Année 2009/2010

Rapport de projet de dernière année ISIMA F4

« Evaluation d’options Européenne Vanille, Américaine Vanille et Asiatique »

Elaboré par : Mohamed Khalfallah Encadré par : Monsieur Mehdi Fhima

Résumé Les options financières représentent les produits dérivés les plus utilisés aux seins des banques en ce moment. Trois méthodes d’évaluations d’options ont été utilisées afin d’évaluer les différents types, à savoir les vanilles européennes, américaines et asiatiques.

La première méthode utilisé, la méthode de Black & Sholes où le processus d’évolution du cours du sous-jacent est basé sur un mouvement brownien, nous a permis d’évaluer les options vanilles européennes et les paramètres de gestion.

La deuxième méthode fait appel aux arbres binomiaux, elle nous permet de décrire de manière exacte l’évolution du cours du sous-jacent.

La dernière méthode est celle de Monte Carlo, où nous utilisons la méthode de B & S pour différentes valeurs du mouvement brownien et par la suite une valeur moyenne des différentes évolutions du cours du sous-jacent est considérée. Mots clés : Options, B&S, processus, cours, sous-jacent, arbres, Monte Carlo

Abstract

The financial options are the most used financial product in a banking world. Three stochastic models are used to estimate different kind of options, in this project we estimated the Vanilla and Asian option. By the Black & Scholes model we can estimate the price of a vanilla option based on the Brownian motion. It also allows us to estimate the Greeks. The model of binomial tree represents the second method to estimate the vanilla option it was also used to estimate the Asian option. This model is based on the building of a two dimensional probability tree to estimate the value of the asset. . The last model allows you to calculate the price of vanilla option based on Monte Carlo process using the first B & S equation where the Monte Carlo process is used instead of the Brownian motion. Key-words: Options, B&S, process, asset, tree, Monte Carlo

Table des matières Introduction………………………………………………………………………………………………………………………….1

A) Rappels mathématiques…………………..……………………………………………………………………….2

B) Les Option 1) Présentation………………………………………………………………………………………………………..7 2) Les options d’achats et de ventes………………………………………………………………………..8

2.1) Les calls……………………………………………………………………………………………………….8 2.2) Les puts……………………………………………………………………………………………………....9 2.3) La parité Call/Put ……………………………………………………………………………………….11

3) Les déterminants du prix de l’option ..……………………………………………………………….12 3.1) L’effet du cours de l’actif support ………………………………………………………………12 3.2) L’effet du prix d’exercice ……………………………………………………………………………12 3.3) L’effet du temps ..………………………………………………………………………………………12 3.4) L’effet de la volatilité ..……………………………………………………………………………….13 3.5) L’effet du taux d’intérêt ..…………………………………………………………………………..13

C) Les différents modèles d’évaluation d’options 1) Modèle de Black & Scholes ..……………………………………………………………………………..14 2) Modèle de Cox, Ross & Rubinstein ..………………………………………………………………….16 3) Les paramètres de gestion..……………………………………………………………………………….19

3.1) Le Delta…………………………………………………………………………………………………..…19 3.2) Le Gamma……………………………………………………………………………………………..….19 3.3) Le Thêta………………………………………………………………………………………………..…..20 3.4) Le Véga………………………………………………………………………………………………………20 3.5) Le Rhô………………………………………………………………………………………………………..20 3.6) La relation entre les paramètres de gestion……………………………………………….21 4) Modèle de Monte-Carlo…………………………………………………………………………………….21 5) Comparaison des prix des sous jacents issus des modèles .……………………………….23

D) Implémentation en Visual Basic 1) L’interface graphique…………………………………………………………………………………………24 2) Implémentation des fonctions de calcul…………………………………………………………….25

2.1) Option Vanille Européenne (Modèle B & S)……………………………………………….25 2.2) Les Grecques …………………………………………………………………………………………….25 2.3) Option Vanille Européenne (Modèle des arbres binomiaux)……………………..26 2.4) Option Vanille Américaine…………………………………………………………………………26 2.5) Option Vanille Européenne (Modèle de Monte-Carlo)………………………………27 2.6) Option Asiatique Européenne……………………………………………………………………27 2.7) Les résultats pratiques………………………………………………………………………………27

Conclusion…………………………………………………………………………………………………………………………..29

Table des Figures Figure 1 : Profit d’un achat de calls sur une action Michelin………………………………………………….8 Figure 2 : Profit de la vente de calls sur une action Michelin…………………………………………………9 Figure 3 : Profit d’un achat d’un put sur une action Air Liquide ..…………………………………………10 Figure 4 : Profit de la vente d’un put sur une action Air Liquide..…………………………………………10 Figure 5 : Modèle des arbres binomiaux………………………………………………………………………………16 Figure 6 : Comparaison des prix ………………………………………………………………………………………….23 Figure 7 : Interface graphique …………………………………………………………………………………………….24 Figure 8 : Combo-box Option ……………………………………………………………………………………………..25

Evaluation d’Options Vanille et Asiatique Page 1 Mohamed Khalfallah

Introduction

Ce travail s’inscrit dans le cadre de mon projet de 3ème année ISIMA. Il a été encadré par

Monsieur Mehdi Fhima du département de mathématiques financières du laboratoire de

mathématiques de l’université Blaise Pascal.

Le but de ce travail est de créer une application apte à évaluer les options financières par

différentes méthodes stochastiques, en se basant sur la simulation d’EDS dans le cas concret

des marchés financiers.

En effet, la gestion de risque d’un portefeuille d’actif financiers (monnaie ou actions)

exige la simulation de processus afin de prédire l’évolution des cours et ainsi s’adapter aux

besoins du client. Ceci est le rôle des traders dans les salles de marchés qui génèrent grâce

au marché des produits dérivés des bénéfices pour leurs compagnies. Les options occupent

une place importante au sein du marché des produits dérivés. Généralement la création

des logiciels d’évaluation d’option a lieu dans les pole middle-Office des banques en interne.

Les options s’échangent sur le marché de gré à gré par les institutions financières, les gérants

de fonds et les trésors d’entreprise.

Dans ce projet, trois modèles aléatoires ont été utilisés pour évaluer différents types

d’options, notamment le modèle classique de Black & Scholes, le modèle des arbres

binomiaux et le modèle de Monte Carlo. Les options évaluées dans ce projet sont les options

vanilles (européennes et américaines) et les options asiatiques.

La première partie de ce rapport est dédiée aux rappels mathématiques et aux

notions générales en finance nécessaires pour la compréhension de méthodes utilisées. En

seconde partie seront étudié les détails théoriques et l’implémentation pratique pour

l’évaluation des différents types d’options énoncés précédemment.

Evaluation d’Options Vanille et Asiatique Page 2 Mohamed Khalfallah

A) Rappels mathématiques :

Processus stochastique:

Un processus stochastique est une famille de variables aléatoires (𝑋𝑡)𝑡≥0.

Théorème (Loi forte des grands nombres) :

Si (𝑋𝑖)𝑖∈𝐼 sont des variables aléatoires i.i.d. et intégrables d’un espace probabilisé, alors :

𝑃( lim𝑛→∞

𝑋1 + ⋯+ 𝑋𝑛

𝑛= 𝑚) = 1

Théorème central limite :

Soient (𝑋𝑖)1≤𝑖≤𝑛 des variables aléatoires à valeurs réelles, i.i.d., avec 𝑚 = 𝑬(𝑋𝑖),

𝜍² = 𝑽 𝑋𝑖 > 0. Alors, en notant 𝑆𝑛 = 𝑋1 + …+ 𝑋𝑛 :

∀ −∞ < 𝑎 < 𝑏 < ∞ lim𝑛→∞

𝑃(𝑎 ≤𝑆𝑛 − 𝑛𝑚

𝑛𝜍≤ 𝑏) =

1

2𝜋 𝑒−

𝑥²2

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

Une filtration :

Une filtration (𝐹𝑡)𝑡≥0 d’un espace probabilisé (𝛺,𝑈,𝑃) est une suite croissante au sens large

de σ-algèbres de U.

Une martingale :

Le processus 𝑋 = (𝑋𝑡)𝑡≥0 est une martingale si, pour tout 𝑡 ≥ 0 :

𝐸 𝑋𝑡 < ∞ Et ∀ 𝑡 ≥ 𝑠 ≥ 0, 𝐸 𝑋𝑡 𝐹𝑠0 = 𝑋𝑠

Le mouvement brownien : Le mouvement brownien est un processus stochastique à incréments stationnaires,

indépendants et distribués selon une loi normale. Les trajectoires de ce processus sont continues. Exemples : – trajectoire du pollen dans l’eau ; – trajectoire de la pollution dans une rivière ; – prix des actifs dans un marché financier.

Un processus aléatoire 𝑊 = (𝑊𝑡)𝑡≥0 à valeurs réelles est appelé mouvement brownien s’il

est à accroissements indépendants et stationnaires. Plus précisément, pour tous 𝑠, 𝑡 ≥ 0, la

Evaluation d’Options Vanille et Asiatique Page 3 Mohamed Khalfallah

variable 𝑊𝑡+𝑠 − 𝑊𝑡 est indépendante des variables 𝑊𝑟 , 𝑟 ≤ 𝑡 , 𝑊0 = 0, et la loi de

l’accroissement 𝑊𝑡+𝑠 − 𝑊𝑡 est la loi normale Ɲ(0, 𝑠).

Intégrale stochastique :

Soit (𝑋𝑡)𝑡≥0 un processus stochastique d-dimensionnel continu adapté et (𝑊𝑡)𝑡≥0 un

mouvement brownien d-dimensionnel. L’intégrale stochastique de 𝑋𝑡 se définit comme suit :

𝑋𝑠𝑑𝑊𝑠

𝑡

0

= lim𝑛→∞

𝑋𝑡𝑖

𝑛

𝑖=0

𝑊𝑡𝑖+1− 𝑊𝑡𝑖

, 𝑡𝑖 =𝑖𝑡

𝑛

L’intégrale stochastique vérifie les propriétés suivantes :

- 𝑋𝑠𝑑𝑊𝑠𝑡

0 est une martingale ;

- 𝐄 𝑋𝑠𝑑𝑊𝑠𝑡

0 = 0 ;

- Var 𝑋𝑠𝑑𝑊𝑠𝑡

0 = ||𝑋𝑠||²𝑑𝑑𝑠.

𝑡

0

Equations différentielles stochastiques (EDS) :

Un processus stochastique 𝑋 = (𝑋𝑡)0≤𝑡≤𝑇 à valeurs dans 𝑹𝑛 est solution de l’équation

différentielle stochastique d’Itô

𝑑𝑋 = 𝑏 𝑋, 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐵 𝑋, 𝑡 𝑑𝑊

𝑋0

Si, pour 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇 :

- 𝑋 est progressivement mesurable par rapport à (𝐹𝑡)

- 𝐹 = 𝑏 𝑋, 𝑡 ∈ 𝑳𝑛1 (0,𝑇)

- 𝐺 = 𝐵 𝑋, 𝑡 ∈ 𝑳𝑛×𝑚2 (0,𝑇)

- 𝑋𝑡 = 𝑋0 + 𝑏 𝑋𝑠 , 𝑠 𝑡

0𝑑𝑠 + 𝐵 𝑋𝑠 , 𝑠

𝑡

0𝑑𝑊 presque sûrement pour tout 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇.

Lemme d’Itô :

Soit (𝑋𝑡)0≤𝑡 un processus stochastique en dimension 1, vérifiant l’EDS suivante :

𝑋𝑡 = 𝑥 + 𝑏 𝑠,𝑋𝑠 𝑡

0𝑑𝑠 + 𝜍 𝑠,𝑋𝑠

𝑡

0𝑑𝑊𝑠

Où (𝑊𝑡)0≤𝑡 est un mouvement brownien standard en dimension 1. Soit 𝑓(𝑡, 𝑥) une fonction

de classe 𝐶1 par rapport à x alors 𝑓 vérifie :

Evaluation d’Options Vanille et Asiatique Page 4 Mohamed Khalfallah

𝑓 𝑡,𝑋𝑡 = 𝑓 0, 𝑥 + 𝜕𝑓

𝜕𝑡 𝑠,𝑋𝑠 𝑑𝑠 +

𝜕𝑓

𝜕𝑥 𝑠,𝑋𝑠 𝑑𝑋𝑠 +

1

2 𝜍2 𝑠,𝑋𝑠

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2

𝑡

0

𝑡

0

𝑡

0

𝑠,𝑋𝑠 𝑑𝑠

Mouvement brownien géométrique :

Un processus stochastique (𝑆𝑡)𝑡≥0 est appelé mouvement brownien géométrique s’il est

solution de l’EDS suivante :

𝑑𝑆𝑡 = 𝑟𝑆𝑡𝑑𝑡 + 𝜍𝑆𝑡𝑑𝑊𝑡

Où r et 𝜍 sont constants. Cette équation a une solution analytique obtenue facilement grâce

à la formule d’Itô :

𝑆𝑡 = 𝑆0 exp( 𝑟 −𝜍2

2 𝑡 + 𝜍𝑊𝑡)

Loi normale :

On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit une loi normale (ou loi normale gaussienne, loi

de Laplace-Gauss) d'espérance μ et d'écart type σ strictement positif (donc de variance σ2) si

cette variable aléatoire réelle X admet pour densité de probabilité la fonction p(x) définie,

pour tout nombre réel x, par :

𝑝 𝑥 =1

𝜍 2𝜋exp(−

1

2 𝑥 − 𝜇

𝜍

2

)

Une telle variable aléatoire est alors dite variable gaussienne.

Loi log-normale :

Une variable aléatoire X est dite suivre une loi log-normale de paramètres μ et σ si la

variable Y=ln(X) suit une loi normale de paramètres μ et σ.

Le modèle de Monte Carlo :

Nous disposons de l'expression de l'espérance mathématique d'une fonction g de variable

aléatoire X, résultant du théorème de transfert, selon lequel

𝐺 = 𝐸 𝑔 𝑥 = 𝑔 𝑥 𝑓𝑋 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

Evaluation d’Options Vanille et Asiatique Page 5 Mohamed Khalfallah

où fX est une fonction de densité sur le support [a;b]. Il est fréquent de prendre une

distribution uniforme sur [a;b]:

𝑓𝑋 𝑥 =1

𝑏 − 𝑎

Ceci peut être étendu aux probabilités discrètes en sommant grâce à une mesure ν discrète,

de type Dirac.

L'idée est de produire un échantillon (x1,x2,...,xN) de la loi X (donc d'après la densité fX) sur le

support [a;b], et de calculer un nouvel estimateur dit de Monte-Carlo, à partir de cet

échantillon.

La loi des grands nombres suggère de construire cet estimateur à partir de la moyenne

empirique :

𝑔𝑁 =1

𝑁 𝑔(𝑥𝑖)

𝑁

𝑖=1

qui se trouve être, par ailleurs, un estimateur sans biais de l'espérance.

Ceci est l'estimateur de Monte-Carlo. Nous voyons bien qu'en remplaçant l'échantillon par un

ensemble de valeurs prises dans le support d'une intégrale, et de la fonction à intégrer, nous

pouvons donc construire une approximation de sa valeur, construite statistiquement.

Cette estimation est sans-biais, dans le sens où

𝐸 𝑔𝑁 = 𝐺 = 𝐸(𝑔 𝑋 )

Il faut aussi quantifier la précision de cette estimation, via la variance de . Si l'échantillon

est supposé iid, cette variance est estimée à l'aide de la variance empirique

𝑆𝑔(𝑋)2 =

1

𝑁 𝑔 𝑥𝑖 − 𝑔𝑁 2

𝑁

𝑖=1

~ 𝜍𝑔2

avec

𝜍𝑔2 = 𝐸 𝑔2 𝑋 − 𝐸 𝑔 𝑋

2= 𝑔2 𝑥 𝑓𝑋 𝑥 𝑑𝑥 − 𝐺²

𝛺

Par le théorème de la limite centrale, on sait que la variable :

𝑍 =𝑔𝑁 − 𝐺

𝜍𝑔 𝑁

Evaluation d’Options Vanille et Asiatique Page 6 Mohamed Khalfallah

qui est centrée et réduite, suit approximativement la loi normale centrée réduite, ou loi de

Gauss. Il est alors possible de construire des intervalles de confiance, ce qui permet

d'encadrer l'erreur commise en remplaçant G par . Si cette erreur est dénotée en, alors

pour un niveau de risque α donné, on a:

𝑒𝑛 ≤ 𝑧𝛼/2

𝜍𝑔

𝑁

avec probabilité 1 − α. Le réel zα / 2 est le quantile de la loi normale centrée réduite. Par

exemple, au niveau de risque 𝛼 = 5% , on trouve dans les tables zα / 2 = 1,96 et l'erreur est

majorée par 1,96𝜍

𝑁. Cette méthode permet donc de quantifier l'erreur commise, à condition

d'estimer σg par sa contrepartie empirique

𝜍𝑔 = 𝑆𝑔(𝑋)2

Evaluation d’Options Vanille et Asiatique Page 7 Mohamed Khalfallah

B) Les Options :

1) Présentation :

Une option financière est un produit dérivé qui donne le droit, non l’obligation,

d’acheter ou de vendre une quantité d’un actif financier, appelé actif sous jacent à un prix

précisé à l’avance par le vendeur de l’option, une date d’échéance donnée ou durant toute

la période jusqu’à l’échéance.

Ce droit lui-même se négocie, sur un marché d’option spécialisé (géré par une

bourse, au gré à gré) à un certain prix appelé Prime. Le vendeur a l’obligation d’honorer son

contrat.

Vocabulaire :

Call /Put : Un Call est une option d’achat, un Put une option de vente.

Le Strike ou Prix d’exercice: c’est le prix précisé à l’avance de l’actif sur lequel porte l’option.

La date d’échéance du contrat détermine la période d’exercice de l’option, notée T.

Lorsque l’investisseur possédant l’option s’en sert pour acheter ou vendre le sous-

jacent, on dit qu’il a exercé l’option. Il existe deux types d’options, on parlera d’européennes

lorsqu’elles ne sont exercées qu’à l’échéance et d’américaines lorsqu’il est possible de les

exercer tout au long de la période précédant la date d’échéance.

Les options dites vanille sont les premières apparues sur les marchés, les plus

répandues et les plus simples. Cependant les besoins de couvertures très diverses et la

complexité croissante des marchés ont favorisé l’apparition d’options de seconde génération

dites options exotiques.

Le pricing des options est la détermination à la date actuelle (t=0) de la valeur de

l’option (payoff) qui sera peut-être exercée à la date d’échéance T. Une option d’achat (ou

de vente) est dite :

- « A la monnaie» si le sous-jacent cote le Strike.

- « Hors de la monnaie » si le cours du sous-jacent est inférieur (supérieur) au Strike.

- « Dans la monnaie » si le cours du sous-jacent est supérieur (inférieur) au Strike.

Evaluation d’Options Vanille et Asiatique Page 8 Mohamed Khalfallah

2) Les options d’achats et de ventes :

2.1) Les calls

Considérons un investisseur qui achète 10 calls européens sur une action Michelin

avec un prix d’exercice de 60 €, lui donnant le droit d’acquérir 100 titres. Supposons que le

cours de l’action soit de 58 €, le prix de l’option est coté par exemple à 5 € pour une date

d’échéance dans 4 mois. Le coût du contrat est alors de 500 €. Deux cas peuvent se

présenter à nous à l’échéance du contrat :

- Si, à cette date, le cours de l’action est inferieur à 60 €, l’investisseur n’exercera pas

l’option. Dans cette situation l’investisseur a perdu la totalité de sa mise de départ à

savoir 500€

- Si, à cette date, le cours de l’action est supérieur à 60 €, l’option sera exercée. On

suppose que le cours est de 75 €, l’investisseur exercera son droit et pourra acheter

100 titres à 60 € l’unité. Il réalise immédiatement un gain de 15 € par action, soit

1500 € au total. En négligeant les couts de transactions, il réalise un profit net de

1000 €.

Figure 1 : Profit d’un achat de calls sur une action Michelin.

Prime = 5 €, Prix d’exercice K = 60 €

Le résultat de la stratégie d’achat d’un call est donnée alors par :

𝑀𝑎𝑥 𝑆 − 𝐾, 0 − 𝐶 = −𝐶 𝑠𝑖 𝑆 ≤ 𝐾

𝑀𝑎𝑥 𝑆 − 𝐾, 0 − 𝐶 = 𝑆 − 𝐾 − 𝐶 𝑠𝑖 𝑆 > 𝐾

𝑆 : Représente le cours réel à l’échéance. 𝐶: La prime de l’option.

Considérons maintenant le même titre que précédemment mais dans le cas d’une

vente d’un call. La société financière va vendre alors le call à 5 €. Cette dernière est donc

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

0 20 40 60 80 100

Pay

off

S(t)

Evaluation d’Options Vanille et Asiatique Page 9 Mohamed Khalfallah

bénéficiaire tant que le prix de l’action Michelin n’a pas franchit la barre des 65 €. Nous

pouvons alors représenter le profit de la vente de calls européens sur l’action Michelin.

Figure 2 : Profit de la vente de calls sur une action Michelin.

Prime = 5 €, Prix d’exercice K = 60 €

Le résultat de la stratégie de la vente d’un call est donné alors par :

𝐶 − 𝑀𝑎𝑥 𝑆 − 𝐾, 0 = 𝐶 𝑠𝑖 𝑆 ≤ 𝐾

𝐶 − 𝑀𝑎𝑥 𝑆 − 𝐾, 0 − 𝐶 = −𝑆 + 𝐾 + 𝐶 𝑠𝑖 𝑆 > 𝐾

𝑆 : Représente le cours réel à l’échéance. 𝐶: La prime de l’option.

2.2) Les puts

Alors que l’acheteur d’un call espère la hausse du prix du support, l’acheteur du put

mise sur la baisse. Considérons un investisseur qui achète 10 puts européens portant chacun

sur 10 actions Air Liquide à un prix d’exercice de 90 € alors que le cours de l’action est de 85

€ (et l’échéance dans 3 mois)*à reformuler avec plus de précision+. Le premium est de 7 €.

L’investissement initial est donc de 700 €. Deux cas se présentent alors :

- Si le cours à l’échéance est inferieur à 90 €, par exemple 𝑆 = 75 € , l’investisseur

achètera 100 actions à ce prix sur le marché et, selon les termes du contrat, les

vendra à 90 €. Un profit de 15 € se dégage par action, soit 1500 € au total. En

déduisant la mise initiale, le profit s’élève à 700 €.

- Si le cours est supérieur à 90 € à l’échéance, la totalité de la mise de départ sera

perdue en totalité.

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

0 20 40 60 80 100

Pay

off

S(t)

Evaluation d’Options Vanille et Asiatique Page 10 Mohamed Khalfallah

Figure 3 : Profit d’un achat d’un put sur une action Air Liquide.

Prime = 7 €, Prix d’exercice K = 90 €

Le résultat de la stratégie d’achat d’un put est donnée alors par :

𝑀𝑎𝑥 𝐾 − 𝑆, 0 − 𝑃 = 𝐾 − 𝑆 − 𝑃 𝑠𝑖 𝑆 ≤ 𝐾

𝑀𝑎𝑥 𝐾 − 𝑆, 0 − 𝑃 = −𝑃 𝑠𝑖 𝑆 > 𝐾

𝑆 : Représente le cours réel à l’échéance. 𝑃: La prime de l’option.

Considérons à présent le cas de la vente d’un put, La société financière va vendre

alors l’option à 7 €. Cette société va espérer donc que le cours à la date d’échéance soit

supérieur à 90 €. Le profit de la vente d’un put sur l’action Air Liquide se traduit alors par ce

graphique :

Figure 4 : Profit de la vente d’un put sur une action Air Liquide.

Prime = 7 €, Prix d’exercice K = 90 €

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Pay

off

S(t)

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Pay

off

S(t)

Evaluation d’Options Vanille et Asiatique Page 11 Mohamed Khalfallah

Le résultat de la stratégie de la vente d’un put est donné alors par :

𝑃 −𝑀𝑎𝑥 𝐾 − 𝑆, 0 = 𝐾 − 𝑆 + 𝑃 𝑠𝑖 𝑆 ≤ 𝐾

𝑃 − 𝑀𝑎𝑥 𝐾 − 𝑆, 0 = 𝑃 𝑠𝑖 𝑆 > 𝐾

𝑆 : Représente le cours réel à l’échéance. 𝑃: La prime de l’option.

2.3) Parité Call/Put

La notion de parité Call / Put nous vient de Hans Stoll qui l'a publié en 1968 sur le "journal of finance". Afin de démontrer cette parité nous allons nous appuyer sur certaines hypothèses :

- Il n'existe pas de coûts de transaction. - Le support n'est pas un instrument à terme (i.e. payable ou livrable immédiatement)

on dit que le support est "spot". - Le support spot ne verse pas de dividendes pendant la durée de vie de l'option ( i.e.

entre [0;T] ). - Les options sont européennes.

Considérons les deux portefeuilles suivants : Portefeuille A : Un call européen + Un montant en cash égal à 𝐾 × 𝑒−𝑟𝑇 . Portefeuille B : Un put européen + une action On suppose que le call C et le put P possèdent les caractéristiques suivantes :

- même support qui vaut S à l'instant t. - même échéance T. - même prix d'exercice K.

A l'échéance, les deux portefeuilles valent : max(S(T), K). Les options étant européennes, elles ne peuvent être exercées avant la maturité. Par conséquent, les deux portefeuilles doivent avoir la même valeur aujourd'hui, d'où :

𝐶 + 𝐾 𝑒−𝑟𝑇 = 𝑃 + 𝑆 avec r : le taux d'intérêt sans risque.

Cette relation décrit la notion de parité call / put. Elle montre également que la valeur d'un call européen avec prix d'exercice K et maturité T peut être déduite de celle d'un put européen avec le même prix d'exercice K et la même maturité T.

Evaluation d’Options Vanille et Asiatique Page 12 Mohamed Khalfallah

3) Les déterminants du prix de l’option :

L’option est écrite sur un sous-jacent, par conséquent son prix peut varier suite aux

mouvements de celui-ci. La valeur de l’option dépend également de ses caractéristiques

internes mais aussi des conditions économiques du moment. La prime de l’option dépend

donc de différentes variables, le schéma ci-dessous donne la décomposition de la prime de

l’option :

3.1) L’effet du cours de l’actif support

L’évolution du sous-jacent entraine une modification de la valeur de l’option. Celle-ci

dépend de la position du sous-jacent par rapport au prix d’exercice. Dans le cas d’un call,

l’augmentation de la valeur du sous-jacent implique une probabilité plus importante d’être

au-dessus du prix d’exercice et par conséquent une meilleure valeur intrinsèque. La valeur

de l’option d’achat augmente alors. Le résultat s’inverse dans le cas d’un put. Nous pouvons

dire que la valeur d’une option d’achat (respectivement de vente) est une fonction

croissante (respectivement décroissante) et convexe du sous-jacent.

3.2) L’effet du prix d’exercice

En augmentant le prix d’exercice d’un call, le dépassement de celui-ci par le cours

devient difficile. Ce qui réduit la valeur de l’option d’achat. Dans le cas d’un put la baisse du

prix d’exercice entraine la baisse de la valeur de l’option.

3.3) L’effet du temps

Les options d’achat et de vente perdent de leurs valeurs au fur et à mesure que la date

d’échéance approche. En effet, plus nous nous rapprochons de l’échéance plus les chances

de voir des variations du sous-jacent se réduisent. Nous pouvons dire également que la

valeur de l’option d’achat ou de vente est une fonction croissante de sa durée de vie.

Prime

Valeur intrinsèque

Cour de l'actif support

Prix d'exercice de l'option

Valeur temps

Durée de vie de l'option

Volatilité du support

Taux d'intérêt

Evaluation d’Options Vanille et Asiatique Page 13 Mohamed Khalfallah

3.4) L’effet de la volatilité

Une volatilité importante au niveau du sous-jacent traduit le fait que celui-ci peut varier

considérablement à la hausse comme à la baisse. Cette importante variation provoque

l’appréciation de la prime de l’option. Nous pouvons dire que la valeur de l’option d’achat ou

de vente est une fonction croissante de la volatilité du sous-jacent.

3.5) L’effet du taux d’intérêt

Le taux d’intérêt sans risque portant sur la période de vie d’une option influence sa

valeur de manière différente selon qu’il s’agit d’un call ou d’un put. Ceci est dû au fait que

l’achat d’un call permet de garantir dès aujourd’hui le prix d’exercice qui ne sera décaissé

qu’au moment de l’exercice de l’option. Nous pouvons également stipuler que la valeur de

l’option d’achat (respectivement de l’option de vente) est une fonction croissante

(respectivement décroissante) du niveau du taux d’intérêt sans risque.

Evaluation d’Options Vanille et Asiatique Page 14 Mohamed Khalfallah

C) Les différents modèles d’évaluation d’options

Dans les modèles qui suivent nous utiliserons les hypothèses simplificatrices

suivantes :

- On suppose que le taux d’intérêt reste constant au cours du temps.

- La volatilité de chacun des actifs financiers du marché est supposée constante au

cours du temps.

- Le rendement de chacun des actifs financiers du marché est supposé constant au

cours du temps.

- Nous considérons que le sous-jacent ne verse pas de dividendes.

- L’actif est non risqué : L’investisseur connait la valeur des cours actuels et passés,

mais pas celle des cours futurs.

Nous noterons par la suite C le prix du call et P le prix du put.

1) Modèle de Black & Scholes

L’objectif de cette partie est de présenter une méthodologie pour valoriser une option

européenne vanille. Nous nous appuierons sur le modèle de Black-Scholes.

Ce modèle est caractérisé par une absence d’opportunité d’arbitrage, cela est dû à ce

que l’on appelle la Loi fondamentale de la Finance de marché :

Dans un marché très liquide, où il n'y a ni coûts de transaction, ni limitations sur la gestion (achat-vente) des actifs supports, il n'y a pas d'opportunité d'arbitrage, c'est à dire qu'il n'est pas possible de gagner de l'argent à coup sûr à partir d'un investissement nul. En 1973, Fisher Black et Myron Scholes ont présenté un modèle d’évaluation des options

européennes en temps continu en supposant que le sous-jacent était caractérisé par une loi

log-normale. Cette spécification de l’évolution du sous-jacent nécessite la connaissance de

deux paramètres : l’espérance instantanée µ et la variance instantanée σ relative au sous-

jacent. L’évolution de l’actif risqué est donnée par l’EDS suivante:

𝑑𝑆(𝑡) = µ𝑆(𝑡)𝑑𝑡 + 𝜍𝑆(𝑡)𝑑𝑊(𝑡)

𝑆 𝑡 = 0 = 𝑆₀

Où 𝑊(𝑡) désigne un mouvement Brownien suivant une loi normale de moyenne nulle et de

variance 𝑑𝑡.

Evaluation d’Options Vanille et Asiatique Page 15 Mohamed Khalfallah

Le modèle nécessite en plus les hypothèses suivantes :

- Absence de coût de transaction et d’imposition.

- La possibilité d’effectuer des ventes à découvert

- L’évolution du sous-jacent est continue et ne possède pas de saut.

L’établissement de la formule de valorisations des options européennes se fait en

partant d’un portefeuille constitué d’un call (ou put) et de sous-jacent en nombre égal à

delta (défini par la suite).

Dans le cas d’un call, le portefeuille constitué vaut à l’instant t :

𝑉 𝑡 = 𝐶 𝑆 𝑡 , 𝑡 − 𝛥 𝑆 𝑡 (1)

sa variation infinitésimale est : 𝑑𝑉 𝑡 = 𝑑𝐶 𝑆 𝑡 , 𝑡 − 𝛥 𝑑𝑆 𝑡 (2)

L’expression de 𝑑𝐶 𝑆 𝑡 , 𝑡 découle de l’application du lemme d’Itô qui donne le

processus décrit par une variable connaissant le processus décrit par une autre variable et

un lien fonctionnel entre la première et la deuxième. L’application de ce lemme conduit à

cette équation :

𝑑𝐶 𝑆 𝑡 , 𝑡 = 𝜕𝐶

𝜕𝑆 𝑆 𝑡 , 𝑡 𝑑𝑆 +

𝜕𝐶

𝜕𝑡 𝑆 𝑡 , 𝑡 +

1

2𝜍2𝑆2 𝑡

𝜕2𝐶

𝜕𝑆2(𝑆 𝑡 , 𝑡) 𝑑𝑡

En introduisant cette équation dans (2) on obtient :

𝑑𝑉 𝑡 = 𝜕𝐶

𝜕𝑆(𝑆 𝑡 , 𝑡) − 𝛥 𝑑𝑆 +

𝜕𝐶

𝜕𝑆 𝑆 𝑡 , 𝑡 +

1

2𝜍2𝑆2 𝑡

𝜕2𝐶

𝜕𝑆2(𝑆 𝑡 , 𝑡) 𝑑𝑡

Dans le modèle de Black & Scholes, le portefeuille est considéré sans risque d’où :

𝜕𝐶

𝜕𝑆 𝑆 𝑡 , 𝑡 − 𝛥 = 0

D’autre part, l’hypothèse disant qu’il n’existe pas d’opportunité d’arbitrage implique que ce

portefeuille doit avoir une rentabilité égale à celle de l’actif sans risque de rendement r.

𝑑𝑉(𝑡)

𝑉(𝑡)= 𝑟 𝑑𝑡

Après combinaison des équations, on obtient l’équation aux dérivées partielles suivante :

Evaluation d’Options Vanille et Asiatique Page 16 Mohamed Khalfallah

𝜕𝐶

𝜕𝑆 𝑆 𝑡 , 𝑡 +

1

2𝜍2𝑆2 𝑡

𝜕2𝐶

𝜕𝑆2 𝑆 𝑡 , 𝑡 + 𝑟𝑆 𝑡

𝜕𝐶

𝜕𝑆 𝑆 𝑡 , 𝑡 − 𝑟𝐶 𝑆 𝑡 , 𝑡 = 0

Cette équation est résolue en spécifiant les conditions aux bornes relatives au call (même

raisonnement par rapport au put). A l’échéance le call vaut exactement sa valeur

intrinsèque.

Par analogie à l’équation de la chaleur, la solution de l’équation précédente donne la

valeur d’une option européenne ayant, un Strike égal à K et à une échéance, est donnée

par :

i) 𝐶 = 𝑆 𝑁 𝑑₁ – 𝐾 exp −𝑟𝑇 𝑁(𝑑₂) pour l’option d’achat

ii) 𝑃 = 𝐾 exp −𝑟𝑇 𝑁 −𝑑₂ − 𝑆 𝑁 −𝑑₁ pour l’option de vente

Avec 𝑑₁ = ln

𝑆

𝐾 + 𝑟+

1

2𝜍2 𝑇

𝜍 𝑇 et 𝑑₂ = 𝑑₁ − 𝜍 𝑇. Où 𝑁 correspond à la fonction de

distribution de la loi normale centrée réduite.

La formule de Black & Scholes met en évidence les cinq déterminants du prix de

l’option : le niveau du sous-jacent, la volatilité du sous-jacent, la maturité, le prix

d’exercice et le niveau du taux d’intérêt sans risque.

2) Modèle de Cox, Ross & Rubinstein (Modèle Binomial)

2.1) Valorisation d’option européenne

Contrairement au modèle de Black & Scholes continu, le modèle binomial est un modèle

en temps discret trouvé en 1979 par Cox, Ross et Rubinstein. Par la suite, nous évaluerons

les options européennes et américaines en nous appuyant sur le modèle des arbres

binomiaux.

Si aujourd’hui le sous-jacent côte S, nous supposerons que demain il pourra coter uS si

l’action est à la hausse ou dS si l’action est à la baisse avec les probabilités p et 1-p. u et d

correspondent à des facteurs multiplicatifs qui vérifient : 𝑑 ≤ 1 ≤ 𝑢 et udS = duS afin de

préserver une arborescence régulière qui facilitera l’implémentation de la méthode par la

suite.

Si T désigne la durée de temps entre aujourd’hui et l’échéance, cet intervalle sera

subdivisé en n intervalles égaux de longueur 𝛿𝑡 = 𝑇

𝑛 . On pourra représenter l’évolution de

l’actif comme suit :

Evaluation d’Options Vanille et Asiatique Page 17 Mohamed Khalfallah

Figure 5 : Modèle des arbres binomiaux

Cas où 𝑛 = 1

Cas où 𝑛 = 5

Comme pour le modèle de Black & Scholes, le prix de l’option est donné par le calcul

sous la condition risque neutre du Payoff. Le modèle de l’arbre binomial dépend donc des

paramètres S, K, T, r, u & d et N ; tel que N représente le nombre de périodes considérées et

u & d des paramètres dépendant de la volatilité (hausse ou baisse).

𝑢 = 𝑒𝑥𝑝 𝜍 𝛿𝑡 𝑑 = 𝑒𝑥𝑝 −𝜍 𝛿𝑡

Dans le cas d’un arbre mono-périodique (N=1), la valeur d’une option européenne d’un

Strike K est donnée par :

𝐶 = 𝜋 𝐶 𝑢 + 1 − 𝜋 𝐶 𝑑 exp(−𝑟 𝑇)

𝑃 = 𝜋 𝑃 𝑢 + 1 − 𝜋 𝑃 𝑑 exp(−𝑟 𝑇)

Evaluation d’Options Vanille et Asiatique Page 18 Mohamed Khalfallah

Avec 𝐶 𝑢 = 𝑀𝑎𝑥 𝑢𝑆 − 𝐾, 0 ; 𝐶 𝑑 = 𝑀𝑎𝑥 𝑑𝑆 − 𝐾, 0 ;

𝑃 𝑢 = 𝑀𝑎𝑥 𝐾 − 𝑢𝑆, 0 ; 𝑃 𝑑 = 𝑀𝑎𝑥 𝐾 − 𝑑𝑆, 0 ;

𝜋 = exp 𝑟𝑇 − 𝑑

𝑢 − 𝑑

La condition de non arbitrage conduit à l’existence de la probabilité au risque neutre π. On

suppose que la probabilité de hausse du sous-jacent est égale à la probabilité risque neutre.

Donc en considérant un processus d’évolution du sous-jacent comme suit :

𝑆𝑡+1 = 𝑢𝑆𝑡𝑑𝑆𝑡

La valeur espérée du sous-jacent à l’échéance sera :

𝐸𝜋 𝑆𝑡 = 𝜋 𝑢𝑆 + 1 − 𝜋 𝑑𝑆 = 𝑆 exp(𝑟𝑇)

Ce qui signifie que le sous-jacent se comporte comme l’actif sans risque.

En appliquant le même raisonnement sur un arbre multi-périodique (N>1), on obtient les

valeurs suivante pour le call et le put d’une option européenne :

𝐶 = 𝑆 exp −𝑟 𝑇 [ 𝑛

𝑖 𝜋𝑖

𝑛

𝑖=𝑎

1 − 𝜋 𝑛−𝑖𝑢𝑖𝑑𝑛−𝑖 − 𝐾 exp −𝑟 𝑇 [ 𝑛

𝑖 𝜋𝑖

𝑛

𝑖=𝑎

1 − 𝜋 𝑛−𝑖]

𝑃 = 𝐾 exp −𝑟 𝑇 [ 𝑛

𝑖 𝜋𝑖

𝑎−1

𝑖=0

1 − 𝜋 𝑛−𝑖𝑢𝑖𝑑𝑛−𝑖 − 𝑆 exp −𝑟 𝑇 [ 𝑛

𝑖 𝜋𝑖

𝑎−1

𝑖=0

1 − 𝜋 𝑛−𝑖]

Où a désigne le plus petit entier naturel vérifiant 𝑎 >ln(

𝐾

𝑑𝑛𝑆)

ln(𝑢

𝑑)

2.2) Valorisation d’une option américaine

L’option américaine peut être exercée à toute date précédant la date d’échéance. En

utilisant les arbres binomiaux, il suffit de comparer à chaque nœud de l’arbre, la valeur

intrinsèque de l’option obtenue par exercice immédiat et sa valeur de détention, par la suite

de prendre le maximum de ces deux valeurs. Cette méthode s’adapte bien aux cas simples

mais présente quelques problèmes au niveau de la discrétisation du pas de temps. Afin de

contourner cette difficulté, le nombre de pas de l’arbre doit être très grand.

Evaluation d’Options Vanille et Asiatique Page 19 Mohamed Khalfallah

3) Les paramètres de gestion

Les lettres grecques désignent les indicateurs de sensibilité d’une option aux

paramètres entrant dans la formule d’évaluation. L’expression des grecques est donnée

par la dérivée de la formule de Black & Scholes par rapport au paramètre concerné.

3.1) Le Delta

Le delta d’une option mesure la sensibilité de son prix à une variation du cours

du sous-jacent. Soit V la valeur de l’option :

𝛿 = 𝜕𝑉

𝜕𝑆

Dans le cas d’un call le delta est positif et donné par :

i) 𝛿𝑐 = 𝑁 𝑑1 dans le modèle de Black & Scholes

ii) 𝛿𝑐 = 𝐶𝑢− 𝐶𝑑

𝑢𝑆−𝑑𝑆 dans le modèle binomial

Dans le cas d’un put, le delta est négatif et donné par :

i) 𝛿𝑝 = 𝑁 𝑑1 − 1 = −𝑁(𝑑1) dans le modèle de Black & Scholes

ii) 𝛿𝑝 = 𝑃𝑢− 𝑃𝑑

𝑢𝑆−𝑑𝑆 dans le modèle binomial

Par ailleurs −1 ≤ 𝛿 ≤ 1.

Le delta d’un portefeuille d’options est la somme des deltas de chacune des options qui le

composent.

3.2) Le Gamma

Le gamma représente la convexité du prix d’une option en fonction du cours du sous-

jacent. Il indique si le prix de l’option a tendance à évoluer plus ou moins vite que le prix du

sous-jacent. Par analogie, le delta peut être assimilé à la vitesse et le gamma à

l’accélération :

𝛾𝑐 = 𝛾𝑝 = 𝜕²𝑉

𝜕𝑆²

Dans le modèle de Black & Scholes : 𝛾 = 𝑁′ (𝑑1)

𝑆𝜍 𝑇

N’ désigne la densité de la loi normale centrée réduite.

Evaluation d’Options Vanille et Asiatique Page 20 Mohamed Khalfallah

3.3) Le Thêta

Il mesure la sensibilité du cours de l’action par rapport au temps et il est négatif :

θ = −∂V

∂T

Dans le modèle de Black & Scholes :

𝜃𝑐 = −𝑆 𝑁′ (𝑑1)𝜍

2 𝑇− 𝑟𝐾 exp −𝑟𝑇 𝑁(𝑑2)

𝜃𝑝 = −𝑆 𝑁′(𝑑1)𝜍

2 𝑇− 𝑟𝐾 exp −𝑟𝑇 𝑁(−𝑑2)

3.4) Le Véga

Le véga mesure la variation du prix de l’option suite à une variation de la volatilité qui

est toujours positif :

𝜈𝑉 = 𝜕𝑉

𝜕𝜍

Dans le modèle de Black & Scholes :

𝜈𝑐 = 𝑆𝜍 𝑇 𝑁′(𝑑1)

𝜈𝑝 = 𝑆𝜍 𝑇 𝑁′(−𝑑1)

3.5) Le Rhô

Il donne le taux de variation de la valeur de la prime de l’option en fonction du taux

d’intérêt :

ρ = ∂V

∂r

Dans le modèle de Black & Scholes :

𝜌𝑐 = 𝑇 𝐾 exp −𝑟𝑇 𝑁(𝑑2)

𝜌𝑝 = −𝑇 𝐾 exp −𝑟𝑇 𝑁(−𝑑2)

Evaluation d’Options Vanille et Asiatique Page 21 Mohamed Khalfallah

3.6) La relation entre les paramètres de gestion

La résolution du modèle de Black & Scholes conduit à celle d’une équation aux

dérivées partielles (dans le cas d’un call) :

𝜕𝐶

𝜕𝑆 𝑆 𝑡 , 𝑡 +

1

2𝜍2𝑆2 𝑡

𝜕2𝐶

𝜕𝑆2 𝑆 𝑡 , 𝑡 + 𝑟𝑆 𝑡

𝜕𝐶

𝜕𝑆 𝑆 𝑡 , 𝑡 − 𝑟𝐶 𝑆 𝑡 , 𝑡 = 0

Partant de cette équation et remplaçant les dérivées partielles du prix de l’option par leurs

équivalents en lettres grecques, on obtient :

𝜃 +1

2𝜍²𝑆𝑡

2𝛾 + 𝑟𝑆𝑡𝛿 − 𝑟𝐶 = 0

4) Modèle de Monte-Carlo

4.1) Principe

La simulation Monte Carlo est simple à utiliser dans l’évaluation des options. Cette méthode consiste à générer de nombreuses trajectoires possibles de l’actif sous-jacent dans le monde risque neutre, calculer les valeurs terminales de l’option pour chaque trajectoire, prendre leur moyenne et l’actualiser.

Le prix d’une option européenne peut donc s’écrire comme la valeur au taux sans risque de l’espérance des différents prix d’option à la date d’échéance, l’estimateur de cette espérance peut être réalisé en simulant différentes valeur possible de S. Ainsi nous pouvons écrire:

Ê𝑐 =1

𝑛 max(𝑆𝑖 𝑇 − 𝐾, 0)

𝑛

𝑖=1

Ê𝑝 =1

𝑛 max( 𝐾 − 𝑆𝑖 𝑇 , 0)

𝑛

𝑖=1

Nous en déduisons le prix d’une option estimée à la date 0 :

𝐶0 = exp −𝑟𝑇 Ê𝑐

𝑃0 = exp −𝑟𝑇 Ê𝑝

Evaluation d’Options Vanille et Asiatique Page 22 Mohamed Khalfallah

4.2) Processus de prix

L’équation de Black & Scholes représente le prix de l’actif sous-jacent dans un monde

risque neutre, cette évolution repose sur l’utilisation d’un mouvement brownien. Ce type de

processus est continu, il doit donc faire l’objet d’une discrétisation en N intervalles Δ𝑡 = 𝑇

𝑁 .

On utilise ainsi l’approximation d’Euler d’une diffusion qui permet de réécrire l’équation

sous la forme :

𝑆 𝑡 + Δ𝑡 − 𝑆 𝑡 = 𝑟𝑆 𝑡 Δ𝑡 − 𝜍𝑆(𝑡)𝜖 Δ𝑡

𝑟 : La valeur du taux sans risque ; 𝜍: volatilité de l’actif sous-jacent

Où 𝜖 est un nombre aléatoire issu d’une distribution normale standard. Il est plus facile alors de simuler ln(𝑆), en appliquant le lemme d’Itô et en discrétisant :

ln 𝑆 𝑡 + 𝛥𝑡 − ln 𝑆 𝑡 = 𝑟 −𝜍2

2 Δ𝑡 + 𝜍𝜖 Δ𝑡

En passant à l’exponentielle on obtient :

𝑆 𝑡 + Δ𝑡 = 𝑆 𝑡 𝑒𝑥𝑝 𝑟 −𝜍2

2 Δ𝑡 + 𝜍𝜖 Δ𝑡

D’où à l’échéance :

𝑆 𝑇 = 𝑆 0 𝑒𝑥𝑝 𝑟 −𝜍2

2 T + 𝜍𝜖 T

4.3) Evaluation d’options asiatiques (ou sur moyenne)

Contrairement aux options classiques dont la valeur dépend du cours du sous-jacent

à la date d’échéance, la valeur de l’option asiatique correspond à la moyenne arithmétique

du cours du sous-jacent enregistrés pendant la période de référence.

- L’acheteur d’un call reçoit la différence (si elle est positive) entre cette moyenne

et le prix d’exercice convenu :

𝐶 = 𝑀𝑎𝑥(𝑆 − 𝐾, 0)

- L’acheteur d’un put reçoit la différence (si positive) entre le prix d’exercice et le

cours moyen obtenu :

𝑃 = 𝑀𝑎𝑥(𝐾 − 𝑆 , 0)

L’évaluation de cette option par la méthode de Monte Carlo ne présente aucune difficulté supplémentaire, il faut juste tenir compte de la trajectoire suivie par les cours du sous-jacent tout au long de la durée de vie de l’option.

Evaluation d’Options Vanille et Asiatique Page 23 Mohamed Khalfallah

5) Comparaison des prix des sous-jacents issus des modèles précédents

Nous avons comparé les prix obtenu par les trois méthodes en utilisant les même

paramètres d’entrés. Les u et d pour la méthode des arbres ont été calculés à partir des formules données plus haut. Le nombre d’itération varie de 0 à 360, le temps est de 1 an. Nous avons pris S = 100, K = 90, r = 0.05, σ = 0.2 Nous obtenons le graphe suivant :

Figure 6 : Comparaison des prix

Nous remarquons une convergence rapide des prix donnés par les arbres Binomiaux

vers ceux de B&S, alors que ceux donnés par la méthode de Monte Carlo restent aléatoires.

Evaluation d’Options Vanille et Asiatique Page 24 Mohamed Khalfallah

D) Implémentation en Visual Basic :

L’implémentation en VB à fait intervenir deux étapes dans le calcul de l’option, la

première concerne la création du processus d’évolution du prix du sous-jacent. La deuxième

étape concerne quant à elle la méthode de calcul du prix de l’option.

Le Pricer a été créé en utilisant le Visual Basic sous Excel 2007, il est constitué de

deux parties distinctes. D’une part, nous avons l’interface graphique représentée ci-dessous

où sur la gauche les champs à remplir et sur la droite les champs résultats après calcul

suivant les paramètres donnés. D’autre part, nous avons les fonctions de calcul qui ont été

implémentait en utilisant comme base les fonctions de calcul interne à Excel notamment les

fonctions de probabilités.

1) L’interface graphique

L’interface graphique du Pricer se présente comme suit :

Figure 7 : Interface graphique du Pricer

Evaluation d’Options Vanille et Asiatique Page 25 Mohamed Khalfallah

La combo-box option se déroule comme suit :

Figure 8 : Combo-box Option

2) Implémentation des fonctions de Calcul :

Pour chaque type d’option nous détaillerons les fonctions de calcul utilisé et les

résultats obtenus :

2.1) Option Vanille Européenne (Modèle B&S)

Rappelons les formules trouvées par Black & Scholes pour calculer la prime de

l’option :

𝐶 = 𝑆 𝑁 𝑑₁ – 𝐾 exp −𝑟𝑇 𝑁(𝑑₂)

𝑃 = 𝐾 exp −𝑟𝑇 𝑁 −𝑑₂ − 𝑆 𝑁 −𝑑₁

Pour la fonction de distribution de la loi normale centrée réduite N, nous avons la fonction

interne à Excel NormSDist( ) cette fonction est définie pour un z réel comme étant :

𝑓 𝑧 = 1

2𝜋 𝑒−

𝑧²2

2.2) Les Grecques

Les grecques ont été calculés avec le modèle de B & S

2.2.1) Le Delta

Le delta implémenté est de cette forme 𝛿𝑐 = 𝑁 𝑑1 pour un call et de 𝛿𝑝 = −𝑁(𝑑1)

pour un put. Il utilise donc la loi normale centrée réduite N définie précédemment.

Evaluation d’Options Vanille et Asiatique Page 26 Mohamed Khalfallah

2.2.2) Le Gamma

Le gamma est de cette forme 𝛾 = 𝑁′ (𝑑1)

𝑆𝜍 𝑇 . Il est le même pour un call ou un put. Nous

avons également utilisé la fonction interne à Excel NormDist( ) pour calculer la densité de la

loi normale centrée réduite. Cette fonction prend quatre arguments dont la valeur, la

moyenne arithmétique de la distribution, l’écart type et un booléen qui est à False pour que

la fonction renvoie une masse de probabilité. Cette fonction s’écrit :

𝑓 𝑥, µ,𝜍 = 1

2𝜋𝜍𝑒−

(𝑥−µ)²2𝜍²

2.2.3) Le Thêta, le Véga, le Rhô

Le thêta, Véga et Rhô sont donné directement en implémentant les expressions

données dans le modèle de Black & Scholes et décrit dans la partie précédente en utilisant

NormSdist( ) et NormDist( ).

2.3) Option Vanille Européenne (Modèle des arbres binomiaux)

L’implémentation en Visual Basic ne pose pas de problème particulier. Le principe est

d’avoir deux boucles imbriquées, la première consiste à décroitre dans le temps en

parcourant chacune des étapes intermédiaires de la date d’échéance T à la date 0, la

deuxième consiste à parcourir de bas en haut les différents nœuds existant à un indice

(indice d’itération de la première boucle). On calcul ainsi le prix de l’option à chaque

itération que l’on met dans un tableau différent par la formule ci-dessous :

𝑝𝑟𝑖𝑥 𝑖 = max[𝑧 𝑆𝑢𝑖𝑑 𝑁−𝑖 − 𝐾 , 0]

Avec z = 1 pour un call et z=-1 pour un put.

La suite de l’algorithme consiste à retrouver le prix de l’option à T=0 (au moment de

l’évaluation) en utilisant à chaque étape les prix(i-1) et prix(i+1). La boucle remplie les

nouveaux prix en décroissant et ainsi prix(0) représente l’évaluation de l’option.

2.4) Option Vanille Américaine (Modèle des arbres binomiaux)

L’évaluation de l’option américaine complique légèrement l’implémentation des

options vanilles européennes car il faut effectuer et garder en mémoire l’évaluation de

l’option en chaque nœud.

Evaluation d’Options Vanille et Asiatique Page 27 Mohamed Khalfallah

2.5) Option Vanille Européenne (Méthode de Monte Carlo)

Pour construire le processus des prix nous avons besoin de générer un terme

aléatoire ε correspondant au nombre issu d’une distribution normale. La fonction Rnd

d’Excel nous permet de générer des nombres aléatoires uniformément distribué sur *0, 1+.

En utilisant la fonction NormSInv( ) qui nous permet de retrouver la valeur de 𝑥 partant

d’une probabilité 𝑝 tel que 𝑃 𝑥 ≤ 𝑋 = 𝑝 avec 𝑋 suivant une loi normale. A partir de ce

moment il n’y a plus aucune difficulté pour déterminer la trajectoire du sous-jacent. Le prix

de l’option est tout simplement donné par 𝑀𝑎𝑥(𝑧(𝑆 − 𝐾),0).

2.6) Option Asiatique Européenne (Modèle de Monte Carlo)

La seule différence entre l’évaluation précédente et celle-ci est qu’il faut tenir

compte de tout le processus d’évolution du cours du sous-jacent afin d’en calculer la

moyenne. Le prix de l’option est déterminé par rapport à cette moyenne.

2.7) Les résultats pratiques

Les options évaluées par les banques sont des données impossibles à avoir en

demandant aux banques, le peu d’exemples sur lesquelles j’ai pu tester sont des données

issues de cours de certains masters.

B & S Arbre M C

S 15 Call Théorique 2,2

K 13 Call Pratique 2,194 2,1936 2,1967

r 0,05 Put Théorique

sigma 0,2 Put Pratique

T 90 Delta 0,946

B & S Arbre M C

S 15 Call Théorique 2,32

K 13 Call Pratique 2,3174 2,3175 2,2906

r 0,05 Put Théorique

sigma 0,3 Put Pratique

T 90 Delta 0,8681

Evaluation d’Options Vanille et Asiatique Page 28 Mohamed Khalfallah

B & S Arbre M C

S 15 Call Théorique 2,507

K 13 Call Pratique 2,499 2,4996 2,6202

r 0,05 Put Théorique

sigma 0,4 Put Pratique

T 90 Delta 0,811

B & S Arbre M C

S 52 Call Théorique 5,06

K 50 Call Pratique 5,0258 5,0250 4,8681

r 0,12 Put Théorique

sigma 0,3 Put Pratique

T 90 Delta 0,7041

B & S Arbre M C

S 50 Call Théorique

K 50 Call Pratique

r 0,1 Put Théorique 2,37

sigma 0,3 Put Pratique 2,3637 2,3622 2,4932

T 90 Delta -0,4051

Evaluation d’Options Vanille et Asiatique Page 29 Mohamed Khalfallah

CONCLUSION

Dans ce projet, nous avons été appelés à étudier différents modèles stochastiques pour les évaluations des options vanilles et asiatiques. Ce projet s’est concrétisé par la création d’un « Pricer » d’options. Au cours de ce projet nous avons la convergence des modèles de Black & Scholes et des arbres binomiaux.

Les options vanille européennes ont été évaluées par les trois différents modèle, à savoir, Black & Scholes, les arbres binomiaux et Monte Carlo. Nous avons également évalué les options vanille américaines à l’aide des arbres et les options asiatiques (ou sur moyenne) suivant le modèle de Monte Carlo. Les paramètres de gestion, les grecques, ont été calculés en nous basant sur B & S. Ces paramètres peuvent également être calculé dans les autres modèles vu qu’ils ne représentent que des dérivées du sous-jacent.

Durant ce projet, nous avons toujours utilisé une volatilité constante qui n’est pas forcement le cas dans la réalité ou nous utilisons un calcul de la volatilité implicite. Nous n’avons également pas tenu compte des couts de portage qui se soustrait à chaque fois du taux d’intérêt selon la nature du sous-jacent.

Nous pouvons étendre ce travail par la suite à l’évaluation de produits structurés constituer de différents types d’options. Ce projet m’a permit de m’approfondir dans le domaine des marchés financiers que j’ai découvert lors de mon stage de deuxième année d’une part, et de me familiariser avec la programmation Visual Basic sous Excel très utilisé au sein des salles de marchés d’autre part.

Bibliographie

“Couverture des risqué dans les marches financiers’’ Nicole El Karoui

‘’ Mathématiques et gestion financière ‘’ Octave JOKUNG NGUENA (éditions de boeck)

‘’ Modélisation des processus aléatoires: Introduction aux équations différentielles

stochastiques’’ Vincent Barra (polycopié de cours)

‘’Notes on Numerical Methods for Partial Differential Equations in Finance’’ Jacques Printems ‘’ Options, Futures & Other Derivatives’’ John Hull

‘’VB-VBA : Programmer efficacement Microsoft Excel’’ J-M RABILLOUD

www.abcbourse.com

www.edubourse.com

www.fxtrade.com

www.wikipedia.com