Analyse de la covariance

ANCOVA

Exemple

Habilité Score Habilité Score Habilité Score5 12 1 7 7 94 13 3 11 7 125 11 5 13 9 115 14 4 13 10 146 16 5 16 9 178 15 6 15 12 169 17 6 16 11 17

10 18 7 17 12 1811 19 8 18 13 21

7 15 5 14 10 15

Méthode 1 Méthode 2 Méthode 3

Modèle général linéaire de l’ANCOVA

[valeur observée] = grande moyenne + [effet du traitement] + [effet de la variable covariée] + [erreur]

ou:Xij = µ + i + ß(Yij-Y.) + eij

Hypothèse nulle µ*1 = µ*2 = µ*3 = µ* à la place de

µ1 = µ2 = µ3 = µ

La répartition des variances

Pour X:

Totale (x )SC 2

ijx X

Intra(x )SC 2

ijx jX

Inter(x )SC n

2

jX X

Pour Y:

Intra(y )SC 2

ijy jY

Totale(y )SC 2

ijy Y

Inter(Y )SC n

2

jY Y

Pour la régression de X et Y

Totale (xy )SP ijY Y ijX X

Intra(xy )SP ijY

iY ijX jX

Inter(xy )SP njY Y

jX X

Les variances ajustées

Source SC ajustées dfSC moyennes

ajustéesF df

Ajustéeinter

SCInter(aj) = SCTotale(aj) –SCIntra(aj)

k-1MSInter(aj) =SCInter(aj)/(k-1)

MSInter(aj/MSIntra(aj)

(k-1);(kn-k-1)

Ajustéeintra

SCIntra(aj) = SCIntra(y) –(SPIntra(xy)

2/SCIntra(x))kn-k-1

MSIntra(aj) =SCIntra(aj)/(kn-k-1)

Ajustéetotale

SCTotale(aj) = SCTotale(y) –(SPTotale(xy)

2/SCTotale(x))kn-2

Exemple de calculSommes des carrées X (pretest)

SCTotale=(5 - 7.333)2 + (4 - 7.333)2 +. . .+ 13 - 7.333)2 = 240 SCInter= (9)[(7 - 7.333)2 + (5 - 7.333)2 + (10 - 7.333)2] = 114SCIntra=(5 - 7)2 + (4 - 7)2 +. . .+ (13 - 10)2 = 126

Sommes des produits XYSCTotale= (5 - 7.33)(12 - 14.667) + (4 - 7.333)(13 - 14.667) +. . . + (13 - 7.333)(21 - 14.667) = 184SCInter=(9)[(7 - 7.333)(15 - 14.667) + (5 - 7.333)(14 - 14.667) + (10 - 7.333)(15 - 14.667)] = 21SCIntra=(5 - 7)(12 - 15) + (4 - 7)(13 - 15) +. . . + (13 - 10)(21 - 15) = 163

SCTotale =(12 - 14.667)2 + (13 - 14..667)2 +. . .+ (21 - 14.667)2 = 276SCInter= (9)[(15 - 14.667)2 + (14 - 14.667)2 + (15 - 14.667)2] = 6SCIntra=(12 - 15)2 + (13 - 15)2 +. . .+ (21 - 15)2 = 270

Sommes des carrées Y (posttest)

Sommes des carrées ajustées

Source SC ajustées df SC moyennes

ajustées F df

Ajustée inter

SCInter(aj) = 134.93-59.13=75.80

3-1=2

MSInter(aj) = 37.9 37.9/2.57=14.75 2;23

Ajustée intra

SCIntra(aj) = 270-(1632/126) = 59.13

27-3-1=23

MSIntra(aj) = 2.57

Ajustée totale

SCTotale(aj) = 276-(1842/240)=134.93

27-2=25

SPSS

Moyennes ajustées

Postulats

Indépendance des observations Homogénéité de la variance Normalité dans la population Homogénéité des pentes de régression

Homogénéité des pentes de régression

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12 14

Vérification de l’homogénéité des pentes de régression

Médiation

Sources d’association entre deux ou plusieurs variables

Association

Effets causaux

Effets non causaux

Effets directs

Effets indirects

Anteced. partagées

Ass. non analysées

Modèle de médiation

Variable indépendante

Variable dépendante

Variable médiatrice

’

Effet direct = ’ Effet indirect =

Effet total = ’+

Il y a médiation quand … (Baron & Kenny, 1986) L’effet direct de la variable indépendante sur

la variable dépendante (’) est significatif. Le chemin de la VI à la variable médiatrice ()

est significatif. Le chemin de la variable médiatrice à la VD ()

est significatif. Il y a médiation totale quand:

– Après contrôle de la variable médiatrice l’effet directe de la VI sur la VD (’) devient non significatif.

Exemple

Sexe del’acteur1-h, 0-f

Dispositionperçu de

montré de lacolère

Domianceperçu

‘=.42

=.42=.28

Effet direct = ’=.42 Effet indirect =

Effet après contrÔle de la variable médiatrice: .30

Vérification du chemin ab

Test l’hypothèse que ab = 0 de Goodman (1960)

avec– a le coefficient non standardisé de la régression de la VM sur la VI– b le coefficient non standardisé de la régression de la VD sur la VM

(en contrÔlant pour la VI)– sa erreur type de a = a/ta

– sb erreur type de b = b/tb

Site avec calculatrice pour le test: http:/www.psych.ku.edu/preacher/sobel/sobel.htm.

Z ab

2

b a

2

s 2

a b

2

s a

2

s b

2

s

Exemple SPSS

Calcul de ’

Calcul de

a = .41, sa = .164

Calcul de

b = .40, sb = .096Effet apès contrÔle de la variable médiatrice: .30

Test de Goodman

b = .40 sb = .096 a = .41 sa = .164

Z ab

2

b a

2

s 2

a b

2

s a

2

s b

2

s

Z .16

.0062.0997; p .036

Ressources

Site web de Kristopher Preacher– http://www.people.ku.edu/~preacher/sobel/sobel.htm

Site web de David Kenny– http://davidakenny.net/cm/mediate.htm

MacKinnon, D. P., Lockwood, C. M., Hoffman, J. M., West, S. G., & Sheets, V. (2002). A comparison of methods to test mediation and other intervening variable effects. Psychological Methods, 7, 83-104.

Judd, C. M., Kenny, D. A., & McClelland, G. H. (2001). Estimating and testing mediation and moderation in within - subject designs. Psychological Methods, 6, 115-134.