C. R. Acad. Sci. Paris, t. 330, Série I, p. 857–862, 2000Problèmes mathématiques de la mécanique/Mathematical Problems of Mechanics(Mécanique des fluides/Fluid mechanics)

Approximation simultanée de réels par des nombresrationnels et noyau de collision de l’équation deBoltzmannPhilippe MICHEL a, Jacques SCHNEIDERb

a UMR 5030 CNRS, Mathématiques, Université de Montpellier-II, CC051, 34095 Montpellier cedex, Franceb Laboratoire modélisation numérique et couplages, Université de Toulon et du Var,

83162 La Valette cedex, FranceCourriel : jasch@isitv.univ-tln.fr

(Reçu le 13 décembre 1999, accepté le 16 mars 2000)

Résumé. On démontre dans ce travail comment un théorème de Dirichlet d’approximation denombres réels par des nombres rationnels peut être utilisé pour approcher l’intégrale decollision de l’équation de Boltzmann. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiqueset médicales Elsevier SAS

Simultaneous approximation of real numbers by rational numbers andits application to the Boltzmann equation

Abstract. We show in that work how a theorem due to Dirichlet concerning the simultaneous appro-ximation of real numbers by rational numbers can be applied to compute the integral ofcollision of the Boltzmann equation. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiqueset médicales Elsevier SAS

Abridged English version

We are interested in approaching the solution to the homogeneous Boltzmann equation:

∂f(t,v)

∂t=Q(f, f), (1)

Q(f, f)(v) =

∫S2

∫R3

(f(t,v∗)f(t,u∗)− f(t,v)f(t,u)

)q(g, ω) dudω, (2)

where

g = u− v, v∗ = v + (g, ω)ω, u∗ = u− (g, ω)ω. (3)

Note présentée par Henri CABANNES.

S0764-4442(00)00258-5/FLA 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 857

P. Michel, J. Schneider

We propose to discretize the solution onto a regular gridVh (h > 0) in the velocity space:

Vh =hn, n ∈ Z3

,

and to compute the collision integralQ(f, f) by introducing a quadrature formula of the type:

Q(f, f)(va) =∑b,k,`

Γk`ab(f(vk)f(v`)− f(va)f(vb)

), ∀va ∈ Vh.

We choose to approximate first the integral ontoS2. Let ΩN be the following subset ofZ3:

ΩN =n ∈ Z3; |ni|6N, nx ∧ ny ∧ nz = 1

,

wherenx ∧ ny ∧ nz = 1 means thatnx, ny , nz are prime together. Each element ofΩN provides us witha point of integration|n|−1 · n ontoS2. Now we define an elementary surface around that point in a twosteps procedure:1. define a mapping

⋃Rpqr of [0,1]2 with:

r= max(|nx|, |ny|, |nz|

),

p, q=|nx|, |ny|, |nz|

/r,

Rpqr =x ∈ [0,1]2; |rx− (p, q)|= inf

ΩN|rix− (pi, qi)|

.

2. setβn = λn

∣∣Π−1(Rpqr)∣∣, whereΠ−1(x, y) = (x, y,1)/

√x2 + y2 + 1, and

λn =

4 if Π(p, q, r) ∈ (0,0), (0,1), (1,0),3 if Π(p, q, r) = (1,1),

2 if it belongs to the boundary of[0,1]2 and is not a corner, and

1 if it belongs to the interior.

Such a procedure provides us with weights (∑

ΩNβn = 4π) and points of integration onS2. Next we

integrate on the velocity spaceR3 by noticing that the set of elements ofZ3 which are orthogonal to agivenn ∈ΩN is a regular subnetwork ofZ3-let (n2,n3) be a basis of that subnetwork. Our main resultis:

THEOREM 1. –The approximation formula

Q(f, f)(va)' h3∑

n∈ΩN

βn|n|2∑k∈Z3

q(hk1n + hk2n2 + hk3n3, |n|−1 · n

)×(f(va + hk1n)f(va + hk2n2 + hk3n3)− f(va)f(va + hk1n + hk2n2 + hk3n3)

)is of orderO(N−3/2 logN + h2N2) for f andq regular enough.

1. Introduction

On s’intéresse à la résolution numérique de l’équation de Boltzmann (1) dont la difficulté principale estle calcul du noyau de collisionQ(f, f). Afin de ne pas alourdir les notations, on pose :

F (v,u, ω) =(f(t,v∗)f(t,u∗)− f(t,v)f(t,u)

)q(g,ω)g. (4)

En marge des méthodes Monte-Carlo qui reposent sur une approximation deQ(f, f) avec convergenceau sens de la loi des grands nombres, on propose une formule de quadrature déterministe s’appuyant sur

858

Approximation simultanée de réels par des nombres rationnels. . .

l’utilisation d’une grille fixe et régulièreVh = hZ3 (h > 0) dans l’espace des vitesses. On cherche ainsi àremplacer l’équation de Boltzmann par un système d’équations différentielles de la forme :

dωadt

=Qa(ω,ω), ∀va ∈ V ,

ωa(0) = ω0a,

oùωa représente une approximation def(t,va) etQa une approximation deQ enva. Un tel système estappelé modèle à répartitions discrètes des vitesses [3] lorsqueQa est de la forme :

Qa(ω,ω) =∑b,k,`

Γk`ab(ωkω` −ωaωb). (5)

Ce formalisme permet de retrouver – sous certaines hypothèses concernant le tenseur(Γk`ab)a,b,k,` (voirpar exemple [2,3,7,8]) – les propriétés physiques de l’équation de Boltzmann : conservation des moments,décroissance de l’entropie et états stationnaires décrits par des Maxwelliennes discrètes.

2. Approximation du noyau de collision

La formule que nous proposons ici est une généralisation au cas des dimensions supérieures d’un résultatpour un modèle bidimensionnel [7]. On cherche une formule de quadrature du noyau de collision (2) quis’écrive sous la forme (5), les coefficientsΓk`ab et les quadruplets(va,vb,vk,v`) pouvant être interprétésrespectivement comme des poids et des points d’intégration. Remarquons tout d’abord qu’en vertu desrelations (3) qui expriment la conservation des moments au niveau microscopique, on a :

Γk`ab 6= 0 =⇒ ∃ω ∈ S2 tel quevk = va + λω, v` = va − λω, λ= (vb − va, ω).

On en déduit une condition sur la discrétisation de la sphèreS2 :

λω = vk − va ∈ Vh =⇒ ω = |n|−1 · n, n =1

h(vk − va) ∈ Z3. (6)

Nous décidons contrairement au travail proposé dans [4,1] d’approcher en premier l’intégrale surS2.Compte tenu de la condition (6), toute formule d’intégration surS2 doit s’écrire :

Q(f, f)(va)≈∑n∈Ω

βn

∫R3

F(va,u, |n|−1 · n

)du, avecΩ⊂ Z3. (7)

Le problème se ramène alors à approcher∫R3 F

(va,u, |n|−1 · n

)du avecn ∈ Z3.

2.1. Des sous-réseaux réguliers

L’élémentω = |n|−1 · n étant fixé, on effectue le changement de variables :

u 7−→ (s,q) ∈R× (u− va)⊥, s= (u− va, ω), q = u− va − sω,

de telle sorte que : ∫R3

F (va,u, ω) du =

∫ +∞

−∞

∫q⊥ω

F (va,va + sω + q, ω) dqds.

On reprend maintenant un résultat énoncé dans [8] avec une estimation plus fine due à V. Panferov [6] :

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P. Michel, J. Schneider

LEMME 1. –Soit n ∈ Z3, alors l’ensemble des pointsq ∈ Z3 tels que(q,n) = 0 est un sous-réseaurégulier deZ3 dont une base(n2,n3) ∈ Z6 peut être choisie de façon que:

max(|n2|, |n3|

)6 |n|.

D’autre part, le volume de la cellulen,n2,n3 est|n|2.

Ce résultat conduit à notre deuxième formule d’approximation :

LEMME 2. –SoitF ∈C20(R3) (C2 à support compact) et n ∈ Z3, alors :

En

∣∣∣∣ ∫R3

F (x) dx− h3|n|2∑k∈Z3

F(hIn(k)

)∣∣∣∣6C ‖F‖C20h2|n|2, (8)

oùIn(k) = k1n + k2n2 + k3n3 etC est une constante indépendante deh et den.

Démonstration. –On effectue le changement de variables :x→ y avecx = In(y) et on approche par laformule des trapèzes : ∫

R3

F(In(y)

)det |In|dy≈ h3|n|2

∑k∈Z3

F(hIn(k)

),

qui est d’ordre2, i.e. :

En 6C h2‖F In‖C206C h2‖In‖2 ‖F‖C2

0.

Or, d’après le lemme 1,

‖In‖6 diamn,n2,n36 2 max(|n|, |n2|, |n3|

)6 2|n|,

ce qui permet de conclure.22.2. Approximation simultanée de réels par des nombres rationnels

Revenons maintenant à la formule d’intégration (7) et à la définition des poidsβn. Le bilan collisionnelen terme de gain et de perte et la décroissance de l’entropie imposent à chaque poidsβn d’être positif.D’autre part, l’erreur enO(|n|2) associée à chaque directionω = |n|−1 ·n lors de l’intégration sur l’espacedes vitesses (lemme 2) impose un choix deβn qui pondère cette erreur. On commence tout d’abord par seramener à un problème bidimensionnel en appliquant la procédure suivante :1. pour toutn ∈Ω, on pose :

r = max(|nx|, |ny|, |nz|

), p, q=

|nx|, |ny|, |nz|

/r.

2. On introduit ensuite la projectionΠ : (x, y, z) 7−→ (x/z, y/z). De cette façon, tout point deΩ devientun couple de rationnels dans[0,1]2. Contrairement aux maillages de Voronoï construits à partir desmédiatrices entre chaque couple de points, on cherche ici à exploiter la densité deQ2 dansR2 pourdéfinir une surface élémentaire autour de chacun de ces points :

LEMME 3 (Dirichlet [5]). –SoitN ∈ R ; pour tout (x1, x2) ∈ [0,1]2, il existe un entierr 6 N et desentiersp6 r et q 6 r tels que:

|rx1 − p|61√N, |rx2 − q|6

1√N.

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Approximation simultanée de réels par des nombres rationnels. . .

Ce résultat conduit à définir une surface élémentaire dans[0,1]2 pour chacun des rationnels de la forme(p/r, q/r) et dont le dénominateur n’excède pasN :

Rpqr =

x ∈ [0,1]2;

∣∣rx− (p, q)∣∣= inf

ri6N

∣∣rix− (pi, qi)∣∣.

De même, un ensemble de directions admissibles dansZ3 estΩN =n ∈ Z3 ; |ni|6N ,nx∧ny∧nz = 1

(oùnx∧ny ∧nz = 1 indique quenx, ny etnz sont premiers entre eux) et on associe à chacun de ces pointsle poids :

βn = λn

∣∣Π−1(Rpqr)∣∣ (∑

ΩN

βn = 4π

).

Ici, λn tient compte des éventuelles symétries et/ou permutations :

λn =

4 si Π(p, q, r) ∈ (0,0), (0,1), (1,0),3 si Π(p, q, r) = (1,1),

2 s’il appartient à la frontière de[0,1]2 privée des coins, et

1 pour les points contenus strictement à l’intérieur.

Remarque1. – C’est cette même approche que l’on attribue à Farey [5,7] qui permet de définir endimension1 une notion de segment élémentaire associée à chaque point de la suite :

FN =

p

q; 06 p6 q 6N andp∧ q = 1

.

Remarque2. – Le théorème de Dirichlet implique que|Rpqr| = O(1/Nr2). On en déduit queβn estlui-même de l’ordre de1/Nr2 = O(1/N |n|2) ce qui permet de répondre à la contrainte de pondérationénoncée ci-dessus.

LEMME 4. –SoitG ∈C1(S2), alors :∣∣∣∣ ∫S2

G(ω) dω−∑

n∈ΩN

βnG(|n|−1 · n

)∣∣∣∣6C ‖G‖C1

logN

N3/2. (9)

Démonstration. –On se restreint àS = S2 ∩ 06 x, y 6 z :

E =

∣∣∣∣ ∫S

G(ω) dω−∑

n∈ΩN

βnG(|n|−1 · n

)∣∣∣∣= ∣∣∣∣∑n

∫Π−1(Rn)

(G(ω)−G

(|n|−1 · n

))dω

∣∣∣∣;un développement asymptotique donne :

6 ‖G‖C1

∑n

∫Π−1(Rn)

∣∣ω− |n|−1 · n∣∣dω 6C ‖G‖C1

∑n

∫Rn

∣∣∣∣x−(pr , qr)∣∣∣∣dx6C

∑n

1

N3/2r3

en vertu du théorème de Dirichlet et de la remarque 2. Or, pour chaquer 6N , il existe au plusr2 couples(p, q) tels quep∧ q ∧ r = 1, donc

∑n

1

r36

N∑r=1

1

r= O(logN).

Remarque3. – Le cardinal de l’ensembleΩN , noté#ΩN est enO(N3). Un nombre équivalent de pointsrépartis uniforméments sur[0,1]2 donnerait une erreur asymptotique du même ordreO

(N−3/2

)par la

formule des rectangles.

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P. Michel, J. Schneider

2.3. Le résultat général

Les formules d’approximation (9) et (8) sur la sphère et l’espace des vitesses donnent la formule d’ap-proximation générale de l’intégrale de collision :

THÉORÈME 1. –On suppose queF définie en(4) est dansC20(R3 × R3 × S2), alors la formule d’ap-

proximation

Q(f, f)(va)' h3∑

n∈ΩN

βn|n|2∑k∈Z3

q(hIn(k), |n|−1 · n

)×(f(va + hk1n)f(va + hk2n2 + hk3n3)− f(va)f(va + hk1n + hk2n2 + hk3n3)

)est enO

(N−3/2 logN + h2N2

).

Démonstration. –On applique le lemme 4 avec

G(va, ω) =

∫R3

F (va,u, ω) du,

puis on majore ∣∣∣∣ ∑n∈Ωn

βn

(G(va, |n|−1 · n

)− h3

∑k∈Z3

F(va,va + hIn(k), ωi

))∣∣∣∣en utilisant le lemme 2 et la remarque 2 :

6C h2∑

n∈Ωn

βn|n|2 6Ch2

N#ΩN 6C h2N2,

où#ΩN = O(N3) est le cardinal deΩN .

Remarque4. – Compte-tenu du terme d’erreur enh2N2 qui traduit le lien entre le nombre de directionsurS2 et l’approximation sur toutes les sous-grilles régulières correspondantes, il est nécessaire d’optimiserles choix deh etN . Plus précisémment, il apparaît que la meilleure erreur d’approximation :O

(h6/7−ε)

(∀ε > 0), est obtenue asymptotiquement pourN = h−4/7.

Références bibliographiques

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Discrete Models in Fluid Dynamics, Transport Theory Statis. Phys. (1–3) (1994).[8] Schneider J., Une méthode déterministe pour la résolution de l’équation de Bolztmann, Thèse de doctorat,

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