AN 4 Fonctions continues · Les mathématiciens considéraient implicitement que toutes les fonctions « déﬁnies par une seule formule » qu’ils étudiaient ... limites, la valeur

AN 4 Fonctions continues

Étude locale et globale des fonctions continues.

4 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Continuité ponctuelle et continuité globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1 Continuité en un point, sur une partie deR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Critère séquentiel de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Opérations sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Image continue d’un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1 Théorème des valeurs intermédiaires et théorème de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Fonctions continues strictement monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Continuité d’une bijection réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 La norme infinie sur C 0([a,b],R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Extension aux fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Toutes les figures sont mensongères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.1 La réalité d’une fonction continue est inaccessible à l’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . 74.2 Construction d’un « monstre » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5 Solutions des tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

PCSI 2 \ 2019-2020 Laurent Kaczmarek

L A notion même de continuité, qui est une évolution de celle de limite, est elle aussi appa-rue de manière tardive, vers le début du XIXe siècle. Pour Euler par exemple, le sens du mot« continu » n’était pas le même que celui qu’il recouvre de nos jours, et qui va faire l’objet du

présent chapitre. En effet, pour Euler, une fonction continue était une fonction définie par une seuleexpression « analytique ».

Leonhard Euler (1707-1783)

Ainsi, la fonction définie sur R par f (x) = x si x É 0 et f (x) = 2xsi x > 0 n’était pas une fonction continue pour Euler, puisqu’ellenécessite pour la définir deux expressions analytiques, alors qu’ellele sera pour nous.

Au sens moderne et actuel, une fonction continue sur un inter-valle est une fonction dont le graphe n’est pas « déchiré » en plu-sieurs morceaux; alors que pour Euler, c’était l’expression de défi-nition qui ne devait pas être constituée de plusieurs morceaux dis-tincts. Les mathématiciens considéraient implicitement que toutesles fonctions « définies par une seule formule » qu’ils étudiaientétaient « continues », ou à tout le moins ils ne se posaient pas com-plètement la question de la continuité au sens où nous la connais-sons aujourd’hui.

C’est à Cauchy, Bolzano et Weierstrass que l’on doit la rigueur des définitions et des preuves en cedomaine, permettant ainsi d’asseoir l’analyse sur des bases solides et cohérentes.

Voici comment Cauchy présente la continuité des fonctions dans son Analyse algébrique de 1821 :« Soit f (x) une fonction de la variable x, et supposons que, pourchaque valeur de x intermédiaire entre deux limites données,cette fonction admette constamment une valeur unique et fi-nie. Si, en partant d’une valeur de x comprise entre ces limites,on attribue à la variable x un accroissement infiniment petit α,la fonction elle-même recevra pour accroissement la différencef (x +α)− f (x), qui dépendra en même temps de la nouvelle va-riable α et de la valeur de x. Cela posé, la fonction f (x) sera, entreles deux limites assignées à la variable x, fonction continue decette variable, si, pour chaque valeur de x intermédiaire entre ceslimites, la valeur numérique de la différence f (x+α)− f (x) décroîtindéfiniment avec celle de α. » Cauchy (1789-1857)

On mesure la difficulté de donner un sens précis à ce type de définition. De plus, la distinction entrece que nous allons appeler la continuité et la continuité uniforme n’apparaît pas clairement dans cetexte de Cauchy.

Bolzano (1781-1848)

De même, la notion de dérivabilité n’était pas encore à cette époque com-plètement dissociée de celle de continuité.

L’un des théorèmes remarquables sur les fonctions continues est celuides valeurs intermédiaires. Stevin l’utilisa, sans le prouver, pour appro-cher les racines d’un polynôme. La preuve complète et rigoureuse de cerésultat revient à Bolzano, qui rejetait les démonstrations fondées sur la« géométrie » et la « mécanique », parce qu’il les jugeait insuffisantes (demême que celles qui montraient ainsi la possibilité de décomposer toutpolynôme à coefficients réels en produit de termes du premier ou du se-cond degré à coefficients réels).

LLG \ PCSI 2 AN 4 \ 2


C’est finalement à Weierstrass que l’on doit la définition formelle des no-tions de limite et de continuité, en termes de ε et de α, que nous utilisonsaujourd’hui :

Wir nennen dabei eine Grösse y eine stetige Function von x, wenn mannach Annahme einer Grösse ε die Existenz von δ beweisen kann, sodasszu jedem Wert zwischen x0 −δ . . . x0 +δ des Zugehörige Wert von y zwi-schen y0 −ε . . . y0 +ε liegt.

Ci-contre, le mathématicien berlinois Karl Wilheim Weierstrass (1815-1897). Partant d’une preuve incomplète de Bolzano, il prouva que l’imaged’un segment par une fonction continue est un segment.

1. Continuité ponctuelle et continuité globale

D’un pont de vue heuristique, une fonction continue sur un intervalle est une fonction dont le graphen’est pas « déchiré » en plusieurs morceaux.

1.1. Continuité en un point, sur une partie deR

Définition 4.1. Continuité ponctuelle, continuité locale

Soient A une partie deR, f : A →R et a ∈ A.

. On dit que f est continue au point a si f (x) −−−→x→a

f (a).

. Si a est adhérent à A∩ ]−∞, a[, on dit que f est continue à gauche au point a si f (x) −−−−−→x → ax < a

f (a).

. Si a est adhérent à A∩]a,+∞[, on dit que f est continue à droite au point a si f (x) −−−−−→x → ax > a

f (a).

. La fonction f est dite continue sur A si elle est continue en tout point de A.

Exemple 4.2.Valeur absolue et fonction de Heaviside. Une fonction f : A →R est dite lipschitzienne si ∃k ∈R+,∀(x, y) ∈ A2,

∣∣ f (x)− f (y)∣∣É k|x − y |. Toute fonction lipschitzienne est continue. Réciproque ?

Proposition 4.3. (Continuité vs. continuités latérales)Soient f : A →R et a un point intérieur de A. Une fonction est continue en a si et seulement si elleest continue à gauche et à droite au point a.

Exemple 4.4. Continuité latérale.Soit f (t ) = btc+ (t −btc)2. En quels points f est-elle continue ? Tracer son graphe.

Tests

4.1. Écrire sous forme quantifiée la proposition « f n’est pas continue en a ».



Proposition 4.5. (Prolongement par continuité)Soient A une partie de R, a ∈ A et f : A \ {a} → R admettant une limite ` ∈ R en a. La fonction fprolongée à A en posant f (a) := ` est continue en a.

Exemple 4.6. Le sinus du topologue.

1.2. Critère séquentiel de continuité

Proposition 4.7. (Critère séquentiel pour la continuité ponctuelle)

Soit A ⊂R, f : A →R, a ∈ A; f est cont. en a ⇐⇒ ∀(an) ∈ AN, an −−−−−→n→+∞ a =⇒ f (an) −−−−−→

n→+∞ f (a).

Exemple 4.8. Deux applications classiques.Suites récurrentes et équation fonctionnelle ∀(x, y) ∈R2, f (x + y) = f (x)+ f (y) avec f continue.

1.3. Opérations sur les fonctions continues

Proposition 4.9. (Opérations)a) Soient A ⊂R, λ ∈R, u : A →R et v : A →R continues. Les fonctions u +λv et uv sont continues,et, si v ne s’annule pas sur A, alors les fonctions 1/v et u/v sont continues.

b) Soient A ⊂R et B ⊂R. Pour f : A →R et g : B →R continues telles que f (A) ⊂ B, g◦ f est continue.

Tests

4.2. Soient f , g : A ⊂R et continues. Montrer que max( f , g ) et min( f , g ) sont continues sur A.

2. Image continue d’un intervalle

2.1. Théorème des valeurs intermédiaires et théorème de Weierstrass

Théorème 4.10. (Théorème des valeurs intermédiaires)Si f : I →R est une fonction continue définie sur un intervalle I, alors f (I) est un intervalle.

f ( [a,b[ ) = [c,d ] f ( ]a,b[ ) = [c,d [ f ( ]a,b[ ) = [c,d ]



De manière équivalente : si f prend deux valeurs y1 É y2 sur I, alors elle prend sur I toutes les valeursde l’intervalle [y1, y2]. L’image f (I) est un intervalle mais de nature différente de I en général :

Exemple 4.11.Fonction C 0 sur un intervalle et ne s’annulant pas ; f ∈C 0([a,b], [a,b]) =⇒ f admet un point fixe.

Théorème 4.12. (Image continue d’un segment, Weierstrass)Soit (a,b) ∈R2 tel que a É b. Si f ∈C 0([a,b],R), alors ∃(c,d) ∈R2, f ([a,b]) = [c,d ].

a

b

d

c

y = f (x)

Autrement dit, l’image d’un segment par unefonction continue est un segment.

En particulier, une fonction continue sur unsegment est bornée et atteint ses bornes supé-rieure et inférieure (ie admet un maximum etun minimum). Soient I un intervalle, (a,b) ∈ I2

tels que a < b et f : I → R la fonction conti-nue dont le graphe est esquissé ci-contre. PourO =]a,b[, I = [a,b[, J =]a,b] et S = [a,b],

f (J) = f (S) = [c,d ], f (O) = f (I) =]c,d ]

Exemple 4.13. Une application du TVITout polynôme de degré impair à coefficients réels possède au moins une racine réelle.

Tests

4.3. Soit f ∈C 0(I,R) où I est un segment tel que I ⊂ f (I). Montrer qu’il existe t0 ∈ I tel que f (t0) = t0.

2.2. Fonctions continues strictement monotones

Proposition 4.14. Continuité et bijectivité, corollaire du TVISoit a et b des réels tels que a < b, et f : [a,b] → R une fonction continue. Si f est strictementmonotone sur [a,b], alors f réalise une bijection de [a,b] sur l’intervalle [ f (a), f (b)].

On adapte ce résultat aux autres types d’inter-valle. Par exemple, si f : [a,b[→R est continueet strictement croissante sur [a,b[, alors f réa-lise une bijection de [a,b[ sur [ f (a),`[ où

` := limx→bx<b

f (x)

de bijection réciproque f −1 : [ f (a),`[→ [a,b[strictement croissante sur [ f (a),`[. L’injectivitéest une conséquence de la stricte monotonie etla surjectivité est assurée par le TVI.

a b

f (b)

f (a)

y = f (x)



2.3. Continuité d’une bijection réciproque

On rappelle les propriétés géométriques liées à la bijectivité.

Soit f : I → J une bijection continue.

Comme les graphes de f et de sa réciproque f −1 sont symétriquespar rapport à la première bissectrice (voir la figure ci-contre), lacontinuité de f entraîne celle de f −1.

u

vu

v

f

f −1

Lemme 4.15.Une fonction continue et injective sur un intervalle est strictement monotone.

Proposition 4.16. (Continuité d’une bijection réciproque sur un intervalle)

Soit I un intervalle deR. Si f : I → f (I) est bijective et continue, alors f −1 : f (I) → I est continue.

2.4. La norme infinie sur C 0([a,b],R)

Définition 4.17. Norme infinie

Soient a et b deux réels tels que a É b. Pour f ∈C 0([a,b],R), on pose ‖ f ‖∞ = supt∈[a,b]

∣∣ f (t )∣∣.

C’est bien-sûr le théorème de Weierstrass (image continue d’un segment) qui justifie l’existence decette borne supérieure.

Proposition 4.18. Propriétés de la norme infiniePour f , g : [a,b] →R continues et tout λ ∈R, a) ‖λ f ‖∞ = |λ|‖ f ‖∞ ; b) ‖ f + g‖∞ É ‖ f ‖∞+‖g‖∞.

La propriété b) est appelée inégalité triangulaire. De la définition de la norme découle la notion dedistance d( f , g ) := ‖ f − g‖∞ qui généralise la notion bien connue en géométrie.

Tests

4.4. Calculer la norme infinie sur [0,1] de f : x 7→ x(1−x) sans recourir à la dérivation.

3. Extension aux fonctions à valeurs complexes

On étend la notion de limite aux fonctions à valeurs complexes en reprenant mot pour mot la défini-tion et en considérant le module à place de la valeur absolue.

Proposition 4.19. Continuité ponctuelle, continuité globaleSoit A une partie deR. Soit t0 ∈ A. Une fonction f : A →C est continue en t0 si et seulement si Re( f )et Im( f ) sont continues en t0.

Les résultats sur les opérations s’étendent sans peine à ce cadre.

4. Toutes les figures sont mensongères

Ce bref paragraphe a pour objectif de mettre en garde le lecteur contre l’intuition géométrique.



4.1. La réalité d’une fonction continue est inaccessible à l’expérience

Les seuls graphes traçables à la main par un être humain sont très particuliers et ne reflètent en rience que peut être une fonction continue : nous sommes limités à produire des bouts de graphe defonctions de classe C 2 monotones séparés par d’éventuels accidents en nombre fini (dicontinuité,non dérivabilité, etc). Une fonction continue peut s’avérer extrêmement irrégulière et il est dangereuxde raisonner à partir d’une figure. À titre d’exemple, citons quelques « monstres » :

. Il existe des fonctions continues partout mais nulle part dérivables.

. Il existe des fonctions continues mais monotones sur aucun sous intervalle de leur ensemble dedéfinition.

. Il existe des fonctions continues positives s’annulant en 0 mais croissante sur aucun voisinage àdroite de 0.

La liste est bien longue, nous traiterons quelques exemples en TD. Dans certains cas, ces monstres nesont pas faciles à construire et nécessitent l’utilisation des séries.

En résumé, nous encourageons le lecteur a dessiner le plus possible mais à passer au feu de la rigueuret la démonstration ses intuitions géométriques.

4.2. Construction d’un « monstre »

Nous allons construire une fonction continue sur R, nulle part dérivable et monotone sur aucun in-tervalle. On part d’une fonction φ :R→R périodique :

φ est 2-périodique et ∀x ∈ [0,2[, φ(x) ={

x si x ∈ [0,1[

2−x si x ∈ [1,2[

On prouve sans peine que φ est continue surR :

Pour tout réel x, on pose

f (x) =+∞∑n=0

(3

4

)n

φ(4n x

)L’idée est la suivante : superposer les fonctionsdéfinies par x 7→ cnφ (4n x) afin d’obtenir unefonction très irrégulière. En jouant sur le coeffi-cient cn , on pourra obtenir une fonction conti-nue. Cf. ci-contre et ci-dessous les graphes dessommes partielles fk pour k ∈ �0,4�.

Tous les tracés ont été réalisés au moyen desmodules pylab et numpy de Python.



On peut montrer que f est continue surR, nulle part dérivable et n’est monotone sur aucun intervalle.C’est le programme de deuxième année qui vous permettra de justifier ces résultats.



5. Solutions des tests

4.1. La continuité de f en a s’écrit ∀ε> 0,∃α> 0, ∀x ∈D ∩ [a −α, a +α],

∣∣ f (x)− f (a)∣∣É ε.

Il suffi de prendre la négation : ∃ε> 0, ∀α> 0,∃x ∈D ∩ [a −α, a +α],

∣∣ f (x)− f (a)∣∣> ε.

4.2. Il suffit d’utiliser les formulesmax( f , g ) = f + g +| f − g |

2

min( f , g ) = f + g −| f − g |2

et d’appliquer les théorèmes sur les opérationsentre fonctions continues.

4.3. Posons I = [a,b] et notons g l’applicationg (t ) = f (t )− t . De l’inclusion I ⊂ f (I), on déduitl’existence de c et d appartenant à [a,b] telsque f (c) = a et f (d) = b. Nous avonsg (c) = f (c)− c = a − c É 0 etg (d) = f (d)−d = b−d Ê 0. D’après le théorèmedes valeurs intermédiaires, il existe t0 ∈ [c,d ] telque g (t0) = 0, c’est-à-dire f (t0) = t0.

4.4. On a, ∀x ∈ [0,1],

f (x) = 1

4−

(x − 1

2

)2

É 1

4= f

(1

2

)

ainsi ‖ f ‖∞ = 1

2.


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