ANALYSE FREQUENTIELLE ET FILTRAGE Objectifs / …©liser et contrôler un...T(jw) qu'on appelle transmittance harmonique (ou transmittance complexe). Le nombre complexe T(jw) s'obtient

DC2-E5-Analyse fréquentielle et filtrage

CPGE ATS Lycée Eiffel Dijon Aublin / Dufour Page 1 sur 16

SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR

DC2 : Modéliser et contrôler un système multiphysiq ue

ANALYSE FREQUENTIELLE ET FILTRAGE

Objectifs / Compétences

• Tracer correctement des diagrammes de Bode

• Déterminer l'ordre d'un filtre et comprendre son gabarit • Comprendre la décomposition d'un signal périodique

Savoirs Je connais:

• Proposer une méthode d’identification, dans le domaine temporel ou fréquentiel, pour renseigner le modèle de comportement d’un système limité à l’ordre 2

• Tracer les évolutions des grandeurs physiques dans les domaines fréquentiel et temporel Savoir Faire Je sais faire:

• Analyser le besoin et proposer un gabarit de filtre • Identifier les paramètres d'un modèle de comportement à partir des diagrammes de Bode

Sommaire

I. INTRODUCTION : ............................................................................................... 2

II. FONCTION DE TRANSFERT OU TRANSMITTANCE COMPLEXE : . ............... 2

III. REPRESENTATION DE LA FONCTION DE TRANSFERT – DIAGRA MMES DE BODE ....................................................................................................................... 3

IV. TRACÉS DES FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES DU 1 ER ORDRE :....................... 4

V. TRACÉS DES FONCTIONS DU 2ND ORDRE , RESONANCE ............................ 6

VI. FILTRAGE ET GABARIT ............................... ..................................................... 9

VII. EQUIVALENCE TEMPS-FREQUENCE ....................... ..................................... 10

VIII. FILTRAGE NUMÉRIQUE ................................ ............................................ 11

IX. SIGNAUX PÉRIODIQUES NON-SINUSOIDAUX ............... ............................... 12

IX.1. EXEMPLES DE SIGNAUX PÉRIODIQUES NON-SINUSOÏDAUX .................................................................................... 12 IX.2. DECOMPOSITION EN SERIE DE FOURIER ................................................................................................. 13

IX.2.1. Définition : ................................................................................................................................................... 13 IX.2.2. Spectre de Fourier :..................................................................................................................................... 14 IX.2.3. Valeur efficace d'un signal exprimé par sa série de Fourier : ..................................................................... 15 IX.2.4. Propriétés des séries de Fourier : ............................................................................................................... 16 IX.2.5. Taux de distorsion harmonique : ................................................................................................................. 16



I. Introduction : L'analyse de systèmes linéaires comporte deux grandes classes :

• L'analyse temporelle où l'on observe le comportement du système en fonction du temps. Cette analyse fait appel aux équations différentielles .

• L'analyse fréquentielle où l’on observe le comportement du système en fonction de la fréquence de la grandeur de commande ou d’entrée. Cette analyse fait appel aux complexes.

Cette analyse fréquentielle peut porter sur des applications électriques (filtres) ou sur l’étude du comportement de systèmes très divers, par exemple :

• Médical: mesure de l’acuité auditive d’un patient (domaine 50 à 15000 Hz)

• Maintenance préventive : analyse vibratoire de systèmes tournants (0,1 Hz à quelques kHz)

• Système asservi : ajustement des paramètres d’un correcteur pour éviter oscillations ou dépassement (selon l’application)

• Acoustique : analyse ou signature d’un bruit, d’une voix, pour l’identification…

La réponse permanente d'un système linéaire ( appel ée aussi réponse harmonique ) de fonction de transfert T(p) à une commande sinusoïdale est une s inusoïde de même pulsation que la sinusoïde de commande, modifiée en amplitude et déphasée.

L'étude de la réponse harmonique d'un système consi ste simplement à étudier le nombre complexe T(jw) qu'on appelle transmittance harmonique (ou tr ansmittance complexe). Le nombre complexe T(jw) s'obtient simplement en re mplaçant p par jw dans l'expression de la fonction de transfert utilisant le formalisme de La place : T(p).

II. Fonction de transfert ou transmittance complexe :

Fonction de transfert ou transmittance complexe du système: )(

)()(

ωωωjE

jSjT =

L’analyse fréquentielle permet de connaître la répo nse du système à une excitation sinusoïdale, dont la fréquence balaye le domaine d’emploi du sys tème. On s'intéresse donc au comportement fréquentiel du système, en déterminant l'évolution du module et de l'argument de la fonction de transfert lorsque ω varie de 0 à l'infini. Les grandeurs d'entrée et de sortie peuvent être de différentes natures :

• S'il s'agit de deux tensions, la transmittance T est un gain en tension.

• Pour l'étude d'un système bouclé de type asservissement de vitesse, E est une tension, S une vitesse de rotation par exemple.

Système linéaire

T(jw)E(jw) S(jw)



III. REPRESENTATION DE LA FONCTION DE TRANSFERT – DIAGRAMMES DE BODE

La fonction de transfert peut être représentée par différents types de graphiques appelés lieux de transfert. Nous nous limiterons dans un premier temps aux diagrammes de Bode, composées de deux courbes :

- la courbe de gain qui indique le rapport de la grandeur de sortie par rapport à la grandeur d’entrée en dB

- la courbe de phase qui indique le déphasage de la grandeur de sortie vis à vis de l’entrée

Ces courbes peuvent être réalisés expérimentalement ou à partir d'un calcul théorique. L’échelle horizontale est le log

10 de la pulsation.

La position w = 0 est donc non représentée, et le domaine possible de représentation est très étendu. Un rapport d'une décade correspond à un rapport de 10 en pulsation. Un rapport d'une octave correspond à un rapport de 2 en pulsation. Pour les systèmes électriques, il est usuel de représenter w variable dans un large domaine de 3 à 4 décades.

L'axe des ordonnées est gradué en Décibel pour la courbe de gain et en degrés ou radians pour la phase. Un gain unité donc égal à 1 correspond alors à 0dB. Les angles multiples de 45° sont notés pour la phase.

Le Module ou Gain G(w) = ¦ T (jw) ¦ est le plus souvent exprimé en Décibel tel q ue

)(log.20 ωjTGdB =

L'argument ou phase est exprimé en degrés ou radia ns, il correspond à: ))(( ωϕ jTArg=

G(dB)

ϕ

0 ω(rd/s)

10001001010.1

ω(rd/s)

10001001010.1(°)

2 décades

0.2

1 octave

20

-45

-90Fig.3



Cette représentation permet de remplacer le gain du produit de plusieurs transmittances (cas de systèmes cascadés fig. 1), par une somme des gains de chaque transmittance :

soit 21.TTT = et )(log.20 11 ωjTG dB = )(log.20 22 ωjTG dB =

alors dBdBdB GGTTTTG 212121 .log.20.log.20.log.20 +=+==

Pour l'argument il en est de même, puisque : )()().()( 2121 TArgTArgTTArgTArg +==

Les avantages de cette représentation sont :

• Continuité des valeurs du gain et du déphasage en fonction de la pulsation. • Si on fait le produit de deux nombres complexes, les deux courbes de gain s'ajoutent ainsi que les

deux courbes de phase.

• Les deux asymptotes de la courbe de gain (en basses pulsations et en hautes pulsations) sont dans tous les cas des demi-droites.

Comment tracer des asymptotes ? Il suffit de chercher les limites de G et de ϕ quand ω tend vers 0 et ω tend vers ∞.

IV. Tracés des fonctions élémentaires du 1 er ordre : On entend par fonctions élémentaires, les formes de fonctions de transfert les plus habituelles, notées sous formes normalisées ou canoniques, elles sont de la forme :

1c

K

jωω

+ ou

1

c

jωω

ou c

jωω

ou (1 )c

K jωω

+

Un système du premier ordre appartient toujours à l'une de ces quatre formes.

On remarque que le rapport c

ωω

est sans dimensions, il s'agit d'une unité réduite ( per unit en anglais).

Ceci permet d'avoir toujours la même représentation quelle que soit ωc, on parle de représentation normalisée.

• K est le gain statique du système pour ω = 0.

• ωc est la pulsation de coupure également appelée pulsation de cassure. La fréquence fc est la fréquence de coupure.

Pour les fonctions de transfert d'ordre supérieur, il est souvent possible d'établir une écriture sous forme de produit de ces fonctions élémentaires du premier ordre. Le tracé asymptotique d'une fonction de transfert du premier ordre se fait pour les trois cas: w<<wc w=wc w>>wc Si on veut un tracé plus précis , on prend plus de points, notamment autour de ωc.

E1 S1 E2 S2

T1 T2

fig.1

T

E1 S2



Exemple : Transmittance :

Gain G(ω) = A(ω)

Phase



V. Tracés des fonctions du 2 ND ordre , RESONANCE Les systèmes dits "du second ordre", doivent être traités en introduisant deux caractéristiques extrêmement importantes, ω0 et m.

• ω0 en rd/s est la pulsation propre ( correspond à la pulsation de résonance du système en l’absence de pertes. )

• m ( ou z ou s ) coefficient sans dimension est le coefficient d'amortissement ( représentatif des pertes dans le circuit, m = 0 s’il n’y a pas d’élément de perte, par exemple, résistance R = 0 dans un circuit électrique ou frottement f = 0 dans un système mécanique. )

Prenons le cas d’un système du second ordre amorti de pulsation ω de type passe bas.

On cherche la fonction de transfert du système définie par :S

HE

= , où E et S sont les grandeurs

complexes associées, E en entrée et S en sortie.

D’où : 0

2

0 0

1 2 ( )

HH

jj m

ω ωω ω

=+ +

.

On a alors : 0

0 0

( )²

(1 )² (2 )²²

HG

m

ωω ωω ω

=− +

et 0

0

2 . .( ) arctan( )

² ²m ω ωφ ω

ω ω= −

−.

La possibilité d’obtention d’une résonance ( c'est-à-dire une surtension ), parfois très aiguë, existe si le

coefficient d’amortissement m est faible (1

0,72

m < = ).

|H|max est alors obtenu pour la pulsation de résonance ωr vérifiant l’équation : 2

0 21 mr −= ωω et avec : 0max 22 1

HH

m m=

−.

On remarquera que pour de faibles valeurs de m, les valeurs de ω0 et ωr se confondent. Hmax est aussi appelé Q facteur de surtension. La surtension en dB est alors par rapport au gain statique

2

max

12

1log20log20)(

mmH

HdBG

o −==

Une valeur usuelle de réglage d’un asservissement est Q dB=2,3dB.



Allure générale du diagramme d’amplitude :

Allure de la phase si m<1 ( deux racines complexes conjuguées )

m = 0,7

valeur limite

ω0

m → 0

Dépassement maxi pour

ω = ωr

m < 0,7

0,7 < m <1

ω0



Dans le cas où m > 1, cas il est préférable d’étudier le système comme le produit de deux systèmes du 1er ordre :

Diagramme de gain ωn = ω0 pulsation naturelle

Diagramme de phase



VI. FILTRAGE ET GABARIT Un filtre est un dispositif dont la fonction de transfert complexe permet d’isoler certaines composantes d’un signal sinusoïdal en éliminant ses composantes de fréquence indésirable. On définit les gabarits d’un filtre en le représentant dans les diagrammes de Bode. Les figures ci-dessous représentent différents comportements types du gain, avec leur désignations respectives.

passe bande

bande passante

passe bas

bande passante

f(Hz)

passe haut

bande passante

f(Hz)

bande rejetée

f(Hz)

Réjecteur ou coupe bande

Les Filtres réels sont définis par un gabarit spécifiant :

Une zone dans laquelle doit passer sa courbe fréquentielle

La bande passante et la bande atténuée (ou rejetée)

Les ondulations maximales admissibles dans la bande passante a et l'atténuation minimale dans

la bande rejetée b

En devant suivre un gabarit, on peut déterminer l'ordre du filtre en fonction de la pente nécessaire.



VII. EQUIVALENCE TEMPS-FREQUENCE Tout système linéaire donne une réponse fréquentielle ou temporelle correspondant à la somme de réponses élémentaires du premier et second ordre. L’essentiel de la réponse dépend du mode dominant , c'est-à-dire le plus lent, qui est du premier ou second ordre, si bien qu’un système, même d’ordre élevé, peut être apparenté aux caractéristiques d’un système d’ordre 1 ou 2. On s’appuie ici sur les systèmes de type passe bas. PREMIER ORDRE : la caractéristique essentielle, observable expérimentalement, est la constante de temps τ Le temps de réponse à 5% est obtenue ou bout de 3 τ celui à 1% au bout de 5 τ .

On utilise la pulsation de coupure τ

ω 1=c pour la représentation fréquentielle.

SECOND ordre : Pour ce type de système deux caractéristiques primordiales, observables expérimentalement, interviennent :

• la pseudo-pulsation ωpa ne pas confondre avec ω0 = pulsation propre

• le coefficient d’amortissement m ou z .



On peut donc à partir de la réponse impulsionnelle et de la réponse fréquentielle définir plusieurs caractéristiques pour les systèmes du second ordre :

Pulsation de cassure Pseudo-pulsation Pulsation de résonance

Réponse impulsionnelle

m>1 2 pulsations de cassure

Pas d'oscillation Pas de résonance Apériodique

m=1 1 seule pulsation de

cassure 0cω ω= idem Idem Critique

2 1m< < 0cω ω= 0 1 ²pa mω ω= − idem Oscillatoire amortie

2m ≤ 0cω ω= 0 1 ²pa mω ω= − 0 1 2 ²r mω ω= − Oscillatoire amortie avec résonance

VIII. Filtrage numérique Ce type de filtrage ne fait pas appel à ce type d'analyse fréquentielle mais à des algorithmes, par exemple dans le traitement d'images. exemple : Application d'un filtre pour la détection de contours



IX. Signaux périodiques non-sinusoidaux

Fourier ( 1768-1830 ) faisait des recherches sur la propagation de la chaleur. Il introduisit la transformée de Fourier pour résoudre certains problèmes de propagation, son idée est de décomposer la fonction étudiée en une somme de sinusoïdes. Les séries de Fourier permettent de passer du domaine temporel au domaine fréquentiel ( filtrage, analyse de son , de voix ou d'image… ) et on utilise principalement les séries de Fourier dans le cas des signaux périodiques.

IX.1. Exemples de signaux périodiques non-sinusoïda ux Les systèmes électriques et en particulier les convertisseurs statiques d'électronique de puissance sont à l'origine de signaux périodiques non-sinusoïdaux. On parle alors de pollution harmonique.

Par exemple, le courant circulant dans une phase à l'entrée d'un variateur de vitesse est bien périodique mais n'est plus sinusoïdal ( dû aux commutations des interrupteurs statiques du variateur et aux formes de tensions en créneaux obtenues ).

Les effets de ces harmoniques peuvent être très gênants : le courant efficace augmente donc les pertes augmentent et le rendement diminue. Les distorsions en courant et tension peuvent créer des perturbations dans le fonctionnement des appareils de protection, échauffer davantage les matériels électriques donc les faire vieillir prématurément, créer un effet de flicker ( éclairage, écrans )… Il faut donc souvent éliminer ces harmoniques pour ne garder du signal que la partie la plus intéressante. Pour cela il faut donc un outil permettant de décomposer le signal non-sinusoïdal en une somme de signaux sinusoïdaux de fréquences différentes, c'est la décomposition en série de Fourier. On pourra alors, par exemple, filtrer le signal pour obtenir un fonctionnement optimal. Ce type de filtre est appelé filtre anti-harmonique dans les réseaux de distribution. La norme impose de limiter la génération d'harmoniques à un seul prédéfini. D'autres types de signaux non-sinusoïdaux classiques existent bien sûr : tension en créneaux, signaux en dent de scie ( rampe )…



IX.2. DECOMPOSITION EN SERIE DE FOURIER

IX.2.1. Définition :

Soit un signal x(t) périodique quelconque de période T. f = 1/T est appelée fréquence fondamentale du signal.

L'écriture est alors : ∑∞

=+=

0)cos(.)(

n nn tnCtx ϕω x(t) s'écrit donc : C0(t)+C1(t)+….+Cn(t)

cette décomposition étant effectuée, on peut par linéarité étudier le système pour chaque Ci , le résultat final y(t) étant la somme H.C0 + H.C1 +… par application du théorème de superposition. Cette démarche peut être longue mais dans la pratique, on peut souvent se contenter des premiers termes de la décomposition. Dans le cas contraire, on utilise des logiciels spécialisés.

Une seconde forme d'écriture est plus utilisée : ∑∞ ++=10 ))sin(.)cos(.()( tnBtnAAtx nn ωω

Le passage d'une écriture à l'autre se fait par :

²² nnn BAC += et )arctan(n

nn A

B−=ϕ

Le terme A0 correspond à la valeur moyenne : ∫=T

dttxT

A ).(1

0

Le terme général An par : ∫=Tn dttntx

TA ).cos().(

2 ω

Le terme général Bn par : ∫=Tn dttntx

TB ).sin().(

2 ω

Simplifications usuelles du développement : Si la fonction est paire c'est-à-dire x(t)=x(-t) alors elle ne peut être que la somme de fonctions paires ( cosinus ) donc les termes Bn = 0. Si la fonction est impaire c'est-à-dire x(t)=-x(-t) alors elle ne peut être que la somme de fonctions impaires ( sinus ) donc les termes An = 0. Si le signal est symétrique par rapport à l'axe des temps, x(t+T/2)=-x(t) alors A0=0 et le développement ne contient que des termes de rang impair. Remarque : il est souvent possible de rendre une fonction paire ou impaire par un changement de bornes sur l'intégration.

Système linéaire

H

y(t)=H.x(t) x(t) C0(t)

C1(t) C2(t)



IX.2.2. Spectre de Fourier :

Le signal x(t) est approché par une somme de termes trigonométriques de fréquences On peut alors représenter x(t) par un spectre de fréquence : chaque terme est représenté par son amplitude et par sa phase sur deux graphes distincts. En général, on recherche plutôt l'énergie ou la puissance transmise par un signal, on s'intéresse donc plus au spectre d'amplitude. Néanmoins,la reconstitution temporelle de x(t) nécessite de connaître également les phases.

Il y a équivalence entre x(t) signal périodique et ce spectre de fréquence défini pour les fréquences n/T.



exemple d'un signal carré :

On obtient pour ce signal le spectre ci-contre. Si on ne tient compte que des premiers harmoniques , on obtient :

Avec les harmoniques jusqu'au rang 9 :

Appareils de mesure : Pour observer x(t) en temporel, on utilise un oscilloscope. Pour observer x(t) en spectre, on utilise un analyseur de spectre. La FFT ( fast fourier transformation ) est un algorithme permettant de tracer rapidement le spectre avec une discrétisation du signal de départ qui est numérisé. On doit cependant bien prendre un nombre entier de périodes pour éviter des erreurs. Plusieurs fenêtres de reconstruction sont possibles ( Hann, Hamming, Blackman….)

IX.2.3. Valeur efficace d'un signal exprimé par sa série de Fourier :

En appliquant la formule : ∫=T

dttxT

Xeff ).²(1

au développement ∑∞

=+=

0)cos(.)(

n nn tnCtx ϕω

On obtient : ∑∑∞

=

∞

=

=+=01

0 ²²2

1

nn

nn effCCCXeff



IX.2.4. Propriétés des séries de Fourier :

La SDF de la somme de deux fonctions est la somme des SDF des deux fonctions. La SDF du produit de deux fonctions est le produit des SDF des deux fonctions. La SDF de la dérivée d'une fonction sans discontinuité est la dérivée de la SDF de la fonction. La SDF de la primitive d'une fonction bornée est la primitive de la SDF de la fonction. Ex: on peut obtenir la SDF d'un redressement bi-alternance par le produit de la SDF du signal sinusoïdal par la SDF d'un créneau +/-1.

IX.2.5. Taux de distorsion harmonique :

On appelle taux de distorsion harmonique : effC

effC

THD nn

1

2

²∑∞

== .

C'est le rapport des valeurs efficaces des harmoniques supérieurs à 1 par rapport au fondamental. Si on s'intéresse au THD de courant , on parle de THDI et pour la tension de THDU. Exemples de courants harmoniques en traction ferroviaire :

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