GI – Mathématiques

1. Présentation générale

1.1 Notion d’équation différentielle

( ) ( )( ), , , ,..., ,10

n nF x y y y y y−′ ′′ =

1.2 Définitions

ORDRE degré maximal de dérivation

LINEAIRE Dans chaque terme, y (ou une de ses dérivées) intervient une

fois, à la puissance un.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )...0 1 2

En

na x y a x y a x y a x y f x′ ′′+ + + + =

HOMOGENE ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )...0 1 2

0 EHn

na x y a x y a x y a x y′ ′+ + + + =

à coefficients

constants

( ) ( ) ( )...0 1 2

En

na y a y a y a y f x′ ′′+ + + + =

GI – Mathématiques

1. Présentation générale

ordre linéairelinéaire

homogènecoefs

constants

y y x′ − =2 4

y y′ − =2 0

cosy y y x′′ ′− + =2 5

y yy

′′ − + =′

42 0

1

2

1

1

2

1

NON

NON

OUI

OUI

OUI

OUI

xxxx

xxxx

NON

OUI

NON

NON

non

oui

OUI

OUI

OUI

NON

1.2d2 4 0

d

yx y x

x− + =

.lnd

2 3 0d

yx y

x− + =

GI – Mathématiques

2. ED Linéaires, ordre 1

2.1 A coefficient constant

* Equation homogène

( ) ( ) ( ). Ey A x y f x′ + =

( ) ( )Ey ay f x′ + =

2.

( )0 EHy ay′ + =séparation des variables

. .d d d

0 0 d d dd d

y y yy ay ay ay y ay x a x

x x y′ + = ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = −

. lnd

d e e eax K ax Kya x K y ax K y

y− + −= − + ⇔ = − + ⇔ = = ×∫ ∫

.e axy C −=

On intègre :

(K, réel quelconque ; eK, réel strictement positif quelconque)

D’où les solutions de l’équation différentielle :

(C réel quelconque)

GI – Mathématiques

2. ED Linéaires, ordre 1

2.1 A coefficient constant

* Equation avec 2d membre

( ) ( ) ( ). Ey A x y f x′ + =

( ) ( )Ey ay f x′ + =

1. Résoudre (EH) (dont la solution générale sera notée yH)2. Trouver une solution particulière de l’équation (E) (notée yP)

Solution générale de (E) : y = yH + yP

schéma valable pour toute ED linéaire dans ce chapitrevu précédemment

deux méthodes : * l’identification

* la variation de la constante

à une forme donnée

en reprenant yH

GI – Mathématiques

2. ED Linéaires, ordre 1

2.1 A coefficient constant

( ) ( ) ( ). Ey A x y f x′ + =

( ) ( )Ey ay f x′ + =

( )23 6 1 Ey y x′ + = −Exemple :

1. ( ) 3

H3 0 EH e xy y y C −′ + = ⇒ =2. identification

yP = ax²+bx+cvariation de la constante

( ) 3

P e xy C x −=

2ax + b + 3(ax² + bx + c) = 6x² - 1

3ax² + (3b+2a)x + 3c + b = 6x² - 1

double intégration par parties; ;

4 12

3 9a b c= = − =

3. ( ) ( ) ( ). . .3 3 3

2

e 3 e 3 e

6 1

x x xC x C x C x

x

− − −′ − +

= −

4.

( ) ( )2 36 1 e xC x x′ = −

( ) ( )2 34 12 e3 9

xC x x x= − +

GI – Mathématiques

2. ED Linéaires, ordre 1

2.2 Cas général

( ) ( ) ( ). Ey A x y f x′ + =

( )d3 2 E

d

y yx

x x+ = +Exemple :

1. 2.variation de la constante :

5.

ln ln H

d dd d 0

y y xy x

x y x

Cy x K y

x

⇔ + = ⇔ = −

⇔ = − + ⇔ =

( )0 EHy

yx

′ + = par séparation

des variables

( )P

C xy

x=

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

.

2

2 2

2 3 2

3 2

3 2

3 2

C x C xx

x x

C x x C x C xx

x x

C x x x C x x x

′ + = +

′ −⇔ + = +

′⇔ = + ⇐ = +

2H P

Cy y y x x

x= + = + +

GI – Mathématiques

3. ED linéaires du 2d ordre

3.1 Se ramenant au 1er ordre

3.1.1 De la forme ( ), , 0f x y y′ ′′ = Poser z = y’

Exemple 2 : ( )Ey xy x′ ′′− =

( )Ez xz x′− = ED linéaire du 1er ordre

zH : ( )0 EHz xz′− = H

d dz xz x

z xλ= ⇔ =

zP : ( ) ( ) ln lnP

1E x x x x x z x x

xλ λ λ λ λ′ ′⇒ − + = ⇔ = − ⇐ = − ⇔ = −

( )ln2

2

xy C x K= − +

GI – Mathématiques

3. ED linéaires du 2d ordre

3.1 Se ramenant au 1er ordre

3.1.2 De la forme Poser p(y) = y’

Exemple : ( ) ( )2Ey yy′ ′′=

( ), , 0f y y y′ ′′ =( )( ) ( )

d d d

d d d

p p yy

x y x

p y y

p y p y

′′ = =

′ ′= ⋅′=

2p ypp′= ⇔ ( ) pp y

y′ = d dp y

p y⇔ =

y yλ′ =ou p = 0 :

y = Kp yλ⇔ =

exy K λ⇔ =

si λ = 0

GI – Mathématiques

3. ED linéaires du 2d ordre

3.1 Se ramenant au 1er ordre

3.1.2 De la forme Poser p(y) = y’

Exemple 2 : ( )0 Ey

yy

′′− =

′

( ), , 0f y y y′ ′′ = y pp′′ ′=

0p p

yp

′− = ⇔ ( )p y y′ = ( )

2

2

yp y k⇔ = + 2

2

yy k′ = +

GI – Mathématiques

3. ED linéaires du 2d ordre

3.2 A coefficients constants

3.2.1 Equation homogène

( ) ( )Eay by cy f x′′ ′+ + =Solution générale de (E) : y = yH + yP

Racines du polynôme caractéristique : ar² + br + c

∆ > 0 : réels r1 et r21 2

He e

r x r xy A B= +

∆ < 0 : r1 et r2 = α ± iβ ( )cos sinH

exy A x B xα β β= +

∆ = 0 : réel r ( )He

rxy Ax B= +

6.

8.

9.

GI – Mathématiques

3. ED linéaires du 2d ordre

Exemple : ( ) ( )22 e 1 E

xy y y x′′ ′− + = +

3.2 A coefficients constants ( ) ( )Eay by cy f x′′ ′+ + =3.2.2 Equation complète identification

yH : ( )He

xy Ax B= +

yP : ( )Pe

xy p x= ( )Pe

xy p p′ ′= + ( )P2 e

xy p p p′′ ′′ ′= + +

( ) ( ) ( ) ( )2E 2 e 2 e e e 1

x x x xp p p p p p x′′ ′ ′⇒ + + − + + = +2

1p x′′ = +4 2

12 2

x xp⇐ = +

4 2

e12 2

x x xy Ax B

= + + +

10.

GI – Mathématiques

3. ED linéaires du 2d ordre

Exemple : ( )tany y x E′′ + =

3.2 A coefficients constants ( ) ( )Eay by cy f x′′ ′+ + =3.2.2 Equation complète variation des constantes

yH : cos sinH

y A x B x= +

yP : ( ) ( )cos sinP

y A x x B x x= +

( ) ( )sin cos tanE 2A x B x x′ ′⇒ − + =

11.

sin cosP

y A x B x′ = − +( )cos sin 0 1A x B x′ ′+ =

sin cos cos sinP

y A x B x A x B x′′ ′ ′= − + − −

sinln cos sin

sin

1 1

2 1

xy A x B x

x

+ = − + −

GI – Mathématiques

4. Autres ED du 1er ordre

4.1 ED à variables séparables

Exemple 1

( ) ( ).P y y Q x′ =

( )0 Ex yy′+ =

xdx + ydy = 0 ydy = -xdx

d dy y x x K= − +∫ ∫

séparation

2 2

2 2

y xK= − +intégration

relation2 2x y C+ =

12.

GI – Mathématiques

4. Autres ED du 1er ordre

4.1 ED à variables séparables

Exemple 2

( ) ( ).P y y Q x′ =

ydy = 1/x.dx

ln2

2

yx K= +

séparation

intégration

relation

13.

xyy’ = 1

ln2y x K= ± +

GI – Mathématiques

4. Autres ED du 1er ordre

4.2 ED dont le 1er membre est une différentielle

Exemple

14.

( ) ( ), , . 0x yU x y U x y y′ ′ ′+ =2

2y y

xx x

′= −

2

12 d d 0

yx x y

x x − + =

d d 0U U

x yx y

∂ ∂+ =∂ ∂

ssiU

x

∂=∂

( )2 yU x f y

x= + +

( )1Uf y

y x

∂ ′= +∂

( ) 0f y′ = 2 yU x K

x= + +

2 yx C

x+ =

3y Cx x= −

d 0U =

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4. Autres ED du 1er ordre

4.3 ED homogènes

Exemple

différentielle

intégration

relation

15.

yy f

x ′ = y

t y txx

= ⇔ =On pose . .y x t t x= +d d d

( ) ( )2d2 E

d

yx y x y

x− =

remplacement2

2 1

ty

t′ =

−t

x t t x xt

+ =−

2

d d d2 1

séparation2

d 2 1d

x tt

x t t

−= −−

ln ln 2

2

Cx t t K x

t t= − − + ⇒ =

−

( ) et1 1

C Cx y

t t t= =

− −

paramètre

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4. Autres ED du 1er ordre

4.3 ED homogènes yy f

x ′ =

coordonnées polaires

( )costan

sin

d

d

x r y yy f f

y r x x

θθ

θ= ′ = ⇔ = =

cos . sin .

sin . cos .

d d d

d d d

x r r

y r r

θ θ θθ θ θ

= −= +

( )( )

( )

tan sin cos

tan cos sin

dd

d

fr

r f

g

θ θ θθ

θ θ θθ θ

+=

−

=

GI – Mathématiques

4. Autres ED du 1er ordre

4.3 ED homogènes yy f

x ′ =

coordonnées polaires

cos . sin .

sin . cos .

d d d

d d d

x r r

y r r

θ θ θθ θ θ

= −= +

( ) ( ) ( )0 Ex y y x y′− − + =Exemple

( ) cos sin

cos sinE

x yy

x y

θ θθ θ

+ +′⇒ = =− −

et

dd d d

rr r

rθ θ= ⇔ =

( ) ( ) ( ) ( )

sin . cos . cos sin

cos . sin . cos sin2 2 2 2

d d

d d

d d d d

r r

r r

sc s r rc rsc c sc r rsc rs

θ θ θ θ θθ θ θ θ θ

θ θ

+ +=− −

⇔ − + − = + + − −

d d 0r r θ⇔ − + = er θλ=

16.

GI – Mathématiques

4. Autres ED du 1er ordre

4.4 ED de Bernoulli ( ) ( ). . 0ny P x y Q x y′ + + =( ) ( )

1

uuP x Q x

n

′+ = −

−Exemple

17.

( )22

0y

y x y Ex x

′ + − − =

1

1n

uy −=

n = 21

uy

=2

1d dy u

u= −

( ) 2 2

1 2 1 1E 0u x

u x u xu ′⇒ − + − − =

2 1u x u

x x ′⇒ + − = −

2

2H 2

exC

ux

=séparation des variables

variation de la constante P 2

1u

x=

2

2

2

1

e 1x

xy

uC

= =+

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4. Autres ED du 1er ordre

4.5 ED de Riccati

Exemple

18.

2

2

2e 1x

xu

C

=+

( ) ( ) ( )2y A x y B x y C x′ = + + Py y u= +

( ) ( )( ) ( ). . 2

P2u y A x B x u A x u′ = + +( )

2 13 E

yy xy x

x x′ = − + −

2

P1y x= −

2 1y x u= − + 2y x u′ ′= +

( )2

2E 0

uu x u

x x ′⇒ + − − =

ED de Bernoulli

précédemment résolue

2

22

P

2

1

e 1x

xy y u x

C

= + = − ++