PT : DS de Physique-Chimie n°2

Durée : 4 heures

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Problème 1 : CND à courants de Foucault

Le fer est extrêmement sensible à la corrosion et en particulier en milieu marin. C’est un

problème industriel préoccupant. Chaque seconde, environ 5 tonnes d'acier sont transformées en

oxydes de fer dans le monde. Outre cet aspect économique, il ne faut pas négliger les enjeux

liés à la sécurité des biens et des personnes via la solidité et la durabilité des véhicules et des

infrastructures.

La corrosion peut être uniforme ou localisée sous forme de rayures ou de piqûres. C’est le

phénomène de piqûres qui est le plus sournois. Plus difficilement détectable, il aboutit très

rapidement à une perforation totale, contrairement à la corrosion uniforme.

Dans le but de contrôler les infrastructures métalliques, il a été développé des méthodes de

contrôle non destructif (CND) utilisant des capteurs à courants de Foucault (document ci-

dessous) ou à ultrasons.

Le principe général du CND à courants de Foucault est le suivant : une bobine excitatrice

génère un champ magnétique variable qui diffuse dans le matériau à sonder. Il se développe

alors des courants de Foucault dont la géométrie des lignes de courants est affectée en cas de

défaut du type fissure, caverne ou autres. Une sonde enregistre la réponse de ces courants de

Foucault, image d’un défaut local dans la structure.

Compte-tenu de leur faible coût et de leur facilité d’utilisation, ces CND à courants de Foucault

sont très utilisés. Ils présentent néanmoins quelques inconvénients.

En particulier, les défauts masqués en surface et profondément noyés dans l’épaisseur des

conducteurs sont plus difficiles à détecter sur les structures en acier, qu’avec les autres métaux.

Les défauts du type piqûres micrométriques orthogonales à la surface locale des conducteurs

sont quasi-indétectables.

Un décollement ou une inclinaison trop importante de la sonde du CND par rapport à la surface

de la pièce amenuise la détection.

Dans les CND, la détection des courants de Foucault se fait soit par l’intermédiaire d’une

deuxième sonde, soit par l’analyse de l’impédance de la bobine excitatrice. Dans ce second cas,

on parle alors de sonde à fonction double.

L’impédance complexe de la bobine associée à la sonde à fonction double est l’image des

courants de Foucault. Il est préférable pour ce type de sonde d’analyser séparément la partie

réelle et la partie imaginaire de cette impédance plutôt que de travailler sur son module.

Ce traitement se fait généralement à l’aide d’une détection synchrone :

Principe de la mesure :

La bobine d’impédance complexe Z est alimentée par la tension sinusoïdale ue(t) = Ue cos(ωt) .

Elle est alors traversée par un courant sinusoïdal de la forme i(t) = I0 cos(ωt − φ) , où φ est le

déphasage courant-tension, c'est-à-dire l’argument de l’impédance complexe Z.

La détermination de la partie réelle de Z, notée Re(Z) = |Z| cos(φ) s’obtient en mesurant la

valeur moyenne du signal résultant de la multiplication de la tension ue(t) et d’une tension

proportionnelle à i(t) obtenue à l’aide d’un convertisseur courant-tension.

La détermination de la partie imaginaire de Z, notée Im(Z), s’obtient de façon similaire, en

déphasant au préalable la tension de sortie du convertisseur de ± π/2 à l’aide d’un circuit

déphaseur.

Etude du convertisseur courant-tension :

Le convertisseur courant-tension (cf. ci-dessous) se compose d’une résistance R1 et d’un

amplificateur linéaire (A.Li.), d’impédance d’entrée supposée infinie et de fonction de transfert

complexe :

𝐾(𝑗𝜔) =𝑢𝐴(𝑡)

𝜀(𝑡)=

𝐾0

1 + 𝑗𝜔𝜔0

où ε(t) = V+(t) - V−(t), avec V+ le potentiel à l’entrée non inverseuse (+) de l’A.Li. et V- le

potentiel à l’entrée inverseuse (-) de l’A.Li.

Convertisseur courant-tension

1- Déterminer une relation entre uA(t), i(t), R1 et ε(t).

À l’aide de la fonction de transfert de l’A.Li., montrer que la transmittance complexe

𝑢𝐴(𝑡)

𝑖(𝑡) peut se mettre sous la forme :

𝑢𝐴(𝑡)

𝑖(𝑡)=

𝐺0

1 + 𝑗𝜔𝜔𝑐

On précisera les expressions de G0 et de ωc en fonction de R1, K0 et ω0.

Comment se simplifie cette transmittance dans le cas où K0 = 106, ω0 = 200 rad.s-1 et où

la fréquence f, d’alimentation de la bobine n’excède pas 200 kHz ?

2- Que devient la transmittance complexe, non simplifiée, 𝑢𝐴(𝑡)

𝑖(𝑡), si on inverse les entrées

V+ et V- de l’A.Li. ?

En déduire, en considérant que K0 >>1, l’équation différentielle liant les fonctions

réelles uA(t) et i(t).

Quelle est la forme du régime transitoire associé à cette équation différentielle ?

Conclure quant à la stabilité du système rebouclé sur la borne + de l’A.Li..

Etude du circuit déphaseur :

Le circuit déphaseur se compose de deux résistances R2, d’une résistance variable Ra, d’un

condensateur de capacité C et d’un A.Li. supposé idéal (en plus des propriétés de l’A.Li

précédent, K0 est infini) qui fonctionne en régime linéaire.

Circuit déphaseur

3- Etablir l’expression de la fonction de transfert 𝑢𝐷(𝑡)

𝑢𝐴(𝑡). Que vaut le module de cette

fonction de transfert ? Justifier le terme de déphaseur.

On donne f = 2 kHz, C = 3,3 nF. À quelle valeur faut-il caler Ra pour que uD(t) et uA(t)

soient en quadrature de phase, c’est-à-dire déphasées de |π/2| ?

On considèrera que cette condition est respectée dans la suite de l’énoncé.

Pour une entrée uA(t) de la forme uA(t) = −R1 I0 cos(ωt − φ) quelle est la forme

analytique de la tension de sortie uD(t) ?

Validation du concept de la sonde à fonctions séparées :

Dans le capteur CND à deux sondes, les fonctions de génération des courants de Foucault et

leur détection sont séparées. Cette détection se fait par l’intermédiaire d’une seconde sonde

siège d’une tension induite générée par le champ magnétique, dit de réaction, créé par les

courants de Foucault.

Afin de valider le concept de détection du champ de réaction et d’en déterminer ses limites, on

se propose de reconstruire une telle situation à l’aide de matériels simples utilisés au

laboratoire.

On réalise l’expérience avec le matériel décrit sur la photo ci-dessous.

Le générateur basse fréquence (GBF) alimente la bobine de gauche, avec une tension

sinusoïdale, notée v1(t) et enregistrée sur la voie 1 de l’oscilloscope.

On enregistre sur la voie 2 de l’oscilloscope la tension, notée v2(t), aux bornes de la bobine de

droite. Les deux bobines sont identiques.

Reconstitution de l’environnement de la sonde de détection

4- Dans la reconstitution de notre environnement, quel est le rôle de la bobine de gauche et

à quoi s’assimile le courant qui la traverse ? De même, à quoi correspond la bobine de

droite ?

5- À l’aide d’éléments de modélisation classiques d’une bobine tels que l’inductance

mutuelle M, l’inductance propre L et la résistance interne r, proposer un schéma

électrique du montage global sans oublier d’y faire figurer l’oscilloscope et le GBF.

6- On définit la fonction de transfert complexe 𝐹(𝑗𝜔) =𝑣2(𝑡)

𝑣1(𝑡).

Montrer, à partir de votre modèle, que cette fonction de transfert peut se mettre sous la

forme canonique :

𝐹(𝑗𝜔) = 𝐹0

𝑗𝜔𝜔0

1 + 𝑗𝜔𝜔0

On donnera les expressions de F0 et de ω0 en fonction des éléments de modélisation

définis précédemment.

Le graphe de la ci-dessous correspond au diagramme de Bode, en amplitude, dans le cas où les

deux bobines sont face à face. L’angle entre les axes des bobines est alors nul.

Diagramme de Bode pour les deux bobines face à face

7- Ce diagramme de Bode, en amplitude, correspond-il à la fonction de transfert

déterminée précédemment ? Si non, proposer une limitation à votre modèle.

Préciser éventuellement en une ou deux phrases le(s) phénomène(s) physique(s)

présent(s) et non décrit(s) par votre modèle.

On fait varier l’angle θ entre les axes des deux bobines et on obtient les trois

diagrammes de Bode, en amplitude, décrit sur le graphe de la figure ci-dessous.

Diagramme de Bode, en amplitude, pour différents angles entre les bobines

8- Quel est l’élément de modélisation de votre schéma électrique qui est modifié ? Quel

paramètre de la fonction de transfert en est directement affecté ?

À partir de ce dernier diagramme de Bode, déterminer la valeur numérique de F0 pour

un angle de 90°.

Problème 2 : Mesures interférométriques

I) Trou d’Young.

Un Laser envoie, sur un trou circulaire de faible

diamètre d percé dans un plan 0 , un faisceau

de lumière parallèle monochromatique, de

longueur d’onde dans le vide 0 (Fig 0). On

observe la figure 1 sur écran E placé à la

distance D de 0 ( E et 0 sont parallèles).

Le faisceau incident se propage dans l’air (indice absolu Na) dans la direction X’X perpendiculaire aux plans.

On associe au plan E un repère ( Y’Y, Z’Z ).

La figure 2 donne, en fonction de z, l’intensité lumineuse I observée sur E .

1°) a- Quel est le phénomène physique mis en jeu ? b- Le rayon R de la tache centrale, supposé égal à z1, est donné par une des relations

suivantes : D

d

Naou

d

D

Naou

d

D

Na.... 0

2

00

Ecrire la bonne réponse en justifiant brièvement les raisons de votre choix ( est une constante sans dimension dépendant de la géométrie et dont la valeur approchée est = 1,2 pour un trou circulaire).

2°) On peut considérer que le trou d’Young se comporte comme une source lumineuse, notée

S, quasi ponctuelle, émettant de la lumière dans un cône de demi-angle au sommet

correspondant à la tache centrale de la figure 1.

a- Etablir l’expression littérale de . On se placera dans l’approximation de Gauss.

Fig 1 : photo sur laquelle on a

superposé l’axe de repérage

(origine au centre de la tache)

Fig0

z

z

-z1 0 z1 z

L’intensité est maximale au centre

(z = 0)

Elle est nulle en z1

I Fig 2

b- Tracer, en fonction de z, le profil de l’intensité lumineuse sur E en supposant que la

zone éclairée l’est uniformément. Dans toute la suite, les trous d’Young seront assimilés à une telle source ponctuelle.

II) dispositif interférentiel à deux trous d’Young.

Le dispositif est le même que dans la partie I, mais le faisceau arrive sur deux trous

d’Young percés dans le plan 0 (fig 3). Ces trous d’Young, éclairés par un faisceau incident

parallèle se propageant dans la direction OX, se comportent comme deux sources lumineuses S1, S2 ponctuelles, monochromatiques, synchrones, cohérentes, distantes de b (fig 3a); ces deux sources émettent une même lumière de longueur d’onde dans le vide 0. Elles sont symétriques par rapport à l’axe OX. Ces ondes se propagent dans l’air d'indice optique absolu Na. On utilise le repère {OXYZ}, l’origine O étant au milieu de S1S2 (Fig3).

On observe des interférences dans la zone commune d’éclairement du plan E .

Cette zone est sensiblement un disque de rayon R = 1 cm (Fig 3 et 3b).

On s’intéresse aux phénomènes en un point M (x = D, y, z) du plan E .

1°) Préciser la signification des termes synchrone et cohérent.

2°) Les distances séparant les sources du point M (de coordonnées D,y,z) sont notées respectivement d1 = S1M et d2 = S2M.

a- Evaluer d2,d1 en fonction de y, z, D et b.

b- En déduire la différence = d2 - d1 lorsque y, z et b sont très petits devant D.

c- Relier la différence de chemin optique 12 , et l’indice absolu de l’air Na.

3°) Ecrire la forme des amplitudes vibratoires émises par S1 et S2 reçues au point M. Montrer que l’intensité lumineuse au point M est de la forme I = K (1+cos(B)) et

expliciter B en fonction de 12 et 0 .

4°) Reproduire et compléter la fig 3b en dessinant l’allure géométrique des franges d’intensité maximale. Comment appelle-t-on ces franges ?

5°) Evaluer le nombre de franges d’intensité maximale observable avec : 0 = 500nm,

b = 2mm, Na 1 ; D = 2m. III) Montage expérimental.

On reprend le montage précédent de la partie II mais on observe, à présent, les

phénomènes sur un écran situé dans le plan focal image d’une lentille convergente (L2). Cette lentille, fonctionnant dans les conditions de Gauss, sera considérée comme parfaitement stigmatique pour ses points conjugués. Les trous d’Young sont symétriques par rapport à l’axe optique OX de la lentille L2.

On regarde ce qui se passe en un point M d’ordonnée y du plan . On suppose que S1

et S2 sont en phase. Démontrer que la différence de chemin optique 1/2 entre l’onde

arrivant en M issue de S2 et celle issue de S1 est : '

.1/2f

bYNa=

On justifiera de manière précise, à l’aide de schémas, les raisonnements utilisés.

IV) Mesure d’indice de réfraction.

Le dispositif de mesure comprend une source de lumière monochromatique S, ponctuelle, de longueur d’onde dans le vide 0, placée au foyer objet d’une lentille convergente L1 (fig 5). Entre les deux lentilles L1 et L2 ( considérées comme minces, identiques, de distance focale f’), on dispose deux cuves C1 et C2 identiques de longueur L. Deux fentes d’Young séparées de la distance b sont placées avant L2 symétriquement par rapport à l’axe SO.

On observe sur un écran dans le plan focal image de L2. Les points S et O sont sur l’axe optique commun de L1 et L2. L’ensemble se trouve dans l’air.

La cuve C2 contient de l’air d’indice optique absolu Na ; la cuve C1 contient un gaz d’indice optique absolu N1.

1°) Déterminer la différence de chemin optique 12 entre une onde issue de S arrivant en

M en étant passée par C2 et celle qui est passée par C1.

On donnera le résultat en fonction de Na, N1, b, f’, L et l’ordonnée Y de M sur .

2°) Tous les résultats trouvés en II-3 sont valides avec cette expression de 12 ;

déterminer l’interfrange i’. 3°) Un capteur placé en O (Y = 0) est couplé à un compteur qui s’incrémente de 1

unité à chaque détection d’une frange brillante. On part d’un état initial où les cuves C1 et C2 sont remplies d’air.

a- Quel est l’ordre d’interférence po initial en O ? b- On remplace progressivement l’air de la cuve C1 par du gaz d’indice N1 (N1 > Na).

Lorsque C1 est uniquement rempli de ce gaz, le détecteur s’est incrémenté de k unités. Préciser le nouvel ordre en Y = 0 et le sens dans lequel le système de frange a défilé (on attend ici une réponse argumentée).

c- Déterminer l’expression littérale de N1 en fonction de Na, k, L et V - Suivi de déplacement On utilise un dispositif de Michelson à deux miroirs parfaitement orthogonaux, éclairés par un fin pinceau lumineux monochromatique émis par un Laser. On se ramène au modèle dans lequel la séparatrice, inclinée à 45°, est idéale (elle est semi réfléchissante, infiniment mince et n’introduit aucun déphasage) (fig6).

1°) Déterminer l’intensité lumineuse I arrivant sur le détecteur D en fonction de x(t). 2°) Le détecteur D élimine la composante constante du signal et donne une tension Ud

proportionnelle à la composante variable de l’intensité I. Montrer que Ud = Uo.cos( ) et expliciter en fonction de x et des données. 3°) Le détecteur D est couplé à un compteur C incrémenteur de franges (cf. IV-3). Le compteur est à 0 lorsque x = 0.

a- On envisage un déplacement de la cible toujours dans le même sens sur une

longueur L = 200 ; quelle sera l’indication du compteur ?

b- On déplace à présent M1 de L1 = 100 dans un sens puis de L1’ = 100 en sens

inverse. Donner l’abscisse finale de la cible et l’indication du compteur dans ce cas. c- A quelle grandeur accède-t-on finalement par ce dispositif interférentiel ?

4°) Lame à retard

On interpose sur le bras OO2, une lame d’indice N et d’épaisseur e, dans le but que le détecteur D délivre la tension Ud = Uo.sin( ) , ayant la même expression que celle trouvée en 2°. Donner l’expression littérale des épaisseurs possibles de la lame pour qu’il en soit ainsi.

5°) Mesure d’abscisse.

Le dispositif interférométrique de suivi de déplacement est modifié de manière à générer, à l’aide de 2 détecteurs, les tensions Ud1 = Uocos( ) et Ud2 = Uo.sin( ) (fig 7).

Dans la figure 8, les expressions donnent les relations entre les tensions de sortie et d’entrée, par rapport à la masse. Les Kp sont des constantes

a- On cherche les tensions Ux1 et Ux2 à la sortie des multiplieurs ; remplir le tableau suivant :

Tension sur l’entrée 1

Tension sur l’entrée 2

Tension de sortie

X1

X2

b- Donner l’expression de Ua.

c- Donner l’expression de Us. d- Quel est l’intérêt de ce montage ?

VI- Montage intégrateur

On considère le montage suivant fig 9 sur lequel est appliquée la tension

ue=Um.cos(t), la pulsation étant réglable. A.L.I est supposé idéal. On observe alors une tension de sortie :

us = Usm cos(t + s). Les données sont : r, R et C.

1°) Analyse.

a- Trouver la fonction de transfert complexe H = e

s

u

uen fonction de et des données.

b- Avec R = 10 k, C = 100 nF et r = 100 k, donner les équations des asymptotes du gain en décibel en haute et basse fréquence et tracer l’allure du diagramme

donnant le gain en décibel en fonction de log().

2°) Domaine intégrateur.

a- Déduire de l’étude précédente la relation temporelle liant ue et us à basse

fréquence.

b- Déduire de même la relation temporelle liant ue et us à haute fréquence.

c- Préciser le domaine de pulsation pour lequel ce montage est intégrateur tel que

= dtuKiu es .. . Donner l’expression littérale de Ki.

3°) Intégrateur idéal. a- Calculer l’impédance d’entrée du montage de la fig 9. b- L’impédance d’entrée n’étant pas infinie, ce montage ne forme pas un intégrateur

idéal ; comment compléter ce montage pour s’approcher d’un intégrateur idéal ?