Arbitrage et décisions fi nancières - pearson.fr · treprise avec Lucent, un concurrent américain : l’objectif était de donner naissance au leader mondial des équipements de

En avril 2006, les dirigeants d’Alcatel ont proposé aux actionnaires une fusion de l’en-treprise avec Lucent, un concurrent américain : l’objectif était de donner naissance au

leader mondial des équipements de télécommunications. En septembre 2007, Carlos Ghosn, PDG de Renault-Nissan, a annoncé la décision de construire une nouvelle usine d’assem-blage de voitures au Maroc. En décembre 2007, Louis Gallois, président d’EADS, annonçait la délocalisation d’une partie de la production d’Airbus dans les pays de la zone dollar, afi n de réduire les coûts de production de l’entreprise.

Chaque décision prise par le dirigeant d’une entreprise peut avoir de multiples conséquen-ces. Comment savoir si ces conséquences seront globalement favorables à l’entreprise ? L’ana-lyse est parfois complexe :

La fusion entre Alcatel et Lucent a abouti en décembre 2006. L’objectif pour les deux sociétés était d’augmenter leurs parts de marché et de réaliser des synergies : 1,4 milliard de dollars d’économies sur trois ans étaient d’ailleurs programmées. Pour ce faire, le licen-ciement de 10 % des effectifs était envisagé. Mais les fusions imposent aux entreprises des coûts de restructuration et de réorganisation qui viennent s’ajouter aux frais de fusion proprement dits (plus de 60 millions d’euros). En février 2007, le groupe a ainsi annoncé que les suppressions de postes seraient plus nombreuses que prévu, du fait des diffi cultés fi nancières rencontrées au dernier trimestre 2006.

Le montant des investissements prévus pour la nouvelle usine du groupe Renault-Nissan est compris entre 800 et 1 000 millions d’euros. Une fois l’usine achevée, il faudra égale-ment payer les 6 000 salariés qui y travailleront. Carlos Ghosn espère que la vente des voitures produites par l’usine sera suffi sante pour compenser toutes ces dépenses.

La décision de délocaliser une partie de la production d’Airbus en zone dollar est moti-vée par la dépréciation du dollar, en particulier vis-à-vis de l’euro, depuis 2002. En effet, l’essentiel des coûts d’Airbus sont libellés en euros, alors que la majorité de ses ventes se fait en dollars ; un dollar faible (ou un euro fort) a donc un impact négatif sur le bénéfi ce de l’entreprise. Si le taux de change euro/dollar demeure élevé, produire en zone dollar permettra une réduction des coûts d’Airbus. Mais, en même temps, il faut prévoir la construction de nouvelles usines à l’étranger, le recrutement et la formation du personnel, etc.

Ces décisions ont toutes été prises parce que les dirigeants estimaient, compte tenu des infor-mations dont ils disposaient à ce moment, que les bénéfi ces l’emporteraient sur les coûts. En pratique, il est toujours particulièrement ardu de comparer les coûts et les bénéfi ces d’un projet industriel ou d’une décision fi nancière, surtout lorsqu’ils sont étalés dans le temps et sont fl uctuants. Pour décider de réaliser tel projet plutôt que tel autre, il faut pouvoir

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Chapitre 3

Arbitrage et décisions fi nancières

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72 Partie I – Introduction

exprimer les coûts et les bénéfi ces en termes comparables et tenir compte des risques asso-ciés. L’objectif de la fi nance est précisément de proposer des outils permettant une compa-raison fi able entre coûts et bénéfi ces lorsqu’ils se produisent à des instants différents ou qu’ils sont exposés à des risques différents.

Ce chapitre est centré sur le concept de valeur actuelle nette, qui permet d’apprécier l’intérêt économique d’un projet. Nous introduisons également le concept d’arbitrage. En économie, l’arbitrage consiste à choisir rationnellement entre plusieurs alternatives (arbitrium agere, faire un choix), indépendamment de tout jugement de valeur. Une possibilité d’arbitrage apparaît, par exemple, lorsqu’un même bien s’échange à des prix différents. Les agents ont alors toujours intérêt à acheter le bien là où il est le moins cher et à le revendre là où il est le plus cher. Sur un marché concurrentiel, une telle situation ne peut être que temporaire : par leur action, les agents contribuent en effet à rééquilibrer les prix et à faire disparaître les opportunités d’arbitrage. En généralisant ce raisonnement, on parvient à l’idée que, sur un marché concurrentiel, deux projets équivalents doivent avoir le même prix : c’est ce qu’on appelle la Loi du prix unique . Cette loi est centrale dans la théorie de l’évaluation des actifs (fi nanciers ou non) et occupe donc une place majeure dans cet ouvrage.

3.1. Exprimer les coûts et les bénéfi ces dans la même unité

La première étape lors de l’évaluation d’un projet consiste à en identifi er les coûts et les béné-fi ces . Prenons l’exemple d’une entreprise d’import-export qui a la possibilité d’acheter des crevettes surgelées pour 1 000 € et qui peut les revendre immédiatement à l’un de ses clients pour 1 500 €. Les coûts et les bénéfi ces sont dans ce cas certains, et la décision est immédiate : l’entreprise doit saisir cette opportunité. Mais, en pratique, les choses sont rarement aussi simples et les opportunités d’investissement sont complexes à analyser.

Identifi er et prévoir les coûts et les bénéfi ces fait appel à des connaissances multiples en marketing, en économie, en stratégie, etc. et n’est pas du ressort exclusif d’un fi nancier. En revanche, il incombe à ce dernier de comparer les coûts et bénéfi ces pour savoir s’il convient de lancer un projet ou non. Dans cette section, nous étudions la situation dans laquelle les coûts et bénéfi ces sont connus à l’avance mais exprimés dans des unités différentes.

Prix de marché et valeur d’un projet

Considérons un deuxième exemple. On propose à un bijoutier l’échange suivant : recevoir 20 onces d’or contre 10 onces de platine. Sa décision va bien entendu dépendre de la valeur relative des deux métaux. Supposons que l’once d’or s’échange sur le marché au prix de 250 €, tandis que l’once de platine se négocie à 550 €1. Compte tenu des prix de marché, le bijou-tier doit décliner l’échange : accepter « rapporterait » au bijoutier 20 onces d’or × 250 € / l’once = 5 000 €, mais lui « coûterait » 10 onces de platine × 550 € / l’once = 5 500 €. La valeur nette de cet échange est donc de 5 000 – 5 500 = – 500 €.

1. On ignore pour le moment l’existence de commissions ou d’autres coûts de transaction lors des achats et des ventes. Cf. la section 3.7 à ce sujet.


73Chapitre 3 – Arbitrage et décisions fi nancières

Exemple 3.2

Exemple 3.1

La réponse du bijoutier doit dépendre exclusivement de la valeur de marché de l’or et du platine, et non des valeurs subjectives qu’il accorde aux deux métaux. Même si le bijoutier préfère travailler l’or ou bien qu’il pense que le prix du platine est trop élevé, il n’a pas intérêt à accepter l’échange (voir exemple 3.1). Si le bijoutier est en mesure d’acheter et de vendre or et platine à leur prix de marché, ses préférences personnelles et son opinion sur le « juste prix » des métaux n’interviennent pas dans sa décision.

Prix de marché et valeur d’un projet

ProblèmeLe marché est supposé concurrentiel. Le bijoutier peut produire 10 000 € de bijoux avec 20 onces d’or ou 6 000 € de bijoux avec 10 onces de platine. A-t-il intérêt à échanger les 10 onces de pla-tine qu’il détient contre 20 onces d’or ?

SolutionLa valeur des bijoux produits avec 20 onces d’or est plus élevée que celle produite avec 10 onces de platine. On pourrait alors imaginer que le bijoutier a intérêt à échanger le platine qu’il détient contre l’or. Pourtant, il n’en est rien : le bijoutier peut toujours vendre ses 10 onces de platine sur le marché contre 5 500 €. Avec cette somme, il peut acheter 5 500 / 250 = 22 onces d’or, soit deux onces d’or de plus que s’il acceptait l’échange proposé.

De manière générale, si les biens sont échangés sur un marché concurrentiel – c’est-à-dire s’ils peuvent être achetés et vendus au même prix –, il est alors possible de calculer la valeur nette d’un projet sans se soucier des goûts ou des opinions du décisionnaire. Cette idée sim-ple, mais très puissante, est un des fondements de la théorie fi nancière.

Une analyse coût-bénéfi ce à partir des prix de marché

ProblèmeOn propose à un investisseur français l’opportunité suivante : en échange de 20 000 € comptant, il reçoit 200 actions Gaz de France et 11 000 $. Le prix de marché d’une action GDF est de 40 € et le taux de change euro/dollar est de 1,25 $ pour 1 €. L’investisseur doit-il accepter ce placement ? Que doit-il faire s’il anticipe une dépréciation du dollar au cours des prochains mois ?

SolutionPour savoir si le placement est intéressant, il faut convertir les coûts et les bénéfi ces dans une même unité. Puisque l’investisseur est français, le plus simple est de convertir tous les fl ux en euros. Le coût du placement est de 20 000 €. Le bénéfi ce est de 200 actions × 40 € + 11 000 $ × 1,25 = 21 750 €. La valeur nette de ce placement est donc de 1 750 €. L’investisseur a tout intérêt à saisir l’opportunité qui lui est offerte. La décision dépend exclusivement du taux de change comptant et du prix de l’action GDF aujourd’hui. Quelle que soit l’anticipation de l’investisseur quant au taux de change futur euro/dollar, cela ne modifi e en rien la valeur nette du projet et ne doit donc pas infl uencer sa décision.



Exem

ple

3.3

Que faire en l’absence de prix de marché ?

Les prix de marché permettent de calculer la valeur nette d’un projet ou d’une décision fi nancière sans se préoccuper des préférences ou des anticipations personnelles des agents qui doivent prendre la décision. Comment apprécier la valeur d’un projet lorsque les prix de marché ne sont pas disponibles ou que le marché n’est pas concurrentiel – autrement dit, quand le prix auquel on peut acheter un bien est nettement supérieur au prix auquel on peut vendre ce même bien ?

Valeur d’un projet en l’absence de prix de marché

ProblèmeUn concessionnaire Renault engage un nouveau salarié et lui offre, en guise de prime d’embau-che, la possibilité d’acheter une Laguna neuve au prix de 33 000 € ; pour un client normal, le prix serait de 40 000 €. Sur le marché de l’occasion, une Laguna peut être revendue à 35 000 €. Quelle valeur le salarié attache-t-il à cette proposition ?

SolutionSi le salarié prévoit, de toute façon, d’acheter une Laguna neuve, la valeur de la proposition du revendeur est de 40 000 € – 33 000 € = 7 000 €. Si le salarié ne désire pas de voiture neuve, il a tout de même intérêt à accepter l’offre et à revendre la voiture sur le marché de l’occasion, ce qui lui rapporte 35 000 – 33 000 = 2 000 €. Dans ce cas, l’offre est toutefois moins intéressante.

Dans cet exemple, le marché n’est pas concurrentiel (au sens où il n’est pas possible d’acheter et de vendre au même prix). La valeur de l’offre faite par le concessionnaire dépend donc des préférences de l’intéressé.

3.2. Taux d’intérêt et valeur temps de l’argentDans les exemples précédents, les coûts et les bénéfi ces sont immédiats. En pratique, les coûts et bénéfi ces apparaissent à des moments différents. Il faut, le plus souvent, avancer des frais pour espérer, plus tard, réaliser un bénéfi ce. Comment évaluer la valeur des projets dans ce cas ?

La valeur temps de l’argent

Un projet industriel nécessite un investissement de 100 000 € aujourd’hui pour un bénéfi ce de 102 000 € dans un an. Les fl ux sont certains. Il n’est pas possible de comparer tels quels ces deux montants. La valeur nette du projet n’est pas de 102 000 € – 100 000 € = 2 000 €. En effet, ce raisonnement oublie le fait que les fl ux ne se produisent pas au même moment. Et un euro aujourd’hui n’est pas équivalent à un euro demain.

Il est toujours préférable, en effet, de recevoir un euro aujourd’hui plutôt que dans un an et par conséquent un euro aujourd’hui « vaut » davantage qu’un euro dans un an : c’est ce



qu’on appelle le principe de préférence pour le présent 2. Pour s’en convaincre, il suffi t de se rappeler qu’il est toujours possible de déposer de l’argent dont on n’a pas besoin immédia-tement sur un compte épargne qui porte intérêt : un placement de 100 € sur un livret A au taux de 3 % permet ainsi d’obtenir 103 € dans un an.

La valeur temps de l’argent se défi nit comme la différence entre la valeur de un euro dans le futur et sa valeur aujourd’hui. Et il faut toujours tenir compte de la valeur temps de l’argent pour comparer des fl ux se produisant à des dates différentes.

Le taux d’intérêt : un taux de change intertemporel

Le taux d’intérêt sans risque , noté rf, est le taux d’intérêt auquel on peut prêter ou emprunter

contre la promesse certaine d’un remboursement futur. Par convention, le taux sans risque est exprimé en base annuelle. Ce taux permet de convertir une somme d’argent « actuelle » en une somme d’argent « future » : un euro aujourd’hui vaudra (1 + r

f) euros dans un an ; de

manière symétrique, un euro dans un an vaut 1 / (1 + rf) euros aujourd’hui.

Le taux d’intérêt est, en fait, comparable à un taux de change intertemporel. Le taux de change euro/dollar, par exemple, permet de convertir des euros en dollars et inversement : si le taux de change est égal à un euro pour 1,25 $, cela signifi e qu’aujourd’hui un euro peut être échangé contre 1,25 $ ; de manière symétrique, un dollar vaut 1 / 1,25 = 0,8 €. Avec un taux d’intérêt de 7 %, cela signifi e par analogie qu’il est possible d’échanger un euro aujourd’hui contre 1,07 € dans un an ou, symétriquement, un euro dans un an contre 1 / (1 + 0,07) = 0,93 € aujourd’hui. La connaissance du taux d’intérêt, qui est un prix de marché, permet donc d’évaluer les coûts et bénéfi ces d’un projet lorsqu’ils ne se produisent pas au même moment, de la même manière qu’un taux de change permet de comparer les coûts et bénéfi ces d’un projet exprimés dans des monnaies différentes.

Pour apprécier le projet proposé plus haut, il faut donc prendre en compte la valeur temps de l’argent. Le projet requiert un investissement immédiat de 100 000 €. Supposons que l’on doive emprunter ces 100 000 €. Au taux sans risque de 3 %, il en coûte, dans un an, 103 000 € (100 000 € au titre du remboursement du capital et 3 000 € au titre du paiement des inté-rêts), alors que le projet ne rapporte que 102 000 €, soit une perte nette de 1 000 € dans un an. Le projet n’est donc pas économiquement intéressant.

Le projet serait-il intéressant si nous n’avions pas à emprunter les 100 000 € ? S’il est possible de prêter au même taux que le taux auquel on emprunte3 – autrement dit, si le marché est concurrentiel –, la réponse est non : de nouveau, l’évaluation du projet ne dépend pas de la situation de l’agent, ni de ses préférences. Placer 100 000 € au taux sans risque de 3 % per-met d’obtenir 100 000 × (1 + 3 %) = 103 000 € dans un an. Investir 100 000 € dans le projet revient donc à renoncer à 103 000 € dans un an, alors que le projet ne rapporte à cette date que 102 000 € : la perte nette s’élève, là encore, à 1 000 € dans un an.

2. Ce principe est bien sûr valable que l’on raisonne en euros, en dollars ou dans n’importe quelle autre monnaie.

3. La situation dans laquelle ces deux taux sont différents est l’objet de la section 3.7.



Valeur actuelle et valeur future

Dans le calcul précédent, la date retenue pour comparer les coûts et les bénéfi ces est la date de fi n de projet (dans un an). Il est bien entendu possible d’effectuer cette comparaison à la date d’aujourd’hui. Que vaut aujourd’hui la promesse certaine de recevoir 102 000 € dans un an ? Pour le dire autrement, combien faut-il placer aujourd’hui au taux sans risque pour obtenir 102 000 € dans un an ? Avec un taux d’intérêt égal à 3 %, il faut placer 102 000 € / (1 + 3 %) = 99 029,13 €. Or, le projet requiert un investissement aujourd’hui de 100 000 € pour obtenir dans un an 102 000 €, soit 970,87 € de plus qu’en prêtant au taux sans risque.

La décision est par conséquent la même, que les coûts et les bénéfi ces soient exprimés en euros aujourd’hui ou en euros dans un an : il faut refuser ce projet. La perte nette peut être exprimée en euros aujourd’hui ou en euros dans un an, mais elle est équivalente dans les deux cas. En effet, 970,87 € × (1 + 3 %) = 1 000 €. Les calculs précédents sont récapitulés dans le tableau 3.1.

Calculer la valeur future d’un projet (qualifi ée parfois de valeur acquise ou de valeur à terme) revient à exprimer les coûts et les bénéfi ces en euros à la date fi nale du projet – ici dans un an. Pour rendre les fl ux d’aujourd’hui comparables aux fl ux dans un an, il faut multiplier les premiers par (1 + r

f).

Tableau 3.1 - Valeur actuelle et valeur future du projet

Valeur actuelle (€) Valeur future (€)

Coût : 100 000 € aujourd’hui 100 000 € 100 000 × (1 + 3 %) = 103 000 €

Bénéfi ces : 102 000 € dans un an 102 000 / (1 + 3 %) = 99 029,13 € 102 000 €

Gain net (perte nette si négatif ) – 970,87 € – 1 000 €

Avec un taux d’intérêt de 3 %, un projet qui nécessite un investissement de 100 000 € aujourd’hui et qui rapporte 102 000 € dans un an n’est pas intéressant. La perte nette est de 970,87 € en valeur actuelle, ce qui équivaut à une perte de 1 000 € dans un an.

Figure 3.1 - Taux de change et taux d’intérêt

Valeur d’un euro aujourd’hui

Valeur d’un dollar aujourd’hui

3 €/$

÷ €/$

Valeur d’un euro aujourd’hui

Valeur d’un euro dans un an

3 (1 + rf)

÷ (1 + rf)

Pour évaluer un projet, il est nécessaire que ses coûts et ses bénéfi ces soient exprimés dans la même unité. Cela signifi e qu’ils doivent être exprimés dans la même monnaie et à la même date. Pour passer d’une monnaie à l’autre, il faut utiliser le taux de change. Pour passer d’une date à une autre, il faut utiliser le taux d’intérêt.



Exemple 3.4

À l’inverse, calculer la valeur actuelle (ou valeur présente) d’un projet revient à « convertir » les coûts et les bénéfi ces en euros aujourd’hui. Pour rendre un fl ux dans un an comparable à un fl ux aujourd’hui, il faut le multiplier par 1 / (1 + r

f). Il est souvent plus pratique d’utiliser

la valeur actuelle plutôt que la valeur future pour évaluer les projets d’investissement.

Le terme 1 / (1 + rf) est le facteur d’actualisation à un an pour un investissement sans risque.

Dans la mesure où le taux sans risque est positif, le facteur d’actualisation est supérieur à l’unité et le montant des bénéfi ces actualisés est inférieur au montant des bénéfi ces effectifs.

Le coût de report d’un projet

ProblèmeLes colonnes de Buren, installées en 1986 dans la cour du Palais-Royal à Paris, se dégradent lentement. Depuis plusieurs années, leur rénovation est prévue, mais reportée régulièrement par manque d’argent. Aux dernières nouvelles, la rénovation devrait avoir lieu en 2008 ou 2009. Si le chantier est lancé en 2008, il coûtera 3,2 millions d’euros. Un report d’un an des travaux provoquera un alourdissement de la facture de 5 %. Quel est le coût du report des travaux jus-qu’en 2009 si l’on retient un taux d’intérêt de 3 % ?

SolutionSi les travaux ne commencent qu’en 2009, ils coûteront 3,2 millions × (1 + 0,05) = 3,36 millions d’euros. Pour comparer ce montant au coût des travaux en 2008, il faut convertir les fl ux futurs en fl ux actuels. Le taux d’intérêt est de 3 %, donc : 3,36 millions d’euros en 2009 / (1 + 0,03) = 3,26 millions d’euros en 2008. Le coût du report des travaux d’un an est donc de 3,26 millions – 3,20 millions = 60 000 €.

3.3. La valeur actuelle netteLa valeur actuelle nette (VAN) (Net Present Value, NPV) d’un projet se calcule comme la différence entre la valeur actuelle de ses bénéfi ces et la valeur actuelle de ses coûts :

VAN = VA(Bénéfi ces) – VA(Coûts) (3.1)

Acceptation ou rejet d’un projet

La VAN d’un projet s’interprète comme la valeur aujourd’hui de la richesse créée par le projet. À ce titre, la VAN peut servir de critère de décision : un projet ne doit être retenu que si sa VAN est positive. Dans ce cas, en effet, le projet enrichit celui qui l’entreprend. Au contraire, des projets à VAN négative détruisent de la valeur, ils appauvrissent ceux qui les entre prennent.

Considérons le projet suivant : investir 500 € aujourd’hui rapporte avec certitude 550 € dans un an. Le taux d’intérêt sans risque est de 5 %. Quelle est la VAN de ce projet ? Ce projet doit-il être mis en œuvre ? La VAN du projet est égale à – 500 + 550 / (1 + 5 %) = 23,81 €. La VAN étant positive, le projet est économiquement intéressant.



Le fait de devoir emprunter les 500 € nécessaires au projet ne change en rien la décision précédente. Pour s’en convaincre, supposons que l’on emprunte aujourd’hui 523,81 € au taux annuel de 5 %, ce qui laisse 23,81 € disponibles, puisque le projet ne coûte que 500 €. Dans un an, l’emprunteur devra rembourser 523,81 € et payer des intérêts de 523,81 × 5 % = 26,19 €, pour un total de 550 € – soit par construction, le montant exact des bénéfi ces du projet.

Ainsi, accepter un projet à VAN positive revient au même que recevoir immédiatement la VAN du projet en espèces, sans aucune obligation future en contrepartie : ici, en lançant le projet, l’investisseur s’enrichit de 23,81 € immédiatement sans engagement (puisque les bénéfi ces futurs du projet compensent exactement les coûts futurs).

Comparaison de projets

Lorsqu’on doit choisir entre plusieurs projets, il faut retenir celui dont la VAN est la plus élevée.

Un entrepreneur a le choix entre trois projets sans risque, dont les fl ux sont décrits au tableau 3.3. Pour un taux d’intérêt sans risque de 20 %, quel projet faut-il retenir ? Qu’en est-il si l’on souhaite absolument recevoir aujourd’hui 42 € ? Qu’en est-il si l’on souhaite absolument investir aujourd’hui 100 € ?

La VAN de chaque projet, est la suivante :

projet A : 42 + 42 / (1 + 20 %) = 77 € ;

projet B : –20 + 144 / (1 + 20 %) = 100 € ;

projet C : –100 + 225 / (1 + 20 %) = 87,5 €.

Les trois projets ont une VAN positive et sont donc tous trois créateurs de richesse. Si cela était possible, il conviendrait de les accepter tous. S’il n’est possible d’en accepter qu’un seul, il faut retenir le projet B qui a la VAN la plus élevée : 118,46 €. Si le marché est concurrentiel, cette décision vaut quelles que soient les préférences des agents.

•••

Tableau 3.2 - VAN d’un projet fi nancé par endettement

Flux aujourd’hui (€) Flux dans un an (€)

Emprunt + 523,81 – 523,81 € × (1 + 5 %) = – 550

Projet – 500 + 550

Flux nets + 23,81 0

Tableau 3.3 - Trois projets alternatifs

Projets Flux aujourd’hui (€) Flux dans un an (€)

A 42 42

B – 20 144

C – 100 225



En effet, même si l’on souhaite absolument recevoir 42 € aujourd’hui, il faut tout de même choisir le projet B, que l’on complète par un emprunt de 62 €. Si au contraire on souhaite investir 100 € aujourd’hui, on peut combiner le projet B avec un prêt de 80 €. Les fl ux pré-sents et futurs fi gurent dans le tableau 3.4. Le choix du projet B, accompagné le cas échéant d’un prêt ou d’un emprunt, donne toujours à l’investisseur une richesse supérieure au choix d’un autre projet, car la VAN du projet B est supérieure à celle des VAN des deux autres pro-jets. Choisir B revient à recevoir 100 € aujourd’hui sans obligation future.

Le critère de maximisation de la VAN est indépendant des préférences des agents. En emprun-tant ou en plaçant au taux sans risque, on peut modifi er à sa guise la façon dont les fl ux se répartissent dans le temps.

Les trois projets A, B et C sont représentés à la fi gure 3.2, qui comprend en abscisse les fl ux présents et en ordonnée les fl ux futurs (dans un an). Calculer la VAN d’un projet revient à convertir les fl ux futurs en fl ux présents à l’aide du taux d’intérêt approprié, ici le taux d’inté-rêt sans risque égal à 20 %. Graphiquement, la VAN du projet A se situe donc à l’intersection de l’axe des abscisses (les fl ux futurs sont alors nuls) et de la droite passant par le point A. La pente de cette droite est de –1,2 : le taux d’intérêt sans risque est de 20 %, le taux de conver-sion est donc de un euro aujourd’hui contre 1,2 € dans un an. De même, la VAN des projets B et C se situe à l’intersection de l’axe des abscisses et de la droite de pente –1,2 passant par les points B et C, respectivement.

Chacune de ces droites représente l’ensemble des combinaisons possibles en associant cha-que projet à un emprunt ou un prêt au taux d’intérêt sans risque de 20 %. Le projet B, dont la VAN est la plus élevée, est situé sur la droite la plus éloignée de l’origine du graphique : il offre donc le meilleur choix, quelles que soient par ailleurs les préférences de l’investisseur.

3.4. Arbitrage et Loi du prix uniqueJusqu’à présent, il a été supposé que les marchés étaient concurrentiels, au sens où un même bien s’échangeait partout au même prix. Cette hypothèse est-elle réaliste ? Que faire si un même bien s’échange au même moment à des prix différents sur plusieurs marchés ? Pre-nons l’exemple de l’or qui se négocie sur plusieurs marchés, les plus importants étant ceux

Tableau 3.4 - Projet B combiné à un prêt ou un emprunt


Projet B – 20 + 144

Emprunt de 60 € + 62 – 62,00 € × (1 + 20 %) = – 74,4

Projet B + Emprunt de 60 € + 42 + 69,6

Projet B – 20 + 144

Prêt de 100 € – 80 + 80,00 € × (1 + 20 %) = 96

Projet B + prêt de 100 € – 100 + 240



de New York et Londres. Est-il possible que les prix sur ces deux marchés diffèrent durable-ment ? La réponse est non, et ce pour une raison très simple : sur ces marchés, il est possible d’acheter et de vendre de l’or.

Supposons que l’once d’or se négocie 250 $ à New York et 300 $ à Londres. Dans cette situa-tion, il est possible de réaliser un gain en achetant de l’or à New York et en le revendant immédiatement à Londres4. Pour une once d’or achetée et revendue, le gain est de 50 $ ; pour un million d’onces d’or, le gain s’élève à 50 millions de dollars ! Ce gain est certain, immédiat

4. Pour cela, il n’y a pas besoin de transporter physiquement l’or de New York à Londres : les investisseurs échangent seulement des droits de propriété sur des quantités d’or qui ne bougent pas.

Figure 3.2 - Comparaison des projets A, B, C

B + empruntde 62 €

C

B

A

VAN du projet :

Pente = –1,20

B + prêt de 80 €

42

144

225

0 42 77 87,5 100

A C B

- 20 - 100

Flux actuels (€)

Flu

x da

ns u

n an

(€

)

240

69,6

Chaque droite représente l’ensemble des combinaisons possibles en associant chaque projet à un emprunt ou un prêt au taux d’intérêt sans risque de 20 %. La VAN d’un projet correspond à la situation où tous les fl ux sont exprimés en euros actuels. Un emprunt augmente les fl ux présents et réduit les fl ux futurs (et inversement pour un prêt). Les combinaisons possibles de fl ux présents et futurs grâce au projet ayant la plus forte VAN sont plus attractives que celles off ertes par les autres projets.



et il ne nécessite aucune mise de départ : autant dire que n’importe quel investisseur qui repère une telle différence de prix va chercher à acheter et vendre la plus grande quantité d’or possible pour faire un profi t maximal. Ainsi, en quelques secondes, le marché de l’or à New York va crouler sous les ordres d’achat, tandis que le marché de l’or à Londres sera inondé d’ordres de vente. Les investisseurs qui, les premiers, auront acheté de l’or à New York pour le revendre à Londres réaliseront effectivement un gain. Mais très rapidement, le cours de l’or à New York va augmenter sous l’effet des ordres d’achat, tandis que le cours à Londres va baisser sous l’effet des ordres de vente. Les prix sur ces deux marchés vont évoluer jusqu’à ce qu’ils soient égaux, quelque part entre 250 $ et 300 $ l’once.

L’opération réalisée avec l’or est une opération d’arbitrage . L’arbitrage le plus simple consiste à acheter et à vendre simultanément un même bien sur deux marchés, afi n de profi ter d’une différence de prix. Plus généralement, une opportunité d’arbitrage 5 existe dans toute situa-tion où il est possible de réaliser un profi t sans risque et sans mise de fonds initiale. Par défi ni-tion, une opportunité d’arbitrage est un projet à VAN positive.

Les investisseurs sont toujours à l’affût d’opportunités d’arbitrage. Et dès qu’une telle oppor-tunité apparaît, ils sont nombreux à vouloir la saisir. Ce faisant, ils contribuent à rééquilibrer les prix et à faire disparaître les opportunités d’arbitrage. Autrement dit, sitôt décelées, les opportunités d’arbitrage disparaissent. Sur un marché normal , on peut donc dire qu’il n’y a pas d’opportunités d’arbitrage6.

Ainsi, sur un marché normal, le prix de l’or sera à tout moment identique à Londres et New York. La même logique s’applique à tout actif échangé en même temps sur plusieurs marchés concurrentiels. Si les prix diffèrent entre les marchés, les investisseurs vont immédiatement exploiter cette opportunité en achetant l’actif sur le marché où le prix est le plus faible pour le revendre sur le marché où le prix est le plus élevé. En agissant ainsi, ils exercent une pression sur les prix ; ces derniers convergent alors rapidement. Par conséquent, les prix d’un actif iden-tique sur différents marchés ne peuvent différer durablement les uns des autres. Cette propriété importante des marchés concurrentiels est connue sous le nom de Loi du prix unique :

Lorsqu’un actif s’échange simultanément sur plusieurs marchés concurrentiels, alors son prix est le même sur tous les marchés.

Une plaisanterie d’économiste

Un professeur de fi nance et un étudiant marchent dans la rue. L’étudiant aperçoit sur le trottoir un billet de 100 € et s’apprête à le ramasser. Le professeur le stoppe dans son élan et lui dit : « Ne te donne pas cette peine, s’il y avait vraiment un billet de 100 € par terre, quelqu’un l’aurait déjà pris ! »

Cette petite histoire, que s’amusent souvent à raconter les professeurs de fi nance, illustre le concept d’absence d’opportunité d’arbitrage. Trouver un billet de 100 € dans la rue est très peu probable, et ce pour deux raisons : i) la plupart des gens font attention à ne pas

5. On qualifi e parfois les opportunités d’arbitrage de free lunch ou repas gratuit.

6. Le terme de marché effi cient est souvent utilisé pour décrire un marché sur lequel, en plus d’autres propriétés, il n’y a pas d’opportunités d’arbitrage. Nous préférons ici ne pas utiliser ce terme qui porte souvent à confusion.



perdre leurs billets de 100 € ; ii) dans le cas – rare – où un billet de 100 € est perdu, il est ramassé très rapidement, ce qui diminue d’autant la probabilité d’en trouver un.

Pour se convaincre défi nitivement que les opportunités d’arbitrage sont rares, il suffi t de se demander depuis quand n’avons-nous pas trouvé de billet de 100 € par terre !

3.5. Absence d’opportunités d’arbitrage et prix des actifsUn actif fi nancier désigne un titre, échangeable sur un marché fi nancier, qui donne droit à des fl ux monétaires futurs. Acheter un actif fi nancier revient à réaliser un placement. Émet-tre un actif fi nancier consiste à solliciter un fi nancement, en contrepartie de la promesse de verser ultérieurement de l’argent au propriétaire de l’actif en question. On distingue deux grandes classes d’actifs fi nanciers : les obligations et les actions . Les obligations sont des titres de dettes. Les actions sont des titres de propriété.

L’évaluation des actifs fi nanciers

Considérons un actif fi nancier qui offre à son propriétaire un paiement certain de 1 000 € dans un an. Cet actif peut être une obligation, émise par une entreprise pour trouver des fi nancements immédiats en échange de paiements futurs. Si le taux d’intérêt sans risque est de 5 %, quel est le prix de cet actif sur un marché normal ?

Pour répondre à cette question, considérons un placement alternatif qui offre lui aussi un fl ux de 1 000 € dans un an. Quel montant, par exemple, doit-on placer aujourd’hui dans une banque au taux d’intérêt sans risque de façon à recevoir 1 000 € dans un an ? La réponse s’obtient en calculant la valeur actuelle de 1 000 € dans un an (voir sec-tion 3.3) :

VA(1 000 € dans un an) = 1 000 / (1 + 5 %) = 952,38 €

Il existe donc deux façons d’obtenir 1 000 € dans un an : (1) acheter l’obligation ou (2) pla-cer 952,38 € au taux d’intérêt sans risque de 5 %. Ces transactions génèrent les mêmes fl ux futurs ; d’après la Loi du prix unique, sur un marché normal, leur coût doit donc être iden-tique. Autrement dit, le prix de l’obligation doit être égal à 952,38 €.

Supposons que l’obligation s’échange sur le marché au prix de 940 €. Peut-on profi ter de la situation pour réaliser un profi t sans risque ? Il semble que cela soit le cas. La stratégie consiste à acheter l’obligation au prix de 940 € et en même temps emprunter 952,38 €. Avec un taux d’intérêt de 5 %, il faudra verser à la banque 952,38 € × 1,05 = 1 000 € dans un an (952,38 € au titre du remboursement de l’emprunt et 47,62 € au titre des intérêts), alors que l’obligation produira un fl ux de 1 000 € à ce moment-là. Une telle stratégie permet donc de gagner aujourd’hui 12,38 € (= 952,38 € – 940 €) pour chaque obligation achetée, sans pren-dre de risque et sans mise de fonds initiale. Les fl ux de la stratégie d’arbitrage sont résumés dans le tableau 3.5. Dès qu’un investisseur remarque une telle opportunité d’arbitrage, il achète le plus d’obligations possible, ce qui fait augmenter son prix jusqu’à ce qu’il atteigne 952,38 € ; une fois ce prix atteint, il n’y aura plus d’opportunité d’arbitrage.



Une opportunité d’arbitrage symétrique apparaît si le prix de l’obligation est supérieur à 952,38 €, par exemple 960 €. Dans ce cas, il faut vendre l’obligation et prêter 952,38 € au taux sans risque (le prêt est simple à réaliser : il suffi t de placer l’argent sur un compte bancaire rémunéré, ce qui revient à prêter l’argent à la banque ; voir tableau 3.6). On peut ainsi gagner 7,62 € aujourd’hui. Encore une fois, dès que les investisseurs décèlent une telle opportunité d’arbitrage, ils vendent en masse des obligations, ce qui fait baisser leur prix jusqu’à ce qu’il atteigne 952,38 €, faisant ainsi disparaître toute possibilité d’arbitrage.

La stratégie précédente implique de vendre l’obligation et de placer une partie des fonds obtenus. Cela signifi e-t-il que seuls ceux qui détiennent initialement l’obligation peuvent exploiter l’opportunité d’arbitrage ? Non, car sur les marchés fi nanciers, il est possible de vendre un actif que l’on ne possède pas : il s’agit d’une vente à découvert (short sale). L’investisseur qui désire vendre à découvert un actif l’emprunte à quelqu’un qui le possède. Au terme de l’opération, l’investisseur doit rendre l’actif à son propriétaire initial (ce qui implique que l’investisseur rachète l’actif sur le marché) ou verser au propriétaire initial de l’actif les fl ux que ce dernier aurait dû recevoir. Dans l’exemple précédent, il est ainsi possible de vendre à découvert l’obligation en promettant de verser à son propriétaire 1 000 € dans un an. Les ventes à découvert permettent d’exploiter les opportunités d’ar-bitrage qui existent lorsque des actifs sont surévalués et que l’on ne possède pas les actifs en question.

Les « bandits » du SOES-Nasdaq

Sur le Nasdaq (contrairement au NYSE), les teneurs de marché sont en concurrence (voir chapitre 1). Depuis le milieu des années 1980, le Nasdaq dispose d’un système informatique, le Small Order Execution System (SOES) qui permet aux investisseurs individuels d’acheter ou de vendre jusqu’à 1 000 titres instantanément.

Tableau 3.5 - Achat de l’obligation par endettement


Achat de l’obligation – 940,00 + 1 000,00

Emprunt bancaire + 952,38 – 1 000,00

Flux net de trésorerie + 12,38 0,00

Tableau 3.6 - Vente de l’obligation


Vente de l’obligation + 960,00 – 1 000,00

Placement bancaire – 952,38 + 1 000,00

Flux net de trésorerie + 7,62 0,00



Exem

ple

3.5

Le SOES, conçu initialement pour faciliter les transactions de petite taille, s’est révélé un précieux outil pour réaliser des arbitrages. Si un teneur de marché propose de vendre une action Apple au prix de 20,25 $ et qu’au même moment un second teneur de marché propose d’acheter cette même action au prix de 20,30 $, il est alors possible de réaliser un profi t sans risque de 50 $ en achetant 1 000 titres à 20,25 $ au premier teneur de marché et en les revendant instantanément à 20,30 $ au second.

Par le passé, certains investisseurs, qualifi és de « bandits du SOES », pratiquaient ce type d’arbitrage plusieurs dizaines de fois par jour, ce qui leur permettait de réaliser des profi ts non négligeables. En réaction, les teneurs de marché sont devenus plus attentifs et plus réactifs pour ajuster les prix qu’ils proposent, afi n d’éviter d’être la cible des bandits. Aujourd’hui, de telles opportunités d’arbitrage sont rares*.

* Voir J. Harris et P. Schultz, « The Trading Profi ts of SOES Bandits », Journal of Financial Economics, 50 (2) (Oct. 1998): 39-62.

Le prix en l’absence d’opportunité d’arbitrage

Dans l’exemple précédent, tout prix différent de 952,38 € fait apparaître une opportunité d’arbitrage. Sur un marché normal, le prix de cette obligation doit donc être de 952,38 €. Ce prix est appelé le prix en l’absence d’opportunité d’arbitrage . Il est déterminé en reprodui-sant à l’identique les fl ux monétaires d’un actif fi nancier (les 1 000 € dans un an dans le cas de l’obligation) et en calculant le coût immédiat de cette réplication. En l’absence d’oppor-tunité d’arbitrage, ce coût est égal à la valeur actuelle des fl ux futurs auxquels le détenteur de l’actif fi nancier aura droit :

Prix d’un actif = VA(Ensemble des fl ux monétaires offerts par l’actif) (3.2)

Calculer le prix en l’absence d’opportunité d’arbitrage

ProblèmeUn actif offre à son propriétaire 100 € aujourd’hui et 100 € dans un an. Le taux d’intérêt sans risque est de 10 %. Quel est le prix en l’absence d’opportunité d’arbitrage de l’actif (avant le paiement des 100 € aujourd’hui) ? Si l’actif s’échange à 195 €, quelle stratégie doit-on mettre en œuvre ?

SolutionIl faut d’abord calculer la valeur actuelle des fl ux générés par l’actif pour déterminer le prix en l’absence d’opportunité d’arbitrage. Ce dernier est égal à 100 € + 100 € × 1 / (1 + 10 %) = 190,91 €.

L’actif s’échange à 195 € : il est donc surévalué. La stratégie d’arbitrage consiste à vendre à découvert l’actif sur le marché pour 195 € et à prêter 90,91 € au taux de 10 %. On obtient ainsi un fl ux de 104,09 € aujourd’hui (soit 4,09 € de plus que si l’on détenait l’actif) et de 100 € dans un an.



Exemple 3.5

Tableau 3.7 - Prix et absence d’opportunité d’arbitrage


Vente de l’actif + 195,00 0

Flux à verser à l’acheteur de l’obligation – 100 – 100

Prêt de 90,91 € – 90,91 + 90,91 € × (1 + 10 %) = + 100

Flux nets + 4,09 0

Taux d’intérêt et prix des obligations

L’équation (3.3) lie le prix en l’absence d’opportunité d’arbitrage d’une obligation sans ris-que et le taux d’intérêt sans risque. Il est possible d’utiliser l’équation (3.3) pour déterminer le taux d’intérêt sans risque, si le prix d’une obligation sans risque est connu. Une obligation sans risque qui verse 1 000 € dans un an s’échange aujourd’hui contre 929,8 €. Le marché étant concurrentiel, le taux d’intérêt sans risque r

f doit satisfaire l’équation suivante :

929,8 = 1 000 / (1 + rf)

et on en déduit que :

rf = (1 000 / 929,8) – 1 = 7,55 %.

En pratique, c’est de cette manière que les taux d’intérêt sont calculés, à partir du prix des obligations cotées sur les marchés. Par ailleurs, le taux d’intérêt correspond à la rentabilité de l’obligation. De manière générale, la rentabilité se calcule en rapportant le gain de fi n de période au coût initial, soit dans l’exemple précédent :

RentabilitéGain en fin de période

Coût init=

iial1000 – 929,8

929,8= = 7,555 %

(3.3)

Ainsi, en l’absence d’opportunité d’arbitrage, la rentabilité d’un actif sans risque est tout simplement le taux d’intérêt sans risque :

Si l’obligation offrait une rentabilité supérieure, les investisseurs réaliseraient un profi t certain en s’endettant au taux d’intérêt sans risque pour acheter l’obligation sans risque.

Si l’obligation offrait une rentabilité inférieure, les investisseurs réaliseraient un profi t cer-tain en vendant l’obligation et en prêtant l’argent obtenu au taux d’intérêt sans risque.

De manière générale, en l’absence d’opportunité d’arbitrage, tous les investissements sans risque doivent offrir à leurs investisseurs la même rentabilité, égale au taux d’intérêt sans risque.

Le théorème de séparationL’achat d’un actif fi nancier peut facilement être assimilé à un projet d’investissement. Le coût de ce projet est le prix à payer pour acheter l’actif en question, et les bénéfi ces sont les fl ux

•

•



Exem

ple

3.6

futurs dont profi tera le propriétaire du titre. Sur un marché normal, le prix d’un actif est égal à la valeur actuelle des fl ux qu’il engendre (voir équation 3.3). La VAN du projet consistant à acheter un actif est donc nulle :

VAN(Achat d’un actif) = VA(Flux futurs de l’actif) – Prix de l’actif = 0

Symétriquement, lorsqu’on vend un actif, le prix peut s’interpréter comme une recette, tan-dis que les fl ux auxquels on renonce du fait de la vente de l’actif sont des coûts. De nouveau, la VAN est nulle :

VAN(Vente d’un actif) = Prix de l’actif – VA(Flux futurs de l’actif) = 0

Ainsi, sur un marché normal, la VAN de l’achat ou de la vente d’un actif est nulle. Ce résultat n’est pas surprenant : si la VAN était positive, il existerait une opportunité d’arbitrage, et de telles opportunités sont par défi nition absentes d’un marché normal.

Une autre manière de comprendre ce résultat est de se rappeler qu’un échange met toujours en relation un acheteur et un vendeur. Une VAN positive pour une partie de l’échange se traduit nécessairement par une VAN négative pour l’autre partie, qui n’a alors aucun intérêt à accepter l’échange ! Ce dernier étant volontaire, le prix doit être tel qu’aucune partie n’y perd ; par conséquent, la VAN de l’échange doit être nulle.

Sur un marché normal, l’échange ne crée ni ne détruit de valeur. Il y a création de valeur lors-qu’une entreprise décide de se lancer dans un projet à VAN positive. Les transactions fi nan-cières servent uniquement à ajuster le calendrier des fl ux monétaires du projet, de manière à ce qu’ils correspondent aux préférences de l’entreprise ou des investisseurs. L’évaluation d’un projet d’investissement doit donc se focaliser sur sa dimension réelle et peut négliger les aspects fi nanciers. Par conséquent, il est possible de séparer les décisions d’investisse-ment d’une entreprise de ses décisions fi nancières. C’est ce que l’on appelle le théorème de séparation :

Échanger un actif sur un marché normal ne crée ni ne détruit de la valeur. Il est donc possible d’évaluer la VAN d’une décision d’investissement indépendamment des décisions relatives à son fi nancement.

Décisions d’investissement et décisions de fi nancement

ProblèmeUne entreprise étudie un investissement de dix millions d’euros qui rapporte de façon cer-taine 12 millions d’euros dans un an. Pour fi nancer ce projet, l’entreprise envisage de faire appel à des investisseurs externes. L’entreprise promet aux investisseurs 5,5 millions d’euros dans un an. Le taux d’intérêt sans risque est de 10 %. L’entreprise doit-elle réaliser le projet ? Si oui, doit-elle le fi nancer avec ses moyens propres ou en émettant des titres ?

SolutionLe coût de ce projet est de dix millions d’euros aujourd’hui et le bénéfi ce de 12 millions d’euros dans un an. La VAN du projet est donc égale à – 10 + 12 / 1,1 = 0,91 million d’euros. Cette VAN est celle du projet lorsque ce dernier est autofi nancé.



Exemple 3.7

Exemple 3.6 (suite)

Supposons que l’entreprise décide d’émettre des titres. Sur un marché normal, leur prix sera égal à la valeur actuelle des fl ux futurs soit 5,5 / 1,1 = 5 millions d’euros. L’entreprise peut donc lever cinq millions d’euros en émettant des titres : elle n’a alors besoin que de cinq millions d’euros de trésorerie pour fi nancer le projet.

Dans un an, l’entreprise recevra 12 millions d’euros, mais devra 5,5 millions d’euros aux déten-teurs des titres, ce qui laissera au fi nal 6,5 millions d’euros à l’entreprise. La valeur actuelle de 6,5 millions d’euros dans un an est égale à 6,5 / 1,1 = 5,91 millions d’euros. La VAN du projet fi nancé par émission de titres est donc égale à 5,91 – 5 = 0,91 million d’euro.

Dans les deux cas, comme le prévoit le théorème de séparation, la VAN est la même. Si le mar-ché est normal, il est possible d’évaluer un projet sans se soucier de la façon dont l’entreprise le fi nance.

Évaluer un portefeuille d’actifs

Jusqu’à présent, le prix de non-arbitrage n’a été appliqué qu’à des actifs individuels. Com-ment s’y prendre lorsqu’on doit évaluer un portefeuille d’actifs ? La réponse est très simple : sur un marché normal, la valeur d’un portefeuille d’actifs est égale à la somme des valeurs des actifs qui le composent. C’est le principe d’additivité des valeurs7 . Soient deux titres A et B. Si C est un portefeuille composé d’un titre A et d’un titre B, le prix de C est :

Prix(C) = Prix(A + B) = Prix(A) + Prix(B) (3.4)

Le principe d’additivité des valeurs s’applique aussi aux entreprises. En vertu de ce principe, la valeur d’une entreprise est égale à la VAN des différents projets de l’entreprise en question. Par conséquent, l’utilisation de la VAN comme critère de décision coïncide avec l’objectif de maximisation de la valeur de l’entreprise.

Afi n de maximiser la valeur de l’entreprise, ses dirigeants doivent prendre des décisions maximisant la VAN. La VAN d’un projet représente la contribution du projet à la valeur totale de l’entreprise.

Évaluer l’actif d’un portefeuille

ProblèmeHol est un groupe coté qui possède deux fi liales : il détient 60 % des parts d’une chaîne de res-taurant et 100 % d’une fabrique de skis. Si la valeur de marché du groupe Hol est de 160 millions d’euros et celle de la chaîne de restaurant (qui est cotée) de 120 millions d’euros, quelle est la valeur de la fabrique de skis ?

7. Ce principe est en général vérifi é sur les marchés fi nanciers. Mais ce n’est pas toujours le cas sur d’autres marchés. Ainsi, par exemple, acheter un billet aller-retour auprès d’une compagnie aérienne est souvent moins coûteux que d’acheter sé-parément le billet aller et le billet retour. En effet, les billets d’avion ne sont pas vendus sur un marché concurrentiel : il est impossible d’acheter et de vendre des billets au prix affi ché. Seules les compagnies aériennes peuvent vendre des billets et elles imposent des conditions de revente très strictes. Autrement, il serait possible de gagner de l’argent en achetant un billet aller-retour et en revendant séparément l’aller et le retour à deux personnes n’effectuant chacune qu’un seul déplacement.



SolutionLa participation du groupe Hol au capital de la chaîne de restaurant s’élèvent à 60 % × 120 mil-lions d’euros = 72 millions d’euros. Compte tenu du principe d’additivité des valeurs, la fabrique de skis a donc une valeur de 160 millions d’euros – 72 millions d’euros = 88 millions d’euros.

3.6. Le prix du risqueTous les projets considérés jusqu’à présent étaient, par hypothèse, sans risque. Il convient de géné-raliser les principes précédents au cas de projets risqués. On considère deux actifs fi nanciers :

Une obligation sans risque qui donne droit à un fl ux de 1 100 € dans un an.

Un actif risqué qui suit la performance du marché boursier : le portefeuille de marché (que l’on peut approcher par l’indice CAC 40, par exemple). Celui-ci vaudra dans un an 1 400 € si la conjoncture économique est bonne et 800 € si la conjoncture économique est mauvaise (les deux situations sont supposées équiprobables).

Le taux d’intérêt sans risque est de 4 %. Le tableau 3.8 résume les fl ux liés à ces deux titres.

Tableau 3.8 - Obligation sans risque et portefeuille de marché

Actif fi nancier Prix de marché aujourd’hui (€)

Flux dans un an (€)

Conjoncture défavorable

Conjoncture favorable

Obligation sans risque 1 058 1 100 1 100

Portefeuille de marché 1 000 800 1 400

Sur un marché normal, le prix de l’obligation est égal à la valeur actuelle de ses fl ux, soit 1 100 / (1 + 4 %) = 1 058 €. Le portefeuille de marché s’échange aujourd’hui au prix de 1 000 € sur le marché. Un investisseur qui achète cet actif aujourd’hui pourra, dans un an, le revendre à 800 € ou à 1 400 € selon la conjoncture. Le portefeuille de marché vaudra donc en moyenne 0,5 × 800 € + 0,5 × 1 400 € = 1 100 € dans un an. Pourquoi son prix de marché est-il inférieur à celui de l’obligation, qui rapportera également 1 100 € dans un an ?

Aversion au risque et prime de risque

Le prix du portefeuille de marché est inférieur à celui de l’obligation, alors que les deux actifs ont le même fl ux futur moyen parce que les investisseurs, en règle générale, n’aiment pas le ris-que : ils manifestent de l’aversion au risque. Les investisseurs ne sont pas prêts à payer autant pour recevoir en moyenne 1 100 € que pour recevoir de façon certaine 1 100 €. Autrement dit, le coût pour un individu de perdre un euro quand la conjoncture est mauvaise est supérieur à la satisfaction que lui procure un euro supplémentaire quand la conjoncture est bonne.

Le degré d’aversion au risque caractérise les préférences des investisseurs et diffère d’un indi-vidu à l’autre. Plus les investisseurs, dans leur ensemble, manifestent de l’aversion au risque,

••



plus le prix des actifs risqués est faible comparé à celui d’une obligation sans risque qui rap-porte en moyenne autant.

Puisque les investisseurs sont sensibles au risque, il n’est pas possible d’utiliser le taux d’intérêt sans risque pour calculer la valeur actuelle d’un projet ou d’un actif risqué. Lorsque les agents investissent dans un projet ou un actif risqué, ils en attendent, en retour, une compensation à hauteur du risque qu’ils acceptent de courir. Les investisseurs qui achètent l’actif risqué à son prix de marché de 1 000 € recevront dans un an, en moyenne, 1 100 €, soit un gain espéré de 100 €. L’espérance de rentabilité de l’actif risqué est donc de 100 / 1 000 = 10 %. Il ne faut pas confondre cette espérance de rentabilité avec la rentabilité effective ex post de ce place-ment, qui elle ne sera jamais de 10 % : la rentabilité ex post sera de (1 400 – 1 000) / 1 000 = 40 % si la conjoncture est bonne ; de (800 – 1 000) /1 000 = – 20 % si la conjoncture est mauvaise. Il est également possible de calculer l’espérance de rentabilité comme la moyenne (pondérée) des rentabilités effectives : 0,5 × (40 %) + 0,5 × (– 20 %) = 10 %.

La différence entre la rentabilité espérée de l’actif risqué et le taux d’intérêt sans risque repré-sente la prime de risque . Cette prime de risque est la rentabilité supplémentaire que les investisseurs exigent pour compenser le risque de l’actif : elle est fonction des préférences des investisseurs en matière de risque. Sur un marché concurrentiel, la prime de risque est telle que la demande d’actifs risqués est égale à l’offre d’actifs risqués. Dans notre exemple, la prime de risque est de 10 % – 4 % = 6 %.

Lorsqu’un actif est risqué, le taux d’actualisation qu’il faut retenir pour calculer sa valeur actuelle est égal au taux d’intérêt sans risque auquel on ajoute une prime de risque.

Le prix de non-arbitrage d’un actif risqué

Considérons un actif A qui donne droit à 600 € quand la conjoncture est bonne et rien autre-ment. Son prix de marché peut être calculé à partir de la Loi du prix unique. En combinant l’ac-tif A avec une obligation sans risque qui verse 800 € dans un an, les fl ux futurs de ce portefeuille sont égaux à ceux du portefeuille de marché considéré précédemment. En l’absence d’oppor-tunité d’arbitrage, le prix de marché du portefeuille composé de l’obligation et de l’actif A doit donc être de 1 000 €.

Le prix de marché de l’obligation sans risque est de 800 / 1,04 = 769 €. D’après le principe d’ad-ditivité des valeurs, le prix de marché de l’actif A est donc de 1 000 € – 769 € = 231 €. Si ce n’était pas le cas, la Loi du prix unique serait violée, faisant apparaître une opportunité d’arbitrage.

Tableau 3.9 - Prix de marché de l’actif A





Obligation sans risque 769 800 800

Actif A ? 0 600




La prime de risque dépend du niveau de risque

L’actif A s’échange donc aujourd’hui au prix de 231 € contre un paiement, en moyenne, égal à 0,5 × 0 + 0,5 × 600 = 300 €. Ainsi, l’espérance de rentabilité de l’actif A est égale à (300 – 231) / 231 = 30 %. Cette espérance de rentabilité est supérieure à l’espérance de rentabilité du portefeuille de marché qui n’est que de 10 %. La prime de risque de l’actif A est donc de 30 % – 4 % = 26 %, alors que la prime de risque du portefeuille de marché est de 6 %.

Cette différence s’explique par le fait que l’actif A est plus risqué que le portefeuille de marché. Quand la conjoncture économique est mauvaise, les agents qui ont investi dans l’actif A perdent tout : la rentabilité ex post de leur placement est de –100 % (contre –20 % pour le portefeuille de marché). Quand la conjoncture économique est bonne, la rentabi-lité ex post de leur placement est de (600 – 231) / 231 = 160 % (contre 40 % pour le por-tefeuille de marché). La rentabilité de l’actif A est donc beaucoup plus variable que celle du portefeuille de marché ; il n’est alors pas surprenant que la prime de risque de l’actif A soit supérieure.

Le risque d’un actif est lié au risque de marché

L’exemple précédent suggère que la prime de risque d’un actif est d’autant plus élevée que sa rentabilité est variable. Mais il faut se garder de tirer trop rapidement une conclusion générale à partir de ce seul exemple. Considérons un actif B qui donne droit à 600 € quand la conjoncture est mauvaise et rien autrement. Quel est le prix en l’absence d’opportunité d’arbitrage de cet actif ? Quelles sont son espérance de rentabilité et sa prime de risque ?

En combinant le portefeuille de marché et l’actif B, on obtient les mêmes fl ux futurs qu’avec une obligation sans risque (1 400 € dans un an).

Tableau 3.10 - Prix de marché de l’actif B






Actif B ? 600 0

Obligation sans risque 1 346 1 400 1 400

Le prix de marché de l’obligation sans risque est de 1 400 € / 1,04 = 1 346 €. Le prix de l’ac-tif B est donc égal à 1 346 – 1 000 = 346 € si la Loi du prix unique est respectée.

Si la conjoncture économique est mauvaise, l’actif B offre une rentabilité de (600 – 346) / 346 = 73,4 %. Si la conjoncture est bonne, l’actif B ne donne droit à rien ; sa rentabilité est donc de – 100 %. L’espérance de rentabilité de l’actif B est ainsi de 0,5 × 73,4 + 0,5 × (– 100) = – 13,3 %. La prime de risque associée est égale à – 13,3 % – 4 % = – 17,3 % ; c’est-à-dire que l’actif B offre, en moyenne, 17,3 % de moins à ses investisseurs que le taux d’intérêt sans risque.



Ce résultat est, a priori, assez surprenant. Si l’on compare les actifs A et B, ils semblent proches – ils paient soit 600 € soit 0 €. Pourtant, le prix de marché de l’actif A est inférieur à celui de l’actif B (231 € contre 346 €) et l’espérance de rentabilité de l’actif A est de 30 %, contre – 13,3 % pour l’actif B. Pourquoi leur prix et leur espérance de rentabilité sont-ils si différents ? Pourquoi les investisseurs qui manifestent une aversion au risque achète-raient-ils un actif risqué offrant une espérance de rentabilité inférieure au taux d’intérêt sans risque ?

La réponse réside dans le profi l de gain de l’actif B. Un investisseur qui manifeste de l’aver-sion au risque valorise davantage un euro supplémentaire lorsque la conjoncture est mau-vaise que lorsqu’elle est bonne (par défi nition même de l’aversion au risque). Or, quand la conjoncture est mauvaise et que le marché boursier, dans son ensemble, affi che de piètres performances, l’actif B verse 600 €, au moment où l’investisseur en a le plus besoin. L’ac-tif B peut donc être vu comme une assurance au cas où la conjoncture économique serait mauvaise. Ainsi, aux yeux des investisseurs, l’actif B n’est pas réellement risqué. En détenant conjointement l’actif B et le portefeuille de marché, il est possible de réduire les risques liés aux fl uctuations du marché boursier. Et les investisseurs qui manifestent de l’aversion au risque sont prêts à payer pour cette assurance, sous la forme d’une prime de risque négative, c’est-à-dire d’une rentabilité plus faible que celle d’un actif sans risque.

Ce résultat illustre un principe extrêmement important : le risque d’un actif ne peut pas être évalué indépendamment du risque des autres actifs. Même si la rentabilité d’un actif est très variable, ce dernier peut très bien ne pas faire augmenter le risque total du portefeuille détenu par l’investisseur : il peut même le réduire, si cet actif permet de compenser tout ou partie du risque des autres actifs détenus par l’investisseur. Le tableau 3.11 compare le risque et les primes de risque des différents actifs considérés jusqu’à maintenant. On remarque que la prime de risque est proportionnelle au différentiel de rentabilité de l’actif selon la conjoncture : lorsque la rentabilité d’un actif évolue en sens inverse du marché, sa prime de risque est négative.

Tableau 3.11 - Risque et prime de risque

Actif fi nancierRentabilités

Diff érentiel de rentabilités Prime de risqueConjoncture

défavorableConjoncture

favorable

Obligation sans risque 4 % 4 % 0 % 0 %

Portefeuille de marché

– 20 % 40 % 60 % 6 %

Actif A – 100 % 160 % 260 % 26 %

Actif B 73 % – 100 % – 173 % – 17,3 %

Le risque d’un actif doit être évalué en tenant compte de la façon dont les autres actifs fl uc-tuent. La prime de risque d’un actif est d’autant plus élevée que sa rentabilité est positivement liée à celle du marché boursier. Si la rentabilité d’un actif est forte quand la conjoncture éco-nomique est mauvaise, l’actif peut être utilisé comme assurance ; sa prime de risque est alors négative.



Exem

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3.8

Risque, rentabilité et prix de marché

Pour calculer le prix des actifs risqués, il est donc possible d’utiliser un raisonnement par arbitrage : d’après la Loi du prix unique, le prix de marché d’un actif risqué est égal au coût de constitution d’un portefeuille qui réplique les fl ux futurs de l’actif en question.

Une autre façon de calculer le prix des actifs risqués consiste à appliquer directement l’équa-tion (3.3) : le prix d’un actif doit être égal à la valeur actuelle des fl ux futurs. Dans le cas d’un actif risqué, les fl ux futurs ne sont par défi nition pas connus avec certitude et il faut retenir l’espérance des fl ux futurs. Par ailleurs, il convient de retenir un taux d’actualisation r

i qui

inclut une prime de risque :

ri = r

f + Prime de risque de l’actif i (3.5)

Calcul du prix d’un actif risqué à partir de sa prime de risque

ProblèmeUne obligation risquée O paie 1 100 € quand la conjoncture est bonne et 1 000 € quand celle-ci est mauvaise. La prime de risque de cet actif est de 1 %. Le taux d’intérêt sans risque est de 4 %. Quel est le prix actuel de cet actif ?

SolutionL’équation (3.7) indique que le taux d’actualisation approprié, r

O, est égal à :

rO = r

f + Prime de risque de l’obligation = 4 % + 1 % = 5 %

Par ailleurs, l’espérance des fl ux futurs de l’actif est : (0,5 × 1 100) + (0,5 × 1 000) = 1 150 € dans un an. Le prix aujourd’hui de l’obligation est donc :

Prix de l’obligation = (Espérance des fl ux dans un an) / (1 + rO)

= 1 050 € / 1,05 = 1 000 €

La rentabilité ex post de l’obligation est de 10 % quand la conjoncture est bonne et 0 % quand elle est mauvaise. La différence entre ces rentabilités est de 10 %, c’est-à-dire six fois moins que pour le portefeuille de marché (voir tableau 3.11). Sa prime de risque est également six fois plus faible.

3.7. Arbitrage avec coûts de transactionJusqu’à présent, pour simplifi er, nous avons ignoré les coûts de transaction liés aux opéra-tions d’achat et de vente des actifs fi nanciers. De manière générale, on distingue deux types de coûts de transaction :

les coûts directs comme, par exemple, les commissions payées aux intermédiaires fi nan-ciers (brokers) lorsqu’on passe un ordre d’achat ou un ordre de vente ;

les coûts indirects, qui dépendent principalement de la fourchette de prix .

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Exemple 3.9

La fourchette de prix, ou bid-ask spread, désigne l’écart entre le cours auquel on peut acheter un titre et le cours auquel on peut le vendre. Au chapitre 1, nous avons évoqué différentes structu-res de marché. Ainsi, par exemple, sur le NYSE ou le Nasdaq, l’achat et la vente d’actions se fait via un teneur de marché ; sur Euronext, les ordres d’achat et de vente sont confrontés dans le carnet d’ordres électronique. Mais, dans tous les cas, le prix auquel on peut vendre un titre (le bid) est inférieur au prix auquel on peut l’acheter (l’ask).

Le 27 décembre 2007, par exemple, le prix auquel on pouvait vendre une action Accor était de 53,38 €. Au même moment, le prix auquel on pouvait acheter cette même action était de 53,44 €. Dans cette situation, il est possible de considérer que le prix de marché de l’action Accor est de 53,41 €, avec un coût de transaction de trois centimes par action, à l’achat comme à la vente8.

Quelles conséquences ces coûts de transaction ont-ils sur la Loi du prix unique et le prix de non-arbitrage ? Sans ces coûts de transaction et si les marchés sont concurrentiels, le prix de l’or à New York et à Londres doit être le même. Si des coûts de transaction, par exemple de cinq dollars, sont associés à chaque achat d’une once d’or suivi d’une revente sur un autre marché, que se passe-t-il ? Pour réaliser un gain sans risque, il faut alors que le différentiel de prix entre les deux marchés soit au minimum de cinq dollars, le montant des coûts de transaction. Si le prix de l’once d’or est de 250 $ à New York et de 252 $ à Londres, la VAN de l’opération d’arbitrage est négative :

VAN = 252 $ (vente d’une once d’or à Londres) – 250 $ (achat de l’or à New York) – 5 $ (coûts de transaction) = – 3 € par once d’or

En présence de coûts de transaction, les raisonnements précédents restent globalement vala-bles ; il suffi t de les modifi er à la marge. On dira, par exemple que, sur un marché concur-rentiel, le prix d’un actif est unique « aux coûts de transaction près ». De même, en présence de coûts de transaction, le prix d’un actif doit être égal à la valeur actuelle des fl ux futurs, mais toujours « aux coûts de transaction près ». Autrement dit, les prix peuvent dévier, mais pas d’un montant supérieur aux coûts de transaction qu’implique la stratégie d’arbitrage. Les opérations d’arbitrage empêchent toute déviation des prix supérieure à ces coûts de transaction.

Quoi qu’il en soit, sur la plupart des marchés fi nanciers, les coûts de transaction sont faibles – de l’ordre de 2 à 5 % du prix de l’actif sur les principaux marchés mondiaux d’actions. En première approximation, ils peuvent être ignorés.

Coûts de transaction et prix de non-arbitrage

ProblèmeSoit une obligation payant de façon certaine 1 000 € dans un an. Les dépôts sont rémunérés au taux sans risque de 6 %, tandis que les emprunts sans risque sont accordés à un taux de 6,5 %. Quel est l’intervalle de prix pour l’obligation en l’absence d’opportunité d’arbitrage ?

8. On suppose ici que le prix se situe au milieu de la fourchette. En fait, le prix peut se situer n’importe où entre les deux bornes de la fourchette, avec des coûts de transaction différents à l’achat et à la vente.



Exem

ple

3.9

(sui

te) Solution

Le prix de non-arbitrage de l’obligation est égal à la valeur actuelle des fl ux futurs de l’obliga-tion. Mais selon que l’on retient comme taux d’actualisation 6 % ou 6,5 %, cette valeur actuelle change. Avec un taux de 6 %, le prix de l’obligation est de 1 000 € / 1,06 = 943,40 €. Avec un taux de 6,5 %, le prix n’est que de 1 000 € / 1,065 = 938,97 € : le prix de l’obligation est inversement proportionnel au taux d’intérêt. Le prix de l’obligation ne peut donc durablement être supérieur à 943,40 € ou inférieur à 938,97 €.

Si le prix de marché P de l’obligation est supérieur à 943,40 €, les investisseurs vont vendre en masse l’obligation et investir 943,40 € au taux de 6 % pour réaliser un gain de (P – 943,40) € aujourd’hui. Ce faisant, les investisseurs vont exercer une pression à la baisse sur le prix de l’obligation, jusqu’à ce qu’il atteigne 943,40 €.

Si le prix de marché P de l’obligation est inférieur à 938,97 €, les investisseurs vont emprunter en masse 938,97 € au taux de 6,5 % qui serviront en partie à acheter l’obligation au prix P. Le gain est de (938,97 – P) € aujourd’hui : dans un an, ils recevront 1 000 € par obligation détenue, ce qui leur permettra de rembourser leur emprunt et les intérêts. De par leur action, les investisseurs exercent une pression à la hausse sur le prix de l’obligation jusqu’à ce qu’il atteigne 938,97 €.

Si le prix de marché P de l’obligation est compris entre 938,97 € et 943,40 €, alors les deux stratégies précédentes conduisent à des pertes certaines ; autrement dit, il n’y a pas d’oppor-tunité d’arbitrage.

RésuméTout projet d’investissement ou de placement nécessite que l’on en évalue les coûts et les bénéfi ces. Un projet n’est intéressant que si les bénéfi ces sont supérieurs aux coûts.

Pour comparer les coûts et les bénéfi ces, il convient qu’ils soient tous exprimés dans la même unité : c’est-à-dire dans la même monnaie et à la même date.

Un marché concurrentiel se défi nit comme un marché sur lequel un bien peut être vendu et acheté au même prix.

La valeur temps de l’argent se défi nit comme la différence entre la valeur de un euro dans le futur et sa valeur aujourd’hui. Le taux d’intérêt sans risque est le taux auquel on peut échanger de façon certaine de l’argent aujourd’hui contre de l’argent dans le futur.

La valeur actuelle (VA) d’un fl ux est sa valeur exprimée en euros aujourd’hui.

La valeur actuelle nette (VAN) d’un projet est égale à la somme des valeurs actuelles de tous ses fl ux présents et futurs ; on peut écrire également :

VAN = VA(Bénéfi ces) – VA(Coûts) (3.1)

Un projet n’est intéressant que si sa VAN est positive. La VAN d’un projet mesure la création de valeur associée au projet exprimée en euros aujourd’hui. Lorsque l’on doit choisir parmi plusieurs projets, il faut retenir celui dont la VAN est la plus élevée.

Le critère de maximisation de la VAN est indépendant des préférences des agents. En empruntant ou en prêtant au taux sans risque, il est possible de modifi er à sa guise la façon dont les fl ux se répartissent dans le temps.

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L’arbitrage désigne une stratégie sans risque qui ne nécessite aucune mise de fonds initiale et qui permet à l’investisseur de réaliser un gain. Une opportunité d’arbitrage apparaît, par exemple, lorsqu’un bien s’échange à des prix différents sur deux marchés : les agents ont alors intérêt à acheter le bien là où il est le moins cher et à le revendre là où il est le plus cher.

Un marché normal se défi nit comme un marché concurrentiel sur lequel il n’y a aucune opportunité d’arbitrage.

La Loi du prix unique établit que si des biens ou des actifs équivalents sont échangés simultanément sur différents marchés concurrentiels, ils seront échangés au même prix sur chacun des marchés. Cette loi implique qu’il n’y a pas d’opportunité d’arbitrage.

Le prix de non-arbitrage d’un actif est :

Prix de l’actif = VA(Ensemble des fl ux monétaires offerts par l’actif) (3.2)

Le principe d’additivité des valeurs établit que la valeur d’un portefeuille est égale à la somme des valeurs des actifs qui le composent.

Afi n de maximiser la valeur de l’entreprise, ses dirigeants doivent prendre des décisions qui maximisent sa VAN. La VAN d’un projet représente la contribution de ce projet à la valeur totale de l’entreprise.

Le théorème de séparation établit que les transactions d’actifs sur des marchés nor-maux ne créent ni ne détruisent de valeur. En conséquence, la VAN d’un projet peut être évaluée indépendamment de la façon dont il est fi nancé.

Si un projet est risqué, le taux d’actualisation retenu ne peut pas être le taux d’intérêt sans risque. Il est possible d’évaluer ce projet grâce à la Loi du prix unique en construi-sant un portefeuille qui réplique les fl ux du projet.

Le risque d’un actif doit être évalué en tenant compte de la façon dont les autres actifs fl uctuent. La prime de risque d’un actif est d’autant plus élevée que sa rentabi-lité est positivement liée à celle du marché. Si la rentabilité d’un actif est forte quand la conjoncture est mauvaise, alors l’actif peut être utilisé comme une assurance et sa prime de risque est négative.

En présence de coûts de transaction, le prix d’un actif n’est pas forcément le même sur tous les marchés, mais les écarts de prix sont inférieurs aux coûts de transaction impo-sés par la mise en œuvre d’une stratégie d’arbitrage.

ExercicesRono envisage de réduire le prix de sa dernière voiture de 30 000 € à 28 000 €. Le ser-vice marketing estime que cette baisse du prix pourrait engendrer une augmentation des ventes l’année prochaine de 40 000 à 55 000 unités. Après réduction du prix, la marge de Rono est de 6 000 € par véhicule. Si l’on suppose que la hausse des ventes est uniquement imputable à la baisse de prix, cette décision est-elle économiquement intéressante ?

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La Coopérative des pêcheurs de Saint-Gué se lance dans le négoce international de cre-vettes surgelées. Un importateur tchèque propose de lui acheter comptant dix tonnes de crevettes surgelées pour deux millions de couronnes tchèques. Par ailleurs, la Coopé-rative des pêcheurs de Saint-Gué a la possibilité d’acheter comptant à son fournisseur thaïlandais dix tonnes de crevettes surgelées contre trois millions de bahts thaïlandais. Si un euro s’échange contre 25,5 couronnes tchèques et contre 41,25 bahts thaïlandais, quelle est la valeur de l’opération pour la coopérative ?

Une société décide de verser à ses salariés une prime. Les salariés peuvent choisir entre 5 000 € comptant ou 100 actions de la société. Les actions s’échangent actuellement sur le marché au prix de 63 €. a. S’il est possible de vendre les actions immédiatement après les avoir reçues, quelle option retenir ? Quelle est sa valeur ? b. Si les actions offertes ne peuvent être vendues qu’après un an, quelle option retenir ? De quoi dépend la décision de chaque salarié ?

Le taux d’intérêt sans risque est de 4 %. a. À quelle somme dans un an acceptez-vous de renoncer en échange de 200 € aujourd’hui ? b. À quelle somme acceptez-vous de renoncer aujourd’hui en échange de 200 € dans un an ? c. Dans quel(s) cas doit-on préférer 200 € aujourd’hui à 200 € dans un an ?

Une entreprise française spécialisée dans l’animation a la possibilité d’investir dans un projet sans risque dont le coût aujourd’hui est de un million d’euros et le bénéfi ce est de 114 millions de yens dans un an. Le taux d’intérêt sans risque est de 4 % dans la zone euro et de 2 % au Japon. Le taux de change est de 110 yens pour un euro. Quelle est la VAN du projet ? Faut-il le réaliser ?

Une entreprise du BTP vient de remporter un contrat de construction d’un pont. Ce projet requiert un investissement de dix millions d’euros aujourd’hui et de cinq mil-lions d’euros dans un an. Le client (l’État) versera 20 millions d’euros dans un an, une fois le pont livré. Les fl ux sont certains et le taux d’intérêt sans risque est de 10 %. Quelle est la VAN de ce contrat ? Que doit faire l’entreprise si elle a besoin d’argent immédiatement ?

Considérons trois projets dont les fl ux sont les suivants :

Projet Flux aujourd’hui (€) Flux dans un an (€)

A – 10 20

B 5 5

C 20 – 10

Le taux d’intérêt sans risque est de 10 %. Quelle est la VAN de chaque projet ? Quel projet choisir si l’on ne peut en retenir qu’un seul ? Et si l’on peut en lancer deux ?

Un revendeur informatique doit acheter 10 000 claviers. Un fournisseur lui demande de verser 100 000 € aujourd’hui puis dix euros par clavier dans un an. Un autre four-nisseur lui demande simplement de verser 21 € par clavier dans un an. Le taux d’intérêt sans risque est de 6 %. a. Quelle est la différence entre les deux offres en termes d’euros aujourd’hui ? b. Quelle est l’offre la plus intéressante ? c. Que doit faire l’entreprise si elle souhaite ne pas avoir à dépenser d’argent aujourd’hui ?

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La banque KBK propose de prêter ou d’emprunter au taux d’intérêt sans risque de 5,5 %, tandis que la banque AMO propose de prêter ou d’emprunter au taux d’intérêt sans risque de 6 %. Existe-t-il une opportunité d’arbitrage ? Quelle évolution attendre des taux d’intérêt de ces banques ?

Depuis la fi n des années 1990, les taux d’intérêt sont plus faibles au Japon qu’en Islande, en Australie et en Nouvelle-Zélande. En conséquence, de nombreux investisseurs ont emprunté au Japon pour placer l’argent dans les pays à taux d’intérêt élevé. Ces opéra-tions s’appellent des carry-trades. Pourquoi cette stratégie ne repose-t-elle pas sur une opportunité d’arbitrage ?

Certaines des grandes sociétés européennes sont cotées non seulement dans leur pays d’origine, mais également aux États-Unis. C’est le cas par exemple de Nokia, cotée à la fois sur la Bourse d’Helsinki et sur le NYSE. Si l’action Nokia s’échange à 14,98 € à Hel-sinki et à 17,96 $ sur le NYSE, quel est le taux de change euro/dollar implicite, d’après la Loi du prix unique ?

Considérons trois actifs sans risque dont les fl ux (sans risque) sont les suivants :

Actif Flux aujourd’hui (€) Flux dans un an (€)

A 500 500

B 0 1 000

C 1 000 0

Le taux d’intérêt sans risque est de 5 %. Quel est le prix de non-arbitrage de chaque actif avant le versement du premier fl ux ?

Un tracker (ou Exchange Traded Fund) est un titre échangeable en Bourse, qui repré-sente un portefeuille d’actions. Soit un tracker composé de deux actions Air France-KLM, d’une action Thales et de trois actions Dexia. Les prix de marché au comptant de chaque titre sont les suivants :

Titre Prix au comptant

Air France-KLM 28 €

Thales 40 €

Dexia 14 €

Quel est le prix du tracker sur un marché normal ? b. Quelle stratégie mettre en œuvre si le tracker s’échange au prix de 120 € ? c. Quelle stratégie mettre en œuvre si le tracker s’échange au prix de 150 € ?

Deux actifs sans risque sont proposés. Leurs prix et leurs fl ux futurs sont les suivants :

Actif Prix aujourd’hui (€) Flux dans un an (€) Flux dans deux ans (€)

A 94 100 0

B 85 0 100

Quel est le prix de non-arbitrage d’un actif qui rapporte 100 € dans un an et 100 € dans deux ans ? b. Quel est le prix de non-arbitrage d’un actif qui rapporte 100 €

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dans un an et 500 € dans deux ans ? c. Un actif qui rapporte 50 € dans un an et 100 € dans deux ans s’échange aujourd’hui au prix de 130 €. Existe-t-il une oppor-tunité d’arbitrage ?

Un actif sans risque qui rapporte 150 € dans un an s’échange aujourd’hui au prix de 140 €. S’il n’y a pas d’opportunité d’arbitrage, quel est le taux d’intérêt sans risque ?

L’entreprise Floo dispose d’une trésorerie de 100 000 €. Floo a par ailleurs la possibilité d’investir dans trois projets sans risque dont les fl ux sont :

Projet Flux aujourd’hui (€) Flux dans un an (€)

A – 20 000 30 000

B – 10 000 25 000

C – 60 000 80 000

Toute la trésorerie inutilisée sera investie au taux d’intérêt sans risque de 10 %. Dans un an, Floo sera liquidée au bénéfi ce exclusif de ses actionnaires. a. Quelle est la VAN de chaque projet ? Quel projet l’entreprise doit-elle retenir ? Comment doit-elle le fi nancer ? b. Quelle est aujourd’hui la valeur des actifs (trésorerie et projets) de Floo ? c. Combien les investisseurs recevront-ils dans un an ? Quelle est aujourd’hui la valeur de Floo ? d. Si Floo verse aujourd’hui la trésorerie inutilisée à ses actionnaires, combien leur verse-t-elle ? Quelle est alors la valeur de l’entreprise aujourd’hui ? e. Expliquez le lien entre les trois questions précédentes.

Les prix de marché (en l’absence d’opportunité d’arbitrage) et les fl ux futurs de deux actifs risqués A et B sont :

Actif Prix de marché aujourd’hui

Flux dans un an



A 230,77 0 600

B 346,77 600 0

Quels sont les fl ux dont bénéfi cie le détenteur d’un portefeuille composé d’un actif A et d’un actif B ? b. Quel est le prix de marché de ce portefeuille ? Quelle est son espérance de rentabilité ?

L’actif C donne droit à 600 € quand la conjoncture est mauvaise et à 1 800 € quand la conjoncture est bonne. Le taux d’intérêt sans risque est de 4 %. a. Est-il possible de répliquer l’actif C en combinant les actifs A et B de l’exercice 17 ? b. Quel est le prix de non-arbitrage de l’actif C ? c. Si la prime de risque de l’actif C est de 10 %, existe-t-il une opportunité d’arbitrage ?

*19. Un actif risqué rapportera en moyenne 80 € dans un an. Le taux d’intérêt sans risque est de 4 % et l’espérance de rentabilité du portefeuille de marché est de 10 %. La renta-bilité de l’actif risqué est élevée quand la conjoncture économique est bonne et faible quand la conjoncture économique est mauvaise. L’amplitude des variations est deux fois moins importante pour l’actif risqué que pour le portefeuille de marché. a. Quelle est la prime de risque de l’actif risqué ? b. Quel est le prix de marché de l’actif risqué ?

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Les actions de Hewlett-Packard s’échangent à la fois sur le NYSE et le Nasdaq. Sur le NYSE, le teneur de marché propose les cotations suivantes : 28,00 $-28,10 $. Au même moment, sur le Nasdaq un teneur propose les cotations suivantes : 27,85 $-27,95 $. a. Y a-t-il une opportunité d’arbitrage ? Si oui, comment l’exploiter ? b. Si le teneur de mar-ché du Nasdaq révise ses cotations et propose 27,95 $-28,05 $, y a-t-il une opportunité d’arbitrage ? Si oui, comment l’exploiter ? c. Pour qu’il n’y ait pas d’opportunité d’arbi-trage, quelle doit être la fourchette de cotation du teneur de marché sur le Nasdaq ?

*21. Un tracker est composé de deux actifs, une action Société Générale et une obligation payant 100 € dans un an. Ce tracker est coté actuellement 131,95 €-132,25 €. L’obliga-tion est cotée 91,75 €-91,95 €. En l’absence d’opportunité d’arbitrage, quel est le prix à l’achat et à la vente d’une action Société Générale ?

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