Approche multi-pas multi-échelle Lyudmyla YUSHCHENKO & Frédéric GOLAY Institut de Mathématique de Toulon Porquerolles, le 26.05.2011 ANR CARPEiNTER

Approche multi-pas multi-échelle

Lyudmyla YUSHCHENKO

&Frédéric GOLAY

Institut de Mathématique de Toulon

Porquerolles, le 26.05.2011

ANR CARPEiNTER

Plan

1. Modèle physique

2. Raffinement du maillage

3. Intégration temporelle multi-pas

4. Conclusion et perspectives

2/19Porquerolles, le 26.05.2011

1. Modèle physique

la vitesse

la densité

la pression

l’énergie

1p

,

,

u x t

x t

2

2

uE

énergie spécifique interne

rapport des capacités thermiques à pression constante et à volume constant

(1)

0u

t x

2

0u pu

t x

0

E p uE

t x

Modèle Euler compressible 1D


2. Raffinement du maillage: modèle Euler compressible Volumes finis 1D

,, , 0

T x t fu E

t x

1

1 , , ,n

n

t

g d gnt

n dt t C t n d t

,0

C C

x t f

t x

,0

C C

x tF n

t

En utilisant les variables conservatives on réécrit (1) sous la forme: , ,u E


0

sL

t x

On associe à une entropie satisfaisant l’inégalité de Lax:

s

où est l’entropie du fluide satisfaisant 'T T s f

0L 0L • pour toute solution régulière• à travers une discontinuité ou une détente

• à travers un choc

lnp

s

us Nous utiliserons et


2. Raffinement du maillage: critère entropique du raffinement

Critère de raffinement de maillage: Croisille1990, Puppo 2002, Golay 2005

0

sL

t x

11/ 2 1/ 2

n nn nk kn k k

kn k

s sS

t h

Densité de la production numérique de l’entropie

Production total de l’entropie

nk n k n kS S t h

Test :

→ si - raffinement

→ si - déraffinement

max 75%maxn nk kS S S

min 10%maxn nk kS S S



2, p 2, u 0 1, p 1, u 0

Erreur L2 sur

A t=0.2

production d’entropie

totale

N=10 1.01 10-1 1.21 10-3

N=50 5.25 10-2 9.16 10-5

N=100 4.00 10-2 3.09 10-5

N=500 2.20 10-2 2.69 10-6

N=1000 1.07 10-2 9.89 10-7

Erreur sur la densité & Production d'entropiesur le dernier pas de temps

-0,1-0,1

00

0,10,1

-0,5-0,5 -0,25-0,25 00 0,250,25 0,50,50,E+000,E+00

1,E-061,E-06

2,E-062,E-06

3,E-063,E-06

n=50n=50n=100n=100n=1000n=1000

DensitéDensité

11

1,251,25

1,51,5

1,751,75

22

-0,5-0,5 -0,25-0,25 00 0,250,25 0,50,5

analytiqueanalytique

n=10n=10n=100n=100

n=1000n=1000



0 1

0100

00 011010 1

1

Macro-cellule Niveau 0

Niveau 1

Niveau 2

Niveau 3

Principe de raffinement 1D

0 2 3

10 11 13

120 121 122 123

0

2 3

10 11

13120 121

122 123

Principe de raffinement 2D


2. Raffinement du maillage: géométrie

Erreur L2 sur

A t=0.2

production d’entropie

totale

N=10 1.01 10-1 1.21 10-3

N=50 5.25 10-2 9.16 10-5

N=100 4.00 10-2 3.09 10-5

Raf(10→64:59) 4.07 10-2 4.09 10-4

Raf(50→104:84) 2.33 10-2 2.16 10-5

Raf2(50) 5.00 10-2 -


2. Raffinement du maillage: critère entropique du raffinement & géométrie

1

1 , , ,n

n

t

g d gnt

n dt t C t n d t

Les méthodes numériques multi-pas

- moins stables- la n-ème solution tient compte des solutions précédentes ( )- très adaptées à l’application du raffinement du maillage

,n i n

Adams-Bashforth (à suivre…)

1 ,n n n n nt t t F t t

Les méthodes numériques à un pas

- simples- ne nécessitent pas un stockage des variables calculées avant - peu adaptées à l’application du raffinement du maillage

Euler progressive

1 12 2

1 ,n n nn n

t t t F t t

3. Intégration temporelle multi-pas: schémas temporels


1

1 ,n

n

t

n nt

t t F t dt

1

0, ,

s

n k n kkk

F t FL t tt

1 1

10

1,

n

n

t

k n

s

n n n k n n k kkn

nkt

b t L t dt t t t b F t tt

t

avec

1

0,, 0, ..., 1

s n jk

j j k n k n j

t tL t k s

t t

où s est l’ordre de la méthode

11 : ,n n n n

Exemples avec t const

AB t t t F t t

1 1 13 1

2 : , ,2 2n n n n n nAB t t t F t t F t t

Coût: stockage des flux aux faces (et des sources aux cellules)Gain: une seule évaluation des flux par pas de temps


3. Intégration temporelle multi-pas: schémas Adams-Bashforth

Une cellule K est de niveau n si: n n 1

min K min2 h h 2 h

niveau maximal (la plus petite cellule): max2

min

hN log

h

niveau d’une face: niv(L / R) Max(niv(L),niv(R))

NPour i=1,...,2jSoit j le plus grand entier / 2 divise i

Pour toutes les faces / niv nmc N j niv N-nivL / RCalculer F sur l'intervalle de temps 2 dt

Distribuer sur les cellules voisines

Mettre à jour toutes les cellules / niv N j

Exemple à 3 niveaux :

i 01, j 2( )Calcul de F (0)(2)Calcul de w (dt)

i 12, j ( ) ( )2 1Calcul de F ( ), Fdt (0)( )2 )1(Calcul de w (2 ), w (dt 2dt)

i 03, j (2)Calcul de F (2dt)(2)Calcul de w (3dt)

i 24, j ( ) ( )2 (0)1Calcul de F ( ), F ( ),3d 2 Ft dt (0)(2 1) ( ) ( )0Calcul de w ( ),4dt 4w ( ), w (dt 4dt)

Hélène Mathis & Philippe Helluy : intégration multi-pas en MHD (2008)

0niv 1 22

( )2F (0)( )2F (0)( )2w (dt)( )2w (dt)

( )2F (dt)( )2F (dt)( )1F (0)( )2w (2dt)( )2w (2dt)( )1w (2dt)

( )2F (2dt)( )2F (2dt)( )2w (3dt)( )2w (3dt)

( )2F (3dt)( )2F (3dt)( )1F (2dt) ( )0F (0)( )2w (4dt)( )2w (4dt)( )1w (4dt) ( )0w (4dt)

0t

4t dt12/19Porquerolles, le 26.05.2011

3. Intégration temporelle multi-pas: algorithme


2 -2 4 .361 1 0l 2 -2 4 .589 10l

3. Intégration temporelle multi-pas: dx&dt constants –> dx&dt dynamiques


3. Intégration temporelle multi-pas: nmax=30->64


2 -2 3 .056 10l 2 -2 2 .170 10l

3. Intégration temporelle multi-pas: dx&dt constants –> dx&dt dynamiques


3. Intégration temporelle multi-pas: nmax=150->217

Si y 0.35;0.65 alors x y 0.02

Sinon x y 0.04

Gain 8/3Gain 8/32008-.. : Thèse Alioune Nar Sambe « Développement d'un modèle 3D de simulation d'impact de vagues en zones côtières et offshore », Direction F. Golay, Co-direction R. Marcer (Principia), P. Fraunie (LSEET)


3. Intégration temporelle multi-pas: modèle 3D sans raffinement automatique

Animation C. Nguyen, Povray/CM2

Calcul A.N. Sambe, 1 jour cpu

Expérience Kleefsman et al. 2005

3. Intégration temporelle multi-pas: Calcul 3D DamBreak

18/19

3. Conclusion et perspectives

Stéphane Popinet, code Gerris (2010)


→ Raffinement automatique 2D et 3D

→ Intégration dans le code

→ Stabilité des schémas numériques avec le raffinement automatique

→ Proportionnalité de cellules raffinées et déraffinées en fonction de nombre initial de macro-cellules

→ ...

Documents

Approche multi-pas multi-échelle Lyudmyla YUSHCHENKO & Frédéric GOLAY Institut de Mathématique de Toulon Porquerolles, le 26.05.2011 ANR CARPEiNTER