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APPLICATIONS DES BASES DE LA DYNAMIQUE I. Mouvements rectilignes : 1. Solide glissant sur un plan incliné :

Un solide de masse m glisse sans vitesse initiale sur un plan incliné non lisse d’un angle 𝛼 sur l’horizontale. En supposant

que le solide est animé d’un mouvement de translation et que les forces qui lui sont appliquées sont constantes.

a. Établir l’expression de l’accélération : § En appliquant le théorème du centre d’inertie.

§ En appliquant le théorème de l’énergie cinétique.

b. Donner les équations horaires sachant qu’à t = 0 ; x0 = 0. 2. Systèmes articulés :

Un corps A de masse mA = 70 g entraine dans sa chute un corps B de masse mB = 80 g qui glisse sur un plan incliné d’un

angle 𝛂 = 30°. A et B sont reliés par l’intermédiaire d’un fil inextensible qui passe par la gorge d’une poulie dont on néglige

la masse. Calculer en négligeant tous les frottements, l’accélération et la tension du fil (g = 10 m/s2) 3. Mouvement d’une particule dans le champ de pesanteur : cas ou 𝐠$⃗ ∕∕ 𝐯𝟎$$$$⃗ :

a. Étude dynamique :

Un projectile de masse m est lancé à partir d’un point O verticalement vers

le haut avec une vitesse v+$$$$⃗ à l’instant de date t = 0. Ö Système : projectile de masse m Ö Référentiel : Terrestre supposé galiléen

Ö Bilan des forces : P$$⃗ et R$$⃗ (résistance de l’air négligeable)

Ö T.C.I : 𝐏$$⃗ = 𝐦𝐠$⃗ ⟹ 𝐦𝐠$⃗ = 𝐦𝐚$⃗ ⟹ 𝐚$⃗ = 𝐠$⃗

Projetons suivant l’axe z : 𝐚$⃗ 3𝐚𝐱 = 𝟎𝐚𝐲 = 𝟎𝐚𝐳 = −𝐠

Par définition : 𝐚$⃗ = 𝐝𝐯$⃗𝐝𝐭

, par intégration : 𝐯$⃗ :𝐯𝐱 = 𝐂𝟏𝐯𝐲 = 𝐂𝟐

𝐯𝐳 = −𝐠𝐭 + 𝐂𝟑

A t = 0 : 𝐯𝟎$$$$⃗ :𝐯𝟎𝐱 = 𝐂𝟏 = 𝟎𝐯𝟎𝐲 = 𝐂𝟐 = 𝟎𝐯𝟎𝐳 = 𝐂𝟑 = 𝐯𝟎

⟹ 𝐯$⃗ 3𝐯𝐱 = 𝟎𝐯𝐲 = 𝟎𝐯𝐳 = −𝐠𝐭

Par définition : 𝐯$⃗ = 𝐝𝐎𝐆$$$$$$⃗

𝐝𝐭; par intégration : 𝐎𝐆$$$$$$⃗ :

𝐱 = 𝐂𝟒𝐲 = 𝐂𝟓

𝐳 = −𝟏𝟐𝐠𝐭𝟐 + 𝐯𝟎𝐭 + 𝐂𝟔

À t = 0 : 𝐎𝐆𝟎$$$$$$$$⃗ :𝐱𝟎 = 𝐂𝟒 = 𝟎𝐲𝟎 = 𝐂𝟓 = 𝟎𝐳𝟎 = 𝐂𝟔 = 𝟎

⟹ 𝐎𝐆$$$$$$⃗ :𝐱 = 𝟎𝐲 = 𝟎

𝐳 = −𝟏𝟐𝐠𝐭𝟐 + 𝐯𝟎𝐭

Donc : 𝐯𝐳 = −𝐠𝐭𝐞𝐭.𝐳 = − 𝟏𝟐𝐠𝐭𝟐 + 𝐯𝟎𝐭

Remarque : Si v0 est initialement dirigé vers le haut, le mouvement est d’abord rectiligne uniformément décéléré.

Au point le plus élevé v = 0, ensuite le mouvement est rectiligne uniformément accéléré vers le bas. b. Application 1 : Un gymnase quitte la surface élastique d’un trampoline avec une vitesse verticale de 30 km/h. Son

centre d’inertie est à 2 m du sol. Le gymnaste est assimilé à un solide. On suppose que la chute est libre.

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Établir les équations horaires dans le repère (O, ı⃗, ȷ⃗). En déduire la durée de la montée et la hauteur maximale atteinte

par le centre d’inertie du sauteur. `

4. Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrique uniforme 𝐄$⃗ : cas ou 𝐄$⃗ ∥ 𝐯𝟎$$$$⃗ : Ö Système : particule chargée Ö Référentiel : terrestre

Ö BFA : F$⃗ et P$$⃗ (négligeable devant F$⃗ )

Ö TCI : F$⃗ = ma$⃗ ⟹ qE$$⃗ = ma$⃗ ⟹ a$⃗ = RSE$$⃗

Projetons dans le repère (O, ı⃗, ȷ⃗) : 𝐚$⃗ T𝐚𝐱 =

𝐪𝐄𝐦

𝐚𝐲 = 𝟎

Par définition : a$⃗ = VW$$⃗VX

, par intégration on a : v$⃗ TvY =

RZSt + C]

v^ = 0

A t = 0 : v+$$$$⃗ Tv+Y = C] = v+v+^ = C` = 0 ⟹ 𝐯$⃗ T

𝐯𝐱 =𝐪𝐄𝐦𝐭 + 𝐯𝟎

𝐯𝐲 = 𝟎

Par définition : v$⃗ = Vab$$$$$$⃗

VX, par intégration on a : OG$$$$$⃗ Tx =

RZ`St`+v+t + Cey = Cg

A t = 0 : OG+$$$$$$$⃗ Tx+ = Ce = 0y+ = Cg = 0 ⟹ 𝐎𝐆$$$$$$⃗ T𝐱 =

𝐪𝐄𝟐𝐦𝐭𝟐 + 𝐯𝟎𝐭

𝐲 = 𝟎

C’est mouvement rectiligne uniformément varié

TEC : ΔEi = Eij − Eik =]`mv` − ]

`mv+` = qU ⟹ 𝐯 = m𝟐𝐪𝐔

𝐦+ 𝐯𝟎𝟐 : Vitesse de sortie de la particule.

Remarque : La particule n’est pas déviée, le mouvement est accéléré si q > 0 et décéléré (voire freiné) si q < 0.

5. Mouvement d’une bille dans un fluide : Abandonnons, à vitesse nulle, une bille dans un fluide.

a. Bilan des forces :

Ö Le poids : 𝐏$$⃗ = 𝐦𝐠$⃗ de la bille (il est vertical et dirigé vers le bas) Ö Les forces de frottements du fluide : pour des objets petits, dont la vitesse par rapport au fluide est faible, on parle

d’écoulement laminaire du fluide autour de l’objet et de force de frottement laminaire (absence de turbulence). La

valeur de la force de frottement est proportionnelle à la valeur de la vitesse de l’objet :

𝐟 = −𝐡𝐯$⃗ 𝐨𝐮𝐟 = −𝟔𝛑𝛈𝐫𝐯$⃗ 𝐚𝐯𝐞𝐜𝐡 = 𝟔𝛑𝛈𝐫

𝐟: force de frottement du fluide

h : coefficient de frottement du fluide (kg/s) qui dépend à priori de la viscosité du fluide et de ses dimensions.

𝐯$⃗ : vitesse de l’objet. Ö La poussée d’Archimède : elle correspond à l’ensemble des forces de pression exercées par le fluide sur l’objet qui

y est immergé. On peut énoncer le principe d’Archimède :

Tout corps plongé dans un liquide subit de la part de celui-ci une force opposée au poids du liquide déplacé par ce

corps.

On notera 𝛑$$⃗ ou 𝐅𝐀$$$$⃗ la poussée d’Archimède, son expression est : 𝛑$$⃗ = −𝛒𝐟𝐥𝐮𝐢𝐝𝐞. 𝐕𝐝é𝐩𝐥𝐚𝐜é. 𝐠$⃗ = −𝒎′𝒈$$⃗

𝛒𝐟𝐥𝐮𝐢𝐝𝐞: représente la masse volumique du fluide (kg/m3).

𝐕𝐝é𝐩𝐥𝐚𝐜é: le volume de partie de l’objet immergé dans le liquide.

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Remarque : la poussée d’Archimède existe dans tout fluide. Par conséquent, elle existe également dans l’air

(souvent négligeable).

b. Équation différentielle du mouvement du chute de la bille :

D’après la deuxième loi de Newton : 𝐏$$⃗ + 𝛑$$⃗ + 𝐅𝐀$$$$⃗ = 𝐦𝐚$⃗ ⟹ 𝐦𝐠$⃗ −𝐦�𝐠$⃗ − 𝐡𝐯$⃗ = 𝐦𝐚$⃗

Projetons suivant k$⃗ : 𝐦𝐠−𝐦�𝐠 − 𝐡𝐯 = 𝐦𝐚⟹𝐦𝐝𝐯𝐝𝐭+ 𝐡𝐯 = 𝐦𝐠 −𝐦′𝐠

En divisant tous les termes par m on a : 𝐝𝐯𝐝𝐭+ 𝐡

𝐦𝐯 = 𝐠 − 𝐦�

𝐦𝐠 ⟹ 𝐝𝐯

𝐝𝐭+ 𝐡

𝐦𝐯 = 𝐠(𝟏 − 𝐦�

𝐦)

En posant 𝛂 = 𝟏 − 𝐦�𝐦

, on a : 𝐝𝐯𝐝𝐭+ 𝐡

𝐦𝐯 = 𝛂. 𝐠: équation différentielle du mouvement

c. Vitesse limite :

Lorsque la vitesse limite est atteinte, l’accélération est nulle puisque la vitesse reste constante.

Ainsi VWVX= 0 ⟹ �

Sv��S = α. g ⟹ 𝐯𝐥𝐢𝐦 = 𝛂𝐠𝐦

𝐡

Par une méthode d’intégration on pourra montrer que : 𝐯 = 𝐯𝐥𝐢𝐦 �𝟏 − 𝐞�𝐭𝛕� 𝐚𝐯𝐞𝐜𝛕 = 𝐦

𝐡

d. Durée du régime initial (avant le régime permanent) :

On définit le temps caractéristique 𝜏 associé à une chute verticale

comme étant la date qui correspond au point d’intersection de la

tangente à l’origine (v=0) et à l’asymptote (vlim). On lâche l’objet sans vitesse, soit v = 0. Pour v = 0, l’équation

différentielle devient 𝐝𝐯𝐝𝐭= 𝛂𝐠 ⟹ 𝐯 = 𝛂𝐠𝐭.

La droite tangente à l’origine prend la valeur limite vlim pour 𝐭 = 𝐦𝐡

,

temps caractéristique de la chute.

La durée du régime initial est voisine de τ. Application 2 : Exercice 50 page 94

II. Mouvements paraboliques :

1. Mouvement d’un projectile dans le champ de pesanteur : cas ou 𝐯𝟎$$$$⃗ ∦ 𝐠$⃗ : Un projectile, de masse m est lancé dans un champ de pesanteur g$⃗ avec une vitesse initiale de lancement v+$$$$⃗ . Ce vecteur fait avec l’horizontale un angle

aigu α appelé angle de tir.

a. Étude dynamique : Ö Système : projectile de masse m Ö Référentiel : Terrestre supposé galiléen

Ö Bilan des forces : P$$⃗ et R$$⃗ (résistance de l’air négligeable)

Ö T.C.I : 𝐏$$⃗ = 𝐦𝐠$⃗ ⟹ 𝐦𝐠$⃗ = 𝐦𝐚$⃗ ⟹ 𝐚$⃗ = 𝐠$⃗ Conclusion : l’accélération est un vecteur constant dont la norme est indépendante de la masse du projectile. Sa

norme est égale à l’intensité de pesanteur.

Projetons suivant l’axe z : 𝐚$⃗ 3𝐚𝐱 = 𝟎𝐚𝐲 = 𝟎𝐚𝐳 = −𝐠

Par définition : 𝐚$⃗ = 𝐝𝐯$⃗𝐝𝐭

, par intégration : 𝐯$⃗ :𝐯𝐱 = 𝐂𝟏𝐯𝐲 = 𝐂𝟐

𝐯𝐳 = −𝐠𝐭 + 𝑪𝟑

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A t = 0 : 𝐯𝟎$$$$⃗ :𝐯𝟎𝐱 = 𝐂𝟏 = 𝐯𝟎𝐜𝐨𝐬(𝛂)

𝐯𝟎𝐲 = 𝐂𝟐 = 𝟎𝐯𝟎𝐳 = 𝐂𝟑 = 𝐯𝟎𝐬𝐢𝐧(𝛂)

⟹ 𝐯$⃗ :𝐯𝐱 = 𝐯𝟎𝐜𝐨𝐬(𝛂)

𝐯𝐲 = 𝟎𝐯𝐳 = −𝐠𝐭 + 𝐯𝟎𝐬𝐢𝐧(𝛂)

Par définition : 𝐯$⃗ = 𝐝𝐎𝐆$$$$$$⃗

𝐝𝐭; par intégration : 𝐎𝐆$$$$$$⃗ :

𝐱 = 𝐯𝟎𝐜𝐨𝐬(𝛂). 𝐭 + 𝑪𝟒𝐲 = 𝐂𝟓

𝐳 = −𝟏𝟐𝐠𝐭𝟐 + 𝐯𝟎𝐬𝐢𝐧(𝛂). 𝐭 + 𝐂𝟔

À t = 0 : 𝐎𝐆𝟎$$$$$$$$⃗ :𝐱𝟎 = 𝐂𝟒 = 𝟎𝐲𝟎 = 𝐂𝟓 = 𝟎𝐳𝟎 = 𝐂𝟔 = 𝟎

⟹ 𝐎𝐆$$$$$$⃗ :𝐱 = 𝐯𝟎𝐜𝐨𝐬(𝛂). 𝐭

𝐲 = 𝟎𝐳 = −𝟏

𝟐𝐠𝐭𝟐 + 𝐯𝟎𝐬𝐢𝐧(𝛂). 𝐭

Remarque : z = 0, le mouvement est plan et s’effectue dans le plan XOY. La projection du mouvement sur l’axe Ox

un mouvement uniforme alors que la projection du mouvement sur l’axe Oy est un mouvement uniformément varié.

b. Équation de la trajectoire :

𝐱 = 𝐯𝟎𝐜𝐨𝐬𝛂. 𝐭 ⟹ 𝐭 =𝐱

𝐯𝟎𝐜𝐨𝐬𝛂⟹ 𝐳 = −

𝟏𝟐𝐠 �

𝐱𝐯𝟎𝐜𝐨𝐬𝛂

�𝟐+ 𝐯𝟎𝐬𝐢𝐧𝛂.

𝐱𝐯𝟎𝐜𝐨𝐬𝛂

⟹ 𝐳 = −𝐠

𝟐𝐯𝟎𝟐𝐜𝐨𝐬𝟐(𝛂)𝐱𝟐 + 𝐭𝐚𝐧(𝛂). 𝐱

La trajectoire est parabolique car y(x) est une fonction carrée de x.

c. Portée horizontale :

La portée est l’abscisse d’un point P d’ordonnée y = 0 (si y = 0, P est le point d’impact). Pour déterminer xP, on résout

l’équation z = 0. Ainsi z = 0 ⟹ − �Y�

`W���� �(¡)+ tanα. x = 0 ⟹ − �Y£

�

`W���� �¡= −tanα. x¤

En simplifiant par xP et par cos𝛼 on a : �Y£`W���� ¡

= sinα ⟹ gx¤ = 2v+`sinαcosα

En remarquant que 𝟐𝐜𝐨𝐬𝛂𝐬𝐢𝐧𝛂 = 𝐬𝐢𝐧(𝟐𝛂) on : 𝐱𝐏 =𝐯𝟎𝟐𝐬𝐢𝐧(𝟐𝛂)

𝐠

Pour une vitesse 𝑣+$$$$⃗ donnée, la portée est maximale lorsque sin(2α) = 1 ⟹ 𝛂 = 𝛑𝟒𝐫𝐚𝐝

Ainsi : 𝐝𝐦𝐚𝐱 =𝐯𝟎𝟐

𝐠

d. La flèche :

La flèche est la hauteur maximale atteinte par le projectile. Au sommet S de la trajectoire la composante verticale de la vitesse est nulle : vY = 0.

Ainsi −gt + v+sinα = 0 ⟹ 𝐭𝐒 =𝐯𝟎𝐬𝐢𝐧𝛂𝐠

durée mise par le projectile pour arriver au sommet.

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En remplaçant tS dans les équations horaires du mouvement on a : ­x® = v+cosα.

W� �¯¡�

= W�� �¯(`¡)`�

z® = − ]`g �W� �¯¡

��`+ v+sinα. �

W� �¯¡�

�⟹

­x® =

W�� �¯(`¡)`�

z® = − �W�� �¯�(¡)`��

+ W�� �¯�(¡)�

= W�� �¯�(¡)`�

Ainsi le point S a pour coordonnées : 𝐱𝐒 =𝐯𝟎𝟐𝐬𝐢𝐧(𝟐𝛂)𝟐𝐠

et 𝐳𝐒 =𝐯𝟎𝟐𝐬𝐢𝐧𝟐(𝛂)𝟐𝐠

(la flèche)

Remarque : la vitesse au point S a pour cordonnées : °𝐯𝐒𝐱 = 𝐯𝟎𝐜𝐨𝐬𝛂𝐯𝐒𝐳 = 𝟎

Application 3 : Exercice 53 page 96

2. Mouvement d’une particule chargée dans un champ 𝑬$$⃗ uniforme :

a. Cas ou 𝐯𝟎$$$$⃗ ∦ 𝐄$⃗ : A l’instant initial, une particule de masse m et charge électrique q > 0 pénètre avec une vitesse v+$$$$⃗

dans l’espace compris entre les armatures d’un

condensateur plan, auxquelles on a appliqué une tension U > 0. Entre ces plaques s’établit un champ

électrique uniforme E$$⃗ (voir schéma).

Système : particule chargée

Référentiel : terrestre supposé galiléen Bilan des forces appliquées :

• Force électrique : F²$$$$⃗ = qE$$⃗ (Rappel : la force électrique et le champ électrique sont deux colinéaires. Leur sens

dépend du signe de q. Si q > 0 les deux vecteurs sont de même sens, si q < 0 les deux vecteurs sont de sens opposés)

• Poids négligeable car les particules utilisées ont une masse très faible

D’après la deuxième loi de Newton : ∑F´µµ�$$$$$$$$$⃗ = ma$⃗ ⟹ F²$$$$⃗ = ma$⃗ ⟹ qE$$⃗ =ma$⃗ ⟹ 𝐚$⃗ = 𝐪𝐄$⃗

𝐦

En projetant dans le repère (xOy) on a : 𝐚$⃗ T𝐚𝐱 = 𝟎𝐚𝐲 = −𝐪𝐄

𝐦

Par définition : �⃗� = ·$̧⃗·¹

, par intégration on a : v$⃗ TvY = C]

v^ = −RZSt + C`

Les conditions initiales donnent : v+$$$$⃗ ºv+Y = v+cosα = C]v+^ = v+sinα = C`

⟹ 𝐯$⃗ T𝐯𝐱 = 𝐯𝟎𝐜𝐨𝐬𝛂

𝐯𝐲 = −𝐪𝐄𝐦𝐭 + 𝐯𝟎𝐬𝐢𝐧𝛂

Par définition : v$⃗ = Vab$$$$$$⃗

VX⟹ OG$$$$$⃗ T

x = (v+cosα)t + Cey = − RZ

`St` + (v+sinα)t + Cg

Les conditions initiales donnent : OG+$$$$$$$⃗ ºx+ = Ce = 0y+ = Cg = 0 ⟹ 𝐎𝐆$$$$$$⃗ T

𝐱 = (𝐯𝟎𝐜𝐨𝐬𝛂)𝐭𝐲 = − 𝐪𝐄

𝟐𝐦𝐭𝟐 + (𝐯𝟎𝐬𝐢𝐧𝛂)𝐭

Équation de la trajectoire : x = v+cosα. t ⟹ t = YW� �� ¡

⟹ y(x) = − RZ`S� YW��� ¡

�`+ v+sinα.

YW��� ¡

⟹

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𝐲(𝐱) = −𝐪𝐄

𝟐𝐦𝐯𝟎𝟐𝐜𝐨𝐬𝟐(𝛂)𝐱𝟐 + 𝐭𝐚𝐧𝛂. 𝐱

Particule au point de sortie S :

Ö Au point de sortie S : 𝐱𝐒 = 𝓵 ⟹ 𝐲𝐒 = − 𝐪𝐄𝓵𝟐

𝟐𝐦𝐯𝟎𝟐𝐜𝐨𝐬𝟐𝛂

+ 𝐭𝐚𝐧𝛂. 𝓵

Ö 𝐱𝐒 = 𝓵 = 𝐯𝟎𝐜𝐨𝐬𝛂. 𝐭𝐒 ⟹ 𝐭𝐒 =𝓵

𝐯𝟎𝐜𝐨𝐬𝛂: durée mise par la particule pour sortir des plaques.

Ö Pour 𝐭𝐒 =𝓵

𝐯𝟎𝐜𝐨𝐬𝛂⟹ 𝐯𝐒$$$⃗ T

𝐯𝐒𝐱 = 𝐯𝟎𝐜𝐨𝐬𝛂𝐯𝐒𝐲 = − 𝐪𝐄𝓵

𝟐𝐦𝐯𝟎𝐜𝐨𝐬𝛂+ 𝐯𝟎𝐬𝐢𝐧𝛂 ⟹ 𝐯𝐬 = m𝐯𝐒𝐱𝟐 + 𝐯𝐒𝐲𝟐

Ö La direction de 𝐯𝐒$$$⃗ fait un angle 𝛉 avec l’axe x tel que : 𝐭𝐚𝐧𝛂 = 𝐯𝐒𝐲𝐯𝐒𝐱

Application 4 : Exercice 21 page 78

b. Cas ou 𝐯𝟎$$$$⃗ ⊥ 𝐄$⃗ : Considérons une particule chargée q > 0 en

mouvement dans un champ électrique E$$⃗ uniforme

vertical dirigé vers le haut (voir figure).

Si 𝐯𝟎$$$$⃗ ⊥ 𝐄$⃗ alors 𝛂 = 𝟎 ⟹ 𝐲 = 𝐪𝐄𝟐𝐦𝐯𝟎

𝟐 𝐱𝟐: parabole d’axe

Oy. (Remarquer dans cet exemple le sens de E$$⃗ )

Condition d’émergence de la particule :

La particule émerge du champ si x = ℓ et y < V`

Ces deux conditions se résument à y(ℓ) < V`⟹ 𝐪𝐄𝓵𝟐

𝟐𝐦𝐯𝟎𝟐 <

𝐝𝟐𝐨𝐫𝐄 = 𝐔

𝐝⟹ 𝐪𝐔𝓵𝟐

𝟐𝐦𝐝𝐯𝟎𝟐 <

𝐝𝟐⟹ 𝐔 < 𝐦𝐝𝟐𝐯𝟎

𝟐

𝐪𝓵𝟐𝐨𝐮𝐯𝟎 =

𝓵𝐝m𝐪𝐔𝐦

Déviation électrique :

La déviation électrique est l’ordonnée du point d’impact de la particule sur l’écran. O′P¿¿¿¿¿ est la déviation électrique. A

la sortie du champ électrique F$⃗ = 0$⃗ : le mouvement est rectiligne uniforme suivant la tangente à la trajectoire (arc

de parabole) au point S.

La tangente en la trajectoire au point de sortie S d’abscisse L coupe l’axe des abscisses au point I milieu de OH soit

𝐱𝐈 =𝐋𝟐⟹ 𝐭𝐚𝐧𝛂 = 𝐒𝐇

𝐈𝐇= 𝐎�𝐏¿¿¿¿¿

𝐎�𝐈⟹ 𝐲(𝐋)

𝐋𝟐

= 𝐎�𝐏¿¿¿¿¿

𝐃�𝐋𝟐⟹ 𝐎�𝐏¿¿¿¿¿ = 𝟐𝐲(𝐋)

𝐋�𝐃 − 𝐋

𝟐� ⟹ 𝐎�𝐏¿¿¿¿¿ = 𝟐𝐪𝐄𝐋𝟐

𝟐𝐋𝐦𝐯𝟎𝟐 �𝐃 −

𝐋𝟐� ⟹

𝐎�𝐏¿¿¿¿¿ =𝐪𝐄𝐋𝐦𝐯𝟎𝟐

�𝐃 −𝐋𝟐�

Remarque : Ö Cette expression peut être retrouvée en utilisant les composantes de la vitesse au point S :

𝐭𝐚𝐧𝛂 =𝐯𝐲𝐒𝐯𝐱𝐒

=𝐎′𝐏¿¿¿¿¿

𝐎′𝐈

Ö La mesure de la déflexion électrique permet aussi de déterminer la charge massique 𝐪𝐦:

𝐪𝐦=

𝐯𝟎𝟐

𝐄𝐋 �𝐃 − 𝐋𝟐�𝐎𝐏′¿¿¿¿¿

Application 5 : Exercices 44 p 90 et 51 p95

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III. Mouvement circulaire uniforme :

1. Étude dynamique :

Considérons un mobile M qui décrit un mouvement circulaire uniforme dans un référentiel galiléen. Ö Système : mobile M Ö Référentiel : Terrestre supposé galiléen

Ö TCI : F$⃗ = ∑F´µµ�$$$$$$$$$⃗ = ma$⃗ ⟹ F$⃗ = m(aÄ$$$$⃗ + aÅ$$$$⃗ ) = mVWVXT$$⃗ + m W�

ÇN$$⃗

dvdt= 0carlemouvementestuniforme ∶ �⃗� =

𝐦𝐯𝟐

𝐑𝐍$$⃗ orv = rw ⟹ �⃗� = 𝐦𝐑𝐰𝟐𝐍$$⃗

Application 6 : Exercice p70 2. Pendule conique :

Si on fait tourner lentement un moteur fixé à l’extrémité

supérieure du pendule, on observe que pour une certaine

valeur de la vitesse angulaire w, le pendule s’écarte de la tige et la sphère décrit un cercle horizontal. L’angle α que fait le fil

du pendule avec la verticale dépend de w.

𝐭𝐚𝐧𝛂 =𝐅𝐏=𝐦𝐫𝐰𝟐

𝐦𝐠=𝐫𝐰𝟐

𝐠𝐚𝐯𝐞𝐜𝐬𝐢𝐧𝛂 =

𝐫𝓵⟹

𝐭𝐚𝐧𝛂 =𝓵𝐰𝟐𝐬𝐢𝐧𝛂

𝐠=𝐬𝐢𝐧𝛂𝐜𝐨𝐬𝛂

⟹ 𝐜𝐨𝐬𝛂 =𝐠

𝓵𝐰𝟐

Lorsque w augmente α augmente : cos𝛂 ≤ 𝟏 ⟹ 𝐠𝓵𝐰𝟐 ≤ 𝟏 ⟹

𝐰 ≥ m𝐠𝓵

𝐰𝟎 = m𝐠𝓵 est la vitesse angulaire limite que w doit dépasser pour que le pendule s’écarte de sa position initiale.

Application 7 : Exercice 10 p72

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