La math matique des drapeaux - SBPM · 2015. 8. 31. · Pantone 485, soit 100% de magenta et 100% de jaune. Les dimensions de la croix sont également déﬁnies : un décret datant

La mathématique des drapeaux

Van Geet Patricia

Congrès SBPMef

Mardi 25 Août 2015

Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux

Introduction

Lors d’un concours radiophonique, la question suivante aété posée : Tous les drapeaux européens sont-ils

rectangles ?

Réponse donnée : oui

Réponse attendue : non, deux drapeaux sont carrés, celuide la Suisse et celui du Vatican.

Réponse du mathématicien oui, car un carré est unrectangle !


Introduction


rectangles ?





Introduction


rectangles ?





Introduction


rectangles ?



Réponse du mathématicien : oui, car un carré est unrectangle !


Contexte

Lors d’une surveillance, un seul livre se trouve sur monbureau : le dictionnaire . . .

L’heure d’activités mathématiques en 1C . . .

Le thème du Congrès : les mathématiques européennes . . .

Le projet était né !


Contexte






Contexte






Contexte






Drapeaux à lignes

Consigne donnée aux élèves :

« Dessine le drapeau d’un de ces pays : Espagne, Lettonie,Estonie, Lituanie ». (Drapeaux à lignes horizontales)

Les élèves ont accès à Internet.


Drapeaux à lignes

Les élèves ont été attentifs aux dessins et aux couleurs . . .Aucun d’entre eux ne s’est arrêté à l’information de type« 3 : 5 », c’est-à-dire le rapport entre le guidant soit la largeurdu drapeau et le battant soit la longueur du drapeau.


Drapeaux à lignes

Nouvelle consigne :Dessine le drapeau de l’Espagne, la Lettonie, l’Estonie ou laLituanie (sans les armoiries)

le plus grand possible, sur une feuille A4 (21 cm/29 cm)

en respectant les rapports de chaque drapeau


Drapeaux à lignes :Espagne

En 1981, le drapeau espagnolreprend son ancien dessin, di-visé en trois bandes horizon-tales rouge, jaune, rouge. Labande jaune, aussi haute queles deux rouges réunies, porteles armoiries d’Espagne ducôté du hissant.


Drapeaux à lignes : Espagne

CADRE (2 : 3)

Proposition des élèves :l = 20 cm et L = 30 cm OU l = 18 cm et L = 27 cm

☞ Et entre les deux ?l = 19 cm et L = 19 + 9,5 = 28, 5 cm

☞ Et si l = 19,5 cm ?L = 19,5 + 9,75 = 29,25 cm

Dimensions gardées : l = 19 cm et L = 28,5 cm


Drapeaux à lignes : Espagne

TRACÉS INTÉRIEURSComment placer 1/2 entre 1/4 et 1/4 ?Solutions proposées :

par pliage

par division de 19 cm par 4 soit 4,75 cm

en dessinant les bandes extérieures de 1/4 soit 4,75 cm

☞ Comment mesurer 4,75 cm ?

☞ Constructions successives de deux médiatrices


Drapeaux à lignes :Lettonie

La couleur rouge du drapeaude la Lettonie est d’un tonsombre particulier, qui estconnu sous le nom de « rougeletton » dans le monde en-tier. Les couleurs du drapeausont disposées dans les pro-portions suivantes : 2 : 1 : 2

(les bandes rouges supérieures et inférieures sont toujours deuxfois plus larges que la bande blanche du milieu), et lacorrélation entre la largeur et la longueur du drapeau est de1 : 2.


Drapeaux à lignes : Lettonie

CADRE (1 : 2)Proposition des élèves :l = 14,5 cm et L = 29 cm

TRACÉS INTÉRIEURSComprendre que 2 : 1 : 2 signifie respectivement 2/5, 1/5 et2/5 de la largeur.Il reste à partager 14,5 cm en 5 parts égales. . .

☞ Diviser un segment par Thalès


Drapeaux à lignes : Estonie

Le drapeau national de l’Es-tonie est composé de troisbandes horizontales égales :de haut en bas, bleu, noir etblanc. La taille normale dudrapeau est de 105×165 cm.

Quel est le rapport l/L ?



CADREBesoin de passer par la proportionnalité

l 105 7 21 ?L 165 11 33 29

La longueur de 33 cm n’est pas acceptable. La recherche de K,coefficient de proportionnalité, permet de trouver la largeurcorrespondant à une longueur de 29 cm, soit 18,4545. . .

Les mesures gardées sont : l = 18,5 cm et L = 29 cm



TRACÉS INTÉRIEURS : Trisection d’une diagonale (1)☞ Pour partager un segment de 18,5 cm en 3 parts égales,commençons par partager la diagonale d’un rectangle en 3parts égales. |BN| vaut la moitié de |ND| donc le tiers de |BD|.

b b

bb

b

b

A B

CD

M

N

// //



☞ Reste à adapter cette technique au côté de 18,5 cm. . .

A B

CD

E A B

CD

E

G

H

F F

I


Trisection d’un segment

Trisection d’un segment (2)

//

b

b

A

B



//

b

b

A

B

CD b

//

//

//

////

//



//

b

b

A

B

CD bD b

Eb

//

//

//

////

//



//

b

b

A

B

CD b

Eb

b O

//

//

//

////

//



//

b

b

A

B

CD b

Eb

b O

//

//

//

////

//

Dans cette figure se trouvent deux triangles semblables OCAet OEB ainsi qu’une configuration de Thalès. On peut déduireque OA

OB= OC

OE= AC

BE= 1

2



Trisection d’un segment (3)Le centre de gravité d’un triangle (médianes) partage chaquemédiane en deux segments de rapport 1

2

Trace un segment [AB], segment que l’on va trisecter.Place un point O n’appartenant pas à [AB].Construis C , image de A par la symétrie de centre O.Construis D, image de C par la symétrie de centre B .Trace le triangle ACD.[AB] est la médiane relative au segment [CD].Trace [OD], médiane relative au segment [AC].L’intersectionde ces médianes est le centre de gravité du triangle ACD.


b

b

B

A



b

b

bO

B

A

b Mb

b

C

D BM

MA= 1

2


Si les drapeaux n’ont pas tous le même rapport l/L, commentfont-ils alors pour obtenir ceci . . . ?

Rapports rencontrés 1 : 1 1 : 2 2 : 3 3 : 57 : 11 8 : 11 28 : 37 5 : 8 11 : 18 13 : 15(Belgique)

Soit 1 0,5 0,666 0,6 0,6363 0,7272 0,7567 0,6250,6111 0,8666Drapeau du Salvador 189 : 335 ! (0,51642. . .)


Le Secrétariat Général du Conseil de l’Union Européennem’informe que les drapeaux extérieurs au Juptis Lipsus (siègeprincipal du Conseil de l’UE et du Secrétariat général duConseil, rue de la Loi, 175) mesurent tous 3 m/5 m, tandis queles drapeaux au Lex (bâtiment abritant le service de traductiondu Secrétariat général du Conseil, rue de la loi 145) mesurent2 m/3 m). Le drapeau suisse fait exception. . .Néanmoins,lorsqu’il est aligné avec d’autres drapeaux, sa superficie nepeut jamais dépasser celle des autres drapeaux.Un fameux « problème » de non-proportionnalité !


Drapeaux à croix

Dans un deuxième temps, j’invite les élèves à dessiner undrapeau comportant une croix, à partir de documents que jeleur fournis.


Drapeaux à croix : Danemark

Ayant la mesure du cadre, un seul calcul est suffisant pourdessiner la croix de ce drapeau . . .


Drapeaux à croix : Norvège

Le drapeau de la Norvège est rouge, avec unecroix bleue bordée de blanc s’étendant jus-qu’aux limites du drapeau. Le centre de la croixest décalé vers la hampe du drapeau, de telle

sorte que la branche flottante de la croix soit plus longue queles trois autres. Cette particularité est destinée à corriger l’effetd’optique qui aurait fait paraître plus courte la branche de lacroix la plus agitée par le vent.Proportion 8 : 11Les proportions des éléments figurant sur le drapeau sont :

En largeur et de gauche à droite, de 6 − 1 − 2 − 1 − 12

En hauteur et de haut en bas, de 6 − 1 − 2 − 1 − 6


Drapeaux à croix : Suède

Les dimensions et la position de la croix sontdonnées par la loi suédoise. La barre verticaledoit être placée entre les 5/16e et les 7/16e

de la largeur du drapeau, tandis que la barre horizontale doitêtre placée entre les 4/10e et les 6/10e de la hauteur dudrapeau.

Proportion 5 : 8


Drapeaux à croix : Finlande


Drapeaux à croix : Suisse

La forme du drapeau suisse, habituellement car-rée, n’est pas prescrite par la loi mais fait partiede la tradition. Par contre, sa couleur est défi-nie précisément depuis le 1e janvier 2007 : rougePantone 485, soit 100% de magenta et 100%de jaune.

Les dimensions de la croix sont également définies : un décretdatant de 1889 stipule que les bras de la croix doivent êtred’égale longueur et un sixième plus longs que larges.

« Le modèle contenu dans l’annexe à la présente loi estdéterminant pour la forme, la couleur et les proportions ».https ://www.ige.ch/fileadmin/user_upload/Juristische_Infos/f/j10805.pdf



Le rapport entre la longueur « du bras horizontal de la croix »et la largeur du drapeau est de 5 : 8, ce qui correspondapproximativement aux proportions du rectangle d’or. Ledrapeau comporte 4 axes de symétrie.




Drapeaux à croix : La Grèce

Observe. . .puis dessine. . .

Proportion 2 : 3


Drapeaux à 5 croix : Géorgie

Ce drapeau comporte cinq croix : une croix de Saint Georgeset quatre croix dites « croix de la Grappe » ou croix de laSainte Chrétienne de Géorgie (symbole de l’Église orthodoxede Géorgie).

Programme de construction

Trace un rectangle de 16 cm sur24 cm

Construis une croix de 4 cm delarge, partageant le rectangle enquatre petits rectangles égaux



Dans chaque petit rectangleConstruis, en son centre, un carré de 4 cm de côté, dontles côtés sont parallèles à ceux du rectangleNote A,B,C et D les sommets du plus petit carré surpointe comportant ce carréÀ partir du sommet A, trace deux arcs de cercle àl’intérieur du carré, le premier de rayon

√13 cm et le

second de√

5 cm. Fais de même à partir des sommets B,C et D.

Efface les deux carrés



A

B

C

D


Drapeau Royaume Uni : superposition de trois croix

Le drapeau du Royaume Uni combine la croix de saint Georgesdu drapeau anglais et la croix de saint André du drapeauécossais. Après l’Union de 1801, ce drapeau fut augmenté dela croix de saint Patrick pour représenter l’Irlande.


Drapeau Royaume Uni : superposition de trois croix

Proportion 1 : 2Dimensions conseillées : 12 cm/24 cm

☞ Quelle fraction représente la mesure 6 par rapport à lalargeur du drapeau ?

☞ Quelle fraction représente la mesure 10 par rapport à lalargeur du drapeau ?

Utilise ces fractions pour dessiner la croix de saint Georges etla croix de saint André.Pour partager la croix de saint André en six fines bandesobliques de même largeur, utilise le théorême de Thalès.


Drapeaux à blason : Le Portugal

Rapport 2 : 3


Drapeaux à blason : Le Portugal


Drapeau à blason : Croatie


Drapeau à blason : Croatie

Commencer par dessiner le blason.Prends ta feuille A4 dans le sens « paysage »Trace un rectangle ABCD de 5,5 cm sur 3,6 cm, sachantque |AB|= 5,5 cm et |BC|= 3,6 cm. Le point A est placédans le coin supérieur gauche et les autres points notésdans le sens horloger ; place-le au centre de ta feuillePlace le point O à même distance des points C et D, et à3,3 cm de la droite AB, à l’intérieur du rectangle ABCD

Trace un arc de cercle de centre O, reliant les points C etD ; cet arc se construit en dehors du rectangle ABCDConstruis la droite perpendiculaire à CD passant par O.Elle coupe l’arc de cercle au point P.Partage le côté AB en 5 parts égales et note les pointsrespectivement E, F, G et HPartage le côté BC en 3 parts égales et note les points Iet J


Drapeaux à blason : Croatie

À partir des points E, F, G et H , trace les droitesparallèles à AD

À partir des points I et J, trace les droites parallèles à AB

À partir du point P, trace six segments de 8,4 cm, lepremier passant par A, le deuxième par E, le troisième parF, le quatrième par G, le cinquième par U et le sixièmepar B. Note les extrémités de ces segmentsrespectivement A’, E’, F’, G’, H’ et B’.

Trace deux arcs de cercle de 1 cm, l’un de centre A’ etl’autre de centre E’ : note S le point d’intersection le pluséloigné du rectangle ABCD, S. Trace [A’S] et [E’S]

Trace deux arcs de cercle de 1 cm, l’un de centre E’ etl’autre de centre F’ : note T le point d’intersection le pluséloigné du rectangle ABCD, T. Trace [E’T] et [F’T]


Drapeaux à blason : Croatie

Fais de même entre les paires de points F’et G’, G’ et H’,H’ et B’

Trace un arc de cercle de centre P, reliant les points A à B

Prolonge [AB] de 12 cm de chaque côté et note X et Yles extrémités de ce nouveau segment

Trace les parallèles à [XY], distantes de 4,9 cm ; le blasonest centré dans le drapeau

Construis le drapeau comportant ce blason sachant qu’ilest constitué de trois bandes horizontales d’égale distanceet que son rapport l/L est 1 : 2


Drapeau « soleil » : République de Macédoine

Rapport 1 : 2


Drapeau à une étoile : la Turquie

Ce drapeau est consisté d’une lune décroissante et d’une étoileà cinq branches, les deux de couleur blanche, sur un fondrouge.Proportion 2 : 3 Dimensions proposées : 16 cm/24 cm


Drapeau à une étoile : la Turquie

Le calcul des mesures s’effectue par groupe, en fonction desdimensions choisies pour le drapeau.


Drapeaux à triangle : la Tchèquie

Dessiner l’intérieur du drapeau en utilisant uniquement lecompas et la règle non graduée.


Drapeaux non-européens

Un seul drapeau a, pour proportion, le nombre d’Or . . .

Le drapeau du Togo (proportion 1 : 1, 618)



Drapeau comportant trois losanges, en forme de V

Saint-Vincent-et-les-Grenadines (Etat des petites Antilles, dansles Caraïbes)



Drapeau en éventail, non symétrique

Drapeau des Seychelles



Comparaison des angles

//

//



Le seul drapeau national non-rectangulaire, qui est plus hautque large.

Drapeau du Népal


Mon drapeau

Merci pour votre écoute et votre

participation !

Et un remerciement particulier à Cédric de Fougerolle,secrétaire général de la Société française de vexillologie.


Bibliographie

https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau _ de _ l’estoniehttp ://svowebmaster.free.fr/drapeaux _ Espagne.htmwww.bibliomonde.com/donnee/lettonie-drapeau-442.htmhttps ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau _ de _ la _ lituaniehttps ://fr.wikipedia.org/wiki/Croix_ scandinavehttp ://svowebmaster.free.fr/drapeaux_ suede.htmhttp ://svowebmaster.free.fr/drapeaux_ danemark.htmhttps ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_ Finlandehttp ://tavmjong.free.fr/INKSCAPE/MANUAL/html_fr/AShortExample.html


Bibliographie

https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_ Norvegehttp ://www.vtg.admin.ch/internet/vtg/fr/home/themen/internationale_kooperation/MP/organisation_von_besuchen.parsysrelated1.7593.downloadList.80882.DownloadFile.tmp/51340f.p(annexe page 49)https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_ Grecehttps ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_ Georgiehttps ://fr.wikipedia.org/wiki/Croix_ de_ la_Grappehttps ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ du_ Royaume-Unihttp ://www.jdawiseman.com/papers/union-jack/union-jack.htmlhttp ://www.collegeleseyquems.fr/IMG/jpg/consignes_drapeau.jpg (à modifier, mais une bonne base pour démarrer)https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_ Macedonie


Bibliographie

https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_ Turquiehttps ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_Republique_ Tchequehttps ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ du_ Togohttps ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_Saint-Vincent-et-les-Grenadineshttps ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ des_ Seychelleshttp ://statistique.blogs.sciencesetavenir.fr/archive/2015/05/06/le-drapeau-du-nepal-23256.html (version officielle :http ://www.servat.unibe.ch/icl/np01000_.html)https ://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b8/Flag_of_Phttp ://www.portugalmania.com/savoir/drapeau.htmLe Secrétariat Général du Conseil de l’Union Européenne


Documents

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