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Anneau de k-théoriecomplexe des espaceslenticulaires tordusAbdallah Al Amrani aa Université Louis Pasteur , 7, rue RenéDescartes, Strasbourg, F-67084C.N.R.SPublished online: 27 Jun 2007.

To cite this article: Abdallah Al Amrani (1992) Anneau de k-théorie complexe desespaces lenticulaires tordus, Communications in Algebra, 20:6, 1591-1614, DOI:10.1080/00927879208824422

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COMMUNICATIONS IN ALGEBRA, 20(6), 1591-1614 (1992)

ANNEAU DE K-TH~ORIE COMPLEXE

DES ESPACES LENTICULAIRES T O R D U S

Abdallah AL AMRANI Universitk Louis Pasteur et C.N.R.S

7, rue Ren6 Descartes, F-67084 STRASBOURG

- Les espaces lenticulaires tordus complexes Ln, de type (q; qo, . . . , qn), sont

des quotients de (CnS1)* par le groupe des racines q-ibmes de l'unitk. 11s - sont intimement liks aux projectifs tordus Fn = P(qo, . . . , qn) et Pn+' = P(q0, . . . , q,, q) (5 1). Ce qui permet de dkduire la structure de leur anneau de K-thkorie complexe IC(Zn) de celle de K ( P ~ ) , calculke dans [I] et rappelke au $2 :

D'abord (53), nous d6composons K(Zn) en produit d'anneaux de la "m8me forme", mais dont les id6aux d'augmentation sont des p-groupes finis. Ensuite, nous calculons l'anneau K ( P ) en se ramenant au cas oh chaque qi divise q, grbce B la factorisation prkckdente. -

Quand q est premier B tous les q;, les Ln ne sont autres que les espaces lenticulaires dits "gknkralisks", B homotopie prb. Leur K-thkorie complexe a 6th calculke par KAMBE [2] et SUGAWARA [3] dans des cas particuliers, et par CHABOUR [4] et MAHAMMED [5] dam le cas gknkral.

Dans tout ce qui suit, les entiers n 2 0; q 2 1 ; go,. . . , qn E Z* sont fixks une fois pour toutes.

1. Espaces projectifs e t lenticulaires tordus Rappelons la dkfinition de tels espaces ([6],M).

1.1. DEFINITIONS. - Soit C* le groupe multiplicatif des nombres complexes non nuls. I1 op&e sur l'espace

comme suit.

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Par dkfinition, l'espace topologique quotient de cette op&ation, est l'espace project$ (complexe) de type (qo, ql, . . . , qn). Nous parlerons d'espace projectif "tordu" ([6],[7]) quand le type n'est pas prbcis6, pour faire la dXkrence avec l'espace projectif standard. D'autres disent espace projecif "anisotrope" [8] ou %eigthed projective space" (91. On le note

Considkrons maintenant le sous-groupe p, de C*, constitu6 des racines q-ihmes de l'unitk. La restriction de l'op6ration (1.1.1) & pq, dkfinit un espace topologique quotient appelk espace lenticulaire de type (q; qo, ql , . . . , qn). I1 est not6

On dira lenticulaire "tordu" ou 'Lde type quelconque".

1.2. REMARQUES i) L'opCration pq x (Cn+I)* + (Cn+')*, dkfinissant Ln(q; qo, . . . ,qn), ne

change pas si on remplace un entier q; par qi + mq (m E Z). Dans ce cas, l'espace quotient ne change pas non plus. On peut donc, pour le calcul de sa K- thkorie, supposer les entiers go, ql , . . . , qn posit&.

ii) La sphbre rkelle SZn+' c (Cn+l)* est stable par l'action de pq. Par pas- sage au quotient, l'inclusion prkckdente induit une Cquivalence d'homotopie

sZnS1/pg -t Ln(q; qo, . ., 9,).

Par ieilleurs, I'action de pq est libre (sur SZnS1 ou, de manihre Cquivalente, sur (Cn+l)*) si, et seulement si, chaque qj est premier avec l'entier q. Dans ce cas, nous retrouvons donc, tt homotopie prh , les espaces lenticulaires dits "gknkaljsks".

iii) Enfin remarquons que, du fait que C est algkbriquement clos, il existe, pour tout entier d 2 1, un homkomorphisme nature1 ([6]1.1.5).

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K-THEORIE DES ESPACES LENTICULAIRES TORDUS 1593

Ce qui permet, pour des calculs de thkories cohomologiques de Ln(q; qo, . . . , q,), de supposer les entiers q, qo, . . . , qn premiers entre em, dans leur ensemble. La mbme remarque s'applique B Pn(qo, . . . , q,).

1.3. Par definition mbme des espaces Fn et En, il existe une projection naturelle 8 = 8(q; go,. . . , q,)

D'autre part, posant

nous avons une inclusion fermke canonique

(un ClCment de (Cntl)* et sa classe dans Fn ou dans En sont notes de la mbme manibre, pour simplifier).

Nous allons voir que le diagramme

donne lieu & une suite exacte en K-thkorie (rkduite).

1.4. Sui te exacte fondamentale. Vu la remarque 1.2.i), nous supposons de'sormais les entiers qo,q~, . . . , qn

(s tr ic tement) positifs.

1.4.1. Pour un espace topologique Y, on ddsigne par

- ( K ' ( Y ) ) ~ ~ Z sa K-thCorie complexe,

- AH(Y) sa suite spectrale d'Atiyah-Hirzebruch [10]2.

- F'(Y) = FiKO(Y), i 2 0, la filtration d'anneau (dkcroissante) de KO(Y), provenant de AH(Y),

- K*(Y) la somme directe KO(Y) $ K1(Y). Notons que les suites spectrales AH(?^) et AH(^") sont dkgknkrkes ([I] 2.2,4.9).

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La K-thkorie complexe des espaces projectifs tordus ktant connue [I], la suite exacte suivante est fondamentale dans le calcul de celle des espaces lenticulaires de type quelconque.

1.4.2. PROPOSITION. - 1 existe une suite exacte de gToupes :

les homomorphismes a* et 8* e'tant induits par les applications a et 8 de'jinies dans 1.8.

Quand on munit pn et Zn d'un point base ((1,0,. . . , O)), F1 ne dksigne pas autre chose que la K-thkorie r6duite de ces espaces.

P ~ e u v e : On sait dkj& que la suite

est exacte ([I] 4.10). Nous calculerons le noyau de a* et montrerons la surjectivitk de 8*, dans le paragraphe suivant, a p r b avoir d'abord rappel6 la K-th6orie de Fn (cf. 2.7).

2. K-ThBorie d e P[II DJaprl?s [I] 2.4, on a K ' ( ? ~ ) = 0, avec Fn = Pn (qo,. . . ,qn). On pose

'(Fn) = KO(+). C'est un groupe aElien libre de rang n + 1 (loc. cit.). Nous avons besoin de dkcrire sa structure multiplicative. Pour cela, il nous faut quelques notations.

2.1. Si L E (0, 1, . . . , n), on d6signe par

le ppmc (plus petit multiple commun) de tous les entiers

avec 0 5 io < il < < ik 5 n (pgdc=plus grand diviseur commun). En particulier l o = 1 et

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K-THEORIE DES ESPACES LENTICULAIRES TORDUS

Soit p un nombre premier. Notant vp la valuation p-adique, on pose

Pour une permutation (io, i l , . . . , i n ) des entiers 0, 1,. . . , n, nous avons

Alors, pour tout k, 1 < k 5 n, on a :

2.2. Les entiers t i = ei(qo,. . . , q,) que nous venons de dBfinir sont tels que ti divise ti+l (0 < i 5 n - I), en vertu de (2.1.1). Nous posons

Avec les notations du numkro 2.1, on a

2.3. Dans l'anneau des polynBmes 8. coefficients entiers et B. une ind6ter- minke Z[X], on considhe les 61Bments

0G ki = ki(qo, . . . , q,) (2.2).

2.4. Rappelons la K-thkorie complexe de I'espace projectif usuel Pn = P n ( l , 1,. . . ,1) (1.1). Soit L le fibrd en droites canonique sur Pn. On note

a = [L] - 1 E K(Pn).

Alors K ( P n ) est un groupe abklien libre, dont {l, a, a2 , . . . , an) est une base. De plus ansl = 0.

Nous sommes maintenant en mesure d'Bnoncer le thkorhme qui permet de calculer la structure d'anneau de K ( P ) ([I] 4.2, 5.3).

2.5. THEOREME. - Soit cp = cp(q0,. . . ,qn) l'application

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(bien) de'finie par cp(x0, XI,. . . , xn ) = (xi0, x!', . . . , x p ) (rappelons que les entiers qi sont supposds, une fob pour toutes, strictement positifs).

i) L'homomorphisme cp* : K(Pn) + K(Pn) , induit par cp, est injectif.

ii) Le groupe abtlien libre ~ ( p " ) admet m e base dont lJimage par cp* est (l,Tl(a),Tz(a), . . . ,Tn(a)) (2.3, 2.4).

Preuve : [I] 3.2, 4.2.

2.6. On dksignera par u; l'klkment de K ( P ) tel que

Donc (1, ul , u2, . . . , u,) est une Z-base de K(F"), par le theoreme prkckdent. - On s'y rkfkrera dans la suite comme ktant la base canonique de K(Pn) .

2.7. Suite de la preuve de la proposition 1.4.2.

i l Noyau de o*. Soit (1, vl,v2,. . . , v,+~) la base canonique de ~ ( + + l ) , avec Pn+' = Pn+l(qo,. . . , qn, q), et soit 'cp = cp(qo,. . . , q,, q) (2.5).

En considkrant le diagramme commutatif

oii la flkche horizontale infkrieure est induite par l'inclusion canonique Pn Pn+', il n'est pas difficile de voir que

grbce B 2.5 (voir 2.7.4 pour plus de dktails).

ii) Surjectivitk de d* : ~ l ( ? i n ) + ~ l ( Z n ) . Vu l'exactitude de la suite (1.4.2.1), il s f i t de dkmontrer que les groupes

F1(Zn) et

G = F ~ ( P ) / , * ~ l ( P + l )

sont finis de mBme ordre. Soient les entiers (2.1)

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K-THEORIE DES ESPACES LENTICULAIRES TORDUS 1597

Par la formule (2.1.1), l'entier t i = li(qo,. . . , q,) divise 'ti, pour tout i = 1,2,. . . , n. On obtient de nouveaux entiers

2.7.3. LEMME. - Le groupe F'(Z~) e s t f i n i d'ordre tgal b llr=lmi.

Preuve de 2.7.3. Nous savons, d'une part, que les groupes de cohomologie entikre de En sont ((61 11.2.1.1)

d'autre part, que la suite spectrale AH(^) (1.4.1) est dCgBnCrke ([I] 4.9.3). D'oh le rhsultat.

2.7.4. LEMME. - Dans les bases canoniques ( u ; ) ~ ~ ~ ~ , , de ~ ' ( p " ) et de ~ l ( P n + l ) (2.6)' la n a t r i c e de l'application Z- l in ta ire

a* : F1(Pn+l) -, F1(Fn) est trdangulaire infe'rieure, de diagonale (mlmz . . . m,O), les entiers mi Ctant d o n n t s par (2.7.2). E n particulier G est fini d'ordre ;gal b IIy=lmi.

Preuve de 2.7.4. Soit (Si)lliln+l la farnille de polyn6mes de Z[X] dkfinie par (2.2, 2.3) :

Par dBfinition de vi, on a

b E K(Pn+') ktant l'analogue de a E K(Pn) (2.4). Cela dit, fixons-nous un i E {1,2,. . . ,n $ 11. II existe des entiers t j tels

que

uL(vi) = tlul + t2u2 + ' . ' + tnu,.

La commutativit6 du diagramme (2.7.0) donne (2.6)

&(a) = tlTl(a) + - + tnTn(a), dans F1(pn).

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D'aprb leur difinition, les polyn6mes Tk s'kcrivent (2.2, 2.3)

Tk = !kxk + mon6mes de degrk > k , 1 5 k < n ;

Sj =' l jX j + mon6mes de degrk > j, 1 5 j 5 n + 1.

DU fait que {a,a2, ..., an} est une Z-base de F1 (Pn ) , et que an+' = 0, il s'ensuit que

t l = tZ = . . . = ti-l = 0,

et que, si i # n + 1,

t i =' t i lt i = mi.

Le lemme est alors prouvi. Ainsi G et F'(Zn) sont-ils finis de mbme ordre; ce qui met fin & la

ddmonstration de la proposition 1.4.2.

2.8. COROLLAIRE. - La projection naturelle 9 = 0 ( q ; go,. . . , qn) (1.3) indudt un isomorphisme d'anneauz (sans unit4

(notations de 1.3, 1.4).

2.9. Par dig6nirescence de A H ( Z ~ ) (1.4.1), et vu la cohomologie entikre de in (2.7.3.1), on a

~ ' ( 2 ) = Z.

Dans la suite, l'anneau de I<-thCorie KO(Z") sera not6 K(Zn). I1 s'icrit (1.4.1)

K(Zn) = Z $ F1(Zn),

oG J"(Zn) est l'idkal d'augmentation de K(Zn). Dam le paragraphe suivant, l'anneau (sans uniti) ~ ' ( 2 ~ ) sera dicomposk en un produit d'anneaux de la "mbme forme", mais qui sont des p-groupes (voir lemrne 2.7.3).

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X-THEORIE DES ESPACES LENTICULAIRES TORDUS

3. Factorisation de I'anneau K ( Z " ) 3.0. Soit la dCcomposition primaire de I'entier q

Posons, pour tout z = 1,2,. . . , s,

3.1. TH~OREME. - I1 existe un isomrphisme d'anneauz

8

K(L"(Q; qo, ql, . . . , qn)) 2 @ ~ ( ~ ~ ( ~ ; i ; ~ y o , ~ ; i l , . . . ,p;in 1). 1

Ce resultat est connu dans le cas des espaces lenticulaires "gkn&alisCs" ([ll] 2.1, 2.2), c'est-&-dire dans le cas particulier oh

(voir remarque 1.2.ii).

Ddmonstrat%on. II s f i t de constmire un isomorphisme d'anneaux (2.9)

Nous le ferons en deux itapes. La premibre consistera B faire la construction dans un cas particulier :

3.1.2. LEMME. - Soient p un nombre premier et P un entier > 0. Posons pi = vp(qi). n y a alors un isomorphisme d'anneauz

F'(L"(P'; q o r 91,. .. qn)) 2 ~ ~ ( L ~ ( p ' ; p ~ ~ , p ~ ~ , . . . ,pPn)).

Au cours de la deuxihme Ctape, on Ctablira le rksultat suivant.

3.1.3. PROPOSITION. - Les projections naturelles (3 .0)

ddjinissent un isomorphisme d'anneauz

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Le thkorkme sera alors prouvk.

3.2. Preuve d e 3.1.2. Les entiers p, ,B, ,Bo , . . . , ,B, Btant comme dans l'knonck, on note

(On remarquera que p ne divise aucun des entiers t , to, . . . , t,). Le diagramme cornmutatif suivant est alors bien dkfini

les flBches ktant donnkes par les formules :

En particulier, on a

Par le corollaire 2.8, le lemme 3.1.2 est une conskquence Cvidente de la proposition suivante.

3.3. PROPOSITION. - L'homomorphisme f* : ~ ' ( i j , ( p ) ) + F'(F,) induit (8.2.1) un isomorphisme d'anneaux (1.4.2)

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K-THEORIE DES ESPACES LENTICULAIRES TORDUS 1601

Preuve. Montrons que G(p) et Go sont de mdme ordre (2.7.3, 2.8). Soit j E {1,2,. . . ,n) f ixk, et soit p' un nombre premier divisant l'entier m j = m (qo , . . . , qn, q) (2.7.2). Notons

et ordonnons les pi de manikre dhcroissante :

Par (2.1.1), la valuation p'-adique de mi est alors

Vu 2.7.3 et 2.8, on en ddduit que G(p) et Go sont (finis) de m6me ordre (de la forme pr).

I1 s a t donc de voir que la flkche G(p) -+ Go, induite par f *, est injective. Nous procedons par lemmes successifs.

3.4. LEMME. - L'homomorphisme f * : ~ ' ( p ~ ( p ) ) -t ~ l ( F n ) est injectif.

Preuve. Soit le diagramme cornmutatif (2.5)

Comme cp(p)* est injectif (2.5), il n'y a qu'8 verifier que g* : F1(Pn) + F1 (Pn ) l'est aussi, puisque cp* f * = g*cp(p)*. En fait, Pn slidentifie de manikre naturelle B Pn(t , . . . , t), et g se confond alors avec ~ ( t , . . . , t ) . D'oh le r&sultat, par 2.5.

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3.5. LEMME. - Soit l 'homomorphisme de groupes indui t par f * :

L'application 40 = 8 0 ( ~ ~ ; qo, . . . , qn) (1.3) ddfinit un autre homomorph i sme :

(d 'apr i s 3.2.1. et le fait que 6505 = 0 (1.4.2)). L'homomorphisme compose' @f- es t tnjectif.

Disons tout de suite comment ce lemme prouvera l'injectivit8 de la flkche G(p) t Go (induite par f *). Par definition de f;L et @, elle se d6compose de la manikre suivante

oh l'isomorphisme vertical est l'inverse de celui induit par 9; (2.8).

Preuve de 3.5. En vertu de 3.4, J* est injectif. Comme 0; est surjectif (1.4.2)' @ est aussi surjectif. D'autre part, d'aprks le dCbut de la preuve de 3.3, G(p) et F ~ ( Z ; ) sont de m6me ordre (2.8)' de la forme pT. On est amen6 ainsi B vkrifier que le groupe M est fini, et que la valuation p-adique de son ordre est kgale B r . Ceci, B cause du lemme imm6diat suivant.

LEMME. - Soient K1, K2, K3 ~ T O ~ S groupes commutat i fs finis, pl u n nombre premier, s' et k deux entiers t e h que sf 2 0, k 2 1, et pl n e divise pas k. Supposons que K~ et K3 soient de m c m e ordre dgal d p f , et que Z'ordre de K2 soi t e 'p l ci p;'k. S'i2 existe des homomorphismes K1 t K2 --+ K3 tek, que Ie premier soi t injectif e t le second swjec t i f , alors 2'homomorphisme compose' K1 t K3 est bijectif.

I1 n'y a donc qu'B demontrer le r6sultat annonck, B savoir :

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K-THEORIE DES ESPACES LENTICULAIRES TORDUS 1603

3.6. LEMME. - Le groupe M (3.5) est fini. La valuation p-adique de son ordre est dgale d r.

Remarquons que, si on ordonne les pi tels que

alors 2.7.3 et (3.3.1) donnent

Preuve de 3.6. 1) On considke la Z-base de ~ y F n ) , dCfinie dam le numkro

2.6. Soit ( ~ ; ) ~ g ~ g , la Z-base de F ' ( ?~ (~ ) ) dkterminke de la m&me fason. Nous avons (2.6.)

06 el = el (q,, . . . , q,) (2.2). Ce qui implique (3.4.1)

Par ailleurs, la commutativitB du diagramme (3.4.1) donne

En outre, on a (2.3,2.6)

cp*(ui) = Ci(qo,. . . , qn) ai + monbmes en a de deg. > i, v(p)p*(wi) = ei(PBO,. . . , pPn) ai + mon8mes en a de deg. > i.

I1 en rCsulte que f'(wi) s'Ccrit

avec

T . a -e.( - a P PO , . . . , pPn)ti/ei(qo, . . . , qn).

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Par dkfinition des /Ij (3.1.2)' p ne divise

Donc ri n'est pas divisible par p, pour tout i = 1 , 2 , . . . , n 2) Soit maintenant ( v ; ) ' ~ la Z-base canonique de F1(?"+'(p)),

dkfinie de la mBme rnaniere que ( u i ) l l i l n dans 2.6. Le lemme 2.7.4 montre que a (p )* (v ; ) s'kcrit, pour 1 5 j 5 n,

avec s j = m (pPO, . . . , pPn, p P ) (2.7.2)' et que a ( p ) * ( ~ L + ~ ) = 0. I1 s'ensuit que le sous-groupe

admet une base ( E ~ ) ~ ~ ~ ~ ~ de la forme (3.6.1)

n

s i = pr, par (3.3.1) , 1

et on a vu dans 1) que p ne divisait aucun des r;. Le lemrne 3.6 est alors d6montr6.

Ainsi la preuve de la proposition 3.3, dont le lemme 3.1.2 est une conskquence, est-elle achevke.

3.7. REMARQUE. L'isomorphisme (3.1.2)

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K-THEORIE DES ESPACES LENTICULAIRES TORDUS

est induit par l'application bien dkfinie (3.2.0)

Pour s'en convaincre, il suffit de considkrer le morphisme de suites exactes (1.4.2)

et d'appliquer 3.3. I1 reste & prouver la proposition 3.1.3.

3.8. Preuve de 3.1.3. Posons

en se souvenant que q = nJ ppi est la dhcomposition primaire de q (3.0). i) Les anneaux finis (2.7.3) F 1 ( Z n ) et nJ F @ ) sont de mdrne ordre. En

effet, de la formule (3.3.1) il dkcoule que (2.7.2)

et le lemme 2.7.3 dit que l'ordre de FI(Z") est kgal B r n l m . 2 . . . mn. ii) Montrons que ($, . . . , $) est surjectif de F ~ ( Z * ) sur ni ~ ~ ( 2 ) .

Soient les projections canoniques Bi = O(pri; qo, . . . , qn) (1.3)

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AL AMRANI

~ t a n t donne le diagramme commutatif

( 4 = 0 o yi), il s a t de voir que (Of,. . . '6'3) est surjectif. Considkrons les inclusions fermbes naturelles

On sait que les 6; sont surjectifs et que 0laf F' (F:+') = 0 (1.4.2). Donc la surjectivitk de (8;' . . . '0:) rbsulte de celle de l'homomorphisme

canonique

que l'on va prouver. Le lemme facile

LEMME. - Si H est un groupe abklien, et si HI,. . . , H, sont des sous- groupes de H, d'indices finis premiers entre eux, deux c i deux, alors l'homomorphisme nature1 H -t ni H/Hi est surjectif.

montre qu'il y a seulement 8, vkrifier que les ordres des groupes

sont premiers entre eux, deux B deux. Or, d'aprbs 2.7.4, l'ordre de Gi est Bgal 8, l'entier

lequel est une puissance de pi, puisque (3.3.1)

mj(qo, . . . , qn, q) divise q.

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Comme les nombres premiers pi sont distincts (deux B deux), le rksultat s'en d6duit .

La dkmonstration du th6orbme 3.1. est terrnin6e.

3.9. REMARQUE. Notons f i (1 5 i 5 s) l'application correspondant B fo dans 3.7 quand on remplace p par pi et P par ari dans 3.1.2. L'isomorphisme (3.1.1) qu'on vient de construire, n'est autre que

4. Calcul de l'anneau K ( Z ~ ) Pour calculer l'anneau

nous d o n s d'abord ddfinir certains nombres entiers.

4.1. Pour tout d4tail concernant le prksent num6r0, nous renvoyons 9, [I] 5.2. Les polyn6mes Ti (1 5 i < n), dkfinis dans 2.3., s'6crivent sous la forme

T i = C k i j x ' , oh j variedei B kl + . . a + ki, j

les entiers k, 6tant ceux d6finis dans 2.2. Pour i, j E (1, . . . , n ) fixes, tels que i + j 5 n, il existe des entiers uniques

(loc. cit.)

v6rifiant, pour tout entier 4, i + j < e 5 n, la relation

4.2. Dam l'anneau de polyn6mes ZIXI,. . . , X,], on considkre les 616ments (1 5 ;,j 5 n)

et Qm,(X1) = (1 + - 1, 06 ml = ml(qo,. . . ,qn, q) (2.7.2). L'idkal de ZIX1,. . . , X,], engendrk par tow ces polyn8mes, sera not6

Voici le premier pas dam le calcul de K@).

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4.3. LEMME. - Soit l'homomorphisme d'anneauz (1.3., 2.6)

i) Il induit un ipimorphisme q5 = $(go,. . . , qn, q)

ii) Sd chaque entier qi divise q, alors 4 est un s'somorphisme.

On verra que C et K@) ne sont pas en gkn6ral isomorphes (voir 4.7).

Preuve. Nous avons deux isomorphismes d'anneaux (2.8, [I] 5.3) :

(1) K(F~)/U'F~(F"") -Z, K(?) (induit par O*),

oh a est I'inclusion canonique

Fn = Pn(qo,. . . , q,) - F n + l = pn+yqo, . . . , q,, q) .

(2) K ( F " ) ZIX1,. .., Xn]/Z, ui H Xi,

oh l'idkal Z est engendr6 par les polyn8mes Rij (4.2.1). L'assertion i) est alors claire, et ii) d6coule du r6sultat suivant.

4.4. LEMME. - Si chaque qi divise q, alors l'idkal (1.4.2) a* ~ l ( F n + l ) de l'anneau K ( P ) est engendre' par Z'e'liment (4.2)

Preuve. Rappelons quelques notations, d6jh rencontrkes au numkro 2.7.

- 'cp d6signe l'application cp(qo,. . . , q,, q) : Pn+' 4 fin+' (2.51,

- (1, vl , . . . , v,+~) est la Z-base canonique de ~ ( F n + l ) (2.6),

- les polynbmes

oh q,+l = q, sont dkfinis de la meme manikre que les Ti = Ti(qo,. . . , q,) dans 2.3,

- --fin A r K/ Dn+l\ ant l ' n - n l ~ n r o rlr. n C K ( Pn\ (9 A\

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Nous avons (2.6)

D'oh, par commutativitB du diagramme (2.7.0),

D'autre part, par d6finition de l'entier ml = ml (go,. . . , qn, q) (2.7.2), et des polynhmes Qm, , TI, S1 (2.3), ceux-ci virifient

I1 en rksulte - cp* &ant un homomorphisme d'anneaux - l'kgalitk

Supposons un moment les relations suivantes 6tablies.

Elles impliquent, vu (4.4. I),

pour 1 < j _< n, en posant uo = 1. Par injectivitk de cp* (2.5.i), on obtient

Le lemme sera alors prouvB, sachant que U*(V,+~) = 0 (2.7.1). Reste b vBrifier (4.4.2). C'est 1b qu'on se sert de l'hypothbse faite sur les

entiers q, qo,. . . , q,. 4.5. Posons

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Les polynBmes Ti et Sj sont dCfinis ainsi (2.3) :

oh k, = e,/e,-l, l, = &(go,. . . , qn) (2.2). I1 s f i t donc d'6tablir l'assertion suivante.

(4.5.2) Si chaque qi divise q, alors hi+] = ki pour 1 5 i < n.

Preuve. Soit p un nombre premier, et soient

En ordomant les pi de manibre dCcroissante pi, >_ pi, >_ . . . >_ pi,, on a, par hypothbse, p 2 pi,. Donc, d'aprbs 2.2,

D'oh le resultat. Cela met fin 9. la demonstration de 4.3.

4.6. LEMME. - On se donne un entier m > 1 et on considkre l'iddal Id de ZIX1,. . . ,X,] engendrk par les polyn6mes Rij (4.2.1) et par

L 'anneau quotient ZIX1,. . . , Xn]/N a un ide'al d'augmentation fini, d'ordre e'gal d

mn.f?;/en , 0; ei = ei(qo, . . . , qn) (2.1).

Preuve. (a) Soit q' un entier 2 1 divisible par tous les qi. Notons

On a la formule

En effet, soit p' un nombre premier, et posons

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Les pi ktant ordonnks tels que pi, 2 pi, 2 . . . 2 pi,, on obtient

vpj(m>) = p' - pij-l , pour j = 1,2,. . . , n,

d'aprbs (3.3.1). D'oh (4.6.1), en appliquant (2.1.1).

(b) Prenons q' = d l (el = ppmc{qo,. . . , q,) ,2.1.). Alors mi = m (2.7.2). Par 4.3.ii) l'anneau Z[Xl,. . . ,Xn] /N est isomorphe B K(Ln(q'; go,. . . , qn)). Donc son iddd d'augmentation est fini d'ordre ny mi, en vertu de 2.7.3. Le lemme 4.6 se dkduit alors de (4.6.1).

4.7. PROPOSITION. - L'anneau K ( Z ~ ) est isomorphe ci

si, et seulement si, pour tout nombre premierp, nous avons :

- S O ~ : vP(q) 2 vP(qi) pour tout i = 0 , l . . . , n,

- soit : vp(qi0) = v,(qi,) = . . = vP(q;,-, ) > vp(qi,), pour une certaine permutation (io,. . . , in) des entiers 0,. . . , n.

Preuve. Pour tout premier p, on considkre

et une permutation (io, i l , . . . , i n ) des entiers O , 1 , . . . , n, telle que

D'aprbs les lemmes 2.7.3 et 4.6, les idkaux d'augmentation des anneaux K ( E ~ ) et C sont finis d'ordres respectifs

L'assertion i) du lemme 4.3 assure que K ( Z ~ ) et C sont isomorphes si et seulement si on a

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Par (2.1.1) et (3.3.1), cette 6galit6 Bquivaut B

pour tout premier p. Ce qui se simplifie d'abord en

ensuite en

Mais ceci est equivalent B. dire que

soit p 2 pio, soit (p < pi, et) pi, = pi, = . . = pi,-, 2 pi,.

D'oG la proposition. Nous allons maintenant determiner l'anneau K(Z") dam le cas general,

en nous ramenant B la situation oii les entiers qi divisent q (voir 4.3).

4.8. THI~OREME. - Soient

Q: = pgdc{q, qi) , 0 I i 5 n, X' = X(qh, . . . , q; , q) (4.2.2).

L'anneau K(Zn) = K(Ln(q; 90,. . . , qn)) e ~ t isomorphe au quotient

C' = qx1,. . . , Xn]/'H'.

Dkmonstration. La decomposition primaire de q &ant q = nip; ' , on consjdbre

a ; j = vpi(qj) , = min{ai,aij}

( 1 5 i 5 9 , O I j S n ) .

Le theorbme de factorisation 3.1 et le lemme 4.3 donnent les isomorphismes d'anneaux :

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K-THEORIE DES ESPACES LENTICULAIRES TORDUS 1613

oh l'on a posk zn = Ln(q; qb, . . . , q;). I1 s s t donc de voir que, pour un nombre (premier) p, des entiers naturels /?, P o , . . . , Pn, on ait

avec pi = min{p, p i ) . En fait, les espaces ~ ~ ( p @ ; p @ o , . . . ,p@n) et L ~ ( ~ @ ; ~ @ ; , . . . ,p@; s'identifient de maniere naturelle, d'aprhs leur dkfinition (1.1) et parce que

a a: si X P = 1 alors Psi = X p ,pour tout complexe A.

4.9. REMARQUE. L'isomorphisme K@) 7 C' que nous venons de mettre

en kvidence se dkcrit, avec plus de prkcision, comme suit. Notons (1 _< i 5 s)

l'homkomorphisme nature1 signal6 en fin de la dkmonstration prCcidente. Soient

(7i)15i5s les applications correspondant a w 7; dans 3.1.3, ( f , ! ) l l i < a les applications correspondant aux fi dans 3.9,

quand on substitue les entiers q: (4.8) aux qi. Soit enfin 4' = 4(qb,. . . , q;, q) (4.3). L'isomorphisme prkcitk est kgal B

4.10. REMARQUE. D7apr&s la dkmonstration de 4.8, et avec ses notations, les anneaux K ( Z ~ ) et ~ ( z ' " ) sont isomorphes. Le lemme 2.7.3 et la formule (3.3.1) montrent directement que leurs idBaux d'augmentation (finis) sont de m8me ordre.

[I] AL AMRANI, A. - K-the'orie des espaces projectifs tordw, & paraitre dans J. Pure and Appl. Alg.

[2] KAMBE, T. - The structure of KA-rings of the lens space and their applications, J. Math. Soc. Japan, Vol. 18, No 2 (1966) 135-146.

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[3] SUGAWARA, M.- KAWAGUCHI, T. - K-and KO-rings of the lens space Ln(p2) for odd prime p, Hiroshima Math. J . l (1971) 273-286.

[4] CHABOUR, A. - SUT la structure de groupe de la K-the'orie des espaces lenticulaires, C.R. Acad. Sc. Paris 272 (1971) 462-464.

[5] MAHAMMED, N. - K-thdorie des espaces lenticulaires, C.R. Acad. Sc. Paris 272 (1971) 1363-1365.

[6] AL AMRANI, A. - gtude cohomologique des espaces projeetifs et lenticulaires tordus, Thkse de 3e cycle, Universitk Louis Pasteur, Strasbourg I (1976).

[7] KAWASAKI, T. - Cohomology of twisted projective spaces and lens complexes, Math. Ann. 206 (1973) 243-248.

[8] DELORME, C. - Espaces projectifs anisotropes, Bull. Soc. Math. France 103 (1975) 203-223.

[9] DOLGACHEV, I. - Weighted projective varieties, in Group actions and Vector Fields, (Proc., Vancouver 1981), ed. J.B. Carrell. Lect. Notes Math. 956.

[lo] ATIYAH, M.F.- HIRZEBRUCH, F. - Vecto~ bundles and homogeneous spaces, Proc. of. Symp. in Pure Math. 3 (1960) 7-38.

[Ill MAHAMMED, N. - A propos de la K-thdorie des espaces lenticulaires, C.R. Acad. Sc. Paris 271 (1970) 639-642.

Received: January 1991

Revised: November 1991

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