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Poussée des terres, stabilitédes murs de soutènement /

par Jean Résal,...

Résal, Jean (1854-1919). Auteur du texte. Poussée des terres,stabilité des murs de soutènement / par Jean Résal,.... 1903.

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TRAVAUX PUBLICSFondée par Inspecteur général des Ponts et chaussé«

COURS DE L'ÉCOLE DES PONTS & CHAUSSÉES

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MURS DE SOUTÈNEMENT

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JEAN RESAL

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POUSSÉE DES TERRES

MURS DE SOUTÈNEMENT

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Tous les exemplaires de la POUSSÉE DES terresdevront être revêtus de la signature de M. JeanRésal.

ENCYCLOPÉDIEDES

TRAVAUX PUBLICS

Fondée par M.-C. LECHAI*AS, Inspecteur général des Ponts et Chaussées

COURS DE L'ÉCOLE DES PONTS & CHAUSSÉES

POUSSÉE DES TERRES

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N< •'DES»ES

MURS DE SOUTÈNEMENT

PAR

JEAN RESAL

INGÉNIEUR EN CHEF, PROFES9EUR A L'ÊCOLK UE9 PONTS ET CHAUSSÉES

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1903Tous droits rcstni!*

AVANT-PROPOS

Pour calculer la poussée des terres sur les murs desoutènement, on fait encore aujourd'hui emploi desméthodes empiriques basées sur l'hypothèse du prismede plus grande poussée, qui a été formulée par Cou-lomb en 1773. La règle la plus connue et la plus usi-tée est celle du général Poncelet, qui n'exige que desconstructions graphiques assez simples.

En 1856, Rankine s'est proposé d'établir les condi-tions d'équilibre intérieur d'un corps solide dépourvude cohésion, en écartant toute hypothèse préalable ets'appuyant uniquement sur les démonstrations fonda-mentales de la Mécanique, rationnelle, relatives à ladistribution des actions moléculaires autour d'unpoint dans un corps solide. 11 a résolu ce problème

vpour le cas particulier d'un massif indéfini limité parune surface libre plane.

Quelquesannées plus tard, M. MauriceLévy, n'ayantpas eu connaissance des travaux du professeur écos-sais, traita la même question et publia en 1870 unesolution identique, mais présentée sous une formedifférente. En outre il démontra analytiquement lafausseté et l'inutilité de l'hypothèse de Coulomb. Enfinil fit voir que les formules relatives au massif indé-fini limite par une surface libre plane, ne fournis-saient de renseignements exacts, en ce qui touche laréaction supportée par un mur de soutènement, que

*

dans certains cas déterminés, en dehors desquels leursindications étaient non pas précisémenterronées, maissupérieures à la réalité. Le mur, corps solide et cohé-rent, ne joue pas le même rôle que la tranche de ter-rain dont il occupe la place. En raison de l'invariabi-lité de son plan de parement, sa présence influe sur lesconditions d'équilibre intérieur du terre-plein qui luiest adossé.

Le problème de l'équilibre d'un massif sans cohé-sion, limité par une surtace libre plane et par un planinvariable, a été abordé pour la première fois parM. Boussinesq. Ses calculs l'ont conduit à des équa-tions différentielles non intégrables lia pu néanmoins,par une intégrationapproximative, obtenir une formulefournissant avec une exactitude suffisante la valeurde la poussée,mais dans le cas seulementoù, la surlacelibre du terrain s'élevant à partir de la crête du mur,le parement de la maçonnerie opposé aux terres pré-sente du fruit. M. Boussinesq a d'ailleurs défini leetegiv de précision de sa formule, en démontrant quela poussée était comprise entre deux limites extrêmesassez rapprochéesl'une de l'autre, et adoptant la valeurintermédiaire qui correspondait au moindre écartmoyen. Cette formule a servi à dresser des tablesnumériques pour le calcul de la poussée, que nousavons insérées en 1887 dans un ouvrage sur la Stabi-lité des Voûtes.

Nous avons dirigé nus recherches dans la voieouverte par M. Boussinesq, en traitant le problèmegénéral de l'équilibre d un massif sans cohésion limitépar deux plans quelconques, surfaces libres ou sur-faces de soutènement.

La question se ramène à l'étude d'une courbe parti-culière, la ligne de poussée, tiont la connaissancefournit la solution rigoureuse et complètedu problème.Nous avons établi l'équation différentielle de cette

courbe, qui n'est pas intégrable, ainsi qu'on devait leprévoir. Mais la forme sous laquelle on l'obtient seprête à une discussion géométriquecomplète, permet-tant de reconnaître les propriétés caractéristiques de lacourbe dans tous les cas répondant à l'énoncé généraldu problème D'autre part, il est possible, en recou-rant à un calcul par différences finies, d'utiliser cetteéquation différentielle pour le tracé par points deslignes de poussée.

C'est ce qui nous a permis, au prix de calculs sim-ples mais longs et fastidieux, de déterminer les coeffi-cients numériques de poussée pour les murs de soutè-nement. Les tables insérées à la fin du présent volumefournissent le moyen d'évaluer la réaction exercée surun mur de soutènement par un terrain que définit sonangle de rupture, dans tous les cas possibles d'orienta-tion de la surface libre et du plan de soutènement –sol s'élevant ou s'abaissant à partir de la crête; pare-ment intérieur de la maçonnerie avec fruit ou en sur-plomb.

L'exactitude de ces renseignements numériquesdépend non de l'équation initiale, qui est rigoureuse,mais de la pivcision des opérations numériques et desprocédés d'interpolation auxquels nous avons eurecours. Commedans les cas où la formulede M. Bous.sinesq est applicable, il y a concordance entre ses chif-fres et les nôtres, nous pensons être en droit de con-clure que l'erreur imputable a notre mode de calculest du même ordre de grandeur que celle provenant del'intégration approximativede notre devancier.

Elle est par conséquent tout à fait négligeable aupoint de vue des applications.

Les coefficients numériques insérés dans nos tablesservent à évaluer la poussée, c'est-à-dire la composantehorizontalede la réaction exercée sur le mur. Quant àla direction suivie parcette force, elle est toujours indi-quée par des formules rigoureuses, d'un emploi simpleet facile.

Le premier chapitre de notre ouvrage contient l'ex-posé didactique des formules de la Mécanique ration-nelle relatives à la distribution des actions moléculairesautour d'un point, dans un plan de symétried'un corpsdépourvu de cohésion. Nous y avons défini les lignesde charge et la ligne de poussée, dont nous aurons il

nous servir ultérieurement.

Le sujet du second chapitreest le problèmede l'équi-libre d'un massif limité par une surface libre plane.Nous avons simplement reproduit la solution deMM. Rankine et Maurice Le vy, en ajoutant quelquesapplications sur la fondation des ouvrages en pleineterre et sur la compression préalable du sol, qui nousont paru présenter de l'intérêt pour les constructeurs.

Le chapitre troisième est consacré au problème del'équilibre d'un massif indéfini limité par deux plans.Après avoir établi l'équation différentielle de la lignede poussée, nous en avons déduit les propriétés géomé-triques de cette courbe, ce qui nous a permis d'étudierensuite l'épure générale des lignes de poussée relativeà un terrain défini par son angle de frottement. Enfinnous avons traité séparément les différents cas parti-culiers contenus dans l'énoncé du problème massiflimité par deux surfaces libres par une surfacelibre et par un plan invsriable,qui est le parement dumur de soutènement; – par deux plans invariables,constitués par des parements de maçonnerie. Nousavons dit quelques mots du problème relatif au massiflimité par une surface libre et par deux plans invaria-bles, divergents ou verticaux.

Ce chapitre se terminePar une application des théories précédentes a la

recherche des plans de glissement déterminés dans lescouches terrestres par des bancs minces de terre glaise;

Par une critique sommaire de l'hypothèse duprisme de plus grande poussée. Nous n'avons pasjugé nécessaire de reproduire la démonstration analy-tique de M. Maurice Lévy depuis lors, l'expérience,justifiant ses prévisions théoriques, a fait ressortir à

son tour la fausseté de cette hypothèse. Nous noussommes borné à mettre en relief l'incompatibilité dupostulatum de Coulomb avec les démonstrations pré-cédentes. En somme, on peut affirmer qu'actuellementcette hypothèse n'a plus de défenseurs. Si l'on conti-nue à utiliser, faute de mieux, tes méthodes empiri-ques qui en découlent, c'est que la formule de M. Bous-sinesq semble d'une application trop restreinte, et peuttomber en défaut dans nombre de circonstances où larègle de Poncelel fournit une solution, que l'on ac-cepte sans se faire illusion sur son exactitude

Par quelques observationssur les recherchesexpéri-mentales relatives à la poussée des terres.

Ayant exposé dans le troisième chapitre la marche asuivre pour évaluer la réaction qu'exerce sur un muraparement intérieur reclili'jne un massif homogène àsurface libre plane, il nous restait à généraliser laméthode, pour en étendreremploi à tousles problèmes,plus ou moins complexes, que l'on est exposé à rencon-trer dans la pratique des constructions.C'est l'objet du

quatrièmechapitre. 1) ne lions a pas été possible d'énon-

cer des formules rigoureuses,que l'analyseest impuis-sante à fournir dès que l'énoncédu problème à résoudrese complique tant soit peu.

11 a fallu se contenter de solutions approximatives,que nous avons déduites (le la théorie précédente, ennous basant sur l'allure générale des lignes de chargedans les massifs considérés. L'erreur imputable àl'emploi de ces formules, qui est nulle quand onretombe sur le cas traité dans le troisième chapitre,est toujours sans importanceau point de vue pratique,

ainsi que nous nous on sommes assuré par des appli-cations numériques.

On a signalé comme un avantage marqué de laconstructiongraphiquedu général Poncelet, qu'elle seprête au calcul d'un mur adossé à un massif à surfacelibre accidentée. Mais cet avantage n'est qu'apparent.Abstraction faite des critiques formulées contre l'hypo-thèse de Coulomb, la substitution, au profil brisé duterrain et du mur, d'un profil triangulaire considérécomme équivalent. s'opère par un procédé purementarbitraire.On admet sans justificationque deux prismesde plus grande poussée exercent la même action surdeux murs dont les parements offrent des inclinaisonsdifférentes, parce que leurs sections droites ont mêmesurface. On ne tient compte ni du déplacement subipar le centre de gravité de cette aire, ni de la déviationdu plan du mur. Les résultats que l'on obtient ainsin'ont aucun rapport avec la réalité. 11 est facile de serendre compte, par quelques applicationsnumériques,que les indications fournies peuvent dans bien des cas«Hre manifestementerronées et presque absurdes.

La formule que nous avons proposéepour la solutiondu même problèmenous semble logique, et nous avonsconstaté en en faisant usage que ses indications nesauraient jamais s'écarter sensiblement de la vérité.En outre, elle est infinimentplus simple et son emploiplus commodeque la règle Poncelel, qui ne semble àla rigueur acceptableque pour les murs d'escarpe desfortifications, en vue desquels elle a été établie.

Nous avons traité, d'après les mêmes principes, uncertain nombre de problèmes usuels terrain diviséen couches de natures différentes; terrain portant dessurcharges remblai compris entre deux murs paral-lèles

En ce qui touche le calcul des murs à parementintérieur polygonal ou courbe, nous devons signalerque notre formule doit comporter une erreur par

défaut sur la valeur de la poussée quand le profil estconcave du côté de la terre, et une erreur par excèsquand le profil est convexe. Toutefois ce résultat n'ap-paraît pas toujours dans les applications numériques,parce que l'erreur en question est de l'ordre de gran-deur de celles que comporte le calcul numérique descoefficients de poussée eux-mêmes.

En ce qui touche la butée des terres, il faut reconnaîtreque la formule relative au plan de butée verticale aune tournure passablement arbitraire. Sa seule justi-fication est de donner des indications plausibles, ainsiqu'on le voit sur les tables numériques de la page 238.

Quant à la règle relative aux surfaces de butée, obli-ques ou courbes, elle est basée sur l'allure des lignesde charge. En raison même de sa simplicité, elle nepeut fournir que des indications approximatives, quidans le cas envisagé seront toujours suffisantes.

Le reste du chapitre est consacré à la recherche desdispositions les plus avantageuses à attribuer auxouvrages de soutènement, pour assurer leur stabilitédans les conditions les plus économiques, 11 a été ditquelques mots des murs d'arrêt, destinés à contenir lesterrains en mouvement ou à maintenir les couchesglissantes, dont le rôle est tout différent de celui desmurs de soutènement, et motive des dispositions spé-ciales.

Le cinquième chapitre ne renferme que des rensei-gnements numériques densité et angle de frottementdes terres coefficients de poussée coefficients debutée.

Il a été fait quelques applications numériques de laméthode de calcul des mursde soutènement, pour con-firmer les assertionsémisesdans le quatrième chapitreau sujet des règles à suivre dans la détermination desprofils de ces ouvrages.

Nous croyons devoir insister en terminant sur lasimplicité et la brièveté des calculs que comportenotreméthode, en se servant des tables numériques que nous

avons dressées. Le travail nécessaire pour l'évaluationde la poussée, dans un cas donné, est toujours bieninférieur à celui qu'exigeraient les méthodes basées surl'hypothèse de Coulomb. Il y a donc tout intérêt à enfaire usage, puisque d'ailleurs les résultats sont beau-

coup plus sûrs.Cette méthode est absolument générale et s'applique

à toutes les circonstances de la pratique. Nous svonsétudié a part un certain nombre de cas particuliers.Mais il est facile de combiner les règles spéciales quis'y rapportent, en vue de la résolution d'un problèmecomplexe dont l'énoncé renfermerait toutes les condi-tions qui ont été envisagées séparément.

Par exemple, on concevra aisément la marcheà sui-vre pour calculer un mur à parement intérieur courbeou polygonal (art. 36), qui serait adossé à un massif àsurface libre accidentée <art. 32). divisé en couchessuperposées dénature différente (art. 33), portantdessurcharges (art. 34) et enfin noyé par une nappe d'eausur une partie de sa hauteur (art. 40) Les opérationsnumériques seraient un peu longues et laborieuses,mais on aurait la certitude d'arriver à un résultat suf-fisamment exact et répondant à toutes des données dela question.

CHAPITRE PREMIER

FORMULES GÉNÉRALES

RELATIVES A

L'ÉQUILIBRE ÉLASTIQUE D'UN CORPS

DÉPOURVU DE COHÉSION

i. Distribution des actions moléculaires autour d'un point, dans unplan de symétrie du corps. – S. Anglemaximum de glissement –

:). Actionsmoléculairesconjuguées. – 4. Lignes décharge. Cal-cul graphique. li. Angle de frottement, de rupture ou du talusnaturel des terres. 7. Equilibre limite d'un massif. Lignes de

rupture. – fi. Poussée. 9. Ligne de poussée.

SOMMAIRE

CHAPITRE PREMIER

FORMULES GÉNÉRALES

RELATIVES A

L'ÉQUILIBRE ÉLASTIQUE D'UN CORPS

DÉPOURVU DE COHÉSION

1. Distribution des actions moléculaires autour d'unpoint, dans un plan de symétrie du corps. Admet-

tons que la symétrieexiste au double point de vue de la

forme géométriquedu corps, supposé homogène, et de

la distribution des forces extérieuresqui le sollicitent. Ilest de toute évidenceque le plan de symétriecoïncidera,

pour un quelconque de ses points, avec un des troisplans principaux communs à l'ellipsoïdeet à la surfacedirectrice des actions moléculaires. La symétrieexige,

en effet, qu'une action moléculaire située dans ce plansoit conjuguée d'un plan normal à celui-ci.

Soient Ox, Oy et Qz les traces, sur le plan de symé-trie, de trois plans qui lui sont perpendiculaires, etdont les deux premiers sont rectangulaires entre eux(fig- 1).

Les actionsmoléculaires conjuguées de ces trois planssont situées dans le plan de symétrie, pris pour plan

de la figure. Nous désigneronspar les lettres suivantesleurs composantes normales et tangentielles

Plan Ox action normale Y action tangentielle V.

Plan Oy action normale X action tangentielle V,

égale à la précédente en vertu d'un théorème connu.Plan 0:- action normale n action tangentielle

Considérons un prisme droit ayant pour base letriangle AOB formé par les traces des deux plans rec-tangulaires, et par l'hypothénuse AB parallèle à Oz.

Nous attribuerons a ce prisme une hauteur égale à

l'unité.Nous prendrons pour unité la longueur de l'hypothé

nuse AB, et désignerons par p l'angle BAO la lon-

gueur du côté AO sera égale à cos \t, et celle du côtéBO à sin ;>

Les bases du prisme étant parallèles au plau de

symétrie, qui est un plan principal, les actions molé-culaires correspondantes sont perpendiculaires auplan de la figure. Pour que le prisme soit en équilibre,

il faut donc que les forces intérieures situées dans leplan de la figure, qui sont appliquéessur les trois faceslatérales AB, OA et OB, aient une résultante nulle, l.agrandeur de chacune de ces forces s'obtiendra eu mul-tipliant son intensité X, Y, V, nou par l'aire de laface qu'elle sollicite soit I pour la face AR, cos ja pourla face AO, et sin u. pour la face OB. En égalant sépa-rément à zéro les sommes des projections de ces forcesintérieures sur les deux axes Or et Oy, on obtiendrales deux conditions d'équilibre élastique

X cos ,u -+- V sin y. = n cos y. f- sin [t.Y sin

<i.+ V cos < = n sin «. – cos

D'où

n – X cos' i>. -i- Y sin' jx

t = (X – Y) sin u. cos y. – V (cos1;* – sin').

Ces relations sont indépendantes de toute hypothèse

sur l'angle j* on peut donc attribuer à celui-ci lesvnleurs particulières définies par la condition

2Vy5TT-T-

L'action tangentielle est alors nulle, et nous obte-

nons deux valeurs de l'angle \> différant de qui

correspondent aux directions rectangulaires des deuxactions moléculaires principales situées dans le plande symétrie.

Modifionsla figureen prenant pour axes des .»:et des y

les directions mêmes de ces actions principales, dont

nous désignerons les intensités par les lettres a et b.

Les équations d'équilibre élastique deviennent, ensupprimant les termes où entre comme facteur l'action

tangentielle V, qui est nulle, et remplaçant X par û etY par b

a cos ja = n cos [a+ t sin jab sin |x = n sin [a – t cos ja

n = a cos' [a + sin*f*

t == (a b) sin p. cos ja.

Désignons par s l'action moléculaire conjuguéeduplan AB, qui a pour composante normale n et pour

composante tangentielle t par 0 l'angle que fait ladirection OS avec la normale n à son plan conjugué

par p' l'angle que fait la droite OS avec la droite AO.

On a:S = )Jn* + t* = \fa* cos» ft +• àin» f*

«l (q – fc)sln(Acosftj

«= n o rAis» + b sin1 n

La projection x de la force s sur l'axe OB est égaleà n cos u + t sin ,a, ou a cos ja sa projection y surl'axe OA est égale à n sir [*. – t cos ja, ou b sin ja»

D'où.x' y$"~T H- "fr= cos* jt-H sin' [a= 1

C'est l'équationde l'ellipse des actiom moléculaires,

située dans le plan de symétrie du. corps et relative aupoint 0.

On a d!autre part

8==~ -–~==~-–t-D'où

v Ig f tg fiz “ » fi a cos» ii + b sin' fitg G* n) « + tg u' tg cotg (f«i»aOn en conclutque tg y tg y.' – – y

Cela signifie que les directions OS et AB sont celles

de deux diamètres conjugués de la courbe du second

degré -h y = constante K.

C'est la courbe directricedes actions moléculaires,située dans le plan de symétrie du corps et relative aupoint 0. Cette courbe est une ellipse si les deux actionsprincipales a et b sont de même signe. Elle se com-

pose de deux hyperboles conjuguées si l'une des actions

est une tension, et l'autre une pression.Dans un corps dépourvu de cohésion, les actions

moléculaires normales ne peuvent être que des pres-sions, puisqu'un travail élastique d'extension,quelquefaible qu'il pût être, déterminerait immédiatement ladisjonction des molécules, et par suite la rupture del'équilibre. Dans le cas particulier que nous allonsétudier, a et b sont donc de même signe, et la courbedirectrice est une ellipse.

Pour fixer les idées, nous admettrons que la plusgrande des deux actions moléculairesprincipalesest laforce a.

Comme r -us n'aurons à envisager que des actionsnormales de compression, nous leur attribuerons le

signe +, pour simplifler les formules.

a. Angle maximum de gUsaement. – Proposons.nousde déterminer, èn fonction des actions principales aet b, la valeur maximum 7;, angle de plus grand glis-seme~at, que peut atteindre l'angle 0 de l'action molé-culaire s avec la normale à son plan conjugué AB,

quand on fait pivoter celui-ci autour du point 0.

On a

tg Q(a b) sin ~s cos ftg a cos' la + b sio' fA

En égalant a zéro la dérivée de cette expression parrapport à l'angle :jL, on reconnaît que te maximum detg correspond à deux valeurs particulières y et del'angle fournies par les relations

tgy-'t` ~h a ~Y ° l â

D'où, en substituant dans l'expressionde tg 0tg

a-b a-bbCol

3 a&tg~)==±.–=:; stn~==±-– cos '1) =2\' a&

aba + & a + A

On a d'autre part tg 2 x=a b== – cotg '1).

b -aD'où

'If YJJL.X'" 4 g

On trouverait de même = – \T-1-

T

Cela signifie que les deux directions correspondantà l'angle de glissementmaximum '1), que nous appelle-

rons simplement les directions de glissement, sontdes diamètres conjugués de la courbe directrice, puis-

que l'on a tg y tg 1.' = – La direction OA de la

plua petite action principaleb est la bissectrice de l'an-

gle obtus formé par les directions de glisse-ment.

La direction OB de la plus grande action principale

a est la bissectrice de leur angle aigu -£ – ».

3. actions moléculairesconjuguées. Deux actionsmoléculaires sont conjuguées lorsque chacune estparallèle au plan sur lequel l'autre est appliquée. L'an-gle 6 a même valeur pour toutes deux, et leurs direc-tions, qui sont conjuguées dans la courbe directrice,

font entre elles l'angle aigu – 8.

Cet angle varie entre la limite inférieure | – •*> (di-

rections de glissement), et la limite supérieure – (direc-tions principales).

Eliminons l'angle IL entre les deux équations d'équi-libre élastique

n = s cos 8 = a cos' ja + b sin* }*

t = sin 9 = (a b) sin j* cos {*.

On trouvea – a cos 6 i II.

s cos $ – bSin u. = –COS* y. = –

r a –b l a –bS Sin 8 = y7 (rt 8 cos 0) « cos 9 b).

D'où

a + b (A

4 aè \2S =_ Cos 9 t ~cos~ 9 C ~+

a + f»/== –a– (COS « =!= cos' 9 – cos'

)= – jp ^COS 0 db C08t o – cos» «I

Le double signe ± correspond aux valeurss' et s" desdeux actions conjuguées qui ont la même inclinaison 9

sur les normalesà leurs plans d'application.

Le rapport de la plus petite à la plus grande de cesforces intérieures est

_£ cos 0 – cos' 6 COS'“» •8IIcos 8 + y cos»

8 cos» n

Proposons-nousde déterminer, en fonction de 6 etvi,l'angle que fait la direction de la plus grande s" de cesactions conjuguées avec la direction de la plus grandea des actions principales. C'est l'angle SOB de lafigure 2, qui est égal à ft 9.

Désignons par t un angle auxiliaire défini par larelation

sin 6sint=

sin »D'où:

cos' 9 cos' vi = sin1 vi sin' 8 = sin* -n (1 sin' t)

== sin* n cos' e

et par conséquent“ o-t-fes g" ^COS

0 -H yj cosi ecos» “J

= b (cos 0 + sin cos E),

On a d'autre pdrt

cos 2 (t = cos* p sin' u = ^"c0"&1)

¡-- a – 6= ^7 (sin v) cos 0 cos

E sin' 6)--b= – (sin n cos

i cos 9 – sin* 6)sinn

-^cosecosO – -Siïl!e= cos E cos Ilsin n

– cos E cos 0 – sin sin £ = cos (e h- 0).D'où

,==~,et 0

En définitive, l'angle mutuel de la plusgrande s" desdeux actions conjuguées et de la plus grande a des

actions principales est égal à *•-£-"

Or nous savons déjà que les angles de cette plusgrande action principale et des deux directions de

glissementont pour valeurs ± (i~ f)« Nous en con-

cluerons que la direction de la plus grande des deuxactions conjuguées définies par l'angle 6, est située

dans l'angle aigu (~ v>\ des directions de glisse-

ment, et divise cet angle en deux parties dont

l'une est égale à -j- (– –n + oV et l'autre à

Ht– + «)•La direction de la plus petite s' des deux actions, qui

fait l'angle aigu -| – avec *,a conjuguée s", est située

dans l'angle obtus (^- H- ») des directions de glisse-

ment, et divise cet angle en deux parties, dont l'uneest + ïl~e~8)eirautreï (T+Y1 + e"M)"

4. lignes de charge. Dans les recherches relati-

ves à la poussée des terres, nous aurons toujours .t

considérer deux directions conjuguées particulières,dont une est la verticale. Nous qualifierons l'autre de

direction de la ligne de charge, et définirons sonorientation par l'angle o qu'elle fait avec l'horizontale,et qui est par conséquent celui de sa normale avec la

direction verticale de l'action moléculaire correspon-dante.

On obtiendra les formules relatives à ces deux direc-

tions conjuguéesen substituantu à 6 dans les relationsénoncées à l'article précédent.

Comme l'angle 0 a pour limite supérieure l'angle deglissement maximum m, nous en conclueronsimmédia-tement que l'inclinaison

<> de la ligne de charge surl'horizontale ne peut dépasser n.

Soient r et p les actions moléculaires relatives à laverticale Oy et à la ligne de charge Oz. Leur rapportmutuel sera fourni par l'une des deux formules

si r < P =C036>~ /cOS'M-COS'g

si r p c09M + v/cos'<a-cos«1!

si V « • CO9 + V CO3'M cos' H~si r >/>. – =

pCOS M – V

COS1 M – COS' V

II existeainsi deux états d'équilibre élastique du corpscompatibles avec l'angle de glissement v> et l'inclinai-son <•> de Ja ligne de charge.

Au lieu de considérer l'action moléculaire r, paral-lèle à la ligne de charge et inclinée de w sur l'horizon.·tale, il nous sera plus commode d'introduire dans lescalculs sa projection horizontale q, que nous qualifie-rons de poussée élémentaire relative au point 0.

On a

q *=rcosM.

La poussée élémentaire q et la charge élémentaire psont liées par une des relations suivantes, correspon-dant aux deux états d'équilibre compatibles avec lesdonnées r, et w si q < p cos w,

COS ta – V' COS* &>– COS» Vq = p COS <<>

COSU+ COS» ta – COS' «

cos w – sin >! cos s= jt> COS cor cos COS«->+ SID r. COS I

= p COS w/"(w.v;).

Si 7 > p cos w

eos 4i + co*f *» – cos1 >jq = p COS w –––––––COS(a –

V COS* – COS' lî

= p COS wcos e*' 4- – sinr cos«COS >>> – SID

15 COS f

– y>cos w F(w.vi).

Ou sait que l'angle auxiliairet est défini par la con-dition:sini = 4^.

sin >;

Les notations (<o />) et F (<>> y) servent uniquementà abréger les formules.

L'une de ces fonctions est l'inverse de t'autreF(«.n)= t

•

Les angles que font avec la verticale les deux direc-tions de glissement ont pour expressions dans l'étatd'équilibre avec poussée minimum {q <p cos w)

-L/JL tA±•2 \T y 2

dans l'état d'équilibre avec poussée maximum(q> p cos w)

+ +23

-i-~1/ S2 U H"T);ar~

Une construction géométrique très simple permet

de tracer les deux directionsde glissementpour chacun

des deux états d'équilibre définis par les données -n et w.

Figure 4.

Portons sur une verticale, à partir d'un pôle 0, les

distances011= /cos w .-E- sin cus e

lt cos w y C09 w S1D r!

--V,,{:.J' ,,),cos w V cos m – sin o cos i cos w

os- –•

Uô~cos«'

COS .Aos~-singes. J_ ~r––C09 »

cos 6.+ sin cos.e cos«. V^

Menons par le point S deux droites en croix, faisant

avec l'horizontale les angles + -n et « puis, par les

points M et N, deux droites inclinées de M sur l'hori-zontale, qui seront par conséquent des lignes de

charge.Soient A, B, C et D leurs points de rencontre avec les

lignes en croix.Les droites OA et OB seront les directions de glisse-

ment correspondant au premier état d'équilibre, avecpoussée minimum.

Les droites OC et OD seront les directions de glisse-ment correspondant au second état d'équilibre, avecpoussée maximum.

On aura donc

Si p<q cos a: A0M = (3=|Q– 7))~~ -Ç-î

BÔM=r=i(!)V-S><j>pcozv. CÔN = p'= 5 (:+») – 1±^

ix»w-î g +«) + :£•Nous nous contenterons de le démontrer pour un

de ces angles, par exemple AÔM ou p.On a, dans le triangle AOS

OS sin OÂS8i" (j-Q

cos jn + fl)0A-sinA§0 ““£+,)1 r Cesn

On a, dans le triangle AOM

OA sin A.MO

«1)0• 1 \2 • – eu

ICOS

OM ~sinOÀM~9in g +M_ <«-W

D'oùOS cos ta cos (g + g)

OM cos »cos (m – B)

iMais, en vertu de renoncé du problème, on a déjà

OS=_

cos M /cos « – sip » cos iOM cos o

V cosm -f sin v cos i

é

Nous allous faire voir que pour satisfaire a l'éga-lité

cos {r, + ft) cos w sin » cos g

cos (« fi) y cosc. + sin n cos»'

il suffit de poser

P 2\2 7 2

On a, en effet, dans cette hypothèse

cos (* + p)=cos (f + + f);

ros cos ti -,ilcos(w-{i) = coS^|-|-|).On ramènera l'égalité précédente » une identité

au moyen des transformations trigonométriques sui-vantes

ff < 5 M\/cos sin n cos t

cos(ir

r,s

w\$l»/

/cosM – sin a cos <

4 2 2 2/V COS M + Sin i! C03 I _“

r, a w\^Hl" i~~2~i>>

cos sin17 cos e

cos*(-4--– --t--tcos m – sin n ces « \4 2 2 2/cos » + 8in » cos f /« «

gfp igt fti\M sin n C0S>U-i-2-i)

2

1 + cos f + u – t + wj

1 + COS ( –– « – I – <uJt + sin « ces (» + a>) – sin (y + m) cos «

1 -f- sin » cos (« + w) + sin (n + <") cos

cosft> i -{- sin « cos (y + m)#

sin n cos i sin (r, w) cos t

cos ta sin (vi + <>) = sin t, + sin m sin COS (r, <>).

Orsin t sin v) = sin u,

en vertu de la définition de l'angle auxiliaire t.D'où

sin v) = sin (*i + w) cos « – sin <> cos (vj 4- w),

ce qui est une identité.

Cette construction géométrique,qui fournit les direc-

tions de glissement correspondant aux données n et *>,

jouera un rôle important dans nos recherches ulté-

rieures.Si l'on connait d'une part les ongles', et «», et d'au-

tre part l'une des actions moléculairesg et p (poussée

élémentaire et charge élémentaire), on calculera l'au-

tre par une des formules énoncées précédemment.

On pourra aussi déterminer l'intensité et la direc-

tion de la force intérieure s relative à un plan quel-

conque AB, défini par son angle a avec la verticale

(«g. »).Pour fixer les idées, nous attribuerons le signe + à

l'anglo <* si la ligne de charge s'élève à partir du point

0 dans la direction des x positifs (droite Oz) et le

signe dans l'hypothèse contraire (droite Oz'). L'an-

gle a sera positif si la droite oblique AB est du côté

des x positifs, et négatif dans l'hypothèse contraire

(droite AB).

Les équations d'équilibre élastique du prisme droitayant pour base le triangle A BO, s'écrivent commeil suit, en prenant pour unité la longueur du côté A B,

et désignant par n et t les composantes normale ettangentielle de l'action moléculaire « par u et v sescomposanteshorizontale et verticale

cos (« – «•)u = n cos a h- sin « = q x OA – q –

v = n sin a – l cos a – q tg w x OA h- /> x OB

= Q tC"cos (a &>)

H-sin «= o tà M. ––– -t y) ––° cos la COS w

D'où

Il = cos* (« – '•>)-1_

sin* «#

cos* w cos <u

sin 2 (« '•>) sin 2 «a2 cos1 w

2 cos w

L'angle de la force s avec la normale à son planconjugué a pour expression

tg6==~.

L'angle (x – 6) de cette force avec l'horizontale apour expression

tg<a~ô)=^

Des calculs fort simples, que nous jugeons inutilede reproduire ici, montrent que les actions principalesa et 6, et l'action moléculaire c relative à un plan deglissement, ont pour expressions analytiques

Premier état d'équilibre avec poussée minimum(q < p cos w)

p « + sin i)a

cos « -f- COS'm – COS" n

p(l – sln»i)== COS 6> -j- ^COS* M – COS*»

pcosyC cos <u

-j- y'cOS3 w – COSt u

Deuxième étal d'équilibre avec poussée maximum

(q > p cos w)

p()+si))<!)r,)a –––––––======-=.,COS M – Ve08* w – cos*

6^: p Ii sin ii) ~=-cos ta •– VCOS1 <u – COS1 »

p cos «1c==-––––=–'COS w – v'COS*w – COS' «

On peut obtenir une nouvelle expression de tg 6 en

utilisant une formule énoncés à l'article 2, page 6:

1 (a b)sin a cos plà8a cos' ft + b siu1 (x

Dans le premier état d'équilibre on a

Ir (~ ,,) Ir 8 6J

D'où:j:

tu Q2 sin r, sin cos ft sin m sin (2 a ft + y)

*o == i -f sin « (cos8 h 9inl fô 1 – sin » cos (2 « – + y)

sin sin (2 a + « – <»)

i – sin « cos (2 a < – •»)·

Pour « = p, on trouve bien

tg0=tg?;et pour « = – Y

tgÔ= – Igf.

Dans le second état d'équilibre on a,,–7' a + 6)j,«+=a2

tg q»2sin ncosptsinMJA sin g sin (2«-f fr- Y)g 0 ='

i + sin » (cos' sin! ^) 1 + sin cos (2 « + y")

sin sin (2 « – s – to>4 + sin « cos (2 a – i *>)

Pour a = y', on trouve bien

tge=tg<?;et pour a= – p'

tg & = If? f

Quand l'angle 0 a une valeur positive, ce résultatsignifie que la composante verticale de s' est orientéede haut en bas, comme la pesanteur. La composanteest dirigée de bas en haut quand l'angle 0 est négatif.

a. oaioui graphique. L'emploi des formules énon-cées dans l'article précédent nécessite des opérationsnumériques assez laborieuses, auxquelles on peut sub-

Figure 6.

stiluer, si on le juge préférable, des constructionsgéométriques simples, imaginées par M. Mauriced'Ocugne.

Considérons un demi-cercle ayant l'unitépour rayon.Menons la tangente TC faisant l'angle -n avec le diamè-tre de base AOB de ce demi-cercle. L'angle TOC estégal à ou p + y, et l'angle CÔA est égal à -f- vi

ou p' + y'.Menons la sécante TNM faisant l'angle» avec le dia-

mètre de base AB, et les rayons ON et OM.

On a, dans le triangle TMO

sin OTM OM OCsinOJÎT^ÔT^OT^81"1)-

Or l'angle OTM est », et l'on a d'autre partOMT = z – OTM-CÔT- GÔM.

Admettons que l'angle CÔM soit égal à 2pf la rela-tion précédente devient

sin w– 7; = sin yisin2 = sm 1)

sin (?-« + -âp')«^«sin«;i sin Y

– « -I- y, – "2 p' = e

g-A TV_'+f i \i' t r'/ Yce qui est précisément une formule démontrée dansl'article précédent.

En appliquant la même méthode au triangle NOT.

on constaterait que l'angle CON est égal a 2 p.Menons les bisectrices OE el OF des angles CÔN et

COM. L'épure nous fournira immédiatement les rensei-gnements suivants

BON=y-p; BOE=y; EOC = fî; BOC =+CÔF = p' ;FÔA=y' MÔA = y p'; CÔA = ?' + y'.On a d'autre part, en vertu des propriétés géomé-

triques des sécantes du cercle

TNxTM = TBxTA=(~-iU«tÎ-+O;\siii y J \sin y

2 cos rdTN + TM = (TB + TA) cos « = ^2LM.sinU

D'où

TlX ^ST, (cos w – y/cos'o>

cos' y>)sin 1'/

V

TM= ~r^ (cos w -f- y/ COS* w – COS'yj).sin Il

TN »•Le rapport^ est égal à celui- des deux actions molé-culaires conjuguées relatives à 'la verticale et laligne de charge d'inclinaison w, si l'on se place dansl'hypothèse r < p.

Dans l'hypothèse contraire, le rapport est égal

A P-.« r

En conséquence, l'épure de la figure 6 permet dedéterminer, par une simple proportion géométrique,l'intensité de l'une de ces actions moléculaires, quandl'autre est connue.

Supposons qu'il en soil ainsi, et reproduisons l'épureprécédente, mais en portant sur la droite oblique TNMles longueurs TN et TM représentatives des intensitésdes deux actions moléculaires r et p (ou p et r), etdéterminant le rayon du demi-cercle par la conditionque cette courbe passe par les deux points NetM, et aitson centre sur la droite TA, qui fait l'angle u avec la

direction TM. On se rendra compte facilement que les

longueurs TA et TB représenteront les intensités des

actions moléculaires a et b, et que la longueur TC de

la tangente au cercle, inclinée de t\ sur le diamètre de

base, représentera l'action moléculaire c relative auxdeux directions de glissement.

Proposons-nous maintenant de déterminer l'incli-

naison 9 sur la normale et l'intensité s de l'action

moléculaire relative à une direction faisant avec la

verticale l'angle x.

Figure 7.

Plaçons-nousd'abord dans l'hypothèse où la charge

p étant plus grande que l'action moléculaire conju-

guée de la verticale r, les angles de glissement sont p

et y- On mènera le rayon OP, faisant avec le rayon ON

l'angle 2 a, compta positivement de N vers A. L'angle

cherchéH sera précisément l'angle OTP. Supposons

qu'il en soit ainsi. On a dans le triangle OTP

sin OTP OP– =~ – ™=sin*).sin TPO 0T

Sin ».

Or:TPO = s – OTP – PÔB = r. 0 – (2 «-t- Y– M-

D'où

sin 6 = sin r, sin (7; – 0 – 2 a – y -i- £).

On en conclut immédiatement que

tg H – sin «88"<><t + y-P»ë i- sin<cos(2«+y – Ji)

ce qui est une relation démontréedans l'article précé-dent.

La direction conjuguée de celle que définit l'an-gle a, fait avec la verticale un angle a', que l'on pourradéterminer sur l'épure en traçant la sécante TP'Q',symétrique de TPQ par rapport au diamètre TBA, etjoignant le. centre 0 au point Q'. On a

2x ==]SOQ'.

Suivant que la droite ON est à l'intérieur ou à l'ex-térieur de l'angle POQ', les angles « et a' sont de signescontraires ou de même signe; les deux directions con-juguées définies parces deux anglesdoivent être tracéesde part et d'autre de la verticale, ou d'un même côtéde cette verticale.

Dans le cas où l'on ar>p, les angles « et a' sontfournis par une construction analogue, mais partantdu rayon OM au lieu du rayon ON ^fig. 8)

MÔQ=2a; MÔP'=2*L'angle x doit être compté positivement de M vers A

(sur la figure, il correspond a une direction située àgauche de la verticale, et J'angle a doit être affecté ausigne – ).

Que l'on ait r <p ou r > p, l'action moléculairerelative au plan d'inclinaison x est représentée parladislai'ce TP (ou TQ) du point T à l'extrémité du rayon

qui limite l'angle 2 a. De même l'action moléculairerelative à la direction conjuguéedéfinie par l'angle a',est représentée par la distance TQ' (ou TP') du point Tà l'extrémité du rayon limitant J'angle a'.

Figure 8.

On le démontrera en utilisant la propriété des sécan-tes, comme on l'a déjà fait précédemment.

TQ X TP = TA X TB = ab

TQ-j-TP TA+TB a + b£=f–COSô=-y-COS6

D'où

TQ î±i (C0S + ,«.)•. S2 ta 6 J1

TP-îfV»-/«*•&)='•

L'avantage du calcul graphique sur les formulesalgébriques de l'article précédent, est de permettre,connaissant une seule des quantités x, 0, s ou s', dedéterminer les trois autres, tandis que les formulesne se prêtent commodément qu'a la recherche de 0,

s et s\ pour une valeur donnée de x. Il «st assez

malaisé de les résoudre par rapporta l'angle consi-déré comme inconnue.

Nous aurons occasion plus tard d'utilisercette supé-riorité du calcul graphique.

6. Angle de frottement, de rupture ou du talus natureldes terres. L'expérience montre qu'un corps dépour-

vu de cohésion ne peut demeurer en équilibre si

l'angle n de glissement maximum dépasse une limitesupérieure <?, qui dépend de la nature du corps

Si la répartition ou la grandeur des forces exté-rieures se modifie de telle sorte que l'angle v> atteigneet tende à dépasser en un seul point cette limite spé-cifique <p, il se produit une disjonction des particules

en contact. et le corps se rompt par glissement.L'angle limite est nul pour un liquide parfait,

très petit pour les liquides visqueux et les corps pâteux,

comme la vase molle ou lYrgile fluente.

On qualitie de terres1° Les corps pulvérulents incompressibles, tels que

le sable, le gravier, les éboulis de pierres cassées,formés d'éléments solides sans adhérence mutuelle,qui n'offrent par suite aucune résistance aux efforts detraction et peuvent glisser les uns sur les autres,quand le rapport des composantes tangentielles et nor-malosde leurs réactions mutuellesdépasse le coefficientde frottement tg y de leurs faces de contact;

2° Les corps plus ou inoins plastiqueslorsqu'ils sonthumides, comme la terre arable, la tourbe, l'argilepuroon mélangée de sable ou débris pierreux, la

marne, etc., qui sans être absolument dépourvus decohésion, n'offrent qu'une faible résistance a la trac-tion. Certains d'entre eux, comme l'argile et la marne,

ne peuvent être qualifiés de terres que s'ils renfermentune proportion assez notable d'eau. Parfaitement secs,ils peuvent constituer des massifscompactes et tenaces,auxquels on ne saurait appliquer les règles de calculétablies pour un corps sans cohésion.

Ils peuvent, au contraire, se rapprocher des liquidesvisqueux, et former des masses molles et fluenteslorsqu'ils sont imbibés d'eau leur résistance auxefforts de compression est alors très faible.

La propriété caractéristique de ces terres est de dimi-nuer de volume par contraction lorsqu'on les dessèche,et de se dilater quand on Jes humecte. Le pilonnage etle bourrage produisent égalementchez elles une réduc-tion de volume notable.

Pour les terres que l'on rencontre dans la nature,l'angle limite », auquel on donne le nom d'angle defrottementou d'angle de rupture, peut varier, suivantles cas, entre l.'>° et ;jO°. Cet angle est aussi qualifiéd'angle du talus naturel, parce qu'il correspond àl'inclinaison maximum sur l'horizontale que la sur-face libre, limitant le terrain, ne peut dépasser sansqu'il se produise un éboulement, indice d'une rupturesurvenue par glissement.

Nous en donnerons la démonstration dans le pro-cain chapitre.

Avec une terre de consistance moyenne, l'angle ?oest voisin de 33°, et tg ? = – 2 Le talus naturel est réglé

à raison de trois de base pour deux de hauteur.Avec une terre très cousistanle, l'angle » peut être

pris égal à 4"i°, et tg<? = 1. Le talus naturel est régléà un de base pour un de hauteur.

Avec une terre peu consistante, l'angle <? peut être

pris égal à 2oft, el tg<p = Le talus naturel est réglé à

deux de base pour un de hauteur.Au-dessous de 20°, on a affaire à une terre coulante

(argile ou vase molle, sable fin imbibé d'eau, dit sableboulant), dont les propriétés se rapprochent de cellesdes liquides visqueux.

L'angle du talus naturel ne peut dépasser o0° quepour un massif compacte et cohérent dont les parti-cules sont adhérentes entre elles, et auquel on ne sau-rait étendre les résultats de calcul obtenus pour lescorps dépourvus de cohésion.

Dans certaines terres fortes et compactes, argilesdures et marnes, sèches ou légèrement humides, onpeut pratiquer des excavations ou des tranchées pro-fondes avec parois verticales, sans constater aucunetendance à l'éboulement. Mais la cohésion de ces ter-rains, très grande au momentoù l'on effectue le terras-sement, est variable et susceptible de disparaître, parune exposition à J'air libre suffisamment prolongée.Sous l'influence des intempéries, des alternatives depluie et de sécheresse, de gelée et de chaleur, lesparois se fendillent. se désagrègent et s'effritent. Laterre tombe en poussière et s "amoncelé au fond du trouen un tas sans consistance, dont les talus ne dépassentpas l'angle de 30° ou 40". Si des eaux souterraines,provenant de sources ou d'infiltrations pluviales,viennent à pénétrer dans le massif, il peut se produireune dislocation ot une rupture générale des crevassesapparaissent en arrière des parois, des blocs se déta-chent et tombentdans la tranchée. A. la longue, le trouvertical setransformeen unedépression à talusadoucis,et l'on constate en définitive que l'angle <? est inférieura 4;>.

11 doit donc bien être entendu que pour une matièreterreuse, c'est-à-dire susceptible d'acquérir une cer-taine plasticité quand on la pilonne sous l'eau, ondoit fixer la valeur de l'angle de rupture <p en envisa-geant les circonstances les plus défavorables qui puis-sent paraître réalisables. Les fronts de taille verticauxdes carrières d'argile et de marne compacte finis-sent toujours à la longue par disparaître, quand on acessé l'exploitation. 11 convient donc de les considérercomme des terres, et on se gardera de les assimiler aux

bancs rocheux, dont la résistance à la compression està peu près indépendante de leur état de sécheresse, etdont les escarpements verticauxsont susceptibles de semaintenir indéfiniment.

T. Equitibre limite d'an massif. Lignes de rupture.Pour qu'un massif sans cohésion demeureen équilibre,il faut que l'angle de glissement

v)soit compris entre

– © et -t- <? S'il atteint une de ces valeurs limites, lemassif, en état d'équilibre strict, est sur le point de serompre par glissement, suivant l'une ou l'autre desdeux directions de glissement, que l'on qualifie alorsde directions de rupture.

Il arrive presque toujours, dans les problèmes rela-tifs à la poussée des terres, que l'on suppose cettecondition d'équilibre strict réalisée en tous lespoints du plan de symétrie envisagé. En ce cas, ilexiste dans le plan deux faisceaux de lignes dont cha-cune est tangente en chacun de ses points à une direc-tion de rupture. Ce sont les lignes de rupture du mas-sif. 11 en passe deux par chaque point du plan.

Les surfaces de rupture sont des cylindres ayantpour directrices les lignes de rupture et pour généra-trices des normales au plan de symétrie.

En cas d'équilibre strict, les formules applicables a

la résolution des problèmes sur la poussée des terressont celles énoncées dans l'article précédent,nit il n'y aqu'à substituer l'angle de rupture f h l'angle de glisse-ment maximum -d.

Nous aurons toujours à distinguer deux cas d'équi-libre limite, l'un correspondant à la poussée minimum(g < p cos u), que nous appellerons l'état d'équilibrelimite inférieur; et l'autre correspondant à la pous-sée maximum (q> p cos «), que nous qualifieronsd'état d'équilibre limite supérieur.

s. Poussée. On peut tracer dans le plan de symé-trie un faisceau de lignes dont chacune soit tangenteen chacun de ses points à la direction conjuguée de laverticale. Ce sont les lignes de charge du massif il

en passe une par chaque point du plan. Les surfacesde charge seront des cylindres ayant pour directricesles lignes de charge et pour génératrices des normales

au plan de symétrie.Soient ab et cd deux lignes de charge. Considérons

un prisme droit ayant pour base la surface comprise

entre ces lignes et deux courbesquelconquesmn et pq.

Ce prisme est en équilibre sous l'action de son propre

poids, qui est une force verticale, des actions molécu-

laires, à direction verticale, appliquées sur les lignes

de charge, de m à p, et de n i\ g et enfin des actionsmoléculaires de directions variables relatives aux élé-

ments' successifs des courbes mn et pq. Pour qu'il y ait

équilibre, il faut que la somme des projections hori-

zontales des forces intérieures relatives à la courbe

mn soit égale et directement opposée à celle relative à

la courbe pq.Nous appellerons poussée entre les deux lignes de

charge cette résultante horizontale constante, qui nedépend ni des positions attribuées sur les lignes de

charge aux deux points m et n, ni du tracé de la

courbe qui les réunit.

La résolution d'un problème relatif à l'équilibre

d'un massif de terre peut toujours se ramener à la

recherche des lignes de charge et à la détermination

de la poussée entre deux quelconques de ces lignes. Ce

premier résultat obtenu, il sera facile, à l'aide des

formules précédemment établies, de tracer les lignes

de glissement, et de déterminer, pour un point quel-

conque, l'action moléculaire conjuguée d'un plan

d'orientation choisie arbitrairement.Presque toujours le problème n'est complètement

déterminé que si l'angle de glissement vi figure parmi

les données. C'est pourquoi on est le plus souvent

obligé, si l'on ne veut pas recourir à une hypothèse

préalable et gratuite, dont on ne puisse fournir la jus-

tification, de s'en tenir à l'étude des cas d'équilibre

limite. L'angle -n est alors égal à l'angle de rupture <?,

qui, pour un terrain de constitutiondéfinie, peut tou-

jours être déterminépar expérience.

e. xdgne de poussée. Soit 0 un point situé sur unesurface limitant le massif de terre à sa partie supé-rieure, que nous supposerons libre, c'est-à-dire sous-traite à l'action de toute force extérieure. Soit Os unedroite issue du point 0 et jouissant de la propriété sui-

vante toutes les actions moléculairess appliquées surses éléments successifs sont parallèles et d'intensitésproportionnelles aux distances z de leurs points d'appli-cation à l'origine 0.

On as = constante A.z

La résultante totale S des actions moléculairesparallèles s appliquées entre 0 et M, sur la longueur z',

Ar'1a pour grandeur –et passe aux deux tiers de la lon-

gueur OM à partir du point 0.Si au lieu des forces s nous considérons leurs pro-

jections horizontales, la résultante Q de celles-ci serala projection horizontale de S elle sera égalementproportionnelle à z'1, et passera aux deux tiers de lalongueur OM à partir du point 0.

Posons Q– lv|* Soit A le poids du mètre cube de

terre. La condition pour que la poussée Q soit égale à

Ai- •s écrirai s ecrlraà K'f /r'

S'il existe dans le plan de la figure un faisceau de

droites jouissant de la propriété énoncée pour la droite

0«, et pour chacune desquelles on ait pu déterminer le

point M satisfaisant à la condition j- = jz'\ le lieu

géométriquede ce point sera la ligne de poussée, limi-

tant la région supérieure du massif pour laquelle la

poussée totale Q, égale à | est appliquée sur chaque

droite au tiers inférieur de sa longueur, entre la ligne

de poussée et la surface libre.Toutes les fois que les données d'un problème per-

mettront de constater l'existence de ce faisceau de droi-

tes, dont une, et une seule, passe par chaque point du

plan, et de marquer sur chacune le point M de la ligne

de poussée, le tracé de cette ligne fournira la solution

complète du problème. Connaissant, pour une droite

quelconque du faisceau, la distance OM ou s', on endéduira le coefficient K par la relation

zef

Une ligne de charge quelconque passantau point N

de cette droite pourra être déterminée point par point

par la condition 5^-= constante les distances à la

surface libre de la ligne de poussée et d'une ligne de

charge quelconque, mesurées sur la droite du fais.

cean, sont dans un rapport constant.a

Désignons par s" la distance ON, et par a l'inclinai-son de la droite sur la verticale. La poussée élémen-taire q relative au point N aura pour valeur

q = Kz" cos «.

Du moment que l'on est en mesure de tracer la lignede charge et de calculer la poussée élémentaire pourun point quelconque, on a une solution complète duproblème relatif à l'équilibre intérieur du massif.

1J doit être bien entendu que le tracé de la ligne depoussée, qui limite la partie supérieure du massif

pour laquelle la poussée totale Q est égale à neserait d'aucun intérêt et ne présenterait aucune utilité,si le problème ne comporte pas l'existence du faisceaude droites coupées en parties proportionnellespar leslignes de charge, et satisfaisant par suite à la condi-tion énoncée ci-dessus

= constanteA.

C'est en utilisant cette propriété du faisceau que l'onpeut déduire toutes les lignes de charge de la ligne depoussée.

CHAPITRE DEUXIÈME

ÉQUILIBRE D'UN MASSIF INDÉFINI

LIMITÉ PAR

UNE SURFACE LIBRE PLANE

10. Etats d'équilibre limite. 11. Epure des lignes de poussée.12. Application et discussion des formules d'équilibre limite.13. Etats d'équilibre intermédiaires. 14. Fondations en pleineterre. 15. Compressionpréalabledu sol.

SOMMAIRE:

CHAPITRE DEUXIÈME

ÉQUILIBRE D'UN MASSIF INDÉFINI

LIMITÉ PAU

UNE SURFACE LIBRE PLANE

10. Etats d'équilibre limite. – Considérons un mas-sif indéfini, limité à sa partie supérieure par une sur-face libre, qui est un plan incliné de i sur l'horizon-tale. Ce massif est exclusivement sollicité par la

pesanteur, sans intervention d'aucune autre forceextérieure. Nous rechercherons ses conditionsd'équi-libre élastique dans son plan de symétrie, qui est le

plan vertical passant par la droite de plus grandepente de la surface libre cette droite est inclinée de i

sur l'horizontale.Admettons que l'équilibre strict (vi = ?) se trouve

réalisé en tous les points du plan. Soient Oy et Oï/'deux verticales rencontrant la surface libre en 0 et 0'le massif n'étant limité ni à gauche ni à droite de la

ngure, il y a nécessairement identité, au point de vuede la distribution des actions moléculaires, entre lesdeux droites, puisque l'énoncé du problème ne ren-ferme aucune donnée permettant d'établir entre elles

une différence quelconque.En conséquence, pour les deux points M et M'qui se

correspondent sur ces verticales, c'est-à-dire sont à lamême distance de la surface libre, les actions molécu-laires relatives aux éléments f/</ et ~'seront parallèleset d'égaleintensité.

H en sera nécessairement de même pour les résul-tantes S et S' des actions mo!écu)aires appliquées surles portions de droites OM et OM', ainsi que pour leursprojections horizontales. Nous enconctueronsque!adroite MM' est une ligne décharge.

Soit p la charge élémentaire correspondante, quiest constante de M en M', par la raison énoncée ci-dessus.

Le prisme droit ayant pour base le paraiïétogrammeOMM'O' est en équitibre sous faction i" des deux for-

ces S et S', appliquées sur les faces OM et OM',

qui sont égaies et directement opposées; 2° de sonpoids propre A~< où désigne !a distance verticaleOM de la surface libre :< la droitf de charge, et x !a

distance mutuel des faces verticales OM et OM 3" de!a résultante des charges élémentaires~,qui est

x MM -=ros

D'où

M.r-–- == A.CM S == <l!/ COS ?.cas <

La poussée élémentaire est liée à la charge p parl'une des deux relations précédemment établies, où ilconviendra de substituer la lettre i à la lettre M, puis-

que la ligne de charge est parallèle au plan de la sur-face libre.

(d) ~=~COSt/'(t.!?)==â!/COS'(~);(2) = p cos i F (i. ~) == Ay ces* î F (ï. ~).

Ces expressions de la poussée élémentaire se rap-portent aux cas d'équilibre limite du massif, dont il aété parlé dans le paragraphe précédent celui d'équi-libre limite inférieur, avec poussée minimum (<y</?

cos t); ce!uid'équi!ibre limite supérieur, avec pousséemaximum (~' >/) cos i).

La poussée élémentaireest proportionnelleà la dis-tance verticale y du point M a la surface libre. En con-séquence la poussée totale, résultante des poussées été-

mentaires de 0 à M. a pour expressions

(1) Q== cos' (i. ?)=COS' i (t.

~0

(2) Q' ==fly cos' i F (i. y) == cos' i F (i. ?).~0

La ligne de poussée est une parallèle à la surface

libre dénnie par la condition Q == Sa distance ver-ticale z a la surface libre est fournie par l'une desrelations

<1 < .––~"MStV /'(t.?)"C09~<'– t/'T"– ,–cos V p~– coT. < ?)'

L'angle de rupture ~du terrain est une donnée duproblème. On sait que l'angle M d'une ligne de chargeavec l'horizontale a pour limite supérieure l'angle <p.

Comme dans le cas présent tes lignes de charge sontpara!!è!es à la surface libre, on en conclura que i'in-clinaison de celle-ci sur l'horizontale ne peut dépassery, sans quoi il y aurait rupture d'équilibre d'où !e

nom d'angle du talus naturel des terres attribué à cetangle qui définit l'inclinaison maximum que puisseatteindre la surface libre. Cette remarque permet d'ap-précier, avec assez d'exactitude, la valeur de i'angte m

pour un terrain donné, en observant simplement letalus limite qu'il est susceptible d'atteindre avant des'ébouter.

ii. Epure deaUgneade ponasôe. Dans le problèmeque nous traitons ici, le faisceau de droites, dont il aété question a l'article 8, est composé d'une série deverticales successives; la poussée élémentaire est, enun point quelconque, proportionnelleà sa distance ver-ticale :') la surface libre.

En conséquence la solution cherchée se rëduit à!a détermination de la ligne de poussée, qui est uneparat!è!e la surface libre, située à la distance verti-cale

(!) == –p (,. y)cos <

<(2) == –(<. ~).COS t

Menons par un point 0 un faisceau de droites dontles inclinaisons sur l'horizontale varient de – y à

+ ?, en passant par zéro (ng. i2). Elles correspon-

dront à tous les cas possibles d'orientation de la sur-face libre du terrain dénni par la donnée f.

Portons sur ta verticale, a partir et au-dessous dupoint 0 (ng. 4, page t4):

1" La longueur OS ='~ Nous ferons passer parte point S deux lignes en croix faisant avec l'horizon-tale les angles – et – m

2" Les deux longueurs

OM==~et

(2) 0~==~).

pour chaque valeur attribuée à l'angle i dans le fais-

ceau des droites issues du point 0(i).En chacun de ces points M et N, nous ferons passer

deux lignes en croix d'inclinaison -r- i et – i.L'épure des lignes de poussée ainsi établie nous

fournira les renseignements uti!es en ce qui toucheréqui!ibre limite du terrain, dans tous les cas possi-bles d'orientation de Ja surface libre.

L'épure de Ja figure d2 correspond à la donnée

?=3S".Envisageons par exempte l'état d'équilibre limite

inférieur, avec poussée minimum, pour une valeurparticulière de i. Le massif est sur le point de des-cendre en glissant sur un de ses plans de rupture; le

terrain est donc exposé a s'anaisser par défaut d'ap-pui. Il en est ainsi lorsqu'un mur de soutènement sedéverse, et est sur )e point de provoquer par lit mêmel'éboulement du terre-plein situé en arrière.

H sufhra de relever la longueur 2 sur t'épure. On en

(<) Il est facile de constaterque les deux longueursr et correspondant

à la même inclinaison t. sont ti~es entre e))cs par les relations

2 <+t' = =-cos y

;ticos' t

Ce sont donc te-< racines de t'éqnation du second degré

2 Ir'-–– f+–=~'ces y cos' i

On peut. si on )c juge plus comtn')de, uliliscr pour le calcul les expres-sions .ITIJL;

fOS y y COS' y COS* t

=L < <–i

cos p y cos* y cos' <

Un rc'narquera que les distances MS et NS sont égales.

déduira la poussée élémentaire a la distance verticale

y du plan supérieur par la formule == et la

poussée totale Q, appliquée aux deux tiers de la hau-teur y à partir de la surface libre, par la formule0=.

Les directions de rupture s'obtiendront en joignantle pote 0 aux points de rencontre A et B de la droite depoussée M et des lignes en croix passant par S. commenous l'avons démontré dans l'article 4 (page 15).

Les actions moléculaires principales seront dirigéessuivant les bissectrices des directions de rupture.

Enfin l'intensité et la direction de l'action molécu-laire relative à un plan oblique quelconque défini parson inclinaison <x sur la verticale, se déduiront de lapoussée élémentaire <y et de la charge élémentairep = Ay ços i, par tes formules énoncées dans l'arti-cle 4 (page i8).

La force intérieure totale, relative a un segment dedroite oblique limité a la surface libre, sera, dans le

cas présent, toujours proportionnelle au carré de <et passera aux deux tiers de la longueur du segment,partir du plan supérieur.

L'état d'équilibre timite supérieur, ou avec pousséemaximum, correspond au cas où le massif est sur lepoint de se soulever en glissant sur un de ses plansde rupture. Le terrain est exposé à être rompu parrefoulement. Cette circonstance se présente lorsque lapoussée d'une voûte en maçonnerie, ou d'un arc métal-lique, dépasse la résistance du remblai contre lequelest adossée la cutée ceiïe-ci recule en refoulant et sou-levant le terre-plein en arrière.

L'épure des lignes de poussée fournira pour cet étatd'équilibre limite les mêmes renseignements que pourcelui d'équilibre limite inférieur.

Comme dans l'un et l'autre cas l'orientation deslignes de rupture est indépendante de la position attri-buée au point 0 sur la surface libre, on en conclueraque les deux surfaces de rupture sont des plans. Enconséquence, si un massif indéfini il surface libreplane se crevasse par suite d'insuffisanceou d'excès depoussée, les fractures se manifesteront suivant desplans, dont les orientations sont définies par tes angleset y, ou et y', qu'ils font avec la verticale.

18 Application et discussion des formules d équilibrelimite. – Supposons que ]e plan supérieur du massifait l'inclinaison du talus naturel des terres: t==<?.Les deux états d'équihhre limite se confondront. Onn'aura qu'une seule Hgnc de poussée

Z == = icos y

Les angles de rupture sont en ce cas

n #, nP==~ P;Y==o;~=o; -=~-?.g y = 0 = () ;`-~2" -L. f'Les deux directionsde rupture sont la verticale et la

ligne décharge elle-même.

On a

=== c == ~y cos ? </ == Ay cos'

== ~?/ (t sin x); /) = Ay (1 sin ~).

Supposons que la surface libre soit horizontale

î==0.La ligne de charge étant perpendiculaire « la vcrh-

cale, qui est sa conjuguée, !eurs directions se confon.

dent avec celles des actions principales.

~~< J'~Mt/t6~ t~W~

i sin y==~ A< == =At/. ,j~

COSyy~i i -}- sin

~<ï< <fe<yM:C ~M/P'~Y'i sin

= 6 = A/ <y == -= ~.r~in~

Ay cos< – sin y

Attribuons H i une vnteur différente de zéro et de

Si l'on considère une couche de terrain d'épaisseur

déterminée, !e rapport entre la poussée minimum Q

et la poussée maximum Q, correspondant aux deux

états d'équilibre limite, a pour expression

cos i sin coscos < + sin ;< ces t

p~ == ce rapport se réduit à l'unité il n'y a

qu'un seu! <ftat d'équitibre possible. t.e massif peut

glisser indifféremmenten descendantou en remontant,

suivant que la poussée éprouve une tégère diminution

ou un faible accroissement. Son équilibre est donc

instable.Au fur et « mesure qne l'anglediminue, !e rapport

Q s'abaisse. H existe, entre les deux états d'équilibreQ

limite, des états intermédiaires pour lesquels, n étantcompris entre o et il n'y a plus tendance à rup-ture par glissement. Le terrain est en équilibre stable,et il faut que la poussée éprouve une notable diminu-tion ou une augmentation importante, pour que, l'an-gle 7) atteignant la limite s, il puisse y avoir rupturepar glissement.

EnnnJeminimumdurapport- qui est~–i"L?VQ \< + sin y/

correspond au cas du plan supérieur horizontall'écart entre les deux états d'équilibre limite atteintalors sa plus grande valeur.

Pour 0=0 (liquide parfait), ia surface libre esthorizontale, et il n'y a qu'un seul état d'équilibre pos-sible la poussée Q = -~L correspond à la pression

hydrostatique. Au fur et à mesure que l'angle <p va encroissant, la poussée minimum Q, pour une inclinai-son donnée i, s'abaisse, tandis que la poussée maxi-mum Q' augmente.

La moyenne géométrique~ o Q' de ces deux pousséesextrêmes est toujours égale à la pression hydrostatiqued'un liquide de même densité, multipliée par cos' i.

Théoriquement, la poussée minimum ne devraittomber à zéro que pour <~ = 90" la poussée maximumserait alors infinie.

Mais, en fait, il n'existe pus dans la naturede.corps,a peu prcs dépourvus de cohésion, pour lesquels i'angte

dépasse u0". Au de!n de cette valeur, on a affaire à unsolide compact et cohérent, auquel on ne saurait éten-dre les résultats des caiculs précédents, qui supposentnulle la résistanceà l'extension.

Pour étudier les conditionsd'équi!ibreélastiqued'unsolide cohérent, H faut faire intervenir dans tes calculs

le coefficient d'élasticité, et les limites de résistance à

la traction et à la compression.

13. Etate d'équilibre intermédiaires. Le massifde

terre limité par une surface libre plane est susceptible

d'occuper une inimité d'états d'équilibre stable, inter-médiaires entre ceux d'équilibre limite dont il vient

d'être question, pour lesquels l'angle de glissement iest inférieur à l'angle de rupture ?.

Nous examinerons certains cas particuliers qui noussemblent présenter quelque intérêt.

A. peut se faire que l'angle de glissement n ait

!a même valeur en tous les points du massif.

L'on retrouve en pareil cas un des deux états d'équi-

libre strict, pour un terrain qui, avec même surface

libre, aurait un angle de rupture dont !a valeur seraitcelle attribuée à )'ang]e

Il n'y a donc ici qu'à substituer l'angle 7: à !'ang!e

dans toutes les formulesdes articles ~0 etH, pour obte-

nir celles applicables au cas envisagé.Cet an~îe ne peut d'ailleurs descendre au-dessous

de l'inclinaison i de !a surface libre.

B. – Le massif se divise en trois régions successi-

ves deux régions latérales ou extrêmes SAB etTCD,

qui sont chacune dans. un étatd'équihbrecorrespon.dant à une valeur constantede l'angle de glissement, v;'

ou Y)", comprise entre o et y une région intermédiaire

ABCD, qui établit la transition entre les deux extrêmes.

II existera dans cette région intermédiaire un fais-

ceau de droites, compris entre les limites AB et CD,

correspondant chacune à une valeur constante de

l'angle de glissement, et partagées en parties propor-tionnelles par les lignes de charge.

La ligne de poussée se compose alors de deux droitesparattètes au plan supérieur et par conséquent incli-nées de i sur l'horizontale, pour tes régions extrêmesdans la région intermédiaire, c'est une courbe en s,telle que MN, qui raccorde les droites précitées. Letracé de cette ligne de poussée fournit la solution com.plète du problème de l'équilibre intérieur du massif.

Figure i3.

Pour toute droite d'une région extrême, la résultantedes actions moléculaires relatives à un segment limitéa la surface libre passe aux deux tiers de la longueurde ce segment à partir du plan supérieur. Pour larégion de transition, cette propriétén'appartientqu'auxdroites du faisceau défini plus haut.

H peut se faire que toutes les droites du faisceauaboutissent :< un même point 0 de !a surface Hbre larégion de transition est alors !itnit<~ par l'angle BOC.

L'état d'equitibre que nous venons de définir peut se

réaliser lorsqu'un massif de terre subit à l'une de s~sextrémités un effort de refoulement horizontal, qui le

comprime et augmente sa poussée. La région compri-

mée se raccorde, par une zone de transition telle que

ABCD, avec !a portion du massif dont Féquiiibre n'a

pas encore été troublé.Le cas serait analogue si, au lieu d'un refoulement,

il se manifestait un glissement local de la partie infé-

rieure du terrain, donnant lieu à une diminution de la

poussée dans la région ébran!ée.

C. Nous supposerons que !'ang!e de glissement '/)

soit constant sur toute parallèle ia surface libre, maischange de valeur quand on s'éloigne de cette surface.En ce cas les lignes de charge sont encore des droitesinclinées de i sur l'horizontale,mais'a poussée élémen-taire n'est plus proportionnellea la distance verticale

y du point considéréau plan supérieur.Pour une droite quelconque du pian, la réaction

totale S à partir de la surface libre, et par suite sacomposante horizontale Q, n'est pas proportionnellea

y', et ne passe pas aux deux tiers de !a longueur dusegment d'appiïcation, à partir du plan supérieur.n'y a plus utilité a tracer la ligne de poussée, puisque

on n'en saurait déduire !es autres lignes de charge.Considérons une tranche de terrain d'épaisseur OM,

limitée par la surface libre. Si l'angle 7! avait unevaleur constanteen tous les points de cette tranche, !a

poussée totale passerait aux deux tiers de !a hauteur h

a partir du point 0. Si !'angte/i est variable, ce pointd'application pourra se déptacer dans une zone UV,dont les limites sont faciles il déterminer.

Supposons que la tranche de terrain <~it partagée o)deux couches superposéc's ON et NM, dont la pn'mi<'ru

4

occupe l'état d'équilibre strict supérieur, et la seconde

l'état d'équilibre strict intérieur.

ryuru m.

Désignons par .5 la distance verticale ON.

Ona:deOenN:o<<x:,.fOSt+\COS'!–COS~ A.

==~ A COS'––

== A </

cos i C09* i COS' p

y ·

de~enM:< <COS< – COS' – COS' y

Ç == d COS' < ––––––- =-= By.C09 -)- COS' t – COa* y

La poussée totale est

Q== ~· ~<< <?~.y-+~ B)~·

tVC

La distance x du point 0 au point d'application S

cette poussée sera fournie par l'équationdes moment

Q.~== ~f/.yf~ f 'y<~'00 Je=~+ (A B)-

D'où:2 B/<' + (A – H) f''T BA'+(A-B)r* ·

En égalant à zéro la dérivée de cette expression parrapporta z, on obtient l'équation du 3" degré:

(A 13) x' + 3 B A' 2 B == o.

La racine réelle et positive de cette équation fournitla valeur de qui rend minimum la distance x ou OS.On constate facilement qu'en ce cas x est égal à z.

La distance cherchée OU ou u est donc la racineréelle et positive de l'équation du 3" degré énoncéeci-dessus.

En permutant A et B, on obtiendra de même l'équa-tion qui fournit la plus grande valeur, OV ou v, de ladistance ON

(A- B) s' -3AA't-2A~'==o.A titre d'exemple numérique, supposons la surface

libre horizontale (i = o), et posons = 3.')°. On cons-tate, en résolvant les deux équations du 3" degré quifournissent les distances limites M et v, que le pointd'application de la poussée totale Q, situé aux deuxtiers de la hauteur h pour tout état d'équilibre corres-pondant a une valeur constante de t'angtcT), peut, dansles cas extrêmes mentionnés ci-dessus, se relever à0,399~ ou s'abaisser a 0,870 h. Ou voit quela zone LiV,

égale à 0,47~ h, occupe près de la moitié de la hauteurtotale de la tranche.

Considérons un massif de terre placé dans l'étatd'équilibre inférieur: la poussée élémentaire est, pourchaque point de la verticale OA, représentée par ladistance de cette verticale la droite oblique OB,mesurée sur une parallèle a la surface libre. Supposonsque l'on déblaie le sol de façon à faire disparaître latranche supérieure d'épaisseur 00'. Menons par lepoint 0 la parallèle 0 B a OB, et la droite OC, qui

correspond à Fêtât d'équilibre supérieur, avec pousséemaximum, du terrain ainsi dérasé. L'état d'équilibredu massif, diminué de sa tranche supérieure, seradéfmi par ta ligne brisée 0MB. De 0' à M, la pousséeélémentairecorrespondra .< l'état d'équilibre supérieur.

F)j~ut(;i6.

An delà de M, elle conservera en chaque point la valeurqu'elle avait avant te déblaiement elle sera compriseentre la poussce maximum et !a poussée minimum, et

se rapprochera de celle-ci au fur et à mesure que l'ons'enfoncera sous terre.

On voit donc que !a poussée totale passera aux deuxtiers de la hauteur pour la tranche timide par la paral-K')<' au ptan supérieur menée par M, tranche qui setrouvera dans l'état d'équilibre supérieur.

jUais si !'o!) descend plus bas, le point de passage de!a potf-st'e totate se re!evera au-dessus des deux tiers,

passera par un maximum, puis s'abaissera et revien-

dra finalement aux deux tiers pour une profondeurinfinie.

Cet exemple montre que dans certains cas on pour-rait avoir à résoudre un problème relatif à un étatintermédiaire d'équilibre d'un massif de terre, pourlequel le point de passage de la poussée ne serait passitué aux deux tiers de la hauteur. 11 suffit alors quel'énoncé de la question fournisse les renseignementsnécessaires pour dénnir l'état d'équilibre intermédiaireà reconnaître.

D. II peut arriver que dans un massif de terrel'angle de glissement varie dans toutes les directionsentre ses limitesextrêmes,correspondantaux deux étatsd'équilibre strict, suivant des lois plus ou moins com-pliquées. La résolution d'un problème de ce genreprésenterait de grandes difficultés, alors même queles données seraient suffisantes pour le déterminercomplètement. Nous ne chercherons donc pas à traiterla question à ce point de vue général.

Nous nous bornerons à faire voir, par un exemple,

que des états d'équilibre intermédiaire de ce genre sontsusceptibles de se réaliser dans la nature, et que danscertainscas on peut disposerdes renseignements néces.saires pour en faire l'étude, tout au moins de façon

approximative.Considérons un massif surmonté d'une série de

cavaliers en terre une ligne de charge quelconquedécrit une courbe sinueuse, qui se relève sous chaquesaillie du terrain, pour s'abaisser dans leurs intenal.les. Supposons que l'on déblaie les cavaliers, de façon

a niveler le sol suivant un plan. Les lignes de charge

se rectifieront dans le voisinage immédiat de la surfacelibre. Mais a une certaine profondeur, elles n'éprouvc-

ront aucun changement cette profondeur se calculeraen écrivant que la poussée élémentaireinférieure, sousla charge dps cavaliers, est égale à ia poussée limitesupérieure du massif dérasé, à surface libre plane.

On reconnaît ainsi que, si t'en déblaie ou si l'onniveUe un sol à surface libre irrégutière, on obtientun état d'équi!ibre dans lequel les lignes de chargese rapprochent de la surface dans les régions anté-rieurement surchargées, oit l'on a pratiqué un déblaie-ment, et s'en écartent au contraire dans les régionsqui n'ont pas été remaniées, ou bien ont été rem-blayées.

t4. Fondations en pleine terre. – On peut tirer del'étude qui vient d'être faite, des conclusions intéres-santes au point de vue de la stabilité des construc-tions.

Supposons que l'on ait a fonder un ouvrage enmaçonneriedans un terrain limité par un plan supé-rieur MN faisant l'angle avec FhorixontaJe (ng. 18).<~ue!!c devra être la profondeur OA. ou ?/. à donner à!a fouille do fondation pour que !a terre neccdepassous ta charge, et que la construction soit solidementassise sur sa base ?

Désignons par R le rapport du poids de la partie de

l'édince qui fait saillie au.dessus du sol, à !a projection

horizontale de sa base de fondation par D le poids du

Figure t8.

mètre cube de maçonnerie de fondation, et par A le

poids du mètre cube de terre.

Figurer.

La charge sur la base AC sera p = (R + D.y) coa i

à la même profondeur au-dessous du sol, la charge

sur le plan AA', due au poids propre du terrain, seraAy cos i.

La puussée 'élémentaire critique dans ta couettetrès mince ABCD située sous t'édifiée, sera la pousséeminimum correspondant à ta charge (R + Dy) cos i,parce que cette couche est exposée à se rompre paraffaissement, en se séparant au milieu de.la base ets'échappant par le pourtour (fig. 19). Au contraire, larupture dans la région ABA'B', extérieure ù la précé-dente, s'efïectuer.titpar soulèvement, avec refoulementde la terre dans cette partie de la couche, la pousséeélémentaire critique q' atteindra donc le maximumcorrespondant a la charge A!/ cos i.

On a en définitive

(1) + h) cos i ps' i cose 9'~~(H+D!/)cos~~–q vy cos

cos i + COS* i cos' y~~cos'cos i – COS' t – COS'

y·

Pour que l'édifice soit stable, il faut que la pousséeé)émen!aire <y sous la fondation soit inférieure ou toutau ptuségate:' la poussée élémentaire q' sous le péri.mètre de cette fondation. La profondeur minimum yu attribuer a la fouille, sera donc fournie par la rela-tion = q'.

D'ou l'on tire

_H COS< – COS' t – COS'y]'

(cos < + cos~– cos'}.)' –1) (cos t – cos* t cos'

(~ettc profondeur est proportionnetteà ta chargeR, poids de l'édifice par unité de surface horizontalede la base de fondation. On pourra donc diminuer laprofondeurde la fouille en augmentant convenablement

l'empattement de l'ouvrage, c'est.à-dire sa surfaced'appui sur le terrain.

La profondeur y est d'autant moindre que !e poidsdu mètre cube de fondation D est tui-meme plus petitil y a donc intérêt a faire emploi d'une maçonnerie defaible densité.

Avec un terrain de consistance médiocre, il doit êtrerecommandé de ne pas faire usage, peur les fonda-tions, de matériaux lourds, basalte (3.000 kg.), granitou pierre calcaire dure, etc. il conviendra de recourira l'emploi de matériaux !égers, briques, meulière(i.200 a i.uOO kg.), béton de mâchefer (i.OOOi.200 kg.), etc.

Le cas échéant, il sera convenable d'évider le massifde fondation, en vue de réduire son poids. En dehorsde toute autre considération, il peut être nécessaire, aupoint de vue de la stabilité, qu'un édifice important,fondé dans un terrain de faible consistance, comportedes caves avec radiers maçonnés entre les murs depourtour et les murs de refend, pour réduire la près.sion exercée sur le so!.

Toutes choses égates d'ailleurs, la profondeur estd'autant moindre que le terrain a une plus grande den-site A, que son angle de rupture est plus étevé. etqu'enfin l'inclinaison i du plan supérieur sur l'hori-xonfa!c est plus faible, Pour faire ressortir !'innuenc~rdativc de ces diverses circonstances, nous avonsdressé un tableau numérique, qui donne !es valeurs de

correspondant a une charge H de 1 k. par cenlimè-tre carré de surface borixontate d'appui, en attribuanta A la valeur constante 1.800 k a D tes valeurs suc.clives 2.400 k. et 1.200 k. a !cs valeurs successives

O", io" et 30° à y les valeurs successives < 2~,3~ 4~°.

Profondeor Tnintmmn de la foniMe de fondation

t=00 <=)5<' <=30"?

D=2MOh b=:)200h D=MOOk D=t200)< D=r2MO)< D=<200k

'tS" a'.Si 8*,SO oo <6",3t t25" i"J7 f-M t",90 <°.S6

36' 0",4S 0-.t3 0-,62 0".5S 2-.22 <7545" 0",i7 0"J6 C'2i 0",20 Û".4< 0",4't

Si le terrain a l'inclinaison du talus naturel (t ===?),

nla formule précédente devient ï/==."i'n Pourobte-

nir une fondation stable, il faut de toute nécessité quela densité D des substructions soit inférieureà celle àde la terre on devra approfondir la fouille jusqu'àce que !a charge sur la base de fondation soit égale àcelle qu'y exerçait la terre elle-même avant le déblai

R -+- Dy == A y.

En réalité, un terrain n'est presque jamais d'unehomogénéité parfaite, et sa consistance va le plus sou-vent en s'améliorant avec la profondeur, parce quel'ang!e ? croit à partir de la surface libre.

II en résultequ'à un moment donné cet angle dépassesuffisamment l'inclinaison i de la surface libre pourqu'on puisse y asseoir la fondation, alors même que lepoids spécifique de la maçonnerie serait égal ou supé-rieur a celui de la terre. Mais il peut en être autrement,par exemple si l'on doit construire sur une dune de

sable fin, dont l'homogèneest à peu près absolue il

est alors indispensable d'élargir la base de fondation,

et d'évider la substruction pour réduire au minimum

le poids spécifique D.

On a parfois fondé avec un succès complet des édifi-

ces considérables sur des terrains de nature médiocre,

en substituantà la maçonnerie un remblai de bonne

qualité, comme du sable, du gravier ou de la pierraiUe,

pour le remplissage de la fouille de fondation. Cette

disposition, qui a priori ne paraît justifiable que par

une raison d'économie, peut égalementoffrir des avan-tages sérieux au point de vue de !a stabilité.

Il faut que la matière utilisée pour le remb!ai de la

fouille soit à peu près incompressible,ait un angle de

rupture notablement plus élevé que celui du terrain

naturel etennn soit moins pesante que la maçonnerie

dont on aurait pu constituer le massif de fondation.

Ces trois conditions ne peuvent être remplies que par

un remblai form~ d'éléments solides et dépourvus de

plasticité sable, gravier, pierres cassées, débris de

maçonnerie, argile cuite, mâchefer, etc.

Eu principe, il y a lieu de prohiber l'emploi de

matières terreuses ou argileuses, a moins d'augmenterleur consistancepar des additions convenables chaux

en poudre ou iaitde chaux.Soient A'et <?'!a densité et l'angle de rupture de }a

matière sans cohésion dont on fera emploi. Le remplis-sage de la fouille ne dt.vra être que partie! il convien-dra d'encastrer la maçonnerie dans le sol naturel surune profondeur OA ou z, que nous allons déterminer.Le remblai occupera seulement la région inférieureABCI). Les limites minima des profondeurs et secalculeront sans difncuité par les relations suivantes,justifiées par les raisons déjà énoncées ci-dessus, qu'ilsemble inutile de reproduire

<r* r~ COS < – V COS*< – COS'(R + D.3) cos' –––* i cos~ g'

COS i -f- f. t y~~COS < +- COS* < – COS* y'

A cos COS < + V'COS* < – COS' ?y

== A: cos' t ––cos i – y cos' i – COS' ?Í'

f

ft-t t~ \i cos..COSt– VCOS't–COS'p

'i'fR + !)~ + A' (!/ – ?)] COS' ––––––cos + V c~s* < – cos= y

-= 111~ COS'cos er cos' ¡-cos' yCOS' t cos––. t -t- cos= t – cos~ p

cos i – V cos' i – ces* y

Si est sensiblement plus petit que D. on constateraque li substitution du gravier a la maçonnerie apour conséquence de réduire la dépense non seulementen raison du moindre prix de la matière de remplis-sage, mais encore parsuite d'une diminution apprécia-ble du cube de !a fouille. A égalité de profondeur del'excavation, la seconde solution on'rira plus de garan-tie contre !e risque d'anais!<ement du sol.

l'osons, << titre d'exempte numérique

i o <. == 2<J" =. = 3. R = 30.000 (3 k. par cen-

timètre carre) D 2 600 A ==t .800 == i .600.

On trouve que si ton s'en tient exdusivementa la

maçonneriepour le remplissagede !a fouille, il faudra

creuser à une profondeur de 6 m. t4. Mais on pourra

se contenter d'une excavation de 5 m. S. à condition

de la remp!ir de gravierjusqu'à 2 m. 74 au-dessous du

p!nn supérieur, le surplus du vide étant occupé par

!a maçonnerie. En définitive, un aura pu sans nuire a

la stabiiité, au point de vue de !'équi!ibre du terrain

naturel, réduire de G m c. i4 a m. c. le volume de

la fouille par mètre carré de surfacehorixonta!e, et rem-

placer 3m.c.40 de maçonnerie par 2m.c.7i de gra-

vier.On peut objecter notre méthode de calcul que nous

avons supposé !a hase de fondation arasée parallèle.

ment a la surface libre du terrain, et par conséquent

inclinée de sur l'horizon, alors qu'il est de règle chez

les constructeurs de niveler horizontalement !e plafond

de la fouille.Cette pratique est évidemment justifiée et donne,

pour une même profondeur de fouille, un surcroît de

sécurité (Voir art. 43 Butée des ~~). P~ ~n"'

compte de cette circonstance, il faudrait recouru- à

des calculs fort compHqués. qui ne procureraient pas

de bénéfice appréciable au point de vue pratique, En

pareille circonstance, il faut tabler sur l'incert.tudeou

ron se trouve toujours pour la fixation des données

numériques du problème, sur l'hétérogénéité et sur

l'irrégularitédu terrain a traverser, etc. De sorte qu'en

dénnitivc il est prudent de majorer, en exécui.on, de

2.) a SO 0/0 la profondeur calculée, pour se réserverune marge de sécurité convenable et parer à toutesles éventualités. Nous croyons dans ces conditionsque notre méthode de calcul, toute sommaire et sim-plifiée qu'elle puisse paraître, est suffisante. Etabliesur des bases rationnelles, elle vaut à coup sûr mieuxque la routine empirique et incertaine, qui jusqu'à pré-sent à été la seule règle de conduite des constructeurs.

En terminant, nous croyons devoir insister sur cepoint que l'emploi du gravier pour le remplissage dela fouille de fondation est une mesure économique etoffrant des garanties de stabilité équivalûtes, sinonsupérieures, à celles que l'on doit attendre de la maçon-nerie. Mais il doit être bien entendu que le remplis-sage ainsi effectué ne doit être que partie! il fautencastrer ]a maçonnerie dans le terrain naturel, surune profondeur x que !'on calculera par la formuleénoncée ci-dessus, et que l'on majorera de ~j à 30 0/0.Ce n'est qu'au-dessous du niveau ainsi arrêté que !egravier devra être affecté au remplissage de l'excava-tion. A défaut de cette précaution, on s'exposerait àconstater la rupture par abaissement et projectionlatérale de ce massif de gravier Jui-méme, dans le voi-sinage de la surface libre du sol.

Au lieu d'avoir une seule fouille de fondation, onétablit parfois les ouvrages sur des massifs cylindriquesisolés, remplissant des puits forés dans !e terrain.Dans ce cas encore, on peut substituer la maçonneriedu sable ou du gravier pour le remplissagedes puits,jusqu'à la profondeur 3 au-dessous de la surfacelibre.

16. Compressionpréable du sol. Si l'on pratique

une excavation dans le sol, les lignes de charge, quiétaient antérieurement rectiligneset parallèlesau plan

!'np'rie'u', s'innéchit-scnt et viennent passer au-dessousdu plafond de la fouille (ng. ~!).

Quant on remplit ensuite !e trou avec de la maçon-nerie, sur laquelle on eieve !a construction, les lignesde chargf se redressent au-dessus de leur direction

rectUigne primitive (ng. Ce passage de ]'un à l'au-tre état d'équilibre correspond :') une augmentationnotable des actions moléculaires charge <'t pousséeélémentaire. Le terrain ainsi comprime éprouve unecontraction, qui se traduit nécessairement par uneaugmentation correspondantedu volume de la <buH!e.Or comme les dimensions transversales du massif demaçonnerie sont invariables, les parois tatcratcs dutrou ne subissent aucun recuL Par suite, l'accroisse-ment de volume se manifeste par un abaissement duplafond. On constate donc toujours un tassement de iafondation, qui va en progressant avec la charge, aufur et ;') mesure qu'on e)eve l'édifice. Ce tassement esttoujours très faibie, el presque insignifiant, quant ona affaire a un terrain forme exc!usivemeni démentssolides dépourvus de p!asticite, dont le changement devolume n'est dn qu'a une contraction Mastique gra-vier,sab!e,pierrai!!es. etc. H n'en est pasde même si lesol renferme desr~ments terreuxou argileux, qui sousl'influence d'une poussée croissante sont susccp!ib!esd'éprouver une contraction plastique notable terrefranche, tourbe, argi)e, terrains argiIo-saMeux, gra-viers et caiUoux terreux, etc. Ces terrains ont pourpropriété caractéristique de diminuer sensiblement devotume lorsque, après les avoir emiettes de façon a!eur en!e\'cr toute cohésion et les avoir h~gerementhumectes, on leur fait subir un pilonnage cnergiquc.

Si le tassement verHca!, m<'mc consid''rah!e,rstuni-forme sur toute étendue de la fondation, il ne peuten r' suUer de cons.'quences fac!)euses pour ia stabilité.Mais il arrive qu'en raison <)<' !'irr''guh<ritr et de !)'f''ro~<-n. i)'' (h! su), un par suite d in'aHt's cnh'e !escharges apphqu'es sur Iesdif)t'r''n<esx<.nesd'')afon-

dation, !e tassement présente de brusques variations,susceptibles de produire dans l'édifice des fractures etdes lézardes, ou même des déversementsde nature àcompromettre son équilibre, sa solidité et sa durée.

Pour éviter ce mécompte, on peut songer a fairesubir au terrain une compression préalable, de façonqu'il se trouve, avant même que l'on ait entrepris lesmaçonneries en élévation, à peu près dans l'état d'équi-libre intérieur qu'il lui faudra atteindre lorsque sacharge sera complète.

Cette compression préalable peut s'efïectuer toutsimplementen élevant sur le sol un remb!ai de terre depoids équivalentà celui de l'ouvrage à construire plustard. On attend que le tassement soit complètementachevé pour déblayer le cavalier de terre (fig. !7), etattaquer les maçonneries. Ce procédé a été souvent misen pratique dans la traversée des vallées à fond maré-cageux par des lignes de chemin de fer.

Pour tout ouvrage <') construire en dehors du thal-weg, on commençait par comprimer le sol en condui-sant le remblai au delà de son emplacement, puisdéblayant au droit de la fondation à exécuter.

Dansceriains cas, on a réalisé la compression préa-lable du terrain en y enfonçant des pieux en quinconce,dont chacun exerçait une pression énergique sur sonpourtour, et refoulait la terre dont il venait prendre laplace.

Un peut ensuite retirer du sol chaque pieu, et rem-plir le vide cylindrique laissé par lui avec du béton,ou plus économiquementavec du gravier ou du sable.

Ce procédé de compression préalable a récemntentété l'objet d'un perfectionnement notable. Le troucylindrique, de 0 m. !<U <) t m. iO. est directement pra.

tiqué dans le sol au moyen d'un mouton conique à

pointe aiguë, qu'on soulèveà l'aided'une sonnette pour]e laisser retomber d'une grande hauteur. Quand on

est arrivé a la profondeur jugt'-e convenable, on bourrele puits avec des matériaux incompressibtes, scories

ou dfhris sohde~ tn~nn~'s d'un pou de mortier ou de

lait <!e chaux, b<to!) de chnux hYdrnu))')ue ou de

citm'ut;ot) it)<)'udmtf<<ut.<)<'r~ux)m!'tM'H)<'s<}uanti-

tés, que l'on pilonne énergiquement avec un secondmouton profilé comme un obus.

L'inventeur du procède, M. D~ac, fait usage demoutons et pilons pesant Ï.OOO k.,que l'on soulève au-dessus du sol jusqu'à une hauteur maximum de10 mètres. Ce procédé présente l'avantage essentiel deproduire une compression du terrain qui va en crois-sant depuis l'orifice jusqu'au fond le résultat est misen évidence par h forme trcnconique qu'affecte leremplissage en matériaux incompressibles(ng. 24).

Considérons un massif de terre limité par deuxplans verticaux AB et CD. Supposons-le à l'ctat d'équi-libre inférieur, et admettons qu'on le comprime enexerçant une pression sur le plan AB. Pour obliger le

massif a passer de l'état d'équili-bre inférieur à des états d'équi-libre intermédiaires, avec angle de

pglissement v) constant, jusqu'à l'é-

Ftgure

25

1) tat d'équilibre supérieur, t il faudraFIgure ~:¡. faire pivoter le plan AB autour de

sa trace A sur la surface libre, de manière a fairesubir aux tranches horizontales successives des con-tractions proportionnelles a leurs distances verticalesà la surface libre. On retranchera de la sorte le triangleABU-du rectangle ABCD.

Désignons par a la longueur AC. La contraction 8nsubie par cette dimension, quand un passe de l'étatd'équilibre inférieur :t l'état d'équilibre supt't i~r sera,en désignant par E le coefucicm de /~<fs/!c~c de laterre

< fOS't ft)S' y CO't i

MS' y

On voit l'intérêt pratique qu'offre un système de

compression mécanique du sol permettant de réaliser

cette contraction proportionnelle dans toutes les cou-ches traversées par le massif de fondation.

Le système Z~ac est inapplicable aux terrainsincompressibles, sable, gravier, pierraille, pour les-

quels la compression préalable serait d'ailleurs sansutilité appréciable. ne réussit guère dans les sols

trop cohérents et élastiques,comme l'argile franche ou

glaise ferme, qui résistent au mouton et le serrent de

façon à rendre son relèvement difficile.

est évident d'autre part que l'on ne peut recourir

à ce procédé dans les terrains trop mous, parce que les

parois verticales du trou ne peuvent, après le soulève-

ment du mouton, se maintenir intactes il se produit

un éboulement, et l'excavation se referme.Mais cette pratique semble à recommanderpour tous

les autres terrains compressibles et de consistance

moyenne.Les effets de la compression préalable du sol sem-

blent devoir durer indéhniment, puisque le terrain se

trouve dans un état d'équilibre stable, après qu'on a

exécuté l'ouvrage porté par le sol de fondation. 11 faut

cependant remarquerque, si la consistance du terrain

venait se modiner par réduction de l'angle de rup-

ture. il arriverait que les pressions existant dans la

masse se trouveraient un momentdonné plus gran-des que celles compatibles avec l'état d'équilibre supé-

rieur. 11 s'eu'cctuerait alors une décompression parglissement des particules, et la stabilitéde l'ouvrage en

sounrirait. T~l peut être le <-as d'un sol terreux ou

argileux baignant dans une nappe d'e.tu ou soumis à

une submersion prolon~. c, susceptible de l'amollir et

de le réduire .') l'état de masse piteuse. H ne paraitdonc pas prudent de compter sur Fefncacité du pro-cédé, au point de vue de la durée, pour des emplace-ments sujets aux inondations, alors même que ietravail de compression du sol aurait pu être fait enbonne saison, et à l'abri des eaux. faudrait s'atten-dre à ce que le sol complètementimbibérevînt plus oumoins lentement à son état primitif d'équilibre. Telserait le cas d'ouvrages fondés a sec dans le lit majeurde rivières sujettes ;i des crues prolongées, ou dans unétang ou réservoir au-dessous du plan d'eau de laretenue maximum, si le sous-sol est argiteux ou ter-reux.

CHAPITRE TROtStÈME

ÉQUILIBRE D'UN MASSIF INDÉFINI

LIMITÉ PAR DEUX PLANS

~6. Equation de lu ligne de pousséecorrespondant à l'état déquili-bre inférieur. ~7. Propriétés géométriques de la ligne <~epotM-N~. ~'p«re des courbes de pOMM~. F~~ d'équilibre~M~neMr. 20. Lignes de rupture. ~t/<MM/'limité par deuxsurfaces libres p/aKpa. – 22. AaM! ~Mt~ par une surface libre~aMc~pa?'MKp/<:KMpar!aMc. 23. Influence sur l'équilibreintérieur du massi f de l'angle de frottement de la terre SM~ le plandu MMr. – 24. J/<M~</ compris entre dptM: plana invariables.M. 3/aM<com/~ entre une surface libre plane et deux plansinvariablesdivergents, 36..t/aM)/' compris entre MMe surfacelibre Acr/fM~a/c et deux plans verticaux. ~7. Plans de glisse-ment ofc~rM~ dans un massif par des bancs minces d'argileplastique. 28. Hypothèse ffM prisme de plus grande pot~~9. Recherches expérimentalessur la poussée des terres.

SOMMAIRE

CHAPITRE TROISIÈME

EQUILIBRE D'UN MASSIF INDÉFINI

LIMITÉ PAR DEUX PLANS

16. Equation de la ligne de poussée correspondant &

l'état d'équiUbreinférieur. Le massif est comprisentre les deux plans OA et OB, qui se coupent suivantune horizontale0 perpendiculaireau plan de la figure.

Nous définirons les orientations des plans par lesangles <ï et qu'ils font avec la verticale, chacun deces angles étant compta positivement a droite de !averticale OS, et négativement dans le sens oppose.

Nous envisagerons tout d'abord le cas de l'équilibrelimite inférieur, avec poussée minhnutn, denni par la

relation suivante entre la poussée élémentaire et lacharge élémentaire p

g = p coscosM–~ ces' <.) – cas* « p cos w J (w).== P COS M –––––––~––– == JO COS M (M~.cosces w + y ces' M – ces* y

cos

Les lignes de charge sont des courbes homothétiquespar rapport au point 0. Les actions moléculairescon-juguées des éléments successifs d'une droite issue dupoint 0 sont paraUètes, et leurs intensités sont propor-tionnelles aux distances de leurs points d'applicationau centre d'homothétie. La résultante des forces inté-rieures relatives à un segment de rayon polaire OM,est proportionnelle au carré de ce segment et passeaux deux tiers de sa longueur à partir de 0.

Soit MN un élément de la ligne de poussée, qui est laligne de charge limitant la tranche supérieure du mas-sif pour laquelle la poussée totale Q est éga!e

Considérons Fument M'N' correspondant, c'est-à-dire compris entre les mêmes rayons po!aires, d'une!i~t)e de charge infiniment voisine de la ligne de pous-sa, et, pour f!xcr les id~es, situce au'dessus.

Nous prendrons pour coordonnces du point M le

rayon polaire OM ou p, l'ange SOM ou -x du rayon OM

avec la verticale OS, et l'inclinaison M sur l'horizontalede la tangente en M à la ligne de poussée. L'angle <x

sera affecté du signe + ou du signe suivant que le

rayon OM sera à droite ou à gauche de la verticale OS

l'angle w sera positif si la ligne de poussée s'élève àdroite du point M, d'après une convention déjà posée.

L'angleM est nécessairement compris entre les limi-

tes extrêmes -+- <~ et <?. L'angle x ne peut être supé-

rieur à – + M, ni inférieur à – + M, car l'angle

M'MN, égal a + <x– M, ne peut être ni plus petit quezéro, ni plus grand que

Les coordonnées du point M seront

p -t- p, <X -t- K, et M -+- M.

On a, entre les trois variables p, x et !a relationconnue c/ p == p tg (x – ~) d x.

Nous désigneronspar la distance infiniment petiteMM' des deux lignes de charge, mesurée sur le rayonpolaire. La distance NN' sera -<- <

En raison de l'homothétiedes deux lignes, on a

~+<~ dp––.–==–,ouc~==~–-·p +«p p p

La longueur MN a pour expression –. et la

(e – )) <~Klongueur M N, –––-COS (c( – M)

La surface du quadrilatère MK~M'est f/x. Si l'ondésigne par le poids du tnëtre cube de terre, leprisme, de hauteur épate a l'unité, ayant pour base lequadrilatère M~N M' a un poids égat à A~p </x.

Représentons par M et v les intensités des compo-santes horizontale et verticale de l'action moléculaireapplquée sur t'élément MM'. Pour ré!ément NN', cescomposantes seront: ?/+</M et t;+~ Enfin lacharge étémentaire sur l'élément MN de la ligne depoussée sera désignée par p. Pour !'é!ément corres-pondant M K de la ligne de charge, cette action molé-culaire verticale sera p (~. Le prisme MNN'M'étant

eu équilibre, la somme des composantes horizontalesdes actions moléculaires appliquées sur ses quatre facesest nulle, et la somme de leurs composantes verticalesest égale et de signe contraire à son poids A~p dot, cequi nous donne les deux conditions

(t) ,=(~+ ,) (~ + c~);

~~+C~~=~+~~C+~~COS (u

b»

~j~-f-- d x.+

COS (M – M)+ x.

<-tLa prennere cquation se réduit :< f/M == – ––P

soit M p == constante.Comme la résultante totale Q des actions mo!écu-

!.ures horizonta!cs appliquées de 0 en M, est égate

par dénnition A -r*, on en conclura que

-p(3) y < =

P .fi

Pour donner à la seconde équation d'équilibre, entreles forces verticales, sa forme dénnitive, il faut sereporter n l'article 4, page !8, où nous avons établitc<) formules qui lient les actions moléculaires M et u a

la charge étémentaire et a la poussée

On a:

Q p Cosces M – y cos') – cos*~ = Cos== C08 M –––––– == ~0 COS M /(M)COS M ycos'f – COS'

2l = cos (a &))

tCOS M

Ucos(«–M) asinf«~==ÇtgM––-–––'+'-–––

eosM CMM

Ces trois relations, combinées avec t'équation (3),nous fournissent les valeurs de ~? et v en fonctiondes variables p, <x et

CO!)M A COS'Q, u cob w s cos

COS(tt–u)pp COS(<t–&<)'

(~.(j–– ? COS<+V'COS'M- COS~~ j~ F/ F (w)

~~cos~-ycos~-cos'.·

cos(~-<.)'·

En vertu de l'homothétie des lignes de charges,on a

~–~=~~D'où

(5) <~=~wEnfin

(6) ==– tg M -t- –––-––- ––

p p cos(«–M) ces M

(7) Cf~== – C~p +- </<x -)- – <~Mefp cet aM

Aw -r.

sin « F (M)== --r(~M-t-–;–––. –––L\~ppp'\ COS<tt–M) C08M/

FM tp COS'(«–M)

A <! sin « F (M)-}" – – ( –––– –– -)- ttf M dw.

p <~M \COS (« – M) C09 M

L'équation d'équitibre(2) devient, après disparitiondes infiniment petits du premier ordre, qui se détrui-sent deux à deux, et suppressiondes infiniment petitsdu troisième ordre, néglige&bles devant ceux dusecond

(8) o ==~u + cos(«– ,) COS<e'–<H)-~L + ~p~cos (a .) Costa-w)=~––+~~

p C08 (c M)

Aw + sin « F (M)\, A

·F (M)

== – – ( t{? M +––––– ~– )MP + – ––-–––Cfxp* COS (et – M) COS M/ p COS' (« – M)~2~– ~)+tg~+~tg<

p ~M\COS)«–M) C09Mw '7 P* t>

~± sin a 'L~p- ~+Ap~p* COS (f M) COS u p COS' (a–M)d !tg~fM-~+p'

</M \C09 (a – M) COS H COS' (<! – &))

L'équation de ta ligne de poussée est en dénnitive

(9) (-L~=~j'L.. !L~+tg~.( ) (COS'(u-w) ) dw CC09(a-w)·

C09wg (a dt).\COS'(f-M) </&<\COS(«–M) C09Mw

On a d'ailleurs entre les trois variables p, K et larelation d<~à énoncée dp == ptg (K.M)(<x,qui peut éga-lement s'écrire p=Ae/

A étant une constante d'intégration à déduire desdonnées du problème.

L'équation (9), qui peut être également mise sous laforme

(io r(-~L p~ == ~+ <J\COS't<–M C09(a–M)1 C09M

ne paraît pas intégraMe.

On ne peut donc s'en servir pour le tracé de la lignede poussée qu'en ayant recours à un calcul aux di<Té-

rences finies on attribuera à la variable M une séried'accroisseiMents égaux (par exempte ~M = ~). et on

calculera pour chacun les valeurso~ correspondantes de ~x et 8p. On

déterminera de la sorte une sériede points très rapproches de iacourbe, avec une précision suM-sante pour les besoins de la pra-tique.

Figure 28.tique.

Ce! opérations numénques,longues et laborieuses, peuvent être facilitées par unchangement de variable.

Soit s !a distance du pote 0 à la tangente à ~a !igna

de poussée. On a

2 == p cos (~ M).

En substituant cette expression de p dans les équa-tions précédentes, on obtient sans difncu!té!es rotationssuivantes

(n)(F(<.)-~)-–~–=~+tg<~(;< – M) C05 M °

OU

F (w) dd(F (~) – ~') == – sin M sin (x-~)

/F' (")\ COS*(« – M)+ stn<x cos (x M) -r ( –-) cfM + ––;––ofM

<fM cos M/ COS' M

et

6~X = tg ('X M) C~M.

En étiminant l'angle ac entre ces deux rotations, on

obtient une équation din'erentieiïe du second ordreentre les seules variables x et M

( i 2~ (.FM – ~) < == – (t~ – :')

.~C'~-+- ––– f/MOf:

</&)

~/tg.«+F~<J',+ z

</Me&)

Ennn, on pourrait prendre pour variable, au lieu de

la distance z du pô!e a la tangente, le carré de cettedistance, que nous désignerons par la lettre w. Leséquationsdeviendraient alors

F&'(/M~13) L' ) (li (y Fc,.d,,)i~t~) ~M – «!) f/x == – sm x sm (x – M)~

-t- sin x ces (<x – M) – (– + tg M) <)f/M COS M

f/~ == ~W tg (X M) f/M.

Si on élimine la variabte ot entre ces deux relations,

on obtient l'équation dincrentieHe du second ordre

~) (p~ – “,) f/'M; == – 2 (Fto W) M' – R~M t (tK M (< -t* F~) t</Mf/M' -<- 2~ .––' dw~M

t.>( W + _WCM

t.>

!/avantagepratiquequ'oHre!asubstitutiona la varia-ble p de l'une des variables ou w,est que ces dernièresont toujours des valeurs peu é!evces, tandis que p tend

dans certains cas vers l'infini.

1*7. Propriétésgéométriquesdelà Marne depouseée. –Nous discuterons l'équation de cette ligne mise sous la

forme(H)~)–~–==~ ~+tg~.~I~FM ~) ~\C08<tt-M) COSM °

En vertu de équation (7) de l'article précédent, lesecond membre de cette formule est l'expression de–e~M, muliiphée par~.M

4Soit 0 l'angle que fait la normale à retément plan

MM', inclina sur la verticale de l'angle x, avec l'actionmoléculaires conjuguée de cet élément.

Les composantes horizontale et verticale de la forceintérieures sont u et v.

D'où

t< == S cos (~ + <x);

f=s sin (9 +x).On sait que

A.=-d'où:

u=-i (tg(0+~),et

––f/M=–(––––- -+ t~ M)0~S (fCl) dwcoy u w w -f.- tg CI) (,)

</f a'M\coft<– M cost*

_d=~<t-K)~?

Pour que le second membre de t'équation (~) s'an.nule, il faut donc que i'expression tg(~ +x) passe parun maximum ou un minimum, !'ang!e x étant con-stant et J ang!e

M scu! variable. Or, on sait que lesva!eurs extrêmes de & sont ±: ?. et qu'elles sont atteintesquand le rayon polaire CM suit une direction de rupturerelative a l'inclinaison

M de la !igne de charge.En conséquence, le second membre de l'équation

change de signe en passant par xéro, !orsque l'angle xest un des angles de rupture ou y, correspondant ill'inclinaison w de la ligne de poussée.

Le premier membre de l'équation s'annule pourF (M)–~== o. Or la relation s == ~F(M) est précisémentFéquation de la droite de poussée relative au massifindéfini limité par une surface libre plane inclinée de

sur Fborizontaie. Cette droite fait partie du faisceaudes courbes de poussée que nous étudions, puisqu'elleest définie par !a double condition FM–z'==oet</M = c, qui constitue une solution particulière del'équationdin'ércntieHe

,F,<~ sin''n. FM~c~~)== ~) co~tV C09~ia-m1 dfU

C09 (r.c w) cos!.J" ~J uW.

!'our qu'une courbe du faisceau se raccorde avec unede ces droites, il faut que t'en ait à la ibis

F~==o;et

sin«ot F&,"( sin a F tâ w~ = D.\COS (M M)COSM

== 0.

Le point de raccordement est par conséquent situésur un des rayons OA ou OB, faisant avec la verticaleles angles de rupture p ou y relatifs a t'indinaison(fig. 4).

Cette discussion nous conduit aux conclusions sui-

vantes, en ce qui touche tes propriétés géométriquesdes ligues de poussée.

Une ligne de poussée s'arrête dès que l'inclinaison

M de sa tangente atteint l'une des Umites -<- ou ?,qu'elle ne peut dépasser.

Elle présente un point de rebroussementchaque fois

que l'angle x a une des valeurs critiques 9 ou y, corres-pondant aux directionsde rupture pour l'inclinaison M

de sa tangente, parce qu'alors (/~ change de signe enpassant par zéro.

Si les deux conditions

<x == (OU K = y),

etFM – ?' == o

sont remplies en même temps, la courbe de poussée se

raccorde avec la droite de poussée Fw == o.Enfin, nous remarquerons que si l'angle <x tend vers

ia Hmite ~-<-M, alors que J'angle w va en diminuant,

la distance tend vers zéro. On a en effet

c~x == s tg (x <-)) dM.

Comme dw est négatif, z décroit au fur et a mesure

que K augmente. A la limite, pour

<x== -L+M .r </<u,

y

on trouve== – x,

1

et !a distance s'annute.En conséquence, dans le cas envisagé, la courbe des

poussées est asymptotique au rayon d'inclinaison M,

issu du pô!e0.

iS Epure des courbes de poussée. – Reportonsnous :) impure des droites de poussée re!atives a unmassif indéfini limité par une surface libre p!ane, enne conservantque la portion de cette épure qui se rap-porte .') l'état d'équilibre intérieur (fig. 12).

Soit AB !a droite de poussée dont l'inclinaison suri'horixontah' est i. Les directions de rupture s'obtien-dronten joignant le pô!e0 aux points d'intersection A

et B de cette droite avec les lignes en croix V'SV etW SW, d'inclinaisons – et -t- y.

H existe un faisceau de courbes de poussée partantdu point A, où elles se raccordent avec !a droite AB(FM :=o; x=- i~).

Ce faisceau se subdivise en plusieurs groupes commeil suit:

t~'o<~e !,a courbe traverse l'angle VSW etvient se raccordersur la droite SW,en un point C situéau-dessous de H, avec une droite de poussée dont l'in-clinaison t est plus grande que i.

La dernière courbe de ce groupe est asytnptotiqueàla droite SW, d'inclinaison+

(t'rot~c La courbe traverse i'angte VSX ets'arrête en un point a situé dans t'an~e XSV (M = :,)).

La dernière courbe de ce groupe a son point d'arrêtsur ta verticale SX.

<p La courbe présente dans !'ang!c VSX

un point de rebroussement r (x; == ~), suivi d'unpoint d'arrêt o = ~).

(~'oM~c 4. – La courbe part de A en s'éloignant delu verticale OS, présente un premier point de rebrous'

sèment dans !'an~!e A AV, traverse t'an~e ASH, aun second point de rebroussetncnt en dehors deFan~e, et se raccorde ii une droite de poussée d'incli-naison i' inférieure .<

La dernière courbe de ce groupe est asymptotiquea!a droite VV, d'inclinaison ?.

Groupe5. La courbe a un seul point de rebrous-sement ?' dans l'ange A'AV, suivie d'un point d'arrêtdans l'angle OSV.

Groupe ~.– La courbe, qui n'a ni point d'arrêt nipoint de rebroussement, est asymptotique a l'un desrayons polaires issus du point 0. dont l'inclinaison estcompriseentre ? et i.

La première courbe de ce groupe est asymptottque

au rayon OT, parallèle a V'V.

La dernière courbeest !a droite AA' elle-même.

On se rend compte qu'un faisceau analogue de cour-bes de poussée part du point B sur la droite de poussée

d'inclinaison i, en se raccordant avec cette droite.

Toutes les remarques précédentes s'appliquent sanschangement à ce faisceau, qui a une disposition gêné.ratesyméirique du précédent par rapporta la verticale.

F'f;aro3i.

La figure 3t se rapporte au cas particulier où la

droite de poussée que l'on considère se confond avecla ligne SV =– Le point B se trouve reporte

en S, et le point A est rejeté à l'infini.En outre de ces courbes, qui se raccordent avec les

droites de poussée, il en existe d'antres qui sont ter-minces .'< leurs deux extrémités par des points d'arrêt(M =-:+~et u == –?). avec ou sans points de rebrous-sement. Et!cs correspondentaux valeurs très petites ou

très grandes de la variable s. EHes n'oint que peu

d'intérêt, et nous nous bornerons à signaler !eur

existence.Les deux branches d'une même courbe aboutissant

à un point de rebroussement ne peuvent coexistcrdans

un massif un même rayon polaire les rencontrerait

toutes deux, et par conspuent deux !igms de charge,

de directions dinéren!es, passeraient en un point du

plan, ce qui est impossible.D'autre part. il faut que le massif considéré se

réduise à la région occupée par la courbe que t'en

envisage, de façon que tous les rayons polaires menés

à son intérieur rencontrent la ligne de poussée.

En conséquence, pour une ligne déterminée, les deux

plans limitant le massif correspondantseront à t'mté.

rieur d.~s ptans parallèles à ses tangentes extrêmes (ou

aux droites de poussée qui font partie de la ligne), si

cette courbe s'étend à l'infini ou des plans menés soit

par ses points d'arrêt, soit par ses points de rebrous-

sements, auxque!s il convient de s'arrêter.

Comme l'inclinaison des tangentesextrêmes ne peut

dépasser les limites -t-? et -?, on en concluera que

dans le présent probtême. les inclinaisons il et a' des

deux plans !imi' nt le massif(ng.26)ontpourmaxima

If Ifabsolus o et + ?.

Si, au lieu d'envisager la solution purement analy-

tique. on s'en tient à la solution pratique, en ne con-

servant d'une courbe a points de rebroussement que

l'aire comprise entre ces points, ou entre un de ces

points et un point d'arrêt, on constate que l'angle mu-

tuel des deux plans limitant le massif(a «') ne peut

excéder deux droits. Dans ce cas limite, les deux plans

se réduisent à un seul, et l'on retombe sur le problème

traité dans le paragraphe précèdent la courbede pous-sée est la droite = ~F(~).

19. Etat d'équitibre supérieur. – Les recherchesfaites pour l'état d'équilibre inférieur s'appliquent a

Fêtât d'équilibre supérieur, sans autre changementquela substitution dans les équations de l'article 46 de la

fonction /ou~>W

cos w\'COS*

M – COS'~

à la fonction inverse

COS M -4- VCOS*M – <'09*f·l'M, OU –––––w

ces M – ycos* – cos'y

On obtiendra des résultats analogues, sauf que la

disposition de l'épure se trouvera renversée, FangleV SW étant substitué a l'angle VSW, et MC<? ~M. Ladécomposition en groupes successifs du faisceau de

courbes, qui se raccorderont au même point avec unedroite de poussée, sera identique.

i! y a lieu toutefois de remarquer que pour les com-bes se prolongeant jusqu'à l'infini, la distance de la

tangente au pote, ait lieu de tendre vers zéro quand

l'angle croît jusqu'àM, comme dans le cas pro-

cédent, ira au contraire en .tugmentantjusqu'a l'infini.

En effet, dans l'équation S:. = tg(x w) </M. dw est

positif. A ia limite, pour x == +~ – on trouve

</s =La distance est ainsi la somme d'une série, dans

laquelle le rapport d'un termeau précèdent va en crois-

sant jusqu'à l'unité. Cette série est divergente, et on enconclut que ia valeur limite de est l'infini.

La tangente extérieure de la courbe est donc rejetée

a l'infini.L'angle mutuel a -a' des deux plans entre lesquels

est compris le massif peut atteindre la valeur maximum2~+~;(a=~-t-?;==-<r).Maisi!nepeutdes.

cendre au-dessous de 2-r, si l'on envisage non pas la

solution purement analytique, mais la solution pratique

du problème, qui ne comporte pas la coexistence de

deux branches d'une même courbe séparées par unpoint de rebroussement.

Pour a a' = 2- on retombe sur le c~s drj:'t rtudie

du massifUmite par un plan ind~nni.

so. Monea de rupture. Les lignes de rupture sonttdes courbesqui, en chaque point, font avec la vertical

un des angtesde rupture~ ou y~ dans le cas d'équilibreintérieur. ou y' danstccas d Yquitibre supérieur, cor-

respondantà i'inciinaison sur i'itorizontaic M de in tan-

gente à la ligne de charge. Deux de ces courbes passent

en chaque point du pian.

81. Massif limité par deux sorfaoea libres planes.Supposons que lesdeuxplans entre lesquels est compris

le massifsoient des surfaces libres.

1. Nous envisagerons d'abord le cas où ces plansfont un angle mutuel saiHant NON' < 2~.

F<a~M:e ~Mr. Les droites de pousséeAB et A'B' relatives aux deux plans sont conservées

chacune jusque leur pénétration dans J'angle VSW.etse raccordentdeAà B' par une courbe appartenant augroupe 1 de article 18.

~<a< d'équilibre sM/~W<?Mr. Les droites de pous-sée sont CD et CD'. La courbe théorique de poussée,

ec angle de glissement égal à la limite ?, qui pour-rait raccorder ces deux droites en C et D', présentedeux points de rebroussement(groupe 4 de l'article i9).Elle est donc irréalisable.

Cela signifie que l'état d'équilibre supérieur estincompatible avec les données du problème, c'est-à-dire avec l'existence de l'angle saillant.

La courbe de raccordementdesdeux droites de pous-sée comporte des valeurs de l'angle de glissementinférieures à e, et correspond par conséquent à unétat d'équilibre stable, tout .au moins pour la partiedu massif avoisinant l'angle saillant.

La recherche de cette courbe serait un problème

assez difficile à traiter, parce que l'angle de glisse-

ment ~i deviendrait une variable. Nous estimons apriori qu'il existe une infinité de courbes de raccorde-ment de ce genre, comprisesentre deux lignes extrê-

mes qui sontUne courbe asymptotique aux deux droites de

pousséeUne courbe raccordant ces droites à partir des points

de rencontre c' et d de chacune d'elles avec la secondedirection de rupture, OC' ou OD, de l'autre.

!1 parait évident, en effet, que les droites de poussée

ne peuvent être conservées dans la région angulairedoc', où les directions de ruptures'entrecroisent, parceque cette région est influencée par les deux plans desurface libre.

!I pourrait arriver que l'une des directions de rup-ture, OC' par exemple, fût parallèle à la droite de pous.sée CD, auquel cas le point c' se trouverait rejeté à

l'innni la courbe de raccordement limite serait alorsasymptotique n cette droite de poussée.

Si les droites OC' et DC étaient divergentes, la courbede raccordement aurait pour asymptote ou tangenteextrême, pour le plan ON, uneparaHëioà ce plan situéeau-dessous de la droite de poussée DC l'angle de glis-sement T) demeurerait intérieur à la Hmite y dans toutel'étenduede la région du massif sousla surfacelibreON.

La figure 34 se rapporte au cas où les deux plans desuriace libre ont les inclinaisons limites – <p et +

I!. Envisageons à présent le cas de deux plans OM

et ON formant un angle mutuel rentrant NON' > 2-La courbe de raccordement des droites de poussée

ne peut alors correspondre en tous ses points à l'anglede rupture <p que si le massifest dans l'état d'équilibresupérieur (courbe du groupe 1 de l'article 19) (fig. 3o).

Dans l'hypothèse contraire, la partiede terrain avoi-sinant l'angle rentrantestnécessairementdans un étatd'équilibre intermédiaire stable, avec angle de glisse-ment n variable, mais inférieur à <?.

Les observations que nous avons présentées pour le

cas précédent peuvent être reproduites ici sans change-ment. La courbe limite de raccordement est tangente

aux droites de poussée, au point de rencontre de cha-cune d'elles avec la seconde direction de rupture rela-tive à Fautre, et passant par le sommet 0 de l'angle

rentrant. Si ce point de rencontre est rejeté à l'infini, lacourbe est asymptotique a la droite de poussée; si le

rayon de rupture et la droite divergent, la tangenteextrême à la courbe est parallèle au plan de la surfacelibre, mais située au-dessus de la droite de poussée.

La figure 36 se rapporte au cas où les deux plans desurface libre ont les inclinaisonslimites -{- et – <p.

Dans chaque cas considéré, les ligne? de rupture dumassif s'obtiendront par l'applicationde la règle énon-cée à l'article 20, après avoir tracé les lignes de charge.A titre d'exemple nous indiquons ci-joint les lignes de

rupture relatives à un massif à angle saillant, pourl'état d'équilibre inférieur, dans les deux cas où l'on adéfini les orientations des surjfaces libres par les don-nées i=o; <' == + (ng-. 37) ;!=–?;= -h ?(~g. 3~').

Si !e massif comporte un angle rentrant, les lignesde rupture ne peuvent être tracées que pour ta régionoù t'angte de giissementatteint ta valeur limite Pour

la zone angulaire avoisinant je sommet 0, où l'anglede glissement descend au-dessous de ij n'y a plus delignes de rupture cette région, coincée entre les deuxparties latérales du massif, n'est pas susceptible de serompre par affaissement. Elle ne peut être rompue quepar~écoulement, si les deux parties laterates se rap.

prochent en la comprimant jusqu'à ce que l'état d'équi-libre supérieur soit atteint et dépassa.

88 Maeaif limité par une surface libre plane et parun plan invariable. La Vt'nncation des conditionsde

stabilité des mursde soutènementest basée sur la réso-

tution de ce problème. C'est pourquoi nous le traite-

rons avec quelque détai!.

L'orientation de la surface libre ON est définie parson inclinaison i sur l'horizontale,positive ou négative,suivant que cette surface s'élève ou s'abaisse à partirde son intersection horizontale 0 avec le plan invaria-ble OM, parement intérieur du mur de soutènement,

que nous appellerons simplement le p/cw cf« ~wr.L'orientation de ce plan sera définie par son angle x

avec la verticale, positifou négatif suivant que le mur

présente du fruit, ou bien est en surplomb du côté desterres.

Si nous désignons par S !a réaction exercée par lemassif sur le plan du mur, réaction qui passe aux deuxtiers de la longueur OM, cette force peut être dénnie

i° par sa composante horizontale Q, que nous avonsqualifiée de poussée 2" par l'angle 8 que sa direction

fait avec la normale au plan du mur. On conviendrade compter positivement cet angle si la composantetangentielle de S, c'est-à-direpara!tè!e il OM, est dirigéede 0 vers M, et négativement dans l'hypothèse con-traire.

On a alors entre S et Q la relation

Q == S cos (~ + <Désignons par h la distance verticale du couronne-

ment 0 du mur à son arête inférieure M.

Si la ligne de poussée est tout simplement la droiterelative au plan indéfini ON [2* ==/(t)], d'inclinaison i,les valeursde Q et de seront fournies par les relationsétablies précédemment(art. ~0), que nous reproduironsici en y introduisantla hauteur

cos a cos teos(~-t)

~<6t/ of'~Mt~'e W/t 2. C09 i – ~COS*t – COS*~

Q == cost. cos––––.< + yccs t – cosy

AA* coa* (a <) coa t ~cos*~ – cos'?

<-08*t< cos t + VCOS't – COS~

tt?~_8in4..sin(2t< +~

~-sin~cos(2tt–~+-/)·

~'<0< t~MÎ~~C SM/)~cos'(ct–<) C09 t + ycos't coa'y

~1cos – v'eos'< – cos~yr

t~ <<_~sin ysin~.+ ~y')

i+sin?cos(it<+~-Y)'·

Les angtes p, Y, p' et Y sont les angles de rupture

définis à l'article 4, qui sont des fonctions connuesdes données i et Nous avons d'ailleurs signalé(art. 16) que l'on peut substitueraux opérations numé-riques des constructions géométriques simples pour lecalcul de Q et 0.

Nous examinerons successivement plusieurs casparticuliers, correspondant à différentes valeurs del'inclinaison i.

t==+ o. La surface libre va en s'élevant à par-tir de la crête du mur.

Etatc~M~t~e t~/d~tCMr. La ligne de pousséeest la droitp z = ~d'inçUnaj~on y, quelle que soit1 ¡,

l'orientation du plan du mur: l'angle x peut varier de

la limite supérieure ? + <p à la limite intérieure– -+- ?,

pour laquelle la poussée s'annule le plan du mur est

alors dans le prolongement de la surface libre.Etat ~M~ï~e ~Mper~M~. La ligne de poussée

est une courbe asymptotique à la droite z == i.Si <x est positif, la courbe touche le plan du mur en

un point de rebroussement. L'angle d'orientation et du

mur est ici l'angle critique y' relatif à l'inclinaisonde la courbe. On a en conséquence C ==– ? la réac-

tion S fait avec l'horizontale J'angle <x – <?.

Si a est nul (parement du mur vertical), cette condi-

tion est encore remplie w == –-1.Si K est négatif, la courbe de poussée a son point

d'arrêt (w ==–<?) sur le plan du mur.

D'où:

“_ – sin ?ces (2 a + ~)

4 – sin sin (2 « -t- ?)

L'angle s'élève de –<p à + quand l'angle a varie

de o à sa limite extrême – ?' pour laquelle la

courbe de poussée est asymptotique à la droite z ==

d'inclinaison Le plan du mur, symétrique du

plan OM, est alors lui-mêmeune surface libre. On a

6 + M==– -IL, et la pousséeest nulle, la réaction S étant

verticale, et dirigée de bas en haut.

o < i < La surface libre va en s'élevant à

partir de la crête du mur.Etat ~M~6rp ~/<~<?Mr. Pour toute valeur

positive dex comprise entre la limite supérieure~-<- i

et l'angle de rupture p, relatif à i'inchnaison i, !acourbe de poussée est !a droite d'inclinaison is==~F7~.

Pour toute valeur de <x comprise entre cet anglePi et zéro, la courbe de poussée limite, partant du pointA de la droite de poussée, tourne sa concavité vers iebas de la figure et rencontre le plan du mur en unpoint de rebroussement; par conséquent <x est l'anglecritique p~ relatif à l'inclinaison M de la tangente ex-trême à la courbe, et l'on a 0 c= -t- <p sur !e pian dumur.

Pour ? = o, cette condition est encore remplieM == -t- y, et 9 ==

Pour toute valeur négative de x comprise entre zéro

et la hmiteextréme –+'?, la courbe de poussée issue

du point A rencontrera le plan du mur eu un point

d'arrêt :M=+p.On a:

9inycos(2c<–~u)'<+sin)'sin(2a–p)Q)·

A la limite, pour x= – -h ?, le plan du mur est

une surface libre la courbe de poussée est asymptoti-

que à la droite de pousséed'inclinaison -t- <p 2 == L

La pousséeest nulle, ça:' on trouve -i- <~ ==–

Etat d'équilibre sM~ocr~My. – Pour toute valeur

positive de <xcomprise entre la limite supérieure + i

et l'angle de rupture Y'i relatif à l'inclinaison i, la ligne

de poussée est la droite d'inclinaison i ~== v'/(t).

Pour toute valeur de ? comprise entre y'! et zéro, la

courbe de poussée limite part du point C, sur la droite

de poussée, tourne sa concavité vers le hautde la figure

et rencontre le plan du mur en un point de rebrousse-

ment l'angle ot est l'angle critique relatif à l'incli-

naison de la tangente à la courbe, et l'on a 6 =– ?.

Pour toute valeur de <xcomprise entre zéro et

/?+ la courbe de poussée issue du point C ren-

contre le plan du mur en un point d'arrêt w == – ?,

etsin cos (2f+ ?)

t sin ;< ces (Ï « + y)

A la limite pour <~=-~+?), la courbe est

asymptotique à la droite de poussée d'inclinaison ?.

On a 9 + <x== – et la poussée est nulle.

Etats d'équilibl'e ~~w~:a~ps. Dans la région

du plan comprise entre les deux courbes limites, rela-tives à des valeurs déterminéesde i et x, que nousvenons d'étudier, on peut intercaler une innnité decourbes de poussée, correspondant à des états d'équili-bre intermédiaires. Nous dirons quelques mots de cer-

tainesd'entreelles qui peuventprésenterquciqueintérêt.Entre chaque droite de poussée et !a courbe limite

qui se raccorde avec elle sur la direction de rupture(~ ou y') issue du point 0 (en A ou C), existent unesérie de courhes, partant également des points A ou C

tangentiellement a la ligne de poussée, et correspon-dant à l'angle de rupture e.

C'est le groupe des courbes limites qui se rapportentà des valeurs décroissantes de !'ang!e x, depuis cellesrelatives au pian du mur que l'on considèrejusqu'aux

!imites – – ?) pour l'état d'équilibre inférieur, et

–-<-

y) pour l'état d'pqu'Hbro supérieur.>

Commechacunede ces courbes rencontre le plan du

mur en avant de son point de rebroussement (si x > o)

ou de son point d'arrêt (si < o), l'angle « est pour ce

plan compris entre les deuxvaleursrelativesà la courbe

limite et à la droite de poussée.

2" Au-dessus de la droite de poussée correspondant

à l'équilibre inférieur, existent une série de courbes

qui se raccordentavec cette droite en des points situés

à partir et au delà de A, par rapportà la verticale, jus-

qu'à l'infini. Pour ces courbes, l'angle de glissement?)

est variable. Il atteint la limite supérieure ? en son

point de raccordement avec la droite de poussée, puis

va en diminuant suivant une loi que nous ne sommes

pas en me ured'indiquer.Au point de rencontre de l'une de ces courbes et du

plan du mur, l'angle 0 a une valeur plus petite que

celle correspondantà la droite de poussée.

Il faut remarquer que la région correspondant à

cette courbe est en état d'équilibre stable, parce que

l'angle de glissement ?) est inférieur à l'angle de rup-

ture\. Les lignes de rupture ntexistent que pour la

région, située au delà du raccordement avec la droite

de poussée, pour laquelle cette droite est conservée.

Au-dessous de la droite de poussée, correspondant à

l'état d'équilibre supérieur, il existe un faisceau de

courbes du même genre qui se raccordent en des

points situés au delà de C vers l'infini, et correspon-

dent également à des états d'équilibre stable, le coef-

ficient étant inférieur à la limite ?, qu'il n'atteint

qu'en son point de raccordement.

3" Enfin on peut tracer dans la zone comprise entre

les courbes limites une infinité de courbes ne différant

de toutes celles étudiées précédemmentqu'en ce que la

valeur constante ou limite de J'angle de glissement n

est intérieure à l'angle de rupture?.Ce sont les courbesrelatives à un massif ayant même surface libre, etarrêtées par !e môme plan du mur, mais dont le coeffi-

cient de rupture serait moindre que celui du terrainenvisagé !t faut toujours, bien entendu, que la valeurde l'angle de glissement ne tombe pas au-dessous del'inclinaison i de la surtace libre, sans quoi !'équi!ibreserait impossible.

Figure 43.

H!, y < i < o. Supposons que la surfhce libre aille

en abaissanta partirde!a cr<-te du mur. Les observa-tions que nous aurions n formuler ici seront identi-ques celles déj:< faites pour le cas précédent, saufsubstitution de l'angle critique y A l'angle p, et de l'an-gle p' a !'ang!ey'. On retrouverait exactement les mêmescourbes de poussée correspondant aux divers cas envi-

sagés plus haut.

IV. <==–<p. La surface libre va en s'abaissant sui-

vant le talus naturel des terres.

Figure 4t.

L'état d'équilibresupérieur correspond toujours à !adroite de poussée x = 1, d'inclinaison

<~ quelle quesoit l'orientation

<x du plan du mur, depuis la limiteinférieure-–~jusqu'àla limite supérieure ~-t- e\

~<a< d'équilibre tM/~WeM~. La courbede pousséeest asymptotiqueà la droite de poussée 2 == 1, d'incli-naison y.

Pour~– y < <o, la courbe rencontre le plan du

mur en un point de rebroussement 9 == <p.

Pour o < x < Q – <?). !a courbe rencontre leplan du mur en un point d'arrêt == L'angle 9varie depuis + pour x = o, jusqu'à – pour

et== –~ – <p\. Lorsque l'angle <x atteint cette limite,

on a 0 + &== – La poussée est nulle. Le plan du

mur devient une surface libre.Dans ce cas particulier, comme dans le premier dis-

cuté (i ==– y), toutes les courbes de poussée corres-pondent nécessairement à l'angle de rupture y, quiest celui de la surface libre avec l'horizon. II n'existe

pas d'autres courbes de poussée que celles dont nousvenons de parler.

83. – De lionuenoe earleqnilibre intérieur dumaaeU,de l'angle de frottement de la terre sur le plan du mur.

Nous avons admis implicitement jusqu'ici quel'angle de frottement de la terre sur le plan du murétait au moins égal sinon supérieur à l'angle de rup-ture y du terrain. C'est dans cette hypothèse que nousavons étudié les diverses courbes de poussée, corres-pondant aux états d'équilibre inférieur et supérieur,qui sont compatibles avec la nature même du terrain.

Supposons qu'il en soit autrement et que l'on ait< <,). Nous nous occuperons tout d'abord de l'état

d'équilibre inférieur.Il pourra se présenter trois cas

I" II existera une courbe de poussée correspondantàl'angle et qui sera soit la droite de poussée z' =F(~),d'inclinaison <, soit une des courbes intercalées entrecette droite et la courbe limite définie par la condition6== y si l'on a > o, ou M == y si l'on a x < o, pourlaquelle l'angle d'inclinaison, sur la normale au plandu mur, de la réaction exercée sur ce plan sera infé-rieur ou tout au plus égal à <}<.

En ce cas, l'état d'équilibre inférieur défini par la

courbe pourra se réaliser. Les lignes de rupture dumassif se prolongeront par conséquent jusqu'au mur.

2" Aucune courbe correspondant à l'angle y nepourra rencontrer le plan du mur dans des conditionstelles que l'angle 8 soit égal à En conséquence, lemassif ne pourra être que dans un état d'équilibreintermédiaire, dénni par une ligne de poussée corres-pondant à un angle 7) inférieur à <p. tout au moinsdans la région avoisinant le mur.

Ce pourra être soit une courbe se raccordant avec ladroite de poussée s* == F (!). soit une ligne correspon-dant à une valeur variable de l'angle de glissementtoujours inférieure à ?.

En ce cas les lignes de rupture n'existeront plus dansle massif, ou tout au moins s'arrêteront à une certainedistancedu mur.

3" On ne pourra tracerdans le plan aucunecourbe depoussée remplissant la condition précédente, étantdonné que l'angle de glissement

w) ne peut descendreau'dessous de la valeur minimum i, correspondant àl'inclinaison de la surface libre.

L'équilibresera alors irréalisable le massifglisserale long du plan du mur et s'éboulera(flg. 45 et 46).

Le simple examen de l'épure des lignes de pousséesuggère les conclusions suivantes

Si l'on a–~<t<-t- le massif peut toujoursêtre maintenu par le mur, parce qu'il existe une lignede poussée pour laquelle de glissement estégal à i, et par conséquent inférieur à '}'.

Si la valeur absolue de i est comprise entre et y,l'équilibre est toujours possible si l'angle

<xest négatif,le plan du mur étant en surplomb du côté des terres,parce qu'il existe nécessairementune courbe de pous-

sée correspondant à un état d'équilibre inférieur ouintermédiaire, pour laquelle l'angle est nul à la ren-contre du plan du mur.

Au furet à mesure que l'angle <xcroit positivementàpartir de zéro, la valeur minimum de 8 va en augmen-tantet finit par atteindre la limite Si l'angle ~dépassela valeur critique correspondant à cette limite de 0,

l'équilibre devientimpossible eti'éboulement du massifne peut être évité. serait sans doute facile de déter-miner pour un cas donné cet angle critique positif a~.Maisnous avons jugé inutile de nous lancer à ce proposdans des calculs offrant peu d'intérêt pratique.Au sur-plus, il suffira de se reporter à l'article 27 suivant, où

nous traiterons de façon complète la question des plansde glissement dans les massifs de terre, dont le présentproblème n'est qu'un cas particulier.

En tout état de cause, l'angle de frottement '{' surle plan du mur est plus petit que l'angle du talusnaturel des terres, si par suite de cette circonstancele massif ne peut être dans l'état d'équilibre infé-

rieur dénni par la courbe de poussée limite, parce quel'angle 0 correspondant à cette courbe serait plusgrandque i! en résulte de toute nécessité que la pousséesur le mur dépassera!a valeurminimum correspondantà la courbe limite.

Nous verrons dans le paragraphe suivant les con-clusions d'ordre pratique auxquelles conduit cette

remarque, en ce qui touche les dispositionsà admettrepour la construction des murs de soutènement.

Nous pourrionsformuler des observations du mêmegenre pour l'état d'équilibre supérieur, à cette seuledifférence près que la substitution à la courbe limited'une courbe intermédiaire entraîne une réduction dela poussée sur !e mur (art. 22).

94. Massif compris entre deux plans invariaMes –i" Supposons que les angles « et <x' des deux plans OM

et ON soient respectivement2– s et – (~ ?)-

Dans l'état d'équilibre inférieur, la courbede poussée

sera asymptotique aux droites OM et ON les plansseront des surfaces libres.

Dans t'état d'équilibre supérieur, la courbe de pous-sée rencontrera chaque plan'en un point d'arrêt

M = -t- -p pour le plan OM,

et M == – pour le plan ON.

ts0 =~- sin p cos 2 p< -(- sin y sin 2p

2° Supposons que l'on ait o < <x <–– ?o > ?' > – – y). Les courbes relatives aux deux

états d'équilibre rencontrent les deux plans en despoints d'arrêt (ng. 48).

3" Supposonsque!'onait:o<<x <– –s:; o<tx'<x.Les deux courbes rencontrenUe p!anOM en des pointsd'arrêt, et Je plan ON en des points de rebroussement~fig. 49).

Au fur et à mesure que les deux plans OM et ON serapprochent de la verticale, !a courbe inférieure s'éloi-gne du sommet0, tandis que la courbe supérieure s'en

rapproche. A la limite, la poussée relative à l'étatd'équilibre inférieur tombe à zéro, tandis que cellerelative à Fêtât d'équilibre supérieur devient infinie,ce qui signifie que la rupture ne peut se produire que

pra écrasement de la matière et non plus par glisse-ment.

8B. MtMteif comprie entre une enrf&ce Ubre et deuxplans invariables divergents. Les lignes de chargene sont plus des courbes homoihétiques. Dans le voisi-

nage immédiat de la surface libre, l'état d'équilibre,inférieur ou supérieur, est celui qui correspond à cettesurface supposée indéfinie, avec lignes de charge pa-rallèles au plan supérieur. Puis les lignes de charges'infléchissent et se rapprochent de celles qui corres-

figure ou.

pondraient à l'état d'équilibre, inférieur ou supérieur,pour le massif complété par l'adjonction du triangleOSO'.comprisentre les deux plans au-dessus de !a sur-face libre; à une profondeur inSnie, c'est cet état d'équi-libre qui est réalisé.

La poussée élémentaire, pour chaque plan, croît icimoins rapidement que la profondeurpourl'étatd'équi-libre inférieur, et plus rapidement pour l'état d'équili-bre supérieur la poussée totale passe au-dessus desdeux tiers de la hauteur du mur dans le premier cas,et au-dessous dans le second.

N6. M&eeif compris entre une surface libre horizon-tale et deux plan verticaux. C'est un cas particulierdu proMème précédent. Mais ici le point S est rejeté àl'infini. en résulte que dans le voisinage immédiatde la surface libre, la poussée é!émentaire croit pro-portionnellementà la profondeur, d'après les formules

connuesEquilibre tM/~WeM~:

< – sin p(i) o = ~< –––-=: i + S)!) ?.

Equilibre sM~~eMy

(2) ~"== A~L±J~.

1 – S)0 ?

Mais au fur et à mesure que la profondeur y aug-mente, l'accroissementde g' est moins rapide, et cettepousséeélémentaire tend vers une limite qu'il est facilede déterminer.

Soient ABC et A'B'C' deux lignes de charge infini-ment voisines, qui rencontrent les deux plans verticaux

en des points d'arrêt. Désignons par P la résultantedes charges élémentaires exercées sur la ligne A BC,et par P -t- dP la résultantecorrespondantepour A'B'C'.

Les réactions s exercées sur les éléments verticaux AA'

et CC' sont inclinées de ? sur l'horizontale. Leur com-posante horizontaleétant leur composante verticaleest~'tg~

Le poids de la tranche ABCCBA étant lady (endésignant par a la distance mutuelle des deux plans),la condition d'équilibre entre les forces verticales quisollicitent cette tranche, s'écrit comme il suit

P + </P P + 2~' tg -? dy == A<M~.

D'où

de p9'==~.cotg?-~cotg?;et

A<! t< g- cotg ?.

L'accroissement dP de la charge totale tend verszéro, au fur et à mesure que l'on s'entonce au-dessousde la surface libre, et la poussée élémentaireq'tendversla limite supérieure cotg y.

Supposons que la droite oblique OD représente

l'équation (t), et que l'horizontale EF soit à ]a distance-? cotg cp de l'axe Oy. La courbe représentativeOK de la

poussée élémentaire sera tangente à l'origine à ladroite OD, et asymptotiqueà l'horizontaleEF.

Si l'on admet que l'écartement a des deux plans soitune très petite fraction de la hauteur h du massif, onvoit que !a poussée totaieQ.éga!à ~cotg

<p, sera appli-

quée un peu au-dessous de la moitié de la hauteur.Si l'on considère à présent l'état d'équilibre supé-

rieur, l'équation des forces verticales sollicitant unetranche comprise entre deux lignes de charge voisinesdevient

= cotg -}- cotg ?.q it glf 2dy co T'

La charge élémentaire, dans !e voisinage d'un mur,a pour valeur approximative-cos <p.

aPar conséquent<y" est sensibtementégai à ? cos' et

al'on a

~p =-dPCOS'a

L'équation diH<entie)!e précédente peut donc êtremise sous la forme

.< &s a <0 =–COK?c-4-–––<at~~b. ~sin2~

D'où:sin~pQ9" =~cotg ? + A(e~* ~– i).

La poussée é!émentaire. qui croît plus rapidementque la profondeur, est représentée par la courbe OK',tangente à l'origine à la droite oblique OD' correspon-danta l'équation (2), mais qui s'en écarte bientôt pourse rapprocher rapidement de la courbe représentativede l'équation exponentielleénoncéeci-dessus.

On conçoit ainsi que dans une construction forméede deux murs paratièies très rapprochés, dont l'inter-valle serait rempli de sable bien pilonné, ce sablepourra n'exercer sur les murs qu'une très faible pous-sée, incapable de provoquer leur déversement,mêmesi la hauteur est considérable et l'épaisseur de lamaçonnerie très réduite cette poussée sera toujoursinférieure à la moitié du poids du sable, multipliéepar cotg y.

Par contre, si le massif est utilisé comme cu!ée, il

se comportera, sous l'action de poussées considérables,comme un monolithe le sable, maintenu par les deuxmurs, deviendra capable de supporter des pousséeséquivalentes à celles que l'on admet pour les ma-çonneries elles-mêmes.

a?. Des plane de glissement déteMniaée dans descouches terrestres par des bancs minces d'argile plaeti-que. arrive parfois que dans un terrain assezconsistant, !? trouve iniercaté un banc mince de glaise

ou argile plastique, pour lequel l'angle de rupture ?'peut être très petit si !a matière est imbibée d'eau.Quand l'inclinaison de la surface libre du massif esttelle qu'il n'existe aucun état d'équiHbre pour lequell'action mo!écutaire conjuguée du plan de la coucheargileuse fasse avec la normale un angle inférieur à ?',il se produit de toute nécessité un effondrement de larégion située au-dessus du banc. Les éboulements demontagnes ou coteaux, qui se manifestent générale-

ment à )a suite de pluies abondantesou de dégels brus-

ques, déterminant !e ramollissement par imbibitiondu banc de glaise, sont des catastrophesheureusementfort rares. H est d'ailleurs malaisé de les prévoir àl'avance, et encore plus difficile de les prévenir par des

mesures appropriées.Mais il arrive assez fréquemment qu'ayant modifié

l'assielte d'un terrain pardes travaux de terrassements,on voit après coup apparaître des crevasses, suiviesbientôt de mouvements importants, soit dans les talus

ou p!ateformes des tranchées,soitaupied des remblais.On reconnaît alors que ces accidents sont imputab!esàdes bancs d'argile, intercalés dans les couches terres-tres, dont l'orientation est incompatible avec un étatd'équilibrecorrespondant à la surface libre modifiée

par les travaux. La réparation de ces accidents est engénéral coûteuse dans nombre de circonstances onaurait pu les éviter en prévoyant d'avance ce quidevait arriver, et recourant a des mesures préventives

pour écarter tout danger.Considérons un terrain limité par une surface libre

plane, dont l'inclinaison soit précisément égale à sonangle de rupturec. Nous supposeronsqu'il existe dansle massif une couche plane d'argile dont l'angle de glis-

sèment ?' soitinférieurà <?, et nous nous proposerons derechercher les valeurs de l'angle <x, que fait cette cou-che avec la verticale, pour lesquelles son existenceserait incompatible avec l'équilibre du massif.

Pratiquement on admettra que !'ang!e <p, pour derargiie plastique très ramollie, puisse descendre jus-qu'à 15'. Avec une argile graveleuse et plus compacte,imbibée d'eau, cet angle peut se relever à 20" et mêmeà 2u".

Sur l'épure de la figure 6 (article 5, page 20),

menons la droite TDE, faisant t'angle <p' avec la droiteABT (ng. 5~).

Par un point 0 de la surface libre du massif limité

par le plan MN d'inclinaison sur l'horizontale,traçonsles bissectrices 0 a et C~ des deux angles formés par ladroite MN avec la verticale ce sont les directions desactions moiécutairos principales (ng. 86).

Portons de chaque côté de la droite Oa un angle égal

et de chaque côté de la droite 0 6 un angle égal

BODaa-yLes deux fuseaux D'OD" (correspondant à l'angle au

centre BOD, avec la direction principale 06 pour bis-sectrice), et E' OE (correspondant n !'angte au centre

EOA, avec la direction principale Oa pour bissectrice)sont les régions du plan pour lesquelles l'angle 0 estinférieur ày'

Il

En conséquence, si le plan critique limitant le bancd'argile se trouve à l'intérieur de l'un de ces deuxfuseaux, il n'y a aucun danger d'éboulement. Mais il

en sera tout autrement si la trace du plan est située

dans un des trois angles M<3D D'ÔE', et E ON.

Admettons que le plan de glissement se trouve dans

la région centrale D'ÔE' (ng. 57). Le mouvements'o-pérera avec affaissement de la partie amont du massif,et soulèvement de la partie aval. Dans ces conditions,les lignes de charge se modifierontdans le voisinagedu plan critiqueOV en se rapprochantde l'horizontalel'action moléculaire conjuguée de ce plan se rappro-chera de la normale au plan, avec lequel elle finira par

faire un angle égal à ?'. On voit que le mouvement duterrain s'arrêtera de lui-même âpres un faible déplace-ment. On en doit conclure que l'existence d'un plan deglissement tel que OV ne sauraitinspirer d'inquiétudessérieuses.

Si ce plan critique est en OU, dans la région latérale

aval MOD"a partie inférieure du massif glissera surle banc d'argile, et viendra en 0 M', la partie supé-rieure ON restant immobile (flg, 88). it n'y auraaucune raison pour que le mouvement s'arrête, et onpourra constater finalement un éboulement général dela base du coteau.

Si le plan critiqueestenOW (ng. 59), dans la régionavoisinant ON, la partie supérieuredu massif glissera,et viendra recouvrir !a région inférieure, demeuréeimmobile. H n'y aura encore aucune raison pour quele mouvement s'arrête, et il pourra se produire unébouiementgénéra! du sommet du coteau.

Quand le banc d'argile n'émerge pas sur la surface

libre, les régions critiques issues d'un point 0 de cebanc sont figurées par les quatre angles, opposésdeuxà deux par le sommet, qui séparent les fuseaux hachu-

rés, régions d'équilibre assuré (ng. 60). Comme nousvenons de le voir, H n'y a pas de bouleversement à

redouter si le banc d'argite est dans l'angle D'ÔE'

tandis qu'un glissement général est probable si le plan

est dans l'angle D ÔE".

Dans le cas où l'inclinaison i de la surface libre estinférieure à l'angle du talus naturel y, on peut toujoursvérifier la stabilité du massif par la construction sui-vante, qui se déduit aisément de la méthode de calculgraphiqueexposée dans l'article 5.

Soient i et i' les inclinaisons sur l'horizontale de lasurface libre et du banc d'argile. Menons dans le cer-cle 0 deux rayons OM et ON faisant entre eux l'angle2 (i t~. Construisonssur le rayon OM pris pourcorde,et de chaque côté de ce rayon, un arc circulaire capa-ble de l'angle i, c'est-à-dire ayant pour développementangulaire 2n – 2t. Construisonsde même sur le rayonON deux arcs circulaires capables de l'angle <f, c'est-à-dire ayant pour développement angulaire 2~ 2~.Soient T, T' et T" les points de rencontre de ces arcs,considérés successivement deux à deux. Menons lestangentesTC, T'C', T"C" au cercle initial de centre 0,et mesurons les angles CTO, CT'O et C"T"0.

Pour que le massif puisse demeurer en équilibre,

sans danger de glissement général, il sera nécessaireet suffisantque l'un de ces trois angles soit inférieurou tout au plus égal à <c.

La construction démontre eneffet qu'en ce cas il existe un état d'équilibre, avec anglede glissement maximum égal ou inférieur à y, pourlequel l'angle 0 que fait avec la normale au banc d'ar-gile la réaction exercée sur celui-ci est inférieure à y'.

Picore 61.

On constate facilement qu'il ne peut jamais y avoirdanger de glissement si l'inclinaison i de la surfacelibre est inférieure à ~Pour ~==y', l'équilibre estassuré si i' est d itèrent de y'.

Pour y'==o, la condition de stabilité est que h direc-tion du banc coïncideavec l'une des directions princi-pales correspondant à un état d'équilibre du massif,défini par un angle de glissement compris entrei et rp.

Quand la surface libre est irrégulière, ou quand leprofil du banc d'argile, au lieu d'être rectiligne, estaccidenté, !a vérification de la stabilité ne peut guèreêtre enectuée de façon rigoureuse. On tâchera de serendre compte approximativement des directionssuivies par les lignes de charge à la rencontre du plande glissement, et l'on appréciera, d'après l'inclinaisonde chacune de ces lignes, si l'angle 6 relatif au bancdépasse la limite auquel cas l'équilibre ne serait pasassuré au point considéré. Si l'on a fait cette constata-tion pour une région suffisamment étendue du banc,un glissement local est à craindre, avec crevassementde la surface libre et bouleversementdu terrain.

Des glissements se manifestent parfois dans desmassifs rocheux, dont l'état d'équilibre comporte unepoussée nulle. La réaction S exercéesur le banc d'argile

est alors verticale. On en con-clura sans difficulté qu'il ne peuty avoir danger que si les deux

f~ conditions suivantes sont rem-plies: i" l'inclinaisoni' du bancd'argile doit être égale ou supé-

Figurc62. rieurea~ 2" l'inclinaison i dela surface libre doit être égale ou supérieure à defaçon que la hauteur verticale de la couche supérieureaille en décroissantdans le sens de la descente.

Lorsque des sondages pratiqués dans un terrain, oùl'ou se propose d'exécuter des travauxde terrassements,

ont fait reconnaître l'existence d'un banc souterraind'argile, la méthode d'investigation exposée ci-dessuspermettra d'apprécier si les remblais ou les déblaisprojetés ne risquent pas de compromettre l'équilibredu terrain et de provoquerdes éboulements.

Il apparaît comme évident que l'on peut en pareil

cas s'exposer à de graves mécomptes en chargeant le

FtguroM.

sol d'une lourde levée de terre, ou en y creusant unetranchée dont les talus viendraient recouper le banc de

glaise. Mais. ce qui peut a priorisembler paradoxal, il

y a quelquefois danger à exécuter une tranchée dontle plafond serait au-dessus de la couche d'argile, quen'atteindrait pas la pioche des terrassiers. 11 suffit quele changement apporté à la surface libre ait modifié ladirection de certaines lignes de charge, de telle sorte

que la réaction exercée sur le plan de glissement fasse

avec la normale à cetui-ci un angle supérieur à ?'. On

a en ce cas a craindre un glissement local, qui entraî-

nera la dislocation du plafond ei des talus de la tran-chée. et pourra nnalement déterminer un éboulementgénéral du coteau (fig. 64).

On trouvera dans les ouvrages spéciaux, où il esttraité de l'exécution des terrassements, l'indication des

mesures préventives prendre en pnreiUe circonstancepour écarter tout danger modification des profils de

terrassements, par réduction de la hauteur du remblaiou de la profondeurde la tranchée, ou par adoucisse-ment des talus, ou par déviation de l'axe drainagessuperficiels ou souterrains, en vue d'empêcherdes eaux

Figure 64.

de pluie ou de rivière de pénétrer par infiltration jus-qu'à'i banc de glaise, ou en vue de capter les eaux sou-terraines, de façon à maintenir ce banc dans un étatde sécheresse relative, pour lequ ,l l'angle soit suffi-sammentgrand cuirassement de la tranchée par desmassifs de soutènement et un radier en maçonnerieexécution de puits remplis de matières pierreuses ousableuses qui traversent le banc d'argile et viennents'ancrer dans le sous-sol, etc.

B8 – DeIhypothèM du prisme de plue grande poua.eèe. Antérieurementaux recherches de M. J~M/cmc,de M. Maurice Z.~ et de Ai. ~OMM~e~, basées surles démonstrations rigoureuses de la théoriede !'é!as-ticité, recherches que nous sommes proposé de déve-lopper et de compléter, la réaction du massif de terre

sur le mur se calculait au moyen d'une méthode indi-quée par le général Poncelet. Cette méthode empiriqueest basée sur le principe hypothétique du prisme deplus grande poussée, qui peut être 'énoncé comme ilsuit

10 La réaction exercée sur le mur fait avec la nor-male à son plan l'angle <? du talus nature!, la compo-sante verticale de cette réaction étant dirigée de hauten bas (en tant du moins que le coefficient de frotte-ment de la terre sur le parement du mur peut atteindrela valeur tg-p);

2" Il existe dans le massif un plan de rupture, pas-sant paria base du mur, pour lequel la force intérieureconjuguée fait l'angie & avec la normale à ce plan, lacomposante tangentielle étant dirigée vers le mur

3" L'orientation du plan de rupture peut être déter-minée par la condition que la réaction exercée sur le

mur soit maximum.La partie du massifcomprise entre le mur et le plan

de rupture est qualinée de prisme de plus grandepoussée.

JI parait utile de faire voir que cette hypothèse n'estpas fondée,et qu'elle est en contradiction formelle avecles résultats des ~~oM~<rc:<to~ rigoureuses faitesprécédemment.

1. Nous constaterons tout d'abord que la réactionexercée sur le mur ne peut faire l'angle y avec la nor-male au plan du mur que si son angle <x avec la ver-ticale est positif, le mur présentant du fruit du côtédes terres. Si <x est négatif, l'angle en question est tou-jours inférieur à <p.

De plus, il faut que l'angle positif x soit plus petit que

l'angle critique p, si l'inclinaison i est positive (la sur-face libre plane du massif allant en s'élevant à partirde la crête du mur), ou que l'angle y, si l'inclinaison iest négative (la surface libre du mur s'abaissant àpartir de la crête du mur). Si l'on a x > p, ou x > y,dans l'un ou l'autre cas l'angle de la réaction avec lanormale au mur sera inférieur à :p.

En particulier, si la surface libre est réglée suivantle talus naturel (î==+<p), Fangle x doit être nul pourque l'inclinaison de la réaction soit égale à <,). Si lemassif est limité par une surface horizontale (M == o),

l'angle x doit être comprisentre o et – – –.

tt. – Dans le cas et') l'angle de la réaction et de lanormale au plan du mur est égal à <p (sio < o; < P, ouo < <x < y), la ligne d~ rupture correspondant auminimum ou au maximum de la poussée n'est pas unedroite comme le suppose Poncelet, mais une courbe,tout au moins dans le voisinage du mur. Il n'y a d'ex-ception à cette règle que si l'angle x a précisément l'unedes valeurs critiques p ou y, auquel cas la ligne derupture est la droite correspondant à l'autre directionde rupture (y ou p).

1H. En admettant que l'on se trouve placé dans le

cas énoncé ci-dessus, où la ligne de rupture est bien

une droite, l'orientation de cette droite, définie parl'angle p ou y, ne correspond pas au prisme de plusgrande poussée. La méthode de Poncelet conduit à uneorientation différente, et donne par conséquent unrésultat faux.

Nous en concluons que cette méthode ne vaut rien.Elle fournit très souvent des indications erronées pour

!'ang!e de la réaction sur le mur avec la normale à

son plan conjugué. En ce qui touche ia grandeur dela poussée, elle conduira généralement à un résultatqui ne sera ni le minimum de la poussée correspon-dant à l'état d'équilibre strict inférieur, ni le maxi-mum correspondant à ]'état d'équilibre supérieur cesera un nombre intermédiaire. On pourrait en inférerqu'au bout du compte l'application du procédé assurela stabilité, puisque ses mdications pèchent par excès.Cette opinion serait va!<<b!e si le rapport du résultattrouvé a la poussée minimum vraie était toujourssupérieur à l'unité, et conservait une valeur à peu prèsconstante, correspondant à un coefficient de sécuritésensiblement fixe.

Mais il n'en est pas ainsi. La poussée obtenue serapresque toujours beaucoup plus grande que la pousséeminimum exacte, mais, dans un cas particulier tout aumoins (<x = o et i = <p), il y aura concordance absolueentre les deux résultats. On trouve, par l'un et l'autre

procédé Q ==- h' cos' <p.

En d'autres circonstances, on obtiendra par la con-struction Poncelet une poussée deux et peut-être troisfois trop élevée, sans que jamais l'on soit à même d'ap-précier l'ordre de grandeur de l'erreur commise.

Par conséquent il n'y a rien d'utile à tirer de cetteancienne règ!e, qu'il convient de rejeterdénnitivement,car elle est condamnée à la fois par la théorie et parl'expérience.

B& Des recherches experiment&iea sur la poussée desterres. De nombreusesexpériences ont éfé faites surla poussée des terres. Elles ont fait ressortir l'inexacti-tude de la méthode Poncelet, mais n'ont pas permis

d'établir des formules expérimentales pouvant servirau calcul de la poussée avec une certitude et une préci-sion suffisantes. Les indications ont été incertaines,variables et parfois contradictoires pour une mêmenature de terre, placée dans des conditions d'essai quisemblaient identiques.

Cette impuissance de l'expérience à résoudre le pro-blème au point de vue des besoins de la pratique, s'ex*plique très aisément.

Un massif soutenu par un mur peut, ainsi que nousl'avons vu, occuper une infinité d'états d'équilibredifférents, correspondant à des réactions sur le murd'intensités et de directions très variables, depuisl'état d'équilibre limite inférieur jusqu'à l'état d'équi-libre limite supérieur. A supposer même que l'oneffectue le mesurage de cette réaction au momentoù la rupture du massif est sur le point de s'opérerpar affaissement, on peut obtenir, suivant les condi-tions où l'on n'est placé, des résultats très différents.

Supposons que l'on maintienne un massif de terrerenfermé dans une caisse ouverte à une extrémité, aumoyen d'un plateau AB soutenu par une contreil-

fi

che CD, dont l'effort de compression pourra êtremesuré au moment même où on Faut a laissé décroîtresuffisamment pour que la rupture du massif se pro-duise.

On connaîtra ainsi la valeur de la réaction-limite,etsa direction sera fournie par celle de la contrefiche.

Or il convient tout d'abord d'observerque si le frot-tement <p' de la terre sur lu plaque AB est inférieur àl'angle du talus naturel, la réaction ne pourra faireavec la normale à la plaque un angle supérieur à etla poussée obtenue pourra de ce chef être plus élevée.I! est facile de réduire jusqu'à zéro l'angle < enconstituant la plaque par une lame de verre, ou mieux

par deux lames de verre superposées et séparées parune mince couche de graisse. En ce cas, on observeratoujours une réaction normale à la plaque, au momentou l'éboulement sera sur le point de se produire.

C'est probablement ce qui a conduit certains expéri-mentateurs à constater dans leurs essais des réactionstoujours normales au plan du mur.

Ecartons cette objection,etsupposons que l'on ait pudonner à <p' !a valeur exacte de <c, par exemple en recou-vrant la plaqued'une mince couche de graisse saupou-drée de sable, comme l'a fait M. Ardant dans uneexpérience connue.

tï sera possible de maintenir le sable en appliquantla contrefiche au tiers C de la hauteur de la plaque,mais en lui donnant une inclinaison sur la normale àla plaque variant depuis – <p (position CD) jusqu'à -+- y

(position CD'). Dans chaque cas, on pourra réaliserune position d'équilibre limite, précédant immédiate-ment la rupture, et l'on trouvera de la sorte une sériede réactions possibles, fnisant avec la normale des

angles croissant de – <p à -t- On constatera ep mêmetemps que la poussée augmente au fur et à mesureque l'on s'écarte de ia première position CL) en serapprochant de la dernière CD'.

On aura même la faculté de ne pas appliquer !a cou-trefiche au tiers de la hauteur. Si l'on place l'appui unpeu au-dessus en C', la rupture du massif se produirapar le bas au mpment de !'ébou!ement, on constateraun léger pivotement de la plaque dans la directionindiquée par la flèche y.

Si l'on place la butée au-dessous de C, e~ C", !'ébou-lement se manifesteraà la partie supérieure du massif,et le pivotement de la plaque s'opérera en sens inverse,dans la direction de la flèche Dans l'un et l'autrecas, on observera des poussées plus grandes que cellescorrespondant à la butée C, parce qu'pne partie dumassif, ia tranche supérieure dans la première dispo-sition, la tranche inférieure dans la seconde, seraencore en é~at d'équilibre stable au momentoù l'autrese rompra.

M. Georges lloward jpa~ww, professeur au TriMî~ College de Caw~e, qui a entrepris de contrô-

Ïef expértmentaiement les for-"Q mu~s données par M. Z?cw&eet

––,3 M. ~oMSAmMû. fermait sa caissepar une p.aroi < !aiérate reliée aufond par une charnière, et mesu-

figure 66.rait la poussée par ta tension d'unfil nxé à !a partie supérieure de

cette porte tOturnante. Avec un d~sp,ositif de ce genre,la rupture s'opère dans ta tranche supérieure du mas-sif, tandis que la tranche inférieure demeure en étatd'équilibre stable. La réaction dojti être appliquée un

peu au-dessus du tiers de la hauteur, et sa valeur,plus grande que celle correspondant à l'état d'équi-libre inférieur de toute ta masse, dépend de la ma-nière dont on a rempli la caisse. Suivant qu'il avaitopéré par déversementpur et simple du sable, ou parcouches soigneusement tassées et soit horizontales,soit inclinées en montant, soit inclinées en descendant,M. D<M'MW! a obtenu des résultats très différents tes

valeurs relatives de la poussée variaient de t à i,43.Cette discordance, qui a ~)WoW peut paraître étrange,s'explique fort bien par la raison énoncée ci-dessusles conditions dans lesquelles s'était ptacét'expérimen*tateur ne lui avaient pas permis d'amener la massetotale de sable à l'état d'équilibre limite inférieur, aumoment où la rupture se produisait dans les couchessuperficielles.

En définitive, il ne parait pas bien utile de vérifierexpérimentalementl'exactitudedes formules fournie'en dehors de toute hypothèse, par des calculs dont larigueur mathématique semble incontestable; et d'ail-leurs il semble très difficile d'écarter des expériencesde ce genre les causes d'erreurs qui peuvent entacherleurs résultats, et leur ôter toute précision et toutevaleur.

H serait à coup sûr beaucoup plus intéressant deprocéder, pour toutes les natures de terres, à des obser-vations nombreuses et précise en ce qui touche lesvaleurs à attribuer a l'angle ? du talus naturel. Or onne possède à cet égard que des notions vagues et incer-taines. dont la source est mal connue, et que les auteursse repassent de confiance de l'un à l'autresans les véri-fier. On est donc mal documenté sur cette question, et

on conçoit qu'il ne paraisse pas bien utile de procéder

à un calcul minutieux de la poussée à 5 ou 10 0/0 près,quand cette recherche est basée sur une donnée incer-taine, dont !a précision ne peut être garantie à t5 ou20 0/0, même pour des terres dont la nature est par.faitement définie, comme le sable fin et sec, parexemple.

CHAPITRE QUATRIÈME

STABILITÉ

DES MURS DE SOUTÈNEMENT

30. Conditions d'équilibre a'MM MM~ de MM/~M~Mt. 3~. Calcul dela ~ac~tOK MtMt'HMM. – 3F. Cas <«M terrain à surface libre acci-dentée. 33. Cas <«M terrain /b<'M~ de bancs superposés.3~. Cas d'un terrain s~rc~ar/t~. 35. Cas a'«K remblai comprisentre deux murs parallèles. 36. Calcul de la potM<~ poMr unMMf à parement polygonal Ot. courbe. -37. Circonstancessuscepti-&/M de relever la poussée aM ~eMtMdu minimum calculé, et ~eaM-tions à prendrea leur sujet. 38. Profil des murs de soutènement.39.Mrsaco7:<rc/bt' – .<0. Fondations des MH~. 4~. Descauses de dégradationet de t-M~e des MM~ de soutènement. 42.DM ouvragesacMM/~t~ en AoM au en c<M<pK/armé. 43. Butéedes ~M. 4~. ~Mt'~d'arrêt.

SOMMAtRE

CHAPITRE QUATRIÈME

STABILITÉ

DES MURS DE SOUTÈNEMENT

30. Conditionsd'équilibre d'un mur de soutènement.Supposons qu'un mur, adossé a un massif sans cohé-

sion, soit incapable de résister à la réaction exercée surlui par la terre qu'it soutient. 11 cèdera à la poussée et

s'inclinera en avant. La terré suivra ce mouvement,et

il en résultera un accroissementde son volume. Si le

massif ne se trouvait pas tout d'abord dans l'état

d'équilibre limite inférieur, ses particules se dilateront

et par suite les actions moléculaires qui s'exerçaient

entre elles éprouverontune diminution l'équilibre du

massif se rapprochera donc de l'état limite inférieur,

correspondant aux plus faibles pressions intérieures.

Or l'accroissementde volume nécessaire pour que le

terrain passe d'un état d'équilibre stable, d'ailleurs

voisin de l'état limite inférieur, à ce dernier, est

extrêmement faible. La dilatation, qui s'opère sur unerégion assez restreinte, dans le voisinage immédiat du

mur, dépend uniquement du coefficient d'élasticité

cubique du terrain, qui est de l'ordre de grandeur de

celui de la maçonnerie. Par suite ce changement dans

l'état d'équilibre du massif peut être la conséquenced'une simple déformationélastiquedu mur, sans dislo-cation de la maçonnerie, et sans réduction appréciabledans sa résistance.

On conçoit donc que le massif puisse atteindre cetétat d'équilibre inférieur à la suite d'un déversementpresque imperceptible du mur. Si à ce moment l'ou-vrage est capable de résister à la poussée, réduite à sonminimum, le mouvement s'arrête et la maçonneriedemeure intacte. S'il en est autrement, le déversementvers l'extérieur continue à progresser les particulesde terre ayant réalisé la dilatation maximum compa-tible avec l'équilibre élastique du massif, la réactionsur le mur ne diminue plus, et l'accroissement devolume en arrière du parement intérieur se traduit parune fissuration du sol. Les crevasses s'élargissent, età un moment donné survient l'éboulement final, qui,par l'action dynamique exercée sur le mur, en déter-mine la chute immédiate.

On peut donc admettre qu'un mur offre des condi-tions de stabilité suffisantes s'il est capable de subir,sans travail excessif de la maçonnerie, ni pressionexagérée sur la base de fondation, la réaction desterres correspondant à l'état d'équilibre limite infé-rieur, parce que la déformationélastique de la maçon-nerie suffit pour ramener le massif à cet état, àsupposer qu'il ne s'y soit pas trouvé au moment de lamise en charge du mur.

L'expérience justifie ces prévisions théoriques.Quandon élève un remblai derrière un mur de soutènement,on constate le plus souvent un très léger déplacementde celui ci. en général à la suite d'un tassement desterres provoqué par la pluie. Mais cette déformation

ires peu appréciable ne s'accentue pas avec le temps, etJe mur conserve ensuite indénniment la position qu'il

a prise dès le début.On constate fréquemmentsur des murs de soutène-

ment âgés d'un ou même plusieurs siècles, mais ayant

sans doute été construits avec des mortiers de chaux

grasse à prise très lente, des gauchissementsnotables,qui datent sans aucun doute de l'époque de leur exécu-tion. La durée de ces murs prouve qu'en dépit dudéversement initial éprouvé par eux, ils avaient unestabilité suffisante.

Au surplus, dans une maçonnerie bien faite, ]a

résistance à la compression et surtout Ja résistance à

la traction vont en croissant pendant de nombreusesannées. D'autre part les terrains de remblai les plusmeub!es, lorsqu'ils ne sont pas noyés par une napped'eau, acquièrentà la longue une certaine consistanceleur cohésion s'accentue, et J'angle du talus nature!s'é!ève. De sorte que la poussée va en diminuantau furet a mesure que la résistance du mur s'accroit.

I! est donc permis d'affirmer que si un mur récem-ment construit a pu supporter victorieusement, sansindices de désagrégation et de dislocation, mais parfois

avec un gauchissement perceptible, la poussée initialed'un remblai, sa stabilité est assurée, et ne fera ques'aménorer avec le temps, t! suffira alors, pour assurerla sécurité, d'effectuer les calculs de résistance dansl'hypothèse de la poussée minimum, correspondant al'état d'équilibre intérieur du massif, et en se basant

sur les qualités de résistance de la maçonneriefraîche,

ou n'ayant subi qu'une prise et un durcissement incom-plets pendant le délai écoulé entre l'achèvement del'ouvrage et la confectiondu remblai.

Nous verrons toutefois, dans l'article 36 suivant,qu'au moment de la misé eu charge du mur, la pous-sée des terres, tout en se rapprochant de façon sensiblede la valeurcorrespondant à l'état d'équilibre inférieur,peut ne pas descendre jusqu'à ce minimum, par suitede circonstancesspéciales que nous signalerons et dis-cuterons.

D'autre part, 'des phénomènes climatériques, hydro-logiques ou géologiques peuvent faire varier en decertaines limites l'état d'équilibre du massif, soit acci-dentellement, soit périodiquement, aux changementsde saison.

Il est donc prudent de se ménager une marge desécurité suffisante, en attribuant au mur des dimen-sions telles qu'il puisse subir sans inconvénient unepoussée dépassant de 23 à ~0 0/0 le minimum calculé.Cela revient eh dénnitive à n'admettre qu'un travailde compressioh modéré, ne dépassant pas la moitié oules deux tiers du chiffre accepté communémentpour lamême qualité de maçonnerie, quand on l'emploie dansdes constructionssoumises à des forces extérieures bien

connues et non susceptibles de majorations acciden-telles culées, piles, voûtes, barrages de réservoirs,etc.On adoptera en dénnitive pour les ouvrages de soutè-nement des limites de sécurité réduites, en ce quiconcerne les pressions dans la maçonnerie et sur labase de fondation.

Il arrive souvent que les talus de déblai peuventêtre tenus presque verticaux, au moment où on les règlepour ménaget' l'emplacement du mur destiné à lesmaintenir. On pourrait être tenté, en pareil cas, d'ad-mettre que la poussée du massif étant manifestementnulle pendant qu'on exécute la maçonnerie, celle-ci

pourra être réduite, par motifd'économie, à un simplerevêtement de faible épaisseur. Mais la verticatité destalus est due à !a cohésion du terrain, sur laquelle il

ne faut jamais compter elle peut être détruite, soit

par une sécheresse excessive, soit par des pluies pro-longées ou des inondations,ou bien encore par la gelée.Le terrain est exposé A être ameubli par des planta-tions, par des travaux de fouille et de terrassement, etc.En somme, it sera toujours prudent de tabler surI'ang!e y du talus nature! que présente cette terre !ors-qu'elle est ameublie ou amotiie par des intiltrations.Cette remarque ne s'applique pas aux massifs compo-sés de particules rocheuses, éboulis, gravier ou sable,

sans mélange de matières terreuses leur cohésion,qui est à peu prèsnu)!e, n'est guère susceptib!e d'êtreaugmentée ou atténuée par des causes extérieures. i!n'en est pas de même des terrains argileux, et surtoutde!a glaise pure, qui, parfaitementsèche et compacte, ala consistance d'un calcaire tendre, et perd sa cohésion

par l'effet d'une humidité persistante. Il conviendra debaser les calculs sur l'augle du talus naturel corres-pondant aux conditions les plus défavorables qui sem-bleront pouvoir être réalisées. Si un sol glaiseux estexposé à des submersions, il faudra tabler sur t'ang!erelatif à la terre complètement imbibée d'eau, angtequi pourra être très petit, bien que pendant l'exécutiondes terrassements,dans la saison sèche, on puisse taillerverticalement les talus de déblai sur une grande hau-teur, sans apparence de dislocation ou d écrasement.

Si la suriace du sol est susceptible de recevoir,à titretemporaire ou définitif, des surcharges importantes(terre-pleinsdes quais et ports, magasins, docks et édi-fices), il conviendra d'envisager le surcroit de poussée

pouvant résulter éventue!!ement de ces charges addi.tionne!!es, évaluées à leur poids maximum, et d'aug-menter en conséquence les dimensions du mur et lasolidité de ses fondations.

En résumé, avant d'arrêter les dimensions d'unmur et de choisir son mode de fondation, on doit serendre compte de la nature du terrain, de remblai oude déblai, qui s'appuiera sur lui, et apprécier l'angle Ifdu talus nature! qui correspondra aux circonstancesjugées a priori les plus défavorables. Puis on calcu-lera dans cette hypothèse la valeur minimum de laréaction du massif, supposé dans t'état d'équilibreinférieur, en tenant compte des surcharges addition-nelles qu'il serait exposé a recevoir. Enfin on limiterales pressionsmaxima dans ]a maçonnerie et sur le solde fondation à un chiffre modéré, dont l'écart, par rap-port aux valeurs de travail pratiquement admises pour!e même genre de maçonnerie lorsqu'il s'agit d'ouvra-ges ordinaires, devra être d'autant plus grand que l'onaura moins confiance dans les bases du calcul derésistance, en raison des éventualités fâcheuses quiparaîtraient pouvoir se réaliser dans l'avenir.

En outre, pendant l'exécution du mur et la confec-tion du remblai, il y aura lieu de prendre certainesmesures de précaution, pour écarter ou prévenir lesincidents susceptibles d'augmenter la réaction au mo-ment de la mise en charge du mur. Nous reviendronsultérieurement sur ce sujet.

Dans des circonstances exceptionnelles, et d'aiHeurstrès rares, il arrive que Fêtai d'équilibre d'un massifappuyé contre un mur se modifie brusquement en serapprochant non plus de l'état inférieur, mais de t étatsupérieur (gonnemenipar imbibition des couches voi-

siiies d'argile plastique ou de gypse anhydre. Bancs

géo!ogiques en mouvement,éboulis, talus recoupés pardes plans de glissement, etc.).

En pareil cas, ce n'est plus un mur de soM<(~<?~M'~

qu'il faut construire, mais un mur d'arrêt. Les règles

à suivre sont toutes différentes. Nous traiterons endernier lieu ce cas très peu fréquent,que pour l'instant

nous laisserons de côté. Nous le signalons seulement

en passant, parce qu'il est arrivé que des murs proje-

tés et construits suivant toutes les règles de l'art, avec

une stabilité qui semblait plus que satisfaisante, ont

été emportés avec une telle facilité, qu'il apparaissait

comme évidentque l'accident n'eût pu être évité, même

en attribuant à ces ouvrages des épaisseurs doubles

ou triples de celles réalisées, tl eût faitu en modifiercompïètement ta forme, ainsi que nous le verrons plus

loin.

3i. Calcul de la réaction minimum. – Supposons

qu'un massif de terre, limité par une surface libre

plane, d'inclinaison i (qui doit être anectée du signe -t-

si !e terrain s'eiève à partir du mur, et du signedans l'hypothèse contraire), soit soutenu par un mur àcrête horixonta!e, dont !e parement intérieur ptan soit

incliné sur la verticale de l'angle <x, positif si ce pare-ment a du fruit, négatif s'il est en surplomb.

Dans t'état d'équilibre inférieur. les actions molécu-laires de compression exercées sur le parement du murseront para!!è!es entre elles et proportionnelles auxdistances verticales y de leurs points d'application àla crête du mur. La résultante S de ces forces intérieu-res sera appliquée au tiers de la hauteur du mur, etsera dé~nie par sa projection horizontale Q, pousséedes terres, et par l'angle 6 qu'elle fait avec la normaleau mur, cet angle étant anec(é du signe + ou dusigne – suivant que !a composante tangentie!!e de laforce suivant )a parement du mur sera dirigée de lacrête 0 à ta base M, ou inversement moyennant cetteconvention, rangle de la force S avec l'horizontaleesttoujours égat à 9 -h <x. quels que soient les signes de cesdeux angles.

La poussée Q est fburnie par l'expression -~– où A

désigne !e poids du mètre cube de terre, et h la hau-teur QM du mur, distance verticale entre la crête,droite d'intersection du plan supérieur du terrain etdu pian du parf~enf intérieur du mur, et Farete infé-

rieure de ce parement (ng. 67, 68 et 69). A est un coef-

ficient variable, dont la valeur numérique dépend desangles i et <x, ainsi que de la donnée <p.

angle du talusnature! de la terre (1).

Dans le cas particulier oit l'inclinaison i du terrainest égale a + c. on a toujours, quelle que soit la

donnée <x:

cos' (« y) 1 + sin y cos (2« f)

cos* a sin p sio (2 a – y)

A/t*(i) La formule Q = A ––tombe en défaut quand le plan OM est

horizontal, puisque la hauteur A est nulle. C'est un cas tout à fait excep-tionnel

L'anglea est alors égal & – supérieur par conséquent à l'angle de glis-

sement p.

Le A.. COS~ (et –i)fi 1. 1Le facteur A, qui a pour expression ––~–– y (<) est innni. Mais !e

produit A qui apparait sous la forme indéterminée ocXo, a une valeurz

finie, fournie par J'expression–

cos* i /'(~, en désignantpar a la distance

horiMnta)c de t'extrémitéM du parement à son point d'intersection 0 avec la

surface libre.Nous verrons plus tard dans quelles circonstances on peut être conduit à

faire usage de cette formute

Si l'inclinaison i est inférieure à + il peut seprésenter trois cas, suivant la valeur attribuée a l'an-gle x.

i. Quand a est positif et plus grand que p (si i estpositif), ou que y (si i est négatif), on a

COS*(a – t) COS* (et – i) COSi ycos* i COS*y

ct cos' «~cos<+vcos.<-cos./

et pour <> o

tg == sin ? sin (2ct – j3 + 7)i sin y ces (2« + 7)

pour t < o

tn. 8 ==sin ~sin(&t-t-~–y)

8< – sin y cos (~ct + – y)

Les lignes de charge sont alors les droites d'incli-naison i relatives au cas du massif indénni a surfacelibre plane.

tt. Quand x est positifetinférieur~ ~(si est positif),ou à y (si i est négatif), l'angle & est égal à + ?, que) quesoit le signe de i.

Le facteur A parait être une fonction transcendanteinconnue de <x, et ?. On ne peut déterminer sa valeurnumérique, dans un cas donné, que de façon approxi'mative, en traçant par points une courbe de poussée,définie par une équation différentielle (art. 16) qui nesemble pas intégrable.

HL Quand x est négatif, !'angte6 a pour expres-sion, que! que soit le signe de i

.ç_ 9in~co9f2a- ~)t)ei + sinsin (2 « – ~)

En ce qui touche !e facteur A, nous renverrons à

l'observation précédente, qui s'applique sans modifi-cation.

Pour <x==– +~, la poussée est nulle. Le pare-

ment en surplomb du mur est incliné suivant le talusnaturel des terres cet ouvrage se réduit alors à unsimple revêtement ou perré, qui repose purement etsimplementsur le massif, et ne subit de celui-ci qu'uneréaction verticale équilibrant le poids propre de lamaçonnerie.

On trouvera à la fin de ce volume des tableauxnumériques renfermant

d" Pour les angles variant de 5" en 5" depuis 0° jus-qu'à 45", et pour les angles i variant de o" en o" depuis– jusqu'à + les valeurs numériques du facteur /*(t)

et des angles de rupture p et y. Ces renseignements faci-litent !e calcul de !a poussée quand l'angle x est plusgrand que p (sH > o) ou y (si i <o), et fournissentdanstous les cas le moyen de calculer l'angle 0 et par suitel'inclinaison 0 -(- <x de la réaction sur l'horizontale.

2° Pour les mêmes angles <p et i, les valeurs numé-riques du facteur A correspondant à tous les angles x,variant de 5" en o", depuis 2o" jusqu'à (si i > o),

ou y (si i < o) nous avons rappelé plus haut que !e

calcul direct de ce facteur serait alors impraticable(cas II et !). Ces tableaux renferment également uncertain nombre de valeurs du même facteur fournies

par l'équation A = (t) du cas t, lorsque x est

supérieur à p ou y.Nous avons dressé ces tableaux en utilisant les

équations de l'article 16 pour tracer par points un cer-tain nombre de lignes de poussée, et nous basant surles valeurs particulières de A ainsi obtenues pour en

i0

déduire les autres par interpolation graphique, Lescalculs nous ont conduit a donner ces résultats avectrois décimales, parce que la ditTérence entre deux

nombres consécutifs d'une môme série est le plus sou-vent de l'ordre de grandeur de la troisième décimale.

Mais il n'en faudrait pas conclure que l'exactitude de

nos renseignements s'étende jusqu'aux millièmes.

L'erreur probable, nulle pour la région correspon-dant au cas cro!t depuis zéro, à partir de K = ou

== et est susceptible d'atteindre quelques centièmes

pour les derniers -nombres de chaque colonne. Mais

cette approximation est plus que suffisante pour les

besoins de la pratique.On ne connaît jamais bien exactement la valeur de

l'angle du talus naturel ?, et on peut hésiter entre deux

nombres voisins situés sur la même ligne horizontale,

pour lesquels il y a un écart de o" entre les angles (?.

Or la différence entre ces deux nombres est toujourssupérieure à l'erreur qui a pu être commise dans le

calcul de chacun d'eux.On devra donc s'en tenir dans les applications pra-

tiques aux deux premiers chiffres du facteur A, enlaissant de côté le troisième, qui ne saurait inspirer de

confiance, et rendrait inutilement plus laborieux le

calcul numérique de la réaction minimum. L'erreurcommise pourra atteindre, le cas échéant, quelques

centièmes. Elle sera d'ailleurs beaucoup plus élevée sil'on n'est pas bien fixé sur l'angle s relatif auxterres que l'on a en vue.

Les différentes régions de ces tableaux, correspon-dant aux cas 1, l! et 111, ont été séparées par des barreshorizontales.

Les règles précédentes supposentqufla crête du mur

est horizontale et perpendiculaire à la droite de plusgrande pente de la surface libre plane du massif. Si le

mur est dirigé obliquement à cette ligne de pente, ous'il lui est parallèle, ou si enfin il a un tracé courbe, laréaction du massif cesse d'être située dans le plan de

la section transversale verticale de ce mur il existe

une composante tangentiellehorizontale. Les théorèmesdémontrés dans la première partie de cette étude nesont donc plus rigoureusement applicables, puisque le

plan de la section verticale du mur a cessé d'être unplan de symétrie du massif.

Toutefois on obtiendra dans les applications desrésultats suffisammentvoisins de la réalité en appli-

quant le même procède de calcul à une série de sectionsvoisines du mur, où l'on représentera par i l'inclinai-

son de la droite d'intersection du plan supérieur dumassif avec le plan de la section. On pourra négligerla composante tangentielle de cette section para!!è!e àla crête du mur, qui ne tend pas à provoquer un déver-sement, mais serait susceptible de le faire glisserlongitudinalement, si la fondation n'était pas solide-ment ancrée dans le sous-sol, au moyen de gradinssuccessifs horizontaux, ou même de préférence ayant

une légère inclinaison en sens inverse de la déc)ivitédu plan supérieur du massif, et de la pente correspon-dante de la crête du tnur.

Connaissantla poussée Q et l'angle 8, on en déduira

)a réaction totale par Ja formule == S o+

L'action moiécu!aire de compression exercée en unpoint quelconque du parement vertical, à la distanceverticale y au-dessous de la crête, aura une directionparallèle à celle de S, et une intensité s fournie par la

relation s=="~

avec composante horizontale,~=~.h~

32. Cas d'un terrain à surface libre accidentée.Supposons qu'à une certaine distance de la crète du

mur l'inclinaison de la surface libre du massif se mo-difie brusquement, et passe de i à Quelle sera l'in-fluence de ce changement de pente sur la pousséetransmise au mur? La réaction ne sera plus en ce casproportionnelleau carré de la hauteur elle ne passerapas aux deux tiers de la hauteur, et J'angle 9 pourradifférer de

Nous n'avons pas tenté la résolution exacte de ceproblème, qui nous a semblé impraticable, les lignesde charge n'étant. plus des courbes homothétiques.

Nous nous bornerons à indiquer une règle empiri-que, qui semble devoir donner des résultats suffisam-ment approchés pour les besoins de la pratique.

Menons par le point M, arête inférieure du parementdu mur, une horizontale MT et une droite MS faisantavec la précédente l'angle Par l'intersection 0' desdeux plans d'inclinaisons i et i', menons une parallèle

à OM, qui rencontrera en N' et M' les deux droitesissues de M.

Désignons par A le facteur de la poussée relatifà l'inclinaison i, et par A' ce même facteur pour l'incli-naison i' ces deux coefficients seront fournis par lestables numériques dont il a été parlé à l'article précé-dent.

Soient a' la longueur du segment 0' N' et b' la lon-gueur du segment 0' M'. On admettra que la poussée Qexercée sur te mur a pour expression

Q=~[A/~(A-A)~].Suivant que l'inclinaison sera supérieure ou infé-

rieure à l'inclinaison initiale i, A' sera plus grand ouplus petit que A; par conséquent le changement de penteproduira un accroissement ou une diminution de lapoussée. Il faudra, faute de mieux, attribuer à l'angle 6

la valeur trouvée pour le plan d'inclinaison i, sanstenir compte du changementde pente, et admettre quela poussée passe au tiers de la hauteur.

Si l'on applique cette méthode de calcul au cas oùl'angle i est égal à -t- <p, la droite 0 0' est parallèle à ladroite MS, la distance 0' N' ou a' est égale à OM, et parsuite le facteur – ne s'annule que si le point 0' estrejeté à l'infini. L'influence du changement de pente,de i à i', se fait donc sentir, quelque grande que soitla distance du point 0' à la crête du mur. Ce résultat,qui a priori peut sembler étrange, est exact et rigou-reusement conforme à la théorie.

Quand le point0' se trouvesur la droite MS, il résultede la règle empirique que le changement de penten'influe pas sur la valeur de la poussée, ce qui ne sau-rait être toujours vrai. Le cas le plus défavorable estcelui où l'on a ==– y et <'==+ y, le profil du secondplan coïncidant avec la droite MS. En ce cas le coeffi,cient A relatif à la pente i, qui d'après la règle serait

F)~are73.

seul utilisé pour le calcul de la poussée, sans teniraucun compte du changement de pente, nous paraît enrea!ite devoir être majore de S a 10 0/0, suivant lavaleur de l'angle et. C'est de notre part une simpleappréciation que nous ne pouvons étayer d'aucunepreuve positive, mais qui ressort de considérationsplausibles, dont !e développement serait ici sansintérêt.

!1 est bien entendu que si le point 0' se trouve placéau-dessous de la ligne MS, on ne devra a /or~ort teniraucun compte du changement d'inclinaison, considérécomme sans effet sur la stabilité du mur.

Nous proposerons d'étendre le môme mode de calculau cas de changements de pente multiples.

Le proni du terrain, dans le plan vertical de la sec-tion du mur, est en ce cas une ligne brisée, dont lessommets successifs 0', 0", 0' etc., correspondent àdes angles saillants ou rentrants de la surface libre.On ne prendra en considération que la partie de laligne brisée comprise entre l'origine 0 et son point derencontre P avec la droite OS d'inclinaison -t-

M M' M" M" M" M"

Figure 74.

Pour chaque sommet 0', 0", etc., on mènera uneparallèle 0' M'. 0" M", etc., au parement intérieur dumurOM. On mesurera les longueurs

0' N' =- a', 0' M' ==b' 0" N" =«", 0" M" == etc

Si l'on désigne par A, A', A", A" les coefficients depoussée, relatifs au parement d'inclinaison <x, fournis

par le tableau numérique pour les inc!inaisonsi, t', i"

des côtés successifs de la ligne brisée, 00', 0'0",

0"0'etc,, on calculera la poussée par la formule:

~ftt~ ..a'*cos'tt, .a"'cos'6<, lQ=g-[A/+(A–A)–~–(A –A)–~–+.J.Cette règle, qui a le mérite d'être simple et d'une

application facile, se rapprochera d'autant plus de ]avérité que !e profil en ligne brisée sera lui-même plusvoisin de la droite partant de 0 avec l'inclinaison + y,et par suite que la poussée sera plus considérable. Elle

pourra donner lieu à une erreur par défaut, pouvantaller jusqu'à 10 0/0, quand le profil se rapprocheraà partir de 0 de la droite d'inclinaison <p, et à partirde P de la droite d'inclinaison -)- y.

Dans le cas où la surface libre du terrain aurait unprofil curviligne, on pourra encore appliquer la règleprécédente, en substituant à la courbe une ligne briséecirconscrite. L'erreur commise de ce chef, correspon-dant à la surface comprise entre la courbe et la lignebrisée, sera toujours insignifiante.

33. Cas d'un terrain tormé de bancs superposés. –Supposons que le massif soutenu par le mur soit con-stitué par une succession de couches distinctes, dontles plans de séparation soient parallèles a la surfacelibre. Admettons d'abord que ces couches, de mêmedensité, aient des angle"; de rupture différents. SoientA.. A,, A,. les coefficients de poussée qui, pour lesdonnées i et correspondent a ces angles de rupture?"?"

On calculera séparément la poussée qu'exerce cha-cune d'pHcs sur le plan du mur, par la formule sui-vante qui, sans être rigoureuse, est suffisammentexacte pour !os besoins de la pratique

Q=-A-L(w').

On a désigné par les lettres w et M les distances ver-ticales de la crête 0 aux points de rencontre avec leplan du mur des lits inférieur et supérieur de la cou-che envisagée.

F)gure75.

Cette poussée partielle sera apphquée sur le plan dumur à la distance verticale de la crête fournie par larelation 1 m' –

22 M'–M*

Par exemple, pour la quatrième couche CD de lafigure 7u, dont l'angle de rupture est on écrira

Q. =A,~ ((<6+C+~–(~+6+C/);

M=1 (a+&+c+~-(<!+&+c)'

3 (~ & + e +</)'–(<!+&+ c)'

I.a réaction S,, dont la projection horizontale est lapoussée Q.. précédemment calculée, fera avec la nor-male au pian du mur !'an~!e correspondant aux don-nées et <x, ainsi qu' la valeur ?< de l'angle de rupturepour la couche envisagée.

Si Fonjuge que les densités des couches successives

sont trop différentes, pour qu'il soit permis d'attribuerà l'ensemble du massif la densité moyenne A, onmodifiera, dans !e calcul relatif à chaque couche, leshauteurs partielles relatives aux couches supérieures,de façon à ramener celles-ci à la même densité, sanschanger leur poids. Par exemple, dans le calcul de Q,et u., on prendra

~==~+~+<~t ~t ~4~=~~+&c~.

&t A, A,

Si les faces séparatrices des couches ne ~ont pasparallèles à la surface libre, le problème se complique.Il nous a paru inutile de traiter cette question, vu sonfaible intérêt pratique. On peut toujours en pareil casadmettre le parallélisme des couches dans le calcul dela poussée.

Nous insistons sur ce fait que les formules précé-dentes ne sont pas exactes, parce qu'elles supposentimplicitement que les lignes de charge dans le terrainhétérogène sont des droites parallèles à la surfacelibre. Or on sait que, tout au moins dans le voisinageimmédiat du mur, tes lignes de charge sont des cour-bes. Mais nous estimons que l'erreur commise ne sau-rait être importante.

S'il existe dans le terrain un plan de glisse men t, lapoussée de la tranche de terrain supérieure a ce plansera augmentée elle correspondra a l'état d'équilibredu massif pour lequel la réaction exercée sur le planfait avec la normale au plan d'application un angleéga! ir On déterminera tes conditions d'équilibre etla poussée correspondante, par la méthode exposéedans l'article 27.

34. Oas d'un terrain anrcharoè. Si le massif porte

ues constructions ou des dépôts de matériaux et mar-chandises, ces poids additionnels donnent Heu à unaccroissementde la poussée.

Le seul procédé pratique d'en tenir compte nousparaît être de remplacer ces surcharges par des tas de

terre de poids équivalents, ayant leurs centres de gra-vité à la même distance horizontale de la crète du

mur, et limités par des faces inclinées suivant le talusnaturel quand les édinces ont des parements verti-

caux. Après quoi on appliquera la règle précédente. 11

semble incontestable que cette méthode simple nepourra donner qu'une erreur par excès, la substitutionà un corps solide d'une masse de même poids sanscohésion devant être considérée comme défavorable

pour le mur.Comme les surcharges dont il s'agit ont en général

un poids relativement faible, si on le compareceluidu massif de terre qui les porte, cette manière de pro-céder ne semble pas critiquable au point de vue pra*

tique, en ce que {'erreur ne pourra jamais représenterqu'une minime fraction de la poussée.

3B. Cas d'un remblai oomprieentre deux murs paral-lèles. Nous avons vu (art. 26) que, pour nn massifcompris entre deux murs parallèles suffisammentrap-prochés, la réaction sur chacun d'eux passe au-dessusdu tiers de la hauteur, et peut être très petite. Par con-tre, la réaction maximum, correspondant à l'étatd'équilibre supérieur, devient très considérable. H enrésulte que si l'on peut tabler sur une poussée mini-mum peu élevée, les accroissements possibles, dus àdes circonstances accidentelles, seront relativementbeaucoup plus importants que pour un mur adossé à

un massif indéfini. On ne doit donc pas craindre, enpareil cas, d'évaluer un peu trop haut !a poussée mi-nimum, si t'en veut se ménager une marge de sécuritéconvenable.

Nous proposerons de faire !e calcul, pour chaquemur, dans Fhypothëse où !e mur opposé serait sup-prime et remplacé par un massif triangulaire réglésuivant !e talus nature!. On appliquera a ce profil briséta (le l'article 32, et l'on obtiendra ainsi un ré-sultat un peu supérieur a la réaUté.

Si l'écartement mutuel des deux murs dépasseA cotg ?. ja ngne obiique MS passe au-dessus de la

crête du mur opposé l'influence de celui-ci devraalors être considérée comme néghgeabie, et l'on éva-luera la réaction minimum comme si chaque murétait adossé à un massif indénni.

3C. Calcul de la poussée pour un mur à parementpolygonal ou courbe. Supposons que le profil inté-rieur du mur, au lieu d'être une droite comme nousl'avons admis jusqu'à présent, soit une ligne brisée.

concave ou convexe.On calculera séparément la réaction relative à cha-

cun des éléments rectilignes de ce profil brisé.Considérons par exemple le côté MN. Soient c et c~

les distances verticales de ses deux extrémités à sonintersection 0< avec le profil du terrain a, l'anglequ'il fait avec la verticale A, le coefficient de poussée,

fonction de ?, ? et x, qui aura des valeurs différentes

pour les côtés successifs, inégalement inclinés sur laverticale.

Pour chaque élément rectiligne, la poussée ~!emen-

taire sera 9, = A, A~ étant ta distance verticale du

point considéré au sommet 0,.La poussée totale sera:

Q,==~A~=~(~ -c-).

Le point d'application de cette poussée sera p!acé a

ta distance verticale u du point 0, fournie par la rela-

tion2 (< – c~)

3 (<~ c')

Enfin la réaction totale exercée sur cette région du

mur aura pour expressionS~0.COS~.+t.,)'

t, étant l'angle avec la normale relatif aux données o,et <x,.

On établira l'épure de stabilité du mur en tenantcompte de toutes les réactions, de directions et de

grandeurs variables, correspondant chacune à un deséléments de !a ligne brisée.

On pourrait à la rigueur simplifier les opérationsen

substituant à la ligne brisée sa corde OR, et calculant

une seule poussée, passant aux deux tiers de ia hauteurà partir de la crête, et correspondant a cette corde,dont l'obliquité sur la verticale est une moyenne desangles a" a~ etc. Mais ce mode de procéder sembledevoir comporter plus de chances d'erreur, et vérita-blement l'emploi de la première méthode, à coup sûrplus exacte, n'exige pas d'opérations trop compliquéesil ne semble pas qu'il y ait intérêt à les simplineretàles abréger.

Si le profil intérieur du mur, au lieu d'être uneligne brisée, était une courbe, on substituerait àcelle-ci un polygone circonscrit, auquel on applique-rait le mode de calcul exposé ci-dessus. La précisionserait d'autant plus grande qu'on aurait attribué A cepolygone un plus grand nombre de côtés, de façon a

serrer la courbe d'aussi près que possible.Presque toujours on attribue au parement intérieur

des murs de soutènement un profil en esca!ier ou agradins, dont nous signalerons plus loin l'utilité.

On pourrait encore appHquer purement et simple-ment la méthode précédente, en considérant successi-

vement les côtés verticaux et les côtes horizontauxdecette ligne brisée. Mais il n'y aura aucun inconvénientu se baser sur le profil obtenu en joignantpar des droi-tes les sommets des angles saillants des gradins. Lesprismes triangulaires de terre compris entre la ligneà gradins et le polygone en question seront rattachés à

la maçonnerie on considérera qu'ils n'influent sur lastabilité que par leur poids propre, égal à leur volumemultiplié par la densité A de la terre.

37. Circonstances susceptibles de relever la pousséeau-dessus du minimum calculé, et précautionsà prendrea leur sujet. Nous avons signalé précédemment quela réaction sur le mur, tout en se rapprochant du mini.mum correspondant à l'état d'équilibre inférieur dumassif, par l'effet même de la déformation élastiquede la maçonnerie, était susceptible de se maintenir au-dessus, même à l'instant où l'ouvrage est sur le pointd'être renversé.

Nous rappellerons tout d'abord que la méthode decalcul attribue à l'angle de frottement de la terre surle mur une valeur au moins égale à celle de l'angle<p du talus naturel.

Supposons qu'il en soit autrement, et que cet anglesoit inférieur a la valeur de l'angle & fournie par laméthode de l'article 3i.

Au moment où l'angle de la réaction avec la nor-male au plan du parement descendra au-dessous dependant le changement d'équilibre du massif, la terreéprouvera un léger glissement contre le mur, et cemouvement de descente, si faible qu'il soit, donneralieu .') une compression de la matière, qui relèvera lapoussée. Quelle que soit l'importance du déversementdu mur, la poussée ne tombera pas au-dessous de la

valeur correspondant n la condition 9=='}', et resterapar conséquent supérieure au minimum calculé, jus-qu'à la chute finale de l'ouvrage, si celui-ci ne remplitpas les conditionsde stabilité nécessaires.

Nous avons d'ailleurs déjà démontré (arf. 23) quel'abaissement au-dessous de y de l'angle 0 correspondà un relèvement de !a ligne de poussée, et par suite àun accroissementde la réaction sur le mur.

La surface du parement intérieur du mur, alorsmême qu'elle serait continue, est toujours assez irré-gulière et raboteuse pour que l'angle ne diffère passensiblementde y, quand le massifest formé de parti-cules solides, pierrailles ou gravier, non mélangées deterre végétale ou argileuse. Mais, dans l'hypothèse con-traire, il arrive que les eaux d'infiltration, en descen-dant le long du mur, mouillent et ramollissent leterrain '?ur une faib!e épaisseur. et par là-même déter-minent une réduction de l'angle de frottementdans !evoisinage immédiat du parement il peut résulter decette circonstance un glissement local du massif avecrelèvement de la poussée.

Figure 82. Figure 83.

Pour écarter cette cventuahté, le temède le plus effi-

cace et le plus simple consiste << supprimer la conti-nuité du parement en lui attribuant un profil en esca-

n

!ier ou à gradins (fig. 82), avec angles rectanguiairesalternativementsaillants et rentrants.

Dans ces conditions le glissement ne peut s'opérerque dans !e terrain lui-même, traversé par des lignesde fracture aboutissant il chaque sommet de la lignebrisée, et le ramollissement par imbibition d'unezone étroite, au contact de ]a maçonnerie, ne suffitplus pour provoquer un mouvement de descente dumassif.

On peut obtenir le même résultat par d'autres dispo-sitifs, ayantaussi pour effet de rompre la continuité duparement saisies en encorbeHement(ng.84), ou bien

Fif;u).-84. Pi~ureSS.

iiba~es enchâsses dans )a maçonnerie et faisan' saithe

sur le parement, qui est ()it alors appareiHé en /r~-so~(n~.8u).

Ces mesures de précaution peuvent être insufnsan-tes si le ramoHissement du terrain est dû a des eauxsuperncictjes abondantes,ou des eaux souterrainesqui, arrhes par !a maçonnerie, renuent sur toute la

hauteur du mur en détrempant !e terrain sur une forte

épaisseur, qui cnp!obe les saillies du parement.Si t un prévoit pareme éventualité. H convient de

drainer te terrain en arrière du mur, pour recueillir

les eaux superficielles et les eaux souterraines, el lesévacuer au dehors par des aqueducs, ou par des barba-canes pratiquées dans la maçonnerie.

Les constructeurs ont l'habitude, toutes les fois quece!a est possible, d'intercaler entre le mur et le ter-rain un garnissage en pierres sèches ou pierrailles,dont les éléments sont fournis par les déchets du cnan.tier de maçonnerie. On obtient de la sorte, à peu deirais, un drainage général très efficace, qui est unegarantie certaine contre la stagnation des eaux, pourvuque l'évacuation'à l'extérieur soit assurée par des dis-positifs convenables.

Nous avons montré que la déformation élastique dumur a pour conséquence de modifier l'équilibre dumassif en le rapprochant de l'état limite inférieur, avecréductionde la poussée.

Mais pour que ce changement d'équilibre s'opérâtégalement et simultanément dans toutes les trancheshorizontales du terr.nn, il faudrait que l'espace addi-tionnel résultant du fléchissement de !a maçonnerieallait en croissant de haut en bas, pour correspondre àla décompression des molécules. Or si l'ouvrage a unefondation solide, s'il est par exemple encastré dans lerocher, le déptacement élastique ne résultera pasd'une translation horixontate, mais bien d'une rotationautour de la base, restée fixe.

Mats alors la décompressicn s'opérera suivant unelui décroissantedepuis le hau! jusqu'au bas, la tranchesupérieure du massifatteignant l'état limite, alors quela tranche inférieure n'aura encore subi aucune modi-ncation dans son état d'équitibre primitif.

Au moment même oit la surface Hbre se nssurera,après avoir dépassé l'état inférieur, le cocHicicnt de

poussée présentera des valeurs croissantes avec la

profondeur y au-dessous du plan supérieur. Or i! suf-

fit d'un éboutonent supernciel du massifpour compro-mettre la stabilité du mur, par suite de l'effet dynami-

que qu'il produit.I! faut donc prévoir que la déformation élastique du

mur n'aura pu ramener sur toute sa hauteur le massif

a l'état d'équilibre inférieur, par suite d'une décom-

pression incomplète des tranches avoisinant la base

de tondation invariable. Te! est le motif qui justifie la

recommandation faite plus haut de se réserver une

marge de sécurité notable, en adoptant une limite de

travail à )a compression très modérée eu égard à la

qualité de la maçonnerie, parce que la poussée réelle,

au momenton !e mur est mis eu danger par le crevas.sèment de la surface libre, est forcément supérieur auminimum calculé.

t! y aura lieu en outre, et pour le même motif, de

faire le nécessaire pour que lors de la mise en charge

du mur, l'excédent de la poussée réelle sur la poussée

minimum soit aussi faible que possible, surtout dans

la région inférieure du massif, où l'on ne peut pas

compter sur le néchissement de la maçonnerie pouratténuer la poussée dans une mesure notable.

En ce qui touche les murs (le tranchée, il n'y a

aucune précaution spéciale a prendre. en est de

même pour les rembtais pierreux ou graveleux, sansmélange de terre, qui sont très peu compressibles. Mais

s'i! s'agit d'un remblais terreux, et tout spéciatem nt

d'une terre forte ou argileuse, le pilonnage par couches

mmces, (tans te voisinage immédiat du mur, est une

mesure fort utile et parfois indispensable.

Dans un n'mb!ai exécuté a !a vo!ée, avec des débtais

de cette nature, les mottes s'amenèrent sans se briseret s'émietter, et laissent entre elles des vides considé-rables si bien que le volume du remblai peut se trou-ver supérieur de uO 0/0 à celui de la fouille d'extrac-tion. C'est ce que l'on appelle le /bMo~K?~e~< desterres.

Quand le remblai a atteint une grande hauteur, lacharge dépasse la limite de résistance de ces mottes,surtout si elles ont été amoHies par un temps plu-vieux, et elles s'écrasent en remplissant les vides deleurs débris. I! se manifeste alors un affaissementbrusque de foute la masse. Si le terrassement a étéenectué pendant la saison sèche, il arrive que les mor-ceaux de terre ont au momentde leur emploi une con-sistance analogue a celle d'un calcaire tendre, et peu-vent résister a des charges élevées. Mais les premiërespluies alourdissent la tranche supérieure du remblaien l'imbibant d'eau d'autre part les infiltrationspénè-trent dans les vides et détrempent les mottes. C'estalors que se produit le tassement, donnant lieu a unechûte verticale, .ariabie depuis xéro a la base du rem-blai jusqu'à son maximum a la crète du mur, quiatteint parfois t/5 de la hauteur totale. La force vivecorrespondante est a la vérité peu considérable, maiscomme elle n'est détruite que par l'émiettement et lacompression du massif lui-même, on conçoit qu'ilpuisse eu résulter une augmentation notable des près'sions intérieures, et par suite un accroissement trèsappréciable dans la réaction subie par le mur. On aconstaté bien souvent qu'un tassement relativementfaible peut déterminer dans un mur des d''formationsdépassant la limite d'élasticité de la maçonnerie, pro-voquer des fissures et déterminer un surptomb inquié-

tant. I! n'est n'est pas sans exemple que des ouvragesdont la solidité inspirait toute confiance, aient été ren-versés a jta suite d'un tassement brusque du remblai.

Le remède préventif à employerest en ce cas de pi-lonner les terres jusqu'à quelques mètres de distanceduparement du mur cette opération brise les mottes etfait du remblai une masse compacte, sans vides inté-rieurs, dont le tassement ultérieur sera toujours insi-gnifiant ~t sans effet fâcheux.

Si la terre est trop sèche et résiste au pilon, il suffitde l'arroser légèrement pour détruire sa cohésion.

On peut même, avec les terres végétales ou les ter-res grasses ordinaires, se dispenser du pilonnage, etobtenir le tassementpar un arrosage abondant opérésur des couches horizontalessuccessives. Mais le pilonest toujours nécessaire pour les matières compacteset dures, marnes et argile dure, craie, etc., que lemouillage ne saurait a lui seul déliter et réduire enpâte.

On s'est dispensé souvent de cette opération pour lesremblais graveleux et sableux, sans mélange de terremeuble, bien qu'ils soient sujets à éprouver aux pre-mières pluies un qui, a la vérité, est peuimportant. On a cependant constaté expérimentale-ment que la poussée exercée sur un mur par un rem-blai <te sable fin propre, sans mélange de terre, étaitdiminuée do f.tpon sensible par t opération du pilon-nage. Kn cas de doute, on peut recourir au critériumsuivant taire un tas de la terre destinée au remblai ett'arroser abondamment. Si le tas garde sa (orme, lepilonnage est inutite. S'it s'abaisse et diminue sensi-blement de volume, il voudra mieux prescrire cetteopération.

En définitive, les précautions à prendre pour atté-nuer dans la mesure du possible la réaction du massifsur le mur, et éviter des accidents inquiétants et par-fois irrémédiables, sont les suivantes

1° Exécution d'un parement discontinu, à gradins, àsaillies, ou à maçonnerieen hérisson

2° Drainage des eaux superficielles abondantes etdes eaux souterraines, et évacuation par des aqueducs,des caniveaux ou des barbacanes.

3" Garnissage en pierres sèches ou pierrailles entrele mur et le terrain proprement dit. Cette dispositionassure, d'aiiïeurs, en cas de besoin, le drainage deseaux de façon très efficace et très économiq ue.

4" Pilonnage des terres en arrière du mur sur unedistance variable d'après la hauteur, qui peut êtreréduite à t mètre ou 1 m. 50. C'est là affaire d'expé-rience et d'appréciation.

Toutes ces mesures, inutiles pour les remblais pier-reux, sans grand intérêt pour les massifs de gravierou de sable pur, sont recommander pour les terreslégères et sablonneuses. Elles sont indispensablespourles terres fortes et compactes, plus ou moins chargéesd'argile ou de marne.

38 froNla des mura de aoutènement. Si l'ondonne au parement intérieur du mur l'inclinaison– -+- x, correspondant au talus naturel des terres,

la poussée sera nulle l'ouvrage pourra être réduit à

un simptc revêtement ou perré en maçonnerie, :'< pierresèche si on h'jugea propos, dont !e rôle consistera nonn soutenir les terres, mais simplement :') protéger leursurface libre entre les dégradations et les corrosions.

Si cette solution économique ne peut être admise,en raison de l'espace trop considérablequ'occuperait letalus nature! du terrain en avant de !a crête, ou pourtout aut:-e motif (en matière de fortification par exem-ple, il s'agit de rendre !a crête inaccessible à l'assail-!ant), ou recourra au mur de soutènement,qui permetde raidir à volonté la face terminale du massif, jus-qu'à la ramener à la direction verticale, s'it en estbesoin.

Supposons que l'on se donne a priori le fruit tota! dumur, c'est-à-dire la distance horizontale AC de l'arêtede renversement A, placée à la base du parement exté-rieur, à l'arête supérieure C. Les épaisseursde maçon-nerie exigées par la stabilité seront d'autant plus fai-bles que ce fruit sera plus grand, pour deux motifsd'abord la poussée des terres diminueau fur et à mesureque le parement intérieur se rapproche du talus natu-re! d'autre part, le centre de gravitéde la maçonnerieest d'autant plus éioigné de Faréte de renversement,et par suite !e moment de stabilité est d'autant plusélevé, que la droite CA est plus écartée de la verticale.

Fixons arbitrairement, par des considérationsd'or-dre pratique, ou des convenances spéciales au cas envi-sagé, l'épaisseur CO au sommet du mur, et attribuonsprovisoirement au parement intérieur la directionOM,qui a ~'w: nous semblera pouvoir convenir. Aprèsavoir déterminé la réaction exercée par le massif surce parement, qui dépend de h) nature de la terre etde !'ang!e x que fait la droite OM avec la verticale, ilso':< f.u-ijc do vérifier j:< stabiHté du mur ACOM.cn<cu);)))t, p;)r ia n'gtc du triante ou celle du h'apcxe,lu tt.n.n! ()o c'onprt'ssion exercé sur t'.tréte de renvcr-spnh'nt A. Si !c résutht trouvé par.dt soit trop fort soit

trop faible, on augmentera ou on réduira l'épaisseurdu mur en écartantou rapprochant le point M du pointA.On procédera ensuite à un second calcul, basé sur la

nouvelle valeur attribuée a Fangle x, et, après quel-

ques tâtonnements, on obtiendra pour le travail decompression sur l'arête de renversement la limite desécurité R fixée a l'avance.

11 sera d'ailleurs inutile de vérifier pour tout autrepoint du parement que le travail est intérieur à cettelimite, parce qu'il n'en saurait être autrementavec unouvrage disposé de la sorte.

Ce profil trapézoïdal est le plus usité pour les mursde hauteur médiocre ou ordinaire il n'exige qu'uncalcul très simple, et l'exécution en est facile, toutesles faces du mur étant ptanes. Mais ce n'est pas, a coupsur, une solution économique, si la hauteur est un peugrande et donne lieu a une poussée considérable.

Pour réduire au minimum le volume de la ma-çonnerie et l'étendue de la base de fondation, il con-viendra de substituer au profit rectitignedu parementextérieur un profit courbe ayant au sommet la direc-tion verticaie, et curant des inclinaisons croissantjusqu'à !a base, avec des rayons de courbure de

plus en plus petits. On calculera, d'autre part, lesépaisseurssuccessives du mur par tranches horizonta-les de peu de hauteur, de façon à obtenir dans chaquesection le même travail de compression R sur l'arêtedu parement extérieur, ce qui conduira à un profilintérieur également courbe.

Dans chaque opération numérique, on déterminerala résultante des forces extérieures relatives à la sectionconsidérée, en composant la réaction exercée par lemassif sur la partie de parement située au-dessusdecette section, avec le poids de la maçonnerie supé-rieure.

On n'a qu'à se reporter, pour les détails du calcul, ace qui a été dit au sujet des murs de réservoirs leproblème a résoudre est le même, sauf que chaque

réaction élémentaire -s== fait l'angle 9 avec la

normale a t'étémont correspondant du parement inté-rieur.

Cette étude pourra être un peu longue et laborieuse,maison définitive on arrivera, après quelques tâton-nements, a réaliser un profil d'égale résistance quisans nul doute sera, pour une hauteur un peu grande,beaucoup plus économique, a stabilité égale, que leprotit usuel en trapèze.

Toutes les fois que tfs recherches ainsi dirigées con-duisent .'< un parement intérieur en surplomb, plan oucourbe, on a une solution peu coûteuse, mais qui neconvient guëre qu'a un mur de tranchée, quand leterrain de déblai a une cohésion nuffisante pour qu'onpuisse le taitter sans crainte d'éboutemcnt suivant untalus assez raide pour reproduire exactement le profildu parement intérieur du mur.

Le travail de construction s'effectue sans difficulté et

dans d'excellentes conditions pratiques, si le maçon

peut appuyer la maçonnerie contre !a surface du ter-

rain bien dressée a l'avance (ng. 87).

Mais il n'en serait pas de même pour un mur des-

tiné à soutenir un remblai, a élever après coup !a

construction du mur en surplomb n'est pas une opéra-

tion pratique. (Test pourquoi onestobhgé d'attribuer

a t'an~ex une valeur positive, ou tout au plus nulle,c'est-à-dire correspondant a un parement intérieur

vcrtica! ou ayant un très h'er fruit du côte des terres

(i~. 88~.Quand, par suite de sujétions sp('-cia!cs, on est condutt

à dresser verticalement le parement extérieur, ou a ne

lui donner qu'un fruit insinninant, du dixième ou du

vingtième de sa hauteur, la solution imposée est la

moins économique, au point de vue du cube des

maçonneriesa exécuter (fin. 89).

Le choix a faire entre un parement intérieur plan ou

un parement courbe dépendra de t'ecart existant entre

la surface du prom trapezo'da! et celle dupron! dega!e

résistance cet écart sera d'autant plus important que

la hauteur sera ptusconsiderahte.Pourde petits murs

de soutènement, il est sans intérêt de compliquer lescalculs et le travail des maçons par l'adoption d'unpronicourbe.

H est bien entendu qu'après avoir arrêté le contourthéorique du mur, ou devra modifier, s'il y a lieu, letracé du parement intérieur pour y ménager les gra-dins ou les saillies destinées a relier le mur au terrain.Cette modification, n'apportant que des changementsinsignifiants dans les conditions de stabilité, ne sau-rait justifier de nouveaux calculs.

ae. Mnra à contreforts. Si l'on veut renforcerun profil courant de stabilité insufnsante par des con-treforts en saillie, il est préférable de placer ces contre-forts à l'extérieur (fig. 90).

Le moment de stabihte, c'cst-a-dire !e moment dupoids de la maçonnerie par rapport a l'arête de ren-versement, située au pied des contreforts,est en effetplus considérable, et le mur est plus apte à résister auxpoussées horixonta!es.

Cette solution, évidemment la meilleure, n'est pastoujours réalisable. Si l'ouest oblige de placer les con-treforts du côte des terres, il faut les bien relier aumur de masque pour éviter une disjonction, qui se

manifeste parfois par des fissures verticales apparen-tes, auquel cas le contrefort perd beaucoup de sonefficacité. On a quelquefois été obligé, pour remédierà cet accident, de relier les contreforts au mur aumoyen de chaînages métaUiques.

40.–Fondations des mura.– Quand un mur reposesur un terrain rocheux ou pierreux offrant une résis-tance à la compression équivalente à celle de la maçon-nerie, il n'y a aucune précaution spéciale à prendrepour asseoir l'ouvrage sur sa base de fondation. 11 n'enest pas de même si la résistance de la fondation (pilo-tis, terrain sensiblement compressible, argile compacte,marne, calcaire tendre, gravier ou sable argileux) estinférieure à celle de la maçonnerie. 11 faut alors agran-dir la base de fondation t'é!argissement doit êtrepratiqué de préférence en avant du parement extérieur,pour écarter Faréte de renversementde ia verticale ducentre de gravité de la maçonnerie.

Si l'on prévoit un tassementdu terrain d'appui, nousrecommanderons de calculer largement ce surcroitd'épaisseur de Ja maçonnerie de fondation, de tellemanière que la résultante des forces extérieures appli-quées au mur (réaction des terres et poids propre de lamaçonnerie) passe par ie centre de gravité de la based'appui (fig. 92).

Dans ces conditions, ie tassement s'effectueravertica-lement, sans que le mur éprouve aucun déversementni .< !'av:m! ni .'< l'arrière. D'autre part la charge serépartira uniformémentsur la surface de contact avecle terrain, et par suite la pression y sera réduite auminimum.

L'n élargissement de la fondation pratiqué en

arrière, du côté du massif, est beaucoup moins effi-

cace. La maçonnerie en supplément n'influe guère surla stabilité que par son poids propre en appliquant la

règle du triangle, on constate que }a pression est nulle

sur la surface ajoutée à la base d'appui. Avec un

ouvrage fondé de cette façon, !e tassementdu sol déter-

mine forcément un déversement du mur qui s'incline

en avant. Cette déformation, à supposer qu'elle necompromette pas la stabilité, est toujours d'un effetfâcheux. Elle est susceptible de s'accentuer avec le

temps si, par suite de circonstancesaccidentelles, parexemple une inondation ou une invasion d'eaux sou-terraines, le sol constituant la base d'appui vient à seramollir, avec diminution de sa résistance.

Si l'on se trouvait dans l'impossibilitéde faire saillirle massifde fondation en avant du parement extérieur,

on devrait le cas échéant réduire le poids de l'ouvrageet reculer en arrière son centre de gravité, au moyend'évidements pratiqués dans le mur, couverts par desvoûtes et fermés par un mur continu maintenant les

terres. Ce serait là en somme un profil de mur à con-treforts. Ceux-ci seraient les piédroits des voûtes suc-cessives, et !e mur de masque se trouverait incliné surlu verticale.

On a applique ce mode de construction à des mursde quai, dans des ports maritimes, quand les fonda-tions étaient difficiles et inspiraient peu de confianceil permet, en attribuant une épaisseur convenable à la

basedu mur, de faire passer la résultantedes fbrcesexté-rieures par le centre de gravité de cette base.

La limite de sécurité à admettre pour la pressionsur le sol de fondation sera indiquée par l'expérience,ou pourra résulter d'uu calcul approximatif, basé surla consistance du sol, au sujet duquel nous renverronsà l'article i4, où cette question a été traitée.

Dans l'étude que nous venons de faire, nous n'avonsenvisagé que la charge verticale à f;)ire supporter parla fondation, en laissant de côté la composante hori-zontale de la réaction exercée par le mur sur sa based'appui. Or cette composante, qui est la poussée desterres, détermine dans !e sol des actions tan~ntietteshorizontales,qui peuvent provoquer la chute du mur,par un glissement générai de la couche qui le porte. U

faut donc que cette poussée soit équilibrée par une forcehorizontale égaie et de sens opposé, que nous appelle-rons la butée du sol dans lequel le mur est encastré.

Figure 96.

Après avoir vériHe que la compression du terrain nedépassera pas la limite de sécurité admise, il convien-dra de s'assurerque sa butée, c'est-à-dire l'cH'ort hori-zontal qu'on peut lui taire subir sans le désagréger etsans le refouler en arrière, est au moins é~nte à lapoussée du massif.

Nous renverrons pour t'etude de cette question àl'article 43, relatif a la butée des ~yes. Nous y indi-querons la méthode a suivrf pour vérifier qu'une fon-dation, reconnue suffisammentstable en ce qui touchela résistance aux charges verticales, l'est égalementau point de vue de la résistance à la poussée horizon-tale.

4i. Dea CMtees de déc'*adattonet de ruine des mure deeoutenement. – Un mur de soutènement peut manquerde stabilité

1° Par insuffisance d'épaisseur de la maçonnerie,auquel cas l'ouvrage se déforme et se gauchit, avec

déplacement en avant de la crête. Le parement se fis-

sure, le mortier se désagrège, et les pierres éciatent2" Par compression exagérée du sol de fondation.

L'ouvrageéprouve un tassementvertica!,généralementaccompagna d'un déversement vers l'extérieur (ng. 94)

parce que la pression sur t'aréte de renversement estplus élevée que sur le côté opposé de !a base !e murpeut être culbuté en avant

Figure 97.

3° Par insuffisance de butée du sol de fondation. Lapoussée chasse le mur en avant, et ce mouvement detranslation horizontale est d'habitude accompagnéd'un déversement par rotation, soit a l'avant, si lapression maximum sur sa baseeste!!e-mémeconsidéra-ble, soit le p! us souvent à J'arrière. Le mur se couchede côté du massif, ]a crète restant presque immobile,tandis que le pied marche en refoulant le sol defondation. Le parement intérieur prend un sur-plomb de plus en plus accusé, et finit par atteindre!'inc!inaison du talus naturel. La poussée s'annutc, etles débris de la maçonnerie se trouvent portés par lemassif ébouté.

M

En dehors des causes générales de dégradation oude ruine qui menacent tous les ouvrages en maçonne-rie, i! en est de spéciales aux murs de soutènement,qu'il nous para!t utile de signaler avec quèlquesdétails.

!t arrive parfois que le mortier est désagrégé et miseu bouillie par des infiltrations d'eau chargée de sut-fate de chaux, en vertu de réactions chimiques encorepeu connues. Dans les contrées granitiqueset surtoutdans les régions tourbeuses, tes eaux sont souventaci-des et appauvrissent le mortier par dissolution de lachaux.

On constate quelquefois des fractures et des dislo-cations de murs dues à des racines d'arbres qui ontpénétré dans la maçonnerie; les plantes grimpantes etles arbustes peuvent dans les mêmes conditionsdétruire la cohésion du mortier et soulever les pierresde parement.

Les inondations causent des accidents graves endétrempant les terres soutenues par le mur.augmen-tantaini-'i leur poids et réduisant presque a zéro l'angledu talus naturel. Au moment de ta baisse des eaux, lapoussée devient considérable et peut renverser le muravant que les terres se soient asséchées.

Le danger est aggravé si le sol de fondation a étélui-mêmeamolli par t'cau, et a perdu de ce chef unepartie de sa résistance à la compression, en mêmetemps que sa butée s'est sensiblement amoindrie.

Quand l'axe longitudinal d'un mur, perpendiculairea sa coupe verticale, décrit en plan une courbe tour-nant sa concavité du côté des terres, it arrive que pen-dant la maison froide, l'abaissementde ta température,qui provoque ta contraction de la maçonnerie sur le

paremeut extérieur exposé à t'air, y détermine des fis-

sures vertica!es qui se remplissent bientôt de détrituset de sable. Au changement de saison, lorsque la tem-pérature s'élève, le parement se dilate et les fissuresse refermeraient, si elles n'étaient obstruées par desdébris. Cet obstacle à la libre expansion de la matièrey détermine un travail de compression considérable,qui provoque un mouvement du mur. Or constateainsi que les murs convexes avancentet se déversent.en même temps que des assures vertica!es s'y mani.testent H la suite des gelées.

JI est donc prudent d'attribuer aux murs de quelqueimportance une direction rectiligne. JJ serait mêmepréférable, si on le peut, de leur faire décrire unecourbe tournant sa convexité du côté des terres il nese produit, en ce cas, jamais de fissures sous l'actiondes gelées, et tes relèvementsde températurechassent !e

mur vers l'arrière et l'appuient contre les terres, aulieu de l'attirer en avant.

Nous avons cru utile de signaler toutes ces causes dedégradation ou de ruine, parce qu'êtes expliquentdans bien des cas des accidents que !'on aurait tortd'imputer à l'insuffisance de stabilité de l'ouvrage,alors qu'elles sont dues à des causes étrangères à lasolidité de la maçonnerie et à la résistance de sa fon-dation. En pareil cas, il faut s'ingénier à reconnaîtreet:t annihiler la cause du dégât, et non pas se bornera renforcer purement et simptcment t'ouvrage par unsupplément de maçonnerie.

48. Dea ouvrée* de soutènement en boie, en mètatoucacimoataHM. – Les ouvrages de ce genre, édifiés avec des matériaux travaillant égatement bien à

l'extension et à la compression, comportent, par rai-son d'économie, des éléments peu épais, et ont parsuite un poids propre presque négligeable devant laréaction du massif, t! est donc nécessaire pour la sta-bilité que cette réaction passe à peu près au milieu dela base de fondation pour que la pression y soit répartiede façon sensiblement uniforme; et que sa directionsoit peu fartée de la verticale, sans quoi l'ouvragerisquerait de glisser en avant sous l'action de lapoussée.

Un ouvrage de cette nature sera constitué par deuxplateaux minces, l'un servant de masque et soutenantles terres, l'autre horizontal ou sensiblement horizon-tal, et reportant la réaction sur !a base de fondation.Ces deux plateaux seront reliés entre eux pnr unesérie de cloisons ou nervures verticales, travaillant à lacompression si elles sont en avant du masque, et a

l'extension si elles sont situées en arrière et noyéesdans le terrain.

Les ngut'es98, 99, iOO et 10! indiquent dincrcntessolutions qui pat'ais'-ent raUooneUes.

Si t'nng!e <x du masque est positif et très grand. lepatin so-n tout entict'cn avant, et fera avec hti un an~cai~u, dont !'int<~ ieur sera divisa par les ctoiscns verti-

cales reUantiesptateaux. Si Fon redresse le masque,

en diminuant !'ang!e x et le t'approchant de zéro, il

faudra faire déborder le patin en arrière, du côté desterres, et relier cette saillie interne au masque pard'autres cloisons noyées dans !e massif.

Si le masque est vertical, le patin sera presqueentièrement noyé dans le massif, sauf une légère saillieen avant.

Enfin si !'angie x est négatif, l'inclinaison du mas-que se rapprochant de celle du talus nature!, le patin

sera, ainsi que les cloisons, tout entier a l'arrière, et

sa largeur pourra être sensiblement réduite.La réaction S du massif sur le masque passe au tiers

de la hauteur on calculera la poussée et l'angle 9

par la méthode habituelle. Pour la réaction S', direc-tement exercée sur la partie AB du patin par les terresqui le couvrent.it conviendra,si le patin est horizontal.de recourir aux formules de la note de la page i43(art. 31).

Soit 0 !e point d'intersection de !'ho)'ixonta!e du

pntin avec ta surface tibre du massif. Désignons par

a et & ses distances aux deux extrémités A et B dupatin enterré par u ta distance inconnue de ce mêmepoint 0' au point d'application M de !a réaction S'.

Si t'en a t > o (ng. 102) les formules à employerseront

t~== s'o sin (~ y;° t+sin~co8(j3-y)'

Q===~~)<,OS'~(.);

2 &' o'3 &'–

0

C 0

L.A-- ..jM.(t.Figure <03.

Si l'on a i < o (ng. 103), on se servira des for-mules

–– s'n ? sin (-/ ~)i + sin f <-oa (y – ~)

Q = A <~)cos~(.-);

3 a'–&':T n'

On déterminera les conditions de stabilité de la fon'dation en appliquant sur la base d'appui BAC du patin

la résultante des réactions S et S', et le poids proprede l'ouvrage.

11 conviendra également de vérifier que la butée dusol de fondation peut équilibrer la poussée du massif,par la méthode qui sera exposée dans l'article 43 sui-vant.

On calculera les cloisons verticales, en considérantque chaque coupe horizontale de la cloison et de lapartie du masque attenante (de longueur égale à l'équi-distance des cloisons), est une section à simple té sou-mise à l'action de !a réaction S. relative a la partie d u

masque située au-dessus de cette section, dont !adireclion et la grandeur sont connues on en déduiral'e~rt normal, J'effort tranchant et le moment fléchis-sant, et l'on calculera sans difficulté !e travail en unpoint quelconque de !a cloison.

43. Bat~e des terres. Supposons que l'on appli-que sur !e parement extérieur d'un mur de soutène-ment une force supérieure à la réaction du massif.L'ouvrage s'inclinera en arrière et viendra comprimerle massif. Par suite la ligne de poussée se relèvera, etla réaction des terres augmentera. On pourrait suppo-ser a priori qu'en exerçant une pression de plus enplus élevée sur le parement extérieur du mur, on arri-verait a faire passer le massifsitué en arrière de l'étattd'équilibre strict intérieur n l'état supérieur. Mais pourobtenir ce résultat, il faudrait relever la ligne depoussée sur toute l'étendue du massif, et par suitedéterminer chez lui une réduction de volume notable.Or le recul par déversement du mur ne peut être que<rf!< faible avant que la maçonnerie, ayant dépassé salimite d'élasticité, sedésagrège et se disloque. De sorte

que l'accroissement de ia poussée des terres -ne peut,sans que !e mur se dégrade, correspondrequ'à la con-traction d'unexbne du massif assez restreinte, qui soitde grandeur comparableà la déformation élastique du

mur tui-mcme. Par exemple, la ligne de poussée, quiprimitivement, pour Fêtât d'équilibre inférieur, étaitfigurée par la ligne courbe AB, qui tourne sa concavité

vers. le bas, et se raccorde en B avec la droite depoussée du massif indénni, sera remplacée par !a

courbe A'B', tournant sa concavité vers !e haut, et seraccordant également, en un point B' assez voisin de

Fi~un- <0t.

la maçonnerie, avec !a même droite de poussée. Laréaction du mur qui ~tait auparavant dirigée de hauten bas, comme la pesanteur, tendra a se relever et asuivre une direction orientée de bas en haut(ng. 104).

L'angle 0 deviendra négatif, et tendra vers la limite

-"r-Quelle esU'augmeutation de pousséesur laquelle on

peut légitimementcompter, s'i! s'agit, par exemple,d'appnyersurun massif de terre ta cu!ée d'une voûte enmaçonnerie, ou d'un arc métallique, et que l'on aitbesoin de !a réaction des terres pour assurer !'équi!i*bredeFouvt~ge? La résotution de ceprohtfme appa-raît comme bien difncite, parce que la région compn*

mée, correspondant a la courbe A'B', est dans un étatd'équilibre intermédiaire, avec angle maximum deglissement inférieur y. H faudrait faire intervenirdans les recherches le coefficient d'élasticité de lamaçonnerie, et tenir compte de la plasticité des terres.

Nous n'avons pas essayé de soumettre la question à

un calcul rigoureux. Nous nous bornerons a indiquer

une méthode empirique.Cetteméthode que nous a sug-gérée l'examen de l'allure des lignes de charge dans lemassif de butée, ne saurait prétendre a l'exactitude. Ellen'a d'autre mérite que d'être simple, et de ne pouvoirdonner d'indications absurdes ou exagérées.

SoitOM un plan vertical sur lequel on exerce, auxdeux tiers de la hauteur a partir du point0, un enbrttendant a repousser le massif de terre, qui a pour sur'face libre le plan ON, d'inclinaison i.

FtRUM«M.

La réaction Sdu massif, sut'IaqueUeon pourra tablerdans les calculs de sbbihtc, fera avec rhot'ixonta!c

t'angte négatif ~–Sa composante \et'Uca!eseradonc

dirigée de bas en haut.

La composante horizontale Q, 6' du massif, serafournie par la relation

At A-p\Q = B -T -y cos~ + tg-? '"AT)-

Les nombres Ai et A – ? sont tirés des tableauxnumériques relatifs au calcul de la poussée des terres.Ils correspondent à la donnée x == o. et sont relatifsrespectivement aux deux cas où l'inclinaison de la sur-face libre du terrain est soit i, soit y.

Au surplus, nous avons calculé le coefficient debutée B pour les valeurs successives de l'angle y com-prises entre 20" et 43", et les résultats numériques ontété portés dans un tableau faisant suite aux précé-dents.

Supposons que la surface d'appui sur le massif soitle plan incnne OA, faisant avec la verticale du point 0un angle x positif. On mènera par ie point A une droite

faisant avec l'horizontale l'angle ––, qui rencontrera

en A' la vcrtica!e passant par 0. On apptiquera, pourle calcul de !a buh''e Q, la formule précédente, en attri-buant a ? la valeur OA' (n~. i06).

Supposons que la surface d'appui soit le plan obli-

que OB, faisant avec la verticale du point 0 un angle et.

négatif. On mènera par le point B une droite faisant

avec l'horizontale rangte* qui rencontrera en B'ta

Fig~DciO?.

verticale passant par 0. On se servira encore de la for-mule précédente pour le calcul de Q. en attribuant a

la valeur OB'(ng. t07).Considérons enfin le cas général où la surface d'ap-

M

P)gu)'ct08.

puiestdt'nniepar une tigne quelconque, partant d'unpoint 0 de ta surtnco libre. Oh tn~~t'H A droite de la

verticale du point 0, du côté des « positifs, la droite

AA', d'inclinaison -^j-2-. passant par un point A de la

ligne d'appui et située tout entière au-dessous de cetteligne. On mènera de même, à gauche de la verticaleOM, du côté des a négatifs, la droite BB', d'inclinaison« – 2y3'

La butée Q se calculera ensuite en prenant pour «laplus grande des deux longueurs OA' et OB', et se ser-vant de la formule précédente.

Piguro 109.

Cette règle de calcul, qui a priori doit sembler pas-sablement arbitraire, donne des résultats rigoureuse-ment exacts dans le cas particulier où i = – », la pentede la surface libre à partir du point 0 correspondantau talus naturel descendant.

En toute autre circonstance, elle fournira des indi-cations plausibles,que nous estimons ne pas devoirs'écarter beaucoup de la réalité, et pécher plutôt parinsuffisance que par excès.

On constate sur le tableau ntimAriqiie des coefficients

de butée que, pour un terrain donné, la butée croit aufuret à mesure que l'inclinaison i s'élève depuis ?jusqu'à -f- <j>, ce qui est rationnel. D'autre part, pourune même inclinaison i de la surface libre, la butéeest d'autant plus grande que, l'angle étant plus fort,le terrain a plus de consistance, ce qui est bien con-forme à la réalité. En particulier, pour i = o, le coeffi-cient de butée, égal à l'unité pour y = o (pressionhydrostatique), augmente régulièrement avec la con-sistance du terrain, suivant une loi qui, a priori,nous parait très vraisemblable.

En définitive, nous étant proposé d'indiquer uneméthode simple, pour la résolutionapproximatived'unproblème pratique très complexe, nous n'avons rientrouvé de mieux que la formule et les constructionsgéométriques énoncées ci-dessus.

Nous allons faire voir comment on peut les utiliserpour la vérification de la stabilité d'un mur de soutè-nement, au point de vue spécial de la butée du sol defondation.

Soit OMAB le profil transversal du mur, dont leparement antérieur BA rencontre le sol de fondationen N.

Nous désignerons par h la distance verticale de lacrête 0 du mur au point N par x et y les distanceshorizontaleet verticale du point N à l'arête supérieureM du parement d'arrière OM par i' l'inclinaison duterrain de fondation en avant du mur, qui sera posi-tive si la ligne NT va en s'élevant a partir de N, etnégative dans le cas contraire; par?' l'angle de rup-ture définissant la consistance du sol de fondationANT.

On commencera par calculer la poussée qu'exerce

sur le parement intérieur OM le massif soutenu par le

mur, en tenant compte, le cas échéant, du change-ment de nature de la terre quand on passe de la tran-

che située au-dessus de l'horizontr.le N, qui peut êtreun remblai, au sol naturel situé au-dessous de cettehorizontale. La distance verticale mutuelle des points0 etN étant représentée par h+ y, la poussée sera four-nie par une relation de la forme (art. 33)

Q^À^ + A'^A+y)').A et A' sont les coefficientsde poussée relatifs à l'an*

gle x que (ait la droite OM avec la verticale; ils corres*pondent l'un aux données i et ?, et l'autre aux donnéesi et f.

Celte force Q doit être équilibrée par la butée quele sol de fondation exerce sur le mur. On la détermi-nera en menant par le point M une droite descendante

2y'–t'faisant avec ]' horizon ta lo l'angle ~– ,qui rencontrera

en M' la verticale du point N. La quantités,qui figuredans l'expression de la butée, est précisément la lon-

gueur NM', qui a pour valeur y -f- x tg ( ? j•

La butée se calculera donc par la formule

Q' = B' °2- ~y + x i~ Q~ 3 :~>

Ii' est le coefficient de butée correspondant aux don-nées i' et cp

Si la valeur trouvée pour la butée Q' est supérieure àcelle de la poussée Q, l'équilibre du mur est assuré.S'il en est autrement, il faudra modifier la fondationde manière a faire croitre la butée, ce qui revient àaugmenter la distance z ou NM'.

Figue ili.

Ce résultat peut être obtenu de deux manièresto en attribuant au massifde fondation un plus grandempattement x. L'élargissement de la base d'appuidevra être opéré en avant du parement extérieur BA,pour des raisons exposées précédemment (?»*l. 40).Par exemple (fig. 4M), on ajoutera à la maçonnerieencastrée dans le sol le rectangle NAA,N,. La distancessera, par celte modification, portée de NM' à NM"

2° en augmentant la profondeur d'encastrement y.Supposons que nous remplacionspar de la maçonne-

rie la terre comprise dans le triangle MAM' (fig. H2\La distance z n'en sera pas changée, et sera toujoursNM'. On aura donc fait une dépense inutile, en ce quitouche la butée du sol.

Retournons bout pour bout le triangle MAM', enfaisant partir de M son côté vertical (fig. 113). La dis-tance s, devenue NM' se trouvera accrue de la lon-gueur MM,

On voit ainsi que, s'il y a intérêt a placer le point Maussi bas que possible, en vue d'accroître l'épaisseurde la tranche de terrain dont la butée vient équilibrerla poussée subie par le mur, il n'est nullement utiled'en faire autant pour le point A.

On peut, bans porter aucune atteinte à la stabilité deî'ouvrage, économiser un volume notable de maçon-nerie, en plaçant le point A à un niveau supérieur àcelui du point M.

En conséquence le plan de la base de fondation, s'iln'est pas horizontal, doit être en pente de l'avant à l'ar-rière du mur.

La figure H4 représente un mur de soutènement àprofil trapézoïdal, dont la fondation a été judicieuse-ment étudiée l'élargissement de la base do fondationest pratiqué à l'avant du mur, et la profondeur de lafouille de fondation est maximum a l'arrière. Au con-traire, le mur représenté par la figure 115 a une fon-

dation aussi peu satisfaisante que possible l'élargis»sement de la base d'appui a été pratiqué à l'arrière, etle maximum de profondeur de la fouille correspondauparement extérieur.

Supposons que l'on redoute le glissement générald'un ouvrage en ciment armé, disposé d'après lesrègles énoncées à l'article 42, et qu'on juge nécessaire

ri^uic ni/,

d'ancrer profondément le patin dans le sol, pour accen-tuer la butée. Pour le même motif, il conviendra deplacer la nervure verticale d'ancrage à l'arrière dupatin, et non à l'avant (fig. 110).

La méthode exposée ci-dessus pourrait parfois indi-

quer pour la fouille de fondation une profondeur que

l'on jugerait excessive et inadmissible tel peut être lecas si la poussée est considérable, si le sol est de mé-diocre consistance, avec un angle ?' très petit, si enfinsa surface présente à partir du mur une pente trèsaccentuée, l'inclinaison ï étant voisine de – «'.

En pareille circonstance, on est pratiquement con-duit à ne plus fonder directement le mur sur le ter-rain naturel.

11 faut recourir à des procédés de fondation permet-tant de prendre appui dans les couches profondespilotis, puits maçonnés ou remplis de pierrailles, etc.

Examinons encore le cas où l'on aurait reconnul'existence, à une petite profondeur au-dessous de labase de fondation, d'un banc de glissement traversant

le sol naturel. I] faudrait dans le calcul de la butéearrêter à ce banc de glissement la verticale menée parl'arête inférieure du parement d'avant (fig. 117).

L'épaisseur s de la tranche du sol butant le murserait alors indépendante de la profondeur y de lafouille, ainsi que de la largeur x de la base d'appui.Elle correspondrait tout simplement à la distance NSdu pied du parement antérieur au banc d'argile. Si lecalcul montre alors que la butée ne peut équilibrer lapoussée du mur, il faudra de toute nécessité recourir

à un mode de fondation (pieux ou puits maçonnés)permettant de traverser le banc de glissement, et des'accrocher aux couches intérieures du sous-sol.

L'insuffisance de butée d'un mur a pour consé-quence un glissementgénéral du terrain, avec surface

de rupture passant au-dessous de la base de fondation.Le mur n'avance pas seul il est entraîné par le solsous-jacent, et généralement se renverse en arrièreffig. 118).

Quand l'insuffisance de butée est due à un ramol-lissement du sous-sol par des infiltrations abondantes,un a pu quelquefois prévenir des accidentsde ce genre,ou bien arrêter leurs effets aux premiers symptômesde glissement, en pratiquant des drainages profondssoit “> l'avant du mur, soit de préférence à l'arrièrequand cela était possible, pour capter les eaux souter-raines, et améliorer la consistance du terrain en ledesséchant.

On pourrait encore, le cas échéant, consolider unmur dont la stabilité inspirerait des craintes, en exé-cutant en avant de son parement un certain nombre

d'éperons maçonnés, pénétrant dans le sol à une pro-fondeur plus grande que la donnée relative à ce mur,eten reliant les éperonsau massif général de fondation.C'est là un remède coûteux, mais d'une efficacité incon-testable, si l'on descend jusqu'à la profondeur voulue,ce qui est toujours rendu possible par Je recours éven-tuel aux pilotis.

L'étude des dispositions à adopter pour permettre à

une fondation sur pieux de résister à la fois aux char-ges verticales et à la poussée horizontale des terres neserait pas ici à sa place: elle est exposée en détail dansle Cours de Procédés générauxde construction.

L'emploi de risbernes maçonnées continues, exé-cutées en sous-œuvre sous le parement antérieur etdescendues à une profondeurconvenable, a égalementpermis de raffermir des murs de quais, dont le piedavait été déchaussé par des affouillements, qui avaientfait disparaître en partie la tranche de sol naturelnécessaire pour la stabilité (fig. 119).

44. Murs d'arrôt. – Considérons une couche de ter-rain qui, reposant sur un banc de glissement incliné,se déplace en descendant par l'effet -de la pesan-teur. Désignons par P son poids, qui peut être très

considérable si la couche est épaisse et.étendue; parla pente du plan de glissement, et par } J'angle de

frottement sur ce plan. La force F, qui détermine laprogression du terrain, est la différence entre la com-posante tangentielle du poids P suivant la ligne depente, et la force de frottement développée au contactdu plan de glissement par la composante normale de

ce même poids F = P (sin i' cos i' tg <j>).

Supposons que la couche vienne à rencontrer unobstacle, qui arrête sa partie antérieure celle-ci seracomprimée entre le barrage et la partie arrière de lacouche, qui continuera son mouvement de descente.Pour que toute la masse, en général animée d'unevitesse très faible correspondant à une force vive insi-gnifiante, soit finalement ramenée à l'état de repos, ilsuffira que la réaction S de l'obstacle croisse jusqu'àéquilibrer la force P (sin i' – cos ï lg<î»).

Si le poids P est considérable, il pourra se taire quecette force dépasse la réaction maximum correspon-dant à l'état d'équilibre supérieur. Auquel cas, à sup-poser que le barrage n'ait pas été entraîné ou renversé,la terre se disloquera, se soulèvera et passera par-des-

sus l'obstacle. De sorte que, si l'on se propose de main-tenir par un ouvrage en maçonnerie un massif enmouvement (ce cas se présente parfois dans les cônesde déjection et les ébonlis provenant des torrents

alpestres), ou bien une couche reposant sur un bancde glissement,jugé susceptible de provoquer un mou-vement général de descente, il faudra, dans les cal-culs de stabilité du mur, envisager l'hypothèse de laréaction maximum correspondant à l'état d'équilibresupérieur.

Les données du problème relatif au mur d'arrêt nesont pas les mêmes que celles du problème déjà traitépour le mur de soutènement,et comportent une solu-tion toute différente, ainsi que nous allons le mon-trer.

Mur de soutènement. Pour le mur de soutène-ment, l'inclinaison de la surface libre peut varier de– <? à -+ 9 la poussée est en général inclinée de l'an-gle -+- « sur la normale au parement, du moins lorsquel'angle « est positif et compris entre o et l'angle deglissement p (si t > o), ou y (si i < o). L'angle 0 estd'ailleurs toujours positif et en général peu différenttde -+- ?.

La composante tangentielle au mur de la réactiondes terres est dirigée de haut en bas comme la pesan-teur les terres ont tendance à glisser.le long du muren descendant. Enfin la poussée diminue au fur et àmesure que l'angle « décroît, et tombe à zéro pourx = – i -H <p elle est, toutes choses égales d'ailleurs,d'autant moindre que l'angle <p est plus grand.

Mur d'arrêt. – En général l'inclinaison de la sur-face libre est positive et voisine de -+ <p. On peut bienimaginer un massif à surface horizontale ou même àinclinaison i négative qui so déplacerait par suite del'existence d'un plan de glissementayant une inclinai-

son voisine de -H ty (fig. 122). Mais dans ce cas levolume du massif en mouvement, et par conséquentle poids P, est relativement peu considérable puis-qu'il est limité par deux plans convergents, la surfacelibre et le plan de glissement.

Figure 182.

La force de glissementP (sin ï – cos i' tg<|0 est alorsrelativement petite et vraisemblablement très infé-rieure a la réaction maximum des terres sur le mur.

En somme le mur d'arrêt n'a à supporter d'effortsconsidérables que si la surface libre est à peu prèsparallèle au plan de glissement, et par conséquent pré-sente une inclinaison voisine de + <)».

L'angle de la réaction maximum avec la normaleau mur est ici négatif et égal à – <?. La composantetangentiellesuivant le parement est dirigée de bas enhaut, le massif tendant à se soulever en glissant lelong du mur, et à franchir l'obstacle.

Enfin, si l'on se reporte à l'épure des courbes depoussée de la page 99, on voit que la poussée ne dimi-nue pas quand l'angle x décroll et prend des valeursnégatives de plus en plus grandes. Elle augmente aucontraire, et la composante verticale de la réaction,dirigée de bas en haut, en sens inverse de la pesan-teur, devient de plus en plus élevée, puisqu'elle estfournie par l'expression – Q tg (« + 9), où les angles

« et 0 ont des valeurs négatives croissantes. Enfin, la

poussée maximum est, toutes choses égales d'ailleurs,d'autant plus considérable que l'angle <p est plusgrand. Les terrains de bonne consistance, qui exer-cent les moindres poussées sur les murs de soutène-ment, sont précisément ceux qui agissent avec le plusde puissancesur les murs d'arrêt.

Figure 123.

Par exemple, il faudra un ouvrage beaucoup plusmassif pour résister à un banc de rocher en mouve-ment que pour arrêter une couche d'argile molle.Quand l'angle 9 est voisin de zéro, les deux pousséeslimites, maximum et minimum, deviennent très voi-sines, et les conditions de résistance sont sensible-ment les mêmes pour les deux types de mur.

Pour f~o (eau ou vase molle), il n'y a aucune dis-tinction à faire entre eux.

En conséquence un mur d'arrêt dont le parementintérieur serait en surplomb, n'offrirait aucune garan-

tie de stabilité: il serait soulevé, arraché de sa fonda-tion et entraîné par la masse en mouvement. Il estnécessaire de donner à ce parement un fruit notable,pour faciliter la montée des terres par-dessus l'ob-stacle.

Pour calculer exactement un ouvrage de ce genre, ilfaudrait disposer de tables numériques fournissant,pour les différentes valeurs de ?, i et a, la pousséemaximum correspondant à l'état d'équilibre supé-rieur.

La préparation de ces tables s'effectuerait dans desconditionsidentiques à celles qui nous ont permis defournir les renseignements numériques relatifs au casde l'équilibre inférieur, en traçant par points un cer-tain nombre de lignes de poussée limite.

Nous n'avons pas cru utile de nous livrer à cesrecherches laborieuses, vu leur médiocre intérêt aupoint de vue des applicasioits pratiques. Il nous serapossible toutefois d'indiquer les règles à suivre pourla détermination du profit rationnel d'un mur d'arrêt.

I. Si l'angle « est très grand, la couche glissanteétant de bonne consistance, la poussée peut êtreénorme, et il est permis de négliger devant cette forcele poids propre de la maçonnerie.

On donnera au parement intérieurdu mur un fruitcorrespondant à l'angle:

n a4 i

On attribuera au parement extérieur un fruit lotal

3 m (4 il)égal au tiers de celui du parement intérieur.

Dans ces conditions, la réaction S, faisant l'angle – çavec la normale au plan OM, passera par le milieu Cde la base MN du mur.

Figure fil.

Le travail à la compression sera, en désignant par Qla poussée et par D le poids du mètre cube de maçon-nerie

Sur l'arête de renversement N

T. 3 Qtg

\4 9/ 3=4h" “ +~Dh;4 h

tg(4 + 2) .¡

Sur l'arête inférieure M du parement opposé auxterres

ts (1p._30 ~\4 2/i~4 ï~ "/–––4~-

h (4 2~

La sera donc presque uniforme sur la based'appui il n'y aura aucune tendance an soulèvementni au renversement du mur. Celui-ci ne pourra périrque par écrasement de la maçonnerie, hypothèseinvraisemblable, attendu que sa résistance a la com-pression sera toujours supérieure à celle du terrain,

alors même que celui-ci serait un rocher compact. Il

pourra donc arriver que la couche en mouvement sedisloque et remonte sur le plan incliné OM, jusqu'àfranchir le mur d'arrêt, mais elle ne pourra détermi-

ner la ruine de celui-ci.Si l'on estime que la garantie de sécurité réalisée par

ce profil est excessive et supérieure aux besoins, on

Figure 125,

pourra réduire le fruit du parement extérieur. A lalimite, si on adopte un parement vertical, le profil seréduira au triangle OMA, et la pression sur J'arête de

renversement P aura pour expression

(1: ?)R-u2Qr$̀ dT21+Dh.

nh

DhfI1

Ig(ï J" Vr) + f'

Elle dépassera le double du travail correspondant

au premier profil.Le travail R' sur l'arête opposée M sera nul, la réac-

tion S, ainsi que le poids propre du mur triangulaireOMA, passant au tiers de la base AM, à partir de l'arêtede renversement A.

11. Si l'angle ? est petit, le profil précédent condui-rait pour le mur à des dimensions très exagérées. Le

poids de la maçonuerie ne pourrait plus être consi-

déré comme négligeable en comparaisonde la poussée.

On attribuera alors au parement intérieur le fruitcorrespondant à l'angle :«=-+-»•

La réaction sur le parement, faisant l'angle – avecla normale, sera dirigée horizontalementet se réduira

à la poussée Q. Nous admettrons que l'on connaisseapproximativement la valeur de cette poussée.

On pourra par exemple prendre0==~cos' «

ce qui revient n admettre une poussée double de celle

correspondant au terrain en repos, incliné suivant le

talus naturel + q.On calculera le fruit du parement extérieur par la

formulea=hig~p+~~n'1

pour obtenir une répartition uniforme du poids du

mur sur sa base d'appui. On trouve en effet

~=R.PUJ~.

Si ces garanties de stabilité semblent exagérées, onpourra diminuer le fruit du parement extérieur, jus-qu'à la limite minimum

a uy~+,, /n=y· m+~Q,a– – + y – p- H--5"-2 1i .& D

La résultante des forces extérieures passe alors aupremier tiers de la base d'appui à partir du parementextérieur, et l'on a R = Ch, et R' = o.

11 ne faudrait pas descendre au-dessous de cettevaleur minimum de a, parce qu'alors R' serait néga-tif. 11 y aurait travail à l'extension sur le parementintérieur la maçonnerie serait exposée à être fissurée,disloquée et finalement entraînéepar la masse en mou-vement.

En définitive, le profil à admettre pour le mur d'ar-rêt devra toujours être intermédiaire entre les profilsextrêmes 1 et II, et se rapprocher d'autant plus du pre-mier que la terre sera plus compacte et plus consis-tante et d'autant plus du second que l'angle ? seraplus petit. A la limite, pour ? = o (mur de réservoir),il faut admettre le second profil. On n'a plus affaire, àproprement parler, à un mur d'arrêt, mais à un murde soutènement, et le parement intérieur, incliné de+ ? sur la verticale, devient lui-mêmevertical puisquel'angle » est nul.

Nous insisterons encore sur l'observation déjà for-mulée le parement intérieur du mur d'arrêt ne doitjamais être en surplomb du côté des terres.

L'angle a de son parement intérieur doit être positif

et compris entre les deux limites -+- f et -+• – |.En dehors du cas d'un terrain en mouvement,comme

les cônes de déjection des torrents et les éboulis des

montagnes élevées, ou d'un terrain exposé à glisser,comme il s'en rencontre dans les coteaux escarpés, ilpeut se présenter telle circonstance où la réactionexercée sur un mur de soutènementcroîtra démesuré-ment, jusqu'à se rapprocher du maximum correspon-dant à l'état d'équilibre supérieur.

Qu'un éboulement rocheux vienne à se produire, parune cause naturelle ou à la suite d'une explosion demine, sur un terre-plein soutenu par un mur, la forcevive due au cime pourra exercer sur le terrain unecompression générale suffisante pour renverser le mur,alors même que l'amoncellementdes débris serait assezéloigné de la crête, et que l'augmeutation statique depoussée due l\ son propre poids paraîtrait insignifiante.

Il arrive parfois que des travaux de terrassementou de percement de tunnels mettent des nappes sou.terraines en communication avec des bancs de rochersujets à se gonfler par hydratation (comme le sulfatede chaux anhydre, ou anhydrite), qui antérieurementétaient protégés contre les eaux par des couches imper-méables. L'augmentationde volume de ces bancsa suffidans certaines circonstances pour déterminer dans lemassif environnant des pressions capables de renver-ser des murs de soutènement, et même de briser desrevêtements de tunnels avec écrasement de la maçon-nerie.

Des accidents du même genre peuvent être à crain-dre, lorsqu'un banc d'argile ou de marne compacte,d'abord à peu près desséché, se trouve mis en com-munication avec une source d'eau abondante. Le gon-flement de l'argile suffit pour causer la chute desouvrages en maçonnerie qui font obstacle à son aug*mentation de volume.

Dans une circonstance de ce genre, nous avons con-staté que la destruction d'un mur de soutènement,causée par la submersion d'un banc d'argile compacte,était bien due au gonflement de la matière, et non pasà son ramollissement. On aurait pu supposer, en effet,un relèvement brusque de la poussée minimum, dueà ce que l'angle <j> aurait diminué par transformationdu banc compacte en une masse pâteuse et presqueliquide. Mais les talus presque verticaux du massifétaient demeurés intacts après la dislocation du mur,et se maintenaient seuls sans aucun indice d'éboule-ment ou d'écrasement, ce qui prouvait bien que l'an-gle <p avait conservé la valeur très élevée qu'il avaitavant l'accident.

D'ailleurs les talus en question s'étaient avancésde plusieurs centimètres,preuve irrécusable de la dila-tation subie par le terrain.

CHAPITRE CINQUIÈME

RENSEIGNEMENTS NUMÉRIQUES

45. Densité et angle de frottement des terres. 46. Calcul des mursde soutènement, Terrains immerges. Coefficients de poussée.47. Butée des terres. Coefficients de butée. 48. Applicationsnumériquesde la méthode de calcul des murs de soutènement.

SOMMAIRE

CHAPITRE CINQUIÈME

RENSEIGNEMENTS NUMÉRIQUES

45. Densité et angle de frottementdes terres. – Lepoids spécifique et l'angle de frottement varient entredes limites très écartées, d'après la composition élé-mentaire, le degré de tassement et la proportion d'hu-midité. La classificationdes terrains ne saurait pour cemotif offrir une grande précision. Vu la variété infinieque l'on rencontre dans la nature, on est parfois dansl'incertitude sur la catégorie A laquelle il faut rappor-ter un cas donné. C'est ce qui explique les discordancesnotables,et parfois anormales, que l'on relève entre lesindications numériques des différents expérimenta-teurs et compilateurs qui se sont occupés de la ques-tion. Il ne faut donc pas tabler sur l'exactitude deschiffres inscrits au tableau suivant, chiffres que nousavons recueillis A droite et A gauche, la plupart dutemps sans en connaître l'origine, et dont nous ne sau-rions nous porter garant. Nous avons écarté ceux quisemblaientsuspects, rectifiéceux que nous jugions tropfaibles ou trop forts, pour les faire cadrer les uns avecles autres, maisen somma nous reconnaissons que tousces renseignements, ne provenant pas d'expériencesfaites avec méthode et précision, sur des matériaux de

composition nettement définie, peuvent en certains cass'écarter sensiblementde la vérité.

Composition élémentaire. Les terrains pierreux,formés d'éléments solides et dépourvus d'adhérencemutuelle, qui proviennent de la destruction de bancsde rochers, se distinguentpar la grosseur de ces élé-ments pierrailles, cailloutis ou éboulis, gravier, sablegros, fin ou extrafin. Les sables fins et extrafins ren.fermant une faible proportion d'humidité ont unecertaine cohésion; ils possèdent une légère plasticitéque l'on ne trouve jamais dans les sables à élémentsgros ou moyens.

Les terrains, qualifiés plus spécialement de terresou matières terreuses, sont composés de particulestrès fines, le plus souvent calcaires, argileuses ou fer-rugineuses, qui, à état absolument sec, constituent soitdes bancs agglomérés dont la ténacité, d'autant plusgrande que la proportion d'argile est plus forte, peutégaler celle d'un calcaire tendre, soit, quand ils sontdésagrégés et émiettés, des amas de poussière sansconsistance, dont la densité et l'angle de frottementsont inférieurs à ceux du sable extrafin sec. Mais cettepoussières'agrège spontanémentsi on l'humecte, et setransforme en une matière plastiquedouée d'une cohé-sion appréciable.

La terre végétale rentrant dans cette classe est unmélange intime d'argile et de calcaire, souvent addi-tionné de peroxyde de fer et (en petites quantités)d'autres minéraux, tels que le sulfate de chaux; ellerenferme enfin presque toujours des matières organi-ques provenant de la décomposition des végétaux.

Une classe intermédiaire comprend d'une part les

remblais formés de débris de roches très tendres, craie,calcaire argileux, marne, qui à la longue finissent pars'agréger en bancs assez compactes et d'autre partles massifs constitués par un mélange, en proportionstrès variables, de corps pierreux et de particules ter-

reuses terres et argiles sablonneuses,graveleuses,ourenfermant des pierrailles. Suivant la prédominancedel'un ou l'autre élément, ces composés hétérogènes serapprochent davantage de la première ou de la secondeclasse des terrains.

Pour donner une idée de la confiance limitée qu'ilconvient d'attribuer aux moyennes portées sur le tableausuivant, nous ferons observer que les limites de poidsdu mètre cube indiquées pour les pierres cassées ot

cailloux à l'état sec, sont J. 300 et 1.600 kg.Or, avec des corps bulleux et scoriacés, naturels ou

artificiels, tels que la pierre ponce, les scories volcani-

ques, le mâchefer de forge, la densité s'abaisse au-des-

sous de 1.000 kg. Par contre les débris de certainesroches éruptives, lourdes et compactes, basalte, por-phyre, trapp, etc., peuvent dépasser le poids de2.000 kg.

On n'a fait, en ce qui touche le sable gros, aucunedistinctionentre le sable siliceux et le sable calcaire.Or, le premier a une densité sensiblementsupérieure a

celle du second; par contre, l'angle de frottement pa-rait plus élevé pour le sable calcaire, par suite de la

rugosité de ses éléments.

Tassement. – Dans un terrain pierreux il éléments

gros ou moyens, cailloutis ou gravier, le rapport duplein au vide est A peu près invariable, et l'on ne cou*state guère de changement de volume provoqué par

l'arrosage ou le pilonnage. Le sable est susceptibled'un léger tassement,d'autantplus élevé que ses grainssont plus fins. Ce tassement, qui se manifeste à la lon-gue dans les remblais, à la suite des alternatives depluie et de sécheresse, peut être réalisé immédiatementau moyen d'un pilonnage par couches minces de lamatière préalablement humectée.

Dans les terrains de la seconde classe, qui sont géné-ralement employés en remblai sous forme de frag-ments plus ou moins volumineux, mélangés de pous-sière, le rapport du vide au plein peut être aussiconsidérablequp dans les terrains pierreux à gros élé-ments. Mais à la longue les mottes se désagrègent ets'émiettent. Les vides se remplissent et la masse de-vient compacte. Le tassement,qui varie de 10 à 40 0/0,peut être obtenu immédiatement si l'on recourt à unpilonnage des mottes, qui, légèrement arrosées, per-dent leur cohésion et se pulvérisent sans difficulté,pour s'agrégerensuite en masse compacte. Mais ce tas-sement, dû à un procédé mécanique, n'est jamais com-plet, et l'on constate toujours, parfois pendant plusieursannées, un affaissement lent dû à l'action des agentsathmosphériques.

Les terrains de la classe intermédiaire éprouvent untassement d'autant plus considérable que la propor-tion d'éléments solides est moindre. Ils se comportentdonc, avec une certaine atténuation, comme ceux delaseconde classe.

La réduction de volume du remblai a toujours poureffet d'accroître la densité do la matière, et de releveren même temps son angle de frottement. En consé-quence, suivant que le mur de soutènementà construiresera adossé ù un talus de tranchée, où la terre aura

acquis toute la consistance que comporte sa composi-tion élémentaire, ou à un remblai dont le tassementdurera plusieurs années, il conviendra de prendredans le tableau suivant les valeurs maxima de A etde <p pour le premier cas, et les valeurs minima pourle second.

En général, dans les travaux de terrassements, onrègle les talus de déblai à raison de 3 de base pour 2de hauteur (<p=33°, 20'), et les talus de remblai à rai-

son de 1 de base pour 1 de hauteur (<p=45°). Cette pra-tique est justifiée par les chiffres portés au tableau sui-vant. Le talus de déblai serait sans doute trop raide

pour le sable pur. Mais celui-c» ne se rencontre guère

que dans les lits de rivières. Le sable de carrière ren-.ferme presque toujours une certaine proportion dematières terreuses, qui lui donnent de la cohésion, etlui assurent une tenue convenable avec le talus dedéblai incliné à 45°.

Humidité. Pour les terrainsde la première classe,à éléments gros ou moyens (caillou, gravier et grossable), la présence de l'eau, remplissant plus ou moinscomplètement les vides entre les éléments, donne lieunécessairement à un accroissement de la densité.L'angle de frottementest diminué dans une assez faible

mesure, proportionnellementà la quantité d'eau.Pour les sables fins et extrafins, l'humidité déter-

mine un accroissementde densité, non seulementparceque l'eau remplit les vides, mais surtout parce qu'elle

provoque, par tassement, un rapprochement des par.ticules. Le tassement a pour effet de relever l'angle defrottement.

Si le sable est abondamment mouillé, ou plongé

sous une nappe d'eau, la densité est encore accrue,mais en ce cas l'angle de frottement s'abaisse, et finit

par tomber au-dessous de la valeur initiale correspon-dant au terrain complètement sec.

Cette réduction de <p est d'autant plus marquée que legrain est plus petit certains sables extra fins se trans-forment même en une pâte fluente, analogue à l'argiledélayée dont il sera parlé ci-après, et leur angle defrottement tombe jusqu'à lu° et au-dessous. Ce sont lessables boulants.

Quand on humecte un bloc de nature terreuse (terrefranche, argile plastique), son volume augmente, bien

que sa densité devienne plus grande. Ce gonflement

par hydratation est surtout mis en reliefpar le phéno-mène inverse de contraction, qui se manifeste quandle bloc précédemment mouillé redevient sec. Si la ré-duction de volume est contrariée par certaines circon-stances, par exemple la conservation de l'humiditéda.ns la partie centrale, il se produit à la surface descraquelures et des fractures, qui, dans les couches deterrains, se transforment souvent, après un été sec pro-longé, en des crevasses larges et profondes.

Quand on arrose un remblai formé de débris ter-reux, mottes et poussière, le gonflement de la matièreest masquépar la suppressiondes vides et le tassement,dont l'effet est prépondérant; si bien qu'en définitivele volume apparent so trouve réduit de façon notable.Mais après que le massif est devenu compact, sonvolume continue à diminuer par l'effet même de ladessiccation, qui fait disparaître le gonflement produitpar l'hydratation des particules.

L'humidité, qui peut améliorer la consistance d'unmassif pulvérulenten agrégeant ses particules et leur

donnant de la cohésion, amollit et ameublit les bancscompacts de nature terreuse, et diminue leur anglede frottement.

Un arrosage très abondant ou une immersion pro-longée peuvent délayer complètement la matière ter-reuse, et la transformeren une boue quasi fluide, dontl'angle de frottement est très petit 15° et au-dessous.Mais en raison de. la grande imperméabilité de cettenature de terrain, le phénomène de délayage est pres-que toujours superficiel, et ne se manifeste que sur unefaible épaisseur de la couche noyée.

Toutefois, si l'eau peut s'introduire jusqu'au cœurd'un remblai, par les crevasses dues à la sécheresse, lemassif se trouvera alors divisé en un certain nombrede blocs entièrement enveloppés d'une couche superfi-cielle de boue quasi liquide ces blocs qui n'ont pasd'adhérence mutuelle, et dont la périphérie n'a qu'unangle de frottement insignifiant, peuvent alors se sépa-

rer et s'ébouler.Pour ce motif, on recommande de ne jamais

employer l'argile pure ou glaise dans les remplissagesde batardeaux, les levées des canaux, et les barragesenterre des réservoirs.

Pour peu que l'eau pénètre à l'intérieur du; massifpar des crevasses profondes, il pourra s'ensuivre uneffondrement instantané de la levée.

Dans les remblais de chemins de fer, on ne doit faireemploi de glaise qu'à la condition de protéger le noyauformé de cette matière par une enveloppe protectriceen terre sablonneuse,qui ne soit susceptible ni de se fis-

surer par dessication, ni de se délayer par immersion.Cette enveloppe maintient le noyau d'argile dans unétat d'humidité suffisant peur qu'il ne s'y produise pas

de crevasses livrant passage à l'eau. D'autre part ellelui sert de couverture et la met à l'abri des eaux plu-viales.

Les terrains de la classe intermédiaire ont naturelle-ment une meilleure tenue que ceux de la secondeclasse. Le gonflement par hydratation est d'autant plusatténué que la proportion d'argile est moindre, et lesfissures de retrait, produites par la. sécheresse, sontplus rares et plus étroites, moins profondes et moinsétendues. Elles sont en général superficielles, parcequ'elles sont remplies et bouchées par la poussièrequi se détache des terres fissurées, en raison de leur fai-ble cohésion.

Il convient d'exécuter de préférence avec des terressablonneuses, et de préférence des argiles mélangéesde sable ou de gravier, le remplissage des batardeaux,les remblais de canaux et de voies ferrées, et les bar-rages de réservoirs. Pour ces derniers ouvrages, onrecherche des terres formées de gros sable agglutinépar un peu d'argile pure, que l'on appelle les terres àcoiroi. Le pilonnage par couches minces les transfor-me en masses compactes, dures et cohérentes, quel'eau ne peut pénétrer, bien qu'elle amollisse leursurface sur une faible épaisseur, et où la sécheresseestivale ne détermine pas ,de fissures de retrail, pourpeu qu'on ait eu la précaution de masquer les sur-faces libres par un léger matelas de terre végétale,argilo-calcaireet sablonneuse, dépourvue de cohésion.

Les sables très fins mélangésd'un peu d'argile pure,qui sont composés de deux éléments susceptibles l'unet l'autre de se transformer par immersion en bouefluente, sont les terrains les plus dangereux à rencon-trer dans les travaux de terrassement quand ils sont

noyés par des infiltrationsabondantes, ils se transfor-ment parfois en de véritablesliquides, dont on ne peutque difficilement arrêter l'écoulement, et qu'il estimpossible d'assécheren raison de l'imperméabilité del'élément argileux et de son affinité pour l'eau.

Dans des cas exceptionnels, l'action de l'eau sur lesterrains ne se manifeste pas seulementpar l'accroisse-ment de la densité et l'abaissementde l'angle de rup-ture. Nous avons déjà cité le cas du gypse anhydre, ouanhydrite, dont le gonflement, dû à une combinaisonchimique lente avec l'eau d'infiltration, peut détermi-ner des dislocations de terrains, avec écrasement desvoûtes et piédroits des tunnels, renversement desmurs, soulèvement des radiers, etc.

On rencontre parfois des terrains partiellement solu-bles dans l'eau la disparition progressive d'une par-tie de leur substance donne lieu à des tassementsplusou moins importants.

On ne peut guère prévoir l'existence dans les rem-blais de chlorures, tels 'que le sel gemme, ou d'azota-tes. Mais il arrive fréquemment, dans le voisinage desvilles, que les remblais constitués avec des produits dedécharges publiques renferment une certaine propor-tion de plâtre provenant de démolitionsd'immeubles.Ce plâtre est lentement dissous par les eaux d'infiltra-tion, et provoque des tassements qui ne prennent finqu'après sa disparition complète. Les bouleversementset effondrements de chaussées, qui se manifestentassez fréquemmentdans les rues de Paris, sont dus ncette cause.

Quand la dissolution des morceaux de plâtre a déter-miné la production de cavités dans le sous-sol, cesvides offrent un passage facile aux eaux pluviales, qui

s'y engouffrent et entraînent la terre avoisinaute, sibien que les poches s'élargissent, s'étendent, et déter-minent finalement des cavernes volumineuses, qui s'é-croulent brusquement sous la charge, à un momentdonné; il en résulte un effondrement de la chaussée,qui se creuse en entonnoir.

Nous avons pu constater que des remblais renfer-mant du plâtre éprouvaientencore des tassements nota-bles quarante ans après leur exécution.

11 y a donc lieu de proscrire absolument les plâtraset les débris de constructions hourdées en plâtre pourtous les remblais auxquels on veut donner une assiettebien fixe et inébranlable.

Ces déblais de mauvaise qualité ne sont bons qu'àcombler les anciennes carrières et les fosses d'em-prunt.

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46. Calcul des murs de soutènement. Terrains immer-gés. Coefficients de Poussée. Les données du pro-blème à résoudre pour la vérification de la stabilitéd'un mur de soutènement sont

1° L'angle de frottement 9 du terrain et le poids dumètre cube A.

2° L'angle d'inclinaison i sur l'horizontale de sasurface libre, supposée plane.

.fS\.I' a..a.

Si la surface libre va en s'élevant à partir de la crête0 du mur (droite OT), l'angle i est positif; si la surfacelibre va en s'abaissant à partir de la crête du mur(droite OT'), l'angle i est négatif.

En tête de chaque colonne du tableau suivant, ontrouvera, pour toutes les valeurs de l'angle ? variantde cinq en cinq degrés depuis 20° jusqu'à 4o°, et pourtoutes les valeurs do l'inclinaison i variant do cinq oncinq degrés depuis – ? jusqu'à -+- y;la valeur numérique de la fonction

cos i – V cos~ i C08' ptcos i 4- v cos» i cos* f

et des angles de rupture p et y relatifs aux deux don-nées i et 9.

3° L'angle « que fait le plan du mur, opposé aux ter-res, avec la verticale. Cet angle est positif (droite OM)si le parement intérieur du mur présente du fruit ilest négatif (droite OM') si ce parement est en surplomb,le plan vertical qui passe par la crête du mur ne ren-contrant que le terrain;

4° La hauteur h du mur, distance verticale entre sacrète et l'arête inférieure du parement opposé auxterres.

La résolution du problème comporte la détermina-tion 1° de l'ongle que fait avec la normale au plandu mur la réaction S exercée sur lui par le terrain,réaction qui rencontre ce plan sux deux tiers de lahauteur h à partir de la crête. L'angle 6 est positifsi lacomposante tangentielle de la réaction suivant le plandu mur est dirigée de 0 vers M (droite S), et négativedans le cas opposé (droite S');

2° De la poussée, ou composante horizontale de laréaction S, qui est liée à cette réaction par la formule0--SCOS (y. + 0).

Il peut se présenter trois cas

I. L'angle a est positifet plus grand que l'angle derupture p, si l'inclinaison i est positive, ou que l'anglede rupturey, si l'inclinaison i est négative.

La limite supérieure de a est j-+ i.

La poussée Q est, en ce cas fournie par la relation

l~~ alts COS' la – t)Q = AA~-==~-cos~ a

/(~i 2 cos, Il

Le tableau suivant fournit d'ailleurs les valeurs ducoefficientde poussée A pour les cas usuels d'inclinai-

son x du plan du mur. Si l'angle avait une valeurqui ne figurât pas dans ce tableau, il serait toujoursaisé de calculer la poussée Q par la formule précé-dente, en se servant de la valeur numérique de' f (i),inscrite en tête de la colonne du tableau correspondant

aux données i et f

L'angle 9 se déterminera par l'une des deux relationssuivantes

SI i > tg Ilsin a sin (â a – à -|- ~a1 sin f +

siiZ < 0 tg Ilsin?8in(8«-f ft – y>

S! t<0,tg>«=<_t|Byeo.(,,+ ^7)-

Il. L'angle x est positif et compris entre zéro et l'an-gle de rupture p, si i est positif, ou l'angle de rupturey, si i est négatif.

2 OLe coefficientde poussée A = ~f- est alors direc-

tement fourni par le tableau pour toutes les valeurspossibles de «, variant de cinq en cinq degrés, depuiszéro jusqu'à -4- p ou + y.

L'angle 0 est toujours égal à -H ?

III. L'angle a est négatif.L'angle 0, indépendantde l'inclinaisoni de la surface

libre, est fournipar la relation

tg f( = ainp cos (~a ~,)b î + sin y CO9 (2 « – ?)

Nous avons porté sur ce tableau les valeurs du r.ontti-

cient de poussée A– -jjr-

pour les angles a compris

entre 0° et 25°. Nous n'avons pas jugé utile, au pointde vue pratique, de fournir les mêmes renseignementspour les valeurs de « comprises entre 25* et lalimite extrême -f-

?.Le cas échéant, on obtiendrait une valeur suffisam-

ment exacte de la poussée, pour un angle négatif–compris entre 25" et – •– + », par la formuled'interpolation simple

n “ ? “•A- «,•== A_ 2g»–

$ -5Z -?On se rendra aisément compte que l'erreurcommise

est nécessairement insignifiante.

Mur de soutènement étanche adossé à un terrainnoyé. Les renseignements numériques, densité etangle du talus naturel, que nous avons insérés dansl'article précédent au sujet des terrains mouillés, nesont immédiatement utilisables pour le calcul de lapoussée, par la méthode exposée ci-dessus, que si l'eauest drainée le long du mur de soutènement, et évacuéeà l'extérieur par des caniveaux, des aqueducs ou desbarbacanes.

Supposons qu'il en soit autrement, et que l'ouvragede soutènement, parfaitement étanche et adossé à unterrain noyé par une nappe d'eau, fasse, dans une cer-taine mesure, office de barrage de réservoir. La pres-sion hydrostatiques'exercera sur le parement intérieur,et la poussée éprouvera de ce chef une augmentation.D'autre part, le poids de la terre immergée subira uneréduction de î.000 kg. par mètre cube.

15

Le problème ainsi posé est facile à résoudre, avecune exactitude suffisante, quand la surface libre dumassifest horizontale, et par conséquent parallèle auplan supérieur de la nappe d'eau.

Nous désigneronspar a l'épaisseur de la tranche deterrain située au-dessus de l'eau, et par b celle de latranche de terrain immergée. La hauteur totale dumur, de sa crête à sa base, est donc a + b.

Soient A le poids du mètre cube de terrain mouillé,et A le coefficient de poussée correspondant aux don-nées <? et k, l'inclinaison i de la surface libre étantnulle.

Si l'on avait pourvu à l'évacuation de l'eau, la pous-sée aurait pour valeur y (a + b)'. L'angle 0 que faitla réaction du massif avec la normale au plan du murse calculerait par une des formulesénoncéesci-dessus.

Etant donné que le parement intérieurdu mur estnoyé par la nappe d'eau sur la fraction b de sa hau-teur, on décomposera la réaction totale du massif entrois forces, à calculer séparément, savoir a

l'Une force S,, relative à la tranche supérieure duterrain dont l'épaisseur est a. Cette force, faisant avecla normale au parement l'angle G calculé ci-dessus,aura pour composante horizontaleQI

Elle sera appliquée à la distance verticale g a de lacrête du mur.

2° Une force S,, faisant le même angle ô avec lanormale au plan du mur, «t ayant pour composantehorizontale

o. f. (a .ooo) [(_'ldS) «+»)•- ^a )*]= £[(» – iOOOJJ' + Sia»].

La distance verticale u,-de la crète du mur au pointd'application de cette force S«, sera fournie par la rela-tion

» Gd»> a + 6) fcïïôôo a) “3 ( 4 b)' (" ),+a- ma

fczioR11-»-*) -(l=iôôô«j.1-1000 4-tOOO

_Aa&a + i 3°

Ua + 3(A – 1000)ft'

3° Une force S,, correspondant à la pression hydro-statique, qui sera dirigée suivant la normale au plandu mur (ô=o),et aura pour composante horizontale

n 1000 6»g. = –5–La distance verticale de la crête du mur au point

d'application de cette force sera a + –6.

Les poussées élémentaires correspondantà ces troisréactions seront

de o à a qt = AÂy

a/ l ç, = A(A – 1000)(y~a)-l-AAa;d0aà<a4:6>U=HOOO(y-0).9. = tOOO (y a),

On voit que, dans le cas de la surface libre horizon-tale, la pression hydrostatiquede la nappe d'eau, s'exer.çant sur la partie inférieure du mur, de hauteur b,

donne lieu à un supplémentde poussée égal à

Q~ Q~AA<1±~'A)&'

0i -»- Q» *+• Q* A-A– – «" j- –

Si la surface libre du massif n'est pas horizontale,la résolution du problème semble difficile. Nous esti-mons qu'on tiendra un compte suffisammentexact del'influence de la nappe d'eau, en admettant que le murest soumis à l'action de deux forces 1° la réactionS = g^a^ calculée par la méthode habituelle pour2 cos (6 «)le cas de la terre mouillée, et appliquée aux deux tiersde la hauteur totale a + b à partir de la crête; 2° uneforce S' normale au parement, appliquée à la distance

verticale a +• – 6 de la crète, et ayant pour valeur

iooo (i y'Â^T)

2

Ao et Ai sont les coefficients de poussée du terraincorrespondant aux inclinaisons o du plan d'eau et i dela surface libre.

L'erreur commise, en employant cette règle em-pirique, ne saurait être importante. Il doit être bienentendu que, pour chaque section située au-dessous duplan d'eau, le calcul de la pression maximum devraêtre effectué par la règle du trapèze ou la règle dupentagone, et non par la règle du triangle, puisqu'ils'agit d'une maçonnerie noyée, où le travail de com-pression ne peut tomber au-dessous de In pression hy-drostatique.

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·

47. Butée des terres.Coefficientsde bâtée- – La résis-

tance d'un massif de butée à une pression qui s'exerce

sur un plan vertical, peut être calculée comme il

suit.La force appliquéeaux deux tiers de la hauteur z du

plan d'appui à partir de la surface libre, sera suppo-sée faire avec la normale au plan, qui est ici horizon-

taie, l'angle – –

Sa projection horizontale,ou butée, sera fournie parla relation

~) A<* Ai A–q. = B

= <«* t + Vf ("XZ7 H?)-Q'= B == (cos'i+l8'f

Les valeurs numériques du coefficient de butée B,

correspondant aux angles ? variant de cinq en cinq

degrcs depuis 20° jusqu'à 45°, et aux angles i variantde cinq en cinq degrés depuis – ? jusqu'à + 9, ont été

inscrites dans le tableau suivant.Ces renseignementsn'offrentaucune garantied'exac-

titude mathématique.A défaut d'une équation rationnelle, déduite de cal-

culs rigoureux, on a dû recourirà une formule empi-

rique, dont le seul mérite est d'être simple, et de

fournir des indicationsplausibles, qui ne semblent pass'écarter notablement de la vérité.

Le cas où la pression s'exerce sur un plan d'appuioblique ou sur une surface d'appui quelconque. peut

être ramené au précédent, au moyen d'une construc-tion empirique indiquée à l'article 43.

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11.{~. 'M(%<M9< CD

·

48 – ~ppUcattona numériques de la méthodede oaleuldee murs de eoatènement. – nous a paru utile depréciser et de confirmer les conclusions et les règlesénoncées dans !e précédent chapitre, en faisant quel-ques applications numériques de notre méthode et denos tables.

AfM~ par<WM*M~tM<~tPM~ t'CC<<K~KP~.– Leterrain étant défini par les données apcciHquea

== 1.800 kg. et ? == 30", nous avons envisagésucces-sivement les trois cas où l'angle d'inclinaison i de lasurface libre seraitégal à + <p, à zéro et à – <

Nous avons évalué dans ces conditions les épaisseursà attribuer a un mur de soutènementde 20 m. dehauteur, ayant un parement intérieur rectiUgne. et un.parement extérieur polygonal, dont les sommets sont

placés verticalementà 5 m., 10 m., 15 et 20 m. au-des-

sous de la crète. Nous avons attribué à l'angle <x duparement intérieur du mur et de la verticale les va-

il

leurs successives 20~, + 10~, 0°, i0" et 20*.

Le poids du mètre. cube de maçonnerie étant nxé à2.400 kg., on a pris pour condition de résistance

que le travail de compression, en chaque sommet«t

du polygone de parement extérieur, serait de 6 kg.

par centimètre carré.Toutefois il convient de signaler que, pour abréger

les opérations numériques, il a été fait usage, pourle calcul du travail, de la formule générale de flexiondes piècesprismatiques (règle du trapèze), sans tenircompte de l'inaptitude de la maçonnerie à résis-

ter aux efforts de traction. 11 en résulte que pour uncertain nombre de sections de ces murs, la stabilitén'est assurée, dans la limite de résistance à la com-

pression indiquée ci-dessus, qu'en admettant que leparement intérieur soit susceptible de subir s~ns fissu.ration un travail d'extension notable. Les épaisseurstrouvées sont par conséquent trop faibles, notamment

dans le voisinage du sommet. Mais comme l'erreur pardéfaut va en diminuant quand l'angle

<xvarie de 20°à 20°, les conclusions tirées de ces calculs som-maires sont a /bW~oWjustinées, parce que nous noussommes uniquement proposé de faire ressortir l'éco-nomie dans le cube de la maçonnerie qui peut êtreréalisée par la substitution d'un parement intérieur.en surplomb (<x < o) au parement avec fruit (<x > o),qui est le plus généralement en usage.

Les épaisseurs trouvées n'ayant de valeur qu'aupoint de vue de la comparaison des différents types demur, nous résumerons ci-dessous les résultats de noscalculs, pour la section de base, en représentant par100 l'épaisseur correspondant du cas le plus défavo-rable (i = 30°; -= 20"), qui est de i4 m. 97 sur lafigure 128.

<=:-)-30" t'=:0" <=–30<'

dateurs Fruit Fruit FruitEpai'"<cur

duKpab~eur

duEpaisseur

duah à ta f~ta«

bai-eparen)':nt

ba.snparoncnt

basepareox'nt

oxt~ricut extérieur extérieur

+20 )00 Si 7tt 28 M i49

+<~ 83 59 SM 32 50 M

0" 69 M 44 44 38 38

–i0" S' 8< 34 58 29 53

–20" 49 98 37 76 23 M

Comme dans les murs de tranchée l'inclinaison ensurplomb du parementintérieur est limitée paria con-venance de ne pas attribuer au parement extérieur nn

fruit trop considérabte, nous avons également portésur ce tableau les fruits totaux du parement extérieur,c'est-à-dire les distances horizontales de l'aréte infé-rieure à la crète, en leur appliquant !a même échelle(100 pour 14 m. 97) qu'aux épaisseurs à la base.

On voit qu'une économie très importante peut êtreréalisée dans le cube de la maçonnerie, s'il est possibled'exécuter le parement extérieur en surplomb, quandon a la faculté de mettre !e pied du mur en saillie sur laverticale de la crête.

Le mur serait réduit a un simple perré de faibleépaisseur, n'ayant a subir aucune poussée, si l'on attri-buait à Fang!e

<xl'inclinaison -r ou 60°, cor-respondant au talus naturel du terrain. En ce cas lasaillie de l'arête inférieur du talus, en avant de la ver-ticale, serait h cotg ? ou 34 m. 64, soit A !'ccheHc dutableau numérique: 23~.

Il. – ~M~ SOM~~M~ à /?~e~< ~rt<?M~'vertical. Données = 30° i = o h = 20 D2.400, = I.uOO. Le mur acte divisé en cinq tranchesde 4 m. de hauteur pour lesquelles l'angle <xdu pare-ment intérieur a été pris successivement égat ia + t0",+ 20", -r 30", + 40" et ~O". Les réactions par.tie!!es exercées par le terrain surci)aque élément recti-ligne du parement ont été évaluées par ta règle del'article 36. On a calculé exactement le travail de com-pression sur le parement extérieur, pour les sectionshorizontalescorrespondant aux sommets du parementintérieur. Les valeurs obtenues ont été, en kHb~ram-mes par centimètre carré i k. 9o, 5k. t3, 6k. Oo,6 k~ 39, 6 k. 74. L'épaisseur est de un mètre ausommet et de ~3 m. ~8 la base; sa valeur moyenneest o m. 29.

Si l'on jugeait que la pression de 6 k. 74 par centi.

mètre carré à ia base, sur Farete de renversement,fût

excessive pour te sol de fondation, il suffiraitde donner

a la tranche inférieure du mur une saillie de 4 m. 20

sur le parement extérieur \'crUca! pour faire ps~ncr !a

résultante des forces extérieures par le centre de gra-vité de la base d'appui, et réaliser par suite l'unifor-mité de pression sur cette base,à raison de 2 k. 9o parcentimètrecarré.

Mur de revêtement à parement intérieur ensurplomb. Les données sont celles du cas précédent.Le mur est également divise en cinq tranches de 4 m.,pour lesquelles rangiez du parement intérieur a reçules valeurs successives W, iS", – 20% 2" et–3Q".

L'épaisseur constantede chaque tranche a été déter-minée par la condition que la résultante des forcesextérieures passât par le centre de gravité de la sec-tion horizontale inférieure de cette tranche.

en résulte que la charge se répartit uniformé-ment sur la section droite de la tranche. Le calcul dela pression a été fait exactement elle varie de 1 k. H1

à 4 m. au-dessous de h crête, jusqu'à 3 k. 29 à la basede la quatrième tranche.

L'épaisseur de la tranche inférieure est un peu supé-rieure à ceUe qu'exigeait la condition précitée, de sorteque, pour la base d'appui, le centre de pression estplus rapproché du parement intérieur que le centre degravité la pression, qui atteint 4 k. 92 sur ce pare-ment, n'est que de 3 k. 09 sur l'arête de renversementdu mur.

L'épaisseur horizontaledu mur varie de 0 m. 90 ausommet, à 3 m. à la base. L'épaisseur moyenne est de2m. t2.

Le fruit total du parement extérieur est de 9 m. oLOn voit que ce mur de revêtement n'a que

ies -.F duvolume du mur de soutènement à parement extérieurvertical dont il a été question précédemment, bien quele travail maximum de la maçonnerie, sur le parementextérieur, soit de 3 k. 09, au lieu de 6 k. 74. La largeurde la base d'appui est de 3 m., au lieu de !3 m. 88.

IV. – Nous avons voulu nous rendre compte del'erreur que t'on peut commettre dans le calcul d'unmur de soutènement en remplaçant, pour l'évaluationde la «'action du massif, le pront polygonal du pare-ment intérieur par sa corde, et admettant que la terrecomprise entre cette corde et la ligne brisée n'inter-vient que par son propre poids.

Mur à parement e~dWe~ uer/tca~. Pour l'ou-vrage étudié au paragraphe II, le calcul effectué parla méthode de l'article 36 a donné les résultats numéri-ques suivants. Réaction du massif sur le parementintérieur polygonal Poussée Q ==99.144k. Compo-sante verticale V = 249.750 k. Moment uéchissantsurJa section de base == 933.149 k.

Le calcul sommaire a donné les résultais suivantsPoussée Q == 99.900 k. Réaction verticale du massif:V = ~89.'<~00 k. Poids de la terre comprise entre leprofil polygonal et sa corde x == 60.000 k. D'oùV + == 249.200 k. Moment fléchissant sur la sectionde base ;= 939.600k.

Il y a donc dans ce cas concordance absolue entreles deux méthodes de calcul, les écarts étant deFordrede grandeur des erreurs commises dans la détermina-tion des coefficients numériques de poussée.

~/Mr de ~cM~e/Me~. – Le ea!c'<! exact a donné lesrésultats suivants

Q – ~2.040 k. V = H .94u k. y. = – 13 500 k.

Ceux du calcul sommaire sont

Q = 56.400 k. V == – 2.627 k.

Le poids de la terre comprise entre le polygone duparement intérieur et sa corde est de 24.000 k. Maisici ce poids doit <p o~/ec~ du signe puisqu'enréatité cette surface est occupée non par la terre, maispar la maçonnerie du mur d'ou == – 2Ï.OOO k.

V+~=–26.627k.On a trouvé enfin

===t03.800 k.

La discordance est ici abso!ue. Nous en concluons

que si la méthode abrégée est acceptable pouf les mursdont le parement intérieur présente un fruit variable(à condition, bien entendu, qu'il s'agisse simplementde vérifier la stabilité pour la section de base), elle doitêtre proscrite pour les murs dont le parement est ensurplomb, parce qu'elle fournit des indications erro-nées.

V. Limite de hauteur <f~ mur de MM<CM<?-

M~:<. – La figure 133 démontre que pour les murs àparement extérienr vertical ou à fruit peu prononcé,la limite de hauteur, pour une valeur donnée du tra-vail maximum à la compression,estatteinte assez vite,de sorte que l'on ne pourrait recourir à ce type pourdes ouvrages très élevés.

Par contre, les murs de revêtement avec parementintérieur en surplomb, dont l'inclinaison s'accentueaufur et à mesure que l'on s'abaisse au-dessous de lacrête, peuvent atteindre des hauteurs très grandes.

On pourrait étudier un mur d'égale résistance, rem-plissant les deux conditionssuivantes en chaque sec-tion la résultante des forces extérieures passerait parle centre de gravité; le travail uniforme de compres-sion serait constamment égal à une limite de sécuritéR arrêtée, a priori.

Le calcul de cet ouvrage, par tranches successiveslimitées par des sections droites, serait des plus aisésà. faire, en se servant des formules suivantes.

Soient

? l'angle d'inclinaison sur la verticale relatif au pare-ment intérieur, pour une section déterminée

l'épaisseur du mur, mesurée sur la normale auparement;

P et Q les composantes verticale et horizontale desforces extérieures pour cette section

D le poids du mètre cube de maçonnerie.On se donnera arbitrairement l'inclinaison x' ==

+~x du parement intérieur pour la tranche suivante.Connaissant la distance verticate y de cette section à iacrête du mur,on calculera, par la méthode habituelle,la poussée étémentaire et la composante verticalecorrespondante v = q tg (6' + x*) relatives à cet élémentdu parement, d'inclinaison «'. Cela fait, on évaluerale surcroit d'épaisseur 8c a attribuer au mur, dans larégion correspondant à l'angle x', et la distance verti-cale 8y pour laquelle on pourra conserver i'inc!inaison<x' eU'épaisseur e Sp, par les deux relations~==2––

y–~tgM'–!)ctga'

8e == – (D -t- sin <x' + cos <x').

La hauteur de ce mur de revêtement d'égale résis-tance n'est pas limitée, quelle que soit la valeur admisepour la pression constante R.

Mais il est évident que l'angle x tend vers la limite– + ?. le parement intérieur finissant par avoirl'inclinaison du talus naturel.

Ce type d'ouvrage d'égate résistancecorrespond à lapile et la cu!ée. en arc-boutant, que nous avons étu-diées dans le second volume du cours de mécaniqueappliquée (Stabilité des co~~Mc/:o~. ChapitreV. arti.cles i23 et !2~). A ce propos, nous croyons utile decombter ici une lacune de !'artic!e 42~ retatifà ta ~e<a~e ~'MM~/tCC.

Nous avons étab!i (article ~28,page?0)!'équation

din'O-entieHe de l'axe longitudinal de cette culée

d~.=Q~T~.Nous avons dit par inadvertance que cette équation

paraissait difncite.'tintègre! En réalité, c'est une ope.ration des plus sin)p!es. par une méthode t'!emeutaireet classique.

Posons0'pT~ == =~ x < ==

== (!/ + P) S.!quation differentieUe prend la forme

jL i f ./=..1,

'<S* t~ +

== arc t~~<- C arc t~- + f!= :H'C tg- + C u a l'C tg- VPl + + C

et ennn

1!L nrc t~ t/+Q' -oA Y~ ~–\+Q' c 'r +Qi".arct~

Y \'t" + u' + uOn voit que la hauteur de cet arc-houtant est i!timi-

tee,car FaLcisse.?' ne devient pas innnic avec l'ordon-née

Pour ?/ == oc le pretnier tertne de t'equation pr'ce- )

dente tend vers !a limite nnie -'L JL. )

–" L~' -)14I t

J

1

~r.~

TABLE ANALYTIQUE DES MATIÈRES

)'.));fSAt'A.\T-)')tU)'t)?. t

';HAt')THEPME~)tHR

FORMULESGÉNÉRALES RELATIVES A L'ÉQUILIBREINTÉRIEUR D'UN CORPS DÉPOURVU DE COHÉSION.

1. t)istri))u)ion 'tes actions tno)p''u)aircs autour dun point dans un)))a))t)cs\')))utriCft))Cur))S.Ang)e)ttaxit))t))t)')eg)ts<en)e)t). M

3. Actions )))o)ccntaircsco))ju,;u~'c9. M

4. Lignesdccharpc. i)f5.Ca)cu)gra()hi<)uc. 206. Angtc dp frottement, de rupture, ou du talus naturel des terre' 2<'7. Eqniliurc limite d'un massif. Lignes de rupture 2!)8.rcu!<scc. 309. Ligne depoussée. 32

OtAHTHE )<EU\i~)KÉQUILIBRE D'UN MASSIF INDÉFINI LIMITÉ

PAR UNE SURFACE LIBRE PLANE.

)O.Etatsd'cqui)ibrc)i)nite. 3?X. Epure des lignes de poussée. 1012. Applicalion et discussion des forn)u)c<;d'pqui)ihretimite. H)3.Etatsd'equi)ibreinteru)ediaires. H~.Fondationsen ptcineterre. ~4)~. Compression })rca)ab)cduso). C3

<:HArtT!<H THOtS~MK

ÉQUILIBRE D'UN MASSIF INDÉFINI LIMITÉPAR DEUX PLANS.

<H. Kquation de la ligne de p0))%scc correspondant A )'c)at d cqt)i)ihre~Mn~r. 73)'ropri<'t<"i~t'f))))ct)i)}))csdé)a)ignedcpoussct' 80

<8. Kpuredcs<'o"r)'es depoussée. 84

PfgMi9.Etatd'éqnitibresuperieur.·~8

20. Lignes derupture.3t. Massif timitc j'a) deux surfaces )ibresp)ancs. MO

22. Massiftimitc par une surface tibreptancet par un plan in\ariab)c ?23. De t'innuencc sur )'équi)ibrc intérieur du massif de l'angle defrottcmcntsurteptandumur. tOu

2~. Massif compris entre deux plans invariables <08

25. Massif compris entre une surface libre et deux p)ansiu\ariab)csdi\eri;en)s. «O26. Massif compris entre une surface libre bori~ontatc et deux plansverticaux. ~t127. Desphtos de glisscment dcternuncs dans tes couches terrestres

par des bancs minces d'argile ptastiquc Ht128. Det'hypothcseduprisme de p)us grande poussée39. !)es recherches expérimentâtes sur la poussée des terres.

CHAPtTnE QUATmÈME

STABÏL1TÉ DES MURS DE SOUTÈNEMENT.

30. Conditions d'équilibre d'un mur de soutènement. t~3t. Cakutdeta réaction minimum. ~t32 Cas d'un terrain ~surface tibreaccidentée. t!833. Cas d'un terrain forme de bancs superposes 15234. Casd)))) terrain sxrct'argc. tBS

3S. Cas d un remblai compris entre deux murs paraHetes i!iH

3C. Calcul de )a pousséepour un mur à parement po)y{;onatou courbe 0737. Circonstances susceptibles dercie~er la poussée au-dessus du

minimum ca!cu)e, et précautions à prendre leursujet. itiO

38.Pron)8de''mursdesoutenement. M739.Mmsaco))trcfort'). ~2~O.Fondationdesmurs. i734t. t)cs causes de dégradation et de ruine des murs de soutènement. ~642. Des ou\ rages de soutènement en bois, en meta) ou en ciment arme i'!9~.Buteedesterres. i8344.Mursf)'arrCt. iM

CHAPITRE CtKQU!<;MR

RENSEIGNEMENTS NOMÉRÏQUES.

4!i. Uensi~ et ang)c de frottement desterres. 2Hi~6. Ca)cu)dc9 murs de soutènement. Terrains noyés. Coefneientsdcpoussée. 22247. Butcedcs terres. Cocfncicntsdobutée. 23748. App)ication'in)))))eriqm;sttc t.t mctho'tcdc fatc))) des murs dc'on-

t;'))(;"pnt 2:M

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