ASI 3

Méthodes numériquespour l’ingénieur

Calcul des valeurs propres

Illustration : un système mécanique à deux degrés de liberté

)(221222

2

2

2212121

2

1

tfukukdt

udm

ukukkdt

udm

222

111

Ltxtu

Ltxtu

masse seconde lasur uniquementagissant force :)(ressortdu raideur de constante :

ressortdu bout au masse : reposau ressort du position :

ressortdu position :étatd' variable:

1

1

1

1

1

tfkmL

txtu

22

2

2

2

1

2

1

21

2

1

2

2

)(

0

, , )(

)( ,

mtfb

mk

mk

mk

mkk

Ktu

tuubuK

dt

ud

m1 m2 f(t)k1 k2

x1(t)x2(t)

Seconde loide Newton

Écriture matricielle

Fréquences de résonance

, poseon

,0

0 : que telle matrice une on trouve si

,

2

2 2

11

2

2

bPDvdt

vdPuv

DPKPP

buKdt

ud

)(

)(

22222

2

11121

2

tgvdt

vd

tgvdt

vd

Le comportement des deux ressorts est découplé - si l’on admetque les deux valeurs propres sont positives, il existe deux pulsations propres caractérisant le système

Résonances (T. Von Karman, the wind and beyond,1963)

• 1831, près de Manchester, des miltaires passent un pont au pas

• les avions qui vibrent et s’écrasent

• immeubles et tremblements de terre

• Ariane : moteur et structure

• pont de Tacoma– 1,6 km, pointe de la technologie

– 7 novembre 1940 : vents de 67 km/h, il se désagrège

0 0.5 1 1.5 2 2.50

2

4

6

8

10

fré quence excitatrice

Mod

ule

de l'

ampl

itude

de

la r

épo

nse

Amplitude de la réponse d ’un système oscillant

22222

22

2

1

1 avec

)( :solution

k

ik

ketx

exxxti

ti

-2 -1 0 1 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-4 -2 0 2 4-2

-1

0

1

2

-10 -5 0 5 10-4

-2

0

2

4

-20 -10 0 10 20-10

-5

0

5

10

Définition illustrationDéfinition : i est une valeur propre de A,

vi est un vecteur propre de A. iii vvA

xAx

et ,

xAxAAxAx 2et ,

xAxAxAx 32 et , ,

xAxAxAxAx 432 et , , ,

Directionpropre

121

123

A

n ...21

0 2 4 6 8 10 12

-2

-1

0

1

2

partie ré elle

imag

inai

re

Cercles de Gerschogrin

Théorème (cercle de Gerschogorin): Soit A une matrice carrée, soit R le cercle du plan complexe :

Alors toutes les valeurs propres de A sont dans un des cercles R

n

ijjijiii aazCzR

,1

902

120

114

A

Démonstration

n

ijjijii

ji

n

ijj i

jijii

n

ijjjijiii

iiiiiii

n

ijjjij

i

n

jjij

aa

njnjxxi

x

xaaxaax

xaxaxxa

nixxaxAx

,1

,1,1

,1

1

,:1pour que telt choisissanen

doncet

,1

Toute valeur propre appartient à un cercle, donc à l’intersection de tous les cercles

Supposons que l’on connaisseune valeur propre

LU méthode 0

vIA

vAv

Idée : approximation successives sur la valeur propre Méthode de la séquence.

vvvv

vvvvxA

vvvvxA

vvvvxA

vAvAvAvAxA

vvvvx

Rx

k

kn

nk

k

k

kk

knn

kkkk

nn

nnn

nn

nn

niin

13

1

332

1

22111

333222111

23

2332

2221

211

2

333222111

332211

332211

,1

...

........... ...

...

...

...

que tels,

intuition

la matrice A admet n vecteurs propres vi linéairement indépendants Hypothèse

intuition

la matrice A admet n vecteurs propres vi linéairement indépendants Hypothèse

vvvv

vvvvxA

vvvvxA

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333222111

332211

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,1

...

........... ...

...

...

...

que tels,

Puissance itérée

old

oldnew

init

Ax

Axx

x equelquonqu:

Théorème : Si A est une matrice carrée, non singulière (régulière)

1)(

1

1)(

32

init

)(lim

lim

suivantes propriétés les possède dessus-ci algorithmel'par générée suite la Alors,

de propres vecteur les,...,par engendré vectorielespace sousau pas appartientn' si

vxsign

Ax

x

Avvvx

kk

k

k

k

Nkk

n

Comment calculer la plus petite valeur propre ?

Exemple de question à l’examen

Comment calculer la plus petite valeur propre ?

Exemple de question à l’examen

old

oldnew

init

xA

xAx

x

1

1

quelconque:

uu

x

xAux

new

old

init

quelconque:

Comment calculer la plus petite valeur propre ?

Exemple de question à l’examen

old

oldnew

init

xA

xAx

x

1

1

quelconque:

uu

x

xAux

new

old

init

quelconque:

Et si on remplace A par B=A-I ou est un réel ?

Calcul de toutes les valeurs propres : la méthode de déflation

TT1111

*1 doncet

eorthogonal base uneforment propres vecteursles

vvABvv

ouver comment tr

de place la à 0et que propres set vecteur valeursmêmes lesadmet alors

ou

*1

*111

*111

1

1*1

*111

v

vvvvvAvvvAvB

AB

vvvvAB

iiiiii

ii

Cas simple : A est symétrique

?

Cas général : A est quelconque, la méthode de Duncan et Collard

Théorème (Shur) : Soit A une matrice carrée, Alors il existe une matrice U non singulière telle que :

avec T une matrice triangulaire supérieure dont la diagonale est composée des valeurs propres de A. Démonstration : voir Théodore et Lascaux

Propriétés des valeurs propresDéfinition : deux matrices A et B sont similaires s’il existe une matrice Q non singulière telle que :

BQQA 1

Théorème : Si A et B sont des matrices similaires et est une valeur propre de A associée au vecteur propre x (non nul), Alors est aussi une valeur propre de B avec le vecteur Qx Démonstration

vv

QxQxBxBQxQxAx

1

AUUT 1

Théorème : Soit A une matrice carrée symétrique, Alors il existe une matrice Q orthogonale telle que :

avec D une matrice diagonale composée des valeurs propres de A; et Q composée des vecteurs propres de A qui sont orthogonaux. Démonstration :

Matrices équivalentes

DQQAQQD T 1

)()(

1

: colonnes les spour toute iii

i qdAq

QDAQAQQD

Principe de la méthode QR

• les valeurs propres d’une matrice triangulaire sont sur sa diagonale

• il existe un transformation orthogonale telle que T=Q’AQ alors T et A sont équivalentes (elles ont les même valeurs propres) et T est une matrice triangulaire

Comment construire Q ?

La méthode QRIl est si facile le résoudre un système « triangulaire » !

1bQRxbAxQRA

Q « facilement »  inversible et R triangulaire

Définition : on appelle matrice de Householder du vecteur normé u une matrice H de la forme suivante

2 TuuIH

Propriété : une matrice de Householder est symétrique et orthogonale HTH=I

xHx Les transformations orthogonales « conservent » la norme

QR et valeurs propres

)()()1(

)()()(

)1()1()2(

)1()1()1(

)1(

itération kkk

kkk

QRA

ARQk

QRA

ARQAA

Théorème : si A est une matrice inversible, de valeurs propres réelles différentes la suite converge vers une matrice triangulaire supérieure dont la diagonale est constituée des valeurs propres de A

Démonstration :toutes les matrices de la suite ont les mêmes vp

NkkA

)(

initialisation

Une fois qu’on a les valeurs propres, les vecteurs propres se trouvent facilement.

NkkA

)(

Méthode de Householder ,, matrice la de propres valeursles rechercheon nnLA

1. On utilise l’algorithme de Householder pour construire une matrice T tris diagonale ayant les mêmes valeur propres que A

2. On pose T(0) = T On décompose T(0) = QR et on construit T(1) = RQ

et on itère : (Q,R) = decomposeQR(T(k)) T(k+1) = R*Q

Alors la suite diag(T(k)) converge vers les valeurs propres de A.

Matrices semblables (qui ont les mêmes valeurs propres)

w

k

w

kk

kkTkk

kkTk

kkkTk

kkk

kkk

vQvQA

vvQAQvvA

QAQ

QRQQ

QRA

ARQ

)()()(

)()()()1(

)()()(

)()()()(

)()()1(

)()()(

n

i

d

d

d

00

00

001

SVD : décomposition en valeurs singulières

Matlab : deux programmes équivalents : svd(A).^2 eig(A'*A)

A'Ad

DIVVUU

VUDVUA

ii de propres valeursdes carrée racine

diagonale marice avec ''

esorthogonal marices et avec '

A U V=

Conclusion

• on connaît le vecteur propre : calculer la valeur propre

• on connaît la valeur propre : calculer le vecteur propre

• calculer un vecteur et la valeur propre associé– la plus grande : puissance itérée– la plus petite : puissance inverse– la plus proche de k : puissance modifiée

• calculer toutes les valeurs propres d’un coup– A est symétrique : méthode de Jacobi– cas général : méthode QR