Approche théorique et expérimentale des principes ...n.ethz.ch/~cancinoj/download/TM_ATEPFS.pdf · Mention "très bien" lors de la soutenance à l’École de Physique de l’Univer-sité

UNIVERSITÉ DE GENÈVE

FACULTÉ DES SCIENCES

Professeur Øystein FISCHER

Docteur Ivan MAGGIO-APRILE

Approche théoriqueet expérimentale des

principes fondamentauxde la supraconductivité

TRAVAIL DE MATURITÉ

sous la direction de Pierre BACH

Réalisé à partir des connaissancesacquises durant les stages extra muros

de fin de 2e et de 3e années

par

Julián CANCINO

élève en option spécifiquePhysique et application

des mathématiquesau Collège Rousseau

GENÈVE

2005

Mention "très bien" lors de la soutenance à l’École de Physique de l’Univer-sité de Genève le 9 décembre 2004 .

Mention "excellent" au 39e concours national La science appelle les jeunesau Musée des Transports de Lucerne le 24 avril 2005.

Prix spécial du jury des matériaux 2005 de la Section des Matériaux del’École Polytechnique Fédérale de Lausanne le 25 juin 2005.

Une idée simple n’est pas forcément triviale.Prof. Øystein Fischer, juin 2004.

Table des matières

Table des figures v

Liste des tableaux vi

Abréviations ix

1 Approche historique 1

1.1 Supraconducteurs à basse température critique . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Éléments purs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Alliages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3 Magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.4 Fermions lourds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.5 Organiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.6 Accalmie... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Supraconducteurs à haute température critique . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Oxydes de cuivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Oxydes de ruthénium ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Approche empirique 9

2.1 Résistivité nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Effet Meißner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1 Différence entre un supraconducteur et un conducteur parfait . 10

2.2.2 Types de supraconducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Effet isotopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Approche théorique 17

3.1 Thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

i

ii TABLE DES MATIÈRES

3.1.1 Principes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.2 Énergie interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.3 Énergie libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.4 État normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.5 État supraconducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.6 Transition sans champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.7 Transition avec champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Modèle des deux fluides de Gorter-Casimir . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3 Équations des frères London . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3.1 Modèle de Drude-Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3.2 Première équation LL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3.3 Seconde équation LL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.4 Résolution de la seconde équation LL ; la profondeur de péné-tration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4 Théorie phénoménologique de Ginzburg et Landau . . . . . . . . . . 31

3.4.1 Paramètre d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4.2 Densité d’énergie libre en champ nul . . . . . . . . . . . . . 32

3.4.3 Densité d’énergie libre en champ non nul . . . . . . . . . . . 36

3.4.4 Première équation GL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4.5 Seconde équation GL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4.6 Profondeur de pénétration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4.7 Normalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4.8 Longueur de cohérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4.9 Énergie de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4.10 Types de SC : SC-I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4.11 Champ critique thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5 Vortex d’Abrikosov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.5.1 Quantification du flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.5.2 Types de SC : SC-II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.5.3 Vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.5.4 Champs critiques inférieur et supérieur . . . . . . . . . . . . 49

3.6 Mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.6.1 Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

TABLE DES MATIÈRES iii

3.6.2 Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.6.3 Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.6.4 De Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.6.5 Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.6.6 Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.6.7 Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.6.8 Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.6.9 Fermi et Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.6.10 Bose et Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.7 Théorie microscopique de Bardeen, Cooper et Schrieffer . . . . . . . 54

3.7.1 Instabilité de l’état normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.7.2 Paires de Cooper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.7.3 État fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.7.4 États excités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.7.5 Gap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.7.6 Température critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.7.7 Rapport 2∆/kbTc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.7.8 Énergie de condensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.7.9 Champ critique thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.7.10 Saut de la chaleur spécifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4 Approche expérimentale 65

4.1 YBa2Cu4O8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.1.1 L’Hélium 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.1.2 Topographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.1.3 Spectroscopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2 Bi2Sr2CaCu2O8+δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2.1 Le Mésoscaphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.2.2 Clivage à l’air . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2.3 Topographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.2.4 Spectroscopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2.5 Effet Cancino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2.6 Dopage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

iv TABLE DES MATIÈRES

5 Conclusions et perspectives 83

A Microscopie à effet tunnel 85

A.1 Microscopie à effet tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

A.1.1 Effet tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

A.1.2 Distance et courant tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

A.2 Spectroscopie à effet tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

A.2.1 Densité d’état et conductance . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

A.3 Hardware . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

A.3.1 STM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

A.3.2 Lock-in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

A.3.3 Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

A.4 Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Remerciements I

Bibliographie III

Table des figures

1.1 Résistance du mercure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Structure du composé organique (TMTSF)2PF6 . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Évolution des Tc entre 1911 et 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Structure cristalline du HgBa2Ca2Cu3O10 . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1 Refroidissement sans champ magnétique (Tab. 2.1) . . . . . . . . . . 11

2.2 Refroidissement avec champ magnétique (Tab. 2.2) . . . . . . . . . . 12

2.3 SC-I : Magnétisation et champ magnétique interne . . . . . . . . . . 13

2.4 SC-II : Magnétisation et champ magnétique interne . . . . . . . . . . 14

3.1 Énergie libre à Ba = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Entropie à Ba = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Énergie interne à Ba = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4 Chaleur spécifique à Ba = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.5 Énergie libre à Ba 6= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.6 Entropie à Ba 6= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.7 Énergie interne à Ba 6= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.8 Chaleur spécifique à Ba 6= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.9 GC : Densités relatives d’électrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.10 LL : Profondeur de pénétration du champ magnétique dans un SC . . 30

3.11 GL : Densité d’énergie libre d’un SC (paramètre d’ordre) . . . . . . . 35

3.12 GL : Densité d’énergie libre d’un SC (densité de superélectrons) . . . 36

3.13 GL : Variation du paramètre d’ordre à l’interface N-SC . . . . . . . . 42

3.14 BCS : Mécanisme de Cooper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.15 BCS : Densité d’états normalisée en fonction de l’énergie . . . . . . . 59

v

4.1 Vortex sur Y-123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2 Cryostat et chambre de l’Hélium 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3 Topographie d’une surface très plane d’Y-124 . . . . . . . . . . . . . 68

4.4 Topographie d’une surface d’Y-124 présentant un trou . . . . . . . . . 69

4.5 Trace sur du Y-124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.6 Symétries d-wave et s-wave du gap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.7 Structure cristalline du Bi-2212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.8 Susceptibilité magnétique et sa dérivée en fonction de la température . 73

4.9 Cryostat du Mésoscaphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.10 Affiche du Xe Colloque Wright pour la science . . . . . . . . . . . . 75

4.11 Clivage du Bi-2212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.12 Trace homogène de 1820 Å sur du Bi-2212 . . . . . . . . . . . . . . 77

4.13 Variation de la conductance avec la distance . . . . . . . . . . . . . . 78

4.14 Moyenne de la trace (Fig. 4.12) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.15 Spectre de Bi-2212 surdopé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.16 Spectre étrange de Bi-2212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.17 Spectre de Bi-2212 sousdopé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

A.1 Situation de l’effet tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

A.2 Densité d’états d’un gaz d’électrons libres . . . . . . . . . . . . . . . 88

A.3 Recouvrement des fonctions d’onde de deux métaux . . . . . . . . . 90

A.4 Tête du STM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

A.5 Lock-in servant à obtenir la dérivée dI/dU(U) . . . . . . . . . . . . 95

A.6 Modules d’acquisition des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

A.7 Module Offset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

A.8 Software utilisé pour le STM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

vi

Liste des tableaux

1.1 Tc et Bac (T=0 K) des métaux SC au dessus de 0.8 K . . . . . . . . . . 3

1.2 Tc de la phase A15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Tc de la phase de Chevrel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Tc des fullerènes SC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1 Refroidissement sans champ magnétique (Fig. 2.1) . . . . . . . . . . 11

2.2 Refroidissement en champ magnétique (Fig. 2.2) . . . . . . . . . . . 12

2.3 Valeurs de α pour certains éléments et alliages . . . . . . . . . . . . . 15

3.1 ΘD, Tc et λ?exp de quelques métaux SC . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2 Valeurs expérimentales du rapport 2∆/kBTc . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3 Valeurs expérimentales du rapport ∆C(Tc)/Cn(Tc) . . . . . . . . . . 63

4.1 Valeurs de Tmaxc de certains HTSC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

vii

viii Liste des tableaux

Abréviations

Bac Champ critique thermodynamique en teslas (SC-I, SC-II).

Bac1 Champ critique inférieur en teslas (SC-II).

Bac2 Champ critique supérieur en teslas (SC-II).

BCS Bardeen-Cooper-Schrieffer.

Bi-2201 Bi2Sr2CuO6+δ.

Bi-2212 Bi2Sr2CaCu2O8+δ.

Bi-2223 Bi2Sr2Ca2Cu3O10+δ.

∆ Gap supraconducteur en électrons-volts.

Φ0 Quantum de flux : h/qs = 2.07·10−15 Tm2.

GC Gorter-Casimir.

GL Ginzburg-Landau.

h Constante de Planck : 6.63·10−34 Js.

Constante de Planck réduite : h/2π = 1.05·10−34 Js.

HTSC Supraconducteur à haut Tc (High-Tc SuperConductor).

It Courant tunnel en ampères.

κ Paramètre de GL : λ/ξ.

kB Constante de Boltzmann : 1.38·10−23 JK−1.

LL London-London

λ Longueur de pénétration du champ magnétique en ångströms.

λ? Couplage électron-phonon.

LDOS Densité locale d’états (Local Density Of States).

me Masse de l’électron : 9.11·10−31 kg.

ms Masse de la paire de Cooper, du superélectron : 2me = 1.82·10−30 kg.

µ0 Perméabilité magnétique du vide : 1.26·10−6 VsA−1m−1.

MaNEP Materials with Novel Electronic Properties.

N (État) normal.

NIS Jonction Normal-Isolant-Supraconducteur.

qe Charge de l’électron : –1.60·10−19 C.

ix

x Abréviations

qs Charge de la paire de Cooper, du superélectron : 2qe = –3.20·10−19 C.

σns Énergie de surface en joule par mètre-carré.

SC (État) supraconducteur / supraconductivité.

SC-I Supraconducteur de type I.

SC-II Supraconducteur de type II.

SIS Jonction Supraconducteur-Isolant-Supraconducteur.

STM Microscope/ie à effet tunnel (Scanning Tunnelling Microscope/y).

STS Spectroscopie à effet tunnel (Scanning Tunneling Spectroscopy).

t Température réduite : T/Tc .

Tc Température critique en kelvins.

ΘD Température de Debye en kelvins.

Ut Tension entre la pointe et l’échantillon en volts.

UHV Ultra Haut Vide.

ξ Longueur de cohérence en ångströms.

Y-123 YBa2Cu3O7−δ.

Y-124 YBa2Cu4O8.

Chapitre 1

Approche historique

Dans ce premier chapitre, nous aborderons l’aspect historique de la découverte des SCpuis de l’évolution des températures critiques (Tc ) 1. Les explications seront donnéespar la suite.

1.1 Supraconducteurs à basse température critique

La SC est un phénomène étonnant que le physicien néerlandais Heike KammerlinghOnnes a découvert par hasard en 1911 [37].

En étudiant la résistance du mercure en fonction de la température, il voit qu’elle chutebrutalement à 0 Ω lorsque la température passe au dessous de 4.23 K 2 (Figure 1.1). Ilvient d’observer l’état supraconducteur, et reçoit le prix Nobel de physique en 1913,bien que la véritable découverte a été faite par son étudiant, Gilles Holst.

1.1.1 Éléments purs

Le tableau 1.1 montre les températures critiques et champs critiques, respectivementTc et Bac

3, au-dessus desquels la SC est détruite 4, des éléments purs (M, métaux) quideviennent SC au-dessus de 0.8 K.

Or, pour descendre jusqu’à ces températures, on est obligé d’utiliser de l’hélium li-quide qui est extrêmement coûteux et difficile à produire.

Un réfrigérant beaucoup moins cher est l’azote (N2) qui se liquéfie à 77 K. En effet,on le récolte sous sa forme gazeuse dans l’air qui en est composé à ∼80%.

1L’usage veut que "Tc " soit masculin dans le langage parlé français, ce problème ne se posant pas enanglais.

2On dit que le Tc du mercure est de 4.23 K.3Dans de nombreux ouvrages et articles on trouve "Hc" qui représente habituellement le champ appli-

qué. On utilisera Bac tout au long du travail afin d’éviter des confusions.4Comme le niobium est un SC de type II, il s’agit en réalité du champ critique supérieur Bac2 (cf.

§§ 2.2.2, 3.5.2 et 3.5.4).

1

2 Chapitre 1. Approche historique

FIG. 1.1: Résistance du mercure en fonction de la température [40].

1.1.2 Alliages

Même le Tc des alliages SC à base de vanadium ou de niobium (appelée phase A15,X3M, où X = V ou Nb et M est un métal) ne dépasse pas 23 K ! (Figure 1.2 et ta-bleau 1.2). Et cela va durer jusqu’en 1986...

1.1.3 Magnétiques

Plus tard, on découvrit des SC au comportement plutôt étrange.

Certains SC de la phase de Chevrel ne montrent pas de SC lorsqu’on n’applique pasde champ magnétique ! Cela va à l’encontre de tout ce qui avait été pensé jusque là :La SC et le magnétisme étaient deux phénomènes ne pouvant a priori pas coexister...

Le Prof. Øystein Fischer a beaucoup travaillé dans ce domaine avant de s’intéresseraux HTSC qui seront présentés plus loin.

La table 1.3 montre les Tc de la phase de Chevrel, MxMo6X8, où M est un métal et Xdu soufre ou du sélénium.

Une caractéristique intrigante est la SC dite ré-entrante. Ces composés possèdenten effet une phase ferromagnétique (les moments magnétiques des ions du cristals’orientent dans la même direction) en dessous de Tc . Ceci a pour effet que la SCest détruite puis qu’elle revient à une température encore plus basse.

1.1. Supraconducteurs à basse température critique 3

M Tc [K] Bac [T]Al 1.18 10−2

Ga 1.09 5.9·10−3

Hg 4.16 3.95·10−2

In 3.4 2.88·10−2

La 6.0 1.6·10−1

Mo 0.92 9.6·10−3

Nb 9.2 1.95·10−1

Pb 7.2 8·10−2

Re 1.7 1.93·10−2

Sn 3.72 3.04·10−2

Ta 4.4 8·10−2

Th 1.4 1.45·10−2

Tl 2.38 1.74·10−2

V 5.3 1.1·10−1

Zn 0.86 5.2·10−3

TAB. 1.1: Tc et Bac (T=0 K) des éléments SC au dessus de 0.8 K [68].

1.1.4 Fermions lourds

UBe13, CeCu2Si2, UPt3, U6Fe sont autant de SC d’un genre appelé à fermions lourds 5.

Le premier à avoir été découvert est le CeCu2Si2 (1979). Puis cette découverte a étéconfirmée par la découverte par le Prof. Ott de l’ETHZ, en 1983, du UBe13.

Leur Tc ne présente rien de très extraordinaire – en effet il ne dépasse pas 1 K pour ceuxcités ci-dessus – mais le fait qu’ils présentent une phase SC est d’autant plus étonnantque c’est dans une phase dite ferromagnétique. Chose qui, selon Vitali Ginzburg esttotalement impossible.

Dans une phase ferromagnétique, les spins des ions du cristal sont tous orientés dansune même direction. Ceci devrait être préjudiciable pour la formation de singulets despin. En effet, il est généralement admis que les spins des électrons dans une paire deCooper (cf. § 3.7) sont antiparallèles :

↑↓⇒ S = 0

1.1.5 Organiques

Depuis 1964, William Little et, indépendamment, Vitali Ginzburg ont émis l’hypothèsequ’il pourrait exister des SC organiques, c’est-à-dire basés sur le carbone. L’idée étaitinspirée par le fait que le benzène présente une forme de diamagnétisme.

5Le nom ne correspond pas au sujet, un nom plus approprié serait SC à électrons lourds (comme lamasse effective des électrons est plus de 100 celle des électrons libres) ou à bosons lourds (comme lesporteurs de charges sont des paires).


X3M Tc [K] Tc [K]M V NbOs 5.15 0.94Rh 0.38 2.5Ir 1.39 1.76Pt 10Ni 0.57Pd 0.08Au 3.2 11Al 9.6 18.9Ga 15.4 20.3In 13.9 8Si 17.1 18Ge 7.0 23Sn 4.3 18.3Pb 3.7Sb 0.8Bi 2.25

TAB. 1.2: Tc de la phase A15 [68].

Il existe très peu de SC organiques à ce jour. L’un d’eux est le (TMTSF)2X qui devientSC à quelques kelvins 6. Dans ce composé, X = ClO4 ou PF6. Il présente la particularitéd’être un SC unidimensionnel, c’est à dire que la conduction se fait surtout le long del’un des axes (sur la figure 1.2, l’axe vertical.)

Cette particularité peut-être expliquée par une théorie de la conduction dans les sys-tèmes à une dimension. Ces systèmes se nomment liquides de Luttinger et ont étéprésentés par le Prof. Thierry Giamarchi de l’Université de Genève lors de l’écoled’été de MaNEP à Saas Fee en 2004 [31] à la suite des liquides de Fermi dont nousreparlerons à la section 3.4 consacrée à la théorie de Ginzburg et Landau.

Une série de SC "organiques" sont des dérivés dopés du C60, sorte de ballon de foot(buckyball), nom donné par Harold Kroto qui les a découvertes et qui a été récompensédu prix Nobel de chimie en 1996 pour cela.

Ces composés sont énumérés à la table 1.4.

1.1.6 Accalmie...

La théorie phénoménologique de Vitali Ginzburg et Lev Landau (GL) et la microsco-pique de John Bardeen, Leon Cooper et Robert Schrieffer (BCS) s’accordaient parfai-tement avec les expériences.

En 1986, on avait tout calculé, et des limites théoriques prédisaient même l’impossi-

6De son nom complet : tétraméthyltétrasélénafulvalène.

1.1. Supraconducteurs à basse température critique 5

MxMo6X8 Tc [K] Tc [K]Mx S Se- 1.7 6.3Cu2 10.6Cu1.4 5.8Cu2.6 4.6Ag 8.5 5.8Sn 11.8-14.5 4.8Pb 12.5-14.7 3.6Na 8.5La 7.0 11.2Pr 2.6 8.9Nd 3.5 8.0Sm 2.4 6.6Gd 1.4 5.4Yb 8.5 5.2

TAB. 1.3: Tc de la phase de Chevrel [68].

Composé Tc [K]K3C60 19K2RbC60 22KRb2C60 25Rb3C60 29Rb2CsC60 31RbCs2C60 33Cs3C60 47Rb2.7Tl2.2C60 45

TAB. 1.4: Tc des fullerènes SC [58].

bilité d’existence de SC avec des Tc supérieurs à 35 K. Il n’y avait donc plus d’intérêtà continuer les recherches dans ce domaine, car tout était expliqué et on ne pouvaitpresque plus aller plus loin 7.

Presque...

Jusqu’à ce que deux physiciens du centre IBM de Zürich-Rüschlikon découvrent unnouveau composé étonnant qui allait révolutionner le domaine : les SC à haute tempé-rature critique.

7Pour une liste très complète des Tc de SC classiques, voir la référence [55].


FIG. 1.2: Structure du composé organique (TMTSF)2PF6. Les éléments à l’extérieur sont les PF6 [31].

1.2 Supraconducteurs à haute température critique

1.2.1 Oxydes de cuivre

En 1986, l’Allemand Georg Bednorz et le Suisse Alexander Müller découvrent que laSC apparaît à 38 K pour le composé La2−xBaxCuO4−δ (x ∼ 0.15) [10]. Ces dernierssont récompensés du prix Nobel de physique l’année suivante.

On parle de SC à haut Tc (HTSC) lorsqu’un composé d’une famille possède un Tc élevé.Par exemple le Bi-2201 est un HTSC parce qu’il fait partie de la même famille que leBi-2212 alors que sa température de transition n’est que de 10 K.

La figure 1.3 montre les dates des différents records de Tc depuis la découverte de laSC.

Depuis, une course aux HTSC commence et les découvertes se succèdent rapidement :

• En 1987, on passe la barre de température de l’azote liquide : Wu et Chu voientla SC apparaître à 92 K pour la molécule YBa2Cu3O7−δ(Y-123) [72]. On étudieaussi les composés de la même famille en substituant à l’yttrium des terres rares(néodyme, dysprosium) [51].

• En 1988, le Tc maximal grimpe à 110 K pour le Bi-2223 [17].

• Cette même année, on atteint un Tc de 125 K dans le Tl2Ba2Ca2Cu3O10.

• Le record actuel confirmé de Tc est celui du Hg0.8Tl0.2Ba2Ca2Cu3O8.33 : 135 K,il a été atteint en 1995 [19].

On remarque vite que presque tous les HTSC possèdent des plans de CuO2. Il estgénéralement admis que la conduction a lieu dans ces plans, c’est pour cette raisonqu’on parle de SC bidimensionnels (Figure 1.4).

Quant aux Bac2 des HTSC, ils sont très élevés. En extrapolant les données obtenues àdes températures proches de Tc , on arrive pour l’Y-123 à un Bac2 (0) de l’ordre de la

1.2. Supraconducteurs à haute température critique 7

FIG. 1.3: Évolution des Tc entre 1911 et 2004 (Bleu, SC conventionnels ; Rouge, HTSC) [44].

centaine de teslas !

À titre de comparaison, le champ magnétique moyen terrestre à la surface est de∼5·10−5 T, celui utilisé pour l’imagerie à résonance magnétique nucléaire est com-pris entre 0.5 T et 4 T et celui d’un pulsar (étoile à neutrons en rotation) est de l’ordrede 108 T.

Ces champs très élevés laissent apparaître des possibilités très intéressantes d’appli-cations. Comme nous l’a signalé le Prof. Jochen Mannhart à Saas Fee [53] : le trainà lévitation magnétique [38] ainsi que les aimants très puissants comme ceux utiliséspour le LHC 8 au CERN ou le Tokamak 9 [27].

Un fait étonnant doit néanmoins être signalé : à température ambiante (∼300 K), lesHTSC sont isolants ou présentent les même caractéristiques que des matériaux semi-conducteurs ; et les bons conducteurs (cuivre, fer, or) ont soit un Tc très proche du zéroabsolu, soit ils ne deviennent jamais SC 10.

Cependant, les HTSC posent un gros problème : la théorie BCS ne s’applique plus trèsbien et des résultats étranges apparaissent...

8Large Hadron Collider, trad. "grand collisionneur de hadrons".9Du russe Toroidalnaïa kamera magnetnaïa katuska, trad. "chambre toroïdale à confinement magné-

tique".10Expérimentalement, on peut s’approcher toujours plus du zéro absolu, mais il est impossible de

l’atteindre. Il ne faut pas oublier qu’il peut exister des matériaux avec un Tc trop bas pour qu’on ait puobserver la phase SC.


FIG. 1.4: Structure cristalline du HgBa2Ca2Cu3O10 [44].

On voit par exemple pour certains composés que le gap n’est pas totalement détruitau-dessus de Tc et qu’un pseudogap le remplace pratiquement jusqu’à la températureambiante. Mais ceci n’est pas systématique. Notamment, on remarque que le Bi-2212et le Bi-2223 présentent cet effet mais pas le Y-123. Il faut déjà noter que ce pseudogapest bien difficile à définir et que ces questions sont au cœur des discussions les plusvéhémentes entre les différentes doctrines. Nous reviendrons sur ces considérations auchapitre 4.

1.2.2 Oxydes de ruthénium ?

De plus, on a récemment découvert un SC qui est un oxyde, mais ayant du Ru à laplace du Cu ; le Sr2RuO4. Il n’a pas un Tc exceptionnel : 1.5 K. Toutefois, il montreque le cuivre n’est pas forcément nécessaire pour la HTSC.

De plus, selon le Prof. Manfred Sigrist de l’ETHZ qui a dispensé un cours de physiquethéorique sur les SC lors de l’école d’été de MaNEP à Saas Fee en 2004 [67], il pour-rait s’agir d’un SC à triplet de spin, c.-à-d. les électrons des paires auraient des spinsparallèles :

↑↑⇒ S = 1

Chapitre 2

Approche empirique

On définit souvent le SC comme un état dans lequel le courant peut circuler sans résis-tance. Toutefois, il est aussi important de dire que le champ magnétique est nul dansun SC.

Les caractéristiques macroscopiques de l’état SC sont :

∗ En dessous de Tc , la résistivité ρ passe à 0 Ωm (§ 2.1).

∗ Si l’on applique un faible champ magnétique, le SC expulse ce dernier : c’estl’effet Meißner (§ 2.2).

∗ On note également une importante discontinuité de la chaleur massique aux en-virons de Tc (§ 3.1).

Enfin, pour un même élément, on note une relation entre la masse de l’isotope et Tc :l’effet isotopique (§ 2.3). C’est ce dernier qui amènera à penser que la théorie pou-vant expliquer la SC conventionnelle doit impliquer les phonons comme vecteurs del’interaction attractive entre les électrons.

2.1 Résistivité nulle

On l’a dit et redit les SC ont une résistivité nulle en dessous de Tc , mais ceci n’a pas étéfacile à prouver expérimentalement. En effet, à cette échelle les erreurs peuvent venirdes instruments de mesure. (Gilles Holst, l’étudiant de Heike Kammerlingh Onnes quia fait les mesures sur le mercure, a d’abord pensé que la chute de résistance était due àun court-circuit.)

Cependant, une expérience réalisable est de faire circuler un courant I dans un anneauSC et de mesurer le champ magnétique induit B ∝ I au centre de l’anneau. Ce champa été mesuré et est stable sur plusieurs années, donc I est bien constant.

Dans l’anneau le courant se déplace sans dissipation d’énergie par effet Joule (E =∫RI2dt), il n’y a donc pas de résistance. En extrapolant les mesures, on calcule que

le courant reste constant pendant plus de 100’000 ans ! [69]

Comme la résistivité ρ est nulle, le champ électrique E dans le SC pour faire circuler

9

10 Chapitre 2. Approche empirique

le courant est nul aussi. En effet, E = ρj 1.

2.2 Effet Meißner

Toutefois, ρ = 0 n’est pas la seule particularité des SC. En effet, les équations consti-tutives 2 pour E et B 3 dans les conducteurs normaux (parfaits ou pas) sont différentesde celles des SC (pour ces derniers ce sont les équations de London (§§ 3.3.2 et 3.3.3))car il y a transition de phase.

En 1933, Walther Meißner et Robert Ochsenfeld ont mis en évidence le fait qu’à l’in-térieur d’un SC, B = 0 [56]. C’est une propriété fondamentale des SC ; on la nommel’effet Meißner.

Cornelius Gorter a proposé de considérer l’effet Meißner comme une propriété fonda-mentale des SC.

2.2.1 Différence entre un supraconducteur et un conducteur parfait

Il sera plus facile de comprendre la différence en comparant un SC et un conducteurparfait dans des conditions différentes. Dans le premier cas, on applique un champmagnétique après le refroidissement (rotation horaire ; figure 2.1 et tableau 2.1), etdans le second, on passe au dessous de Tc avec le champ puis on l’enlève (rotationantihoraire ; figure 2.2 et tableau 2.2).

Refroidissement sans champ magnétique

Comme le montrent la figure 2.1 et la table 2.1, le SC et le conducteur parfait ont lemême comportement (leur courbe a la même forme et D→D’ se situe pour les deux àt , T

Tc= 1) : le champ ne pénètre dans aucun des deux matériaux pour t < 1,

BSC(B,C,D) = Bc.p.(B,C,D) = 0

Jusque-là, l’absence de résistivité et la loi de Lenz suffisent pour décrire le phénomène.

Refroidissement avec champ magnétique

On voit sur la figure 2.2 et la table 2.2 que si on passe au-dessous de Tc avec un champfini, le SC va expulser le champ (C→C’), de telle sorte que

BSC(C ′, D,E) = 0

1Ceci n’est qu’une autre formulation de la loi d’Ohm : R = ρLS

, j = IS

, E = UL⇒ U = RI ⇔

U = ρLSI⇔ U

L= ρ I

S⇔ E = ρj.

2Ce sont des lois spécifiques au matériau et à sa phase qui sont ajoutées aux équations générales deMaxwell pour décrire son comportement.

3Dans ce travail, B représente toujours le champ à l’intérieur du matériau et Ba le champ appliqué.

2.2. Effet Meißner 11

FIG. 2.1: Refroidissement sans champ magnétique.

X→Y Signification physiqueA→B A→B Diminution de la température au dessous de Tc

B→C B→C Augmentation du champ appliquéC→D C→D Augmentation de la température jusqu’à Tc

D→D’ D→D’ Transition, pénétration du champ magnétiqueD’→E D’→E Augmentation de la températureE→F E→F Diminution du champ magnétique appliqué

TAB. 2.1: Signification du parcours de la figure 2.1.

En revanche, le conducteur parfait va le garder constant (B→C) :

Bc.p.(B,C,D,E) = Ba

Si maintenant, en gardant T < Tc, on coupe le champ appliqué (C→D), le SC esttoujours dans l’état Meißner, mais le conducteur parfait maintient le champ qu’il a"emprisonné" lors du refroidissement :

Bc.p.(D) = Ba(B)

. Or, comme en magnétisme on définit le champ à l’intérieur d’un matériau par la rela-tion 2.1, où B est le champ interne, Ba est le champ appliqué et M est la magnétisation(réaction au champ magnétique).

B , Ba + µ0M (2.1)

L’effet Meißner stipule que le SC est allergique au champ magnétique s’il n’est pastrop élevé, autrement dit B = 0. Et par l’équation 2.1,

M = − 1µ0

Ba (2.2)


FIG. 2.2: Refroidissement avec champ magnétique.

X→Y Signification physiqueA→B A→B Augmentation du champ magnétique

B→C Descente de la température jusqu’à Tc

C→C’ Transition, expulsion du champ magnétiqueC’→D Diminution de la températureD→E Diminution du champ appliquéE→F Augmentation de la températureB→C Diminution de la températureC→D Diminution du champ appliquéD→E Augmentation de la température jusqu’à Tc

E→E’ Transition, relâche du champ magnétique emprisonnéE’→F Augmentation de la température

TAB. 2.2: Signification du parcours de la figure 2.2.

On parle souvent aussi de la susceptibilité, notée χ et définie par

χ ,M

Ba(2.3)

Dans un SC, χ = −µ−10 .

2.2.2 Types de supraconducteurs

Il devient important maintenant de distinguer deux types de SC. En effet, ces deuxtypes ont des comportements différents lorsqu’un champ magnétique est appliqué.

2.2. Effet Meißner 13

Premier type

Les premiers SC découverts présentaient tous un effet Meißner parfait jusqu’à Bac .On peut représenter cela par un graphe de la magnétisation et du champ interne enfonction du champ appliqué (figure 2.3). On les appelle supraconducteurs de type I(SC-I) 4.

FIG. 2.3: SC-I : Magnétisation et champ magnétique interne (éq. 2.1).

Ce type de courbes est caractéristique des diamagnétiques.

Lorsqu’on atteint le champ critique Bac , il y a transition du premier ordre (cf. § 3.1.7).Autrement dit, à l’instar de l’eau qui développe des zones liquides et solides à 0˚C,le matériau possède des zones SC et des zones normales. On nomme cet état, étatintermédiaire.

En récapitulant,

Ba < Bac ⇒ Meißner

Ba = Bac ⇒ Intermédiaire

Ba > Bac ⇒ Normal

Second type

En 1937, du côté de Kharkov, en Ukraine, des mesures de Lev Shubnikov et son groupevenaient contredire la condition absolue proposée par Cornelius Gorter selon laquelleB = 0 dans un SC [66].

Elles montrent (cf. figure 2.4) qu’à partir d’un champ très faible, appelé champ critiqueinférieur et noté Bac1 , le SC n’était plus un diamagnétique parfait mais laissait en partiepénétrer le champ magnétique bien que sa résistivité restât nulle ! On parle alors desupraconducteurs de type II (SC-II) 5.

4On trouve aussi SC de London.5On peut lire aussi SC de Pippard.


FIG. 2.4: SC-II : Magnétisation et champ magnétique interne (éq. 2.1).

Ce nouvel état est nommé état Shubnikov 6. Lorsqu’il est dans cet état, le SC laissepénétrer des vortex, zones normales entourées de supercourants qui limitent le fluxmagnétique. Nous développerons cet état au § 3.5.

Lorsque le champ dépasse Bac2 , le SC redevient normal et le champ pénètre complète-ment. Ce champ correspond au chevauchement des coeurs de vortex qui sont des zonesnormales (cf. § 3.5).

Comme on vient de le voir, seul Bac1 et Bac2 sont techniquement mesurables.

De façon analogue aux SC-I,

Ba < Bac1 < Bac2 ⇒ Meißner

Bac1 < Ba < Bac2 ⇒ Shubnikov

Bac1 < Bac2 < Ba ⇒ Normal

2.3 Effet isotopique

De plus, on a découvert un effet qui a été important pour le développement de la théorieBCS. Il montre le caractère intimement lié de la SC et du réseau cristallin : il s’agit del’effet isotopique.

On peut le généraliser par la formule ci-après :

Tc ∝ A−α (2.4)

Où A est la masse atomique de l’élément considéré.

Pour le mercure, on voit que si on passe du 200Hg au 202Hg le Tc va diminuer.

Cet effet bien que minime a toute son importance ! Il montre que la température cri-tique est inversement proportionnelle à racine carrée de la masse atomique. Or, dans

6Également appelé état vortex ou état mixte. À ne pas confondre avec l’état intermédiaire des SC-I.

2.3. Effet isotopique 15

Élément α

Cd 0.45± 0.05Hg 0.50± 0.03Mo 0.37± 0.07Os 0.10± 0.10Pb 0.48± 0.01Ru 0.00± 0.05Sn 0.47± 0.02Tl 0.50± 0.10Zn 0.45± 0.05Nb3Sn 0.08± 0.02Mo3Ir 0.33± 0.03

TAB. 2.3: Valeurs de α pour certains éléments et alliages [28, 68, 70].

les réseaux cristallins, la masse des isotopes intervient dans le calcul des modes de vi-bration autorisés. De cette manière, la SC doit être liée au réseau cristallin d’une façonou d’une autre.

L’expérience (cf. tableau 2.3) confirme en partie la théorie BCS qui prévoit la valeurthéorique de α = 0.5.

Dans les HTSC, on peut observer l’effet isotopique en substituant l’isotope 16O – quiest l’isotope le plus fréquent dans la nature – par l’isotope 18O.


Chapitre 3

Approche théorique

Dans cette recherche, nous allons aborder quelques points de théorie qui vont nouspermettre d’expliquer certaines propriétés intéressantes des SC. Nous commenceronspar la thermodynamique de l’état SC. Suivront les théories et modèles macroscopiquesà savoir le modèle de Gorter et Casimir (GC) [34], les équations des frères London(LL) [48], la théorie de Ginzburg et Landau (GL) [33] et l’approche d’Abrikosov [4].

Ensuite nous introduirons quelques notions de base de mécanique quantique pour abor-der finalement en partie la théorie de Bardeen, Cooper et Schrieffer (BCS) [9] quinécessite des connaissances importantes en mécanique quantique.

Pour la partie thermodynamique, j’ai bénéficié de l’aide du Dr Yanina Fasano et deCédric Dubois en particulier. Ils m’ont expliqué les principes et m’ont guidé à traversles raisonnements.

En ce qui concerne la mécanique quantique, j’ai en grande partie consulté des ou-vrages de vulgarisation [35, 47, 49, 57, 64] ainsi que des ouvrages plus techniques (etardus !) [70,71]. Heureusement j’ai bénéficié du soutient du Dr Ivan Maggio-Aprile etde Cédric Dubois pour les zones d’accrochage.

3.1 Thermodynamique

L’état SC présente des caractéristiques macroscopiques qui rendent intéressant le trai-tement de la transition à Tc à l’aide de la théorie phénoménologique des transitions dephases de Landau, rattachée à la thermodynamique.

Pour décrire la transition N-SC, nous allons employer surtout l’énergie libreF(T,Ba),qui est fonction de la température et du champ magnétique appliqué. Cependant, nousallons également utiliser l’énergie interne U(S,Ba), qui est, quant-à-elle, fonction del’entropie et du champ magnétique 1.

1Nous ne nous occuperons pas de l’enthalpie H(T,M) ni de l’énergie libre de Gibbs G(S,M) carles paramètres que l’on contrôle (variables libres) sont le champ magnétique appliqué et la température.

17

18 Chapitre 3. Approche théorique

3.1.1 Principes

La thermodynamique décrit les échanges d’énergie entre un système et son entourage.Elle obéit à trois principes fondamentaux :

1. Conservation de l’énergie. La variation de chaleur est égale à la somme de lavariation de l’énergie interne d’un système et du travail qu’il fournit :

δQ = dU + δA (3.1)

2. Définition de l’entropie. L’entropie ne peut que croître ou rester constante aucours du temps :

dS ,δQ

T≥ 0 (3.2)

3. Principe de Nernst. Au zéro absolu, l’entropie est nulle :

T = 0 ⇒ S = 0 (3.3)

3.1.2 Énergie interne

Par l’éq. 3.2, on peut poser pour un processus reversible

δQ = TdS (3.4)

En présence d’un champ magnétique, on définit l’élément de travail par

δA , M · dBa (3.5)

Et donc, en vertu du premier principe de la thermodynamique, on peut écrire

dU = TdS −M · dBa (3.6)

3.1.3 Énergie libre

Il est pratique d’avoir recours à une autre énergie, appelée énergie libre (de Helmholtz)définie par

F , U − TS (3.7)

On voit aisément avec l’éq. 3.6 que

dF = −SdT −M · dBa (3.8)

L’avantage de l’énergie libre est qu’elle fait intervenir deux variables (la températureet le champ magnétique) qui sont ajustables.

Ici, il est important d’ajouter qu’une difficulté supplémentaire est le manque de cohé-rence entre les sources. Il existe en effet deux énergies libres, celle de Helmholtz (quenous utilisons ici) et celle de Gibbs. Les auteurs ont tendance à choisir celle qui lesarrange mais sans prendre en compte le fait que les deux énergies ont des paramètrede contrôle différents. C’est là que tout s’embrouille. Buckel [13], Poole et al. [58],Ketterson et al. [39] et Lynton [50] utilisent G ; tandis que Ginzburg et Landau [33],Abrikosov [4], Tinkham [69], de Gennes [20], Burns [14] et Petrovic [1] utilisent F .

3.1. Thermodynamique 19

3.1.4 État normal

À partir de la chaleur spécifique électronique nous obtiendrons l’énergie interne, l’en-tropie, puis l’énergie libre dans l’état normal ; c’est l’approche que propose la réfé-rence [58]. Ceci est le cas en dessus de Tc ou si Ba ≥ Bac. Nous choisissons un SC-Ide façon explicite pour éviter les complications.

Nous allons prendre uniquement en considération la chaleur spécifique due aux élec-trons comme nous nous trouvons à des températures très basses :

Cn(T ) = γT (3.9)

La transition N-SC est une transition réversible (il n’y a pas de "détérioration" del’énergie comme dans une combustion) c’est pourquoi, dans l’état normal, et grâce audeuxième principe de la thermodynamique

CdT = TdS (3.10)

De plus dans l’état normal, M = 0 et donc,

dUn = CndT (3.11)

En intégrant du zéro absolu à la temperature on obtient la densité d’énergie interned’un métal dans l’état normal :

Un(T )− Un(0)︸︷︷︸=0

=

T∫0

Cn(T )dT ⇔ Un(T ) =12γT 2 (3.12)

En mettant la définition 3.9 dans l’éq. 3.10 et en utilisant le troisième principe de lathermodynamique (éq. 3.3) on calcule que

Sn(T )− Sn(0)︸︷︷︸=0

=

T∫0

Cn(T )T

dT ⇔ Sn(T ) = γT (3.13)

En substituant l’éq. 3.13, en disant que la magnétisation est nulle et en intégrant l’éq.3.8 :

Fn(T )−Fn(T )︸︷︷︸=0

= −T∫

0

Sn(T )dT ⇔ Fn(T ) = −12γT 2 (3.14)

Comme on est dans l’état normal, on considère que la magnétisation du matériau estnulle et par conséquent

Cn(T,Ba) = Cn(T ) (3.15)

Un(T,Ba) = Un(T ) (3.16)

Sn(T,Ba) = Sn(T ) (3.17)

Fn(T,Ba) = Fn(T ) (3.18)


3.1.5 État supraconducteur

En prenant une température donnée (i.e. dT = 0) on peut poser

dFs(T,Ba) = −M · dBa (3.19)

Or dans un SC en dessous de Tc , un SC est dans l’état Meißner (éq. 2.2). En substituantdans l’éq. 3.8 et en intégrant on obtient

Fs(T,Ba)−Fs(T, 0) = −Ba∫0

M · dBa =1

2µ0B2a (3.20)

Avec comme solution particulière pour Ba = Bac :

Fs(T,Bac(T ))−Fs(T, 0) =1

2µ0B2ac(T ) (3.21)

Or, on doit se rappeler qu’à la transition, par définition, les énergies libres des deuxphases sont égales :

Fs(T,Bac(T )) , Fn(T ) (3.22)

Et donc

Fs(T,Ba) = Fn(T )− 12µ0

(B2ac(T )−B2

a) (3.23)

./ Fs(T,Ba) dépend à la fois de la température et du champ.

À partir de l’éq. 3.8 et sans oublier les dérivées de fonctions composées, avec dBa/dT =0 (le champ appliqué ne dépend pas de T ), on peut dériver l’éq. 3.23 comme suit,

Ss(T ) = − d

dT[Fs(T,Ba)] = Sn(T ) +

1µ0Bac(T )

d

dTBac(T ) (3.24)

./ Ss(T ) dépend de la température, mais pas du champ appliqué.

En usant d’ingéniosité et de la formule 3.8 "à l’envers" on peut obtenir l’expression del’énergie interne du SC,

Us = Fs + TSs (3.25)

Un = Fn + TSn (3.26)

En faisant la différence des éq. 3.25 et 3.26 on obtient

Us − Un = Fs −Fn︸︷︷︸cf. éq. 3.22

+T (Ss − Sn︸︷︷︸cf. éq. 3.24

) (3.27)

En développant l’éq. 3.27 on a l’expression de l’énergie libre,

Us(T,Ba) = Un(T )− 12µ0

(B2ac(T )−B2

a) +T

µ0Bac(T )

d

dTBac(T ) (3.28)


./ Us(T,Ba) est liée au champ appliqué et à la température.

Pour terminer on peut obtenir l’expression de la chaleur spécifique pour un Ba donnégrâce aux éq. 3.6 et 3.10 :

Cs(T ) = Cn(T ) +T

µ0Bac(T )

d2

dT 2Bac(T ) +

T

µ0

(d

dTBac(T )

)2

(3.29)

./ Cs(T ) est indépendante du champ magnétique.

3.1.6 Transition sans champ magnétique

S’il y a transition de phase c’est que la phase finale est avantageuse énergétiquementà la phase initiale. La transition a lieu lorsque les énergies libres sont égales 2 ; c’estcette égalité qui determine la température de transition, ou température critique Tc .

En effet, si on considère l’équation admise de forme parabolique 3 de la dépendanceen température du champ critique thermodynamique :

Bac(T ) = Bac(0)(

1− T 2

T 2c

)(3.30)

On voit immédiatement que

Bac(Tc) = 0 (3.31)

En mettant ce résultat, et la condition Ba = 0 dans l’éq. 3.23 on obtient l’éq. 3.32 quiest visible graphiquement sur la figure 3.1 :

Fs(Tc, 0) = Fn(Tc, 0) (3.32)

De plus, à Tc , les courbes des deux énergies libres sont tangentes :

d

dTFs(Tc, 0) =

d

dTFn(Tc, 0) (3.33)

En réexprimant l’éq. 3.33 à l’aide de l’éq. 3.24 :

Ss(Tc) = Sn(Tc) (3.34)

On peut le voir graphiquement sur la figure 3.2. Les transitions de phases du secondordre sont caractérisées par les éq. 3.32 et 3.34. C’est uniquement la seconde dérivée∂2F/∂T 2 qui est discontinue.

La transition N-SC en champ nul montre aussi que l’énergie interne est la même dansles deux phases à Tc . C’est pour cette raison qu’elle n’a pas d’énergie de changementd’état, de chaleur latente (Figure 3.3).

2On a choisi le plomb (cf. tableau 1.1) pour toutes les figures de la section 3.1. : γ ' 200 [Jm−3K−2][58], Bac (0) = 80.3·10−3 [T] et Tc = 7.2 [K] [14]. Les fonctions ont été dessinées à l’aide du logicielOrigin.

3La forme est due aux données expérimentales. Dans aucune des références consultée on déduit cettedépendance de façon analytique.


FIG. 3.1: Énergie libre à Ba = 0.

FIG. 3.2: Entropie à Ba = 0.

U présente cependant une discontinuité à Tc bien visible dans la chaleur spécifique (quin’est autre que sa dérivée en température à champ constant, cf. éq. 3.29). Cette dernièrecourbe, présentée à la figure 3.4, est bien connue car typique de la SC et parce qu’ellepermet de mesurer presque directement le terme γ qui est utile à la détermination dela densité d’états énergétiques au niveau de Fermi D(EF ). Le Prof. Alain Junod, del’Université de Genève, est spécialiste de ce type de mesures 4.

3.1.7 Transition avec champ magnétique

Lorsqu’un champ magnétique est appliqué, la transition devient du premier ordre.

Le champ critique dépend de la température selon l’éq. 3.30. Mais ce qui sera très utilepour la discussion qui va suivre c’est de prendre la fonction "réciproque" Tc(Ba) deladite équation Bac(T ). Cela est pertinent car on voit sur la figure 3.5 que la transitionn’a plus lieu à 7.2 K, mais à∼5 K. Une telle réciproque des paramètres critiques existe,

4Consulter la liste des articles sur le lien http ://dpmc.unige.ch/gr_junod/index.html


FIG. 3.3: Énergie interne à Ba = 0.

FIG. 3.4: Chaleur spécifique à Ba = 0.

du moins d’un point de vue mathématique :

Tc(Ba) = Tc(0)

√1− Ba

Bac(0)(3.35)

Où évidemment Tc(0) = Tc est la température critique comme on la connaît habituel-lement.

En regardant la figure 3.5, on voit qu’à la transition les énergies libres des deux phasessont égales,

Fs(Tc, 0) = Fn(Tc, 0) (3.36)

Cependant les pointillés attirent l’attention sur le fait que les deux courbes ne sontpas tangentes à la transition. En effectuant la même opération que précédemment avecl’éq. 3.33 on voit facilement que si Ba 6= 0,

Ss(Tc) 6= Sn(Tc) (3.37)


FIG. 3.5: Énergie libre à Ba 6= 0.

FIG. 3.6: Entropie à Ba 6= 0.

Les transitions de phases du premier ordre sont caractérisées par les éq. 3.36 et3.37. C’est la dérivée première de F par rapport à T qui est discontinue. La transitionliquide-solide de l’eau est de ce type.

Il y a une différence d’entropie (éq. 3.37) et, dans l’état SC, l’entropie ne dépend pasdu champ (éq. 3.24).

L’énergie interne, donnée par l’éq. 3.27 et son développement (éq. 3.28), présenteégalement un saut.

Ce saut s’appelle la chaleur latente, et est mis en évidence sur la figure 3.7.

On définit la chaleur latenteL à Tc(Ba) (en utilisant les éq. 3.27 et 3.37) comme valant,

L , Un − Us = Tc(Ba)(Sn − Ss) (3.38)

On obtient ainsi pour la transition du plomb5 à Ba = 0.5 · Bac(0) une chaleur latenteL ' 2500 [Jm−3].

5Cf. note 2, p. 21.

3.2. Modèle des deux fluides de Gorter-Casimir 25

FIG. 3.7: Énergie interne à Ba 6= 0.

Pour terminer, ajoutons que la chaleur spécifique ne présente pas de grande particula-rité si ce n’est que la transition à lieu à Tc(Ba) plutôt qu’à Tc . On voit sa valeur enfonction de la température sur la figure 3.8.

FIG. 3.8: Chaleur spécifique à Ba 6= 0.

3.2 Modèle des deux fluides de Gorter-Casimir

Nous devons la première approche de la SC du point de vue théorique à CorneliusGorter et Hendrik Casimir [34]. Ce n’est qu’une description simple mais assez facile àsaisir. De plus, au le chapitre 4, nous y reviendrons en parlant du pseudogap.

Si l’état SC existe dans certains matériaux c’est qu’ils sont énergétiquement favorablespar rapport à l’état normal, et qu’ils sont stables.

C’est dans cet esprit que, par analogie, Gorter et Casimir ont appliqué aux SC le mo-dèle des deux fluides utilisé pour expliquer les propriétés de l’hélium superfluide.

L’idée est étonnement simple : ils stipulent qu’à une certaine température, étant don-


née la densité d’électrons conducteurs dans un volume n = N/V (N est le nombred’électrons et V le volume), les électrons sont en proportions différentes dans deuxétats.

En dessous de Tc , la fraction d’électrons normaux obéissent à la statistique de Fermi-Dirac et ont une densité nn et les électrons SC ont une densité ns et forment un conden-sat de Bose-Einstein 6.

Évidemment, le nombre d’électrons ne change pas avec la température et nn+ns = n.

Par souci de commodité, on peut définir une densité relative d’électrons normaux x =nn/n ; et comme nn + ns = n, on obtient aisément 1− x = ns/n.

Mais comment varie x avec de la température ? Il nous faut pour cela une expressionde l’énergie libre en fonction de la densité relative d’électrons normaux x et la tempé-rature T . En trouvant ses points stables (les minima) nous trouverons notre réponse.

À la base de la description de ce nouvel état, Gorter et Casimir ont émis deux hypo-thèses :

Hypothèse 3.2.1 T = 0 ⇒ x = 0 ⇔ n = ns : Tous les électrons sont SC au zéroabsolu.

Hypothèse 3.2.2 T ≥ Tc ⇒ x = 1 ⇔ n = nn : À Tc et au-dessus, tous les électronssont normaux.

Gorter et Casimir ont proposé l’équation suivante 7 qui satisfait les hypothèses 3.2.1 et3.2.2 pour 0 ≤ T ≤ Tc ,

F(x, T ) =√xfn(T ) + (1− x)fs(T ) (3.39)

Où fn(T ) = −12γT

2 est l’énergie libre des électrons dans un métal normal et fs(T ) =

−β = −B2ac

2µ0est l’énergie à laquelle se trouvent les électrons après condensation sur le

niveau fondamental SC ; on les appelle alors "superélectrons" 8.

Selon les hypothèses 3.2.1 et 3.2.2 ainsi que l’éq. 3.39 ;

F(0, 0) =√

0fn(0) + (1− 0)fs(0) = fs(0) = −β (3.40)

F(1, Tc) =√

1fn(Tc) + (1− 1)fs(Tc) = fn(Tc) = −12γT 2

c (3.41)

En annulant la dérivée partielle de l’éq. 3.39, on obtient la condition de minimum pourune température fixée(

∂F∂x

)T

= 0 = fn(T )∂√x

∂x+ fs(T )

∂(1− x)∂x

= fn(T )1

2√x− fs(T ) (3.42)

6Les statistiques de Fermi-Dirac et de Bose-Einstein sont décrites aux §§ 3.6.9 et 3.6.10.7La raison du terme

√x, au lieu de x, est obscure mais il faut garder à l’esprit que cette théorie

est phénoménologique : La racine est là pour que le modèle soit en accord avec les mesures (voir laréférence [50], p. 20).

8Les constantes β (énergie de l’état fondamental ou de condensation (cf. § 3.4.2, p. 34)) et γ (chaleurspécifique électronique) ne dépendent pas de la température.

3.2. Modèle des deux fluides de Gorter-Casimir 27

L’éq. 3.42 réexprimée avec les définitions de fn(T ) et fs(T ) donne

β =14γT 2 1√

x(3.43)

Comme nous n’avons pas fait d’hypothèse sur T , l’éq. 3.43 est valable tant que T ≤Tc.

En particulier (cf. hypothèse 3.2.2) :

β =14γT 2

c

1√1

(3.44)

En égalant les éq. 3.43 et 3.44, on se débarrasse des paramètres β et γ,

14γT 2 1√

x=

14γT 2

c

1√1⇔ x =

(T

Tc

)4

= t4 (3.45)

D’où on obtient la densité de superélectrons en fonction de la température (cf. fi-gure 3.9),

ns(t) = n(1− x) = n(1− t4) (3.46)

De fait, la fraction d’électrons SC augmente très vite en dessous de Tc :

T Tc ⇒ ns ≈ n.

.

FIG. 3.9: Variation des densités relatives d’électrons normaux et SC prévue par le modèle des deuxfluides [34].


3.3 Équations des frères London

Les frères Fritz et Heinz London proposèrent en 1935 deux équations qui portent leurnoms pour rendre compte des propriétés des SC [48].

Ce modèle explique l’effet Meißner de façon phénoménologique.

3.3.1 Modèle de Drude-Lorentz

Un champ électrique E sur une charge q exerce une force décrite par l’équation F =qE. L’accélération est liée à la force par la relation F = m(dv/dt). En combinant cesdeux équations, on obtient une équation du mouvement d’une particule chargée dansle champ E (équation de Drude-Lorentz) [58] :

m

(dvdt

+1τv)

= qE (3.47)

Dans l’éq. 3.47, τ est un facteur phénoménologique ayant la dimension d’un tempset rendant compte des collisions des électrons avec les ions du réseau. Dans un SC,de même que dans un conducteur parfait, on a τ → ∞, q = qs est la charge dessuperélectrons, v = vs leur vitesse et m = ms leur masse.

A ce stade on n’a pas fait d’hypothèse sur la charge et la masse du "superélectron". Enfait, ce concept est employé dans ce travail mais il n’était pas utilisé à l’époque. Il n’ade sens qu’en regard de l’explication par les paires de Cooper (§ 3.7). Si on se remetdans le contexte, on peut arguer que ce sont des électrons dont le déplacement ne subitpas de résistance et que, pour cette raison-ci, ils sont "super"...

3.3.2 Première équation LL

Ensuite, on peut définir une densité de supercourant par unité de surface. Elle seraproportionnelle à la vitesse des porteurs de charge, à leur charge ainsi qu’à leur nombrepar unité de volume :

Js , nsqsvs (3.48)

En rapprochant les éq. 3.47 et 3.48 et en posant

λ2 ,ms

µ0nsq2s(3.49)

On obtient l’équation LL pour le champ électrique, aussi appelée première équa-tion LL :

E = µ0λ2dJs

dt(3.50)

Cette dernière décrit l’effet d’un champ électrique sur un SC.

On voit déjà une particularité : un champ électrique dans un SC accélère les super-électrons ! Cette propriété est bien prouvée expérimentalement (cf. § 2.1). Dans l’étatnormal le champ maintient le courant alors que dans l’état SC le courant est constantmême sans champ.

3.3. Équations des frères London 29

3.3.3 Seconde équation LL

À partir de la première éq. LL (3.50) et de l’éq. de Faraday-Maxwell 9 (3.51),

∇×E +∂B∂t

= 0 (3.51)

On peut obtenir l’équation qui régit le champ magnétique :

µ0λ2d(∇× Js)

dt+dBdt

= 0 (3.52)

La loi d’Ampère-Maxwell (3.53) nous dit que

∇×B =1c2∂E∂t

+ µ0J (3.53)

Si l’on admet que tous les supercourants sont dus au champ magnétique et qu’il n’y apas de variation du champ électrique, en prenant le rotationnel des deux membres l’éq.3.53 devient

µo(∇× Js) = ∇× (∇×B)

Relation qui permet une substitution dans l’éq. 3.52,

λ2d(∇× (∇×B))dt

+dBdt

= 0 (3.54)

Par les identités vectorielles (cf. p. 32 de [25]),

∇× (∇×B) = ∇(∇ ·B)−∇2B

Et comme le champ magnétique obéit à l’éq. de Maxwell qui affirme qu’il n’existe pasde monopôle magnétique (3.55) :

∇ ·B = 0 (3.55)

On obtient

dBdt

= λ2∇2dBdt

(3.56)

Ceci est vrai pour un conducteur parfait comme pour un SC.

Or, le coup de génie des frères London, inspiré par l’expérience de Meißner et Och-senfeld [56], est d’avoir dit que non seulement l’éq. 3.56 est vraie, mais encore que lechamp lui même – pas seulement sa dérivée – obéissait à cette équation :

B = λ2∇2B (3.57)

C’est l’équation LL pour le champ magnétique, ou seconde équation LL. Ellerend compte de l’effet Meißner (§ 2.2).

9∇ ↔−−→grad, ∇· ↔ div et ∇× ↔ −→

rot sont des opérateurs vectoriels ; voir les pages 26 à 28 de [25]ainsi que les chapitres 1, 2 et 3 de [45].


3.3.4 Résolution de la seconde équation LL ; la profondeur de pénétra-tion

L’éq. 3.57 est une équation différentielle, nous allons imaginer un cas simple pour larésoudre et voir la variation de B avec la distance.

On choisit un système d’axe tel que pour x > 0 on se trouve dans le SC et que pourx < 0 nous nous trouvions dans le vide. On applique un champ magnétique extérieurselon l’axe Oz qui ne varie spatialement que selon Ox, la dérivée partielle devientalors totale.

B(x) = λ2∇2B(x) = λ2d2B(x)dx2

(3.58)

Les conditions aux limites sont : à x = 0 ⇒ B(0) = Ba et à x → ∞ ⇒ B(∞) = 0(effet Meißner).

La solution particulière de l’équation différentielle 3.58 est l’éq. 3.59, représentée gra-phiquement à la figure 3.10 pour un SC ayant λ = 1000 Å.

B(x) = B(0)e−x/λ (3.59)

FIG. 3.10: Pénétration du champ dans un SC à différentes températures réduites t = T/Tc.

La première chose à remarquer est que le champ ne peut pas être uniforme juste àl’intérieur d’un SC si le champ appliqué n’est pas nul.

La longueur λ est appelée la profondeur de pénétration de London et est la distanceaprès laquelle le champ est réduit d’un facteur e (Figure 3.10).

Il est important de noter que λ est aussi donné par :

λ =1Ba

∞∫0

B(x)dx (3.60)

3.4. Théorie phénoménologique de Ginzburg et Landau 31

Car il est facile de démontrer à l’aide de l’éq. 3.59 que,

1Ba

∞∫0

B(x)dx =

∞∫0

e−x/λdx =[−λe−x/λ

]∞0

= [(−λ · 0))− (−λ · 1)] = λ (3.61)

Autrement dit si le champ passe subitement de Ba à 0 à x = λ, le produit λBa est égalà l’intégrale de B(x) jusqu’à l’infini [50].

λ est, avec ξ, une longueur caractéristique des SC.

Dépendance en température Sachant que λ dépend de ns, si l’on utilise le modèleGC (§ 3.2), λ est dépendant de la température. En effet, en faisant le rapport de savaleur à T à sa valeur au zéro absolu grâce sa définition (3.49) et à l’éq. 3.46 :

λ(T )λ(0)

=

√msµ0q2s

√1

n(1−t4)√msµ0q2s

√1

n(1−04)

D’où on obtient la dépendance en température de λ,

λ(T ) =λ(0)√1− t4

(3.62)

Avec l’éq. 3.62, on voit sur la figure 3.10 que pour T = 0, λ est minimal (courbeverte). Pour 0 < T < Tc, λ(T ) > λ(0) (courbe jaune) et si T = Tc ⇒ λ → ∞(courbe rouge). Ce qui signifie physiquement que le champ magnétique pénètre danstout le SC, et il n’y a plus d’effet Meißner. Autrement dit, nous avons détruit l’état SC.

3.4 Théorie phénoménologique de Ginzburg et Landau

En 1950, deux physiciens soviétiques, Vitali Ginzburg et Lev Landau proposent unethéorie phénoménologique de transition de phase du deuxième ordre pour la supracon-ductivité [33]. C’est le début de l’âge d’or de la supraconductivité sur le plan de lathéorie !

Lors de l’école d’été de MaNEP à Saas Fee, le Prof. Manfred Sigrist de l’École Po-lytechnique Fédérale de Zurich nous a présenté les diverses approches théoriques dela SC conventionnelle et non-conventionnelle [67]. Il a présenté la SC comme étantune brisure de la symétrie de jauge U(1). Ce terme étant emprunté à de la physiquethéorique très pointue ne sera pas plus approfondi que le paragraphe suivant.

Imaginons un composé quelconque sous forme liquide proche de son point de solidi-fication. Si on considère qu’il est isotrope, en observant depuis un atome, il y aura au-tant d’atomes dans toutes les directions possibles, on aura alors affaire à une symétriesphérique. Si on abaisse la température lentement jusqu’en dessous de la températurede solidification, il va se former un cristal, disons de structure cubique. Cette structureest moins symétrique que la précédente : dans les axes du réseau il y aura un grandnombre d’atomes, tandis que dans les autres directions les atomes seront beaucoupmoins nombreux. Cependant elle est plus ordonnée ; il y a eu brisure de symétrie.


3.4.1 Paramètre d’ordre

Avant d’aller plus loin, nous allons illustrer le sens de ce terme à l’aide d’un exemplesimple [68].

Il existe des matériaux, dits ferromagnétiques, qui présentent, en dessous d’une cer-taine température, appelée température de Curie TC , un moment magnétique macro-scopique dû à l’alignement des spins des ions du réseau cristallin.

Or, entre TC et 0 K le paramètre d’ordre m change ; il vaut zéro dans la phase désor-donnée et 1 dans la phase la plus ordonnée. On peut prendre comme paramètre d’ordrepour un matériau ferromagnétique

m =∣∣∣∣n↑ − n↓n↑ + n↓

∣∣∣∣Où n↑ est le nombre d’électrons avec un spin up et n↓ avec un spin down 10.

À T > TC , il n’y a pas de prépondérance d’une orientation par rapport à une autre enraison de l’agitation thermique et donc n↑ ' n↓ et par conséquent m = 0. Maintenantsi T < TC , m va augmenter de telle façon qu’à zéro kelvin il vaille 1.

L’idée géniale de Ginzburg et Landau a été de décrire la transition SC à l’aide d’unepseudo-fonction d’onde complexe comme paramètre d’ordre :

ψ(r) = |ψ(r)|eiΘ (3.63)

Ils ont choisi la densité de superélectrons comme définition du carré de la norme duparamètre d’ordre

|ψ|2 , ns (3.64)

3.4.2 Densité d’énergie libre en champ nul

Ils ont alors pu construire une expression de la densité d’énergie libre de l’état SC Fs àpartir de celle de l’état normal Fn et d’une densité d’énergie liée au paramètre d’ordreF|ψ|aux alentours de Tc

11 :

Fs = Fn + F|ψ| (3.65)

En développant le terme F|ψ| en une série de puissances :

F|ψ| = a1|ψ|+ a2|ψ|2 + · · ·+ an|ψ|n =n∑i=1

ai|ψ|i (3.66)

Les coefficients de l’expansion en série de puissances doivent satisfaire certaines condi-tions strictes (définies par des équations) :

10On prend la valeur absolue car on nes’interesse pas au sens lui même de la polarisation.11Nous allons ici considerer que le paramètre d’ordre ne change pas avec la position, c’est le cas au

centre d’un SC sans champ magnétique. Nous traiterons le cas en présence du champ plus loin (§ 3.4.3).


Condition 3.4.1 Proximité de Tc . n = 4 On ne prend que les termes majeurs, etcomme à la transition le paramètre d’ordre est petit, les termes des puissances supé-rieures de |ψ| sont négligeables.

Condition 3.4.2 Stabilité de F|ψ|. a1 = 0 En effet, dans l’état normal (désordonné),|ψ| = 0 et (∂F|ψ|/∂|ψ|)|ψ|=0 = 0.

Condition 3.4.3 Symétrie d’axe |ψ| = 0. a3 = 0 Car la fonction est paire 12.

En outres, ils doivent vérifier des conditions plus souples (définies par des inéqua-tions) :

Condition 3.4.4 Solution unique de F|ψ| par état. a2 > 0 pour T > Tc et a2 < 0pour T < Tc.

Condition 3.4.5 Paramètre d’ordre fini. a4 > 0 Il ne doit pas exister de minima pourF|ψ| lorsque |ψ| → ∞.

Ce qui nous laisse 13

F|ψ| = α|ψ|2 +12β|ψ|4 (3.67)

Ensuite on sait que l’état SC doit être favorisé en dessous de Tc , de même, l’état normala une densité d’énergie plus basse pour T < Tc. Ce qui s’exprime par les inéquations

SC : Fs < Fn ⇒ F|ψ| < 0 (3.68)

N : Fs ≥ Fn ⇒ F|ψ| ≥ 0 (3.69)

De plus, la densité d’énergie doit être un minimum local. Exprimé mathématiquementpar les tests des dérivées premières et secondes

∂F|ψ|∂|ψ|

= 2αψ + 2β|ψ|2ψ = 0 (3.70)

∂2F|ψ|∂|ψ|2

= 2α+ 6β|ψ|2 > 0 (3.71)

En utilisant les conditions 3.4.4 et 3.4.5 ainsi que les éq. 3.70 et 3.71 on voit facilementque dans l’état SC :

|ψ|2 =−αβ

, |ψ∞|2 (3.72)

12Ceci n’est vrai que dans un cas sans champ magnétique.13La notation a2 → α et a4 → β/2 est généralement utilisée, c’est pourquoi nous l’emploierons dans

la suite de ce travail.


Nous garderons la valeur |ψ∞| en mémoire car elle nous sera utile pour ce que l’onnomme la normalisation (§ 3.4.7).

D’après les éq. 3.67 et 3.72 la densité d’énergie libre vaut

F|ψ| = α−αβ

+12β

(−αβ

)2

=−α2

2β< 0 (3.73)

Nous avons réussi à exprimer la densité d’énergie libre (pour Ba = 0) en fonction duparamètre d’ordre puis de deux autres paramètres. Le prochain paragraphe aura pourbut de trouver les valeurs de α et β ainsi que leur dépendance en température à partirde grandeurs physiquement mesurables.

Grandeurs mesurables Si on applique un champ magnétique sur un SC-I, ce der-nier l’expulsera complètement (effet Meißner, § 2.2). Cependant si Ba dépasse Bac , lechamp critique thermodynamique, le SC redevient normal.

4 On peut donc dire que la différence de densité d’énergie entre l’état normal et l’étatSC (énergie de condensation) est la densité d’énergie liée à Bac (cf. § 3.1.5, éq. 3.21) :

∆F(T ) = Fn(T )−Fs(T ) =B2ac(T )2µ0

(3.74)

Or, comme ∆F(T ) = −F|ψ|(T ) (en signalant les paramètres dépendants de la tempé-rature par (T )) la relation 3.75 est obtenue. De même, en utilisant la définition de |ψ|2(éq. 3.64) ainsi que la définition de λ (éq. 3.49) on obtient une seconde relation 3.76.Ceci forme le système de deux équations :

B2ac(T ) = µ0

α2(T )β(T )

(3.75)

λ2(T ) =−ms

µ0q2s

β(T )α(T )

(3.76)

En faisant le produit de ces deux équations on obtient,

α(T ) =−q2sms

B2ac(T )λ2(T ) (3.77)

En substituant α(T ) dans 3.75 ou 3.76 on a,

β(T ) =µ0q

4s

m2s

B2ac(T )λ4(T ) (3.78)

Maintenant, on sait empiriquement que

B2ac(T ) ∝ (1− t2)2

Et par le modèle de Gorter-Casimir (§ 3.2) que

λ2(T ) ∝ 11− t4


On peut alors connaître la dépendance en température de α(T ) et de β(T ). Les ap-proximations sont tolérables car la théorie GL est explicitement valable que pour lalimite t→ 1.

α(T ) ∝ limt→1

−(1− t2)2

1− t4∼ t− 1 (3.79)

β(T ) ∝ limt→1

(1− t2)2

(1− t4)2∼ 1

4> 0 (3.80)

Ces proportionalités sont cohérentes avec ce qu’on attendait à partir des conditions3.4.4 et 3.4.5.

Il peut être intéressant de connaître la densité d’énergie qu’un SC "gagne" à devenirSC. À l’aide des éq. 3.77 et 3.78 (en prenant Bac = 0.1 T et λ(0) = 1000 Å 14), onobtient comme valeurs des coefficients de l’expression de la densité d’énergie libre,

α(T ) = −3.38 · 10−24[J]1− t2

1 + t2

β(T ) = 2.55 · 10−51[Jm3]1

(1 + t2)2

Avec ces valeurs numériques nous avons esquissé le graphe montré à la figure 3.11.On voit que le paramètre d’ordre augmente quand la température diminue.

FIG. 3.11: Densité d’énergie libre en fonction de |ψ| pour un SC ayant λ(0)=1000 Å et Bac (0)=0.1 T, àdifférentes températures.

Cependant ce graphe, bien que montré dans plusieurs ouvrages, n’a pas de significationphysique pertinente. Il suffit de regarder les unités du paramètre d’ordre pour êtreinterpellé : J’ai déjà entendu parler de m2 ou de m−3 mais jamais de

√m−3.

En gardant à l’esprit la définition qu’ont donné Ginzburg et Landau au paramètred’ordre (éq. 3.64), on peut facilement prendre |ψ|2 comme variable indépendante aulieu de |ψ|. On obtient alors le graphe de la figure 3.12.

Ce graphe est intéressant car il nous permet de mettre en avant plusieurs remarques :14Ces valeurs sont typique d’un SC-I conventionnel.


FIG. 3.12: Densité d’énergie libre en fonction de la densité de superélectrons (= |ψ|2) pour un SC ayantλ(0)=1000 Å et Bac (0)=0.1 T, à différentes températures.

B Premièrement, on voit que l’énergie liée au paramètre d’ordre est négative tantque t < 1.

B Deuxièmement, la densité de superélectrons la plus avantageuse énergétique-ment sera celle observée, elle correspond au minimum de la courbe. Si ns n’estpas à sa valeur d’équilibre, le SC va tenter de minimiser son énergie en retrou-vant la valeur d’équilibre.

B Troisièmement, pour t ≥ 1 la densité de superélectrons la plus avantageuse enénergie est zéro, il n’y a pas de SC.

3.4.3 Densité d’énergie libre en champ non nul

L’un des grands avantages de la théorie GL est de pouvoir traiter des cas de distri-bution non linéaire et non uniforme de la densité de superélectrons, autrement dit duparamètre d’ordre.

De telles distributions impliquent qu’il existe des gradients du paramètre d’ordre. Deplus, si un champ est appliqué son énergie aussi doit être prise en compte. Donc d’unemanière générale

Fs = Fn + F|ψ| + FBa + F|∇ψ|,A (3.81)

Fn et F|ψ| sont connus (§ 3.4.2).

Pour la composante magnétique (cf. §§ 3.1.2 et 3.1.3) :

FBa =

Ba∫0

M · dBa =B2a

2µ0(3.82)

La composante du gradient devrait avoir la forme suivante, analogue à la composante


cinétique de l’équation de Schrödinger (éq. 3.154),

2

2ms|∇ψ|2 =

12ms

| − i∇ψ|2

Cependant une formulation plus exacte et plus pratique (car invariante par changementde jauge) prend en compte également le potentiel vecteur A, défini par

B = ∇×A (3.83)

Ce qui s’exprime en effectuant la substitution

−i∇ψ → (−i∇ + qsA)ψ

Et donc

F|∇ψ|,A =1

2ms|(−i∇ + qsA)ψ|2 (3.84)

En réexprimant de façon développée 15 l’éq. 3.81 on obtient

Fs = Fn + αψψ∗ +12βψψ∗ψψ∗ +

B2a

2µ0+

2

2ms∇ψ∇ψ∗

+iqs2ms

Aψ∇ψ∗ − iqs2ms

Aψ∗∇ψ +q2s

2msA2ψψ∗ (3.85)

Au sujet de cette expression on peut lire dans l’article original de V. L. Ginzburg et L.D. Landau [33],

[...] e 16 est une charge, qu’il n’y a pas de raison de considérer commedifférente de la charge électronique.

Cette phrase peut paraître, au premier abord, naïve. Il n’en est rien, car il faut garder àl’esprit que la théorie que V. L. Ginzburg et L. D. Landau ont proposé a plus d’un demi-siècle et que les idées ont changé depuis. Cette phrase montre au contraire qu’ils se sontinterrogé sur la valeur de cette charge et que, leur théorie étant phénoménologique, ilsne se sont pas préoccupé davantage de cette valeur. On doit aussi noter qu’il n’affirmentpas purement et simplement que la charge est celle de l’électron, mais qu’ils ne voientpas de raison qu’elle soit différente.

P.-G. de Gennes, quant-à-lui, affirme [20]

Cette construction [de la densité d’énergie libre], indépendante de toutethéorie détaillée de l’état supraconducteur constituait un tour de force17

d’intuition physique.

Dans cette même référence, il met en avant la liaison directe entre le paramètre d’ordreψ et le gap SC ∆. Ceci permet donc par la mesure de la densité locale d’états (LDOS)de connaître les valeurs du paramètre d’ordre avec la technique dérivée du STM, laspectroscopie tunnel.

15Si z = a+ bi, z∗ = a− bi et |z|2 = zz∗ = a2 + b2 [2].16Dans ce travail, il s’agit de qs.17En français dans le texte.


3.4.4 Première équation GL

On peut maintenant trouver les valeurs pour lesquelles l’énergie libre (éq. 3.85) estminimale.

Cette dernière doit tout d’abord être minimale par rapport à ψ∗. Ceci est assez arduen raison des opérateurs vectoriels, c’est pourquoi nous avons dérivé à l’aide de ladéfinition de la dérivée par la limite d’une petite variation en considérant les opérateurscomme des vecteurs si besoin en est.

D’une façon générale, on définit

δf = f(x+ δx)− f(x)

De cette façon,

limδψ∗→0

δFsδψ∗

= limδψ∗→0

δF|ψ|δψ∗

+ limδψ∗→0

δF|∇ψ|,A

δψ∗= 0 (3.86)

On peut effectuer les deux dérivées variationnelles séparément

δF|ψ|δψ∗

= αψ +12βψ2(2ψ∗ + δψ∗) (3.87)

δF|∇ψ|,A

δψ∗=

2

2ms∇2ψ +

q2s2ms

A2ψ (3.88)

En substituant les éq. 3.87 et 3.88 dans l’éq. 3.86 on obtient la première équation GL 18 :

αψ + β|ψ|2ψ +1

2ms(i∇ + qsA)2ψ = 0 (3.89)

3.4.5 Seconde équation GL

L’énergie libre doit également être un minimum pour un A donné. De même que pourla première équation, on fait subir une petite variation δA au potentiel vecteur et on"mesure" l’ampleur de la variation de l’énergie.

limδψ∗→0

δFsδA

= limδψ∗→0

δFBa

δA+ limδψ∗→0

δF|∇ψ|,A

δA= 0 (3.90)

En utilisant la définition 3.83 qui lie le champ magnétique et le potentiel vecteur, onobtient d’une façon similaire à la précédente,

1µ0

∇× (∇×A) +iqs2ms

(ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗) +q2sms

A|ψ|2 = 0 (3.91)

Comme ∇ ·A = 0 (Jauge de Coulomb), on peut écrire la seconde équation GL,

1µ0∇2A− iqs

2ms(ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗)− q2s

msA|ψ|2 = 0 (3.92)

18On a choisi la jauge de Coulomb (∇ ·A = 0) et ainsi le carré ne doit pas être complété.


Variante de l’équation GL-2

Or, grâce à la loi d’Ampère (éq. 3.53) et à la définition 3.83,

∇× (∇×A) = ∇×B = µ0Js (3.93)

Profitant de la définition que Ginzburg et Landau font de leur pseudo-fonction d’ondeSC (éq. 3.63), on peut exprimer le terme ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗ [2] :

∇ψ = eiΘ∇|ψ|+ |ψ|∇(eiΘ) = eiΘ∇|ψ|+ i|ψ|eiΘ∇Θ (3.94)

Et de même,

∇ψ∗ = e−iΘ∇|ψ|+ |ψ|∇(e−iΘ) = e−iΘ∇|ψ| − i|ψ|e−iΘ∇Θ (3.95)

En effectuant les "produits croisés" ψ∗∇ψ et ψ∇ψ∗ et en utilisant l’éq. 3.63 et sonconjugué 19,

ψ∗∇ψ = ψ∗eiΘ∇|ψ|+ iψ∗|ψ|eiΘ∇Θ= |ψ|∇|ψ|+ i|ψ|2∇Θ (3.96)

ψ∇ψ∗ = ψe−iΘ∇|ψ| − iψ|ψ|e−iΘ∇Θ= |ψ|∇|ψ| − i|ψ|2∇Θ (3.97)

Et pour terminer on peut faire la différence entre les éq. 3.96 et 3.97 pour obtenir,

ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗ = 2i|ψ|2∇Θ (3.98)

En injectant cette substitution, on peut récrire l’éq. 3.92 qui n’est autre que l’expressionquantique du courant pour une particule de fonction d’onde ψ, masse ms et de chargeqs :

Js = |ψ|2 · qs ·1ms

(∇Θ− qsA) (3.99)

Cette expression est par ailleurs à rapprocher de l’éq. 3.48 que nous avions posée auchapitre 3.3 pour la densité de courant avec

ns = |ψ|2 (cf. éq. 3.64) (3.100)

qs = qs (3.101)

vs =1ms

(∇Θ− qsA) (3.102)

Cette dernière expression de la seconde éq. GL deviendra claire à la section 3.5.1 quitraite de la quantification du flux dans un SC.

19Voir le traitement des nombres complexes dans la référence [2]


3.4.6 Profondeur de pénétration

Ginzburg et Landau arrivent très facilement à obtenir comme cas limite pour Ba → 0,la seconde équation LL (éq. 3.57) et par conséquent la valeur de λ à partir de la secondeéquation GL (éq. 3.92).

Si le champ est faible, on peut dire que le paramètre d’ordre n’est presque pas perturbépar sa présence et reste constant :

∇ψ → 0 ⇒ ψ ' ψ∞ (3.103)

Ce qui nous permet de récrire l’éq. 3.92 en la réarrangeant,ms

µ0q2s |ψ|2∇2A = A (3.104)

Et en vertu des éq. 3.64, 3.49 et 3.83 et en prenant le rotationnel des deux membres onobtient bien la seconde équation LL (éq. 3.57) que l’on a déjà résolue (§ 3.3.4).

3.4.7 Normalisation

Il est très pratique d’exprimer les éq. GL sous une forme normalisée autrement ditsans dimension. Pour cette approche j’ai suivi l’article original de Ginzburg et Landau[33] et un travail d’Alexander Petrovic qui travaille au laboratoire STM [1]. Ceci nouspermettra de déterminer la longueur de cohérence ξ (§ 3.4.8) et l’énergie de surfaceσns (§ 3.4.9) qui nous permet de distinguer deux types de SC (§ 2.2.2).

On choisit une situation très simple : pour z > 0 on est dans le SC et pour z < 0 dansle vide ou un métal normal. On applique un champ magnétique parallèle à l’axe Oy :

Ba = (0, Bay, 0); ||Ba|| = Bay = Ba

Le potentiel vecteur A est, lui, dirigé le long de l’axe Ox :

A = (Ax, 0, 0); ||A|| = Ax = A

Et en raison de la définition du vecteur potentiel :

Bay =dAxdz

(3.105)

Ginzburg et Landau ont également posé des conditions qui impliquent que le paramètred’ordre ne peut varier que le long de l’axe Oz.

Pour cette situation, on peut écrire les éq. GL de la façon suivante (on laisse tomber lanotation vectorielle puisqu’il n’y a qu’une composante ; comme la phase est constante,on choisit ψ ∈ R ; on peut prendre la dérivée totale selon z qu’on indique avec lesymbole ′),

2ms

ψ′′ = αψ + βψ3 +q2s

2msA2ψ (3.106)

1µ0A′′ =

q2sms

Aψ2 (3.107)


4Afin d’éviter les confusions, les paramètres normalisés seront surmontés d’une barreafin de les différencier facilement 20.

Premièrement on normalise la position par la profondeur de pénétration (cf. éq. 3.76) :

z =z

λ(3.108)

Ensuite, on pose :

ψ =ψ

ψ∞= ψ

√−βα

(3.109)

On normalise également le potentiel vecteur et le champ appliqué,

A =A

Bacλ√

2(3.110)

B = A′ =B

Bac√

2(3.111)

On doit introduire un dernier paramètre, appelé paramètre GL qui est indépendant dela température et qui, comme on va le voir (§ 3.4.9) est important pour déterminer letype de SC (§ 2.2.2) :

κ2 ,λ2

ξ2=

2m2sβ

µ0q2s2(3.112)

On le voit facilement, κ est toujours positif et constant dans la limite T → Tc.

En substituant les paramètres normalisés dans les éq. 3.106 et 3.107, et en secouant unpeut on obtient les équations GL normalisées :

ψ′′ = κ2[(A2 − 1)ψ + ψ3] (3.113)

A′′ = Aψ2

(3.114)

Dans une autre référence [58], les auteurs ont choisi de normaliser la distance parξ (cf. éq. 3.115) au lieu de λ. Il s’ensuit que les équations ont une forme légèrementdifférente.

ξ2 ,−2

2msα(3.115)

20La dérivée notée ψ′ est prise par rapport à z


3.4.8 Longueur de cohérence

Maintenant que l’on a obtenu les éq. GL normalisées, on peut être intéressé à connaîtrela distance sur laquelle ψ peut changer de façon significative (comme nous l’avonsfait pour le champ magnétique, cf. § 3.3.4). Cette distance est appelée longueur decohérence.

Si on prend un cas sans champ magnétique, c’est à dire que le potentiel vecteur A estnul et constant 21, on peut récrire l’éq. 3.113,

1κ2ψ′′ + ψ − ψ

3 = 0 (3.116)

Cette équation différentielle a pour solution

ψ(z) = tanh(κz√

2

)(3.117)

Ou encore si on prend la coordonnée spatiale non normalisée (voir figure 3.13) :

ψ(z) = tanh(

z

ξ√

2

)(3.118)

FIG. 3.13: Variation du paramètre d’ordre à l’interface N-SC pour un SC ayant ξ=2000Å.

ξ est, avec λ, une longueur caractéristique des SC.

Dans leur article, Ginzburg et Landau ne parlent pas de ξ, mais du rapport λ/κ ce quirevient au même 22, mais qui est différent de l’approche qu’on a aujourd’hui. En effeton identifie volontiers ξ au rayon d’une paire de Cooper ou des vortex...

21S’il n’est pas constant c’est qu’il y a un champ magnétique car B = A′. S’il n’est pas nul c’est qu’ily a un déplacement d’électrons, chose qui ne nous interesse pas.

22En substituant l’éq. 3.76 dans l’éq. 3.112 on obtient l’éq. 3.115


3.4.9 Énergie de surface

Le point le plus intéressant et puissant de la théorie GL à mon avis est celui qui va êtrediscuté dans cette section.

Les SC sous forme de couches minces (thin films) ont des comportements différents enchamp magnétique par rapport aux cristaux macroscopiques (bulk) du même composé.On observe en effet une augmentation significative du champ critique Bac . Ceci a poureffet d’avoir une énergie de condensation par unité de volume ∆F (cf. éq. 3.74) plusélevée. Cette énergie serait due à l’interface entre les phases N et SC et serait d’originenon-magnétique (effets de bord, etc.). Dans le modèle LL, il n’est jamais fait référenceà une énergie de surface σns qui prend en compte, dans la région de l’interface N-SC,les énergies entraînées par le contact des deux phases.

Initialement, l’article visait à combler cette lacune :

[...] On attendrait de toute théorie rationnelle de la SC qu’elle fournisseautomatiquement une expression pour σns à partir des paramètres ordi-naires caractérisant le SC [33].

L’expression de l’énergie de surface est de fait la différence entre la densité d’énergiedu SC et la densité d’énergie de la phase N lorsque le champ appliqué est égal auchamp critique Ba = Bac, intégrée sur la distance de l’interface. Mais nous devonsajouter un terme dû à l’énergie de magnétisation du SC :

σns =∫ [

Fs −BacB

µ0+B2ac

µ0−Fn −

B2ac

2µ0

]dz (3.119)

En utilisant l’expression de la densité d’énergie libre 3.85 et de l’énergie de condensa-tion 3.75 on peut la récrire sous la forme,

σns =∫ [

αψ2 +12βψ4 +

α2

2β+

2

2msψ′2 +

q2s2ms

A2ψ2 +B2

2µ0− BacB

µ0

]dz

(3.120)

Qui s’écrit sous forme normalisée,

σns =B2acλ

µ0

∫ [12

+ (A2 − 1)ψ2 +12ψ

4 +1κ2ψ′

2 +B2 − 2BacB]dz (3.121)

En reprenant en partie le cas décrit à la section précédente, on sait que loin dans le SCle paramètre d’ordre tend vers la quantité maximale |ψ∞| et ne varie presque plus, quele champ à l’intérieur est nul on peut écrire les premières conditions :

z → +∞⇒ ψ → ψ∞ = 1, ψ′ → 0, B = A′ → 0, A→ 0. (3.122)

En revanche, dans la zone N, le champ est le champ appliqué et il n’y a pas de super-électrons. Autrement dit,

z → −∞⇒ ψ = 0, ψ′ = 0, B = Bac, A = Bacz. (3.123)


On voit qu’à l’aide des informations qu’on a (éq. 3.122 et 3.123), l’expression 3.121ne peut pas être calculée : on ne connaît pas A partout.

Il serait facile de la résoudre si on pouvait intégrer les éq. 3.113 et 3.114. Cependant,seule la première est intégrable et elle nous permet d’éliminer A. En réordonnant l’éq.3.113 et en multipliant chaque membre par ψ′ on obtient,

1κ2ψ′ ψ′′ = A

2ψ ψ′ − ψ ψ′ + ψ

3ψ′ (3.124)

En intégrant par rapport à z 23,

12κ2

ψ′2 =

∫A

2ψ ψ′dz − 1

2ψ

2 +14ψ

4(+c) (3.125)

En réalisant l’intégrale restante par partie 24, on obtient,∫A

2ψ ψ′dz = A

2ψ2

2−

∫2A A′

ψ2

2dz (3.126)

Et là, le coup de baguette magique : on substitue l’expression de la seconde éq. GLnormalisée (éq. 3.114) !∫

A2ψ ψ′dz = A

2ψ2

2−

∫A′ A′′dz = A

2ψ2

2− A′

2

2(+c) (3.127)

En substituant dans l’éq. 3.125 et en se rappelant que B = A′, on obtient

B2 = −ψ

′2

κ2+ (A2 − 1)ψ2 +

12ψ

4+c (3.128)

On peut connaître la valeur de la constante en prenant les conditions aux limites dansle SC, c’est à dire pour z →∞ (3.122) :

02 =02

κ2+ (02 − 1) · 1 +

12· 1 + c⇒ c =

12

(3.129)

On réexprime alors l’éq. 3.128 en la réarrangeant :

B2 +

1κ2ψ′

2 =12

+ (A2 − 1)ψ2 +12ψ

4(3.130)

Il ne reste plus qu’à insérer cette équation dans l’expression 3.121 et on obtient l’énergiede surface σns qu’il convient de prendre sur toute la largeur de transition, à savoir dez = −∞ à z = +∞ :

σns =2B2

acλ

µ0

+∞∫−∞

[1κ2

(dψ

dz

)2

+B2 −BacB

]dz (3.131)

23Si u est une fonction de x, alors du = u′dx⇒Ruu′dx =

Rudu = u2

2[2].

24Ruv′dx = uv −

Ru′vdx [2].


On devine aisément si on s’en réfère à l’éq. 3.59, que le terme du champ magnétiqueest toujours négatif. Alors l’énergie de surface sera positive si κ → 0 de sorte que leterme du paramètre d’ordre soit dominant tout de même.

C’est l’approche que Ginzburg et Landau discutent. En effet à cette époque on neconnaît que des SC avec κ 1 autrement dit λ ξ.

Ils affirment simplement que pour κ → ∞, l’énergie de surface serait négative, maisque comme cette situation n’existe pas dans la nature, il ne s’y intéressent pas. Ils sontpassé à coté d’une grande découverte qu’Alexeï Abrikosov étudiera deux ans plus tardmais qu’il ne publiera pas avant 1956.

En effet, Lev Landau lui avait dit qu’il perdrait sa crédibilité en publiant ce résultat 25...On a de nombreux exemples de ces influences qui impliquent des attentes malheu-reuses.

3.4.10 Types de SC : SC-I

Un calcul numérique montre que σns = 0 pour κ = 1/√

2 ' 0.707. Cette valeurcritique permet de différencier deux types de SC (§ 2.2.2) :

κ <1√2

⇒ σns > 0 : SC − I (3.132)

κ >1√2

⇒ σns < 0 : SC − II (3.133)

L’aluminium a un κ = 0.03 0.707, pour l’étain κ = 0.23 et le plomb possède un κde 0.48 (cf. table 1.1).

L’énergie liée à la zone d’interface est

EΣ = Σσns (3.134)

où Σ est la surface en contact entre les 2 phases. Cette énergie vient d’ajouter à l’éner-gie du SC.

Dans les SC-I, une surface interface entre une zone N et une zone SC est énergétique-ment défavorable car elle augmente l’énergie du système, c’est pourquoi la surface estminimale. Lorsque l’énergie nécessaire pour expulser le champ magnétique devienttrop grande, on a atteint Bac et le SC retourne à la phase normale. Le cas des SC-IIn’ayant pas été développé dans le cadre de la théorie GL sera développé à la sectionsuivante.

3.4.11 Champ critique thermodynamique

On l’a déjà vu, le champ critique d’un SC-I est le champ au dessus duquel la SC estdétruite.

25Voir les références [6, 7]


Si on substitue l’éq. 3.77 dans la définition 3.115, on obtient,

Bac(T ) =Φ0

2√

2πλ(T )ξ(T )(3.135)

Où Φ0 est le quantum de flux dont nous allons parler dans la section consacrée àl’approche d’Abrikosov (§ 3.5.1).

Lev Davidovitch Landau (1908-1968) a reçu le prix Nobel de physique en 1962 pourses travaux sur l’hélium superfluide en particulier. Rebelle actif sous le régime deStaline, il a été emprisonné un an. Il a été victime d’un accident de voiture en 1962 quil’a empêché de faire de la physique par la suite.

Vitali Lazarïevitch Ginzburg (1916), quant-à-lui a été récompensé du prix Nobel dephysique en 2003 pour ses travaux sur les SC qu’il a effectué avec Landau [32]. Il atravaillé au développement du carburant LiD de la bombe H soviétique. Il s’est aussiintéressé à l’astronomie dans le domaine des trous noirs.

3.5 Vortex d’Abrikosov

Toujours en URSS, Alexeï Abrikosov a étudié plus en profondeur les SC-II [4]. En1956, il est arrivé à un résultat étrange : le flux dans un SC est quantifié, mais plus queça, il y a un facteur 2qe..., Pourquoi la charge de l’électron est elle doublée ? MêmeLandau n’a pas pris cela en considération. Ceci deviendra clair l’année suivante avec lathéorie BCS, mais le résultat d’Abrikosov restera ignoré en Occident dans un premiertemps en raison de la grande coupure Est-Ouest [5].

3.5.1 Quantification du flux

Pour commencer cette section, il faut parler de la quantification du flux dans les SC.En effet, le flux magnétique, de même de les autres grandeurs comme la charge, etc.est quantifié dans un SC.

Nous allons utiliser l’éq. 3.99 qui a été développée à la section 3.4.5 ; mais pour celail nous faut noter deux choses :

Condition 3.5.1 Condition de Bohr,∮Γ

∇Θ · dl = ∆Θ = 2πn |n ∈ N (3.136)

La fonction d’onde ne doit avoir qu’une seule valeur par point 26, la phase doit doncvarier d’un nombre entier de fois 2π pour "retomber" sur la même valeur [15].

Théorème 3.5.1 Théorème de Stokes,∮ΓA · dl =

∫Σ

B · dΣ , Φ (3.137)

26Le symboleHΓ

indique que l’on intègre autour d’une boucle fermée Γ [25].

3.5. Vortex d’Abrikosov 47

L’intégrale sur la courbe fermée Γ du vecteur potentiel est égale à l’intégrale surla surface Σ délimitée par Γ du champ magnétique. Ceci est une conséquence del’équation 3.83 (cf. p. 49 de [25]). La seconde égalité n’étant que la définition duflux magnétique Φ.

Armés ainsi jusqu’aux dents, on peut intégrer l’éq. 3.99 en imaginant un cas simple[3, 14] où un champ magnétique passe à l’intérieur du trou d’un tore SC.

L’intégrale s’écrit,∮ΓJs · dl =

qsms|ψ|2

∮Γ(∇Θ− qsA) · dl (3.138)

Si le tore est épais (r λ), il n’y a pas de courants d’écrantage au centre du SC. Enchoisissant judicieusement la courbe Γ on a,∮

ΓJs · dl = 0 (3.139)

Et en intégrant le second membre,

0 = ∮

Γ∇Θ · dl− qs

∮ΓA · dl (3.140)

En utilisant la condition 3.5.1 pour la première intégrale, et le théorème 3.5.1 pour laseconde et en réarrangeant on obtient,

Φ = nh

qs, nΦ0 (3.141)

Autrement dit, il ne peut y avoir que des multiples entiers du quantum de flux dansune zone entourée totalement par une région SC.

L’existence du quantum de flux a été prouvée et montra que qs = 2qe. Ceci laissaitparaître le début de l’idée des paires d’électrons développée par Cooper en 1956 et quiservit de base à toute la théorie microscopique de la supraconductivité dont nous allonsparler plus loin.

3.5.2 Types de SC : SC-II

Comme on l’a déjà évoqué dans la section précédente, la valeur critique de κ est1/√

2 ≈ 0.707.

Le niobium (cf. table 1.1 et note associée) possède un κ de 1.28 > 0.707, le PbMo6S8

(table 1.3) et le HTSC Y-123 ont κ = 100 0.707.

Les SC dont l’étude expérimentale est présentée dans ce travail ont des paramètres GLtrès importants :

B YBa2Cu4O8 : κ = 95 (§ 4.1),

B Bi2Sr2CaCu2O8+δ : κ = 200 (§ 4.2).


Contrairement aux SC-I, les SC-II ont une énergie de surface négative. La création dezones normales est énergétiquement favorable. Dans cet état – l’état Shubnikov –, laSC est détruite dans certaines zones appelées cœur de vortex mais la SC est toujourseffective à l’échelle macroscopique (les coeurs de vortex ont un rayon de l’ordre de ξet comme κ est grand, ξ doit être petit).

Il faut aussi noter qu’à la fin de son article, Alexeï Abrikosov compare ses résultatsavec les données expérimentales de Lev Shubnikov [66] qui à cette époque est déjàmort depuis plus de quinze ans 27 ! La concordance entre la théorie et l’expérienceest excellente ; à tel point que la perte des deux Lev (Landau et Shubnikov) a étéprofondément néfaste pour la bonne santé de la communauté scientifique.

3.5.3 Vortex

Il devient maintenant important pour la suite de cette section et pour le chapitre 4d’introduire la notion de vortex.

Nous avons déjà vu que les SC présentent en dessous du champ critique un effet Meiß-ner parfait (§ 3.3.4). Pour cela des courants d’écrantage sont induits le long de lasurface (cf. figure 3.10, p. 30) pour expulser le champ appliqué dans la direction per-pendiculaire à la fois à Ba et à la normale de la surface (éq. 3.53).

Maintenant, imaginons que cette surface infinie dont nous avions parlé soit enrouléesur elle-même sous la forme d’un cylindre entourant une zone normale. Les courantsse déplacent en tournant autour tel un mælström, voilà le vortex.

Que signifie le mot vortex ? Ce mot vient de l’anglais et signifie tourbillon. En effet, lessuperélectrons font écrantage au champ magnétique en tournant autour des lignes deflux ; et comme il n’y a pas de resistance, ce processus n’est pas dissipateur d’énergie.

Les vortex se repoussant les uns les autres, s’arrangent sous la forme d’un réseau.Dans son article original, il calcule que la distance entre les vortex, suivant le champappliqué est donnée par les formules suivantes, respectivement un réseau triangulaire(4) et carré () :

a4 =

√2Φ0√3Ba

(3.142)

a =√

Φ0

Ba(3.143)

La différence d’énergie entre les deux configurations est seulement très faible : seule-ment 2% d’énergie en plus pour le reseau carré. Les problèmes de symétrie des réseauxde vortex sont étudiés intensivement dans la référence [24].

27Il a été arrêté en même temps que Landau puis exécuté peu après un procès sommaire pour "délitd’opinion" [54].

3.6. Mécanique quantique 49

3.5.4 Champs critiques inférieur et supérieur

Alexeï Abrikosov a calculé que

Bac1 =Bac lnκ√

2κ(3.144)

Bac2 =√

2κBac (3.145)

Bac1 étant le champ a partir duquel il devient énergétiquement favorable de laisser pé-nétrer en partie le champ magnétique. En effet, Abrikosov a calculé (cf. chap. 7 de laréf. [39]) que l’énergie d’un vortex par unité de longueur 28 était

εV =(nΦ0)2

4πµ0λ2lnκ (3.146)

On remarque qu’il est explicitement signalé que chaque vortex peut contenir un nombreentier de quanta de flux. Or, comme le SC tente de minimiser au maximum son éner-gie, et que l’énergie d’un vortex avec n quanta de flux est n2 fois supérieur à celled’un vortex contentant uniquement Φ0 alors que l’énergie liée à n vortex est seule-ment n fois celle d’un vortex contenant 1 quantum de flux, il s’ensuit que l’on observeuniquement des vortex ayant un quantum de flux.

Bac2 est le champ auquel le SC redevient N, car il est énergétiquement défavorable detenter d’expulser le champ, cf. § 3.1.7.

On voit que, si le champ critique supérieur existe pour un SC, il doit être plus élevéque le champ critique thermodynamique et ceci n’est vrai que pour κ > 1/

√2. Ceci

est une autre façon d’arriver à la valeur critique du paramètre GL.

Alexeï Alexeïevitch Abrikosov (1928), a été récompensé, bien que tardivement, du prixNobel de physique en 2003 pour ses travaux sur les SC qu’il a effectué comme ex-tension de le théorie GL [7]. Il fait attention à toujours se baser sur des faits expé-rimentaux pour "garder les pieds sur terre". Encore aujourd’hui il est très actif dansle domaine théorique et participe activement au développement de nouvelles théoriessur les SC. 29

3.6 Mécanique quantique

Le sujet de cette recherche est la SC, domaine rattaché à la physique de l’état solidequi tente d’expliquer les propriétés des matériaux à partir des structures cristallines,des électrons et de leurs interactions.

Or à des échelles nanoscopiques (de l’ordre de la centaine d’ångströms), la mécaniqueclassique de Newton perd pied et nous devons avoir recours à la mécanique quantiquequi a été mise au point au début du siècle dernier.

28En passant, on voit ici un exemple flagrant de la facilité de confusion entre le facteur π lié à unesurface et le µ0 lié au champ magnétique dans le système CGS où on utilise 4π en lieu et place de µ0.

29Le Dr Ivan Maggio-Aprile qui l’a rencontré à Sitges (Espagne) lors d’une conférence sur la spectro-scopie des SC en juillet 2004 rapporte qu’il se plaint que peu d’expérimentateurs testent ses théories.


3.6.1 Planck

C’est le premier à avoir postulé que le photon était une particule (quantification dela lumière) pour expliquer le rayonnement de corps noir, car, sans cette hypothèse, onvoit apparaître des infinis, signe de la décadence des équations.

Prix Nobel de physique en 1918.

3.6.2 Einstein

Albert Einstein a montré en 1905 (la même année qu’il a élaboré la théorie de laRelativité Restreinte) en effet que – par la conservation de l’énergie – des électronssont émis d’une surface lorsqu’elle est éclairée par des photons ayant une fréquenceνγ , avec une vitesse ve,

hνγ = φ+12mev

2e ⇒ ve =

√2(hνγ − φ)

me(3.147)

Le nombre d’électrons émis dépend du nombre de photons mais la vitesse dépend dela fréquence ! Il vient de démontrer l’hypothèse de Planck des quanta de lumière : c’estl’effet photoélectrique.

Prix Nobel de physique en 1921, principalement pour l’explication de l’effet photo-électrique. Ce fut une des bases de la mécanique quantique qu’il considérera commeinexacte pendant très longtemps.

3.6.3 Bohr

Nous savons que la lumière peut avoir le statut d’onde ou de corpuscule. Or ce quiest frappant, c’est que les électrons également perdent leur statut de corpuscule ausens strict et se comportent tantôt comme des ondes (ils interfèrent) tantôt comme desparticules (chocs, etc.). Cette dualité onde-corpuscule a été postulée par Niels Bohret est très bien démontrée (expérience des fentes de Young).


3.6.4 De Broglie

Pour un photon de fréquence connue on peut calculer l’énergie à partir de la relationd’Einstein

E = ω = hν =hc

λ(3.148)

Si on utilise l’énergie relativiste pour une particule de masse nulle :

E2 = m2c4 + c2p2 , m = 0 ⇒ E = cp (3.149)


Louis de Broglie a démontré qu’on pouvait associer une longueur d’onde à une parti-cule selon son impulsion si on égale les éq. 3.148 et 3.149 (relation de de Broglie) :

λ =h

p(3.150)

Il a également démontré que cette relation est aussi valable si la masse n’est pas nulle.

On utilise aussi le nombre d’onde en mécanique quantique. Il est défini par k ·λ = 2πd’où on tire dans son expression vectorielle

p = k (3.151)

Dans le langage parlé, on utilise indifféremment impulsion pour p et k.


3.6.5 Heisenberg

Dans le nano-monde, rien n’est plus certain. Les relations d’incertitudes de Heisen-berg (mécanique matricielle, 1926) interdisent que l’on sache tout avec une précisionabsolue :

∆p ·∆x ≈ (3.152)

∆E ·∆t ≈ (3.153)

La première de ces deux relations interdit que l’on connaisse exactement la position etl’impulsion d’une particule. La seconde autorise (et ce n’est pas sans conséquences !)une violation du théorème 30 de la conservation de l’énergie d’autant plus grande quele laps de temps est court.

Ces relations sont le principe-clé du STM (cf. annexe A).


3.6.6 Schrödinger

L’approche d’Erwin Schrödinger (mécanique ondulatoire, 1927) est complémentairede l’approche de Heisenberg. Elle s’inspire des travaux de de Broglie.

Un système physique est décrit par la fonction d’onde complexe Ψ qui obéit à équationde Schrödinger :

− 2

2m∇2Ψ + VΨ = EΨ (3.154)

Le premier terme de l’éq. 3.154 représente l’énergie cinétique et le second l’énergiepotentielle ; leur somme valant l’énergie totale du système.

30En effet, on peut le démontrer à partir de la Relativité Restreinte.


L’énergie peut également s’écrire sous la forme

H|Ψ〉 = E|Ψ〉

Où l’opérateur hamiltonien H appliqué au vecteur d’état |Ψ〉 donne les énergies propresde cet état. Par exemple, pour l’atome d’hydrogène, on obtient E = −13.6/n2.


3.6.7 Born

Il est important de garder à l’esprit que la fonction d’onde ne représente rien de réel ensoi. Cependant, Max Born nous a donné une liaison entre Ψ et la probabilité de trouverune particule. Le produit de la fonction d’onde en un point Ψ(x) avec son conjuguéΨ∗(x) donne la probabilité de trouver une particule en x :

Ψ(x)Ψ∗(x) = |Ψ(x)|2 = P (x) (3.155)


3.6.8 Pauli

L’éq. 3.155 parait anodine mais elle permet de faire une distinction fondamentale :En effet, Wolfgang Pauli a montré qu’en prenant deux particules identiques (deuxélectrons ou deux photons par exemple) on peut avoir,

Ψ(x2, x1) = +Ψ(x1, x2) (symétrique) (3.156)

Dans ce cas la fonction d’onde ne change pas de signe par inversion des positions, ondit que ces deux particules sont indiscernables [16] ; ou encore,

Ψ(x2, x1) = −Ψ(x1, x2) (antisymétrique) (3.157)

qui change le signe de Ψ, on parle alors de particules discernables [16].

On le voit facilement, les éq. 3.156 et 3.157 satisfont toujours l’éq. 3.155 (On trouveratoujours quelque chose en x1 et quelque chose en x2),

|Ψ(x1, x2)|2 = |Ψ(x2, x1)|2 = P (x1, x2)

Le principe d’exclusion de Pauli interdit à deux fermions de se trouver dans le mêmeétat quantique.


Fonction d’onde paire ou impaire ?

Maintenant, il existe en mécanique quantique, une autre quantité qu’on nomme spin.On peut se le représenter comme le moment magnétique d’une particule. Les spins nepeuvent prendre que certaines valeurs particulières qui sont des multiples de .


3.6.9 Fermi et Dirac

On a d’abord les particules de spin demi-entier (1/2, 3/2,...). Celles-ci sont nomméesfermions car elles obéissent à la statistique de Fermi-Dirac. En vertu du principe d’ex-clusion de Pauli, deux fermions ne peuvent pas se trouver dans le même état énergé-tique. Les états sont donc remplis depuis le moins énergétique jusqu’au plus énergé-tique. Le dernier état occupé est appelé le niveau de Fermi EF . Les fermions ont unefonction d’onde impaire, cf. l’éq. 3.157.

Prix Nobel de physique en 1933 pour Dirac et en 1938 pour Fermi.

3.6.10 Bose et Einstein

Puis il existe une autre classe de particules qui ont, elles, un spin entier (0, 1, 2,...). Cesdernières sont appelées bosons car elles obéissent à la statistique de Bose-Einstein.C’est à dire que les particules auront tendance à se "condenser" à une seule énergie –la plus basse possible, le niveau fondamental. Ces particules ont une fonction d’ondepaire, voir l’éq. 3.156.⊗ Les quarks – u, d, c, s, t, b – , les leptons – e, µ, τ , νe, νµ, ντ – ainsi que les

hadrons (formés de 3 quarks ou de 3 antiquarks) sont des fermions.⊗ Les particules d’échanges – γ, g, bosons Z0 et W±, gravitons ? – , ainsi que les

mésons (constitués d’un quark et d’un antiquark) sont des exemples de bosons.

Stop ! Le contenu de la dernière liste a d’importantes implications.

On peut dire qu’un système comportant un nombre impair i = 2n + 1 (n entier :n ∈ N) de fermions correspondent à un fermion :

i · 1/2 = (2n+ 1)/2 = n+ 1/2 ∈/ N

Un proton, par exemple, qui est formé de deux quarks u et un quark d, est un fermion.Ça semble cohérent, mais le meilleur reste à venir !

Et pour un nombre pair p = 2n (n ∈ N) de fermions ? On peut faire correspondre cesystème à un boson :

p · 1/2 = 2n/2 = n ∈ N

L’hélium-4 est composé d’un noyau de 2 protons et 2 neutrons et est entouré par 2électrons...

2 · 1/2 + 2 · 1/2 + 2 · 1/2 = 3 ∈ N

C’est un boson ! Ce dernier peut alors se condenser à un niveau fondamental en dessousd’une certaine température... C’est l’ hélium superfluide découvert par Pyotr Kapitzaen 1938 !

Pendant qu’on y est, que se passe-t’il si on apparie 2 électrons ? On devrait avoir unboson 31 :

(+1/2) + (−1/2) = 0 ∈ N31Le signe négatif est dû au fait que les spins des deux électrons sont antiparallèles.


Voilà les paires de Cooper responsables, selon la théorie BCS, de la SC découverte en1911 par Kammerlingh Onnes.

Il faut toutefois dire que la distance entre les deux électrons étant très importante onpeut difficilement parler de boson pour un SC conventionnel. Mais dans les HTSC, lespaires sont beaucoup plus localisées.

3.7 Théorie microscopique de Bardeen, Cooper et Schrieffer

Dans cette section, il sera question de la plus importante percée sur le point de vuethéorique dans le domaine de la SC.

Le premier décembre 1957, à la page 1175 du 108e volume du périodique scientifiquePhysical Review, on a pu lire un article qui restera célèbre. Il a été écrit par JohnBardeen, Leon Cooper et Robert Schrieffer de l’Université de l’Illinois sous le titretrès audacieux de "Theory of superconductivity" [9].

Ils ont élaboré une théorie de la SC qui a pour hypothèse de base l’interaction attractiveentre les électrons via le réseau cristallin par l’intermédiaire de phonons.

Cet article va générer un véritable ras-de-marée dans la communauté scientifique. Eneffet, pour la première fois, il existe une théorie microscopique de la SC.

Il redonne du souffle au domaine jusqu’aux expérimentateurs. La théorie donne desfoules de prédictions à vérifier.

A posteriori, le fait que les HTSC n’aient été découverts qu’après que la théorie deBardeen-Cooper-Schrieffer (BCS) ait été formulée est un coup de chance. Les pro-priétés des SC connus à l’époque étaient très bien connues et étaient généralementsemblables. Si les HTSC avaient été découverts avant, cette universalité n’aurait pluspu être applicable à tous les SC et la théorie BCS n’aurait pas été aussi éclatante.

J’emploierai ici certains des éléments énoncés par le Prof. Manfred Sigrist de l’ETHZlors de l’école d’été de MaNEP à Saas Fee en 2004 [67]. J’utiliserai aussi beaucouples références [13, 14, 20, 50, 63, 68].

Les mathématiques liées à la mécanique quantique étant très complexes, nous n’abor-derons pas le détail des calculs qui demandent des hypothèses, etc.

On formalise les mathématiques avec des opérateurs (on a vu l’opérateur hamilto-nien qui, appliqué à un vecteur d’état, donne les énergies propres de cet état : c’estl’équation de Schrödinger, § 3.6.6).

Dans la description d’un système comportant un grand nombre de particules en inter-actions, on utilise le formalisme des opérateurs dits de création et d’annihilation. Unopérateur de création a toujours un exposant † (lu dagger en anglais) et un opérateurd’annihilation n’a pas le symbole † en exposant. Par exemple, l’application de l’opéra-teur de création sur un état du système rajoute une particule à ce système. L’opérateurd’annihilation effectue l’operation inverse.

3.7. Théorie microscopique de Bardeen, Cooper et Schrieffer 55

3.7.1 Instabilité de l’état normal

En présence d’une interaction attractive entre les électrons – aussi petite soit-elle ! –l’état normal devient instable par rapport à un état de plus basse énergie. Nous aborde-rons l’origine de cette interaction attractive au § 3.7.2. Cette instabilité a été démontréepar Leon Cooper [18], un an avant la parution de leur théorie.

On prend un système où des électrons occupent tous les états jusqu’au niveau de FermiEF (pour des raisons de simplicité on a choisi T = 0 K) et on y ajoute deux électronsde positions r1 et r1, d’impulsions k1 et k2 et d’énergies E(k1) et E(k2) respective-ment 32.

On pose par souci de commodité

K , k1 + k2 (3.158)

r , r1 − r2 (3.159)

Les deux électrons peuvent interagir par l’intermédiaire d’un phonon, une vibrationdu réseau. Il en résulte, comme des relations d’incertitudes de Heisenberg (éq. 3.152et 3.153) que pour une impulsion donnée, on aura une incertitude d’environ ωD surl’énergie liée à l’impulsion.

La fréquence de Debye ωD est une caractéristique du matériau. Elle est d’une certainefaçon la fréquence maximale des vibrations du réseau (phonons). L’impulsion seradonc contenue dans un intervalle ∆k 33.

On peut se figurer cela à l’aide d’un schéma : on a dans l’espace des k (espace réci-proque) deux sphères creuses d’épaisseur ∆k et de rayon k > kF . Sur la figure 3.14on peut voir que l’impulsion totale de la paire est bien K.

FIG. 3.14: Mécanisme de Cooper.

Il n’est pas difficile de constater que le volume en jaune (qui apparaît par projectioncomme une aire) et donc le nombre de paires avec k ∈ [k −∆k/2; k + ∆k/2] seramaximal si

K = 0 ⇒ k1 = −k2 , k (3.160)

32Contrairement aux électrons libres pour lesquels on sait que E(k) = k2/2me, on ne connaît pas apriori la relation entre l’énergie et l’impulsion.

33Pour se donner un ordre de grandeur on peut dire que ∆k ≈p

2meωD/.


La fonction d’onde des deux électrons aura la forme suivante :

Ψ(r) =∑k

g(k)eik·r (3.161)

Dans cette dernière équation, g(k) est la racine carrée de la probabilité de trouver unélectron d’impulsion k.

En la mettant dans l’équation de Schrödinger (éq. 3.154) on obtient

22k2

2meg(k) +

∑k′

g(k′)Vkk′ = (ε+ 2EF )g(k) (3.162)

Où Vkk′ est l’élément de matrice de l’interaction entre les états k et k′, et g(k′) la ra-cine de la probabilité d’une telle interaction. L’énergie des deux électrons relativementaux niveau de Fermi est ε.

On choisit le modèle le plus simple c’est à dire que l’interaction est attractive entre leniveau de Fermi et l’énergie de Debye ; et qu’il n’y a pas d’interaction autrement :

|E(k,k′)− EF | ≤ ωD ⇒ Vkk′=−V0 (3.163)

|E(k,k′)− EF | > ωD ⇒ Vkk′ = 0 (3.164)

On est forcé de remarquer ici l’arbitraire du choix de l’énergie de Debye comme éner-gie caractéristique. On peut lire dans les livres des spéculations du genre de

ωD est une énergie typique de phonon qui reflète l’idée que l’attractionentre les électrons est assurée par un échange de phonons virtuels [58].

Dans une autre référence, on se limite à dire qu’il s’agit d’une énergie de "cut-off"(limitation) [39]. Certaines références ont jugé plus judicieux de ne même pas men-tionner le problème ! On pourrait presque qualifier cela de malhonnêteté intellectuelle.

En posant

ε′ =2k′2

2me− EF (3.165)

On peut alors récrire l’éq. 3.162 de la façon suivante en regroupant les paramètresdépendants de k et de k′ :

1 = V0

∑k′

12ε′ − ε

(3.166)

C’est la condition d’auto-consistance. En remplaçant la somme sur les k′ par uneintégrale sur tous les énergies ε′ en termes de la densité d’états,

∑k′

→ωD∫0

D(ε′)dε′ (3.167)


On réexprime la condition sous sa forme intégrale :

1 = V0

ωD∫0

D(ε′)1

2ε′ − εdε′ (3.168)

Pour la résoudre on stipule que la densité d’état est constante et a la même valeur qu’auniveau de Fermi :

ωD EF ⇒ D(ε) = D(EF ) (3.169)

On peut alors sortir la densité d’états de l’intégrale,

1 = V0D(EF )

ωD∫0

12ε′ − ε

dε′ (3.170)

En résolvant l’intégrale par substitution,

u = 2ε′ − ε⇒ du = 2dε′ (3.171)

1 = V0D(EF )

2ωD−ε∫−ε

1u

du

2=

12V0D(EF ) [lnu]2ωD−ε

−ε

=12V0D(EF ) ln

(ε− 2ωD

ε

)(3.172)

Pour simplifier la notation on définit la constante de couplage électron-phonon λ?

comme valant

λ? , D(EF )V0 (3.173)

On peut alors réarranger l’éq. 3.172 pour avoir l’expression de ε :

ε =2ωD

1− e2/λ? (3.174)

Bardeen, Cooper et Schrieffer posent aussi l’hypothèse selon laquelle le couplageélectron-phonon est faible :

λ? 1 (3.175)

Ainsi on obtient l’équation pour l’énergie de l’état lié par rapport au niveau de Fermi :

ε ≈ −2ωDe−2/λ?< 0 (3.176)

Il existe un état d’énergie inférieure àEF en présence d’une interaction attractive entreles électrons. Par conséquent, l’état normal devient instable.


3.7.2 Paires de Cooper

Comment un électron pourrait-il en attirer un autre alors qu’ils ont des charges iden-tiques et devraient donc se repousser ?

Il s’agit là du point crucial de la théorie ! L’effet isotopique (§ 2.3) a renforcé l’idéeselon laquelle le reseau et ses vibrations jouent un rôle crucial dans le phénomène dela SC.

Nous allons tenter de l’illustrer à l’aide d’une image qui n’est que partiellement va-lable.

Imaginons un réseau cristallin ; il s’agit ici d’un réseau périodique d’ions positifs. Dansce réseau se déplace un électron de charge négative.

Lorsque cet électron passe au milieu d’une maille il va légèrement déplacer les ions parattraction électrique. Ces derniers vont tenter de s’approcher de l’électron. Ils créerontainsi une charge positive qui annulera celle de l’électron. Mais l’électron continuera saroute car il ne sera pratiquement pas perturbé par ce déplacement.

Après le départ de l’électron, les ions vont se remettre à leur position d’équilibre.Cependant – et c’est là la clé de l’énigme –, comme ils ont une masse beaucoup plusgrande que les électrons leur mouvements seront lents.

Il peut alors arriver qu’un autre électron, sente alors cette charge positive générée parla déformation du réseau. il sera alors attiré vers elle. Et par conséquent vers l’électronqui vient de quitter cette zone.

Les deux électrons se suivront donc inlassablement sans perdre d’énergie en interagis-sant avec le réseau. On a nos paires de Cooper [18].

Il faut ajouter que pour que l’interaction soit encore plus efficace les deux électronsformant la paire devront avoir des spins opposés. Les paires seront alors appelée dessinglets de spin car ce dernier sera nul.

3.7.3 État fondamental

On considère dans cette théorie que les électrons sont soumis à un potentiel attractifqui forme des paires.

La théorie BCS propose de façon intuitive que la fonction d’onde qui décrit l’étatfondamental du SC regroupe tous les électrons du système en paires dites de Cooper.

On l’exprime de la façon suivante :

ΨBCS = AΨ(r1 − r2) · · ·Ψ(rN−1 − rN ) (3.177)

Où A est l’opérateur rendant la fonction antisymétrique et N est le nombre de d’élec-trons qui forment N/2 paires de Cooper.

N doit être un nombre pair, mais s’il y a N + 1 électrons, le dernier ne sera pas pascompris dans cette fonction d’onde. Cependant comme N est de l’ordre de 1023, ledernier électron ne pèsera pas bien lourd dans la balance.


On choisit que les paires sont formées de deux électrons de spins opposés, de façon àsimplifier l’écriture.

3.7.4 États excités

L’état fondamental décrit ci-dessus est l’état de base du SC où tous les électrons sontliés par paires. En sens, aucune excitation n’existe ; c’est l’"état vide" du point de vuedes excitations.

Les états excités correspondent à la brisure de certaines paires, on quitte ainsi l’étatfondamentale pour une énergie supérieure, celle d’un état excité.

Après de nombreuses mathématiques malheureusement trop complexes, on arrive àmontrer que la densité d’états des excitations (quasiparticules) est données par

Ds(E) = Dn(EF ) · Re[

|E|√E2 −∆2

](3.178)

On peut voir ce spectre théorique sur la figure 3.15, ou on a posé EF = 0. La courbeen pointillé représente la densité d’états dans la phase normale 34.

FIG. 3.15: Densité d’états normalisée en fonction de l’énergie.

Ce qui signifie que l’excitation d’énergie minimale est celle où l’on a détruit une seulepaire de Cooper. Et pour cela il faut fournir une énergie supérieure ou égale à 2∆. Dece point de vue, ∆ correspond à l’énergie de liaison par électron.

La spectroscopie à effet tunnel permet de voir ce spectre des excitations (éq. 3.178)et ainsi de mesurer de façon très nette le gap SC (cf. Annexe A). Le chapitre suivantmontre justement de telles mesures effectuées par STM. Il suffit de poser E = qeUpour voir que les pics apparaissent à U = ±∆/qe.

34Comme le nombre d’états est conservé, sur la figure 3.15 la surface perdue entre −∆ et +∆ seretrouve dans la surface gagnée dans les pics au-delà du gap.


3.7.5 Gap

Ce gap est une propriété fondamentale des SC, dans la théorie BCS il apparaît à tousles coins de rue.

Dans le formalisme des opérateurs de la mécanique quantique, il est d’abord utilisécomme un opérateur avant de devenir une grandeur physique.

En suivant une démarche similaire à celle du § 3.7.1, on arrive à la condition si-dessous(on est toujours au zéro absolu) :

1 = λ?ωD∫0

1√ε′2 + ∆2

dε′ (3.179)

Lorsqu’on calcule l’intégrale on obtient l’expression de ∆,

∆ =ωD

sinh(

1λ?

) (3.180)

Qui donne dans la limite d’un couplage faible (éq. 3.175) :

∆ ≈ 2ωDe−1/λ?(3.181)

3.7.6 Température critique

La théorie BCS montre en outre à partir de la dépendance en température de ∆ et deconsidérations liées à des calculs numériques 35 que la température critique dépend dela température de Debye ΘD du matériau.

La température de Debye est déterminée à partir de mesures des propriétés thermody-namiques. Elle intervient notamment dans le terme en T 3 que nous avons négligé dansla section consacrée à la thermodynamique (§ 3.1).

Plus un matériau a une température de Debye élevée, plus il est "mou". En effet, si onconsidère la relation entre la fréquence et la température de Debye,

kBΘD = ωD (3.182)

On voit que la fréquence est proportionnelle à la température. Les phonons aurontd’autant plus de facilité à lier les électrons en paires et donc on s’attend à ce queTc ∝ ΘD.

En effet, la relation pour Tc confirme cette intuition (couplage faible : λ? 1) :

Tc ≈ 1.134ΘDe−1/λ?(3.183)

Ou sous sa forme "formelle" qui nous servira à la section 3.7.7 :

kBTc ≈ 1.134ωDe−1/λ?(3.184)


Él. ΘD [K] Tc [K] λ?exp [ / ]Zn 235 0.9 0.18Cd 164 0.56 0.18Hg 70 0.35 0.35Al 375 4.16 0.18In 109 3.4 0.29Tl 100 2.4 0.27Sn 195 3.75 0.25Pb 96 7.22 0.39

TAB. 3.1: ΘD , Tc et λ?exp de quelques métaux SC (éq. 3.183) [20].

Le tableau 3.1 montre les valeurs de la constante de couplage déterminées à partir deTc et de ΘD avec l’éq. 3.183.

On remarque que pour ces éléments la constante de couplage est faible. Ces équationsdoivent donc donner une bonne description de l’état SC et des grandeurs qui y sontrattachées.

On peut s’amuser à calculer la température de Debye pour un matériau qui aurait unTc de 300 K et un faible couplage électron-phonon (λ? = 0.2) : ΘD = 39000 K !

3.7.7 Rapport 2∆/kbTc

Enfin, nous arrivons à une des relations que la théorie BCS a posé et qui est sans doutela plus connue.

En faisant le rapport de l’éq. 3.181 et de l’éq. 3.184 on obtient le rapport de BCS :

2∆kBTc

= 3.52 (3.185)

C’est en quelque sorte le rapport entre les deux énergies en jeu : d’un coté l’énergiecaractéristique de liaison des paires de Cooper au zéro absolu 2∆ et de l’autre l’énergiethermique associée à la température critique kBTc.

Cette valeur est bien en accord avec les SC conventionnels. Mais dans les HTSC elle estde loin beaucoup plus grande si on prend les valeur expérimentales. Le tableau 3.3 meten évidence des valeurs du rapport pour des SC conventionnels puis pour des HTSC.

3.7.8 Énergie de condensation

Bardeen, Cooper et Schrieffer ont mis encore en évidence la valeur de l’énergie decondensation dont nous avons déjà parlé au § 3.4.2 consacré à la théorie de GL.

Cette énergie est celle que relâche chaque électron formant une paire de Cooper.35Dans la référence [58], on a obtenu le facteur numérique 2eγ/π ' 1.134, où γ = 0.5572 est le

nombre d’Euler [2].


Composé 2∆/kBTc [ / ] Réf.Sn, In, Ta 3.5 [13]Tl 3.6 [13]Nb 3.6 [13]Hg 4.6 [13]Pb 4.3 [13]Va 3.4 [63]Y-123 4.8 [51]Y-124 4.3 § 4.1.3Bi-2201 27.9 [42]Bi-2212 16.8 (#1) § 4.2.4Bi-2212 6.7 (#2) § 4.2.4Bi-2212 12.1 (#3) § 4.2.4Bi-2223 12.7 [43]Bi-2223 9.4 [43]

TAB. 3.2: Valeurs expérimentales du rapport 2∆/kBTc pour des SC conventionnels et des HTSC (réfé-rences indiquées).

On obtient à partir des équations 36,

∆F =12D(EF )∆2 (3.186)

3.7.9 Champ critique thermodynamique

Comme on l’a vu au § 3.4.2, la densité d’énergie de condensation à une températureest celle du champ magnétique à cette température. À l’aide des éq. 3.74 et 3.186, ils’ensuit donc que

Bac = ∆√µ0D(EF ) (3.187)

3.7.10 Saut de la chaleur spécifique

La théorie BCS prévoit en outre que le rapport de la différence des chaleurs spécifiqueset de la chaleur spécifique à Tc doit valoir

∆C(Tc)Cn(Tc)

=Cs(Tc)− Cn(Tc)

Cn(Tc)= 1.43 (3.188)

Sur la figure 3.4, si on fait le rapport ∆C(Tc)/Cn(Tc) on voit qu’il vaut bien 1.43.

Le tableau suivant montre les valeurs mesurées expérimentalement du rapport du sautde la chaleur spécifique ∆C(Tc)/Cn(Tc).

36Pour les passionés de mathématiques et de formalisme quantique : les équations sont détaillées dansles références [20, 39, 67, 68].


Élément ∆C(Tc)/Cn(Tc) [ / ]Al 1.45Zn 1.27Ga 1.44Cd 1.40In 1.73Sn 1.60Tl 1.50Ta 1.69V 1.49Pb 2.71Hg 2.37Nb 1.87

TAB. 3.3: Valeurs expérimentales du rapport ∆C(Tc)/Cn(Tc) [14].

John Bardeen (1908-1991), Leon Cooper (1930) et Robert Schrieffer (1931) ont étérécompensés du prix Nobel de physique en 1972 pour leur théorie sur les SC. JohnBardeen est à ce jour le seul à avoir reçu deux prix Nobel en physique. Leon Cooperet Robert Schrieffer sont encore aujourd’hui très actif dans le domaine, et il n’est pasrare des les entendre lors de conférences sur la SC.


Chapitre 4

Approche expérimentale

En arrivant le premier jour à l’École de Physique, le Dr Maggio-Aprilem’a conduit jusqu’à son laboratoire dans les sous-sols du bâtiment. Icicommençait un grand voyage à travers la physique expérimentale et théo-rique des SC...

Lors de mes deux stages extra-muros à l’Université de Genève dans le groupe de re-cherche expérimentale du Prof. Øystein Fischer, j’ai eu l’occasion de suivre plusieursexpériences de microscopie à effet tunnel (STM) sur des HTSC et même de manipulercertains systèmes.

Dans ce chapitre, il sera d’abord question de mesures effectuées en 2003 avec le DrIvan Maggio-Aprile sur le SC YBa2Cu4O8 (Y-124) à l’aide du système Hélium 4.

Ensuite, je décrirai la partie effectuée sous la supervision de Cédric Dubois avec lesystème Mésoscaphe qu’il a construit. Elles concerneront le Bi2Sr2CaCu2O8+δ et ontété effectuées en 2004.

4.1 YBa2Cu4O8

Le Y-124 (Tc = 80 K, Bac2 > 100 T ? 1, ξ = 18 Å, λ = 1700 Å, κ = 95) a été découvertpeu après son cousin pérovskite 2 très célèbre le Y-123. Ce dernier avait fait la unedes journaux en 1987 car son Tc dépassait la température de l’azote liquide qui estbeaucoup moins coûteux que le réfrigérant utilisé jusqu’alors, l’hélium liquide. Il a ététrès intensivement étudié durant les 17 ans qui nous séparent de sa découverte, maison ne connaît pas encore toutes ses propriétés électroniques et on ne les explique pascompletement !

Le Dr Ivan Maggio-Aprile a été le premier à observer les vortex sur ce composé à l’aidede la STS (cf § A.2). Ceci en analysant les variations de la conductance tunnel mesuréeà Ut = ∆/qe [51, 52]. En effet, comme on l’a vu à la section 3.7, la densité d’état desquasiparticules dans l’état SC est très différente de celle des électrons dans l’état N.

1Obtenu par la formule 3.145 et par extrapolation expérimentale.2Pour la signification de ce terme, consulter la référence [65].

65

66 Chapitre 4. Approche expérimentale

La conductance tunnel – qui est directement proportionnelle à la densité d’états (cf.section A.2.1) – est affectée par la présence des lignes de flux. Dans les vortex (zoneN) le rapport σ(∆/qe = 20mV )/σ(0mV ) ≈ 1 tandis que si on se trouve entre lesvortex (zone SC) σ(∆/qe = 20mV )/σ(0mV ) 1. En définissant une échelle decouleur (ou de niveaux de gris) on peut faire une image des vortex (entourés en rouge)comme sur la figure 4.1.

FIG. 4.1: Vortex visibles à Ba = 6 T sur du Y-123 [52].

Pour d’autres informations sur les vortex voir les thèses du Dr Yanina Fasano [24] duDr Ivan Maggio-Aprile [51], du Dr Martin Kugler [41], du Dr Christophe Renner [60]ainsi que les nombreux articles publiés sur le sujet. Par exemple, au sujet des vortexvisibles dans la bande π du MgB2

3 les références [22, 23], ou encore un article citédans presque tous les articles dans le domaine du STM/STS sur les HTSC [61]. Cesthèses et articles sont toutes d’auteurs de membres et d’ex-membres du groupe du Prof.Øystein Fischer, les vortex étant la spécialité du groupe.

4.1.1 L’Hélium 4

Le système Hélium 4 4 a été mis au point par le Dr Christophe Renner durant sa thèse.

C’est un système à basse température qui utilise l’hélium liquide pour avoir une tempé-rature "de croisière" de 4.2 K. On peut abaisser encore la température en pompant surle bain d’hélium, cependant cette manoeuvre réduit la durée d’autonomie de l’appareil.

Il faut effectuer un transfert d’hélium tous les deux à trois jours pour assurer le main-tien de la température. Un dewar 5 de 100` d’hélium liquide permet de faire deux outrois transferts 6.

On peut encore ajouter que dans ce groupe, l’hélium est récupéré. Il n’en va pas demême aux États-Unis où il est relâché dans l’atmosphère. L’hélium n’est pas toxique

3Le MgB2 est le seul SC connu à ce jour qui comporte 2 bandes de conduction SC : σ et π.4C’est l’isotope 4He de l’hélium qui est utilisé. Le nom du système est inspiré de là.5Du nom du physicien qui a inventé ce système de conservation des liquides à très basses tempéra-

tures. Il s’agit d’une sorte de thermos géant qui ne garde pas la chaleur mais qui évite l’évaporation del’hélium.

6Il faut ajouter que 1` d’hélium liquéfié revient à∼ 20 CHF ! En comparaison, l’azote liquide (T = 77K) revient à ∼ 0.80 CHF/`. Il y a dans le groupe six systèmes réfrigérés à hélium liquide.

4.1. YBa2Cu4O8 67

mais il est en quantité limitée sur la Terre. On le récolte notamment dans les nappes depétrole.

La figure 4.2 montre le cryostat et la chambre de l’Hélium 4. En ce qui concernel’électronique et le fonctionnement du STM, voir l’annexe A.

FIG. 4.2: Cryostat (bleu) et chambre (métallique) de l’Hélium 4.

4.1.2 Topographie

La technique de base du STM est la topographie. Par ce procédé, on peut étudierles surfaces. Aussi étonnant que cela puisse paraître, la topographie est très impor-tante pour l’étude des SC par STM. Pour corréler les spectres avec la topographie, parexemple.

Les surfaces étudiées peuvent être celles de couches minces ou de monocristaux.

Les premières sont intéressantes pour étudier les effets liés aux contraintes que peutsubir le matériau. En effet, les paramètres de maille du réseau cristallin d’un composéet de son substrat sont rarement exactement les mêmes. Le paramètre de maille de lacouche mince a tendance à s’adapter à celui du substrat, induisant des contraintes dansles films de faible épaisseur (quelques couches atomiques).

Lors de l’école d’été de MaNEP à Saas Fee, le Prof. Mika Lippmaa de l’Université deTokyo 7 nous a énoncé en détail les progrès faits dans ce domaine [46]. En particulier,le fait que l’on arrive à obtenir des couches minces de plus en plus étendues et de plusen plus fines tout en restant très planes en utilisant l’ablation par laser.

7Venu exprès de Tokyo pour dispenser une unique heure de cours !


Les monocristaux quant-à-eux, permettent de connaître les propriétés intrinsèques desmatériaux étudiés. Pour des monocristaux on peut atteindre pour les SC des tailles del’ordre de 25 mm2×1 mm. Pour comparaison : on arrive a créer des monocristaux desilicium purs à 99.999% d’une longueur de 1 m et d’un diamètre de 30 cm ! Le Prof.Alexandre Revcolevschi de l’Université de Paris XI nous a exposé les progrès dans cedomaine ainsi que les études d’ordre général effectuées sur celles-ci prouvant la puretédes cristaux [62].

Pour ce travail, on a effectué les mesures uniquement sur des monocristaux.

Comme les surfaces des HTSC sont relativement réactives, il est judicieux de préparerles échantillons pour obtenir des surfaces propres. On peut effectuer un clivage sousultra haut vide (UHV) : On casse le cristal en appliquant une colle spéciale et enarrachant littéralement les dernières couches du réseau cristallin. Pour les matériauxnon clivables on peut procéder à une attaque chimique de la surface, voire procéder àune fracture brutale de l’échantillon.

Une autre technique consiste à "nettoyer", à l’aide de la pointe du STM, la surfaceque l’on désire étudier en faisant des topographies successives. Ainsi, si on fait destopographies pendant une longue période sur une même zone avec des "conditionsextrêmes" (courant tunnel important, faible tension, grande vitesse de balayage) on vamodifier la surface ainsi que la pointe.

La figure 4.3 est une topographie obtenue sur Y-124. Elle présente des zones trèsplanes. Les points les plus élevés sont en blanc, les plus bas sont en noir. Cette topogra-phie fait 200 nm de coté. On peut y voir de belles marches (steps). Elles correspondentvraisemblablement à la demi-hauteur d’une cellule-unité : 13.6 Å.

D’un point de vue cristallographique, la vraie maille de l’Y-124 est de 27 Å.

FIG. 4.3: Topographie d’une surface très plane d’Y-124.

La figure 4.4 quant à elle, montre une profonde dépression. Cette dernière a sûrementété causée par un crash de la pointe dans l’échantillon ou un effet dû au champ élec-

4.1. YBa2Cu4O8 69

trique généré par la pointe. De même que sur la figure 4.3, on voit clairement les stepsqui font une "descente à la cave". Cette topographie fait 1 µm de côté.

FIG. 4.4: Topographie d’une surface d’Y-124 présentant un trou.

4.1.3 Spectroscopie

Après avoir bien étudié la topographie de la surface de l’Y-124, on peut commencer àtester les propriétés liées à la densité d’état locale (LDOS).

Ceci se fait grâce à la spectroscopie à effet tunnel (cf. § A.2).

Champ nul

La figure 4.5 montre la conductance obtenue lors d’un parcours en ligne droite de lapointe le long de l’axe x, σ(x,Ut)|y. Chaque mesure a été décalée vers le haut parrapport à la précédente pour améliorer la visibilité.

À l’aide de ces spectres on peut estimer la valeur du gap à partir de la zone de dépres-sion : ∆ ≈ 15 meV.

Et un rapport prévu par BCS

2∆kBTc

=2 · 15 meV

1.38 · 10−23 J/K · 80 K= 4.3

Il est à remarquer que la conductance n’est pas pour ainsi dire telle qu’on s’attend àla voir. En effet, la conductance pour Ut ∈ ]−∆/qe; +∆/qe[ n’est pas nulle comme laformule devrait la donner pour le cas d’un SC dit s-wave.

Qu’est-ce qu’un s-wave ? C’est un SC qui a une symétrie d’onde sphérique. C’est lecas le plus simple à traiter car le gap est isotrope (il ne dépend pas de la direction demesure, autrement dit de celle du courant tunnel).


FIG. 4.5: Trace sur du Y-124.

Pour l’Y-124 – comme l’Y-123 – on s’attend plutôt à une symétrie dite d-wave, danslaquelle le gap dépend fortement de la direction. Il existe des directions dans l’espaceréciproque 8 où le paramètre d’ordre (le gap) est nul. Et comme le STS intègre dif-férents vecteurs k correspondants à différents ∆, on voit des états excités jusqu’auniveau de Fermi.

La figure 4.6 représente les symétries de gap d-wave et s-wave (kF est le cercle inté-rieur). La courbe extérieure donne la valeur de ∆ selon la direction.

FIG. 4.6: Symétries d-wave et s-wave de ∆k.

Après une étude de spectres acquis en certains points de la surface il devient nécessairede faire des cartes plus détaillées pour sonder les propriétés comme l’homogénéité, etc.Il est toutefois impossible de représenter une carte de tout le spectre en chaque pointcar l’image devrait comporter 4 dimensions !

On utilise alors une astuce en montrant, par exemple, la valeur de la conductance enchaque point à une tension donnée avec une échelle de couleur ou de gris, ou encorele rapport entre deux valeurs. Cette technique permet en outre de gagner beaucoup detemps dans l’acquisition des données.

Dans le cas du Y-124, les cartes spectroscopiques n’ont hélas pas encore révélé departicularités systématiques. Nous avons donc jugé inutile de les présenter ici.

8L’espace réciproque k n’est autre que la transformée de Fourier de l’espace réel r.

4.2. Bi2Sr2CaCu2O8+δ 71

Champ non nul

La partie la plus intéressante du STS/STM est la spectroscopie en champ magnétiquecar, comme on l’a vu, il s’agit d’un SC-II de type extrême κ 0.707, en regard de lathéorie d’Abrikosov (cf. § 3.5), il devrait présenter des vortex.

Il est de plus à noter que les vortex dans les HTSC sont très différents des vortex dans leSC-II NbSe2 qui présentent un réseau très régulier. On parle pour les HTSC de vortex"pancake" car ils sont constitués d’éléments fortement anisotropiques confinés dansles plans de CuO2 des oxydes SC.

Contrairement à d’autres HTSC, les vortex n’ont pas encore été visualisé dans le com-posé Y-124. On a obtenu des images qui présentent des structures qu’on pourrait ap-parenter aux vortex. Mais la prudence est de mise car ces mesures ne se sont pasmontrées reproductibles ce qui est d’une importance fondamentale si l’on veut publierdes résultats crédibles.

4.2 Bi2Sr2CaCu2O8+δ

Le Bi-2212 (Tmaxc = 92 K 9, Bac2≈ 300 T 10, ξ = 10 Å,λ = 2000 Å, κ = 200 11) faitpartie d’une famille très intéressante de composés déterminés par la formule génériqueBi2Sr2Can−1CunO2n+4+δ (nommés généralement dans la littérature par leur abrévia-tion : Bi-22(n-1)n), où n détermine le nombre de plan de CuO2 par cellule-unité. Gior-gio Levy et le Dr Martin Kugler s’affairent particulièrement sur le Titanic à déterminerles propriétés du Bi-2223 et du Bi-2201 [41].

La figure 4.7 montre le réseau cristallin du Bi-2212 avec ses paramètres de maille. Onremarque que les plans de CuO2 forment des plans assez espacés les uns des autres.

Le Bi-2212 est un SC à la mode car il présente de nombreuses propriétés qui sont pourle moins intéressantes. Notamment, le fameux pseudogap dont la réussite de l’expli-cation serait, selon certains, un grand pas dans la compréhension des mécanisme de laSC des HTSC.

En fait qu’est-ce donc que ce pseudogap ? Il s’agit d’une dépression visible même au-dessus de Tc sur les échantillons de Bi-2212 sousdopés (ayant moins de porteur decharge par atome de cuivre que la valeur optimale du point de vue de Tc , § 4.2.6). Il nes’agit pas de la SC mais il est probable que ce soit une concurrence entre deux phaseset/ou l’apparition de paires de Cooper au-dessus de Tc .

Nous avons étudié trois cristaux de Bi-2212 (par la suite, on y fera référence par leurnuméro précédé de #) :

9Le "max" vient du fait qu’en modifiant le dopage (en changeant δ la quantité d’oxygène) on peutchanger le Tc de façon substantielle jusqu’à détruire la SC.

10Obtenu par la formule 3.145, dont la validité n’est pas garantie dans ces conditions extrêmes ; detelles valeurs de champ sont impossibles à atteindre avec des dispositifs expérimentaux. On doit noterque cette valeur est extrêmement élevée.

11Il faut remarquer que le NbSe2 qui est un SC-II classique possède Tc = 7.4 K, Bac2 = 10 T, ξ = 78 Å,λ = 2650 Å, κ = 34. Ces valeurs sont moins extrêmes et les lois s’appliquent mieux.


FIG. 4.7: Structure cristalline du Bi-2212 [21].

1. Tc = 85.5 K, ∆Tc = 2 K.

2. Tc = 90 K, ∆Tc = 3 K.

3. Tc = 89 K, ∆Tc < 1 K.

Tc est déterminé par la mesure de la susceptibilité magnétique χ′ du matériau en fonc-tion de la température. En-dessous de Tc , la susceptibilité est négative alors qu’elle estpratiquement nulle dans l’état normal.

∆Tc est déterminé par la dérivée de la susceptibilité magnétique χ′′ et mesure la lar-geur de la transition. Plus ∆Tc , est petit, plus le cristal peut être considéré commehomogène. On considère que ∆Tc < 1 K est un signe de très bonne transition pour unHTSC comme le Bi-2212 12.

La figure 4.8 montre comment sont déterminés les valeurs de Tc et de ∆Tc pour lecristal #3.

4.2.1 Le Mésoscaphe

Le Mésoscaphe est, contrairement à l’Hélium 4, un système très jeune. Il a été élaborépar Cédric Dubois et Paul-Émile Bisson pour permettre des rampes de températuretrès douces et contrôlées entre 2 K et la température ambiante (∼300 K). On voit soncryostat à la figure 4.9.

On remarque au passage que les systèmes reposent sur une dalle bleue qui est désoli-darisée du sol pour éviter toute perturbation due à des vibrations du bâtiment. Si onfrappe des mains à coté du cryostat, on en voit l’effet sur le courant tunnel !

Comme l’Hélium 4, il utilise l’hélium liquide comme liquide réfrigérant.

12Dans les SC classiques, on considère comme "bon" un cristal qui a ∆Tc≤ 10−3 K !


FIG. 4.8: Susceptibilité magnétique et sa dérivée en fonction de la température pour l’échantillon #3 [21].

Le projet de Cédric Dubois est de développer un STM qui permet de parcourir delongues distances sur la surface sans avoir besoin de remettre le système à la tempéra-ture ambiante. Ceci dans le but de contrer la dérive thermique. En effet, les composantdu STM ne se dilatent pas tous de la même façon.

Il compte ainsi faire des nanolithographies pour observer ce que l’on nomme les oscil-lations de Friedel. Ces dernières sont la réflexion sur une barrière de potentiel (barrièred’atomes ou crevasse) de la fonction d’onde électronique. Elles sont visibles sur la fi-gure 4.10.

4.2.2 Clivage à l’air

Il est à noter une première en ce qui concerne l’étude du Bi-2212.

Dans sa thèse, le Prof. Christophe Renner a signalé :

Il nous semble nécessaire de cliver les cristaux sous UHV pour avoir demeilleurs conditions tunnel dans le vide [60]

Ceci est une mise en garde contre les artifices pouvant être dus à la contamination dela surface par des atomes extérieurs.

En effet, la surface du Bi-2212 est très réactive à l’air et à l’eau. On a pu le remarquerà une occasion : on avait oublié d’entreposer l’échantillon dans le dessiccateur. Lelendemain matin, l’échantillon avait perdu sa couleur noire et sa surface n’était pluslisse et brillante.

Tous les cristaux de Bi-2212 dont les mesures sont présentées dans ce travail ontété clivés à l’air ambiant ! Et les spectres n’ont rien à envier à ceux clivés sous UHV.

En quoi consiste le clivage ?

1. On réalise un mélange entre les deux constituants de la résine Epoxy que l’onapplique sur le cristal collé au préalable sur le porte échantillon.


FIG. 4.9: Cryostat (métallique) du Mésoscaphe.

2. On colle au-dessus une plaque d’argent (cf. figure 4.11).

3. On met le porte-échantillon au four à 80˚C pendant 45 minutes.

4. Après avoir sorti le tout, on arrache la plaque d’argent et on vérifie que la surfaceobtenue est bien lisse et brillante.

5. On met le porte-échantillon dans le chariot du STM (Figure A.4, h) et on met letout à froid dans le cryostat (Figure 4.9). Ceci le plus vite possible afin d’éviterla contamination par l’air. On a réussi a effectuer cette dernière étape en moinsde 15 minutes !

Ici il devient nécessaire de parler de ce que l’on a défini comme l’effet mille-feuille :Lors du clivage, la cassure est très violente et il se peut que la dernière couche atomiquene soit plus attachée à celles du reste du cristal mais simplement posée dessus. Cecipourrait avoir des conséquences fâcheuses pour les mesures à effectuer.

Pour cette raison, on a systématiquement effectué un second clivage sur les mono-cristaux de Bi-2212 avant de les mettre à froid. De cette façon, l’éventuelle couchemille-feuille, est enlevée car comme elle n’est pas couplée au reste du SC elle part plusfacilement.

4.2.3 Topographie

Les mesures de topographies ne laissant apparaître aucune structure, ou du moins desstructures étranges, ne seront pas présentées dans ce travail.


FIG. 4.10: Affiche du Xe Colloque Wright pour la science, montrant les oscillations de Friedel vues parSTM (Dr Donald Eigler, du centre IBM d’Almaden en Californie) pour une barrière de potentiel due àune ellipse d’atomes de fer sur une surface de cuivre.

4.2.4 Spectroscopie

En ce qui concerne les spectres, les mesures ont été très variables et peu reproduc-tibles : même en repassant au même endroit on obtenait des spectres radicalementdifférents selon le cristal, et même dans le même cristal ! Ces résultats ont été présen-tés au séminaire de groupe du 27 mai 2004 [21]. Il se peut d’une part que le cristal aitréagit avec l’air, que le STM perturbe le système ou encore que la surface ne présentepas les propriétés de l’intérieur de l’échantillon.

Tous les spectres montrés ont été obtenus avec le même régime tunnel : Ut = 0.1 V, It=−1.0 nA 13 et donc Rt = 100 MΩ. La température était toujours de 3.5 K pendant lesmesures.

Cristal #1

Paradoxalement, nous avons réussi à battre le record de distance avec des spectresreproductibles : on a obtenu des spectres homogènes sur 1820 Å sur le cristal #1.La figure 4.12 montre cette trace (les courbes ont été décalées pour permettre de lesvoir toutes).

Et encore plus paradoxalement, ce n’est pas ce cristal qui avait la plus nette transition !

De façon intrigante, les conductances effectuées à différentes énergies ont les mêmes

13Le signe négatif signifie que les électrons circulaient de de l’échantillon vers la pointe.


FIG. 4.11: Porte-échantillon avec plaque d’argent (le cristal de Bi-2212 est en dessous de cette dernière).

évolutions spatiales (exceptée la conductance à 0 mV, cf. figure 4.13). En outre, aucunecorrélation la topographie n’a pu être mise en évidence.

Si on prend la moyenne de tous les spectres on obtient la figure 4.14.

À l’aide de cette courbe, on peut facilement déterminer la valeur du gap ∆ en divisantpar 2 la distance entre les sommets : ∆ = 62 meV.

Ce qui vient immédiatement à l’esprit en voyant ce spectre est de remarquer la formedans le gap qui est caractéristique d’un d-wave (voir la figure 4.6) : Présence d’excita-tions aux petites énergies.

Ensuite, on peut s’amuser à calculer le rapport 2∆/(kBTc) qui selon BCS devraitvaloir 3.52 pour un s-wave et 4.3 pour un d-wave.

2∆kBTc

=2 · 62 meV

1.38 · 10−23 J/K · 85.5 K= 16.8

Cette valeur est pour le moins suspecte... Mais c’est elle qui est généralement trouvéeet admise pour les HTSC (entre 6 et 20 en réalité).

Mais pourquoi cette valeur est aussi éloignée des prédictions théoriques ?

Une première explication pourrait être que les HTSC ont un mécanisme de développe-ment de la SC radicalement différent de celui proposée par la théorie BCS.

D’un autre côté il pourrait s’agir d’un SC à couplage fort. La théorie BCS dans saforme initiale, postulait que le couplage λ? était faible ceci permettant de donner lerapport BCS sous une forme simple avec une solution numérique (cf. § 3.7.7).

Les porteurs de charges étant des trous plutôt que des électrons dans les HTSC, ilpourrait en résulter un comportement différent. En effet, le pseudogap n’est visibleque dans la partie dopée en trous du diagramme de phase. Ce point de vue est assezdiscuté.


FIG. 4.12: Trace homogène de 1820 Å sur le cristal #1 [21].

4.2.5 Effet Cancino

Enfin, une explication pourrait être que le pseudogap n’est pas si "pseudo", mais qu’ilapparaîtrait à la température à laquelle les paires commenceraient à se former, T*.

Si on reprend la dépendance en température proposée par le modèle GC (§ 3.2), onpourrait penser que la température à laquelle ns = 0 est T* et qu’à Tc on atteint une"densité critique" (ns)c à partir de laquelle on aurait le vrai état SC.

En effet, comme ξ est très petit dans les HTSC, peut-être que la transition de toutl’échantillon ne se fait elle que lorsque une quantité suffisamment grande de domainessont reliés, à l’instar d’une révolution qui n’a lieu que lorsque les différents groupes seretrouvent et agissent de concert.

En vue de cela :

? Il faut voir si la susceptibilité présente une particularité à T*. En effet, il existerades paires préformées qui devraient avoir un effet sur le champ magnétique(tentative d’effet Meißner).

? Il faut voir si le rapport T*/Tc est une constante, dépend de κ ou dépend de ξ. Carκ = 200 pour le Bi-2212 ce qui est très grand (et ξ = 10 Å est très petit !) et c’estle seul – hasard ? – qui présente un pseudogap de façon nette et incontestable.

Peut-être avons nous mis le doigt sur quelque chose de fondamental bien que ceci restepurement spéculatif et qualitatif pour le moment...

Mais comme l’a dit le Prof. Øystein Fischer lors du pic-nic du Département de Phy-sique de la Matière Condensée (DPMC) en juin 2004 :

Une idée simple n’est pas forcément triviale.


FIG. 4.13: Variation de la conductance avec la distance le long de la trace homogène de 1820 Å sur lecristal #1 [21].

FIG. 4.14: Moyenne de la trace de 1820 Å sur le cristal #1 (Fig. 4.12) [21].

L’avenir nous dira de quoi il en retourne...

Cristal #2

Le cristal #2 quant à lui était beaucoup moins intéressant. Il présentait des spectressemi-conducteurs (en forme de U) dans la plus grande partie des cas.

Toutefois, il est à noter deux spectres particuliers.

Le premier (Figure 4.15) était reproductible sur approximativement 500 Å.

On peut voir qu’il est très nettement défini : ∆ = 26 meV.

Et un rapport BCS de

2∆kBTc

=2 · 26 meV

1.38 · 10−23 J/K · 90 K= 6.7


FIG. 4.15: Spectre particulier du cristal #2 [21].

On se rend vite compte que cette valeur est beaucoup plus proche de la valeur théoriqueque celui du cristal #1.

On doit signaler ici qu’une autre trace a donné des spectres homogènes sur 300 Å etprésentait un gap de 50 meV. Le rapport vaut alors dans cette zone 12.9.

Une troisième zone (de 80 Å) présentait des pics doubles ! La figure 4.16 en montreun.

FIG. 4.16: Spectre étrange (pics doubles) du cristal #2 [21].

On peut determiner deux gaps de 27 meV et de 42 meV. Ce qui donne un rapport BCSde 7.0 et de 10.8, respectivement.

Ces dernières mesures montrent à quel point les échantillons peuvent être inhomo-gènes. Reste à savoir si le Bi-2212 est intrinsèquement inhomogène ou s’il s’agit d’unefabrication défectueuse.


Cristal #3

Ce dernier cristal, bien que possédant la plus faible largeur de transition (Figure 4.8),n’a pas livré de données spectroscopiques dignes d’intérêt.

La figure 4.17 montre un spectre typique d’un échantillon sousdopé.

FIG. 4.17: Spectre de Bi-2212 du cristal #3 [21].

On obtient ∆ = 46.5 meV et un rapport d’énergies (énergie du gap par rapport à l’éner-gie thermique à Tc ) de

2∆kBTc

=2 · 46.5 meV

1.38 · 10−23 J/K · 89 K= 12.1

4.2.6 Dopage

La température critique du Bi-2212 dépend du nombre de porteurs de charge par atomede cuivre p (ce sont des trous dans ce cas) selon la relation empirique suivante [59] :

Tc = Tmaxc [1− 82.6(p− 0.16)2]

Où Tmaxc = 92 K pour le Bi-2212.

En analysant cette formule on voit clairement que le maximum de la fonction est ob-tenu pour p = 0.16. En fait, cette loi s’applique dans le cas d’autres HTSC, il suffit dechoisir la valeur de Tmaxc correspondant au composé (Tableau 4.1).

Composé Tcmax [K]

Bi2Sr2CuO6+δ 10Bi2Sr2CaCu2O8+δ 92Bi2Sr2Ca2Cu3O10+δ 110YBa2Cu3O7−δ 94

TAB. 4.1: Valeurs de Tmaxc de certains HTSC.


On règle p à l’aide de la quantité d’oxygène ajoutée δ. En effet, en ajoutant de l’oxy-gène, on va enlever des électrons ce qui est équivalent à ajouter des trous.

On peut augmenter l’oxygénation en recuisant l’échantillon sous haute pression d’oxy-gène ; on aura alors affaire à un échantillon dit surdopé (overdoped, p > 0.16) qui, dansle cas du Bi-2212, aura un gap plus petit (∆ ≈ 25 meV).

Si au contraire on recuit sous vide un échantillon, l’oxygène va sortir et on aura unéchantillon sousdopé (underdoped, p < 0.16) qui présentera alors un gap assez largeégalement dans le cas du Bi-2212 (∆ ≈ 50 meV)

Dans cette optique :

- Le cristal #1 est sousdopé 14 : p = 0.13.

- Le cristal #2 est surdopé : p = 0.18.

- Le cristal #3 est sousdopé : p = 0.14.

On peut remarquer un fait étrange sur ce cristal #3 : le spectre à plusieurs pics par sesdeux gaps serait à la fois celui d’un surdopé (gap interne, p = 0.18) et d’un sousdopé(gap externe, p = 0.14). Il y a lieu de se poser des questions. Sommes-sous à lajonction de deux zones ayant des dopages aussi radicalement différents ? Ou est-ce uneffet dû à une impureté par exemple ? Dommage que nous n’ayons pas pu voir si latopographie présentait ici une étrangeté...

Le problème de la dépendance du gap avec le dopage est un fait d’actualité. Lors demon stage en 2004, j’ai recherché et regroupé dans un graphique, toutes les donnéesdisponibles sur les dépendance du gap avec le dopage ∆(p). Cette recherche servirapour une revue en cours de rédaction sur l’étude par STM des HTSC [26].

14On prend comme limite pour determiner le signe la valeur du gap : ∆ > 40 meV ⇒ sousdopé, ∆ <40 meV⇒ surdopé.


Chapitre 5

Conclusions et perspectives

En réalisant ce Travail de Maturité, j’ai pu acquérir de nombreuses connaissances liéesde près ou de loin à la SC.

En ce qui concerne l’approche historique, on a tenté dans cette recherche de parler duplus grand nombre de types de SC. Évidemment cette liste est loin d’être exhaustive.Le domaine de la SC est un domaine très volatile en effet. La découverte de la SC dansle composé MgB2 par exemple a suscité des investigations très intenses et il sera déjàemployé dès l’an 2005 par la NASA comme câble [53] !

L’approche empirique a tenté de présenter les principales caractéristiques de l’étatSC. Tout d’abord afin d’éviter les confusions entre un SC et un conducteur parfait puispour avoir une base solide que la théorie devrait expliquer.

Pour l’approche théorique, cette recherche a eu pour but de présenter de façon brèvemais exacte les différentes théories de la SC conventionnelle. La thermodynamique etles théories phénoménologique ont été détaillées dans le calcul. Pour cette raison lesmathématiques ainsi que les notions de champs ont dû être approfondies et maîtrisées– des dizaines de pages de calcul et des heures devant l’ordinateur ont été nécessairepour développer les étapes de calcul de la théorie GL ! La théorie BCS nécessiteraitun livre entier à elle toute seule ne serait-ce que par nécessité de présenter le forma-lisme de la seconde quantification. J’ai gagné une immense clarté dans ces théories quiparaissaient, au premier abord, bien trop complexes pour jamais en saisir le sens.

Du point de vue de l’approche expérimentale, nous avons montré non seulementles propriétés de deux composés à haut Tc , mais encore ceci nous a permis de nousfamiliariser avec le dispositif très précis sans être imposant qu’est le STM (dont lefonctionnement est brièvement exposé dans l’annexe A). De plus, j’ai eu la chance depouvoir apprendre à employer personnellement les systèmes autant sur le point de vuedu hardware que du traitement informatique.

Enfin, je pense que ces deux stages ont surpassé de tous points de vue mes attentes.Premièrement, je pense avoir confirmé de façon expérimentale que j’ai bien trouvéma voie. Deuxièmement, ce travail m’a appris à exposer des idées de la façon la plusclaire possible. Ensuite, il m’a motivé à fond pour les études ultérieures que je comptebien réaliser en entier. Finalement il m’a permis de lier des contacts très forts avec les

83

84 Chapitre 5. Conclusions et perspectives

membres du groupe.

Pour ces raisons j’estime que la réalisation de ces stages est une réussite totale qui m’aemmené au confins de la connaissance à la limite de la terra incognita de la physique.

Je compte bien embarquer avec la flotte du Prof. Ø. Fischer pour un voyage dans ceseaux troubles...

La HTSC est loin d’être expliquée. Il s’agit là d’un sujet qui pourrait venir à êtretrès important à l’avenir. Les quantités d’énergie gaspillées deviennent de plus en pluspréjudiciables pour l’environnement. Loin de ne pas avoir d’avenir, il devrait être prisde plus en plus au sérieux.

D’autant plus que du point de vue des Tc , on stagne depuis plus de 10 ans !

Julián Cancino, juin 2005.

Annexe A

Microscopie à effet tunnel

Cette annexe a pour but d’expliquer le principe et le fonctionnement du microscopeà effet tunnel (STM) 1, ses caractéristiques principales et son avantage pour étudierles SC avec une résolution spatiale de la densité d’états grâce à la spectroscopie pareffet tunnel (STS)2, qui permet entre autres d’observer les vortex dont nous avons déjàdiscuté (§ 3.5).

A.1 Microscopie à effet tunnel

Lors de cette étude, j’ai employé pour la partie expérimentale un STM et son systèmecryogénique de refroidissement à l’hélium liquide.

Le groupe du Prof. Øystein Fischer emploie plusieurs systèmes pour étudier les pro-priétés des matériaux aux électrons fortement corrélés dont évidemment les SC et afortiori les HTSC font partie.

Au moment de la rédaction de cette recherche, il y a trois systèmes cryogéniques opé-rationnels :

1. Le Titanic sur lequel le Dr Martin Kugler et Giorgio Levy mènent des recherchessur le Bi-2223

2. L’Helium Quatre piloté par le Dr Ivan Maggio-Aprile et le Dr Yanina Fasanopour caractériser l’Y-124.

3. Le Mésoscaphe de Cédric Dubois sur lequel les mesures du HTSC Bi-2212 pré-sentées ici ont été effectuées.

Et deux systèmes en phase de devenir :

1. Le Vasa développé par Bart Hoogenboom, commencé par le Dr Christian Hesset en construction par Nate Jenkins.

2. Le Calypso développé par le Dr Isabelle Joumard et en construction par le DrYanina Fasano et Silvia Seiro.

1Pour Scanning Tunnelling Microscope.2Pour Scanning Tunnelling Spectroscopy.

85

86 Annexe A. Microscopie à effet tunnel

A.1.1 Effet tunnel

Par opposition à ce que son nom laisse croire, l’effet tunnel n’est pas la coupure del’accès au réseau GSM lorsqu’on passe sous un tunnel.

Au contraire, il s’agit d’un phénomène purement quantique qui n’intervient pas àl’échelle macroscopique. Il permet à un électron qui n’a pas assez d’énergie pour fran-chir une barrière de potentiel de passer tout de même avec une certaine probabilité nonnulle !

La raison pour laquelle l’effet tunnel n’intervient pas dans la vie de tous les joursest que – la constante de Planck – est trop petite : 1.05 · 10−34[Js]. Si elle avaitune valeur beaucoup plus grande on pourrait théoriquement faire passer une balle debase-ball à travers une vitre sans la casser !

Nous allons tout d’abord traiter le problème du point de vue qualitatif puis nous atta-querons sous un angle mathématique.

Ceci est dû à la nature onde-corpuscule des constituants de la matière à l’échelle quan-tique postulée par Bohr (§ 3.6.3). En effet, la fonction d’onde de Schrödinger ψµ desélectrons ne passe pas brusquement à zéro lorsqu’elle atteint l’interface entre un ma-tériau et le vide mais "déborde" un peu. Et il fait cela des deux cotés de la barrière depotentiel.

Il existe donc une certaine probabilité qu’un électron qui est d’un coté à un momentdonné, se trouve de l’autre un instant plus tard. Le carré de la norme de la fonctiond’onde en un point donne en effet la probabilité que l’électron se trouve effectivementà cette position selon l’approche de Born (§ 3.6.7).

Si on prend en compte les relations d’incertitude de Heisenberg on voit que la positiondes électrons n’est pas définie exactement (§ 3.6.5).

Maintenant, le passage d’un électron entre deux métaux peut se faire de deux façons.Il est dit inélastique si l’électron arrive dans un état d’énergie inférieure et ainsi il émetun photon. Le cas le plus simple à traiter est celui d’une transition tunnel élastique quisera développé plus loin dans cette section.

Lorsqu’aucune différence de potentiel n’est appliquée entre deux métaux identiques (etque T 6= 0), il existe bien un effet tunnel, mais comme il est dirigé dans les deux sensavec la même probabilité, les deux "courants" s’annulent. Si T = 0 aucun électron nepeut passer d’un côté à l’autre car tous les états sont déjà occupés. Pour être tout à faitexact, comme les électrons sont indiscernables (§ 3.6.8), on peut considérer que l’étatphysique du système n’est pas sensible à un échange des deux électrons par exemple.On n’a pas besoin d’un dessin pour se représenter que si deux électron se déplacentdans des sens opposés, le courant resultant est bel et bien nul.

Alors, comme les électrons ne peuvent que partir d’un état occupé et arriver dansun état libre de même énergie (transition élastique), on applique un potentiel néga-tif (typiquement Ut ∼ −1[V]) à l’un des deux métaux distants de quelques dizainesd’ångströms, le second restant à la terre (Figure A.1).

Ainsi cela permet d’augmenter la probabilité de passage de l’électron du métal 1 au

Annexe A. Microscopie à effet tunnel 87

FIG. A.1: Situation de l’effet tunnel.

métal 2 (car il y a alors des états libres dans le métal 2 qui sont occupés dans le 1).

Avec l’établissement de la tension, on voit naître un courant dû à la probabilité depassage des électrons d’un coté à l’autre ; ce dernier est logiquement appelé couranttunnel (It). It est généralement compris de l’ordre du nA, la résistance tunnel Rt duGΩ et la conductance σt du nS.

Le courant tunnel a une très forte dépendance à la distance ζ entre la pointe et l’échan-tillon, ce qui permet une résolution très grande dans l’axe même du courant tunnel(∆z < 0.1[Å]),

It ∝ e−2kζ (A.1)

Où k = −1√

2meφ, avec φ étant la fonction de travail, dépendant du matériau. Lafonction de travail est l’énergie qu’il faut fournir à l’électron pour qu’il soit émis de lasurface (cf. § 3.6.2).

A.1.2 Distance et courant tunnel

Nous allons démontrer maintenant la proportionnalité du courant tunnel évoquée à lasection précédente. Mais avant nous allons indiquer trois fonctions qui sont indispen-sables pour discuter dans cette section. Ce sont la fonction de Fermi, la densité d’étatset leur produit.

a) La fonction de Fermi f(E) vaut 1 de E = 0 à E = EF et chute brutalement à zéroau niveau de Fermi (Si T = 0 K). Elle distingue les états occupés (1) des états libres(0). Elle donne la probabilité qu’un état soit occupé.

b) La densité d’états D(E) dans le cas idéal d’un gaz d’électrons libres est proportion-nelle à la racine carrée de l’énergie.

c) Pour terminer, le produit D(E)f(E) détermine quels états sont occupés et avecquelle densité.

Nous allons prendre encore une fois un cas simple : Imaginons deux métaux (l’électronpart de l’état Eµ dans le métal 1 et arrive à l’état Eν dans le 2) très proches avec unpotentiel négatif −U entres eux (les électrons vont tenter de s’éloigner de la source depotentiel négatif, cf. figure A.1).

Le courant qui peut passer est alors donné par la règle d’or de Fermi pour le courant


FIG. A.2: Densité d’états d’un gaz d’électrons libres.

dû à un passage d’un électron de l’état µ à l’état ν :

Iµν = −2πqe|Mµν |2δ(Eν − Eµ) (A.2)

Quelques mots sur ces termes. Comme l’effet tunnel est un phénomène quantique, il ya une matrice Mµν , dont le carré du déterminant |Mµν |2 donne la probabilité que lesélectrons passent la barrière de potentiel due au vide, malgré leur défaut d’énergie pourle faire "classiquement". La difficulté d’un calcul exact vient du fait que cette matricen’est pas connue entièrement.

Nous avons considéré le passage de l’électron comme élastique, i.e. il n’y a pas deperte d’énergie. Ceci s’exprime par la présence du facteur δ(Eν − Eµ) qui n’est autreque la fonction de Dirac définie par,∫

f(x)δ(x− x0)dx = f(x0) (A.3)

Dans un certain sens on peut parler de la dérivée par l’énergie de la fonction deFermi : ∂f(E)/∂E [51]. C’est la fonction de Dirac qui garantit la conservation del’énergie, autrement dit, il ne peut y avoir de transition qu’entre deux états de mêmeénergie.


Maintenant, le courant tunnel It est la somme sur tous les états Eµ et Eν des courantsde chaque passage. Il faut aussi rendre compte de l’occupation des états de départ Eµet la vacance des états d’arrivée Eν . En effet, en vertu du principe d’exclusion de Pauli(§ 3.6.8) deux électrons ne peuvent pas se trouver au même niveau d’énergie en mêmetemps car ce sont des fermions (§ 3.6.9). Ceci s’exprime par,

I1→2t = −2πqe

∑µ

∑ν

|Mµν |2δ(Eν − Eµ) f(Eµ − qeUt)︸︷︷︸prob. Eµ occupé

(1− f(Eν))︸︷︷︸prob. Eν libre

(A.4)

Nous devons aussi traiter le cas où un électron passerait dans l’autre sens,

I2→1t = +

2πqe

∑µ

∑ν

|Mµν |2δ(Eν−Eµ) (1− f(Eµ − qeU))︸︷︷︸prob. Eµ libre

f(Eν)︸︷︷︸prob. Eν occupé

(A.5)

Le courant tunnel total It est la somme de ces deux contributions :

It = I1→2t + I2→1

t

= −2πqe

∑µ

∑ν

|Mµν |2δ(Eν − Eµ) [f(Eµ − qeUt)− f(Eν)] (A.6)

En regardant plus attentivement le terme entre crochets, on voit que l’intervalle autorisépour le tunnel est entre le niveau de Fermi et EF + qeU .

À T = 0 et dans la limite qeUt EF on peut récrire, cette équation sous la forme,

It = −2πq2e

Ut∑µ

∑ν

|Mµν |2δ(Eµ − EF )δ(Eν − EF ) (A.7)

Or, John Bardeen a prouvé que l’élément de matrice était [8],

Mµν =2

2me

∫ΣdS · (ψ∗µ∇ψν − ψν∇ψ∗µ) (A.8)

Il faut remarquer au passage qu’elle ressemble furieusement à la seconde éq. GL(éq. 3.92). Hormis le terme de surface elle est identique. Mais si on se souvient quej = I/S ont voit par l’analyse dimensionnelle que c’est la même. Les indices corres-pondent aux fonctions d’onde dans chacun des deux métaux.

On choisit comme géométrie, la situation où le metal 1 remplit l’espace jusqu’à z = 0,le vide sur une distance de 0 à ζ, et le métal 2 depuis le point z = ζ (Figure A.3).

On considère que la fonction d’onde est maximale à 0 pour ψµ et maximale à ζ pourψν . En considérant une décroissance exponentielle due à la barrière de potentiel (don-née plus haut dans le texte), on obtient les fonctions d’ondes en fonction de z :

ψµ(z) = ψµ(0)e−kz (A.9)

ψν(z) = ψν(ζ)e−k(ζ−z) (A.10)


FIG. A.3: Recouvrement des fonctions d’onde de deux métaux [36].

En notant que la fonction d’onde ne varie que selon l’axe z, en plaçant ceci dansl’équation de Bardeen A.8 et en créant une constante C (La somme du produit desnormes des fonction d’onde est aussi constante), on voit que l’équation A.1 est vraie :

It = C · e−2kζ (A.11)

Cette dépendance exponentielle fait que (φ ∼ 4[eV] ⇒ k ∼ 1[Å−1]) le courant tunneldiminue de presque 90% si la pointe s’éloigne d’une distance de 1 Å.

A.2 Spectroscopie à effet tunnel

Comme on l’a vu dans les chapitres théoriques et expérimentaux, les SC ont la pro-priété de posséder une bande d’énergie interdite ∆ autour du niveau de FermiEF . Cecia pour effet de modifier de façon très importante la densité d’état des excitations élec-troniques (quasiparticules, électrons de la paire séparés) qui prend la forme donnéepar l’équation (en posantEF = 0),

Ds(E) = Dn(0) · Re[

|E|√E2 −∆2

](A.12)

Or, la technique très utile liée au STM est la spectroscopie à effet tunnel (ScanningTunnelling Spectroscopy ou STS) qui possède l’avantage d’avoir une résolution ato-mique. Elle permet d’observer directement la densité d’état car, comme nous allons ledémontrer,

σt ∝ D(E) (A.13)

C’est Ivar Giæver qui a le premier émis cette idée et l’a mise en application [29] (ilreçut le prix Nobel en 1973 [30] pour ses expérience dans le domaine). Ici il fautreproduire la conclusion de l’exposé qu’il a donné à la remise des prix Nobel :

En fait, je suis convaincu qu’un nouveau venu dans un domaine possèdeun grand avantage car il ne connaît pas toutes les raisons complexes quifont qu’une expérience particulière ne devrait (should) pas être tentée.


A.2.1 Densité d’état et conductance

En reprenant à partir de l’éq. A.6 on peut obtenir la démonstration que l’équation A.13est vraie.

Cette fois au lieu de chercher à connaître la matrice de transfert exactement nous allonsfaire une hypothèse sur la matrice de transfert |Mµν |2 :

Hypothèse A.2.1 La matrice de transfert est une constante pour tous les états pos-sibles dans le champ concerné par l’effet tunnel :

|Mµν |2 = M2 = constante (A.14)

De plus, nous allons remplacer la double somme sur les états par une double intégralesur les énergies (passage du discret au continuum). Ce qui nous donne,

It = −2πeM2

∫∫D1(Eµ − eUt)D2(Eν)×

× [f(Eµ − eUt)− f(Eν)] δ(Eν − Eµ)dEµdEν (A.15)

Grâce à la fonction de Dirac (éq. A.12, avec x = Eµ et x0 = Eν), on peut enlever uneintégrale :

It = −2πeM2

∫D1(Eν − eUt)D2(Eν) [f(Eν − eUt)− f(Eν)] dEν (A.16)

Pour terminer, il faut intégrer cette équation. Cependant, comme nous ne connaissonspas les fonctions D1(Eµ − eU) et D2(Eν) il nous est impossible de le faire. Nousdevons faire une seconde hypothèse 3 :

Hypothèse A.2.2 La densité d’état du métal 1 est constante et égale à la densitéd’états au niveau de Fermi pour tous les états possibles dans le champ concerné parl’effet tunnel :

D1(Eµ − eUt) = D1(EF ) = constante (A.17)

Ce qui signifie physiquement que le métal 1 est un conducteur ohmique. Mais nous nefaisons pas d’hypothèse sur la densité du second métal !

Donc l’éq. A.16 réexprimée (on laisse tomber les indices ν) par l’hypothèse A.2.2 nousdonne,

It = −2πeM2D1(EF )

∫D2(E) [f(E − eUt)− f(E)] dE (A.18)

3Il faut noter que les hypothèses A.2.1 et A.2.2 qui sont assez drastiques et audacieuses sont justifiéespour le tunnel entre deux métaux. En effet, |eU | EF car EF ∼ 5eV tandis que eU ∼ 5meV.


À cette étape du calcul, il faut faire une étape qui n’est pas forcément intuitive. On vadériver le courant tunnel par la tension Ut (f(Eν) est indépendant de cette dernière) :

dItdUt

= −2πeM2D1(EF )

∫D2(E)

∂

∂Uf(E − eUt)dE (A.19)

Une substitution permet d’y voir plus clair,

E′ = E − eUt ⇒∂E′

∂Ut= −e (A.20)

Enfin, par les dérivées des fonctions composées et l’éq. A.20, on obtient,

∂

∂Utf(E′) =

∂f

∂E′∂E′

∂Ut=

∂f

∂E′· (−e) (A.21)

On réexprime l’éq. A.19,

dItdUt

=2πe2

M2D1(EF )

∫D2(E)

∂f(E′)∂E′

dE (A.22)

Et au zéro absolu,

∂f(E′)∂E′

= δ(E′ − EF ) (A.23)

On peut récrire l’équation A.22,

dItdUt

=2πe2

M2D1(EF )

∫D2(E)δ(E − (eUt + EF ))dE (A.24)

En utilisant encore une fois la fonction de Fermi (E1 = E et E2 = eUt + EF ) onobtient finalement,

dItdUt

=2πe2

M2D1(EF )D2(eUt + EF ) (A.25)

En posant EF = 0, en se rappelant que la conductance σ = dI/dU est l’inversede la résistance dynamique R = dU/dI et en groupant les constantes sous un termecommun C on a la démonstration que l’équation A.13 est vraie :

σt = C ·D2(eUt) (A.26)

A.3 Hardware

Après ces aspects plutôt théoriques du STM/STS, voici quelques éléments plus terre-à-terre.


A.3.1 STM

Le STM, ne serait pas ce qu’il est devenu s’il n’avait pas le scanner. Il manque dans latraduction en français des termes STM et STS la notion de "scanning" (balayant), eneffet la puissance du STM est de pouvoir déplacer la pointe sur l’échantillon.

Ce dernier est en effet le faîte d’ingéniosité du STM. Il a été mis au point par lesphysiciens Gerd Binnig et Heinrich Rohrer (qui ont reçu le prix Nobel de physique en1986 [11, 12], soit l’année de la découverte des HTSC).

Une figure A.4 montre les différentes parties du STM en lui même.

Ce scanner consiste en un tube piezoélectrique 4 creux. L’électrode recouvrant la sur-face intérieure du tube sert à régler la hauteur en Z. La surface extérieure est divisée enquatre électrodes : +X,+Y,−X,−Y , qui permettent un balayage de la surface (Voirles références [41, 51, 60]).

Le tube en Z permet de faire les topographies en courant constant. En effet, une bouclede régulation permet de garder sa valeur fixe et d’enregistrer les valeurs de la hauteur(ou plutôt de la tension qu’on a appliqué au piezoélectrique qui peut se réduire à lahauteur relative si le tube en Z a été calibré).

Un autre mode consiste à garder la hauteur constante. Cependant si la surface étudiéen’est pas parfaitement plate et s’il peut y avoir des pentes, le risque de crash de lapointe est très grand.

Ce scanner permet avec la technique que nous allons aborder dans la section suivantede faire par exemple une carte des spectres SC C(x, y, Ut; z,D) en cinq dimensions 5 !Comme il est impossible de le représenter, on peut choisir trois paramètres parmi lescinq pour les afficher (On symbolise généralement les indépendants par les axes et ledépendant en niveau de couleur).

Par exemple on peut faire des topographies (variables [tous les autres paramètres sontfixés] : x, y ; z), des spectres (Ut ; D), des traces (x, Ut ; D), des cartes de la densitéd’états locale à une énergie donnée (x, y ; D). Les autres configurations ne sont pasreprésentables directement.

A.3.2 Lock-in

On l’a déjà évoqué, les SC présentent une densité d’états très haute à l’énergieEF ±∆(tension : ±∆/e). La STS permet de mesurer ce gap directement par la conductancecomme on vient de le voir.

Une des possibilités d’obtenir la dérivée du courant tunnel par la tension est de fairedes rampes de tension entre, par exemple, −0.5V et +0.5V pour obtenir une courbeI(U) et de dériver numériquement cette courbe pour obtenir dI/dU(U) = σ(U) et demesurer le gap comme la position des pics de cette dernière.

4Voir la référence [65].5Il faut noter que trois paramètres sont réellement indépendants et deux sont dépendants. Et Ut =

E−EFqe

.


FIG. A.4: Différentes parties du STM : a) Tube piezoélectrique±Y, b) Tube piezoélectrique±X, c) Tubepiezoélectrique Z, d) Translateur X, e) Barreaux de saphir, f) Porte-pointe, g) Thermomètre, h) Chariot.


Cependant elle présente l’inconvénient que la dérivée numérique est extrêmement sen-sible au bruit expérimental.

L’autre méthode consiste à utiliser un lock-in (Figure A.5) qui va ajouter à la ten-sion entre la pointe et l’échantillon une petite oscillation d’amplitude δU et de voirla variation δI uniquement à la fréquence choisie sur le lock-in ("Lock-in" signifie enanglais "focaliser"). En faisant le rapport de ces deux grandeurs, on obtient la dérivée"physique" – variationnelle – du courant. Grâce à cette technique, la plus grande par-tie du bruit sur le courant n’est pas prise en compte et il n’y a pas d’erreur due à ladifférenciation numérique.

FIG. A.5: Lock-in servant à obtenir la dérivée dI/dU(U).

A.3.3 Modules

Entre le STM et l’ordinateur il existe une série de modules développé par l’Ing. LaurentStark et montés par Julián Cancino durant les deux mois d’août 2003 et 2004. Il s’agitdu module Tension, du module Courant, du module Ampli-Log (Ceux du Mésoscaphesont montrés sur la figure A.6) et du tout nouveau module Offset (Figure A.7). Cedernier n’est montré ici que pour illustrer le fait que les mesures sont effectuées surdes appareils home-made.

FIG. A.6: Modules du système Mésoscaphe : T = Tension Ut, C = Courant It, A-L = Ampli-Log et O =Offset.

A.4 Software

Évidemment, tout cela nécessite un traitement informatique important. Le Dr AlfredManuel et Nate Jenkins ont mis au point le programme de pilotage du STM qui a étéutilisé notamment sur le système de Cédric Dubois pour ces mesures.

Il permet de réaliser les topographies, spectroscopies, spectres, traces et autres ∆-map. La figure A.8 montre une mesure en cours de Giorgio Levy sur le Titanic avec celogiciel de pilotage STM.


FIG. A.7: Module Offset permettant d’augmenter la résolution en Z du STM pour les topographies.

FIG. A.8: Software développé par le Dr Alfred Manuel et Nate Jenkins pour le pilotage STM.

Remerciements

En premier lieu, je tiens à remercier le Prof. Øystein Fischer, du Département de Phy-sique de la Matière Condensée de l’Université de Genève et directeur du pôle de re-cherche MaNEP de m’avoir accepté dans son groupe de recherche pour les deux stagesextra muros.

Je remercie très chaleureusement le Dr Ivan Maggio-Aprile qui m’a suivi et conseillétout au long de ces stages et pendant la rédaction de ce Travail de Maturité. Il m’abeaucoup apporté dans tous les domaines.

Ma reconnaissance va également à Pierre Bach, professeur de physique au CollègeRousseau, qui a accepté de suivre mon Travail de Maturité.

Je remercie aussi tous les membres de la "flotte STM" Fischer : Titanic : le Dr Martin Kugler et Giorgio Levy, Vasa : le Dr Christian Hess, Calypso : Silvia Seiro, Mésoscaphe : Cédric Dubois, Ringhorn : Alexander Petrovic et Nate Jenkins, Hélium 4 : le Dr Ivan Maggio-Aprile et le Dr Yanina Fasano.

En particulier Giorgio Levy, Alexander Petrovic et le Dr Martin Kugler pour leursexplications. Je remercie également les garde-côte : Marc Lançon, Paul-Émile Bissonet Laurent Stark qui on su me faire garder les pieds sur terre.

Je remercie le Dr Olivier Kuffer, sans lequel je n’aurais pu rédiger cette recherche avecLATEX.

J’adresse mes remerciements au Dr Yanina Fasano qui a bien voulu consacrer du tempsà une relecture minutieuse de mon Travail de Maturité et pour ses conseils vis-à-vis dela forme et du fond.

Je salue mes colocataires de Saas Fee, Mathieu Therasse, Pierre Legendre et Emma-nuel Treboux, avec qui j’ai passé une semaine hilarante. Je remercie le Dr Alfred Ma-nuel, qui m’a suggéré de participer à cette école d’été, et le Dr Michel Decroux, quim’a permis d’y participer.

J’adresse à tous les professeurs de physique qui m’ont suivi durant ces quatre ansde Collège mes profonds remerciements pour la vie qu’ils ont su faire avoir à cettebranche magnifique ; j’ai nommé, Daniel Cevey, Rafael Rodriguez et Pierre-AndréLenoir.

I

II Remerciements

Une reconnaissance infinie à celui qui est responsable de ma "conversion" à la phy-sique, celui qui m’a lancé sur la voie bien que je n’aie pu suivre son cours qu’uneheure par semaine durant la 9e année. Il s’agit de Jacques Perret-Gentil.

Je remercie enfin mes parents, mon frère et Sonia Trigui ainsi que toute ma famille etmes amis qui m’ont soutenu, de près ou de loin, durant cette recherche. Ce sont euxqui ont dû subir les effets des soirées entières à lire, écrire, calculer, discuter, expliquer,etc. Merci pour votre patience !

And the last but not the least, je remercie du fond du cœur Cédric Dubois qui terminesa thèse et qui m’a permis de participer activement à ses mesures sur le Mésoscaphe.Un grand merci pour les longues explications détaillées. Je lui souhaite toute la réussitepossible.

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Documents

Approche théorique et expérimentale des principes ...n.ethz.ch/~cancinoj/download/TM_ATEPFS.pdf · Mention "très bien" lors de la soutenance à l’École de Physique de l’Univer-sité