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analyse spectrale 1
Analyse Spectrale de Fourier
- définition de la densité spectrale de puissance
- erreurs aléatoires : propriétés des estimateurs
- effet de biais
- effet des fenêtres fuites
- les Unités
analyse spectrale 2
Analyse Spectrale de Fourierdensité spectrale de puissance : définition
• x(n) ‘ signal ’ aléatoire, stationnaire (ergodique)• n: [-,+] T=1
• 2 formulations équivalentes :• transformée de Fourier de la Fonction d ’autocorrélation
• moyenne (d ’ensemble) du module carré de la T de Fourier
ationautocorréld'fct l)x(n)x(nE
)(;)()( 2 lrelrfS
xx
jfl
lxxxx
2/
2/
2)(12
1lim)(
N
Nn
jnf
Nxxenx
NEfS
analyse spectrale 3
Analyse Spectrale de Fourierdensité spectrale de puissance : estimateur
• x(n) ‘ signal ’ aléatoire, stationnaire (ergodique)• n: [-1,N], nombre de points fini T=1
• 2 estimateurs (équivalents quand N>>>) :• corrélogramme
• périodogramme
l).x(n)x(nN
1
k-N
1
)(ˆ;)(ˆ)(ˆ /2
1
lrelrkSxx
NjklN
kxxxx
22
1
/2
/)()(
1)(ˆ kXenx
NkS
N
n
Njnk
perxx
analyse spectrale 4
Analyse Spectrale de Fourierestimateur du périodogramme
• On utilise l ’estimateur du périodogramme : calcul avec la FFT.
• Propriétés de l ’estimateur :
• biais : =E [Sxx/per(k)] = Sxx(k) quand N>>» sans biais asymtotiquement
• variance : = E[Sxx/per(k)- ]² S²xx/per(m)» la variance est très importante !!
analyse spectrale 5
Analyse Spectrale de Fourierestimateur du périodogramme
0 20 40 60 80 100 120 14010
-8
10-6
10-4
10-2
100
102
running psd
hit any key to continue
Bruit blanc filtré passe-bassuperposition de [20 FFT]² calculéessur des tranches de 256 points
analyse spectrale 6
Analyse Spectrale de Fourierpériodogramme Moyenné: contrôle de la variance(1)
• D ’où l ’idée de moyenner l ’estimateur du périodogramme sur plusieurs ‘ tranches ’ du signal. (Moyenne d ’ensemble) -WELCH-
)(ˆ1)(ˆ
1
///
kSM
kSM
m
perxxm
moyperxx
S1 S2 SM
( Sm)/M
Sm
S
1 2 Mm
N points par tranche
analyse spectrale 7
Analyse Spectrale de Fourierpériodogramme : effet du moyennage
Bruit blanc filtré passe-basmoyenne de [2 FFT]² calculées
0 20 40 60 80 100 120 14010
-20
10-15
10-10
10-5
100
105
average & true psd
hit any key to continue
0 20 40 60 80 100 120 14010
-20
10-15
10-10
10-5
100
105
average & true psd
hit any key to continue
Moyennage de 20 [FFT]²
analyse spectrale 8
Analyse Spectrale de Fourierpropriétés du périodogramme moyenné
• Le moyennage permet de diminuer la variance. Le biais ne change pas puisqu ’il ne dépend que de N (longueur chaque tranche).
• Propriétés de l ’estimateur :
• biais : =E [Sxx/per/moy(k)] = Sxx(k) quand N>>» sans biais asymtotiquement
• variance : = E[Sxx/per/moy(k)- ]² S²xx(k)/M» la variance diminue en 1/M !!
• Écart-type: =S(k)/M
• ps: les résultats sont obtenus en supposant une distribution gaussienne ainsi qu ’une indépendance des tranches.
analyse spectrale 9
Analyse Spectrale de FourierPériodogramme Moyenné par recouvrement
• il faut augmenter M pour diminuer la variance• le TEMPS d ’ANALYSE Tmax >N.M.T peut être prohibitif
)(ˆ1)(ˆ
1
///
kSM
kSM
m
perxxm
moyperxx
S1 S2
SM
( Sm)/M
Sm
S
1 2M
m
N points par tranche
analyse spectrale 10
Analyse Spectrale de Fourierpériodogramme moyenné :recouvrement(2)
• Une méthode pour diminuer Tmax . On fait recouvrir les tranches . Mais Les tranches ne sont plus ‘ indépendantes ’:
• la variance décroît moins vite avec N
• les fenêtres contribuent à rendre ‘ indépendantes ’ les tranches
Fenêtre rectangulaire
Fenêtre type Hanning
analyse spectrale 11
Analyse Spectrale de Fourierpériodogramme :contrôle du biais
• Estimateur asymtotiquement non biaisé– il faut augmenter N (c ’est-à-dire augmenter la résolution
fréquentielle) pour diminuer le biais
si f =1/NT trop grand :– sous estimation des maximum (pics)
– sur-estimation des minimum
• en général T fixé par l ’analyse N• une régle pratique : pour un ‘ pic ’ de largeur f0 :
– il faut choisir N tel que : f = 1/NT < f0/4– pour un système à 1ddl avec amortissement visqueux .
f0=2 fr r fr f résonance; r
amortissement réduit
analyse spectrale 12
Analyse Spectrale de Fouriereffet des fenêtres : exemple
• Démo ‘ fuites ’ (voir DFT)– 1 sinusoïde dont la fréquence correspond à une raie FFT
– 1 sinusoïde dont la fréquence se situe entre 2 raies
• - comparaison des fenêtres de Hanning et rectangulaire
• l ’effet des raies latérales dues à une fenêtre font augmenter la puissance .
• Ceci est corrigé en divisant par ‘ la puissance équivalente de la fenêtre ’. Voir tableau chapitre ‘ DFT ’. La correction est faite sur les analyseurs.
analyse spectrale 13
Analyse Spectrale de Fourier Ajout de zéros : zeros padding
• Objectifs :• augmenter la taille de la tranche pour avoir N = puissance de 2
• augmenter la résolution ???
• Intérêts : les transitoires, signaux courts• résultats :
• interpolation entre les points DFT calculés sans l ’ajout de zéros
• la fonction d ’interpolation est liée à la fenêtre de pondération l
analyse spectrale 14
Analyse Spectrale de Fourier Ajout de zéros : exemple
• démo fouzéros
analyse spectrale 15
Analyse Spectrale de FourierUnités : signaux continus
• Signaux périodiques
• Signaux non-périodiques
Volts en n
Tjt
nCeCtx /2)(
zVolts/Hert en )()()( 2 fXefXtx jft
2
0
2 )(
n
T
CdttxT
1 : V² en moyenne PUISSANCE
V².sec/Hz)X(f)- V².sec(E
²dfX(f)x²(t)dt : ENERGIE---
E
V²/Hz)T
²X(f)- V²(P :) restationnai (signal
²(f)dfSdfT
²X(f)x²(t)dt : PUISSANCE -
-xx
--
TP
1
analyse spectrale 16
Analyse Spectrale de FourierUnités : signaux discrets
• Discret :– T N.T
– dt T
– df f=1/N T
• l ’ENERGIE totale T= N.T • V².sec
• or à cause de la division par N dans la DFT inverse, Parseval s ’écrit:
• rem: on introduit un facteur 2 pour tenir compte des fréquences négatives
N
nmoyt
TnxdttxTPE1
)²()²(.
²)()(²)(1
)²(1111
N
kt
N
kxx
N
k
N
i
fXN
TEkSkX
Ntx puissance
ffSfXN
TNEPN
kxx
N
ktmoy
)(²)(²
1/
11
²)()( mXN
Tm
xxS DSP la oùd'
analyse spectrale 17
Analyse Spectrale de FourierUnités : résumé
• x( ) en Volts
• Puissance DS Puissance Energie DS Energie
• V² V²/Hz V².secV².sec/Hz=V².sec²
• amplitude
• V V/Hz V. sec V.sec
analyse spectrale 18
Analyse Spectrale de FourierUnités : signaux discrets, exemple
0 10 20 30 40 50 60 7010
-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
Hz
Red=
V2 /H
z
Gr=
V2
Yel=
V/(
Hz)
0 .5
Blu
e=
V2 -S
ec
2
hit any key to quit
