Analyse factorielle

Définition• L'analyse factorielle exploratoire ( exploratory factor

analysis) décrit un ensemble de variables par une combinaison linéaire de facteurs communs sous-jacents. La variance d'une variable originale peut être décomposée en une part commune aux autres variables, expliquée par les facteurs, nommée communalité de la variable (communality), et en une part spécifique, nommée variance spécifique (specific variance).

• L’analyse factorielle confirmatoire consiste en la vérification de la capacité d’un modèle théorique à expliquer la variance commune entre plusieurs variables à l’aide de variables latentes identifiées à priori

Analyse factorielle exploratoire

Utilisations

• Réduction des données: réduire un nombre important de variables à quelques facteurs qui expliquent un pourcentage important de la variance des variables originales

• Identification: identifier des facteurs latents sous-jacents à une série des variables

• Triage: identifier des groupes de variables hautement corrélées afin d’en sélectionner une pour des analyses subséquentes

Extraction• L'analyse en composantes principales (Principal

components analysis) cherche une solution qui (a) maximise la variance expliquée et (b) avec des composantes orthogonales (c'est-à-dire indépendantes entre elles).

• L'analyse factorielle (Factor analysis) présume que chaque variable possède une variance en commun avec au moins une autre variable ainsi qu’une variance unique représentant son propre apport. Elle tente d'expliquer la variance qui est commune à au moins deux variables (facteur).

Rotation

• Rotation orthogonale: On utilise cette rotation lorsque l'on croit que les facteurs sont indépendants les uns des autres (orthogonale).

• Rotation oblique: La rotation oblique permet des corrélations entre les facteurs.

Exemple: Maslach burnout

Correlation Matrix

1.000 .308 .281 .429 .208 .272 .265 .044 .100 .075.308 1.000 .514 .268 .228 .242 .237 .118 .004 -.005.281 .514 1.000 .166 .177 .141 .254 -.046 .160 .087

.429 .268 .166 1.000 .535 .426 .275 .161 -.001 -.048

.208 .228 .177 .535 1.000 .591 .197 .044 -.068 -.003

.272 .242 .141 .426 .591 1.000 .154 .001 -.001 -.091

.265 .237 .254 .275 .197 .154 1.000 .025 -.002 .026

.044 .118 -.046 .161 .044 .001 .025 1.000 -.621 -.555

.100 .004 .160 -.001 -.068 -.001 -.002 -.621 1.000 .636

.075 -.005 .087 -.048 -.003 -.091 .026 -.555 .636 1.000

.117 .087 .082 .068 .033 .004 .018 .385 -.341 -.321

.059 .151 .162 .139 .088 .015 .196 .287 -.198 -.211

.092 .099 .155 .153 .057 .050 .138 .213 -.085 -.181

.113 .229 .250 .148 .225 .226 .383 .015 .038 -.064

.172 .275 .284 .172 .263 .186 .359 .021 .072 .018

.063 .143 .175 .145 .169 .171 .350 .103 -.038 -.096

.163 .266 .232 .153 .248 .194 .312 .037 .076 .030

.179 .098 .094 .148 .041 .023 .192 .346 -.200 -.208

.093 .065 .056 .089 .030 .034 .170 .389 -.161 -.214

.073 .089 .165 .064 -.015 -.052 .083 .245 -.160 -.190-.008 -.014 .109 -.006 -.063 -.071 .019 .167 -.209 -.174

.021 .127 .134 .082 .171 .188 .321 .106 -.026 -.119

.165 .223 .190 .099 .207 .161 .312 .022 .090 .034

.197 .343 .376 .116 .165 .223 .214 -.005 .151 .048

DEPER1DEPER2DEPER3

DEPER4DEPER5DEPER6

DEPER7PA1PA2PA3

PA4PA5PA6PA7

PA8PA9PA10

PA11PA12PA13PA14

PA15PA16EE1

CorrelationDEPER1 DEPER2 DEPER3 DEPER4 DEPER5 DEPER6 DEPER7 PA1 PA2 PA3

Distances

Derived Stimulus Configuration

Euclidean distance model

Dimension 1

2.01.51.0.50.0-.5-1.0-1.5

1.5

1.0

.5

0.0

-.5

-1.0

-1.5

-2.0

deper7

deper6

deper5

deper4deper3

deper2deper1

pa16pa15

pa14pa13

pa12pa11

pa10pa9pa8

pa7

pa6pa5

pa4

pa1

SPSS

Critères d’extraction• Kaiser-Meyer-Olkin - le montant de la

variance commune entre les variables• Test de sphéricité de Bartlett- est-ce que la

matrice de correlation est issue d’un matrice identité

• Critère de Kaiser (Kaiser, 1960)• Scree test (Cattell, 1966)• Variance expliquée• Interprétabilité

Extraction - Rotation

Kaiser-Meyer-Olkin

• La mesure de Kaiser-Meyer-Olkin est un indice d'adéquation de la solution factorielle. Un KMO élevé indique qu'il existe une solution factorielle statistiquement acceptable qui représente les relations entre les variables. Une valeur de KMO – de moins de .5 est inacceptable– .5 est mauvaise– .6 est médiocre– .7 est moyenne– .8 est bonne– .9 est suberbe

KMO and Bartlett's Test

.885

2157.095

120.000

Kaiser-Meyer-Olkin Measure of Sampling Adequacy.

Approx. Chi-Square

dfSig.

Bartlett's Test ofSphericity

Scree test

Scree Plot

Component Number

16151413121110987654321

7

6

5

4

3

2

1

0

Critère de Kaiser

Total Variance Explained

5.731 35.817 35.817 5.731 35.817 35.817 4.974 31.088 31.0882.192 13.699 49.516 2.192 13.699 49.516 2.949 18.429 49.516

1.188 7.426 56.9421.006 6.285 63.227

.833 5.208 68.435

.803 5.016 73.451

.641 4.008 77.459

.542 3.390 80.848

.502 3.138 83.987

.483 3.017 87.004

.420 2.628 89.631

.397 2.479 92.110

.388 2.422 94.532

.339 2.117 96.649

.304 1.903 98.552

.232 1.448 100.000

Component12

345

6789

10111213

141516

Total % of Variance Cumulative % Total % of Variance Cumulative % Total % of Variance Cumulative %Initial Eigenvalues Extraction Sums of Squared Loadings Rotation Sums of Squared Loadings

Extraction Method: Principal Component Analysis.

Matrice factorielle sans rotation

Factor Matrix a

.775 -.176

.674 -.304

.677 -.240

.592 2.649E-02

.860 -.210

.734 -4.724E-02

.552 -.169

.571 4.123E-02

.730 -.284

.387 .366

.454 .263

.471 .141

.343 .653

.322 .593

.304 .509

.365 .228

EE1EE2

EE3EE4EE5

EE6EE7EE8EE9

DEPER1DEPER2DEPER3DEPER4

DEPER5DEPER6DEPER7

1 2Factor

Extraction Method: Principal Axis Factoring.

2 factors extracted. 7 iterations required.a.

Résultat: matrice factorielle avec rotation

Rotated Component Matrix a

.857 .181

.805 2.258E-02

.787 .178

.769 5.922E-03

.753 3.498E-02

.703 .284

.623 7.111E-02

.563 .297

.540 .310

-1.966E-03 .7791.305E-02 .7503.434E-02 .698

.136 .595

.297 .511

.255 .434

.390 .391

EE5EE9

EE1EE2EE3

EE6EE7EE4EE8

DEPER4DEPER5DEPER6DEPER1

DEPER2DEPER7DEPER3

1 2Component

Extraction Method: Principal Component Analysis. Rotation Method: Varimax with Kaiser Normalization.

Rotation converged in 3 iterations.a.

Critères de rétention d’une variable

• Communauté représente la variance de chaque variable qui peut être expliquée par l'ensemble des autres variables. La communauté doit être > .20 pour retenir une variable dans l'analyse.

• Crossloading: Quand une variable est corrélée substantiellement (saturation factorielle plus grande que 0.30) à plus d'un facteur.

Communauté

Communalities

1.000 .3721.000 .3491.000 .305

1.000 .6061.000 .5631.000 .489

1.000 .2541.000 .6521.000 .5911.000 .568

1.000 .4051.000 .7671.000 .5751.000 .393

1.000 .3871.000 .648

DEPER1DEPER2DEPER3

DEPER4DEPER5DEPER6

DEPER7EE1EE2EE3

EE4EE5EE6EE7

EE8EE9

Initial Extraction

Extraction Method: Principal Component Analysis.

Comment construire des variables

Analyze -> Scale -> Reliability Analysis

Analyse factorielle confirmatoire

Modèle

Goodness of fit

Estimated Non-centrality Parameter (NCP) = 355.2790 Percent Confidence Interval for NCP = (292.69 ; 425.39)

Minimum Fit Function Value = 1.53Population Discrepancy Function Value (F0) = 1.1790 Percent Confidence Interval for F0 = (0.96 ; 1.40)Root Mean Square Error of Approximation (RMSEA) = 0.1190 Percent Confidence Interval for RMSEA = (0.097 ; 0.12)P-Value for Test of Close Fit (RMSEA < 0.05) = 0.00

Expected Cross-Validation Index (ECVI) = 1.7390 Percent Confidence Interval for ECVI = (1.52 ; 1.96)ECVI for Saturated Model = 0.89ECVI for Independence Model = 17.58

Chi-Square for Independence Model with 120 Degrees of Freedom = 5312.46Independence AIC = 5344.46Model AIC = 525.27Saturated AIC = 272.00Independence CAIC = 5419.98Model CAIC = 685.76Saturated CAIC = 913.96

Normed Fit Index (NFI) = 0.91Non-Normed Fit Index (NNFI) = 0.92Parsimony Normed Fit Index (PNFI) = 0.78Comparative Fit Index (CFI) = 0.93Incremental Fit Index (IFI) = 0.93Relative Fit Index (RFI) = 0.90

Critical N (CN) = 91.08

Root Mean Square Residual (RMR) = 0.15Standardized RMR = 0.15Goodness of Fit Index (GFI) = 0.84Adjusted Goodness of Fit Index (AGFI) = 0.79Parsimony Goodness of Fit Index (PGFI) = 0.63