Embed Size (px)
Citation preview
Applications de l'algèbre linéaire à la résolution
de systèmes homogènes d'équations
différentielles du premier ordre
par Alina Stancu
Un système homogène d'équations différentielles du premier ordre est un système d'équationsdifférentielles qui peut s'écrire sous la forme
où est une matrice carrée d'ordre et est une fonction vectorielle .
On considére ici le cas le plus simple où la matrice est une matrice avec des composantes réelles etconstantes. D'après la théorie générale, qu'on ne discutera pas ici dans son entiereté, un tel système admet
toujours des solutions définies sur toute la droite réelle.
Par exemple, un tel système peut s'écrire
où . Résoudre ce système consiste à chercher les vecteurs qui
satisfont les deux équations simultanément.
On peut vérifier facilement que la fonction vectorielle est une solution du système. Il
suffit de calculer et on note que . La fonction vectorielle
est également une solution du système et, en fait, toute combinaison linéaire de
et est aussi une solution du système (1).
19/02/2012 Applications de l'algèbre linéaire à la r…
dms.umontreal.ca/…/EqDiff.html 1/10
Comment faire pour trouver toutes les solutions du système (1)?
Le principe est assez simple. Il suffit de trouver deux solutions linéairement indépendantes du système. Deux
solutions et sont linéairement indépendantes sur un intervalle si et seulement si le
déterminant de la matrice formée des colonnes et ne s'annule pas quelque soit .
Dans le cas des systèmes homogènes traité ici, sera .
Si on a deux solutions linéairement indépendantes, la solution générale du système est
c'est-à-dire que toute autre solution est une combinaison linéaire de et .
On note que le déterminant de la matrice est pour tout . On
en déduit que la solution générale du système (1) est
ou sous une forme matricielle
La matrice s'appelle une matrice fondamentale du système. À noter qu'une telle matrice n'est
pas unique!
Pouvez-vous donner une autre matrice fondamentale du même système?
Comment faire pour trouver deux solutions linéairement indépendantes du système (1)?
La réponse est liée aux valeurs propres et aux vecteurs propres de la matrice . La matrice
a deux valeurs propres réelles et distinctes, et . On note que
est un vecteur propre de correspondant à la valeur propre et est un
vecteur propre de correspondant à la valeur propre . On remarque alors que les solutions
linéairement indépendantes sont construites comme et .
Remarque 1. Le système (1) est de dimension et admet donc seulement deux solutions linéairementindépendantes. Ainsi ces dernières suffisent pour donner la solution générale du système.
19/02/2012 Applications de l'algèbre linéaire à la r…
dms.umontreal.ca/…/EqDiff.html 2/10
Pour un système différentiel de dimension , il faut trouver solutions linéairement indépendantes.
Exercice 1. Trouver la solution générale du système d'équations
Réponse: .
Exercice 2. Trouver la solution générale du système d'équations
Réponse: .
Remarque 2. L'exemple (1) et les deux exercices précédents illustrent le cas pour les systèmes dont lesvaleurs propres de la matrice associée sont réelles et distinctes deux à deux.
Si admet des valeurs propres multiples, on peut encore appliquer la méthode précédente à condition quela multiplicité algèbrique de chaque valeur propre soit égale à la dimension du sous-espace propre associé.
Par exemple, la matrice a une valeur propre simple pour laquelle
est un vecteur propre associé. Elle a aussi une valeur propre double qui admet deux vecteurs propres
linéairement indépendants et .
Donc la solution générale du système
19/02/2012 Applications de l'algèbre linéaire à la r…
dms.umontreal.ca/…/EqDiff.html 3/10
est
Exercice 3. Trouver la solution générale du système d'équations
Réponse: .
Remarque 3. Pour simplifier, on ne traite pas ici des autres cas de valeurs propres multiples, ou encore deceux où les valeurs propres sont complexes.
Les conditions initiales
Par exemple, considérons le problème aux valeurs initiales suivant
qui consiste à résoudre le système (1) en tenant compte de la valeur fixée de en .
On connaît déjà la solution générale du système
Il faut, à présent, trouver les constantes telles que, en , .
Cela revient donc à résoudre le système algèbrique
19/02/2012 Applications de l'algèbre linéaire à la r…
dms.umontreal.ca/…/EqDiff.html 4/10
Donc, la solution particulière cherchée est
Exercice 4. Considérer les systèmes d'équations des exercices 2 et 3 et trouver les solutions de ces
systèmes qui passent par le point en .
Réponse: , pour l'exercice 2,
, pour l'exercice 3.
Remarque 4. Trouver une solution qui passe par un point en revient à résoudre, pour le vecteur
, le système algèbrique
où la matrice est une matrice fondamentale du système différentiel.
La matrice
Maintenant, imaginez qu'on veut trouver successivement les solutions du système
qui passent par les points
19/02/2012 Applications de l'algèbre linéaire à la r…
dms.umontreal.ca/…/EqDiff.html 5/10
Il sera inefficace de résoudre systèmes algèbriques avec la même matrice des coefficients. Dans ce cas, il
vaut mieux trouver la matrice fondamentale du système différentiel telle que , la matrice
identité. Il est, en effet, facile de vérifier qu'un problème aux valeurs initiales
pour lequel la matrice fondamentale satisfait , a la solution
La matrice fondamentale est la matrice .
De la même manière que l'équation différentielle scalaire
admet la solution , l'équation différentielle vectorielle
admet la solution .
Une définition de indépendante d'un système d'équations différentielles est la suivante:
Définition: Soit une matrice . La matrice est la matrice définie par
On prend pour acquis que cette série de matrices est convergente pour tout réel.
Étant donnée une matrice , comment trouver la matrice ?
On discute ici le cas des matrices diagonalisables sur .
19/02/2012 Applications de l'algèbre linéaire à la r…
dms.umontreal.ca/…/EqDiff.html 6/10
Par exemple, étant donnée la matrice , on veut calculer .
On se rappelle que les deux valeurs propres de la matrice sont et et que
est une base des vecteurs propres de .
Donc, si , on a
On note aussi que
d'où il est facile à calculer
Remarque 5. En général, si , la matrice est
.
Comme , on a
19/02/2012 Applications de l'algèbre linéaire à la r…
dms.umontreal.ca/…/EqDiff.html 7/10
On trouve alors à partir de par la transformation
d'où
On note que , donc les solutions du système
qui passent par les points
sont
19/02/2012 Applications de l'algèbre linéaire à la r…
dms.umontreal.ca/…/EqDiff.html 8/10
Exercice 5. Trouver la matrice si .
Réponse: .
Remarque 6. Étant donnée une matrice carrée , admet les principales propriétés algébriques
associées à la fonction exponentielle:
15pt
1. .
2. .
3. .
Exercice 6. Montrer les propriétés (1) - (3) si est une matrice diagonale .
Exercice 7. Soit la matrice .
Montrer que , où est la matrice identité, et calculez
.
Déduire que
19/02/2012 Applications de l'algèbre linéaire à la r…
dms.umontreal.ca/…/EqDiff.html 9/10
Quelle est la solution du système qui passe par le point en ?
Réponse: .
Exercice 8. Une matrice carrée est dite nilpotente si l'une de ses puissances est la matrice nulle.Vérifier que
est nilpotente et calculer .
Réponse: , .
19/02/2012 Applications de l'algèbre linéaire à la r…
dms.umontreal.ca/…/EqDiff.html 10/10
