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ANALYSE DUALE ET CALCUL D’ERREUR

Pierre Beckers & Martin Kempeneers Université de Liège (Belgique)

Abstract : L’analyse duale a été l’une des premières méthodes utilisées pour estimer l’erreur de discrétisation globale commise lors d’un calcul par éléments finis. Les premiers travaux sur le sujet ont été réalisés à l’Université de Liège par Fraeijs de Veubeke au début des années 1960. La méthode repose sur la comparaison de deux solutions, la première obtenue à partir d’un modèle cinématiquement admissible (ou modèle déplacement) et la seconde à partir d’un modèle statiquement admissible (ou modèle équilibre). A cette époque l’analyse duale a été développée avec succès par un certain nombre de personnes : G. Sander, P. Beckers & M. Géradin dans le cadre d’analyses statiques et dynamiques pour des plaques et des membranes. L’objectif de cette publication est triple : étendre la théorie aux éléments volumiques, présenter une implantation dans SAMCEF et introduire dans ce cadre le calcul d’erreur de discrétisation.

INTRODUCTION Les codes éléments finis actuels reposent sur les modèles cinématiquement admissibles dont la théorie est parfaitement maîtrisée. Les modèles équilibre n’ont pas connu le même succès, en partie à cause de leur plus grande complexité. La méthode présentée ici est basée sur une approche équilibre pure. Sa mise en œuvre dans le cas de structures tridimensionnelles à maillages tétraédriques est très récente (Beckers et al, 2002). La principale difficulté à surmonter pour son développement est liée à l’existence de modes cinématiques internes. Ils correspondent à des singularités de la matrice de raideur qui apparaissent en plus des modes rigides. La recherche d’une solution doit donc passer par un contrôle préalable de ces modes parasites. La méthode de contrôle présentée ici consiste à éliminer ces modes en amont de la création du système d’équations global en les bloquant au niveau élémentaire par la technique des super éléments. Ce processus consiste à remplacer chaque élément par un assemblage dans lequel les modes cinématiques sont bloqués. Cette technique de super éléments présente l’avantage de pouvoir s’intégrer dans un code éléments finis standard.

9th SAMTECH Users Conference 2005 1/13


NOTATIONS Si on divise la frontière Γ d’un domaine Ω en deux parties ΓBuB et Γ Bt B sur lesquelles sont respectivement imposées des conditions aux limites cinématiques et statiques, les équations de l’élasticité peuvent s’écrire sous forme matricielle de la manière suivante : Equations constitutives du matériau :

σ ε= H [1] Equations de compatibilité :

dansuε Ω= d [2] u sur u uΓ Γ= [3]

Equations d’équilibre :

0 dans fσ + ΩTd = [4] t sur tσ Γ= ΓN [5]

H la matrice de Hooke du matériau considéré. d et N respectivement les opérateurs de gradient et de surface. Appelons U l’énergie de déformation dans le domaine Ω :

1 d2

TU σ εΩ

= Ω∫ .

Soit ET(u) et EC(σ) respectivement l’énergie potentielle totale du champ u et l’énergie complémentaire totale du champ σ :

t

1( ) d d d2

T T TET u f u t uε ε ΓΩ Ω Γ= Ω− Ω− Γ∫ ∫ ∫H . [6]

( )u

-11( ) d d2

TTEC uσ σ σ σ ΓΩ Γ= Ω− Γ∫ ∫H N . [7]

On définit la norme énergétique de la manière suivante :

2 ( )U• = • .


PRINCIPES DE L’ESTIMATION DE L’ERREUR PAR ANALYSE DUALE

L’analyse duale telle que présentée par Beckers et Debongnie dans (Debongnie et al, 1995) & (Debongnie et al, 1999) permet de déterminer une borne supérieure sur la norme énergétique de l’erreur globale commise par une analyse éléments finis. Soit (uBexB , σ BexB) la solution exacte d’un problème donné, on peut montrer que si on appelle ∆u = uBh B - uBexB l’erreur sur une solution approchée cinématiquement admissible uBh B et ∆σ = σBh B - σ BexB celle sur une solution approchée statiquement admissible hσ , on a toujours :

[ ]2 2 ( ) ( )h exu ET u ET u∆ = − [8]

et [ ]2 2 ( ) ( )h exEC ECσ σ σ∆ = − [9] D’autre part, on peut aussi montrer que

( ) ( ) 0ex exET u EC σ+ = [10] Les relations [8],[9] et [10] conduisent immédiatement à la relation fondamentale de l’analyse duale définissant une borne supérieur de l’erreur absolue globale pour chacune des deux solutions :

[ ] 1/ 2 1/ 22 2 2 ( ) ( )h h

uu ET u ECσ σ

σ

⎫∆ ⎪ ⎡ ⎤≤ ∆ + ∆ = +⎬ ⎣ ⎦∆ ⎪⎭ [11]

On obtient une mesure de l’erreur relative E.R. en comparant [11] à la norme énergétique de la solution exacte :

[ ] [ ] [ ]1/ 2 1/ 2 1/ 22 ( ) 2 ( ) ( ) ( )ex ex h hU u U U u Uσ σ= ≅ + Et ainsi,

[ ] 1/ 22 ( ) ( )

. .( ) ( )

h h

h h

ET u ECE R

U u Uσ

σ⎧ ⎫+

= ⎨ ⎬+⎩ ⎭ [12]

Pour un problème éléments finis donné, on peut obtenir une mesure de l’erreur locale en calculant l’énergie de l’erreur sur la relation de comportement [1] pour chaque élément e (Ladevèze, 1975).

( )e h h e

uε σ ε= − H [13]


L’erreur absolue globale est donnée par :

( )h huε σ εΩ Ω= − H [14]

Avec

2 2e

eε εΩ =∑ [15]

Cette définition de l’erreur absolue globale est strictement équivalente à celle de la relation [11] (Debongnie et al, 1995). La qualité d’un estimateur d’erreur global est mesurée par son indice d’effectivité θ qui est, par définition, le rapport entre les normes énergétiques de l’erreur absolue estimée et de l’erreur absolue exacte. Quand la solution exacte n’est pas disponible, on la remplace par une solution de référence supposée suffisamment proche. La qualité de l’estimation d’erreur sur la solution cinématiquement admissible est donc définie par :

1/ 2

( ) ( )( ) ( )

h h

h ex

ET u ECET u EC

σθσ

⎧ ⎫+= ⎨ ⎬+⎩ ⎭

[16]

Un estimateur est considéré comme fiable si 0.8 1.2θ≤ ≤ (Zhong, 1991). Remarque − On démontre aisément (Debongnie et al, 1995) que dans les cas particuliers de problèmes présentant des conditions limites en déplacement homogènes, les énergies totales peuvent se réécrire :

( ) ( )h h CAET u U u U= − = − et ( ) ( )h h SAEC U Uσ σ= =

De sorte que les formule [12] et [16] conduisent respectivement à :

[ ] 1/ 22

. . SA CA

SA CA

U UE R

U U⎧ ⎫−

= ⎨ ⎬+⎩ ⎭ [17]

et

1/ 2

SA CA

ex CA

U UU U

θ⎧ ⎫−

= ⎨ ⎬−⎩ ⎭ [18]


APPROCHE EQUILIBRE PURE Le principe de cette approche consiste dans un premier temps à choisir une forme paramétrique simple du champ de contraintes vérifiant les équations d’équilibre [4]. On définit ainsi un ensemble de solutions admissibles. Pour imposer la réciprocité des tractions de surface à la frontière de deux éléments, il est nécessaire de choisir des connecteurs définissant univoquement ces tractions d’interface. Dans un second temps on recherche, dans cet ensemble de solutions, celle qui rend l’énergie complémentaire totale minimum. Pour cela on annule la variation première de la fonctionnelle [7] par rapport aux paramètres définissant le champ de contraintes.

DISCRETISATION DU CHAMP DE CONTRAINTES Si on ne considère pas les forces de volume, la discrétisation du champ de contraintes s’écrit sous forme matricielle :

sσ = S [19]

CHOIX DES CONNECTEURS L’équilibre de surface [5] impose que le champ des tractions de surface soit du même degré que le champ de contraintes. Donc si le champ de contraintes est de degré p, en 2D il faudra p+1 connecteurs par direction pour définir univoquement le champ des tractions de surface sur chaque bord de l’élément. En 3D, ½ (p + 1)(p+2) connecteurs seront nécessaires sur chaque face. La position des connecteurs étant libre, en 2D il est intéressant pour la suite de les placer aux positions des points d’intégration de Gauss pour l’intégration exacte d’un polynôme de degré 2p+1. Nous parlerons dans ce cas de connecteurs optimisés. En 3D, dans le cas de faces triangulaires et pour des valeurs de p ≤ 2, il est possible également de définir des connecteurs optimisés en utilisant les positions des points d’intégration de Hammer (Hammer et al, 1956). Les développements qui suivent supposent qu’on travaille avec des connecteurs optimisés. Nous emploierons le terme de face aussi bien pour désigner les faces d’un élément 3D que pour désigner les bords d’un élément 2D. Ainsi, pour chaque composante i des tractions de surface t, on définit sur une face donnée de l’élément, les connecteurs :

,ˆ ( )i j j i jg Aw t φ= [20]


où A est la surface de la face considérée, φBj B et wBj B respectivement la position du point d’intégration j sur la face et le poids correspondant. Il est alors possible d’écrire pour chaque face les tractions de surface en fonction des connecteurs :

ˆt g=W [21] où W est une matrice de fonctions d’approximation des tractions de surface. En considérant toutes les faces de l’élément, les égalités [5], [19] et [20] permettent également d’écrire les relations d’équilibre entre les connecteurs et les contraintes généralisées :

ˆ ˆg s= C [22]

INFORMATIONS SUR LES DEPLACEMENTS Si on écrit le travail des tractions de surface sur une face Γ :

ˆ ˆ ˆ d dT T T Tt u g u g qΓ Γ

Γ = Γ =∫ ∫ W [23]

on définit ˆ dTq u

Γ= Γ∫ W .C’est levecteur des déplacements généralisés.

On vérifie aisément que dans le cas où le champ de déplacements u est de degré inférieur ou égal à celui du champ de contraintes, les déplacements généralisés sont égaux aux valeurs locales des déplacements des points d’ancrage des connecteurs.

MINIMISATION DE L’ENERGIE COMPLEMENTAIRE TOTALE Selon [19], [22] et [23], la fonctionnelle [7] se réécrit en termes des contraintes généralisées

1 ˆ ˆ ˆ ˆ2

T T TEC s s s q= −F C [24]

Avec 1 dT −

Ω= Ω∫F S H S .C’est la matrice de flexibilité, elle est définie positive.

L’annulation de la variation première de cette fonctionnelle par rapport aux paramètres s donne :

1ˆ ˆTs q−= F C [25]


De là, en réécrivant [22], on obtient le système d’équations classique des problèmes éléments finis :

ˆ ˆq g=K [26] Avec

1 T−=K CF C [27]

ELIMINATION DES MODES CINEMATIQUES INTERNES Généralement, le système [26] présente plusieurs équations linéairement dépendantes en plus de celles correspondant aux modes rigides. Ces singularités parasites de la matrice de raideur K sont les modes cinématiques internes. Ces modes correspondent à des déplacements relatifs non nuls des frontières des éléments de la structure non chargée. On peut démontrer les résultats du tableau 1 pour des éléments triangulaires (Fraeijs de Veubeke, 1973) et tétraédriques simples (Kempeneers et al, 2005) de degré p.

p Triangle Tétraèdre 0 0 0 1 2 9 ≥2 3 6(p+1)

Tableau 1. Nombre de modes cinématiques pour des éléments simples La technique utilisée ici pour créer un élément équilibre triangulaire exempt de mode cinématique repose sur la notion de super éléments. Elle consiste à assembler plusieurs éléments simples afin de bloquer leurs modes cinématiques internes.

Figure 1 : Super éléments Les assemblages permettant de créer des éléments équilibre triangulaires et tétraédriques complètement exempts de modes cinématiques internes sont présentés à la figure 1. Bien que le point P puisse être choisi n’importe où à l’intérieur des éléments, nous le placerons au centre de gravité des éléments afin de ne pas influencer l’homogénéité du maillage.

P P


EXEMPLES

SUPPORT D’AXE

Figure 2 : Problème du support d'axe et maillage (30950 éléments) Ce test académique, a permis de tester l’approche équilibre sur un problème de taille raisonnable. On trouve dans la thèse de F. Cugnon (2000), une estimation très précise de l’énergie de déformation de la solution exacte. Elle sert de référence pour comparer les solutions obtenues par l’approche équilibre (SA) et par l’approche de type déplacement classique (CA) présentées à la figure 5. Elle permet aussi d’apprécier la qualité de l’estimation de l’erreur.

SA

CA

UBSAB = 309.86 UBCAB = 304.68

Figure 3 : Support d’axe, contraintes de Von Mises et énergies de déformation La valeur de référence de l’énergie de déformation est :

307.53refU =


P

c

Comme annoncé par la théorie de l’analyse duale, les énergies des solutions approchées SA et CA encadrent la solution exacte. Ces deux valeurs de l’énergie donnent une borne supérieure sur l’erreur globale de chacune des deux solutions [17] :

12.98 %estER = On obtient donc une estimation par excès de l’erreur sur la solution CA. Ce qui, est le but principal du développement d’un modèle équilibre. La valeur de référence de l’énergie de déformation permet de déterminer l’erreur réellement commise sur la solution CA : 9.65 %exER = L’indice d’effectivité [18] vaut donc :

=1.35θ Ce qui est excellent pour une estimation d’erreur sur une solution si précise.

TEST DE VALIDATION DU MODELE DE DEGRE DEUX Les premiers résultats obtenus avec le modèle du second degré sont très encourageants. Nous présentons ci-dessous une comparaison des énergies de déformation obtenues dans le cas d’un cube encastré en traction (figure 4). Les maillages étudiés sont les suivants, ils comportent 5, 40 et 320 éléments, h / c = 1, 2 ou 4 (figure 5).

Figure 4 : Cube encastré

UDonnées U: E = 7500 N/mm² ν = 0.3

P = 100 N/mm² c = 100 mm

(5 éléments) (40 éléments) (320 éléments)

Figure 5: Maillages structurés étudiés

h/c d.d.l. (CA deg 1)

U (CA deg 1)

d.d.l. (SA deg 1)

U (SA deg 1)

d.d.l. (SA deg 2)

U (SA deg 2)

1 12 581,1 126 662 252 652,2 2 54 617,2 864 653,4 1728 649,2 4 300 635,2 6336 649,7 12672 647,9

Tableau 2 Eléments équilibre du premier et du second degré Si on compare les résultats obtenus (tableau 2) pour le troisième maillage avec des éléments équilibre de degré 1 avec ceux obtenus pour le second maillage avec des éléments de degré 2, on remarque qu’on a obtenu une meilleure solution dans le cas du second degré pour un nombre de degrés de liberté presque 4 fois plus petit. Afin de tester l’efficacité de l’estimation de l’erreur par analyse duale avec des éléments SA du second degré, nous avons calculé une solution de référence obtenue avec un maillage très fin d’éléments CA du second degré (Uref = 645.5 J).

Pour chaque maillage, il est ainsi possible de comparer les estimations de l’erreur [17] sur les solutions CA obtenues avec des élément SA du premier degré (ERSA1) ou des éléments SA du second degré (ERSA2) avec les erreurs exactes (ERex).

L / l ERSA1 ERSA2 ERex

1 36.08 33.96 32.40 2 23.87 22.48 21.17 4 15.02 14.07 12.68

Tableau 3 : Erreur relatives estimées et exactes (%) La qualité de ces estimations se mesure en calculant leur indice d’effectivité [18] :

L / l SA1 SA2 1 1.12 1.05 2 1.13 1.06 4 1.19 1.11 Tableau 4 : Indices d’effectivité



On améliore significativement la qualité des estimations en utilisant ces éléments du second degré. C’est donc une méthode intéressante pour remédier aux éventuelles carences en qualité de calcul d’erreur pour des solutions CA du second degré.

MESURE LOCALE DE L’ERREUR ET COMPARAISON AVEC L’ESTIMATEUR SPR DE SAMCEF Le calcul en norme énergétique de la distance entre les champs de contraintes SA et CA dans chaque élément permet d’obtenir une mesure de l’erreur locale [13]. A partir de cette valeur on peut définir une nouvelle mesure relative de l’erreur locale :

22

2~

eeh

ee

u εε

η+

=

appelée erreur locale en contrainte dans SAMCEF. L’erreur relative globale correspondante est calculée par :

2

2 2huεη

εΩ

ΩΩ

=+

%

Ce qui peut également s’écrire en terme des énergies de déformation :

SA CA

SA

U UU

η −=%

Nous avons comparé les résultats des mesures locales et globales de l’erreur obtenues par la méthode SPR de SAMCEF (ERRC 1) et par l’analyse duale. Le problème étudié est celui d’une arche encastrée à sa base et soumise à une pression latérale (figure 6) (Florentin, 2002).

Figure 6: Problème de l’arche et maillage étudié (2948 éléments)


La figure 7 montre la carte de l’erreur locale en contraintes pour les solutions CA du premier et du second degré. L’analyse duale a été réalisée avec des éléments SA du premier degré. On trouve sur cette figure la valeur de l’erreur relative globale estimée par chacune des méthodes. L’analyse duale fournit au niveau global une borne supérieure sur l’erreur exacte tandis que par expérience on sait que la méthode SPR a généralement tendance à sous-estimer cette erreur.

SPR

DUAL

p = 1

23.47 %η =% 33.53 %η =%

p = 2

10.56 %η =% 17.28 %η =%

Figure 7: Comparaison des résultats

CONCLUSION La méthode proposée permet dans des cas standards, structures tridimensionnelles composées uniquement d’éléments de volume, d’obtenir sur un maillage donné et pour un degré fixé, le meilleur encadrement possible de la solution exacte. On en déduit la meilleure borne supérieure de l’erreur. Sa mise en place dans un code classique ne pose en principe aucune difficulté pour autant que ce code soit capable de gérer des degrés de liberté de faces. Son principal intérêt est de fournir une référence consistante pour l’évaluation d’autres estimateurs d’erreur.

REFERENCES Beckers P., Les fonctions de tension dans la méthode des éléments finis, Thèse de doctorat, Université de Liège,

1972.

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Debongnie J.F., Zhong H.G., Beckers P., « Dual analysis with general boundary conditions », Computer methods in applied mechanics and engineering, 122, pp. 183-192, 1995.

Debongnie J.F., Beckers P., « Recent advances in the dual analysis theory », IV Congreso de Métodos Numéricos en Ingeniería, Sevilla, 1999.

E. Florentin, Sur l’évaluation de la qualité locale des contraintes éléments finis en élasticité tridimensionnelle. Thèse de doctorat, Ecole Normale Supérieure de Cachan, 2002.

Fraeijs de Veubeke B., « Diffusive equilibrium models », Lecture notes, Inter. Research Seminar, University of Calgary, Canada, 1973.

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Hammer P.C., Marlowe D.J., Stroud A.H., « Numerical integration over simplexes and cones ». Math. Tables other Aids Comp., vol. 10, 130-136, 1956.

Kempeneers M., Debongnie J.F., Beckers P., « Pure equilibrium tetrahedral fnite elements and global error estimation by dual analysis », Article proposé pour publication, 2004.

Ladevèze P., Comparaison de modèles de milieux continus, Thèse d’état Université P & M Curie, 1975.

Sander G., Application of the dual analysis principle, B. Fraeijs de Veubeke, ed., High Speed Computing of Elastic Structures, 1971.

Zhong H.G., Estimateurs d’erreur a posteriori et adaptation de maillages dans la méthode des éléments finis. Thèse de Doctorat, Faculté des sciences appliquées, Université de Liège 1991.


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