AN3 - Equations différentielles - Séance de TD - Corrigés …jff-gifa-16.weebly.com/uploads/1/4/7/9/14799044/an3...10 GI FA 2015 – TEST 1 –D2 ORDRE ET CHANGEMENT DE VARIABLE

Mathématiques – AN3 -Equations différentielles

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AN3 - Equations différentielles

- Séance de TD -

Corrigés des exercices

1 QCM 2 2 GI FA 2015 – TEST 1 – 1ER ORDRE 2 3 GI FC18/26 2013 – TEST – 1ER ORDRE 2 4 GI FC18/26 2014 – TEST – 1ER ORDRE 3 5 GI FC34 2014 – TEST – 1ER ORDRE 3 6 FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES (1ER ORDRE) 4 7 GI FC1826 2015 – TEST – 2D ORDRE 4 8 GI FA 2013 – TEST 2 – 2D ORDRE ET FONCTION 4 9 2D ORDRE ET VARIATION DES CONSTANTES 5 10 GI FA 2015 – TEST 1 – 2D ORDRE ET CHANGEMENT DE VARIABLE 6 11 GI FA 2014 – TEST 2 – 2D ORDRE 6 12 2D ORDRE, DL ET COURBE 7 13 VARIABLES SEPARABLES 9 14 GI FA 2014 – TEST 1 – VARIABLES SEPARABLES – PARACHUTE ET ED 9 15 PREMIER MEMBRE = DIFFERENTIELLE 10 16 GI FC34 2015 – TEST – BERNOULLI 11 17 GI FC34 2013 – TEST - BERNOULLI 12



1 QCM

1) L’équation différentielle y’ – xy = 5 est :

linéaire homogène à coefficient constant du second ordre

2) Parmi ces équations différentielles, laquelle est linéaire ?

x yy 0 y xy x 2 y y 22 x

yy

0

3) L’équation différentielle y x y y 2 1 0 est :

homogène du premierordre

à variablesséparables linéaire

4) Parmi les fonctions proposées, laquelle est une solution de 1xy y ?

1y x 1y x 1

1yx

1

1yx

2 GI FA 2015 – Test 1 – 1er ordre

Résoudre l’équation différentielle linéaire suivante : lnxy y x

Résolution de l’équation homogène associée (EH) : séparation des variables

ln lnd d

0 d d H

y xxy y x y y x y x K y Cx

y x .

Solution particulière de l’équation complète : variation de la constante

. . . ln ln2

2

1EPy C x x y C x x C x C x x x C x x

x

On procédera à une intégration par parties, en notant u = lnx et v’ = 1/x² :

ln . ln2

1 1 1 1dC x x x x

x x x x

et donc ln 1Py x

Solution générale de l’équation (E) : ln 1H Py y y Cx x

3 GI FC18/26 2013 – Test – 1er ordre

Résoudre l’équation différentielle (E) : y

xy xx

3 3 .

On recherchera une solution particulière de (E) par la méthode de variation de la constante.

Cette équation est linéaire et non homogène. On recherchera la solution générale yH de l’équa-tion ho-mogène associée, par séparation des variables, puis une solution particulière yP de (E).

yH : ln xy yxy x x y x K y

x y

32 3H

d3 0 3 d Ce

yP :

;

:

x x x

x x x x

x x

y x y x

yxy x x x x x

x x

x y

3

3 3 32P P

3 3 32 2

3 32P

C e C e 3 Ce

1(E) 3 3 C e 3 Ce 3 Ce 3 C e 3

C 3 e C e 1

Solution générale de (E) : xy 3

Ce 1



4 GI FC18/26 2014 – Test – 1er ordre

Résoudre l’équation différentielle suivante : x

y x y x

3

2 32 e

Recherche de yH : séparation des variables

. . lnx

y xy x y y x y x x x y K y C

y

33

2 2 2 3H

d0 d d d e

3

Recherche de yP : variation de la constante

.x x x

x x x x x x x

x

y C x y C x x C x

y x y x C x x C x x C x x C x x

C x x C x x y x

3 3 3

23 3 3P P

3 3 3 3 3 3 3

2 2 23 3 3 3 3 3 3

3

2 2 3P

e , e e

2 e e e e 2 e e 2 e

2 donc e

Solution générale de l’équation différentielle : x

y y y C x

3

2 3H P e

5 GI FC34 2014 – Test – 1er ordre

On donne l’équation différentielle (E) : x²y’ + y = 1 Les questions 1 et 2 sont indépendantes

1) Donner l’ensemble des fonctions y solutions de (E). Vous utiliserez la variation de la constante pour la recherche d’une solution particulière.

Cette équation est linéaire, donc la solution générale y sera obtenue par y = yH + yP. Recherche de yH : (EH) : x²y’ + y = 0, équation du premier ordre à coefficient non constant. On applique donc la méthode de séparation des variables :

ln xy y

x y x y K y Cx y x x

12

H2

d d 1 10 d e

d

Recherche de yP : Pas d’identification proposée, donc méthode de variation de la constante :

;x x x x

x x x x

y C x x y y x C x x C x C xx

x C x C x C x yx

1 1 1 12 2 2

P 2

1 1 1 12

P2

1e 1 e e e 1

1e 1 e e e 1

(on aurait pu tout de suite s’apercevoir que y = 1 (donc y’ = 0) est une solution de notre équation dif-férentielle de départ)

Conclusion : la forme générale des solutions est : y = xC 1

e 1 .

2) a. Vérifier que les fonctions de la forme y = 1

e 1xC (où C ) sont des solutions de (E).

Soit 1

e 1xy C et donc 1

2

1e xy C

x . (E)

1 12

2e e 1 1 1 1x x

xC C

x … ok !

b. Parmi ces dernières, déterminer l’expression exacte de celle qui vérifie y(1) = -1.

Il faut que Ce + 1 = -1, soit C = -2/e. xy

1

1

1 2e .

c. Déterminer alors pour quelle(s) valeur(s) exacte(s) de x cette fonction s’annule.

ln lnln

x x xx

1 11 1 1 1 1 1

1 2e 0 e 1 22 2 1 2

(unique racine)



6 Fonctions trigonométriques (1er ordre)

Résoudre l’équation Z’.cos(u) – Z.sin(u) = sin(2u).

* Equation sans second membre :

sincos sin .

cos

uZZ u Z u u

Z u

d0 d

ln ln coscos

KZ u C Z

u H

* Variation de la constante :

sin;

cos cos cos

K u K u K uZ Z

u u u

P P 2

En reportant dans l’équation complète il vient : cos

sinu

K u u K u 2

22

Ainsi une solution particulière de l’équation complète est :

cos coscos

cos cos cos

u uZ u

u u u

2

P

2 2 1 1

2 2 2

* Solution générale de l’équation :

coscos cos

KZ u

u u

12

cos

cos

Cu

u

7 GI FC1826 2015 – Test – 2d ordre

y est une fonction de variable x. Résoudre l’équation différentielle suivante : 2 5 exy y y x .

On recherchera une solution particulière yP par identification à une forme exax b .

: : , i, cos sin

:

2 2 16racines de 2 5 16 1 2 e 2 2

2

e e 2 e

12 e 2 2 2 e 5 5 e e 4 4 e

4

x

H H

x x x

P P P P

x x x x x

P

iy r r r y A x B x

y y ax b y ax a b y ax a b

E ax a b ax a b ax b x ax b x y x

cos sin1

Solution générale : e 2 24

xy A x B x x

8 GI FA 2013 – Test 2 – 2d ordre et fonction

Soit l’équation différentielle suivante : py py p y 22 0 E où y est une fonction d’une variable x et p

un paramètre que l’on peut fixer, tel que ;0p .

1) Donner la solution générale de l'équation (Ep). L'équation différentielle (Ep) est du 2d ordre, homogène, à coefficients constants.

L'équation caractéristique est : 02 22 pprr de discriminant 044 22 pp , d'où la racine

double : pr .

Solution générale de l'équation (Ep) : pxy Ax B e , avec A et B coefficients réels.

2) Parmi toutes les solutions, déterminer, en fonction de p, la fonction, notée fp, qui vérifie les conditions :

pf p0 et pf 0 0

Conditions initiales :

pf p0 , ce qui donne, à partir de la solution de l'équation différentielle : B = p



pf 0 0 . On a : pxpx eBAxpAey )(' , donc pf A pB 0 0 , d'où A = p²

Finalement, la fonction recherchée est : px

pf x p x p 2 e

3) En étudiant les variations de fp, montrer que toutes les courbes admettent un maximum pour la même

valeur de x, indépendante de p. Déterminer cette valeur de x. Calcul de la dérivée de fp :

px px px

pf x p p p x p p x 2 2 3e e e

p étant un nombre réel positif, son cube l’est aussi. pxe est également positif. Donc la dérivée est du signe de – x (et s'annule pour x = 0). Elle est donc positive pour x < 0, et négative pour x > 0. Donc toutes les courbes représentant les fonctions fp admettent un maximum pour x = 0.

9 2d ordre et variation des constantes

Résoudre (identification puis variation des constantes) : xy y y 24 4 e

(identification à (ax2 + bx + c)e2x)

* L’équation homogène a été résolue en autonomie (3.2.1 b.) :

xy Ax B 2H e .

* Solution particulière de l’équation complète (identification à un polynôme du second degré, multiplié

par l’exponentielle - 2 est une racine double du polynôme caractéristique et le membre de droite con-

tient devant l’exponentielle un polynôme de degré zéro : 1).

L’équation donne :

x x x

x x x x

ax a b x a b c ax a b x b c ax bx c

xa a y

2 2 2 2 2 2

22 2 2 2

P

4 8 4 2 4 4 e 4 2 2 2 2 e 4 e

1e 2 e e d'où une solution particulière : e

2 2 * Solution particulière de l’équation complète (variation des constantes) :

On notera A pour A(x) (idem pour B, A’ et B’) sans oublier qu’il ne s’agit pas de constantes

. ; . . . ;

. . .

x x

P

x x

P

y A x B y A x A B A x B A x B

y A A x A A x B B A A A x B

2 2P

d'après 12 2

e 2 2 e oùl'onpose 0 1

2 4 4 2 4 e 4 4 4 e


. . .x x x x x xA A A x B A A x B A x B A A 2 2 2 2 2 24 4 4 e 4 2 2 e 4 e e e e 1 2

Ainsi, A x x et avec (1) :

xB x

2

2. D’où . x xx

y A x x B x 2

2 2P e e

2

* Solution générale de l’équation différentielle : xxy Ax B

22e

2

* Remarque : la recherche de yP par identification peut se faire d’une manière plus générale par identifi-

cation à xf x 2e :

;x x x x xy f x f x y f x f x f x 2 2 2 2 22 e e 4 e 4 e e

Il suffit de reporter dans l’équation complète et aboutir à f x 1 , soit x

f x 2

2



10 GI FA 2015 – Test 1 – 2d ordre et changement de variable

1) Résoudre l’équation différentielle 22y y y x (E).

Résolution de l’équation homogène associée (EH) :

r² - 2r + 1 = 0 ssi r = 1 (discriminant nul, racine double = -b/2a). Ainsi : ex

Hy Ax B .

Solution particulière de l’équation complète : identification à un polynôme du second degré.

.

P

y ax bx c y ax b y a a ax b ax bx c x

a a

b a b y x x

a b c c

2 2 2

2

2 2 E 2 4 2

1 1

4 0 4 4 6

2 2 0 6

Solution générale de l’équation (E) : 2e 4 6x

H Py y y Ax B x x

2) On se propose de résoudre l’équation différentielle 22 1 2 6xy x y x y x (E1).

a. Résolution de l’équation homogène associée : en posant le changement de variable u = xy, déterminer l’équation différentielle à coefficients constants sur u, découlant de l’équation homogène (E1H) asso-ciée à (E1), donner alors les fonctions u solutions de cette équation et en déduire les fonctions yH so-lutions de (E1H).

. 1E H 2 1 2 0 2 0u xy u y xy u y y xy xy x y x y u u u

D’après la question 1, les solutions sont x

Hu Ax B e . Ainsi : xHH

u By A

x x

e .

b. Déterminer une solution particulière yP de l’équation (E1), par identification à un polynôme du pre-mier degré.

.

:2 2 21

0

1E 2 1 2 6 4 2 2 6 4

4

P P P

P

y ax b y a y

ax a x ax b x ax b a x a b x y x

b

c. Conclure sur la forme générale des solutions de (E).

e 4x

H P

By y y A x

x

11 GI FA 2014 – Test 2 – 2d ordre

On donne l’équation différentielle (E), que l’on ne résoudra pas directement : f x f x 1 .

1) Dériver l’équation (E), puis montrer qu’elle conduit à l’équation (F) : f x f x 1 .

Lorsqu’on dérive (E) f x f x 1 , on obtient f x f x et, de plus, avec ce que

nous montre (E) sur f x , on peut écrire f x f x 1 .

Ainsi, f x f x devient : f x f x 1 , soit f x f x 1 (F).

2) Résoudre l’équation différentielle (F) : f x f x 1 .

(on pourra aussi l’écrire y y 1 si on le souhaite)

L’équation homogène f x f x 0 donne l’équation caractéristique r² + 1 = 0 dont les solu-

tions, complexes, sont i et –i. Solutions de l’équation homogène : cos sinf x x x H A B

L’équation complète f x f x 1 possède une solution particulière évidente : f x P 1

La solution générale de l’équation (F) est décrite par les fonctions : cos sinf x x x A B 1

où A et B sont deux coefficients réels quelconques et indépendants.



3) Si u(x) = v(x), alors u’(x) = v’(x). a. La réciproque est-elle vraie ?

non, bien sûr : constante d’intégration ! b. L’affirmation [Si u(x) = v(x), alors u’(x) = v’(x)] montre que l’équation (E) implique l’équation (F)

et donc que les solutions de (E) sont toutes des solutions de (F). A quelle condition une solution de l’équation (F) vérifie-t-elle l’équation (E) ?

La réciproque d’une implication n’est pas forcément vraie : toutes les solutions de (F) ne sont pas forcément solutions de (E)...

Ici, testons les solutions de l’équation (F) dans l’équation (E) : f x f x 1 ?

cos sin sin cos

cos sin cos sin

f x x x f x x x

f x x x x x

A B 1 ; A B ;

1 A B A B

Pour obtenir l’égalité (E), il faut impérativement choisir A = B.

(donc : seules certaines solutions de (F) sont solutions de (E) : cos sinf x x x A 1 )

12 2d ordre, DL et courbe

1) On se propose de résoudre l'équation différentielle linéaire du second ordre :

(E) cos siny y y x x 2 2 2

a) Résoudre l'équation y y y 2 2 0 .

Polynôme caractéristique : r² - 2r + 2, de discriminant -4.

Ses deux racines complexes ont pour partie réelle 1 et pour partie imaginaire ±1 .

Solution générale de cette équation : cos sinxy A x B x H e

b) Calculer les réels et tels que la fonction cos sinx x x soit une solution particulière de

l'équation (E).

cos sin ; sin cos ; cos sinP P Py a x b x y a x b x y a x b x


cos sin cos sina b x a b x x x

a b a

a b b

2 2 2

2 2 0

2 1 1

: siny x P

c) En déduire la solution générale de (E).

cos sin sinxy A x B x x e

2) a) Donner la solution y f x dont le développement limité à l'ordre 1 au voisinage de 0 est

.f x x x x 1 avec limx

x

0

0

Dans la forme cos sin sinxy A x B x x e , remplaçons les fonctions de x par les parties régu-

lières de leurs développements limités à l’ordre 1 au voisinage de zéro. Nous obtenons alors P1(x),

partie régulière du DL à l’ordre 1 de y :

P x x A B x x A A B x 1 1 1 arrêté à l'ordre 1 1

Pour correspondre à la fonction f demandée, il faut A = 1 et A + B – 1 = 1, soit B = 1.

Donc : cos sin sinxf x x x x e

Dans le détail, si nous écrivons les développements limités complets de chaque fonction, à l’ordre 1,

et que nous désirons celui de f (x) à l’ordre 1, on voit que les calculs conduisent à l’écriture de termes



qui, soit peuvent s’écrire sous la forme x.i(x) (où la fonction i tend vers 0 lorsque x tend vers 0), soit

ne le peuvent pas :

. . . .y x x x A x x B x x x x x x 1 2 3 31 1

A Ax x Bx Bx x Ax Ax x Bx Bx x

Ax x Ax x x Bx x Bx x x x x x

2 2 22 3 2 3

2 2 21 1 2 1 1 3 3

. .

A x x Bx x x Ax x x x x x x

x x x x x x x x x x x

A Bx Ax x x x A A B x x x

4 5 6 7 8

9 10 11 12 3

1

Dans notre calcul, le terme Bx² est apparu, par exemple. Il n’est pas embarrassant puisqu’il vaut x×Bx

où Bx est une expression de type (x), puisqu’elle tend vers zéro avec x.

Ainsi Bx² a été écrit x7(x).

Donc, le développement limité de y en 0 à l’ordre 1 est y = A + (A + B – 1)x + x(x).

b) Soit la courbe représentative de f dans le repère orthonormal ; ,i jO et A le point de coordon-

nées (0, 1). Préciser la position de par rapport à sa tangente en A au voisinage de ce point.

L’équation de la droite tangente à en A est donnée par y = P1(x) = 1 + x.

Celle de la parabole tangente à en A est donnée par la partie régulière de DL2(f)(0), DL de f en 0 à

l’ordre 2 : x x

P x x x x x x

2 22

2 1 1 arrêté à l'ordre 2 12 2

P2(x) > P1(x) pour tout x et donc, au voisinage de zéro et quel que soit le signe de x,

f (x) > 1 + x (à première vue). Au voisinage du point A, la courbe est au-dessus de sa tangente.

y = f (x)

y = P1(x)

y = P2(x)

A y = f (x)



13 Variables séparables

Résoudre y

yx

10

1 (équation à variables séparables).

y y

x x

d 10

d 1 ssi

y x

y x

d d

1 1 Intégrons les deux membres : ln lny x C 1 1

Prenons l’exponentielle de chaque membre : K xy

11

1 d’où :

y

K x

11

1

14 GI FA 2014 – Test 1 – Variables séparables – Parachute et ED

1) On cherche à résoudre l'équation différentielle (E) : y

by a

2 2 (avec a > 0 et b )

a. Déterminer les réels A et B tels que ay

B

ay

A

ay

22

1

.

/

/ / /

A y a B y a A B y a A BA B

y a y a y a y a

A B B A B aA B y a A B

A B a A a A a

y a a y a a y a

2 2 2 2

2 2

0 1 21

1 2 1 1 2

1 1 1

2 2

b. En déduire que l'équation différentielle (E) est équivalente à : y y

aby a y a

2 . Immédiat

c. En intégrant cette équation (à variables séparables), déterminer l'expression de ay

ay

.

. .

ln ln ln abx

y y y y y yab ab x ab x K

y a y a y a y a y a y a

y a y ay a y a abx K abx K C

y a y a

2

d d d d2 2 d 2 d

2 2 e

d. En déduire que 2

2

1 e

1 e

abx

abx

Cy x a

C

, où C est une constante d'intégration.

2

2 2 2 2

2

1 ee e 1 e 1 e

1 e

abxabx abx abx abx

abx

y a CC y a y a C y C a C y a

y a C

2) Un parachutiste, de masse m, est freiné par la résistance de l'air, proportionnelle au carré de sa vitesse. On note k ce coefficient de proportionnalité. a. Le principe fondamental de la dynamique conduit à l'équation différentielle suivante :

gvm

kv 2' (1)

où v est la vitesse en m.s-1, fonction du temps t ; v' est la dérivée de v par rapport à t (donc l'accélération du parachutiste) ; g est l'accélération de la pesanteur (constante)

Montrer que l'équation (1) peut s'écrire sous la forme de l'équation (E) dans laquelle y devient v, et x devient t. Déterminer les coefficients a et b.



A partir de (1), on obtient : 'k mg

v vm k

2

D'où la forme v

bv a

2 2 avec

mga

k et

kb

m .

b. En déduire l'expression de la vitesse v(t).

On arrive donc à abt

abt

Cev a

Ce

2

2

1

1, ce qui, en remplaçant par les coefficients a et b, conduit à :

kgt

m

kgt

m

mg Cev

kCe

2

2

1

1

avec C constante

c. Exprimer la constante C en fonction de la vitesse initiale, v0, à t = 0.

A t = 0, C

v aC

0

1

1 , d'où

v aC

v a

0

0

, ou encore

mgv

kC

mgv

k

0

0

3) Application numérique On donne les valeurs numériques suivantes : k = 30 N.m-2.s-2 g = 9,8 m.s-2 m = 80 kg

On suppose que l'instant t = 0 correspond au moment où le parachutiste ouvre son parachute et qu'il a alors atteint, en chute libre, la vitesse de 250 km.h-1, donc v0 = 250 km.h-1.

a. Donner une valeur de C, à 10-3 près.

v0 = 250 km.h-1 =69,444 m.s-1 mg

k= 5,112, ce qui conduit à C = 0,863

b. Donner l'expression numérique de v(t).

t

tv t

3,83

3,83

5,11 4,41e

1 0,863e

c. Quelle est la vitesse limite du mouvement, en m/s et km/h ?

Vitesse limite, quand t : mg

v tk

5,11m.s-1 = 18,4 km.h-1.

15 Premier membre = différentielle

Résoudre V

VT T

2

10 (équation dont le premier membre est une différentielle).

La forme différentielle donne V

V TT T

2

1d d 0

,U V T

V T

1, donc ,

VU V T f T

T

,U V T V Vf T f T f T Cste

T T T

2 20 et ,

VU V T Cste

T .



Comme U Cste nous en déduisons la solution générale : V

CsteT soit : V kT

Vérifions : V k , donc : V kT k k

V kT T T T T T

2 2

1 10

On peut y voir l’équation des gaz parfaits à pression constante :

; nR nR

PV nRT V T kP P

16 GI FC34 2015 – Test – Bernoulli

L’objectif est de résoudre l’équation différentielle de Bernoulli (E) suivante : xxy y y 2e 0 ,

dont l’inconnue est la fonction y de variable x.

1) Montrer qu’en posant le changement de fonction uy

1

, l’équation que doit vérifier u est :

xxu u e

uu y y

y u u

2

1 1 (prime désignant la dérivation par rapport à x).

x x x xuxy y y x xu u xu u

u u u

2

2 2

1 1e 0 e 0 e 0 e

2) Résoudre l’équation différentielle linéaire précédente (on emploiera la méthode de variation de la

constante lors de la détermination d’une solution particulière).

* Recherche de uH par séparation des variables :

: . .

ln ln ln ,

u xxu u x u u x

u x

Cu x K K u C

x x

d dEH 0 d d

1

* Recherche de uP par variation de la constante :

.: x x x

xx

C x C x x C x C xu xu u x C x

x x x

C x ux

P 2

P

E e e e

ee

* Solution générale : xC

ux

e

3) En déduire la solution générale y de l’équation (E).

x

xy

u C

1

e



17 GI FC34 2013 – Test - Bernoulli

On se propose de résoudre l’équation différentielle suivante : xy y y 2 0 E

où y est une fonction de variable x.

1) Il s’agit d’une équation de Bernoulli, pour laquelle on doit appliquer un changement de variable.

Montrer qu’en introduisant la fonction 1

uy

, l’équation E équivaut à : 11 Exu u .

Avec 1

yu

et 2

d

d

y uy

x u

, E devient :

12 2

1 10 1 0 1 E

ux xu u xu u

u u u

2) Résoudre l’équation 1E , linéaire du premier ordre (la solution particulière sera obtenue par la mé-

thode de variation de la constante).

Résolution de l’équation homogène associée : 10 E Hxu u

Séparation des variables : . . .d 1

d d 0 du

x u u x xu x

Intégration : ln ln

ln ln .He e ex K x Ku x K u u C x

Solution particulière de l’équation générale : par variation de la constante.

Posons .Pu C x où C est une fonction de x. On a : .Pu C x C .

21 2

1E 1 1x C x C Cx C x C

x

C = 1

x

convient, et ainsi on peut citer la solution simpliste : P 1u

Solution générale de 1E : u = Cx - 1

3) En déduire l’expression générale des solutions y de E - vérifier cette solution dans l’équation différen-

tielle.

1 1

1y

u Cx

Vérification : on a besoin de y’ :

2

1

1 1

Cy

Cx Cx

2 2 2 2 2

2

1 1 1 1E 0 0

11 1 1 1 1

00 OK

1

Cx Cx Cx

CxCx Cx Cx Cx Cx

Cx

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AN3 - Equations différentielles - Séance de TD - Corrigés …jff-gifa-16.weebly.com/uploads/1/4/7/9/14799044/an3...10 GI FA 2015 – TEST 1 –D2 ORDRE ET CHANGEMENT DE VARIABLE