Universite de Lorraine, site de Nancy Licence de MathematiquesAlgebre 1 Semestre 3, automne 2018

Anneaux, corps

1. Anneaux

1.1. Definitions et premieres proprietes.Definition 1.1.1 — On appelle anneau un triplet (A,+, ·) ou A est un ensemble, + et · des loisde compositions internes sur A telles que

(1) la loi + est une loi de groupe commutative sur A,

(2) la loi · est associative,

(3) la loi · est distributive par rapport a la loi +, c’est-a-dire que

∀(a1, a2, b) ∈ A3, (a1 + a2) · b = a1 · b+ a2 · b,

∀(a, b1, b2) ∈ A3, a · (b1 + b2) = a · b1 + a · b2,(4) la loi · admet un element neutre.

On notera souvent 0 le neutre de la loi +, 1 le neutre de la loi ·, −a le symetrique de a pourla loi + (on l’appellera l’oppose de a) et ab = a · b.

Definition 1.1.2 — L’anneau A est dit commutatif si la loi · est commutative.

Exemple — (Les verifications sont laissees en exercice.)— (Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+, ·) sont des anneaux commutatifs.— (N,+, ·) n’est pas un anneau car les elements non nuls n’ont pas d’opposes dans N.— Soit E un espace vectoriel reel ou complexe. Alors (L(E),+, ◦) est un anneau ; il est

commutatif si et seulement si E est de dimension 0 ou 1. Les neutres pour + et ◦ sontrespectivement l’application nulle et l’identite.

— Soit n ∈ N∗. Alors (Mn(R),+, ·) et (Mn(C),+, ·) sont des anneaux ; ils sont commutatifssi et seulement si n = 1. Les neutres pour + et · sont respectivement la matrice nulle etla matrice identite.

— Plus generalement, si (A,+, ·) est un anneau, alors (Mn(A),+, ·) ou, pourX = (xij)(i,j)∈[[1,n]]2et Y = (yij)(i,j)∈[[1,n]]2 , X + Y = (xij + yij)(i,j)∈[[1,n]]2 et XY = (

∑nk=1 xikykj)(i,j)∈[[1,n]]2 , est

un anneau.— Soit n > 2. (Z/nZ,+, ·) est un anneau commutatif. Les neutres pour + et · sont respec-

tivement 0 et 1.— Soit un ensemble X non vide et un anneau (A,+, ·). Alors (F(X,A),+, ·) ou + et · sont

definies par f + g : x 7→ f(x) + g(x) et f · g : x 7→ f(x)g(x) est un anneau commutatif.Les neutres pour + et · sont respectivement la fonction nulle et la fonction constante 1.

— (Z[X],+, ·), (Q[X],+, ·), (R[X],+, ·), (C[X],+, ·) sont des anneaux commutatifs. Plusgeneralement, si A est un anneau commutatif, on peut definir de la meme maniere lespolynomes a coefficients dans A ainsi que la somme et le produit de polynomes. On aalors un anneau commutatif (A[X],+, ·).

1

— Si A1 et A2 sont deux anneaux, alors A1 × A2 muni de la somme terme a terme etdu produit terme a terme est un anneau. Les neutres pour + et · sont respectivement(0A1 , 0A2) et (1A1 , 1A2) .

Proposition 1.1.3 —

(1) Pour tout a ∈ A on a 0a = a0 = 0.

(2) Pour tout (a, b) ∈ A2 on a a(−b) = (−a)b = −(ab).

Demonstration. (1) Soit a ∈ A. Alors 0a = (0 + 0)a = 0a + 0a donc en ajoutant −(0a) auxmembres de cette egalite on obtient −(0a) + 0a = −(0a) + 0a + 0a, c’est-a-dire 0 = 0a.On montre de meme que a0 = 0.

(2) Soit (a, b) ∈ A2. Alors a(−b)+ab = a(−b+b) = a0 = 0 donc a(−b) = −(ab) par definitionde −(ab). On montre de meme que (−a)b = −(ab).

�

Remarque —— Si les neutres pour + et · coıncident, c’est-a-dire si 0 = 1, alors pour tout a ∈ A on

a a = 1a = 0a = 0, d’ou A = {0}. Reciproquement, un singleton muni des lois +et · evidentes est un anneau. On dit que c’est l’anneau nul. Dans certains ouvrages, ladefinition d’un anneau comporte le fait que les neutres pour + et · soient distincts, ce quiexclut donc uniquement le cas de l’anneau nul.

— Dans certains ouvrages la definition d’un anneau ne comporte pas l’existence d’un elementneutre pour la loi · (propriete (4)), un anneau pour lesquel la loi · admet un element neutreetant alors appele anneau unitaire.

Proposition 1.1.4 — Formule du binome de Newton pour deux elements qui com-mutent. Soit a ∈ A et b ∈ A deux elements qui commutent, c’est-a-dire tels que ab = ba. Alorspour tout n ∈ N on a

(a+ b)n =n∑k=0

Ckna

kbn−k.

(On rappelle que Ckn =

(nk

)= n!

k!(n−k)! .)

Demonstration. Par recurrence sur n, comme dans le cas des nombres reels. �

1.2. Elements inversibles.Definition 1.2.5 — On dit qu’un element a ∈ A est inversible (ou que a est une unite) si etseulement s’il existe un element b ∈ A tel que ab = ba = 1.

Proposition 1.2.6 —2

(1) Si a ∈ A est inversible, alors il existe un unique element b ∈ A tel que ab = ba = 1. On ditalors que b est l’inverse de a et on le note a−1.

(2) Si a ∈ A est inversible, alors a−1 est inversible et (a−1)−1

= a.

(3) Si a ∈ A et b ∈ A sont inversibles, alors ab est inversible et (ab)−1 = b−1a−1.

(4) L’ensemble A× des elements inversibles de A muni de · (restreinte a A×) est un groupe.

(5) Si A n’est pas l’anneau nul, alors 0 n’est pas inversible.

Demonstration. (1) Si a, b et c verifient ab = ca = 1, alors c = c(ab) = (ca)b = b.

(2) Si a est inversible, alors aa−1 = a−1a = 1. Ceci signifie aussi que a−1 est inversible d’inversea.

(3) Si a et b sont inversibles, alors (b−1a−1)(ab) = b−1(a−1a)b = b−1b = 1 et de meme(ab)(b−1a−1) = 1.

(4) Par (3), la loi · (restreinte a A×) est une loi de composition interne sur A×. Elle estassociative par definition d’un anneau. Le neutre 1 est inversible et d’inverse lui-memecar 1 · 1 = 1. Ainsi 1 ∈ A× et donc · admet un neutre dans A×. Enfin par (2) tout a ∈ A×admet un inverse pour · dans A×.

(5) Si A n’est pas l’anneau nul, alors pour tout a ∈ A on a a0 = 0 6= 1.�

Remarque — Attention a ne pas confondre le groupe des elements inversibles A× avecl’ensemble A \ {0} souvent note A∗. Si A n’est pas l’anneau nul on a toujours A× ⊂ A∗ maisl’inclusion peut etre stricte (par exemple Z× = {−1, 1}).

Exemple — Z× = {−1, 1}, C× = C∗, Mn(C)× = GLn(C).

Proposition 1.2.7 — Soit n > 2. Alors (Z/nZ)× = {k | k ∈ [[0, n−1]] et k est premier avec n}.En particulier si n est premier alors tout element non nul est inversible dans Z/nZ.

Demonstration. Soit k ∈ [[0, n − 1]] tel que k est inversible dans Z/nZ. Alors il existe ` ∈[[0, n− 1]] tel que k · ` = 1 dans Z/nZ, c’est-a-dire tels que k` ≡ 1 mod n. Ainsi il existe j ∈ Ztel que k`− jn = 1. Par consequent si l’entier x divise k et n, alors x divise 1 donc x = 1. Ainsik et n sont premiers entre eux.

Reciproquement, soit k ∈ [[0, n − 1]] tel que k et n sont premiers entre eux. Alors par letheoreme de Bezout pour Z il existe des entiers a et b tels que ak + bn = 1. On a doncak ≡ 1 mod n et donc ak = 1 dans Z/nZ. Comme Z/nZ est commutatif, ceci montre que kest inversible (d’inverse a). �

Definition 1.2.8 — La fonction ϕ : [[2,+∞[[→ N∗, n 7→ |(Z/nZ)×| est appelee fonction indica-trice d’Euler.

Exemple — ϕ(2) = 1, ϕ(3) = 2, ϕ(4) = 2, ϕ(5) = 4, ϕ(6) = 2, ϕ(7) = 6, ϕ(8) = 4, ϕ(9) = 6,ϕ(10) = 4.

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ϕ(n) = n− 1 si et seulement si n est un nombre premier.

Proposition 1.2.9 — Un element a ∈ A est inversible si et seulement si les applications La : A→A, x 7→ ax et Ra : A→ A, x 7→ xa sont bijectives.

Demonstration. Sens direct. Si a est inversible, notant La−1 : A → A, x 7→ a−1x, alors La ◦La−1 = La−1 ◦La = idA donc La est bijective. De la meme facon on montre que Ra est bijective.

Sens indirect. Si La et Ra sont bijectives, alors en particulier elles sont surjectives et donc ilexiste (b, c) ∈ A2 tels que 1 = La(b) = Ra(c), c’est-a-dire 1 = ab = ca. On a alors c = c(ab) =(ca)b = b et donc a est inversible (d’inverse b). �

1.3. Diviseurs de zero.Definition 1.3.10 —

(1) On appelle diviseur de zero un element a ∈ A\{0} tel qu’il existe b ∈ A\{0} tel que ab = 0ou ba = 0.

(2) On dit que l’anneau A est integre s’il ne possede pas de diviseurs de zero, autrement dit si

∀(a, b) ∈ A2, (ab = 0⇔ (a = 0 ou b = 0)).

Proposition 1.3.11 — Un element a ∈ A \ {0} est regulier a gauche et a droite pour la loi · si etseulement s’il n’est pas un diviseur de zero.

Demonstration. Sens direct. Soit a ∈ A \ {0} un element regulier a gauche et a droite. Soitb ∈ A tel que ab = 0. Alors ab = a0 donc comme a est regulier a gauche pour · on a b = 0. Dememe, si c ∈ A est tel que ca = 0, alors c = 0. Ainsi a n’est par un diviseur de zero.

Sens indirect. Soit a ∈ A \ {0} un element qui n’est pas un diviseur de zero. Soit x ∈ A ety ∈ A deux elements tels que ax = ay. Alors on a a(x− y) = ax− ay = 0, donc comme a n’estpas un diviseur de zero on en deduit que x − y = 0, c’est-a-dire x = y. Ceci montre que a estregulier a gauche pour ·. La regularite a droite se montre de la meme maniere. �

Remarque — Autrement dit, un element a ∈ A \ {0} est n’est pas un diviseur de zero si etseulement si le applications x 7→ ax et x 7→ xa sont injectives.

Proposition 1.3.12 — Soit a ∈ A un element inversible. Alors a n’est pas un diviseur de zero.

Demonstration. S’il existe b tel que ab = 0, alors 0 = a−1(ab) = (a−1a)b = b. De meme, s’ilexiste c tel que ca = 0, alors 0 = caa−1 = c. Donc a n’est pas un diviseur de zero. (C’est aussiune consequence de la remarque ci-dessus et la proposition 1.2.9.) �

Exemple —

(1) (Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·) sont des anneaux integres.4

(2) Soit n > 2. Alors (Mn(C),+, ·) est un anneau non integre. En effet si par exemple

A =

0 . . . 0 1

0. . . 0 0

......

...

0. . . 0 0

, alors A 6= 0 mais A2 = 0.

Proposition 1.3.13 — Soit n > 2. Soit k ∈ [[1, n−1]]. Alors k est un diviseur de zero dans Z/nZsi et seulement si k n’est pas premier avec n.

En particulier Z/nZ est integre si et seulement si n est un nombre premier.

Demonstration. Si k n’est pas premier avec n, alors il existe m > 2 qui divise k et n. Il existedonc des entiers a et b tels que k = am et n = bm. On a alors bk = bam = an donc b · k = 0dans Z/nZ. Et comme m > 2 on a en particulier b ∈ [[1, n − 1]] donc b 6= 0 dans Z/nZ. Ainsik est un diviseur de zero dans Z/nZ.

Si k est premier avec n, alors k est inversible par la proposition 1.2.7 donc n’est pas undiviseur de zero par la proposition 1.3.12. �

Remarque — Ce resultat est aussi une consequence de la proposition 1.2.7 et d’un exercicede TD.

Exemple — Dans Z/6Z les diviseurs de zero sont 2, 3 et 4. On a 2 · 3 = 4 · 3 = 0.

Remarque — Il existe des anneaux admettant des elements non nuls qui ne sont ni inversiblesni diviseurs de zero (cf TD).

1.4. Caracteristique. Soit a ∈ A. Pour n ∈ N∗ on note na = a + a + · · · + a (n termes dansla somme). On note 0(Z)a = 0(A). Pour n ∈ Z \ N on note na = −|n|a. L’application n 7→ naest alors un homomorphisme entre les groupes (Z,+) et (A,+).

Pour n ∈ Z on notera aussi n = n1(A) ∈ A. L’application ψ : Z → A, n 7→ n est unhomomorphisme entre les les groupes (Z,+) et (A,+) (et meme d’anneaux comme on le verra auparagraphe 3) ; son noyau est un sous-groupe de (Z,+) donc il existe p ∈ N tel que kerψ = pZ.

Definition 1.4.14 — L’entier p est appele caracteristique de l’anneau A.

Ainsi,— ou bien ψ est injective et alors A est de caracteristique nulle,— ou bien ψ n’est pas injective et alors p est le plus petit entier strictement positif k verifiant

1 + 1 + · · ·+ 1 = 0 (k termes dans la somme).

Proposition 1.4.15 — Si l’anneau A est de caracteristique p, alors pour tout a ∈ A on a pa = 0.

Demonstration. Si p = 0 c’est par definition. Si p > 1, on a pa = a + a + · · · + a = a1 + a1 +· · ·+ a1 = a(1 + 1 + · · ·+ 1) = a0 = 0 (p termes dans les sommes). �

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Exemple —

(1) (Z,+, ·), (C,+, ·), (Mn(C),+, ·) sont de caracteristique nulle.

(2) Pour n > 2, Z/nZ est de caracteristique n.

2. Sous-anneaux, ideaux

Dans cette section, (A,+, ·) designe un anneau.

Definition 2.0.16 — Soit B ⊂ A. On dit que B est un sous-anneau de A si

(1) B est un sous-groupe de (A,+),

(2) B est stable par ·, c’est-a-dire que ∀(x, y) ∈ B2, xy ∈ B,

(3) 1 ∈ B.

Remarque — Si B est un sous-anneau, on peut donc definir les lois de composition interne+ : B ×B → H, (b1, b2) 7→ b1 + b2 et · : B ×B → H, (b1, b2) 7→ b1b2, et alors B muni de ces loisest lui-meme un anneau.

Exemple —

(1) A est un sous-anneau de A.

(2) Le seul sous-anneau de (Z,+, ·) est Z lui-meme. En effet Z est un sous-anneau de lui-meme, et reciproquement, si B est un sous-anneau de (Z,+, ·), alors en particulier c’estun sous-groupe de (Z,+) donc il existe m ∈ Z tel que A = mZ ; et de plus 1 ∈ A doncm = 1 et ainsi A = Z.

(3) Mn(Z) est un sous-anneau de Mn(C).

(4) L’ensemble E =

{(x 00 0

)| x ∈ R

}n’est pas un sous-anneau de M2(R). En effet, E

est un sous-groupe de (M2(R),+) est E est stable par produit mais I2 /∈ E.

Proposition 2.0.17 — Soit (Bt)t∈T une famille de sous-anneaux de A. Alors⋂t∈T Bt est un

sous-anneau de A.

Demonstration. Verification laissee en exercice. �

On introduit une autre notion qui interviendra dans de nombreux enonces.

Definition 2.0.18 — Soit I ⊂ A. On dit que I est un ideal a gauche (respectivement a droite)de l’anneau A si

(1) I est un sous-groupe de (A,+),

(2) ∀a ∈ A,∀x ∈ I, ax ∈ I (respectivement ∀a ∈ A,∀x ∈ I, xa ∈ I).6

On dit que I est un ideal bilatere de l’anneau A s’il est un ideal a gauche et a droite.

Remarque — Si l’anneau A est commutatif, alors ces trois notions coıncident. On parle alorssimplement d’ideal.

Exemple —

(1) Le singleton {0} et l’anneau A sont des ideaux bilateres de l’anneau A.

(2) Les ideaux de (Z,+, ·) sont les mZ pour m ∈ N. En effet, on verifie facilement que sim ∈ N alors mZ est un ideal de (Z,+, ·), et reciproquement, si I est un ideal de (Z,+, ·),alors en particulier c’est un sous-groupe de (Z,+) donc il existe m ∈ N tel que I = mZ.

(3) Le seul ideal a gauche ou a droite possedant un element inversible est A. En effet, si Iest un ideal par exemple a gauche de A et si u ∈ I est inversible, alors pour tout a ∈ Aon a a = (au−1)u ∈ I. En particulier le seul ideal a gauche ou a droite qui est aussi unsous-anneau est A, car tout sous-anneau contient 1 qui est inversible.

Proposition 2.0.19 — Soit (It)t∈T une famille d’ideaux a gauche (respectivement a droite, respec-tivement bilatere) de A. Alors

⋂t∈T It est un ideal a gauche (respectivement a droite, respectivement

bilatere) de A.

Demonstration. Verification laissee en exercice. �

Proposition 2.0.20 — Soit X une partie de A. Alors l’intersection de tous les ideaux a gauche(respectivement a droite, respectivement bilatere) de A contenant X est ideal a gauche (respec-tivement a droite, respectivement bilatere) de A appele ideal a gauche (respectivement a droite,respectivement bilatere) engendre par X.

Par ailleurs il s’agit de l’unique plus petit ideal a gauche (respectivement a droite, respectivementbilatere) de A contenant X

Demonstration. La demonstration est analogue a celle de l’enonce analogue pour le sous-groupeengendre par une partie d’un groupe, grace a la proposition 2.0.20. �

Proposition 2.0.21 — Soit I et J deux ideaux a gauche (respectivement a droite) de A. AlorsI + J = {x+ y | (x, y) ∈ I × J} est un ideal a gauche (respectivement a droite) de A.

Demonstration. Soit I et J deux ideaux a gauche. Comme I et J sont des sous-groupes de(A,+) qui est un groupe abelien, I + J est aussi un sous-groupe de (A,+).

Soit a ∈ A et x ∈ I + J . Alors il existe u ∈ I et v ∈ J tels que x = u + v et doncax = a(u + v) = au + av. Or comme I et J sont des ideaux on a au ∈ I et av ∈ J et parconsequent ax ∈ I + J .

Ceci montre que I + J est un ideal a gauche. La demonstration de l’enonce pour les ideauxa droite est analogue. �

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Proposition 2.0.22 — Soit X = {xt | t ∈ T} une partie de A. Alors— l’ideal a gauche engendre par X est{

n∑k=1

atkxtk | n ∈ N, (at1 , . . . , atn) ∈ An, (at1 , . . . , xtn) ∈ Xn

},

— l’ideal a droite engendre par X est{n∑k=1

xtkatk | n ∈ N, (at1 , . . . , atn) ∈ An, (at1 , . . . , xtn) ∈ Xn

},

— l’ideal bilatere engendre par X est{n∑k=1

atkxtkbtk | n ∈ N, (at1 , . . . , atn) ∈ An, (bt1 , . . . , btn) ∈ An, (xt1 , . . . , xtn) ∈ Xn

},

Demonstration. Soit J = {∑n

k=1 atkxtk | n ∈ N, (at1 , . . . , atn) ∈ An, (at1 , . . . , xtn) ∈ Xn} et soitI l’ideal a gauche engendre par X.

Il est clair que X ⊂ J (prendre n = 1 et at1 = 1) et que J est un sous-groupe de (A,+). Etpour b ∈ A on a b (

∑nk=1 atkxtk) =

∑nk=1(batk)xtk ∈ J . Ainsi J est un ideal a gauche contenant

X. Par consequent J ⊃ I.Et comme I est un ideal a gauche tel que X ⊂ I, pour tout a ∈ A et tout x ∈ X on a ax ∈ I ;

comme I est un sous-groupe de (A,+) toute somme finie d’elements de cette forme est aussidans I. Ainsi J ⊂ I.

Ceci montre que J = I. Les enonces pour les ideaux a droite et les ideaux bilateres semontrent de maniere analogue. �

Definition 2.0.23 — Un ideal est dit principal s’il est engendre par un seul element.

L’ideal a gauche (respectivement a droite, respectivement bilatere) engendre par un elementx ∈ A est donc Ax = {ax | a ∈ A} (respectivement xA = {xa | a ∈ A}, respectivement{∑n

k=1 atkxbtk | n ∈ N, (at1 , . . . , atn) ∈ An, (bt1 , . . . , btn) ∈ An}).

3. Morphismes d’anneaux

Definition 3.0.24 — Soit deux anneaux (A,+, ·) et (A′,+, ·). On appelle homomorphisme (oumorphisme) entre A et A′ une application f : A→ A′ telle que

(1) ∀(a1, a2) ∈ A2, f(a1 + a2) = f(a1) + f(a2) (autrement dit, f est un homomorphisme entreles groupes (A,+) et (A′,+)),

(2) ∀(a1, a2) ∈ A2, f(a1a2) = f(a1)f(a2),

(3) f(1(A)) = 1(A′).

Proposition 3.0.25 — Soit f : A→ A′ un homomorphisme d’anneaux.

(1) f(0(A)) = 0(A′).8

(2) Pour tout a ∈ A et tout n ∈ Z, f(na) = nf(a).

(3) Pour tout a ∈ A et tout n ∈ N, f(an) = f(a)n.

(4) Pour tout a ∈ A×, f(a) ∈ (A′)× et, pour tout n ∈ Z, f(an) = f(a)n.

Demonstration. (1) Consequence du fait que f est en particulier un homomorphisme entreles groupes (A,+) et (A′,+).

(2) Idem.

(3) Par recurrence sur n, etant donne que pour n = 0 il s’agit de la propriete (3) de ladefinition.

(4) On a 1(A′) = f(1(A)) = f(aa−1) = f(a)f(a−1) et de meme 1(A′) = f(a−1)f(a). Ainsi f(a)est inversible et f(a−1) = f(a)−1. On conclut alors par recurrence pour les n 6 −1.

�

Definition 3.0.26 —— On appelle endomorphisme d’un anneau A un homomorphisme de A dans lui-meme.— On appelle isomorphisme entre un anneau A et un anneau A′ un homomorphisme bijectif de

A dans A′. On dit alors que A et A′ sont isomorphes.— On appelle automorphisme d’un anneau A un isomorphisme entre A et lui-meme, autrement

dit un endomorphisme bijectif de A.

Exemple — (Les verifications sont laissees en exercice.)— L’identite est le seul endomorphisme de l’anneau (Z,+, ·). En effet, il est clair que l’identite

est un endomorphisme. Reciproquement, si f : Z → Z est un endomorphisme d’anneau,alors c’est en particulier un endomorphisme du groupe (Z,+) et donc il existe k ∈ Z telque, pour tout x ∈ Z, f(x) = kx (cf TD sur les groupes). Or de plus f(1) = 1 donc k = 1et f = idZ. C’est donc aussi le seul automorphisme.

— Soit E un espace vectoriel sur K = R ou C de dimension finie n. Soit B une base de E.Alors l’application L(E)→Mn(K), u 7→ Mat(u;B) est un isomorphisme d’anneaux.

— L’application f : Z → M2(Z), n 7→(n 00 0

)n’est pas un homomorphisme d’anneaux

car elle ne verifie par la propriete (3) de la definition (bien qu’elle verifie les proprietes(1) et (2)).

Proposition 3.0.27 —

(1) Soit A, A′ et A′′ trois anneaux, f : A → A′ et f ′ : A′ → A′′ des homomorphismes. Alorsf ′ ◦ f : A→ A′′ est un homomorphisme.

(2) Soit A et A′ deux anneaux, f : A → A′ un isomorphisme. Alors f−1 : A′ → A est unisomorphisme.

Demonstration. Exercice (adapter la demonstration de la proposition analogue pour les homo-morphismes de groupes). �

9

Proposition 3.0.28 — Soit f : A→ A′ un homomorphisme d’anneaux.

(1) Si B′ est un sous-anneau de A′, alors f−1(B′) est un sous-anneau de A.

(2) Si B est un sous-anneau de A, alors f(B) est un sous-anneau de A′.

(3) Si I ′ est un ideal a gauche (respectivement a droite) de A′, alors f−1(I ′) est un ideal a gauche(respectivement a droite) de A.

Demonstration. Exercice (adapter la demonstration de la proposition analogue pour les homo-morphismes de groupes). �

Remarque — L’image d’un ideal par un homomorphisme d’anneaux n’est pas necessairementun ideal. Par exemple f : Z → M2(Z), n 7→ nI2 est un homomorphisme d’anneaux et on af(Z) = ZI2 mais ZI2 n’est pas un ideal de M2(Z) (si A /∈ ZI2 alors I2 ∈ ZI2 mais AI2 = A /∈ZI2).

Corollaire 3.0.29 — Soit f : A→ A′ un homomorphisme d’anneaux.

(1) Le noyau ker f = f−1(0(A′)) est un ideal bilatere de A.

(2) L’image Im f = f(A) est un sous-anneau de A′.

Demonstration. Il s’agit des cas particuliers de la proposition 3.0.28 avec I ′ = {0(A′)} et B =A. �

Remarque — Si A′ n’est pas l’anneau nul, alors ker f n’est jamais un sous-anneau de A ; eneffet f(1(A)) = 1(A′) 6= 0(A′) donc 1(A) /∈ ker f .

4. Corps

Definition 4.0.30 — On appelle corps un anneau non nul dans lequel tout element non nul estinversible.

Definition 4.0.31 — Un corps est dit commutatif s’il est commutatif en tant qu’anneau.

Exemple —

(1) (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+, ·) sont des corps commutatifs.

(2) (Z,+, ·), (C[X],+, ·) et (Mn(C),+, ·) pour n > 2 ne sont pas des corps.

(3) Le corps des quaternions (cf TD) est un corps non commutatif.

Proposition 4.0.32 — Soit p > 2. Alors (Z/pZ,+, ·) est un corps si et seulement si p est unnombre premier ; on le note alors Fp

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Demonstration. C’est une consequence de la proposition 1.2.7. �

Theoreme 4.0.33 — Petit theoreme de Fermat. Soit un nombre premier p. Alors pour toutx ∈ Z on a

xp ≡ x mod p.

Demonstration. Soit x ∈ Z. Il s’agit de montrer que xp = x dans Fp.Si x = 0 c’est clair. Si x 6= 0, alors x ∈ F×p . Or (F×p , ·) est un groupe d’ordre p − 1 (puisque

dans Fp seul 0 n’est pas inversible). Par le theoreme de Lagrange on a donc xp−1 = 1. Enmultipliant les deux membres de cette egalite par x on obtient le resultat cherche. �

Remarque — On verra que si p est premier alors le groupe (F×p , ·) est cyclique.

Proposition 4.0.34 — Tout corps est un anneau integre.

Demonstration. C’est une consequence de la proposition 1.3.12. �

Definition 4.0.35 — Soit un corps K. On appelle sous-corps de K un sous-anneau L de K telque, pour tout x ∈ L \ {0}, x−1 ∈ L. On dit alors que K est une extension de L.

Remarque — Si L est un sous-corps de K, alors L muni des lois induites est lui-meme uncorps. Par ailleurs L× est un sous-groupe de (K×, ·).

Exemple —

(1) Q est un sous-corps de R, qui lui-meme est un sous-corps de C.

(2) Z est un sous-anneau de Q mais n’en est pas un sous-corps.

Remarque — On verifie qu’une intersection de sous-corps est un sous-corps. Ceci permet dedefinir la notion de sous-corps engendre par une partie X (comme pour les sous-groupes, lessous-anneaux et les ideaux).

Proposition 4.0.36 — Soit A un anneau commutatif integre. On definit la relation ∼ sur A×A∗(ou A∗ = A \ {0}) par

(p, q) ∼ (p′, q′)⇔ pq′ = p′q.

Alors la relation ∼ est une relation d’equivalence sur A×A∗. La classe d’un element (p, q) ∈ A×A∗est notee p

q.

11

Par ailleurs on peut definir des lois de composition interne + et · sur K = (A×A∗)/ ∼ en posant

p1q1

+p2q2

=p1q2 + p2q1

q1q2,

p1q1· p2q2

=p1p2q1q2

.

Alors (K,+, ·) est un corps commutatif appele corps des fractions de l’anneau A. Enfin, l’applicationf : A→ K, x 7→ x

1est un homomorphisme d’anneaux injectif.

Demonstration. Le fait que ∼ est reflexive et symetrique est immediat.Supposons que (p, q), (p′, q′) et (p′′, q′′) sont des elements de A× A∗ tels que (p, q) ∼ (p′, q′)

et (p′, q′) ∼ (p′′, q′′). Alors pq′ = p′q et p′q′′ = p′′q′.Si p′ = 0, alors pq′ = 0. Or A est integre que q′ 6= 0, donc p = 0. On a de meme p′′ = 0. On

en deduit que pq′′ = 0 = p′′q et donc (p, q) ∼ (p′′, q′′).Supposons p′ 6= 0. On a alors

p′(pq′′) = p(p′q′′) = p(p′′q′) = p′′(pq′) = p′′(p′q) = p′(p′′q).

Or l’anneau A est integre donc p′ qui est non nul est regulier pour ·. On en deduit que pq′′ = p′′q,c’est-a-dire que (p, q) ∼ (p′′, q′′).

Ceci montre que ∼ est transitive. Il s’agit donc d’une relation d’equivalenceMontrons que + et · sont bien definies sur K. Pour cela il y a deux points a verifier :

d’une part que les resultats de ces operations sont bien des classes d’equivalence d’elements deA×A∗, d’autre part qu’ils ne dependent pas des choix des representants des classes d’equivalenceauxquelles s’appliquent les operations.

Si (p1, q1) ∈ A × A∗ et (p2, q2) ∈ A × A∗, alors comme A est integre on a q1q2 6= 0 et donc(p1q2 + p2q1, q1q2) ∈ A× A∗ et (p1p2, q1q2) ∈ A× A∗. Ceci montre le premier point.

Pour montrer le second point, on considere (p1, q1), (p′1, q′1), (p2, q2) et (p′2, q

′2) dans A × A∗

tels que (p1, q1) ∼ (p′1, q′1) et (p2, q2) ∼ (p′2, q

′2), c’est-a-dire tels que p1q

′1 = p′1q1 et p2q

′2 = p′2q2.

Pour la loi + il s’agit de verifier que (p1q2 + p2q1, q1q2) ∼ (p′1q′2 + p′2q

′1, q′1q′2) ; ceci est vrai car

(p1q2 + p2q1)(q′1q′2) = (p1q

′1)q2q

′2 + (p2q

′2)q1q

′1 = (p′1q1)q2q

′2 + (p′2q2)q1q

′1 = (p′1q

′2 + p′2q

′1)(q1q2).

Et pour la loi · il s’agit de verifier que (p1p2, q1q2) ∼ (p′1p′2, q′1q′2) ; ceci est vrai car

(p1p2)(q′1q′2) = (p1q

′1)(p2q

′2) = (p′1q1)(p

′2q2) = (p′1p

′2)(q1q2).

Ceci termine la demonstration du fait que + et · sont bien definies sur K.La loi + est associative sur K car(p1q1

+p2q2

)+p3q3

=p1q2 + p2q1

q1q2+p3q3

=(p1q2 + p2q1)q3 + p3(q1q2)

(q1q2)q3=p1(q2q3) + (p2q3 + p3q2)q1

q1(q2q3)

=p1q1

+p2q3 + p3q2

q2q3=p1q1

+

(p2q2

+p3q3

).

On verifie que + est commutative, que 01

est neutre pour + et que pq

a pour symetrique −pq

pour

+. Ainsi (K,+) est un groupe abelien.12

On verifie ensuite que · est commutative et associative et que 11

est neutre pour ·. La loi · estde plus distributive par rapport a la loi + car

p1q1·(p2q2

+p3q3

)=

p1(p2q3 + p3q2)

q1(q2q3)=p1p2q3 + p1p3q2

q1q2q3=q1(p1p2q3 + p1p3q2)

q1(q1q2q3)

=(p1p2)(q1q3) + (p1p3)(q1q2)

(q1q2)(q1q3)=p1q1· p2q2

+p1q1· p3q3

(pour la troisieme egalite on a utilise le fait que si λ ∈ A∗ alors (λa, λb) ∼ (a, b)). Ainsi (K,+, ·)est un anneau commutatif.

Soit (p, q) ∈ A×A∗ tel que pq6= 0

1. Alors on a p 6= 0 donc (q, p) ∈ A×A∗. Et de plus q

p· pq

= 11.

Ainsi pq

est inversible dans K (d’inverse qp). Ceci montre que (K,+, ·) est un corps.

Le fait que l’application f : A → K, x 7→ x1

est un homomorphisme d’anneaux injectif severifie directement. �

Exemple —

(1) Le corps des fractions de Z est Q.

(2) Si K est un corps commutatif, le corps des fractions de K[X] est le corps K(X) desfractions rationnelles a coefficients dans K.

Si K est un corps commutatif, on peut definir une notion d’espace vectoriel sur K commeon le fait pour les espaces vectoriels sur R ou C ainsi que les notions associees (famille libre,famille generatrice, base, dimension, sous-espace vectoriel, application lineaire, matrice d’uneapplication lineaire dans des bases, determinant, etc.). Les resultats generaux vus sur R ou Crestent vrais sur un corps commutatif K quelconque (sauf certaines propriete du determinantlorsque K est de caracteristique 2).

Proposition 4.0.37 — Si K est une extension de L, alors K muni de l’addition + : K ×K → Ket de la multiplication · : L×K → K est un L-espace vectoriel.

Si K est de dimension finie en tant que L-espace vectoriel, on dit que K est une extension finiede L ; la dimension de K comme L-espace vectoriel est notee dimLK ou [K : L] et est appeleedegre de K sur L.

Demonstration. Verification laissee en exercice. �

Exemple —

(1) C est une extension finie de degre 2 sur R ; en effet (1, i) est une base de C en tant queR-espace vectoriel, puisque tout nombre complexe s’ecrit de maniere unique sous la formea+ ib avec (a, b) ∈ R2.

(2) R est une extention de Q et R est de dimension infinie en tant que Q-espace vectoriel. Eneffet, si R etait de dimension finie en tant que Q-espace vectoriel, alors il serait isomorpheen tant que Q-espace vectoriel a Qn ou n = dimQ R ; en particulier R serait en bijectionavec Qn, donc denombrable, ce qui est une contradiction.

13

5. Anneaux principaux, anneaux euclidiens

Definition 5.0.38 — On appelle anneau principal un anneau commutatif integre dans lequel toutideal est principal.

Definition 5.0.39 — On appelle anneau euclidien un anneau commutatif integre tel qu’il existeune fonction θ : A \ {0} → N, appelee stathme euclidien, telle que

∀a ∈ A,∀b ∈ A \ {0}, ∃(q, r) ∈ A2, (a = qb+ r et (r = 0 ou θ(r) < θ(b)))

(on dit que q et r sont un quotient et un reste de la division euclidienne de a par b).

Proposition 5.0.40 — Tout anneau euclidien est principal.

Demonstration. Soit A un anneau euclidien de stathme θ. Il suffit de montrer que tout ideal deA est principal.

Soit I un ideal de A. Si I = {0} alors I est principal.On suppose desormais que I 6= {0}. Alors I \ {0} est non vide ; or la fonction θ est a valeurs

dans N, donc elle admet un minimum m sur I \{0} atteint par un element x ∈ I \{0}. Montronsque I = Ax.

Comme I est un ideal contenant x, I contient l’ideal engendre par x, c’est-a-dire I ⊃ Ax.Soit y ∈ I. Comme A est euclidien de stathme θ, il existe (q, r) ∈ A2 tel que y = qx + r

et r = 0 ou θ(r) < θ(x). On a alors r = y − qx ∈ I car x ∈ I et y ∈ I. Si r 6= 0 alorsθ(r) < minI\{0} θ ce qui est une contradiction. Par consequent r = 0 et donc y = qx ∈ Ax. Cecimontre que I ⊂ Ax.

Ainsi I = Ax et donc I est principal. �

Exemple —

(1) (Z,+, ·) est un anneau euclidien pour le stathme n 7→ |n| (la valeur absolue) donc aussiprincipal. Dans l’anneau (Z,+, ·) il est facile de voir que les notions de sous-groupe ad-ditif et d’ideal coıncident. La classification des sous-groupes de (Z,+) est donc un casparticulier de la proposition 5.0.40, sa demonstration etant en fait identique.

(2) Si K est un corps commutatif, (K[X],+, ·) est un anneau integre (car si A et B sontdeux polynomes non nuls, alors dans AB le coefficient du terme de degre degA + degBest non nul, donc AB 6= 0) ; il est euclidien pour le stathme P 7→ degP (le degre) (lademonstration est la meme que celle pour R[X] vue en premiere annee de Licence) doncaussi principal.

(3) L’anneau Z[X] est integre et commutatif mais n’est pas principal. En effet, soit I l’idealengendre par 2 et X, c’est-a-dire I = {2P + XQ | (P,Q) ∈ Z[X]2}. Supposons queI est engendre par un polynome A ∈ Z[X]. Alors, comme 2 ∈ I et X ∈ I, il existedes polynomes B ∈ Z[X] et C ∈ Z[X] tels que 2 = AB et X = AC. La premiereegalite implique que A = ±1 ou A = ±2 ; la seconde implique que A 6= ±2 (car tous lescoefficients de 2C sont pairs, donc X 6= 2C). Par consequent A = ±1 et donc 1 ∈ I. Parconsequent il existe des polynomes U ∈ Z[X] et V ∈ Z[X] tels que 1 = 2U + XV . Or

14

le coefficient du terme de degre 0 de 2U + XV est pair, ce qui donne une contradiction.Ainsi l’ideal I n’est pas principal et donc l’anneau Z[X] n’est pas principal.

Remarque — Attention a ne pas confondre polynome et fonction polynomiale. Par exemple,si p est un nombre premier et si A(X) = Xp−X ∈ Fp[X], alors la fonction Fp → Fp, x 7→ A(x)est identiquement nulle par le petit theoreme de Fermat (theoreme 4.0.33), bien que le polynomeA ne soit pas le polynome nul car les coefficients de ses termes de degres 1 et p sont egaux a−1 et 1 respectivement.

Remarque — Il existe des anneaux principaux non euclidiens (cf TD).

Dans la suite de la partie 5, A designe un anneau principal.

Definition 5.0.41 — Soit (a, b) ∈ A2. On dit que a divise b s’il existe un element c ∈ A tel queb = ca. On note alors a | b et on dit aussi que a est un diviseur de b et que b est un multiple de a.

Remarque —— Si a | b et a | c, alors a | (b+ c).— Pour tout a ∈ A on a a | a (car a = 1a), a | 0 (car 0 = 0a) et pour tout u ∈ A× (groupe

des inversibles) on a u | a (car a = (au−1)u).— Si u est inversible et si a | u, alors a est inversible (en effet il existe alors c ∈ A tel que

u = ca ; on a alors 1 = (u−1c)a donc a est inversible d’inverse u−1c).— La relation | est une relation de preordre, c’est-a-dire qu’elle est reflexive et transitive. Il

ne s’agit en general pas d’une relation d’ordre car elle n’est en general pas antisymetrique,c’est-a-dire qu’il peut exister des elements a et b distincts tels que a | b et b | a (voir lapropostion 5.0.44 ci-apres).

Proposition 5.0.42 — Soit (a, b) ∈ A2. Alors a divise b si et seulement si Ab ⊂ Aa.

Demonstration. Sens direct. Supposons que a divise b. Alors il existe c tel que b = ca. Si x ∈ Ab,alors il existe y ∈ A tel que x = yb ; on a alors x = yca ∈ Aa. Ainsi Ab ⊂ Aa.

Sens indirect. Supposons que Ab ⊂ Aa. Alors en particulier b ∈ Aa donc il existe c tel queb = ca. Ainsi a divise b. �

Definition 5.0.43 — Deux elements a et b sont dits associes s’il existe un element inversible u telque a = bu.

Remarque —— On verifie facilement que la relation � etre associe a � est un relation d’equivalence.— Un element est associe a 1 si et seulement s’il est inversible.

15

Exemple —

(1) Dans Z, deux entiers sont associes si et seulement s’ils sont egaux ou opposes. En effetZ× = {−1, 1}.

(2) Si K est un corps commutatif, dans K[X] deux polynomes P1 et P2 sont associes si etseulement s’ils sont proportionnels, c’est-a-dire si et seulement s’il existe λ ∈ K∗ tel queP2 = λP1. En effet, K[X]× = K∗, l’ensemble des polynomes constants non nuls (c’est-a-dire des polynomes de degre 1).

Proposition 5.0.44 — Soit (a, b) ∈ A2. Alors a | b et b | a si et seulement a et b sont associes.

Demonstration. Sens direct. Supposons que a divise b et b divise a. Alors il existe c et d telsque b = ac et a = bd. On a alors b = bdc. Si b 6= 0, comme A est integre, b est regulier donc onobtient 1 = dc ; ainsi d est inversible. Si b = 0, alors a = 0 donc a = b1.

Sens indirect. Supposons qu’il existe u inversible tel que a = bu. Alors b | a par definition, etpar ailleurs b = au−1 donc a | b. �

Remarque — D’apres la proposition 5.0.42, a | b et b | a si et seulement si Aa = Ab.

Proposition 5.0.45 — Soit a1, . . . , an des elements de A.

(1) Il existe un element d ∈ A tel que

Ad =n∑k=1

Aak.

On dit que d est un plus grand commun diviseur (pgcd) de a1, . . . , an. L’element d est uniquea multiplication pres par un element inversible et verifie

∀x ∈ A, (x | d⇔ ∀k ∈ [[1, n]], x | ak).En particulier d | ak pour tout k ∈ [[1, n]].

(2) Il existe un element m ∈ A tel que

Am =n⋂k=1

Aak.

On dit que m est un plus petit commun multiple (ppcm) de a1, . . . , an. L’element m estunique a multiplication pres par un element inversible et verifie

∀x ∈ A, (m | x⇔ ∀k ∈ [[1, n]], ak | x).

En particulier ak | m pour tout k ∈ [[1, n]].

Demonstration. Nous allons montrer l’affirmation (1), l’affirmation (2), qui se montre de maniereanalogue, etant laissee en exercice.

L’ensemble∑n

k=1Aak est un ideal de A (c’est l’ideal engendre par {a1, . . . , an}). Comme Aest principal, il existe donc un element d tel que

∑nk=1Aak = Ad. Par ailleurs, si d′ verifie aussi

16

∑nk=1Aak = Ad′, alors Ad = Ad′ et donc par la proposition 5.0.44 et la remarque qui suit il

existe un element inversible u tel que d′ = du.Soit x ∈ A. Alors

∀k ∈ [[1, n]], x | ak ⇔ ∀k ∈ [[1, n]], Aak ⊂ Ax

⇔n∑k=1

Aak ⊂ Ax

⇔ Ad ⊂ Ax

⇔ x | d

(pour la deuxieme equivalence on a utilise le fait que∑n

k=1Aak est l’ideal engendre par{a1, . . . , an} et donc Ax contient les ideaux engendres par chaque ak si et seulement s’il contientl’ideal engendre par {a1, . . . , an}). �

Definition 5.0.46 — Deux elements a et b sont dits premiers entre eux si 1 est un pgcd de a et b.Une famille (a1, . . . , an) ∈ An est dite premiere dans son ensemble si 1 est un pgcd de a1, . . . , an.

Remarque — Si a1, . . . , an sont deux a deux premiers entre eux , alors la famille (a1, . . . , an)est premiere dans son ensemble. La reciproque est fausse (par exemple 6, 10, 15 dans Z).

Theoreme 5.0.47 — Theoreme de Bezout. Soit a1, . . . , an des elements de A. Soit d un pgcdde a1, . . . , an. Alors il existe des elements x1, . . . , xn tels que d =

∑nk=1 xkak.

Demonstration. Ceci decoule de la proposition 5.0.45 ; en effet on a d ∈ Ad =∑n

k=1Aak. �

Definition 5.0.48 — Soit un anneau principal A. Un element a ∈ A non inversible est ditirreductible ou premier si et seulement si les seuls diviseurs de a sont les elements associes aa et les elements inversibles.

Remarque — Autrement dit, un element a non inversible est irreductible si et seulement si(a = bc)⇒ (b ou c inversible).

Exemple —

(1) Si A = Z, a est irreductible si et seulement si a = p ou a = −p ou p est un nombrepremier.

(2) Si A = R[X], P est irreductible si et seulement si P est de degre 1 ou A est de degre 2avec un discriminant strictement negatif.

(3) Si A = C[X], P est irreductible si et seulement si P est de degre 1.17

Proposition 5.0.49 — Soit a ∈ A un element non inversible. Alors a est irreductible si et seulementsi l’ideal Aa est maximal, c’est-a-dire que les seuls ideaux contenant Aa sont Aa et A.

Demonstration. Sens direct. Supposons que a est irreductible. Soit I un ideal tel que Aa ⊂ I.Comme A est principal, il existe b tel que I = Ab. Alors Aa ⊂ Ab donc par la proposition 5.0.42on a b | a. Or a est irreductible donc b est associe a a ou b est inversible. Dans le premier cas ona Ab = Aa et dans le second cas on a Ab = A (voir les exemples suivant la definition 2.0.18).

Sens indirect. Supposons que l’ideal Aa est maximal. Soit b un diviseur de a. Alors Aa ⊂ Ab.Comme Aa est maximal on a Ab = Aa ou Ab = A. Dans le premier cas on conclut que b et asont associes et dans le second cas que 1 ∈ Ab et donc que b est inversible. �

Proposition 5.0.50 — Lemme d’Euclide. Soit p un element irreductible. Soit (a, b) ∈ A2 telque p | ab. Alors p | a ou p | b.

Demonstration. Soit d un pgcd de a et p. Comme p est irreductible, d est inversible ou associea p. Si d est associe a p, alors comme d | a on a aussi p | a.

On suppose desormais que d est inversible. Alors 1 est aussi un pgcd de a et p. Donc parle theoreme de Bezout (theoreme 5.0.47) il existe (x, y) ∈ A2 tel que 1 = ax + py. On a alorsb = abx+ pby. Or p | ab donc on en deduit que p | b. �

Proposition 5.0.51 — Lemme de Gauss. Soit (a, b, c) ∈ A3. Si a et b sont premiers entre euxet si a | bc, alors a | c.

Demonstration. Par le theoreme de Bezout (theoreme 5.0.47) il existe (x, y) ∈ A2 tel que1 = ax+ by. Alors c = acx+ bcy. Or a | bc, donc on en deduit que a | c. �

Nous allons maintenant demontrer que tout element non nul et non inversible peut s’ecrirecomme produit de facteurs irreductibles.

Lemme 5.0.52 — Soit (In)n∈N une suite croissante d’ideaux de A, c’est-a-dire telle que, pourtout n ∈ N, In ⊂ In+1. Alors (In)n∈N est stationnaire, c’est-a-dire qu’il existe m ∈ N tel que,pour tout n > m, In = Im.

Demonstration. Soit I =⋃n∈N In. Alors I est un ideal de A. En effet, d’une part on a 0 ∈ I.

Et si (x, y) ∈ I2 et a ∈ A, alors il existe (m,n) ∈ N2 tel que x ∈ In et y ∈ Im ; or comme lasuite (In)n∈N est croissante on a x ∈ Ip et y ∈ Ip avec p = max(m,n). Comme Ip est un idealon a alors −x ∈ Ip, x + y ∈ Ip et ax ∈ Ip, donc −x ∈ I, x + y ∈ I et ax ∈ I. Ceci montre queI est un ideal.

Comme A est principal, il existe donc z ∈ A tel que I = Az. Alors z ∈ I donc il existem ∈ N tel que z ∈ Im. On a alors I = Az ⊂ Im ; par consequent, pour tout n > m, on aI ⊂ Im ⊂ In ⊂ I et donc In = Im = I. �

18

Corollaire 5.0.53 — Soit (xn)n∈N une suite d’elements de A telle que, pour tout n ∈ N, xn+1 | xn.Alors il existe m ∈ N tel que, pour tout n > m, xn est associe a xm.

Demonstration. Appliquer le lemme 5.0.52 a la suite (Axn)n∈N. �

Lemme 5.0.54 — Soit x ∈ A un element non nul et non inversible. Alors x possede un diviseurirreductible.

Demonstration. Supposons que x ne possede pas de diviseur irreductible. On construit parrecurrence une suite (xn)n∈N telle que

— x0 = x,— pour tout n ∈ N∗, xn | xn−1, xn n’est pas associe a xn−1 et xn n’est pas inversible.On pose x0 = x.Soit n ∈ N∗. Supposons (x0, . . . , xn) construits. Comme la relation | est transitive, on a xn | x.

Par hypothese sur x, xn n’est donc pas irreductible. Par consequent il existe des elements xn+1

et yn+1 non inversibles tels que xn = xn+1yn+1. Alors xn+1 | xn, xn+1 n’est pas associe a xn(sinon yn+1 serait inversible) et xn+1 n’est pas inversible par sa definition. Ainsi xn+1 convient.

Ceci termine la construction de la suite (xn)n∈N. Or celle-ci contredit le corollaire 5.0.53.Ainsi x possede un diviseur irreductible.

�

Theoreme 5.0.55 — Decomposition en produit de facteurs irreductibles. Soit x ∈ Aun element non nul et non inversible. Alors il existe un entier n ∈ N∗, un element inversible u,des elements irreductibles deux a deux non associes p1, . . . , pn et des entiers α1, . . . , αn strictementpositifs tels que

x = un∏k=1

pαkk .

Par ailleurs cette decomposition est unique a permutation pres des facteurs et a multiplication presde chaque facteur par un element inversible, c’est-a-dire que si

x = v

m∏j=1

qβjj

avec m ∈ N∗, v un element inversible, q1, . . . , qm des elements irreductibles deux a deux nonassocies et β1, . . . , βn des entiers strictement positifs, alors m = n et il existe σ ∈ Sn et deselements inversibles u1, . . . , un tels que, pour tout j ∈ [[1, n]], qj = ujpσ(j) et βj = ασ(j).

Demonstration. Existence. Supposons qu’il existe x ∈ A non nul et non inversible qui n’admettepas de telle decomposition, ce qui equivaut au fait que x ne peut pas s’ecrire comme produitd’elements irreductibles. Alors on construit par recurrence une suite (xn)n∈N telle que

— x0 = x,— pour tout n ∈ N∗, xn−1 = pnxn ou pn est un element irreductible.

19

On pose x0 = x.Soit n ∈ N∗. Supposons (x0, . . . , xn) construits. Alors x = x0 = p1x1 = p1p2x2 = · · · =

p1 . . . pnxn. Si xn est inversible, alors xn−1 = pnxn est irreductible et donc x = x0 . . . xn−1 s’ecritcomme un produit d’elements irreductibles, ce qui contredit l’hypothese sur x. Ainsi xn n’estpas inversible et donc par le lemme 5.0.54 il existe un element irreductible pn+1 et un elementxn+1 tels que xn = xn+1pn+1. Ainsi xn+1 convient.

Ceci termine la construction de la suite (xn)n∈N. Or celle-ci contredit le corollaire 5.0.53. Parconsequent x admet une decomposition en produit d’elements irreductibles.

Unicite. Supposons que

x = u

n∏k=1

pαkk = vm∏j=1

qβjj

avec les notations de l’enonce. Soit j ∈ [[1,m]]. Comme u est inversible, qj |∏n

k=1 pαkk et donc

par le lemme d’Euclide (proposition 5.0.50) il existe σ(j) ∈ [[1, n]] tel que qj | pσ(j). Or pσ(j) estirreductible donc il existe un element inversible uj tel que qj = ujpσ(j).

De la meme maniere, pour tout i ∈ [[1, n]] il existe ρ(i) ∈ [[1,m]] et vi inversible tels quepi = viqρ(i). On a alors, pour j ∈ [[1,m]], qj = ujvσ(j)qρ(σ(j)). Comme les qs, s ∈ [[1,m]], sontdeux a deux non associes, on en deduit que ρ(σ(j)) = j.

Ainsi ρ◦σ = id[[1,m]] et de meme on montre que σ ◦ρ = id[[1,n]]. Ceci montre que σ : [[1,m]]→[[1, n]] est une bijection (de reciproque ρ) et donc m = n.

Supposons qu’il existe j ∈ [[1, n]] tel que βj 6= ασ(j). Quitte a reindexer les facteurs dansles deux decompositions, on peut supposer σ = id[[1,n]] et j = 1. Quitte a echanger les deuxdecompositions on peut aussi supposer β1 > α1. On a alors

n∏k=1

pαkk = wn∏k=1

pβkk = wpα11 p

β1−α1

1

n∏k=2

pβkk .

ou w = v∏n

k=1 uβkk . Puisque A est intgre, pα1

1 est regulier et doncn∏k=2

pαkk = wpβ1−α1

1

n∏k=2

pβkk .

Ainsi p1 |∏n

k=2 pαkk et donc par le lemme d’Euclide (proposition 5.0.50) p1 divise pk pour un

certain k > 2, ce qui est absurde. Ceci termine la demonstration. �

6. Systemes de congruences

Theoreme 6.0.56 — Theoreme des restes chinois. Soit deux entiers n1 > 2 et n2 > 2premiers entre eux et (a1, a2) ∈ Z2. Alors il existe c ∈ Z tel que{

c ≡ a1 mod n1

c ≡ a2 mod n2.

Par ailleurs, les solutions x ∈ Z du systeme

(S)

{x ≡ a1 mod n1

x ≡ a2 mod n2.

sont alors les x = c+kn1n2 pour k ∈ Z. Autrement dit, l’ensemble des solutions de (S) est la classede congruence de c modulo n1n2.

20

Remarque — Ce theoreme peut se reformuler ainsi : il existe c ∈ Z tel que{x ≡ a1 mod n1

x ≡ a2 mod n2⇐⇒ x ≡ c mod n1n2.

Demonstration. Comme n1 et n2 sont premiers entre eux, par le theoreme de Bezout (theoreme5.0.47) il existe (b1, b2) ∈ Z2 tel que

1 = b1n1 + b2n2.

Alorsc = a2b1n1 + a1b2n2

est solution de (S). En effet,

c− a1 = a2b1n1 + a1(b2n2 − 1) = a2b1n1 − a1b1n1

donc n1 | (c− a1), c’est-a-dire que c ≡ a1 mod n1 ; et de meme on montre que c ≡ a2 mod n2.Ceci montre que c est solution de (S).

Soit x une solution de (S). Alors x ≡ a1 mod n1 donc x ≡ c mod n1. Par consequent ilexiste `1 ∈ Z tel que x − c = `1n1. De meme il existe `2 ∈ Z tel que x − c = `2n2. Alors`1n1 = `2n2 et donc n1 | `2n2. Comme n1 et n2 sont premiers entre eux, par le lemme de Gauss(proposition 5.0.51) n1 | `2 et donc il existe k ∈ Z tel que `2 = kn1. Alors x− c = `2n2 = kn1n2.

Reciproquement, soit k ∈ Z et y = c + kn1n2. Alors y ≡ c mod n1n2 donc en particuliery ≡ c mod n1. Par consequent y ≡ a1 mod n1. De meme y ≡ a2 mod n2. Ainsi y est solutionde (S). �

Remarque — Cette demonstration fournit une methode de resolution explicite du systeme.

Corollaire 6.0.57 — Soit deux entiers n1 > 2 et n2 > 2 premiers entre eux. Alors l’application

Z/n1n2Z→ Z/n1Z× Z/n2Zxn1n2 7→ (xn1 , xn2)

est bien definie et est un isomorphisme d’anneaux (xm designe ici la classe de congruence de xmodulo l’entier m).

Demonstration. Notons ϕ cette application. Elle est bien definie car si x′ ≡ x mod n1n2 alorsx′ ≡ x mod n1 et x′ ≡ x mod n2. Par ailleurs pour tout (x, y) ∈ Z2 on a

ϕ(xn1n2+yn1n2) = ϕ(x+ yn1n2

) = (x+ yn1, x+ yn2

) = (xn1 , xn2)+(yn1, yn2

) = ϕ(xn1n2)+ϕ(yn1n2),

ϕ(xn1n2yn1n2) = ϕ(xyn1n2

) = (xyn1, xyn2

) = (xn1 , xn2)(yn1, yn2

) = ϕ(xn1n2)ϕ(yn1n2)

etϕ(1n1n2) = (1n1 , 1n2).

Ainsi ϕ est un homomorphisme d’anneaux.Soit x ∈ Z tel que xn1n2 ∈ kerϕ. Alors xn1 = 0n1 et xn2 = 0n2 . Ainsi x est solution de (S)

avec a1 = a2 = 0. Or 0 est clairement une solution de ce syteme, donc par le theoreme desrestes chinois (theoreme 6.0.56) il existe k ∈ Z tel que x = 0+kn1n2. Ainsi xn1n2 = 0n1n2 . Ainsikerϕ = {0n1n2} et donc ϕ est injective.

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Or |Z/n1n2Z| = n1n2 = |Z/n1Z× Z/n2Z| donc ϕ est bijective. C’est donc un isomorphismed’anneaux. �

Remarque — Cette demonstration n’utilise en fait que la deuxieme partie du theoreme desrestes chinois. On aurait pu demontrer le corollaire directement puis en deduire le theoreme desrestes chinois. L’ensemble des solutions de (S) est ϕ−1(a1n1

, a2n2).

Ces resultats se generalisent pour des familles d’entiers deux a deux premiers entre eux.

Theoreme 6.0.58 — Soit s > 2. Soit s entiers n1, . . . , ns > 2 deux a deux premiers entre eux et(a1, . . . , as) ∈ Zs. Alors il existe c ∈ Z tel que

(∀j ∈ [[1, s]], x ≡ aj mod nj) ⇐⇒ x ≡ c mod n1 . . . ns.

Demonstration. On demontre cet enonce par recurrence sur s > 2. Pour s = 2 il s’agit dutheoreme des restes chinois (theoreme 6.0.56).

Supposons l’enonce vrai pour un entier s > 2. Soit s+ 1 entiers n1, . . . , ns+1 > 2 deux a deuxpremiers entre eux et (a1, . . . , as+1) ∈ Zs+1. Par l’hypothese de recurrence, il existe c ∈ Z telque

(∀j ∈ [[1, s]], x ≡ aj mod nj) ⇐⇒ x ≡ c mod n1 . . . ns.

Ainsi

∀j ∈ [[1, s+ 1]], x ≡ aj mod nj ⇐⇒ (∀j ∈ [[1, s]], x ≡ aj mod nj et x ≡ as+1 mod ns+1)

⇐⇒ (x ≡ c mod n1 . . . ns et x ≡ as+1 mod ns+1).

Or n1 . . . ns est premier avec ns+1 (en effet, si ce n’etait pas le cas, alors un diviseur premierd du pgcd de n1 . . . ns et ns+1 diviserait n1 . . . ns et donc nj pour un certain j ∈ [[1, s]] (par lelemme d’Euclide 5.0.50) et aussi ns+1, ce qui est impossible car nj et ns+1 sont premiers entreeux). On peut donc leur appliquer le theoreme des restes chinois : il existe d ∈ Z tel que

(x ≡ c mod n1 . . . ns et x ≡ as+1 mod ns+1) ⇐⇒ x ≡ d mod n1 . . . nsns+1.

Ceci montre l’enonce pour l’entier s+ 1. �

Corollaire 6.0.59 — Soit s > 2. Soit s entiers n1, . . . , ns > 2 deux a deux premiers entre eux.Alors l’application

Z/n1 . . . nsZ→ Z/n1Z× · · · × Z/nsZxn1...ns 7→ (xn1 , . . . , xns)

est bien definie et est un isomorphisme d’anneaux.

Demonstration. Analogue a la demonstration du corollaire 6.0.57 en utlisant le theoreme 6.0.58.�

Exemple — On cherche a resoudre le systeme de congruences

(E)

x ≡ 1 mod 3x ≡ 3 mod 4x ≡ 2 mod 5

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en l’inconnue x ∈ Z. Le theoreme 6.0.58 s’applique car 3, 4 et 5 sont deux a deux premiersentre eux.

On considere d’abord le systeme reduit aux deux premieres equations :

(E’)

{x ≡ 1 mod 3x ≡ 3 mod 4.

On ecrit une relation de Bezout entre 3 et 4 ; ici il y en a une evidente :

1 = (−1) · 3 + 1 · 4(avec les notations de la demonstration du theoreme 6.0.56, n1 = 3, n2 = 4, a1 = 1, a2 = 3,b1 = −1, b2 = 1). Alors, par cette demonstration, une solution de (E’) est

a2b1n1 + a1b2n2 = 3 · (−1) · 3 + 1 · 1 · 4 = −5

et alors

(E’) ⇐⇒ x ≡ −5 mod 12.

Par consequent,

(E) ⇐⇒{x ≡ −5 mod 12x ≡ 2 mod 5.

On procede alors avec ce nouveau systeme comme precedemment. On ecrit une relation deBezout entre 12 et 5 ; pour cela on peut chercher un multiple de 3 et un multiple de 4 quidifferent de 1, par exemple 24 = 2 · 12 et 25 = 5 · 5 (une methode generale consiste a appliquerl’algorithme d’Euclide vu en premiere annee de Licence) et alors

1 = −24 + 25 = (−2) · 12 + 5 · 5.Une solution de (E) est donc

2 · (−2) · 12 + (−5) · 5 · 5 = −173

et finalement

(E) ⇐⇒ x ≡ −173 mod 60.

On prefere souvent exprimer les solutions a l’aide d’une solution particuliere � proche de 0 �.Ainsi

(E) ⇐⇒ x ≡ 7 mod 60.

7. Le groupe F×pL’objectif de cette partie est de montrer que pour tout nombre premier p le groupe (F×p , ·)

des inversibles du corps Fp est cyclique.

Definition 7.0.60 — Soit un groupe G fini. On appelle exposant de G le plus petit entier n > 1tel que gn = e pour tout g ∈ G.

Remarque —— De facon equivalente, l’exposant de G est le ppcm des ordres des elements de G, car

(∀g ∈ G, gm = e)⇔ (∀g ∈ G, ordre(g) | m).— Comme pour tout g ∈ G l’ordre de g divise |G|, l’exposant de G divise |G|.

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Exemple — Dans S4 il existe des elements d’ordres 1, 2, 3, 4. Ainsi— l’ordre de S4 est 4! = 24,— l’exposant de S5 est le ppcm de 1, 2, 3, 4, c’est-a-dire 12,— l’ordre maximal d’un element de S4 est 4.

Proposition 7.0.61 — Soit un groupe abelien fini G. Soit n son exposant. Alors il existe un elementg ∈ G d’ordre n.

Demonstration. Soit g ∈ G un element d’ordre maximal ; soit m cet ordre. Montrons que m = n.Soit y ∈ G et soit k son ordre. Soit p un diviseur premier de k, de sorte que k = pβs ou β > 1

et p ne divise pas s. On ecrit aussi m = pαr ou α ∈ N (eventuellement nul) et p ne divise pasr. Alors gp

αest d’ordre r et ys est d’ordre pβ.

Soit z = gpαys. Montrons que z est d’ordre pβr. Comme r et pβ sont premiers entre eux on

a 〈gpα〉 ∩ 〈ys〉 = 〈e〉 (car cette intersection est un sous-groupe de 〈gpα〉 et de 〈ys〉 donc par letheoreme de Lagrange son ordre divise r et pβ, donc vaut 1). Par consequent, si j ∈ Z est telque zj = e, alors comme G est commutatif on a e = zj = (gp

α)j(ys)j et donc

(gpα

)j = (ys)−j ∈ 〈gpα〉 ∩ 〈ys〉et donc (gp

α)j = (ys)−j = e. Ainsi r | j et pβ | j. Comme r et pβ sont premiers entre eux, on a

donc pβr | j. Et reciproquement si pβr | j, alors zj = (gpα)j(ys)j = e. Ainsi z est d’ordre pβr.

Comme m est l’ordre maximal des elements de G, on a donc pβr 6 m = pαr, d’ou α > β.Comme ceci est vrai pour tout diviseur premier de k, on en deduit que k | m (considerer les

decompositions de k et m en produits de facteurs premiers).Ainsi l’ordre de chaque element de G divise m, et donc n | m. Or de la definition de n decoule

que m | n. Ainsi m = n et donc g est d’ordre n. �

Theoreme 7.0.62 — Soit un nombre premier p. Alors le groupe (F×p , ·) des inversibles du corps Fpest cyclique.

Demonstration. Comme |F×p | = p− 1, il suffit de montrer qu’il existe un element d’ordre p− 1.Soit n l’exposant de (F×p , ·). On considere le polynome Xn−1 ∈ Fp[X]. Alors tous les elements

de F∗p sont des racines de Xn − 1, donc∏u∈F×p

(X − u) | Xn − 1

dans Fp[X]. En particulier, en considerant les degres de ces polynomes on obtient p − 1 6 n.Or n | p− 1 (voir la remarque ci-dessus). On a donc n = p− 1.

Or par la proposition 7.0.61 il existe un element de F×p d’ordre n, c’est-a-dire d’ordre p− 1.Ceci termine la demonstration. �

Exemple — Le groupe (F×7 , ·) est engendre par 3. En effet on a 30

= 1, 31

= 3, 32

= 2,33

= 6,

34

= 4, 35

= 5.

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