraintes réglementaires s’ajoutent d’autres contraintes d’investissement. Celles-ci permettent de :

Traduire l’appétence au risque du régime

Limiter les pénalités induites par Solvabilité II

Ne pas s’éloigner brusquement de l’allocation initial

Rester réaliste par rapport à ce qui se fait en termes d’investissements sur le marché de l’assurance.

2015


ACTUARIS | 97

La combinaison des deux types de contraintes permet de retenir les contraintes suivantes :

Catégories modélisées Min Max

Actions 0,0% 20,0%

Obligations d'Etat 0,0% 100,0%

Obligations d'entreprises 50,0% 100,0%

Immobilier 0,0% 20,0%


OPCVM Obligataire 0,0% 10,0 %

Classes alternatives 0,0% 4,0%

Tableau 5 : contraintes d’investissement retenues

Par ailleurs, dans la partie précédente de ce mémoire, les problèmes d’optimisation des méthodes de

Markowitz, de Sharpe et Tint et de Talfi ont pu être résolues de façon analytique. Dans le cadre de de ce cas

pratique, cela n’est plus possible pour deux raisons :

La dimension du vecteur des poids à optimiser est supérieure à 2.

Le problème intègre des contraintes d’investissement.

Par conséquent, un algorithme d’optimisation non linéaire, disponible sur le logiciel R, permet de résoudre les

problèmes d’optimisation sous contraintes.

Méthode de Markowitz 2.

- Résultats sans contraintes d’investissement

Portefeuille minimisant la volatilité sous contrainte d’un rendement = rendement initial

Catégories modélisées Allocation initiale Poids : Min de volatilité sous contrainte de

rendement=rendement initial

Actions 12,78% 4,2%





OPCVM Obligataire 0,31% 12,5%


Rendement 3,62% 3,62%

Volatilité 3,38% 2,92%

Ratio de Sharpe46

1,02 1,18

Tableau 6 : allocations obtenues par la méthode de Markowitz, sans contraintes d’investissement, avec un rendement minimum égal au rendement du portefeuille initial

L’optimisation par la méthode de Markowitz permet d’afficher un rendement égal au rendement du

portefeuille initial avec une volatilité nettement inférieure. Celle-ci passe en effet de 3,38% à 2,92% pour un

même rendement global. Cela a pour conséquence d’améliorer le ratio de Sharpe qui passe de 1,02 à 1,18.

46

Le taux sans risque retenu pour le calcul du ratio de Sharpe est le taux 1 an. Si le ratio de Sharpe est compris entre 0 et

1, cela veut dire que le rendement est obtenu par une prise de risque excessive. Cependant, si le ratio est supérieur à 1, la

surperformance du portefeuille est obtenue avec une prise de risque moindre ou tout au plus égale.

2015


ACTUARIS | 98

Pour respecter le rendement attendu par l’investisseur tout en minimisant la volatilité, l’optimiseur diminue la

proportion d’actions qui passe de 12,78% à 4,2%, ainsi que la part d’obligations d’entreprise qui passe de

72,88% à 54,9%. Pour compenser cette diminution, l’optimiseur investit principalement en OPCVM obligataire,

en immobilier et dans les classes alternatives.

Portefeuille minimisant la volatilité sous contrainte d’un rendement > rendement initial

Catégories modélisées Poids : Min de volatilité sous contrainte de

rendement=rendement initial Poids : Min de volatilité sous contrainte de

rendement (4,8%) > rendement initial

Actions 4,2% 11,5%







Rendement 3,62% 4,8%

Volatilité 2,92% 4,6%

Ratio de Sharpe47

1,18 1,02

Tableau 7 : allocations obtenues par la méthode de Markowitz, sans contraintes d’investissement, avec un rendement minimum supérieur au rendement du portefeuille initial

Pour un rendement égal 4,8% (supérieur au rendement initial), la méthode affiche un ratio de Sharpe

légèrement supérieur à 1 et une volatilité plus élevée que la volatilité initiale. En effet, celle-ci passe de 3,4% à

4,6%.

En comparaison avec l’optimisation précédente, l’optimiseur est contraint d’augmenter globalement le poids

des actifs les plus risqués et de diminuer les poids des actifs moins risqués afin d’atteindre un rendement de

4,8%.

- Résultats avec contraintes d’investissements

Catégories modélisées Allocation

initiale Poids : Min de volatilité sous contrainte de


rendement (4,35%) > rendement initial

Actions 12,78% 5,5% 20,0%

Obligations d'Etat 2,93% 0,0% 0,0%

Obligations d'entreprises 72,88% 62,4% 64,7%

Immobilier 3,36% 15,9% 1,3%

Monétaire 4,60% 2,2% 0,0%

OPCVM Obligataire 0,31% 10,0% 10,0%

Classes alternatives 3,15% 4,0% 4,0%

Rendement 3,62% 3,62% 4,35%

Volatilité 3,38% 3,00% 4,38%

Ratio de Sharpe48

1,02 1,16 0,99

Tableau 8 : allocations obtenues par la méthode de Markowitz, avec contraintes d’investissement

47

Le taux sans risque retenu pour le calcul du ratio de Sharpe est le taux 1 an. Si le ratio de Sharpe est compris entre 0 et



48 Le taux sans risque retenu pour le calcul du ratio de Sharpe est le taux 1 an. Si le ratio de Sharpe est compris entre 0 et



2015


ACTUARIS | 99

Lorsque les contraintes d’investissement sont prises en compte. L’optimiseur permet d’obtenir un portefeuille

avec un rendement égal au rendement initial avec une volatilité inférieure. Celle-ci passe en effet de 3,38% à

3,00%. Par ailleurs, l’optimiseur ne trouve pas de solution pour un rendement supérieur à 4,35%. En effet, les

contraintes fixées ne permettent pas de dépasser ce seuil.

De plus, certaines classes d’actifs voient leurs contraintes saturées. C’est le cas pour la classe « OPCVM

Obligataire » et « Classes alternatives » dans le premier cas d’une optimisation sous contrainte d’un

rendement égal au rendement initial. Dans le second cas, la classe « actions » voit également sa part saturée.

En effet, l’optimiseur attribuait à ces classes d’actifs des parts qui dépassaient leurs limites maximum lorsqu’il

n’y avait pas de contraintes d’investissement. Une fois la contrainte saturée, l’optimiseur recherche les classes

qui permettront d’atténuer de façon optimale la perte induite par la saturation. Par conséquent, l’optimiseur

investit en priorité dans les classes les plus proches des classes d’actifs saturées, en termes de couple risque-

rendement.

Méthode de Sharpe et Tint 3.

- Hypothèses

Le taux de croissance des engagements dans le modèle de Sharpe et Tint correspond à la variation des

engagements d’une année à une autre. Or, le taux de croissance, d’après les chroniques de décaissement,

n’est pas constant. Ainsi, la moyenne des taux de croissance des engagements sur les 10 premières années est

retenue pour l’application de cette méthode. L’application numérique donne un taux de croissance moyen de -

6%.

𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 𝑑𝑢 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑖𝑓 = 𝑀𝑜𝑦𝑒𝑛𝑛𝑒1<𝑡<10 𝑎𝑛𝑠(𝐸𝑛𝑔𝑎𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠𝑡+1 − 𝐸𝑛𝑔𝑎𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠𝑡

𝐸𝑛𝑔𝑎𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠𝑡)

Par ailleurs, le poids du passif m est fixé à 100%.


Portefeuille minimisant la volatilité sous contrainte d’un rendement = rendement initial

MARKOWITZ SHARPE ET TINT


initiale Poids : Min de volatilité sous contrainte de


rendement=rendement initial

Actions 12,78% 4,2% 5,3%



Immobilier 3,36% 14,5% 16,6%

Monétaire 4,60% 6,1% 7,8%



Rendement du portefeuille 3,62% 3,62% 3,62%

Volatilité du portefeuille 3,38% 2,92% 2,94%

Ratio de Sharpe 1,02 1,18 1,18

Rendement du surplus49

8,6% 8,6% 8,6%

Volatilité du surplus50

2,7% 2,8% 2,1%

49 C’est le rendement du surplus au sens de Sharpe et Tint. Pour rappel : 𝑅�� = 𝑅��(𝑥) −

𝑚

𝑓0𝑅�� (partie 2 II.3)

2015


ACTUARIS | 100

Tableau 9 : allocations obtenues par la méthode de Sharpe et Tint, sans contraintes d’investissement

Figure 26 : méthodes de Markowitz et Sharpe et Tint - comparaison des allocations obtenues, sans contraintes d’investissement

L’optimisation par la méthode de Sharpe et Tint, prend en compte la corrélation entre l’actif et le passif et

permet d’afficher un rendement égal au rendement du portefeuille initial avec une volatilité inférieure

(passant de 3,38% à 2,94%). Par ailleurs, la volatilité du surplus est également optimisée passant de 2,7% à

2,1%.

En effet, en comparaison avec la méthode de Markowitz pour laquelle le passif n’est pas pris en compte,

l’optimiseur tient compte du passif par le biais du ratio de financement initial et des corrélations des actifs

avec le passif. En effet, pour rappel, le programme d’optimisation de Sharpe et Tint a pour objet la

minimisation de la variance du surplus et non pas la variance du portefeuille d’actifs. Ainsi, le programme de

Sharpe et Tint intègre un terme en plus de Markowitz :

min𝑥∈𝑅𝑛

1


1

𝑓0𝑥𝑇𝛾

⏞ 𝑻𝒆𝒓𝒎𝒆 𝒆𝒏 𝒑𝒍𝒖𝒔 𝒅𝒆 𝑴𝒂𝒓𝒌𝒐𝒘𝒊𝒕𝒛


𝑥𝑇𝑒 = 1


𝑓0𝜇𝐿

𝑓0 correspond au ratio de financement initial

𝑟𝑠 correspond au rendement du surplus minimal imposé

�� correspond au rendement du portefeuille équivalent au rendement du surplus minimal imposé

𝜇𝐿 correspond à la croissance moyenne des engagements

𝑉 correspond à la matrice de covariance des actifs

𝑥 correspond au vecteur des poids

50 C’est la volatilité du surplus au sens de Sharpe et Tint. Pour rappel (partie 2 II.3):

𝑉𝑎𝑟[𝑅��] = 𝑥𝑇𝑉𝑥 +

𝑚2

𝑓02𝑉𝑎𝑟(𝑅��) −

2𝑚

𝑓0𝑥𝑇𝛾

4,20%

0,00%

54,90%

14,50%

6,10%

12,50%

7,80% 5,30% 0,00%

50,20%

16,60%

7,80% 11,30%

8,80%

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

Actions Obligationsd'Etat

Obligationsd'entreprises

Immobilier Monétaire OPCVMObligataire

Classesalternatives

MARKOWITZ

SHARPE ET TINT

2015


ACTUARIS | 101

Dans le but de minimiser la variance du surplus, un investisseur se basant sur la méthode de Sharpe et Tint

doit choisir les poids de façon à minimiser le terme 1

2𝑥𝑇𝑉𝑥 d’une part et à maximiser le terme

1

𝑓0𝑥𝑇𝛾, c’est-à-

dire la corrélation du passif avec le portefeuille d’actifs. La prise en compte de cette corrélation dernier permet

d’expliquer mathématiquement pourquoi les allocations obtenues par Markowitz et par Sharpe et Tint

diffèrent.

Une réflexion qualitative pourrait de de même expliquer ces différences. En effet, il est possible de remarquer

qu’en comparaison avec Markowitz, l’optimiseur de Sharpe et Tint investit 4,7% de moins en obligations

d’entreprises et 1,2% de moins en OPCVM obligataires pour augmenter d’environ 1% les proportions

d’actions, d’immobilier, de monétaire, et de classes alternatives. De plus la volatilité du portefeuille avec

Sharpe et Tint est 0,02% plus élevée que pour Markowitz tandis que la volatilité du surplus est optimisée de

0,6%.

Globalement, avec Sharpe et Tint, l’investisseur se permet d’investir plus en actifs risqués51. En effet, du fait de

leur corrélation positive avec le passif, l’investisseur se permet d’attribuer des poids plus élevés aux actifs

risqués et rentables. Cela a pour effet d’augmenter la volatilité du portefeuille d’actifs d’une part et de

diminuer la volatilité du surplus d’autre part. L’investisseur « sacrifie » donc un peu de la volatilité du

portefeuille pour mieux optimiser la volatilité du surplus.

Avec cette stratégie, le ratio de Sharpe reste supérieur à 1. La prise en compte du passif a donc permis de

conserver un rendement et une volatilité du portefeuille d’actifs quasiment intactes tout en optimisant de

façon significative la volatilité du surplus.

Portefeuille minimisant la volatilité sous contrainte d’un rendement > rendement initial

En comparaison avec l’optimisation précédente ou le rendement minimal était fixé à 3,62%, l’optimiseur de

Sharpe et Tint, contraint par un rendement minimum supérieur au rendement initial et égal à 4,8%, augmente

les poids des actifs les plus risqués et diminue les poids des actifs les moins risqués.

MARKOWITZ SHARPE ET TINT

Catégories modélisées Poids : Min de volatilité sous contrainte de

rendement (4,8%) >rendement initial Poids : Min de volatilité sous contrainte de

rendement (4,8%)>rendement initial

Actions 11,5% 12,1%







Rendement du portefeuille 4,8% 4,8%

Volatilité du portefeuille 4,6% 4,7%

Ratio de Sharpe 1,02 1,02

Rendement du surplus 9,8% 9,8%

Volatilité du surplus 3,8% 3,7%

Tableau 10 : allocations obtenues par la méthode de Sharpe et Tint, avec contraintes d’investissement, avec un rendement minimum égal au rendement du portefeuille initial

51

Le monétaire de par sa faible volatilité et rendement, sert ici à ajuster le portefeuille de façon respecter « à la virgule

près » la contrainte de rendement.

2015


ACTUARIS | 102

En comparaison avec la méthode de Markowitz effectuée pour une même contrainte de rendement (voir

tableau ci-dessus), l’optimiseur investit 1,5% de moins en obligations d’entreprises et 2,2% de moins en

OPCVM obligataires pour augmenter d’environ 2,9% la proportion d’immobilier, de 0,2% la proportion des

classes alternatives et de 0,6% la proportion d’actions. Cela permet de diminuer la volatilité du surplus de

0,1%. Ainsi, pour un rendement minimal de 4,8%, les mêmes tendances entre les classes d’actifs sont

observées d’une méthode à une autre que pour un rendement minimal de 3,62%.

- Résultats avec contraintes d’investissement


initiale Poids : Min de volatilité sous contrainte

de rendement du portefeuille>3,62% Poids : Min de volatilité sous contrainte

de rendement du portefeuille>4,35%

Actions 12,78% 6,4% 20,0%



Immobilier 3,36% 18,3% 9,9%

Monétaire 4,60% 3,4% 0,0%



Rendement 3,62% 3,62% 4,3%

Volatilité 3,38% 3,00% 4,3%


Rendement du surplus 8,6% 8,6% 9,4%

Volatilité du surplus 2,7% 2,2% 3,6%

Tableau 11 : allocations obtenues par la méthode de Sharpe et Tint, avec contraintes d’investissement, avec un rendement minimum supérieur au rendement du portefeuille initial

Pour une contrainte d’un rendement égale au rendement initial, l’optimisation par la méthode de Sharpe

et Tint permet d’afficher un rendement de portefeuille égal au rendement du portefeuille initial avec une

volatilité inférieure (passant de 3,38% à 3%). Par ailleurs, la volatilité du surplus est également optimisée

par rapport à la situation initiale. Elle passe de 2,7% à 2,2%.

L’optimiseur sature les contraintes relatives aux classes alternatives et aux OPVCM obligataires et alloue

plus de poids aux classes actions (+1,1%), immobilier (+1,7% ), obligations d’entreprises (+7,7%) et moins

de poids à la classe monétaire (-4,4%). En effet, une fois la contrainte saturée, l’optimiseur recherche les

classes qui permettront d’atténuer de façon optimale la perte induite par la saturation. Par conséquent,

l’optimiseur investit en priorité dans les classes les plus proches des classes d’actifs saturées en termes de

couple risque-rendement.

Pour une contrainte de rendement minimum supérieure au rendement initial (de 4,35%), la méthode

permet d’afficher une volatilité du portefeuille de 4,3% affichant un ratio de Sharpe proche de 1 (0,99). La

volatilité du rendement du surplus est quant à elle 0,9% supérieure à la volatilité du surplus initiale.

En comparaison avec le cas sans contraintes d’investissement, l’optimiseur contraint d’investir au moins

50% de son portefeuille en obligations d’entreprises et pas plus de 10% et 4% respectivement en OPCVM

Obligataires et en classes alternatives, augmente d’environ 25% la proportion d’obligations d’entreprises,

et diminue de 16,6% et de 14,4% respectivement les proportions d’OPCVM Obligataires et de classes

alternatives.

2015


ACTUARIS | 103

Ces changements sont compensés par la saturation de la contrainte sur les actions et par la diminution de

1,6% de la proportion d’immobilier. En effet, encore une fois, l’optimiseur recherche les classes qui

permettront d’atténuer de façon optimale la perte induite par la saturation. Par conséquent, l’optimiseur

investit en priorité dans les classes les plus proches des classes d’actifs saturées en termes de couple

risque-rendement.

Méthode de Talfi 4.

- Hypothèses

Le poids du passif m est fixé à 100% (régime à prestations définies).

- Modèle dynamique simplifié

Dans un cadre dynamique, l’application des méthodes de Markowitz et de Sharpe et Tint donnent un vecteur

d’allocation constant à chaque pas de temps. En effet, cela provient de la contrainte sur le rendement

minimum du portefeuille d’actifs appliquée.

Or, la méthode de Talfi s’appuie sur la tolérance au risque (et pas sur une contrainte de rendement minimum)

pour la détermination de l’allocation optimale. Le rendement ou la volatilité du portefeuille optimal obtenu

sont alors plus ou moins élevés selon la tolérance au risque retenue. Or, à chaque pas de temps, les évolutions

de l’actif et du passif (et donc du ratio de financement) sont telles que le rendement ou la volatilité du

portefeuille optimal équivalent à la tolérance retenue change.

Par conséquent, dans un cadre dynamique, contrairement aux deux méthodes précédentes, l’application de

Talfi donne des vecteurs d’allocations différents à chaque pas de temps. Ainsi, un modèle dynamique

simplifié est proposé afin de projeter les allocations optimales à chaque pas de temps. Son fonctionnement

est décrit ci-après.

Notations

N le nombre de classes d’actifs est ici fixé à N=7 𝑽𝑴𝒕 La valeur de marché à la fin de l’année t des actifs avant participation aux bénéfices.

𝑽𝑴𝒕𝑷𝑩 La valeur de marché à la fin de l’année t des actifs après participation aux bénéfices.

𝒆𝒏𝒈𝒂𝒈𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒔𝒕 Le montant des engagements à la fin de l’année t avant participation aux bénéfices (données d’entrée)

𝒆𝒏𝒈𝒂𝒈𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒔𝒕𝑷𝑩 La valeur des engagements après participation aux bénéfices.

𝒓𝒂𝒕𝒊𝒐_𝒇𝒊𝒕 Le ratio de financement avant participation aux bénéfices à la fin de l’année t.

𝒓𝒂𝒕𝒊𝒐_𝒇𝒊𝒕𝑷𝑩 Le ratio de financement après participation aux bénéfices au bout de l’année t.

𝑹𝑿𝒕 Le rendement du portefeuille d’actifs sur l’année t . 𝝈𝑿𝒕 La volatilité du portefeuille d’actifs sur l’année t.

𝑹𝑺𝒕 Le rendement du surplus sur l’année t.

𝝈𝑺𝒕 La volatilité du surplus sur l’année t.

𝑷𝒐𝒊𝒅𝒔𝟎 = [𝑷𝒐𝒊𝒅𝒔𝟎

𝟏

⋮𝑷𝒐𝒊𝒅𝒔𝟎

𝑵] Vecteurs des poids des classes d’actifs du régime à t=0Copilcccccc1

𝑹 = [𝑹𝟏 … 𝑹𝑵] Vecteur des rendements des classes d’actifs 𝑭𝒍𝒖𝒙_𝒑𝒂𝒊𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒕 Prestations à payer durant l’année t

𝑹𝑷𝑩 Taux de participation aux bénéfices. 𝑅𝑃𝐵 = 90%

2015


ACTUARIS | 104

Initialisation

Les variables suivantes sont initialisées à t=0, c’est-à-dire au 31/12/2014.

𝑽𝑴𝟎 = 2 800 565 300 €

𝒆𝒏𝒈𝒂𝒈𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒔𝟎 = 2 547 230 597 €

𝒓𝒂𝒕𝒊𝒐_𝒇𝒊𝟎 =𝑽𝑴𝟎

𝒆𝒏𝒈𝒂𝒈𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒔𝟎= 109,9%

Optimisation

Un algorithme d’optimisation non linéaire permet de résoudre le problème sous contraintes.

Mise à jour au pas de temps t

Une fois l’optimisation effectuée, un vecteur des poids 𝑷𝒐𝒊𝒅𝒔𝒕 est obtenu et les différentes variables sont

réinitialisées après prise en compte de la participation aux bénéfices. La valeur de marché du portefeuille, son

rendement et sa volatilité sont recalculés après optimisation:

𝑹𝑿𝒕 = ∑ 𝑷𝒐𝒊𝒅𝒔𝒕

𝒊 × 𝑹𝒊𝑵𝒊=𝟏

𝝈𝑿𝒕 = √∑ 𝑷𝒐𝒊𝒅𝒔𝒕

𝒊𝟐 × 𝑹𝒊𝑵𝒊=𝟏

𝑽𝑴𝒕 = 𝑹𝑿𝒕 ∗ 𝑽𝑴𝒕−𝟏

Après prise en compte de la participation aux bénéfices, la valeur de marché et les engagements sont donnés

par les formules suivantes

𝑽𝑴𝒕𝑷𝑩 = 𝑽𝑴𝒕 − 𝒇𝒍𝒖𝒙_𝒑𝒂𝒊𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒕 ×∏ (𝟏 +𝒕−𝟏

𝒌=𝟎 𝑹𝑷𝑩 ∗ 𝑹𝑿𝒌)

𝒆𝒏𝒈𝒂𝒈𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒔𝒕𝑷𝑩 = (𝒆𝒏𝒈𝒂𝒈𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒕−𝟏 − 𝑭𝒍𝒖𝒙_𝒑𝒂𝒊𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒕) × ∏ (𝟏 +𝒕−𝟏

𝒌=𝟎 𝑹𝑷𝑩 ∗ 𝑹𝑿𝒌)

𝒓𝒂𝒕𝒊𝒐_𝒇𝒊𝒕𝑷𝑩 =

𝑽𝑴𝒕𝑷𝑩

𝒆𝒏𝒈𝒂𝒈𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒔𝒕𝑷𝑩

Les variables nécessaires au lancement de l’optimisation sont alors mises à jour au pas de temps suivant :

𝑽𝑴𝒕 = 𝑽𝑴𝒕𝑷𝑩

𝒆𝒏𝒈𝒂𝒈𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒔𝒕 = 𝒆𝒏𝒈𝒂𝒈𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒔𝒕𝑷𝑩

𝒓𝒂𝒕𝒊𝒐_𝒇𝒊𝒕 = 𝒓𝒂𝒕𝒊𝒐_𝒇𝒊𝒕𝑷𝑩

A chaque pas de temps, un vecteur d’allocation optimal est obtenu. La moyenne des 10 premières

allocations est retenue.

2015


ACTUARIS | 105


Catégories modélisées Allocation initiale Poids : Moyenne des 10 premières

allocations avec tolérance au risque de 10%

¨Poids : Moyenne des 10 premières allocations avec tolérance au risque de 20%

Actions 12,78% 8,1% 12,6%



Immobilier 3,36% 15,2% 10,8%

Monétaire 4,60% 0,0% 0,0%



Rendement 3,62% 4,26% 4,9%

Volatilité 3,38% 3,60% 4,7%


Rendement du surplus52

3,6% 4,58% 5,3%

Volatilité du surplus53

3,0% 3,19% 4,6%

Tableau 12 : allocations obtenues par la méthode de Talfi, sans contraintes d’investissement

La méthode de Talfi permet d’allouer le portefeuille en fonction de la tolérance au risque. Pour les tolérances

au risque fixées de 10% et de 20%, les rendements des portefeuilles obtenus sont de 4,26% et de 4,9%. En

effet, plus l’investisseur est tolérant au risque plus il attribue des poids élevée aux actifs les plus rentables. De

cette façon, la part des actifs risqués pour une tolérance de 20% est plus élevée que la part des actifs risqués

pour une tolérance de 10% (tableau ci-dessus).

Figure 27 : allocations optimales par la méthode de Talfi, sans contraintes d’investissement, pour une tolérance au risque de 10%

Par ailleurs, la figure ci-dessus permet d’observer l’évolution des allocations obtenues à chaque pas de temps

avec la méthode de Talfi pour une tolérance au risque à de 10% (les mêmes tendances sont observées pour

une tolérance de 20%). Il est possible de remarquer la croissance du poids des obligations d’entreprises et de

l’immobilier dans le portefeuille. Les poids des autres classes d’actifs (plus risquées) sont décroissants.

52

C’est le rendement du surplus au sens de Talfi. Pour rappel : 𝑅�� = 𝜑𝑅�� −𝑚𝑅��

53 C’est la volatilité du surplus au sens de Talfi (Voir Partie 2).

2015


ACTUARIS | 106

En effet, les allocations s’ajustent à chaque pas de temps en fonction du ratio de financement mis à jour. Or,

avec les hypothèses prises sur l’actif, le ratio de financement augmente à chaque temps. Par ailleurs, il a été vu

dans la partie 2 de ce mémoire que l’allocation en actifs risqués est décroissante avec le ratio de financement

pour la méthode de Talfi (Partie 2.IV.7). Ceci explique donc le graphique.

- Résultats avec contraintes d’investissement

Catégories modélisées Allocation initiale Poids : Moyenne des 10

premières allocations avec tolérance au risque de 10%

¨Poids : Moyenne des 10 premières allocations avec tolérance au risque de 20%

Actions 12,78% 10,3% 17,4%



Immobilier 3,36% 17,4% 14,8%

Monétaire 4,60% 0,0% 0,0%



Rendement 3,62% 3,90% 4,25%

Volatilité 3,38% 3,32% 3,87%


Rendement du surplus 3,6% 4,16% 4,53%

Volatilité du surplus 3,0% 2,94% 3,75%

Tableau 13 : allocations obtenues par la méthode de Talfi, avec contraintes d’investissement

En comparaison avec le cas sans contraintes d’investissement, certaines classes d’actifs sont voient leur

contraintes saturées. C’est le cas pour la classe « OPCVM Obligataire » et « Classes alternatives ». En effet,

encore une fois, l’optimiseur recherche les classes qui permettront d’atténuer de façon optimale la perte

induite par la saturation. Par conséquent, l’optimiseur investit en priorité dans les classes les plus proches des

classes d’actifs saturées en termes de couple risque-rendement.

Portefeuilles retenus pour les tests 5.

Parmi les allocations obtenues précédemment, quatre sont retenues. Le premier critère de sélection des est le

respect des contraintes d’investissement. Le second critère est d’afficher un ratio de Sharpe supérieur à 1.

Ainsi les portefeuilles suivants sont retenus.

Le portefeuille A correspond à l’allocation initiale.

Le portefeuille B correspond à l’allocation obtenue par la méthode de Markowitz en tenant compte des

contraintes d’investissement, avec un rendement du portefeuille minimum égal au rendement initial,

c’est-à-dire à 3,62%.

Le portefeuille C correspond à l’allocation obtenue par la méthode de Sharpe et Tint en tenant compte

des contraintes d’investissement, avec un rendement du portefeuille minimum égal au rendement initial,

c’est-à-dire à 3,62%.

Le portefeuille D correspond à l’allocation obtenue par la méthode de Talfi, en tenant compte des

contraintes d’investissement, et avec une tolérance au risque de 10%.

Le portefeuille E correspond à l’allocation obtenue par la méthode de Talfi, en tenant compte des

contraintes d’investissement, et avec une tolérance au risque de 20%.

2015


ACTUARIS | 107

Catégories modélisées Portefeuille A Portefeuille B Portefeuille C Portefeuille D Portefeuille E

Actions 12,78% 5,5% 6,4% 10,3% 17,4%

Obligations d'Etat 2,93% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%

Obligations d'entreprises 72,88% 62,4% 57,9% 58,3% 53,8%

Immobilier 3,36% 15,9% 18,3% 17,4% 14,8%

Monétaire 4,60% 2,2% 3,4% 0,0% 0,0%

OPCVM Obligataire 0,31% 10,0% 10,0% 10,0% 10,0%

Classes alternatives 3,15% 4,0% 4,0% 4,0% 4,0%

Rendement 3,62% 3,62% 3,62% 3,90% 4,25%

Volatilité 3,38% 3,00% 3,00% 3,32% 3,87%

Ratio de Sharpe 1,02 1,16 1,15 1,13 1,02

Tableau 14 : caractéristiques des portefeuilles retenus

Remarques :

Les portefeuilles retenus par des méthodes d’optimisation saturent tous les poids des classes d’actifs « OPCVM Obligataire » et « Classes alternatives ». Ces classes possèdent en effet des caractéristiques de rendement et volatilité qui incitent à l’investissement. Or, l’allocation initiale attribue quant à elle un poids plus faible à ces classes d’actifs : seulement 0,31% pour les OPCVM obligataires et 3,15% pour les classes alternatives.

Les portefeuilles retenus par des méthodes d’optimisation s’accordent sur le poids des obligations d’Etat qui est fixé à 0%. En effet, les obligations d’Etat présentent une volatilité de 3,5% pour un rendement de 1,17% alors que les obligations d’entreprises ont la même volatilité pour un rendement supérieur (de 3,17%). Ainsi, ces méthodes substituent toutes les obligations d’entreprises aux obligations d’Etat.

IV. Analyse prospective

Cette partie s’attache à réaliser des projections prospectives du bilan pour chaque portefeuille retenu. Les

projections s’appuient sur le générateur de scénarios économiques et le modèle de gestion actif-passif du

régime étudié.

1. Modèle de gestion actif-passif

- Modélisation de l’actif et du passif

Le modèle de projection du régime permet de modéliser l’évolution d’un portefeuille d’actifs constitué

d’obligations à taux fixe (obligations d’Etat et obligations corporate), d’obligations à taux variable,

d’obligations assimilables du Trésor indexées sur l’inflation, d’actions, de private equity, d’immobilier et de

monétaire.

D’une autre part, le passif est modélisé à travers un module « Cash-Flows » permettant de modéliser un

produit vie sous la forme d’une chronique de Cash-Flows prévisionnels. Ce module admet en entrée les cash-

flows non revalorisés, c’est-à-dire la chronique des paiements probables non actualisés par année de

projection. Il admet aussi en entrée le taux de participation aux bénéfices.

2015


ACTUARIS | 108

- Module de gestion actif-passif

Le module de gestion actif-passif reçoit les cash-flow positifs (produit) et négatifs (charges) en provenance de

l’ensemble des modules d’Actif et de Passif du modèle. Il réalise des opérations

d’investissement/désinvestissement dans les classes d’actifs du portefeuille à partir de ces données.

Le module distingue, à chaque pas de temps t, deux instants :

L’instant 𝒕− C’est-à-dire le temps avant transaction où les titres du portefeuille sont revalorisés à leurs

nouvelles valeurs (selon leurs performances annuelles).

L’instant 𝒕+ C’est-à-dire le temps après transaction où il peut y avoir investissement ou désinvestissement.

Lors de l’investissement/désinvestissement, un re-balancement de la trésorerie dégagée au cours de l’année

selon une allocation cible définie au départ (égale à la proportion initiale des actifs par exemple) est effectuée.

L’objectif étant de conserver la part de chaque actif constante en valeur de marché durant la projection. Cette

méthodologie est appelé « allocation cible des stocks ».

Exemple : Soit 𝑉𝑀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒(𝑡) la valeur de marché totale du portefeuille des classes d’actifs à l’instant t. 𝑉𝑀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒(0) est supposée égale à 110. De plus, Le gérant a le choix entre deux classes d’actifs seulement : obligations et actions. L’allocation cible est de 90% pour les obligations et de 10% pour les actions. Ainsi, les obligations affiche une valeur de marché de 99. La valeur de marché des actions est à 11. Alors, si 𝑉𝑀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒(1) = 100, Il faut donc désinvestir 10 au total sur les deux classes d’actifs de sorte que l’allocation cible soit toujours respectée. L’allocation cible des stocks consiste à vendre les actifs du portefeuille en t=1 et à les racheter immédiatement en respectant l’allocation cible. Après cette opération, le portefeuille contient 90 en valeur de marché pour les obligations et 10 pour les actions.

Gestion actif-passif Flux total = Flux actif +

Flux passif

Fonctionnement du module de gestion actif-passif

Flux d’actif

Flux de passif

Calcul du flux global Calcul des indicateurs

Valeur de marché cible pour chaque classe d’actif selon l’allocation cible fixée

Produits actif : coupons, remboursements des nominaux, loyers, intérêts

Charges actif : frais des placements

Produits passif : Primes Charges passif :

Prestations et frais, delta provisions

t t-1

(𝒕 − 𝟏)− (𝒕 − 𝟏)+ 𝒕− 𝒕+

Figure 28 : module de gestion actif-passif du régime étudié

2015


ACTUARIS | 109

Le module de gestion actif-passif fait les calculs suivants,

Calcul des Cash-flows provenant du passif

𝑃𝑟𝑝(𝑡) Produits du passif, sommes des flux à investir issus du passif, c’est une donnée

d’entrée du module

𝐶ℎ𝑝(𝑡) Charges du passif, somme des flux à désinvestir issus du passif, c’est une donnée

d’entrée du module

Les Cash-flows provenant du passif sont égaux à :

𝐶𝐹𝑝(𝑡) = 𝑃𝑟𝑝(𝑡) − 𝐶ℎ𝑝(𝑡)

Calcul des Cash-flows provenant de l’actif

𝑃𝑟𝑎(𝑡) Produits de l’actif, sommes des flux à investir issus de l’actif, c’est une donnée d’entrée du modèle

𝐶ℎ𝑎(𝑡) Charges de l’actif, somme des flux à désinvestir issus de l’actif, c’est une donnée d’entrée du modèle

Les Cash-flows provenant de l’actif sont égaux à :

𝐶𝐹𝑎(𝑡) = 𝑃𝑟𝑎(𝑡) − 𝐶ℎ𝑎(𝑡)

Calcul de la somme des flux à réallouer

Somme des flux à réallouer (avant transaction) est égale à :

𝐶𝐹𝑡𝑜𝑡(𝑡−) = 𝐶𝐹𝑎(𝑡) + 𝐶𝐹𝑝(𝑡)

Remarque : 𝐶𝐹𝑡𝑜𝑡 > 0 Investissement ; 𝐶𝐹𝑡𝑜𝑡 < 0 Désinvestissement

Calcul de la valeur de marché avant transaction

La valeur de marché de la classe d’actif j avant transaction est calculée de la façon suivante

VM(j, 𝑡−) = ∑ 𝑉𝑀𝑗(𝑖, 𝑡−)

𝑁𝑗𝑖=1

Calcul de la valeur de marché après transaction

[𝜋0(𝑗)]𝑗∈[1,𝐽] Le vecteur d’allocations cible tel que ∑ 𝜋0(𝑗)𝐽𝑗=1 = 1 , c’est une donnée d’entrée du modèle

qui ne dépend pas de t

La valeur de marché de la classe d’actif j après transaction est calculée de la façon suivante :

VM(j, 𝑡+) = [VM(j, 𝑡−) + 𝐶𝐹𝑡𝑜𝑡(𝑡−)] × 𝜋0(𝑗)

Ainsi le module de gestion actif-passif permet d’obtenir une valeur de marché cible à respecter par classe

d’actif.

2015


ACTUARIS | 110

Générateur de scénarios économiques 2.

Le modèle intègre un générateur de scénarios économique qui permet de simuler, à chaque pas de temps, la

courbe des taux, la performance des indices actions et de l’immobilier, l’inflation selon différents modèles

théoriques. Enfin, la projection peut être soit déterministe soit stochastique au choix de l’utilisateur. Pour les

tests, une projection déterministe est retenue. C’est-à-dire que l’évolution de chaque classe d’actif se base

sur un unique scenario défini comme étant le scenario moyen obtenu après calcul de la moyenne de 1000

scenarios simulés à partir de modèles théoriques bien définis. Les différents indicateurs présentés par la suite

sont calculés en moyenne.

- Projections « monde réel » et « risque neutre »

Le générateur de scenarios économique peut générer des scenarios en « monde réel » et en univers « risque

neutre ». L’univers « risque neutre » correspond à des simulations cohérentes avec les prix observés sur le

marché à une date donnée. Dans ce cas, les agents sont considérés comme étant neutres face au risque. Les

actifs sont de plus supposés performer au même taux. Les projections en univers « monde réel » ont quant à

eux pour objectif de représenter le plus fidèlement possible la réalité économique des actifs. Les projections

s’appuient sur des historiques de marché.

En pratique, les projections en « risque neutre » permettent d’effectuer les calculs relatifs à la nouvelle

réglementation Solvabilité II (valorisation des passif via le calcul des « Best Estimate », calcul du SCR, Calculs lié

à l’ORSA,..). Les projections en monde réelle permettent d’effectuer des études sur la stratégie de gestion

actif-passif et de déterminer la stratégie d’investissement.

- Les modèles retenus

Les modèles retenus pour la simulation des différentes classes d’actifs sont récapitulé dans le tableau suivant.

Classe d’actifs Modèle retenu

- Actions - Classes alternatives

Black & Scholes

- Obligation d’état - Obligations d’entreprises - OPCVM Obligataire - Monétaire

Hull White 1 Facteur

- Immobilier Black & Scholes à deux facteurs

- Inflation Gadmer

Tableau 15 : tableau récapitulatif des modèles financiers retenus pour chaque classe d’actif

- Calibrage et utilisation des modèles

Comme dit précédemment, les scenarios utilisés dans le modèle peuvent être en univers monde réel ou risque

neutre. Les modèles présentés précédemment doivent par conséquent être calibrés dans chacun de ces

univers. Le tableau ci-dessous récapitule l’utilisation de chacun de ces univers et les données/observations

utilisées pour leur calibrage.

2015


ACTUARIS | 111

Générateur de scénarios économiques

« Monde Réel » Générateur de scénarios économiques

« Risque Neutre »

Observations - Historiques d’indices - Prix de marché

Utilisation - Génération de scénarios plausibles - Evaluation des risques - Test des allocations stratégiques

- Calcul de prix « Market Consistent » :

- Best estimate - Options de taux, garantis

plancher …

Tableau 16 : tableau récapitulatif des sources de calibrage des modèles financiers selon l’univers considéré et de leurs utilisations

Résultats « monde réel » 3.

Au 31/12/2014, quelle que soit l’allocation cible choisie, le portefeuille est composé conformément à

l’allocation initiale. Un re-balancement est effectué la première année et l’atteinte de l’allocation cible se fait

au 31/12/2015.

- Taux de revalorisation

Le taux de revalorisation correspond au rapport entre le montant de la participation aux bénéfices et des

provisions techniques. Les résultats sur la figure ci-dessous permettent de constater que :

a) Les taux de revalorisation des portefeuilles B (Markowitz) et C (Sharpe et Tint) majorent les autres

portefeuilles la première année (en 2015) avant de chuter significativement la deuxième année.

b) A partir de la seconde année, il apparait globalement que le portefeuille obtenu par la méthode de

Talfi avec une tolérance au risque de 20% est le plus performant en moyenne à long terme. Le

portefeuille B obtenu par Markowitz est quant à lui le moins performant.

c) Le taux de revalorisation relatif au portefeuille initial évolue à la baisse à long terme (à partir de 2022),

contrairement aux autres portefeuilles qui évoluent à la hausse.

Figure 29 : taux de revalorisation : participation aux bénéfices/provisions techniques

Explication de la constatation a) : il est intéressant de s’intéresser à la proportion d’actions dans chacune

de ces allocations. En effet, les portefeuilles B et C comprennent les plus faibles proportions d’actions

(5,5% et 6,4% respectivement). Or, ces même portefeuilles, à l’instant initial, sont composés de 12,8%

d’actions. Ainsi, afin de converger vers la nouvelle allocation cible, l’algorithme de gestion actif-passif

choisit de vendre une part des actions détenues en portefeuille. Ceci permet de dégager des produits de

placement. Cela explique pourquoi ces portefeuilles, majorent en termes de taux de revalorisation, la

première année.

1,000%

1,500%

2,000%

2,500%

3,000%

2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024


2015


ACTUARIS | 112

Explication de la constatation b) : A partir de la seconde année, ces portefeuilles (B & C) minorent en

termes de taux de revalorisation, car la part des produits financiers venant des actions diminue. Or, les

actions représentent une partie importante des produits financiers. De cette façon, le portefeuille E

majore à long terme car il comporte la proportion la plus importante d’actions (17,4%).

Figure 30 : proportion d’actions par portefeuille

Explication de la constatation c) : Par ailleurs, le taux de revalorisation relatif au portefeuille initial évolue

à la baisse à long terme54, contrairement aux autres portefeuilles. Les portefeuilles retenus permettent

donc d’optimiser les taux de revalorisation à long terme. Pour expliquer cela, il est intéressant d’observer

l’évolution des produits de placement (valeurs réalisées, coupons, …). En effet, les produits de placement

étant positivement corrélés au taux de revalorisation, la même tendance est observée (figure 31 ci-

dessous).

Figure 31 : produits de placements financiers par portefeuille

D’un autre côté, les produits de placement étant positivement corrélés aux plus-values latentes, cette

tendance se traduit encore une fois sur l’évolution des plus-values latentes (figure 32). En effet, l’écart

entre les plus-values latentes relatives au portefeuille initial et les autres portefeuilles se creuse fortement

à long terme. Au bout de la 10ème année, l’écart de plus-value entre le portefeuille A et le portefeuille B

s’élève à environ 46 millions.

54

La projection des taux de revalorisation par portefeuille sur 20 ans est présentée en annexe 6.

12,78%

5,50% 6,40%

10,30%

17,40%

0,00%

2,00%

4,00%

6,00%

8,00%

10,00%

12,00%

14,00%

16,00%

18,00%

20,00%


40 000 000

50 000 000

60 000 000

70 000 000

80 000 000

90 000 000

100 000 000

20

15

20

16

20

17

20

18

20

19

20

20

20

21

20

22

20

23

20

24

20

25


2015


ACTUARIS | 113

Figure 32 : évolution de la plus-value latente par portefeuille

Afin d’expliquer ces écarts, il est intéressant de décomposer les plus-values latentes par classes d’actifs.

Or, les plus-values relatives à toutes les classes d’actifs semblent évoluer de façon similaire pour tous les

portefeuilles et n’expliquent pas les écarts sauf pour l’immobilier.

En effet, la figure 33 présente les évolutions des plus-values latentes relatives à la poche obligataire par

portefeuille. La tendance observée sur cette poche est directrice de la tendance globale présentée

précédemment, mais elle n’explique pas l’écart observé.

Figure 33 : plus-value latente relative à la classe « Obligations d’entreprises

En revanche, l’observation de l’évolution des plus-values latentes relatives à la poche « immobilier »

permet de constater des écarts entre le portefeuille initial et les autres portefeuilles qui se creusent (figure

34). Ces écarts correspondent en valeurs aux écarts observés globalement sur les plus-values latentes.

L’écart de plus-value relative à la poche « immobilier» entre le portefeuille A et le portefeuille B s’élève à

environ 55 millions. L’immobilier explique donc en grande partie l’écart de 46 millions observé

précédemment55. En effet, les portefeuilles B, C, D et E contiennent une proportion importante

d’immobilier (plus de 15%) tandis que le portefeuille initial n’en contient que 3,36%.

55

Voir les plus-values latentes relatives aux classes alternatives et « actions » - annexe 6

79 028 131

125 651 934

-

50 000 000

100 000 000

150 000 000

200 000 000

250 000 000

300 000 000

350 000 000

20

15

20

16

20

17

20

18

20

19

20

20

20

21

20

22

20

23

20

24

20

25

20

26


0

50 000 000

100 000 000

150 000 000

200 000 000

250 000 000

300 000 000

2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 2026


2015


ACTUARIS | 114

Figure 34 : plus-value latente relative à la classe « immobilier »

- Valeur de marché dans 10 ans

La figure ci-dessous représente la valeur de marché dans 10 ans par portefeuille retenu. Les méthodes

d’optimisation du surplus surperforment le portefeuille initial et celui obtenu par l’approche de Markowitz. Par

ailleurs, la valeur de marché est croissante avec la tolérance au risque pour ce qui est de la méthode de Talfi.

Figure 35 : valeur de marché dans 10 ans par portefeuille

Ceci s’explique par le fait que la valeur de marché est croissante avec la part d’actifs risqués56 dans le portefeuille et décroissante avec la part des produits de taux57 (figure ci-dessous).

Figure 36 : part d’actifs risqués et de produits de taux par portefeuille

56

La part d’actifs risqués est calculée comme la somme des parts d’action, d’immobilier et d’actifs alternatifs. 57

La part des produits de taux est calculé comme la somme des parts d’obligations, de monétaire et d’OPCVM obligataire.

16 210 570

70 991 249

0

10 000 000

20 000 000

30 000 000

40 000 000

50 000 000

60 000 000

70 000 000

80 000 000

90 000 000

2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 2026



Valeur de marché 1 613 762 507 1 623 793 233 1 652 420 176 1 688 288 641 1 756 049 985

1 500 000 000

1 550 000 000

1 600 000 000

1 650 000 000

1 700 000 000

1 750 000 000

1 800 000 000

77,79% 74,60% 71,30% 68,30% 63,80%

19,29% 25,40% 28,70% 31,70% 36,20%

0%

20%

40%

60%

80%

100%


Produits de taux Actifs risqués

2015


ACTUARIS | 115

- Provisions mathématiques dans 10 ans

Les provisions mathématiques à 10 ans sont fortement corrélées aux taux de revalorisation cumulé sur 10 ans.

Figure 37 : provisions mathématiques dans 10 ans par portefeuille

En effet, la figure ci-dessous représente le taux de revalorisation cumulé sur 10 ans. C’est le produit des taux

de revalorisations des 10 premières années.

Figure 38 : taux de revalorisation cumulé sur 10 ans par portefeuille

Il est dont possible de constater que les portefeuilles A et E engendrent le plus de provisions mathématiques

puisqu’ils induisent les taux de revalorisation cumulés les plus élevés. Ils sont suivis respectivement par les

portefeuilles D, B et C.

- Surplus

Le surplus correspond à l’écart entre la valeur de marché et les engagements techniques (ou provisions

mathématiques). La figure ci-dessous permet de constater que les allocations obtenues par les méthodes

d’optimisation du surplus performent l’allocation initiale ainsi que l’allocation obtenue par Markowitz en

termes de surplus. En effet, bien que les portefeuilles B (Markowitz) et C (Sharpe et Tint) affichent le même

rendement et la même volatilité du portefeuille d’actifs, la prise en compte de la corrélation avec le passif

permet d’obtenir un surplus plus élevé pour Sharpe et Tint.

Figure 39 : évolution du surplus : Valeur de marché - Provisions techniques


Provisions mathématiques 1 444 386 994 1 383 845 790 1 382 842 869 1 402 109 795 1 429 289 487

1 340 000 000

1 360 000 000

1 380 000 000

1 400 000 000

1 420 000 000

1 440 000 000

1 460 000 000

PortefeuilleA

PortefeuilleB

PortefeuilleC

PortefeuilleD

PortefeuilleE

Taux de revalorisation (cumul) 1,2560% 1,2001% 1,1999% 1,2190% 1,2464%

1,1600%

1,1800%

1,2000%

1,2200%

1,2400%

1,2600%

1,2800%

100 000 000

150 000 000

200 000 000

250 000 000

300 000 000

350 000 000

20

15

20

16

20

17

20

18

20

19

20

20

20

21

20

22

20

23

20

24

20

25


2015


ACTUARIS | 116

Les surplus induit par les différents portefeuilles s’expliquent par les tendances des valeurs de marché et des provisions techniques (qui elles même dépendent du taux de revalorisation). Les portefeuilles obtenus par les méthodes d’optimisation du surplus contiennent une part relativement élevée d’actifs risqués. Ceci leur permet de performer en termes de valeur de marché. D’un autre côté, le taux de revalorisation induit par ces portefeuilles engendre les provisions mathématiques moins élevées qu’initialement les 10 premières années. La combinaison de ces deux effets permet aux méthodes d’optimisation du surplus de surperformer les portefeuilles A et B en termes de surplus. Cependant, c’est en majorité les performances au niveau de la valeur de marché qui sont prépondérantes

- Ratio de financement

Le ratio de financement suit la même tendance que le surplus. En effet, le ratio de financement correspond au

rapport entre la valeur de marché du portefeuille sur les provisions mathématiques.

Figure 40 : évolution du ratio de financement : Valeur de marché/Provisions techniques

Comme pour le surplus, les portefeuilles obtenus par les méthodes d’optimisation du surplus surperforment

en termes de ratio de financement.

105,00%

110,00%

115,00%

120,00%

125,00%

130,00%


2015


ACTUARIS | 117

Résultats « risque neutre » 4.

- SCR: Solvency Capital Requirement

La convergence vers l’allocation cible prend une année. Par conséquent, le SCR est calculé au 31/12/201558. Le

calcul se base sur la formule standard de Solvabilité II.

Mortality

CAT

BSCRAdj

Health

SLT

Health

CAT Non-SLT

Health

Default Life

Mortality

Longevity

Disability

Morbidity

Lapse

Expenses

Revision

Non-life

Premium

Reserve

Lapse

Market

SCR

Op

Intang

CAT

Illiquidity

Interest

rate

Equity

Property

Spread

Currency

Con-

centration

Premium

Reserve

Lapse

Longevity

Disability

Morbidity

Lapse

Expenses

Revision

Figure 41 : modules de risques retenus (en bleu) pour le calcul du SCR

La figure ci-dessus présente, pour chaque portefeuille, la décomposition du SCR par module de risque. Les

modules représentés en gris ne sont pas applicable au régime de retraite étudié.

Il est possible de constater que le portefeuille initial induit le SCR le moins élevé (figure suivante). Plus

précisément :

𝑆𝐶𝑅𝐴 < 𝑆𝐶𝑅𝐵 < 𝑆𝐶𝑅𝐶 < 𝑆𝐶𝑅𝐷 < 𝑆𝐶𝑅𝐸

Figure 42 : décomposition du SCR par module de risque, par portefeuille

58

Des bilans simplifiés sous Solvabilité I et Solvabilité II pour chacun des portefeuilles sont présentés en annexe.

SCR SCR Market SCR Defaut SCR LifeSCR

OpérationnelAjustement PT Ajustement ID

Portefeuille A 63 858 987 365 804 252 3 190 768 161 890 548 11 806 971 -351 579 152 -32 812 966

Portefeuille B 88 057 108 380 363 249 1 527 465 161 717 089 11 615 292 -341 301 172 -31 701 751

Portefeuille C 97 843 269 387 195 338 2 360 627 161 754 979 11 578 418 -340 122 820 -29 741 472

Portefeuille D 101 197 087 403 603 706 0 161 897 723 11 600 901 -351 795 167 -29 541 853

Portefeuille E 110 250 791 417 005 369 0 161 933 010 11 573 052 -357 946 439 -26 986 456

-400 000 000

-300 000 000

-200 000 000

-100 000 000

0

100 000 000

200 000 000

300 000 000

400 000 000

500 000 000

2015


ACTUARIS | 118

Les SCR « vie » et les SCR « opérationnel » restent stables pour tous les portefeuilles. De très faibles variations sont constatées d’une allocation à une autre. En effet, ces modules dépendent faiblement des changements à l’actif.

Le SCR « défaut de contrepartie » dépend de la proportion donné à la classe « monétaire ». Celui-ci est par conséquent très faible pour les portefeuilles A, B et C (qui contiennent une faible part de monétaire) et nul pour les portefeuilles D et E (qui ne contiennent pas de monétaire).

Les variations au niveau du SCR s’expliquent donc par le module de risque « marché » ainsi que par les ajustements pour provisions techniques « Adjustement PT » et pour impôts différés « Ajustements ID ».

Le portefeuille initial induit notamment les ajustements pour impôts différés les plus élevés. En effet, il a été constaté que les plus-values latentes du portefeuille initial la première année sont les plus élevées : le fait de re-balancer le portefeuille pour atteindre l’allocation cible induit des réalisations de plus-values latentes. Ainsi, les plus-values latentes sont réduites ; ce qui induit moins d’impôts différés. Ainsi, en cas de choc, l’assureur bénéficie de moins d’absorption pour impôts différés. Par conséquent, les re-balancements pénalisent l’assureur en termes de SCR car il ne peut plus bénéficier d’absorption pour impôts différés.

Les variations de SCR entre les portefeuilles A, B, C, D et E s’expliquent néanmoins principalement par les

variations relatives au module SCR de marché. Les deux figures ci-dessous présentent la décomposition par

portefeuille du SCR de marché et la proportion investie dans chaque classe d’actifs par portefeuille.

Figure 43 : décomposition du SCR de marché par sous-module de risque

Figure 44 : proportions des différentes classes d’actifs par portefeuille

Les SCR «action » et « immobilier » sont proportionnels aux parts « actions » et « immobilier » dans le

portefeuille. En effet, cela est dû à un choc linéaire sur la valeur de marché de ces classes d’actifs

(respectivement 25% pour l’immobilier et 22 %59 pour les actions et les classes alternatives).

59

Le choc action (actions type 1 + classes alternatives équivalentes à des actions de type 2) est de 22%. En effet, dans le

cadre de la retraite, ces actifs considérés sont fondées sur la durée. Il est donc possible d’appliquer un choc réduit (22%

au lieu de 39% pour le type 1 et 49% pour le type 2).

0

100 000 000

200 000 000

300 000 000

400 000 000

500 000 000

SCR Market SCR Equity SCR Property SCR Spread SCR Interest

Portefeuille A

Portefeuille B

Portefeuille C

Portefeuille D

Portefeuille E

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

Monétaire Actions + classesalternatives

Immobilier Obligations d'Etat Obligationsd'entreprise

OPCVM obligataire

Portefeuille A

Portefeuille B

Portefeuille C

Portefeuille D

Portefeuille E

2015


ACTUARIS | 119

Le SCR de spread est plus élevé pour le portefeuille A car celui-ci contient une part plus élevée d’obligations

d’entreprise60. Cependant le SCR de taux est plus faible pour le portefeuille A, en effet :

- Le portefeuille A possède plus d’obligations et donc un actif mieux adossé au passif du régime.

- La part d’OPCVM obligataire est moindre dans le portefeuille A

Ces constations permettent d’expliquer les variations du SCR « marché » entre les différents portefeuilles.

Elles permettent par conséquent de justifier les variations de SCR entre ces portefeuilles.

- Fonds propres économiques

Relativement au portefeuille initial, les allocations retenues induisent un accroissement significatif des fonds

propres économiques (figure ci-dessous).

Figure 45 : fonds propres économiques par portefeuille

Les fonds propres économiques sont plus élevés pour les portefeuilles B, C, D et E. En effet, cela est expliqué

par principalement 61par deux éléments :

- La variation du best estimate entre les portefeuilles. L’allocation A possède un montant de best

estimate plus fort (taux de revalorisation le plus élevé) que pour les autres portefeuilles, ce qui vient

diminuer le total des fonds propres économiques. La figure suivante présente la variation du best

estimate par allocation.

Figure 46 : best estimate par portefeuille

60

La notation moyenne relative aux obligations d’entreprise détenues est de 3. Le choc appliqué dépend de la duration

de chaque obligation et peut varier entre 7% et 30%.

61 Pour plus de détails, voir les annexes 1 à 5 du mémoire.


Fonds Propres Economiques 100 826 324 € 143 998 221 € 153 473 313 € 150 140 426 € 158 513 831 €

0 €

50 000 000 €

100 000 000 €

150 000 000 €

200 000 000 €


Best estimate 2 623 771 k€ 2 581 176 k€ 2 572 982 k€ 2 577 978 k€ 2 571 789 k€

2 540 000 k€

2 550 000 k€

2 560 000 k€

2 570 000 k€

2 580 000 k€

2 590 000 k€

2 600 000 k€

2 610 000 k€

2 620 000 k€

2 630 000 k€

2015


ACTUARIS | 120

- La variation du montant des impôts différés entre les portefeuilles présentés dans la figure ci-dessous :

Figure 47 : impôts différés par portefeuille

Les impôts différés sont donc décroissants avec les fonds propres. En effet, les re-balancements

d’allocation des portefeuilles B, C, D et E induisent des réalisations de plus-values latentes. Ainsi, l’écart

entre la valeur de marché et la valeur comptable du portefeuille diminue. Cela induit moins d’impôts

différés au passif qui viennent augmenter les fonds propres économiques.

- Ratio de couverture

En dépit de SCR plus élevés que le SCR relatif à l’allocation initiale, les portefeuilles obtenus par Markowitz et

par les méthodes d’optimisation du surplus présentent un ratio de couverture assez élevé. Celui-ci correspond

au rapport entre les fonds propres économiques62 et le SCR. En effet, l’accroissement des fonds propres

économiques relatifs à ces portefeuilles compense l’augmentation de leurs SCR.

Figure 48 : variation du ratio de couverture entre les portefeuilles

62

Les fonds propres économique correspondent au fonds propres calculés sous Solvabilité II.


Impôts différés 32 812 966,30 31 701 750,62 29 741 472,43 29 541 853,05 26 986 455,59

0,00

5 000 000,00

10 000 000,00

15 000 000,00

20 000 000,00

25 000 000,00

30 000 000,00

35 000 000,00

158%

164%

157%

148%

144%

0 m€

50 m€

100 m€

150 m€

200 m€



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ACTUARIS | 121

Conclusion de la partie 3 5.

Dans cette partie, les méthodes de Markowitz, de Sharpe et Tint et de Talfi ont été mises en place pour un

régime de retraite par capitalisation à prestations définies. Les résultats obtenus permettent de constater que

les méthodes prenant en compte le passif, surperforment l’allocation initiale et celle de Markowitz, en termes

de surplus et de ratio de financement moyens.

De plus, l’allocation initiale affiche le SCR le plus faible. Cependant, les fonds propres économiques relatifs aux

autres portefeuilles sont plus élevés. De cette façon, le ratio de couverture reste tout de même assez élevé.

Les portefeuilles B et C affichent les ratios de couverture les plus élevés: 164% et 157% respectivement.

Finalement, le portefeuille B obtenu par la méthode de Markowitz induit le ratio de couverture le plus élevé et

surperforme l’allocation initiale en termes de surplus. Le portefeuille C obtenu par Sharpe et Tint permet

d’afficher un surplus encore plus élevée que pour le portefeuille B pour une couverture inchangée. Quant aux

portefeuilles obtenus par la méthode de Talfi D et E, ils induisent les surplus les plus élevés. Cependant, cette

performance a un coût en termes de couverture qui diminue de 10% et 14% respectivement.

Le choix de la méthode utilisée ainsi que les hypothèses retenues pour chacune d'elles sont donc

prépondérant. Une aversion au risque importante entraînera, en moyenne, un surplus plus important mais se

traduira par un coût en capital plus élevé.

Par ailleurs, le taux de revalorisation semble dépendre fortement de la part d’actions et d’immobilier détenues

dans le portefeuille. Ainsi, le portefeuille obtenu par la méthode de Talfi avec une tolérance de 20% est le plus

performant à ce niveau à long terme. Par ailleurs, le choix d’investir plus de 15% du portefeuille dans

la classe immobilier permet aux méthodes d’optimisation du surplus de surperformer l’allocation initiale à

long terme en termes de revalorisation des prestations.

2015


ACTUARIS | 122

Conclusion générale

Pour définir leur allocation stratégique, les régimes de retraite se sont longtemps appuyés sur l’expérience. Or,

l’allocation stratégique, dans l’environnement réglementaire et économique actuels, exige une maitrise

mathématique de plus en plus poussée. L’objectif de ce mémoire a été d’apporter des éléments de réponse à

cette exigence par l’étude et l’application de modèles d’optimisation basés sur le surplus.

Dans ce cadre, le modèle de Sharpe et Tint, de par sa similitude avec Markowitz, reste relativement simple à

implémenter et à appréhender. D’ailleurs, pour une configuration donnée de ses paramètres, le cas de

Markowitz est retrouvé. Néanmoins, il ne tient pas compte des caractéristiques pouvant être propres à une

classe d’actifs donnée (comme la duration pour une obligation par exemple). Le modèle de Leibowitz se

différencie ainsi du modèle de Sharpe et tint car il permet non seulement de déterminer la proportion

d’actions à détenir dans le portefeuille mais également la duration optimale de la composante obligataire à

détenir. Cependant, ce modèle se restreint à un portefeuille composé d’une action et d’une composante

obligataire. Ceci le rend difficilement adaptable en pratique. Enfin, le modèle de Talfi est un mélange des

méthodes de Sharpe et Tint et de Leibowitz. Il y ajoute une notion d’horizon de temps et de tolérance au

risque. Dans le cadre de ce mémoire, ses travaux ont de plus été prolongés de façon à ce que ce modèle soit

applicable à un portefeuille composé de plus de deux classes d’actifs.

L’application des méthodes retenues permet d’obtenir des résultats concluants : Le portefeuille obtenu par la

méthode de Markowitz induit le ratio de couverture le plus élevé et surperforme l’allocation initiale du régime

en termes de surplus. Le portefeuille obtenu par Sharpe et Tint permet d’afficher un surplus encore plus élevé

que Markowitz pour une couverture du SCR inchangée. Quant à la méthode de Talfi, elle induit le surplus le

plus élevé. Cependant, cette performance a un coût en termes de couverture du SCR qui diminue de 10% et

14% respectivement par rapport à l’allocation initiale. Le choix de la méthode utilisée ainsi que les hypothèses

retenues pour chacune d'elles sont donc prépondérant. Une aversion au risque importante entraînera, en

moyenne, un surplus plus important mais se traduira par un coût en capital plus élevé.

Il est néanmoins important de prendre connaissance des limites des hypothèses prises en compte pour leur

application. En effet, différents tests de sensibilité ont été mis en place dans la seconde partie de ce mémoire

pour mesurer l’impact du changement de certaines variables d’entrée sur les résultats produits. Les résultats

obtenus indiquent une sensibilité significative à certains paramètres. Par conséquent, une attention

particulière doit être donnée aux hypothèses de départ et à leur calibrage. En effet, aucune hypothèse n’est

résolument sûre dans les conjonctures actuelles : taux bas, allongement de l’espérance de vie, etc.

Par ailleurs, bien que ces modèles intègrent le passif dans leur modélisation, ils ne permettent pas

d’appréhender tous les aléas possibles et tous les facteurs pouvant influer sur les choix d’investissement.

L’aspect mono-périodique qui caractérise ces modèles limite leur capacité à anticiper les perspectives

d’évolution des différentes variables financières et économiques, en particulier sur le long terme. En effet,

l’allocation optimale est définie en fonction de l’évolution des actifs entre un instant initial et un instant final.

Cette évolution est modélisée par des rendements distribués selon une loi normale.

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ACTUARIS | 123

Lorsque la durée entre l’instant initial et l’instant final est courte (1 an par exemple), cette hypothèse peut être

plausible. Cependant, dès que cette durée devient importante, les aléas pouvant survenir entre l’instant initial

et final (baisse de performance, exigence ponctuelle de liquidité,..) ne sont pas proprement pris en compte.

Pour remédier à ce problème, FALEH A. dans sa thèse en 2012 développe une stratégie dite « Fixed-Mix » qui

permet de déterminer une allocation statique constante en fonction des évolutions stochastiques (prise en

compte de tous les scenarios économique possibles) des différentes classes d’actifs. Cependant, les difficultés

rencontrées lors de la mise en place de cette stratégie l’ont mené à se pencher sur les aspects d’optimisation

numérique. Le point de départ étant son constat d’un temps de calcul significatif dû simultanément à un

nombre élevé de scénarios économiques générés et à un nombre d’allocations d’actifs testées également

élevé.

Enfin, la plupart de ces méthodes définissent l’optimalité d’un portefeuille comme étant sa capacité à

minimiser la volatilité (du portefeuille ou du surplus) pour un rendement donné. Or, l’optimalité peut être vu

sous un angle différent. Il est notamment possible de minimiser d’autres critères tels que la Value at Risk ou la

probabilité de ruine. Cependant, bien que ces modèles mis en place présentent certaines limites, ils

constituent un socle solide pour des développements futurs.

2015


ACTUARIS | 124

Annexes

Annexe 1: bilans simplifiés S1 et S2 : portefeuille A

Bilan simplifié en norme Solvabilité 1 (en K€)

ACTIFS PASSIFS

VC 2 322 096 279 Fonds propres 35 070 146

Trésorerie 145 455 243 PT euros 2 448 623 336 Autres actifs 19 407 687 Dettes & Autres provisions 3 265 728

TOTAL 2 486 959 209 TOTAL 2 486 959 209


ACTIFS PASSIFS

Placement Euros 2 604 415 403 Fonds propres de base 100 826 324

Best Estimate Euros 2 623 771 364

Trésorerie 145 455 243 Risk margin 8 601 951

Impots différés 32 812 966 Autres actifs 19 407 687 Autres dettes 3 265 728

TOTAL 2 769 278 333 TOTAL 2 769 278 333

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ACTUARIS | 125

Annexe 2: bilans simplifiés S1 et S2 : portefeuille B


ACTIFS PASSIFS

VC 2 443 959 817 Fonds propres 79 631 286

Trésorerie 80 057 154 PT euros 2 459 800 640

Autres actifs 19 407 687 Dettes & Autres provisions 3 992 732

TOTAL 2 543 424 659 TOTAL 2 543 424 659


ACTIFS PASSIFS




Impots différés 31 701 751

Autres actifs 19 407 687 Autres dettes 3 992 732

TOTAL 2 769 278 333 TOTAL 2 769 278 333

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ACTUARIS | 126

Annexe 3: bilans simplifiés S1 et S2 : portefeuille C


ACTIFS PASSIFS

VC 2 421 968 149 Fonds propres 92 998 423


Autres actifs 19 407 687 Dettes & Autres

provisions 3 833 927

TOTAL 2 554 191 438 TOTAL 2 554 191 438


ACTIFS PASSIFS




Impots différés 29 741 472

Autres actifs 19 407 687 Autres dettes 3 833 927

TOTAL 2 769 278 333 TOTAL 2 769 278 333

2015


ACTUARIS | 127

Annexe 4: bilans simplifiés S1 et S2 : portefeuille D


ACTIFS PASSIFS

VC 2 502 632 932 Fonds propres 90 643 971




TOTAL 2 542 040 619 TOTAL 2 542 040 619


ACTIFS PASSIFS





TOTAL 2 769 278 333 TOTAL 2 769 278 333

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ACTUARIS | 128

Annexe 5: bilans simplifiés S1 et S2 : portefeuille E


ACTIFS PASSIFS

VC 2 513 599 117 Fonds propres 104 031 884




TOTAL 2 553 006 805 TOTAL 2 553 006 805


ACTIFS PASSIFS





TOTAL 2 769 278 333 TOTAL 2 769 278 333

2015


ACTUARIS | 129

Annexe 6: plus-values latentes relatives aux classe « actions » et « alternatives »

C

Plus-value latente relative aux classes alternatives par portefeuille

0

10 000 000

20 000 000

30 000 000

40 000 000

50 000 000

60 000 000

2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025


0

5 000 000

10 000 000

15 000 000

20 000 000

25 000 000

30 000 000

2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 2026


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ACTUARIS | 130

Index des graphiques

Figure 1 : investissements des sociétés françaises d’assurance en 2012______________________________________________ 27

Figure 2 : formule standard sous Solvabilité II __________________________________________________________________ 29

Figure 3 : frontière efficiente de Markowitz ____________________________________________________________________ 45

Figure 4 : sensibilité de la frontière efficiente de Markowitz à un choc de volatilité ____________________________________ 46

Figure 5 : sensibilité de frontière efficiente de Markowiz à un choc positif de la corrélation entre les actifs _________________ 47

Figure 6 : frontière efficiente de Sharpe et Tint _________________________________________________________________ 55

Figure 7 : frontière efficiente de Sharpe et Tint dans le cas d’une couverture parfaite du passif par le portefeuille de variance du

surplus minimale _________________________________________________________________________________________ 56

Figure 8 : frontière efficient (en bleu) de Sharpe et Tint représentée avec la contrainte de déficit (en noir) __________________ 58

Figure 9 : sensibilité de la frontière efficiente de Sharpe et Tint à une hausse de la croissance du passif ____________________ 59

Figure 10 : sensibilité à une hausse de la corrélation des actifs avec le passif _________________________________________ 60

Figure 11 : sensibilité à une variation du ratio de financement initial________________________________________________ 61

Figure 12 : résolution graphique du programme de Leibowitz _____________________________________________________ 67

Figure 13 : sensibilité à une variation de la volatilité de l’action ____________________________________________________ 69

Figure 14 : sensibilité à une variation du ratio de financement ____________________________________________________ 70

Figure 15 : sensibilité à une variation des seuils de probabilité de déficit ____________________________________________ 71

Figure 16 : sensibilité à une variation des seuils u et u’ ___________________________________________________________ 72

Figure 17 : sensibilité à une variation de la corrélation entre l’actif obligataire et l’actif risqué ___________________________ 73

Figure 18 : poids de l’actif risqué en fonction du poids du passif m ( 1er Cas) – Talfi ____________________________________ 83

Figure 19 : poids de l’actif risqué en fonction du poids du passif m (2ème Cas) - Talfi ____________________________________ 83

Figure 20 : volatilité du du surplus associée au portefeuille optimal en fonction du poids du passif (Talfi) __________________ 84

Figure 21 : probabilité de déficit associée au portefeuille optimal en fonction du poids du passif (Talfi) ____________________ 85

Figure 22 : poids optimal de l’actif risqué en fonction du ratio de financement initial ___________________________________ 86

Figure 23 : évolution de la chronique de décaissement du régime étudié_____________________________________________ 92

Figure 24 : répartition de l’actif du régime entre les différentes classes au 31/12/2014 _________________________________ 93

Figure 25 : courbe des taux zéro coupon au 31 décembre 2014 ____________________________________________________ 94

Figure 26 : méthodes de Markowitz et Sharpe et Tint - comparaison des allocations obtenues, sans contraintes d’investissement

______________________________________________________________________________________________________ 100

Figure 27 : allocations optimales par la méthode de Talfi, sans contraintes d’investissement, pour une tolérance au risque de

10% __________________________________________________________________________________________________ 105

Figure 28 : module de gestion actif-passif du régime étudié ______________________________________________________ 108

Figure 29 : taux de revalorisation : participation aux bénéfices/provisions techniques _________________________________ 111

Figure 30 : proportion d’actions par portefeuille _______________________________________________________________ 112

Figure 31 : produits de placements financiers par portefeuille ____________________________________________________ 112

Figure 32 : évolution de la plus-value latente par portefeuille ____________________________________________________ 113

Figure 33 : plus-value latente relative à la classe « Obligations d’entreprises ________________________________________ 113

Figure 34 : plus-value latente relative à la classe « immobilier » __________________________________________________ 114

Figure 35 : valeur de marché dans 10 ans par portefeuille _______________________________________________________ 114

Figure 36 : part d’actifs risqués et de produits de taux par portefeuille _____________________________________________ 114

Figure 37 : provisions mathématiques dans 10 ans par portefeuille ________________________________________________ 115

Figure 38 : taux de revalorisation cumulé sur 10 ans par portefeuille ______________________________________________ 115

Figure 39 : évolution du surplus : Valeur de marché - Provisions techniques _________________________________________ 115

Figure 40 : évolution du ratio de financement : Valeur de marché/Provisions techniques _______________________________ 116

Figure 41 : modules de risques retenus (en bleu) pour le calcul du SCR _____________________________________________ 117

Figure 42 : décomposition du SCR par module de risque, par portefeuille ___________________________________________ 117

Figure 43 : décomposition du SCR de marché par sous-module de risque ___________________________________________ 118

Figure 44 : proportions des différentes classes d’actifs par portefeuille _____________________________________________ 118

Figure 45 : fonds propres économiques par portefeuille _________________________________________________________ 119

Figure 46 : best estimate par portefeuille _____________________________________________________________________ 119

Figure 47 : impôts différés par portefeuille ___________________________________________________________________ 120

Figure 48 : variation du ratio de couverture entre les portefeuilles ________________________________________________ 120

2015


ACTUARIS | 131

Index des équations

Équation 1 : programme d’Optimisation de Markowitz ......................................................................................................... 41

Équation 2 : solution du programme d’optimisation de Markowitz ....................................................................................... 43

Équation 3 : expression du rendement du surplus dans le modèle de Sharpe et Tint ............................................................. 49

Équation 4 : programme d’optimisation de Sharpe et Tint .................................................................................................... 51

Équation 5 : solution du problème de Sharpe et Tint .............................................................................................................. 53

Équation 6 : contrainte sur le rendement du surplus de Leibowitz ......................................................................................... 64

Équation 7 : équation de la frontière de la contrainte sur le rendement du surplus sur le plan (RPf , σpf) .............................. 66

Équation 8 : expression de la contrainte sur le rendement du portefeuille d’actifs ............................................................... 66

Équation 9 : équation de la frontière de la contrainte sur le rendement du portefeuille sur le plan (RPf , σpf) ....................... 66

Équation 10 : programme d’optimisation de Leibowitz.......................................................................................................... 66

Équation 11 : expression de la part d’action optimale à détenir selon le modèle de Leibowitz ............................................. 67

Équation 12 : expression de la volatilité optimale de l’obligation à détenir selon Leibowitz ................................................. 68

Équation 13 : expression du rendement du portefeuille d’actifs à l’horizon H dans le modèle de Talfi ................................. 76

Équation 14 : programme d’optimisation de Talfi .................................................................................................................. 79

Équation 15 : solution du programme d’optimisation de Talfi à deux actifs .......................................................................... 79

Équation 16 : solution du programme d’optimisation de Talfi en présence de n>2 actifs risqués ......................................... 88

2015


ACTUARIS | 132

Index des tableaux

Tableau 1 : caractéristiques de l’actif du régime .............................................................................................................................. 93

Tableau 2 : tableau récapitulatif des rendements et des volatilités des classes d’actifs du régime étudié ...................................... 94

Tableau 3 : matrice des corrélations entre les classes d’actifs retenue ............................................................................................ 96

Tableau 4 : contraintes réglementaires issues du Code de la Mutualité .......................................................................................... 96

Tableau 5 : contraintes d’investissement retenues ........................................................................................................................... 97

Tableau 6 : allocations obtenues par la méthode de Markowitz, sans contraintes d’investissement, avec un rendement minimum

égal au rendement du portefeuille initial ......................................................................................................................................... 97

Tableau 7 : allocations obtenues par la méthode de Markowitz, sans contraintes d’investissement, avec un rendement minimum

supérieur au rendement du portefeuille initial ................................................................................................................................. 98

Tableau 8 : allocations obtenues par la méthode de Markowitz, avec contraintes d’investissement .............................................. 98

Tableau 9 : allocations obtenues par la méthode de Sharpe et Tint, sans contraintes d’investissement ....................................... 100

Tableau 10 : allocations obtenues par la méthode de Sharpe et Tint, avec contraintes d’investissement, avec un rendement

minimum égal au rendement du portefeuille initial ....................................................................................................................... 101

Tableau 11 : allocations obtenues par la méthode de Sharpe et Tint, avec contraintes d’investissement, avec un rendement

minimum supérieur au rendement du portefeuille initial ............................................................................................................... 102

Tableau 12 : allocations obtenues par la méthode de Talfi, sans contraintes d’investissement .................................................... 105

Tableau 13 : allocations obtenues par la méthode de Talfi, avec contraintes d’investissement .................................................... 106

Tableau 14 : caractéristiques des portefeuilles retenus .................................................................................................................. 107

Tableau 15 : tableau récapitulatif des modèles financiers retenus pour chaque classe d’actif ...................................................... 110

Tableau 16 : tableau récapitulatif des sources de calibrage des modèles financiers selon l’univers considéré et de leurs utilisations

........................................................................................................................................................................................................ 111

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