Analyse des structures mecaniques´ par la methode des´ el ...nguyen.hong.hai.free.fr/EBOOKS/SCIENCE%20AND%20ENGINEERING/... · Analyse des structures mecaniques ... 4.3 Calcul numerique

Analyse des structures mecaniquespar la methode des elements finis

Marc BONNET

[email protected]

Ecole Polytechnique, departement de Mecanique, majeure 2 SeISM Edition 2005

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Table des matieres

1 Resolution approchee de problemes d’equilibre en elasticite 111.1 Rappel desequations de l’equilibre d’un solideelastique . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1 Equations de champ et conditions aux limites. . . . . . . . . . . . . . 121.1.2 Ensembles de champs admissibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.3 Rappel des proprietes de la relation de comportementelastique. . . . . 13

1.2 Principe des puissances virtuelles, formulation faible de l’equilibre . . . . . . . 141.3 Principes du minimum, formulation variationnelle de l’equilibre . . . . . . . . 15

1.3.1 Erreur en relation de comportement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.2 Energies potentielle et complementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.3 Minimisation desenergies, formulations variationnelles. . . . . . . . 17

1.4 Minimisation approchee : methode de Galerkin. . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.1 Methode de Galerkin pour l’energie potentielle. . . . . . . . . . . . . 181.4.2 Proprietes de l’approximation obtenue par la methode de Galerkin. . . 201.4.3 Methode de Galerkin pour l’energie complementaire . . . . . . . . . . 201.4.4 Estimation de la qualite de la solution approchee . . . . . . . . . . . . 211.4.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5 Recapitulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6 Complement : cas de conditions aux limites plus generales . . . . . . . . . . . 23

2 La notion d’ element fini isoparametrique 252.1 Exemple : deformations planes et maillage parelements triangulaires. . . . . . 25

2.1.1 Maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.2 Interpolation lineaire du deplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.3 Construction du probleme approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Le concept d’element fini isoparametrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.1 Maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.2 Representation de la geometrie approchee . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.3 Representation locale des deplacements. . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2.4 Representation globale des deplacements. . . . . . . . . . . . . . . . 362.2.5 Gradient et tenseur de deformation du deplacement interpole . . . . . . 372.2.6 « Notation ingenieur» des tenseurs de contraintes et de deformations . 38

2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 La methode deselements finis enelasticite lineaire 393.1 Construction du probleme d’elasticite approche parelements isoparametriques. 39

3.1.1 Constructiona partir de l’energie potentielle. . . . . . . . . . . . . . . 393.1.2 Constructiona partir d’une formulation faible. . . . . . . . . . . . . . 40

3.2 Calcul des integraleselementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.1 Matrices de rigidite elementaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

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4 TABLE DES MATIERES

3.2.2 Forces nodaleselementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.3 Integration numerique par points de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3 Assemblage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3.1 Assemblage de la matrice de rigidite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3.2 Assemblage du vecteur de forces nodales. . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4 Le systeme d’equations discret et sa resolution numerique. . . . . . . . . . . . 463.4.1 Proprietes de la matrice de rigidite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4.2 Resolution directe par factorisation de la matrice. . . . . . . . . . . . 473.4.3 Stockage en memoire de la matrice de rigidite . . . . . . . . . . . . . . 483.4.4 Resolution iterative par la methode du gradient conjugue . . . . . . . . 493.4.5 Post-traitement de la solution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5 Variante permettant le calcul des reactions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.6 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4 Application a la mecanique lineaire de la rupture 554.1 Notions essentielles en mecanique lineaire de la rupture. . . . . . . . . . . . . 55

4.1.1 Fissure, modes d’ouverture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.1.2 Taux de restitution d’energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.1.3 Singularite des contraintes en pointe de fissure, tenacite . . . . . . . . . 584.1.4 Lien entre descriptionenergetique (globale) et singularite (locale) . . . 59

4.2 Objet de la mecanique de la rupture numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3 Calcul numerique des facteurs d’intensite de contraintes. . . . . . . . . . . . . 60

4.3.1 La methode deselements finis pour les structures fissurees . . . . . . . 604.3.2 Evaluation des facteurs d’intensite de contraintes par extrapolation. . . 614.3.3 Elements finis speciaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4 Calcul numerique du taux de restitution d’energie . . . . . . . . . . . . . . . . 644.4.1 Description d’une extension de fissure par une transformation du domaine654.4.2 La« methodeG− θ » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.4.3 Expression deG comme invariant integral de contour : l’integraleJ . . 684.4.4 Avantages des methodes numeriques fondees sur l’approcheenergetique 69

4.5 Exemple d’illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5 Calcul de solidesa comportement non-lineaire 715.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2 Apercu de comportements non-lineairesa l’echelle de la structure. . . . . . . 71

5.2.1 Propagation de fissure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2.2 Endommagement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2.3 Contact unilateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2.4 Materiauxa comportement non lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.2.5 Transformations finies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.2.6 Juxtaposition de plusieurs types de non-linearites . . . . . . . . . . . . 79

5.3 Resolution numerique pour l’equilibre de solidesa comportement non-lineaire. 805.3.1 Contact unilateral sans frottement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.3.2 Equilibre enelasticite non lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.3.3 Resolution numerique d’uneequation scalaire non-lineaire . . . . . . . 835.3.4 Resolution numerique d’un systeme d’equations non-lineaires par la

methode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.3.5 Retour sur l’exemple de l’equilibre enelasticite non lineaire . . . . . . 87

Table des matieres 5

6 Calcul de solideselastoplastiques : aspects locaux 896.1 Rappels sur le comportementelastoplastique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.1.1 Domaine d’elasticite, limite d’elasticite, critere . . . . . . . . . . . . . 896.1.2 Evolution de la surface seuil,ecrouissage. . . . . . . . . . . . . . . . 906.1.3 Deformation plastique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.1.4 Regle de normalite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.1.5 Recapitulation : formulation du modele de comportementelastoplastique

considere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.2 Calcul numerique d’une structureelastoplastique : position du probleme . . . . 94

6.2.1 Hypotheses,equationsa satisfaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.2.2 Resolution numerique : principe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.3 Integration locale du comportementelastoplastique. . . . . . . . . . . . . . . 966.3.1 Integration en temps : point de vue implicite,equations en temps discret966.3.2 Predictionelastique et correction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.3.3 Algorithme de retour radial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.3.4 Cas particulier de l’ecrouissage isotrope lineaire . . . . . . . . . . . . 1006.3.5 Generalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1006.3.6 Ecarta la radialite et erreur d’integration temporelle . . . . . . . . . . 1016.3.7 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101

7 Calcul de solideselastoplastiques : aspects globaux 1057.1 Calcul numerique d’une structureelastoplastique : strategie de resolution . . . 105

7.1.1 Hypotheses,equationsa satisfaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.1.2 Resolution numerique : principe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1067.1.3 Principe de la resolution numerique du probleme global . . . . . . . . 107

7.2 Resolution par methode de Newton avec operateur tangent coherent . . . . . . 1077.2.1 Calcul de l’operateur tangent local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.2.2 Operateur tangent global.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1107.2.3 Algorithme pour le calcul d’une structureelastoplastique. . . . . . . . 1117.2.4 Difficultes lieesa l’incompressibilite plastique . . . . . . . . . . . . . 113

7.3 Resolution par methode de Newton modifiee avec direction de recherche constante1157.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116

7.4.1 Illustration des algorithmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1167.4.2 Application : prototype de collecteur d’echappement. . . . . . . . . . 119

8 Evolution thermique et thermoelasticite lineaire 1238.1 Thermoelasticite lineaire : rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123

8.1.1 Principes du minimum pour le probleme thermoelastique. . . . . . . . 1248.1.2 Formulation variationnelle et approximation parelements finis. . . . . 125

8.2 Conduction thermique instationnaire : semi-discretisation en espace parelementsfinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1268.2.1 Equations locales de la conduction thermique. . . . . . . . . . . . . . 1268.2.2 Formulation faible du probleme thermique . . . . . . . . . . . . . . . 1278.2.3 Semi-discretisation parelements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

8.3 Conduction thermique instationnaire : integration en temps discret. . . . . . . 1298.3.1 Formulation discretisee en espace et en temps. . . . . . . . . . . . . . 1298.3.2 Stabilite du schema d’integration en temps. . . . . . . . . . . . . . . 1308.3.3 Coherence du schema d’integration en temps. . . . . . . . . . . . . . 1318.3.4 Precision du schema d’integration en temps. . . . . . . . . . . . . . . 132


8.3.5 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1328.4 Calcul de la reponse thermoelastique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1348.5 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136

9 Analyse dynamique des structureselastiques 1379.1 Generalites sur la dynamique des solideselastiques . . . . . . . . . . . . . . . 137

9.1.1 Hypotheses,equations locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1379.1.2 Ondeselastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1389.1.3 Domaine de validite de l’approche quasistatique. . . . . . . . . . . . 139

9.2 Formulation faible et semi-discretisation parelements finis . . . . . . . . . . . 1399.2.1 Formulation faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1399.2.2 Semi-discretisation parelements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1409.2.3 Finesse du maillage et longueur d’onde. . . . . . . . . . . . . . . . . 141

9.3 Integration en temps. Algorithme de Newmark. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1419.3.1 Discretisation temporelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1429.3.2 Schema d’integration explicite : methode des differences centrees . . . 1429.3.3 Schemas d’integration de la famille de Newmark. . . . . . . . . . . . 1449.3.4 Analyse de stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1459.3.5 Analyse de coherence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1479.3.6 Precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1489.3.7 Retour sur le schema explicite des differences centrees . . . . . . . . . 148

9.4 Conservation de l’energie totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1499.5 Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151

A Complements 153A.1 Points et poids de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153

Introduction

L’augmentation rapide et reguliere des capacites (puissance, memoire vive, stockage) desordinateurs, certes un lieu commun maintes foisevoque, n’en constitue pas moins un facteuressentiel du developpement technologique. Un simple ordinateur personnel suffit actuellementpour effectuer des simulations numeriques de systemes physiques d’une grande complexite.Ces facteurs techniques eteconomiques, associes aux progres dans la conception d’algorithmeset leur developpement pratique, font que la simulation numerique occupe une place essentielledans la recherche et l’industrie.

Objet de la simulation. La simulation peut repondrea plusieurs types de besoins. Sanspretendreetre exhaustif, on peut notamment mentionner :

• Substituta l’experimentation : elle permet de predire la reponse d’un systeme de ca-racteristiques (geometrie, materiaux, liaisons) connuesa des sollicitations donnees. Onpeut ainsi, par exemple, analyser l’influence de certains parametres et, plus generalement,mieux comprendre la physique du systeme.

• Conception optimale : elle offre la possibilite de considerer« virtuellement» des va-riantes,eventuellement nombreuses, dans une demarche de conception, fournissant ainsiune alternativeeconomique et rapide aux experimentations lourdes et couteuses qu’il fau-drait sinon mettre en œuvre.

• Verification et certification : elle permet de verifier la conformite d’un systeme ou ouvragevis-a-vis de normes reglementaires.

• Estimation de duree de vie de systemes ou d’ouvrages, sous l’influence de facteurs ad-verses comme la fissuration, l’endommagement, la corrosion... et plus generalement ana-lyse de la securite et des risques dans les structures mecaniques.

• Analysesa posteriori(expertises), par exemple pour la determination des facteursa l’ori-gine d’un accident, voire de la ruine d’une structure.

• Simulation de procedes industriels : mise en forme, soudage...

• Aide a l’analyse de donnees experimentales obtenues sur des configurations complexes,par resolution de problemes inverses.

La simulation est en particulier un outil de conception et d’analyse essentiel dans tous les sec-teur industriels faisant intervenir la Mecanique : automobile et ferroviaire, genie civil, energie,aerospatial, microelectronique... Elle peutetre appliquee non seulementa un produit, mais aussiaux moyens de cette production. Elle est ainsi devenue une composante indispensable de la for-mation et des competences de l’ingenieur.

Methodes de simulation. La simulation numerique de systemes mecaniques ou physiquess’appuie sur plusieurs types de methodes, et en particulier

• Leselements finis (equations de stationnarite de principes variationnels) ;

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• Les elements de frontiere (equations de champ lineaires mises sous forme d’equationsintegrales) ;• Les differences finies (approximations de derivees dans desequations differentielles ou

aux derivees partielles) ;• Les volumes finis (forme integrale desequations de conservation) ;• Les methodes spectrales (representation de champs sur des bases de polynomes de degre

eleve).

Le choix parmi ces approches depend des particularites desequations constituant le modelemathematique du systemea simuler. On les emploie parfois de facon combinee : traitementdissocie des variables d’espace et de temps, ou encore situations presentant des couplages mul-tiphysiques.

La simulation du comportement mecanique des solides deformables et des systemes com-poses de tels solides, cadre general de ce cours, repose le plus souvent sur la methode deselements finis, completee par la methode des differences finies pour le traitement de la variabletemps, et occasionnellement sur la methode deselements de frontiere pour des situations par-ticulieres. La methode deselements finis est ainsi devenuede factola reference en matiere decalcul des solides deformables, et en particulier un outil essentiel de l’ingenieur,a travers denombreux codes de simulation employes dans l’industrie et la recherche. Elle est donc toutnaturellement au centre de ce cours.

Objectifs et cadre du cours. Ce cours a ainsi pour but de presenter de facon structuree lesconcepts et techniques principaux mis en œuvre dans les methodes numeriques de simulationdes solides deformables en regime lineaire et non-lineaire fondees sur leselements finis. Ceperimetre, restreint par rapporta la problematique generale de la simulation numerique, delimiteencore un domaine tres vaste, qu’il n’est pas question d’esperer couvrir par un cours de ceformat. Par souci de coherence, et aussi de complementarite avec d’autres enseignements del’Ecole Polytechnique, on a fait les choix suivants :

• Le cadre retenu est celui des solides deformables tridimensionnels, incluant le cas parti-culier des deformations planes, et dans le cadre de l’hypothese des petites perturbations(HPP). Cela signifie que sont exclus du champ de cet enseignements tous les modelesservanta la description de solideselances ou minces : barres et poutres (pour lesquels lediametre de la section est petit devant la longueur) ; membranes, plaques et coques (pourlesquels l’epaisseur est petite devant les autres dimensions). Ces modeles de structureselancees ou minces requierent le developpement d’elements finis specialement adaptes.Le cas des barres et poutres est traite dans le cours de Modelisation et calcul des structureselancees (Ballard et Millard, 2005), y compris hors de l’hypothese HPP.• La grande variete des comportements de materiaux ne permet pas, la non plus, un traite-

ment exhaustif. La presentation sera restreinte aux modeles de comportementselastiquelineaire, support classique et de grande importance pratique des notions de base concer-nant leselements finis, etelasto-plastique (sous sa forme la plus simple, adaptee a ladescription de materiaux metalliques).• L’analyse mathematique du comportement numerique des methodes d’elements finis (ca-

dre fonctionnel, theoremes de convergence, estimateurs d’erreur) n’est pas abordee, en-dehors de la mention sans demonstration de quelques resultats importants. Certaines deces notions sont abordees dans le cours d’Analyse numerique et optimisation (Allaire,2004).

Le contenu propose exploite fortement les acquis des cours de Mecanique des milieux continus(Salencon, 2004) et de Plasticite et rupture (Suquet, 2004). Des rappels relativement succincts

Table des matieres 9

des notions necessaires anterieurement traitees dans le dernier cours cite sont fournis, efin derendre ce cours auto-suffisant.

Themes abordes. Le cours aborde les themes suivants (numerotes par chapitre, chaque cha-pitre correspondanta un amphi) :

1. Rappels sur l’elasticite lineaire et les principes de minimum. Forme generale de la me-thode de Galerkin.

2. La notion d’element fini isoparametrique ; maillages, conformite, aspects locaux et glo-baux de l’interpolation.

3. La methode deselements finis enelasticite lineaire : matriceselementaires, assemblage,forces nodales, resolution par methode directe ou iterative, prise en compte des liaisons,post-traitement.

4. Mecanique de la rupture lineaire : rappels ; approches locale (elements finis speciaux) etglobale (taux de restitution d’energie, methodeG− θ, integraleJ).

5. Comportements non-lineaires : motivation, exemples et applications. Presentation d’al-gorithmes pour la non-linearite de contact, puis pour l’elasticite non-lineaire. Bases desmethodes de type Newton pour lesequations non-lineaires.

6. Calcul des structureselasto-plastiques : modele de comportement (rappel), aspects locaux(integration numerique implicite du comportement, methode du retour radial).

7. Calcul des structureselasto-plastiques : aspects globaux (algorithme incremental impli-cite, methode de Newton, operateur tangent coherent).

8. Thermoelasticite avec effets thermiques instationnaires ; integration d’equations lineairesd’ordre 1 en temps (approches explicite et implicite, stabilite).

9. Dynamique en regime transitoire ; integration d’equations lineaires d’ordre 2 en temps(algorithme de Newmark, stabilite).

Initiation a la pratique deselements finis. Certaines seances de travaux diriges de ce coursont lieu en salle informatique, et s’appuient sur des programmes d’initiation auxelements finisecrits en MATLAB par A. FRANGI.

D’autre part, tous les TMS (travaux de modelisation et simulation) portant sur des problemesde mecanique des solides et qui se deroulent parallemementa ce cours reposent implicitementsur les notions developpees ici et en constituent une application directe via les codes d’elementsfinis utilises (le plus souvent CAST3M).

Remerciements. A. FRANGI (professeur associe au Politecnico di Milano) et N. TARDIEU

(ingenieur-chercheura la direction R&D d’EDF) assurent les travaux diriges. Ils ont accepte demettre leur competence et leur enthousiasme au service de ce cours, ou toutetaita creer, et je lesen remercie chaleureusement. A. FRANGI, qui a de plus realise plusieurs modules informatiquesd’initiation en MATLAB et a ete le principal architecte du contenu des travaux diriges, a autotal apporte une contribution considerablea cet enseignement qui doitetre particulierementsoulignee.

Je tiens par ailleursa remercier les societes et organismes qui m’ont aimablement commu-nique des illustrations d’applications de l’analyse de structures parelements finis, reprises dansce polycopie : le Centre des Materiaux de l’Ecole des Mines (CEMEF) pour les figures5.2,5.12, 5.13; le Laboratoire Central des Ponts et Chaussees pour les figures5.9, 5.10, 5.11; lasociete PSA Peugeot Citroen pour les figures7.6, 7.7, 7.8, 7.9, 8.6, 8.7. Je remercieegalementH. D. Bui pour m’avoir autorise a reproduire certains de ses resultats (figures6.1, 6.2, 6.4), A.


Constantinescu et N. Tardieu pour l’utilisation de la figure5.5 sur l’indentation, ainsi que P.Suquet pour m’avoir permis de lui« emprunter» les figures4.1, 6.3 de son coursRupture etPlasticite.

Chapitre 1

Resolution approchee de problemesd’ equilibre en elasticite

Les structures mecaniques sont susceptibles de presenter des comportements tres divers,selon les caracteristiques de leurs materiaux constitutifs, les chargements subis, la nature desliaisons entreelements structuraux... Le concept d’element fini fournit, comme on le verra aulong de ce cours, un cadre generique permettant la definition de methodes de calcul approche desstructures dans toute leur diversite, adapteesa la prise en compte de configurations geometriquescomplexes et de comportements varies.

Le modele de comportement le plus simplea prendre en compte est celui de l’elasticitelineaire sous l’hypothese des petites perturbations (HPP), traite en detail dans le cours deMecanique des milieux continus (Salencon, 2004). Beaucoup de materiaux verifient ces hy-potheses pour des chargements« pas tropeleves», tels que les contraintes sont en tout pointdans undomaine d’elasticite dont la definition precise depend du materiau (Suquet, 2004). Lemodele de comportementelastique lineaire HPP est tres important pour la pratique, car lesconditions de fonctionnement de nombre de structures doiventetre telles que leur reponse restedans le domaineelastique.

Il est donc naturel d’aborder la problematique de la resolution approchee desequations dela mecanique des solides deformables en se restreignant, dans un premier temps, au cas del’ elasticite lineaire HPP. Ce chapitre introductif a pour but de poser les bases necessairesal’introduction de la methode deselements finis dans ce cadre. Il s’appuie sur des rappels desequations de l’equilibre enelasticite lineaire tridimensionnelle sous leur formes locale (sec-tion 1.1) et faible resultant du principe des puissances virtuelles (section1.2). La resolution parelements finis s’appuie alors soit sur cette formulation faible, soit sur les principes variationnelsde l’elasticite lineaire, deja traites en Mecanique des milieux continus (Salencon, 2004) mais re-trouves icia partir de la notion d’erreur en relation de comportement (section1.3). On presentealors en section1.4 la methode de Galerkin, une procedure generique de resolution approcheepar minimisation d’energie, et le lien entre formulations variationnelles et faibles est precise.L’extension de l’approche variationnellea des conditions aux limites plus generales fait enfinl’objet de la section1.6

1.1 Rappel desequations de l’equilibre d’un solide elastique

On considere un solide occupant dans sonetat naturel le domaineΩ ⊂ R3. Le materiauconstitutif est suppose elastique lineaire, et on se place dans l’hypothese des petites perturba-tions (HPP).

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12 CHAPITRE 1. RESOLUTION APPROCHEE DE PROBLEMES D’ EQUILIBRE EN ELASTICITE

1.1.1 Equations de champ et conditions aux limites

L’ equilibre du solide dans les conditions ainsi definies est gouverne par lesequations locales

ε(x) =1

2(∇ξ +∇Tξ)(x) (x ∈ Ω) (1.1)

div σ(x) + ρf(x) = 0 (x ∈ Ω) (1.2)

σ(x) = A :ε(x) (x ∈ Ω) (1.3)

et les conditions aux limites

ξ(x) = ξD(x) (x ∈ Sξ) (1.4)

σ(x).n(x) = TD(x) (x ∈ ST) (1.5)

pour lesquelles il est necessaire que les surfacesSξ etST forment une partition de∂Ω :

Sξ ∪ ST = ∂Ω , Sξ ∩ ST = ∅ (1.6)

dT_

ST

Sξ

ξd_

Ω

Figure 1.1: Equilibre HPP d’un solide elastique : notations.

On dit alors que les conditions aux limites sontbien posees, au sens ou elles garantissent l’exis-tence et l’unicite de la solution en contrainte et en deformation. Les conditions (1.4) et (1.5) nesont pas les seules possibles : on peut par exemple imposer des conditions exprimant l’existenced’un plan de symetrie (voir section1.6) ou la periodicite (liaisons entre deplacements sur deuxfaces opposees). Dans tous les cas, les conditions aux limites doiventetre telles que, en toutpoint de la frontiere, trois relations independantes entre des composantes du deplacement et duvecteur-contrainte soient imposees.

Les equations (1.1) a (1.5) constituent ce qu’on appelle parfois laformulation forteduprobleme d’equilibre enelasticite (par opposition auxformulation faiblesintroduites aux sec-tions1.2et 1.3). Elles relevent, comme pour tout modele de milieu continu, de trois categoriesessentielles :

(i) Equations de compatibilite cinematique : (1.1), (1.4) ;(ii) Equations d’equilibre : (1.2) et (1.5) ;(iii) Equation de comportement : (1.3).

1.1.2 Ensembles de champs admissibles

Pour marquer et mettre en œuvre la distinction ci-dessus, il est utile d’introduire les en-sembles de champs admissibles par rapport aux donnees du probleme considere. L’ensembleC(ξD) des deplacementscinematiquement admissiblesavec les deplacements imposesξD estalors defini par

C(ξD) =v | v continu et regulier surΩ et v = ξD surSξ

(1.7)

1.1. Rappel des equations de l’equilibre d’un solide elastique 13

tandis que l’ensembleS(ξD) des contraintesstatiquement admissiblesavec les efforts imposes(TD, f) est defini par

S(TD, f) =τ | div τ + ρf = 0 dansΩ, τ .n = TD surST

(1.8)

Aces definitions deja connues (Salencon, 2004), il est commode d’ajouter celle de l’ensembleC(0) des deplacements cinematiquement admissiblesa zero :

C(0) =u | u continu et regulier surΩ et u = 0 surSξ

(1.9)

et de designer simplement parC l’ensemble des champs de deplacement admissibles sans condi-tion sur la frontiere :

C =w | w continu et regulier surΩ

(1.10)

Les definitions (1.7), (1.9) et (1.10) stipulent que tout deplacement est continu, traduisant l’hy-pothese que le materiau se deforme en restant continu1. Poureviter des possibilites« patholo-giques» et en tout cas peu physiques, on exige de plus une certaine regularite. Une formulationforte du type (1.1)–(1.5) requierta priori des deplacements admissibles deux fois continumentdiff erentiables par morceaux2. Pour les besoins de l’approximation parelements finis, on peutse contenter d’une hypothese de regularite un peu moins contraignante :

v et∇v sont de carre integrable surΩ (1.11)

Comme on le verra en section1.3, cette condition3 exprime esssentiellement l’hypothese d’uneenergie de deformation finie.

Une reformulation plus compacte du probleme (1.1)–(1.5) gouvernant l’equilibre d’un so-lide elastique est alors

trouver(ξ, σ) ∈ C(ξD)×S(TD, f) tels que σ(x) = A :ε[ξ](x) (x ∈ Ω) (1.12)

ou la notationε[v] designe l’operation consistanta evaluer selon (1.1) le tenseur de deformationlinearise associe a un champ de deplacementv. On cherche donc le couple unique4 (ξ, σ) dechamps de deplacement cinematiquement admissible et de contrainte statiquement admissiblequi se correspondent par le comportementelastique lineaire.

1.1.3 Rappel des proprietes de la relation de comportementelastique

Dans l’equation de comportement (1.3), le tenseurA des modules d’elasticite est du qua-trieme ordre, possede les symetries

Aijk` = Ajik` = Ak`ij (1.13)

et est associe a une forme quadratique definie positive sur les tenseurs symetriques :

ε :A :ε > 0 , ∀ε , ‖ε‖ 6= 0 et ε = εT (1.14)

Compte tenu des symetries (1.13), un comportementelastique anisotrope general est susceptibled’etre defini par au maximum 21 coefficients d’elasticite independants. Dans le cas du materiauisotrope, il n’y a que deux modules d’elasticite independants et le tenseurA peut se mettre sous

1Il faudra doncetre attentifa la formulation precise de ces definitions en presence de fissures, cf. chapitre4.2La mention« par morceaux» permet la prise en compte de discontinuites de deformations, par exemplea la

traversee d’interfaces entre materiaux colles.3Les ensemblesC(0) etC sont alors les espaces de fonctions habituellement designes en analyse fonctionnelle

par les notationsH10 (Ω) etH1(Ω) (Allaire, 2004).

4Les solutions en contrainte et en deformation sont uniques pour tout jeu de conditions aux limites bien posees.En revanche, le deplacement solutionξ n’est unique que si les donnees cinematiques interdisent tout mouvementrigide (voirSalencon, 2004), ce qui est en particulier vrai des que la surfaceSξ est de mesure non nulle.


diverses formes en termes des modules d’elasticite usuels, par exemple :

A = 3λJ + 2µI = 2µ(

3ν

1− 2νJ + I

)= 3κJ + 2µK (1.15)

Dans les expressions ci-dessus,(λ, µ) sont les constantes de Lame,ν est le coefficient de Pois-son,κ est le module de compressibilite, etI , J , K des tenseurs d’ordre 4 definis comme suit.• Le tenseurI est associe a l’identite entre tenseurs symetriques du second ordre :

Iijk` =1

2(δikδj` + δjkδi`) (1.16)

• le tenseurJ est associe a la projection sur le sous-espace des tenseurs spheriques :

J =1

31⊗ 1 soit, en composantes :Jijk` =

1

3δijδk` (1.17)

• Le tenseurK est associe a la projection sur le sous-espace des tenseurs deviatoriques(c’est-a-dire de trace nulle) :

K = I −J (1.18)

Ces tenseurs, introduits dans le cours de Plasticite et rupture (Suquet, 2004), verifient

J :J = J , K :K = K , J :K = 0 (1.19)

Enfin, on definit le tenseurS des souplesseselastiques, associe a la forme inverse de la relationde comportement (1.3), par

σ = A :ε ⇐⇒ ε = S :σ soit A :S = S :A = I (1.20)

Ce tenseur est, commeA, defini positif :

τ :S :τ > 0 , ∀τ , ‖τ‖ 6= 0 et τ = τT (1.21)

1.2 Principe des puissances virtuelles, formulation faible de l’equilibre

L’ equation locale d’equilibre (1.2) peutetre exprimee sous une forme integraleequivalentepar dualisation, c’est-a-dire multiplication par un champw ∈ C arbitraire et integration surΩ.On obtient ainsi laforme faiblede l’equation locale d’equilibre∫

Ωσ :ε[w] dV =

∫Ω

ρf.w dV +∫

∂Ω[σ.n].w dS ∀w ∈ C (1.22)

qui correspond en fait au principe des puissances virtuelles (PPV) applique au cas de l’equilibre(les membre de gauche et de droite de l’egalite (1.22) correspondant respectivement aux puis-sances dans la vitesse virtuellew des efforts interieurs – avec changement de signe – et desefforts exterieurs). Bien noter que l’integrale de surface represente alors la puissance virtuellede tous les efforts de contact subis par la frontiere du solide analyse, sans distinction liee auxconditions aux limites.

On peut alors incorporer dans l’identite (1.22) du principe des puissances virtuelles la rela-tion combinant la compatibilite locale (1.1) et le comportementelastique (1.3) :

σ(x) = A :ε[ξ](x) (x ∈ Ω) (1.23)

Tenant par ailleurs compte de la condition aux limites (1.5), le principe des puissances virtuellesprend la forme∫

Ωε[ξ] :A :ε[w] dV =

∫Ω

ρf.w dV +∫

Sξ

[σ.n].w dS +∫

ST

TD.w dS ∀w (1.24)

Cette identite presente notamment les caracteristiques suivantes : (i) elle ne fait pas referenceaux donnees cinematiques (1.4), et (ii) elle fait intervenir le vecteur-contrainteT = σ.n surSξ,a priori inconnu et representant les reactions associeesa l’imposition de deplacements surSξ.

1.3. Principes du minimum, formulation variationnelle de l’equilibre 15

Compte tenu de ces remarques, on peut formuler le probleme d’equilibre de deux manieresapartir desequations (1.24), selon qu’on choisit d’eliminer la reaction ou de faire figurer expli-citement la donnee cinematique (1.4).

Premiere variante : formulation faible obtenue parelimination de la reaction. Pour que lareactionT ne figure pas dans la formulation finale, il suffit de restreindre l’equation (1.24) auxchamps virtuels cinematiquement admissiblesa zero. La donnee cinematique (1.4) verifiee parξ doit alorsetre prise en compte dans la definition de l’espace dans lequelξ est cherche. Onobtient ainsi laformulation faiblesuivante pour le probleme d’equilibreelastique (1.1)–(1.4) :

trouverξ ∈ C(ξD) tel que∫Ω

ε[ξ] :A :ε[w] dV =∫Ω

ρf.w dV +∫

ST

TD.w dS ∀w ∈ C(0) (1.25)

Deuxieme variante : formulation faible obtenue par ajout de la donnee cinematique. On peutchoisir de conserver la reactionT dans la la formulation faible finale. L’equation (1.24) estalors completee par la condition (1.4) ecrite sous forme faiblea l’aide d’un« vecteur contraintevirtuel» T ′ pouvant prendre des valeurs arbitraires surSξ, pour obtenir la formulation faible

trouver(ξ, T ) ∈ C×C ′[Sξ] tel que∫Ω

ε[ξ] :A :ε[w] dV −∫

Sξ

T .w dS =∫Ω

ρf.w dV +∫

ST

TD.w dS ∀w ∈ C∫Sξ

ξ.T ′ dS =∫

Sξ

ξD.T ′ dS ∀T ′ ∈ C ′[Sξ](1.26)

dans laquelleC ′[Sξ] est l’ensemble des champs de vecteurs contrainte surSξ definis par dualitepar rapport auxelements deC, c’est-a-dire tels que les integrales surSξ dans (1.26) sont definiespour tout champw ou ξ deC.

Discussion. La methode consistanta etablir une formulation faible par introduction desequa-tions locales de compatibilite et de comportement dans la forme integrale de l’equation d’equili-bre (puissances virtuelles) est tres generale. Elle est en particulier applicable pour des compor-tements non-lineaires et en dynamique, comme on le verra respectivement aux chapitres6, 7(analyse quasistatique des solideselastoplastiques) et9 (dynamique des solideselastiques).

1.3 Principes du minimum, formulation variationnelle de l’equilibre

Dans certains cas, et notamment pour l’equilibre des solideselastiques considere dans cechapitre, la solution peutegalementetre caracterisee par le fait qu’elle rend minimale uneenergie. Cette section est consacreea ce point de vueenergetique.

1.3.1 Erreur en relation de comportement

On a rappele plus haut la division en trois grands groupes desequations gouvernant l’etatmecanique d’un milieu continu : compatibilite, equilibre et comportement. Introduisons alorsl’ erreur en relation de comportement

E(v, τ) =1

2

∫Ω(τ −A :ε[v]) :S : (τ −A :ε[v]) dV (1.27)


ou v est un champ de deplacement,τ un champ de contrainte etS designe le tenseur dessouplesseselastiques defini par (1.20). On peut alors,a partir de (1.12), poser le probleme del’ equilibreelastique au moyen de la fonctionnelleE :

trouver(ξ, σ) ∈ C(ξD)×S(TD, f) tels que E(ξ, σ) = 0 (1.28)

De plus,S etant defini positif, la fonctionnelleE a les proprietes suivantes :

E(v, τ) ≥ 0 ∀(v, τ) (1.29)

E(v, τ) = 0 ⇒ τ −A :ε[v] = 0 dansΩ (1.30)

Ces proprietes et la formulation (1.28) entraınent donc que la solution(ξ, σ) du problemed’equilibre elastique minimise l’erreur en relation de comportement. On peut donc chercher(ξ, σ) comme solution du probleme de minimisation

trouver(ξ, σ) ∈ C(ξD)×S(TD, f) tels que E(ξ, σ) ≤ E(v, τ)

∀(v, τ) ∈ C(ξD)×S(TD, f) (1.31)

Ce couple(ξ, σ) n’est solution d’un probleme d’equilibreelastique bien pose que siE(ξ, σ)=05.La notion d’erreur en relation de comportement s’etenda des lois de comportement non

lineaires (Moes, Ladeveze et Douchin, 1999b; Ladeveze, 1999) ; cette generalisation est horsdu cadre de ce cours.

1.3.2 Energies potentielle et complementaire

Le probleme de minimisation (1.31) reposea priori sur la recherche d’uncouplecontrainte-deplacement. Il est en fait tres facile de decoupler ce probleme en deux problemes de minimisa-tion independants, l’un sur les deplacements et l’autre sur les contraintes. Pour cela, on reecritl’erreur en relation de comportement sous la forme

E(v, τ) =1

2

∫Ω

τ :S :τ dV +1

2

∫Ω

ε[v] :A :ε[v] dV −∫Ω(τ :ε[v]) dV

Le premier terme ne depend que du deplacement, tandis que le second ne depend que de lacontrainte. On remarque alors que le principe des puissances virtuellesecrit sous la forme (1.22)est vrai pour toutτ ∈ S(TD, f), et pour le choix de champ virtuelw = v, ce qui donne∫

Ωτ :ε[v] dV =

∫Ω

ρf.v dV +∫

∂Ω[τ .n].v dSx

=∫Ω

ρf.v dV +∫

Sξ

[τ .n].ξD dSx +∫

ST

TD.v dS

5Si les conditions aux limites sont bien posees (voir section1.1), on sait que le probleme (1.1)–(1.5) admet unesolution unique (eventuellementa mouvement rigidifiant pres), de sorte que la solution du probleme de minimisa-tion (1.31) verifieE(ξ, σ) = 0.

Il existe des situations, hors du cadre de ce cours, ou on est en possession de donnees aux limitessurabondantes,obtenues experimentalement, de sorte que le deplacementet le vecteur contrainte soient simultanement connusen certains points de la frontiere. On peut encore dans ce cas definir et minimiser une fonctionnelle d’erreur enrelation de comportement. Le probleme de minimisation (1.31) est dans ce cas susceptible de conduirea unesolution(ξ, σ) telle queE(ξ, σ) > 0. Cela indique que la modelisation du solide, caracterisee par la donnee deΩ et A, n’est pas coherente avec les conditions aux limites. Quand ces dernieres sont d’origine experimentale, etdonc representatives de la structure reelle,E(ξ, σ) > 0 traduit le fait que le modele ne represente pas correctementla structure reelle : mauvaise connaissance des modules d’elasticite, presence d’une cavite, fissure ou autre defautnon pris en compte dans la definition deΩ...

1.3. Principes du minimum, formulation variationnelle de l’equilibre 17

ou la deuxiemeegalite tient compte des conditions d’admissibilite (1.4) et (1.5). On parvientainsia exprimer l’erreur en relation de comportement sous la forme

E(v, τ) = P(v) + P?(τ) (1.32)

dans laquelle l’energie potentielleP(v) est definie par

P(v) =W(v)−F(v) (1.33)

avec

W(v) =1

2

∫Ω

ε[v] :A :ε[v] dV F(v) =∫Ω

ρf.v dV +∫

ST

TD.v dS (1.34)

et l’energie complementaireP?(τ) par

P?(τ) =W?(τ)−F?(τ) (1.35)

avec

W?(τ) =1

2

∫Ω

τ :S :τ dV F?(τ) =∫

Sξ

[τ .n].ξD dSx (1.36)

1.3.3 Minimisation desenergies, formulations variationnelles

La decomposition (1.32) montre clairement qu’on peut traiter la recherche du deplacementet de la contrainte solutions du probleme de l’equilibre d’un solideelastique de facon separee.Le deplacementξ solution est obtenu par minimisation de l’energie potentielle sur l’ensembledes deplacements cinematiquement admissibles :

ξ = arg minv∈C(ξD)

P(v) (1.37)

tandis que la contrainte solutionσ est obtenue par minimisation de l’energie complementairesur l’ensemble des contraintes statiquement admissibles :

σ = arg minτ∈S(TD,f)

P?(τ) (1.38)

(la notationx = arg miny f(y) signifie quex est une valeur de la variable, ouargument, y tellequef(y) soit minimale). Rappelons que(ξ, σ) ne definissent la solution que s’ils verifient

E(ξ, σ) = P(ξ) + P?(σ) = 0.

Equation de stationnarite de l’energie potentielle. Definissons lavariation δP de l’energiepotentielleP autour d’un champ admissiblev par

P(v + δv)− P(v) = P ′(v; δv) + o(|δv|) = δP + o(|δv|) (avecδv ∈ C(0)) (1.39)

δP est donc le terme d’ordre 1 enδv du developpement deP(v+δv). Le champ de deplacementξ ∈ C(ξD) qui realise la minimisation de l’energie potentielle est tel que, pour tout champadmissiblev = ξ + δξ, c’est-a-dire pour toute variationδξ cinematiquement admissiblea zero,

P ′(ξ; δξ) = 0 ∀δξ ∈ C(0) (1.40)

(l’ energie potentielle est stationnaire, c’est-a-dire« a une tangente horizontale», en v = ξ).Cette condition, expliciteea partir de la definition (1.33)–(1.34), conduita l’equation

trouverξ ∈ C(ξD) tel que∫Ω

ε[ξ] :A :ε[δξ] dV =∫Ω

ρf.δξ dV +∫

ST

TD.δξ dS ∀δξ ∈ C(0) (1.41)

Celle-ci, consequence et traduction du principe variationnel (1.40), est appeleeformulation va-


riationnelle du probleme d’elasticite lineaire (1.1)–(1.5). On remarque par ailleurs que (1.41)reproduit la formulation faible (1.25) decoulant du principe des puissances virtuelles.

Formulation faible, formulation variationnelle.On appelle formulation faible d’uneequationde champ la forme dualisee de cetteequation obtenue par multiplication par un champ virtuel etintegration sur le support geometrique de l’equation. L’equation (1.22), expression du principedes puissances virtuelles, est ainsi la formulation faible de l’equation locale d’equilibre (1.2).

Une formulation faible est appelee« formulation variationnelle» quand elle exprime lastationnarite d’une fonctionnelle (generalement de natureenergetique). L’equilibre d’un solideelastique pouvantetre (par exemple) exprime comme la minimisation de l’energie potentielle, laformulation faible (1.25) est en fait la formulation variationnelle (1.41) associeea ce principe.

1.4 Minimisation approchee : methode de Galerkin

Les ensemblesC(ξD) etS(TD, f) de champs admissibles sont des espaces affines de dimen-sion infinie. Il est donc clair que rechercher le minimum absolu de l’energie potentielleP(v),ou de l’energie complementaireP?(τ), est en pratique impossible dans la majorite des cas enraison de la complexite geometrique des systemes mecaniques reels. En revanche, il est toutafait concevable de chercher un minimumapprochedeP(v) ouP?(τ) en restreignant la minimi-sationa un sous-espace de champs admissibles de dimension finie. Explicitons cette approche,connue sous le nom de methode de Galerkin.

1.4.1 Methode de Galerkin pour l’energie potentielle

Celle-ci consistea considererP(v) pour des champsv de la forme

v(x) = v(D)(x) +N∑

I=1

αIϕI(x) avecv(D) ∈ C(ξD) etϕI ∈ C(0) (1.42)

c’est-a-dire comme somme d’une solution particuliere cinematiquement admissible avec lesdonnees en deplacement et d’une combinaison lineaire de fonctions cinematiquement admis-siblesa zero. La methode de Galerkin consiste ainsia choisira priori une representation sur unensemble de fonctions(v(D); ϕ1, . . . , ϕN), et les inconnues du probleme de minimisation sontalors les coefficients multiplicatifsαI, souvent appelesdeplacements generalises.

L’ energie potentielleP(v) calculee pour tout champ de la forme (1.42) est alors donnee par

P(v) =1

2αT[K]α − αTF+ P(v(D)) = P (α) (1.43)

en termes duvecteur des deplacements generalisesα, tel que

α = α1, . . . , αNT (1.44)

de lamatrice de rigidite [K], dont les coefficients sont donnes par

KIJ =∫Ω

ε[ϕI] :A :ε[ϕJ] dV (1 ≤ I, J ≤ N) (1.45)

et duvecteur des forces generaliseesF, de composantes

FI = −∫Ω

ε[v(D)] :A :ε[ϕI] dV +∫Ω

ρf.ϕI dV +∫

ST

TD.ϕI dS (1 ≤ I ≤ N) (1.46)

La matrice de rigidite [K] est carree d’ordreN , etF, α sont desN -vecteurs.L’ equation (1.18) introduit une convention de notation, frequemment utilisee dans les pu-

blications traitant de la methode deselements finis, suivant laquelle les vecteurs et matrices as-sociesa la representation des inconnues du probleme approche (ici, les deplacements generali-

1.4. Minimisation approchee : methode de Galerkin 19

ses) sont respectivement entre accolades· et crochets[·]. Cette convention a pour objet dedistinguer les vecteurs et tenseurs definis par referencea l’espace physique (vecteur positionx,deplacementv, deformationε,...) et les tableaux de nombresa une ou deux dimensions associesa l’espace vectoriel ou affine abstrait engendre par les fonctions de base de la methode de Galer-kin. De plus, comme suggere par (1.44), α indique unN-vecteur colonne et la transpositionαT un N-vecteur ligne, de sorte que (par exemple) l’expressionαT[K]α represente unscalaire, en conformite avec les regles usuelles de l’algebre matricielle.

La matrice de rigidite [K] est symetrique et positive, comme consequence directe des pro-prietes de symetrie et de positivite de la relation de comportementelastique lineaire (sec-tion 1.1.3). Si de plus aucun desϕI n’est un mouvement rigidifiant (c’est en particulier neces-sairement vrai des que la portionSξ de∂Ω est de mesure non nulle), alors toute combinaisonlineaire desϕI possede uneenergie de deformation non nulle. La matrice de rigidite est alorsdefinie positive(c’est-a-dire :α 6= 0 ⇒ αT[K]α > 0), et en particulier inversible.Acontrario, si la representation (1.42) contient des deplacements rigidifiants, la matrice de ri-gidite n’est pas inversible : pour toutα tel que le deplacement (1.42) est rigidifiant, on a[K]α = 0. Cetteeventualite doit clairementetreevitee en pratique.

Supposant[K] definie positive, l’energie potentielleP (α) definie par (1.43) est stricte-ment convexe par rapporta α et admet un minimum unique. Ce dernier est trouve par annu-lation des derivees partielles deP (α) (condition necessaire de minimisation), ce qui conduitau systeme deN equationsaN inconnues

[K]α = F (1.47)

et, par inversion, aux deplacements generalises optimaux

αmin = [K]−1F (1.48)

La solution approchee en deplacement au probleme d’equilibreelastique est donc donnee parl’expression (1.42) avecα = αmin, soit

ξN(x) = v(D)(x) +

N∑I=1

αminI ϕI(x) (1.49)

Il est possible d’en deduire, par application de la relation de comportementelastique lineaire,une solution approchee en contrainte, donnee par

σN

= A :ε[v(D)](x) +N∑

I=1

αminI A :ε[ϕI](x)

Celle-ci n’est en general pas statiquement admissible, et en particulier ne realise pas le minimumde l’energie complementaire (sauf si, par chance, le deplacement correspondaita la solutionexacte du probleme d’equilibreelastique).

Methode de Galerkin pour la formulation variationnelle.Il est possible d’utiliser des repre-sentations de la forme (1.42) directement dans la formulation variationnelle (1.41). Supposantle champξ de la forme (1.42) et les champs virtuelsδξ de la forme

δξ(x) =N∑

I=1

δαIϕI(x) (1.50)

la formulation variationnelle (1.41) devient

δαT[K]α = δαT[F] pour toutδα ∈ RN

ou F et [K] sont encore definis par (1.45) et (1.46). Cetteequation estequivalentea (1.47), eton retrouve ainsi la solution approchee en deplacement definie par (1.48).


1.4.2 Proprietes de l’approximation obtenue par la methode de Galerkin

L’erreur est orthogonalea C(0). Posonsξ = ξN

+ ∆ξ, ξN

etant la solution approchee (1.49)obtenue par la methode de Galerkin (∆ξ est donc l’erreur par rapporta la solution exacte). Pourtout champ virtuelδξ

Nde la forme (1.50), la formulation faible des solutions exacte et approchee

donne les relations∫Ω

ε[ξ] :A :ε[δξN] dV =

∫ST

TD.δξN

dS ,∫Ω

ε[ξN] :A :ε[δξ

N] dV =

∫ST

TD.δξN

dS

qui, par soustraction, conduisenta etablir que l’erreur∆ξ est orthogonale (au sens du produitscalaire associe a l’energie de deformation)a tout champ virtuel de l’espace d’approximationutilise : ∫

Ωε[∆ξ] :A :ε[δξ

N] dV = 0 (1.51)

Propriete de meilleure approximation.Developpons l’energie de deformation deξ − vN =∆ξ + (ξ

N−vN), difference entre la solution exacte et un champ quelconque de la forme (1.42) :∫

Ωε[ξ−vN] :A :ε[ξ−vN] dV

=∫Ω

ε[∆ξ] :A :ε[∆ξ] dV +∫Ω

ε[ξN−vN] :A :ε[ξ

N−vN] dV + 2

∫Ω

ε[∆ξ] :A :ε[ξN−vN] dV

Le champξN−vN etant de la forme (1.50), la derniere integrale ci-dessus est nulle en raison de

la propriete d’orthogonalite (1.51), et on obtient l’inegalite∫Ω

ε[∆ξ] :A :ε[∆ξ] dV ≤∫Ω

ε[ξ−vN] :A :ε[ξ−vN] dV (1.52)

qui montre queξN

est la meilleure approximation deξ parmi tous les champs de la forme (1.42),au sens de la norme enenergie.

Sous-estimation de l’energie de deformation. Developpons l’energie de deformation de la so-lution exacteξ = ξ

N+ ∆ξ :∫

Ωε[ξ] :A :ε[ξ] dV =

∫Ω

ε[ξN] :A :ε[ξ

N] dV +

∫Ω

ε[∆ξ] :A :ε[∆ξ] dV + 2∫Ω

ε[ξN] :A :ε[∆ξ] dV

Supposons que le deplacement impose est nul (ξD = 0), de sorte que la solution approcheeξN

estegalement de la forme (1.50). La derniere integrale ci-dessus est alors nulle en raison de lapropriete d’orthogonalite (1.51), et on obtient∫

Ωε[ξ

N] :A :ε[ξ

N] dV =

∫Ω

ε[ξ] :A :ε[ξ] dV −∫Ω

ε[∆ξ] :A :ε[∆ξ] dV

<∫Ω

ε[ξ] :A :ε[ξ] dV (1.53)

En d’autres termes, siξ ∈ C(0), l’ energie de deformation de la solution approchee ξN

estinferieurea celle de la solution exacteξ. En ce sensenergetique,ξ

Napprocheξ par defaut.

1.4.3 Methode de Galerkin pour l’energie complementaire

Celle-ci consistea considererP?(τ) pour des champs de contrainteτ de la forme

τ(x) = τ (D)(x) +N∑

I=1

βIτI(x) avecτ (D) ∈ S(TD) et τ I ∈ S(0) (1.54)

c’est-a-dire comme somme d’une solution particuliere statiquement admissible avec les donnees

1.4. Minimisation approchee : methode de Galerkin 21

et d’une combinaison lineaire de champs statiquement admissiblesa zero. L’energie comple-mentaireP?(τ) calculee pour tout champ de la forme (1.54) est alors donnee par

P?(τ) =1

2βT[S]β − βTUd+ P?(τ (D)) = P ?(β) (1.55)

en termes de lamatrice de souplesse[S], dont les coefficients sont donnes par

SIJ =∫Ω

τ I :S :τ I dV (1 ≤ I, J ≤ N) (1.56)

et du vecteurUd des deplacements generalises associes aux donnees cinematiques, de com-posantes

UdI =

∫Sξ

[τ I.n].ξD dS −∫Ω

τ I :S :τ (D) dV

La matrice de souplesse[S] est carree d’ordreN , definie positive ;U, β sont desN -vecteurs. La minimisation deP ?(β) par rapportaβ conduit alorsa

[S]β = Ud ⇒ βmin = [S]−1Ud (1.57)

La solution approchee en contrainte est alors donnee par (1.54) avecβ = βmin. En general,le champ de contrainte ainsi obtenu ne mene pas, via la relation de comportement inverse (1.20),a des deformations compatibles, et ne peut donc pasetre integre en vue d’obtenir une solutionapprochee en deplacement.

1.4.4 Estimation de la qualite de la solution approchee

Supposons que les methodes de minimisation de l’energie potentielle et de l’energie comple-mentaire puissentetre mises en œuvre simultanement pour la resolution approchee d’un pro-bleme d’equilibre du type (1.1)–(1.5). Pour mesurer la qualite du couple(ξ

N, σ

N) forme par

le meilleur deplacement cinematiquement admissible et la meilleure contrainte statiquementadmissible obtenus, on peut alorsevaluer son erreur en relation de comportement

E(ξN, σ

N) = P (αmin) + P ?(βmin).

Pour definir un indicateur de qualite d’interpretation simple, il est preferable de le mettre sousforme adimensionnelle. On peut par exemple calculer le quotient

P (αmin) + P ?(βmin)|P (αmin)|+ |P ?(βmin)|

qui doit etre aussi petit que possible.

1.4.5 Discussion

La methode de Galerkin pour l’energie potentielle est dans son principe assez facilea mettreen œuvre dans la mesure ou la construction de bases(ϕI) verifiant les conditions d’admissibilitecinematique l’est. Cela decoule du fait que lesϕI ne sont astreints, outre les conditions auxlimites surSξ, qu’a verifier des conditions de regularite : continuite, energie de deformationW(ϕI) finie. En particulier, on peut proposer des methodes systematiques de construction debases(ϕI) d’ordreN quelconquea partir de familles de polynomes orthogonaux ; cette approcheesta la base desmethodes spectrales(Bernardi et Maday, 1992).

La methode de Galerkin pour l’energie complementaire est plus difficilea mettre en œuvre, car les bases(τ I) doiventetre constituees de champs de contrainte statiquement admissiblesa zero, et donc en particuliera divergence nulle. Cela rend la construction de telles familles dechamps tres difficile, sauf sur des systemes de geometrie simple.


La methode de Galerkin appliquee avec des bases(ϕI) de champs definis sur toutΩ (et enparticulier l’approche spectrale) presente deux caracteristiques notables :

(a) Les coefficients de la matrice de raideur (ou de souplesse) et du second membre resultentdu calcul d’integrales sur toutΩ ;

(b) La matrice de raideur (ou de souplesse) estpleine : tous les coefficientsKIJ donnespar (1.45), ouSIJ donnes par (1.56), sonta priori non nuls.

Le point (a) est genant pour traiter des configurations geometriques complexes, l’integrationnumerique devenant alors delicatea mettre en œuvre et chere en temps de calcul. Le point(b) est defavorable en termes de temps de calcul, la resolution d’un systeme d’equations telque (1.47) etant plus rapide si la matrice du systeme lineaire (dans cet exemple,[K]) estcreuse,c’est-a-dire presente une proportion importante de termes nuls.

La methode deselements finis, qui sera exposee en detail a partir du chapitre2 est uneforme particuliere de la methode de Galerkin concue de facona eviter ces inconvenients. L’ideeprincipale est de definir des bases constituees de fonctionsϕI a support« petit», c’est-a-direnulles en dehors d’une petite regionΩI ⊂ Ω de forme simple.

(a) Les integrations numeriques portent sur des petites regions, ce qui permet une mise enœuvre plus simple et uneevaluation numerique plus rapide. Par exemple, le calcul deKIJ

defini par (1.45) repose sur une integration surΩI ∩ ΩJ.(b) Tous les coefficientsKIJ ou SIJ tels queΩI ∩ ΩJ = ∅ sont nuls, ce qui conduita des

matrices de raideur ou de souplesse tres creuses.

1.5 Recapitulation

Dans ce chapitre, on a montre comment obtenir des formulations faiblesequivalentes auprobleme d’equilibre elastique initial pose en termes d’equations de champ et de conditionsaux limites. Ces formulations faibles resultent soit de l’application du principe des puissancesvirtuelles, dans lequel on incorpore lesequations locales de compatibilite et de comportement,soit de l’expression de principes variationnelsenergetiques (quand cela est possible).

Une approche generale pour la recherche de solutions approchees repose alors sur la metho-de de Galerkin, consistanta representer les champs de deplacement inconnu et virtuel sur unememe base choisiea priori. Nous verrons dans les chapitres qui suivent que la methode deselements finis peutetre vue comme une forme particuliere de la methode de Galerkin, reposantsur des fonctions de basea support geometrique« localise».

1.6. Complement : cas de conditions aux limites plus generales 23

1.6 Complement : cas de conditions aux limites plus generales

Pour simplifier l’exposition, on n’a considere dans ce chapitre que deux possibilites pour les condi-tions aux limites en un point de la frontiere : vecteur deplacement impose, ou vecteur contrainte impose.D’autres possibilites existent, et il faut modifier en consequence la formulation faible ou variationnelledu probleme d’equilibre.

Atitre d’exemple, considerons le cas ou la frontiere∂Ω est constituee de trois surfaces disjointesSξ, ST, Ssym, et les conditions aux limites definies par

σ(x).n(x) = TD(x) (x ∈ ST) (1.58)

ξ(x) = ξD(x) (x ∈ Sξ) (1.59)

ξ(x).n(x) = 0 (x ∈ Ssym) (1.60)

σ(x).n(x)− σn(x)n(x) = 0 (x ∈ Ssym) (1.61)

ou σn = n.σ.n est la contrainte normale. Les surfacesSξ, ST supportent, comme precedemment, desvaleurs imposees du deplacement ou du vecteur contrainte, tandis que les conditions (1.60) et (1.61)expriment un glissement sans frottement le long de la surfaceSsym. L’utilit e pratique de ce nouveau typede condition vient de ce qu’elle represente le comportement attendu des deplacements et des contraintessur un plan de symetrie geometrique quand les conditions de chargement sont elles-memes symetriques.Elles permettent ainsi de poser le probleme d’equilibre sur un domaine reduit par utilisation de symetriesplanes (la figure1.2en montre un exemple).

Il faut alors adapter la definition des espaces de champs admissiblesa la nouvelle structure de condi-tions aux limites. Les ensembles de champs admissibles sont ainsi maintenant

C(ξD) =v | v continu surΩ, v = ξD surSξ et ξ.n = 0 surSsym

S(TD, f) =

τ | div τ + ρf = 0 dansΩ, τ .n = TD surST et σ.n− σnn = 0 surSsym

C(0) =

v | v continu surΩ, v = 0 surSξ et ξ.n = 0 surSsym

En reprenant l’argumentation developpee en section1.3, on trouve que lesenergies potentielle et comple-mentaire sont encore definies par les expressions (1.33) a (1.36). La surface de symetrieSsym intervientainsi dans la definition des ensembles de champs admissibles, et implicitement par le fait queSξ et ST

ne definissent maintenant plus une partition de la frontiere∂Ω.

symS

Ω

Figure 1.2: Exemple de symetrie par rapport a un plan. Le domaine utile Ω, sur lequel les equations aresoudre sont posees, est la moitie superieure du solide (d’autres choix etant aussi possibles).


Chapitre 2

La notion d’ element fini isoparametrique

Les besoins, notamment industriels, d’analyses des comportements mecanique de systemesde geometrie complexe et soumisa des sollicitations variees ont motive la conception de metho-des de resolution approchee permettant de traiter des configurations quelconques.

Dans le domaine de la mecanique des solides, l’approche dominante est celle fondee sur lanotion d’element fini. Elle repose sur la representation de la configuration geometrique commeassemblage d’elements de forme simple (leselements finis) sur chacun desquels les champsinconnus sont approches par des fonctions« simples» construitesa partir de polynomes. Dansce cadre, la voie la plus simple, et sur laquelle ce cours se concentre, consistea prendre lesdeplacements comme inconnue principale.

Ce chapitre est consacre a la notion d’element fini isoparametrique, classiquement utiliseepour la representation de la configuration geometrique et du champ de deplacement pour lesmilieux continus tridimensionnels. La section2.1 aborde,a titre d’exemple introductif, leselements finis lineaires (trianglesa trois nœuds) enelasticite plane. La notion d’interpolationisoparametrique est ensuite developpee dans sa generalite en section2.2.

2.1 Exemple : deformations planes et maillage parelements triangulaires

Dans cette section introductive, on considere la recherche de solutions approchees auxproblemes d’elasticite lineaire sous l’hypothese des deformations planes fondee sur leselementsfinis triangulaires avec interpolation lineaire. Cela corresponda des situations tridimension-nelles particulieres ou le solide occupe un domaine cylindrique de generatrices parallelesa Ox3

et illimit e selonx3, dans lequel le champ de deplacement recherche est en tout point de la forme

ξ(x1, x2, x3) = ξ1(x1, x2)e1 + ξ2(x1, x2)e2 (2.1)

Cette hypothese presume notamment que les sollicitations (forces ou deplacements) sont exer-cees selon les directions 1 et 2 et de facon invariante par translation suivantx3. Dans un soucid’uniformite de notation, il est alors commode dans ce contexte de designer parΩ le domaine

x1

x2

x1

x2

ST

Sξx3

Ω

Figure 2.1: Probleme d’equilibre elastique en deformation plane

25

26 CHAPITRE 2. LA NOTION D’ ELEMENT FINI ISOPARAMETRIQUE

plandefinissant le solide, c’est-a-dire la section du solide tridimensionnel par le planx3 = 0, etparSξ et ST les courbes realisant la partition de∂Ω en zonesa deplacement impose eta effortimpose (voir figure2.1).

2.1.1 Maillage

Il est alors possible de creer l’approximation d’un domaine planΩ quelconque par un as-semblageΩh de regions triangulairesa cotes rectilignes, appele maillage, et les sommets destriangles ainsi crees sont alors appelesnœuds(figure2.4). L’approximation reside en ce que lafrontiere, generalement courbe, deΩ se trouve representee par une suite de segments rectilignes.Il est par ailleurs clair que

(i) le « vrai » domaineΩ peut etre approche, aussi precisement que l’on voudra, par unmaillage de triangles« suffisamment petits» ;

(ii) Pour tout domaineΩ de forme polygonale, on peut realiserΩh = Ω.

La lettreh apparaissant en indice dans la notationΩh utilisee pour designer l’approximation dudomaineΩ designe la dimension caracteristique d’unelement (diametre du plus grand cerclecirconscrita un triangle du maillage). Cette notation est devenue habituelle dans les publicationsportant sur la methode deselements finis, et est aussi utilisee pour signaler le caractere approched’autres quantites (par exemple le deplacement dans l’equation (2.2) ci-dessous).

d

h = maxelements

d

Figure 2.2: Element triangulaire a trois nœuds et definition du parametre h de finesse de maillage.

2.1.2 Interpolation lineaire du deplacement

Une fois un maillage de ce type defini, on cherche la solution en deplacement approche dansl’ensemble des champs de deplacementscontinus et lineaires sur chaque triangle. Une methodesystematique de construction de cet ensemble repose sur la notion dedeplacement nodal. Eneffet, assignonsa chaque nœudx(k) du maillage une valeur arbitrairement choisiev(k) (v(k) estdonc le deplacement nodal au nœudk du maillage). Sur tout triangleT du maillage, de sommetsnotesx(k), x(`), x(m), il est alors possible d’interpoler les deplacements nodauxv(k), v(`), v(m)

par une fonction lineaire (figure2.3). Cette interpolation peutetre mise sous la forme

vh(x) = Nk(x1, x2)v(k) + N`(x1, x2)v

(`) + Nm(x1, x2)v(m) (x∈ T ) (2.2)

x1

x2

x1

x2

x1

x2

v

(T)

(T)x_ x_

x_

x_

x_

x_

(k)

(m)

(m)

(k)

v (k)

( )

( )

l

l

Figure 2.3: Element triangulaire a trois nœuds, interpolation lineaire des valeurs nodales de v.

2.1. Exemple : deformations planes et maillage par elements triangulaires 27

x(n)_

1

ξ hd

_ ξd

_

Figure 2.4: A gauche : Fonction de forme globale definie a partir d’elements triangulaires lineaires.A droite : support de la fonction ξ(0) servant a interpoler des donnees cinematiques (en grisefonce) ; ξD et ξD

hdesignent respectivement la donnee exacte et son interpolee sur le bord. ξ(0)

s’annule a tous les nœuds de couleur blanche, et est nulle sur la zone en grise clair.

ou les fonctions d’interpolationNk, N` et Nm, dites aussifonctions de forme, sont affines en(x1, x2) et telles que

Nk(x(`)) = δk` (2.3)

Cherchant chaqueNk(x1, x2) pour unelement fini triangulaire generique sous la forme

Np(x1, x2) = c(p)0 + c

(p)1 x1 + c

(p)2 x2 (p = k, `, m) (2.4)

et imposant les trois conditions (2.3), les expressions explicites des fonctions de forme (2.4)sont obtenues sans difficulte. La fonctionNk associee au sommetx(k) correspond ainsia

c(k)0 =

1

2A(x

(`)1 x

(m)2 − x

(`)2 x

(m)1 ) c

(k)1 =

1

2A(x

(`)2 − x

(m)2 ) c

(k)2 =

1

2A(x

(m)1 − x

(`)1 ) (2.5)

ou A est l’aire du triangleT , donnee par

2A = (x(`)1 − x

(k)1 )(x

(m)2 − x

(k)2 )− (x

(`)2 − x

(k)2 )(x

(m)1 − x

(k)1 )

Les fonctions de formeN`(x1, x2) et Nm(x1, x2) sont obtenues par le meme procede, et sededuisent de (2.5) par permutation circulaire des indices(k, `, m).

Il est clair que l’interpolation lineaire (2.2) des deplacements nodaux conduita une deforma-tion constante par triangle. Le tenseur de deformation associeeavh defini par (2.2) sur le trianglegeneriqueT de sommetsx(k), x(`), x(m) est relie aux deplacements nodauxv(k), v(`), v(m) par

ε11(x)

ε22(x)

2ε12(x)

=

b(k) 0 b(`) 0 b(m) 0

0 c(k) 0 c(`) 0 c(m)

c(k) b(k) c(`) b(`) c(m) b(m)

v(k)1

v(k)2

v(`)1

v(`)2

v(m)1

v(m)2

(x∈ T ) (2.6)

2.1.3 Construction du probleme approche

L’approximation du deplacement (2.2), (2.4), (2.5) ainsi construite sur chaque triangle reali-se l’interpolation, lineaire sur chaque triangle et continue, de deplacements nodaux donnes. Elledefinit sur l’ensemble du domaine approcheΩh des champs de deplacement de la forme

vh(x) =NN∑n=1

Nn(x)v(n) =∑n∈D

Nn(x)ξD(x(n)) +∑n∈I

Nn(x)v(n) (2.7)


dans laquelle

• n = 1, . . . , NN sont les numeros globaux des nœuds du maillage ;• La fonction de forme globaleNn(x) associee a un nœudx(n) a pour supportΩ(n) la

reunion des triangles du maillage ayant le nœudx(n) pour sommet ; elle est lineaire surchaque triangle, vaut 1 enx = x(n) et zeroa tous les autres nœuds du maillage (figure2.4) ;• La partition1, . . . , NN=D ∪ I (avecD= n | x(n) ∈ Sξ etI = 1, . . . , NN \ D) des

numeros de nœuds permet de distinguer entre deplacements nodaux inconnus et donnespar les conditions aux limites (1.4).

La representation (2.7) du deplacement est de la forme (1.42), le champ particulierv(D) ∈C(ξD)

correspondant au premier terme (somme surn ∈ D) et les fonctions de baseϕ(I)(x) ∈ C(0)

etant donnees parϕ(I)(x) = Nn(x)ej (n ∈ I) moyennant une renumerotation(n, j) → I.Elle permet donc la construction d’un probleme approche selon la methode de Galerkin decriteen section1.4. Il est important de noter que cette construction a maintenant pour support ledomaineapproche Ωh et les fonctions de base definies surΩh, et non le domaine exactΩ.En particulier, la matrice de rigidite et le vecteur des forces generalisees resultent d’integralesdu type (1.45) et (3.11) calculees pour le domaine approche Ωh et sa frontiere, tandis que lafonction ξ(0)(x) est cinematiquement admissible avec les donnees en deplacementau sens del’approximation parelements finis.

Les elements finis fondes sur l’interpolation lineaire par triangle sont un cas particulierd’une famille d’elements finis ditsisoparametriques. Cette famille, et les problemes approchesauxquels elle conduit, est traitee en detail dans la suite de ce cours. Il n’est donc pas necessaired’approfondira ce stade le procede de construction du probleme approche fonde sur l’elementfini triangulaire lineaire.

L’id ee d’interpolation lineaire par triangle, et une application, figurent dans un article deCourant(1943), une des toutes premieres references ou apparaıt la notion d’element fini.

2.2 Le concept d’element fini isoparametrique

L’approche precedemment decrite ne convient que pour les problemes plans, et conduitaune representation des deformations (et donc des contraintes) constante parelement (triangle).Il est important de pouvoir la generaliser :

(a) Elements finis volumiques, pour traiter les situations tridimensionnelles ;(b) Representation des deplacements par des polynomes de degre pluseleve ;(c) Meilleure approximation de frontieres courbes.

Le concept d’element fini isoparametrique, sujet principal de ce chapitre, reponda ces objectifs.

2.2.1 Maillage

On se placea partir de maintenant dans le cadre general d’un solide dont la configurationest decrite par le domaineΩ ⊂ RD (D = 2 en deformations planes ou contraintes planes,D = 3pour un solide tridimensionnel).

(i) Le domaineΩ est divise enNE regionsE(e) (1 ≤ e ≤ NE) de forme simple : trianglesou quadrangles (probleme plan) ; parallelipipedes, prismes ou tetraedres (solide tridimen-sionnel). Ces regions pourrontetre distordues, et en particulier avoir des faces ou cotescurvilignes. Chacune de ces regions definira le support geometrique d’unelement fini.

(ii) On choisit par ailleurs un nombre finiNN de pointsx(n) (1 ≤ n ≤ NN) de Ω, ap-pelesnœuds. Ces nœuds comprennent en particulier tous les sommets des regions dudecoupage.

2.2. Le concept d’element fini isoparametrique 29

L’ensemble deselementsE(e) et des nœudsx(n) ainsi definis constituent unmaillagedeΩ. Pourun decoupage donne deΩ enelements, le choix des nœuds n’est pas arbitraire. Il doit en effetcorrespondrea l’une des possibilites repertoriees de familles de fonctions de forme associeesaune forme d’element donnee (triangle, quadrangle, tetraedre,...), comme celles presentees auxsections2.2.2et2.2.3.

Sur le plan informatique, les donnees necessairesa la definition d’un maillage sont habituel-lement structurees en deux tables :

• La table des coordonnees nodales, noteeCOOR, disposee enNN lignes etD colonnes, telleque la lignen donne les coordonnees du nœudx(n) :

COOR(n, j) = x(n)j

• La table de connectivite, noteeCONNEC, disposee enNE lignes, telle que la lignee donnela liste des numeros des nœuds situes sur l’elementE(e). Tous leselements n’ayantpas necessairement le meme nombre de nœuds, il faut par ailleurs stocker la valeur deN(e) pour chaqueelement, par exemple sous la forme d’une colonne supplementaire deCONNEC. On aura ainsi1 :

CONNEC(e, 0) = N(e) (nombre de nœuds de l’elementE(e))

CONNEC(e, 1:N(e)) (liste des numeros globaux des nœuds deE(e))

(ou la notation« 1 : N(e) », de style« MATLAB », designe l’ensemble1, 2, . . . , N(e)d’entiers). De meme, la relation

n = CONNEC(e, k)

indique que le nœud denumero localk relativementa l’element finiE(e) est le nœudx(n)

denumero globaln.

L’association deselements et des nœuds constitue le support permettant la definition

(i) d’une approximationΩh du domaineΩ (permettant le calcul des integrales d’energie dedeformation et de puissance des efforts exterieurs), et

(ii) d’une approximationvh de tout champ de deplacement cinematiquement admissiblev.

Ces points (i) et (ii) sont essentielsa la comprehension de la methode deselements finis, et vontmaintenantetre detailles, respectivement dans les sections2.2.2et2.2.3.

2.2.2 Representation de la geometrie approchee

Considerons unelement generiqueE contenantN(e) nœudsx(k), 1≤ k≤N(e) (par exemple,les elements triangulaires introduits en section2.1 contiennentN(e) = 3 nœuds, situes aux 3sommets). En association avec la forme topologiquement simple (maiseventuellement distor-due) de l’elementE dans l’espace physique, on introduit unelement de reference∆ ⊂ RD, deforme simple et de dimensions« normalisees» (figure2.5), comme par exemple

• le carre unite (D = 2) : ∆ = (a1, a2) | −1≤ a1, a2≤ 1 ;• le cube unite (D = 3) : ∆ = (a1, a2, a3) | −1≤ a1, a2, a3≤ 1 ;• le triangle unite (D = 2) : ∆ = (a1, a2) | (a1, a2) ≥ (0, 0), 1−a1−a2≥ 0 ;• le tetraedre unite (D = 3) : ∆ = (a1, a2, a3) | (a1, a2, a3) ≥ (0, 0, 0), 1−a1−a2−a3≥ 0.

1La forme des structures de donnees servanta decrire les maillages et les inconnues qu’ils supportent, ainsi queleur programmation, varient d’un codea l’autre, mais exploite les principes que la structure tres simple proposeeici pour COORet CONNECcherchea decrire.


a1

a2

x x

x

xxx

x

(3)(7)

(8)

x(5)

(4)

(1)(2)

(6)(E)8

5

34

1 2

6

7

(∆)

Figure 2.5: Element fini quadrangulaire a 8 nœuds : element de reference ∆ (gauche) et element E dansl’espace physique (droite).

Les points deE sont alors mis en relation avec ceux de∆ par une representation parametriquede la forme

x =N(e)∑k=1

Nk(a)x(k) (2.8)

(voir figure2.5) ou lesfonctions de formeNk(a) sont des polynomesaD variables.La definition des fonctions de formeNk(a) est soumisea la contrainte suivante : la represen-

tation (2.8) doit etre vraie six est un nœudx(`), ce qui impose de verifier les identites

x(`) =N(e)∑k=1

Nk(a(`))x(k) (1≤ `≤N(e)) (2.9)

ou a(`) designe l’antecedent dex(`) sur l’element de reference∆. Cette condition devantetrevraie pour tout choix desN(e) nœuds, les fonctions de forme doivent donc verifier

Nk(a(`)) = δk` (1≤ k, `≤N(e)) (2.10)

Notion de maillage conforme.Deux elements contigus decrits par des representations (2.8)doivent se raccorder sans recouvrement ni« trou» (figure2.6). Pour ce faire,

• la position d’un pointx situe sur une face (respectivement une arete) deE ne doitdependre que des nœudsx(k) situes sur la meme face (respectivement la meme arete).

Cette exigence est realisee si chaque fonctionNk(a) s’annule non seulement aux nœudsx(`)

(` 6= k) comme le prevoit (2.10), maisegalementsur toute face et toute arete deE ne contenantpas le nœudx(k).

Si cette condition est remplie pour les fonctions d’interpolation, il faut alors aussi que

(i) Les traces des fonctions de forme sur l’interface commune soientegales ;(ii) Deuxelements contigus partagent les memes nœuds sur leur interface commune.

On parle alors de maillageconforme. Le domaine approche Ωh construit par assemblage con-forme d’elements finis ne presente alors ni trou ni recouvrement aux interfaces d’elements

Quelques exemples d’elements finis et de fonctions de forme, pour des problemes plans outridimensionnels, satisfaisant aux exigences ci-dessus sont presentes au tableau2.1, page32.

1

2

1

2

1 1

2

1

Figure 2.6: Raccord conforme (gauche) ou non conforme (milieu et droite) de deux elements.


a2

a1

N = 04

N =

04

a2

a1

N = 08

N = 08

N = 08

6

21

4 3

8

7

5

2

136

5 4

Figure 2.7: Nulllite de la fonction de forme Nk(a) sur toute face et toute arete ne contenant pas le nœudx(k) (a gauche : k = 4 pour le triangle a 6 nœuds, a droite : k = 8 pour le quadrangle a 8 nœuds).

Exemple : raccord conforme d’un trianglea six nœuds et d’un quadrilaterea huit nœuds. Con-siderons le maillage de la figure2.8, constitue d’un trianglea six nœuds et d’un quadrilatereahuit nœuds. Les cotes d’elements pour lesquels les nœuds ne sont pas alignes sont curvilignes.

(nœud 1) 0 0

(nœud 2) 3 0

(nœud 3) 6 1

(nœud 4) 8 3

(nœud 5) 10 5

(nœud 6) 0 3

(nœud 7) 4 4

(nœud 8) 8,5 7,5

(nœud 9) 0 6

(nœud 10) 3 8

(nœud 11) 6 9

1 23

4

5

8

1110

9

6

7

2

1

y=10

y=5

x=5 x=10

N(e) nœuds

(element 1) 6 3 9 1 7 6 2 × ×(element 2) 8 3 5 11 9 4 8 10 7

COOR CONNEC

Figure 2.8: Maillage constitue d’un triangle a six nœuds et d’un quadrilatere a huit nœuds ; tables de coor-donnees (le maillage etant plan, chaque nœud a deux coordonnees) et de connectivite associees.

Les fonctions de forme associees auxelements 1 et 2 sont :

(trianglea 6 nœuds) (quadranglea 8 nœuds)

N1(a) = a1(2a1−1) N1(a) = 14(1−a1)(1−a2)(−1−a1−a2)

N2(a) = a2(2a2−1) N2(a) = 14(1+a1)(1−a2)(−1+a1−a2)

N3(a) = (1−a1−a2)(1−2a1−2a2) N3(a) = 14(1+a1)(1+a2)(−1+a1 +a2)

N4(a) = 4a1a2 N4(a) = 14(1−a1)(1+a2)(−1−a1 +a2)

N5(a) = 4a2(1−a1−a2) N5(a) = 12(1−a2

1)(1−a2)

N6(a) = 4a1(1−a1−a2) N6(a) = 12(1−a2

2)(1+a1)

N7(a) = 12(1−a2

1)(1+a2)

(a = (a1, a2)) N8(a) = 12(1−a2

2)(1−a1)

(2.11)

dans lesquelles les cordonnees parametriques(a1, a2) sont relativesa chaqueelement et par-courent le triangle unite ∆1 et le carre unite ∆2, respectivement, comme represente sur la fi-


Type Degre Fonctions de forme(reference) (deforme) partiel total

1

2

3

1 1

N1(a1, a2) = a1

N2(a1, a2) = a2

N3(a1, a2) = 1−a1−a2

1

2

3

4

6

5 2 2

N1(a1, a2) = a1(2a1−1)

N2(a1, a2) = a2(2a2−1)

N3(a1, a2) = (1−a1−a2)(1−2a1−2a2)

N4(a1, a2) = 4a1a2

N5(a1, a2) = 4a2(1−a1−a2)

N6(a1, a2) = 4a1(1−a1−a2)

4 3

1 2

1 2

N1(a1, a2) = 14(a1−1)(a2−1)

N3(a1, a2) = 14(a1 +1)(a2 +1)

N2(a1, a2) = 14(a1 +1)(a2−1)

N4(a1, a2) = 14(a1−1)(a2 +1)

4 3

1 2

7

8

5

6 2 3

N1(a1, a2) = 14(1−a1)(1−a2)(−1−a1−a2)

N2(a1, a2) = 14(1+a1)(1−a2)(−1+a1−a2)

N3(a1, a2) = 14(1+a1)(1+a2)(−1+a1 +a2)

N4(a1, a2) = 14(1−a1)(1+a2)(−1−a1 +a2)

N5(a1, a2) = 12(1−a2

1)(1−a2)

N6(a1, a2) = 12(1−a2

2)(1+a1)

N7(a1, a2) = 12(1−a2

1)(1+a2)

N8(a1, a2) = 12(1−a2

2)(1−a1)

4

1

3

21 1

N1(a1, a2, a3) = a1

N2(a1, a2, a3) = a2

N3(a1, a2, a3) = a3

N4(a1, a2, a3) = 1−a1−a2−a3

5 6

78

41

32

1 3

N1(a1, a2, a3) = 18(a1−1)(a2−1)(a3−1)

N2(a1, a2, a3) = 18(a1 +1)(a2−1)(a3−1)

N3(a1, a2, a3) = 18(a1 +1)(a2 +1)(a3−1)

N4(a1, a2, a3) = 18(a1−1)(a2 +1)(a3−1)

N5(a1, a2, a3) = 18(a1−1)(a2−1)(a3 +1)

N6(a1, a2, a3) = 18(a1−1)(a2 +1)(a3 +1)

N7(a1, a2, a3) = 18(a1 +1)(a2 +1)(a3 +1)

N8(a1, a2, a3) = 18(a1 +1)(a2−1)(a3 +1)

Tableau 2.1: Quelques elements finis usuels.


gure2.9. On note que la convention de numerotation locale des nœuds sur leselements doitetrecoherente avec les indices des fonctions de forme de (2.11).

a2

a1

(∆ )1

a2

a1

(∆ )2

7

68

5 21

4 3

(−1)

(−1)

(+1)

(+1)

2

1(+1)

3(0,0)

(+1)

6

45

Figure 2.9: Triangle a six nœuds et quadrilatere a huit nœuds : domaines parametriques (elements dereference) ∆1 et ∆2, conventions de numerotation des nœuds.

Examinons de plus pres la facon dont les deuxelements se raccordent selon leur cote com-mun. Pour cela, il faut examiner la restriction des fonctions de forme (2.11) au cote com-mun. Compte tenu de la numerotation globale des nœuds (figure2.8) et des conventions denumerotation locale sous-jacentesa (2.11), le cote partage par les deuxelements correspondaux droites definies respectivement par1− a1 − a2 = 0 sur l’element de reference∆1 (tri-angle) eta1 + 1 = 0 sur l’element de reference∆2 (quadrangle). On peut representer cesdeux droites en termes d’une meme coordonnee parametriqueb ∈ [−1, 1] en posant(a1, a2) =(

(1 − b)/2, (1 + b)/2)

(∆1, segment1, 4, 2) et (a1, a2) = (−1, b) (∆2, segment1, 8, 4),comme indique sur la figure2.10. La restriction des fonctions de forme (2.9) est :

N1(b) = b(b−1)/2 , N4(a) = 1−b2 , N2(b) = b(b+1)/2 , autres= 0 (∆1)

N1(b) = b(b−1)/2 , N8(b) = 1−b2 , N4(b) = b(b+1)/2 , autres= 0 (∆2)

Les restrictions sur le bord commun des fonctions de forme associees aux nœuds partages par lesdeuxelements raccordes sont doncegales. Par consequent, la representation parametrique despoints de ce bord en termes des nœuds partages et des fonctions de forme unidimensionnellesNk(b) ci-dessus coincide, et les bords se raccordent exactement.

Regularite de la representation parametrique. Une fois les criteresenonces ci-dessus sur laconstruction des fonctions de forme remplis, d’autres conditions apparaissent. En particulier,le parametrage (2.8) doit realiser une bijection entre∆ et son imageE (en d’autres termes,

a2

a1

a2

a1

6

21

4 37

5

8

(b=1)

(b=0)

(b=−1)

2

16

4

3

5 (b=0)

(b=−1)

(b=1)bb

N4(a1, a2) = 4a1a2 (gauche)N8(a1, a2) = 1

2(1−a22)(1−a1) (droite)

Figure 2.10: Triangle a six nœuds et quadrilatere a huit nœuds : description parametrique des cotes selonlesquels les elements du maillage de la figure 2.8 se raccordent.


tout pointx ∈ E doit avoir un seul antecedenta ∈ ∆). Pour traduire mathematiquement cettecondition, on definit lamatrice jacobienneJ et le jacobienJ du parametrage (2.8) :

J(a) =[∂xi

∂aj

]1≤i,j≤D

J(a) = DetJ (2.12)

les coefficients deJ etant en vertu du parametrage (2.8) donnes par

Jij =∂xi

∂aj

=N(e)∑k=1

∂Nk

∂aj

(a)x(k)i

La correspondance (2.8) est alors bijective siJ(a), continu, ne s’annule en aucun pointa ∈∆.La formule ci-dessus montrant que les coefficients deJ(a) sont des fonctions continues dea, lejacobienJ(a) estegalement continu et possede alors necessairement un signe constant sur∆.

Si on considere un type fixe d’element (les fonctions de formeetant donc choisiesa priori),la condition de non-nullite du jacobien sur∆ est donc une condition qui restreint le choixdes nœudsx(k). Pour beaucoup de types d’elements, elle n’est de fait pas verifiee pour toutecombinaison de nœuds. Exceptions notables, leselements les plus simples (trianglea 3 nœuds,tetraedrea 4 nœuds) ont un jacobien constant, proportionnela la mesure (aire ou volume) del’ element et ne sont donc pas sujetsa ces difficultes (il faut simplementeviter les cas degeneres :trois sommets alignes ou quatre sommets coplanaires).

Si le jacobien s’annule sur∆, la correspondance (2.8) est« pathologique» : par exemple,l’ element presente une auto-penetration ou un recouvrement. En pratique, la nullite d’un jaco-bien signale souvent une deficience du maillage (par exempleelements exagerement distordus)ou une erreur dans les donnees le definissant (par exemple une interversion de deux nœuds).

La correspondance (2.8) peutetre interpretee comme une representation lagrangienne abs-traite d’unelement de matiere deforme (Salencon, 2004). Dans ce cadre, la condition surJ(a)est aussi celle qui garantit qu’une telle representation decrit un milieu continu.

Exemple : interpolation de trois nœuds alignes. Comme illustration simple, considerons larepresentation parametrique du segmentE = −1≤ x≤ 1 a l’aide de trois nœuds alignes,d’abscissesx1 = 0, x2 = α, x3 = 1, avec0<α<1 (figure2.11)

x = N1(b)× 0 + N2(b)× α + N3(b)× 1 (b ∈ ∆ = [−1, 1]) (2.13)

Cette representation est de la forme (2.8), en termes des fonctions de forme du second degre

N1(b) = b(b−1)/2 , N2(b) = 1−b2 , N3(b) = b(b+1)/2

(ce sont les polynomes d’interpolation de Lagrange pour trois points aux abscissesb =−1, 0, 1).Le jacobien de la representation (2.13) est

J(b) =dx

db= (1− 2α)b +

1

2(2.14)

x= α2 3

x=11

x=0 x

-1 -0.5 0 0.5 1b

0

0.25

0.5

0.75

1

x

α=1/8α=1/4α=3/8α=1/2α=5/8α=3/4α=7/8

Figure 2.11: Interpolation de trois nœuds alignes (le jacobien J(b) est positif pour α = 3/8, 1/2, 5/8).


Il est immediat de verifier queJ(b) ne conserve un signe (positif) constant sur∆ = [−1, 1] quepour1/4 < α < 3/4. Pour les autres valeurs deα, J(b) change de signe sur∆, et le segmentimage de∆ par le parametrage (2.13) est alors plus grand queE (par exemple,α = 1/8 donnex∈ [−25/24, 1], voir figure2.11), et les abscissesx situees hors deE sont atteintes deux fois.

Element differentiel de volume. L’ element differentiel de volume s’exprime alors au moyendu jacobien (2.12) par

dV (x) = J(a) dV (a) (2.15)

Pour des raisons qui apparaıtront au prochain chapitre (section3.2.3), il est utile de noter queJ(a) est une fonction polynomiale dea.

2.2.3 Representation locale des deplacements

Une fois construite une representation du solide selon les principes ci-dessus, on choisitde representer tout champ de deplacementv(x) par interpolation des valeurs nodalesv(k) avecles memes fonctions d’interpolationNk(a). En d’autres termes, on pose pour tout point del’ element finiE une interpolationvh d’un champv sous la forme :

vh(x) =N(e)∑k=1

Nk(a)v(k) pour toutx∈E defini par (2.8) (2.16)

Le terme« isoparametrique» fait ainsi reference au fait que lesmemesfonctions de forme, oud’interpolation, sont utilisees pour representer la geometrie et les inconnues.

Il est commode, en termes de programmation, de disposer l’ensemble des valeurs nodalesassocieesa l’elementE(e) dans un« vecteur» Ve selon la convention

Ve = v1, . . . , vN(e)T = v(1)1 , v

(1)2 , . . . , v

(N(e))D T (2.17)

La formule (2.16) d’interpolation isoparametrique prend alors la formeequivalente

vh(x) = [N(a)]Ve pour toutx∈E defini par (2.8) (2.18)

ayant dispose les fonctions de forme dans la matrice[N(a)] aD lignes etD×N(e) colonnes :

[N(a)] =

N1(a) 0 0 NN(e)(a) 0 00 N1(a) 0 . . . 0 NN(e)(a) 00 0 N1(a) 0 0 NN(e)(a)

(si D = 3)

Le mode de representation (2.16) du deplacement introduit de nouvelles contraintes sur lesfonctions de formeNk(a) possibles. Celles-ci decoulent d’une condition necessaire de conver-gence, que l’on peut intuitivement formuler comme suit. Considerons une suite de maillages deplus en plus fins, c’est-a-dire composes de nombres de plus en plus grands d’elements finis etconcus de facona ce que le diametre maximalh d’un element decroisse. On s’attend alorsa ceque, sur le maillage le plus fin, le champ de deplacement differe peu, sur chaqueelement, deson developpement local de Taylora l’ordre 1. Les deformations et les contraintes de la solu-tion exacte deviennenta peu pres constantes sur chaqueelement. Il est alors important que lesinterpolations isoparametriques puissentau minimumrepresenter correctement toutes les pos-sibilites de variations spatialement constantes ou lineaires du champ de deplacement approche,qui correspondenta des deformations nulles (mouvements rigides) ou constantes.

Considerons un champ de deplacementv(x) qui soit fonction affine des coordonnees :

v(x) = A.x + b

ou A est une matriceD×D constante etb un D-vecteur constant. Les valeurs nodales de ce


champv aux nœuds d’unelementE sont alors donnees par

v(k)(x) = A.x(k) + b (2.19)

L’approximation dev obtenue par interpolation selon (2.16) des valeurs nodales ci-dessus s’ecrit

vh(x) =N(e)∑k=1

Nk(a)A.x(k) + b

= A.

N(e)∑k=1

Nk(a)x(k)

+N(e)∑

k=1

Nk(a)b

= A.x +N(e)∑

k=1

Nk(a)b

On voit donc que, pour garantir

v(k)(x) = A.x(k) + b =⇒ vh(x) = A.x + b

il faut et il suffit que les fonctions de forme verifient la condition

N(e)∑k=1

Nk(a) = 1 pour touta∈∆ (2.20)

Toutes les fonctions de forme presentees au tableau2.1, et celles associeesa bien d’autres typesd’elements finis, verifient la condition (2.20).

En resume, le critere de representabilite exacte de tout champ de deplacementa gradientconstant sur unelement, et sa consequence (2.20), assure que :

(a) Pour un maillage infiniment fin (h → 0), les deformations issues de l’interpolation desvaleurs nodales du deplacement exactξ approchent correctement la valeur exacteε[ξ] ;

(b) L’interpolation sur unelement de deplacements nodaux correspondanta un mouvementde corps rigide esta deformation nulle.

2.2.4 Representation globale des deplacements

A partir des representations (2.8) et (2.16) du vecteur position et du deplacement, definies« localement» (c’est-a-direelement parelement), un champ de deplacementvh peutetre repre-sente« globalement» (c’est-a-dire sur le domaine approcheΩh complet) sous la forme

vh(x) =NN∑n=1

Nn(x)v(n) (x∈Ωh) (2.21)

Designant parΩ(n) la region formee par la reunion deselements finis contenant le nœudx(n),les fonctions de forme globalesNn(x) apparaissant dans (2.21) sont alors telles que

(a) Le supportdeNn(x) estΩ(n) ; en d’autres termes,Nn(x) = 0 pourx 6∈Ω(n).(b) Si E(e) ⊂ Ω(n), alorsNn(x) = Nk(a) avecn = CONNEC(e, k) etx, a relies par (2.8).

Les fonction de forme globales verifient en particulier, comme consequence de (2.20)NN∑n=1

Nn(x) = 1 (x∈Ωh)

Prise en compte des deplacements imposes. La representation (2.21) consiste en une som-mation sur tous les nœuds du maillage et ne fait pas la distinction entre deplacements nodauxinconnus ou donnes a partir de conditions aux limites du type (1.4). Pour pouvoir operer etsystematiser cette distinction, introduisons une partition des numeros de nœuds :

1, . . . , NN = D ∪ I D = n | x(n) ∈Sξ , I = 1, . . . , NN \ D (2.22)

La representation (2.21) est alors mise sous la forme

vh(x) = v(D)h (x) + uh(x) (x∈Ωh) (2.23)


avecv

(D)h (x) =

∑n∈D

Nn(x)ξD(x(n)) ∈Ch(ξD)

uh(x) =∑n∈I

Nn(x)un ∈Ch(0)(2.24)

ouCh(ξD) etCh(0) designent les ensembles de deplacements cinematiquement admissibles (res-pectivementa la donneeξD et a zero)au sens de la discretisationelements finis. La representa-tion (2.23)–(2.24) est une forme particuliere de representation de Galerkin (1.42), avec

ϕI(x) = Nn(x)ej et αI = u(n)j avecI = DOF(j, n) (2.25)

ou la notationDOF (acronyme anglo-saxon d’usage frequent pourdegree of freedom, soit« de-gre de liberte») se rapportea la table des inconnues, telle que l’inconnue correspondant audeplacement du nœudn dans la directionj ait le numero DOF(j, n). Cette table des inconnuespermet en particulier de tenir compte des nœuds supportant des deplacements imposes, parexemple en attribuant par convention le numero d’inconnue« 0» a toute composante imposeepar les conditions aux limites.

Exemple. Reprenons le maillage de la figure2.8(page31), sous l’hypothese de la deformationplane, et supposons par ailleurs le deplacement impose sur le cote constitue des nœuds 5, 8, 11.Les ensemblesD etI definis par (2.22) sont donc

D = 5, 8, 11 , I = 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10

et la table des inconnues est (chaque colonne correspondanta un nœud du maillage)

DOF =1 3 5 7 0 9 11 0 13 15 0 (j = 1)2 4 6 8 0 10 12 0 14 16 0 (j = 2)

2.2.5 Gradient et tenseur de deformation du deplacement interpole

Il est important de disposer de formules donnant le gradient ou le tenseur de deformationcalcules a partir de la representation isoparametrique (2.16) du deplacement surE ; celles-ci sont en particulier necessaires pour l’evaluation de la matrice de rigidite. Par definition dugradient, la representation (2.16) donne :

dvh = ∇vh.dx (2.26)

Exprimant les deux differentielles dx et dvh en termes des coordonnees parametriquesa a partirdes interpolations (2.8) et (2.16), on obtient

dx = J.da dvh = H.da

ou H est la matrice jacobienne associeeavh, definie par

H =[∂ui

∂aj

]avec

∂ui

∂aj

=N(e)∑k=1

∂Nk

∂aj

(a)u(k)i

Reportant les deux differentielles dans (2.26) et egalant les deux membres pour tout choix deda, on obtient l’expression du gradient devh en termes des cordonnees parametriques :

∇vh(x) = H(a).J−1(a) , x eta relies par (2.8) (2.27)

Cette relation entraıne immediatement

2ε[vh](x) = H(a).J−1(a) + J−T(a).HT(a) (2.28)


Pour les besoins de la programmation, il est commode de mettre cette expression sous la formeε[vh](x)

= [Be(a)]Ve (2.29)

ou le« vecteur» Ve rassemble l’ensemble des deplacements nodaux de l’element considereselon la convention (2.17), le « vecteur»

ε[vh](x)

rassemble les six composantes indepen-

dantes deε[vh](x) selon la convention (2.30) decrite ci-apres, dite« notation ingenieur» ou« notation de Voigt», et [Be(a)] est une matrice comportant6 lignes etN(e)×D colonnes,fonction des coordonnees parametriquesa ∈ ∆, obtenue par identification. Par exemple, pourle cas de l’element triangulaire plan (deformations planes), la matrice[Be(a)], constante surchaque triangle, est celle reliant les deformations aux deplacements nodaux dans (2.6).

2.2.6 « Notation ingenieur» des tenseurs de contraintes et de deformations

En matiere de programmation, il est souvent plus commode de pouvoir raisonner en termesde « vecteurs» (tableauxa un indice) et de« matrices» (tableauxa deux indices). Cela anotamment conduit, pour faciliter la programmation de la methode deselements finis,a rangerles composantes independantes des contraintes et des deformations sous forme de« vecteurs»a six composantes, posant :

σ = σ11 σ22 σ33 σ12 σ13 σ23T , ε = ε11 ε22 ε33 2ε12 2ε13 2ε23T (2.30)

Cela permet en particulier de mettre la relation entre deplacements nodaux et deformations surl’ element sous la forme matricielle (2.29). De meme, la relation de comportementelastiquelineaire (1.3) est reecrite en termes d’une matrice carree[A] d’ordre 6, symetrique :

σ = [A]ε (2.31)

et la densite d’energieelastique de deformation s’ecrit en termes de la meme matrice[A] :

ε :A :ε = εT[A]ε = VeT[Be(a)]T[A][Be(a)]Ve (2.32)

On notera en passant que l’introduction des facteurs 2 dans la convention (2.30) pourε a pourobjet de permettrea (2.31) et (2.32) d’etreecrits en termes de la meme matrice[A].

Par exemple, les conventions (2.30) et (2.31) appliqueesa l’elasticite lineaire isotrope don-nent

[A] =

λ + 2µ λ λ 0 0 0λ λ + 2µ λ 0 0 0λ λ λ + 2µ 0 0 00 0 0 µ 0 00 0 0 0 µ 00 0 0 0 0 µ

(2.33)

Bien entendu, les representations telles que (2.30) doiventetre adaptees au contexte. Par exem-ple, en deformations planes, les deformations et contraintes seront representes sous forme de« vecteurs» a trois composantes.

2.3 Conclusion

Les notions lieesa l’interpolation isoparametrique developpees dans ce chapitre constituentune fondation, sur laquelle s’appuie la construction de problemes mecaniques approches parmise en œuvre de la methode de Galerkin. Elles permettent un traitement systematique de cetteconstruction, accommodant la diversite et la complexite des configurations geometriques dansun cadre unifie. A ce titre, elles constituent une fondation adequate pour le developpementd’outils logiciels de simulation possedant le haut degre de generalite et de flexibilite requis parl’immense variete des applications industrielles.

Chapitre 3

La methode deselements finis enelasticitelin eaire

Ce chapitre presente la construction et la resolution du probleme approche d’equilibre enelasticite au moyen de la methode deselements finis en deplacement. Il s’appuie pour celasur la formulation variationnelle associee a la minimisation de l’energie potentielle, et plusspecifiquement sur la methode de Galerkin associeea cette minimisation (chapitre1), ainsi quesur la notion d’element fini isoparametrique (chapitre2).

En plus de son utilite intrinseque pour certaines applications, la formulation en deplacementset pour l’elasticite lineaire de la methode deselements finis permet l’introduction de notions quiseront ensuite generaliseesa d’autres contextes. Sa comprehension est donc essentielle.

3.1 Construction du probleme d’elasticite approche a l’aide d’ elementsfinis isoparametriques

Supposons le solideΩ et le champ de deplacement represente a l’aide d’un maillage d’ele-ments finis isoparametriques. Le probleme approche peut alorsetre construit soita partir d’uneformulation faible obtenuea partir du principe des puissances virtuelles (section1.2), soit apartir de la formulation variationnelle (minimisation de l’energie potentielle, section1.3).

3.1.1 Constructiona partir de l’ energie potentielle

La representation isoparametrique (2.23)–(2.24) des champs de deplacement est une formeparticuliere de la representation de Galerkin (1.42). On peut donc appliquer la methode deGalerkin (section1.4) a l’energie potentielle (1.33), qui se met sous la forme (1.43), soit :

P(vh) = P(uh + v(D)h ) =

1

2UT[K]U − UTF+ P(v

(D)h ) = P (U) (3.1)

le « vecteur» U rassemblant tous les deplacements nodaux inconnus, c’est-a-dire appa-raissant dans la definition (2.24) de uh. On notera parN le nombre effectif d’inconnues duprobleme, c’est-a-dire la taille deU.

En pratique, on ne calcule pas la matrice de rigidite [K] et le vecteur des forces nodalesFdirectement par des formules telles que (1.45) et (3.11), qui demanderaient de former expli-citement les fonctions de forme globalesNn(x). Il est beaucoup plus commode de traiter cescalculselement parelement et recourira un procede d’assemblage.

Cette approche repose sur le fait que l’energie potentielleP(vh) s’exprime en termes d’inte-grales surΩ et sur (une partie de) sa frontiere, et sont donc additifs par rapport auxelements

39

40 CHAPITRE 3. LA M ETHODE DESELEMENTS FINIS ENELASTICITE LINEAIRE

finis. La forme developpee deP(vh) pourvh defini par (2.23)–(2.24) est en effet

P(vh) =1

2

NE∑e=1

∫E(e)

ε[vh] :A :ε[vh] dV −NE∑e=1

∫E(e)

f.vh dV −NE∑e=1

∫ΓT(e)

TD.vh dS

=1

2

NE∑e=1

∫E(e)

ε[uh] :A :ε[uh] dV

+NE∑e=1

−∫

E(e)f.uh dV −

∫ΓT(e)

TD.uh dS +∫

E(e)ε[v

(D)h ] :A :ε[uh] dV

+ P(v

(D)h )

ou ΓT(e) = ∂E(e) ∩ST designe la portion de la frontiere de l’elementE(e) situee surST (celle-ciest vide pour un grand nombre d’elements). En termes de l’ecriture matricielle (3.1), on a ainsi

UT[K]U =NE∑e=1

∫E(e)

ε[uh] :A :ε[uh] dV (3.2)

UTF =NE∑e=1

∫E(e)

f.uh dV +NE∑e=1

∫ΓT(e)

TD.uh dS −NE∑e=1

∫E(e)

ε[v(D)h ] :A :ε[uh] dV (3.3)

La minimisation de l’energie potentielle sur l’espace de dimension finie engendre par lesele-ments finis isoparametriques conduit alors, par analogiea (1.47), au systeme d’equations

[K]U = F (3.4)

Les expressions (3.2) et (3.3) suggerent que le calcul effectif de la matrice de rigidite [K]et du second membreF pourraetre effectue a l’aide d’une procedure consistanta (i) evaluerdes integrales sur deselements et des portions de frontieres d’elements, puis (ii) reporter cescontributions dans des matrices et vecteurs associes aux valeurs nodales de l’ensemble dumaillage. Ces deux types d’operations sont detaillees dans les sections3.2 (calcul de matriceselementaires) et3.3(assemblage du modele du solide complet).

3.1.2 Constructiona partir d’une formulation faible

Le meme systeme lineaire (3.4) peutetre obtenu en prenant comme point de depart la for-mulation faible (1.25). En effet, introduisant dans (1.25) l’approximation geometrique (2.8) et ladecomposition (2.23)–(2.24) et prenant pour champs virtuels toutes les possibilitesw = ϕ(J)(x)

avecϕ(J)(x) definie par (2.25), on obtientNE∑e=1

∫E(e)

ε[uh] :A :ε[ϕ(J)] dV −NE∑e=1

∫E(e)

f.ϕ(J) dV

−NE∑e=1

∫ΓT(e)

TD.ϕ(J) dS +NE∑e=1

∫E(e)

ε[v(D)h ] :A :ε[ϕ(J)] dV = 0 (1 ≤ J ≤ N)

ce qui conduit, par identification avec (3.2), (3.3), a retrouver le systeme lineaire (3.4).

3.2 Calcul des integraleselementaires

La construction du systeme (3.4) passe par l’evaluation des contributions de chaqueelementfini aux expressions (3.2) et (3.3). Cette section a pour objet de detailler les methodes permettantl’ evaluation de ces contributions, habituellement qualifiees d’elementaires.

3.2.1 Matrices de rigidite elementaires

Ces matriceselementaires apparaissent en liaison avec l’integrale associee a l’energie dedeformation pour unelement fini, dont la forme generique est

3.2. Calcul des integrales elementaires 41

∫E(e)

ε[vh] :A :ε[vh] dV (3.5)

L’approche generale et systematique pour l’evaluation de contributions sous forme d’integralesur unelement (il est d’usage de parler d’integraleselementaires) consistea utiliser la corres-pondance entreE(e) et l’element de reference∆e, via le changement de variablex ∈ E(e) →a ∈ ∆ defini par (2.8). Avec la« notation ingenieur» (section2.2.6), et en combinant (2.29)et (2.32), la densite d’energie de deformation estecrite selon

ε[vh] :A :ε[vh] = εT[A]ε = VeT[B(a)]T[A][B(a)]Vetandis que l’element differentiel de volume se transforme selon (2.15). Cela conduita ecrirel’int egraleelementaire (3.5) en termes d’unematrice de rigidite elementaire[Ke] :∫

E(e)ε[vh] :A :ε[vh] dV = VeT

∫∆(e)

[Be(a)]T[A][Be(a)]Je(a) dV (a)Ve (3.6)

= VeT[Ke]Ve (3.7)

Les notations employees dans (3.6) s’efforcent de souligner que la matrice jacobienneJ , et parsuite la matrice[B], dependent de l’element considere.

L’int egrale apparaissant dans (3.6) ne peut pas en general etre calculee analytiquement1,bien que∆ soit un domaine de forme simple (cube, tetraedre...), en raison de l’interventionde l’inverse de la matrice jacobienne dans[Be(a)], voir (2.29). On recourt donc habituellementa des methodes d’integration approchee. Le plus souvent, on choisit pour cela une formuleutilisant des points de Gauss. Toute formule de ce type est caracterisee par la donnee deGpointsag et poidswg, de sorte que la valeur approchee d’une integrale est calculee par∫

∆f(a) dV (a) ≈

G∑g=1

wgf(ag) (3.8)

De nombreuses formules d’integration approchee de cette forme sont connues, et une presenta-tion un peu plus detaillee est proposee en section3.2.3. La matrice de rigidite elementaire estalorsevaluee de facon approchee par une formule de la forme

[Ke] ≈n∑

g=1

wg[Be(ag)]T[A][Be(ag)]Je(ag) (3.9)

C’est en particulier ici qu’apparaıt l’avantage d’avoir introduit une representation parametri-que de la geometrie et du deplacement. En effet, les integrations necessaires au calcul des contri-butionselementaires au systeme lineaire (3.4) sont ainsi traitees de maniere tres systematique,par transformation en integrales sur un petit nombre de domaines simples (carres, triangles,cubes,...) et de dimensions« normalisees» Ce point joue un role important dans le haut degrede flexibilite et de generalite permis par la methode deselements finis.

3.2.2 Forces nodaleselementaires

Les forces nodales generalisees associees aux efforts imposes sur l’elementE(e) resultentde l’evaluation de contributionselementaires de la forme

−∫

E(e)ε[uh] :A :ε[v

(D)h ] dV +

∫E(e)

f.uh dV +∫ΓT(e)

TD.uh dS = UeTFξe + Fvol

e + Fsurfe

Il est important de noter que ces« forces nodales» ne sont pas en general des forcesa stric-tement parler, mais des efforts generalises associes par dualite aux deplacements nodaux, desorte que (par exemple) le produitUeTFvol

e donne la puissance des efforts de volume dansle champ de deplacement defini par interpolation deUe.

1Pour unelement fini volumique general, l’integrand de (3.6) est un quotient de polynomes en(a1, a2, a3).


Deplacements imposes. La definition (3.7) de la matrice de rigidite elementaire ne prend pasen compte l’eventualite que l’elementE(e) supporte des deplacements imposes. Il est en effetplus simple sur le plan pratique (programmation) de calculer d’abord la matrice[Ke] complete.Si E(e) supporte des deplacements imposes sur une partie de sa frontiere, on opere une partitiondes valeurs nodalesV enVeT = UT

e U(D)Te , ou U(D)

e designe les valeurs nodales deξD

surE(e), Ue regroupant les valeurs nodales restant inconnues. On peut alors obtenir,a partirde (3.7), la decomposition correspondante de[Ke] en sous-matrices :

VeT[Ke]Ve = UeT([KII

e ]Ue+ [KIDe ]U(D)

e )

+ U(D)e T

([KDI

e ]Ue+ [KDDe ]U(D)

e )

(3.10)

Les forces nodales generaliseesFξe associees aux deplacements imposes resultent alors de∫

E(e)ε[uh] :A :ε[v

(D)h ] dV = UeT[KID

e ]U(D)e = UeTFξ

e (3.11)

En pratique,Fξe ne doit etre calculee que si l’un au moins des nœuds deE(e) est situe sur

Sξ (elements en grise fonce sur la figure2.4b). D’autre part, la contribution de[Ke] a [K] estreduitea la sous-matrice[KII

e ].

Forces de volume. Le champuh etant de la forme (2.18), l’int egrale surE(e) s’ecrit, par pas-sage sur l’element de reference∆e :∫

E(e)f.uh dV = UeT

∫∆(e)

[N(a)]Tf(x(a))

Je(a) dV (a)

= UeTFvol

e

etFvole est en pratiqueevalue a l’aide d’une integration approchee par points de Gauss (3.8).

Forces de surface. La surfaceΓT(e) est une frontiere d’element. Comme consequence de l’exi-gence de conformite sur la construction des fonctions de forme (section2.2.2), la surfaceΓT(e)admet un parametrage de la forme

x =∑

x(k)∈ΓT(e)

Nk(b)x(k) (b∈Σ)

ou la sommation est restreinte aux nœuds situes surΓT(e), les fonctions de formeNk(b) pro-viennent des restrictions au bord des fonctions de formeNk(a) de l’elementE(e), et les coor-donnees parametriques(b1, b2) parcourent une surface de reference. Par exemple, siE(e) est uncubea huit nœuds (tableau2.1, page32) et ΓT(e) corresponda la face definie par les nœuds(1, 2, 8, 5), on peut prendre(b1, b2) = (a1, a3) et Nk(b1, b2) = Nk(a1,−1, a3) (k = 1, 2, 5, 8).

La geometrie differentielle des surfaces permet alors d’ecrire

n dS(b) =(∑

k

∂Nk

∂b1

(b)x(k))∧(∑

k

∂Nk

∂b2

(b)x(k))

db1 db2 = J(b) db1 db2 (3.12)

dS(b) = ‖J(b)‖db1 db2 = J(b) db1 db2 (3.13)

ou n est la normale unitairea la surfaceΓT(e). L’int egrale de surface s’ecrit alors∫ΓT(e)

TD.uh dS = UeT∫

Σ[N(b)]T

TD(x(b))

J(b) db1db2

= UeFsurf

e

avec le jacobienJ defini par (3.13), etFsurfe est elle aussievaluee par une formule d’integration

approchee par points de Gauss de la forme (3.8). Noter que, contrairement au cas de l’integralede volume, le jacobienJ(b) n’est pas une fonction polynomiale deb, en raison de la racinecarree associee au calcul de la norme euclidienne‖ · ‖.

3.2. Calcul des integrales elementaires 43

Dans le cas ou les efforts imposes prennent la forme d’une pression (TD = −pn), les forcesnodaleselementaires sont calculees par

Fsurfe =

∫Σ

p(x(b))[N(b)]TJ(b)

db1db2

avec le jacobien vectorielJ defini par (3.12), qui est une fonction polynomiale deb.

3.2.3 Integration numerique par points de Gauss

Integrales unidimensionnelles.Il s’agit de formules d’integration approchee de la forme∫ 1

−1f(a) da ≈

G∑g=1

wgf(ag) (3.14)

en termes deG points de Gaussag tels que−1 < ag < 1 et poidswg > 0. Pour tout entierG,il existe une unique famille de points et poids definissant une telle formule. Toute integrale surun intervalle borne se ramenea la forme (3.14) par un changement de variable affine.

Les formules d’integration approchee du type (3.14) sont connues pouretre tres precises,meme pour des petites valeurs deG, quand elles sont appliqueesa des fonctionsf tres regulieres(c’est le cas pour les integraleselementaires). Un resultat plus precis, et remarquable, est :• La formule d’integration approchee de type gaussien (3.14) a G points est exacte sif(a)

est un polynome quelconque de degre≤ 2G− 1.

Les points et poids de Gauss verifient pour toute valeur deG certaines proprietes :(i) Les points de Gauss sont toujours interieurs au segment :−1 < ag < 1 ;(ii) Les points de Gauss sont disposes symetriquement par rapporta l’origine, avec des

poids identiques : siag est un point de poidswg, il existeg′ tel queag′ = −ag etwg′ = wg ;(iii) Les poids sont strictement positifs, et de sommeegalea 2 (necessaire pour integrer

correctement la constantef = 1).Par exemple, la formule d’integration approchee pourG = 2 est definie par∫ 1

−1f(a) da ≈ f(−1/

√3) + f(1/

√3)

Il est facile de verifier directement que l’integration de tout polynome de degre≤ 3 par cetteformule est exacte. D’autres jeux de points et poids de Gauss sont donnes en annexeA.1.

Integrales sur des carres ou des cubes.Il est tres facile de definir des formules d’integrationnumeriques sur unD-cube. Le cube unite en dimensionD est en effet le produit cartesiende segments, et on construit ainsi selon ce principe des« formules-produit», en dimensionquelconque. Pour les besoins de ce cours, on peut ainsievaluer par la formule∫

C2f(a1, a2) da1 da2 ≈

G∑g1=1

G∑g2=1

wg1wg2f(ag1 , ag2) (3.15)

une integrale sur le carre uniteC2 = −1 ≤ a1, a2 ≤ 1, et par la formule∫C3

f(a1, a2, a3) da1da2da3 ≈G∑

g1=1

G∑g2=1

G∑g3=1

wg1wg2wg3f(ag1 , ag2 , ag3) (3.16)

une integrale sur le cube uniteC3 = −1 ≤ a1, a2, a3 ≤ 1, les nombresagiet poidswgi

etantassociesa une formule d’integration unidimensionnelle (3.14).

Integrales sur des triangles ou tetraedres. Les triangles en dimension 2, les tetraedres endimension 3, et plus generalement les simplexes en dimension quelconque, ne pouvantetre


naturellementetre representes comme produits cartesiens de segments, les integrales sur desdomaines de ce type sontevaluees par des formules specifiques. Par exemple :∫

T 2f(a) da1 da2 ≈

G∑g=1

wgf(ag) (3.17)

ou T 2 = a1 ≥ 0, a2 ≥ 0, 1− a1 − a2 ≥ 0 est le triangle de reference et les pointsag etpoidswg ne s’expriment pas en termes de ceux associesa des regles d’integration numeriqueunidimensionnelles. Un certain nombre de telles regles d’integration sont connues (Lyness etJespersen, 1975). Par exemple, la reglea trois points∫

T 2f(a) da1 da2 ≈

1

6

[f(

1

6,1

6

)+ f

(1

6,2

3

)+ f

(2

3,1

6

)]integre exactement sur∆ tous les polynomes en(a1, a2) de degre total 2.

A noter qu’il n’est cependant pas impossible de cartographier un trianglea l’aide d’un carre(et plus generalement unD-simplexea l’aide d’unD-cube). Par exemple, la transformation(b1, b2) ∈ [−1, 1]2 → (a1, a2) =

((1 + b1)/2 , (1 + b1)(1 + b2)/4

)envoie le carre unite sur le

triangle de sommets(0, 0), (1, 0), (1, 1).

Discussion. Il est assez naturel d’utiliser les methodes d’integration numerique par points deGauss dans la mise en œuvre deselements finis car les integraleselementaires font intervenirdes expressions polynomiales (fonctions de forme et leurs derivees). Les fonctionsa integrerne se reduisent toutefois pas en general a des polynomes en raison de la presence deJ−1,l’inverse du jacobien de l’interpolation isoparametrique (noter queJ est polynomial ena). Lescontributions polynomiales permettent cependant de fixer une limite inferieure au nombre depoints de Gauss necessairesa uneevaluation precise des integraleselementaires, sachant qu’oncherche par ailleurs, pour des raisonsevidentes d’efficacite numerique,a utiliser aussi peu quepossible de points de Gauss dans les formules d’integration numerique.

Ces formules sont par ailleurs d’une mise en œuvre pratique tres simple. Leur emploisystematique confere un role important aux points de l’element physique images des points deGauss par l’interpolation isoparametrique (egalement appeles points de Gauss pour simplifier) :

xg =N(e)∑k=1

Nk(ag)x(k) (3.18)

En effet, la formation des matrices[Be(ag)] associeesa la relation entre deplacements nodauxet deformation sur l’element est necessaire aux points de Gauss, afin d’evaluer les matrices derigidite elementaires par la formule (3.9). Pour optimiser les calculs numeriques, il est donchabituel de stocker ces matrices[Be(ag)] afin d’effectuer le post-traitement de la solution ap-prochee (calcul des deformations et des contraintes) aux points de Gauss (section3.4.5). Desconsiderations similaires valentegalement pour les algorithmes prenant en compte des modelesde comportement non-lineaires (chapitres6 et7).

3.3 Assemblage

3.3.1 Assemblage de la matrice de rigidite

L’operation d’assemblage de la matrice de rigidite revient formellementa exploiter la rela-tion

UT[K]U =NE∑e=1

UeT[KIIe ]Ue (3.19)

entre la matrice de rigidite globale et les matrices de rigidite elementaires[KIIe ] reduites aux

valeurs nodales inconnues sur leselements, resultant de la combinaison de (3.2), (3.7) et (3.10).

3.3. Assemblage 45

Cette relation ne peut toutefois pasetre appliquee directement. En effet, chaque matriceelementaire[Ke], une fois calculee selon le procede decrit dans la section precedente, est definiepar referencea la numerotationlocalede l’elementE(e), tandis que la matrice globale[K] estbien sur definie en termes de la numerotationglobale. Pour prendre en compte correctementla contribution de[Ke] a [K], il faut donc savoira quels numeros globaux d’inconnues corres-pondent les numeros locaux associesa l’elementE(e). Ainsi, le calcul et l’assemblage de[K]fonctionne schematiquement selon le principe suivant :

1. Initialisation :[K] = [0] (matrice nulleaN lignes etN colonnes).2. Boucle sur leselements : pour1 ≤ e ≤ N(e), faire

(i) Determiner le nombre de nœudsN(e) = CONNEC(e, 0) deE(e) ;(ii) Determiner la listeNe des numeros globaux des nœuds deE(e) :

Ne(k) = CONNEC(e, k) (1 ≤ k ≤ N(e))

(iii) Determiner les coordonnees des nœuds :x(k) = COOR(Ne(k), :) (1 ≤ k ≤ N(e)) ;

(iv) Determiner la listeIe des indices globaux des inconnues supportees parE(e) :Ie = DOF(j, n), j = 1, . . . , D etn∈Ne ;

(v) Calculer[Ke] selon la procedure decrite en section3.2.1;(vi) Contribution de[Ke] a [K] :

KIJ = KIJ + Ke,pq 1 ≤ p, q ≤ N(e)×D, (I, J) =(Ie(p), Ie(q)

)Ainsi, l’assemblage consiste essentiellement (etape 2-(vi) du pseudocode ci-dessus)a ajou-

ter termea terme, pour chaqueelement, la matrice[Ke] a la sous-matrice obtenue par restrictionde[K] aux lignes et colonnes de numeros figurant dans la listeIe. Cela s’ecrit encore, avec unenotation compacte« a la MATLAB » :

K(Ie, Ie) = K(Ie, Ie) + [Ke]

3.3.2 Assemblage du vecteur de forces nodales

Cette operation d’assemblage est realisee de facon analoguea l’assemblage de[K], parexploitation de la relation

UTF =NE∑e=1

UeTFe (3.20)

Le calcul et d’assemblage deF procede alors comme suit :

1. Initialisation :F = [0] (vecteur nulaN composantes).2. Boucle sur leselements : pour1 ≤ e ≤ N(e), faire

(i) Determiner le nombre de nœudsN(e) = CONNEC(e, 0) deE(e) ;(ii) Determiner la listeNe des numeros globaux des nœuds deE(e) :

Ne(k) = CONNEC(e, k) (1 ≤ k ≤ N(e))

(iii) Determiner les coordonnees des nœuds :x(k) = COOR(Ne(k), :) (1 ≤ k ≤ N(e)) ;

(iv) Determiner la listeIe des indices globaux des inconnues supportees parE(e) :Ie = DOF(j, n), j = 1, . . . , D etn∈Ne ;

(v) CalculerFe selon la procedure decrite en section3.2.2;(vi) Contribution deFe aF :

FI = FI + Fe,p 1 ≤ p ≤ N(e)×D, I = Ie(p)


En pratique, la boucle d’assemblage ci-dessus est susceptible de ne porter que sur une faibleproportion deselements finis du maillage. Par exemple :

(a) Si les sollicitations consistent uniquement en des deplacements imposes, seuls lesele-ments dont au moins un nœud est situe surSξ sont concernes, et les coefficients non nulsdeF correspondent aux degres de liberte portes par ceselements.

(b) Si les sollicitations consistent uniquement en des efforts imposes sur la surface, seulsles elements dont un bord est situe surST sont concernes, et les coefficients non nuls deF correspondent aux degres de liberte associes aux nœuds situes surST.

Des forces nodales peuventetre definies pour d’autres types de sollicitations : deformationsinitiales (d’origine thermique, plastique,...), precontraintes,...

3.4 Le systeme d’equations discret et sa resolution numerique

On s’interesse maintenanta la resolution du systeme lineaire d’equations (3.4) exprimantl’ equilibre du solideelastique, soit

[K]U = F

3.4.1 Proprietes de la matrice de rigidite

La matrice[K] est symetrique et definie positive. Par construction, la matrice de rigidite [K]est symetrique. Si de plus les conditions aux limites interdisent tout mouvement de corps rigide,[K] est symetrique et definie positive (section1.4) :

[K] = [K]T , UT[K]U > 0 pour toutU ∈ Ch(ξD), U 6= 0Ces proprietes sont vraies pour toute discretisation de type Galerkin, et ne sont donc pas limiteesa la discretisation parelements finis.

La matrice[K] est creuse. Une consequence essentielle de la discretisation parelements finisest que[K] estcreuse, c’est-a-dire presente un grand nombre de coefficients nuls. En effet, siI etJ designent des numeros globaux de degres de liberte, on peut formellementecrire le coefficientKIJ en termes de la representation globale par fonctions de forme (2.21)

KIJ =∫Ω(m)∩Ω(n)

ε[Nm(x)ei] :A :ε[Nn(x)ej] dV (x) (I = DOF(i, m), J = DOF(j, n))

ouΩ(m) etΩ(n) sont les supports geometriques des fonctions de forme globalesNn(x) etNm(x).Or on a vu (section2.2.4) que chaqueΩ(m) est l’ensemble deselements finis contenant le noeudx(m). Par consequent,KIJ n’est non nul que siles noeudsx(m) et x(n) appartiennent au memeelement fini(figure3.1). De faconequivalente, cette propriete peutegalementetre vue commeconsequence du fait que[K] resulte de l’assemblage des matriceselementaires[Ke], chacune necontenant que des coefficients associesa des paires de noeuds situes sur le memeelement.

Le nombre de termes non nuls sur une ligne (ou une colonne) de[K] ne depend que dela configuration locale deselements finis adjacents au noeud support de l’inconnue correspon-dante, et est donc independant de la finesse du maillage (c’est-a-dire du nombre d’elements finisutilise pour representerΩ). Cela entraıne que plus un maillage est fin, plus[K] est creuse : laproportion de coefficients non nuls diminue si on augmente la finesse du maillage.

Structures« bande» et « profil » de [K]. Les numeros de nœuds ou d’inconnues supportespar un memeelement sont en general assez proches (par comparaison avec le nombre total denœuds ou d’inconnues).[K] admet ainsi unedemi-largeur de bandeLB < N telle que

|I− J| > LB ⇒ KIJ = 0

3.4. Le systeme d’equations discret et sa resolution numerique 47

(n)Ωx(m)_(m)Ω

U

Ω(n)Ω(m)(n)x_

Figure 3.1: Intersection Ω(m) ∩ Ω(n) des supports des fonctions d’interpolation globales Nm et Nn as-sociees aux nœuds x(m) et x(n).

(avec cette definition, une matrice[K] diagonale a donc une demi-largeur de bande nulle). End’autres termes, tous les coefficients non nuls sont situes dans une bande (de largeur2LB + 1)disposee symetriquement par rapporta la diagonale. La demi-largeur de bande donne la plusgrande difference entre numeros d’inconnues appartenant au memeelement. Pour des maillagesde finesse croissante, on observe que

LB/N → 0 (N →∞)

En fait, lapopulationde[K] (c’est-a-dire la disposition de ses coefficients non nuls) est telleque la bande n’est pas remplie de facon uniforme. Pour toute colonneJ de[K], definissonsL(J)(1 ≤ L(J) ≤ J) par

L(J) = minI | KIJ 6= 0 (3.21)

On appelleprofil la fonctionL(J) ainsi associeea une matrice[K] donnee. La demi-largeur debande est relieea la fonction profil par

LB = max1≤J≤N

J− L(J)

Les structures bande et profil sont illustrees en figure3.2pour un maillage tres simple constitued’elements triangulaires lineaires (10 nœuds, 10elements, une inconnue scalaire par nœud).

1

2

3

6 8

10

9

5

4 7

21 3 4 5 6 7 8 9 10

1

23

4

5

6

7

8

9

10

Profil

Bande

Terme diagonal

Terme non diagonal

J 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10L(J) 1 1 1 1 2 3 3 6 5 7

LB = 4

Figure 3.2: Exemple de maillage (a gauche), et population d’une matrice de rigidite construite sur cemaillage, avec une inconnue scalaire par nœud (a droite) ; les symboles carres indiquent lescoefficients non nuls de [K], et les zones de stockage bande et profil sont materialisees.

3.4.2 Resolution directe par factorisation de la matrice

La matrice[K] etant symetrique definie positive, il est possible de la mettre sous une formefactorisee, dite« formeLDLT » :

[K] = [L][D][L]T (3.22)


ou [D] est une matrice diagonale definie positive (c’est-a-direDII > 0 pour toutI) et [L] estune matrice triangulaire inferieurea diagonale unite (LII = 1 pour toutI). Une fois le systemelineaire (3.4) mis sous la forme

[L][D][L]TU = FU est obtenu par resolution successives de deux systemestriangulaires(donc tres simplesaresoudre, en procedant de proche en proche) selon lesetapes

[L]Z = F [L]TU = [D]−1Z

Calcul de la decompositionLDLT. La decomposition (3.22) peut etre calculee numerique-ment par un algorithme decoulant directement de l’ecriture de (3.22) pour chaque composantede [K], en tenant compte des hypotheses faites sur[L] :

KJJ = DJJ+J−1∑K=1

L2JKDKK (1 ≤ J ≤ N) (a)

KIJ = LJIDII +I−1∑K=1

LIKLJKDKK (1 ≤ I ≤ J− 1, 2 ≤ J ≤ N) (b)

ou la symetrie de[K] permet de se restreindrea I ≤ J. On considere alors dans cet ordre les casJ = 1, J = 2, . . . , J = N.• J = 1 (initialisation) : la relation (a) donneD11 explicitement :

D11 = K11 (c)

• J = 2, . . . N : la relation (b)ecrite pour chaqueI (1 ≤ I ≤ J− 1) donneLJI :

LJI =1

DII

[KIJ−

I−1∑K=1

LIKLJKDKK

](1 ≤ I ≤ J− 1) (d)

et permet ainsi de calculer, de proche en proche, les coefficients de laJ-ieme ligne de[L]connaissant lesJ− 1 lignes precedentes et lesJ− 1 premiers termes de Diag([D]).La relation (a) donne ensuiteDJJ en fonction de quantites connues :

DJJ = KJJ−J−1∑K=1

L2JKDKK (e)

Cet algorithme realise ainsi le calcul de tous les coefficients de[L] et Diag([D]).

Preservation des structures« bande» et « profil ». Un examen attentif de l’algorithme decalcul de la decomposition (3.22) met enevidence les proprietes suivantes :• Si [K] a un profil (defini par la fonction entiereL(J)), alors [L]T a le meme profil ;• Si [K] a une demi-largeur de bandeLB, alors [L]T a la meme demi-largeur de bande.

Ces proprietes sont tres importantes sur le plan pratique. Elles permettent en effet d’effectuerla decompositionLDLT « en place», c’est-a-dire d’en stocker toute l’information utile surl’espace memoire initialement alloue au profil de[K].

3.4.3 Stockage en memoire de la matrice de rigidite

Les proprietes de structure et de population de[K] (section (3.4.1) ainsi que leur conserva-tion sous l’effet de la decompositionLDLT (section3.4.2) montrent qu’il n’est pas necessairede stocker en memoire l’integralite de[K] (a priori N2 coefficients) :

(a) [K] etant symetrique, elle contient au maximumN(N + 1)/2 coefficients independants.(b) De plus, la structure bande de[K] fait que sa conservation en memoire ne necessite de


stocker queN×(LB+1) coefficients environ, avecLB N siN est grand, cetteevaluationcorrespondant au stockage integral de la demi-bande superieure.

(c) Ce besoin de memoire peut encoreetre reduit si on adopte un mode de stockage« pro-fil », dit aussi« ligne de ciel», consistanta ne conserver en memoire que les coefficientsde [K] situes dans la demi-bande superieure et sous le profilL(J).

(d) Enfin, si le systeme [K]U = F est resolu par une methode iterative, telles quela methode du gradient conjugue (section3.4.4), seuls les coefficients non nuls de[K]doiventetre stockes. On utilise dans ce cas une convention de stockage adaptee aux ma-trices creuses, par exemple le« stockage Morse». Celle-ci consistea stocker trois ta-bleauxa une dimension :

1. Un tableauK de reels donnantKIJ 6= 0, 1≤ I≤ N, L(I)≤ J≤ I (la matrice[K]

est parcourue ligne par ligne, et pour chaque ligneI les coefficients non nuls situessur des colonnes de numero≤I sont stockes selonJ croissant) ;

2. Un tableauJ d’entiers donnant le numero de colonneJ de chaque coefficientKIJ,dans l’ordre de leur stockage dansK ;

3. Un tableauI de N entiers tel queI(I) donne le numero d’ordre dansK de KII

(dernier coefficient non nul stocke pour la ligneI).

Pour un maillage donne, la valeur deLB depend de la numerotation des inconnues. Il est doncpossible, et desirable, de diminuer la demi-largeur de bande par renumerotation des nœuds aumoyen d’une permutation bien choisie de1, . . . , NN, par exemple au moyen de l’algorithmepropose parCuthill et McKee(1969).

Pour illustrer cette notion, la figure3.3 presente la population de la matrice de rigidite as-sociee a un maillage d’eprouvette entaillee (contraintes planes, 17150elements triangulaireslineaires, 8762 noeuds) avant et apres renumerotation des nœuds par l’algorithme de reductionde largeur de bandesymrcm de MATLAB .

3.4.4 Resolution iterative par la methode du gradient conjugue

Pour les modelesa tres grand nombreN de degres de liberte (des valeurs deN de plusieursmillions sont maintenant courantes, au moins pour des calculs enelasticite lineaire), le stockagede[K] en memoire centrale, meme sous forme« profil », devient problematique. Pour contour-ner cet obstacle (et d’autres !) et ameliorer l’efficacite de la methode pour les calculsa nombrede degres de liberte eleve, on peut recourira diverses approches, parfois combinees, telles que :

(a) Solveurs« frontaux» : l’algorithme de factorisation (par exempleLDLT) et la resolu-tion des systemes triangulaires progressent« en parallele», ce qui permet d’eviter lestockage integral des facteursL etD.

(b) Decomposition de domaines (Farhat et Roux, 1994) : le domaine originelΩ est partageen plusieurs sous-regions, et le probleme matriciel (3.4) est ramene par une operationappeleecondensationa un systeme lineaire (de matrice symetrique mais pleine) sur lesseuls deplacements nodaux supportes par les interfaces entre sous-domaines.

(c) Resolution de l’equation (3.4) par un algorithme iteratif (Greenbaum, 1997).

Les points (a) et (b), assez techniques, ne seront pas abordes plus avant ici. Concernant (c), onva decrire succinctement un algorithme iteratif couramment utilise, fonde sur lamethode dugradient conjugue.

La methode du gradient conjugue est, en principe, un algorithme permettant la minimi-sation de fonctionsa N variables, differentiables et sans contraintes (recherche du minimumsur RN entier). Or, la methode deselements finis enelasticite lineaire consistea chercherle deplacement rendant minimum l’energie potentielleP(v), et le calcul de la solution en


Figure 3.3: Haut : maillage d’eprouvette entaillee (elasticite plane, 17150 elements triangulaires lineaires,8762 noeuds). Bas : population de la matrice de rigidite construite sur ce maillage sous l’hy-pothese des contraintes planes, avant (gauche) et apres (droite) renumerotation des nœuds parl’algorithme de reduction de largeur de bande symrcm de MATLAB . Sur cet exemple, la po-pulation (proportion de coefficients non nuls) de [K] est ≈ 7, 9 10−4, et on a LB/N ≈ 0.0137apres renumerotation.

deplacement peut doncetre traite comme un probleme d’optimisation. Concretement, l’equationmatricielle [K]U = F peut etre vue comme la condition d’annulation du gradient de laforme discretiseeP (U) de l’energie potentielle :

P (U) =1

2U[K]U − UTF+ P (U(D)) (3.23)

ou le vecteur constantU(D) est associe a l’interpolation des deplacements imposes aux nœudssitues surSξ. [K] etant definie positive, la solution de[K]U = F realise le minimum deP (U).

De facon generale, les methodes iteratives de resolution de systemes lineaires consistentacreer, a partir d’un choix initialU(0) arbitraire, une suite minimisanteU(k) (k ≥ 0), etreposent pour cela sur la possibilite de calculer lesresidus

R(k) = F − [K]U(k) (k ≥ 0) (3.24)

Il n’est alors plus necessaire de stocker[K], pour peu qu’on accepte de faire le calcul complet deR(k) a chaque iterationk (ca implique d’effectuer l’ensemble des integrationselementaires,ainsi qu’une procedure d’assemblage,a chaque iteration).

L’algorithme du gradient conjugue consistea construire,a chaque iteration, une« directionde descente», c’est-a-dire un vecteurD(k) ∈RN tel que

ddδ

P(U(k)+ δD(k)

)∣∣∣δ=0

< 0

de facona garantir l’existence d’une valeurδ(k) > 0 de δ telle queP (U(k)+ δ(k)D(k)) <


P (U(k)). De plus, les directionsD(k) ∈ RN sontK-conjuguees, c’est-a-dire orthogonalesentre elles au sens du produit scalaire associe a [K], de sorte que la suite de ces directions realiseune exploration de directions successives lineairement independantes.

L’algorithme du gradient conjugue applique a l’energie potentielle (3.23) est alors defini parlesetapes suivantes (ou ε designe unetolerancechoisiea priori) :

1. Initialisation :

(i) Choix deU(0) ∈RN (en pratique,U(0) = 0) ;(ii) Residu initial :R(0) = F − [K]U(0) ;

(iii) Direction de descente initiale :D(0) = R(0) (gradient change de signe).

2. Pourk = 1, 2, . . . et tant que‖R(k)‖ > ε :

(i) Calcul deZ(k) = [K]R(k−1) ;

(ii) Calcul deδ(k) =D(k−1)TR(k−1)D(k−1)TZ(k)

(iii) Solution actualisee :U(k) = U(k−1)+ δ(k)D(k−1) ;(iv) Residu actualise :R(k) = R(k−1)+ δ(k)Z(k) ;(v) Test de convergence : si‖R(k)‖ ≤ ε, poserU = U(k), FIN ;

(vi) Calcul deβ(k) =R(k)TR(k)R(k−1)TR(k−1)

;

(vii) Direction de descente actualisee :D(k) = R(k)+ β(k)D(k−1) ;(viii) Passera l’it eration suivante :k ← k + 1.

On remarque en particulier que chaque iteration demande un seul produit matrice-vecteur, lorsdu calcul deZ(k) = [K]R(k−1) a l’etape 2-(i)), les autresetapes ne demandant au pire quedes produits scalaires entre vecteurs. Pour les problemes de grande taille, la plus grande partiedu temps de calcul necessairea une iteration est donc consommee dans cetteetape.

L’algorithme du gradient conjugue applique aux fonctions quadratiques de la forme (3.23)possede une propriete remarquable :• En arithmetique exacte (c’est-a-dire sans tenir compte des erreurs numeriques d’ar-

rondi duesa la representation tronquee des nombres en machine), l’algorithme ci-dessusconverge exactement (c’est-a-dire avecε = 0) enN iterations au maximum.

Dans la pratique, on cherche plutot a obtenir une convergence approchee (c’est-a-dire en termesd’une toleranceε faible mais non nulle) en un nombre d’iterations beaucoup plus petit quele nombre d’inconnues (de l’ordre de la centaine pourN de l’ordre du million). Cette rapi-dite de convergence est souvent conditionnee par unpreconditionnementefficace du systemed’equations, operation qui formellement consistea remplacer ce dernier par une forme modifiee(

[P]T[K][P])Y = [P]TF avec [P]Y = U

ou la matrice[P] est choisie de sorte que[P]T[K][P] soit plus proche de la matrice identite (enun sensa preciser) que[K]. Un choix simple, mais deja utile, pour le preconditionneur[P] est

PII = (KII )−1/2 , PIJ = 0 (I 6= J)

([K] etant definie positive, tous ses termes diagonaux sont strictement positifs) qui est en parti-culier tel que, si[K] est diagonale,[P]T[K][P] = [I].

3.4.5 Post-traitement de la solution

Une fois les deplacements nodauxU calcules, le champ de deplacement approche ξh(x),

qui sur chaqueelementE(e) interpoleUe selon (2.16), est connu. Les deformations peuvent


alorsetreevaluees aux points de Gauss de chaqueelement par application directe de (2.29), soit

ε[ξh](xg) = [Be(ag)]Ue aux points de Gauss de l’elementE(e)

ou e et g parcourent les numeros d’elements et de points de Gauss sur chaqueelement, res-pectivement. Les contraintes associees par la relation de comportementelastiques sont ensuiteobtenues par

σ(xg) = [A][Be(ag)]Ue aux points de Gauss de l’elementE(e)

a l’aide de la matrice[A] des modules d’elasticite ecrite en notation de Voigt (2.31). Le choixd’effectuer ce post-traitement aux points de Gauss correspond, on l’a vu, au fait que le calcul de[K] necessite la formation de toutes les matrices[Be(ag)], que l’on a alors avantagea conserver.

Traitement complementaire pour les traces graphiques. Il est habituel de representer desresultats lies aux deformations ou contraintes sous forme graphiques, par exemple cartes d’iso-valeurs. Le calcul de ces graphiques est plus commode si la quantite a tracer (par exemple lechampσ11(x)) est representable par une fonction surΩh.

Le post-traitement« naturel» (et economique) donnant ces grandeurs en termes de valeursaux points de Gauss, on peut alors calculer, par une procedure numerique, le champσ11(x) (parexemple) defini par une interpolation de valeurs nodales de la forme (2.16) qui soit« le plusproche2 » des valeurs aux points de Gauss. C’est ce champ, obtenu par« extrapolation» desvaleurs aux points de Gauss, qui est alors represente graphiquement.

3.5 Variante permettant le calcul des reactions

La construction et la resolution du probleme approche parelements finis a jusqu’icieteeffectuee en s’appuyant sur la construction de deplacements de la forme (2.23)–(2.24), permet-tant de definir des espaces de deplacements cinematiquement admissiblesC(ξD) supportes parle maillage. La contrainte d’admissibilite cinematique est ainsi prise en compte implicitement.

Une autre approche consistea ne pas incorporer cette contrainte dans la definition de l’es-pace des champs de deplacements supportes par le maillage. Cette contrainte doit doncetreimposee explicitement, via desequations supplementaires. Cette variante aete formulee en sec-tion1.2, conduisanta la formulation faible continue (1.26), que nous redonnons par commodite :

trouver(ξ, T )∈C×C ′(Sξ) tel que∫Ω

ε[ξ] :A :ε[w] dV −∫

Sξ

T .w dS =∫Ω

ρf.w dV +∫

ST

TD.w dS ∀w ∈C∫Sξ

ξ.T ′ dS =∫

Sξ

ξD.T ′ dS ∀T ′ ∈C ′(Sξ)(3.25)

Cette formulation fait apparaıtre une nouvelle inconnue, le vecteur contrainteT sur Sξ, quirepresente la distribution d’efforts apparaissant en reactiona l’application des deplacementsimposes. La construction du probleme approche associe a (3.25) procede des choix suivants :

(a) La solution approchee en deplacement est cherchee dans l’espaceCh des deplacementsde la forme (2.21), c’est-a-dire

ξh(x) =

NN∑n=1

Nn(x)ξ(n) = [N(x)]U

en notantU l’ensemble des valeurs nodales deξh

;(b) Les champs virtuelsw sont deselements quelconques deCh, associe a un vecteur de

2Il existe beaucoup de manieres differentes d’exprimer mathematiquement cette notion de proximite.

3.5. Variante permettant le calcul des reactions 53

valeurs nodales arbitraireW :

w(x) =NN∑n=1

Nn(x)w(n) = [N(x)]W

(c) Le vecteur contrainte inconnuT et le« vecteur contrainte virtuel» T ′ sont definis pardualite par rapport auxelements deCh, c’est-a-dire doiventetre tels que les integrales surSξ dans (3.25) sont definies pour tout champw ou ξ deCh.

Elle est construite selon une procedure d’assemblage du meme type que celle decrite en sec-tion 3.3. La forme bilineaire associeea l’energie de deformation devient∫

Ωε[ξ] :A :ε[w] dV = WT[K]U (3.26)

tandis que les integrales surSξ se mettent sous la forme∫Sξ

T .w dS = WT[A]T ,∫

Sξ

ξ.T ′ = T′T[A]TU ,∫

Sξ

ξD.T ′ = T′TU(D)(3.27)

en termes du« vecteur» T des forces nodales inconnues et de sa contrepartie virtuelleT′,definis par

TK =∫

Sξ

Nm(x)Ti(x) dSx T ′K =∫

Sξ

Nm(x)T ′i (x) dSx (K = DOF(m, i)) (3.28)

On notea nouveau queT et T′ sont definis par dualite, et donc sans qu’il soit necessaired’introduire explicitement une representation sur une base de fonctions. La matrice[A] rec-tangulaire apparaıt suite a la necessite d’exprimer les deux premieres integrales de (3.27) entermes deU et W, definis sur le maillage entier, alors qu’elles ne portenta priori que surles valeurs aux nœuds situes surSξ.

Cette approche conduita remplacer (3.4) par le systeme lineaire augmente[K −A−AT 0

]UT

=

F

−U(D)

(3.29)

dans lequel la matrice de rigidite[K] est maintenant definie par referenceatousles deplacementsnodaux (sans distinction entre valeurs imposees ou non par les conditions aux limites). Laresolution de ce systeme fournit, en plus des deplacements nodaux, les forces nodalesT as-sociees aux efforts de liaison (reactions). Cette version est par exemple utile dans le traitementdu contact (chapitre5).

Il est important de noter que la matrice du systeme (3.29) est inversible mais n’est pasdefinie positive (en raison de la presence de zeros sur la diagonale). Les techniques de resolutionpresentees en section3.4(factorisationLDLT, gradient conjugue) ne sont donc pas directementapplicables. De plus, la sous-matrice[K] de (3.29) n’est pas inversible, les mouvements de corpsrigide faisant partie de l’espaceCh.

Point de vue de la minimisation sous contraintes.Le systeme (3.29) peut aussietre obtenuapartir du point de vue de la minimisation de l’energie potentielle, traitee comme un problemed’optimisation sous contraintes. La demarche generale (Bonnans, Gilbert, Lemarechal et Sa-gastizabal, 1997) consistea incorporer les contraintes dans unlagrangienL(v, T ) associe al’ energie potentielleP(v) :

L(v, T ) = P(v) +∫

Sξ

(v − ξD).T dS (v ∈C, T ∈C ′(Sξ)) (3.30)

Le champT est ici un champ demultiplicateurs de Lagrange. L’ ecriture des conditions de sta-tionnarite deL(v, T ) par rapporta des variations quelconquesδv etδT dev etT redonne la for-mulation faible (3.25), et donc (apres discretisation, assemblage, etc.) le systeme lineaire (3.29).


3.6 Convergence

La methode deselements finis appliquee au probleme de l’equilibre enelasticite lineairepermet de determiner une solution approchee en deplacementξ

hpour un maillage donne, et

donc en particulier un choix de fonctions d’interpolation sur chaqueelement. Une questiontres importante est alors celle de la convergence de la solution approcheeξ

hvers la solution

exacteξ, ainsi que de la convergence des grandeurs derivees : deformations, contraintes. L’ana-lyse des proprietes de convergence des methodes d’elements finis fait ainsi l’objet d’etudesmathematiques poussees (Ciarlet, 1980; Strang et Fix, 1973; Babuska et Strouboulis, 2001)dont certainselements sont traites dans le cours d’Analyse numerique et optimisation deAl-laire (2004). On se contentera ici de mentionner quelques resultats.

Convergence du deplacement. Si leselements finis permettent sur chaqueelement une repre-sentation exacte de tous les deplacementsa variation polynomiale enx de degre inferieur ouegalap, alors cette representation est susceptible de reproduire sur chaqueelement le developpementde Taylora l’ordrep de la solution exacte :

ξ(x) = ξ(x0) +∇ξ(x0).[x− x0] +∇∇ξ(x0) :[(x− x0)⊗ (x− x0)

]+ . . . + O(‖x− x0‖p+1) (x, x0 ∈E(e))

L’erreur commise sur le deplacement est ainsi de l’ordre du reste de cette formule, soit, avec‖x−x0‖ ≤ h :

‖ξ(x)− ξh(x)‖ = O(hp+1) x∈Ee (3.31)

Il en decoule que les erreurs sur les deformations, ainsi que sur les contraintes enelasticitelineaire, sont telles que

‖ε[ξ](x)− ε[ξh](x)‖ = O(hp)

‖σ(x)− σ(x)‖ = O(hp)x∈E(e) (3.32)

Rappelons que toutelement fini doit permettre une representation exacte de tous les champsa variation affine enx (section2.2.3). On a donc necessairementp ≥ 1 dans les estimationsd’erreur (3.31) et (3.32).

On definit lanorme enenergied’un champ de deplacementu par

‖u‖2E = 2W(u) =∫Ω

ε[u] :A :ε[u] dV (3.33)

(c’est en fait une semi-norme car pour toutw mouvement de corps rigide on a‖w‖E = 0 et‖u‖E = ‖u + w‖E). On montre alors les resultats de convergence suivants (Allaire, 2004) :

• Supposons que la solution exacteξ soit de norme enenergie finie. Alors la methode deselements finis converge :

‖ξ − ξh‖E→ 0 (h→ 0) (3.34)

• Supposons que la solution exacteξ soit telle que toutes ses derivees jusqu’a l’ordre p + 1inclus soient de carre integrable (on dit que la norme‖ξ‖Hp+1(Ω) est finie), avecp +1 > D/2. Alors, pour deselements finis permettant une representation exacte sur chaqueelement des polynomes de degre inferieur ouegala p, on a l’estimation d’erreur

‖ξ − ξh‖E ≤ Chp‖ξ‖Hp+1(Ω) (3.35)

Chapitre 4

Application a la mecanique lineaire de larupture

La mecanique lineaire de la rupture, aussi appelee mecanique de la rupture fragile, concernel’ etude de l’effet de la presence de fissures dans un solide sur les champs mecaniques, notam-ment dans le but d’evaluer la nocivite des fissures. Les fissures sont dangereuses car elles sontsusceptibles de se propager, c’est-a-dire de s’agrandir de facon progressive ou brutale (selonles materiaux et les chargements) sous l’effet des sollicitations subies par la structure. De plus,elles facilitent la fragilisation de structures sous l’effet d’autres facteurs comme la corrosion.

La mecanique lineaire de la rupture est developpee sous les hypotheses d’elasticite lineaireisotherme et de petites perturbations (HPP). On se restreint de plusa desevolutions quasi-statiques (les effets d’inertie sont negliges), eta l’hypothese des deformations planes.

Le but de ce chapitre est de presenter, et comparer, des methodes de calcul numeriquefondees sur leselements finis qui permettant d’evaluer, pour une structure et une fissure quel-conque, la propension de la fissurea se propager. Ces methodes reposent soit sur l’exploitationdes deplacements nodaux au voisinage de la pointe de fissure (section4.3), soit sur le calculnumerique du taux de restitution de l’energie (section4.4), et sont illustrees sur un exemplecomparatif en section4.5. Des notions essentielles de la mecanique lineaire de la rupture sontprealablement rappelees en section4.1.

4.1 Notions essentielles en mecanique lineaire de la rupture

Cette section presente un rappel tres condense de quelques notions essentielles en mecani-que lineaire de la rupture, de facona rendre ce chapitre autosuffisant. Pour une presentationplus complete du sujet, le lecteur est renvoye au cours deSuquet(2004) ainsi qu’a de nombreuxouvrages, par exemple ceux deBui (1978) ou deLeblond(2002).

4.1.1 Fissure, modes d’ouverture

Dans le cadre de la Mecanique lineaire de la rupture considere ici, on appelle fissure uneentaille de forme quelconque dans un solide constitue d’un materiaua comportementelastiquelineaire. Cette coupure est representee par deux surfacesa bordF+ et F− (les levresde lafissure), d’orientation opposee et geometriquement confondues en l’absence de chargement (end’autres termes, la fissure dans le solide au repos est supposee d’epaisseur nulle). NotantF lelieu geometrique commun aux levresF+ et F− dans la configuration au repos, le champ dedeplacement est discontinua la traversee deF :

[[ξ(x)]] = ξ+(x)− ξ−(x) x∈F (4.1)

55

56 CHAPITRE 4. APPLICATION A LA M ECANIQUE LINEAIRE DE LA RUPTURE

et cette discontinuite traduit l’ouverture de la fissure sous l’effet d’un chargement applique ausolide. On suppose le plus souvent que les deux levres de fissure sont libres de contrainte.

Ce chapitre n’abordant que le cas des deformations planes, une fissureF generale dansce contexte est representee un arc de courbe dans le plan. Une fissure rectiligne dans ce plan,representee par un segment de droite, correspond ainsia une fissure en forme de bande dans unmilieu tridimensionnel invariant par translation.

Modes d’ouverture. Sous l’effet d’une sollicitation externe, les levres de la fissure se deplacentl’une par rapporta l’autre. Ce deplacement relatif peut se faire, selon la terminologie consacree,selon troismodes(figure4.1) :

(i) Le mode I (mode d’ouverture) : le deplacement relatif est dans la direction normalea lafissure ;

(ii) Le mode II (mode de cisaillement plan) : le deplacement relatif est tangenta la fissureen restant dans le plan de reference ;

(iii) Le mode III (mode de cisaillement antiplan) : le deplacement relatif est tangenta lafissure et perpendiculaire au plan de reference.

Dans le cadre des deformations planes, seuls les modes I et II sont actives.

Figure 4.1: Les trois modes de rupture.

Equilibre d’un solide fissure. La configuration geometrique du solide est decrite par un do-maineplanΩ ⊂ R2 de frontiere∂Ω = (Sξ∪ST)∪(F+∪F−). On utilisera parfois la notationΩ(F )pour insister sur le fait que la configuration geometrique depend de la fissureF . On supposepour simplifier l’absence de forces de volume(f = 0). L’ equilibre du solide dans les conditionsainsi definies est gouverne par lesequations locales

div σ(x) = 0 , σ(x) = A :ε(x) , ε(x) =1

2(∇ξ +∇Tξ) (x∈Ω) (4.2)

les conditions aux limites sur la frontiere externe (sollicitations appliquees au solide)

ξ(x) = ξD(x) (x∈Sξ,) σ(x).n(x) = TD(x) (x∈ST) (4.3)

et les conditions de surface libre sur les levres de la fissure

σ.n(x) = 0 (x∈F+∪F−) (4.4)

Tous les champs apparaissant dans (4.2), (4.3) et (4.4) sont fonction des seules coordonnees(x1, x2) ; de plus les composantesξ3 du deplacement,ε31, ε32, ε33 des deformations etσ32, σ33

des contraintes sont nulles.

4.1.2 Taux de restitution d’energie

Dans le cadre d’hypotheses retenu pour ce chapitre, le bilanenergetique associe a la pro-pagation d’une fissure, resultant de l’application des deux principes de la thermodynamique,s’ecrit (Suquet, 2004)

Pe = W + D, D ≥ 0 (4.5)

4.1. Notions essentielles en mecanique lineaire de la rupture 57

ou Pe est la puissance fournie par l’exterieur au systeme,W est la variation de l’energie dedeformationelastique etD est la puissance dissipee en chaleur par l’avancement de la fissure.En particulier, la propagation de la fissure est irreversible (positivite de la dissipation).

Notons parP (F, ξD, TD) la valeur prise par l’energie potentielleP(ξ) definie par (1.33)quandξ est la solution du probleme d’equilibre (4.2)–(4.4), soit :

P (F, ξD, TD) =1

2

∫Ω(F )

ε[ξ] :A :ε[ξ] dV −∫

ST

TD.ξ dS (4.6)

On a alors le resultat remarquable suivant, qui relie la puissance dissipee dans l’avancee defissurea la derivee de l’energie potentielle par rapporta la position de la fissure, le chargement(ξD, TD) etant fixe :

D = −〈∂P

∂F(F, ξD, TD), F 〉 (4.7)

La notion mathematique de« derivee par rapporta F », qui apparaıt dans l’expression ci-dessus deD, sert de facon generalea relier la variation d’une quantite scalaire fonction deF(ici, l’ energie potentielle (4.6)) a des perturbations de la forme deF :

δP = P (F + δF, ξD, TD)− P (F, ξD, TD) = 〈∂P

∂F(F, ξD, TD), δF 〉

En d’autres termes, et comme suggere par la notation〈·〉, ∂P/∂F est une application lineaire quia toute perturbationδF deF donne la perturbationδP deP . On ne cherchera pas, dans le cadrerestreint de ce chapitre,a developper plus avant la formalisation de cette notion, reposant surle concept dederivee par rapport au domaine(Murat et Simon, 1976; Sokolowski et Zolesio,1992). Donnons-en neanmoins une forme plus explicite, et plus simplea apprehender, dans lecas ou la fissure est droite, de sorte que (moyennant un choix judicieux de repere) on puisserepresenterF par un segment[A, B] :

F = Fa,b = [A, B] = −a ≤ x1 ≤ b, x2 = 0et ou on considere une propagation rectiligne de cette fissure le long de la droite(AB). Lapropagation est alors geometriquement decrite par l’evolution des abscisses−a(t) et b(t) desdeux extremitesA etB de la fissure1. En particulier, l’energie potentiellea l’equilibre pour uneconfigurationFa,b de la fissure est de la formeP (a, b, ξD, TD) et (4.7) devient

D = −∂P

∂a(a, b, ξD, TD)a− ∂P

∂b(a, b, ξD, TD)b (4.8)

On definit alors, pour chaque pointe de fissure, lestaux de restitution d’energie

GA = −∂P

∂a(a, b, ξD, TD) , GB = −∂P

∂b(a, b, ξD, TD) (4.9)

de sorte que l’energie dissipee dans la propagation de fissure s’ecrive

D = GA a + GBb

En mecanique lineaire de la rupture, on suppose couramment que le materiau est caracterise,du point de vue de l’eventualite de la propagation de fissures, par untaux de restitution d’energiecritiqueGc, et on formulera alors, pour la propagation de l’extremitex1 = a, une loia seuil :si GA < Gc alorsa = 0,

si GA = Gc alorsa≥ 0(4.10)

et de meme pour l’extremite x1 = b. Un des buts du calcul numerique en mecanique de larupture sera alors d’evaluerGA et GB, afin de predire par comparaison avecGc l’ eventualite

1Le signe moins devanta permet d’avoir un signe homogene des vitesses : (a, b > 0) si extensionde la fissure.


d’une propagation, la simuler, ou de determiner les conditions sur la geometrie, le materiau oule chargement pour que cette propagation ne puisse se produire.

4.1.3 Singularite des contraintes en pointe de fissure, tenacite

Comportement singulier en pointe de fissure et facteurs d’intensite de contraintes. Pour unmateriaua comportementelastique lineaire, on demontre que les champs de contrainte en unpoint de coordonnees polaires(r, θ) dont l’origine est placee en pointe de fissure (la directionθ = 0 correspondanta la tangentea la fissure en sa pointe) ont, au voisinage de la pointe (c’est-a-dire pourr petit devant la longueurde la fissure), la forme asymptotique suivante :

σrr =KI

4√

2πr

[5 cos

(θ

2

)− cos

(3θ

2

)]+

KII

4√

2πr

[−5 sin

(θ

2

)+ 3 sin

(3θ

2

)]+ O(1)

σθθ =KI

4√

2πr

[3 cos

(θ

2

)+ cos

(3θ

2

)]+

KII

4√

2πr

[−3 sin

(θ

2

)− 3 sin

(3θ

2

)]+ O(1)

σrθ =KI

4√

2πr

[sin(

θ

2

)+ sin

(3θ

2

)]+

KII

4√

2πr

[cos(

θ

2

)+ 3 cos

(3θ

2

)]+ O(1)

σrz =KIII√2πr

sin(

θ

2

)+ O(1)

σθz =KIII√2πr

cos(

θ

2

)+ O(1)

(4.11)

et sont donc en particuliers singuliers comme1/√

r. Les facteurs d’intensite des contraintesKI, KII , KIII apparaissant dans ces expressions dependent de la geometrie du domaine et de lafissure ainsi que du chargement applique, en nature et en intensite.

x1

x2

θr

Figure 4.2: Geometrie locale au voisinage de la pointe de fissure ; notations.

De meme, la discontinuite (vectorielle) de deplacementa la traversee de la fissure et auvoisinage de la pointe est donnee par l’expression asymptotique

[[ξ]] =4

µ

√r

2π

(1− ν)[KI e1 + KII e2] + KIII e3

+ O(r) (4.12)

Dans ces expressions asymptotiques, la notationO(rα) indique, conformementa l’usage, destermes non specifies d’ordrerα pourr petit.

Tenacite. Dans le cas d’une propagation de fissure selon un mode donne (par exemple en modeI d’ouverture, habituellement considere comme le plus dangereux), le critere de propagationpropose par Irwin en 1957 porte sur la limitation de la valeur deKI par une valeur critiqueappeleetenacite : si KI < KIc alorsa = 0,

si KI = KIc alorsa≥ 0(4.13)

la tenacite KIc etant alors une grandeur caracteristique du materiau, accessiblea l’experience,que l’on mesure sur des experiences de traction d’eprouvettes de rupture ou de flexion de poutres

4.2. Objet de la mecanique de la rupture numerique 59

entaillees. La validite de la notion de tenacite, assez problematique sur le plan theorique carla singularite des solutionselastiques en contrainte implique l’apparition de zones plastiquesautour des pointes de fissure, est bien verifiee sur le plan experimentale pour certaines classesde materiaux (en particulier les metaux).

4.1.4 Lien entre descriptionenergetique (globale) et singularite (locale)

Dans le cadre de l’elasticite lineaire quasi-statique et des petites perturbations, le taux derestitution d’energieG et les facteurs d’intensite de contraintes au meme point sont relies par laformule d’Irwin :

G(s) =1− ν2

E

(K2

I + K2II

)+

1 + ν

EK2

III (4.14)

Cette relationetablit en particulier, dans le cadre de la mecanique lineaire de la rupture, unlien entre la tenacite KIc associeea la propagation en mode I (d’ouverture) pur et le taux derestitution d’energie critiqueGc :

Gc =1− ν2

EKI

2c (4.15)

4.2 Objet de la mecanique de la rupture numerique

L’analyse de la nocivite de fissures repose pour une grande part sur la comparaison desgrandeurs caracteristiques (taux de restitution d’energieG ou facteurs d’intensite de contraintesKI, KII , KIII ) atteintes dans une configuration donnee de geometrie et de chargement aux va-leurs correspondantes (Gc ouKIc) caracteristiques du materiau. Ce type de comparaison est enparticulier mis en œuvre de facon repetitive pour la simulation pasa pas de la propagation d’unefissure sous une histoire de chargement donnee.

Cette comparaison necessite uneevaluation precise deG ou desKI, KII , KIII sur une confi-guration donnee. Il existe d’une part de nombreuses solutions analytiques ou semi-analytiques,pour des solides fissures infinis ou de forme exterieure simple, compilees dans des recueilscomme celui deTada, Paris et Irwin(1973). Ces solutions ne permettent cependant que des ap-proximations plus ou moins grossieres si on les applique aux structures de geometrie complexe.Il faut donc, dans ce domaine aussi, recourira des methodes numeriques.

Dans la suite de ce chapitre, on va decrire des methodes fondees sur leselements finis pour lecalcul des facteurs d’intensite de contraintes (section4.3) puis du taux de restitution d’energie(section4.4). Pour une presentation synthetique des methodes numeriques de la mecaniquelineaire de la rupture, le lecteur pourra se reportera Ingraffea et Wawrzynek(2003) ouAliabadi(1997).

Dans le contexte adopte ici de la mecanique lineaire de la rupture, le taux de restitutiond’energie peutetre deduit des valeurs des facteurs d’intensite de contraintes par la formule d’Ir-win (4.14). Cependant, la notion de facteur d’intensite de contrainte est associeea l’hypothesedu comportementelastique lineaire, tandis que celle de taux de restitution d’energie est plusgenerale et peutetre mise en œuvre hors du cadre de la mecanique lineaire de la rupture (parexemple pour un materiauelastoplastique).

C’est pour cette raison qu’une portion substantielle de ce chapitre est consacreea l’evalua-tion du taux de restitution d’energie par une approche, connue sous le nom demethodeG−θ, qui met directement en œuvre la definition deG comme derivee de l’energie potentielleal’ equilibre et ne fait pas intervenir les facteurs d’intensite de contraintes. Des generalisationsde cette approche ont notammentete developpees pour la rupture de structureselastoplastiques(Lorentz, Wadier et Debruyne, 2000).


4.3 Calcul numerique des facteurs d’intensite de contraintes

4.3.1 La methode deselements finis pour les structures fissurees

La modelisation d’un solide fissure par la methode deselements finis obeit aux principesgeneraux developpes au chapitre2. Il y a toutefois des considerations specifiques importantes,qu’il convient de souligner.

Modelisation du saut de deplacementa travers la fissure. En mecanique lineaire de la rupture,une fissure est modelisee, pour les problemes plans consideres dans ce chapitre, par une ligneFa travers laquelle le champ de deplacement est discontinu. Un modele construit par la methodedeselements finis devra donc reproduire cette condition.

1 2 3

7

111213

14 15 1617 18

(a)

(b)

8910

4 5 6

1 2 3

7

111213

14 15 161719 20

18

(a)

(b)

(F )(F )−

+

4 5 6

9 810

Figure 4.3: Maillage avec « double nœuds » : portion de solide sans fissure et maillage realisant une inter-polation continue (en haut) ; portion de solide contenant une fissure F et maillage realisant uneinterpolation discontinue a travers F (en bas). Dans les tables de connectivite des maillagesrespectifs, les elements (a) et (b) sont ainsi definis par les listes de nœuds 17, 18, 4, 3 et11, 10, 18, 17 (solide non fissure) et 17, 18, 4, 3 et 11, 10, 20, 19 (solide fissure).

Les fonctions de base de la methode deselements finis sont par construction continuessur l’ensemble du domaine approche Ωh. Par consequent, une fissure ne pourra pas traverserdeselements : la courbeF devra coincider avec des frontieres d’elements finis. De plus, ilfaut traiter les nœuds situes sur cette courbe comme des« noeuds doubles», comme suggerepar la figure4.3; cela revienta traiter le maillage du solide fissure comme la situation limitedu maillage d’un solide contenant une cavite infiniment mince. Les nœuds,eventuellementgeometriquement confondus, relatifs aux deux levres de la fissure doivent porter des numerosdistincts. Les fonctions de base construites sur un tel maillage sont alors automatiquement dis-continuesa traversF .

Une autre approche, non traitee dans ce cours, consistea enrichir l’espace des fonctions debase associees au maillage du solidenon fissurepar des fonctions de base complementaires quisont specifiquement construites pour presenter des discontinuitesa travers une courbe (proble-mes plans) ou une surface (problemes tridimensionnels). C’est lamethode deselements finisetendus, ou X-FEM2, dont la genese est recente (Moes, Dolbow et Belytschko, 1999a).

2PoureXtended Finite Element Method.

4.3. Calcul numerique des facteurs d’intensite de contraintes 61

Convergence, raffinement en pointe de fissure.Le caractere singulier en pointe de fissure dela solutionelastique en deformation et en contrainte modifie (et, en fait, degrade) les proprietesde convergence de la solution approchee vers la solution exacte quand le pas de maillageh tendvers zero. Pour les solideselastiques dans l’hypothese des deformations planes, on a :

‖ξ − ξh‖E = O(hp) (ξ suppose de regulariteHp+1(Ω)) (4.16)

p ≥ 1 etant le degre des polynomes enx representables par les fonctions d’interpolation et‖·‖E

etant la norme enenergie definie par (3.33), avec les notations de la section3.6. En revanche,pour un solide fissure, ε[ξ] est de carre integrable (l’energie de deformation est finie malgrela singularite en pointe de fissure) mais les derivees aux ordres superieurs deξ ne le sont pas.L’estimation d’erreur (4.16) n’est ainsi pas applicable, et on a seulement

‖ξ − ξh‖E = O(h1/2−η) (η > 0) (4.17)

ou η est arbitrairement petit mais strictement positif. Ainsi, si un solide avec ou sans fissure estmodelise a l’aide du meme maillage (au dedoublement des nœuds deF pres), on s’attenda ceque les resultats dans le premier cas soient moins precis. La modelisation d’un solide fissurenecessite ainsi, pour obtenir une precision raisonnable, des amenagements specifiques, tels que

(a) Maillage tres raffine au voisinage de la pointe de fissure, afin d’ameliorer la representa-tion de champs singuliers de la forme (4.11) par les fonctions de base usuelles de lamethode deselements finis ;

(b) Creation de nouveauxelements finis, specialement adaptes a la prise en compte dechamps de deformations singuliers en1/

√r au voisinage de la pointe de fissure.

4.3.2 Evaluation des facteurs d’intensite de contraintes par extrapolation

C’est la methode la plus simplea mettre en œuvre (et aussi la moins precise). Elle consistea exploiter directement les deplacement nodaux situes aux nœuds les plus proches d’une pointede fissure, en les comparanta l’expression asymptotique (4.12) du saut de deplacementa traversla fissure.

Par exemple (avec les notations de la figure4.4), prenant sur les levresF±h de la fissure les

nœudsB+ etB− les plus proches de la pointeA, la formule (4.12) suggere d’ecrire

KI ≈E

8(1− ν2)

√2π

d[[ξ(B)]].t , KII ≈

E

8(1− ν2)

√2π

d[[ξ(B)]].n (4.18)

B+

B−(F )−

(F )+B+

B−(F )−

(F )+A A

−

C

C

+

Figure 4.4: Notations pour le calcul de KI,KII par extrapolation au nœud double (B+, B−) le plusproche de la pointe de fissure (a gauche) ou au moyen de plusieurs nœuds doubles successifs(B+, B−), (C+, C−), . . . (a droite).


ou t etn sont les directions tangente et normaleaF enA, B est le lieu geometrique communaB+ et B− et d est la distance deB a A. Ces formules necessitent en pratique un maillage tresraffine au voisinage de la pointe de fissure.

Une variante de cette approche consistea utiliser plusieurs nœuds doubles successifsa partirde la pointe de fissure, et de considerer une approximation du saut de deplacement[[ξ]] de laforme

[[ξ]] =√

r[αt + βn

]Les constantesα, β sont alors recherchees par une methode de moindres carres, de faconace que la fonction[[ξ]] s’approche au mieux des valeurs de saut de deplacement aux nœudsdoubles. Les facteursKI, KII sont alors approches par les valeurs obtenues par identificationavec le terme principal de la relation (4.12) :

KI ≈√

2πE

8(1− ν2)α KII ≈

√2πE

8(1− ν2)β (4.19)

4.3.3 Elements finis speciaux

La technique d’extrapolation est simplea mettre en œuvre et repose sur l’utilisation d’ele-ments finis classiques (tels que leselements finis isoparametriques introduits au chapitre2). Enrevanche, il est necessaire d’utiliser un maillage tres fin (donc avec deselements de tres petitetaille) au voisinage de la pointe de fissure pour obtenir des resultats d’une precision conve-nable. Cette contrainte resulte du fait que les fonctions d’interpolation deselements finis nesont pas adapteesa la representation de champs de deplacement conduisanta des deformationset contraintes singulieres en pointe de fissure.

Une reponsea cette difficulte consiste en la definition d’elements finis« speciaux», specifi-quement adaptesa la representation de tels champs. Il existe de nombreux procedes permettantde construire de telselements. On n’abordera ici que le procede dit de l’« element avec nœudau quart», qui se distingue par sa simplicite et le fait qu’il ne demande que des modificationsminimales par rapporta l’approche« standard» de la programmation d’unelement fini.

Interpolation unidimensionnelle avec nœud au quart.Sous sa forme la plus simple, la methodede l’element avec nœud au quart peutetre presentee pour une seule dimension spatiale. Conside-rons pour cela trois nœuds alignes A, B, C dans la direction d’une fissure rectiligne (fi-gure4.5), A etant en pointe de fissure, de sorte que le segmentΓ = [A, C] correspondea uncote d’element fini associe a des fonctions d’interpolation du second degre par rapporta chaquecoordonnee parametrique (pour les problemes plans consideres dans ce chapitre, il s’agit du tri-anglea six nœuds ou du quadranglea huit ou neuf nœuds, tels que representes au tableau2.1).

Les traces des fonctions d’interpolation deselements finis adjacents au segmentΓ sont alorsles polynomes d’interpolations de Lagrange du second degre :

NA(a) = a(a− 1)/2 , NB(a) = 1− a2 , NC(a) = a(a + 1)/2 (4.20)

ou a ∈ [−1, 1] est la coordonnee parametrique servanta decrireΓ, les nœuds(A, B, C) etantassociesaa = (−1, 0, 1) respectivement.

L’interpolation avec nœud au quart consiste tout simplementa placer le nœud intermediaireB au quart de la longueur deΓ et a utiliser l’interpolation quadratique standard (4.20). Avec cechoix de placement, et en choisissant l’origine enA, les abscisses des trois nœuds sont donneesparxA = 0, xB = d, xC = 4d, d etant le quart de la longueur deΓ. La coordonnee physiquex1 de

4.3. Calcul numerique des facteurs d’intensite de contraintes 63

B+

B−C+

C− x1

x2

4d

d

4d

dA B C

Figure 4.5: Interpolation unidimensionnelle sur trois nœuds (A,B,C ou A,B±, C±) avec nœud (Bou B±) au quart.

tout point deΓ est alors relieea la coordonnee parametriquea par

x1 = NA(a)xA + NB(a)xB + NC(a)xC

= 0 + d(1− a2) + 2da(a + 1)

= d(a + 1)2

soit

a =

√x1

d− 1 (0 ≤ x1 ≤ 4d) (4.21)

L’interpolation de valeurs nodalesξA, ξ

Bet ξ

Caux nœuds deΓ conduit quanta elle a un

deplacement interpole donne par

ξh

= NA(a)ξA

+ NB(a)ξB

+ NC(a)ξC

=1

2(ξ

A− 2ξ

B+ ξ

C)a2 +

1

2(ξ

C− ξ

A)a + ξ

B

Exprimantξh

en fonction dex1 a l’aide de (4.21), on obtient alors

ξh(x1) = ξ

A+[2(ξ

B− ξ

A

)− 1

2

(ξ

C− ξ

A

)]√x1

d+[1

2

(ξ

C− ξ

A

)−(ξ

B− ξ

A

)]x1

d(4.22)

Le placement du nœudB au quart de la longueur deΓ a ainsi une consequence remarquable :

• le deplacement interpole obtenu, donne par (4.22), presente un gradient singulier comme1/√

x1 au voisinage de la pointe de fissure.

On peut proceder de meme avec des nœuds alignesA, B±, C± situes en regard sur les deuxlevresF± de la fissure, pour obtenir l’interpolation du saut de deplacement le long d’un segmentadjacenta la pointe de fissure :

[[ξh]](x1) =

[2[[ξ

B’]]− 1

2[[ξ

C’]]]√

x1

d+[1

2[[ξ

C’]]− [[ξ

B’]]]x1

d(4.23)

(on a bien sur [[ξA]] = 0 en pointe de fissure).

L’ evaluation numerique deKI, KII se fait alors par comparaison du coefficient en facteurde√

r dans (4.22) ou (4.23) avec l’expression asymptotique deξ ou [[ξ]]. Par exemple, cettecomparaison entre (4.23) et (4.12) donne

KI ≈E√

2π

8(1− ν2)

[2[[ξ

B’]]− 1

2[[ξ

C’]]].t , KII ≈

E√

2π

8(1− ν2)

[2[[ξ

B’]]− 1

2[[ξ

C’]]].n (4.24)


Interpolations multidimensionnelles avec nœud au quart.Le principe du nœud au quart aeteetendua de nombreux autreselements finis plans et volumiques. Il n’est pas opportun ici d’endresser un catalogue, et on se limiteraa un exemple.Freese et Tracey(1976) ont montre qu’unelement triangulaire dont les six nœuds sont disposesdans l’espace physiqueconformementala figure4.6a est tel que le deplacement obtenu par interpolation de deplacements nodaux aumoyen des fonction de forme usuelles (donnees au tableau2.1de la page32) est de la forme

vh(x) = v0(θ) + v1(θ)√

r + v2(θ)r

le long d’un rayon rectiligne d’inclinaisonθ emanant du nœud 1 (figure4.6a). De telselementssont alors disposes de facona remplir un disque centre sur la pointe de fissure (figure4.6b).

x_d

3d

1

2

4

5

3

6 (r, )θθ

(a)

(b)

Figure 4.6: Element triangulaire a six nœuds : (a) disposition des nœuds dans l’espace physique telleque l’interpolation isoparametrique permette la representation d’une singularite O(1/

√r) des

deformations ; (b) arrangement typique de tels elements autour d’une pointe de fissure.

4.4 Calcul numerique du taux de restitution d’energie

La notion de facteur d’intensite de contraintes est limiteea l’hypothese de comportementelastique lineaire, tandis que celle de taux de restitution d’energie est plus generale. Le critereenergetique estegalement plus intuitif du point de vue physique. Pour ces raisons, il est interes-sant de construire une methode de calcul du taux de restitution d’energie qui ne fasse pas appelexplicitement aux proprietes locales des champs telles que leur singularite en pointe de fissure.Cette methode consistea revenira la definition initiale (4.7) deG comme derivee de l’energiepotentiellea l’equilibre dans une extension virtuelle de fissure. La premiere formulation de cetteidee remonte aux travaux deDestuynder, Djaoua et Lescure(1983).

Poureviter des developpements trop longs, on ne traitera ici que le calcul deG aux extremi-tes d’une fissure rectiligneF = Fa,b = [A, B] = −a ≤ x1 ≤ b, x2 = 0, base sur

GA = −∂P

∂a(a, b, ξD, TD) , GB = −∂P

∂b(a, b, ξD, TD)

(formules (4.9) repetees par commodite), l’energie potentiellea l’equilibreP (a, b, ξD, TD) etantdonnee par (4.6).

Le champξ, solution du probleme d’equilibreelastique pour la configuration consideree defissure, est caracterise par la formulation faible (1.25), soit ici

trouverξ ∈C(ξD) tel que∫Ω(F )

ε[ξ] :A :ε[v] dV =∫

ST

TD.v dS ∀v ∈C(0) (4.25)

Le principe du calcul deG expose ci-apres est cependant applicablea des situations plusgenerales.

4.4. Calcul numerique du taux de restitution d’energie 65

4.4.1 Description d’une extension de fissure par une transformation du domaine

Le calcul des derivees definissantGA, GB n’est pas immediat. L’energie potentiellea l’equi-libre P (a, b, ξD, TD) depend dea, b (et, plus generalement, de la configuration de la fissureF )de deux manieres :

(a) Dependance explicite : le domaineΩ dans (4.6) ou (4.25) depend deF ;(b) Dependance implicite : la solutionξ du probleme d’equilibre depend deF .

EvaluerG par derivation deP (a, b, ξD, TD) par rapporta la position des pointes de fissurerevienta considerer des configurations de la fissure perturbees par une variationδa ou δb de laposition de la pointe. Pour pouvoir prendre en compte l’effet de ces perturbations sur la valeurdeP (a, b, ξD, TD), quantite globale, on introduit une transformation fictive de tous les pointsdu domaine, de la forme

y = Φ(x, τ) = x + τθ(x) x∈Ω(F ) (4.26)

ou τ est un temps fictif (τ = 0 correspondanta la configuration de reference sur laquelle oncherchea evaluerG) et θ(x) est unevitesse initiale de transformation. La relation (4.26) cor-respond donca la description lagrangienne d’une transformation deΩ(F ) telle qu’un pointinitialement situe a la positionx soit anime, a tout instantτ > 0, d’une vitesseθ(x). De plus,notantA et B les extremites de la fissureF de reference, le champθ(x) doit etre tel que latransformation respecte les contraintes suivantes :

(a) Le contour exterieur du solide fissure est fixe ;(b) La forme (ici rectiligne) de la partie existante de la fissure n’est pas modifiee ;(c) La transformation doit representer uneextensionde fissure (figure4.7).

c’est-a-dire verifier les conditionsθ(x) = 0 (x∈Sξ∪ST) (a)

θ(x).e2 = 0 (x∈F ) (b)

a = −θ(A).e1 ≥ 0 et b = θ(B).e1 ≥ 0 (c)

(4.27)

L’ evolution virtuelle de la fissure dans la transformation est alors caracterisee par les vitessestangentes de transformation en pointe de fissure :

a(τ) = a− θ1(A)τ , b(τ) = b + θ1(B)τ

x1

x2

BA F θ (Β)>011

(x =b)1−−−

1(x =−a)θ (Α)<0

Figure 4.7: Vitesse de transformation d’une fissure rectiligne.

4.4.2 La« methodeG− θ »

Derivation lagrangienne de l’energie potentielle : principe de la« methodeG − θ ». L’id eeprincipale est alors de calculerG par derivation particulaire deP (a, b, ξD, TD), sous formelagrangienne. La derivee est prisea τ = 0, et avec les donnees aux limites(ξD, TD). Ce calculrepose sur les notions et identites suivantes, introduites en cinematique des milieux continus(Salencon, 2004) :


• Derivee lagrangienne initialeg d’un champ scalaire ou tensorielg(y, τ) :

g(x) = limτ→0

1

τ

[g(x + τθ(x), τ

)− g(x, 0)

]=

∂g

∂τ(x, 0) +∇g(x, 0).θ(x) (4.28)

• Derivee lagrangienne initiale d’un champ de gradient :

˙︷︸︸︷(∇u)(x) = ∇u(x)−∇u(x, 0).∇θ(x) (4.29)

identite facilea etablira partir de (4.28).• Derivee lagrangienne d’une integrale de domaine :

I(τ) =∫Ω(τ)

g(y, τ) dVydI

dτ

∣∣∣∣τ=0

=∫Ω

g(x) + g(x) div θ(x)

]dVx (4.30)

ou Ω(τ) est l’image deΩ = Ω(0) a l’« instant» τ par la transformation (4.26).

La transformationetant considereea chargement fixe, en vertu de la definition (4.7), l’ energiepotentiellea l’equilibre ne depend deτ qu’a traversa(τ) et b(τ). Sa derivee lagrangienne nedepend donc que de la vitesse de transformation aux pointes de la fissure :

P =ddτ

P (a(τ), b(τ), ξD, TD)∣∣∣∣τ=0

=∂P

∂aa +

∂P

∂bb = −∂P

∂aθ1(A) +

∂P

∂bθ1(B) (4.31)

L’id ee principale de la« methodeG − θ » est ainsi de calculer la derivee lagrangienne deP dans une transformation (4.26) dont la vitesse verifie les conditions (4.27), et d’identifierGA, GB par comparaison de (4.31) et (4.9). Cela reviendra donca exploiter la relation

dP

dτ

∣∣∣∣τ=0

= GAθ1(A)−GBθ1(B) (4.32)

Calcul de la derivee lagrangienne de l’energie potentielle. En s’appuyant sur (4.28), (4.29)et (4.30) ainsi que les symetries (1.13) du tenseur d’elasticite, onetablit en particulier, pourdeux champs de deplacementu, v quelconques, l’identite

ddτ

∫Ω(τ)

ε[u] :A :ε[v] dV∣∣∣∣τ=0

=∫Ω

ε[u] :A :ε[v] dV +∫Ω

ε[u] :A :ε[v] dV +D(u, v; θ) (4.33)

avec

D(u, v; θ) =∫Ω

(∇u :A :∇v

)div θ −

(∇u.∇θ

):A :∇v −∇u :A :

(∇v.∇θ

)dV (4.34)

Cette identite permet alors d’exprimer la derivee de l’energie potentielle (4.6) comme

ddτ

P (a(τ), b(τ), ξD, TD)∣∣∣∣τ=0

=∫Ω

ε[ξ] :A :ε[ξ] dV +1

2D(ξ, ξ; θ)−

∫ST

TD.ξ dS (4.35)

ou on a tenu compte de l’hypothese de chargement invariable( ˙TD = 0) intervenant dans ladefinition deG, et dans laquelle intervient la derivee particulaireξ du champ de deplacementsolution du probleme d’equilibre sur la configuration fissuree de reference. L’evaluation decette formule repose donca priori sur la connaissance de ce champ derive, qu’il semble alorsnecessaire de calculer dans uneetape intermediaire. En fait, cetteetape peutetre contournee enremarquant que la donnee en deplacement estegalement invariable par definition deG, ce quientraıne

ξ = 0 surSξ, soit ξ ∈C(0)

Par consequent, la formulation faible (4.25) s’applique pour le choix de champ virtuelv = ξ.L’identite obtenue permet d’eliminer de (4.35) les deux integrales contenantξ. La derivee del’ energie potentielle est ainsi donnee en termes de la solutionξ de l’equilibre sur la configurationde reference et du champ de vitesse de transformation par

4.4. Calcul numerique du taux de restitution d’energie 67

ddτ

P (a(τ), b(τ), ξD, TD)∣∣∣∣τ=0

=1

2D(ξ, ξ; θ)

=∫Ω

1

2

(∇ξ :A :∇ξ

)div θ −

(∇ξ.∇θ

):A :∇ξ

dV (4.36)

Evaluation deGA etGB. A premiere vue, la valeur (4.36) de dP/dτ semble dependre des va-leurs prises par le champ de vitesse de transformationθ dans tout le domaine, et non seulementcomme attendu des vitesses d’extension de fissureθ1(A), θ1(B).

En fait, on montre (c’est un peu delicat3) que si deux champs de vitesses de transformationθ′ et θ′′ verifient les conditions (4.27) et sont tels queθ′(A) = θ′′(A) et θ′(B) = θ′′(B), alors laformule (4.36) calculee pourθ = θ′ et θ = θ′′ donne la meme valeur de dP/dτ .

Considerons alors deux champs de vitesseθA et θB, tels que

θA(A) = −e1 θA(B) = 0 θA verifie les conditions (4.27)

θB(A) = 0 θB(B) = e1 θB verifie les conditions (4.27)(4.37)

En vertu de (4.32) et (4.36), les taux de restitution d’energieGA, GB sont alors donnes par

GA =1

2D(ξ, ξ, θA) , GB = −1

2D(ξ, ξ, θB) (4.38)

Une grande latitude subsiste pour le choix des champs de vitesseθA etθB. L’int egrale (4.36)donnantD(ξ, ξ, θ) faisant intervenir∇ξ, qui est singulier au voisinage des pointes de fissure, ilest interessant de definir des champsθ permettant d’eviter le calcul d’integrales sur ce voisinage.Cela revienta demander l’annulation de∇θ sur ce voisinage.

Un procede simple qui realise cet objectif est le suivant. Considerant par exemple le champθB, on choisit deux courbes fermees regulieresΓ0 et Γ1 telles queΓ0 encercleΓ1 et B estinterieura Γ1 (figure 4.8). Notant parCB la couronne delimitee parΓ0, Γ1 et F , et parDB laregion delimitee parΓ1 (D est en particulier un voisinage deB relativementaΩ). On considerealors un champθB de la forme :

θB(x) = θB(x)e1 avec

θB(x) = 1 (x∈DB)

θB(x) = 0 (x∈Ω \ (CB∪DB))

θB(x) continue surΩ

(4.39)

la definition deθB sur CB etant arbitraire, sous la seule condition de realiser une transitioncontinue entreθB = 0 surΓ0 et θB = 1 surΓ1. La fonctionθB peut alorsetre definie surC parinterpolation de valeurs nodales. Ces dernieres sont fixeesa 0 et 1 aux nœuds situes surΓ0 etΓ1, respectivement, les valeurs deθB aux nœuds interieursa CB pouvant alors en principeetrechoisies de facon arbitraire (la continuite de la fonctionθB ainsi construiteetant garantie par le

3Notant par(dP/dτ)′ et (dP/dτ)′′ les valeurs de dP/dτ obtenues par (4.36), on a alors(dP

dτ

)′−(dP

dτ

)′′=∫

Ω

12(∇ξ :A :∇ξ)div (θ′ − θ′′)−∇ξ :A :

(∇ξ.∇(θ′ − θ′′)

)dV

=∫

∂Ω

(T .∇ξ.(θ′ − θ′′)

)− 1

2(∇ξ :A :∇ξ)(θ′ − θ′′).n ds

= 0

ou la deuxiemeegalite resulte de l’utilisation de l’identite (4.42) et la troisieme des conditions (4.27).Le point delicat est le suivant : l’application directe de l’identite (4.42) a l’expression (4.36) de dP/dτ n’est

pas licite car la densite d’energie de deformation(∇ξ :A :∇ξ)/2 est singuliere comme1/r, de sorte que prendrela divergence de cette quantite conduita une expression dont l’integrale surΩ est divergente. En revanche, cetteoperation appliqueea (dP/dτ)′ − (dP/dτ)′′ est licite car la difference(θ′ − θ′′) s’annule en pointe de fissure etvient ainsi compenser la singularite de la densite d’energie de deformation.


x1

x2

CB( )

1Γ Γ0

DB( )

B

Figure 4.8: Couronne CB pour le calcul de GB par (4.36) ; notations.

procede d’interpolation isoparametrique). Le choix de ces valeurs nodales peut en pratiqueetreeffectue au moyen de divers procedes, comme par exemple :

• Si C est une couronne circulaire comprise entre les rayonsr0 et r1, interpolation affine :

θB(x) =r − r1

r0 − r1

• Resolution parelements finis, sur le meme maillage, de l’equation de Laplace avec condi-tions de Dirichlet :

∆θB = 0 (dansCB), θB = 0 (surΓ0), θB = 1 (surΓ1)

Avec cette construction, le taux de restitution d’energieGB est calcule numeriquementa l’aidede la formule

GB =∫

CB

(∇ξ.∇θB

):A :∇ξ − 1

2

(∇ξ :A :∇ξ

)div θB

dV (4.40)

dont la valeur ne depend ni du choix de la couronneCB encerclantB ni de la definition deθB

surC. Bien entendu, un champθA peutetre defini suivant le meme principe, etGA calcule entermes d’une integrale sur une couronneCA.

Mise en œuvre numerique de la methodeG − θ. Sur le plan pratique, la methodeG − θ estdonc un post-traitement de la solutionelastique pour le solide fissure, consistanta calculerl’int egrale (4.40) en s’appuyant sur le maillage d’elements finis utilise :

GB ≈∑

E(e)∈CB

∫E(e)

(∇ξ

h.∇θB

):A :∇ξ

h− 1

2

(∇ξ

h:A :∇ξ

h

)div θB

dV (4.41)

Chaque integraleelementaire est alors calculee au moyen des points de Gauss utilises pour lecalcul des rigiditeselementaires (section3.2).

4.4.3 Expression deG comme invariant integral de contour : l’int egraleJ

Tout champ de deplacementv a l’equilibre en l’absence de forces de volume verifie l’identite

∇v :A : (∇v.∇θ)− 1

2(∇v :A :∇v)div θ = div

(∇v :A : (∇v.θ)− 1

2(∇v :A :∇v)θ

)(4.42)

Celle-ci, appliqueea l’expression (4.40) de GB, permet de transformer l’integrale sur la cou-ronneCB en integrale de contour par application de la formule de la divergence. CommeθB = 0surΓ0, θB.n = 0 surF± et θB = e1 surΓ1, on obtient

GB =∫Γ1

∂ξ

∂x1

.σ.n− 1

2(σ :ε[ξ])n1

ds (4.43)

4.5. Exemple d’illustration 69

ou σ = A : ε[ξ] est la contrainte associee au deplacement solutionξ. L’int egrale sur le contourΓ1 est independante du choix du contour encerclantB ; on parle d’invariant integral de contour.Elle est connue sous le nom d’integraleJ de Rice.

En passant, notons qu’une demonstration de la formule d’Irwin (4.14), qui relieG aux fac-teurs d’intensite de contraintes, consistea evaluer la limite de l’invariant integral (4.43) pour uncontourΓ1 infiniment petit (et donc infiniment proche deB), a l’aide des expressions asympto-tiques (4.11).

4.4.4 Avantages des methodes numeriques fondees sur l’approcheenergetique

Le calcul deG par la methodeG − θ est numeriquement plus lourd que celui des facteursd’intensite de contraintes par les methodes d’extrapolation ou d’elements speciaux. Il necessitede plus un effort de programmation plus important.

Cette approche presente cependant d’importants avantages :

(a) Raisonner sur un bilanenergetique presente un niveau de generalite qui depasse large-ment le cadre de la mecanique lineaire de la rupture. En revanche, la notion de facteurd’intensite de contrainte n’est plus valable hors de l’elasticite lineaire. Ainsi, une exten-sion de cette approche prenant en compte l’energie dissipee par plasticite aete proposeeet mise en œuvre (Lorentz, Wadier et Debruyne, 2000).

(b) Le fait d’avoir pu exprimerG en termes d’une integrale sur une couronneevitant lapointe de fissure permet de contourner les difficultes numeriques lieesa la singularite desdeformations et des contraintes en pointe de fissure. Par contraste, les autres methodes(pour le calcul des facteurs d’intensite de contraintes) exploitent les valeurs locales deschamps au voisinage de la pointe, et on a vu que le calcul precis de ces valeurs est delicat.

4.5 Exemple d’illustration

On considere une plaque rectangulaire (largeur2H, hauteur2V ) contenant une fissure rec-tiligne de longueur2a placee en son centre (figure4.9), dans le cadre des deformations planes.La plaque est chargee par une contrainte de traction simpleσ, la fissureetant de ce fait solli-citee en modeI pur. Pour cet exemple, une solution exacte existe pour les facteurs d’intensite

2a

σ

−σ

2H

2V

Figure 4.9: Plaque rectangulaire avec fissure droite. Notations pour la geometrie et le chargement (gauche) ;maillage par elements triangulaires lineaires (element a 3 nœuds, dits T3), avec deux agrandis-sements successifs du maillage au voisinage d’une des pointes de fissure (droite).


Figure 4.10: Plaque rectangulaire avec fissure droite. Deformee au voisinage de la pointe de fissure :maillage avec elements lineaires T3 (gauche) et avec elements quadratiques T6 (droite). Lavue de droite juxtapose la deformee obtenue sans (gauche) ou avec (droite) element specialavec nœud au quart. On voit que cette derniere se rapproche le mieux de la deformee a tangenteverticale predite par la solution asymptotique (4.12).

de contraintesK∞I (pour la plaque infinie dans les deux directions) etKH

I (pour la plaque dehauteurV infinie et de largeurH finie) :

K∞I = σ

√πa , KH

I = σ√

πa

√sec

πa

2H(4.44)

Cette solution exacte vaetre comparee aux resultats numeriques obtenus par les trois methodesd’evaluation deKI traitees dans ce chapitre (extrapolation,element avec nœud au quart, metho-de G − θ). Les resultats numeriques qui suivent ontete obtenus au moyen des programmes(MATLAB ) d’initiation elast2 tri3 et elast2 tri6 ecrits pour ce cours par A. Frangi. La largeurH = 5a a ete utilisee pour tous les resultats qui suivent. La figure4.10montre la deformee enpointe de fissure calculee par les deux premieres approches.

(a) Extrapolation. Le tableau ci-apres donne les valeurs deKHI obtenues par extrapolation

(elements T3), pour trois valeurs deV . Lesecartsa la solution exacte sont de l’ordre de20 %.

exact numerique

K∞I KH

I KHI (V = 5a) KH

I (V = 9a) KHI (V = 13a)

1.7725 1.8175 1.6527 1.6058 1.6016

(H = 5a)

(b) Elements speciaux avec nœud au quart. Le tableau ci-apres donne la valeur deKHI obte-

nuesa l’aide d’elements speciaux avec nœud au quart, ainsi que (pour comparaison) celleobtenue par extrapolation (elements T6). On note une nette amelioration de la precision.

exact T6 (extrapol.) T6 (special)

K∞I KH

I KI KI

1.7725 1.8175 1.6888 1.8093

(H = 5a, V = 13a)

(c) Methode G−θ. Le tableau ci-apres donne les valeurs deKHI obtenues par calcul du taux

de restitution d’energie (au moyen d’elements T3, et donc en particuliersans utilisationd’element special) et application de (4.14) en mode I pur (KII = KIII = 0), pour troisvaleurs deV . Un gain de precision considerable apparaıt par rapport aux resultats obtenuspar extrapolationsur le meme maillage.

exact numerique

K∞I KH

I KI (V = 5a) KI (V = 9a) KI (V = 13a)

1.7725 1.8175 1.8561 1.8037 1.7991

(H = 5a)

Chapitre 5

Calcul de solidesa comportementnon-lineaire

5.1 Introduction

Ce chapitre propose une introduction sur la simulation numerique en mecanique des so-lides deformables hors du domaine lineaire defini par le comportementelastique lineaire etl’hypothese des petites perturbations (HPP), cadre de travail des chapitres precedents. Pource faire, un apercu de quelques grandes classes de comportements non-lineaires de structuresdeformables est d’abord presente en section5.2. La section5.3 est ensuite consacree a laresolution numerique pour deux classes de problemes proches de l’elasticite lineaires :elasticitelineaire avec contact unilateral sans frottement (section5.3.1) et elasticite non lineaire (sec-tion 5.3.2). Ce chapitre met ainsi en place des notions utilesa la comprehension detailleedes nombreuses techniques de calcul de structures en conditions non-lineaires existantes. Cer-taines de ces notions seront reprises et developpees aux chapitres6 et 7, dans lesquels le calculnumerique de solideselastoplastiques, dans des conditions de chargement quasistatique et dansle cadre HPP, sera aborde en detail.

5.2 Apercu de comportements non-lineairesa l’ echelle de la structure

Dans cette section, on se propose de presenter brievement quelques grandes classes de com-portements non-lineaires de structures deformables, et de les illustrer par quelques exemples.Certains de ces comportements peuvent concerner des structures constituees d’un materiaudecrit par un modele de comportementelastique lineaire : propagation de fissure (section5.2.1),endommagement (section5.2.2), contact (section5.2.3), usure... D’autres font intervenir desmodeles de comportement non-lineaire (section5.2.4) ou des transformations sortant du cadrede l’hypothese des petites perturbations (section5.2.5). Bien entendu, un calcul de structurepeut mobiliser simultanement plusieurs types de non-linearites (section5.2.6).

5.2.1 Propagation de fissure

Le chapitre4 portait sur divers outils numeriques pour la mecanique lineaire de la rup-ture, presentes dans des conditions lineaires : cadre HPP, materiaua comportementelastiquelineaire, configuration donnee de fissure. Si la fissure n’evolue pas, les hypotheses precedentesconduisenta une relation lineaire entre sollicitation et reponse.

En revanche, si un chargementevolutif, par exemple

ξ = ξD(x, t) (x∈Sξ, t∈ [0, T ]) ; T = TD(x, t) (x∈ST, t∈ [0, T ])

71

72 CHAPITRE 5. CALCUL DE SOLIDES A COMPORTEMENT NON-LIN EAIRE

a=0. a>0.Q

q

a

B

A

q,Q

Figure 5.1: Eprouvette de rupture schematisee ; diagramme force-deplacement (Q, q). La partie non-lineaire du diagramme correspond a la propagation de fissure (ici instable si l’experience estpilotee a force imposee).

entraıne une propagation de la fissure, la reponse du solide fissureΩ(F ) depend du chargementde facon non-lineaire (meme dans des conditions quasistatiques et pour un materiaua compor-tement lineaire). En effet, la fissureF depend du temps :F = F (t), et ce d’une maniere quin’est pas connuea l’avance puisque la propagation se produit habituellement selon une loiaseuil telle que (4.10) ou (4.13), et la reponseelastique du solideΩ(F ) depend par ailleurs,achargement donne, de la configurationF de la fissure. Ce point est schematise sur la figure5.1.

La configuration de fissure en fonction du temps n’etant pas connuea l’avance (en lon-gueur et en direction), le calcul numerique d’une propagation de fissure necessite en generalune approche incrementale, le chargementetantechantillonne dans le temps et les positionssuccessives de la fissureetant determinees pasa pas, comme sur l’exemple de la figure5.2(noter le raffinement du maillage en pointe de fissure, qui accompagne cette derniere au fil desactualisations de maillage necessitees par l’evolution simulee de la fissure).

Figure 5.2: Calcul mecanique incremental permettant de suivre l’evolution d’une fissure a l’aide d’un re-mailleur automatique avec raffinement du fond de fissure (document communique par le Centrede mise en forme des materiaux (CEMEF) de l’Ecole des Mines de Paris).

5.2. Apercu de comportements non-lineaires a l’echelle de la structure 73

5.2.2 Endommagement

Les proprietes d’unn materiau a l’echelle macroscopique de la structure (milieu continu)peuventetre affectees d’une maniere indesirable par la presence de micro-defauts (fissures,cavites), individuellement de tres petite taille mais en grand nombre. De meme qu’une fissuremacroscopique, ces micro-defauts sont susceptibles d’evoluer (s’aggraver) selon l’histoire dechargement appliqueea la structure.

Les outils developpes en mecanique de la rupture ne sont pas adaptesa la prise en compte detels ensembles de micro-defauts, pour lesquels aete developpee la theorie de l’endommagement.Celle-ci est presentee en detail dans des ouvrages tels que ceux deLemaıtre et Chaboche(1990)ou Besson, Cailletaud, Chaboche et Forest(2001), et on n’en donne ici qu’un apercu tres brefet partiel.

Les modeles d’endommagement fragileconsistenta continuera considerer le comporte-ment du materiau commeelastique lineaire, eta postuler que la presence de micro-defauts setraduit par une modification (affaiblissement) des proprietes macroscopiques d’elasticite. Onpose alors que le tenseur des modules d’elasticite est fonction d’une variable interneα (scalaireou tensorielle selon les modeles), lavariable d’endommagement:

A = A(α) (5.1)

Le modele d’endommagement le plus simple consiste ainsia poser

A = A0(1− α)

ou A0 est le tenseur des modules d’elasticite du materiau non endommage. On postule alorsque l’endommagement est irreversible etevolue selon une loia seuil :si ε :A(α) :ε < wcritique alors α = 0

si ε :A(α) :ε = wcritique alors α ≥ 0

Pour un solide, l’endommagement du materiau varie selon le point et la variable d’endommage-mentα est un champ. Compte tenu du caractereevolutif et irreversible de l’endommagement,la reponse d’un solide endommage est une fonction non-lineaire du chargement applique, etdepend de l’histoire de chargement.

5.2.3 Contact unilateral

Un autre type de comportement non-lineaire de structure frequemment rencontre est associea la presence de contact unilateral. En effet, si un solide deformable est en contact avec un soliderigide, ou si un systeme est constitue de solides deformables en contact mutuel, il ne doit pas yavoir interpenetration des regions en contact, ce qui modifie la reponse.

Le cas le plus simple est celui du contact sans frottement, les solides en contact ne develop-pant que des reactionsnormales, mutuellement opposees, aux points en contact. Pour montrerque cette situation conduit deja a une relation non-lineaire entre sollicitation et reponse, memedans le cas d’un materiauelastique lineaire, considerons un exemple tres simple (figure5.3). Unobjet de massem est suspendua un ressort de raideurk au-dessus d’un support plan rigide. Sil’objet suspendu est de masse nulle (m = 0), sa distance au plan estγ, le ressortetant alors aurepos. Si l’objet suspendu est de masse non nulle, le ressort s’allonge deξ, et cet allongementne peut excederγ en raison du support. La seuleelasticite du ressort prevoit un allongement

ξelas = mg/k

L’allongement effectifξ et la reactionR du support dependent alors du chargementmg de facon


m1 m2

k /gγ

m =00

kkk

R

0L

γ

m

mR

δ

δ

(1) (2) (3)

Figure 5.3: Exemple de reponse non-lineaire due au contact unilateral sans frottement : systeme masse-ressort suspendu au-dessus d’un support plan.

non-lineaire,a travers les relations suivantes (schematisees en figure5.3) :

ξ = ξelas R = 0 (mg/k ≤ γ)

ξ = γ R = mg − kγ (mg/k ≥ γ)

Dans le cas d’un solide deformable occupant au repos le domaineΩ ⊂ R3 et en contactavec un support rigideS, on designe parSC ⊂ ∂Ω la surface de contact potentiel, c’est-a-dire laportion de frontiere deΩ susceptible d’entrer en contact avec le support. SurSC, le deplacementξ et le vecteur contrainteT = σ.n verifient alors les conditions

T (x)− Tn(x)n(x) = 0 (a)

Tn(x) ≤ 0 (b)

ξn(x)− γ(x) ≤ 0 (c)(ξn(x)− γ(x)

)Tn(x) = 0 (d)

(x∈SC) (5.2)

ou γ(x) ≥ 0 designe l’ecart initial (pour le solideΩ dans sonetat non deforme) entreSC

et S, mesure le long de la direction normalea SC, entrex ∈ SC et le support rigideS (fi-gure 5.4), et ξn = ξ.n et Tn = T .n sont les composantes normales deξ et T . L’absencede frottement, la reaction de resistancea la penetration et la condition cinematique de non-penetration correspondent alorsa (5.2a,b,c) respectivement. La condition (5.2d), appeleecondi-tion de complementarite, permet de synthetiser les deux situations possibles pour un pointx ∈ SC : contact (ξn − γ = 0) ou non-contact (Tn = 0), de sorte que l’ensemble des condi-tions (5.2) s’appliquent en tout point deSC, qu’il y ait contact effectif ou non. Pour un charge-ment donne, l’ensemble des points en contact effectif est habituellement un sous-ensemble deSC, la surface de contact effectifSeff

C .Un algorithme simple de resolution pour le contact unilateral sans frottement entre un solide

elastique et un solide rigide sera presente en section5.3.1. Le cas du contact avec frottement, tresutile dans la pratique, est plus complexea formuler et resoudre, le frottement (partie tangentiellede la reactionT ) etant souvent regi par une autre loia seuil. Par exemple, la loi de frottement

x_Ω∂ x_γ( )

n_

Ω

SSC

Figure 5.4: Surface de contact potentiel SC et distance γ(x) entre SC et le support S.


_

T =0_ _d

F

SC TS

d _ξ =0ξS

2x

x1

Figure 5.5: A gauche : schema de principe de l’experience d’indentation. A droite : exemple de courbed’indentation experimentale (pointille) et courbe d’indentation simulee numeriquement pourles parametres de comportement identifies (trait plein), tels que les courbes numerique etexperimentale coincident au mieux (Constantinescu et Tardieu, 2001).

de Coulomb stipule que, en tout pointx∈SeffC :

Si Tt < fTn, il y a adherence enx

Si Tt = fTn, il y a glissement enx

ou Tt = ‖T − Tnn‖ et f est le coefficient de frottement. Ce modele postule en particulierl’impossibilite d’avoirTt > fTn.

Une application de la mecanique du contact : l’experience d’indentation. Un exemple d’ap-plication de la mecanique du contact concerne l’experience d’indentation : on poinconne sursa surface plane unechantillon de materiau solide deformablea l’aide d’un indenteur rigide.La relation non-lineaire entre la force d’indentationP (force resultante exercee par l’indenteursur l’echantillon) et la profondeur d’indentationδ (deplacement vertical de l’indenteur sousl’effet de la force d’indentation) est utilisee pour identifier les parametres de comportementdu materiau constitutif de l’echantillon. Pour analyser lacourbe d’indentation(P, δ), il fautalors simuler numeriquement l’indentation. Cette simulation s’appuie (en supposant l’absencede frottement) sur les conditions

T (x)− Tn(x)n(x) = 0 (a)

Tn(x) ≤ 0 (b)

ξ2(x)− γ(x) + δ ≤ 0 (c)(ξn(x)− γ(x) + δ

)Tn(x) = 0 (d)

(x∈SC) (5.3)

(E, )ν

δ

P

aR

∆

Figure 5.6: Configuration geometrique pour la solution de Hertz.


c’est-a-dire une version modifiee des conditions (5.2) tenant compte du fait que l’indenteurrigide a subi un deplacement verticalδ (compte positivement vers le bas). La force d’indentationest obtenue en fonction de la solution de (5.3) par

P =∫

SC

Tn dS

La figure5.5 montre un exemple, du a Constantinescu et Tardieu(2001), de courbe d’inden-tation experimentale compareea la courbe d’indentation simulee numeriquement pour les pa-rametres de comportement identifies, c’est-a-dire ceux pour lesquels les courbes numerique etexperimentale coincident au mieux.

Une modelisation simplifiee de cette experience consistea considerer le contact sans frotte-ment entre un indenteur (solide rigide de revolution autour d’un axe vertical∆) et un supporthorizontalelastique infini, le contact initial se faisant au point situe sur∆. La solution de ceprobleme, connue sous le nom de solution de Hertz, donne la profondeur d’indentationδ et lerayona de la zone de contact effectif, en fonction des modules d’elasticite (E, ν) du massifelastique et du rayon de courbureR de l’indenteur au point de contact initial, par :

δ =(

3(1− ν2)

4E√

R

)2/3

P 2/3 a =(

3R(1− ν2)

4E

)1/3

P 1/3 (5.4)

On note le caractere non-lineaire de la relation entreP et δ.

5.2.4 Materiaux a comportement non lineaire

Il existe une tres grande diversite de comportements de materiaux solides, et de modelespour les decrire. Beaucoup de ces modeles comprennent une part d’elasticite lineaire (typique-ment pour lesetats de contrainte et deformationa l’interieur d’undomaine d’elasticite). Le com-portementelastique lineaire, le plus simplea modeliser eta utiliser dans les calculs numeriques,est donc pertinent dans une proportion substantielle des applications. Il est neanmoins d’autressituations pour lesquelles il est necessaire de prendre en compte d’autres aspects, generalementnon-lineaires, de la reponse d’un materiau.

Il est hors de question ici de cherchera decrire, meme brievement, la grande variete deces comportements, qui mobilisent des phenomenes comme la plasticite, l’endommagementou l’amortissement, et le lecteur souhaitant approfondir ces notions est renvoye, par exemple,aux ouvrages deBesson, Cailletaud, Chaboche et Forest(2001), Lemaıtre et Chaboche(1990),Francois, Pineau et Zaoui(1998a,b). Les chapitres6 et 7 aborderont en detail le calcul numeri-que de solideselastoplastiques, dans le cadre HPP et sous chargement quasistatique.

Comportementelastoplastique. Le comportementelastoplastique est caracterise par

• L’existence d’un domaine d’elasticite : le comportement du materiau estelastique lineairetant que les contraintes n’atteignent pas un seuil appele limite d’elasticite.• La limite d’elasticite peutetre atteinte, mais en aucun cas depassee. Quand elle est at-

teinte, des deformations plastiques (non compatibles) sont susceptibles d’apparaıtre oud’evoluer sous l’effet d’evolutions ulterieures du chargement.• La creation ou l’evolution des deformations plastiques s’accompagne d’energie dissipee

en chaleur, et le comportement estirr eversible(par exemple un cycle charge-dechargehors du domaine d’elasticite produit unetat final presentant des deformations et descontraintes residuelles).

Cette classe de comportement est exposee en detail dans le cours deSuquet(2004), et les notionsessentielles seront rappelees au chapitre6 pour la formulation tridimensionnelle. Le compor-tement unidimensionnel d’uneeprouvette cylindrique en traction-compression simple peutetre


σ0

Aσ

B E σ0A

σEB

H

Figure 5.7: Modele rheologique pour le comportement elastoplastique : plasticite parfaite (gauche), plasti-cite avec ecrouissage cinematique (droite).

represente par unmodele rheologique(la rheologie est la science du comportement mecaniquedes materiaux). Par exemple, les modeles schematises en figure5.7correspondenta la plasticiteparfaite et la plasticite avececrouissage cinematique. Dans les deux cas, le frotteur verifie uneloi a seuil : en appelantσP la contrainte qui lui est appliquee (comptee positivement vers ladroite), on doit avoir :

|σ| ≤ σ0 et|σP| < σ0 → le frotteur est immobile

|σP| = σ0 → le frotteur peut glisser, dans le sens de l’effort qu’il subit

Comportement viscoplastique.Le comportement viscoplastique conserve la notion de seuilmais introduit celle de viscosite. Par exemple, lemodele de Bingham, represente sur la fi-gure5.8, est obtenua partir du modele rheologique de plasticite avececrouissage cinematiquepar ajout d’unelement amortisseur de viscosite η, au repos quand le patin esta sa positioninitiale. Ce modele autorise le franchissement de la limite d’elasticite et, en appelantσV lacontrainte qui lui est appliquee etεV la deformation viscoplastique (lue aux bornes de l’assem-blage en parallele), on aura

σV = ηεV = max(0 , |σ −HεV| − σ0

)signe(σ −HεV)

Aσ

EB

σ0

H

η

Figure 5.8: Comportement viscoplastique : modele rheologique de Bingham.

Exemple : application du calculelastoplastiquea un probleme de genie civil. Il s’agit d’uneetude realisee en 2003 par le service de Mecanique des sols du Laboratoire Central des Ponts etChaussees (LCPC), qui concerne la simulation de l’excavation d’une fouille circulaire revetued’une paroicylindrique (enceinte d’un parking souterrain, figure5.9). La paroi est supposeepurementelastique, tandis que le sol situe sous l’excavation et autour de la paroi a un compor-tementelastoplastique. Les calculs ontete faits pour plusieurs phases de l’excavation.

La figure5.10represente le maillage utilise pour modeliser l’ensemble excavation + paroi+ sol extereura la paroi, et (via le code de couleurs et le maillage deforme) la distribution dudeplacement vertical. La figure5.11montre la distribution de la contrainteequivalente de vonMises et de la deformation plastique cumulee dans le sol (pour l’explication de ces notions,on se reportera au cours deSuquet(2004) ou au chapitre6), ainsi que la deformee de la paroicylindriquea la fin du processus d’excavation. On remarque en particulier que cette derniere nepresente pas la symetrie de revolution qu’on attendrait d’une modelisation purementelastiquede l’ensemble paroi + sol. Cela resulte de la prise en compte de la plasticite dans le sol, ladeformation finale atteinte (non symetrique) resultant de l’histoire du processus d’excavation etles phases intermediaires de creusement ne presentant pas la symetrie de revolution.


Figure 5.9: Excavation d’une fouille circulaire revetue d’une paroi cylindrique (enceinte d’un parking sou-terrain). Document communique par le service de Mecanique des sols du Laboratoire Centraldes Ponts et Chaussees.

Figure 5.10: Modelisation de l’excavation d’une fouille circulaire : maillage utilise et distribution dudeplacement vertical (code de couleurs et maillage deforme). Document communique parle service de Mecanique des sols du Laboratoire Central des Ponts et Chaussees.

Figure 5.11: Modelisation de l’excavation d’une fouille circulaire : distribution de la contrainte equivalentede von Mises (a gauche) et de la deformation plastique cumulee dans le sol (au milieu),deformee de la paroi cylindrique a la fin du processus d’excavation (a droite). Documents com-muniques par le service de Mecanique des sols du Laboratoire Central des Ponts et Chaussees.

5.2.5 Transformations finies

L’hypothese de petites perturbations esta la base de la linearisation de la description cinema-tique du mouvement d’un milieu continu (appelee« linearisation geometrique» dans le coursde Salencon(2004)). Elle permet en particulier de confondre les configurations initiale (non


Figure 5.12: Modelisation d’un essai de compactage de coques (contact, transformations finies) et visuali-sation du champ de contraintes (document communique par le Centre de mise en forme desmateriaux (CEMEF) de l’Ecole des Mines de Paris).

deformee)Ω(0) et actuelle (deformee)Ω(t) dans l’ecriture desequations locales et des condi-tions aux limites, ce qui constitue une simplification considerable sur le plan mathematique(l’erreur faite en confondantΩ(0) etΩ(t) etant du second ordre en|∇ξ|).

Quand la transformation envisagee ne satisfait pas aux hypotheses de petites perturbations,l’analyse d’un solide devient necessairement non-lineaire :

• Il n’est plus possible d’approcher la deformation par sa partie lineaireε, et il faut utiliserle tenseur de deformatione de Green-Lagrange, non-lineaire en∇ξ :

e =1

2

(∇ξ + ∇Tξ + ∇Tξ.∇ξ

)• La forme faible (1.22) de l’equilibre (principe des puissances virtuelles) estecritesur la

configuration actuelleΩ(t) et sa frontiere, qui n’est en general pas connuea priori, et nonsur la configuration initialeΩ(0).

Diverses formes d’instabilites, comme le flambement, sont susceptibles d’apparaıtre. Le calculde structureselastiqueselancees en transformations finies est traite dans le cours deBallard etMillard (2005), et les instabilites par flambement et les effets de precontrainte y sont abordes.

5.2.6 Juxtaposition de plusieurs types de non-linearites

De nombreuses situations presentent simultanement plusieurs types de non-linearites. Parexemple, les non-linearites associeesa la fissuration, l’endommagement, le contact ou l’usure,qui ont ete presentees ici pour des solides en materiauelastique lineaire et dans le cadre HPP

Figure 5.13: Forgeage a chaud d’un pivot de fusee pour automobile. Simulation avec FORGE3 (plasticite,contact, transformations finies). Forme finale de la piece et distribution de la deformationplastique (document communique par le Centre de mise en forme des materiaux (CEMEF) del’Ecole des Mines de Paris).


(hypothese des petites perturbations), peuvent aussi se presenter sur des solides dont le materiaua lui-meme un comportement non-lineaire ou en liaison avec des grands deplacements ougrandes deformations.

On ne cherchera pas icia presenter une typologie exhaustive, et se contentera de deuxexemples pour illustrer ce point. Un premier exemple (figure5.12) porte sur la simulation ducompactage d’un empilement de coques cylindriques deformables, qui presente des transfor-mations finies ainsi que de nombreux contacts. Un second exemple releve de la mise en forme,ici la simulation du forgeage d’une piece automobile (figure5.13). La mise en forme mobiliseici trois types de non-linearites. D’une part, le comportement du materiau est necessairementnon-lineaire (plasticite) afin que la forme finale soit conserveea la sortie du processus de miseen forme. De plus, dans de nombreux cas, et en particulier ici, des transformations finies sontnecessaires, afin de pouvoir creer la piecea partir d’un objet de forme simple (tole...). Enfin, ilfaut prendre en compte le contact entre la piece et l’outil imposant la forme finale.

5.3 Resolution numerique pour l’ equilibre de solidesa comportementnon-lineaire

Les sections precedentes ont mis enevidence la tres grande variete des comportementsnon-lineaires pouvantetre impliques dans les applications de la mecanique des solides et desstructures. De ce fait, il existeegalement une tres grande variete de methodes de resolutionnumerique, qu’il n’est pas possible de presenter de facon unifiee.

Le point commun de la plupart des techniques de resolution numerique de problemes d’equi-libre dans des conditions non-lineaires reside dans leur caractere iteratif. Elles procedent eneffet, le plus souvent, par construction d’une suite de solutions approchees dont la limite est lasolution exacte desequations issues de la modelisation parelements finis.

Dans cette section, qui ne pretend donc aucunementa une impossible exhaustivite, deuxexemples de methodes de resolution iteratives typiques du calcul des structures dans des condi-tions non-lineaires sont decrites. Tout d’abord, un algorithme simple est presente pour trai-ter le contact unilateral sans frottement entre un solideelastique et un solide rigide. Ensuite,l’ equilibre d’un solidea comportementelastique non-lineaire est traite, ce qui amemea in-troduire quelqueselements concernant la resolution d’equations scalaires ou vectorielles non-lineaires. Les notions introduitesa cette occasion sont dans un cadre beaucoup plus large, etseront en particulier reprises aux chapitres6 et 7 consacres au calcul de structures en materiauelastoplastique et chargees dans des conditions quasi-statiques.

5.3.1 Contact unilateral sans frottement

On considere ici, dans le cadre HPP, un solide occupant le domaineΩ ⊂ R3, a comportementelastique lineaire et susceptible d’entrer en contact avec la surfaceS d’un corps indeformableet fixe. La frontiere∂Ω est alors divisee en trois regionsSξ (siege de deplacements imposes),ST (siege de forces imposes) etSC (surface de contact potentiel). L’equilibre du solide chargede la facon habituelle est gouverne par lesequations (1.1), (1.2), (1.3), soit

ε =1

2(∇ξ +∇Tξ) = ε[ξ] , div σ + ρf = 0 , σ = A :ε (dansΩ), (5.5)

les conditions aux limites (1.4), (1.5), soit

ξ = ξD (surSξ,) σ.n = TD (surST), (5.6)

et les conditions (5.2) associeesa la possibilite de contact unilateral sans frottement qui s’ecri-vent, avec les notations de la section5.2.3:

5.3. Resolution numerique pour l’equilibre de solides a comportement non-lineaire 81

T (x)− Tn(x)n(x) = 0 (a)

Tn(x) ≤ 0 (b)

ξn(x)− γ(x) ≤ 0 (c)(ξn(x)− γ(x)

)Tn(x) = 0 (d)

(x∈SC) (5.7)

Concernant la resolution numerique, la difficulte introduite par le contact unilateral reside ence que la surface de contacteffectif Seff

C ⊂ SC, sur laquelle on doit en fait verifier les conditions

T − Tnn = 0 , Tn(x) ≤ 0 , ξn − γ = 0

n’est pas connuea l’avance. Une idee consiste alors definir une methode iterative dont l’incon-nue principale estSeff

C , et qui fournit apres chaque iterationk (k = 0, 1, 2 . . .) une estimationS

(k+1)C de Seff

C . L’estimation initialeS(0)C est choisie arbitrairement (par exempleS

(0)C = SC).

Chaque iterationk consiste alorsa resoudre le probleme d’elasticite lineaire defini par lesequations locales (5.5), les conditions aux limites (5.6) hors deSC, et les conditions

ξn(x) = γ(x) T (x)− Tn(x)n(x) = 0 (x∈S(k)C )

T (x) = 0 (x∈SC \ S(k)C )

(5.8)

exprimant un deplacement normal (egala la separation initiale entre corpselastique et supportrigide) impose surS(k)

C et une condition de surface libre sur la partie complementaireSC \ S(k)C .

Comme les conditions de contact (5.7) comprennent une condition sur le signe de la reactionnormale developpee surSeff

C , la resolution du probleme d’elasticite lineaire defini (notamment)par les conditions (5.8) doit fournir les reactions normales, de facona pouvoir verifier la satis-faction de l’inegalite Tn ≤ 0. En adaptant l’approche presentee en section3.5, cette resolutionnumerique peut s’appuyer sur la formulation faible suivante, analoguea (3.25) et permettant ladetermination des reactions normales apparaissant dans (5.8) :

trouver(ξ, Tn)∈C(Sξ)×C ′(S(k)C ) tel que∫

Ωε[ξ] :A :ε[w] dV −

∫S

(k)

C

Tnwn dS =∫Ω

ρf.w dV +∫

ST

TD.w dS ∀w ∈C(0)∫S

(k)

C

ξnT′ dS =

∫S

(k)

C

γT ′ dS ∀T ′ ∈C ′(S(k)C )

(5.9)

Cette formulation est concue pour occulter les reactions developpees surSξ par applicationde deplacements imposes, dont l’evaluation n’est pas necessaire pour le traitement du contact.L’espaceC ′(S(k)

C ) des reactions normales surS(k)C est defini par dualite par rapport aux traces

normaleswn surS(k)C des deplacements reguliers et cinematiquement admissiblesa zero surSξ.

L’introduction de l’approximationelements finis dans la formulation faible (5.9) conduitaun systeme d’equation lineaires analoguea (3.4), de la forme[

K −A(k)

−A(k)T 0

]U(k)

T(k)

=

F−γ(k)

(5.10)

dans lequelT(k) collecte les reactions normales surS(k)C . Le bloc matriciel[A(k)] et la donnee

en deplacement normalγ(k) dependent deS(k)C , et la solution en deplacementU(k) depend

donc du numero d’iterationk.Une foisU(k) et T(k) determines par rapporta l’hypotheseS

(k)C de surface de contact

effectif, l’actualisation de la surface de contact candidateS(k)C est effectuee par examena pos-

teriori des conditions (5.7) par cette solution (voir figure5.14) :

• Si ces conditions sont verifiees (avec une toleranceε) a tous les nœuds deS(k)C , alors on

prendSeffC = S

(k)C , U = U(k), T = T(k), et l’algorithme a converge ;


SC

(k)

→ ∉SC(k+1)T n

ξn−γ>0 → ∈S

C

(k+1)

nT >0

Figure 5.14: Contact sans frottement : procede d’actualisation de la surface de contact.

• Sinon, la surface de contact candidate est actualisee (S(k)C → S

(k+1)C ) selon la regle sui-

vante (x(n) etant un nœud generique deSC) :

Si x(n) ∈S(k)C etT (k)(x(n)) > 0 alorsx(n) 6∈S

(k+1)C

Si x(n) 6∈S(k)C et ξ(k)

n (x(n))− γ(x(n)) > 0 alorsx(n) ∈S(k+1)C

le statut des autres nœuds de∂Ω par rapporta l’appartenanceaS(k)C etant maintenu, et on

passea l’it eration suivantek+1.

D’autres algorithmes reposent sur la theorie de l’optimisation sous contraintes (par exemple,en elasticite, recherche du minimum de l’energie potentielleP(v) ou v est assujettia verifierla contrainte de non-penetration surSC). La mecanique numerique du contact est l’objet d’unouvrage recent (Wriggers, 2002).

5.3.2 Equilibre enelasticite non lineaire

On considere maintenant, en restant dans le cadre HPP, un solide occupant le domaineΩ ⊂R3 et constitue d’un materiauelastique non lineaire, dont la loi de comportement est de la forme

σ =∂φ

∂ε(5.11)

ou la densite d’energie libreφ(ε) est une fonction strictement convexe de la deformation lineari-seeε (Salencon, 2004). L’ elasticite lineaire (1.3) est donc un cas particulier de (5.11), avec

φ(ε) =1

2(ε :A :ε)

L’ equilibre du solide sollicite de la facon habituelle est gouverne par lesequations lo-cales (1.1), (1.2) et (5.11), soit

ε =1

2(∇ξ +∇Tξ) = ε[ξ] , div σ + ρf = 0 , σ =

∂φ

∂ε(dansΩ) (5.12)

et les conditions aux limites (1.4), (1.5), soit

ξ = ξD (surSξ,) σ.n = TD (surST) (5.13)

La forme faible (1.22) de l’equilibre (5.12b) devient alors, compte tenu des conditions auxlimites (5.13) : ∫

Ωσ :ε[w] dV =

∫Ω

ρf.w dV +∫

ST

TD.w dS ∀w ∈C(0) (5.14)

L’incorporation desequations de compatibilite (5.12a) et de comportement (5.12c) dans (5.14)conduit alorsa la forme faible du probleme d’equilibre du solide en materiau elastique non-lineaire :

trouverξ ∈C(ξD) tel queR(ξ; w) = 0 ∀w ∈C(0) (5.15)


ou le residuR(ξ; w) est defini par

R(ξ; w) =∫Ω

(∂φ

∂ε(ε[ξ])

):ε[w] dV −

∫Ω

ρf.w dV −∫

ST

TD.w dS (5.16)

La formulation faible (5.15) conduit ainsia chercher le champ de deplacementξ annulant leresiduR(ξ; w) pour tout champ virtuel cinematiquement admissiblea zero. On est ainsi conduita resoudre uneequation fonctionnelle non-lineaire. En l’absence de methode directe permet-tant cette resolution, il faut definir un algorithme iteratif, c’est-a-dire un procede realisant laconstruction d’une suiteξ(k) (k = 0, 1, 2, . . .) dont la limite est la solutionξ.

En pratique, on ne cherche bien sur pasa resoudre le probleme non-lineaire continu (5.15)-(5.16). On procedea l’introduction dans (5.15)-(5.16) d’une representation du solideΩ et deschamps inconnu et virtuelsa l’aide d’elements finis, selon les techniques introduites au cha-pitre 2. Cette representation conduita uneequation vectorielle non-lineaire sur les valeurs no-dalesU laissees inconnues par les conditions aux limites :

R(U) = 0 avec R(U) = K(U) − F (5.17)

l’operateur de rigiditeK(U) etant tel que∫Ω

(∂φ

∂ε(ε[ξ])

):ε[w] dV = WTK(U)

et le vecteur des forces nodales generaliseesetant construit selon le procede deja utilise ensection3.1.1pourelasticite lineaire.

A ce stade, il est utile de presenter un apercu des methodes numeriques permettant laresolution d’equations non-lineaires telles que (5.17). On considere d’abord le cas d’uneequa-tion scalaire (section5.3.3), avant de passer au cas vectoriel (section5.3.4).

5.3.3 Resolution numerique d’une equation scalaire non-lineaire

On considere le probleme generique de la recherche d’un zero d’une fonctionr(u) :

Trouveru tel que r(u) = 0

Il existe plusieurs algorithmes iteratifs, chacun consistant en un procede de construction d’unesuiteu(k) → u telle quer(u) = 0.

Methode de Newton.Celle-ci repose sur l’approximation der(u(k+1)) a l’ordre 1 autour del’it ere precedentu(k), et consiste en faita determiner l’itere u(k+1) par annulation de cette ap-proximation :

r(u(k+1)) ≈ r(u(k)) + [u(k+1) − u(k)]r′(u(k)) = 0

L’it ereu(k+1) est donc obtenua partir de l’itereu(k) par

u(k+1) = u(k) − r(u(k))

r′(u(k))(5.18)

L’interpretation geometrique de (5.18) est simple : l’itere u(k+1) est determine en cherchant lepoint d’intersection avec l’axer = 0 de la droite tangente au point

(u(k), r(u(k))

)a la courbe(

u, r(u))

(figure5.15).La methode de Newton ne converge pas de facon inconditionnelle par rapport au choix

d’it ere initial u(0) : un mauvais choix deu(0) peut en effet conduirea construire par la recurrence(5.18) une suiteu(k) divergente. Quand elle converge, cette convergence a pour propriete remar-quable de se faire de faconquadratique, ce qu’on va montrer maintenant. Pour cela, on pose


r(u)

uu(0) (1)u u(2)

Figure 5.15: Equation scalaire non-lineaire : principe de la methode de Newton.

e(k) = u(k)−u (erreur sur la solution) pour toutk, de sorte que

e(k+1) − e(k) = u(k+1) − u(k) = − r(u(k))

r′(u(k))(5.19)

par application de (5.18). Un developpement der(u(k)) et r′(u(k)) a l’ordre 1 autour de lasolution exacteu (formule de Taylor avec reste) conduit alorsa

r(u(k)) = r′(u)e(k) +1

2r′′(u + αe(k))(e(k))2 (0 ≤ α ≤ 1)

r′(u(k)) = r′(u) + r′′(u + βe(k))e(k) (0 ≤ β ≤ 1)

ou les nombresα, β dependent dee(k). On exprime alorse(k+1) donne par (5.19) a l’aide de cesformules, pour obtenir la relation de recurrence entre erreurs successivese(k+1) et e(k) :

e(k+1) =2r′′(u + βe(k))− r′′(u + αe(k))

2r′(u) + 2r′′(u + βe(k))e(k)(e(k))2

=r′′(u)

2r′(u)(e(k))2 + o

(|e(k)|2

)= O

(|e(k)|2

)(5.20)

Cette relation met enevidence laconvergence quadratiquede la methode de Newton dans unvoisinage de la solution : pour des niveaux d’erreure(k) assez petits, l’erreure(k+1) est propor-tionnelle au carre de l’erreure(k). En d’autres termes, l’itere u(k+1) presente deux fois plus dechiffres significatifs corrects que son predecesseuru(k). Une fois« suffisamment proche» de lasolution, l’algorithme defini par la recurrence (5.18) presente ainsi une convergence tres rapide.

Methode de Newton modifiee : direction constante.Cette variante consistea remplacerr′(u(k))par une constanteK dans (5.18), ce qui donne la recurrence

u(k+1) = u(k) − r(u(k))

K(5.21)

Geometriquement parlant, cela revienta determiner l’itereu(k+1) en cherchant le point d’inter-section avec l’axer = 0 de la droite de penteK passant par le point(u(k), r(u(k))) (figure5.16).

La convergence de cette version modifiee est seulement lineaire au voisinage de la solution :les erreurs successives sont en effet reliees par

e(k+1) =(1− r′(u)

K

)e(k) + o(|e(k)|) = O(|e(k)|)

Cette variante n’a pas un tres grand interet pour la resolution d’equations scalaires. En revanche,on verra que son extension au cas d’equations non lineaires dansRN peutetre utile pour desraisons de cout de calcul numerique.


r(u)

uu u u(2)(1)(0)

Figure 5.16: Equation scalaire non-lineaire : principe de la methode de Newton modifiee, directionconstante.

Methode de Newton modifiee : direction secante. Cette variante consistea remplacerr′(u(k))par la pente de la droite secante passant par les points(u(k−1), r(u(k−1)) et (u(k), r(u(k)) corres-pondant aux deux iteres precedents (figure5.17), ce qui donne la recurrence

u(k+1) = u(k) − r(u(k))u(k) − u(k−1)

r(u(k))− r(u(k−1))(5.22)

Concernant la convergence de cette variante de la methode de Newton, on peut montrer que

|e(k+1)| = O(|e(k)|(1+√

5)/2)

(incidemment, l’exposant1 +√

5)/2 dans la formule ci-dessus est le nombre d’or). La conver-gence versu de la suite construitea l’aide de la recurrence (5.22) est ainsi moins bonne quecelle obtenue par la methode de Newton« standard» (exposant 2, c’est-a-dire convergencequadratique) mais meilleure que pour la methode de Newton avec direction constante (exposant1, c’est-a-dire convergence lineaire).

5.3.4 Resolution numerique d’un systeme d’equations non-lineaires par la methode deNewton

La resolution numerique d’un systeme d’equations non-lineaires, tel que celui (5.17) resul-tant de l’approximation parelements finis de l’equilibre d’un solideelastique non lineaire, re-poseegalement le plus souvent sur des algorithmes iteratifs. Ceux-ci consistent habituellementa construire une suiteU(k) dont la limiteU est la solution deR(U)= 0.

u(0) u(1) u(2)

r(u)

u

Figure 5.17: Equation scalaire non-lineaire : principe de la methode de Newton modifiee, direction secante.


La methode de Newton est, comme pour la resolution desequations scalaires, un algorithmereposant sur l’ecriture,a chaque iteration, du developpement limite a l’ordre 1 du residu autourde l’itere precedent :

R(k+1) ≈ R(k)+ [K(k)]δU(k) (5.23)

ou R(m) = R(Um) est la valeur du residu calcule pour l’iterem,

δU(k) = U(k+1) − U(k)

est la correction apporteea la solution par l’iteration en cours, et

[K(k)] = ∇UR(U(k)) soit K(k)IJ =

∂RI

∂UJ(U(k))

est lamatrice de rigidite tangenteenU(k). La correctionδU(k) est alors trouvee en annulantl’approximation (5.23) deR(k+1), c’est-a-dire en resolvant le systeme d’equations lineaire

R(k)+ [K(k)]δU(k) = 0 (5.24)

L’algorithme mettant en œuvre la methode de Newton pour un systeme d’equations non lineairedu type (5.17) est ainsi defini par lesetapes suivantes (ou ε designe unetolerancechoisieapriori ) :

1. Initialisation :U(0) (souvent,U(0) = 0),Calcul du residu initialR(0) = R(U(0))

2. Pourk = 0, 1, . . . faire :

(i) Calcul de la rigidite tangente globale[K(k)] ;(ii) Calcul du nouvel itereU(k+1) = U(k)+ [K(k)]−1R(k) ;

(iii) Nouveau residuR(k+1) = R(U(k+1)) ;(iv) Test de convergence :‖R(k+1)‖≤ ε ? ;

• Si oui : STOP,U = U(k+1)• Si non, fairek ← k + 1 et retoura 2.(i).

Convergence quadratique au voisinage de la solution.Comme pour le cas de l’equation sca-laire, la methode de Newton presente dans un voisinage de la solution une convergence quadra-tique. Pour le montrer, on definit l’ ecartE(k) = U(k)−U entre l’iterek et la solution, eton exploite la relation

E(k+1) = E(k)+ δU(k) = E(k) − [K(k)]−1R(k) (5.25)

qui decoule de cette definition et de la recurrence (5.24). Comme pour le cas scalaire, on formealors des developpements finis (formule de Taylor avec reste) autour de la solutionU, al’ordre 2 pourR(k) et a l’ordre 1 pour[K(k)]−1. Ces developpements limites s’ecrivent, encomposantes :

R(k)I = K(k)

IJ E(k)J +

1

2

∂K(k)IJ

∂UK(U + αE(k)) E(k)

J E(k)K

K(k)IJ = K(k)

IJ +∂K(k)

IJ

∂UK(U + βE(k)) E(k)

K

K(k)−1IJ =

(δIL −

∂K(k)JM

∂UK(U + βE(k)) E(k)

K

)K(k)−1

LJ


La relation (5.25) entre deuxecarts successifsa la solution devient donc :

E(k+1)I =

1

2K(k)−1

IJ

[∂K(k)

JK

∂UL(U + αE(k))− 2

∂K(k)JK

∂UL(U + βE(k))

]E(k)

K E(k)L + o(‖E(k)‖2)

= O(‖E(k)‖2) (5.26)

Cette relation, qui generalise (5.20) aux systemes d’equations, met enevidence laconvergencequadratiquede la methode de Newton dans un voisinage de la solution : pour des niveaux d’er-reur‖E(k)‖ suffisamment petits, l’erreur‖E(k+1)‖ est proportionnelle au carre de l’erreur‖E(k)‖. Une fois parvenu dans un voisinage de la solution (la caracterisation de ce voisinagedependant de la fonction vectorielleR)), l’algorithme defini par la recurrence (5.24) presenteune convergence tres rapide.

5.3.5 Retour sur l’exemple de l’equilibre en elasticite non lineaire

Pour appliquer la methode de Newtona la resolution numerique d’un probleme d’equilibrepour une certaine classe de comportement non-lineaire, comme l’elasticite non-lineaire conside-ree dans cette section, il faut pouvoir calculer la matrice de rigidite tangente[K(k)]. Pour ce faire,il est utile de revenira la formulation faible du probleme continu d’equilibre (c’est-a-dire avantintroduction de l’approximation parelements finis), en termes du residu continu defini par lafonctionnelleR(ξ; w). Pour la situation consideree ici, il s’agit desequations (5.15) et (5.16).

La methode de Newtonecrite pour le probleme d’equilibre continu consiste alorsa resoudrea chaque iteration la formulation faible linearisee

R(ξ(k); w) +⟨R′(ξ(k); w) , δξ(k)

⟩= 0 (5.27)

dont l’inconnue est la correctionδξ(k) = ξ(k+1) − ξ(k). L’application lineaire tangenteR′ deRapparaissant dans (5.27) est definie par

R(v + z, w)−R(v, w) = 〈R′(v, w), z〉+ o(‖z‖)

L’it ere ξ(k+1) = ξ(k) + δξ(k) est donc trouve comme solution du problemelineaire

trouverδξ(k) ∈C(0) tel que⟨R′(ξ(k); w), δξ(k)

⟩= −R(ξ(k); w)

(∀w ∈C(0)

)Une forme explicite de l’application lineaire tangenteR′ est alors obtenue en effectuant le

developpementa l’ordre 1 enz dans l’expression (5.16) deR(v + z, w). Pour cela, on utilise ledeveloppement de∂φ/∂ε(ε[v + z]) autour dev :

∂φ

∂ε

(ε[v + z]

)=

∂φ

∂ε

(ε[v]

)+

∂2φ

∂ε∂ε

(ε[v]

):ε[z] + o

(‖ε[z]‖

)Prenantv = ξ(k) et z = δξ(k), on obtient ainsi⟨

R′(ξ(k); w) , δξ(k)⟩

=∫Ω

ε[ξ(k)] :A(k) :ε[w] dV (5.28)

ou le tenseur d’ordre 4A(k)(x) designe lemodule d’elasticite tangent localassocie au compor-tementelastique non lineaire :

A(k)(x) =∂2φ

∂ε∂ε

(ε[ξ(k)](x)

)(5.29)

Par hypothese de convexite stricte deφ, le module d’elasticite tangent local est defini positif, ets’interprete comme un comportementelastique lineaire (heterogene) tangent.


Discretisation parelements finis. L’introduction d’une approximation parelements finis dansl’ equation (5.28) permet alors de definir la matrice de rigidite tangente[K(k)] a travers la relation⟨

R′(ξ(k)

h; wh) , δξ(k)

h

⟩=∫Ω

ε[ξ(k)

h] :A(k) :ε[wh] dV = WT[K(k)]δU(k) (5.30)

La matrice de rigidite tangente[K(k)] est donc la matrice de rigidite (au sens introduit au cha-pitre 3 pour le comportementelastique lineaire) pour un comportementelastique lineaire fictifdefini par le champ de modules d’elasticite tangents locauxA(k)(x). Elle est donc calculee aumoyen de la procedure fondee sur les integrationselementaires et l’assemblage, developpee ensections3.2et3.3. Ensuite, la correctionδU(k) est trouvee par resolution du systeme lineaired’equations

R(k)+ [K(k)]δU(k) = 0 (5.31)

Commentaires. On voit ainsi que, pour tirer parti des proprietes de convergence quadratique(donc rapide, en termes de nombre d’iterations) de la methode de Newton, le prixa payer estl’assemblagea chaque iteration de la matrice de rigidite tangente. Ainsi, le cout numeriquede chaque iteration de la methode de Newton, principalement du a l’assemblage de la rigiditetangente et la resolution du systeme d’equations (5.31), est du meme ordre de grandeur quecelui d’un calcul complet enelasticite lineaire.

Il peut alors parfoisetre avantageux (en termes du temps de calcul total de la procedureiterative) de remplacer la methode de Newton« standard» par une variante qui ne possedepas la propriete de convergence quadratique mais necessite un temps de calcul par iterationsensiblement inferieur. L’une de ces variantes consistea utiliser une matrice de rigidite constante[K] definie positive et choisiea part cela de facon arbitraire, de sorte que le systeme d’equationsgouvernant la correctionδU(k) soit

R(k)+ [K]δU(k) = 0

au lieu de (5.31). Un choix naturel pour[K] consistea construire la matrice de rigidite elastiquepour le module d’elasticite tangent pour l’etat naturel non deforme :

A(0) =∂2φ

∂ε∂ε(0)

De meme que pour le cas scalaire, cette variante de la methode de Newton a des proprietesde convergence degradees (lineaire au lieu de quadratique). En revanche, le temps de calculpar iteration est sensiblement reduit grace au fait que la matrice de rigidite constante[K] peutetre assemblee et factorisee (au moyen de l’algorithme de factorisationLDLT presente en sec-tion 3.4) lors de la premiere iteration, puis stockee en memoire.

Il existe d’autres variantes de methodes de Newton, qu’on ne developpe pas ici. Par exemple,il est possible de mettre en œuvre des approches hybrides« classique-modifie», dans lesquellesla matrice de rigidite tangente est calculee toutes les quelques iterations et utilisee comme rigi-dite constante entre deux actualisations. D’autres variantes reposent sur la notion de« rigiditesecante».

Chapitre 6

Calcul de solideselastoplastiques : aspectslocaux

Ce chapitre et le suivant sont consacres au calcul numerique de l’etat mecanique de solidesconstitues d’un materiau elastoplastique. Il existe une grande variete de tels comportementset de modeles pour les decrire. Dans ce cours, on se limite aux modeles de comportementelastoplastique les plus simples, utilises pour la plasticite des metaux (et pour cela tres utilisesdans les applications industrielles). On adopte ainsi le cadre d’hypotheses suivant :

• Hypothese des petites perturbations (HPP) ;• Evolutions quasi-statiques (chargements lentement variables dans le temps, permettant de

negliger les effets d’inertie) ;• Comportement du materiau par ailleurs decrit par le modele presente en section6.1.

Ce chapitre est principalement consacre au traitement algorithmique du caractere incrementalde la loi de comportementelastoplastique. Cette composante purement locale du traitementnumerique rend possible l’integration en temps discret desequations d’evolution. Le chapitre7montrera alors l’incorporation de cetteetape dans le traitement numerique du probleme globalde la simulation de l’evolution d’une structureelastoplastique.

6.1 Rappels sur le comportementelastoplastique

Le comportementelastoplastique fait l’objet d’une presentation detaillee dans le cours deSuquet(2004) : les modeles usuels y sont decrits au chapitre 4, tandis que le cadre thermody-namique regissant la formulation de modeles de comportement plus generaux y estetabli auchapitre 6. Cette section presente un rappel tres condense, et de portee restreinte aux besoinsde ce cours, de quelques notions essentielles concernant le comportementelastoplastique, defacona rendre ce chapitre et le prochain autosuffisants. On ne considerera en particulier que lemodele de comportementelastoplastique representatif de la plasticite des metaux.

6.1.1 Domaine d’elasticite, limite d’elasticite, critere

L’experience montre qu’un grand nombre de materiaux solides presentent un comportementelastique (et donc en particulier reversible, l’echantillon revenant dans sonetat initial apres uncycle charge-decharge) tant que les sollicitations qu’ils subissent sont suffisamment faibles.Cette constatation est modelisee par la notion delimite d’elasticite. Par exemple, en traction-compression simple dans la directionx, on observera un comportementelastique lineaire de laformeσxx = Eεxx (E etant le module de Young) tant que|σxx|−R ≤ 0, R etant donc la limited’elasticite en traction-compression.

89

90 CHAPITRE 6. CALCUL DE SOLIDES ELASTOPLASTIQUES: ASPECTS LOCAUX

τ

σ

Figure 6.1: Essai de traction-torsion sur cuivre : surface seuil initiale (avec, en trait plein, la surface seuilpredite par le critere de von Mises), d’apres Bui (1964, 1970).

La generalisation de cette notion est formulee en termes de la definition d’un domained’elasticitedans l’espace des contraintes, decrit a l’aide d’uncriteref(σ) de sorte que :

• Le domaine d’elasticite est l’ensemble des contraintes telles quef(σ) < 0.

De plus, pour les materiauxa comportementelastoplastique, le criteref(σ) est unseuil:

• Toutetat de contrainte dans le materiau est tel quef(σ) ≤ 0.

La variete definie, dans l’espace de dimension 6 des tenseurs de contraintes, par l’equationf(σ) = 0 est appeleesurface seuil.

Critere de von Mises. Pour decrire la plasticite des metaux, on utilise souvent le critere de vonMises, qui s’ecrit

σeq−R ≤ 0 (6.1)

ou R est la limite d’elasticite et lacontrainteequivalenteσeq est definie par

σeq =√

32‖s‖ avec s = σ − 1

3Tr(σ)1 (6.2)

s etant ledeviateur des contraintes. La norme‖a‖ d’un tenseur euclidien d’ordre 2a ∈ R3×3

est definie par‖a‖= (a :a)1/2, par extension directe de la definition usuelle‖v‖= (v.v)1/2 de la

norme euclidienne d’un vecteurv ∈R3. Le facteur√

3/2 figurant dans la definition (6.2) permetd’ecrireσeq = σ pour unetat de contrainte uniaxialeσ = σ(ex⊗ex), conferanta la contrainteequivalente une interpretation simple. En particulier, cette interpretation entraıne que le seuilRdu critere de von Mises (6.1) est la valeur de la limite d’elasticite observee dans une experiencede traction-compression uniaxiale.

6.1.2 Evolution de la surface seuil,ecrouissage

On constate sur beaucoup de materiaux que, une fois la limite initiale d’elasticite atteinte,il est possible de poursuivre une augmentation de chargement, le materiau se deformant alorsplastiquement. Si l’on operea partir de ce stade une decharge suivie d’une charge, on met alorsexperimentalement enevidence le fait que la surface seuil a varie (figure6.2). Ce phenomeneest appele ecrouissage. La variation de la surface seuil sera alors fonction de la deformationplastique creee dans le materiau.

6.1. Rappels sur le comportement elastoplastique 91

τ

σ

σ

τ

Figure 6.2: Essai de traction-torsion sur acier doux. Evolution de la surface seuil pour deux histoires dechargement : trajet de chargement radial (gauche), traction pure inferieure a la limite elastiquesuivie d’une torsion a force de traction constante (droite), d’apres Bui (1964, 1970).

Surface seuil initiale

σ0

Trajet de chargement

Surface seuil actuelleτ

X

Surface seuil initiale

σ

Trajet de chargement

0

Surface seuil actuelleτ

Figure 6.3: Ecrouissage isotrope (gauche) ou cinematique (droite).

On distingue en particulier la notion d’ecrouissageisotrope(augmentation de la taille dela surface seuil, son centre et sa forme restant inchanges, comme represente en figure6.3a),correspondanta un critere de la forme

f(σ)−R ≤ 0 (6.3)

ou le seuilR depend de la deformation plastique. On ne considerera que ce type d’ecrouissagedans ce cours, bien que d’autres formes existent, comme l’ecrouissagecinematique(selon lequella surface seuilevolue par translation, sans changement de forme ni de taille, comme representeen figure6.3b) et des combinaisons d’ecrouissages isotrope et cinematique.

6.1.3 Deformation plastique

Si unelement de matiere d’un materiauelastoplastique subit une deformationε, on definitles partieselastiqueεE et plastiqueεP de la deformation1 par

εE = S :σ , εP = ε− εE soit σ = A :εE = A : (ε− εP) (6.4)

ou S est le tenseur des souplesseselastiques defini par (1.20). Selon cette definition, uneevolution purementelastique du materiau se faita partie plastiqueεP nulle (ce qui justifiela decomposition (6.4) et la terminologie adoptee). Cette derniere n’evolue ainsi que lors dephases de charge poursuivies apres avoir atteint la limite actuelle d’elasticite (en particulier, sonevolution en dechargeelastique est nulle).

1Souvent appeleesdeformationelastiqueet deformation plastiquepar abus de langage,εE et εP ne derivant engeneral pas d’un deplacement.


σ

ττ

σ

τ τ

σ

Figure 6.4: Constatation experimentale de la normalite des vitesses de deformation plastique a la surfaceseuil, en differents points d’un trajet de chargement, d’apres Bui (1964, 1970).

Un niveau donne de contrainte peut correspondrea une infinite de valeurs de la deformationplastique, ce qui entraıne que l’etat actuel du materiau depend de l’histoire de chargement.

Une mesure scalaire du trajet de deformation plastique accompli au cours du temps par unelement de matiere est ladeformation plastique cumuleep(t), definie par

p(t) =√

23

∫ t

0‖εP(u)‖du (6.5)

Le facteur√

2/3 figurant dans la definition est ajuste de facona avoirσ : εP = σeqp pour uneexperience de traction uniaxiale.

6.1.4 Regle de normalite

Des essais multiaxiaux sur des metaux mettent enevidence le fait que, quand le chargementest poursuivia partir d’une contrainte situee sur la surface seuil, les variations de deformationplastique s’operent selon des directions geometriquement orthogonalesa la surface seuil et versl’exterieur de cette surface (figure6.4). Cela amenea postuler que l’evolution de la deformationplastique est gouvernee par laregle de normalite :

• La vitesse de deformation plastique est nulle lorsque les contraintes sont dans le domained’elasticite (f(σ) < 0). Lorsqu’elles sont sur le seuil de plasticite (f(σ) = 0), la vitessede deformation plastique est normale exterieure au domaine de plasticite.

La formulation mathematique de la regle de normalite couvrant les deux cas est alors

εP = γ∂f

∂σγ ≥ 0 f(σ) ≤ 0 γf(σ) = 0 (6.6)

Le multiplicateur plastiqueγ est un scalairea priori indetermine, il constitue donc une des in-connues introduites par le modele de comportement. Lacondition de complementarite γf(σ) =0 sert a exprimer le fait que la deformation plastique n’est susceptible d’evoluer qu’a partir

d’une situation telle que l’etat de contrainte est sur le seuil de plasticite.Pour le critere de von Mises (6.1), on trouve que

∂f

∂σ=

3

2σeqs (6.7)

Puisque‖s‖ =√

2/3σeq par definition (6.2) de la contrainteequivalente, on note alors que laregle de normalite (6.6) et la formule (6.7) entraınent que la vitesse de deformation plastique

6.1. Rappels sur le comportement elastoplastique 93

cumulee s’ecrit

p =√

23‖εP‖ =

√23γ

3

2σeq

√23σeq = γ

Ainsi, pour le critere de von Mises, le multiplicateur plastiqueγ estegala la vitesse de deforma-tion plastique cumuleep. Comme on ne considerera dans la suite que le critere de von Mises,on ecrira les relations de comportement en termes dep plutot queγ.

6.1.5 Recapitulation : formulation du modele de comportementelastoplastique considere

Les developpements presentes dans la suite de ce chapitre et au chapitre7 sont limitesa lafamille de comportementselastoplastiques habituellement utilisee pour modeliser le comporte-ments de materiaux metalliques, qui verifie les hypotheses suivantes

(i) Cinematique verifiant l’hypothese des petites perturbations (HPP) ;(ii) Elasticite lineaire isotrope ;(iii) Critere de von Mises ;(iv) Ecoulement plastique obeissanta la regle de normalite ;(v) Ecrouissage isotrope.

Les relations de comportement correspondanta ces hypotheses sont :

σ = [3κJ + 2µK] : (ε− εP) = κtr(ε) + 2µ(e− εP) elasticite (6.8a)

f(σ, p) = σeq−R(p) ≤ 0 critere de von Mises (6.8b)

εP = p∂f

∂σ(σ, p) = p

3

2σeqs , p ≥ 0 , p(σeq−R(p)) = 0 regle de normalite (6.8c)

ou ε est la deformation,εP la partie plastique de la deformation,e = K : ε le deviateur des

deformations,σ la contrainte,s = K : σ le deviateur des contraintes,σeq =√

3/2‖s‖ lacontrainteequivalente,p la deformation plastique cumulee. Les tenseurs d’ordre 4J et K,respectivement associes aux projections sur les sous-espaces des tenseurs spheriques et destenseurs deviatoriques, ontete introduits au chapitre1 et sont definis par (1.17) et (1.18). Deplus, la formulation (6.8a) de la partieelastique du comportement fait intervenir le module decompressibilite isotropeκ :

3κ = 2µ1 + ν

1− 2ν= 3λ + 2µ =

E

1− 2ν

On suppose que la fonctionR(p) donnant la limite d’elasticite comme fonction de la defor-mation plastique cumulee verifie les proprietes suivantes :

(i) R(0) = σ0 (ii) R′(p) ≥ 0

(iii) R(αp1 + (1− α)p2

)≥ αR(p1) + (1− α)R(p2) (0 ≤ α ≤ 1)

(6.9)

ou (i) σ0 est la limite d’elasticite initiale en traction simple, (ii) stipule que la limite d”elasticiteaugmente avec la deformation plastique cumulee, et (iii) la fonctionR(p) est concave. Lacontrainteequivalenteσeq etant une fonction convexe deσ, la clause (iii) permet d’assurer quel’ensemble des couples(σ, p) plastiquement admissibles est convexe. Dans le cas particuliercourant de l’ecrouissage isotrope lineaire, la fonction seuilR(p) est de la forme

R(p) = σ0 + hp (6.10)

ou σ0 est la limite d’elasticite initiale eth est le module d’ecrouissage, et verifie clairement leshypotheses (6.9).


Il est d’autre part utile de remarquer que la regle de normalite (6.8c) peutetre mise sous laforme

εP =√

32pN avec N =

√23

∂f

∂σ(σ, p) =

√32

1

σeqs (6.11)

et que le tenseurN ainsi defini (« normale» a la surface seuil de plasticite definie parf(σ, p) =0) est de norme unite (‖N‖ = (N :N)1/2 = 1). Enfin, on note qu’une consequence immediatede la regle de normalite sous sa forme (6.8c) ou (6.11) est l’incompressibilite plastique :

Tr(εP) = 0

qui est en fait verifiee pour tout criteref(σ) independant de la pression.

6.2 Calcul numerique d’une structure elastoplastique : position duprobl eme

6.2.1 Hypotheses,equationsa satisfaire

On considere une structure occupant le domaineΩ, constituee d’un materiauelastoplastiquedecrit par un modele de comportement de la forme (6.8). La structure est chargee par des dis-tributions donnees de forces volumiques, d’efforts imposes surST ⊂ ∂Ω et de deplacementsimposes sur la partie complementaireSξ = ∂Ω\ST. Ces sollicitations sont d’autre part variablesdans le temps, et la reponseevolutive de la structure est supposee quasistatique (evolutions suf-fisamment lentes pour pouvoir negliger les effets d’inertie). Pour simplifier, les surfacesSξ etST sont supposees independantes du temps. L’evolution de la structure sur l’intervalle temporelt∈ [0, T ] est alors gouvernee par les relations suivantes :

ε =1

2(∇ξ + ∇Tξ) dansΩ× [0, T ] compatibilite (6.12a)

divσ + ρf = 0 dansΩ× [0, T ] equilibre (6.12b)

σ = κtr(ε)1 + 2µ(e− εP) comportement, partieelastique (6.12c)

εP = p3

2σeqs p ≥ 0 σeq−R(p) ≤ 0 p[σeq−R(p)] = 0

comportement, partie plastique (6.12d)

ξ(x, t) = ξD(x, t) surSξ × [0, T ] deplacements imposes (6.12e)

T (x, t) = TD(x, t) surST × [0, T ] efforts imposes (6.12f)

εP(x, 0) = 0 dansΩ condition initiale (6.12g)

La condition initiale suppose en particulier que les valeurs initialesf(x, 0), ξD(x, 0), TD(x, 0)des sollicitations sont telles que la reponse initiale est dans le domaineelastique.

6.2.2 Resolution numerique : principe

En section5.3.2, on a introduit la notion d’algorithme iteratif pour le calcul d’etats d’equili-bre de structures en materiauelastique non lineaire. Celui-ci s’appuyait sur la formulation faibledesequations d’equilibre, dans lequel les relations locales de comportement et de compatibiliteetaient injectees de facona obtenir une formulation faible d’inconnueξ, non-lineaire enξ. L’al-gorithme proprement dit consistait alors en la recherche deξ par approximations successives,une suiteξ(k) de limite ξ etant construite au moyen de la methode de Newton (ou d’une autremethode iterative de resolution de systemes d’equations non lineaires).

6.2. Calcul numerique d’une structure elastoplastique : position du probleme 95

Le calcul numerique des structureselastoplastiques repose sur une demarche analogue, maisdoit prendre en compte deux caracteristiques supplementaires :

(a) Lesequations (6.12) definissent un probleme d’evolution, dont la solution doitetre re-cherchee comme fonction de l’espaceet du temps;

(b) La relation contrainte-deformation n’est plus instantanee (contrairementa (5.12c) pourl’ elasticite non lineaire), la contrainteσ(x, t) dependant de l’histoire des variables at-tachees au pointx.

Discretisation temporelle, resolution pasa pas. Pour prendre en compte (de facon approchee)le caractereevolutif de la solution recherchee, on introduit une suite deM+1 instants discretsregulierement espaces2 t0 = 0, t1 = ∆t, . . . , tM = M∆t = T (le pas de temps est donc∆t =T/M). L’algorithme de resolution a alors pour but l’evaluation de tous les champs mecaniques(deplacementξ, deformationε, deformation plastiqueεP, contrainteσ) aux instantstn (0 ≤n≤M). On met pour cela en œuvre une approche qualifiee d’incrementale: l’ etat mecaniqueest evalue successivement, de proche en proche, aux instantst0, t1, . . . , tM. Plus precisement,en adoptant la notation abregeefn(x) pour designer la valeurf(x, tn) prise par tout champf(x, t) a l’instanttn, l’approche incrementale consisteraa determiner l’etat mecaniqueSn+1 =ξ

n+1, ε

n+1, εP

n+1, σ

n+1 a l’instanttn+1 connaissant l’etat mecaniqueSn = ξ

n, ε

n, εP

n, σ

n a

l’instant tn et le chargement(fn+1

, ξDn+1

, TDn+1) applique a t = tn+1

3.

Discretisation spatiale, approche par les deplacements. Pour la resolution numeriquea cha-que pas de temps, une approximation deΩ et des champs cinematiques (deplacement inconnuξ, champs virtuels) parelements finis, reposant sur les principes developpes au chapitre2, estutilisee.

Comme pour l’elasticite lineaire (chapitres3 et 4) ou non lineaire (chapitre5), la construc-tion desequations du probleme approche prend appui sur la formulation faible de l’equilibre.Ici, la formulation faible des conditions d’equilibre (6.12b) et (6.12f)a l’instanttn+1 est∫

Ωσ

n+1:ε[w] dV =

∫Ω

ρfn+1

.w dV +∫

ST

TDn+1.w dS ∀w ∈C(0) (6.13)

La technique consideree ici pour l’approximation parelements finis, dite« approche par lesdeplacements», confere au champ de deplacement le statut d’inconnue principale, les autresgrandeursetant traitees comme des grandeurs secondaires4. Elle conduita cherchera expri-mer, en chaque point du domaine, la contrainteσ

n+1en fonction du deplacementξ

n+1et de

l’ensemble, note Sn, des variables mecaniquesa t = tn, de facona transformer (6.13) en uneequation non lineaire dont l’inconnue est le champξ

n+1. Le calcul de la solution pourra alors

reposer,a chaque pas de temps, sur un algorithme iteratif recherchantξn+1

selon un procedequi sera inspire de celui propose pour l’elasticite non lineaire. La suite de ce chapitre, et lechapitre7, consiste essentiellementa developper et mettre en œuvre cette demarche.

On retiendra donc,a ce stade, le caractere incremental et iteratif de la strategie de calculd’une structureelastoplastique que les remarques qui precedent dessinent : caractere incremen-tal (pasa pas) de l’integration temporelle, nature iterative de l’algorithme de resolution d’equa-tions non lineaires fournissant la solutiona chaque pas de temps.

2L’hypothese du pas de temps constant∆t = T/M n’est pas imperative mais simplifie l’analyse et l’algorithme.3L’expression anglo-saxonnetime-marching schemeest parlante.4Il existe par ailleurs des« formulations mixtes» et des« formulations hybrides» faisant intervenir des

representations de champs de contrainte ; celles-ci ne sont pas abordees dans ce cours.


Integration locale du comportement,equilibre global de la structure. Les considerations quiprecedent montrent clairement l’importance et l’utilite de disposer d’une procedure d’integra-tion locale du comportementelastoplastique, dont l’objet peutetre resume par :

ConnaissantSn et ξn+1

, trouverσn+1

(6.14)

Cette procedure peutetre symboliquement designee sous la forme d’un algorithme noteF :

(ξn+1

,Sn) −→ σn+1

= F(ξn+1

;Sn) (6.15)

La formulation faible de l’equilibrea l’instanttn+1 conduit ainsi au probleme d’inconnueξn+1

:

trouverξn+1∈C(ξD

n+1), R(ξ

n+1; w,Sn) = 0 ∀w ∈C(0) (6.16)

ou le residuR(ξn+1

; w,Sn) est defini en termes de l’algorithmeF (qui restea specifier) par

R(ξn+1

; w,Sn) =∫ΩF(ξ

n+1;Sn) :ε[w] dV −

∫Ω

ρfn+1

.w dV −∫

ST

TDn+1.w dS (6.17)

La resolution numerique d’un pas de temps associe donc des phases de calcul de naturelocale et de nature globale :

• Le probleme d’integration du comportementelastoplastique sur un pas de temps, symbo-lise par (6.15), est de nature strictement locale ;• La resolution de l’equilibre sous la forme faible (6.16) necessite un traitement global,

etendua toute la structure analysee.

L’int egration du comportementelastoplastique sur un pas de temps est l’objet du reste de cechapitre, la resolution du probleme global d’equilibreetant traitee au chapitre7.

6.3 Integration locale du comportementelastoplastique

Le probleme de l’integration sur un pas de temps du comportementelastoplastique peutetrepose de la facon suivante :

• On considere unelement de matiere dont l’etat mecaniqueSn = εn, εP

n, σ

n a l’instanttn

est homogene et connu. On imposea l’ element de matiere un increment de deformation∆ε

ndonne, de sorte qu’a l’instant tn+1 sa deformation soitε

n+ ∆ε

n. Determiner la

contrainteσn+1

et la deformation plastiqueεPn+1

predits par les relations de comporte-ment (6.8a,b,c).

Le probleme d’integration locale ainsi pose privilegie la deformation comme grandeur cinema-tique. Cela reflete simplement le fait que les relations de comportement lient les deformations etles contraintes. Les deplacements interviendront via la relation de compatibilite lors de la phasede resolution d’equilibre global.

6.3.1 Integration en temps : point de vue implicite,equations en temps discret

Parmi les relations de comportement (6.8a,b,c), la regle de normalite

εP = p3

2σeqs

est uneequation differentielle du premier ordre en temps. L’integration numerique de ce typede relation repose souvent sur l’approximation de la derivee par unedifference finie:

εP ≈ 1

∆t[εP

n+1− εP

n]

6.3. Integration locale du comportement elastoplastique 97

Cette difference finie peutetre consideree comme l’approximation deεPn

(schema« explicite»),ou deεP

n+1(schema« implicite»), ou encore deεP a un instant intermediaire entretn et tn+1.

Comme on le verra plus en detail au chapitre8 a propos de l’integration en temps de l’equationde la chaleur instationnaire, les proprietes (stabilite, precision) des schemas numeriques sontalors susceptibles de dependre de ce choix d’affectation de la difference finie. Il est en particulierfrequent que la variante« implicite» conduisea un schema d’integration en temps stable pourtout choix de pas de temps∆t tandis que la stabilite de la variante« explicite» n’est acquiseque pour des pas de temps suffisamment petits (et donc au prix d’un nombreeventuellementeleve de pas de temps).

Pour ces raisons, on retient ici un traitement de type implicite : les relations de compor-tement (6.8a,b,c) sontecritesa l’instant finalt = tn+1 et les differences finies approchent desvitessesa cet instant final. La forme discrete en temps ainsi obtenue des relations de comporte-ment, qui servira de basea la procedure d’integration locale, est :

σn+1

= σn

+ κtr(∆εn) + 2µ(∆e

n−∆εP

n) elasticite (6.18a)

σeqn+1 −R(pn + ∆pn) ≤ 0 critere de von Mises (6.18b)

∆εPn

= ∆pn3

2σeqn+1

sn+1

= ∆pn

√32N

n+1, ∆pn ≥ 0 , ∆pn

(σeq

n+1 −R(pn + ∆pn))

= 0

regle de normalite (6.18c)

Dans cesequations,∆en

= K : ∆εn

est la partie deviatorique de l’increment de deformation∆ε

nimpose a l’element de matiere, la notation∆pn = pn+1 − pn designe l’increment (pour

l’instant inconnu) de deformation plastique cumulee, etNn+1

designe la normale unitaire (pourl’instant inconnue)a la surface de plasticitefinale.

6.3.2 Prediction elastique et correction

La solution desequations 6.18a,b,c depend de savoir siσeqn+1−R(pn + ∆pn) < 0 (auquel

cas∆pn = 0, c’est-a-dire que l’evolution sur ce pas de temps est purementelastique) ouσeqn+1−

R(pn + ∆pn) = 0. Il est alors naturel de proposer une approche fondee sur la definition d’unepredictionelastique, suivie si necessaire d’unecorrection, demarche adoptee par exemple parNguyen(1977) ou Simo et Taylor(1985). La predictionelastiqueσelas

n+1de la contrainteσ

n+1a

l’instant final est alors definie par

σelasn+1

= σn

+ [3κJ + 2µK] :∆εn

soit selasn+1

= sn

+ 2µ∆en, (6.19)

ce qui revienta faire (temporairement) l’hypothese d’uneevolution purementelastique (et doncen particulier telle que∆pn = 0) des contraintes entre les instantstn et tn+1.

La fonction seuilf(σ, p) = σeq−R(p) etant par hypothese convexe (section6.1.5), on a

f(σelasn+1

, pn)− f(σn+1

, pn + ∆pn) ≥ (σelasn+1− σ

n+1) :

∂f

∂σ(σ

n+1)−∆pn

∂f

∂p(pn + ∆pn)

par application directe de la propriete caracteristique d’une fonction convexef(z) diff erentiable

pour tous(z1, z2), f(z2)− f(z1) ≥∇f(z1).(z2 − z1)

De plus, la partieelastique (6.18a) du comportement et la regle de normalite sous forme discre-te (6.18c) entraınent que

σelasn+1− σ

n+1= A :∆ε

n−A : (∆ε

n−∆εP

n) = A : (∆εP

n) =

√32∆pn

(A :N

n+1

)


de sorte que

(σelasn+1− σ

n+1) :

∂f

∂σ(σ

n+1)−∆pn

∂f

∂p(pn + ∆pn)

=3

2∆pn

(N

n+1:A :N

n+1

)+ ∆pnR

′((pn + ∆pn) ≥ 0

en raison de l’hypothese (6.9(ii)) sur la fonctionR(p) et du caractere defini positif de la formequadratique associeeaA. On a ainsi prouve l’inegalite

f(σelasn+1

, pn) ≥ f(σn+1

, pn + ∆pn) (6.20)

Deux possibilites se presentent alors :

• Si f(σelasn+1

, pn) ≤ 0, alors l’inegalite (6.20) entraınef(σn+1

, pn +∆pn) < 0. L’ etat finalσ

n+1resulte donc d’uneevolution purementelastique sur le pas de temps, et la prediction

elastiqueσelasn+1

est correcte :

σn+1

= σelasn+1

εPn+1

= εPn

pn+1 = pn

• Si f(σelasn+1

, pn) > 0, alors la predictionelastiqueσelasn+1

n’est pas plastiquement admissible,et en particulier∆ε

n6= ∆εE

n. Il faut donc supposer une variation de deformation plastique

durant le pas de temps, et donc∆pn > 0. La condition de complementarite discrete∆pnf(σ

n+1, pn+∆pn) = 0 implique alorsf(σ

n+1, pn+∆pn) = 0 : la contrainte finale est

sur la surface de plasticitefinale. Dans ce cas de figure, les relations de comportement entemps discret (6.18a,c) se reduisent alors auxequations

σn+1

= σelasn+1− 2µ∆εP

n, ∆εP

n= ∆pn

√32N

n+1, ∆pn > 0

Il en ressort que lacorrectionσn+1−σelas

n+1a apportera la predictionelastiqueσelas

n+1pour

obtenirσn+1

est dirigee selon la normalea la surface de plasticite finale. En d’autrestermes,σ

n+1est la projection orthogonale deσelas

n+1sur la surface de plasticite finale (fi-

gure6.5) :σ

n+1= P (σelas

n+1) (6.21)

On note que l’etape de correction est de nature implicite car la surfacef(σn+1

, pn+1) = 0 dependde l’etat final viapn+1. On va maintenant approfondir cette procedure et preciser l’algorithmede retour radialpermettant de realiser l’integration du comportement sur le pas de temps∆t.

n+1selas

sn+1

ns

σ n+1f( ,p )=0

nf( ,p )=0σ

Figure 6.5: Interpretation geometrique du calcul de σn+1

comme projection de σelasn+1

sur la surface deplasticite finale f(σ, pn+1) = 0


6.3.3 Algorithme de retour radial

La partie deviatorique du comportementelastique (6.18a) s’ecrit

sn+1

= sn

+ 2µ(∆en−∆εP

n) soit s

n+1= selas

n+1− 2µ∆εP

n. (6.22)

Compte tenu de la regle de normalite sous sa forme (6.18c), cette relation se met apreselimina-tion de∆εP

nsous la forme

sn+1

= selasn+1− 2µ

√32∆pnNn+1

(6.23)

Par definition (6.11) de la normalea la surface de plasticite pour le critere de von Mises, on a

sn+1

=√

23σeq

n+1Nn+1

et la relation (6.23) peut alorsetre mise sous la forme(√23σeq

n+1 + 2µ√

32∆pn

)N

n+1= selas

n+1

qui met enevidence une remarque essentielle :

• La normaleNn+1

a la surface de plasticite finale est colineaire au deviateur du predicteurelastique de contrainteselas

n+1:

Nn+1

=1

‖selasn+1‖selas

n+1=√

32

1

σelas,eqn+1

selasn+1

= Nelasn+1

(6.24)

Cette remarque explique la terminologie d’algorithme de retour radialdonne a la proceduredeveloppee ici : la correction du predicteurelastique est colineairea la direction radiale joignantle centre de la surface de plasticite au deviateur du predicteurelastiqueselas

n+1(figure6.6).

On cherche donc maintenant, gracea (6.23) et (6.24), la contrainte deviatorique finale sousla forme

sn+1

= selasn+1− 2µ

√32∆pnN

elasn+1

=√

23

(σelas,eq

n+1 − 3µ∆pn

)Nelas

n+1(6.25)

qui entraıne en particulierσeq

n+1 = σelas,eqn+1 − 3µ∆pn

sn+1

ns

n+1selasσf( ,p )=0n+1

n

12

f( ,p )=0σ

Figure 6.6: Interpretation geometrique de l’algorithme de retour radial : calcul de σn+1

par predictionelastique σelas

n+1et determination de σ

n+1comme intersection de la direction radiale passant par

σelasn+1

avec la surface de plasticite finale f(σ, pn+1) = 0


Enfin, l’evolution de la contrainte au cours du pas de temps n’etant pas purementelastique parhypothese, la contrainte finale doitetre sur le seuil de plasticite : σeq

n+1 −R(pn + ∆pn) = 0,c’est-a-dire

σelas,eqn+1 − 3µ∆pn −R(pn + ∆pn) = 0. (6.26)

Cetteegalite permet la determination de∆pn, les autres termesetant par hypothese connus(ils dependent soit de l’etat initialSn, soit de l’increment de deformation prescrit∆ε

n). Elle

constitue en fait la forme discrete de lacondition de coherenceexprimant que la matiere resteen charge plastique au cours de l’increment.

Recapitulant lesetapes precedemment decrites, on obtient l’algorithme de retour radialpour l’integration incrementale des relations de comportement :

Algorithme de retour radial.(a) Formerselas

n+1= s

n+2µK :∆ε

n(predicteurelastique) ; calculerσelas,eq

n+1 =√

32‖selas

n+1‖ ;

(b) Calcul defelasn+1 = f(σelas

n+1, pn) = σelas,eq

n+1 −R(pn) et test :

• Si felasn+1 ≤ 0, actualiser par

σn+1

= σelasn+1

= 3κTr(∆εn)1 + selas

n+1, εP

n+1= εP

n, pn+1 = pn (FIN )

• Si felasn+1 > 0 :

(i) Resoudre (6.26) par rapporta∆pn

(ii) Calculer l’increment de deformation plastique :

∆εPn

=3∆pn

2σelas,eqn+1

selasn+1

(iii) Actualiser les variables mecaniques :

εPn+1

= εPn

+ ∆εPn

, pn+1 = pn + ∆pn

σn+1

= selasn+1

+ κTr(∆εn)1− 2µ∆εP

n. (FIN )

Cet algorithme donneσn+1

en fonction de l’etat mecaniquea l’instanttn et de l’incrementde deformation entre les instantstn et tn+1, et peut donc symboliquementetre note

σn+1

= F(∆εn;Sn) (6.27)

6.3.4 Cas particulier de l’ecrouissage isotrope lineaire

Pour unecrouissage isotrope quelconque, caracterise par la fonctionR(p), le multiplicateurplastique discret∆pn est trouve par resolution d’uneequation scalaire non-lineaire, la condi-tion de coherence discrete (6.26). Il faut donc en general utiliser un procede iteratif, comme lamethode de Newton, pour determiner∆pn.

Cependant, dans le cas particulier (6.10) de l’ecrouissage isotrope lineaire, l’equation (6.26)devient lineaire en∆pn et sa solution est

∆pn =σelas,eq

n+1 − σ0 − hpn

3µ + h(6.28)

Cette valeur est ensuite utilisee auxetapes (ii) et (iii) de l’algorithme de retour radial.

6.3.5 Generalisation

La formeσn+1

= F(∆εn,Sn) de schemas d’integration locale des relations de comporte-

ment, et en particulier l’idee de trouverσn+1

par projection deσelasn+1

sur la surface seuil ac-


tuelle, est applicablea beaucoup d’autres modeles de comportement non lineaire, notammentelastoplastiques mais aussi viscoplastiques. La notion de retour radial, c’est-a-dire le fait quecette projection se fasse selon la direction radialeemanant du centre du convexe d’elasticite,est lieea l’hypothese d’isotropie dans l’espace des contraintes du critere considere (von Misesici) ; certains criteres ne la verifient pas. Le lecteur interesse par une presentation plus completede l’algorithmique associee aux modeles de comportement mecanique pourra se reporter auxouvrages deSimo et Hughes(1998) et deBesson, Cailletaud, Chaboche et Forest(2001).

6.3.6 Ecarta la radialit e et erreur d’int egration temporelle

Il est interessant d’essayer d’evaluer l’erreur commise du fait de la discretisation temporelle.Pour ce faire, on revient sur le lien entre grandeurs en temps discret et en temps continu. D’unepart, on a par definition de la deformation plastique cumuleep(t) :

∆pn = pn+1 − pn =∫ tn+1

tnp(u) du

D’autre part, utilisant la regle de normalite sous la forme (6.11) en temps continu, on a

∆εPn

= εPn+1− εP

n=∫ tn+1

tnεP(u) du =

√32

∫ tn+1

tnp(u)N(u) du (6.29)

Deux cas de figure se presentent alors :

(i) La normaleN a la surface de charge est constante pourtn ≤ t ≤ tn+1. Dans ce cas,l’ equation (6.29) s’integre exactement surtn≤ t≤ tn+1 et donne

∆εPn

= ∆pn

√32N

n+1

c’est-a-dire la regle de normalite (6.18c) formulee en temps discret. Les autres rela-tions de (6.18a,b,c) ne faisant pas intervenir d’approximation, les relations de compor-tement (6.18a,b,c) en temps discret se deduisent exactement de celles (6.8a,b,c) en tempscontinu, le passage en temps discret n’introduisant pas d’erreur. Cette situation corres-pond au cas ou le predicteurelastiqueσelas

n+1est colineairea la contrainte initialeσ

n(fi-

gure6.6).(ii) La normaleN a la surface de charge varie pourtn≤ t≤ tn+1. Dans ce cas, on a

∆εPn−∆pn

√32N

n+1=√

32

∫ tn+1

tnp(u)[N(u)−N

n+1] du

et l’integrale au second membre reflete l’erreur commise par passage en temps discret.On voit que le niveau de cette erreur augmente avec l’ecarta la radialiteN(u)−N

n+1sur

le pas de temps.

6.3.7 Exemple

On a vu que l’algorithme de retour radial realise l’integration exacte sur un pas de tempsquand lesevolutions de contrainte sont radiales, c’est-a-dire colineaires dans l’espace des con-traintesa l’etat de contrainte au debut du pas de temps. C’est en particulier le cas pour latraction-compression uniaxiale d’uneeprouvette cylindrique.

L’exemple qui suit permet d’illustrer le fonctionnement de l’algorithme de retour radial surune situation simple (champs de deformation et de contrainte homogenes) mais non radiale.Pour cela, on considere, sous l’hypothese des deformations planes, un solide dont la section


q(t)

LLhh

y

x

Figure 6.7: Elongation d’un barreau en deformation plane : geometrie et notations.

plane occupe le rectangleΩ = −L ≤ x ≤ L,−h ≤ y ≤ h (figure6.7). Un deplacementq(t)dans la directionx est impose sur la facex = 2L, et les facesy =±h sont libres de contraintes.Les conditions aux limites sont

ξx(L, y) = q(t)

Ty(L, y) = 0

ξx(−L, y) = 0

Ty(−L, y) = 0

Tx(x,±h) = 0

Ty(x,±h) = 0

Le materiau constitutif du solide est homogene, isotrope,elastique parfaitement plastique. L’etatinitial est naturel. Le trajet de chargement considere consistea augmenter le deplacement im-pose q(t) a partir de 0. La solution exacte de ce probleme est traitee dans le cours deSuquet(2004). Les seules composantes non nulles des deformations et des contraintes sontεxx, εyy etσxx, σzz. La particularite de cet exemple reside en ce que, quand la charge de premiere plas-tification q0 est atteinte, il est possible de poursuivre le chargementq(t) bien que le materiausoit parfaitement plastique et que l’etat de contraintes soit homogene. Le point representatif desetats de contrainte(σxx, σzz) ulterieurs se deplace alors sur la courbef(σxx, σzz) = 0 traduisantle critere de von Mises, de sorte que cesevolutions ne sont pas radiales (figure6.8).

On s’interesse icia l’integration en temps discret par application de l’algorithme de retourradial. Pour cela,a chaque instanttn, un increment de deformation∆εxx, ∆εyy est applique,avec∆εxx = ∆q/2L pour respecter les conditions de deplacement impose. Les contraintesσxx,n+1, σyy,n+1, σzz,n+1 sont alors calculees par l’algorithme de retour radial. L’equilibre dusolide impose de verifier σyy,n+1 = 0, et la valeur de l’increment∆εyy est trouvee (par unemethode de Newton) de facona ce que l’etat de contrainte verifie cette condition.

Les resultats obtenus par integration numerique, pourq(t) variant entreq0 et 6q0 (q0 etantla valeur du deplacement impose a laquelle la premiere plastification se produit), sont presentessur la figure6.9, page103. Les contraintesσxx, σzz sont tracees en fonction de la deformationεxx. Trois decoupages de l’intevalle[q0, 6q0], qui joue le role d’intervalle temporel, ontete

σxx

σzz

A

B

O

Figure 6.8: Elongation d’un barreau en deformation plane : representation dans le plan (σxx, σzz) des tra-jets de chargement elastique (de O a A) puis plastique (de A a B). La non-radialite de la partieplastique du trajet de chargement apparaıt clairement.


0 1×10-3 2×10-3 3×10-3 4×10-3 5×10-3 6×10-3

εxx

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

cont

rain

teσxx (exact)σzz (exact)σxx (numerique, 5 pas)σzz (numerique, 5 pas)

0 1×10-3 2×10-3 3×10-3 4×10-3 5×10-3 6×10-3

εxx

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

cont

rain

te

σxx (exact)σzz (exact)σxx (numerique, 20 pas)σzz (numerique, 20 pas)

0 1×10-3 2×10-3 3×10-3 4×10-3 5×10-3 6×10-3

εxx

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

sigm

a

σxx (exact)σzz (exact)σxx (numerique, 50 pas)σzz (numerique, 50 pas)

Figure 6.9: Elongation d’un barreau en deformation plane : comparaison des courbes deformation-contrainte exacte et approchee par la methode de retour radial en fonction du nombre de pas dechargement utilise a partir de l’apparition de la premiere plastification (haut : 5 pas, milieu : 20pas, bas : 50 pas).

consideres : 5 pas (∆q = q0), 20 pas (∆q = q0/4) et 50 pas (∆q = q0/10). On voit en particulierla convergence avec le nombre de pas de chargement. Les resultats pour 5 pas de chargementapparaissent comme nettement moins precis que les autres, traduisant le fait que l’ecarta laradialite sur chaque pas de chargement est alors trop grand.


Chapitre 7

Calcul de solideselastoplastiques : aspectsglobaux

7.1 Calcul numerique d’une structure elastoplastique : strategie der esolution

Cette section rappelle, pour la commodite de lecture, la position du probleme du calculnumerique d’une structureelastoplastique telle que formulee en section6.2 et les notationscorrespondantes, puis revient sur la strategie generale de resolution.

7.1.1 Hypotheses,equationsa satisfaire

On considere une structure occupant le domaineΩ, constituee d’un materiauelastoplastiquedecrit par un modele de comportement de la forme (7.8). La structure est chargee par des distri-butions donnees de forces volumiques, d’efforts imposes surST ⊂ ∂Ω et de deplacements im-poses sur la partie complementaireSξ = ∂Ω \ ST. Ces sollicitations sont d’autre part variablesdans le temps, et la reponseevolutive de la structure est supposee quasistatique (evolutions suf-fisamment lentes pour pouvoir negliger les effets d’inertie). Pour simplifier, les surfacesSξ etST sont supposees independantes du temps. L’evolution de la structure sur l’intervalle temporelt∈ [0, T ] est alors gouvernee par les relations suivantes :

ε =1

2(∇ξ + ∇Tξ) dansΩ× [0, T ] compatibilite (7.1a)

divσ + ρf = 0 dansΩ× [0, T ] equilibre (7.1b)

σ = κtr(ε) + 2µ(e− εP) comportement, partieelastique (7.1c)

εP = p3

2σeqs , p ≥ 0 , σeq−R(p) ≤ 0 , p[σeq−R(p)] = 0

comportement, partie plastique (7.1d)

ξ = ξD surSξ × [0, T ] deplacements imposes (7.1e)

T = TD surST × [0, T ] efforts imposes (7.1f)

εP(·, 0) = 0 dansΩ condition initiale (7.1g)

La condition initiale suppose en particulier que les valeurs initialesf(x, 0), ξD(x, 0), TD(x, 0)des sollicitations sont telles que la reponsea l’instant initial est dans le domaineelastique.

105

106 CHAPITRE 7. CALCUL DE SOLIDES ELASTOPLASTIQUES: ASPECTS GLOBAUX

7.1.2 Resolution numerique : principe

Discretisation temporelle, resolution pasa pas. Pour prendre en compte le caractereevolutifdu probleme, une suite deM+1 instants discrets est definie. L’algorithme de resolution a pourobjet de mettre en œuvre une approche incrementale :a chaque pas de temps, l’etat mecaniqueSn+1 = ξ

n+1, ε

n+1, εP

n+1, σ

n+1 a l’instanttn+1 doit etre calcule connaissant l’etat mecanique

Sn = ξn, ε

n, εP

n, σ

n a l’instanttn et le chargement(f

n+1, ξD

n+1, TD

n+1) applique a t = tn+1.

Formulation faible de l’equilibre. La construction desequations du probleme approche per-mettant la resolution numeriquea chaque pas de temps prend appui sur la formulation faibledes conditions d’equilibre (7.1b) et (7.1f)a l’instanttn+1, qui s’ecrit :∫

Ωσ

n+1:ε[w] dV =

∫Ω

ρfn+1

.w dV +∫

ST

TDn+1.w dS ∀w ∈ C(0) (7.2)

Integration locale du comportement.Une composante essentielle de cette demarche aeteetablie au chapitre6, a savoir la procedure d’integration locale du comportementelastoplasti-que, qui consiste essentiellement en un algorithmeF realisant l’operation :

(∆εn,Sn) −→ σ

n+1= F(∆ε

n;Sn) (7.3)

ou ∆εn

est un increment de deformation impose a l’element de matierea partir de sonetatSn

a l’instanttn. Pour la classe de modeles de comportement (7.1c,d) consideree dans ce cours,Fest l’action de l’algorithme de retour radial, developpe en section6.3et rappele ci-dessous.

(a) Formerselasn+1

= sn+2µK :∆ε


n+1 =√

32‖selas

n+1‖ ;

(b) Calcul defelasn+1 = f(σelas




σn+1

= σelasn+1

= 3κTr(∆εn)1 + selas

n+1, εP

n+1= εP

n, pn+1 = pn (FIN )


(i) Resoudre par rapporta∆pn la condition de coherence

σelas,eqn+1 − 3µ∆pn −R(pn + ∆pn) = 0

(ii) Calculer l’increment de deformation plastique :

∆εPn

=3∆pn

2σelas,eqn+1

selasn+1

(iii) Actualiser les variables mecaniques :

εPn+1

= εPn

+ ∆εPn

, pn+1 = pn + ∆pn

σn+1

= selasn+1

+ κTr(∆εn)1− 2µ∆εP

n. (FIN )

Equilibre global de la structure. La formulation (7.2) de l’equilibrea l’instanttn+1 conduitalors, apres expression deσ

n+1a l’aide de l’algorithmeF , au probleme d’inconnueξ

n+1:

trouverξn+1∈ C(ξD

n+1), R(ξ

n+1; w,Sn) = 0 ∀w ∈ C(0) (7.4)

ou le residuR(ξn+1

; w,Sn) est defini en termes de l’actualisation∆ξn

= ξn+1−ξ

n(inconnue)

a apporter au deplacementξn

(connu) par

R(ξn+1

; w,Sn) =∫ΩF(ε[∆ξ

n];Sn) :ε[w] dV −

∫Ω

ρfn+1

.w dV −∫

ST

TDn+1.w dS (7.5)

7.2. Resolution par methode de Newton avec operateur tangent coherent 107

Probleme approche par elements finis. A ce stade, une approximation deΩ et des champscinematiques (deplacement inconnuξ, champs virtuels) parelements finis, reposant sur les prin-cipes developpes au chapitre2, est introduite. Le probleme global defini par (7.4) et (7.5) prendalors la forme

Rn+1(Un+1) = KEPn (Un+1) − Fn+1 = 0 (7.6)

ou le N-vecteurUn+1 rassemble les inconnues nodales pour l’instanttn+1, KEPn (U) est

defini par ∫ΩF(ε[∆ξ

n];Sn) :ε[w] dV = WTKEP

n (U)

etFn+1 est leN-vecteur des forces generalisees associees aux efforts imposesa tn+1 :∫Ω

ρfn+1

.w dV +∫

ST

TDn+1.w dS = WTFn+1

Notons que, contrairement au cas de l’elasticite lineaire (chapitre3), il n’est pas commode d’as-sembler les contributions associees aux deplacements imposes dans une contributionFξ

n+1 auvecteurFn+1 des forces generaliseesFξ

n+1 en raison du caractere non-lineaire enξn+1

deF(ε[∆ξ

n];Sn).

7.1.3 Principe de la resolution numerique du probleme global

La resolution numerique du probleme global (7.4) est l’etape essentielle restanta develop-per, et le reste de ce chapitre lui est consacre. Le probleme (7.4) se presente comme un systemed’equations non-lineaires par rapporta l’inconnueξ

n+1, sa resolution numerique est de nature

iterative et releve en particulier des techniques presentees en section5.3.4. On va ici envisagerles deux possibilites suivantes :

(i) Resolution par methode de Newton avec operateur tangent coherent (section7.2).(ii) Resolution par methode de Newton modifiee avec direction de recherche constante (sec-

tion 7.3) ;

Les deux strategies ont pour point commun de proceder par recherche d’approximations suc-cessivesξ(k)

n+1(ou k est le compteur d’iteration), et plus precisement de corrections successives

δξ(k)n+1

definies par

δξ(k)

n+1= ξ(k+1)

n+1− ξ(k)

n+1= ∆ξ(k+1)

n−∆ξ(k)

n, (7.7)

et solutions de l’equation (7.4) linearisee autour de l’itere ξ(k)

n+1:

R(ξ(k); w,Sn) +⟨R′(ξ(k)

n+1; w,Sn) , δξ(k)

n+1

⟩= 0 (7.8)

La strategie (i) necessite le calcul de la« vraie» application lineaire tangenteR′(ξ(k)

n+1; w,Sn),

a actualisera chaque iteration. On verra qu’elle permet souvent une convergence rapide entermes de nombre d’iterations, au prix d’une certaine complexite. Une version simplifiee decette strategie est parfois desirable, pour des raisons de simplicite de mise en œuvre ou de rapi-dite d’execution de chaque iteration. La strategie (ii) repond alorsa cette preoccupation, l’appli-cation lineaire tangenteR′(ξ(k)

n+1; w,Sn) etant remplacee par une application lineaire constante.

7.2 Resolution par methode de Newton avec operateur tangent coherent

La methode de Newton repose sur l’exploitation de l’equation linearisee (7.8) sous sa forme« pure», et donc sur la construction numerique de l’application application lineaire tangenteR′ associee au residuR, definie par

R(v + z; w,Sn)−R(v; w,Sn) = 〈R′(v; w,Sn), z〉+ o(‖z‖),


l’existence d’une applicationR′ satisfaisanta cette definition constituant la condition de diffe-rentiabilite deR. Il importe donc de definir une procedure realisant le calcul numerique del’application lineaire tangente. Bien entendu, cette derniere prendra en pratique la forme d’unematrice tangente de dimensionN× N. Il est cependant commode, pouretablir cette procedure,de commencer par raisonner sur la forme continueR(ξ

n+1; w,Sn) du residu.

Dans la definition (7.5) de R(ξn+1

; w,Sn), seul le premier terme (forme bilineaire as-socieea la puissance des efforts interieurs) depend deξ

n+1. Par consequent, et en admettant

la differentiabilite deF par rapporta son premier argument, on a⟨R′(ξ(k)

n+1; w,Sn) , δξ(k)

n+1

⟩=∫Ω

⟨F ′(ε[∆ξ(k)

n];Sn) , ε[δξ(k)

n+1]⟩:ε[w] dV (7.9)

A ce stade, on voit donc que la construction de l’application lineaire tangente globaleR′ (ou,plus precisement, de son approximation au sens deselements finis) necessite la connaissancede l’application lineaire tangente locale associeeaF , qui est telle que

F(∆εn

+ δε;Sn)−F(∆εn;Sn) = 〈F ′(∆ε

n;Sn) , δε〉+ o(‖δε‖)

=∂σ

n+1

∂∆εn

(∆εn;Sn) :δε + o(‖δε‖)

On appelleraoperateur tangent localle tenseur d’ordre 4AEP tel que

AEP(∆ε(k)n

;Sn)def=

∂σn+1

∂∆εn

(∆ε(k)n

;Sn) (7.10)

On note que l’operateur tangent local esta priori une fonction de∆ε(k)n

etSn. Avec la definition(7.10), et en anticipant le fait queAEP(∆ε(k)

n;Sn) possede les memes symetries queA, l’appli-

cation lineaire tangente globaleR′ prend alors la forme⟨R′(ξ(k)

n+1; w,Sn) , δξ(k)

n+1

⟩=∫Ω

ε[δξ(k)

n+1] :AEP(∆ε(k)

n;Sn) :ε[w] dV (7.11)

7.2.1 Calcul de l’operateur tangent local

L’operateur tangent local defini par (7.10) resulte ainsi de la derivation de l’applicationF(∆ε;Sn) (algorithme de retour radial) par rapporta ∆ε. Une methode naturelle pour trouverson expression explicite est donc de deriver par rapporta ∆ε

nles etapes de l’algorithme de

retour radial donne en page106. Pour commencer, la contrainte finaleσn+1

= F(∆εn;Sn)

fournie par l’algorithme peutetre mise sous la forme

σn+1

= σn

+ A :∆εn− 2µ∆εP

n(7.12)

qui est applicable aux deux possibilites (purementelastique, ouelastoplastique) d’evolution dela contrainte.

Evolution purementelastique de la contrainte.Dans ce cas, la deformation plastique n’evoluepas :∆pn = 0, ∆εP

n= 0, et (7.12) donne immediatement

∂σn+1

∂∆εn

(∆εn;Sn) = A (7.13)

Evolutionelastoplastique de la contrainte.Dans ce cas, (7.12) donne, compte tenu de l’ex-pression de∆εP

ndonnee par l’etape (ii) de l’algorithme

∂σn+1

∂∆εn

(∆εn;Sn) = A− 2µ

∂∆εPn

∂∆εn

= A− 3µ∂

∂∆εn

(∆pn

σelas,eqn+1

selasn+1

)(7.14)


Pour rendre cette formule explicite, il faut disposer des expressions des derivees deselasn+1

, σelas,eqn+1

et∆pn. Les deux premieres sont facilesa etablir :

∂

∂∆εn

selasn+1

=∂

∂∆εn

(2µK :∆ε

n

)= 2µK (7.15a)

∂

∂∆εn

σelas,eqn+1 =

∂

∂∆εn

√32(selas

n+1:selas

n+1)1/2 =

√32

2µ

(selasn+1

:selasn+1

)1/2K :selas

n+1=

3µ

σelas,eqn+1

selasn+1

(7.15b)

La derivee de∆pn s’obtient par derivation par rapporta∆εn

de la condition de coherence (6.26)dont∆pn est solution. Avec l’aide de (7.15b), on obtient

3µ

σelas,eqn+1

selasn+1− [3µ + R′

n+1]∂

∂∆εn

∆pn = 0

(avecR′n+1 = R′(pn+1) = R′(pn +∆pn)) dont la solution est donc

∂

∂∆εn

∆pn =3µ

3µ + R′n+1

1

σelas,eqn+1

selasn+1

(7.16)

Les identites (7.15a), (7.15b) et (7.16), appliquesa

2µ∆εPn

= 3µ∆pn

σelas,eqn+1

selasn+1

donnent

2µ∂

∂∆εn

∆εPn

= 3µ(γ − β)

(selas

n+1

σelas,eqn+1

⊗selas

n+1

σelas,eqn+1

)+ 2µβK def

= D(∆εn;Sn) (7.17)

avec

β =3µ∆pn

σelas,eqn+1

= 1− Rn+1

σelas,eqn+1

γ =3µ

3µ + R′n+1

(la deuxiemeegalite dans la definition deβ resulte de (6.26), avec la notationRn+1 = R(pn+1)).Le tenseurD est d’ordre 4 et depend (a traversβ, γ, selas

n+1et σelas,eq

n+1 ) deSn et de∆εn. Il donne

la « correction plastique» a apporter aux modules d’elasticite A, de sorte queA − D soitle tenseur des modules tangents reliant (au premier ordre enδε) les variations de contraintesautour deσ

n+1=F(∆ε

n;Sn) aux variations de deformation autour deε

n+1= ε[ξ

n]+∆ε

n. De

plus,D possede les memes symetries (1.13) que le tenseurA des moduleselastiques, car (i)Kdefini par (1.18) les possede, et (ii)selas

n+1est un tenseur d’ordre 2 symetrique.

La derivee de l’applicationF(∆ε;Sn) est ainsi donnee dans le cas d’uneevolutionelasto-plastique de la contrainte par

∂F∂∆ε

n

(∆εn;Sn) = A−D(∆ε

n;Sn) (7.18)

Synthese. La definition (7.10) et les resultats (7.13) et (7.18) conduisent ainsia l’expressionrecherchee de l’operateur tangent localAEP :

AEP(∆εn,Sn) =

A si felasn+1 < 0 (evolutionelastique)

A−D(∆ε(k)n

;Sn) si felasn+1 > 0 (evolutionelastoplastique)

(7.19)

ou felasn+1 = f(σelas)−R(pn) est le critere calcule dans l’hypothese d’uneevolution de contrainte

purementelastique.On note que l’applicationF(∆ε

n,Sn) est differentiable par rapporta∆ε

nsi (i) felas

n+1 < 0 ou(ii) felas

n+1 > 0. Le cas (i) correspond au cas ou la contrainte finale est dans le domaine d’elasticite,et le cas (ii)a uneevolutionelastoplastique avec variation non nulle de deformation plastique


∆pn (chargeelastoplastique). En revanche, dans la situation limite ou fn+1 = 0, qui corresponda uneevolution que l’on peut qualifier de« charge neutre» (contrainte finale sur le seuil deplasticite mais absence de variation de deformation plastique, soit∆pn = 0), l’applicationF(∆ε

n,Sn) n’est pas differentiable.

7.2.2 Operateur tangent global.

Revenonsa la resolution de l’equation linearisee (7.8). L’application lineaire tangente glo-baleR′ est, compte tenu de (7.10), (7.19) et (7.11), donnee par⟨R′(ξ(k)

n+1; w,Sn) , δξ(k)

n+1

⟩=∫Ω

ε[δξ(k)

n+1] :A :ε[w] dV −

∫Ω

ε[δξ(k)

n+1] :D(∆ε(k)

n;Sn) :ε[w] dV (7.20)

Le premier terme du second membre correspond bien sur a l’operateur de rigidite elastiquehabituel, applique a la correctionδξ(k)

n+1(x). Le second terme corresponda une« correction

plastique» de l’operateur de rigidite. Son expression est similairea celle de l’operateur derigidite elastique (le tenseurA etant simplement remplace parD). L’equation (7.8) prend, apresune discretisation parelements finis, la forme

[K(k)n+1]δU(k)

n + R(k)n+1 = 0 avec [K(k)

n+1] = [K]− [D(k)n+1] (7.21)

ou [K] est la matrice de rigidite elastique,[D(k)n+1] la « correction plastique» de la rigidite cons-

truite par assemblage (au sens du chapitre3) de l’operateur de rigidite associe aD(∆ε(k)n

,Sn),

etR(k)n+1 = R(U(k)

n+1) le residuevalue pour l’itere precedent.

Ecriture en notation de Voigt adapteea l’assemblage. Sur le plan pratique, la methode d’as-semblage de la rigidite elastique[K] (section3.3) est applicable au calcul de la matrice decorrection plastique[D(k)

n+1], la seule differenceetant le remplacement du tenseur d’elasticiteAparD. Il est donc utile de reformuler ce dernier dans le cadre de la notation matricielle (« no-tation de Voigt», section2.2.6) adapteea la programmation, associeea la representation (2.30)des deformations et contraintes sous forme de vecteursa 6 composantes (en dimension 3). Pource faire, onetablit facilement que l’operationε→ K :ε s’ecrit en termes d’une matrice[K] :

K :ε = [K]ε avec [K] =

2/3 −1/3 −1/3 0 0 0−1/3 2/3 −1/3 0 0 0−1/3 −1/3 2/3 0 0 0

0 0 0 1/2 0 00 0 0 0 1/2 00 0 0 0 0 1/2

De meme, le deviateur et la contrainteequivalente associesa une contrainteσ generique s’ecri-vent, avec ces notations :

s = σ − 1

3(σ11 + σ22 + σ33)1 1 1 0 0 0T

σeq =[3

2

(s211 + s2

22 + s233

)+ 3s2

12 + 3s213 + 3s2

23

]/2

On associe alors au tenseur de correction plastiqueD defini par (7.17) la matrice[D(k)n+1] ∈ R6×6

donnee par

[D(k)n+1] =

3µ(γ − β)

(σelas,eq)2selasselasT + 2µβ[K] (7.22)


L’assemblage de la matrice de correction plastique[D(k)n+1] suit alors exactement la procedure

d’assemblage de la matrice de rigidite elastique decrite en section3.3, la matrice[A] etantsimplement remplacee par la matrice[D(k)

n+1].Il est important d’insister sur le fait queD, et par suite[D(k)

n+1], depend deSn et ξ(k)

n+1et est

donc pour cette raison une fonction du point. En particulier,[D(k)n+1] = [0] a tous les points pour

lesquels l’evolutioncalculee sur la base de l’increment∆ξ(k+1)n

estelastique.

Commentaires. La matrice[K(k)n+1] definie par (7.21b) est lamatrice tangenteelastoplastique

globale. Elle se reduit a la matrice de rigidite elastique en l’absence de plasticite dans la struc-ture. Elle est aussi connue sous le nom dematrice tangente coherente1, l’adjectif « coherent»se referant au fait que[K(k)

n+1] est la matrice tangente correcte associeea la methode de Newton(et donc coherente avec cette methode).

La methode de Newton« coherente», c’est-a-dire fondeea chaque iteration sur la matricetangente coherente[K(k+1)

n+1 ], presente l’avantage d’une convergence quadratique au voisinagede la solutionξ

n+1. Le prix a payer est le calcula chaque iterationde la matrice[K(k+1)

n+1 ]. Lamatrice de rigidite elastique[K] etant calculee une fois pour toutes au debut de la procedureincrementale-iterative, il faut en fait calculera chaque iteration la correction plastique[D(k+1)

n+1 ].Le cout de ce calcul depend de la proportion du domaine actuellement affectee par la plasti-cite, puisque les matriceselementaires dont l’assemblage constitue[D(k+1)

n+1 ] ne sont non nullesque sur leselements pour lesquels l’evolutioncalculee sur la base de l’increment∆ξ(k+1)

nest

plastique pour au moins un point de Gauss.Comme cela a deja ete mentionne au chapitre6, des schemas d’integration en temps discret

de la forme∆εn→ F(∆ε

n,Sn) existent pour une grande variete de modeles de comportements.

La notion d’operateur tangent coherent, exposee ici pour une classe particuliere de comporte-mentelastoplastique, a ainsi une portee beaucoup plus generale.

7.2.3 Algorithme pour le calcul d’une structure elastoplastique

Chaque iteration de la methode de Newton consiste principalementa (i) resoudre (7.21) parrapporta la correction de deplacementδU(k)

n+1, (ii) procedera l’actualisation∆U(k+1)n =

∆U(k)n + δU(k)

n+1 et faire de meme pour toutes les autres variables (valeurs aux points deGauss des tenseurs de deformation, de deformation plastique et de contrainte), (iii) calculer lenouvel operateur tangent global[K(k)

n+1], et ce jusqu’a l’it erationk telle que

‖R(k)n+1‖ ≤ ε‖Fn+1‖ (7.23)

ou 0 < ε 1 est une tolerance predefinie. On peut developper lesetapes du calcul d’unestructureelastoplastique sous la forme d’un algorithme. On a en fait choisi ici de presenter cesetapesa l’aide de trois niveaux d’algorithmes :Algorithme 1

Procedure complete de calcul incremental-iteratif, au niveau de la structure entiere ;Algorithme 2 (appele une fois par iteration par l’algorithme 1) :

Calcul des contraintes et des deformations plastiques cumulees associesa l’it ere ξ(k+1)n+1

;

Calcul de la correction plastique[D(k+1)n+1 ] a la matrice tangenteelastoplastique.

Algorithme 3 (appele pour chaque point de Gauss du maillage par l’algorithme 2) :Integration locale du comportement sur un pas de temps ;Calcul de la correction plastique localeD.

1Ouconsistent tangent operatordans la litterature internationale.


Algorithme 1 : calcul incr emental et iteratif d’une structure elastoplastique.

1 – Initialisation :(i) Donnees : maillage ; decoupage temporelt0, t1, . . . , tM, parametres de comportement,

chargements.(ii) Assemblage de la rigidite elastique[K] ;(iii) Assemblage des forces generalisees initialesF0 ;(iv) Resolution de[K]U0 = F0 ;(v) Calcul du champ de contraintesσ0 (defini aux points de Gauss du maillage) ;(vi) Initialisation de la matrice tangenteelastoplastique :[KEP] = [K] ;(vii) Residu initial :R0 = 0 ;

2 – Pourn = 0, 1, 2, . . . , M− 1 :

(i) Initialisation :∆U(0)n = 0, R(0)

n+1 = Rn ;(ii) Assemblage du vecteur des forces generalisees finalFn+1 ;

(iii) Pourk = 0, 1, 2, . . . et tant que‖R(k+1)n+1 ‖ > ε‖Fn+1‖ :

(a) Resolution de[KEP]δ(k)Un+1+R(k)n+1 = 0 ;

(b) Correction de l’increment de deplacement :∆U(k+1)n = ∆U(k)

n +δU(k)n+1 ;

(c) Calcul des contraintes et de la matrice de correction plastique (algorithme 2) :

(∆U(k+1)n , σn)→ [D(k+1)

n+1 ], σ(k+1)n+1 , ∆p(k+1)

n ;

(d) matrice tangenteelastoplastique :[KEP] = [K]− [D(k+1)n+1 ] ;

(e) Calcul du residuR(k+1)n+1 ;

(f) test de convergence :

• Si ‖R(k+1)n+1 ‖ ≥ ε‖Fn+1‖ : Passera l’it eration suivante :k ← k + 1.

• Si ‖R(k+1)n+1 ‖ < ε‖Fn+1‖ : Passer au pas de temps suivant :n← n + 1.

L’ etape (2-iii-c) de cet algorithme est detaillee sous la forme de l’algorithme 2 ci-apres.

Algorithme 2 : calcul des contraintes et de la correction plastique de la matrice tangente.

Entrees : • Champ des contraintes au pas de temps precedentσn ;• Increments de deplacements nodaux∆Un

Sorties : • Correction plastique[Dn+1],• Champ de contraintesσn+1,• Champ d’increment de deformation plastique cumulee∆pn.

1 – Initialisation :[Dn+1] = [0] ;2 – Poure = 1, 2, . . . , NE (boucle sur tous leselementsE(e) du maillage) :

(i) Initialisation de la matrice tangenteelementaire :[De] = [0] ;(ii) Pourg = 1, 2, . . . , G (boucle sur les points de Gaussag, de poidswg, deE(e)) :

(a) Increment de deformation :∆εn+1(ag) = [B(ag)]∆Uen+1 ;

(b) Calcul deσn+1(ag), ∆pn(ag) et [AEP(ag)] (algorithme 3) ;(c) Contribution du point de Gaussa [De] :

[De]← [De]+ [B(ag)]T[AEP(ag)][B(ag)]J(ag)wg ;

(iii) Assemblage de[De] dans[Dn+1].

L’ etape (2-ii-b) de cet algorithme est detaillee sous la forme de l’algorithme 3 ci-apres.


Algorithme 3 : calcul local des contraintes et de l’operateur tangent elastoplastique.1. Formerselas

n+1= s

n+2µK :∆ε


n+1 =√

32‖selas

n+1‖ ;

2. Calcul defelasn+1 = f(σelas




σn+1

= 3κTr(∆εn)1+selas

n+1, pn+1 = pn, D(∆ε

n,Sn) = 0


(i) Resoudre par rapporta∆pn la condition de coherence :

σelas,eqn+1 − 3µ∆pn −R(pn +∆pn) = 0

(ii) Actualiser la deformation plastique cumulee :

pn+1 = pn +∆pn

(iii) Evaluer les constantesβ etγ :

β =3µ∆pn

σelas,eqn+1

γ =3µ

3µ+R′n+1

(iv) Actualiser la contrainte :

σn+1

= (1− β)selasn+1

+ κTr(∆εn)1

(v) Former le tenseur de correction plastiqueD(∆εn,Sn) :

D(∆εn,Sn) = 3µ(γ − β)

(selas

n+1

σelas,eqn+1

⊗selas

n+1

σelas,eqn+1

)+2µβK

7.2.4 Difficultes lieesa l’incompressibilit e plastique

Dans les modeles de plasticite courants tels que celui considere dans ce chapitre, la partieplastique de la deformation est incompressible. Cette incompressibilite modelise le fait que lesdeformations plastiques dans les metaux se produisent par glissements dans le reseau cristallin,et donc sans variation de volume (Suquet, 2004).

Quand le chargement croıt au-dela de sa valeur de premiere plastification (en-dessous delaquelle toute la structure se deformeelastiquement), la deformation est susceptible de devenirprogressivement dominee par sa partie plastique, et tend ainsi vers unetat de deformation in-compressible. Cette situation est d’autant plus susceptible de se produire que l’ecrouissage dumateriau est faible (cas-limite de la plasticite parfaite). Or, le traitement numerique de l’incom-pressibilite introduit des difficultes.

Representation cinematique de l’incompressibilite. Sur le plan cinematique, l’incompressibi-lit e s’exprime (dans le cadre HPP) par la liaison Tr(ε) = divξ = 0. Si la verification exacte decette liaison est imposeea une approximation parelements finis construite selon les procedesstandard discutes au chapitre2, elle se traduit par un ensemble de relations lineaires devantetreverifiees par les deplacements nodaux.

Pour illustrer cette notion, considerons la situation la plus simplea analyser,a savoir l’ap-proximation parelements triangulaires lineaires en deformations planes. Sur ceselements, ladeformation approcheeε[ξ

h] est constante (section2.1), de sorte que la liaison d’incompressi-

bilit e conduisea uneequation parelement fini.


Considerons un maillage constitue deNE elements triangulaires. Le nombre totalNN denœuds peut s’ecrireNN = NI

N + NξN + NT

N , ou NIN, Nξ

N et NTN designent les nombres de nœuds

interieursa Ωh, situes surSξ et situes sur∂Ωh \ Sξ, respectivement. Pour un domaineΩ planet simplement connexe, la formule d’Euler2 et le fait que chaqueelement est un trianglea troisnœuds conduita la relation suivante :

NE = 2NIN + Nξ

N + NTN − 1

qui est donc aussi le nombre de liaisons introduites par l’incompressibilite. D’autre part, unprobleme en deformations planes pose sur ce maillage aa priori N = 2(NI

N + NTN) incon-

nues compte tenu des deplacements imposes auxNξN nœuds deSξ. Le nombre d’inconnues

independantes une fois imposees les liaisons d’incompressibilite est donc donne par

Nincomp = N− NE = NTN − Nξ

N + 1

Ce nombre est beaucoup plus petit queN, et peut memeetre negatif si plus de la moitie desnœuds de la frontiere sont bloques ! On voit donc que les liaisons cinematiques peuvent bloquer(presque ou totalement) la reponse cinematique. A titre d’exemple, le maillage de la figure7.1comporte 30elements et 24 nœuds. Avec une hypothese d’encastrement du cote vertical gauche,il reste 10 inconnues effectives une fois prises en compte les liaisons d’incompressibilite.

Les difficultesa surmonter dans les cas de deformations plastiques incompressibleseleveesont ete initialement soulevees dans l’article deNagtegaal, Parks et Rice(1974). Des techniquesd’interpolations parelements finis adapteesa l’incompressibilite plastique ont depuisete pro-posees, comme par exemple la methode dite« B », presentee par exemple dans l’ouvrage deSimo et Hughes(1998), qui repose sur une redefinition de la matrice[B] realisant sur unelementfini le passage entre deplacements nodaux et deformations aux points de Gauss de l’element(section2.2.5).

Figure 7.1: Exemple de maillage par elements triangulaires lineaires : 30 elements, 24 nœuds, deplacementimpose sur le bord gauche. Il reste 10 inconnues nodales apres prise en compte des liaisonsd’incompressibilite.

Incompressibilite elastique. L’incompressibilite du comportementelastique, si elle est presen-te, se traduit parν = 1/2. Les difficultes proviennent de ce que la relation de comportementelastique

σ = κTr(ε)1 + 2µK :ε

est alors telle queκ est infini, et il faut par ailleurs verifier Tr(ε) = 0. La encore, la methode deselements finis appelle la mise en œuvre de strategies adaptees.

2Celle-ci s’ecrit ici S + NE = A + 1, ou S est le nombre de sommets etA le nombre d’aretes du maillage.En general, S 6= NN car tous les nœuds ne sont pas situes aux sommets deselements. Pour leselements finistriangulaires lineaires,S = NN.

7.3. Resolution par methode de Newton modifiee avec direction de recherche constante 115

7.3 Resolution par methode de Newton modifiee avec direction de re-cherche constante

Cette variante suit l’idee de la methode de Newton modifiee avec direction de rechercheconstante presentee en section5.3.3pour uneequation scalaire. Elle repose sur le remplacementde la matrice tangente coherente[KEP] par une matrice« tangente» constante[K]. L’avantagede cette simplification est une reduction du temps de calcul consomme par une iteration. Onperd en revanche la propriete de convergence quadratique de la« vraie» methode de Newton(voir section5.3.3). Le calcul d’une structure peut encoreetre presente sous la forme de troisalgorithmes emboıtes :

Algorithme 1 bisProcedure complete de calcul incremental-iteratif, au niveau de la structure entiere ;

Algorithme 2 bis (appele une fois par iteration par l’algorithme 1) :Calcul des contraintes et des deformations plastiques cumulees associesa l’it ere ξ(k+1)

n+1.

Algorithme 3 bis (appele pour chaque point de Gauss du maillage par l’algorithme 2) :Integration locale du comportement sur un pas de temps.

Algorithme 1 bis : calcul incr emental et iteratif d’une structure elastoplastique.1 – Initialisation :

(i) Donnees : maillage, decoupage temporelt0, t1, . . . , tM, parametres de comportement,chargements.

(ii) Assemblage de la rigidite elastique[K] ;(iii) Assemblage du vecteur des forces generalisees initialesF0 ;(iv) Resolution de[K]U0 = F0 ;(v) Post-traitement : Pour tous les points de Gauss de tous leselements, calcul des

contraintes initialesσ0 ;(vi) Residu initial :R0 = 0 ;

2 – Pourn = 0, 1, 2, . . . , M− 1 :

(i) Initialisation :∆U(0)n = 0, R(0)

n+1 = Rn ;(ii) Assemblage du vecteur des forces generalisees finalFn+1 ;

(iii) Pourk = 0, 1, 2, . . . et tant que‖R(k+1)n+1 ‖ > ε‖Fn+1‖ :

(a) Resolution de[K]δ(k)Un+1+R(k)n+1 = 0 ;

(b) Correction de l’increment de deplacement :∆U(k+1)n = ∆U(k)

n +δU(k)n+1 ;

(c) Calcul des contraintes (algorithme 2) :

(∆U(k+1)n , σn)→ σ(k+1)

n+1 , ∆p(k+1)n ;

(d) Calcul du residuR(k+1)n+1 ;

(e) test de convergence :

• Si ‖R(k+1)n+1 ‖ ≥ ε‖Fn+1‖ : Passera l’it eration suivante :k ← k+1.

• Si ‖R(k+1)n+1 ‖ < ε‖Fn+1‖ : Passer au pas de temps suivant :n← n + 1.


Algorithme 2 bis : calcul des contraintes.

Entrees : • Champ des contraintes au pas de temps precedentσn ;• Increments de deplacements nodaux∆Un

Sorties : • Correction plastique[Dn+1],• Champ de contraintesσn+1,• Champ d’increment de deformation plastique cumulee∆pn.

Poure = 1, 2, . . . , NE (boucle sur tous leselements du maillage) :

Pourg = 1, 2, . . . , G (boucle sur les points de Gaussag, de poidswg, de l’elementE(e)) :

(a) Increment de deformation :∆εn+1(ag) = [B(ag)]∆Uen+1 ;

(b) Calcul deσn+1(ag), ∆pn(ag) et [AEP(ag)] (algorithme 3) ;

Algorithme 3 : calcul des contraintes et de la correction plastique de la matrice tangente.1. Formerselas

n+1= s

n+2µK :∆ε


n+1 =√

32‖selas

n+1‖ ;

2. Calcul defelasn+1 = f(σelas




σn+1

= 3κTr(∆εn)1+selas

n+1, pn+1 = pn, D(∆ε

n,Sn) = 0


(i) Resoudre par rapporta∆pn la condition de coherence :

σelas,eqn+1 − 3µ∆pn −R(pn +∆pn) = 0

(ii) Actualiser la deformation plastique cumulee :

pn+1 = pn +∆pn

(iii) Actualiser la contrainte :

σn+1

=(1− 3µ∆pn

σelas,eqn+1

)selas

n+1+κTr(∆ε

n)1

7.4 Exemples

Cette section a pour but de presenter deux exemples. Le premier (section7.4.1) a pourbut d’illustrer le fonctionnement des algorithmes decrits aux sections7.2 et 7.3. Le second(section7.4.2) corresponda une application dans le domaine de l’industrie automobile.

7.4.1 Illustration des algorithmes

Le fonctionnement de la methode de Newton, sous sa forme« coherente» (section7.2) ousimplifiee (section7.3), est illustre sur un exemple en deformations planes. Le solide considere,une eprouvette avec entaille, est schematise en figure7.2a. Le maillage utilise, comportant17150elements lineaires triangulaires et 8792 nœuds, est presente en figure7.2b. Le grandnombre d’elements utilise est justifie par la concentration de contraintes3 attendue au voisi-nage des entailles, engendrant de forts gradients de contraintes et de deformations. Les resultatsnumeriques pour cet exemple ontete obtenus au moyen des programmes (MATLAB ) d’initiationplast2d tri3 etplast2d tri3 cto ecrits pour ce cours par A. Frangi.

3L’ elasticite lineaire prevoit en fait unesingularitede contraintes en tout coin entrant reliant deux bords libres.

7.4. Exemples 117

1x

2x

1,50,50,50,75

A

B

Q(t) Q(t)

Figure 7.2: Eprouvette entaillee en traction : geometrie et chargement (haut) et maillage (bas).

Le materiau constitutif est suppose elastoplastique et represente par les relations de com-portement (7.12c,d), avec une loi d’ecrouissage isotrope lineaire

R(p) = σ0 + hp

Les parametres de comportement utilises sont :ν = 0, 3, σ0 = 0, 88E. Deux cas d’ecrouissagesont envisages :h = 0 (ecrouissage nul, c’est-a-dire plasticite parfaite) ouh = 0, 05E. Aveccette definition des parametres de comportement, et compte tenu du mode de chargement pareffort impose (voir plus loin), les contraintes ne dependent pas du module de YoungE et lesdeformations sont inversement proportionnellesaE. La valeur deE a ici ete priseegalea l’unitepar commodite.

L’ eprouvette est chargee en traction simple dans la direction horizontale : une traction uni-forme d’intensiteQ(t) par unite de surface est appliquee aux bords extremes comme schematisesur la figure7.2a. Le chargementQ(t) est lentement croissant,a partir d’une valeur initiale nulle.Les autres frontieres sont libres de contraintes. Pour bloquer les trois degres de liberte rigidesapriori permis par ce chargement, on impose en plus les liaisons

ξ1(A) = ξ2(A) = ξ1(B) = 0

Avec la valeur deσ0/E adoptee ici, un calcul purementelastique (fait par exemple pourQ = 1)montre que la premiere apparition de plasticite se produit pourQ = Q0 ≈ 0.08024.

Materiau parfaitement plastique.On a considere uneevolution enM = 10 pas de chargement,l’histoire de chargementetant definie par la suite des valeursQ(n) = Q(tn) du parametre dechargementQ aux instantstn :

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Q 0 0,08 0,16 0,24 0,32 0,40 0,46 0,52 0,57 0,59 0,6

4Pour ce type de configuration presentant une singularite de contrainteelastique, la plasticite devrait en touterigueur apparaıtre en fond d’entaille pour toute valeurQ 6= 0. En fait, avec le type d’element fini utilise ici, lescontraintes approchees sont constantes sur chaqueelement, etQ0 depend du maillage... Une autre maniere de direcela est que le calcul parelements finis est incapable de« voir » la zone plastifiee tant que celle-ci reste nettementplus petite qu’unelement fini.


0 2 4 6 8 10q

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Q

Figure 7.3: Eprouvette entaillee en traction, materiau parfaitement plastique (h = 0) : force de traction enfonction de l’allongement (en variables adimensionnelles).

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(a) [KEP] 1 4 4 4 4 5 6 7 8 8(b) [K] = [K1

n+1] 1 18 25 40 46 74 120 147 79 190(c) [K] = [K] 1 18 44 109 227 380 821 1259 1396 3639

Tableau 7.1: Eprouvette entaillee en traction, materiau parfaitement plastique (h = 0) : nombre d’iterationspour chaque pas de chargement : methode de Newton avec matrice tangente coherente(a), methode de Newton modifiee utilisant la matrice tangente elastoplastique calculee a lapremiere iteration pour chaque pas de temps (b), methode de Newton modifiee utilisant lamatrice de rigidite elastique (c).

Figure 7.4: Eprouvette entaillee en traction, materiau parfaitement plastique (h = 0) : carte de deformationplastique cumulee a l’instant final (n = 10).

La figure7.3 montre la relation entreQ et une variable cinematiqueq proportionnellea l’ex-tension longitudinale. La valeur finale du chargement choisie ici apparaıt comme proche de lacharge limite de la structure. La figure7.4 presente la distribution de deformation plastiquecumulee au stade final du chargement.

Le tableau7.1 presente une comparaison des nombres d’iterations requis pour chaque pasde temps, le critere de convergenceetant‖R(k+1)

n+1 ‖ < ε‖Fn+1‖ avec une tolerance relativeε = 10−4. On note en particulier que l’emploi de la matrice de rigiditeelastique comme directionde recherche dans la methode de Newton modifiee conduita des nombres d’iteration prohibitifspour les pas de chargement finaux. cela est du a l’hypothese de plasticite parfaite et au fait que lechargement final est proche de la charge limite (la courbe force-allongement s’approchant pources raisons de l’horizontale). La convergence de la methode de Newton« coherente» (baseesur l’operateur tangent[KEP]) demande tres peu d’iterations, meme pour les pas de chargementfinaux, mais chaque iteration est plus chere en temps de calcul en raison de la necessite dans

7.4. Exemples 119

0 2 4 6 8 10q

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Q

Figure 7.5: Eprouvette entaillee en traction, materiau plastique avec ecrouissage isotrope lineaire (h =0, 05E) : force de traction en fonction de l’allongement (en variables adimensionnelles).

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(a) [KEP] 1 3 3 3 4 5 5 5 5 5(b) [K] = [K1

n+1] 1 16 18 23 27 40 74 70 44 52(c) [K] = [K] 1 16 34 54 59 80 102 113 128 147

Tableau 7.2: Eprouvette entaillee en traction, materiau plastique avec ecrouissage isotrope lineaire (h =0, 05E) : nombre d’iterations pour chaque pas de chargement : methode de Newton avecmatrice tangente coherente (a), methode de Newton modifiee utilisant la matrice tangenteelastoplastique calculee a la premiere iteration pour chaque pas de temps (b), methode deNewton modifiee utilisant la matrice de rigidite elastique (c).

cette methode de calculer[KEP] a chaque iteration.

Materiau plastique avececrouissage. On a considere a nouveau uneevolution enM = 10 pasde chargement, l’histoire de chargementetant definie cette fois par :

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Q 0 0,08 0,16 0,24 0,32 0,40 0,48 0,56 0,64 0,72 0,8

La figure7.5montre la relation entre force de tractionQ et extension longitudinaleq.Le tableau7.2 presente une comparaison des nombres d’iterations requis pour chaque pas

de temps, le critere de convergenceetant encore‖R(k+1)n+1 ‖ ≥ ε‖Fn+1‖ avecε = 10−4. Les

nombres d’iterations requis par les diverses methodes sont moins importants que dans le cas dela plasticite parfaite, en particulier pour ce qui concerne la methode de Newton modifiee avecdirection de recherche constante (cas (b) et (c) du tableau). Ici encore, la convergence de lamethode de Newton« coherente» demande tres peu d’iterations.

7.4.2 Application : prototype de collecteur d’echappement

Cet exemple provient d’un travail de recherche realise parConstantinescu, Charkaluk, Le-derer et Verger(2004) dans le cadre d’une collaboration entre PSA Peugeot Citroen et deuxlaboratoires publics (LMS, Ecole Polytechnique et LML, universite de Lille), portant sur l’ana-lysea la fatigue de composants de moteurs automobiles. Plus specifiquement, il s’agit d’estimerpar le calcul le nombreNrupt de cycles de demarrage / fonctionnement / arret d’un moteur pou-vant conduirea la rupture par fatigue d’un prototype de collecteur de gaz d’echappement.


Figure 7.6: Prototype de collecteur d’echappement : champ de temperature calcule (haut) ; evolution ther-mique typique en deux points, avec comparaison entre mesures et simulation (bas). D’apresConstantinescu et al. (2004).

Ce composant a pour fonction de guider l’evacuation de gaz d’echappement. Ceux-ci, treschauds, engendrent dans le collecteur lui-meme des temperatureselevees et rapidement va-riables, qui sollicitent fortement le materiau par l’intermediaire des dilatations thermiques.Ces chargements thermiques cycliques engendrent une reponse thermomecanique telle que lemateriau ne reste paselastique, et des deformations plastiques se creent progressivement au fil

Figure 7.7: Prototype de collecteur d’echappement : champs de deformation plastique cumulee (haut) etde contrainte equivalente de von Mises (bas) obtenus une fois l’etat stabilise atteint. D’apresConstantinescu et al. (2004).

7.4. Exemples 121

Figure 7.8: Prototype de collecteur d’echappement : distribution du critere de fatigue calcule a l’aide deschamps elastoplastiques de la figure 7.7. D’apres Constantinescu et al. (2004).

Figure 7.9: Prototype de collecteur d’echappement : detail de la distribution du critere de fatiguecalcule a l’aide des champs elastoplastiques de la figure 7.7 (gauche), rupture observeeexperimentalement sur le prototype (droite). D’apres Constantinescu et al. (2004).

des cycles demarrage / fonctionnement / arret.Sans entrer dans les details des methodes de l’analyse des structuresa la fatigue, on se

contentera ici de mentionner que (i) l’etat mecaniqueelastoplastique de la structure atteint unregime stabilise au bout d’un certain nombres de cycles, et (ii) un critere permettant la predictionde la duree de vie en termes du nombre de cyclesNrupt est fonde sur la connaissance de cettereponse stabilisee.

La figure7.6 montre le champ de temperature calcule, ainsi qu’uneevolution thermiquetypique en deux points du prototype de collecteur. La temperature aete de plus mesuree ences deux points, ce qui a permis de valider le calcul numerique du champ de temperature in-duit par la circulation des gaz chauds (le chapitre8 sera consacre au calcul numerique de lareponse thermique et thermomecanique des structures). Ce calcul thermique est crucial, car lareponse mecanique de la structure resulte du chargement thermique. La figure7.7 montre lesdistributions calculees de deformation plastique cumulee et de contrainteequivalente de vonMises correspondanta l’etat stabilise. Ces grandeurs entrent dans le calcul d’un indicateur defatigue, lie a la densite d’energie dissipee, et qui se presente doncegalement sous forme decarte. Une distribution typique de cet indicateur de fatigue calcule est presentee en figure7.8.Les predictions de cet indicateur ont puetre confronteesa des ruptures observees sur des pro-totypes de collecteurs soumisa des cycles demarrage / fonctionnement / arret de moteur. Lespredictions du critere de fatigue (zones ou cet indicateur prend les valeurs les pluselevees)recoupent bien les ruptures observees experimentalement, comme on le voit sur la figure7.9.


Chapitre 8

Evolution thermique et thermoelasticitelin eaire

Ce chapitre aborde la resolution numerique parelements finis pour la thermoelasticite de-couplee. Il s’agit de situations ou la reponse de la structure (supposee ici elastique lineaire etdans le cadre HPP) resulte de l’incompatibilite des deformations qu’un champ de temperaturetenda engendrer en raison de la dilatation thermique du materiau.

Le calcul de la reponse thermoelastique necessite la connaissance du champ de temperature.Une fois celui-ci connu, il est facile de le prendre en compte dans la formulationelements finisdu probleme mecanique sous la forme d’un terme de type force generalisee. C’est pourquoi cechapitre est pour une grande part consacre au calcul numerique du champ de temperature. Sicelui-ci corresponda unetat d’equilibre, il verifie l’equation de Laplace avec des conditions auxlimites appropriees, et le traitement numerique du probleme thermique est alors essentiellementune forme simplifiee du traitement de l’elasticite lineaire.

Cependant, les chargements thermiques sont frequemmentevolutifs dans le temps, en raisonde la conduction de la chaleur dans le solide. La conduction est souvent un phenomene lentet progressif, et l’hypothese d’une reponse thermomecanique quasistatique de la structure estalors raisonnable. Ce chapitre aborde ainsi l’integration en temps desequations de l’evolutionthermique, le champ de temperature obtenua chaque instantetant utilise comme donnee d’unprobleme mecanique d’equilibre.

Apres un rappel desequations de la thermoelasticite lineaire et de leur formulation va-riationnelle (section8.1), la resolution numerique du probleme thermique instationnaire estabordee. La section8.2detaille la semi-discretisation en espace parelements finis. L’integrationnumerique en temps discret du systeme d’equations differentielles issu de la semi-discretisationest l’objet de la section8.3. La methode de calcul numerique de la reponse thermoelastique de lastructure est enfin abordee en section8.4, une applicationa un composant de moteur automobileetant presentee en section8.5.

8.1 Thermoelasticite lineaire : rappels

Les variations de temperature dans un materiau induisent des variations de volume (dila-tations thermiques). Celles-ci correspondent en general a des deformations non compatibles(c’est-a-dire ne derivant pas d’un champ de deplacement). La deformation apparaissant effec-tivement dans un materiau soumisa des variations de temperaure doit ainsi« corriger» cetteincompatibilite, ce qui donne naissancea des contraintes d’origine thermique, meme en l’ab-sence de toute sollicitation mecanique.

Le modele thermomecanique le plus simple, sur lequel ce chapitre se concentre, est celui

123

124 CHAPITRE 8. EVOLUTION THERMIQUE ET THERMOELASTICITE LINEAIRE

de la thermoelasticite decouplee. Dans cette approche, le champ de temperatureT (x, t) a toutinstantt resulte de causes externes (non necaniques) et n’est pas affecte par l’etat mecanique dumateriau. La relation de comportement thermoelastique lineaire est alors

σ(x, t) = A :[ε(x, t)− αT (x, t)1

](8.1)

ou ε(x, t) est la deformation linearisee etα est le coefficient de dilatation thermique (on serestreint pour simplifiera des materiauxa proprietes thermiques isotropes). Dans cette approchedecouplee, l’etat thermomecanique d’une structure est alors calcule en deuxetapes :

(i) Calcul du champ de temperatureT (x, t) par resolution desequations de la thermique ;(ii) Calcul de la solution du probleme d’elasticite incorporant les effets de dilatation ther-

mique via la relation de comportement (8.1).

Dans ce chapitre, on ne considere que les regimes quasi-statiques. Sous cette hypothese,la temperature est susceptible d’evoluer dans le temps, mais cesevolutions sont suffisammentlentes pour permettre de negliger les effets d’inertie dans la reponse mecanique. D’autre part,il est possible sans perte de generalite de se limitera l’etude de la reponse mecanique auxseules sollicitations thermiques, la prise en compte d’autres sollicitations pouvant se faire viale principe de superposition par resolution separee de problemes purement mecaniques. On serestreint donca des donnees nulles en forces de volume, deplacements imposes surSξ et effortsimposes surST. L’ evolution du solide dans les conditions ainsi definies et sur un intervalletemporel[0, tF] choisia priori est gouverne par lesequations locales

ε =1

2(∇ξ +∇Tξ) dansΩ× [0, tF] compatibilite (8.2a)

div σ = 0 dansΩ× [0, tF] equilibre (8.2b)

σ = A :(ε− αT1

)dansΩ× [0, tF] comportement (8.2c)

dans lesquelles le champ de temperatureT (x, t) resulte d’un calcul thermique preliminaire etest suppose connu, et les conditions aux limites

ξ = 0 surSξ × [0, tF] deplacements imposes (8.2d)

T = 0 surST × [0, tF] efforts imposes (8.2e)

Suitea l’hypothese quasistatique, lesequations (8.2a)a (8.2e) definissent pour chaque instanttun probleme d’equilibre.

8.1.1 Principes du minimum pour le probleme thermoelastique

Le probleme defini par lesequations (8.2a)a (8.2e) peut, de faconequivalente et en analogieavec la demarche suivie en sections1.1et1.3, etre mis sous la forme

trouver(ξ, σ) ∈ C(0)×S(0, 0) tels que σ = A :(ε[ξ]− αT1

)dansΩ× [0, tF] (8.3)

On cherche donc le couple unique(ξ, σ) de champs de deplacement cinematiquement admis-siblea zero et de contrainte statiquement admissiblea zero qui se correspondent par le compor-tement thermoelastique lineaire.

Des principes de minimum de l’energie potentielle et de l’energie complementaire genera-lisant (1.33)–(1.37) et (1.35)–(1.38) peuventetreetablis selon la demarche suivie au chapitre1.Pour cela, onetend la definition (1.27) de l’erreur en relation de comportement au comportementthermoelastique (8.1) :

Eth(v, τ) =1

2

∫Ω

(τ −A :

(ε[v]− αT1

)):S :

(τ −A :

(ε[v]− αT1

))dV (8.4)

8.1. Thermoelasticite lineaire : rappels 125

ou encore, en developpant sous le signe d’integration :

Eth(v, τ) =1

2

∫Ω

(ε[v]− αT1

):A(ε[v]− αT1

)dV

+1

2

∫Ω

τ :S :τ dV −∫Ω

τ :(ε[v]− αT1

)dV

Compte tenu de l’equation d’equilibre (8.2c) et des conditions aux limites (8.2d) et (8.2e), on a

(v, τ) ∈ C(0)×S(0, 0) =⇒∫Ω(τ :ε[v]) dV = 0

par application de la formule de la divergence ou du principe des puissances virtuelles. Regrou-pant les termes env et enτ , on obtient alors

Eth(v, τ) = Pth(v) + P?th(τ) (8.5)

ou l’ energie potentiellePth(v) et l’energie complementaireP?th(τ) sont definies par

Pth(v) =1

2

∫Ω

(ε[v]− αT1

):A(ε[v]− αT1

)dV dV (8.6)

P?th(τ) =

1

2

∫Ω

τ :S :τ dV +∫Ω

αTTr(τ) dV (8.7)

Le deplacementξ solution est alors obtenu par minimisation de l’energie potentielle surl’ensemble des deplacements cinematiquement admissiblesa zero :

ξ = arg minv∈C(0)

Pth(v) (8.8)

tandis que la contrainte solutionσ est obtenue par minimisation de l’energie complementairesur l’ensemble des contraintes statiquement admissiblesa zero :

σ = arg minτ∈S(0,0)

P?th(τ) (8.9)

De plus,(ξ, σ) ne peuvent definir la solution que s’ils verifient la condition

Eth(ξ, σ) = Pth(ξ) + P?th(σ) = 0

Pour le cas usuel de l’elasticite lineaire isotrope, il est facile de montrera l’aide des relationsde la section1.1.3queA : 1 = 3κ1 et 1 :A : 1 = 3κ1, le module de compressibilite isotropeκetant donne par3κ = 2µ(1+ν)/(1−2ν), de sorte que lesenergies potentielle et complementaires’ecrivent

Pth(v) = µ∫Ω

[ν

1−2ν

(Tr(ε[v])

)2+ ε[v] :ε[v]

]dV

− 3κα∫Ω

TTr(ε[v]) dV +9κα2

2

∫Ω

T 2 dV (8.10)

P?th(τ) =

1

4µ

∫Ω

[τ :τ − ν

1 + ν

(Tr(τ)

)2]

dV + α∫Ω

TTr(τ) dV (8.11)

8.1.2 Formulation variationnelle et approximation par elements finis

La forme usuelle de la methode deselements finis pour le probleme thermoelastique quasi-statique s’appuie sur la minimisation approchee de l’energie potentielle (8.6) au moyen d’uneapproximation parelements finis des champs de deplacements admissibles. L’equation de sta-tionnarite dePth(v), dontξ est solution, s’obtienta partir de (8.6), et conduita la formulationvariationnelle du probleme thermoelastique (8.2a–e) :


trouverξ ∈ C(0) tel que∫Ω

ε[ξ] :A :ε[w] dV −∫Ω(αT1) :A :ε[w] dV = 0 ∀w ∈ C(0) (8.12)

La substitution d’une approximationΩh et ξh, wh deΩ et ξ, w parelements finis conduit, avec

les methodes et notations des chapitres2 et3, au systeme d’equations lineaires

[K]U(t) = F(t) (8.13)

dans lequel le vecteur des forces generaliseesF(t) provient de la sollicitation thermique etest defini a travers

WTF(t) =∫Ω(αT (·, t)1) :A :ε[wh] dV (8.14)

W etant l’ensemble des valeurs nodales dewh ∈ Ch(0). Pour le cas usuel de l’elasticitelineaire isotrope,F(t) est ainsi defini par

WTF(t) = 3ακ∫Ω

T (·, t)Tr(ε[wh]) dV (8.15)

Pour calculer l’evolution thermoelastique du solide, il est donc necessaire de connaıtre achaque instant le champ de temperatureT (x, t). Celui-ci n’est en general pas connua priori,et doit etre calcule par resolution desequations de la thermique. Celles-ci prennent diversesformes suivant les proprietes thermiques du materiau constitutif, les regimes envisages (conduc-tion, convection, rayonnement) et les sollicitations thermiques externes. Dans ce chapitre, on neconsidere que le cas de la conduction thermique.

8.2 Conduction thermique instationnaire : semi-discretisation en espacepar elements finis

Cette section met l’accent sur la conduction thermique en regime instationnaire. Au-delade l’interet propre aux analyses thermomecaniques, ce contexte permet d’introduire des notionsnouvelles relativesa l’integration numerique d’equations d’evolution. Le cas de l’equilibre ther-mique est analoguea (et plus simple que) l’elasticite lineaire, et ne sera donc pas developpe.

8.2.1 Equations locales de la conduction thermique

Equations de champ de la conduction thermique.Dans un milieu occupant le domaineΩ etcaracterise par sa masse volumiqueρ, sa capacite calorifiquec et une conductivite thermiqueisotropek, la conduction de la chaleur est regie par l’equation de la chaleur instationnaire, dontl’inconnue est le champ de temperatureT (x, t) :

ρc∂T

∂t(x, t)− div (k∇T )(x, t) = g(x, t) (x ∈ Ω, t ∈ [0, tF]) (8.16)

ou [0, tF] est l’intervalle temporel sur lequel l’evolution thermique est recherchee etg(x, t) estune source de chaleur donnee (et en particulier ne dependant pas des variables mecaniques).L’ equation (8.16) resulte de la combinaison de l’equation d’equilibre thermique

div q(x, t) + ρc∂T

∂t(x, t) = g(x, t) (x ∈ Ω, t ∈ [0, tF]) (8.17)

(ou q est le flux de chaleur entrant) et de la loi de Fourier (relation de comportement)

q(x, t) = −k∇T (x, t) (8.18)

Conditions aux limites. L’ equation (8.16) doit etre completee par une condition aux limites entout point de∂Ω. On ne considere dans ce chapitre que deux possibilites : flux de chaleur impose

8.2. Conduction thermique instationnaire : semi-discretisation en espace par elements finis127

ou temperature imposee (d’autres possibilites pourraientetre considerees, en particulier unecondition d’echange avec le milieu exterieur stipulant que le flux de chaleur est proportionnela l’ecart entre la temperature instantanee du corps et la temperature exterieure ambiante). Lesconditions aux limites sont donc, en termes des donneesTD et qD, de la forme

− k∇T.n = qD surSq× [0, tF] T = TD surSth× [0, tF] (8.19)

Conditions initiales. Enfin, il faut preciser les conditions initiales, c’est-a-dire donner le champde temperaturea l’instantt = 0 :

T (x, 0) = T0(x) (x ∈ Ω) (8.20)

Equilibre thermique. Lesequations gouvernant l’equilibre thermique d’un corps se deduisentsimplement desequations (8.16) et (8.19) en supposant les grandeurs independantes du temps.Il n’y a plus de conditions initiales dans ce cas, et lesequations locales sont

∆T + g = 0 dansΩ, T = TD surSth, − k∇T.n = qD surSq (8.21)

8.2.2 Formulation faible du probleme thermique

La resolution numerique du probleme thermique defini par l’equation de la chaleur (8.16),les conditions aux limites (8.19) et la condition initiale (8.20) repose, comme pour celle desproblemes mecaniques, sur une formulation faible. Suivant la demarche developpee au cha-pitre1 pour lesequations de la mecanique, definissons les ensemblesT (TD) etT (0) de champsde temperature admissibles avecTD ou avec zero :

T (TD) =v | v continu et regulier surΩ et v = TD surSth

T (0) =

v | v continu et regulier surΩ et v = 0 surSth

(8.22)

Pouretablir la formulation faible recherchee, fixons un instantt ∈ [0, tF], multiplions l’equation(8.16) par un champ virtuelv ∈ T (0) et integrons le resultat surΩ ; cela conduita la relation∫

Ωρc

∂T

∂t(x, t)v(x) dV −

∫Ω

div (k∇T )(x, t)v(x) dV =∫Ω

g(x, t)v(x) dV

Ensuite, la formule de la divergence est appliqueea la seconde integrale, qui donne∫Ω

div (k∇T )(x, t)v(x) dV =∫

∂Ωk∇T (x, t).n(x)v(x) dS −

∫Ω

k∇T (x, t).∇v(x) dV

= −∫

Sq

qD(x, t)v(x) dS −∫Ω

k∇T (x, t).∇v(x) dV

la derniereegalite decoulant de la condition aux limites (8.19b) et de l’hypothesev ∈ T (0). Lacombinaison des deux identites precedentes conduita la formulation faible

trouverT (·, t) ∈ T (TD) tel que∫Ω

ρc∂T

∂t(·, t)v dV +

∫Ω

k∇T (·, t).∇v dV

=∫Ω

g(·, t)v dV −∫

∂ΩqD(·, t)v dS

(∀t ∈ [0, tF] , ∀v ∈ T (0)

)T (·, 0) = T0(·)

(8.23)


8.2.3 Semi-discretisation par elements finis

Une approximation du domaineΩ est introduite sous la forme d’un maillage d’elementsfinis, selon l’approche decrite au chapitre2. Sur chaqueelement finiE(e), la position du pointcourantx est donc de la forme (2.8), soit

x =N(e)∑k=1

Nk(a)x(k) a ∈ ∆(e) (8.24)

ou le type d’element fini utilise est implicitement defini a travers le nombreN(e) de nœuds et lechoix desN(e) fonctions de formeNk(a).

Le champ de temperatureT (x, t) est alors approche en termes d’unesemi-discretisation enespacefondee sur l’interpolation isoparametrique. Sous sa forme globale (au sens confere ensection2.2.4, page36, a ce terme), cette interpolation est de la forme

Th(x, t) =∑n∈I

Nn(x)T (x(n), t) +∑n∈D

Nn(x)TD(x(n), t) = T(0)h (x, t) + Th(x, t) (8.25)

ou lesNn(x) sont les fonctions de forme globales construitesa partir des fonctions de formelocales utilisees dans l’interpolation (8.24). La partition des numeros de nœuds definie, commeau chapitre2, par

1, . . . , NN = D ∪ I D = n | x(n) ∈ Sth , I − 1, . . . , NN \ D

est utilisee dans la representation (8.25) pour distinguer les nœuds du maillage supportant destemperatures inconnues ou donnees. Le probleme thermiqueetant scalaire, et la partition∂Ω =Sth ∪ Sq etant en general differente de celle∂Ω = Sξ ∪ ST introduite pour les conditions auxlimites mecaniques, il faut definir une table d’inconnues thermiquesDOFth, distincte de celleDOF introduitea l’equation (2.25), telle que la temperature nodale inconnue portee par le nœudx(n) ait le numeroDOFth(n).

Substituant toura tour toutes les possibilites de champs virtuels de la forme

v(x) =∑n∈I

Nn(x)v(n) ∈ T (0)

dans la formulation faible (8.23), on obtient, apres un processus d’integrationselementaires etd’assemblage similairea celui decrit pour l’elasticite lineaire au chapitre2 :

VT([C]T(t)+ [M]T(t) − F(t)

)= 0 ∀V ∈ RN (8.26)

dans laquelleT(t) designe la derivee temporelle du vecteurT(t) des temperatures nodales,et les matrices[C], [M] et le vecteurF(t) decoulent de la formulation faible (8.23) selon∫

Ωk∇Th(·, t).∇v dV −→ VT[C]T(t)∫

Ωρc

∂Th

∂t(·, t)v dV −→ VT[M]T(t)∫

Ωg(·, t)v dV −

∫∂Ω

qD(·, t)v dS −∫Ω

k∇T(0)h (·, t).∇v dV −→ VTF(t)

Cela conduit immediatement au systeme d’equations semi-discretisees en espace

[C]T(t)+ [M]T(t) − F(t) = 0 (t ∈ [0, tF]) (8.27)

La matrice[C] est analoguea une matrice de rigidite. La matrice[M] s’apparentea la« matricede masse» apparaissant en dynamique des structures (chapitre9) ; en particulier, elle est parconstruction definie positive.

8.3. Conduction thermique instationnaire : integration en temps discret 129

8.3 Conduction thermique instationnaire : integration en temps discret

8.3.1 Formulation discretisee en espace et en temps

Le calcul de l’evolution thermique gouvernee par l’equation de la chaleur (8.16), les condi-tions aux limites (8.19) et la condition initiale (8.20) conduit ainsia resoudre un systemed’equations differentielles lineaires du premier ordre, defini par (8.27), chaque inconnue nodaleetant une fonction du temps. Il existe un grand nombre d’algorithmes permettant l’integrationnumerique de ce type de systeme differentiel. Ils reposent, comme pour le probleme d’evolutionelastoplastique, sur unechantillonnage de l’intervalle temporel[0, tF]. On introduit ainsi unesuite deM + 1 instants discrets regulierement espaces

t0 = 0 , t1 = ∆t , . . . tm = m∆t , . . . tM = M∆t = tF (8.28)

et definit la suite correspondante des vecteurs de temperatures nodales aux instants discrets :

T0 = T(t0) = T(0) , Tn = T(tn) . . . , TM = T(tM) = T(tF) (8.29)

le vecteur initialT0 etant constitue des valeurs nodales de la donnee initialeT0. Le pas detemps∆t est donc∆t = tF/M. Un echantillonnage temporela pas de temps variable pour-rait egalementetre considere, mais cette possibilite est ici laissee de cote. Les algorithmesd’integration temporelle procedent alors pasa pas :a partir de la condition initialeT0, cal-culerT1, puisT2, puisT3... Le composant essentiel de tout algorithme d’integration estdonc le procede par lequelTn+1 estevalue connaissantT0, . . . , Tn.

Nous allons ici presenter une famille d’algorithmes reposant sur l’approximation de laderivee temporelleT(t) par une difference finie :

θTn+1+ (1− θ)Tn ≈Tn+1 − Tn

∆tθ ∈ [0, 1] (8.30)

La difference finie apparaissant au second membre represente la vitesse moyenne de tempera-ture sur l’intervalle temporel[tn, tn+1]. Cette valeur moyenne est consideree comme l’approxi-mation d’une combinaison lineaire des vitesses de temperature aux instants initialtn et finaltn+1 du pas de temps considere, ponderee par le parametreθ. Par exemple, les valeurs extremesθ = 0 et θ = 1 reviennenta assigner la difference finiea la vitesse de temperaturea l’instantinitial ou a l’instant final, respectivement. On dispose ainsi de la possibilite de choisirθ de faconoptimale une foisetudiees les proprietes de l’algorithme d’integration en fonction deθ.

Ecrivons le systeme differentiel (8.27) aux instants initialtn et finaltn+1 :

[C]Tn + [M]Tn − Fn = 0

[C]Tn+1+ [M]Tn+1 − Fn+1 = 0

La combinaison lineaire de ces deuxequations, avec les coefficients respectifs1−θ etθ, conduitcompte tenu de (8.30) a relierTn+1 etTn par le systeme lineaire

[C]θTn+1 + (1− θ)Tn

+

1

∆t[M]

Tn+1 − Tn

=θFn+1 + (1− θ)Fn

On peut ainsi determinerTn+1 connaissantTn par resolution du systeme lineaire(

1

∆t[M]+θ[C]

)Tn+1−

(1

∆t[M]+(θ−1)[C]

)Tn−

θFn+1 +(1−θ)Fn

= 0 (8.31)

Il est demontre (theoreme d’equivalence de Lax, cite dans l’ouvrage de (Strang, 1986))que, dans des conditions tres generales, un schema d’integration numerique tel que (8.31) estconvergent si et seulement si il est coherent1 et stable. Notons que ce resultat ne porte quesur l’effet de la discretisation temporelle, le systeme differentiel suppose « exact» etant donccelui (8.27) issu de la semidiscretisation spatiale.

1Le terme anglais estconsistent, souvent traduit par le bizarre« consistant».


Schemas explicite et implicite.Dans la famille de schemas parametres parθ, on peut noter enparticulier les versions purement explicite (θ = 0) et purement implicite (θ = 1). Pour ces casparticuliers, l’operation de transitionTn → Tn+1 definie par (8.31) s’ecrit

[M]Tn+1 = ∆tFn+([M]−∆t[C]

)Tn (θ = 0, explicite) (8.32)(

[M] + ∆t[C])Tn+1 = ∆tFn+1+ [M]Tn (θ = 1, implicite) (8.33)

L’appellation« explicite» de la version (8.32) vient du fait qu’il est souvent possible, et legiti-me, de remplacer la matrice[M] par une approximation diagonale[M], ce qui conduita uneexpression explicite deTn+1 (cette notion sera repris au chapitre9).

8.3.2 Stabilite du schema d’integration en temps

La resolution enTn+1 du systeme (8.31) donne

Tn+1 = [R]Tn+ Yn+1 (8.34)

avec

[R] =([M] + θ∆t[C]

)−1([M] + (θ − 1)∆t[C]

)Yn+1 = ∆t

([M] + θ∆t[C]

)−1θFn+1 + (1− θ)Fn

En raisonnant par recurrence surn, on peut ainsiecrire Tn+1 en fonction des conditionsinitialesT0, de la matrice resolvante[R] et des seconds membresYk+1 :

Tn+1 = [R]n+1T0+n∑

k=0

[R]n−kYk+1

Cette expression n’est pas utilisee pour le calcul numerique mais permet de preciser la notion destabilite du schema. Celle-ci est lieea la possibilite d’amplification d’erreurs sur les solutionssuccessivesTn : le schema est considere comme instable si la matrice[R] dans (8.34) esttelle qu’il existe une possibilite d’erreur surTn qui soit amplifiee par le produit[R]Tn. Eneffet, si une telle erreur est presente, par exemple dans les conditions initialesT0, le calcul de[R]n+1T0 va alors conduire aux instants ulterieursa une erreur croissant exponentiellementavec le temps discret. Il importe donc de determiner les valeurs de∆t et θ qui garantissent lastabilite de l’integration en temps, c’est-a-dire telles que pour toute erreurδT, on ait

‖ [R]δT ‖ < ‖ δT ‖ (8.35)

L’ etude de la stabilite est facilitee par une diagonalisation de[R], de manierea raisonner surdes coefficients d’amplification scalaires. Dans ce but, on introduit, pour1 ≤ I ≤ N, les valeurspropresκI et les vecteurs propresXI solutions du probleme aux valeurs propres generalise2

[C]X − κ[M]X = 0 (8.36)

Les valeurs propres sont positives :κI > 0. Les vecteurs propresXI peuventetre choisis defacona former une base[M]-orthonormee et[C]-orthogonale deRN, c’est-a-dire :

XIT[M]XI = 1 XIT[M]XJ = 0 (J 6= I)

XIT[C]XI = κI XIT[C]XJ = 0 (J 6= I)

Posons alors

Tn =N∑

J=1

αJnXJ Tn+1 =

N∑J=1

αJn+1XJ

2La matrice [M] etant definie positive (et donc en particulier inversible) et les matrices[M] et [C] etantsymetriques, ce probleme aux valeurs propres est bien pose et conduit biena une diagonalisation simultanee desmatrices[M] et [C]. De plus, la matrice[C] est positive, ce qui entraıneκI ≥ 0 pour toutI.


et reportons ces developpements dans (8.31). Apres multiplication de l’equation obtenue parXIT pour I fixe et exploitation des relations de[M]-orthonormalite et [C]-orthogonalite desvecteurs propres, (8.31) conduitaN equations scalaires decouplees :(

1

∆t+ θκI

)αI

n+1 =(

1

∆t+ (θ − 1)κI

)αI

n + XITθFn+1 + (1− θ)Fn

soit

αIn+1 = rI(θ, ∆t)αI

n + yIn+1 (8.37)

rI(θ, ∆t) =1 + (θ − 1)κI∆t

1 + θκI∆t, yI

n+1 =XITθFn+1 + (1− θ)Fn∆t

1 + θκI∆t

La condition de stabilite du schema d’integration temporelle peut alorsetre formulee en termesdes coefficients d’amplification scalairesrI(θ, ∆t) :

− 1 < rI(θ, ∆t) < 1 pour toutI, 1 ≤ I ≤ N (8.38)

Les valeurs deθ et∆t doivent doncetre choisies de facona respecter, compte tenu de l’expres-sion (8.37) derI(θ, ∆t), les inegalites

−2 < − κI∆t

1 + θκI∆t< 0 pour toutI, 1 ≤ I ≤ N

La positivite deθ, κI et ∆t fait que l’inegalite de droite est toujours verifiee. L’inegalite degauche devient

2 + (2θ − 1)κI∆t > 0 pour toutI, 1 ≤ I ≤ N (8.39)

et montre qu’il faut distinguer deux cas :(i) 1/2 ≤ θ ≤ 1 : les inegalites (8.39) sont verifiees pour tout choix de∆t, et les schemas

d’integration temporelle (8.31) correspondants sont ditsinconditionnellement stables.(ii) 0≤ θ < 1/2 : les inegalites (8.39) ne sont verifiees que si∆t est choisi de sorte que

∆t < (∆t)stabdef=

2

1− 2θmin

I

(1

κI

)(8.40)

les schemas d’integration temporelle (8.31) correspondants sont ditsconditionnellementstables. Un pas de temps trop grand, au sens du critere (8.40), donne un schema (8.31)instable.

8.3.3 Coherence du schema d’integration en temps

Il y a coherenceentre le probleme d’evolution en temps discret (8.31) et le systeme differen-tiel (8.27) si le residu du systeme (8.31) tend vers zero avec∆t quandTn+1 et Tn pro-viennent d’une fonction vectorielleT(t) suffisamment reguliere verifiant le systeme (8.27).

Considerons une telle fonction vectorielle et procedonsa des developpements autour det = tn, pour obtenir

Tn+1 = Tn+ ∆tTn+∆t2

2Tn+

∆t3

6...Tn+ o(∆t3)

Fn+1 = Fn+ ∆tFn+∆t2

2Fn+ o(∆t2)

Ces expressions sont alors reportees dans le premier membre de (8.31), qui devient

premier membre de (8.31) =([C]Tn+ [M]Tn − Fn

)+ ∆t

(θ[C]Tn+

1

2[M]Tn − θFn

)+

∆t2

2

(θ[C]Tn+

1

3[M]

...Tn − θFn

)+ o(∆t2) (8.41)


Par ailleurs,T(t) verifiant par hypothese le systeme differentiel (8.27), on a

[C]Tn+ [M]Tn − Fn = 0[C]Tn+ [M]Tn − Fn = 0[C]Tn+ [M]

...Tn − Fn = 0

ce qui, reporte dans (8.41), conduita

premier membre de (8.31) = ∆t(θ − 1

2

)[M]Tn+

∆t2

2

(θ − 1

3

)[M]

...Tn+ o(∆t2) (8.42)

Pour toutθ, le residu du systeme (8.31) est d’ordreO(∆t), et tend donc vers zero avec∆t quandTn+1 etTn proviennent d’une fonction vectorielleT(t) suffisamment reguliere verifiantle systeme differentiel (8.27). La coherence des schemas definis par (8.31) est ainsi prouvee.

8.3.4 Precision du schema d’integration en temps

L’analyse precedente permetegalement d’etudier la precision des schemas. Le developpe-ment (8.42) montre que celle-ci est en general d’ordreO(∆t). On remarque cependant que lechoix θ = 1/2 permet d’annuler le terme en∆t, le schema d’integration temporelle correspon-dantetant ainsi precisa l’ordreO(∆t2) :(

θ =1

2

): premier membre de (8.27) =

∆t2

12[M]

...Tn+ o(∆t2) (8.43)

On noteegalement qu’une precision d’ordre superieura O(∆t2) n’est pas realisable car il estimpossible d’annuler simultanement les termes en∆t et en∆t2 dans (8.42).

8.3.5 Exemple

On propose d’illustrer le fonctionnement des schemas d’integration implicite et explicite surun exemple simple d’evolution thermique, pour lequel une solution exacte est connue.

Un milieu thermiquement conducteur, de caracteristiques thermiquesρ, c, k, occupe unesphere de rayonR. Il est initialementa la temperatureT = 0. Une temperatureTD constanteest imposee sur la surfacer = R durant l’intervalle[0, tF] (r etant la coordonnee spheriqueradiale), et la source volumique de chaleurg(x, t) est nulle. Dans ces conditions, le champde temperature esta symetrie spherique.T = T (r, t). Compte tenu de la forme que prend lelaplacien dans ce cas, lesequations regissantT (r, t) sont :

a

r2

∂

∂r

(r2∂T

∂r

)− ∂T

∂t= 0 , T (r, 0) = 0 , T (R, t) = TD (0≤ r≤R , 0≤ t≤ tF) (8.44)

r1 r2 rN

T=T d

R

Figure 8.1: Sphere avec temperature exterieure imposee : notations.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1r / R

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

T /

Te

exact∆t = 0.012∆t = 0.0124∆t = 0.0125∆t = 0.0126∆t = 0.0127

Figure 8.2: Sphere avec temperature exterieure imposee : temperature finale T (r, tF) obtenue parintegration explicite (N = 10 inconnues spatiales, (∆t)stab ≈ 1, 2433 10−2) pour plusieurschoix de ∆t autour de (∆t)stab, et comparaison a la solution exacte.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1r / R

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

T /

Te

exact∆t = 0.0031∆t = 0.00313∆t = 0.00314∆t = 0.00315

Figure 8.3: Sphere avec temperature exterieure imposee : temperature finale T (r, tF) obtenue parintegration explicite (N = 20 inconnues spatiales, (∆t)stab ≈ 1, 3086 10−3) pour plusieurschoix de ∆t autour de (∆t)stab, et comparaison a la solution exacte.

Cesequations ont une solution exacte, donnee par

T (r, t)/TD = 1 +∑m≥1

(−1)m

m

2R

πrsin

mπr

Rexp

(−(mπ

R

)2at)

qui permettra de quantifier la precision des resultats obtenus par integration numerique.La discretisation spatiale du probleme se resume donca un decoupage de l’intervalle0 ≤

r ≤ R en N segments, que l’on prend ici de pas constant∆r = R/N de facona definir lesrayonsr(1) = 0, . . . , r(n) = (n− 1)∆r, . . . , r(N) = (N− 1)∆r. La temperature inconnue estrepresentee sous la forme d’une interpolation continue et lineaire par morceaux des valeursinconnues en ces points :T(t) = T (1)(t), . . . , T (N)(t), avecT (n)(t) = T (r(n), t). Il estalors facile de mettre le probleme (8.44) sous la forme semi-discretisee en espace (8.26).

Les figures8.2a8.5montrent les resultats numeriques pour le champ de temperaturea l’ins-tant final,T (r,F ), obtenus par les schemas explicite et implicite d’integration en temps. Dans lecas explicite, le pas de temps critique(∆t)stab a ete calcule a l’aide de la resolution numeriquedu probleme aux valeurs propres generalise (8.36). Les parametres suivants ontete utilises :


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1r / R

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

T /

Te

exact∆t = 0.012∆t = 0.013∆t = 0.015∆t = 0.02∆t = 0.05

Figure 8.4: Sphere avec temperature exterieure imposee : temperature finale T (r, tF) obtenue parintegration implicite (N = 10 inconnues spatiales) pour plusieurs choix de ∆t autour et com-paraison a la solution exacte. Le choix du pas de temps n’affecte pas la stabilite de la solution((∆t)stab ≈ 1, 2433 10−2 pour l’integration explicite).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1r / R

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

T /

Te

exact∆t = 0.003∆t = 0.005∆t = 0.01∆t = 0.025

Figure 8.5: Sphere avec temperature exterieure imposee : temperature finale T (r, tF) obtenue parintegration implicite (N = 20 inconnues spatiales) pour plusieurs choix de ∆t autour et com-paraison a la solution exacte. Le choix du pas de temps n’affecte pas la stabilite de la solution((∆t)stab ≈ 1, 3086 10−3 pour l’integration explicite).

R = 1 m, k/ρc = 0, 1 m2s−1, tF = 1 s. Les figures8.2et 8.3montrent les resultats obtenus parintegration explicite pourN = 10 etN = 20 pas d’espace, respectivement. Plusieurs valeurs de∆t, choisies tres proches de la valeur critique(∆t)stab, ont ete utilisees. On note dans les deuxcas l’apparition d’instabilites pres der = 0 pour les valeurs de∆t superieuresa (∆t)stab. Desvaleurs de∆t plus grandes conduisenta des solutionsT (r,F ) calculees divergeant fortement dela valeur exacte. Les figures8.4et8.5, etablies pour des valeurs de∆t proches de(∆t)stabmaisaussi pour d’autres nettement superieuresa (∆t)stab, confirment experimentalement la stabiliteinconditionnelle predite par l’analyse du schema implicite.

8.4 Calcul de la reponse thermoelastique

Une fois l’histoire de temperature calculeea l’aide des methodes precedemment exposees,le calcul de la reponse thermoelastique repose essentiellement, comme explique en section8.1,sur le calcul numerique du vecteur des forces generalisees defini par (8.14), soit.

WTF(t) =∫Ωh

(αTh(·, t)1) :A :ε[wh] dV

8.4. Calcul de la reponse thermoelastique 135

Sur le plan pratique, l’evaluation de ce terme repose sur une procedure d’assemblage dont leprincipe suit l’assemblage de la matrice de rigiditeelastique ou des forces generalisees associeesaux autres types de sollicitations, tel que presente au chapitre3. Pour resumer : l’integration surΩh ci-dessus resulte de la sommation des integrations correspondantes sur chaqueelement fini(integraleselementaires) ; chaque integraleelementaire estevaluee par la methode des pointsde Gauss (section3.2.3) ; les variables tensorielles sontecrites en notation matricielle de Voigt(section2.2.6) ; la temperatureTh(·, t) est exprimee sur chaqueelementa l’aide des valeursnodales et fonctions de forme, ce qu’on peut mettre sous la forme

Th(x, t) = N(a)TTe(t) x ∈ E(e), x eta relies par (8.24)

enfin le tenseur de deformationε[wh] est exprime sur chaqueelement en termes de l’interpola-tion elements finis au moyen de (2.29). Cette operation d’assemblage peut ainsietre resumeepar les formules

WTF(t) =NE∑e=1

WeTFe(t) (8.45)

dans laquelle les composantes des vecteurselementairesFe(t) et We sont definies ennumerotation locale, la force generaliseeelementaireFe(t) etantevaluee par la formule

Fe(t) =∫∆(e)

[B(a)]TAV(a)N(a)TTe(t)J(a) dV (a)

≈G∑

g=1

wg[B(ag)]TAV(ag)N(ag)TTe(t)J(ag) (8.46)

ou la notationAV est definie par

AV(a) = [A(a)]1 1 1 0 0 0T

En pratique, la sommation (8.45) n’est pas effectuee sous cette forme maisa l’aide d’uneprocedure d’assemblage analoguea celle introduite pour les autres types de forces nodales ensection3.3.2.

Dans le cas de l’elasticite isotrope, la formule (8.46) se simplifie en

Fe(t) ≈ 3ακG∑

g=1

wgBV(ag)N(ag)TTe(t)J(ag)

avecTrε[wh] = BV(a)TW soit BV(a) = [B(a)]T1 1 1 0 0 0T

Remarque sur les interpolations thermique et mecanique. Tous les developpements presentesdans ce chapitre supposent implicitement que le meme maillage est utilise comme support descalculs thermique et mecanique, ou plus precisement que les deux maillages sont tels que leselements coincident. Il est cependant utile de faire deux remarques :

(i) Il est possible d’utiliser deux maillages differents, et en particulier tels que leselementsne coincident pas. Dans ce cas, le calcul des forces nodales d’origine thermique (8.14)necessite une operation de« projection» dont le but est de definir le champ de temperatu-re Th supporte par le maillage mecaniquequi soit le plus proche du champTh supportepar le maillage thermique.

(ii) Il est par ailleurs conseille d’utiliser pourξ etT des interpolationsdont la difference desdegres est 1(par exemple, pour des problemes plans, utiliser deselements triangulairesa 6 nœuds pourξ et a 3 nœuds pourT ), cela conduisanta des representationsde memedegrede la deformationε[ξ] et de la deformation thermiqueεth.


8.5 Application

On presentea titre d’illustration une application du calcul thermoelastiquea l’analyse dunoyau d’eau d’une culasse diesel, aimablement communiquee par PSA Peugeot Citroen. Ils’agit d’une zone interieure de la culasse ou de l’eau circule pour refroidir le bas de la cu-lasse. Des fissurations duesa la fatigue polycyclique sont susceptibles de se produire dans cettezone. Il est alors necessaire de simuler l’essai de dimensionnement ou l’on charge la culassea pression maximale en tenant compte du procede de fabrication, qui inclut une trempe ther-mique. La figure8.6presente le maillage cree pour cetteetude. La figure8.7montre le champde temperature calcule pour une phase de la trempe (refroidissement inhomogene) ainsi que lechamp de pression hydrostatique (partie spherique de la contrainte induite par le chargementthermique), de facona determiner les zones soumises aux plus fortes tractions, qui sont cellespresentant les plus grands risques de rupture.

Figure 8.6: Maillage d’une culasse diesel. Document communique par PSA Peugeot Citroen.

Figure 8.7: Culasse diesel : champ de temperature pour une phase de la trempe (gauche) ; distribution de lapartie spherique de la contrainte (droite). Documents communiques par PSA Peugeot Citroen.

Chapitre 9

Analyse dynamique des structureselastiques

Ce chapitre aborde la resolution numerique, dans le cadre de la methode deselements finis,des equations de la dynamique d’un solidea proprietes elastiques lineaires, dabns le cadrehabituel de l’hypothese des petites perturbations.

Comme pour le chapitre precedent consacre (notamment)a la resolution desequations de laconduction thermique instationnaire, on procedea deux discretisations. La semi-discretisationpar rapport aux coordonnees spatiales fait appela la methode deselements finis, sous sa forme« standard» pour l’analyse lineaire developpee au chapitre3. C’est pourquoi, ici encore, laprincipale problematique abordee est celle de l’integration en temps desequations d’evolution.Apres des rappels succincts sur l’elastodynamique (section9.1) et la construction du problemesemi-discretise en espace parelements finis (section9.2), la famille a deux parametres desschemas d’integration de Newmark, tres couramment utilisee en analyse dynamique, est presen-tee en section9.3. La coherence de ces schemas estetablie, ainsi que les conditions sur lesparametres et le pas de temps assurant sa stabilite. Le schema« explicite» de la methode desdiff erences centrees estegalement presente, d’abord de facon independante en raison de soncaractere relativement intuitif (section9.3.2), avant d’etre etabli comme l’un des schemas dela famille de Newmark (section9.3.7). Enfin, la section9.4 traite du bilan d’energie totaleassocie aux schemas de Newmark, une methode qui permet aussi d’anticiper et d’interpreterleurs proprietes et notamment les conditions (choix de parametres) pour lesquelles l’integrationtemporelle n’est pas stable (divergence de l’energie totale du systeme).

9.1 Generalit es sur la dynamique des solideselastiques

9.1.1 Hypotheses,equations locales

On considere une structure occupant le domaineΩ, constituee d’un materiau elastiquelineaire, dans le cadre habituel de l’hypothese des petites perturbations. La structure est chargeepar des distributions donnees de forces volumiques, d’efforts imposes surST ⊂ ∂Ω et dedeplacements imposes sur la partie complementaireSξ = ∂Ω \ ST. Ces sollicitations sont fonc-tion du temps. Pour simplifier, les surfacesSξ etST sont supposees independantes du temps.

On se place dans le cadre de la dynamique, c’est-a-dire que les effets d’inertie ne sontpas supposes negligeables et sont pris en compte. L’evolution dynamique de la structure surl’intervalle temporelt ∈ [0, tF] est alors gouvernee par les relations suivantes entre les champs

137

138 CHAPITRE 9. ANALYSE DYNAMIQUE DES STRUCTURESELASTIQUES

de deplacementξ(x, t), de deformationε(x, t) et de contrainteσ(x, t) : equations de champ

ε =1

2(∇ξ + ∇Tξ) dansΩ× [0, tF] compatibilite (9.1a)

divσ + ρf − ρ∂2ξ

∂t2= 0 dansΩ× [0, tF] dynamique (9.1b)

σ = A :ε comportementelastique (9.1c)

conditions aux limites

ξ = ξD surSξ × [0, tF] deplacements imposes (9.1d)

T = TD surST × [0, tF] efforts imposes (9.1e)

et conditions initiales

ξ(·, 0) = U0(·) ,∂ξ

∂t(·, 0) = V 0(·) dansΩ conditions initiales (9.1f)

9.1.2 Ondeselastiques

Les equations ci-dessus gouvernent notamment des solutions de type propagatif (ondeselastiques), comme explique par exemple dans le cours dede Langre(2005). Les equationsde champ (9.1a), (9.1b) et (9.1c) peuventetre combinees pour former l’equation de Navier

div(A :ε[ξ]

)− ρ

∂2ξ

∂t2+ ρf = 0

Dans le cas de l’elasticite isotrope, celle-ci prend la forme developpee

µ∆ξ +µ

1− 2ν∇divξ − ρ

∂2ξ

∂t2+ ρf = 0 (9.2)

Potentiels de Lame. Les solutions de l’equation de Navierelastodynamique (9.2) peuventetrerepresentees sous la forme

ξ = ∇φL + rotφT

avec divφT

= 0 (9.3)

en termes despotentiels de LameφL (scalaire) etφT

(vecteur). On peut montrer que tout champde vecteur suffisamment regulier admet une representation par potentiels de Lame ; c’est enparticulier le cas de la force de volume :

f = ∇fL + rotfT

Ondes de compression et de cisaillement.L’introduction de la decomposition de Lame dansl’ equation de Navierelastodynamique (9.2) conduit, avec l’aide de l’identite

∆w = ∇divw + rotrotw

auxequations decouplees gouvernant les potentielsφL etφT

:

∆φL −1− 2ν

2− 2ν

ρ

µ

∂2φL

∂t2+ fL = 0

∆φT− ρ

µ

∂2φT

∂t2+ f

T= 0

(9.4)

Chaque potentiel de Lame verifie ainsi uneequation des ondes. Les deplacements de la formeξ

L= ∇φL representent desondes de compression, aussi qualifiees delongitudinales, se propa-

geanta la celerite cL telle que

9.2. Formulation faible et semi-discretisation par elements finis 139

c2L =

2− 2ν

1− 2ν

µ

ρ

Les deplacements de la formeξT

= rotφT

representent desondes de cisaillement, aussi qua-lifi ees detransversales, se propageanta la celerite cT telle que

c2T =

µ

ρ

On note l’inegalite cL > cT.

9.1.3 Domaine de validite de l’approche quasistatique

Ce chapitre concerne la simulation de la reponse dynamique d’un solideelastique, et doncles situations ou les effets d’inertie ne sont pas negligeables (sinon, un traitement quasistatiqueest suffisant en premiere approximation).

Les celeritesetablies ci-dessus permettent de preciser la notion d’« effet d’inertie negligea-ble» (ou non). En effet, siL et T designent desechelles de longueur et de temps associees auprobleme considere (par exemple,L est une longueur caracteristique deΩ etT est l’echelle devariation temporelle des chargements appliques), on peut reformuler l’equation de Navier (9.2)en termes de coordonnees adimensionnellesx = x/L et t = t/T :

divx

( 1

µA :ε

x[ξ])− ρL2

µT 2

∂2ξ

∂t2+

ρL2

µf = 0

On peut alors decider de negliger les effets d’inertie, c’est-a-dire d’adopter l’hypothese quasi-statique, si

ρL2

µT 2 1

Compte tenu de la definition de la celeritecT, la condition ci-dessus peutetre mise sous la forme(L

cTT

)2

1 (9.5)

plus facilea interpreter.• L’hypothese quasistatique est d’autant plus justifiee que la longueur caracteristiqueL

est petite devant la distancecTT parcourue par une ondeelastique pendant le tempscaracteristiqueT .

Si (9.5) n’est pas verifie, il faut considerer la reponse comme dynamique ; c’est le cadre de cechapitre.

9.2 Formulation faible et semi-discretisation par elements finis

9.2.1 Formulation faible

L’ equation locale de la dynamique (9.1b) peutetre exprimee sous une forme faibleequiva-lente par dualisation, c’est-a-dire multiplication par un champw ∈ C arbitraire et integrationsurΩ. On obtient ainsi∫

Ωσ :ε[w] dV +

∫Ω

ρ∂2ξ

∂t2.w dV =

∫Ω

ρf.w dV +∫

∂Ω[σ.n].w dS ∀w ∈ C (9.6)

qui correspond au principe des puissances virtuelles (PPV) pour une vitesse virtuellew. Incor-porant dans l’identite (9.6) la relation combinant la compatibilite locale (9.1a) et le compor-tementelastique (9.1c) ainsi que les conditions aux limites en efforts (9.1e), et restreignant leresultat aux champs virtuels cinematiquement admissiblesa zero, on obtient∫

Ωε[ξ] :A :ε[w] dV +

∫Ω

ρ∂2ξ

∂t2.w dV =

∫Ω

ρf.w dV +∫

ST

TD.w dS ∀w ∈ C(0) (9.7)


Il restea prendre en compte la donnee en deplacement (9.1d) et les conditions initiales (9.1f)qui, combineesa l’identite (9.7), conduisenta la formulation faible desequations regissant lareponse dynamique d’un solideelastique :

trouverξ(·, t) ∈ C(ξD) tel que∫Ω

ε[ξ](·, t) :A :ε[w] dV +∫Ω

ρ∂2ξ

∂t2(·, t).w dV

=∫Ω

ρf(·, t).w dV +∫

ST

TD(·, t).w(∀t ∈ [0, tF] , ∀w ∈ C(0)

)ξ(·, 0) = U0

∂ξ

∂t(·, 0) = V 0

(9.8)

9.2.2 Semi-discretisation par elements finis

La substitution dans la formulation faible (9.8) d’une approximationΩh et ξh, wh deΩ et

ξ, w par elements finis conduit, avec les notations des chapitres2 et 3, au systeme differentiellineaire

[K]U(t)+ [M]U(t) = F(t) (9.9)

dans lequelU(t) etU(t) designent lesN-vecteurs des deplacements nodaux et des accelera-tions nodales restant inconnus apres prise en compte des donnees en deplacement (9.1d). La ma-trice de rigidite [K] et le vecteur des forces nodales generaliseesF(t) sont definis et calculescomme au chapitre3, la seule differenceetant queF(t) est une fonction du temps.

Matrice de masse. Par rapport au cas quasistatique, le systeme d’equations (9.9) fait intervenirune nouvelle entite, lamatrice de masse[M]. Celle-ci est definie par l’egalite

WT[M]U(t) =∫Ω

ρ∂2ξ

h

∂t2.wh dV (9.10)

La matrice de masse est associeea l’energie cinetique de la structure

K(t)def=

1

2

∫Ω

ρ∥∥∥∥∂ξ

∂t

∥∥∥∥2

dV,

ou plus precisementa celleevaluee sur le modele semi-discretise

Kh(t) =1

2

∫Ω

ρ∥∥∥∥∂ξ

h

∂t

∥∥∥∥2

dV =1

2U(t)T[M]U(t) (9.11)

La matrice de masse est clairement definie positive, car tout vecteur de vitesses nodalesU(t)non nul corresponda un champ de vitesses∂ξ

h/∂t non nul et donca uneenergie cinetique

strictement positive. Il est facile de verifier par ailleurs que[M] est symetrique.Le calcul numerique de[M] peutetre resume par la relation

WT[M]U(t) =NE∑e=1

WeT[Me]Ue(t) (9.12)

qui doit sur le plan pratiqueetre interpretee comme une operation d’assemblage, au meme titreque la relation (3.19) pour la matrice[K], et dans laquelle chaque matrice de masseelementaireresulte de l’egalite

WeT[Me]Ue(t) = WeT∫

∆(e)ρ[N(a)]T[N(a)]J(a) dV (a)

Ue(t)

la matrice[N(a)] des fonctions de forme de l’elemente etant definie selon la convention (2.18).

9.3. Integration en temps. Algorithme de Newmark 141

9.2.3 Finesse du maillage et longueur d’onde

La methode deselements finis met en œuvre les memes notions en dynamique et en statique :maillage, fonctions de forme, assemblage d’un probleme matriciel approche. En revanche, lescriteres presidant au choix du maillage, et en particuliera la finesse qu’il est souhaitable de luidonner pour une exigence donnee de precision, different.

En (quasi)statique, les principaux criteres regissant la finesse d’un maillage sont la com-plexite de la geometrie (qu’il faut representer convenablement) et celle attendue des champs (parexemple forts gradients ou singularites au voisinage de zonesa forte courbure, de fissures...)

En dynamique, les criteres ci-dessus continuent de s’appliquer mais ne sont plus suffisants.En effet, on a mis enevidence (section9.1.2) les celeritescL, cT d’ondeselastiques, qui im-pliquent l’existence d’une nouvelle longueur caracteristique = cLT ou` = cTT , independantedes dimensions de la structure, et representant la distance parcourue par une onde pendant letemps caracteristiqueT (par exemple, si une sollicitation de periodeT est appliqueea la struc-ture,cLT et cTT sont les longueurs d’ondes longitudinale et transversale). Il est alors importantque le maillage soit tel qu’il puisse representer avec une precision suffisante des champs dontla variation spatiale presente une longueur d’onde de l’ordre de`. Une division par 2 de cettelongueur d’onde (par exemple resultant d’un doublement de la frequence d’une sollicitation)requiert une division par 2 du parametreh de finesse (donc 4 ou 8 fois plus d’elements, respec-tivement, pour des domaines plans ou tridimensionnels).

Pour illustrer ce point, la figure9.1montre l’interpolation d’une onde plane sur le maillaged’un carre de cote 1 forme de20 × 20 elements carresa 4 nœuds, pour 4 valeurs de longueurd’onde` = 1, 1/2, 1/4, 1/8. On voit clairement la qualite de la representation de l’onde par lemaillageconstantse degradera mesure que la longueur d’onde diminue.

00.2

0.40.6

0.81

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1−1

−0.5

0

0.5

1

(a) (b) 00.2

0.40.6

0.81

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1−1

−0.5

0

0.5

1

00.2

0.40.6

0.81

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1−1

−0.5

0

0.5

1

(c) (d) 00.2

0.40.6

0.81

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1−1

−0.5

0

0.5

1

Figure 9.1: Interpolation d’une onde plane sur le maillage d’un carre de cote 1 forme de 20× 20 elementscarres a 4 nœuds, pour 4 valeurs de longueur d’onde ` = 1 (a), ` = 2 (b), ` = 4 (c), ` = 8 (d).

9.3 Integration en temps. Algorithme de Newmark

Il faut maintenant introduire un traitement algorithmique de l’integration temporelle desequations de la dynamique. Ce traitement est, comme pour le cas de l’equation de la chaleur


discute au chapitre8, de nature« pasa pas».

9.3.1 Discretisation temporelle

Le calcul de la reponse dynamique gouvernee par lesequations (9.1a)a (9.1f) conduit ainsia resoudre un systeme d’equations differentielles lineaires du second ordre, defini par (9.9),chaque inconnue nodaleetant une fonction du temps. Il existe un grand nombre d’algorithmespermettant l’integration du systeme differentiel. Ils reposent, comme pour les problemes d’evo-lution deja abordes dans ce cours aux chapitres6 a 8, sur unechantillonnage de l’intervalletemporel[0, tF] au moyen d’une suite deM + 1 instants discrets regulierement espaces

t0 = 0 , t1 = ∆t , . . . tm = m∆t . . . , tM = M∆t = tF (9.13)

Le pas de temps constant∆t est donc∆t = tF/M (un echantillonnage temporela pas de tempsvariable pourraitegalementetre considere, mais cette possibilite n’est pas developpee ici). Lesalgorithmes d’integration temporelle procedent alors pasa pas :a partir des donnees initiales(U0, U0

)calculera chaque instanttn les grandeurs

(Un, Un, Un

)... Le compo-

sant essentiel de tout algorithme d’integration en dynamique des structures est donc le procederealisant la transition(

Un, Un, Un)−→

(Un+1, Un+1, Un+1

)(9.14)

Il existe beaucoup de schemas numeriques pour l’integration en temps desequations de ladynamique, et il est hors de propos d’en faire ici une presentation exhaustive. On va decriredans cette section l’un des schemas classiquement utilises dans ce domaine : l’algorithme deNewmark. Il s’agit en fait d’une famille de schemasa deux parametres, ces derniers procurantune certaine flexibilite concernant l’obtention de proprietes necessaires (stabilite) ou desirables(precision, amortissement numerique,. . . ).

Avant de traiter en sections9.3.3a9.3.7la famille des schemas de Newmark, on va presenterun schema de type explicite de construction plus intuitive. Ce schema explicite apparaıtra en fait(section9.3.7) comme appartenanta la famille de Newmark.

9.3.2 Schema d’integration explicite : methode des differences centrees

Une idee intuitive consistea construire un schema numeriquea l’aide d’une approximationpar differences finies centrees de la vitesseU :

Un+1/2def= U(tn+1/2) ≈

1

∆t

[Un+1 − Un

](9.15)

et de l’accelerationU :

Un ≈1

∆t

[Un+1/2 − Un−1/2

](9.16)

Dans ces formules d’approximation, l’instant intermediairetn+1/2 est defini par

tn+1/2 =1

2(tn+1 + tn) = tn +

∆t

2

Le systeme differentiel (9.9) estecrit a l’instanttn+1 :

[M]Un+1 = Fn+1 − [K]Un+1 (9.17)

Le schema dit des differences centrees procede alorsa chaque pas de temps comme suit :

(i) Actualisation des deplacements parUn+1= Un+ ∆tUn+1/2 ;(ii) Resolution du systeme (9.17) par rapportaUn+1 ;(iii) Actualisation des vitesses parUn+3/2= Un+1/2+ ∆tUn+1.


On remarque que la combinaison des approximations (9.15) deU et (9.16) deU conduita la formule classique d’approximation deU par differences finies centrees d’ordre 2 :

Un ≈1

∆t2

[Un+1 − 2Un+ Un−1

]

Algorithme d’int egration : methode des differences centrees.Donnees : maillage, parametres physiques(E, ν, ρ), sollicitationsξD(x, t), TD(x, t), f(x, t),conditions initialesU0, U0.

1. Assemblage de[K] et [M] ;2. Initialisation des accelerations : calcul deU0 par resolution de

[M]U0 = F0 − [K]U0

3. Initialisation des vitesses : calcul deU1/2 par

U1/2 = U0+∆t

2U0

4. Pourn = 0, 1, 2, . . . , M− 1 (boucle d’incrementation temporelle) :

(a) Actualisation du deplacement :

Un+1 = Un+ ∆tUn+1/2

(b) Calcul de l’acceleration :

[M]Un+1 = Fn+1 − [K]Un+1

(c) Actualisation de la vitesse :

Un+3/2 = Un+1/2+ ∆tUn+1

Caractere explicite de la methode des differences centrees. Cet algorithme est qualifie d’ex-plicite car il repose sur la resolution du systeme (9.17), dont la matrice est la matrice de masse.En toute rigueur, il faut donc faire appela un solveur (direct ou iteratif), et la solutionUn dusysteme d’equations n’est pas donnee par une expression explicite. Cependant, il est souventlegitime de remplacer la matrice de masse[M] par une approximation diagonale[M], appeleematrice de masse condensee1. Une telle approximation diagonale est assez facilea construire,et divers procedes existent, decrits par exemple dans l’ouvrage deHughes(1987). On peut parexemple additionner tous les termes d’une ligne de[M] et affecter le resultat au coefficient dia-gonal correspondant. Le remplacement de[M] par une approximation diagonale[M] dans lesysteme (9.17) conduita une expression explicite, et treseconomiquea calculer, deUn.

On verra en section9.3.7que la methode des differences centrees est conditionnellementstable, le pas de temps∆t devantetre choisi inferieura une valeur critique(∆t)stab. Cette ca-racteristique de stabilite conditionnelle peut parfoisetre genante, d’autant que l’evaluation dela valeur critique(∆t)stabn’est ni simple nieconomique. C’est pourquoi il est utile de disposerde schemaseventuellement implicites maisa stabilite inconditionnelle. La famille des schemasde Newmark reponda ce besoin (en particulier, certains de ces schemas sont inconditionnel-lement stables), c’est pourquoi elle va maintenantetre abordee et analysee. En particulier, onmontrera que la methode des differences centrees peutetre reformulee comme un schema detype Newmark.

1On parle delumped mass matrixdans la litterature internationale.


9.3.3 Schemas d’integration de la famille de Newmark

L’algorithme de Newmark est tres utilise en dynamique des structures. Il s’agit en fait d’unefamille d’algorithmesa deux parametres, qui repose sur l’utilisation des relations suivantes :

Un+1 ≈ Un+ ∆tUn+1

2∆t2

[(1− 2β)Un+ 2βUn+1

]Un+1 ≈ Un+ ∆t

[(1− γ)Un+ γUn+1

] (9.18)

ou β et γ sont deux parametres, avec0 ≤ β ≤ 1/2, 0 ≤ γ ≤ 1. Ces relations peuventetrecomprises comme une variante des developpements de Taylor autour det = tn

Un+1 = Un+ ∆tUn+1

2∆t2Un+ o(∆t2)

Un+1 = Un+ ∆tUn+ o(∆t)(9.19)

dans lesquels l’acceleration initialeUn est remplacee dans chaque relation par une moyenneponderee des accelerations initialeUn et finaleUn+1. On cherchera notammenta determi-ner des valeurs deβ, γ pour lesquelles le schema a des proprietes desirables.

Une fois postulees, les relations (9.18) sont reportees dans le systeme differentiel semi-discretise (9.9) ecrit a l’instanttn+1, qui s’ecrit alors(

[M] + ∆t2[K])Un+1 = Fn+1 − [K]

(Un+ ∆tUn+ ∆t2

(1

2− β

)Un

)(9.20)

Supposant toutes les variables mecaniques connuesa l’instanttn, le schema consiste ainsia

(i) Resoudre le systeme (9.20) par rapportaUn+1 ;(ii) ActualiserUn+1 etUn+1 par les formules (9.18).

Algorithme d’int egration de Newmark. Donnees : maillage, parametres constitutifs(E, ν, ρ), sollicitationsξD(x, t), TD(x, t), f(x, t), conditions initialesU0, U0.

1. Assemblage de[K] et [M] ;2. Initialisation : calcul deU0 par resolution de

[M]U0 = F0 − [K]U0

3. Construire et factoriser la matrice[S] = [M] + β∆t2[K] ;4. Pourn = 0, 1, 2, . . . , M− 1 (boucle d’incrementation temporelle) :

(a) Prediction :

Upredn+1 = Un+ ∆tUn+

1

2∆t2(1− 2β)Un

Upredn+1 = Un+ ∆t(1− γ)Un

(b) Calcul de l’acceleration par resolution de

[S]Un+1 = Fn+1 − [K]Upredn+1

(c) Correction et actualisation :

Un+1 = Upredn+1+ ∆t2βUn+1

Un+1 = Upredn+1+ ∆tγUn+1

Convergence. En vertu du theoreme de convergence de Lax, deja invoque au chapitre8 pourl’ equation de la chaleur, l’algorithme de Newmark ne converge (vers la solutionU(t) duprobleme semi-discretise en espace et continu en temps) que s’il eststableet coherent. Il im-


porte donc de determiner leseventuelles restrictions que ces conditions induisent sur le choixdes parametresβ, γ.

9.3.4 Analyse de stabilite

Comme explique au chapitre8, la stabilite d’un schema d’integration en temps corresponda l’exigence de non-amplification d’erreurs entre deux pas de temps successifs. Pour examinercette question, il est commode de reformuler le schema de Newmark sous la forme(

Un, Un)−→

(Un+1, Un+1

)(9.21)

de facona le representer comme une suite de transitions opereesa partir des donnees initialesU0, U0. Pour ce faire, on multipliea gauche les relations (9.18) par la matrice de masse,pour obtenir

[M](Un+1 − β∆t2Un+1

)= [M]

(Un+ ∆tUn+

1

2∆t2(1− 2β)Un

)[M]

(Un+1 − γ∆tUn+1

)= [M]

(Un+ ∆t(1− γ)Un

)puis onelimine dans les deuxequations[M]Un et [M]Un+1 a l’aide du systeme differentiel(9.9) ecrit a t = tn+1, ce qui donne la relation de recurrence[

[M] + β∆t2[K] 0γ∆t[K] [M]

]Un+1

Un+1

−

(β − 12

)∆t2[K]− [M] ∆t[M]

(γ − 1)∆t[K] [M]

Un

Un

−

(

12− β

)∆t2Fn + β∆t2Fn+1

(1− γ)∆tFn + γ∆tFn+1

=

00

(9.22)

qui a donc la forme Un+1

Un+1

= [R]

Un

Un

+ Yn

De meme qu’au chapitre8, l’ etude de la stabilite est facilitee par une diagonalisation de[R].Dans ce but, on introduit, pour1 ≤ I ≤ N, les valeurs propresω2

I et les vecteurs propresXIsolutions du probleme aux valeurs propres generalise2

[K]X − ω2[M]X = 0 (9.23)

qui fournit en fait les pulsations et modes propres de vibration de la structure. Si les mouvementsde corps rigide sont interdits par les conditions aux limites, alorsωI > 0 pour tout I. Lesvecteurs propresXI peuventetre choisis de facona former une base[M]-orthonormee et[K]-orthogonale deRN, c’est-a-dire :

XIT[M]XI = 1 XIT[M]XJ = 0 (J 6= I)

XIT[K]XI = ω2I XIT[K]XJ = 0 (J 6= I)

Posons alors

Un =N∑

J=1

uJnXJ Un =

N∑J=1

vJnXJ

Un+1 =N∑

J=1

uJn+1XJ Un+1 =

N∑J=1

vJn+1XJ

2La matrice[M] etant symetrique et definie positive (et donc en particulier inversibles), ce probleme aux valeurspropres,equivalenta [K][M]−1Y−ω2Y = 0, est bien pose et conduit biena une diagonalisation simultaneedes matrices[M] et [K], avecω2

I > 0 pour toutI si les conditions aux limites empechent tout mouvement de corpsrigide.


et reportons ces developpements dans (9.22). Apres multiplicationa gauche de l’equation ob-tenue par(XI)T (XI)T pour I fixe et exploitation des relations de[M]-orthonormalite et[K]-orthogonalite des vecteurs propres, (9.22) conduita N systemes decouples de 2equationsa 2inconnues :1 + β∆t2ω2

J 0

γ∆t ω2J 1

uJn+1

vJn+1

=

(β − 1

2

)∆t2ω2

J − 1 ∆t

(γ − 1)∆t ω2J 1

uJn

vJn

+

(

12− β

)∆t2f J

n + β∆t2f Jn+1

(1− γ)∆tf Jn + γ∆tf J

n+1

(9.24)

qui sont donc de la formeuJn+1

vJn+1

= [RJ]

uJn

vJn

+ Y Jn+1 (1 ≤ J ≤ N) (9.25)

La condition de stabilite est donc que, pour toutJ, la matrice[RJ] ne puisse amplifier uneperturbation de la solution :∥∥∥∥∥∥[RJ]

δuJn

δvJn

∥∥∥∥∥∥ ≤

∥∥∥∥∥∥δuJ

n

δvJn

∥∥∥∥∥∥ (∀J, 1 ≤ J ≤ N)

La matrice[RJ] n’etant pas symetrique, cette condition s’exprime comme suit en termes de sesvaleurs propresλJ

1, λJ2 :Si λJ1 6= λJ

2 : il faut |λJ1| ≤ 1, |λJ

2| ≤ 1

Si λJ1 = λJ

2 : il faut |λJ1|= |λJ

2|< 1.(∀J, 1 ≤ J ≤ N) (9.26)

La matrice[RJ] etant definie par lesequations (9.24) et (9.25), ses valeurs propres sontsolution du probleme aux valeurs propres generalise(β − 1

2

)∆t2ω2

J − 1 ∆t

(γ − 1)∆t ω2J 1

− λ

[1 + β∆t2ω2

J 0γ∆t ω2

J 1

]uv

= 0

qui evite le calcul explicite de l’inverse de la matrice apparaissant au premier membre de (9.24).Tous calculs faits, l’equation caracteristique associee est

Det([RJ]− λ[I]) = 0⇔ λ2 − 2Aλ + B = 0

avec 2A = 2−(

1

2+ γ

)ζ2, B = 1 +

(1

2− γ

)ζ2 = 0, ζ =

ω2J∆t2

1 + βω2J∆t2

(9.27)

Les conditions de stabilite (9.26), exprimees par rapporta (A, B), sont alors :(i) Si A2−B > 0 (deux valeurs propres reelles distinctes) :

−1 ≤ A ≤ 1 et

1− 2A + B ≥ 0

1 + 2A + B ≥ 0

(ii) Si A2−B = 0 (cas de la valeur propre double) :

−1 < A < 1

(iii) Si A2−B < 0 (deux valeurs propres complexes conjuguees distinctes) :

B ≤ 1

L’ensemble de ces conditions sont representees geometriquement sur la figure9.2. Celle-cimontre clairement que le domaine de stabilite est en fait defini par

B ≤ 1, 1− 2A + B ≥ 0, 1 + 2A + B ≥ 0 A 6= ±1


≤1B

2A −B>0

2A −B<0

≥0≥0

B+2A+1

B−2A

+1

A(A=−1) (A=1)

B

(B=1)P Q

Figure 9.2: Domaine de stabilite de l’algorithme de Newmark defini en termes des coefficients A,B del’equation caracteristique (9.27).

correspondant geometriquement au triangle ferme prive des deux points P,Q. Traduites en ter-mes des parametresβ, γ et du pas de temps∆t, les conditions ci-dessus deviennent

ζ2 ≥ 0, γ − 1

2≥ 0, 4− 2γζ2 ≥ 0 (9.28)

La condition (9.28c) est automatiquement verifiee pour toutes les valeurs des parametres, enraison de la definition (9.27). La condition (9.28a) imposeγ ≥ 1/2. Enfin, la condition (9.28b)peut, compte tenu de la definition (9.27) deζ2, se mettre sous la forme

4 + 2(2β − γ)ω2J∆t2 ≥ 0

Par consequent, deux possibilites apparaissent :

(i) Si 2β−γ≥ 0, la condition (9.28b) est verifiee quel que soit∆t ;(ii) Si 2β−γ < 0, la condition (9.28b) implique une condition sur le choix du pas de temps :

ω2J∆t2 ≤ 2

γ − 2β∀J

Le pas de temps∆t doit doncetre choisi plus petit qu’une valeur critique(∆t)stab :

∆t < (∆t)stabdef= min

J

1

ωJ

2√2γ − 4β

(9.29)

Stabilit e du schema de Newmark.1. Si γ≥ 1/2 et2β−γ≥ 0, le schema de Newmark estinconditionnellement stable;2. Si γ ≥ 1/2 et2β−γ < 0, le schema de Newmark estconditionnellement stable, le pas

de temps devant verifier

∆t < (∆t)stabdef= min

J

1

ωJ

2√2γ − 4β

3. Si γ < 1/2, le schema de Newmark estinstable.

9.3.5 Analyse de coherence

Suivant la definition introduite au chapitre8, il y a coherenceentre le schema d’integrationen temps discret (ici, schema de Newmark) et le systeme differentiel en temps continu (9.9) si


le residu desequations realisant le schema tend vers zero avec∆t quandUn+1 et Un pro-viennent d’une fonction vectorielleU(t) suffisamment reguliere verifiant le systeme differen-tiel (9.9).

Ici, l’action du schema de Newmark peutetre representee par l’equation matricielle (9.22)exprimant la transition en temps discret (9.21). Il est donc interessant d’evaluer le residu dusysteme (9.22) quandUn+1 etUn proviennent d’une fonction vectorielleU(t) verifiant lesysteme differentiel en temps continu (9.9). En developpantUn+1, Un+1 etFn+1 autourdet = tn dans le systeme (9.22) et en utilisant lesequations

[K]Un+ [M]Un = Fn, [K]Un+ [M]...Un = Fn

traduisant la verification de (9.9) a l’instanttn chaque fois que cela est possible, on obtient touscalculs faits :

Premier membre du systeme (9.22) =

[M 00 M

]∆t3(

16− β

)...Un

∆t2(

12− γ

)...Un

+

o(∆t3)o(∆t2)

(9.30)

Cela prouve en particulier que, quels que soient les parametres retenus pour la methode deNewmark, le residu du systeme (9.22) tend vers zero avec∆t. La methode de Newmark estdonc coherente, sans restriction sur le choix de ses parametres.

9.3.6 Precision

Le resultat (9.30) suggere que la precision de la methode de Newmark peutetre optimiseeen selectionnant les parametres

β = 1/6 , γ = 1/2 (9.31)

Cependant, ce choix definit un schema conditionnellement stable, la condition2β− γ ≥ 0 destabilite inconditionnelle n’etant pas verifiee. Pour cette raison, on prefere souvent utiliser lesparametres

β = 1/4 , γ = 1/2 (9.32)

qui permettent la precision optimale compatible avec une stabilite inconditionnelle.

9.3.7 Retour sur le schema explicite des differences centrees

Considerons le schema de Newmark avecβ = 0, γ = 1/2. En ecrivant la relation (9.18a)aux instantstn+1 et tn et retranchant les identites obtenues, on obtient

Un+1 − 2Un+ Un−1 = ∆t(Un − Un−1

)+

∆t2

2

(Un − Un−1

)De plus, la relation (9.18b) a l’instanttn donne

Un − Un−1 =∆t

2

(Un+ Un−1

)Combinant ces deux identites, on obtient

Un+1 − 2Un+ Un−1 = ∆t2Un (9.33)

c’est-a-dire l’approximation (9.16) de l’acceleration par difference centree d’ordre 2.Le schema de Newmark avecβ = 0, γ = 1/2 correspond ainsi au schema explicite (metho-

de des differences centrees) traite en section9.3.2. On peut en particulier deduire de cette re-marque et de (9.29) que ce schema explicite estconditionnellement stable, avec

∆t < (∆t)stab = minJ

2

ωJ(9.34)

9.4. Conservation de l’energie totale 149

9.4 Conservation de l’energie totale

Une autre methode d’analyse des schemas numeriques d’integration desequations de ladynamique consistea etudier la conservation de l’energie entre deux pas de temps successifs.Prenons pour simplifier le cas du systeme differentiel homogene

[K]U+ [M]U = 0 (9.35)

avec des conditions initialesU0, U0 non nulles : cela correspond physiquementa calculerla reponse dynamique d’un solide place dans une configuration initiale perturbee par rapportal’ etat de repos puis relache.

Multiplier (9.35) a gauche parUT donne

UT[K]U+ UT[M]U = 0

relation qui se met sous la forme d’une derivee exacte en temps et exprime en fait la conservationde l’energie totale :

ddt

[W(t) +K(t)

]= 0 (9.36)

ouK(t) etW(t) sont lesenergies cinetique et de deformation de la structurea l’instantt :

K(t) =1

2UT[M]U W(t) =

1

2UT[K]U (9.37)

Pour un schema numerique d’integration donne, il est alors interessant d’examiner l’evolu-tion de l’energie totale calculeea deux instants discrets successifs. Par exemple, pour l’equationhomogene (9.35) consideree ici, les proprietes du schema numerique peuventetre classees se-lon :

(i) SiW(tn+1)+K(tn+1)−W(tn)−K(tn) < 0 : il y a amortissement numerique, l’ energietotale diminuant alors meme que le probleme physique traite est (ici) conservatif ;

(ii) Si W(tn+1) + K(tn+1)−W(tn)−K(tn) > 0 : il y a amplification, l’ energie totaleaugmentant, ce qui corresponda un schema instable ;

(iii) SiW(tn+1)+K(tn+1)−W(tn)−K(tn) = 0 : le schema numerique conserve l’energie(ni amplification ni amortissement numerique) ;

On va appliquer cette idee aux schemas de Newmark. Il s’agit donc d’evaluer

W(tn+1)−W(tn) +K(tn+1)−K(tn)

la solutiona l’instanttn+1 etant deduite de cellea l’instanttn par la resolution de (9.20) et lesformules (9.18). Pour ce faire, les definitions (9.37) permettent d’ecrire les variations d’energiesous la forme

W(tn+1)−W(tn) = 2UnTs [K]Und K(tn+1)−K(tn) = 2UnT

s [M]Und

ayant pose, pour un vecteur generiqueX de valeurs nodales :

Xns =

1

2

(Xn+1 + Xn

)Xnd =

1

2

(Xn+1 − Xn

) soit

Xn = Xns− Xnd

Xn+1 = Xns + Xnd(9.38)


Les relations de Newmark (9.18), reecrites au moyen de cette notation, deviennent

0 = −2Und + ∆tUns−∆tUnd +1

2∆t2

[Uns + (4β − 1)Und

]0 = −2Und + ∆t

[Uns + (2γ − 1)Und

]soit, apreselimination de∆tUnd de la premiere relationa l’aide de la seconde :

Uns =2

∆tUnd + ∆t(γ − 2β)Und

2Und = ∆t[Uns + (2γ − 1)Und

] (9.39)

On est maintenanta meme d’evaluer la variation d’energie

W(tn+1)−W(tn) +K(tn+1)−K(tn) = 2UnTs [K]Und + 2UnT

s [M]Und

En reportant les expressions (9.39) dans2UnTs [M]Und et apres regroupement des termes

obtenus, exploitation des relations

[K]Und + [M]Und = 0 [K]Uns + [M]Uns = 0

deduites de (9.35) et utilisation de l’egalite

2UnTs [M]Und =

1

2Un+1T[M]Un+1 −

1

2UnT[M]Un ,

on obtient tous calculs faits le resultat

E(tn+1)−E(tn) = 2(1− 2γ)UnTd[K]Und + ∆t2(γ− 2β)(1− 2γ)UnT

d[M]Und (9.40)

avec la definition

E(t) =W(t) +K(t) +∆t2

2

(β − γ

2

)U(t)T[M]U(t)

Le resultat (9.40) constitue l’equation de bilan d’energie associe au schema de Newmark.Ce bilan d’energie permet de revenir sur les notions de stabilite et d’amortissement numeri-

que. En particulier :

(a) Si γ = 1/2, le second membre de (9.40) est nul etE(t) est conservee.(b) Si γ ≥ 1/2 et2β−γ = 0, le bilan (9.40) entraıne que l’energie totale decroıt entre deux

pas de temps successifs :

W(tn+1) +K(tn+1)−W(tn)−K(tn) = 2(1− 2γ)UnTd[K]Und ≤ 0

(c) Si γ = 1/2 et β = 1/4 (cas particulier de (b) correspondant au cas (9.32) incondition-nellement stable de precision optimale), l’energie totale est conservee entre deux pas detemps successifs :

W(tn+1) +K(tn+1)−W(tn)−K(tn) = 0

(d) Siγ > 1/2 et2β > γ, alorsE(t) decroıt entre deux pas de temps successifs. On remarqueen particulier que le troisieme terme deE(t) est positif (puisque2β − γ > 0), ce quiempeche l’energie totale de diverger.

(e) Si γ < 1/2 (instabilite), alors le second membre du bilan d’energie (9.40) est strictementpositif (i) pour tout∆t si γ − 2β ≥ 0, et (ii) pour ∆t suffisamment petit dans le cascontraire, etE(t) est donc susceptible de diverger.

Les cas (a)a (d) verifient le critere de stabilite (conditionnellement sur∆t pour (a), incondition-nellement pour (b)a (d)). On voit que la notion de stabilite est lieea une notion de conservationd’energie.

9.5. Exemple 151

9.5 Exemple

Pour illustrer les notions presentees dans ce chapitre, on considere une barreelastique (lon-gueurL, module de YoungE, section d’aireA, masse lineiqueρA). Le deplacement longi-tudinal ξ(x, t) de la sectionA(x) situeea l’abscissex est gouverne, dans le cadre du modeledes barres minceselastiques decrit par exemple dans le cours deBallard et Millard(2005), parl’ equation aux derivees partielles

∂2ξ

∂x2(x, t)− 1

c2

∂2ξ

∂t2(x, t) = 0 (9.41)

qui est l’equation des ondesa une dimension d’espace, la celerite des ondes de compressiondans la barreetant

c =√

E/ρ (9.42)

On se place ici dans les conditions suivantes : barre au repos initial, encastreea son extremitegauchex = 0 et soumisea son extremite droitex = L a une force de traction constantePappliqueea partir de l’instant initial, soit :

ξ(x, t) =∂ξ

∂t(x, t) = 0 , (0 ≤ x ≤ L) (conditions aux limites)

ξ(0, t) = 0 EA∂ξ

∂x(L, t) = P , (t ≥ 0) (conditions initiales)

Cet exemple a une solution exacte, dont la figure9.3donne une idee.D’autre part, le calcul numerique de cette reponse aete effectue pour plusieurs choix de

schemas et de pas de temps. Dans tous les cas, la semi-discretisation spatiale est effectuee avecNE = 50 elements rectilignes de longueur uniforme eta deux nœuds (interpolation lineairede ξ sur chaqueelement). La figure9.5 presente la reponse calculee par le schema de New-

x=L/2x=L

ξ(E

A/c

P)

ct/L86420

2

1

Figure 9.3: Dynamique d’une barre sollicitee a son extremite : solution exacte en deplacement. Les deuxcourbes representent ξ(x, t) pour x = L/2 et x = L.

0 5 10 15 20t c/L

0

0.5

1

1.5

2

2.5

(EA

/Pc)

ξ

x=L/2x=L

Figure 9.4: Dynamique d’une barre sollicitee a son extremite : reponse calculee avec le schema de New-mark inconditionnellement stable (β = 1/4, γ = 1/2) et c∆t/L = 0, 1. Les deux courbesrepresentent ξ(x, t) pour x = L/2 et x = L.


0 5 10 15 20t c/L

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

(EA

/Pc)

ξ

x=L/2x=L

Figure 9.5: Dynamique d’une barre sollicitee a son extremite : reponse calculee avec le schema de New-mark instable (β = 1/4, γ = 99/200) et c∆t/L = 0, 1. Les deux courbes representent ξ(x, t)pour x = L/2 et x = L.

0 5 10 15 20ct/L

0

0.5

1

1.5

2

2.5

(EA

/Pc)

ξ

x=L/2x=L

0 5 10 15 20ct/L

0

0.5

1

1.5

2

2.5

(EA

/Pc)

ξ

x=L/2x=L

0 5 10 15 20ct/L

0

0.5

1

1.5

2

2.5

(EA

/Pc)

ξ

x=L/2x=L

0 5 10 15 20ct/L

-2e+56

-1e+56

0

1e+56

2e+56

3e+56

(EA

/Pc)

ξ

x=L/2x=L

Figure 9.6: Dynamique d’une barre sollicitee a son extremite : reponse calculee avec le schema de New-mark associe a la methode des differences centrees (β = 0, γ = 1/2), conditionnellementstable. Chaque graphique presente ξ(x, t) pour x = L/2 et x = L, calcule pour les pas detemps ∆t = 0, 99083(∆t)stab (en haut, a gauche), ∆t = 0, 99966(∆t)stab (en haut, a droite),∆t = 1, 00237(∆t)stab (en bas, a gauche), ∆t = 1, 00815(∆t)stab (en bas, a droite).

mark inconditionnellement stable (β = 1/4, γ = 1/2) avecc∆t/L = 0, 1, qui est satisfaisante.En revanche, avecγ = 99/200, qui viole (legerement) la condition de stabilite γ ≥ 1/2, lecalcul de la reponse devient instable apres quelques allers-retours dans la barre (figure9.5).Enfin, la figure9.6 montre l’application du schema de Newmark associe a la methode desdiff erences centrees (β = 1/4, γ = 1/2), qui est conditionnellement stable avec la condi-tion (9.34). Cette derniere donne icic(∆t)stab/L ≈ 0, 01155, valeur obtenue par resolutionnumerique du probleme aux valeurs propres generalisees (9.23). Quatre pas de temps tresproches de cette valeur ontete choisis, et l’instabilite de l’integration numerique est tres violentepour des∆t violant tres legerement la condition de stabilite.

Annexe A

Complements

A.1 Points et poids de Gauss

G designe le nombre de points de Gauss de la formule d’integration approchee.

Points de Gauss pour le segment[−1, 1]. Le tableauA.1 presente les pointsag et poidswg de Gauss pour le segmentS = [−1, 1]. Ceux-ci sont toujours interieursa S, et disposessymetriquement par rapporta a = 0, ag et son symetrique ayant le meme poidswg. Il suffitdonc d’indiquer les abscisses positives.

G ±ag wg

1 0. 2.

2 0.57735026918962576450 1.

3 0. 0.888888888888888888890.774596669241483377030.55555555555555555556

4 0.339981043584856264800.652145154862546142620.861136311594052575220.34785484513745385737

5 0. 0.568888888888888888890.538469310105683091030.478628670499366468040.906179845938663992790.23692688505618908751

6 0.238619186083196908630.467913934572691047380.661209386466264513660.360761573048138607560.932469514203152027810.17132449237917034504

Tableau A.1: Points de Gauss pour le segment −1 ≤ a ≤ 1, d’apres Stroud et Secrest (1966).

Points de Gauss pour le triangle de reference. Le tableauA.2 presente les points(aT1,g, a

T2,g)

et poidswg de Gauss pour le triangle de reference∆ = (a1, a2) | (a1, a2) ≥ (0, 0), 1−a1 − a2 ≤ 1 d’apresLyness et Jespersen(1975). Ils sont interieursa ∆. D’autre part, cesformules respectent la symetrie ternaire du triangle : toutes les permutations des coordonneesbarycentriquesaT

1,g, aT2,g, 1 − aT

1,g − aT2,g definissent des points de Gauss, auxquels les memes

poids sont affectes. Cette symetrie permet de condenser l’information dans le tableauA.2 :les points apparaissent avec une« multiplicite» M (M = 1, 3 suivant les cas), qui indiqueacombien de points distincts correspond la ligne consideree.

153

154 ANNEXE A. COMPLEMENTS

G aT1,g aT

2,g wg M

3 0.166666666666667 0.166666666666667 0.166666666666667 3

6 0.445948490915965 0.445948490915965 0.111690794839005 30.091576213509771 0.091576213509771 0.054975871827661 3

7 0.333333333333333 0.333333333333333 0.112500000000000 10.470142064105115 0.470142064105115 0.066197076394253 30.101286507323456 0.101286507323456 0.062969590272414 3

Tableau A.2: Points de Gauss pour le triangle de reference, d’apres Lyness et Jespersen (1975).

Bibliographie

ALIABADI M.H. (1997). Boundary element formulations in fracture mechanics.Appl. Mech.Rev., 50 :83–96.4.2

ALLAIRE G. (2004). Analyse numerique et optimisation. Presses de l’Ecole Polytechnique,Palaiseau, France.(document), 3, 3.6, 3.6

BABUSKA I., STROUBOULIS T. (2001). The finite element method and its reliability. OxfordScience Publications.3.6

BALLARD P., MILLARD A. (2005).Modelisation et calcul des structureselancees. Presses del’Ecole Polytechnique, Palaiseau, France.(document), 5.2.5, 9.5

BATHE K.J. (1996).Finite element procedures. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey,USA.

BATOZ J.L., DHATT G. (1990).Modelisation des structures parelements finis. Hermes, Paris.

BEN DHIA H., ed. (2001).Mecanique numerique des solides. Cours, Ecole Centrale de Paris.

BERNARDI C., MADAY Y., eds. (1992).Approximations spectrales de problemes aux limiteselliptiques. Springer-Verlag.1.4.5

BESSONJ., CAILLETAUD G., CHABOCHE J.L., FORESTS. (2001).Mecanique non lineairedes materiaux. Hermes.5.2.2, 5.2.4, 6.3.5

BETTESSP. (1992).Infinite elements. Penshaw Press.

BONNANS F., GILBERT J.C., LEMARECHAL C., SAGASTIZABAL C. (1997). Optimisationnumerique – aspects theoriques et pratiques. Mathematiques et applications, Springer-Verlag. 3.5

BUI H.D. (1964). Ecrouissage des metaux. C.R. Acad. Sci. Paris, serie II, 259 :4509–4512.6.1, 6.2, 6.4

BUI H.D. (1970). Evolution de la frontiereelastique des metaux avec l’ecrouissage plastique etle comportementelastoplastique d’un agregat de cristaux cubiques.Memorial de l’ArtillerieFrancaise, 1 :141–165. version publiee de la these de H. D. bui.6.1, 6.2, 6.4

BUI H.D. (1978).Mecanique de la rupture fragile. Masson.4.1

CIARLET P.G. (1980).The finite element method for elliptic problems. North Holland.3.6

CONSTANTINESCUA., CHARKALUK E., LEDERERG., VERGERL. (2004). A computationalapproach to thermomechanical fatigue.Int. J. Fatigue, 805–818.7.4.2, 7.6, 7.7, 7.8, 7.9

CONSTANTINESCUA., TARDIEU N. (2001). On the identification of elastoviscoplastic consti-tutive laws from indentation tests.Inverse Problems in Engineering, 9 :19–44.5.5, 5.2.3

COURANT R. (1943). Variational methods for the solution of problems of equilibrium andvibration. Bull. Amer. Mathem. Soc., 49 :1–23.2.1.3

CUTHILL E., MCKEE J. (1969). Reducing the bandwidth of sparse symmetric matrices. InProceedings of the 1969 24th ACM national conference, 157–172. ACM Press.3.4.3

DE LANGRE E., ed. (2005).Dynamique et vibrations. Cours, Ecole Polytechnique.9.1.2

A.1

A.2 BIBLIOGRAPHIE

DESTUYNDERP., DJAOUA M., LESCURES. (1983). Quelques remarques sur la mecanique dela ruptureelastique.J. Mecan. Theor. Appl., 2 :113–135.4.4

DHATT G., TOUZOT G. (1984). Une presentation de la methode deselements finis. MaloineS. A., Paris.

FARHAT C., ROUX F.X. (1994). Implicit parallel processing in structural mechanics, 1–124.Computational Mechanics Advances, vol. 2. North-Holland.2

FRANCOIS D., PINEAU A., ZAOUI A. (1998a). Mechanical Behaviour of Materials, Vol I :Elasticity and Plasticity. Kluwer Academic Publishers.5.2.4

FRANCOIS D., PINEAU A., ZAOUI A. (1998b). Mechanical Behaviour of Materials, Vol II :Viscoplasticity, Damage, Fracture and Contact Mechanics. Kluwer Academic Publishers.5.2.4

FREESE C.E., TRACEY D.M. (1976). The natural isoparametric triangle versus collapsedquadrilatral for elastic crack analysis.Int. J. Fract., 12 :767–770.4.3.3

GREENBAUM A. (1997). Iterative methods for solving linear systems. SIAM, Philadelphia,USA. 3

HUGHES T.J.R. (1987).The finite element method – linear static and dynamic finite elementanalysis. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, USA.9.3.2

INGRAFFEA A.R., WAWRZYNEK P.A. (2003). Finite element methods for linear elastic frac-ture mechanics. In de Borst R., Mang H., eds.,Comprehensive Structural Integrity, chap.3.1. Elsevier.4.2

LADEVEZE P., ed. (1999).Nonlinear computational structural mechanics. New approaches andnon-incremental methods of calculations. Mechanical Engineering series. Springer-Verlag.1.3.1

LEBLOND J.B. (2002).Mecanique de la rupture fragile et ductile. Hermes.4.1

LEMAITRE J., CHABOCHE J.L. (1990).Mechanics of solid materials. Cambridge UniversityPress.5.2.2, 5.2.4

LORENTZ E., WADIER Y., DEBRUYNE G. (2000). Brittle fracture in a plastic medium : defi-nition of an energy release rate.C.R. Acad. Sci. Paris, serie II, 328 :657–662. In French,with an extended English abstract.4.2, 1

LYNESS J.N., JESPERSEND. (1975). Moderate degree symmetric quadrature rules for thetriangle.J. Inst. Math. Appl., 15 :19–32.3.2.3, A.1, A.2

MOES N., DOLBOW J., BELYTSCHKO T. (1999a). A finite element method for crack growthwithout remeshing.Int. J. Num. Meth. in Eng., 46 :131–150.4.3.1

MOES N., LADEVEZE P., DOUCHIN B. (1999b). Constitutive relation error estimators for(visco)plastic finite element analysis with softening.Comp. Meth. in Appl. Mech. Engng.,176 :247–264.1.3.1

MURAT F., SIMON J. (1976). Sur le controle par un domaine geometrique. Rapport de re-cherche, Laboratoire d’Analyse Numerique de l’universite Paris 6 (222 pages).4.1.2

NAGTEGAAL J.C., PARKS D.M., RICE J.R. (1974). On numerically accurate finite elementsolutions in the fully plastic range.Comp. Meth. in Appl. Mech. Engng., 4 :153–177.7.2.4

NGUYEN Q.S. (1977). On the elastic-plastic initial-boundary value problem and its numericalintegration.Int. J. Num. Meth. in Eng., 11 :817–832.6.3.2

REDDY J.N. (1986). Applied functional analysis and variational methods in engineering.McGraw-Hill.

REDDY J.N. (1993).An introduction to the finite element method. McGraw-Hill.

Bibliographie A.3

SALENCON J. (2004).Mecanique des milieux continus (vols. 1,2,3). Presses de l’Ecole Poly-technique, Palaiseau, France.(document), 1, 1.1.2, 4, 2.2.2, 4.4.2, 5.2.5, 5.3.2

SIMO J.C., HUGHEST.J.R. (1998).Computational Inelasticity. Springer-Verlag.6.3.5, 7.2.4

SIMO J.C., TAYLOR R.L. (1985). Consistent tangent operators for rate-independent elasto-plasticity. Comp. Meth. in Appl. Mech. Engng., 48 :101–118.6.3.2

SOKOLOWSKI J., ZOLESIO J.P. (1992).Introduction to shape optimization. Shape sensitivityanalysis, vol. 16 ofSpringer series in Computational Mathematics. Springer-Verlag.4.1.2

STRANG G. (1986).Introduction to applied mathematics. Wellesley Cambridge Press.8.3.1

STRANG G., FIX G.J. (1973).An analysis of the finite element method. Prentice-Hall, Engle-wood Cliffs, New Jersey, USA.3.6

STROUD A.H., SECRESTD. (1966).Gaussian quadrature formulas. Prentice-Hall.A.1

SUQUET P. (2004).Rupture et plasticite. Presses de l’Ecole Polytechnique, Palaiseau, France.(document), 1, 1.1.3, 4.1, 4.1.2, 5.2.4, 5.2.4, 6.1, 6.3.7, 7.2.4

TADA H., PARIS P., IRWIN G. (1973). The stress analysis of cracks handbook. Tech. rep., Del.Research Corporation, Hellertown, Pennsylvania, USA.4.2

WRIGGERSP. (2002).Computational contact mechanics. John Wiley and sons.5.3.1

ZIENKIEWICZ O.C. (1989).The Finite Element Method : Basic Concepts and Linear Applica-tions. McGraw Hill, fourth edn.

ZIENKIEWICZ O.C., TAYLOR R.L. (1989).The Finite Element Method : Basic Concepts andLinear Applications. McGraw Hill. See also references therein.

ZIENKIEWICZ O.C., TAYLOR R.L. (2000a).The Finite Element Method, volume 1 : the basis.Butterworth Heimemann.

ZIENKIEWICZ O.C., TAYLOR R.L. (2000b). The Finite Element Method, volume 2 : solidmechanics. Butterworth Heimemann.