Estimateurs d'erreur a posteriori résiduels en éléments finis pour la

No ORDRE : 40956

Ecole doctorale regionale Sciences Pour lIngenieur Lille NorddeFrance

Universite Lille 1 Sciences et Technologies

Estimateurs derreur a posteriori

residuels en elements finis pour la

resolution de problemes

delectromagnetisme en formulations

potentielles

THESE

presentee et soutenue publiquement le 29 Novembre 2012

pour lobtention du

Doctorat de lUniversite Lille 1

(specialite: Genie electrique)

par

Zuqi Tang

Composition du jury

President : Jean-Louis Coulomb

Rapporteurs : Patrick DularFrancesca Rapetti

Examinateurs : Yvonnick Le MenachOlivier MoreauSerge NicaisePascal OmnesEmmanuel Creuse Co-Directeur de theseFrancis Piriou Directeur de these

Laboratoire L2EP Laboratoire Paul Painleve

Mis en page avec la classe thloria.

Remerciements

Mes travaux de thse, raliss dans le cadre du projet MEDEE, co-financ par la Re-gion Nord-Pas de Calais et EDF R&D, se sont drouls au sein du L2EP (LaboratoiredElectrotechnique et dElectronique de Puissance) Lille, dans lquipe Modlisation.Jai galement t en interaction avec lquipe ANEDP (Analyse Numrique-Equationsaux Drives Partielles) du laboratoire Paul Painlev de lUniversite Lille 1.

En premier lieu, je tiens remercier Monsieur Francis Piriou, directeur du laboratoireL2EP, pour avoir accept detre mon directeur de thse. Merci pour son encadrementde grande qualit, spcialement en ce qui concerne le travail scientifique, et ses qualitshumaines. Jai normment appris son contact, savoir expliquer les concepts les plustechniques en des termes simples.

Je remercie aussi mon co-directeur de thse Monsieur Emmanuel Creus, professeur dulaboratoire Paul Painlev, qui a toujours su mindiquer les bonnes directions de recherchequand il le fallait, et me laisser chercher seul quand il le fallait. Jai sincerement apprcide travailler avec lui et lui suis reconnaissant pour le temps quil ma consacr et toutesles opportunits quil ma donnes au cours de cette thse.

De la mme manire, je remercie Monsieur Yvonnick Le Menach, matre de confrencedu L2EP, pour sa sympathie, sa disponibilit, ainsi que pour son aide prcieuse de tousles jours.

Je remercie galement Monsieur Serge Nicaise, professeur du laboratoire LAMAV Valenciennes, qui a grandement contribu ce travail, avec ses ides et ses conseils degrande qualit.

Je tiens aussi remercier : Monsieur Jean-Louis Coulomb, professeur linstitut polytechniques de Grenoble,

davoir accept de participer mon jury et de lavoir prsid.

Monsieur Patrick Dular et Madame Francesca Papetti, pour lhonneur quils montfait de juger ma these en tant que rapporteurs.

Monsieur Pascal Ommes, ingnieur chercheur au CEA Saclay et professeur associ lUniversit Paris 13, pour avoir accept detre dans mon jury.

Monsieur Olivier Moreau, chercheur EDF Electricit de France, pour avoir acceptde faire partie de mon jury.

Je remercie particulirement Thomas Henneron et Abdelkader Benabou, matres deconfrence du L2EP, pour toutes les discussions, leurs aides. Loic Chevallier et JulienKorecki, ingnieur de recherche du L2EP, pour leurs aides concernant le Code_Carmel3Det le logiciel Salome. Je remercie galement lensemble des enseignants chercheurs et non

i

chercheurs du L2EP et du laboratoire Paul Painlev pour les nombreuses discussionsconstructives en terme de recherche et denseignement.

Je noublie pas lensemble des doctorants du P2 et des autres etablissements qui ontcontribu a entretenir une ambiance de travail dans la bonne humeur.

Je reserve les derniers mots pour ma famille : les grands soutiens de mes parents,de mon pouse Juan et de ma petite fille Jiani, qui mont encourag finir la thse etcontinuer la recherche.

ii

Ddi Juan et Jiani, avec qui je partage ma vie.

iii

Table des matires

Introduction 1

Partie I Gnralits 5

Chapitre 1 Modlisation 7

1.1 Introduction du modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Equations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 Lois de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.3 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Formulations en potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Magntostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2 Magntodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Chapitre 2 Mthode numrique et cadre fonctionnel 15

2.1 Mthode des lments finis et estimateurs derreurs . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Mthode des lments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2 Dfinition des erreurs de discrtisation . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.3 Estimateur derreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Espaces fonctionnels utiliss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Hypothses importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Partie II Problmes Electromagntiques 23

Chapitre 3 Problmes Magntostatiques 25

3.1 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Formulation A avec conditions aux limites B n = 0 sur toute la frontire 27

v

Table des matires

3.2.1 Formulation variationnelle et caractre bien pos du problme

continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27


discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.3 Estimation derreur a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Formulation A avec conditions aux limites mixtes . . . . . . . . . . . . 41


continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42


discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.3 Estimateur derreur a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4 Estimateur quilibr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.5 Validation numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.5.1 Cas B n = 0 sur D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.5.2 Cas gnral : H 6= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Chapitre 4 Problmes Magntodynamiques : Formulation A/ 61

4.1 Cas des conditions aux limites B n = 0 sur toute la frontire . . . . . 624.1.1 Formulation variationnelle et caractre bien pos du problme

continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62


discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65


4.2 Cas des conditions aux limites mixtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.2.1 Cas 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.2.2 Cas 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2.3 Dfinition de lestimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85


Chapitre 5 Problmes Magntodynamiques : Formulation T/ 89

5.1 Cas des conditions aux limites B n = 0 sur toute la frontire. . . . . . 905.1.1 Formulation variationnelle et caractre bien pos du problme

continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90


discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

vi


5.2 Cas des conditions aux limites mixtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.2.1 Cas 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.2.2 Cas 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.2.3 Dfinition de lestimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107


Partie III Cas tests et application industrielle 111

Chapitre 6 Cas tests et application industrielle 113

6.1 Magntostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.1.1 TEAM Workshop 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.1.2 Machine rluctance variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.2 Magntodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.2.1 Cylindre conducteur soumis un champ variable . . . . . . . . 125

6.2.2 TEAM Workshop 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.2.3 Bobine entre deux plaques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.3 Contrle non destructif par courants de Foucault (C.N.D-CF) . . . . . 138

Conclusion gnrale 143

Annexes 145

Annexe A Ingalits de Cauchy-Schwarz 145

Annexe B Dmonstration du Lemme 4.10 147

Annexe C Dmonstration du Thorme 4.28 151

Annexe D Dmonstration du Thorme 4.29 157

Bibliographie 161

vii

Table des matires

viii

Liste des tableaux

5.1 Dimension de la structure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.1 Comparaison des quantits values par chacun des estimateurs pour lesformulations en A et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.2 Nombre dlments pour les deux maillages. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.3 Rsultats pour les deux maillages. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.4 Comparaison des quantits values par chacun des estimateurs pour les

formulations en A/ et T/. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.5 Perte Joule et Energie Magntique pour les 3 valeurs de la frquence. . . . 1306.6 Valeurs des diffrents termes de lestimateur derreur pour les 3 valeurs de

frquences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306.7 Dimension de la structure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.8 Configurations des 4 cas tests. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

ix

Liste des tableaux

x

Table des figures

1.1 Domaine dtude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Conditions aux limites imposes sur la frontire du domaine. . . . . . . . . 9

2.1 Patch dun lment T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Erreur et Estimateur local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Domaine D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Partition du domaine D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1 Domaine dtude coup. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2 Notation des espaces fonctionnels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3 Domaine du problme : cube travers par une densit de courant Js. . . . . 523.4 Comparaison des nergies magntiques calcules par les deux formulations. 533.5 Erreur et Estimateur pour lexemple du cube. . . . . . . . . . . . . . . . . 543.6 Carte derreur (haut) et destimateur (bas). . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.7 Domaine de calcul pour un huitime de cube. . . . . . . . . . . . . . . . . 563.8 Ordre de convergence de lerreur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.9 Visualisation de linduction magntique Bh dans le plan z = 1/2. . . . . . 57

3.10

(

D

1

|B Bh|2

)1/2/ en fonction de Log(DoF ). . . . . . . . . . . . . . 57

3.11 Convergence des estimateurs et des erreurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.12 Cartes derreur (haut) et destimateur (bas). . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.13 Domaine du cas test singulier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.14 Carte destimateur en formulation A pour le cas test singulier. . . . . . . . 59

4.1 Domaine dtude pour la formulation A/. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2 Domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.3 Ordre de convergence de lerreur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.4Erreur

en fonction de Log(DoF ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.5 Carte derreur et destimateur dans le plan z = 0. . . . . . . . . . . . . . . 88

5.1 Domaine dtude pour la formulation T/. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.2 Domaine dtude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.3 Structure tudie : Bobine entre deux plaques. . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.4 Cinq maillages de plus en plus fins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.5 Ordre de convergence de lestimateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

xi

Table des figures

6.1 Structure du problme TEAM Workshop 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.2 Maillage grossier : nombre dlments : 115 777. . . . . . . . . . . . . . . . 1166.3 Maillage fin : nombre dlments : 2 935 645. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.4 Maillage grossier : distribution de lerreur estime dans les parties ferroma-

gntiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.5 Maillage fin : distribution de lerreur estime dans les parties ferromagn-

tiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.6 Maillage fin : distribution de lerreur estime dans tout le domaine. . . . . 1206.7 Maillage fin : zoom dans des noyaux ferromagntiques et la plaque centrale. 1216.8 Maillage de la machine lectrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.9 Deux modes dalimentation pour la machine. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.10 Visualisation des inductions magntiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.11 Carte destimateur pour les deux modes dexcitation de la MRV. . . . . . . 1246.12 Structure tudie : le cylindre conducteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.13 Maillage utilis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.14 Distribution de la densit de courant pour les trois valeurs de la frquence

en formulation A/. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.15 Distribution de la densit de courant dans la section transversale en for-

mulation A/. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.16 Distribution de lestimateur derreur pour les 3 frquences en formulation

A/. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.17 Structure tudie : TEAM Workshop 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.18 Maillage du Problme TEAM Workshop 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.19 Distributions de densit de courant en frquence 50Hz et 2kHz. . . . . . . . 1316.20 Carte destimateur en frquence 50Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.21 Carte destimateur en frquence 2kHz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.22 Structure tudie : Bobine entre deux plaques. . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.23 Maillage de la structure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.24 Carte destimateur T dans deux plaques conductrices pour la formulation

A/. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.25 Carte destimateur T dans deux plaques conductrices pour la formulation

T/. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.26 Carte destimateur sur le plan mdium. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.27 Distributions de densit de courant pour les 4 frquences et les deux for-

mulations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.28 Carte destimateur pour les 4 frquences et les deux formulations. . . . . . 1376.29 Tube gnrateur de vapeur : STL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.30 Maillage du tube gnrateur de vapeur : STL. . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.31 Carte destimateur en formulations A/ et T/. . . . . . . . . . . . . . . 1396.32 Zoom sur la carte destimateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

xii

Introduction

Le L2EP1 et EDF R&D collaborent depuis de nombreuses annes dans le domaine de lamodlisation numrique au sein du ple phare rgional MEDEE2. Cette collaboration sestrenforce en 2006 avec la cration dun laboratoire commun dnomm LAMEL3. Celui-ci runit les enseignants chercheurs de lquipe modlisation du L2EP et les ingnieurschercheurs du groupe COMETE du dpartement THEMIS de EDF R&D. Le but de ce la-boratoire commun est de dvelopper des outils de modlisation numrique afin de pouvoiranalyser rapidement et avec prcision les phnomnes lectromagntiques rencontrs dansles matriels lectriques. Ds lors le laboratoire commun dveloppe Code_Carmel3D4 quipermet de rsoudre les problmes dlectromagntisme en basse frquence laide de lamthode des lments finis. Au sein du ple MEDEE, le L2EP et EDF R&D sont impli-qus dans le projet "Industrialisation de Code_Carmel".

Paralllement, le laboratoire de mathmatiques Paul Painlev de Lille et le LAMAV5

collaborent sur le thme des Equations aux Drives Partielles et de leur rsolution laidede la mthode des lments finis. De nombreux travaux communs relatifs aux estimateursderreurs a posteriori ont notamment t raliss ces dernires annes.

Les travaux de thse prsents dans ce mmoire sont le fruit dune collaboration entrele LAMEL, Paul Painlev et le LAMAV, au sein de MEDEE, pour dvelopper dansCode_Carmel3D des estimateurs derreur numriques adapts aux problmes dlectro-magntisme en basse frquence.

Les domaines dapplication de llectromagntisme basse frquence sont nombreux etvaris. Ils vont des machines lectriques (moteurs ou gnrateurs) aux transformateurs etautres dispositifs comme le contrle non destructif par courants de Foucault. Lorsque lontraite ce type de problmes, qui peut tre caractris par des gomtries non-standards etdes configurations complexes, la prcision de la solution numrique est cruciale pour pou-voir interprter correctement les rsultats obtenus. Pour atteindre cet objectif en utilisantla mthode des lments finis, il est ncessaire de matriser lerreur numrique. Toutefois, lalocalisation des erreurs reste difficile prdire. Les utilisateurs de la mthode des lments

1L2EP : Laboratoire dElectrotechnique et dElectronique de Puissance de Lille.2MEDEE : Matrise Energtique Des Entranements Electriques.3LAMEL : Laboratoire de Modlisation du matriel ELectrique.4Code_Carmel3D : Code Avanc de Recherche en Modlisation Electromagntique 3D.5LAMAV : Laboratoire de Mathmatiques et leurs Applications de Valenciennes.

1

Introduction

finis se basent souvent sur des critres heuristiques pour raffiner le maillage l o lerreurleur parait la plus importante, par exemple proximit des singularits gomtriques oudans les couches limites. Il est cependant ncessaire de quantifier lerreur numrique oudu moins de lestimer. A la limite, lestimateur idal indique lerreur exacte. A minimaon recherche un estimateur se comportant comme lerreur exacte. Lestimation derreurconstitue donc un outil, dont lutilisation est ncessaire dans le processus de gnrationdes maillages adaptatifs (h-raffinement) ou laugmentation de lordre des lments finisutiliss localement (p-raffinement).

On distingue deux familles destimateurs : lestimateur a priori et lestimateur a pos-teriori. Lestimateur a priori nous permet dassurer la convergence de lerreur vers zro,sous rserve dune rgularit suffisante de la solution exacte [23, 42, 43, 51], qui dpendde divers paramtres comme, par exemple, la gometrie du domaine en prsence de trousou de coins. Dans ce mmoire, nous nous intressons aux estimateurs a posteriori. Ilsne dpendent que de la solution numrique et des donnes du problme, sans ncessiterdavantage de rgularit sur la solution exacte que celle impose par la formulation faible.

Dans la famille des estimateurs a posteriori, certains estimateurs sont trs populairesdans le domaine de llectromagntisme. Lun des plus connus est lestimateur quilibrcouramment utilis pour les problmes statiques. Une premire solution numrique nouspermet de calculer une solution admissible. On construit alors une seconde solution ad-missible [10, 38, 53]. Plus gnralement, on a recours deux formulations duales [55] pourla rsolution dun mme problme. Lestimateur est bas sur la non vrification de la loide comportement entre les deux solutions admissibles obtenues [11, 12, 17]. Lestimateurde type Zienkiewicz-Zhu, plus connu sous le nom "ZZ", est galement developp dans lesrfrences [45, 65, 66, 67]. Pour cet estimateur, en chaque noeud un gradient rgularisest dabord construit partir de la solution numrique. On dfinit ensuite lestimateurcomme la diffrence entre ce gradient reconstruit et le gradient calcul par la mthode deslments finis. Cet estimateur est utilis en amont des algorithmes de remaillage dans desapplications en lectromagntisme [40, 41, 59, 64]. Dautres types destimateurs a poste-riori ont t dvelopps comme ceux bass sur la conservation de lnergie [30, 31, 47].Dautres utilisent la conservation des champs linterface entre les lments comme dans[49] pour les problmes statiques. Dans la rfrence [35] les auteurs ont introduit, pour desproblmes de magntodynamique, lestimateur bas sur la vrification des discontinuitsdes champs et lont compar avec lestimateur quilibr bas sur la non vrification de laloi de comportement. Une autre stratgie consiste augmenter le degr des polynmes desfonctions tests [22]. Enfin, il existe lestimateur de type rsiduel introduit par les travauxpionniers de Babuska et Rheinboldt pour le problme de Laplace [4, 5]. Sur ce sujet, detrs nombreux travaux ont t publis (parmi eux, les monographies [1, 6, 60] en donnentles lments fontamentaux). En 2000, cet estimateur a t appliqu des problmes dlec-tromagntisme avec une formulation en champ [7].

Dans ce mmoire de thse, nous travaillons exclusivement sur lestimateur de typersiduel appliqu des problmes dlectromagntisme.

2

Pour les problmes de magntostatique, la formulation en potentiel scalaire conduit un problme de type Laplace qui a t trait dans de nombreux travaux, comme indiquprcdemment. Ici, nous nous sommes intresss la formulation en potentiel vecteur A.

Pour les problmes de magntodynamique, les travaux prsents dans [7] consistent rsoudre le problme dans le domaine conducteur uniquement et supposent que la solutionexacte est rgulire. Cette hypothse implique que les coefficients de permabilit magn-tique et de conductivit lectrique soient de classe C 1 sur le domaine. Lhypothsesur la rgularit de la solution exacte est relaxe dans [46], qui tend les rsultats pourdes maillages isotrope et anisotrope. Des travaux sur les formulations en champs E et Hont t presents dans [58] dans les conditions de la quasi-statique, et les travaux [15, 63]dans le cadre harmonique. Une approximation par lments finis mixtes est presente dans[22]. Certains travaux sur la stabilit du processus de raffinement peuvent tre trouvsdans [14, 25, 28]. Pour la magntodynamique nous nous intressons, dans ce mmoire,aux formulations lectrique et magntique en potentiels pour des problmes harmoniques[13, 21, 61, 62].

Pour dvelopper un estimateur de type rsiduel, il est ncessaire dtablir deux pro-prits extrmement importantes : la fiabilit et lefficacit de lestimateur [1]. Ces deuxnotions seront dfinies prcisment ds le deuxime chapitre, et les travaux prsents icisont consacrs, en grande partie, leur dmonstration mathmatique.

Ce mmoire de thse se dcompose en trois parties. Dans la premire partie, nousprsentons dabord les problmes rsoudre. Pour cela nous introduisons les quations deMaxwell, les lois de comportement, les conditions aux limites et enfin les formulations enpotentiel dans le chapitre 1. Ensuite, dans le chapitre 2, une prsentation mathmatiquede la mthode des lments finis et les proprits des estimateurs derreur sont introduites.Pour faciliter la lecture du document, nous dfinissons les espaces fonctionnels utiliss etles hypothses importantes effectuer.

La deuxime partie est dcompose en trois chapitres. On aborde tout dabord les deuxformulations en potentiels de la magntostatique. On dveloppe surtout la formulation enpotentiel vecteur A. On suppose tout dabord que sur toute la frontire du domaine lesconditions aux limites sont de type B n = 0. Cette hypothse, qui sera leve par lasuite en introduisant des conditions aux limites mixtes, permet de mener bien les d-veloppements mathmatiques. Aprs une attention particulire porte la condition dejauge, les outils mathmatiques importants sont introduits et utiliss pour parvenir auxrsultats. Pour le cas des conditions aux limites mixtes, une dcomposition de Helmholtzad-hoc est dveloppe. Des cas tests acadmiques sont proposs pour valider et comparerces estimateurs numriquement. Dans les deux autres chapitres, nous traitons le problmede la magntodynamique. Nous dveloppons lestimateur de type rsiduel pour les formu-lations A/ et T/. Par rapport au cas de la magntostatique, les dmonstrations sontplus complexes, notamment en ce qui concerne la dcomposition de Helmholtz.

Enfin, la troisime partie est consacre lapplication des estimateurs pour des cas in-

3

Introduction

dustriels en magntostatique et en magntodynamique. Nous analysons les performancesdes estimateurs dvelopps, en interprtant les rsultats physiquement. Pour terminer,nous traitons un cas relatif au contrle non destructif par courants de Foucault (C.N.D-CF) .

4

Premire partie

Gnralits

5

Chapitre 1

Modlisation

Les systmes lectromagntiques sont rgis par les quations de Maxwell. Aprs leurintroduction, on prsente les lois de comportement associes, puis les conditions aux li-mites. On sintresse ensuite au cas de la magntostatique avec les formulations en po-tentiels. Pour la basse frquence il y a deux modles envisageables [50] ; dans cette tude,compte tenu de la thmatique aborde, on dveloppera la formulation quasi-stationnairemagntique communment appele magntodynamique.

1.1 Introduction du modle

1.1.1 Equations de Maxwell

Soit D un domaine dtude de frontire rgulire. Dc est un domaine conducteurinclus dans D et Dnc un domaine non-conducteur (voir Fig. 1.1).

Dc

> 0 > 0

Dnc = 0 > 0

Dc

D

Js

Fig. 1.1 Domaine dtude.

On impose une source de courant Js dans le domaine non-conducteur Dnc. Les qua-tions de MAXWELL rgissent lensemble des phnomnes lectromagntiques. Ellespeuvent scrire sous la forme gnrale :

rotE = Bt, (1.1)

7

Chapitre 1. Modlisation

rotH = J +D

t, (1.2)

div B = 0, (1.3)

div D = , (1.4)

o E et H sont respectivement les champs lectrique et magntique. D et B sont respec-tivement les inductions lectrique et magntique. J est la densit de courant, qui peut sedcomposer en deux parties :

J = Js + Jind,

o Js reprsente le terme source et Jind le courant induit, et est la densit volumiquede charge lectrique.

On sintresse au problme de la magntodynamique, cest--dire que lon restreint

ltude lapproximation des quations (1.1)-(1.4) avec le termeD

tdans lquation

(1.2) nglig, ce qui correspond la non prise en compte des phnomnes de propagationdes champs lectriques. On obtient alors la forme locale du thorme dAmpre :

rotH = J, (1.5)

ce qui induit la conservation de la densit de courant :

div J = 0. (1.6)

En magntostatique, le termeB

tdans lquation (1.1) disparait, et on ne considre

alors plus que les quations (1.3) et (1.5).

1.1.2 Lois de comportement

Les proprits lectriques et magntiques des diffrents milieux du domaine sont prisesen compte par les lois de comportement. Celles-ci lient les diffrents champs magntiqueset lectriques entre eux. On suppose que dans la suite les lois ne dpendent que des champset de faon linaire.

Dans les conducteurs, on obtient alors une relation de la forme

J = E, (1.7)

o est la conductivit lectrique.

En notant la permabilit magntique, la loi de comportement magntique scrit :

B = H. (1.8)

8

1.1. Introduction du modle

1.1.3 Conditions aux limites

Pour assurer lunicit de la solution du systme dquations (1.1)-(1.4), en tenantcompte des lois de comportement (1.7) et (1.8), il est ncessaire dimposer des conditionsaux limites et initiales sur les champs. Pour les conditions initiales, compte tenu des rela-tions liant H et B, il suffit de connatre la rpartition initiale de linduction ou du champmagntique. En gnral, on prend B gal zro linstant initial.

(a) Cas 1 (b) Cas 2

Dc DcDnc

DncJJB H

B

E

Fig. 1.2 Conditions aux limites imposes sur la frontire du domaine.

Pour les conditions aux limites, la frontire D du domaine entier D peut se d-composer en deux parties, lune note B avec des conditions aux limites sur linductionmagntique et lautre H relative au champ magntique (voir Fig. 1.2(a)). On a :

D = B H et B H = .

Sur la frontire H , on impose des conditions aux limites de la forme :

n H|H = 0, (1.9)

ce qui correspond au fait que le champ magntique sort du domaine de manire normale.Sur B, on impose des conditions aux limites de type :

n B|B = 0, (1.10)

ce qui correspond au fait que linduction magntique ne sort pas du domaine.

Concernant la frontire Dc du domaine conducteur Dc, dans le cas gnral, celle-cise dcompose en deux parties : lune note E et lautre note J :

n E|E = 0, (1.11)

n J|J = 0. (1.12)

9


Sur la figure 1.2(a), le domaine Dc tant strictement inclus dans D, on a alors une uniquefrontire de type J , i.e. Dc = J .

Dans le cas o le domaine conducteur Dc touche la frontire D du domaine D,lintersection des frontires Dc et D nest pas vide (voir Fig. 1.2(b)). Dans ce cas l,on a les deux relations suivantes :

1. Les relations (1.5) et (1.9) impliquent (1.12).

2. Les relations (1.1) et (1.11) impliquent (1.10).

1.2 Formulations en potentiels

Les quations de Maxwell peuvent tre rsolues en champs magntique ou bien lec-trique. Cependant, on peut avoir intrt utiliser les formulations en potentiels. Lespotentiels sont des outils mathmatiques intermdiaires pour dterminer les champs lec-tromagntiques, avec lesquels il est plus facile dimposer les conditions de transmission deschamps linterface entre deux sous domaines ayant des proprits physiques diffrentes.Il faut mentionner ici que pour assurer lunicit des potentiels, il est ncessaire dimposerune condition de jauge.

1.2.1 Magntostatique

Formulation A

Pour le problme de la magntostatique, on cherche rsoudre les quations :

div B = 0 dans D,

rotH = Js dans D.(1.13)

Dans le cas statique, on na pas de courant induit, et en consquence, J = Js.

Sur la frontire D du domaine D, on considre deux types de conditions aux limites :on suppose que D = B H , avec B H = et B connexe. Les conditions auxlimites imposes sur la frontire sexpriment par :

B n = 0 sur B,

H n = 0 sur H .(1.14)

Prenant en compte le fait que div B = 0 et que le domaine D est simplement connexe,une fonction du potentiel vecteur A est alors introduite telle que B = rotA. Les problmes(1.13) et (1.14) scrivent sous la forme :

10

1.2. Formulations en potentiels

rot

(1

rotA

)= Js dans D,

A n = 0 sur B,

1

rotA n = 0 sur H ,

(1.15)

o le terme source Js est suppos tel que :

div Js = 0 dans D,

Js n = 0 sur H .(1.16)

Ici, pour assurer lunicit de la solution du problme (1.15), il faut ajouter une conditionde jauge. Il en existe plusieurs. Dans notre cas, on prend la jauge de Coulomb (div A = 0),qui est implicite dans la mthode des lments finis lorsque le problme est rsolu avecune mthode itrative de type gradient conjugu [54].

Formulation

Comme Js est une grandeur connue divergence nulle, on peut crire [33] :

rotHs = Js.

Dans ce contexte, on peut introduire un potentiel scalaire qui permet dexprimer lechamp magntique H sous la forme :

H = Hs .Les problmes (1.13) et (1.14) deviennent :

div () = div (Hs) dans D,

n = Hs n sur B,

= Constante sur H ,

(1.17)

o le terme source Hs satisfait

Hs n = 0 sur H . (1.18)

En pratique, on peut prendre = 0 sur H quitte introduire = Constante,puisque = .

Remarque 1.1 Ici, dans le cas o H = , on na plus unicit de la solution pour leproblme (1.17), il nous faut donc ajouter une condition de jauge. Dans ce cas on choisit

la valeur moyenne de nulle sur le domaine D (i.e.

D

= 0).

11


1.2.2 Magntodynamique

Formulation A/

Avec la mme dmarche que celle opre dans le cas de la magntostatique, les qua-tions que lon va rsoudre sont (1.1), (1.3) et (1.5) :

rotE = Bt,

rotH = J,

div B = 0.

(1.19)

De faon similaire au problme de la magntostatique, comme div B = 0, on peutintroduire un potentiel vecteur A dans tout le domaine tel que :

B = rotA.

En tenant compte de (1.1), on a :

rot

(E +

A

t

)= 0.

On obtient alors lexpression du champ E en fonction du potentiel scalaire qui estseulement dfini dans le domaine conducteur Dc :

E = At

.En utilisant les potentiels A et , le champ magntique H et la densit de courant induitJind peuvent sexprimer par :

H =1

rotA et Jind =

(At

).

En remplaant H et J dans le systme (1.19), on obtient :

rot

(1

rotA

)

(At

)

= Js,

et en appliquant loprateur divergence cette quation, on obtient :

div

(

(At

))

= 0.

Dans ces conditions, la formulation A/ pour le problme de magntodynamique prendla forme suivante :

rot

(1

rotA

)

(At

)

= Js dans D,

div

(

(At

))

= 0 dans Dc.

(1.20)

12

1.2. Formulations en potentiels

Formulation T/

Comme div Js = 0 dans le domaine D, il existe un terme source Hs [33] tel que :

rotHs = Js dans D.

De plus, dans le domaine conducteur Dc que lon suppose simplement connexe, commediv Jind = 0, une fonction en potentiel vecteur T peut tre introduite telle que :

rotT = Jind.

En tenant compte de (1.5), on peut crire le champ magntique H sous la forme :

H =

Hs + T dans Dc,

Hs dans Dnc,(1.21)

o reprsente le potentiel scalaire dans le domaine D.

Le systme devient :

rot

(1

rotT

)+

t( (T )) =

t(Hs) dans Dc.

En appliquant loprateur divergence lquation prcdente, on obtient :

div ((T )) = div (Hs) dans Dc. (1.22)

De plus, on a div B = 0 dans D, on obtient :

div () = div (Hs) dans Dnc. (1.23)

On en dduit la formulation T/ pour le problme de la magntodynamique :

rot

(1

rotT

)+

t( (T )) =

t(Hs) dans Dc,

div ((T)) = div (Hs) dans Dc,

div (()) = div (Hs) dans Dnc.

(1.24)

13


14

Chapitre 2

Mthode numrique et cadre

fonctionnel

On introduit ici les estimateurs derreur, et plus particulirement lestimateur der-reur a posteriori dans le cadre de la mthode des lments finis. On propose ensuite uneprsentation des espaces fonctionnels utiliss. Enfin, on donne les hypothses de travaildfinissant le cadre de notre tude.

2.1 Mthode des lments finis et estimateurs derreurs

2.1.1 Mthode des lments finis

Dans le chapitre prcdent, nous avons dvelopp, laide des formulations en po-tentiels, les quations aux drives partielles rsoudre pour les problmes de magnto-statique et de magntodynamique. Dans le cas gnral, il est impossible de les rsoudreanalytiquement. On a donc recours des mthodes numriques.

La mthode des lments finis est la plus utilise dans ce domaine. Considrons leproblme qui consiste trouver la solution u du systme dfini par :

A(u) = f. (2.1)

En utilisant la mthode de lments finis, pour rsoudre le problme (2.1), on tablitla formulation variationnelle correspondante, on a donc dfinir lespace fonctionnel Vdans lequel on cherche la solution exacte u (on lappelle le problme continu (2.2)). Oncherche ensuite la solution approche uh dans un espace fonctionnel Vh (que lon appellele problme discret (2.3)). On parle dlments finis conformes lorsque Vh V .

Le problme continu consiste trouver la solution u V telle quea(u, v) = l(v), v V. (2.2)

o a(, ) une forme bilinaire et l() une forme linaire.

15

Chapitre 2. Mthode numrique et cadre fonctionnel

En pratique, au niveau discret, le problme rsoudre prend la forme :

Trouver la solution uh Vh tel que

a(uh, vh) = l(vh), vh Vh. (2.3)

2.1.2 Dfinition des erreurs de discrtisation

Lerreur de discrtisation au sens de la norme de lnergie sur un domaine D note||| |||D , est dfinie par :

= |||u uh|||D .Soit D le domaine dtude et T un lment fini (un ttradre dans le cas de cette

tude), on dfinit lerreur globale D par :

2D = |||u uh|||2D,

et lerreur locale dans chaque lment T par :

2T = |||u uh|||2T .

On dfinit maintenant le patch dun lment P(T ) par lensemble des lments quiont une face (cas 3D) ou une arte (cas 2D) commune avec llment T (voir Fig. 2.1).

T

P(T )

Fig. 2.1 Patch dun lment T .

Dans ce cas, lerreur locale P(T ) est dfinie par :

2P(T ) = |||u uh|||2P(T )

On peut alors exprimer :

2P(T ) =

T P(T )

2T et 2D =

TT

2T ,

o T est lensemble des ttradres.

16

2.1. Mthode des lments finis et estimateurs derreurs

2.1.3 Estimateur derreur

Dans la suite, nous allons chercher quantifier lerreur de discrtisation laide dunequantit appele estimateur.

Il existe des estimateurs a priori, qui nous permettent dassurer la convergence delerreur. Pour utiliser ce type destimateur, il est ncessaire de connatre la rgularit dela solution exacte [23, 42]. Une estimation derreur a priori sexprime sous la forme :

|||u uh|||D C hpmax N (u),

o hmax est la valeur maximale du diamtre dune maille, p est lordre de convergence,N (u) une quantit qui dpend de u et de sa rgularit, et C une constante qui ne dpendni de u ni de hmax (bien quelle puisse dpendre de la rgularit du maillage).

Les estimateurs que nous allons dvelopper font partie de la famille des estimateurs aposteriori car ils sappuient sur la solution numrique et sur les donnes du problme sansexiger de rgularit plus forte sur la solution exacte que celle impose par la formulationfaible. Pour les quations aux derives partielles elliptiques avec les conditions aux limitesde Dirichlet et de Neumann (par exemple, lquation de Laplace pour la formulation enpotentiel scalaire ), lestimateur derreur a posteriori de type rsiduel est bien dve-lopp en mathmatiques [1, 6, 44, 60]. Pour la formulation en champs, il a commenc tre considr en 2000 pour un problme dlectromagntisme [7], avec comme hypothserestrictive que la solution exacte doive tre rgulire, impliquant que les coefficients depermabilit et de conductivit soient de classe C 1 sur le domaine. Les rsultats ontt tendu aux coefficients constants par morceaux [46]. Plus rcemment de nombreuxtravaux ont concern les formulations en champ lectrique E et en champ magtique H.Ces formulations en champs ne peuvent pas tre utilises dans des domaines non conduc-teurs car elles supposent une conductivit stritement positive. En utilisant les formula-tions potentielles A/ et T/, on peut rsoudre des problmes multi-domaines. A notreconnaissance, il ny a pas de publications sur lestimateur derreur a posteriori concer-nant ces deux formulations en potentiel. On peut nanmoins noter la rfrence [13] quipropose une formulation en potentiel dans laquelle napparait pas comme une inconnue.

Dans le domaine du gnie lectrique, certains estimateurs a posteriori sont usuellementutiliss. Pour les problmes de magntostatique, un estimateur derreur a posteriori bassur la non vrification de la loi de comportement est couramment utilis. Cet estimateurncessite la connaissance de deux solutions admissibles [11, 12, 17, 36, 39, 55]. Il peut nousdonner une majoration globale de lerreur sans constante multiplicative. (i.e. voir (2.5),o on a directement D D), mais lerreur estime par cet estimateur est la somme desdeux erreurs commises par les deux formulations. Ce point sera detaill dans le chapitre 3.Dans ce travail nous nous sommes intresss aux estimateurs rsiduels et quilibrs mmesi notre principale contribution concerne les estimateurs de type rsiduel.

On note T lestimateur local sur un lment T , et D lestimateur global sur tout le

17


domaine D, qui scrit :

2D =

TT

2T .

On dmontrera dans la suite de ce travail quil est possible dcrire :

C1 D D C2 D. (2.4)

o les constantes C1 et C2 ne dpendent que des donnes du problme, mais pas de laprcision du maillage. On introduit ici la notation quivalente :

D . D . D.

La relation (2.4) nous permet dassurer que lestimateur peut contrler lerreur globale.

(a) Erreur locale (b) Estimateur local.

T T

Fig. 2.2 Erreur et Estimateur local

Dans la pratique, on souhaite obtenir un contrle sur lerreur locale T (voir Fig.2.2(a)) par lestimateur T (voir Fig. 2.2(b)) afin de pouvoir utiliser lestimateur pourpiloter le raffinement de maillage. Malheureusement on narrive pas majorer lerreurlocale T . En revanche, on peut majorer lerreur globale D. Cette proprit sappelle lafiabilit, soit

D . D. (2.5)

Par contre, on parvient minorer lerreur locale sur un patch relatif llment T et notP(T ). Cest ce que lon appelle lefficacit locale :

T . P(T ). (2.6)

Remarque 2.1 On observe que :

1. Si lestimateur global converge vers 0, la fiabilit nous permet de dire que lerreurglobale tend vers 0 galement.

2. Lefficacit locale nous permet de dire que si lestimateur T est grand, alors, sur lepatch relatif llment T lerreur est galement importante.

Le coeur des travaux prsents dans ce mmoire est de dmontrer ces deux propritespour des estimateurs dans le cas des formulations en potentiels de la magntostatique etde la magntodynamique.

18

2.2. Espaces fonctionnels utiliss

2.2 Espaces fonctionnels utiliss

Lutilisation de la mthode des lments finis ncessite dintroduire certains espacesfonctionnels.

D

Fig. 2.3 Domaine D .

Soit D un domaine quelconque, de frontire D = (voir Fig. 2.3). On noteL2(D) et L2(D) respectivement les espaces fonctionnels dans lesquels la fonction scalaireet la fonction vectorielle sont de carr intgrable dans le domaine D :

L2(D) =

{u,

D

| u |2< +},

L2(D) =

{u,

D

| u |2< +}.

Ici, on restreint notre tude dans le cas de la dimension 3. On notera donc :

L2(D) = L2(D)3.

En utilisant les dfinitions des espaces fonctionnels L2(D) et L2(D), on introduit desespaces dfinis par des oprateurs diffrentiels comme le gradient, la divergence et lerotationnel :

H(grad,D) ={u L2(D),u L2(D)3

},

H(rot,D) ={u L2(D)3, rotu L2(D)3

},

H(div ,D) ={u L2(D)3, div u L2(D)

}.

On prcise maintenant les conditions aux limites associes ces espaces. H(grad,D) estaussi le sous espace de H(grad,D), dont les lments sont nuls sur la frontire , i.e.

H(grad,D) = {u H(grad,D), u = 0 sur } .

Si = D , on note H0(grad,D) = HD(grad,D).

19


Pareillement, on considre les conditions aux limites associes aux espaces H(rot,D)et H(div ,D) :

H(rot,D) = {u H(rot,D),u n = 0 sur } ,

H(div ,D) = {u H(div ,D),u n = 0 sur } .

Remarque 2.2 En mathmatiques, on utilise habituellement la notation H1(D) laplace de H(grad,D), ce qui sera le cas dans la suite de ce manuscrit.

On introduit de plus lespace fonctionnel PH1(D) qui est constitu des fonctions H1

par morceaux sur le domaine D . On considre donc une partition du domaine D sous la

forme : D =J

j=1

Dj, o Di Dj = , i 6= j (voir Fig. 2.4). On note :

PH1(D) ={u L2(D); 1 j J, u H1(Dj)

},

Fig. 2.4 Partition du domaine D .

avec la norme associe

u2PH1(D) = u2D + pu2D , (2.7)

o

pu2D =J

j=1

u|Dj2Dj.

Dans les dveloppements que nous serons amens faire ultrieurement, il sera nces-saire dintroduire de nouveaux espaces fonctionnels qui seront dfinis au fur et mesuredes besoins du dveloppement.

2.3 Hypothses importantes

Dans ce mmoire, comme indiqu prcdemment, nous allons dvelopper lestimateurde type rsiduel pour la formulation A en magntostatique et pour les formulations A/et T/ dans le cas magntodynamique. Nous effectuerons les hypothses suivantes :

20

2.3. Hypothses importantes

Le domaine de calcul D est simplement connexe.

Pour la formulation T/, on suppose que le domaine conducteur Dc est simplementconnnexe. Dans le cas contraire, il serait en effet ncessaire dajouter une quationsupplmentaire [57].

La frontire B est connexe ce qui est le cas des problmes gnralement rencontrsen physique.

Dans la suite du travail, compte tenu du choix de la discrtisation pour mailler ledomaine de calcul (mailles ttradriques), on suppose que les domaines de calculsont tous polyhdraux, et possdent en consquence les hypothses de rgularitsuffisantes pour obir aux hypothses des diffrents thormes auxquels nous au-rons recours.

En ce qui concerne le maillage :

Le maillage T est constitu de ttradres. On dfinit les notations suivantes :

T Ensemble des ttradres,N Ensemble des noeuds,Nint Ensemble des noeuds intrieurs,E Ensemble des artes,F Ensemble des faces,Fint Ensemble des faces intrieures.

Il est rgulier au sens de Ciarlet. i.e. hT/T est born, o hT et T sont respecti-vement le diamtre de la boule la plus petite qui contient llment et le diamtrede la boule la plus grande qui est incluse dans llment.

Enfin, dans ce travail, on suppose que le conductivit et le permabilit sontdes grandeurs scalaires et constantes par ttradre et on note :

T = |T , T T et T = |T , T T .

21


22

Deuxime partie

Problmes Electromagntiques

23

Chapitre 3

Problmes Magntostatiques

Dans ce chapitre, on rappelle dabord les rsultats classiques sur les estimateurs der-reur a posteriori de type rsiduels pour la formulation . On dveloppe ensuite des es-timateurs de mme type pour la formulation A, avec des conditions aux limites de typeB n = 0 sur toute la frontire du domaine. Puis on tend ce rsultat des conditionsaux limites mixtes. On introduit alors un estimateur quilibr trs utilis en magntosta-tique, bas sur la non vrification de chaque loi de comportement. Enfin, une validationnumrique pour ces estimateurs est effectue.

Pour dvelopper cet estimateur de type rsiduel, on commence par tudier le caractrebien pos du problme continu et celui du problme discret. Ensuite, on introduit quelquesoutils ncessaires, par exemple, les interpols de Clment ou les fonctions de bulles. Ladcomposition de Helmholtz est aussi prsente dans la suite pour montrer la fiabilit delestimateur. Enfin, lefficacit locale est prouve.

3.1 Formulation

La formulation en magntostatique revient la rsolution dune quation de La-place. On rappelle ici la forme de lestimateur derreur rsiduel a posteriori [8].

La formulation variationnelle du problme continu (1.17) scrit :

Trouver V (D), tel que

D

=

D

Hs , V (D), (3.1)

o lespace fonctionnel V (D) est dfini par :

V (D) = HH(D) ={ H1(D), = 0 sur H

}.

Dans le cas H = , il ny a pas unicit de la solution. On ajoute alors une condition dejauge de telle sorte que la valeur moyenne de soit nulle sur D. (i.e.

D

= 0). Dans ce

25

Chapitre 3. Problmes Magntostatiques

cas-l, on dfinit donc V (D) par

V (D) = H1(D) =

{ H1(D),

D

= 0

}.

On introduit alors le problme discrtis :

Trouver h Vh(D), tel que

D

h h =

D

Hs h, h Vh(D), (3.2)

o lespace fonctionnel Vh(D) est dfini par :

Vh(D) = V (D) h(D),

avec

h(D) = {h H1(D) : h |T P1(T ), T T },

et P1(T ) lespace des fonctions polynmiales de degr 1 sur llment T . Lerreur que loncherche estimer est lerreur au sens de lnergie entre la solution exacte et la solutionnumrique h :

2,D =

D

|( h)|2 . (3.3)

Thorme 3.1 Lestimateur derreur locale dans le ttradre T de la triangulation estdfini par :

2T = 2T ;1 +

FTFint

2F ;1 +

FTB

2F ;2.

avecT ;1 = hT div ((Hs h))T ,

F ;1 = h1/2F [n (Hs h)]FF ,

F ;2 = h1/2F n (Hs h)F .

(3.4)

Ici, la norme T et F sont respectivement la norme L2 dans le ttradre T et laface F . hT et hF sont respectivement le diamtre du ttradre T et de la face F . Fint estlensemble des faces intrieures au domaine. [u]F est la saut de la quantit u travers laface F du maillage. De plus, lestimateur global est dfini par :

2 =

TT

2T . (3.5)

26

3.2. Formulation A avec conditions aux limites B n = 0 sur toute la frontire

3.2 Formulation A avec conditions aux limites B n = 0sur toute la frontire

3.2.1 Formulation variationnelle et caractre bien pos du pro-

blme continu

Daprs la formulation en potentiel (1.15) et prenant en compte le fait que H = , laformulation variationnelle du problme continu en formulation A scrit :

Trouver A X0(D), tel quea(A,A) = l(A), A X0(D), (3.6)

o a et l sont respectivement la forme bilinaire et linaire :

a(A,A) =

D

1

rotA rotA et l(A) =

D

Js A,

et o lespace fonctionnel X0(D) est dfini par :

X0(D) =

{A X(D),

D

A = 0, H10 (D)},

avec

X(D) = H0(rot, D) ={A L2(D)3; rotA L2(D)3,A n = 0 sur D

}.

Ici, la condition de jauge a t incluse dans lespace X0(D) afin dassurer lunicit de

la solution. En effet,

D

A = 0, H10 (D) revient imposer au sens faible lacondition de jauge de type Coulomb div A = 0.

Lemme 3.2 Il existe une unique solution au problme (3.6).

Preuve: Puisque X0(D) est un espace de Hilbert, on vrifie ici les hypothses du thormede Lax-Milgram. On rappelle ici la norme associe lespace X0(D) :

2X0(D) = 2D + rot 2D.1. a est une forme continue sur X0(D) X0(D) :

|a(A,A)| =

D

1

rotA rotA

maxD

{1

}

D

|rotA rotA|

maxD

{1

}(

D

|rotA|2)1/2(

D

|rotA|2)1/2

= maxD

{1

} rotAD rotAD

maxD

{1

}AX0(D)AX0(D).

27


2. a est coercive :

a(A,A) =

D

1

rotA rotA min

D

{1

}

D

|rotA|2 = minD

{1

} rotA2D.

On voudrait montrer lexistence dune constante C > 0 telle que a(A,A) CA2X0(D).Il suffit donc de montrer lexistence dune constante C1 telle que rotAD C1AD. Or lingalit de Friedrichs (voir [42], page 88) nous assure quil existeune constante C2 telle que pour tout A X0(D),

AD C2 rotAD, (3.7)ce qui prouve donc la coercivit de a sur X0(D).

3. l est une forme linaire continue sur X0(D) :

|l(A)| =

D

Js A

D

|Js A| (

D

|Js|2)1/2(

D

|A|2)1/2

C3 AD C3 AX0(D),

avec C3 =

(

D

|Js|2)1/2

.

Daprs les points 1, 2 et 3, le thorme de Lax Milgram assure lexistence et lunicit dela solution.


blme discret

On introduit maintenant la formulation variationnelle du problme discret :

Trouver Ah X0h(D), tel quea(Ah,A

h) = l(A

h), Ah X0h(D), (3.8)

o lespace fonctionnel X0h(D) est dfini par :

X0h(D) =

{Ah Xh(D),

D

Ah h = 0, h 0h(D)},

avec :

Xh(D) = X(D) ND1(D,T ) = {Ah H0(rot, D),Ah |T ND1(T ), T T } ,

ND1(T ) ={Ah :

T R3x a + b x , a,b R

3

},

0h(D) = {h H10 (D) : h |T P1(T ), T T }.Concernant le caractre bien pos du problme, on procde de faon similaire au cas

continu.

28



Preuve: La dmonstation est similaire celle du lemme 3.2, la difficult essentielle tantrelative la coercivit de la forme bilinaire a sur X0h(D). On utilise pour cela une ingalitde Friedrichs discrte (voir [42], page 185) : Il existe une constante C, indpendante dumaillage, telle que

AhD C rotAhD, Ah X0h(D). (3.9)

3.2.3 Estimation derreur a posteriori

Nous allons ici prsenter et dvelopper quelques outils et proprits qui nous serontncessaires pour mener lanalyse destimation derreur a posteriori.

Dcomposition de Helmohltz

En mathmatiques et en physique, dans le domaine de lanalyse vectorielle, le thormede Helmholtz-Hodge, galement appel thorme fondamental du calcul vectoriel, assurequun champ vectoriel se dcompose en une composante "longitudinale" (irrotationnelle)et une composante "transverse" (solnodale), soit la somme du gradient dun champscalaire et du rotationnel dun champ vectoriel.

Thorme 3.4 Tout u X(D) admet la dcomposition de Helmholtz suivante :u = v + ,

avec v X0(D) et H10 (D).Preuve: Voir le thorme 3.40 de [42], page 66.

Remarque 3.5 Il est clair que X0(D) X(D) L2(D)3. Le thorme 3.4 permetdonc de dcomposer le champ u X(D) en une somme constitue dune partie jaugev X0(D) et du gradient dune fonction H10 (D).

Pour les espaces relatifs au problme discret, on obtient une dcomposition similaire(voir [24], page 272) :

Thorme 3.6 Tout uh Xh(D) admet la dcomposition de Helmholtz suivante :uh = vh + h,

avec vh X0h(D) et h 0h(D).Thorme 3.7 Tout v X0(D) admet la dcomposition de Helmholtz suivante :

v = w + ,o H10 (D) et w X0(D) H1(D)3. De plus, on a la majoration :

wH1(D)3 + H1(D) . vX0(D). (3.10)Preuve: Ce thorme est un cas particulier du thorme 3.4 de [19].

29


Interpols de Clment

Interpol de Clment Standard

On dfinit ici x 0h(D) la fonction de base associe au noeud x de la triangulation,et dfinie par :

x(y) = x,y, y N .De plus, pour tout noeud x N , on dfinit x lensemble des ttradres qui contiennentce noeud x.

Dfinition 3.8 Soit D un domaine dtude de frontire D rgulire. On dfinit linter-pol de Clment I0Cl,D : H

10 (D) 0h(D) par :

I0Cl,D v =

xNint

1

|x|(

x

v)x.

Dfinition 3.9 Soit D un domaine dtude de frontire D rgulire. On dfinit linter-pol de Clment ICl,D : H1(D) h(D) par :

ICl,D v =

xND

1

|x D|(

xD

v)x.

On a alors [16] :

Lemme 3.10 Pour tout v0 H10 (D) et v H1(D), on a :

TT

h2T ||v0 I0Cl,D v0||2T +

FFint

h1F ||v0 I0Cl,D v0||2F . ||v0||2D, (3.11)

TT

h2T ||v ICl,D v||2T +

FF

h1F ||v ICl,D v||2F . ||v||2D. (3.12)

Interpol de Clment vectoriel

Comme nos problmes font intervenir des fonctions de X(D), on a galement besoindun interpol de Clment vectoriel introduit dans [46]. On dfinit la fonction de basewE Xh(D), pour tout E E par :

EwE . tE = E,E, E E ,

o tE le vecteur unitaire tangent E.

Dfinition 3.11 Pour toute arte E E , on fixe une face qui contient cette arte FE F . Linterpol de Clment

P0Cl,D : H1(D)3 X(D) Xh(D),w P0Cl,Dw,

30


est dfini par :

P0Cl,Dw =

EE

(

FE

(w nFE) fFEE)wE,

o les fonctions vectorielles fFEE sont dtermines par :

FE

(wE nFE) fFEE = E,E, E , E E FE .

On obtient alors la majoration [7] :

Lemme 3.12 Pout tout w H1(D)3 X(D),

TT

h2T ||w P0Cl,D w||2T . ||w||2H1(D)3 ,

FFint

h2T ||w P0Cl,D w||2F . ||w||2H1(D)3 .(3.13)

Fonctions bulles et ingalits inverses

On introduit ici les fonctions bulles bT et bF polynmiales sur chaque maille respec-tivement dfinies sur un ttradre T et un patch F = T1 T2 o F = T1 T2 quisatisfont :

bT = 0 sur T, bF = 0 sur F , bT,T = bF,F = 1,

ainsi quun oprateur dextension : Fext : C(F ) C(T ), on obtient alors les ingalitsinverses suivantes (voir [60]) :

Lemme 3.13 (Ingalits inverses) Soit vT Pk0(T ) et vF Pk1(F ), k0 N, k1 N. On a :

vTT . vT b1/2T T , (3.14)(vT bT )T . h1T vTT , (3.15)

vFF . vF b1/2F F , (3.16)Fext(vF )bFT . h1/2F vFF , (3.17)

(Fext(vF )bF )T . h1/2F vFF . (3.18)

Les constantes de majoration dpendent des degrs des polynmes k0 ou k1, mais ne d-pendent pas de T , F , vT et vF .

Remarque 3.14 La construction de fonctions bulles seffectue simplement par :

bT = 2564

l=1

bl;T , bF = 273

l=1

bFl;T , (3.19)

o bl;T sont les coordonnes barycentriques du ttradre T associes aux sommets Al de T .

31


Remarque importante

Dans le code numrique de rsolution dvelopp au L2EP, le problme nest pas proprement parler jaug et la solution numrique est recherche dans Xh(D). Cependant,le solveur itratif utilis pour rsoudre le systme linaire (non inversible) permet de pr-server la proprit de divergence discrte nulle de la solution, qui nest autre quun moyenimplicite de jauger le problme et dobtenir in fine lunicit de la solution [54]. On montrepar ailleurs que la jauge nest plus ncessaire pour les fonctions test daprs les deuxlemmes suivants :

Lemme 3.15 Soit A X0(D) la solution du problme (3.6). On suppose que div Js = 0dans D. Alors :

a (A,A) = l (A) , A X(D).

Preuve: Comme A X(D), nous pouvons utiliser la dcomposition de Helmholtz duthorme 3.4 :

A = + avec X0(D) et H10 (D).Donc

a(A,A) = a(A, + ).On a

a(A, + ) =

D

1

rotA rot ( + )

=

D

1

rotA rot.

Comme X0(D), daprs le problme (3.6), on a :

a(A, + ) = l() =

D

Js =

D

Js ( + ),

car

D

Js =

D

(Js n)

D

div Js = 0, (3.20)

puisque H10 (D) et que par hypothse div Js = 0 sur D.

En consquence,a (A,A) = l (A) , A X(D).

Lemme 3.16 Soit Ah X0h(D) la solution du problme (3.8), on a alors :

a (Ah,Ah) = l (A

h) , Ah Xh(D).

32


Preuve: Comme Ah Xh(D), nous pouvons utiliser la dcomposition de Helmholtz duthorme 3.6 :

Ah = h + h avec h X0h(D) et h 0h(D).Donc

a(Ah,Ah) = a(Ah,h + h).

On a

a(Ah,h + h) =

D

1

rotAh rot (h + h)

=

D

1

rotAh roth.

Comme X0h(D), daprs le problme discret (3.8), on a :

a(Ah,h + h) =

D

Js h =

D

Js (h + h),

car

D

Js h = 0. En effet,

D

Js h =

D

(Js n)h

D

div Js H ,

or div Js = 0 et h = 0 sur D.

On en dduit que :

a (Ah,Ah) = l (A

h) , Ah Xh(D).

Lemme 3.17 On a la condition dorthogonalit de Galerkin suivante :

a (A Ah,Ah) = 0, Ah Xh(D).

Preuve: Consquence directe des lemmes 3.15 et 3.16.

Remarque 3.18 On a introduit jusquici quatre espaces fonctionnels associs aux pro-blmes continu et discret :

X(D) Espace continu,X0(D) Espace continu jaug,Xh(D) Espace discret,X0h(D) Espace discret jaug.

Il est clair que Xh(D) X(D), X0(D) X(D) et X0h(D) Xh(D), mais cependantX0h(D) 6 X0(D) :

33


Xh(D) X(D)

X0h(D) 6 X0(D)

En considrant les problmes (3.6) et (3.8), on a donc affaire une approximation non-conforme, parce que lespace dapproximation X0h(D) nest pas inclus dans lespace X

0(D).Cependant grce au lemme 3.17 on recouvre la proprit dorthogonalit usuelle.

Dfinition du rsidu

Pour tout A X(D), on dfinit le rsidu par :

r(A) = l(A) a(Ah,A).

Remarque 3.19 Daprs le lemme 3.16, il est clair que r(Ah) = 0 pour tout Ah

Xh(D).

Lemme 3.20 Soit lerreur en A dfinie par :

eA = A Ah X(D). (3.21)

On a :

r(eA) =

D

1

|rot eA|2 . (3.22)

Preuve:

r(eA) = l(A Ah) a(Ah,A Ah). (3.23)

Comme A Ah X(D), le lemme 3.15 implique que :

l(A Ah) = a(A,A Ah). (3.24)

Daprs (3.23) et (3.24), on obtient :

r(eA) = a(A,A Ah) a(Ah,A Ah) = a(A Ah,A Ah).

Ce qui dmontre le lemme.

Notre objectif est maintenant de dvelopper un estimateur pour lerreur dfinie par(3.22) :

D

1

|rot eA|2 , (3.25)

qui correspond lerreur au sens de lnergie magntique. Grce au lemme 3.20, il suffitdonc de contrler la quantit |r(eA)|.

34


Dfinition de lestimateur

Dfinition 3.21 Lestimateur derreur local dans un lment (ttradre T ) est dfini par :

2T = 2T ;1 +

2T ;2 +

FTF inth

2F ,

avec

T ;1 = hT

hJs rot(

1

rotAh

)T

,

T ;2 = hT Js hJsT ,

F = h1/2F

[n 1

rotAh

]

F

F

.

(3.26)

De plus, lestimateur global est dfini par :

2 =

TT

2T . (3.27)

Ici, h est loprateur de projection de H(div , D) = {u L2(D)3 ; div u L2(D)} dansun espace dapproximation ad-hoc et [u]F est le saut de la quantit u travers la face Fdu maillage.

Remarque 3.22 Dans la dfinition de lestimateur, on appelle le terme T ;1 "rsidu vo-lumique". Ce terme assure que lquation est vrifie au sens fort dans chaque maille,puisque lon rsout le problme au sens faible. Le terme T ;2 correspond lerreur de dis-crtisation des termes sources. Dans la pratique, on ne le calcule pas, parce quil est enpratique superconvergent, et devient donc ngligeable mesure que lon raffine le maillage.Le terme F correspond au saut. Il mesure la continuit de la composante tengentielle duchamp magntique H.

Fiabilit de lestimateur

Pour commencer notre analyse, on introduit un lemme issue des thormes 3.4 et 3.7 :

Lemme 3.23 Lerreur eA = A Ah admet la dcomposition de Helmholtz suivante :

eA = + + w,

avec H10 (D), H10 (D) et w X0(D) H1(D)3.De plus, on a la majoration suivante :

wH1(D)3 + H1(D) . rot eAD. (3.28)

35


Preuve: Comme eA X(D), on utilise la dcomposition de Helmholtz introduite dansle thorme 3.4 :

eA = + e.avec H10 (D) et e X0(D). On a clairement :

rot eAD =rot e

D. (3.29)

De plus, daprs la dcomposition de Helmholtz du thorme 3.7 et la majoration (3.10) :

e = + w,

o H10 (D) et w X0(D) H1(D)3, avec :

wH1(D)3 + H1(D) . eX0(D). (3.30)

On rappelle que :e2X0(D) = e2D + rote2D,

Comme e X0(D), on utilise encore une fois lingalit de Friedrichs (3.7) pour obtenir

eX0(D) . rot eD. (3.31)

Prenant en compte (3.29), (3.30) et (3.31), on en dduit que :

wH1(D)3 + H1(D) . roteAD.

On montre maintenant le caractre fiable de lestimateur.

Thorme 3.24 Supposons que le domaine D est simplement connexe. Alors il existeCup > 0 telle que :

(

D

1

|rot eA|2

)1/2. Cup , avec Cup = max

TT(T ) . (3.32)

La constante multiplicative incluse dans la notation . ne dpend en particulier ni de h,ni de .

Preuve: On utilise dabord la dcomposition de Helmholtz introduite dans le lemme 3.23avec les mmes notations :

eA = + + w.Daprs (3.23), on a :

r(eA) =

D

Js (+ + w)

D

1

rotAh rot(+ + w)

=

D

Js w

D

1

rotAh rotw,

36


puisque lon a div Js = 0 et , H10 (D).

Comme w X0(D) H1(D)3, on utilise linterpol de Clment introduit par ladfinition 3.11 :

P0Cl,D : X(D) H1(D)3 Xh(D)w P0Cl,D w.

On peut crire :

r(eA) =

D

Js (w P0Cl,D w + P0Cl,D w

)

D

1

rotAh rot

(w P0Cl,D w + P0Cl,D w

)

=

D

Js (w P0Cl,D w

)

D

1

rotAh rot

(w P0Cl,D w

),

puisque P0Cl,D w Xh(D), daprs le lemme 3.16, on a :

D

Js P0Cl,D w

D

1

rotAh rotP0Cl,D w = 0.

En appliquant la formule de Green sur chaque lment du maillage, on a alors :

r(eA) =

TT

T

Js (w P0Cl,D w

)

TT

T

1

rotAh rot

(w P0Cl,D w

)

=

TT

T

Js (w P0Cl,D w

)

TT

(

T

rot

(1

rotAh

)(w P0Cl,D w

)+

T

n 1

rotAh (w P0Cl,D w

))

=

TT

T

(Js rot

(1

rotAh

))(w P0Cl,D w

)

FFint

F

[n 1

rotAh

]

F

(w P0Cl,D w

).

En utilisant lingalit de Cauchy-Schwarz (rappele en Annexe A.2), on obtient :

37


|r(eA)|

TT

Js rot(

1

rotAh

)T

w P0Cl,D w

T

+

FFint

[n 1

rotAh

]

F

F

w P0Cl,D w

F

TT

hJs rot(

1

rotAh

)T

w P0Cl,D w

T

+

TT

Js hJsTw P0Cl,D w

T

+

FFint

[n 1

rotAh

]

F

F

w P0Cl,D w

F.

On utilise alors lingalit de Cauchy-Schwarz discrte (rappele en Annexe A.1) :

|r(eA)| (

TT

h2T

hJs rot(

1

rotAh

)2

T

)1/2(

TT

h2Tw P0Cl,D w

2T

)1/2

+

(

TT

h2T Js hJs2T

)1/2(

TT

h2Tw P0Cl,D w

T

)1/2

+

(

FFint

hF

[n 1

rotAh

]

F

2

F

)1/2(

FFint

h1Fw P0Cl,D w

2F

)1/2.

Ensuite, par (3.13), on a

|r(eA)| .(

TT

h2T

hJs rot(

1

rotAh

)2

T

)1/2||w||H1(D)3

+

(

TT

h2T Js hJs2T

)1/2||w||H1(D)3

+

(

FFint

hF

[n 1

rotAh

]

F

2

F

)1/2||w||H1(D)3 .

(3.33)

De plus,

roteAD maxTT

(T )

1

rot eA

D

.

38


Par (3.28), on obtient

||w||H1(D)3 . maxTT

(T )

1

rot eA

D

.

Enfin, en tenant compte de (3.22) et (3.33), on en dduit la fiabilit de lestimateur (3.26),la relation (3.32) tant vrifie avec

Cup = maxTT

(T ) .

Efficacit locale de lestimateur

Pour obtenir lefficacit locale (2.6), on va majorer chaque terme de lestimateur dfinidans (3.26) par lerreur locale.

Lemme 3.25 On a :

T ;1 .

1

T

1

rot eA

T

+ T ;2 (3.34)

Preuve: On dfinit jh sur T par :

jh = hJs rot( 1

rotAh

).

Daprs la dfinition de T ;1, on a :

2T ;1 = h2T jh2T , (3.35)

En utilisant lingalit inverse (3.14) et la formule de Green, on obtient :

2T ;1h2T

.

T

(hJs rot

(1

rotAh

)) bT jh

.

T

(Js + hJs) bT jh +

T

Js bT jh

T

1

rotAh rot bT jh.

(3.36)

Comme bT jh X(D), le lemme 3.15 nous donne :

D

1

rotA rot bT jh =

D

Js bT jh,

Donc :

T

Js bT jh

T

1

rotAh rot bT jh =

T

1

rot eA rot bT jh.

39


Daprs lingalit de Cauchy-Schwarz, on obtient :

T

Js bT jh

T

1

rotAh rot bT jh .

1

rot eA

T

1

rot bT jh

T, (3.37)

et

T

(Js + hJs) bT jh . Js hJsT bT jhT . (3.38)

Daprs lingalit inverse (3.15), on obtient :

rot bT jhT (bT jh)T . h1T jhT . (3.39)

Grce aux relations (3.36)(3.39), on en dduit que :

2T ;1h2T

.

((Js hJs)T +

1

Th1T

1

rot eA

T

)jhT ,

De plus, par (3.35), on a

jhT =T ;1hT

,

Do :2T ;1h2T

.

((Js hJs)T +

1

Th1T

1

rot eA

T

)T ;1hT

,

ce qui implique (3.34).

Lemme 3.26 Soit F une face commune entre les ttradres T1 et T2, on a alors :

F .

1

F,min

1

rot eA

T1T2

+ T1;2 + T2;2 + T1;1 + T2;1, (3.40)

oF,min = min(T1, T2).

Preuve: On dfinit jh =[n 1

rotAh

]F

sur F . Daprs (3.16) on a :

2FhF

= jh2F .

F

[n 1

rotAh

]F bF jh.

On introduit la fonction wF = Fext(jh)bF H10 (T1 T2). En utilisant la formule de Green,on a :

2FhF

.

2

i=1

Ti

rot( 1

rotAh

) wF +

1

rotAh rotwF

=2

i=1

Ti

(Js rot

(1

rotAh

)) wF

T1T2

Js wF 1

rotAh rotwF .

(3.41)

40

3.3. Formulation A avec conditions aux limites mixtes

Comme wF = Fext(jh)bF H10 (T1 T2), il est clair que wF = Fext(jh)bF X(D), puisquesupp wF = T1 T2. On peut donc faire la mme chose que dans (3.37) en remplaant bT jhpar wF . Do :

2FhF

.

2

i=1

Js rot(1

rotAh

)TiwFTi

+

1

rot eA

T1T2

1

rotwF

T1T2

.

(3.42)

Grce aux ingalits inverses (3.17) et par (3.18), en dfinissant F,min = min(T1 , T2),on a alors :

2FhF

. h1/2F (h

1T1T1;2 + h

1T2T2;2 + h

1T1T1;1 + h

1T2T2;1) jhF

+h1/2FF,min

1

rot eA

T1T2

jhF ,(3.43)

do lon dduit :

F . hF(h1T1 T1;2 + h

1T2T2;2 + h

1T1T1;1 + h

1T2T2;1

)+

1

F,min

1

rot eA

T1T2

.

(3.44)Comme le maillage est rgulier (i.e. hF hT ), on obtient (3.40).

Par les lemmes 3.25 et 3.26, on en dduit lefficacit locale de notre estimateur (voirla dfinition (2.6)) :

Thorme 3.27 Supposons P(T ) =

T T 6=

T le patch de T . Lefficacit locale de notre

estimateur sexprime par :

T . CT,down

1

rot eA

P(T )

, (3.45)

avecC

T,down = maxT P(T )

{1/2T

}.

3.3 Formulation A avec conditions aux limites mixtes

Dans la section prcdente, on a trait la formulation A avec les conditions aux limitesB n = 0 sur toute la frontire du domaine. Dans la pratique, on cherche tirer parti delventuelle symtrie du problme pour le rduire un domaine de calcul plus petit, ce quiimplique la mise en oeuvre dautres conditions aux limites. Par exemple, sur le domainereprsent sur la figure 3.1, la condition aux limites de type B n = 0 est applique surlensemble de la frontire. Selon la symtrie du problme, on peut tre amen considrerseulement la partie ombre, avec la nouvelle condition aux limites H n = 0 sur H .

41


BH

Fig. 3.1 Domaine dtude coup.


blme continu

La formulation variationnelle du problme (1.15) est donne par :

Trouver A X0B(D), tel que

a(A,A) = l(A), A X0B(D), (3.46)

o a et l sont respectivement la forme bilinaire et linaire :

a(A,A) =

D

1

rotA rotA et l(A) =

D

Js A,

et lespace fonctionnel X0B(D) est dfini par :

X0B(D) =

{A XB(D),

D

A = 0, H1B(D)}, (3.47)

avec

XB(D) = HB(rot, D) ={A L2(D), rotA L2(D),A n = 0 sur B

},

H1B(D) ={ H1(D), = 0 sur B

}.

On rappelle ici que le terme source Js satisfait (1.16), i.e. div Js = 0 dans D et Js n = 0sur H , et que mes(B) 6= 0.

Concernant le caractre bien pos du problme, on effectue la mme dmarche quepour le cas prcdent D = B. La question principale consiste tablir la coercivit dela forme bilinaire a, car lingalit (3.7) nest plus vrifie, cause des nouvelles condi-tions aux limites pour A, et il sagit donc de la redmontrer.

Pour cela, on dfinit lespace XM(D) par :

XM(D) ={A L2(D)3, rotA L2(D)3, div A L2(D),A n

B

= 0 et A nH

= 0},

(3.48)

42


de norme associe :

A2XM (D) = A2D + div A2D + rotA2D.Lemme 3.28 Pour toute fonction u XM(D), il existe une constante C > 0 telle que

u2XM (D) C (div u2D + rotu2D).Preuve: Cela vient du fait que XM(D) sinjecte de faon compacte dans L

2(D)3 (cf. [56]).

Lemme 3.29 On a :X0B(D) XM(D).

Preuve:

Soit A X0B(D), daprs la dfinition (3.47), on a :

D

A = 0, H1B(D).Bien entendu, on a :

D

A = 0, C0 (D).

Dapres la formule de Green, on obtient :

< div A, >= 0, C0 (D).Donc on a :

div A = 0. (3.49)

De plus, pour tout H1B(D), on a :

D

A = 0 =

D

div A + < A n, >H

12 (D),H

12 (D)

.

En tenant compte de (3.49), on aboutit :

< A n, >H

12 (D),H

12 (D)

= 0, H1B(D),

do lon dduit que :A n = 0 sur H .

En consquence A XM(D).

Lemme 3.30 Pour tout A X0B(D), il existe une constante C > 0 telle queA2D C rotA2D. (3.50)

Preuve: Daprs le lemme 3.29, on sait que X0B(D) est un sous-espace de XM(D). Parle lemme 3.28, on a donc

A2D C(div A2D + rotA2D

).

De plus, puisque div A = 0, le terme div A2D disparait. On en dduit donc (3.50).Grce au lemme 3.30, on peut tablir la coercivit de a. Daprs le thorme de Lax-

Milgram, le problme continu est bien pos et possde une unique solution.

43



blme discret

La formulation variationnelle du problme discret est donne par :

Trouver Ah X0h,B(D), tel que

a(Ah,Ah) = l(A

h), Ah X0h,B(D), (3.51)

o lespace fonctionnel X0h,B(D) est dfini par :

Ah X0h,B(D) ={

Ah Xh,B(D),

D

Ah h = 0, h h,B(D)},

avec

Xh,B(D) = X(D) ND1(D,T ) = {Ah HB(rot, D),Ah |T ND1(T ), T T } ,

h,B(D) = {h H1B(D) : h |T P1(T ), T T }.Remarque 3.31 Dans cette section, on a dfini les espaces fonctionnelsXB(D), X

0B

(D),Xh,B(D) et X

0h,B

(D) pour le cas H 6= . Les indices 0, h, B, (D) represententrespectivement la condition de jauge, la discrtisation spatiale, des conditions aux limiteset le domaine dtude (voir Fig. 3.2).

Dans le cas particulier correspondant D = B (i.e. H = ), on omet lindice basB, i.e.

XD(D) = X(D),

X0D(D) = X0(D),

Xh,D(D) = Xh(D),

X0h,D(D) = X0h(D).

(3.52)

Si on prend le domaine dtude D = D, ces notations coincdent avec celles utilises danssection 2.2.

Condition de jauge

Discrtisation spatialeConditions aux limites

Domaine dtude

Fig. 3.2 Notation des espaces fonctionnels.

Pour le caractre bien pos du problme, on a le lemme suivant :


44


Preuve: Celle-ci est similaire la preuve du lemme 3.3. On a besoin dune ingalit cor-respondant (3.9) pour le cas discret ce qui est assur compte-tenu de llment fini iciutilis [29, 48]. Cependant, compte tenu de la nature discrte du problme, on a galementmontr lexistence et lunicit de la solution plus simplement.

Le systme linaire correspondant la formulation (3.51) tant carr, lexistence etlunicit de la solution est quivalente montrer que :

a(Ah,Ah) = 0, Ah X0h,B(D) = Ah = 0.

Ora(Ah,A

h) = 0, Ah X0h,B(D)

= a(Ah,Ah) = 0

= rotAh = 0 sur D.

(3.53)

On en dduit quil existe ph h,B(D) tel queAh = ph sur D,

or compte tenu de la condition de jauge, on a

D

Ah h = 0, h h,B(D),

ce qui implique ncessairement que ph = Ah = 0 sur D.

Il convient maintenant de revisiter les outils dcrits dans la section prcdente afin deles adapter au cas H 6= .

3.3.3 Estimateur derreur a posteriori

Condition dorthogonalit de Galerkin

Lemme 3.33 Tout A XB(D) admet la dcomposition :A = + , (3.54)

avec X0B(D) et H1B(D).Preuve: Soit A XB(D), on construit une fonction H1B(D) telle que :

D

=

D

A , H1B(D).

On a clairement lunicit et lexistence de la solution H1B(D). On en dduit donc que

D

(A) = 0, H1B(D).

Si on dfinit ici = A , on a bien X0B(D).On procde similairement pour le cas discret :

45


Lemme 3.34 Tout Ah Xh,B(D) admet la dcomposition :

Ah = h + h, (3.55)

avec h X0h,B(D) et 0h,B(D).Preuve: La preuve est similaire celle du cas continu. Il suffit de construire une fonctionh 0h,B(D) telle que :

D

h h =

D

Ah h, h 0h,B(D).

Daprs les lemme 3.33 et lemme 3.34, on peut obtenir deux proprits similaires auxlemmes 3.15 et 3.16 pour cette fois H 6= .

Lemme 3.35 Soit A X0B(D) la solution du problme (3.46), on a alors :

a (A,A) = l (A) , A XB(D).

Preuve: Soit A X0B(D) la solution du problme (3.46). Pour toute fonction A XB(D), daprs le lemme 3.33, on a :

A = + .

avec X0B(D) et H1B(D). Donc, on obtient a(A,A) = a(A, ). De plus, comme X0B(D), daprs (3.46), on a

a(A, ) = l() = l(A),

puisque = 0 sur B, Js n = 0 sur H et div Js = 0.

Lemme 3.36 Soit Ah X0h,B(D) la solution du problme (3.51), on a alors :

a (Ah,Ah) = l (A

h) , Ah Xh,B(D).

Preuve: Quasi identique celle du lemme 3.35, en utilisant le lemme 3.34 la place dulemme 3.33.

Grce aux lemmes 3.35 et 3.36, on a :

Lemme 3.37 Soient A X0B(D) et Ah X0h,B(D) les solutions respectives des pro-blmes (3.46) et (3.51). On a la condition dorthogonalit de Galerkin :

a (A Ah,Ah) = 0, Ah Xh,B(D).

46


Dcomposition de Helmholtz

Thorme 3.38 Si la frontire B est connexe, pour tout u X0B(D), il existe w XB(D) H1(D)3 et H1B(D) qui satisfait L2(D), tels que

u = w + ,

avec la majoration :

wH1(D)3 + H1(D) + D . rotuD (3.56)

Preuve: Ce thorme est une consquence du thorme 2.3 de [20], qui donne que toutu XM(D) (lespaceXM(D) est dfini par (3.48)), admet la dcomposition de Helmholtz :

u = w + ,

o w H1(D)3 qui satisfait w n = 0 sur B et H1B(D) qui satisfait L2(D),avec la majoration :

wH1(D)3 + H1(D) + D . uXM (D).

Daprs le lemme 3.29, on a X0B(D) XM(D). On applique donc cette dcompositionde Helmholtz avec u X0B(D). Puis, daprs le lemme 3.28, on a :

u2XM (D) . div u2D + rotu2D.

Prenant en compte le fait que div u = 0 (voir la dfinition de X0B(D) (3.47)), on endduit la majoration (3.56).

Dfinition du rsidu

Pour tout A XB(D), on dfinit le rsidu par :

r(A) = l(A) a(Ah,A).

Remarque 3.39 Daprs le lemme 3.36, il est clair que r(Ah) = 0 si Ah Xh,B(D).

Lemme 3.40 Soit lerreur en A dfinie par :

eA = A Ah XB(D). (3.57)

On a :

r(eA) =

D

1

|rot eA|2 . (3.58)

Pour contrler cette erreur au sens de la norme de lnergie, il suffit donc de contrler laquantit |r(eA)|.

47


Dfinition de lestimateur

Dfinition 3.41 Lestimateur derreur local dans un lment (ttradre T ) est dfini par :

2T = 2T ;1 +

2T ;2 +

FTF inth

2F ;1 +

FTH

2F ;2,

avec

T ;1 = hT

hJs rot(

1

rotAh

)T

,

T ;2 = hT Js hJsT ,

F ;1 = h1/2F

[n 1

rotAh

]

F

F

,

F ;2 = h1/2F

n 1

rotAh

F

.

(3.59)


2 =

TT

2T . (3.60)

La seule diffrence entre cet estimateur et celui present pour le cas D = B (3.26) rsidedans lajout du terme F ;2. Ce terme contrle la condition aux limites H n = 0 sur lafrontire H , car cette condition aux limites est impose aux sens faible.

Fiabilit

Thorme 3.42 Supposons que le domaine D soit simplement connexe et B connexe,on a alors : (

D

1

|rot eA|2

)1/2. Cup ,

avecCup = max

TT

{

1/2T

}.

Preuve: Pour la dmonstation de la fiabilit, on utilise la mme dmarche que celle duthorme 3.24. Pour viter de rpeter les mme choses, on rappelle ici seulement les pointsimportants :

1. On applique dabord la dcomposition introduite dans le lemme 3.33 et le thorme3.38 pour lerreur eA, en crivant :

eA = + + w,avec , H1B(D) et w XB(D) H1(D)3. On obtient donc :

r(eA) =

D

Js w

D

1

rotAh rotw.

48


2. On utilise ensuite un interpol de Clment adapt au cas o H 6= , cet interpoltant construit en utilisant celui du cas H = [7], en faisant attention au cas delarte correspondant la frontire entre B et H pour laquelle il faut prendre laface qui est incluse dans B pour calculer la valeur moyenne.

PBCl,D : H1(D)3 XB(D) Xh,B(D),w PBCl,D w,

tel que :

TT

h2T ||w PBCl,D w||2T . ||w||2H1(D),

FFint(FH )

h2T ||w PBCl,D w||2F . ||w||2H1(D).(3.61)

Le fait que r(PBCl,D w) = 0, et la formule de Green applique dans chaque lment,permet dobtenir :

r(eA) =

TT

T

(Js rot

(1

rotAh

))(w PBCl,D w

)

FFint

F

[n 1

rotAh

]

F

(w PBCl,D w

)

FH

F

(n 1

rotAh

)(w PBCl,D w

).

3. Enfin, on utilise lingalit de Cauchy-Schwarz (rappele en Annexe A.2), lingalitde Cauchy-schwarz discrte (rappele en Annexe A.1) et la majoration de Clment(3.61), pour en dduire le rsultat.

Effcacit locale

Thorme 3.43 Supposons P(T ) =

T T 6=

T le patch de T , on a :

T . CT,down

1

rot eA

2

P(T ), (3.62)

avecC

T,down = maxT P(T )

{1/2T

}.

Preuve: Similaire la preuve du thorme 3.27.

49


3.4 Estimateur quilibr

Dans cette section, on introduit un estimateur quilibr qui est couramment utilis enmagntostatique [11, 12, 36, 39, 52, 53]. Cet estimateur est construit par la vrificationdes lois de comportement au niveau discret. Lide de cet estimateur est de calculer lechamp magntique Hh et linduction magntique Bh respectivement en formulation etA. Une autre approche consiste rsoudre une seule formulation soit en A, soit en ,puis calculer une solution admissible complmentaire qui permettra de vrifier la loi decomportement [32, 37, 52]. On rappelle ici que par les deux formulations introduites dansle chapitre 1, les grandeurs B et H sont calcules par :

B = rotA et H = Hs .

En consquence, les champs discrets correspondants Bh et Hh sont respectivement dfinispar :

Bh = rotAh et Hh = Hs h.Dfinition 3.44 Lestimateur derreur local dans un lment (ttradre) T est dfini par :

2T,quilibr =

T

1

|Bh Hh|2 .


2quilibr =

TT

2T,quilibr. (3.63)

Concernant lestimateur quilibr, on obtient la fiabilit et lefficacit locale. Cepen-dant cet estimateur permet de contrler la somme des erreurs commises par la formulationA (3.25) et (3.3). Si on note :

2A,D =

D

1

|B Bh|2 et 2,D =

D

|H Hh|2 ,

lestimateur quilibr en magntostatique permet alors de contrler lerreur :

2A,D + 2,D,

ce qui constitue une diffrence sensible par rapport aux estimateurs de type rsiduelprsents prcdemment.

Thorme 3.45 Fiabilit :

2quilibr = 2A,D +

2,D.

Preuve:

2quilibr =

D

1

| Bh Hh |2=

D

1

| Bh B + H Hh |2

=

D

1

| Bh B |2 +

D

| H Hh |2 +2

D

(Bh B) (H Hh).

50

3.4. Estimateur quilibr

Pour montrer

2quilibr =

D

1

| Bh B |2 +

D

| H Hh |2,

il suffit de montrer que

D

(Bh B) (H Hh) = 0, ce qui est clair puisque

D

(Bh B) (H Hh) =

D

(rotAh rotA) ((Hs ) (Hs h))

=

D

(rotA rotAh) ( h)

=

D

rot(A Ah) ( h)

=

D

(A Ah) rot(( h)) +

BH

(A Ah) n ( h)

= 0.

Thorme 3.46 Efficacit locale :

T,quilibr

2(2A;T +

2;T

)1/2,

avec 2A;T , 2;T repectivement lerreur en A et au sens de lenergie dans chaque lment

T .

Preuve: Pour le cas continu, on a B = H. Dans chaque maille (sur un lment ttra-drique T ), on a :

2T =

T

1

| Bh Hh |2=

T

1

| Bh B + H Hh |2

2

T

1

| Bh B |2 +2

T

1

| H Hh |2

= 2

T

1

| Bh B |2 +2

T

| H Hh |2

Remarque 3.47 Lestimateur quilibr permet dobtenir une majoration de la sommedes deux erreurs A;T et ;T , et une minoration locale de ces dernires, contrairementaux estimateurs rsiduels qui sont respectivement destins majorer ( une constantemultiplicative prs) une seule des deux erreurs.

51


3.5 Validation numrique

Afin de valider les estimateur derreur porposs dans ce chapitre, nous prsentons deuxexemples relativement simples. Le premier permet dutiliser une solution analytique pourvaluer lerreur exacte. Concernant le second, la solution prsente une singularit. Pourle premier exemple, nous commenons par le cas o H = .

3.5.1 Cas B n = 0 sur DCas test acadmique : cube travers par une densit de courant Js

On considre le cube [0, 1]3 dans lair de permabilit 0 = 4 107H/m (voir Fig.3.3). On impose un terme source Js travers le cube : Js = (0, 0, Js)

T , avec Js = 107A/m2.

Pour ce problme, lnergie magntique calcule analytiquement est gale 2.208 MJ et

x

y

z

Fig. 3.3 Domaine du problme : cube travers par une densit de courant Js.

la solution analytique pour linduction magntique B vrifiant lquation B = rotA estconnue et donne par (3.64). On peut donc calculer lerreur exacte et comparer le rsultatobtenu avec les estimateurs proposs.

Bx(x, y, z) =16Js03

+

n=0

+

p=0

sin((2n+ 1)x) cos((2p+ 1)y)

(2n+ 1)[(2n+ 1)2 + (2p+ 1)2],

By(x, y, z) = 16Js03

+

n=0

+

p=0

cos((2n+ 1)x) sin((2p+ 1)y)

(2p+ 1)[(2n+ 1)2 + (2p+ 1)2],

Bz(x, y, z) = 0.

(3.64)

Pour la formulation en A, lnergie magntique WA,h prend la forme :

WA,h =

D

1

2| rotAh|2.

52

3.5. Validation numrique

et lnergie magntique en formulation est calcule par :

W,h

Documents

Estimateurs d'erreur a posteriori résiduels en éléments finis pour la