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Arche Hybride Poutre EC2

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I. SOMMAIRE

I. SOMMAIRE ................................................................................................................................................................ 3

II. INTRODUCTION ..................................................................................................................................................... 5

III. SAISIE ..................................................................................................................................................................... 6

A. Particularités de la travée ........................................................................................................................... 6

B. Files de construction ...................................................................................................................................... 7

C. Cas des consoles courtes ............................................................................................................................. 7

D. Chargements ....................................................................................................................................................... 8

E. Import de sollicitations .............................................................................................................................. 11

IV. HYPOTHESES ..................................................................................................................................................... 14

A. Hypothèses / Béton armé ......................................................................................................................... 14

B. Hypothèses / Conditions / Caractéristiques .................................................................................. 23

C. Hypothèses / Ferraillage ........................................................................................................................... 31 1. Onglet « Transversal » ................................................................................................................................. 31 2. Onglet « Longitudinal » ............................................................................................................................... 31 3. Onglet « Ancrage »........................................................................................................................................ 32 4. Onglet « Peau » .............................................................................................................................................. 41 5. Onglet « Couture » ........................................................................................................................................ 42 6. Onglet « Appuis » .......................................................................................................................................... 44

D. Hypothèses / Conditions / Flèches ..................................................................................................... 50

E. Hypothèses / Cas de charges ................................................................................................................. 53

F. Hypothèses / Combinaisons .................................................................................................................... 54

G. Hypothèses / Calcul / Moments ............................................................................................................ 55 1. Portée de calcul............................................................................................................................................... 55 2. Redistribution des moments ...................................................................................................................... 55 3. Exemple de redistribution limitée dans Arche Poutre ...................................................................... 57

V. RESULTATS ............................................................................................................................................................. 61

VI. EXERCICE 1 : Section rectangulaire en flexion simple ............................................................. 64

A. Données ............................................................................................................................................................... 64

B. Calcul des sollicitations .............................................................................................................................. 64

C. Calcul des aciers longitudinaux ............................................................................................................. 66

D. Calcul des aciers transversaux ............................................................................................................... 69

E. Calcul de la flèche .......................................................................................................................................... 72

F. Calcul de l’ouverture de fissures ........................................................................................................... 73 1. Limitations des fissures ............................................................................................................................... 74 2. Dispositions constructives pour éviter les fissures ............................................................................ 74 3. Calcul exact de l’ouverture des fissures (article 7.3.4 EC2) .......................................................... 74


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G. Dimensionnement en flexion ELS ......................................................................................................... 79

H. Calcul des ancrages .................................................................................................................................. 80

I. Vérification sur appui................................................................................................................................... 86

J. Ajout et calcul d’une trémie ..................................................................................................................... 88 1. Répartition de l’effort tranchant ............................................................................................................... 90 2. Transformation du moment de flexion en traction-compression ................................................. 91 3. Partage de l’effort normal ........................................................................................................................... 91 4. Torseur d’encastrement des linteaux (pour le calcul des aciers longitudinaux) .................... 91 5. Torseurs d’encastrement des linteaux (pour le calcul des aciers longitudinaux) .................. 91 6. Armatures transversales ............................................................................................................................. 94

VII. EXERCICE 2 : Poutre en Té en flexion simple ................................................................................ 96

A. Données ............................................................................................................................................................... 96

B. Calcul des aciers longitudinaux ............................................................................................................. 96

C. Calcul des aciers transversaux ............................................................................................................... 98

D. Calcul de la flèche ........................................................................................................................................ 100

VIII. EXERCICE 3 : Calcul d’une poutre en torsion ............................................................................... 101

A. Données, actions et sollicitations ....................................................................................................... 101

B. Ferraillage ......................................................................................................................................................... 103 1. Armatures de flexion .................................................................................................................................. 103 2. Calcul à la torsion ........................................................................................................................................ 103 3. Validation de la section .............................................................................................................................. 104 4. Faut-il des armatures ? .............................................................................................................................. 104 5. Armatures transversales ........................................................................................................................... 105 6. Armatures longitudinales .......................................................................................................................... 106 7. Ferraillage sur appui ................................................................................................................................... 106

IX. EXERCICE 4 : Calcul au feu ..................................................................................................................... 107


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II. INTRODUCTION

Lorsqu’on lance le module ARCHE POUTRE, on retrouve une disposition classique des logiciels de

Windows, avec dans le bandeau supérieur les différents menus :

- le menu FICHIER, qui permet la gestion de l’enregistrement et de l’import-export.

- le menu HYPOTHESES, détaillé ci-après.

- le menu MODIFIER, utile uniquement en reprise de plan quand on désire modifier le

dessin.

- le menu AFFICHAGE, qui permet de naviguer entre les différents résultats.

- le menu DOCUMENT, qui permet de gérer la génération de note de calcul, de plan en dxf.

- le menu CHAINAGE, qui permet d’importer et d’exporter les différents fichiers de poutre en

liaison avec Ossature notamment.

- le menu OPTIONS, qui regroupe un bon nombre de paramétrage des résultats (notamment

les unités).

- le menu OUTILS, où se trouve une calculatrice HA assez utile pour évaluer les sections

d’aciers.

Dans la partie inférieure, on retrouve une palette d’icônes permettant de préciser les

caractéristiques de la poutre.


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III. SAISIE

A. Particularités de la travée

La première série d’icônes en partie inférieure permet de saisir les particularités de la travée

active (c'est-à-dire celle qui a le liseré bleu) :

NB sur le calcul des tables de compression :

Le module Arche Poutre détermine la

largeur des tables de compression

conformément aux prescriptions de

l’EC2, article 5.3.2.1 :

bbbb wieffeff ,

Avec : 00, 2,01,02,0 llbb iieff

Tout en vérifiant : iieff bb ,

L’utilisateur doit saisir la portée des

planchers situés de part et d’autres de la

poutre, b1 et b2, puis en cliquant sur

l’icône de prédimensionnement en bas,

la table de compression est

automatiquement prédimensionnée.

Dans l’exemple ci-contre, on a :

(0,2*0,7) + (0,1*4,3) = 0,57m


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Le paramètre « Dy » permet de décaler une travée par rapport à une autre.

Cela fonctionne uniquement dans le cas de plusieurs travées.

B. Files de construction

La deuxième série d’icônes en partie inférieure de la fenêtre Arche Poutre permet de gérer les

travées :

C. Cas des consoles courtes

L’option « console courte » permet d’activer le calcul des corbeaux conformément à l’annexe J de

l’EC2.


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Et une fois l’option activée, un clic sur la section de la poutre permet de définir une hauteur

variable ou fixe.

Les données concernant l’appareil d’appui (largeur et épaisseur) permettent de vérifier la

contrainte de compression au nœud B (sous la charge) :

D. Chargements

La troisième série d’icônes en partie inférieure de la fenêtre Arche Poutre permet de gérer les

chargements :

Lorsque l’utilisateur définit une charge, il doit spécifier dans sa feuille de propriétés dans quel cas

de charges doit être créé cette charge :


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NB sur le cas de charges permanentes : pour le calcul de la flèche nuisible (uniquement avec les

recommandations professionnelles), il est possible de distinguer :

- Une charge « p » qui englobe le poids propre de la poutre et le poids propre des éléments

portés par la poutre « p0 », puis les charges « p1 » appliquées avant la pose du premier

élément fragile.

- Une charge « c » qui représente la pose du premier élément fragile.

- Une charge « r » qui représente les charges permanentes après la pose du premier

élément fragile.

Si les composantes p0, p1, c et r n’ont pas été précisées par l’utilisateur, ARCHE fait en sorte

d’être sécuritaire en les considérant comme une composante r.

Si l’utilisateur trouve ça trop défavorable, il doit remplir les champs p0, p1, etc.

Par défaut, seuls deux cas de charges sont définis : charges permanentes et surcharges

d’exploitation.

Pour en définir d’autres, il faut au préalable les créer depuis le menu Hypothèses / Cas de

charges (et cliquer sur « Ajouter »).

Par exemple, pour utiliser le cas de charges roulantes, il est nécessaire d’en définir un

auparavant.


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La définition de la charge roulante se fait de la façon suivante :

- « Essieux » : nombre d’essieux composant le convoi

- « Définition » : fenêtre permettant de saisir la charge totale par essieu ainsi que la

distance entre chaque essieu.

- « Abscisse début » et « abscisse fin » : lieux d’application de la charge roulante.

- « Points de calcul » : nombre de positions intermédiaires de la charge roulante. Le logiciel

calculera les effets pour chaque position intermédiaire.

- « Coefficient de répartition transversale » : ce coefficient multiplie les intensités saisies

dans la fenêtre ci-dessus afin de prendre en compte la répartition transversale reprise par

la poutre en cours.

Dans la partie inférieure de la fenêtre, il est également possible de sauvegarder ou de charger un

modèle de convoi.

Pour sauvegarder le contenu de la fenêtre dans la bibliothèque de convois, il suffit de définir un

libellé puis d’activer le bouton « Exporter ».

Pour charger un convoi existant dans la poutre en cours, il faut activer le bouton « Importer » :


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En standard, le module Arche Poutre propose les convois suivants :

- Convois Bc – Bt – Br du fascicule 61

- Convois EC1 définis dans les tableaux 4.6 et 4.8

Ces différents convois sont définis dans un fichier nommé « PouBibConvoi.txt » (disponible dans

le dossier « Ressources ».

E. Import de sollicitations

Il est possible d’importer des courbes de sollicitations, dans un cas de charges de base ou un cas

enveloppe, en cliquant sur l’icône :

Les grandeurs importées sont : l’effort normal, le moment fléchissant, l’effort tranchant et le

moment de torsion.

A chaque abscisse peut correspondre deux valeurs, min et max, nécessaires à l’importation des

enveloppes.

Il est possible de modifier une courbe importée.

La partie de droite permet de visualiser la courbe concernée. Un double clic sur cette zone permet

d’afficher la courbe dans une zone graphique pour accéder à des fonctions telles que l’impression

de la courbe, le calcul de la résultante, la visualisation d’une valeur à une abscisse donnée …


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Lors de l’importation d’une courbe, deux problèmes peuvent se poser :

- Un problème d’orientation de l’axe des abscisses

La case « Orientation de l’axe des abscisses » permet de positionner l’origine :

« De gauche à droite » => l’origine se situe à gauche

« De droite à gauche » => l’origine se situe à droite

L’orientation peut être modifiée après importation d’une courbe.

- Une différence entre l’intervalle des abscisses de la courbe importée et la longueur de la

travée

Deux tolérances permettent de gérer les différents cas de figure.

Prenons le cas des valeurs par défaut.

La valeur de 15% sur la « tolérance d’import sur l’intervalle des abscisses » indique que si

la différence entre la longueur de la travée et l’intervalle des abscisses est supérieur à

15%, le logiciel ne fait pas l’import et renvoie le message d’erreur suivant : « L’intervalle

des abscisses diffère de plus de 15% de la portée entre-axes, l’import de la courbe est

impossible ».

La valeur de 3% sur la « tolérance pour importation directe sans message » indique que si

la différence est inférieure à 3%, on importe la courbe sans aucun message, en appliquant

une homothétie.

Lorsque l’écart est compris entre 3 et 15%, le logiciel demande un choix à l’utilisateur via

le message : « L’intervalle des abscisses diffère de [x%] (xxm pour yym) par rapport à la

longueur de la travée, souhaitez vous effectuer une homothétie en conservant les valeurs

extrêmes ? » :


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Si l’utilisateur confirme l’opération, le logiciel importe la courbe avec une homothétie qui

conserve le même nombre et le même ratio sur les intervalles de valeur.

Si l’utilisateur répond « non », la courbe sera importée depuis le milieu de la travée en

ignorant les valeurs d’extrémités qui sont en dehors de la travée.


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IV. HYPOTHESES

A. Hypothèses / Béton armé

Ductilité de l’acier : elle est définie par sa classe :

- A : peu ductile,

- B : moyennement ductile,

- C : très ductile.

Possibilité d’entrer des charges de cuvelage conformément au DTU 14.1

Le calcul de la contrainte limite sur l’acier dans le cas d’eaux agressives est légèrement

différent.

La contrainte limite de l’acier dépend du type de cuvelage :

Cuvelages avec revêtement d’imperméabilisation

Sur les aciers tendus, on vérifie :

Avec : = 320 = 1,6 pour les barres HA et 1 pour les ronds lisses : le diamètre de la barre en mm ft28 : la résistance à la traction du béton en MPa

NB : le terme 30 n’est pas à prendre en compte dans le cas d’eaux saumâtres ou

agressives.

Cuvelages à structure relativement étanche


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Comme pour les cuvelages à structure relativement étanche, on vérifie pour les aciers

tendus :

Avec : = 320 dans les combinaisons où l’eau est au niveau EB

= 320* 2 dans les combinaisons où l’eau est au niveau EH

= 320* 3 dans les combinaisons où l’eau est au niveau EE

= 1,6 pour les barres HA et 1 pour les ronds lisses : le diamètre de la barre en mm

ft28 : la résistance à la traction du béton en MPa

NB : le terme 30 n’est pas à prendre en compte dans le cas d’eaux saumâtres ou

agressives.

Cuvelages avec revêtement d’étanchéité

La contrainte limite de l’acier est celle définie par le BAEL ou par l’EC2.

NB : Dans la page de saisie de la poutre, il est possible de définir quelles sont les faces cuvelées.

Sans cette définition, toutes les armatures longitudinales de la poutre (inférieures et supérieures)

sont dimensionnées en considérant une contrainte admissible de cuvelage.

Selon le choix de l’utilisateur (faces inférieures, faces supérieures, ou faces supérieures et

inférieures), la contrainte admissible dans les aciers tendus pourra être différente en fibre

supérieure et inférieure.

La contrainte de dimensionnement ELS dépend de la classe d’exposition :

- Pour les classes d’exposition X0 à XC4, on prend : ckc f

- Pour les classes d’exposition XD1 à XA3, la contrainte ELS est limitée à : ckc f.60,0

La durée

d’application joue

sur le coefficient

kt pour le calcul

d’ouverture de

fissures (art.

7.3.4 de l’EC2) (cf exercice).


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Lors d’un calcul de contraintes selon les règles

professionnelles, Arche Poutre utilise la même valeur du

coefficient d'équivalence e pour toutes les combinaisons ELS

(caractéristiques, fréquentes et quasi-permanentes):

La classe d’exposition dépend de l’environnement dans lequel se trouve le béton :


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Tableau 4.1 : Classes d’exposition en fonction des conditions d’environnement.

Pour résumé, dans les cas courants :

L’ouverture des fissures wk est définie à l’article 7.3.4 :

cmsmrk sw max,

sm : déformation moyenne de l'armature de béton armé sous la combinaison de charges

considérée. cm : déformation moyenne du béton entre les fissures.

NB :

sr,max : espacement maximal des fissures :

effp

r

kkkcks

,

421

3max,

: diamètre des barres. Lorsque plusieurs diamètres de barres sont utilisés dans une même

section, il convient de retenir un diamètre équivalent eq. Dans le cas d’une section comportant n1

barres de diamètre 1 et n2 barres de diamètre 2, il convient d’adopter :


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2211

2

22

2

11

nn

nneq

D’après l’article 7.3.1, il convient de définir une valeur limite de l'ouverture calculée des fissures

(wmax) en tenant compte de la nature et du fonctionnement envisagés de la structure ainsi que du

coût de la limitation de la fissuration.

Tableau 7.1N : Valeurs recommandées de wmax (mm)

Attention, ce tableau est modifié par l’article 7.3.1(5) de l’annexe nationale française :

Méthode de calcul des poutres en flexion : spécifier la méthode de calcul en flexion (µlimite ou

µcritique).


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« Attention, ne pas faire un calcul manuel en mu limite pour le comparer ensuite avec ARCHE

Poutre, car en mu limite, ARCHE Poutre fait ensuite un calcul ELS et ajuste les armatures si

besoin. Il y a donc peu de chance d’obtenir le même ferraillage qu’à la main. »

Le confinement du béton entraîne une modification de la relation contrainte-déformation : la

résistance et la déformation ultime sont toutes deux supérieures.

Dans le cas d’un béton confiné, il faut cocher la case et entrer une valeur de la contrainte de

confinement fck,c (cf article 3.1.9).

ck

ck

ckcck fpourf

ff 05,00,5000,1 2

2

,

2

,

2,2

ck

cck

cccf

ck

ck

ckcck fpourf

ff 05,05,2125,1 2

2

,

ck

cuccuf

2

2,2 2,0

Article 3.1.9 : Béton confiné.

L’article 3.2.7 propose 2 hypothèses du diagramme contrainte-déformation de l’acier :

- Branche supérieure horizontale - Branche supérieure inclinée, avec une limite de déformation égale à ud et une contrainte

maximale (k fyk / s) pour uk, avec k = (ft / fy)k.


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Diagramme contrainte-déformation pour les aciers de béton armé.

La valeur moyenne de la masse volumique peut être supposée égale à 7850 kg/m3.

La valeur de calcul du module d’élasticité Es peut être supposée égale à 200 GPa.

La valeur recommandée de ud est : ud = 0,9 uk.

La valeur de (ft/fy)k est donnée dans l’annexe C par le tableau :

Le fluage est une propriété du béton dépendante du temps, qui va jouer sur le calcul des

flèches. Il convient généralement de tenir compte de son effet pour la vérification aux états-

limites de service (Art.2.3.2.2.).

Il dépend de l’humidité ambiante, des dimensions de l’élément et de la composition du béton. Il

dépend également de la maturité du béton lors du premier chargement ainsi que de la durée et

de l’intensité de la charge (Art.3.14).

Arche propose de calculer le fluage soit à un instant t à définir en jours, soit à un instant t =

INF.


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Dans les deux cas, il faut préciser la classe de ciment et l’environnement (pour l’humidité

ambiante):

- Intérieur : RH = 50%

- Extérieur : RH = 80%

Le coefficient de fluage (t, t0) est fonction d’Ec, le module tangent, qui peut être pris à 1,05

Ecm. L’annexe B décrit la démarche à suivre pour les calculs.

Le coefficient de fluage (INF, t0) se lit graphiquement sur les courbes ci-dessous :

La méthode de lecture est explicitée via ce schéma :


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B. Hypothèses / Conditions / Caractéristiques

Transmission directe : Dans le cas de bielles permettant une transmission directe des charges,

comme dans les corbeaux ou poutres-cloisons de faible longueur, des méthodes de calcul

alternatives sont données en 6.2.2 et 6.2.3. Il faut donc activer la case si c’est le cas.

Prenons un exemple de comparaison avec le BAEL : une poutre de hauteur 60cm (d = 54cm) et

de portée 5m, soumise à une charge concentrée Pu = 35KN à 70cm de l’appui.

BAEL91 EC2

kNL

aLPV u

u 30)(*

kN

L

aLPV u

Ed 30)(*

kNh

aVV uredu 33,23

60,0*3

70,0*2*30

3

2*,

L

aLPV uredEd

)(**,

65,054,0*2

70,0;5,0max

2;5,0max

d

av

kNV redEd 6,195

)70,05(*65,0*35,

22% 35%

On voit donc que la réduction de l’EC2 est plus importante que celle du BAEL.

Charges ponctuelles appliquées à une

distance inférieure à 2d (contre 1,5h au

BAEL) :

Charges linéaires : on prend la valeur à

l’abscisse d (et non 5/6h comme au

BAEL) :

d

av

2;5,0max


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Extraits des articles 5.2.1 et 5.2.3.4 de l’Eurocode 8 :

Les bâtiments en béton sont classés en deux classes de ductilité, à savoir DCM (ductilité

moyenne) et DCH (Haute ductilité), en fonction de leur capacité de dissipation hystérétique.

Pour assurer la ductilié globale requise dans la structure, les zones où peuvent se former

potentiellement des rotules plastiques doivent posséder une capacité de rotation plastique

importante.

Une ductilité en courbure suffisante doit exister dans toutes les zones critiques.

Le coefficient de ductilité en courbure est définie à l’article 5.2.3.4(3).

Cette option permet de définir quelle inertie sera prise en compte pour le calcul RDM lorsqu’il y a

présence de décaissés. Par défaut, l’option est réglée sur « Inertie moyenne pour la RDM », ce

qui signifie que les décaissés seront linéarisés le long de la poutre. En sélectionnant « Inertie

minimum pour la RDM », le logiciel prend la section minimale au droit des décaissés et applique

cette section sur toute la poutre. Avec l’option « Inertie maximum pour la RDM », le logiciel

ignore les décaissés.

Cette option a été créée uniquement pour le calcul des moments sur les poutres à plusieurs

travées. L’inertie de la travée de la poutre est utilisée dans le calcul des rotations des appuis et

dans l’algorithme de la méthode des foyers.

Pour le calcul EC2, la flèche, l’ouverture de fissures et les contraintes sont directement calculées

le long de la travée (100 points par travée). Et donc le décaissé et l’inertie réelle de la poutre

sont automatiquement pris en compte.

Toutefois, cette option est également utilisée pour le calcul de la flèche BAEL.


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Une poutre de section constante, dont l’âme est « fissurée avec un angle θ » Peut être assimilée à

une poutre triangulée définie comme suit :

NB : Contrairement au BAEL l’angle de la bielle de béton comprimée n’est pas imposé à 45°. En

pratique, il peut être choisi arbitrairement dans une fourchette comprise entre 1 cotan 2,5.

En isolant un treillis :

Pour transmettre l’effort tranchant d’un treillis à un autre :

- les armatures transversales doivent relever le long de la fissure l’effort V soit :

s

AzV

..sin).cot(cot

Inclinaison des bielles: D’après

l’article 6.2.3, l’angle

d’inclinaison des bielles est

limité à :

1 < cotan < 2,5

Soit :

21,8° < < 45°


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(Densité des aciers x inclinaison de l’effort x section des aciers x contrainte effective)

- la bielle de béton, quand à elle, doit pouvoir transmettre ce même effort, soit :

.sin.sin.).cot(cot bzV

(Surface de béton projeté x inclinaison de l’effort x contrainte dans le béton)

Il peut-être loisible de « jouer » sur l’angle des bielles pour faire travailler le béton à son

maximum. Une méthode est décrite dans l’ouvrage de Jean Roux, « Pratique de l’EC2 »

Conformément à l’article 6.2.5 de l’EC2, une vérification supplémentaire est à mener lorsque la

poutre est coulée en deux étapes (talons préfa).

La valeur de calcul de contrainte de cisaillement à l’interface :

i

Ed

Edibz

V

.

.

Avec :

- : rapport de l’effort normal (longitudinal) dans le béton de reprise à l’effort

longitudinal total dans la zone comprimée ou dans la zone tendue, calculé, à chaque

fois, pour la section considérée. = 1 si la surface de reprise est en-dessous de

l’axe neutre.

- VEd : effort normal transversal

- z : bras de levier des forces internes de la section composite

- bi : largeur de l’interface :

Edi est à comparer avec la valeur de contrainte de cisaillement admissible :

cdydnctdRdi fffc ..5,0)cossin..(...

Avec :


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- c et : coefficients qui dépendent de la rugosité de l’interface.

A défaut d’informations détaillées, les surfaces sont classées en très lisses, lisses,

rugueuses et avec indentation, conformément aux exemples suivants :

o Très lisse : surface coulée au contact de moules en acier, en matière plastique, ou en bois traité spécialement : c = 0,25 et = 0,5. Attention ces

données ont été modifiées par le CSTB / Corrigendum 1 de l’EN1992-1-1 en c

= 0,025 à 0,10 et = 0,5.

o Lisse : surface réalisée à l’aide de coffrages glissants ou surface extrudée ou

surface non coffrée laissée sans traitement ultérieur après vibration : c =

0,35 et = 0,6. Attention ces données ont été modifiées par le CSTB /

Corrigendum 1 de l’EN1992-1-1 en c = 0,2 et = 0,6.

o Rugueuse : surface présentant des aspérités d’au moins 3mm de haut

espacées d’environ 40mm, obtenues par striage, lavage direct ou toute autre méthode donnant un comportement équivalent : c = 0,45 et = 0,7.

Attention ces données ont été modifiées par le CSTB / Corrigendum 1 de

l’EN1992-1-1 en c = 0,4 et = 0,7.

o Avec indentation : surface représentant des clés comme sur la figure ci-dessous : c = 0,50 et = 0,9.

- fctd : défini en 3.1.6(2).

- n : contrainte engendrée par la force normale externe minimale à l’interface

susceptible d’agir en même temps que l’effort de cisaillement. Elle est positive en

compression, avec n < 0,6.fcd et est négative en traction. Lorsque n est une

contrainte de traction, il convient de prendre c.fctd = 0.

-

i

s

A

A

- As : aire de la surface des armatures traversant l’interface, armatures d’effort

tranchant comprises, le cas échéant, correctement ancrées de part et d’autre de

l’interface.

- Ai : aire du joint.


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- : il convient de limiter de telle sorte que 9045

- : coefficient de réduction de la résistance.

Arche Poutre ne met en place des cadres ou des U complémentaires que sur les segments où la

condition RdiEdi n’est pas vérifiée.

La position de la surface de reprise est définie par le terme « h’ » qui représente l’altitude de

cette dernière par rapport à la fibre supérieure de la poutre (que ce soit en travée ou sur appuis).

On a donc deux cas de figures quant à la détermination de la valeur de «h’ » :

Dans certains cas, cette valeur peut-être déterminée automatiquement :

o Si la poutre a des prédalles, il faut considérer la face supérieure des prédalles :

o Si la poutre a un talon préfabriqué, il faut considérer l’arase supérieure du talon

préfabriqué :

o Si la poutre a des tables de compression, il faut considérer la face inférieure des

tables de compression (la plus basse si les tables sont décalées).


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Possibilité d’imposer une position « h’ » de la surface de reprise, par rapport à la fibre

supérieure de la poutre.

L’enrobage est défini à l’article 4.4.1de l’EC2 et son annexe nationale:

Cmin,b étant l’enrobage minimal vis-à-vis des exigences d’adhérence :

devnom CCC min

avec mmCCCCCC adddurstdurdurdurb 10;;max ,,,min,min,min


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Cmin,dur étant l’enrobage minimal vis-à-vis des conditions d’environnement (qui dépend de la classe

structurale):

Attention : cf annexe E.

Cdur, étant une marge de sécurité (0mm est recommandé).

Cdur,st étant une réduction de l’enrobage minimal dans le cas d’acier inoxydable (0mm est

recommandé).

Cdur,add étant une réduction de l’enrobage minimal dans le cas de protection supplémentaire

(0mm est recommandé).

Cdev étant une tolérance d’exécution (10mm recommandé sauf cas spécifiques dans AN).


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C. Hypothèses / Ferraillage

1. Onglet « Transversal »

2. Onglet « Longitudinal »

Estimation de la

hauteur utile :

d = h – enrobage –

(6%.h)

Article 6.2.3 (5) :

Dans les régions où il

n’y a pas de

discontinuités de VEd

(par exemple, pour

un chargement

uniforme), la

détermination des

armatures d’effort

tranchant sur une

longueur élémentaire

l = z (cot + cot)

peut être effectuée en

utilisant la plus petite

valeur de VEd sur

cette longueur.

Appuis monolithiques :

- Si l’option est cochée, la

portée effective de calcul est déterminée à partir de

l’article 5.3.2.2 de l’EC2 en fonction de la profondeur d’appui et de la hauteur de

la poutre. - Si l’option est décochée, le

calcul est mené en considérant une portée entre-axes, ce qui correspond par exemple à

un appareil d’appui.


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Règle des demi-chapeaux : dans les zones critiques, la section des armatures comprimées doit

être au moins égale à la moitié de celle des armatures tendues calculées dans la situation

sismique.

3. Onglet « Ancrage »

Contrainte limite d’adhérence fbd (article 8.4.2)

La contrainte limite d’adhérence est définie par la formule :

ctdbd ff ...25,2 21

Où :

- ctdf est la résistance de calcul en traction du béton (voir paragraphe III.A.2). Cette valeur

doit toujours être inférieure à 3,1Mpa, ce qui correspond à la résistance d’un béton C60/75

(du fait de la fragilité croissante des bétons haute performance).

- 1 est un coefficient qui est lié aux conditions d’adhérence et à la position de la barre en cas

de reprise de bétonnage (voir schéma ci-après).

0,11 si les conditions d’adhérence sont bonnes.

7,01 dans les autres cas.

Les conditions d’adhérence sont définies par le schéma suivant :


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Dans Arche Poutre, une option permet de préciser ces conditions d’adhérence depuis le

menu Hypothèses / Ferraillage / Hypothèses, onglet « Ancrages »:

NB : Arche Poutre prendra toujours 0,11 pour les armatures inférieures (que la case

soit cochée ou décochée). Par contre, il prendra 7,01 pour les armatures supérieures

lorsque la case est décochée.

- 2 est un paramètre qui dépend du diamètre de la barre :

0,12 pour un diamètre mm32

100

1322

pour un diamètre mm32

NB : Au BAEL, l’article A.6.1,21 définissait cette contrainte par : tjssu f**6,0 2

Avec s = 1,5 pour les barres à haute adhérence, soit : tjsu f*25,2*6,0

Longueur d’ancrage droit de référence lb,rqd (article 8.4.3)

Cette valeur est calculée à partir de la formule suivante :

bd

sdrqdb

fl

.4

.,

sd est la contrainte effective dans la barre que l’on souhaite ancrer.


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NB : Cela équivaut à 40 pour un béton C25/30 :

407967,2

15,1500

.4

20

.4

., mm

fl

bd

sd

rqdb

ATTENTION, malgré le fait que cette formule ressemble énormément à celle du

BAEL

50050

.4

.feunpoursoit

fl

su

ES

, il faut bien faire attention à une différence

importante :

Dans la formule du BAEL, on détermine une longueur de scellement permettant d’ancrer

un effort de traction correspondant à la limite élastique de l’acier.

Dans la formule de l’EC2, on détermine une longueur de scellement correspondant à

l’effort de calcul et non pas l’effort max correspondant à la limite élastique.

Longueur d’ancrage droit de calcul lbd (article 8.4.4)

La longueur d’ancrage de calcul, notée bdl se détermine à partir de la formule suivante :

min,,543.21 ..... brqdbbd lll

La signification des différents facteurs de cette formulation est la suivante :

1 : coefficient qui tient compte de la forme des barres.

2 : coefficient qui tient compte de l’enrobage minimal

3 : coefficient qui tient compte de l’effet de confinement des armatures transversales

4 : coefficient qui dépend si les barres sont soudées.

5 : coefficient qui tient compte de l’effet de la pression orthogonale au plan de fendage

le long de bdl .

Ces différents coefficients sont définis dans le tableau ci-dessous :


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Avec les schémas suivants, qui illustrent ce tableau :


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Dans tous les cas, la valeur de bdl ne doit jamais être inférieure à une valeur mini définie par :

- Ancrages de barres tendues => mmll rqdbb 100;10;.3,0max ,min,

- Ancrages de barres comprimées => mmll rqdbb 100;10;.6,0max ,min,

ATTENTION, l’EC2 ne prend pas en compte une amélioration de l’adhérence en fonction

de la forme de l’ancrage (ancrage courbe). La longueur à prendre en compte est la

longueur développée le long de l’ancrage, en partant de son extrémité (voir schéma

suivant).

L’EC2 indique également, en guise de simplification, que l’on peut considérer un ancrage

«forfaitaire » en respectant une longueur d’ancrage équivalente définie sur la figure suivante :

Dans Arche, l’utilisateur a la main sur les coefficients 4 et 5 .

- Une option permet de préciser si les armatures transversales sont soudées ou non, ce qui

modifie la valeur du coefficient 4 :


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- Une option permet de modifier le confinement des aciers par compression transversale, ce

qui influe sur le coefficient 5

Par défaut, la compression vaut p = réaction d’appui / surface appui. Mais il est loisible

d’appliquer une charge additionnelle issue de la descente de charges des étages supérieurs.

Un tableau dans la note de calcul regroupe toutes ces valeurs.

Diamètre du mandrin de cintrage

Le BAEL91 définit deux conditions pour déterminer le diamètre des mandrins de cintrage :

Une condition de façonnage des barres :

o .3r pour des aciers Fe215 et Fe235 (aciers doux).

Ajout d’une charge G pour

comprimer encore plus les

bielles (tire plus sur la

barre):

ba

Vp Ed

*

On peut aller jusqu’à 0,7

(30%) puisque :

0,7 < p < 1

p : pression transversale à

l’ELU le long de lbd en MPa.


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o .5.5r pour des aciers Fe400 ou Fe500.

Une condition de non-écrasement du béton :

o vef

rrcj

s .120.0

En général, lorsque les aciers sont disposés sur un seul lit, la 2ème condition est

satisfaite si on prend un rayon de cintrage de 5,5 (soit un diamètre d’environ 10)

pour un Fe400 ou Fe500.

L’article 8.3 de l’EC2 indique également que le diamètre de courbure doit être tel que :

- Pas d’endommagement sur les armatures.

- Pas d’écrasement du béton.

Pour la 1ère condition, l’EC2 définit un diamètre min,m à respecter définit par le tableau suivant :

En ce qui concerne la 2ème condition (non-écrasement du béton), l’EC2 indique qu’il n’est pas

nécessaire de justifier le diamètre du mandrin de cintrage si les trois conditions suivantes sont

vérifiées :

- Les barres ne doivent pas présenter un retour droit après la courbure supérieur à 5 .

- La barre ne doit pas être disposée près de la surface du béton et il doit exister une barre

transversale de diamètre à l’intérieur de la partie courbe. On considèrera une barre

proche de la surface du béton si l’enrobage est inférieur au max(3, 50mm).


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- Le diamètre de la barre doit être supérieur aux valeurs indiquées dans le tableau ci-dessus.

Si une des trois conditions précédentes n’est pas vérifiée, le diamètre du mandrin de cintrage doit

satisfaire l’équation suivante :

cd

bbtm

f

aF

2

11

btF : effort de traction, dû aux charges ultimes, dans une barre ou un groupe de

barres en contact, à l’origine de la partie courbe (voir plus bas la détermination de btF ).

ba : pour une barre donnée, ba correspond à la moitié de l’entraxe entre les barres

perpendiculairement au plan de la courbure. Pour une barre ou un groupe de barres

proches du parement de l’élément, il convient de prendre pour ba l’enrobage majoré de

2

:

Extrait de l’ouvrage de Henry Thonier

La valeur de cdf doit être limitée à celle d’un béton deC55/67, soit :

MPaf cd 67,365,1

55max

ydbt FF .4

². si on considère que les aciers travaillent au maximum de leur capacité (au

niveau de l’appui).

On peut également prendre en compte btF comme étant égal à l’effort à reprendre dans

la barre au début de l’ancrage courbe. Lorsque l’on calcul le diamètre du mandrin de

cintrage, on ne connait pas encore la longueur de la 1ère longueur droite, on peut donc

prendre pour valeur de , l’effort total à reprendre dans la barre (donc sans déduction de

la partie de l’effort reprise par la 1ère longueur droite).

Deux remarques :

- Dans la majorité des cas, il est nécessaire de calculer min,m , notamment pour le ferraillage

des poutres, pour lesquelles il est difficile d’avoir des armatures transversales soudées à

l’intérieur de la partie courbe.


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- Dans certains cas, le fait d’avoir un diamètre de mandrin de cintrage assez grand, peut

amener à avoir une partie courbe qui sort de l’appui. Dans ce cas, il convient de calculer

la valeur de Fbt max que l’on peut reprendre en considérant un diamètre de

mandrin de cintrage qui ne « sort » pas de l’appui. L’effort manquant doit être

repris par un acier de bielle.

Par exemple :

mf

aF

cd

b

btm 273,067,16

025,0*2

1

070,0

1

*133,02

11

La valeur est supérieure à la largeur de l’appui :

La solution consiste à recalculer la valeur de Fbt max (pour que la partie courbe tienne dans

la largeur de l’appui) + ajout d’un acier de glissement :

On retrouve donc bien les deux conditions du BAEL (endommagement des armatures et

écrasement du béton) mais l’EC2 est beaucoup plus pénalisant.

NB sur l’option « ancrage au nu de l’appui » :


Page 41 sur 108

Lorsque la case est décochée, cas par défaut, l’ancrage est calculé à partir d’une distance :

cot.0s

Dans ce cas, l’effort à ancrer dans les armatures longitudinales inférieures vaut

z

MNVF EdEd

EdEd 2

'cot. (au lieu de cot..5,0 EdV ), conformément à la formule (6) de la FD

P 18-717 (« règles professionnelles), avec ' angle moyen d’inclinaison de la bielle d’about

(affichée dans la note de calcul).

4. Onglet « Peau »

L’EC2 indique qu’il est nécessaire de placer des aciers de peau sur une poutre de plus de 1 mètre

de hauteur.

Ces aciers sont à répartir dans la partie tendue (partie située entre l’axe neutre et les aciers de

flexion), à l’intérieur des cadres.

D’après la clause 9.2.1.1 (1), note 2 de l’Annexe Nationale Française, les armatures de peau

peuvent être prises en compte lors de la vérification de la section minimale d’armatures.

Autrement dit, les aciers de peau peuvent s’ajouter à la section d’armatures longitudinales

tendues lorsque l’on vérifie que celle-ci est bien supérieure à As,min (donnée par les articles 7.3.2

et 9.2.1.1).

La section d’aciers de peau est donnée par la formule :

s

ct

effctcs

AFkkA

*** .

Avec :

- As: section d'armature mini dans la zone tendue.

- Act: aire de la zone de béton tendue juste avant la formation de la première fissure,

ce qui correspond à la partie de béton située sous l’axe neutre, en zone tendue.

- s = fyk

- Fct.eff: résistance effective sur le béton au moment où les fissures sont censées se

produire, à défaut de renseignement exact, on peut prendre fct,eff = fctm (soit

2,56MPa pour un C25/30).

- k = 0,5

- kc: coefficient prenant en compte la nature de la distribution des contraintes dans la

section et qui dépend bien entendu du type de sollicitations:

o En traction pure: kc = 1,0

o En flexion simple: kc = 0,4


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o En flexion composée:

1./

1.4,0,

*

1

effct

cc

fhhkk

- c : contrainte moyenne dans le béton => bh

Nedc (Ned est positif si

compression).

- hh * pour h < 1,0m et mh 10* pour h 1,0m

- 5,11 k si Ned est un effort de compression et h

hk

3

2 *

1 si Ned est un effort de

traction.

5. Onglet « Couture »

La hauteur minimale est la

distance entre la fibre

inférieure et le dessous de la

table.


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Décomposition en plusieurs zones suivant :

- Les pointes de moment nul

- La position des charges ponctuelles

Arche calcule automatiquement la longueur x en fonction de la courbe de moment.

On obtient :


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NB sur la case « Dessin des aciers » : même si la case est cochée, il se peut que les aciers de

couture ne s’affichent pas. En effet, d’après l’article 6.2.4(6) de l’EC2 :

Si Ved est inférieure à k * fctd, aucune armature supplémentaire n’est nécessaire en plus de celles

requises pour la flexion.

Il faut augmenter les charges pour que ces aciers s’affichent …

6. Onglet « Appuis »

Sur appuis de rive

o Armatures inférieures tendues (art. 9.2.1.4)

Attention : l’approche théorique est différente de celle du BAEL.

L’EC 2 repart sur la théorie du treillis de Mörsch développée précédemment.

L’illustration est issue de « La pratique de l’Eurocode 2 » de Jean Roux :


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Comme précédemment, si on écrit le moment en B nous avons : zFalV EEd ..

D’où la valeur de l’effort à ancrer : z

aVF lED

E

. avec

En tenant compte d’un effort normal dans la poutre : EDED

E Nz

alVF

.

En outre, l’EC2 propose d’ancrer au moins une fraction 2 = 0,25 des aciers présents en travée.

L’annexe nationale retient une valeur 2 = 0.

Cette approche est totalement différente de

celle développée dans le BAEL. En effet, le

BAEL préconise le développement d’un

système bielle tirant simple au droit de

l’appui:

Le modèle bielle-tirant équivalent est alors :

On obtient dans ce cas un effort à ancrer Vu.

Pour des bielles à 45°, l’EC2 trouve donc deux fois moins d’acier.


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o Bielle de compression du béton (art. 6.5.4)

Le fonctionnement de la bielle de béton à l’EC2 est illustré par le schéma suivant :

La surface horizontale de l’appui à considérer vaut :

a1 = ap – c – 2.s0

Avec :

- sO : distance du parement à l’axe des barres

- c : enrobage

La surface de la bielle de béton comprimé, notée a2, vaut alors : 'sin.'cos. 12 aua

Dans ce schéma une seule barre est prise en compte donc u = 2.s0


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Nous avons vu précédemment que du fait de la transmission directe, on pouvait aller jusqu’à

prendre en compte un effort tranchant à l’abscisse x = z.cot, ce qui représente la borne

inférieure de la bielle (en partant de la droite de l’appui). Cet angle représente l’angle que l’on

utilise dans le calcul des armatures d’effort tranchant.

De l’autre côté (en partant de la gauche de l’appui), on a une inclinaison différente que l’on

pourrait calculer facilement.

On voit donc que la bielle d’about a en réalité une largeur variable et une inclinaison différente de

ces deux bornes.

Pour simplifier les calculs, on retiendra une bielle de largeur « a2 » et d’une inclinaison moyenne

’.

De façon géométrique, à partir du schéma précédent, il est assez simple de déterminer l’angle

d’inclinaison de la bielle :

2

cotcot.

22

cot.cot.

2'cot 010

1

z

s

z

a

z

zs

a

Attention : si on reprend le schéma de l’EC2 avec deux lits d’armatures, la formule devient :

2

cot

.2

cot.

2

2

cot.cot.

2'cot 10

1

z

u

z

a

z

zs

a

On a donc, la contrainte dans la bielle de compression calculée à partir de la formule (en fonction

de l’angle d’inclinaison ’) :

'sin..2

w

Edc

ba

V

Cette contrainte doit être inférieure à la contrainte maximale autorisée (art 6.5.4b : compression

avec tirant ancré dans une direction):

cdRd fk '..2max,

Avec :

- k2 = 0,85

- 250

1' ckf pour tenir compte de la traction transversale de la bielle (état de

fissuration du béton)

Exemple : pour un C25/30, à l’EC2, la contrainte de bielle maximale vaut :

MPafk cdRd 75,125,1

25*

250

251*85,0'..2max,

NB : Dans les ouvrages relatifs au BAEL et dans le BAEL, il indiqué qu’il est possible d’étager des

bielles de compression du béton lorsque la contrainte du béton est dépassée. Nous ne retrouvons

pas cette approche dans l’EC2.


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Sur appuis intermédiaires

o Armatures inférieures tendues (art. 9.2.1.4)

Les vérifications à mener sont les mêmes que précédemment, il suffit seulement d’ajouter la

contribution du moment :

z

MN

z

aVF ED

ED

lED

E .

o Bielle de compression du béton (art. 6.5.4)

L’approche de l’EC2 est moins claire que le BAEL :

- Dans les nœuds soumis à compression, lorsqu’aucun tirant n’est ancré dans le

nœud :

cdRd fk '..1max,

Avec :

k1 = 1

' est défini à l’article 6.5.2 (2).

max,Rd est la contrainte maximale

pouvant être appliquée sur les faces

de nœud

- Dans les nœuds soumis à compression et à traction, avec tirants ancrés dans une

direction :

cdRd fk '..2max,

Avec :

k2 = 0,85

' est défini à l’article 6.5.2 (2).

max,Rd est la plus grande des valeurs 1,Rd et 2,Rd .


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Arche effectue la même vérification que sur appui de rive. Il peut être cependant possible de

prendre comme contrainte maximale de bielle :

cdRd fk '..1max,

Avec k1 = 1 si aucun tirant n’est ancré dans le nœud.

Conformément à l’article 6.5.4(5) de l’EC2, Arche Poutre autorise une majoration de 10% de la contrainte de

compression maximum max,Rd dans les nœuds :


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D. Hypothèses / Conditions / Flèches

Le calcul de la flèche ne se fait que si l’on coche « Calcul selon 7.4.3 EC2 (flèche totale) » (et/ou

« Application des règles professionnelles (flèche nuisible) » ou bien « Application méthode

générale (flèche nuisible) »).

L’Eurocode 2 définit une méthode pour le calcul de la flèche totale, en considérant une

interpolation entre un état non-fissuré et un état entièrement fissuré.

L’un des défauts (ou imprécision) de cette méthode est que l’on ne tient pas compte de

l’historique de chargement, et que l’on se contente de déterminer une flèche totale sous

combinaisons quasi-permanentes. Les charges G ne sont donc pas décomposées.

Deux autres méthodes peuvent donc venir en complément.

L’option « Prise en compte du retrait » n’est accessible que si le calcul détaillé de la flèche a été

activé.

NB sur les coefficients de part de fluage :

L’utilisateur peut définir les coefficients en fonction du délai de décoffrage, par travée.

Selon le temps écoulé entre le décoffrage du gros œuvre et la mise en œuvre des éléments

fragiles, il appartient au concepteur de choisir la valeur convenable comprise entre 0 et 1 du coefficient .


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Dans le cas de la méthode des recommandations professionnelles, seul 0 est nécessaire.

Dans le cas de la méthode générale, il faut imposer les deux.

Dans le cas où la valeur est égale à 0, cela signifie que la mise en œuvre de l’élément fragile

intervient juste après le décoffrage et qu’il n’y a pas de notion de fluage.

On peut retenir pour ce coefficient le terme de la loi fluage :

Comme on peut le voir sur le schéma ci-dessous, cela revient à peu près au même que de faire

un ratio entre le fluage à l’infini et le fluage à l’instant t donné.

On voit que pour un béton C25 et une dalle de 20 cm, si t-to = 6x30 = 180j : 65,0

Cela étant dit, il est possible d’effectuer le calcul de ces coefficients de manière automatique,

conformément à l’annexe B de l’EC2. Dans le menu Hypothèses / Béton armé, il est alors

nécessaire d’indiquer :

- t1 : la date de pose des revêtements avant la pose des éléments fragiles

- tc : la date de pose des éléments fragiles


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E. Hypothèses / Cas de charges

Pour les cas d’exploitation :

Les coefficients sont directement extraits du tableau :


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F. Hypothèses / Combinaisons

Chaque ligne correspond à une combinaison, elle-même définie par un type (ELU, ELS, ELUA),

une durée et un code.

Et les combinaisons sont automatiquement générées selon l’EC0 et l’EC1 :

- ELU d’équilibre :

iQQGG 01infsup 5,15,19,010,1

- ELU de résistance :

iQQGG 01infsup 5,15,10,135,1

- ELU accidentel de feu :

id QQAGG 211infsup 0,10,1

- ELU accidentel de séisme :

iEd QAGG 2infsup 0,10,1

Le bouton « Note » permet d’avoir un document listant dans un tableau les combinaisons

existantes.

Le bouton « Somme auto » permet de faire la somme automatique de plusieurs cas de charges

ayant le même code indicée (par exemple ECQ1, ECQ2, ECQ3 …).

Le bouton « Modèle de combinaisons » permet de charger (ou visualiser) un modèle de

combinaisons.


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Le bouton « concomitances » permet d’appeler la boite de dialogue correspondante :

Un système de chiffres permet de définir quels cas de charges sont combinés entre eux :

- 0 : les cas de charges ne seront jamais combinés entre eux.

- 1 : les cas de charges peuvent être, ou non, combinés entre eux.

- 2 : les cas de charges seront toujours combinés entre eux.

Dans l’onglet « Règles », il est possible de définir des exclusions ou des combinaisons forcées

entre familles ou cas de charges.

G. Hypothèses / Calcul / Moments

Cela concerne surtout le calcul des sollicitations.

1. Portée de calcul

La portée est prise entre-axes (et non plus entre-nus) :

Leff = distance entre nus + min [hauteur poutre ; largeur appui]

2. Redistribution des moments


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L’article 5.1.3 de l’EC2 indique clairement qu’il est impératif de bien prendre en compte tous les

cas de charges pertinents pour le dimensionnement de l’élément considéré.

En d’autres termes, cela signifie que pour le calcul d’une poutre, il est impératif de bien prendre

en compte la notion de travée chargée-déchargée de façon à bien dimensionner les armatures et

les épures d’arrêt des barres avec des courbes enveloppes de moment.

En général, on retient les cas suivants :

1er cas => Une travée sur deux supporte les charges variables et les charges permanentes,

les autres supportant uniquement les charges permanentes. Ces cas permettent d’avoir les

courbes de moments min (pour la longueur des aciers de chapeaux) et max (pour le

dimensionnement des aciers tendus en travée).

2ème cas => Deux travées adjacentes supportent les charges permanentes et les

surcharges, ce qui permet de déterminer les moments maximaux sur appuis.

Le tableau ci-dessous résume les cas à prendre en compte dans le cas d’une poutre-continue à 5

travées :

Les méthodes de comportement couramment utilisés pour l’analyse sont les suivants :

- Le comportement élastique linéaire (art. 5.4) : on prend en compte uniquement les

sections de béton seul (armatures non prises en compte) et on suppose que les pièces ne

sont pas fissurées.

- Le comportement élastique linéaire avec redistribution limitée (art. 5.5) : idem

comportement précédent, mais on réduit forfaitairement les moments sur appuis tout en

augmentant ceux en travée pour respecter l’équilibre.

- Le comportement plastique, dont le modèle bielles et tirants (art. 5.6)

- Le comportement non-linéaire (art. 5.7)


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3. Exemple de redistribution limitée dans Arche Poutre

Dans Arche Poutre, on peut appliquer la deuxième méthode (des méthodes décrites ci-dessus),

à savoir la méthode élastique linéaire avec redistribution limitée.

Principe de redistribution à l’ELU du moment fléchissant :

Les moments dans les sections les plus sollicitées sont multipliés par un coefficient réducteur ,

les moments dans les autres sections étant augmentés en conséquence pour maintenir l’équilibre.

Dans tous les cas, la valeur de doit toujours être supérieure à :

- 0,7 pour les aciers ductiles ou très ductiles (classes B ou C).

- 0,8 pour les aciers peu ductiles (classe A).

La case « Calcul auto », permet une redistribution limitée des moments conformément à l’article

5.5 de l’EC2.

La méthode implémentée dans Arche Poutre est la suivante :


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- Le module calcule dans un premier temps les moments maximaux en travée sans aucune

redistribution.

- Il détermine ensuite les combinaisons correspondant aux moments max en travée puis

sauvegarde les moments sur appuis concomitants : ce sont les valeurs de référence qui

permettront de calculer les coefficients de réduction.

- Connaissant les moments sur appuis de référence, le module repasse toutes les

combinaisons et réduit les moments sur appuis sans jamais descendre en dessous des

moments de référence calculés précédemment.

- Le point d’arrêt de l’algorithme est le non dépassement des coefficients de redistribution

maximaux définit par l’Eurocode.

Exemple de redistribution limitée sur une poutre à 3 travées :

Analyse linéaire (sans redistribution) (100% sur appuis) :

Détermination du coefficient de redistribution :

Essai avec d = 30% (acier de classe B) :


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Recherche de la valeur optimale :

- Le moment max sur appui = 567 kN.m (cas 3 – 2 premières travées chargées)

- Le moment max de la travée adjacente = 570 kN.m (cas 1 – travées de rive chargées)

- Pour ce cas 1, le moment sur appui = 466 kN.m

- Le coefficient de redistribution optimal sera : %82567

466

Efforts en analyse linéaire avec redistribution de 18% :

Cas 1 : travées de rive chargées :


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Cas 3 : 2 premières travées chargées ( = 82% sur l’appui 2)

Avec une redistribution plus importante, on aurait augmenté le moment en travée (et donc le

ferraillage en travée).

La méthode de la redistribution limitée est appliquée lorsque l’utilisateur coche les options

suivantes :


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V. RESULTATS

Tous les résultats sont disponibles sous forme de diagrammes ou tableaux dans le menu

Affichage.

Le plan de ferraillage est disponible dans le menu Affichage / Plan interactif.

Les menus Options et Outils permettent de paramétrer l’affichage de ces résultats.

Notamment, une option dans le menu Outils / Métré permet de prendre en compte dans le calcul

du métré la hauteur totale de la poutre ou bien uniquement la retombée (dans le cas d’une

poutre avec table de compression) :

Il est possible de « geler » le plan de ferraillage interactif afin de ne pas perdre les modifications

utilisateurs lors d’un re-calcul de la poutre.

L’option correspondante est accessible depuis le plan de ferraillage :


Page 62 sur 108

Dès l’instant que l’utilisateur active cette fonction, les boites de dialogues de modification

interactive du plan de ferraillage restent accessibles mais les paramètres sont grisés :

Lors d’un retour en page de saisie, l’utilisateur peut modifier uniquement les paramètres qui ne

changent pas la géométrie de la poutre.

Si, par exemple, l’utilisateur impose des charges plus importantes, le module Arche Poutre va

relancer le calcul en conservant le ferraillage précédemment imposé => il s’agit donc d’une

vérification de capacité portante avec, le cas échéant, les messages d’erreurs correspondants.


Page 63 sur 108


Page 64 sur 108

VI. EXERCICE 1 : Section rectangulaire en flexion simple

A. Données

Poutre rectangulaire 25x60

Travée isostatique de 6m, appuis de 25cms

Béton C30/37, armatures B500B

Classe d’environnement XC1

Enrobage : 3cm

Chargement :

- Poids propre : 25kN/ml

- Surcharge : 30kN/ml

B. Calcul des sollicitations

Longueur à prendre en compte :

21 aaLL nueff

avec mth

ai 125,02

;2

min

soit mLeff 25,6125,0125,06


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Charge ELU :

QGP .5,1.35,1

30*5,12525*6,0*25,0*35,1 P

mlkNP /81,83

Moment ELU à mi-travée :

mkNPL

M Ed .24,4098

25,6*81,83

8

22

Effort tranchant ELU à l’axe de l’appui :

kNPL

VEd 90,2612

25,6*81,83

2

Moment négatif forfaitaire sur appui :

mlkNMM Eda /4,6124,409*15,0.15,0

Il faut afficher les sollicitations entre axes par le menu Options / Affichage :


Page 66 sur 108

C. Calcul des aciers longitudinaux

Le calcul à l’EC2 est identique à celui du BAEL avec une légère différence sur la contrainte maxi

du béton et une portée de calcul prise entre axes des appuis :

Résistance du béton C30/37 :

MPaf

fc

ckcccd 20

5,1

30.

Estimation hauteur utile d :

mehehd 536,057,0*06,003,06,0).(06,0

Calcul du moment réduit :

372,0285,020*536,0*25,0

409,0

.. 22

cd

Ed

fdb

M

Calcul de :

43,0285,0*211*25,1211.25,1 d

X u

Calcul du bras de levier :

mdzb 444,043,0*4,01*536,04,01.

Calcul de la section d’armatures :

224 19,2110.19,2178,434*444,0

409,0

.cmm

fz

MA

ydb

Ed

z

On peut mettre en place en ce cas 3HA25 + 3HA20 (24,15cm²), c’est ce que met Arche Poutre :


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Il est possible d’optimiser cette section d’aciers.

Dans le calcul précédent, le calcul de la hauteur utile était bloqué à 6%.

Si je décoche la case « Bloquée », Arche Poutre trouve un coefficient de 4,9% :

Soit :

mehehd 542,057,0*049,003,06,0).(049,0

De plus, le calcul vient d’être fait avec une loi de comportement de l’acier à palier horizontal.

Optimisons le calcul en choisissant un diagramme avec droite inclinée :

Calcul du moment réduit :

372,0278,020*542,0*25,0

409,0

.. 22

cd

Ed

fdb

M


Page 68 sur 108

Calcul de :

417,0278,0*211*25,1211.25,1 d

X u

Pour déterminer la contrainte limite s sur les aciers tendus, il faut déterminer l’allongement des

aciers tendus.

Pour cela, on considère un raccourcissement du béton de 3,5‰.

On a donc :

%492,0417,0

417,01%.35,0

s

On vérifie que cette valeur reste inférieure à ukud 9,0 , soit 0,9*0,25 = 2,25% pour un acier

de classe B.

On détermine ensuite si l’on se situe sur la branche plastique :

%2175,0200000*15,1

5000

s

yd

sE

f

On a bien la relation : udss 0 vérifiée, donc on est bien dans le domaine plastique.

08,1k d’après le tableau 2.1 de l’annexe C de l’EC2 (acier de classe B) :


Page 69 sur 108

On a donc :

MPakf

fsuk

ss

s

yk

yd 439175,225

175,292,4108,11

15,1

50011

0

0

Calcul du bras de levier :

mdzb 451,0417,0*4,01*542,04,01.

Calcul de la section d’armatures :

224 7,2010.7,20439*451,0

409,0

.cmm

fz

MA

ydb

Edz

On retrouve ces valeurs dans la note de calcul d’Arche :

D. Calcul des aciers transversaux

Effort tranchant ELU au nu de l’appui :

kNPL

VEd 50,2512

6*81,83

2

Effort tranchant résistant de calcul en l’absence d’armatures transversales RdcV :


Page 70 sur 108

21

23

31

1

..035,0

..100..max..

ck

ckrdc

wRdc

fk

fkCdbV

avec 2614,1531

2001

2001

dk

et 02,0011,01,53*25

9,4*3

.

db

A

w

sll (on ancre 3HA25)

kN

MN

MNVRdc 82

035,0

082,0max

30*614,1*035,0

30*011,0*100*614,1*12,0max*531,0*25,0

21

23

31

EdRdc VV , il y a donc nécessité d’avoir des cadres sur appui, en deçà des dispositions

constructives.

Effort tranchant résistant du béton max,RdV :

an

zbfV wcd

Rdcottan

...max,

Avec 45 soit 1cottan an

Coefficient d’efficience : 528,0250

301.6,0

2501.6,0

ckf

kNMNVRd 641641,011

54,0*9,0*25,0*20*528,0max,

EdRd VV max, , la bielle de béton est donc correctement dimensionnée.

Calcul de la section transversale :

mmanfd

V

s

A

ywd

Edsw /10*21,11*435*531,0*9,0

2515,0

cot...9,0

23

22 /08247,0/7,824 mmmmA

s

sw


Page 71 sur 108

Si 1 cadre et 1 étrier en diamètre 6, section d’acier 1,13cm², soit un espacement de 0,093m,

soit 9cm.

Vérification des pourcentages minimum :

%21,1435*2

20*528,0

.2

.%484,0

25,0

10*21,1

.%0876,0

500

3008,008,0

3

yws

cd

w

sww

ywk

ck

f

f

sb

A

f

f

mlcms

A

sb

A sw

w

sw /19,2%0876,0*25,0.

%0876,0 2

min

min

On retrouve bien cette valeur dans Arche :

Il est possible d’optimiser cette valeur de plusieurs façons :

- On peut calculer les armatures transversales sur une longueur élémentaire z.cot en

utilisant la plus petite valeur de Ved sur cette longueur. Cela se paramètre dans le menu

Hypothèses / Ferraillage / Hypothèses, onglet « Transversal » :

Arche donne alors : mms

Asw /968,9 2


Page 72 sur 108

- Considérer VEd,Red au lieu de VEd

L’effort tranchant est alors mesuré à une distance d du nu de l’appui.

Pour ce faire, il faut déjà autoriser l’ancrage complet sur appui, dans le menu Hypothèses

/ Ferraillage / Hypothèses, onglet « Ancrage » :

Puis dans le menu Hypothèses / Conditions / Caractéristiques, activer la transmission

directe des efforts :

- Considérer un angle d’inclinaison des bielles plus faible.

Cela peut se faire dans le menu Hypothèses / Conditions / Caractéristiques.

Celui-ci doit varier entre 21,8 et 45°.

Ces deux dernières optimisations ne sont pas souvent économiques en termes de ratio.

E. Calcul de la flèche

L’EC2 donne deux méthodes alternatives pour la limitation des flèches :

- Calcul des flèches, pour vérifier si la valeur de calcul est inférieure ou égale à la valeur

limite.

- Contrôle de la flèche sans calcul direct, mais en limitant le ratio portée / hauteur utile :

0

23

00 1.2,3.5,111.

siffK

d

lckck


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0

0

0 '.

12

1

'.5,111.

siffK

d

lckck

C’est cette dernière option qui est choisie par défaut dans Arche Poutre, dans le menu

Hypothèses / Conditions / Flèches :

Calcul de la valeur limite :

%548,000548,010* 3

0

ckf

%38,10138,0)60,0*25,0(

00207,0

sec

sec

totalbétontion

tenduesarmaturestion

A

A

c

s

26,1438,1

0548,0305,111*10

d

l

F. Calcul de l’ouverture de fissures

L’EC2 n’impose plus de limite de contraintes sur l’acier en fonction du type de fissuration (peu

préjudiciable, préjudiciable ou très préjudiciable).

Par contre, un chapitre important de l'EC2 concernant la maîtrise de l'ouverture des fissures. Par

conséquent, des vérifications complémentaires consistent à limiter l'ouverture des fissures :

- Par des dispositions constructives visant à limiter l'ouverture des fissures (§ 7.3.3 de

l'EC2)

- Par un calcul exact de l'ouverture des fissures (§ 7.3.4 de l'EC2) et comparaison avec

l'ouverture limite qui est fonction de la classe d'exposition (articles 4.2 et 7.3 de l'EC2).


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C’est la deuxième option qui est choisie dans Arche Poutre. On peut vérifier le diagramme

d’ouverture des fissures dans le menu Affichage / Contraintes.

1. Limitations des fissures

Le tableau 7.1N de l’EC2 modifié par l’article 7.3.1(5) de l’annexe nationale française définit

l’ouverture maximum des fissures en fonction de la classe d’exposition.

Pour un environnement XC1, l'EC2 préconise une ouverture de fissure maximale de 0,4mm.

2. Dispositions constructives pour éviter les fissures

Il est possible de s’affranchir d’un calcul exact de l’ouverture des fissures si on respecte un

diamètre et un espacement maximum des barres, fonction de la contrainte limite de l’acier que l’on souhaite utiliser :

On voit bien que ces conditions sont très peu économiques, car le diamètre maximum des aciers

diminue fortement lorsque l’on augmente la contrainte admissible du matériau.

3. Calcul exact de l’ouverture des fissures (article 7.3.4 EC2)

La largeur de fissure de calcul peut se déduire de la formule suivante : )(*max, cmsmrk SW

Avec :

kw : ouverture de la fissure calculée.

max,rs :espacement maximal des fissures.

sm : élongation moyenne de l’armature sous la combinaison de charges appliquées

compte-tenu de la rigidité du béton tendu, du retrait, etc…

cm : déformation moyenne du béton entre les fissures.


Page 75 sur 108

Calcul de la position de l’axe neutre et de la contrainte acier

Moment quasi-permanent à mi-travée :

mlkNQGP /75,3730*3,02525*6,0*25,03,0

mkNPL

M EdQP .3,1848

25,6*75,37

8

22

,

Position de l’axe neutre à l’ELS :

b

bdAnAnAny

sss ***2**2

avec As = 0,0021m² = 3HA25 + 2HA20

my 264,0

25,0

25,0*54,0*0021,0*15*20021,0*150021,0*152

Inertie fissurée :

mydAnyb

I sf

323

23

10*93,3264,054,0*0021,0*153

264,0*25,0**

3

*

Contrainte acier :


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MPa

I

ydMn

f

Edqp

qps 8,19310*93,3

264,054,0*184,0*15***3

,

,

MPa

I

ydMn

f

Edk

ks 30310*93,3

264,054,0*287,0*15***3

,

,

Dans Arche Poutre, il est possible de visualiser cette contrainte en fonction de l’abscisse dans le

menu Affichage / Contrainte :

Dans ce même menu, il est possible d’afficher la position de l’axe neutre via le menu Options /

Affichage :

Calcul de Sr,max

L’espacement maximal des fissures est déterminé à partir de la formule :


Page 77 sur 108

0

421

3

,

421

3

,

421

3max,

3b

yh

A

kkkCk

A

A

kkkCk

kkkCkS

s

effc

seffp

r

ATTENTION, les coefficients 3,4 et 0,425 (respectivement k3 et k4) peuvent être modifiés dans

l’annexe nationale de chaque pays.

Si pas d’armatures de précontrainte, on a :

effc

seffp

A

A

,

, avec :

effcA , : aire effective de béton autour de l’armature tendue =>

2

3

)()(5.2

min.,

h

xhdh

bA effc

Ici, on a :

2;

3

)(;)(*5,2min*

',

,hxh

dhb

A

tenduearmatureldeautourbétondeeffectiveaire

aleslongitudinarmaturesdesaire

A

A s

effc

s

effp

075,0028,0

000021,0

2

60,0;

3

)264,060,0(;)54,060,0(*5,2min*25,0

000021,0,

effp

Dans la formule de calcul de max,rs intervient également le diamètre des barres. Dans le cas d’une

section comportant n1 barres de diamètres 1 et n2 barres de diamètre 2, on a la formule suivante

(ici on a 3H25 + 2HA20) :

mm26,23)20*2()25*3(

²)20*2(²)25*3(

2211

2

22

2

11

1k est un coefficient qui tient compte des propriétés d’adhérence des armatures :

o k1 = 0,8 pour les barres à haute adhérence.

o k1 = 1,6 pour les barres lisses.

2k est un coefficient qui tient compte de la distribution des déformations :

o k2 = 0,5 en flexion ou flexion composée avec compression.

o k2 = 1 en traction pure ou en flexion composée avec traction.

c est l’enrobage des armatures longitudinales : c = 30mm


Page 78 sur 108

Dans le cas de l’exemple, on a :

075,0

0233,0*5,0*8,0*425,004,0*49,2max, rS

mmmSr 152152,0max,

Calcul de sm-cm

Le terme cmsm peut être calculé avec l’expression suivante :

s

s

s

effpe

effp

effct

ts

cmsmEE

fk

6,0

).1(. ,

,

,

Avec :

e : coefficient d’équivalence : 1,6312800

200000'

cm

s

eE

Eeéquivalencdtcoefficien

fct,eff = fctm = 2,9MPa pour un C30/37

tk : coefficient qui dépend de la durée de chargement :

o kt = 0,6 pour un chargement de courte durée.

o kt = 0,4 pour un chargement de longue durée.

Dans le cas de l’exercice (on suppose une classe d’exposition XC1), on a :

200000

075,0*1,61*075,0

9,2*4,0194

cmsm

200000

194*6,010*56,8 4

cmsm

Calcul de wk

cmsmrk Sw .max,

mmmmwk 4,013,0

Arche poutre affiche, dans le menu Affichage / Contrainte :


Page 79 sur 108

G. Dimensionnement en flexion ELS

Pour déterminer le pourcentage minimum d’armatures à mettre en place, il faut vérifier deux

articles de l’EC2 :

L’article 7.3.2 concernant la maitrise de la non-fissuration.

L’article 9.2.1.1 qui est spécifique aux poutres.

Article 9.2.1.1

dbf

fA t

yk

ctm

s ***26,0min,

Avec :

fctm = 2,9MPa

fyk = 500MPa

bt = 0,25m

d = 0,54m

²04,254,0*25,0*500

9,2*26,0***26,0min, cmdb

f

fA t

yk

ctm

s

Article 7.3.2

s

ct

effctcs

AFkkA

*** ,min,

Avec :

kc = 0,4 < 1 (en flexion simple)

k = 0,86 (poutre rectangulaire avec interpolation car h = 60cm)

Fct,eff = Fctm = 2,9MPa


Page 80 sur 108

Remarque sur le terme Act :

- On pourrait prendre Act = demi section (comme Thonier) pour simplifier, mais ce n’est pas

rigoureux :

²075,02

6,0*25,0mAct

- Il vaut mieux faire un calcul pour connaître la position de l’axe neutre, ce que fait Arche

Poutre. Il faut afficher la position de l’axe neutre par rapport à la fibre supérieure (menu

Options / Affichage).

La position de l’axe neutre par rapport à la fibre supérieure est en règle générale à 0,271m du

haut de la poutre, soit en hauteur tendue : 0,6 – 0,271 = 0,329m.

On a donc: Act = 0,25 * 0,329 = 0,083m²

Soit :

²65,1500

083,0*9,2*86,0*4,0min, cmAs

La vérification des flèches et des fissures ont déjà été faites dans le cadre du dimensionnement

ELS.

H. Calcul des ancrages

Contrainte limite d’adhérence

ctdbd ff ***25,2 21

MPaf

fc

ctk

ctctd 35,15,1

30*3,0*7,0*00,1.

3/205.0,

11 => les conditions d’adhérence sont considérées bonnes.

0,12 pour un diamètre inférieur à 32mm.

MPafbd 04,335,1*25,2

Longueur d’ancrage droit de référence

bd

sdrqdb

fl

.4

.,


Page 81 sur 108

L’effort à ancrer est de 41,86kN, soit une contrainte de 41,86kN / 4,91cm² (HA25) = 85,25MPa.

cml rqdb 53,1704,3*4

25,85*5,2,

Longueur d’ancrage droit de calcul

min,,543.21 ..... brqdbbd lll

cmmmmmll rqdbb 25100;5,2*10;53,17*3,0max100;10;*3,0max ,min,

11 => en considérant cd = min (4,05cm ; 3,5cm) = 3,5cm (< à 3).

12 => car 13,12

)5,2*35,3(*15,01

)3(15,017,0 2

dc

13 => on considère qu’il n’y a pas de confinement par des armatures transversales (pas

d’aciers transversaux sur appui donc 0 ).

14

91,05 => on considère un confinement par compression transversale due à l’effort tranchant

(VEd / a.b)

On a donc :

min,, 95,15*91,0 brqdbbd lcmll

La longueur développée doit donc être de 25cm.

Calcul du mandrin de cintrage

On va déterminer le mandrin de cintrage en considérant la condition de non-écrasement du

béton, à savoir :

cd

bbtm

f

aF

2

11

MNFF ydbt 042,025,85*4

²025,0*.

4

².

MPaf cd 205,1

30


Page 82 sur 108

mmab 50,472

2535 pour l’armature proche du parement

On considère un espacement entre aciers longitudinaux de 40,5mm, ce qui nous donne

mmab 212

5,40 pour une armature intérieure.

mf

aF

cd

b

btm 087,020

025,0*2

1

047,0

1

*042,02

11

pour l’armature proche du parement.

mf

aF

cd

b

btm 142,020

025,0*2

1

021,0

1

*042,02

11

pour une armature intermédiaire.

On peut donc retenir un mandrin théorique de 15cm.

Calcul de la longueur de l’ancrage

Reprenons notre schéma initial :

On peut déduire 2l des hypothèses de coffrage :

ml 115,02

15,0025,0035,025,02

La longueur développée de cet ancrage est de :

bd

mandrinbarre LllL

22*

4

321

On peut donc en déduire :

02

15,0

2

025,0*

4

3115,025,0

2

15,0

2

025,0*

4

321

lLl bd

On mettra donc un retour droit minimum de 5* , soit 12,5cm.

Visualisation sur Arche Poutre

On retrouve une partie de ces données dans la note de calcul :


Page 83 sur 108

Et l’autre partie sur le plan interactif :

Il peut y avoir quelques légères différences du fait des arrondis et aussi du fait que attention,

selon l’EC2, le mandrin est pris à l’intérieur de l’acier et non pas à l’axe :

- Arche trouve un diamètre de mandrin de 18cm. - Soit une longueur développée de (135°* *0,09m) / 180 = 21,2cm

- Soit une longueur 23cm égale à : 12,5cm (retour droit mini = L12) + 10,6cm (la moitié de

la longueur développée)

- Et soit une longueur de barre de 643cm égale à 600cm (portée entre nus) + 2*10cm

(L11) + 2*10,6cm (l’autre moitié de la longueur développée).

En considérant un ancrage total


Page 84 sur 108

La contrainte limite d’adhérence fbd est toujours égale à 3,04MPa.

La longueur d’ancrage droit de référence devient : cmf

lbd

sd

rqdb 4,8904,3*4

78,434*5,2

.4

.,

Les coefficients de pondération deviennent tous égaux à 1.

La longueur développée doit donc être de: lbd = lb,rqd = 89,4cm.

On a : MNFF ydbt 213,015,1

500*

4

²025,0*.

4

².

et donc :

mf

aF

cd

b

btm 44,020

025,0*2

1

047,0

1

*213,02

11

pour l’armature proche du parement.

mf

aF

cd

b

btm 72,020

025,0*2

1

021,0

1

*213,02

11

pour une armature intermédiaire.

Lorsque la case « Effort manquant repris par un acier de glissement » n’est pas cochée, Arche

retient alors 45cm :


Page 85 sur 108

Mais l’acier sort du coffrage.

En cochant la case « Effort manquant repris par un acier de glissement », Arche recalcule alors

le diamètre du mandrin de cintrage et ajoute un acier de glissement en complément :


Page 86 sur 108

Avec un retour droit forfaitaire

Si l’option « Retour droit forfaitaire » est cochée, Arche affichera un retour droit mini.

Si l’option n’est pas cochée, Arche affichera le max entre le calcul et la valeur mini.

I. Vérification sur appui

On les retrouve dans le menu Affichage / Vérif appuis :

A droite, on a le cas où la case « Ancrage au nu de l’appui » est cochée. C’est le cas le moins

sécuritaire.

Section à ancrer sur appuis :

ANFranceavecA

cmfz

zV

fz

aV

A

l

yd

Ed

yd

lEd

s

00.

89,2435*2

251,0

*

2cot.*

*

*

max

22

2


Page 87 sur 108

A gauche, on a le cas par défaut, où la case « Ancrage au nu de l’appui » n’est pas cochée,

c'est-à-dire que l’ancrage est calculé à partir d’une distance s0.cot .

Section à ancrer sur appuis :

²78,5435

251,0cm

f

VA

ed

Ed

s

Les 3HA25 ne sont pas intégralement ancrés sur appuis, comme nous le voyons sur la courbe

réelle des aciers longitudinaux.

Pour la bielle de béton maxi sur appuis :

MPafk cdRd 96,145,1

30

250

301*85,0'..2max,

Il convient de vérifier sur appui la condition :

cdwEd fdbV ....5,0

Soit pour la contrainte tangentielle :

MPazb

V

w

redEd

resEd 06,281,0*6,0*25,0

251,0

.

,

,

Soit pour la contrainte tangentielle limite:

MPaff

f ckckcd 28,5

5,1

30*

250

301*6,0*5,0

5,1*

2501*6,0*5,0..5,01

Contrainte de bielle d’about :

cmcs l

t 85,42

5,26,03

20

si ancrage droit

cmscLa appui 3,12)85,4*2(3252 01

Mais ici l’ancrage n’est pas droit, donc on prend 2.s0 = u = 0, soit :

cmscLa appui 2203252 01

Aussi :

cmhdz 6,48*81,0.9,0

d = 0,6 – cdg de la barre = 0,548

z = 0,9 * d = 0,493m


Page 88 sur 108

De façon géométrique, à partir du schéma précédent, il est assez simple de déterminer l’angle

d’inclinaison de la bielle :

723,02

1

493,0

0

493,0*2

22,0

2

cotcot.

2

2

cot.cot.

2'cot 010

1

z

s

z

a

z

zs

a

soit 54'

cmasa 8,17809,0*22588,0*0*2'sin.'cos..2 102

La contrainte dans la bielle de compression est calculée à partir de la formule (en fonction de

l’angle d’inclinaison ' ) :

MPaba

V

w

Ed

c 95,6809,0*25,0*178,0

251,0

'sin..2

J. Ajout et calcul d’une trémie

Ajoutons une trémie de 0,6m * 0,15m comme décrit ci-dessous :


Page 89 sur 108

La position de l’axe neutre de la poutre est située au dessus de la trémie, donnée ci-dessous à

l’ELS :

h2 = 0,2m

h1 = 0,6 – 0,35 = 0,25m

a = 0,6m

c = 0,15m

Les efforts internes de la poutre au milieu de la trémie (abscisse : x + a/2 = 1,80m) sont :

- Tranchant : VEd = 43,8kN à répartir au prorata des sections ou des inerties des 2

linteaux

- Moment : MEd = 151,8kN.m à transformer en traction-compression par le

bras de levier z

- Normal : NEd = 0kN à répartir au prorata des sections


Page 90 sur 108

1. Répartition de l’effort tranchant

Si la largeur de la trémie est plus grande que la hauteur de chaque linteau (ce qui est le cas

dans notre exemple), alors les déformations des linteaux sont dues essentiellement à la flexion

et la répartition de l’effort tranchant se fait au prorata des inerties des linteaux :

Si a (= 0,6m) max (h1 ; h2) (= 0,25m), alors :

kNhh

hVV EdEd flex

36019,0

0156,0*8,43*

3

2

3

1

3

11,

kNhh

hVV EdEd flex

8,7019,0

0034,0*8,43*

3

2

3

1

3

22,

Si la largeur de la trémie est plus petite que la hauteur de chaque linteau, alors les déformations

des linteaux sont dues essentiellement au cisaillement et la répartition se fait au prorata des

sections :

Si a <min (h1 ; h2), alors :

21

11, *

hh

hVV uEd cis

21

22, *

hh

hVV uEd cis

Si aucune des deux conditions ci-dessus n’est vérifiée, alors par sécurité on prendra :

cisflex EdEdEd VVV 1,1,1, ;max

cisflex EdEdEd VVV 2,2,2, ;max


Page 91 sur 108

2. Transformation du moment de flexion en traction-compression

Le bras de levier au milieu de la trémie (x = 1,8m) est z = 0,48m.

Le moment MEd = 151,8kN.m donne une compression dans le linteau haut et une traction dans

le linteau bas égales (en valeur absolue) à MEd / z = 316kN.

Signes : MEd > 0 si le moment comprime la fibre supérieure de la poutre.

L’effort normal Mu/z est positif en compression.

3. Partage de l’effort normal

L’effort normal NEd se partage au prorata des sections des linteaux :

0*21

11,

hh

hNN EdEd en flexion pure

0*21

22,

hh

hNN EdEd

4. Torseur d’encastrement des linteaux (pour le calcul des aciers

longitudinaux)

Les torseurs au niveau de l’encastrement de chaque linteau sont la somme de :

- L’effet global de la répartition du torseur interne en milieu de trémie

- L’effet local, pour l’effort tranchant et le moment de flexion, venant du linteau calculé

comme une poutre bi-encastrée de portée « a » et supportant les charges externes.

Une fois les torseurs déterminés, les aciers longitudinaux sont calculés dans les sections

d’encastrement qui travaillent en flexion composée.

5. Torseurs d’encastrement des linteaux (pour le calcul des aciers longitudinaux)

Linteau supérieur

L’effort normal total dans le linteau supérieur s’écrit dans notre exemple (compression):

kNNz

MN Ed

Ed

Ed 3161,1,

L’effort tranchant total à gauche du linteau supérieur s’écrit : gEdEdgEd VVV '1,1,1,

L’effort tranchant total à droite du linteau supérieur s’écrit : dEdEddEd VVV '1,1,1,

Le moment de flexion total à gauche du linteau supérieur s’écrit : gEdEdgEd MVaM '1,1,1, **5,0


Page 92 sur 108

Le moment de flexion total à droite du linteau supérieur s’écrit : dEdEddEd MVaM '1,1,1, **5,0

Avec VEd,1 et MEd,1, l’effort tranchant et moment de flexion à gauche ou à droite du linteau sup

bi-encastré portant sur une longueur « a » et supportant les charges externes existant sur cette

longueur, autres que les charges dites « suspendues » (qui seront affectées au linteau

inférieur).

Dans notre cas :

- Charge répartie : mlkNpEd /3412*5,1)25*25,0*25,0.10(*35,11,

- Effort tranchant : kNpaV EdEd 2,10**5,0 1,

'

1, positif à gauche et négatif à droite

- Moment de flexion : mkNa

pM EdEd .3,012

*2

1,

'

1, négatif à gauche et à droite (tend la fibre

sup)

D’où les efforts totaux :

- Sur l’appui gauche du linteau supérieur :

NEd,1 = 316kN

VEd,1g = 36 + 10,2 = 46,2kN

MEd,1d = 0,5*0,6*36 – 0,3 = 10,5kN.m

- Sur l’appui droit du linteau supérieur :

NEd,1 = 316kN

VEd,1g = -36 - 10,2 = -46,2kN

MEd,1d = -0,5*0,6*36 – 0,3 = -11,1kN.m

Ici, on prendra donc 3 HA8 comme aciers inférieurs, et on vérifie que les aciers de montage de

la poutre (3 HA8) sont suffisants comme aciers hauts du linteau.

Toutes les armatures longitudinales calculées ci-dessus doivent être ancrées, de part et d’autre

de la trémie, d’une longueur au moins égale à Ls + c + z/2, où Ls est la longueur de scellement

droit dépendant du diamètre. Ici, avec du HA8, les aciers inférieurs seront ancrés de 32 + 15 +

24 = 71cm (si on prend Ls = 40* phi), soit une longueur totale de barre égale à 1,43m.

Du fait de l’importance de la

compression, un calcul de l’outil béton

montre qu’il n’y a pas besoin

d’armature dans le linteau supérieur.


Page 93 sur 108

Linteau inférieur

L’effort normal total dans le linteau supérieur s’écrit dans notre exemple (compression):

kNNz

MN Ed

Ed

Ed 3161,1,

L’effort tranchant total à gauche du linteau supérieur s’écrit : gEdEdgEd VVV '2,2,2,

L’effort tranchant total à droite du linteau supérieur s’écrit : dEdEddEd VVV '2,2,2,

Le moment de flexion total à gauche du linteau supérieur s’écrit :

gEdEdgEd MVaM '2,2,2, **5,0

Le moment de flexion total à droite du linteau supérieur s’écrit : dEdEddEd MVaM '2,2,2, **5,0

Avec VEd,2 et MEd,2, l’effort tranchant et moment de flexion à gauche ou à droite du linteau sup

bi-encastré portant sur une longueur « a » et supportant les charges externes existant sur cette

longueur, à priori son poids propre ainsi que les charges dites « suspendues » (qui n’ont pas été

prises en compte dans le calcul du linteau haut).

Dans notre cas :

- Charge répartie : mlkNpEd /7,125*2,0*25,0*35,12,

- Effort tranchant : kNpaV EdEd 51,0**5,0 2,

'

2, positif à gauche et négatif à droite

- Moment de flexion : mkNa

pM EdEd .051,012

*2

2,

'

2, négatif à gauche et à droite (tend

la fibre sup)

D’où les efforts totaux :

- Sur l’appui gauche du linteau supérieur :

NEd,1 = 316kN

VEd,1g = 7,8 + 0,51 = 8,31kN

MEd,1d = 0,5*0,6*7,8 – 0,051 = 2,29kN.m

- Sur l’appui droit du linteau supérieur :

NEd,1 = 316kN

VEd,1g = -7,8 - 0,51 = -8,31kN

MEd,1d = -0,5*0,6*7,8 – 0,051 = -2,39kN.m


Page 94 sur 108

Pour les aciers supérieurs, la plus forte section est obtenue à droite et vaut 3,81cm², soit 3 HA14.

Pour les aciers inférieurs, la plus forte section est obtenue à gauche et vaut 4,45cm². On vérifie

que les aciers longitudinaux inférieurs de la poutre (3HA14 + 3HA12) sont bien suffisants.

Toutes les armatures longitudinales calculées ci-dessus doivent être ancrées, d’une longueur au

moins égale à Ls + c + z/2, où Ls est la longueur de scellement droit dépendant du diamètre. Ici,

avec du HA8, les aciers inférieurs seront ancrés de 56 + 15 + 24 = 95cm (si on prend Ls = 40*

phi), soit une longueur totale de barre égale à 1,90m.

6. Armatures transversales

Armatures transversales dans les linteaux

S’il y a des charges suspendues portées par le linteau inférieur, on sait d’après leurs « distances

de décalage » s’il y a lieu de les suspendre également dans le calcul du linteau bas (dépend de

leurs positions par rapport à la mi-hauteur du linteau). Ici, ce n’est pas le cas, le calcul des

armatures transversales se fait par un calcul de poutre de section 0,2*0,25 d’une portée de 0,6m,

ne portant que son poids propre. Ici, c’est la disposition constructive espacement maxi = 0,75*d

qui fixe l’espacement.

Quant aux charges supportées par le linteau haut, elles sont en général non suspendues par

rapport à la hauteur totale de la poutre, mais il se pourrait qu’elles le soient par rapport à la

hauteur h1.

Armatures transversales de renfort autour de la trémie

Nous ne calculerons que les aciers verticaux en renfort à droite de la trémie. Celles-ci ont une

section égale à :

²5,109,041,1.2.9,0

'* 2,2 cmf

V

h

hAAt

s

y

Ed

d

(A’ = 3,81cm² : acier haut du linteau inférieur)

De plus, Atd doit être au moins égale à la demi-section coupée. Ici, dans trémie, on a un cadre

H16 et un étrier HA6 tous les 30cm, soit une section d’aciers transversaux égale à 6,27cm²/ml.

Comme la trémie fait 0,6m de largeur, Atd doit au moins être égale à 3,13*0,6 = 1,88cm².


Page 95 sur 108


Page 96 sur 108

VII. EXERCICE 2 : Poutre en Té en flexion simple

A. Données

Poutre en Té 30*100

Travée isostatique de 10,8m

Appuis de 50cms

Béton C25/30

Armatures B500A


Chargement :

- Poids propre (poutre + table) + 20kN/ml

- Surcharge : 70 kN/ml

B. Calcul des aciers longitudinaux

mlkNG /025,332025*83,0*3,017,0*6,10

mlkNQGPu /58,14970*5,1025,33*35,1.5,1.35,1 0


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mha

LL iineff 3,11

2

5,0*28,10

2;

2min

mMN

LPM

effu

ed .388,28

3,11*58,149

8

* 22

MPaf

fc

ckcccd 20

5,1

30.

MPaf

fs

yk

yd 43515,1

500

Moment résistant de la table :

mMNh

dfhbMf

cdfftu .69,32

17,09,0*67,16*17,0*6,1

2...

L’axe neutre est dans la table, on se reporte à un calcul en section rectangulaire B*H :

mehehd 94,097,0*031,003,01).(031,0

186,0101,067,16*94,0*6,1

388,2

.. 22

cdf

Edbu

fdb

M

133,0101,0*211*25,1211.25,1 d

X u

mdzb 89,0133,0*4,01*94,04,01.

26,61435*89,0

388,2

.cm

fz

MA

ydb

Edz

Arche Poutre donne la même valeur :


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C. Calcul des aciers transversaux

Effort tranchant ELU au nu de l’appui :

kNLP

Veffu

Ed 13,8452

3,11*58,149

2

*

Autorisons l’ancrage complet sur appuis, puis sur la transmission directe des efforts.

kNt

dPVV uEdredEd 9,6682

5,0915,0*58,14913,845

2*,

Calcul de RdcV :

21

23

31

1

..035,0

..100..max..

ck

ckrdc

wRdc

fk

fkCdbV

avec 2463,1931

2001

2001

dk

et 02,0014,05,93*30

9,4*8

.

db

A

w

sll (on ancre 8HA25)

kN

MN

MNVRdc 161

063,0

161,0max

25*463,1*035,0

25*014,0*100*463,1*12,0max*935,0*30,0

21

23

31

EdRdc VV , il y a donc nécessité d’avoir des cadres sur appui, en deçà des dispositions

constructives.

Calcul de :

54,0250

251.6,0

2501.6,0

ckf

V

MPadb

V

zb

V

w

Ed

w

EdEd 35,3

94,0*9,0*3,0

845,0

..9,0.

3448,0372,067,16*54,0

35,3

.*

Re,

cd

dEd

f


Page 99 sur 108

est plafonné tel que 24,2.2

.411cot

2*

2*

soit 24

mcmanfd

V

s

A

ywd

dEdsw /17,824,2*435*935,0*9,0

670,0

cot...9,0

2Re,

Arche Poutre donne 8,31cm² à une distance d du nu de l’appui :

Liaison Ame / Table :

On doit avoir :

f

f

cd

ff

dEd

Ed fb

b

bz

V

2

1Re,

cot1

cot...

*

avec :

2cot1 f si table comprimée

25,1cot1 f si table tendue

Plaçons nous dans le sens de la sécurité en terme de quantité d’acier avec 2cot f

MPaMPa 6,321

2*

5,1

25*54,0892,1

6,1

2

3,06,1

.17,0*94,0*9,0

67,02

La condition est donc vérifiée.

Calcul des aciers de couture :

mcmf

h

s

A

fywd

fEd

f

sf/7,3

2*435

17,0*892,1

cot.

*2

Si barre HA10, section d’acier 0,79cm², soit un espacement de 0,21m.

Arche Poutre les espace de 19cm aux appuis.


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D. Calcul de la flèche

Si on utilise la méthode simplifié avec la minoration par 7/Leff, la flèche n’est pas vérifiée.

On peut alors utiliser la méthode des courbures.


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VIII. EXERCICE 3 : Calcul d’une poutre en torsion

A. Données, actions et sollicitations

Portée Ln de la poutre bi-encastrée : 3,64m

Appuis : 0,36m

Classe structurale 4


Béton C25/30

Acier B500A

Actions

i

ii

neff mha

LL 42

36,0*264,3

2;

2

Poids propre G0 = [(3,6*0,12) + (0,36* 0,72)] * 25 = 17,3kN/ml

A l’ELU, on a : Pu = 1,35G0 + 1,5Q = 1,35*17,3 + 1,5*1*(3,6+0,36) = 29,3kN/ml


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Sollicitations

Moment fléchissant : mkNLPu

Mueff

Ed .07,3912

4*3,29

12

* 22

Effort tranchant : kNLPu

Veff

Ed 6,582

4*3,29

2

*

Moment de torsion :

Mtu = 1,35*Mtg + 1,5*Mtq

Mtu = 1,35*(14,26+4,97) + 1,5*7,13

Mtu = 36,65kN.m/ml

Couple de torsion réparti :

mkNLM

Tefftu

Ed .3,732

4*65,36

2

*

NB : Arche affiche 67kN.m car fait le calcul entre nus : mkNLM

T ntu

Ed .7,662

64,3*65,36

2

*

MPaf

fc

ck

cccd 7,165,1

25*1.

MPa

ff

s

yk

yd 43515,1

500


Page 103 sur 108

B. Ferraillage

1. Armatures de flexion

186,00155,07,16*)72,0*9,0(*36,0

07,39

.. 22

cdw

Ed

bufdb

M

02,00155,0*211*25,1.211*25,1 bu

mdzb 643,0)02,0*4,01(*72,0*9,0)4,01.(

²4,1435*643,0

07,39

.cm

fz

MA

ydb

Ed

s

Armatures minimales de flexion :

²10.04,3..0013,0

²10.16,3...26,0

max

4

4

min

mdb

mf

dbf

As

w

yk

wctm

On place alors 2 14=3,08cm².

02,00013,072*9,0*36

08,3

.

db

A

w

sl

l

2. Calcul à la torsion

mhb

hb

u

At 12,0

)72,036,0.(2

72,0*36,0

).(2

.

Ak = (b-t).(h-t) = (0,36-0,12).(0,72-0,12) = 0,144m²

Soit : t*Ak = 0,12*0,144 = 0,0173m3


Page 104 sur 108

3. Validation de la section

Coefficient d’efficience : 54,0250

251.6,0

2501.6,0

ckf

Je choisis délibérément 45 , de façon sécuritaire (pas de plastification des armatures).

mMNan

tAfT kcd

Rd .155,011

0173,0*7,16*54,0*2

cottan

...2max,

MNan

zbfV wcd

Rd 95,02

7,16*54,0*72,0*9,0*9,0*36,0

cottan

...max,

On doit vérifier que : 165,0950

6,58

155

3,73

max,max,

Rd

Ed

Rd

Ed

V

V

T

T

La section de béton est donc correcte.

4. Faut-il des armatures ?

A-t-on besoin d’armatures ? Oui si 1Rdc

Ed

Rdc

Ed

V

V

T

T

mMNtAfT kctdRdc .042,05,1

0173,0*6,2*7,0*2...2

2/12/3

3/1

1

*.035,0

..100..max..

ck

ckRdc

wRdc

fk

fkCdbV

avec 255,1

650

2001

2001

dk

MNVRdc 079,0

079,0

064,0max

25*55,1*035,0

25*0013,0*100*55,1*12,0max*65,0*36,0

2/12/3

3/1

148,208,0

0586,0

042,0

07332,0

Rdc

Ed

Rdc

Ed

V

V

T

T => il faut des armatures de torsion.


Page 105 sur 108

5. Armatures transversales

Armatures transversales de torsion

Pour la largeur t :

mmanfA

T

s

A

ywdk

Edsw /²10.85,51*435*144,0*2

0733,0

cot...2

4

²/17,0²/1709 cmmmmA

s

sw

pour une paroi.

Armatures transversales d’effort tranchant

mmanfd

V

s

A

ywd

Edsw /²10.3,21*435*65,0*9,0

0586,0

cot...9,0

4

%0639,036,0

10.3,2

.%08,0

500

25.08,0.08,0

4

sb

A

f

f

w

sw

w

ywk

ck donc %8,0min w

Donc mms

Asw /²10.88,236,0*10,8 44 et ²/34,0²/3472 cmmmmA

s

sw

Armatures transversales totales

mms

Asw /²10.92,1410).88,202,6*2( 44

²/0670,0 cmmA

s

sw

soit 1cm² (1 cadre 8) tous les 7cm.

cmb

cmd

cmu

s

w 36

4965,0*75,0.75,0

278

216

8

min

Série de Caquot : 7, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 20, 25, 35, 40 …

Deux barres avec s = 7cm, puis deux barres avec s = 8cm … jusqu’à mi-travée.


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6. Armatures longitudinales

ydk

Ed

k

sl

fA

anT

u

A

..2

cot.

=>

ydk

Edk

slfA

anTuA

..2

cot..

Uk = 2.(di + dj) = 2*[(0,36-0,12) + (0,72-0,12)] = 1,68m

²10²10*10435*144,0*2

3,73*68,1

..2

cot.. 4 cmmfA

anTuA

ydk

Edk

sl

Soit en tout : 10 + 3,08 = 13,08cm².

7. Ferraillage sur appui

mmc b 10min,

mmc dur 25min, Classe structurale 4, classe d’environnement XC2.

mmc 25

10

25

10

maxmin

mmcnom 351025

mmCgcme 3758,102

16*310*235*2360

NB : Arche Poutre trouve une section d’acier différente. Une demande au développement est en

cours à ce sujet (n°8051).


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IX. EXERCICE 4 : Calcul au feu

Le calcul de résistance au feu est effectué selon la section 5, « Valeurs tabulées » de l’Eurocode

2, partie 2. Ce chapitre donne des solutions de dimensionnement reconnues pour l’exposition au

feu normalisé jusqu’à 240 minutes.

Reprenons l’exemple du premier exercice. Pour rappel, il s’agit d’une poutre 25*60, avec un

ferraillage en :

- HA25 pour les barres longitudinales

- HA6 pour les barres transversales

Entrons une résistance au feu de 90 minutes :

Par défaut, la poutre est exposée au feu sur 3 côtés uniquement. On suppose que la face

supérieure est isolée par des dalles ou d’autres éléments qui conservent leur fonction d’isolation

thermique pendant la totalité de la durée de résistance au feu.

Dans ce cas d’une poutre sur appuis simples sans moment sur appuis, l’article 5.6.2 s’applique et

renvoie au tableau 5.5 qui indique des valeurs minimales à respecter :

- Valeurs minimales des distances des axes des armatures aux parements inférieurs et

latéraux de la poutre (enrobage).

- Valeurs minimales des largeurs de poutres.


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Pour une poutre avec une résistance au feu R90, de largeur 25cm, le tableau 5.5 indique donc

qu’il faut un enrobage de 42,5mm minimum.

Cet enrobage est donné par rapport à l’axe des armatures.

L’enrobage latéral doit donc être de : cmcm

cm 95,32

6,025,4

Arche arrondit au demi-centimètre près : on aura donc 4cm.

L’enrobage inférieur doit donc être de : cmcm

cmcm 40,22

5,26,025,4

Arche conservera donc les 3,5cm imposés par la classe d’exposition dans cet exemple.

L’enrobage supérieur, quant à lui, n’est pas modifié, puisque cette face là n’est pas exposée au

feu. Arche conserve donc la valeur de 3cm.

Sur le plan de ferraillage, Arche affiche:

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Arche Hybride Poutre EC2 - graitec.info€¦ · EXERCICE 1 : Section rectangulaire en flexion simple ... - le menu DOCUMENT, ... la poutre en cours