BS 2 SE Réponse D’un Système Linéaire · La transmittance complexe du système est alors T(j ... Comme la fonction de transfert T(p) est, à la constante K près, entièrement

BS 2 SE Réponse D’un Système Linéaire

Lycée Louis Armand - MULHOUSE Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page 1 / 22

1. Quel est le problème à résoudre ? quelle est la réponse s(t) d’un système linéaire S pour une entrée e(t) donnée ?

Le domaine de validité du système linéaire est limité par la saturation de amplificateurs, les dispositifs à seuils (trigger, relais, bascules, …), les seuils de démarrage des moteurs, etc. … Des approximations peuvent rendre le systèmes linéaires. On étend le domaine de validité, on

utilise la régression linéaire pour “linéariser” le système.

Pour un système linéaire la relation liant l’entrée à la sortie est un équation différentielle linéaire :

s(t) = Ke(t)+K1d e(t)

dt +K2

d2e(t)

dt2 +K3

d3e(t)

dt3 + … +L1

d s(t) dt

+L2d2s(t)

dt2 +L3

d3s(t)

dt3 + … (1)

que les mathématiciens écrivent s(t) = Ke(t)+K1e’(t)+K2 e’’(t)+K3e’’’(t)+ … +L1s’(t)+L2s’’(t)+L3s’’’(t)+ …

que certains physiciens écrivent s = Ke+K1•e +K2

••e +K3

•••e + … +L1

•s + L2

••s +L3

•••s + …

La résolution d’une telle équation différentielle est très compliquée ; c’est la seule méthode si le signal à l’entrée est quelconque.

1.1. qu’appelle-t-on « systèmes linéaires » ?

Le tableau ci-dessous permet de citer les différents systèmes et de faire des analogies entres les grandeurs qui régissent ces systèmes.

système linéaire continu

T(p)

entrée e(t)

E(p)

sortie s(t)

S(p)

systèmes efforts (unités) flux (unités) paramètres (unités)

électriques u(V) i(A) R() L(H) C(F)

mécaniques F(N) v(m/s) f le frottement m(kg) k la raideur en translation (N/m)

mécaniques C(Nm) (rad/s) f l’inertie J K la constante

en rotation (kgm2) de torsion

thermiques (K) P(W) Rth(K/W) … C la capacité

calorifique (J/K)

hydrauliques le débit la pression(Pa) … … …

chimiques … … … … …

optiques … … … … …



1.3. un exemple de système en électricité

3 e = R i + s

d’où, comme i = Cdsdt

, l’équation différentielle

est 3 e = RC dsdt

+s

et sa transformée de Laplace est 3E(p) = RC pS(p) + S(p)

qui devient 3E(p) = (RC p + 1) S(p) puis 3E(p) = (2p + 1) S(p)

ce qui donne la fonction de transfert ou transmittance symbolique T(p) = S(p)

E(p) =

3

1 + 2p

et ce système peut être représenté par le schéma-bloc suivant

Quelle est la constante de temps de ce système électrique ?

Quel est l’amplification statique de ce système ?

Que vaut alors S(p) en fonction de E(p) et 3

1 + 2p ?

En régime statique continu p = j = 0 et e = 5 V, que vaut s ?

= RC = 2s s(t) e(t)

R i(t) amplificateur

3

système

S(p) E(p) 3

1 + 2p



1.4. un exemple d’un système en mécanique en translation :

les amortisseurs (ou suspensions) d’un BOEING 787 Dreamline

masse suspendue M = 100 t la raideur k = 5000 N/mm le coefficient de frottement visqueux f = 0,001 mNs/mm e(t) et s(t) sont les positions en mm

le théorème fondamental de la dynamique dit que la somme des forces est nulle :

M d2s(t)

dt2 + f

ds(t)dt

+ k s(t) = k e(t) + f de(t)

dt

qui transformée de Laplace donne :

M p2S(p) + f p S(p) + k S(p) = k E(p) + f p E(p)

on met S(p) et E(p) en facteur : S(p) (M p2 + f p + k) = E(p) (k + f p)

d’où T(p) = S(p)E(p)

= k + f p

k + f p + M p2 =

1 + fk p

1 + fk p +

Mk

p2 =

1 + 0,2 p

1 + 0,2 p + 0,01 p2

T(p) = S(p)

E(p) =

1 + 0,2 p

1 + 0,2 p + 0,01 p2

s(t) masse M

e(t)

frottements f raideur k

sol avec aspérités



1.5. un exemple d’un système en mécanique en rotation : le moteur électrique

U est la tension d’alimentation, I est le courant de l’induit, E est la fém, K la constante du moteur, R la résistance d’induit, L l’inductance

Transmittance de Laplace d’un moteur

La transmittance symbolique sera le rapport de la

transformée de Laplace (p) de la grandeur de sortie (t), fréquence de rotation, sur la transformée de Laplace U(p) de la grandeur d’entrée u(t) qui , de façon générale est la tension

d’alimentation : T(p) = sortie

entrée =

(p)

U(p) .

Dans le domaine temporel, on rappelle les 4 équations qui régissent le moteur à flux constant.

(1) l'équation fondamentale de la dynamique de la partie tournante : J ddt

+ f = Cmot

(2) le couple moteur : Cmot = K I

(3) loi d'ohm du moteur : U = E + R I + L dIdt

(4) la force électromotrice ou fém : E = K

en éliminant Cmot et E

J

ddt

+ f = K I

U = K + R I + LdIdt

et, pour simplifier, en négligeant l’inductance propre L de l’induit du moteur : L = 0, il vient

J

ddt

+ f = K I

U = K + R I

puis on passe au calcul opérationnel : J p (p) + f (p) = K I(p)

U(p) = K (p) + R I(p)

I

U = E + RI + LdIdt

R

E = K

L vitesse de rotation

couple moteur Cmot

moteur

T(p)

entrée u(t)

U(p)

sortie

(t)

(p)



puis

J p (p) + f (p) = K I(p)

I(p) = U(p) - K (p)

R

et en éliminant I(p) il ne reste qu’une seule relation liant (p) à U(p) :

J p (p) + f (p) = K ( U(p) - K (p)

R )

[ J p (p) + f (p)] . R = K U(p) - K2 (p)

R J p (p) + R f (p) + K2 (p) = K U(p)

puis mettons (p) en facteur

[ (R J p + R f ) + K2 ] (p) = K U(p) puis (p)

U(p) =

K

(K2 + R f ) + RJ p

et finalement

la transmittance du moteur s’écrit T(p) = (p)

U(p) = =

K

K2 + R f

1 +R J

K2 + R f p

Le moteur est un système du premier ordre. Donc la réponse indicielle est exponentielle.

Le numérateur donne l’amplification en régime permanent K

K2 + R f

et le dénominateur nous permet de calculer la constante de temps = R J

K2 + R f .

Exemple numérique :

hypothèses :

la constante du moteur vaut K = U

= 0,5 V / rad / s (ou N m / A),

la résistance de l’induit R = 10, le coefficient de frottement visqueux f = 0,02 N m / rad / s

et le moment d’inertie J = 0,01 kg m2.

solutions :

L’amplification statique vaut alors K

K2 + R f = 1,11 rad / s / V

et la constante de temps = R J

K2 + R f = 0,22 s

et la fonction de transfert s’écrit T(p) = (p)

U(p) =

1,11

1 + 0,22 p .



1.2. Cas d’un signal purement sinusoïdal

Si la grandeur d’entrée est e(t) = E sin t alors on obtient en sortie s(t) = S sin ( t + ). On désire donc déterminer

- les valeurs de l’amplitude S (ou la valeur efficace S / 2 )

et - le déphasage = s - e.

La transformée cissoïdale donne les images complexes E(j) et S(j) de e(t) et de s(t) :

Écrivons que E(j) = E e jt = E (cos t+jsin t)

et S(j) = E e(jt+) = E(cos(t+) + jsin(t+)).

L’opération “dériver” revient à multiplier par j :

en effet d E(j)

dt =

d E e jt

dt = j E e jt = j E(j) ;

alors la dérivée seconde revient à multiplier par j x j = - 2,

la dérivée tierce, par -j3, … .

L’équation différentielle linéaire (1) écrite plus haut devient :

S(j) = KE(j)+jK1E(j)-2K2 E(j)-j3K3 E(j)+ … +jL1S(j)-2L2S(j)-j3L3 S(j)+ …

Mettons E(j) et S(j) en facteur :

S(j) [1-jL1+2L2+j3L3- …] = E(j) [K+jK1-2K2-j3K3+ …].

La transmittance complexe du système est alors

T(j) = S(j)

E(j) =

K+jK1-2K2-j3K3+ …

1-jL1+2L2+j3L3- …

Le module | T(j) | permet de calculer S = | S(j) | = E . | T(j)|

et l’argument arg ( T(j) ) de la transmittance nous donne s = e + arg ( T(j) ).



1.2. Réponse d’un système à un signal d’entrée causal quelconque

Le signal est causal si il est au repos à l’instant t = 0-. Cette condition initiale permet l’utilisation de la transformée de Laplace pour déterminer la réponse du système.

On rappelle que la transformée de Laplace de f(t) est F(p) =

+

f(t) e-p t dt

et que l’opération “dériver” revient à multiplier par la variable symbolique p. L’équation différentielle linéaire (1) écrite plus haut devient :

S(p) = KE(p)+pK1E(p)+p2K2 E(p)+p3K3E(p)+ … +pL1S(p)+p2L2S(p)+p3L3S(p)+ …

Mettons E(p) et S(p) en facteur :

S(p) [1-pL1-p2L2-p3L3- …] = E(p) [K+pK1+p2K2+p3K3+ …].

La transmittance symbolique du système est alors T(p) = S(p)

E(p) =

K+pK1+p2K2+p3K3+ …

1-pL1-p2L2-p3L3- …

T(p) est un rapport de deux polynômes en p.

On aura remarqué qu’il aurait suffi de remplacer j par p !

La méthode pour trouver la réponse s(t) que donne le système au signal e(t) comportera les

étapes suivantes :

- à partir de e(t), calculer E(p) à l’aide des tables de Laplace

- calculer S(p) = E(p) . T(p)

- trouver l’originale s(t) de S(p) par la méthode de décomposition en éléments simples.

1.3. Les pôles et les zéros d’un système

La transmittance de Laplace est le rapport de deux polynômes en p. Elle peut se factoriser et

se mettre sous la forme T(p) = S(p)E(p)

= K (p - z1) (p - z2) (p - z3)… (p - zn)

(p - p1) (p - p2) (p - p3)… (p - pm)

les zéros du système sont les racines zi du numérateur de T(p),

ils sont au nombre de n, sont réelles ou complexes conjuguées,

les pôles du système sont les racines pj du dénominateur de T(p),

sont au nombre de m, sont réelles ou complexes conjuguées.

Une représentation dans le plan complexe permet une meilleure compréhension des propriétés d’un système et est utilisée dans certaines méthodes de calculs (méthode d’Evans pour la recherche de l’originale). Comme la fonction de transfert T(p) est, à la constante K près, entièrement définie par les pôles et les zéros,

on représente dans le plan complexe les zéros par des ronds O

et les pôles par des croix X.

Par exemple T(p) = S(p)E(p)

= 2 p + 3

p2 + 5 p + 10

= 2 p + 1,5

( p + 2,5 - j 1,94)( p + 2,5 + j 1,94 )

il y a un seul zéro valant z1 = 1,5 et deux pôles complexes conjugués :

p1 = - 2,5 + j 1,94 et p2 = - 2,5 - j 1,94

Ré Im



1.4. La stabilité d’un système

Un système est stable si, après lui avoir appliqué une perturbation e(t) sur son entrée, la sortie s(t) retourne à sa valeur (position) de repos (initiale).

Un système est instable si, après lui avoir appliqué une perturbation e(t) sur son entrée, la sortie s(t) augmente indéfiniment.

La perturbation peut être une impulsion de Dirac E(p) = 1.

On dit qu’on cherche alors la réponse percussionnelle !

Comme S(p) = E(p).T(p) = T(p), on peut dire que T(p) suffit pour nous renseigner sur la stabilité du système. T(p) se décompose en éléments simples

de la forme 1

p - ai pour les pôles réels et

1p - mi ± j ni

pour les pôles complexes conjugués.

D’où la nouvelle expression générale de T(p) :

T(p) = K1

p - a1 +

K2p - a2

+ … + L1

p - m1 + j n1 +

L1p - m1 - j n1

+ …

= K1

p - a1 +

K2p - a2

+ … + L1

(p - m1)2 + n21

+ …, à l’aide des tables de Laplace de trouve

l’originale s(t) = L-1( T(p) ) = K1 e

a1t + K2 e a2t + …+ 2 L1 cos ( n1 t ) e

m1t + ….

Ce signal tend vers zéro si les coefficients ai et mi sont tous négatifs.

Cette remarque permet d’énoncer le critère suivant :

Critère de stabilité :

pour qu’un système soit stable il faut que tous ses pôles aient une partie réelle négative

Ci dessous, les réponses percussionnelles s(t) suivant la position des pôles X sur le diagramme

1

0

(t) impulsion de Dirac

(t) = 0 pour t 0 et t

(t) = 1

pour t [0, ]

avec qui tend vers 0

Si les pôles sont réels,

le régime est

libre

apériodique,

si les pôles sont

imaginaires le régime est

oscillatoire.

Si la partie réelle est négative,

le système est stable.

si elle est positive

le système est instable.



1.5. La notion de pôle dominant

La réponse percussionnelle

s(t) = K1ea1t + K2e

a2t + …+2L1cos(n1t)em1t

+2L2cos(n2t)em2t

+ …nous fait remarquer que

si toutes les parties réelles sont négatives, qu’au bout d’un certain temps, un seul terme subsiste, les autres termes s’éteignant un après les autres.

Le terme dominant est donc celui qui correspond à la décroissance la plus lente, donc à la partie réelle négative la plus faible en valeur absolue.

Dans la représentation ci-contre, on a l’exemple de

deux pôles dominants. Les pôles dominants sont ceux

qui sont le plus près de l’axe des imaginaires.

Ils correspondant à a+j et a-j. Donc la fonction de transfert de ce système s'écrit

1

p - a + j +

1

p - a - j =

2 ( p - a )

( p - a )2 + 2 .

Le pôle dominant fixe l’allure de la courbe s(t). Les autres pôles n’interviennent que dans la phase transitoire.

Systèmes d’ordre supérieur à 2

En général, sur un système d’ordre supérieur à 2, il existe un pôle dominant. C’est le pôle qui

se trouve le plus près de l’origine dans le plan complexe, celui correspondant donc à la plus

grande constante de temps. On rappelle que 1= -1p1

si p1 est ce pôle dominant.

Si on constate une grande constante de temps,

le système peut être assimilé à un premier ordre.

Si l’on observe un faible coefficient d’amortissement,

le régime dominant est un deuxième ordre.

Exemple :

T(p) = 132

(p + 1)(p + 6)(p + 22) =

1

(p + 1)(p 6

+ 1)(p 22

+ 1) =

132 (p + 1)(p + 6)(p + 22)

A

(p + 1)

car le pôle dominant est p = -1.

Pour calculer A on utilise la propriété que les valeurs finales des réponses indicielles

doivent être les mêmes.

D’après le théorème de la valeur finale, lim

t+ s(t) =

lim

p0 p.S(p) =

lim

p0 p.E(p)T(p).

Donc 132

(p + 1)(p + 6)(p + 22)

A(p + 1)

si lim

p0 p.

1p

. 132

(p + 1)(p + 6)(p + 22) =

lim

p0 p.

1p

.A

(p + 1) .

Il reste 132

(0 + 1)(0 + 6)(0 + 22) =

A(0 + 1)

132

1 x 6 x 22 =

A1

A = 1

T(p) 1

(p + 1) en régime permanent

Pour la réponse indicielle on trouve s(t) = 1 - 1,257 e-t + 0,275 e-6t - 0,017 e-22t et s’(t) = 1 - e-t. On peut tracer ces courbes pour vérifier qu’elles se rejoignent rapidement.

Ré

a

pôles pôles négligés dominants

Im



2. Les systèmes passe-bas

2.1. intérêt de l’étude des systèmes passe-bas :

La plupart des systèmes rencontrés ont une fréquence de coupure haute - due aux limites des composants (transistors, amplificateurs opérationnels, … ) - due à l’inertie des systèmes mécaniques, électromécaniques, pneumatiques, thermiques, ….

T(p) tend donc vers 0 lorsque la fréquence tend vers l’infini,

donc lorsque p = j tend vers l’infini. Ce qui se traduit, puisque la transmittance est le rapport de deux polynômes en p par :

le degré du dénominateur est plus grand que le degré du numérateur

par exemple, les systèmes seront définis par : T(p) = 5

(p+3)(p+12) ou

120(p+34)

p2+7p+22)



2.2. Les systèmes à constante de temps

L’équation différentielle d’un système physique du premier ordre est d s(t)

dt + s(t) = Ke(t),

d’où, à conditions initiales nulles, la forme canonique :

T(p) = K

1 + p

où est la constante de temps du système

K est l’amplification statique ou gain statique

En régime harmonique nous avions T ( j ) = K

1 + j

o

où o était la pulsation de coupure du système.

Pour un filtre RC, o = 1

RC =

1

et on retrouve la constante de temps bien connue =

1

o = RC.

Autre systèmes du premier ordre :

le moteur à courant continu (p)U(p)

= K

1 + p , le thermomètre

H(p)

(p) =

K

1 + p , …

Conclusions : la constante de temps nous renseigne sur la rapidité d’un système.

un système du premier ordre est toujours stable

C Vs(p) Ve(p)

R



Réponse indicielle d’un premier ordre

La constante de temps se mesure

-soit par la méthode de la tangente à l’origine -soit par la méthode des 63,2 % Le temps de réponse à 5 % :

tr5% : le temps que met un système du premier ordre pour

passer de l’état initial (u = 0) à 95 % de l’état final : 95% E.

tr5% = ln

Uf - 0

Uf - 0,95Uf = ln 20.

retenons que tr5% = 3 .

On retient que le temps de réponse à 5% d'un tel système est de tr5% = 3

Réponse en fréquence d’un premier ordre

E 0,95.E

tr5%

t(s)

u(V)

E

t(s)

s valeur finale

E

t(s)

s valeur finale

0,632.E



2.3. l’intégrateur

L’équation différentielle d’un système physique intégrateur est .d s(t)

dt = Ke(t), d’où,

à conditions initiales nulles, la forme canonique T(p) = 1

p

où est la constante d’intégration.

exemple : le potentiomètre

la grandeur de sortie est l’angle de rotation (t) en radians

et la grandeur d’entrée est la vitesse angulaire (t) = ddt

(p) = p (p) où s’exprime en radians par seconde

T(p) = (p)

(p) =

1

p



2.4. Les systèmes du second ordre

2.4.1. propriétés L’équation différentielle d’un système physique du second ordre est

d2s(t)

dt2 +2mo

ds(t)dt

+o2s(t) = K e(t), d’où, à conditions initiales nulles, la forme canonique :

T(p) = K

1 + 2m

o p +

p2

2

o

où K est l’amplification statique ou gain statique

m est le coefficient d’amortissement

o est la pulsation propre du système

Rappelons qu’en régime harmonique T(j) = K

1 + 2 j m

o + ( j

o )2

(LP2)

T(p) s’écrit aussi, si on multiplie numérateur et dénominateur par 2o

,

K2

o

p2 + 2 m o p + 2

o

.

Réponse indicielle d’un système du 2° ordre

Si m > 1 , la réponse est apériodique

il y a deux racines réelles négatives : p1 = o(-m+ m2 - 1) et p2 = o(-m - m2 - 1),

alors T(p) = K

2o

p2 + 2 m o p + 2o

= K

2o

(p - p1)(p - p2) =

K

(1 + 1 p)( 1 + 2 p)

où les constantes de temps valent 1= -1p1

2= -1p2

..

si m = 1, c’est régime critique,

il y a une racine double : p = -mo, ce cas est proche du précédent.

e(t)

u(t)

E

0

m = 1 m = 1,5 m = 2 m = 4

2

o

m 1

t(s)



et si m < 1, la réponse est oscillatoire et amortie,

Tp est la pseudo-période :

Tp = 2

o 1-m2

tr5% est le temps de réponse à 5 % est

le temps tr5% au bout duquel la grandeur

u(t) est comprise entre 0,95 E et 1,05 E.

Constater que tr5% est minimal pour

m = 0,707 la réponse d’un système est

optimale à m = 0,707.

le dépassement d est défini par la relation

d1 = valeur du premier maximum - valeur finale

valeur finale =

Umax - E

E

par le calcul : d1 = exp(- m

1 - m2) le dépassement s’exprime souvent en %

Connaissant le premier dépassement d1, on calcule m avec la relation m = |ln d1|

2+(ln d1)2

E 105 % E

95 % E

Tp

e2(t)

e1(t)

Tp

m = 0,1 UMAX

u(t) et e(t)

d1. E

2E

tm tp tr5%



le temps de montée tm (ou tr, l’indice r venant de l’anglais “rise time”) est le temps que met

un système qui bascule de 0 à E, pour passer de 10 % de E à 90 % de E .

le temps de pic , qui est le temps mis pour atteindre le premier maximum,

Réponse fréquentielle d’un système du 2° ordre



2.6. éléments à retard

Beaucoup de systèmes ne répondent pas instantanément à la sollicitation de la grandeur de commande appliquée à l’entrée.

Pour les circuits intégrés, les réseaux informatiques, les amplificateurs opérationnels, les transistors, les lignes électriques, les vérins, les vannes, les circuits hydrauliques ou pneumatiques, etc. …, ce retard de transmission est un inconvénient.

Par contre, certains systèmes nécessitent un retard, comme les lignes à retard, les temporisations, les monostables, etc. …

Les tables de Laplace nous donnent la

transformée de s(t) = e(t - ) :

S(p) = e - p. E(p). Il vient que la fonction de transfert d’un système à retard est

T(p) = S(p)

E(p) = e - p.

retard de

durée T(p)

entrée e(t)

E(p)

sortie

s(t) = e(t - )

S(p) = e - p. E(p)

t(ms)

e(V) et s(V)

e(t) s(t) = e(t - )



3. Le moteur à courant continu en régime transitoire

Quand on parle de régime transitoire pour un moteur, il s’agit soit du démarrage, soit de

l’accélération, soit d’un freinage, soit de l’arrêt.

La machine à courant continu est réversible, elle fonctionne soit en moteur, alors elle

transforme l’énergie électrique en énergie mécanique, soit en génératrice, alors elle transforme l’énergie mécanique en énergie électrique.

3.1. Description de la machine à courant continu

le STATOR ou INDUCTEUR Le stator produit l’aimantation du circuit magnétique que forme la carcasse ou culasse C. Les pôles principaux P, nord N et sud S, sont obtenus par des aimants permanents pour les machines de faible puissance et par des enroulements B (bobines inductrices) traversés par un courant continu i appelé

courant d’excitation pour les machines plus puissantes. La résistance d’inducteur r est de l’ordre d’une centaine d’ohms.

Le flux sous un pôle est désigné par (“phi”, unité : le weber Wb) . Le flux magnétique est radial dans l’entrefer.

le ROTOR ou l’ INDUIT

Les enroulements de l’induit sont traversés par un courant amené par le

contact glissant de balais ou de charbons sur les

lames du collecteur. Le courant entrant est appelé I courant d’induit. La résistance des enroulements de

l’induit est de l’ordre de R = 1 à 2 . Ce courant I

traverse les N conducteurs ou brins actifs répartis dans les encoches.

La fréquence de rotation n du rotor s’exprime habituellement en tours par minute (tr/min)

alors que la vitesse angulaire s’exprime en radians par seconde :

n(tr/s) = n(tr/min)

60 et (rad/s) = 2 n(tr/s).

Par exemple la fréquence habituelle de 1500 tr/min correspond à 25 tr/s et 157 rad/s.

Stator

Rotor

Collecteur

N S

CP B

C

B

iexc

l.n.

les bobines inductrices et le champ magnétique



La force électromotrice induite ( f. é. m. ) Calcul de la f.é.m. E aux bornes de l’enroulement de l’induit

pour les machines à flux constant on écrit E = K

et s’il faut tenir compte de : E = k .

K est alors appelé la constante du moteur en V/tr/s si est exprime en tr/s.

Symboles, schéma électrique équivalent et loi d’Ohm pour un moteur

La puissance électrique utile Péu et puissance mécanique Pméca

Péu = n N I = E I Péu est en watts(W), E en volts (V), I en ampères (A)

Cette puissance électrique E I est transformée en puissance mécanique : Pméca = C .

Pméca en watts (W), C en newtons mètres (N.m).

Le couple électromagnétique ou couple moteur

Des relations précédente on aboutit à C = N

2 I

et pour les machines à flux constant, où E = K C = K I

Le bilan énergétique : la méthode des pertes séparées

Les pertes par effet Joule pj = ri2 + R I2 constituent la puissance perdue dans les

enroulements de la machine. R est mesuré à chaud en bloquant le rotor.

Les pertes collectives pc sont mesurées par un essai à vide dans les mêmes conditions

de vitesse et de courant d’excitation qu’en charge. Elles s’appelaient « pertes constantes » quand les machines fonctionnaient à vitesse constante.

Les pertes mécaniques pm sont dues aux frottements et au brassage de l’air.

Les pertes “fer” pf = ph + pF ont deux origines. Ce sont les pertes

- par hystérésis, données par la formule de Steinmetz ph = K1 . V . f . Bmaxn (n = 2 pour les

tôles). Le champ magnétique, variable à la fréquence f, aimante et désaimante le circuit magnétique.

- par courants de Foucault pF = K2 . V . f 2 . Bmax2 . Les courants induits dans le circuit

magnétique produisent un échauffement.

Le rendement de la machine = Put

Pabs =

Pabs - pertes

Pabs =

UI - pjs - pc

UI + ui s’exprime en %.

I

U = E + RI

E = K

M u r R

i

U u r

i I

R E



3.2. équation fondamentale de la dynamique pour les solides en mouvement

Pour un solide quelconque en mouvement autour d’un axe de rotation les physiciens mécaniciens écrivent une équation différentielle nous permettant de prévoir sa position et sa vitesse.

M =

m . r2 .

d2

dt2

somme algébrique

des moments des

forces extérieures par rapport à l’axe

de rotation

somme des produits

m . r2 étendue à tous les points du solide appelée

moment d’inertie J du solide (exemples en fin de chapitre)

valeur algébrique

de l’accélération

angulaire commune à tous les points du solide

y = ddt

= d2

dt2

Pour le rotor d’un moteur on obtient la relation générale : Cmot - Crés - f = J d

dt ,

Cmot est le couple moteur,

Crés est le couple résistant appliqué sur l’arbre de rotation, d’où le signe -,

- f est le couple résistant dû aux frottements et f est le coefficient de frottements visqueux,

J d

dt le couple résistant dû à la masse de la partie tournante de moment d’inertie J en kg.m2.

Sous la forme canonique d’une équation différentielle, on a J d

dt + f = Cmot - Crés .

3.5. transmittance de Laplace d’un moteur

La transmittance symbolique sera le rapport de la

transformée de Laplace (p) de la grandeur de sortie (t), fréquence de rotation, sur la transformée de Laplace U(p) de la grandeur d’entrée u(t) qui , de façon générale est la tension

d’alimentation : T(p) = (p)

U(p) .

Dans le domaine temporel, on rappelle les 4 équations qui régissent le moteur à flux constant.

J ddt

+ f = Cmot

Cmot = K I

U = E + R I + L dIdt

E = K

en éliminant Cmot et E

J

d

dt + f = K I

U = K + R I + LdI

dt

moteur

T(p)

entrée u(t)

U(p)

sortie

(t)

(p)



Le couple résistant Crés est inclus dans le terme J.

On passe au calcul opérationnel :J p (p) + f (p) = K I(p)

U(p) = K (p) + R I(p) + L p I(p)

J p (p) + f (p) = K I(p)

I(p) = U(p) - K (p)

R + L p

en éliminant I(p) il ne reste qu’une seule relation liant (p) à U(p) :

J p (p) + f (p) = K ( U(p) - K (p)

R + L p ) [J p (p) + f (p)] (R + L p) = K U(p) - K2 (p)

[J p (p) + f (p)] (R + L p) + K2 (p) = K U(p) puis mettons (p) en facteur

[(J p + f ) (R + L p) + K2 ] (p) = K U(p) [ (K2 + R f ) + ( RJ + f L ) p + L J p2 ](p) = K U(p)

T(p) = (p)

U(p) =

K

(K2 + R f ) + ( RJ + f L ) p + L J p2 =

K

K2 + R f

1 +R J + f L

K2 + R f p +

L J

K2 + R f p2

la transmittance du moteur T(p) = (p)

U(p) =

K

K2 + R f

1 +R J + f L

K2 + R f p +

L J

K2 + R f p2

.

Le moteur est un système du deuxième ordre.

On détermine d’abord la pulsation propre o et la fréquence propre fo = 1

2

K2 + R f

L J .

Le coefficient d’amortissement est m = R J + L f

2 L J (K2 + R f) .

Exemple numérique :

hypothèses :

K = 0,5 V / rad / s, R = 10 , f = 0,02 N m / rad / s et J = 0,01 kg m2. L’inductance du moteur vaut maintenant L = 300 mH

solutions :

amplification statique K

K2 + R f = 1,11 rad / s / V.

fo = 2 Hz et m = 1,5 ce qui correspond au régime apériodique amorti



4. Le réducteur mécanique de vitesse

Les engrenages : mécanisme formé de roues dentées.

La plus petite des deux roues est appelée pignon.

Les vitesses de rotation 1 et 2 respectives des roues

d'engrenage dépend du nombre de dents n1 et n2 de chacune.

Roue et pignon tournent en sens opposé.

4.1. intérêt de réduire la vitesse

la vitesse de l’arbre d’un moteur est souvent trop élevée, la charge doit se déplacer lentement et avec un fort couple.

4.2. le rapport de transformation m Le rapport de transformation m, pour un réducteur sans pertes est le quotient :

m = n2

n1 =

d2

d1 =

C2

C1 =

1

2 .

La conservation de la puissance au niveau des engrenages permet

d’écrire P1 = P2 et donc C1.1 = C2.2.

Remarque : cette relation nous rappelle que si la vitesse est réduite, on a l’avantage d’augmenter dans la même proportion le couple.

4.3. la loi fondamentale de la dynamique

Un moteur solidaire d’un arbre et de l’engrenage moteur a un moment d’inertie J1, un

coefficient de frottement visqueux f1. J2 et f2 sont les coefficients côté charge.

J1

d1dt

+ f1 1 = C1 - Crés où Crés = C2m

J2 d2dt

+ f2 2 = C2

J1 d1dt

+ f1 1 = C1 - J2m

d2dt

- f2m

2

en remplaçant 2 par 1m

:

J1 + J2

m2 d1dt

+

f1 + f2

m2 1 = C1.

Tout se passe comme si le moteur avait un moment d’inertie J = J1 + J2

m2

et un coefficient de frottement f = f1 + f2

m2 .

Remarquons l’analogie du réducteur de vitesse avec le transformateur parfait pour les tensions et les courants quant au rapport de transformation et à l’impédance ramenée au primaire appelée Rp. D’après les bornes homologues, u1 et u2 sont en phase, alors,

m = U2

U1 =

I1

I2 =

N2

N1

et Rp = U1I1

= U1U2

. U2I2

. I2I1

= 1m

. R. 1m

= R

m2

J2

f2

J1

f1

charge

rotor réducteur

2

C2

1

C1

1

C1

2

C2

pignon de n1 dents

roue de n2 dents

u2 u1

i1 i2

R

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BS 2 SE Réponse D’un Système Linéaire · La transmittance complexe du système est alors T(j ... Comme la fonction de transfert T(p) est, à la constante K près, entièrement