As v4n1 Belarouci

Afrique SCIENCE 04(1) (2008) 64 - 86ISSN 1813-548X

Analyse spectrale paramtrique et non-paramtrique du signal de prcession libre en RMN

Salim BELAROUCI* et M'hamed KHELIF

Laboratoire de gnie biomdical, Facult des sciences de l'ingnieur, Universit Abou Bekr Belkaid, Tlemcen, Algrie

_______________* Correspondance, courriel : [email protected]

Rsum

Ce travail consiste dresser une tude comparative entre les mthodes destimation spectrale non paramtrique bases essentiellement sur la technique du priodogramme avec ses variantes et les mthodes destimation spectrale paramtrique notamment la modlisation autorgressive (AR), moyenne mobile (MA), et la modlisation hybride autorgressive moyenne mobile (ARMA). Cette panoplie de mthodes est applique lanalyse spectrale du signal de prcession libre (FID; Free Induction Decay) dans les expriences de rsonance magntique nuclaire (RMN). Dans cet article, nous montrons clairement les avantages des mthodes paramtriques.

En ce sens quelles se caractrisent par une trs bonne rsolution spectrale et une bonne stabilit statistique. Ces deux paramtres sont indispensables pour estimer la constante de relaxation spin-spin de lchantillon, ainsi que les dplacements chimiques. Les rsultats obtenus par la modlisation ARMA sont meilleurs par rapport ceux des modles AR en terme dordre de prdiction.

Mots-cls : Rsonance Magntique Nuclaire (RMN), Dcroissance Libre de l'Induction Magntique (FID), Densit Spectrale de Puissance (PSD), Autorgressive Moyenne Ajuste (ARMA), Critre d'Information d'Akaike (AIC), Erreur Finale de Prdiction (FPE).

AbstractParametric and non-parametric spectral analysis of the free induction

decay in NMR

This work consists in making a comparative study between the nonparametric spectral estimate methods based primarily on the periodogram technique with its alternatives,

Salim BELAROUCI et M'hamed KHELIF

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and parametric spectral estimate methods, in particular Auto-Regressive modeling (AR), Moving Average (MA) and hybrid modeling Auto-Regressive and Moving Average (ARMA) applied to the spectral analysis of the informative signal within experimentations of Nuclear Magnetic Resonance (NMR). The advantage of these methods compared to the nonparametric methods is to allow a tradeoff between two performances of spectral estimate: spectral resolution and statistical stability. These two parameters are essential to estimate the relaxation time spin-spin of the studied sample, as well as its chemical shifts. The obtained results using ARMA modeling are better in comparison to those of the AR models especially in term of prediction order.

Keywords : Nuclear Magnetic Resonance (NMR), Free Induction Decay (FID), Auto- Regressive with Moving Average (ARMA), Akaike Information Criterion (AIC), Final Prediction Error (FPE).

1. Introduction

Le phnomne de la Rsonance Magntique Nuclaire (RMN) est exploit en spectroscopie et en imagerie. Sous ces deux aspects, la RMN est une mthode danalyse extrmement performante utilise pour les investigations dans le cur de la matire. La signature de ces investigations est appele signal de prcession libre ou Free Induction Decay (FID) [1-4].Pour des expriences classiques de RMN, le signal FID est analys par des mthodes non paramtriques : FFT (Fast Fourier Transform), Priodogramme, Corrlogramme, etc., et par des mthodes paramtriques : AR (Auto-Regressive modelling), ARMA (Auto-Regressive with Moving Average) [5]. Ces mthodes ont pour but d'estimer la densit spectrale de puissance du FID; plus prcisment le dplacement chimique , la frquence de rsonance 0 et le temps de relaxation spin-spin T2. Ces trois paramtres sont d'une importance capitale pour l'identification de l'chantillon sous investigation [4,6].

La reprsentation du signal RMN sous la forme de sa rpartition de puissance en fonction de la frquence permet souvent d'extraire de manire plus immdiate l'information utile. A la diffrence de l'estimation spectrale non-paramtrique, qui ne faisait aucune hypothse sur le signal observ x (n), si ce n'est les proprits de stationnarit l'ordre 2, l'estimation spectrale paramtrique suppose que ce signal suit un modle donn [7]. Ce modle comporte un certain nombre de paramtres qui sont dtermins en fonction du signal observ.


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2. Analyse spectrale non paramtrique du signal FID

2-1. Formalisme thorique du priodogramme

Lhypothse de stationnarit du second ordre au moins et dergodicit du signal FID nous permet dcrire la relation suivante [7] :

( ) ( ) ( ) pi detxtxT

fP fjT

TT

2*

21lim

+

+

= (1)o :P(f) : densit spectrale de puissance estimerx(t) : enregistrement temporel du signal FIDT : dure dobservationNous pouvons aussi introduire le spectre complexe de la ralisation tronque du processus x(t) comme suit :

( ) ( ) dtetxfX ftjT

TT

pi22

+

= (2)Dont le carr donne :

( ) ( ) ( ) dudveevxuxT

fXT

fvjfujT

T

T

TT

pipi 22*22 2

121 +

+

+

= (3)Lesprance mathmatique de cette expression nous donne :

( ) ( )dudvevurT

fXT

E vufjT

Txx

T

TT

+

+

= pi222 )(2121 (4)En effectuant alors le changement de variable suivant :

=

=

vvvu

'

( ) ( ) ( ) pi

pi deTrdeTrT

fXT

E fjT

xx

Tfj

xxT2

2

0

2

0

222 2)(2)(2

121

=

+

=

++= (5)Aprs ces changements de variables et les transformations adquates, nous obtenons finalement lexpression suivante :

( ) +

=

TT

fjxxT deT

rfXT

E2

2

222 2

1)(21

pi (6)


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( )

=

TxxT IT

rTFfXT

E 42

2 21)(

21

(7)

I4T indique l'intervalle dintgration ([ 2T +2T ] )En vertu du thorme de Plancherel, lexpression prcdente prend la forme ci-dessous :

( ) ( )

=

TT IT

TFfPfXT

E 42

2 21*

21 (8)

Lorsque T tend vers l'infini, le deuxime terme du produit de convolution tend vers (f), d'o

( ) ( )fPfXT

E TT =

+

222

1lim (9)

En considrant alors le cas numrique, o l'observation du signal x (t) se rsume N valeurs chantillonnes la priode Te, la densit spectrale de puissance peut tre dtermine par lestimateur suivant :

( ) ( )21

0

21 =

=

N

n

fnTje

eper

eenTxNT

fP pi (10)

Cet estimateur de la densit spectrale de puissance du signal x(nTe) est appel priodogramme.

2-2. Applications

Le signal FID utilis pour cette application est caractris par :- Frquences doffsets (dplacements chimiques) respectives de 200, 590, 600, 610 et 1000 Hz,- Constantes de relaxation transversales respectives de T2 = 0.2, 0.28, 0.16, 0.28 et 0.33 s,- Dune dure dacquisition de 1.02375 s,- Dun nombre de points de N = 4096.La frquence dchantillonnage est de 4 kHz.Ce FID est perturb par un bruit blanc gaussien [8,9] de valeur moyenne nulle et de variance unitaire (SNR =23.52 dB).


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(a) (b)

Figure 1 : Reprsentation temporelle (a), spectre norm du signal FID utilis (b)

Le priodogramme de ce FID obtenu avec normalisation par rapport au pic maximal est donn par la Figure 2.

0 200 400 600 800 1000 12000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frquence , Hz

Mag

nitu

de

Figure 2 : Priodogramme normalis du signal FID.

Dans ce travail nous dterminerons le dplacement chimique, la constante de relaxation spin-spin T2 et la densit lectronique autour du noyau considr. Ces paramtres peuvent tre dduits partir de :


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0 0.5 1-20

-10

0

10

20

Temps, s

Am

plitu

de

0 500 10000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frquence , Hz

Spec

tre nor

m

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la position des pics de rsonance la largeur mi-hauteur de chaque pic. lamplitude de chaque pic

Le Tableau 1 regroupe ces diffrents paramtres :

Tableau 1 : Paramtres spectraux du signal FID.

Pic1 Pic2 Pic3 Pic4 Pic5Magnitude (v2/Hz) 1 0.0918 0.2309 0.0842 0.4285Largeur mi-hauteur (Hz) 1.75 1.3200 2.4500 1.4500 1.200Position des pics (Hz) 200 950 600 610 1000

2-3. Proprits du priodogramme

Le priodogramme constitue un estimateur de la densit spectrale de puissance du processus x(nTe). Les qualits requises de lestimateur peuvent sexprimer en fonction du biais (moment dordre 1) et de la variance (moment dordre 2) [7,10].

2-3-1. Biais

Le biais de cet estimateur mesure la diffrence entre la moyenne des ralisations et la vraie valeur du paramtre estimer. Calculons alors lesprance du priodogramme P per (f) .

( )[ ] ( ) 2sin

sin*

=

fNfNNfPfPE perpi

pi (11)

Sur la base de cette quation il apparat clairement que lestimation de la densit spectrale de puissance P(f) du processus x(nTe) est biais. Lorsque N tend vers l'infini ce filtre tend vers (f), le priodogramme est donc asymptotiquement sans biais.

2-3-2. Variance

La moyenne est un critre de performance de lestimateur, mais il est insuffisant. En effet, si pour cet estimateur le biais est nul mais que les fluctuations de lestime autour de sa moyenne sont importantes ; alors lestimateur est peu prcis. Pour juger de limportance de ces fluctuations, nous faisons appel la variance. Sous certaines conditions le calcul de la variance nous donne :


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( )[ ] ( )

+=2

22sin1varfN

fNNfPfPper pipi (12)

Cette variance peut diminuer par une dcomposition de lenregistrement x(nTe) de longueur N en un ensemble de L segments de largeur K. Pour chaque segment, nous associons une fentre de pondration dans le but davoir un bon compromis entre le biais et la variance, ce principe reprsente la base de lestimateur de Welch.

2-4. Estimateur de Welch [7,8,10,11]

Cette technique consiste estimer la Densit Spectrale de Puissance (DSP) du FID par moyennage des L priodogrammes partiels propres chaque segment modifi par la fentre de pondration (t).

Figure 3 : Principe de lestimateur de Welch.

La densit spectrale de puissance PWelch(f) , en considrant lalgorithme de Welch, est obtenue par :

( ) ( )fPL

fP lL

lwelch

=

=

1

0

1 (13)

avec : ( ) ( ) ( )2

21

0

1 nfjK

nl enlKnxK

fP pi

=

+= (14)o Pl(f) est le priodogramme de chaque segment.Lobjectif de cette tude est damliorer la qualit de lestimation de Welch en agissant sur le type et la taille de la fentre dapodisation, ainsi que lintrt de cette mthode vis--vis de linfluence du bruit sur le signal FID.


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2-4-1. Effet du type de la fentre de troncature

Dans cette partie le signal FID est segment successivement par les fentres dapodisation Boxcar, Bartlett, Blackman, Hamming, Hanning, Kaiser et Chebyshev, de dure 0.2557 (segment de 1024 points). Ltude comparative sera axe sur les valeurs damplitude de chacun des pics pour les deux variantes du priodogramme. Nous regroupons alors les rsultats des simulations sur le Tableau 2.

Tableau 2 : Magnitudes des DSP pour diffrentes fentres dapodisation.

Pic2 Pic3 Pic4 Pic5Mag

(v2/Hz)%

derreurMag

(v2/Hz)%

derreurMag

(v2/Hz)%

derreurMag

(v2/Hz)%

derreurBoxcar 0.0815 11.22 0.1978 14.34 0.0620 26.37 0.3228 24.67Bartlett 0.0606 33.99 0.2249 2.60 0.0570 32.30 0.3197 25.39Blackman 0.0684 25.49 0.2492 7.93 0.0696 17.34 0.3173 25.95Hamming 0.0658 28.32 0.2304 0.20 0.0625 25.77 0.3193 25.48Hanning 0.0644 29.85 0.2380 3.07 0.0646 23.28 0.3185 25.67Kaiser 0.0654 28.76 0.2380 3.07 0.0646 23.28 0.3185 25.67Chebyshev 0.0760 17.21 0.2002 13.30 0.0718 14.49 0.3080 27.89

La largeur mi-hauteur de chaque pic de rsonance reprsente un paramtre fondamental pour la dtermination des constantes de relaxation spin-spin qui sont lies directement la rsolution spectrale. Dun autre cot, cette rsolution est influence par le degr de troncature du signal lchelle temporelle, c'est--dire que plus la taille de la fentre est minimale, mauvaise est la rsolution spectrale. Notre objectif est damliorer ce paramtre partir du choix du type de la fentre danalyse, nous constatons que la fentre de Chebyshev (k) donne de bons rsultats moyennant un choix judicieux de la constante , constante dondulation de la bande darrt (Stop Band Ripple) donne dans lexpression suivante :

(k) = FFT-1 [Cos (n Cos-1[ Cos ( k / n)]) / Cosh(n Cosh-1())], k=0n-1 (15)Pour grand (de lordre de 50 dB), cette fentre donne de bons rsultats sur la magnitude. Le pic 3 atteint une valeur de 0.232 (Tableau 2) correspond une erreur de 0.4 %. Par contre, lerreur sur la largeur mi-hauteur est de 67.5 %.Pour petit, (de lordre de 16 dB), lerreur sur la largeur mi-hauteur diminue pour atteindre 40 %. Alors il faut trouver un bon compromis pour la valeur du paramtre pour minimiser ces erreurs.


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0 0.1 0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Temps (s)

Cheb(t

)

0 50-150

-100

-50

0

Frquence (Hz)

CHE

B (f)

(a) (b)

Figure 4 : Reprsentations temporelle (a) et spectrale (b) de la fentre Chebyshev caractrise par une constante =100 dB.

585 590 595 600 605 610 6150

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Frquence , Hz

Magn

itude

B=50B=20B=16

Figure 5 : Influence du sur la rsolution spectrale.

Une autre remarque sur la reprsentation spectrale pour une constante petite, est la dformation de la ligne de base du spectre (Figure 6).


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0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000.04

0.045

0.05

0.055

0.06

Frquence , Hz

Magn

itude

Figure 6 : Variation de la ligne de base du spectre pour =10 dB.

2-4-2. Effet de la dure de la fentre de troncature

Un autre aspect de cette tude concerne le temps de calcul qui est li au recouvrement entre fentres ainsi que leurs dures. Mais cette performance du temps de calcul se fera au dtriment de la qualit des spectres.Le recouvrement entre fentres est un paramtre essentiel pour la qualit du spectre. Les diffrentes simulations que nous avons menes nous montrent quun recouvrement de 50 % (moiti de la fentre) donne de meilleurs rsultats. A titre dexemple pour la fentre Hamming, faisons une comparaison entre lestimateur de Welch obtenu prcdemment sans recouvrement (0 %), et celui obtenu avec un recouvrement de (50 %). Les diffrents rsultats pour les raies de rsonance qui nous intressent sont regroups dans le Tableau 3.

Tableau 3 : Magnitudes des DSP avec et sans recouvrement des fentres dapodisation.

Reco

uvr-e

men

t Pic2 Pic3 Pic4 Pic5

Mag(v2/Hz)

% derreur

Mag (v2/Hz)

% derreur

Mag (v2/Hz)

% derreur

Mag (v2/Hz)

% derreur

0 % 0.0658 28.32 0.2304 0.20 0.0625 25.77 0.3193 25.48

50 % 0.0720 21.57 0.2200 4.30 0.0698 17.10 0.3648 13.14


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Pour illustrer leffet de la largeur de la fentre dapodisation sur le temps de calcul et la qualit spectrale, nous avons effectu un ensemble de mesures des temps CPU ncessaire pour estimer la DSP par cette mthode pour trois largeurs respectives ; 512, 1024, 2048 (Tableau 4).

Tableau 4 : Temps CPU pour diffrentes valeurs de largeur de la fentre Hanning.

Largeur (points) 512 1024 2048

Temps CPU(s) 0.047 0.063 0.078

2-5. Etude de lestimateur de Welch en prsence du bruit

Dans cette nous avons choisi deux types de bruit additifs simuls, lun est blanc gaussien et lautre color de variance unitaire et de valeur moyenne nulle. Pour ces deux bruits, le rapport signal sur bruit SNR est de 23.52 dBLa fentre danalyse choisie est de type Hanning de dure de 0.25575 sLes densits spectrales de puissance du FID calcules partir des deux mthodes pour les deux types de bruits additifs sont regroupes dans les Figures 7 et 8.

100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 3000

0.01

0.02

0.03

0.04

Frquence , Hz

Magn

itude

PriodogrammeWelch

Figure 7 : Densit spectrale de puissance du FID perturb par un bruit blanc gaussien calcule par les deux mthodes destimation.


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100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 3000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Frquence , Hz

Mag

nitu

dePriodogrammeWelch

Figure 8 : Densit spectrale de puissance du FID perturb par un bruit color calcule par les deux mthodes destimation.

Ces figures nous montre clairement que le spectre obtenu par le priodogramme prsente de nombreuses discontinuits et une ligne de base prsentant plusieurs massifs et ce malgr un bruit gaussien de faible variance. Par contre le spectre obtenu par lestimateur de Welch est plus liss au prix dune ligne de base fortement dforme. Pour la Figure 7, o nous avons pris en compte un bruit blanc gaussien, le contour spectral et la ligne de base sont nettement bons par rapport au priodogramme classique.

En somme lestimateur de Welch prsente l'avantage d'tre faible variance grce l'opration du moyennage des spectres locaux. Cet avantage ce traduit sur le plan frquentiel par un trs bon lissage des contours spectraux. Linconvnient majeur de cette mthode est la dgradation de la rsolution spectrale. Contrairement au priodogramme qui est trs affect par une instabilit statistique, mais il dlivre une bonne rsolution spectrale.

3. Analyse spectrale paramtrique du signal FID

3-1. Modle auto-rgressif (AR)

Dans ce type de modlisation, le signal FID x (n) est suppos tre prdictible en fonction d'un certain nombre de ses valeurs antrieures.


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Figure 9 : Prdiction de x (n) partir de {x (n-1) x (n-k)}.

Il peut donc s'crire sous la forme suivante :

( ) ( ) ( )neinxanx ki

i += =1

(16)

Les coefficients ( ) kiia ..1= , constituent les paramtres du modle et ( )ne reprsente un bruit blanc non-corrl avec ( )nx ayant une variance 2 qui reprsente l'erreur de prdiction. La transforme en z de lquation (16) donne :

( ) ( )zEzazX iki

i =

=

1

1 (17)

Daprs ce modle, le signal ( )nx peut tre vu comme le rsultat du passage d'un bruit blanc ( )ne de variance 2 travers un filtre de fonction de transfert ( )zH .

Figure 10 : Principe de prdiction AR.

Avec : ( )

ik

ii za

zH

=

=

1

1

1

Les paramtres ( ) kiia ..1= permettent destimer la densit spectrale de puissance ( )fPar selon lexpression suivante [7,12] :


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H(z)e(n) x(n)

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( ) 22

1

2

1 fijk

ii

ar

eafP

pi

=

=

(18)

Les coefficients ( ) kiia ..1= sont dtermins partir dun critre de minimisation d'erreur quadratique donn par lexpression suivante :

( )[ ] ( ) ( )( )[ ]22 1 kTka AnXnxEneE =o ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]Tk knxnxnxnX = ......,.........2,11

et [ ]Tkk aaaA ,....., 21=En annulant la drive de cette expression par rapport Ak, on obtient la solution :

akkk rRA

1= (19)

avec :

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

=

01.11...

..011.10

**

*

rrkrr

rrkrrr

Rk : Matrice dautocorrlation

( )( )

( )

=

kr

rr

r ak .21

: Vecteur dautocorrlation

Pour cette valeur de Ak la variance minimale de lexcitation est donne par :

( ) kTakak ArrE = 0 (20)En crivant (19) et (20) sous une forme matricielle unique, il vient :

( )

=

010 ak

kka

k

Tak E

ARrrr (21)

Cette quation prsente la forme avant de lquation de Yule-Walker. Qui permet de dterminer le vecteur Ak partir de la matrice dauto-corrlation Rk et de lnergie d'erreur de prdiction avant akE . Cependant, le cot en temps de calcul est de lordre de


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k3. Il est possible de rsoudre cette quation avec un temps de calcul rduit proportionnel k2 en utilisant l'algorithme de Levinson [7,10].

3-2. Modle moyenne mobile (MA)

Le signal ( )nx peut s'crire comme une combinaison linaire d'chantillons dcorrls entre eux, ce qui peut se formaliser comme une combinaison linaire d'chantillons dun bruit blanc ( )ne :

( ) ( )inebnx mi

i = =0

(22)

Le signal ( )nx peut donc tre vu comme le rsultat du passage d'un bruit blanc ( )ne travers un filtre de fonction de transfert ( )zH .

Figure 11 : Principe de la modlisation MA.

avec :

( ) imi

i zbzH

=

=0

(23)

La densit spectrale de puissance du signal x(n) s'crit alors [7] :

( ) 22

2

0

pifijm

iima ebfP

=

= (24)Les m coefficients bi du modle MA peuvent tre dtermins partir de lalgorithme de Durbin [7,10].

3-3. Modle auto-rgressif moyenne mobile (ARMA)

Ce modle est obtenu par la combinaison des modles AR et MA o le signal x(n) peut s'crire en fonction de k valeurs passes et de m chantillons d'un bruit blanc dcorrl [7,12,13].

( ) ( ) ( )inebinxanx mi

i

k

ii +=

== 01(25)


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H(z)e(n) x(n)

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Le signal ( )nx peut donc tre vu comme le rsultat du passage d'un bruit blanc ( )ne travers deux filtres de fonctions de transferts respectives ( )zH1 et ( )zH 2 ;

( ) ( ) ( )zHzHZbzaza

ZbzH i

m

ii

ik

ii

ik

ii

im

ii

210

11

0

1

1

1=

=

=

=

=

=

=

(26)

Le premier filtre est identifi au moyen de l'algorithme de Levinson tandis que le deuxime est identifiable de manire approche au moyen de l'algorithme de Durbin.La densit spectrale de puissance du signal x(n) partir de ce modle s'crit alors [7,10] :

( ) 22

2

1

2

0

1

pi

pi

fijk

ii

fijm

ii

arma

ea

ebfP

=

=

= (27)

Dans cette partie notre travail consiste estimer la densit spectrale de puissance du signal FID ayant les cinq pics de rsonance dcrite prcdemment, par la modlisation autorgressive AR. Initialement, lordre de prdiction nest pas dfini. Une approche simpliste consiste considrer un ordre plus lev pour obtenir un modle meilleur [12]. Une premire rgle base sur lexprience est que, si nous avons N chantillons du signal, lordre ne devrait pas dpasser N/3 [7].Une solution plus labore est base sur le fait quon part de lhypothse que lexcitation est un bruit blanc. Une fois les coefficients du modle dtermin, nous pouvons calculer cette excitation par :

( ) ( ) ( )inxanxne ki

i = =1

Ensuite, nous faisons un test de blancheur [7] sur e(n). Si le test nest pas russi, nous augmentons lordre.Afin dvaluer linfluence de lordre de prdiction sur la qualit des spectres, considrons des valeurs arbitrairement choisis (k=5, 6, 7 et 8), les densits spectrales de puissance ainsi obtenues sont illustres sur la Figure 12.Pour des ordres 5 et 6, les spectres obtenus sont compltement dforms ; tandis que ceux correspondant aux ordres 7 et 8 reprsentent bien des Lorentziennes affectes par une dgradation considrable de la rsolution spectrale (disparition des deux pics de rsonance autour de 600Hz). Alors une bonne estimation paramtrique de la DSP du signal FID ne peut pas tre effectue partir des ordres de faibles valeurs.


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Figure 12 : Densits spectrales de puissance obtenues par un model AR dordre 5 (a), 6 (b), 7(c) et 8 (d).

Dans la pratique, plusieurs critres ont ts dvelopps pour la dtermination de lordre de prdiction, ces critres sont bass sur des considrations statistiques. Les plus connus sont :

3-3-1. Critre de lerreur finale de prdiction (FPE)

Il est donn par lexpression suivante :

( )

++=

112

kNkNkFPE k (28)

o 2k reprsente la variance empirique de lexcitation e(n) pour un ordre de prdiction k [7,12].


80

0 500 10000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frquence , Hz

Mag

nitu

de

0 500 10000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frquence , Hz

Mag

nitu

de

0 500 10000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frquence , Hz

Magn

itude

0 500 10000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frquence , Hz

Magn

itude

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3-3-2. Critre dinformation dAkaike (AIC)

Ce critre est caractris par lquation suivante :

( ) ( ) ( )12ln 2 ++= kNkAIC k (29)Sur la base de ces deux critres nous dterminons lordre du modle AR du signal FID de dimension N=4096 points, partir des deux courbes ( ) ( )kfkFPE = et

( ) ( )kfkAIC = pour k variant de 0 300 (Figure 13). En fait, en vertu du critre empirique prcdent, le nombre k devrait prendre la valeur de 1365 (N/3), avec les premires simulations, nous nous sommes rendus compte quil fallait baisser considrablement cette valeur pour atteindre 300.

0 100 200 300-30

-20

-10

0

10

20(a)

Ordre k

FPE(k

), dB

0 100 200 300-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1x 104 (b)

Ordre k

AIC(k

)

0 100 200 300-30

-20

-10

0

10

20

Ordre k

Varia

nce

de l'e

xciat

ion,

dB

(c)

Figure 13 : Optimisation de lordre de prdiction par le critre FPE (a), AIC (b), volution de lerreur de prdiction (c).


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Pour les premires valeurs de k comprises entre 0 et 9, les deux critres nous donnent une erreur de prdiction rapidement dcroissante. Le FPE et le AIC varient lentement jusquau point k=300 en passant par un minimum de valeur k = 90. Ce point est dfini comme tant lordre optimal de prdiction. Pour cette valeur, la densit spectrale de puissance est reprsente sur la Figure 14.

Figure 14 : Densit spectrale de puissance obtenue par un modle AR dordre de 90.

Cette allure montre clairement que le spectre obtenu partir des deux critres empiriques est toujours affect par une dgradation de rsolution spectrale, en effet les raies spectrales situes 590 et 610 Hz ne sont pas discernables. Ainsi lordre qui permet de reprsenter la DSP dune faon convenable se trouve dans lintervalle ayant une erreur de prdiction proche de celle de lordre optimal trouv (k = 90). Aprs plusieurs tests, nous avons constats que la rsolution spectrale est amliore au voisinage dun ordre de prdiction k=270 (Figure 15). Cependant, cet ordre est trop lev ce qui augmente considrablement le temps de calcul.

La ncessite daugmenter lordre de prdiction pour lestimation paramtrique de ce type de FID est lune des limitations des modles AR, dont la structure est uniquement ples [7]. Pour cette raison lutilisation des structures mixtes ples et zros ARMA est indispensable. Lavantage de cette mthode rside dans le fait que le modle obtenu dpend de manire linaire dun pass fini, plus un terme entirement nouveau, non corrl avec le pass appele souvent innovation.


0 200 400 600 800 1000 12000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frquence , Hz

Magn

itude

550 600 6500

0.02

0.04

0.06

0.08

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Figure 15 : Densit spectrale de puissance obtenue par un modle AR dordre de 270.

Pour dterminer lordre du prdicteur ARMA, nous avons suivi la mme dmarche que la modlisation AR, mais cette fois-ci nous changeons les valeurs du couple dordre k et m. Aprs plusieurs essais numriques nous avons constat que lordre du modle autorgressif moyenne mobile ncessaire pour lestimation de la DSP du FID est le couple de valeurs k=19, m=8 (Figure 16).

Figure 16 : Densit spectrale de puissance obtenue par un modle ARMA dordre (m=8, k=19).


0 200 400 600 800 1000 12000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frquence , Hz

Magn

itude

560 580 600 620 6400

0.1

0.2

0.3

Frquence , Hz

Magn

itude

0 200 400 600 800 1000 12000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Magn

itude

Frquence , Hz

560 580 600 620 6400

0.1

0.2

0.3

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Grce cette simulation nous constatons que lestimation de la densit spectrale de puissance obtenue partir de la modlisation ARMA ncessite un ordre trs rduit par rapport la modlisation AR. En effet, lutilisation du formeur ARMA nous a permis de passer de 270 19 ples. Cette rduction du nombre de ple se traduit par un gain important du temps de calcul.

Afin de mettre en vidence lapport du modle ARMA au profit de lestimation spectrale du FID, la densit spectrale de puissance obtenue est compare celles des mthodes non-paramtriques (priodogramme et estimateur de Welch) comme illustr sur la Figure 17. En fait, cet apport regroupe les deux performances principales destimation ; savoir la rsolution spectrale et la stabilit statistique (trs bon compromis entre biais et variance). En effet, la Figure 17 montre clairement la slectivit du pic de rsonance autour de 200Hz par un modle ARMA (ordre AR : 19, ordre MA : 8) par rapport aux autres mthodes non-paramtriques utilises.

140 160 180 200 220 240 2600

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

mag

nitud

e

frquence(Hz)

Welch ARMA Priodogramme

Figure 17 : DSP du FID perturb par un bruit gaussien de variance unitaire obtenue par les trois techniques destimation autour du pic de rsonance de 200Hz (chelle agrandie).


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Sur une lchelle rduite, nous pouvons confirmer que le spectre obtenu par le modle AMRA nest pas influenc par le bruit Gaussien aditif (SNR : 23,52 dB) par rapport celui obtenu par le priodogramme, et est dot dune stabilit statistique comparable celle de lestimateur de Welch. Cette stabilit statistique se traduit par un lissage de lenveloppe spectrale.

4. Conclusion

Lidentification de lchantillon partir du phnomne de rsonance magntique nuclaire exige certaines qualits destimation notamment la stabilit statistique et la rsolution spectrale, cette tude a consist tudier lefficacit des deux classes destimation spectrale. Dans la premire classe nous avons constat que le priodogramme prsente lavantage dtre trs performant en termes de rsolution spectrale lorsque le signal est observ sur une longue plage de stationnarit, mais il est trs affect par une instabilit statistique.

Afin damliorer la stabilit statistique nous utilisons sa deuxime version qui est celle de Welch, cette technique dlivre un bon compromis entre le biais et la variance, mais elle dgrade la rsolution spectrale, pour cela nous avons agit sur le choix de la fentre danalyse, et nous avons constat que celle de Chebyshev donne de bon rsultat moyennant un choix judicieux de sa constante dondulation de la bande darrt. Dans la deuxime classe qui est lestimation spectrale paramtrique qui se base sur la modlisation AR, MA, et ARMA, nous avons constat que ces techniques groupent conjointement les deux performances destimation savoir la stabilit statistique, et al rsolution spectrale.

La modlisation AR pour cette application ncessite un ordre relativement lev ce qui influe considrablement sur le temps de calcul, par contre la technique ARMA et grce sa structure mixte en ples et zros permet davoir une bonne estimation de la densit spectrale de puissance avec un ordre combin de faible valeur.


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Rfrences

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