Atelier différenciation - Académie de Créteilmaths.ac-creteil.fr/IMG/pdf/atelier_differenciation_algebre.pdfde la mise en commun puis preuve en classe, élaborée en commun sous

Interacadémiques 2006 1

Atelier différenciation : activité numérique Animation : Marie-José Houssin, Christelle Serra, Pol Le Gall, académie de Créteil

Dans cet atelier, nous avons travaillé sur un exercice, choisi pour son intérêt et aussi pour ses possibilités d'aménagements. (manuel de cinquième actuellement en cours, édition Magnard).

Le déroulement prévu pour l'atelier était le suivant :

- Phase 1, analyse de l'exercice

Travail par groupes, à l'aide de la grille proposée dans l'annexe 3, puis mise en commun à partir des transparents écrits par chaque groupe.

- Phase 2, présentation de productions d'élèves pour deux versions aménagées de cet exercice, dont une avec utilisation du tableur. (pour des raisons de temps, bien que tous les niveaux du collège aient effectivement été concernés, nous nous sommes surtout attachés à la présentation d' une version sans tableur en sixième (avec les annexes 1 et 4) et une version avec tableur dans une autre sixième et en quatrième (avec les annexes 1 et 2).)

- phase 3 retour sur les compétences et la différentiation

Un nouveau travail par groupes était prévu, pour approfondissement et ouverture, mais ce travail ayant été déjà bien amorcé dans la mise en commun de la phase 1 et les échanges provoqués pars la phase 2, nous avons décidé de consacrer le peu de temps restant à la poursuite des échanges en grand groupe.

Phase 1 : analyse de l’exercice

Présentation Soit une suite de Fibonacci de premiers termes u1 et u2, avec la relation de récurrence un+2=un+1+un , la somme des 6 premiers termes est égale à 4 fois le cinquième terme. Cette propriété est exploitée dans l’énoncé ci-dessous, extrait du manuel de cinquième des éditions Magnard :


Consignes de travail en groupe : • Analyser cet énoncé du point de vue :

o Des connaissances, capacités, attitudes requises, o Des difficultés prévisibles chez un élève (on pourra discuter suivant le niveau

de classe). • Proposer un aménagement de l’énoncé afin de le proposer à une classe, dont on

précisera le niveau.

Mise en commun – débats Suite au travail en groupes, la mise en commun a permis de dresser la liste de compétences suivante. Les critiques concernant l’énoncé ont été nombreuses, les propositions allant généralement dans le sens d’une plus grande ouverture. Plusieurs groupes ont envisagé un recours au tableur dans la phase d’exploration. Enfin la plupart des groupes ont considéré que cet exercice avait plutôt sa place en fin de collège, quatrième ou troisième, car la compétence requise en calcul littéral est d’un niveau jugé élevé, voire trop élevé.

Les compétences en jeu dans l’exercice

Connaissances - Les quatre opérations et leur sens - Les techniques élémentaires de calcul mental - Les éléments du calcul littéral simple (expressions du premier degré à une variable) 1

Capacités L’élève doit être capable …

Pilier 1 : - de comprendre un énoncé, une consigne.

Pilier 3 :

A-Mathématiques - de raisonner logiquement, de pratiquer la déduction, de démontrer ; - de communiquer, à l'écrit comme à l'oral, en utilisant un langage mathématique

adapté ; - d’analyser une situation en posant les données puis en émettant des hypothèses,

s'engager dans un raisonnement ou un calcul en vue de sa résolution, et, pour cela : o de savoir quand et comment utiliser les opérations élémentaires

- d'effectuer : o à la main, un calcul isolé sur des nombres en écriture décimale de taille

raisonnable (addition, soustraction, multiplication, division) ; - d’effectuer mentalement un calcul simple.

B-Culture scientifique et technologique - de pratiquer une démarche scientifique :

o savoir observer, questionner, formuler une hypothèse et la valider, argumenter, modéliser de façon élémentaire ;

- de manipuler et d'expérimenter en éprouvant la résistance du réel :

1 Cette compétence a été l’objet de débat. Si on considère la dernière question de l’énoncé initial, on attend de l’élève qu’il manipule des expressions littérales mobilisant deux variables. On est alors au-delà des compétences du socle. Si, en revanche, on considère que les manipulations effectuées par les élèves de sixième (voir plus loin) à partir de dénombrements de lettres identiques, on peut penser que l’exercice peut constituer une bonne situation préparatoire à la découverte du calcul littéral.


o participer à la conception d'un protocole et le mettre en œuvre en utilisant les outils appropriés, y compris informatiques ;

- d'exprimer et d'exploiter les résultats d'une mesure ou d'une recherche et pour cela : o utiliser les langages scientifiques à l'écrit et à l'oral ;

- de mobiliser ses connaissances en situation

Pilier 4 : TICE 2 Créer, produire, traiter, exploiter des données

Pilier 6 : les compétences sociales et civiques - de communiquer et de travailler en équipe, ce qui suppose savoir écouter, faire valoir

son point de vue, négocier, rechercher un consensus, accomplir sa tâche selon les règles établies en groupe ;

- Les élèves devront être capables de jugement et d'esprit critique, ce qui suppose : o savoir distinguer un argument rationnel d'un argument d'autorité ;

Pilier 7 : autonomie et initiative - de savoir respecter des consignes ; - d’être capable de raisonner avec logique et rigueur et donc de savoir :

o identifier un problème et mettre au point une démarche de résolution ; o rechercher l'information utile, l'analyser, la trier, la hiérarchiser, l'organiser, la

synthétiser ; o identifier, expliquer, rectifier une erreur ; o distinguer ce dont on est sûr de ce qu'il faut prouver ;

- de mettre à l'essai plusieurs pistes de solution. Attitudes

Pilier 1 : - la volonté de justesse dans l'expression écrite et orale, du goût pour l'enrichissement

du vocabulaire ;

Pilier 3 :

A-Mathématiques - Raisonnement fondé sur des arguments dont la validité est à prouver.

B-Culture scientifique et technologique - Sens de l’observation

Difficultés prévisibles - compréhension de l’énoncé : vocabulaire des opérations et de l’ordre, formulations

peu claires3 - compréhension de l’algorithme de calcul - erreurs de calcul - difficulté pour appréhender l’égalité d’une somme et d’un produit - difficultés liées à la découverte du tableur si c’est le premier contact avec cet outil - erreurs de manipulation du tableur (références relatives) - erreurs dans la traduction en calcul littéral : n, t, n+t, n+2t… - erreurs de calcul algébrique - l’élève ne voit pas la nécessité du calcul algébrique, il se limite à des exemples - si utilisation d’un tableau : confusion avec la proportionnalité - l’énoncé annonce que « l’égalité est toujours vraie », comment convaincre ensuite de

la nécessité de le prouver ?

2 si utilisation du tableur 3 « deux autres nombres de départ » : et puis ?.. « constitue la liste avec la même règle » : laquelle ?


- le passage de l’égalité obtenue : 108=108 à la conjecture « la somme des termes est égale à quatre fois… »

Aménagements de l’énoncé – modalités d’organisation - transformer l’énoncé afin d’intégrer le tableur. - faire découvrir la règle à partir de quelques exemples. - en quatrième : proposer d’abord un travail individuel, faire énoncer la conjecture lors

de la mise en commun puis preuve en classe, élaborée en commun sous la conduite de l’enseignant.

- en troisième : devoir à la maison avec une rédaction plus ouverte. - scénario de travail en groupes (jeu du furet) pour rentrer dans le problème : les élèves

jouent le rôle des différents termes de la suite suivant la règle donnée.

Pistes de différenciation - utilisation du tableur - problème plus ouvert - contourner la difficulté de traduction en expression littérale en utilisant des symboles :

carrés et triangles, par exemple, afin de déplacer le problème de comparaison d’expressions algébriques en problème de dénombrement.

- découper l’exercice en quatre niveaux de compétences : réussir les calculs et vérifier l’égalité sur les exemples, énoncer la conjecture dans sa généralité, comprendre la nécessité de la preuve, réussir à prouver.

- travailler isolément la difficulté de traduction de la formule (« montrer que le troisième nombre est n+t, le quatrième n+2t… »

- limiter à une seule variable en imposant une condition (n=t ou n=2t…)


Phase 2 : compte-rendu des expérimentations L’exercice a été proposé à tous les niveaux de classe du collège. Deux énoncés ont été employés, exploitant ou non le tableur (annexes 1 et 2). Dans une sixième, le scénario employé a été le suivant :

- Travail individuel à partir de la fiche d’activité distribuée (Annexe 1). - Le professeur ramasse les fiches, constitue des groupes de trois élèves à partir des

réponses recueillies et propose des consignes de travail en groupe adaptées à chaque groupe (voir annexe 4). 4

- Travail en groupes. Le professeur recueille les productions. - Synthèse en classe.

Les sixièmes et le « calcul littéral » Considérons la production suivante (production du groupe qui était le plus en difficulté à la fin de la première séance de travail individuel.) :

Les élèves complètent le tableau à partir de A et B, ils obtiennent les cases suivantes en « ajoutant » les expressions en les mettant bout à bout, sans utiliser de connaissances sur le calcul algébrique. Ils n’écrivent pas A+2B mais A+B+B. On constate simplement une entorse au principe de concaténation dans le troisième calcul pour lequel l’ordre des A et des B dans les termes précédents n’est pas respecté. Le groupe procède de la même façon pour la somme :

Les élèves poursuivent en comparant le cinquième terme pris quatre fois à la somme.

On ne sait pas vraiment comment ils procèdent pour effectuer cette comparaison mais on peut supposer qu’ils utilisent une distributivité « naturelle » pour le produit : 4 fois un paquet de A

4 On a ainsi une différenciation prévue dans la structure même de l’activité. Suivant les groupes le questionnement proposé vise à favoriser la complémentarité des approches (groupes 1, 3 et 4), à proposer une méthode pour y voir plus clair (groupes 5 et 6), à faciliter la généralisation (groupe 2).


et B et A… c’est 4 fois A et 4 fois B et encore 4 fois A… Puis ils constatent qu’il y a bien, au bout du compte, autant de A et de B de chaque côté. On ne peut pas vraiment parler de procédure de calcul littéral, les élèves effectuent un dénombrement, voire une comparaison terme à terme de deux collections comprenant des A et des B. Il y a cependant une utilisation, sans doute inconsciente, de la distributivité. Le groupe a toutefois la sensation d’avoir effectué un calcul littéral, si on en croit sa conclusion triomphale :

Un autre groupe adopte une procédure analogue :

La multiplication par 4 est convertie en addition itérée de quatre termes puis les élèves comparent les deux expressions. La conclusion « j’ai barré autant de A et de B » est sans doute à comprendre avec le sous-entendu « dans les deux expressions ».

Le groupe suivant va un pas plus loin dans la découverte du calcul littéral, il interprète spontanément a+a par 2a. On notera qu’il écrit 2a comme il indiquerait « 2 pommes » et non 2xa ou ax2. Il est plus probable que c’est écriture sans le signe multiplicatif soit révélateur d’une procédure de décompte, de dénombrement que de la connaissance de la règle selon laquelle l’emploi du signe est facultatif dans le cas d’expression littérale.

Voyons enfin la production de ce groupe de sixièmes :


Pour ces élèves de sixième, on peut bien parler de calcul littéral : plusieurs règles sont appliquées.

La nécessité de prouver Les sixièmes expriment de plusieurs manières la conscience de la nécessité de prouver. Il faudrait beaucoup d’exemples…

ou

ou

Ou encore :

L’utilisation du tableur Tous les élèves avaient déjà travaillé sur la première fiche (annexe 1).

L’organisation des quatrièmes : Les élèves travaillent une vingtaine de minutes en fin de cours, individuellement, sans mise en commun. Le professeur a vérifié, en cours de travail, que chacun en était au moins à la


troisième question. Il a répondu brièvement par écrit à toutes les questions écrites, et donné un coup de pouce à ceux qui n’avaient visiblement pas compris le « procédé de construction » de la liste.(mise en évidence du rôle particulier des deux premiers nombres, stabilité du procédé effectivement utilisé pour les différentes listes …) mais par contre il a seulement signalé les erreurs de calcul et les défauts de forme dans le texte d’explication sans chercher de correction immédiate. On a choisi cette présentation de l’exercice, et non une recherche et une rédaction sur papier libre, pour avoir très facilement accès à toutes les réponses, dans un temps court.

L’organisation des sixièmes : - Travail individuel d’une vingtaine de minutes. - Annotation écrite de leur travail, hors de leur présence (le professeur a posé des questions

complémentaires d’aide, signalé les erreurs de calcul et leur incidence sur la suite, insisté, si nécessaire, sur la complexité de la consigne 3 (par exemple pour ceux qui avaient écrit une remarque du genre « toutes les sommes sont des nombres pairs », mais n’avaient pas parlé du tout du « cinquième nombre »etc.)

- Reprise du travail individuel sur une photocopie de leur premier papier annoté - Interruption au bout d’une dizaine de minutes par un point collectif et la trace écrite d’un

indice (les deux premiers nombres sont choisis, les autres nombres sont calculés à partir des deux premiers), chacun devant se positionner par rapport à cet indice (inutile pour moi parce que …, je change d’avis à cause de l’indice parce que …, je ne comprends pas à quoi ça sert, etc.

- Poursuite du travail individuel (intervention de l’enseignant alors uniquement par écrit, sur questions écrites, pour ne pas déranger le travail de chacun)

- Quelques échanges de productions pour les élèves rapides qui disent avoir terminé et commentaires écrits sur les productions des autres élèves.

Le déroulement La séance débute par une trace au tableau du procédé de construction (élaborée, écrite dans une version « définitive » par des élèves volontaires, critiquée et validée par l’ensemble de la classe) Les élèves sont en binômes imposés hétérogènes, et travaillent de façon autonome avec leur fiche (appel à l’aide possible à tout moment si le professeur est disponible). Une production écrite pour chaque élève (la même pour les deux élèves du binôme ou pas) est obligatoire avant de passer à la question suivante. Cette production peut faire l’objet d’une mise en cause, ou d’une demande de complément par le professeur à tout moment. A la fin de la séance, les feuilles sont relevées pour préparer la mise en commun et la poursuite du travail.

En sixième Cette séance a été précédée d’une séance « tableau noir » d’introduction au tableur, puisqu’ils ne le connaissaient pas du tout. Ils ont entendu parler à cette occasion de cellule, de formule, de l’intérêt de faire faire des calculs à la machine avec un tableur, comme on sait déjà un peu faire faire du dessin géométrique à la machine avec un logiciel de géométrie dynamique, de la possibilité d’utiliser des fonctionnalités déjà connues (étudiées en techno) du logiciel de traitement de texte (en particulier « copier-coller ») Les groupes étaient, exceptionnellement pour un travail en salle info, des groupes de trois. Le professeur est ainsi assuré d’avoir au moins un élève plus habile dans le maniement de ce nouvel outil et cela lui permet conserver les mêmes groupes pour la séance de prolongement, les travaux habituels de groupes regroupant plutôt trois ou quatre élèves, alors que le travail en salle info se pratique soit par binômes, soit individuellement par alternance. Enfin, cela permet d’être plus proche des groupes (huit postes), afin de suivre leur cheminement, de


répondre aux demandes ou de prendre connaissance uniquement des productions écrites (ce qui s’est vérifié). Le déroulement lui-même était le même qu’en quatrième,

La séance « prolongement » :

En quatrième - La mise en commun a abouti aux formulations B9 = B6 x 4 et B9/B6 = 4.

Par contre l’écriture « B9/4 = B6 » a disparu alors qu’elle était présente dans les productions écrites… Ils devaient justifier à la maison l’égalité qui leur convenait.

- Travail par groupes (homogènes) sur la feuille « tableur suite 4ème » (Annexe 6) avec mise au propre de ce qui avait été fait à la maison, et même travail pour l’autre formulation (celle qui n’avait pas été choisie)

- Mise en commun (y compris retour sur la simplification de fraction dont le sens reste bien flou …)

En sixième : - Par groupes, le travail s’est poursuivi avec la feuille « tableur suite 6ème » (Annexe 5),

aucun point collectif intermédiaire n’a été nécessaire tous les groupes se lançant facilement dans des regroupements, plutôt liés au dénombrement, sans aucune appréhension de l’utilisation de lettres, de plus indicées !

Remarques : Les procédés de regroupement ont été très comparables d’un groupe à l’autre, alors que d’habitude il existe une plus grande variété (un peu comme s’ils tendaient instinctivement vers une solution normée ?). L’enthousiasme et l’adhésion de tous, malgré la déstabilisation provoquée par l’utilisation d’un nouvel outil, a été moteur pour poursuivre le travail sur papier, par groupes sans aucune réticence. Le tableur a clairement permis d’avancer. Prenons l’exemple de cet élève de sixième dont voici la production individuelle sans tableur :

L’élève a, semble-t-il, ajouté puis retranché 1 à chacune des cases du tableau initial, autrement dit il n’a pas compris le mécanisme proposé. Voici maintenant la production du même élève suite à la séance sur tableur :


Nous retrouvons les stratégies de groupements et de dénombrement. En revanche il semble que l’utilisation de l’ordinateur lève les états d’âme sur la nécessité de trouver. Voici quelques exemples de réponses à la question « Ce que tu viens de trouver est-il toujours vrai ? »

ou

Ou encore

D’autre part, ce n’est pas original, cependant certains élèves, systématiquement " hors course" dans le déroulement habituel de la classe se prennent au jeu. Ainsi en quatrième, un élève extrêmement difficile dans toutes les situations, en classe, y compris pour des travaux plus " classiques " sur ordinateur, et hors classe, n'a pour une fois posé aucun problème de comportement, il a travaillé pendant tout le temps imparti, y compris dans la séance de prolongement et il a accepté de coopérer avec ses collègues alors qu'il n'accepte jamais le travail par groupes. Son cas est peut-être " un peu limite " , mais d'autres exemples de remotivation pourraient être cités :5 On constate une hardiesse inattendue chez certains élèves pour essayer des valeurs plus " exotiques " que sur papier. Exemples : L’élève a " osé " essayer le nombre 0, ou des décimaux non entiers.

5 Soulignons qu’il s’agit de classes pour lesquelles l'utilisation de l'outil info n'est pas exceptionnel !


Ici un groupe (6ème) a fait de très nombreux essais, dont certains n'ont pas été recopiés, faute de place, et de plus avec des nombres entiers mais peu fréquentables par leur taille :

Un groupe (quatrième, en grande difficulté) s'est interrogé sur ce qui se passerait si l'on intervertissait les deux nombres choisis :

Des élèves ont utilisé des lettres pour calculer sans aucune appréhension grâce aux noms de cellules. Exemples :

Ou

Ou encore :


Il faut toutefois être vigilant pour ne pas provoquer une nouvelle difficulté au passage de l'utilisation, différente, de la lettre dans le calcul littéral ! Certaines erreurs subsistent, comme on le voit dans l’exemple ci-dessous de simplification hasardeuse :

Suite à ce travail sur tableur, les exercices de type " réductions de sommes sous forme d'expressions littérales ", à effectuer sur papier, n’ont plus posé de problème, pour tous les élèves. Le réinvestissement par rapport à la prise de sens est flagrant dans d'autres exercices de calcul littéral en 4ème, y compris pour les élèves les plus réfractaires. Enfin les sixièmes ont manifesté une certaine fierté, suite au sentiment de faire un travail " de grands " (deux élèves au moins ont dit avoir parlé de tableur avec leur papa en les voyant l'utiliser aussi, mais les adultes n'ont malheureusement pas toujours rebondi…)

Phase 3 : travail sur les compétences

Travail en groupes, consignes : Choisir l’une des compétences principales mises en évidence dans l’énoncé précédent et proposer un (ou plusieurs) énoncés permettant de travailler la même compétence soit :

• Pour préparer l’exercice " Fibonacci " et aplanir les difficultés prévisibles, • Pour remédier suite à des difficultés rencontrées dans l’exercice " Fibonacci ", • Pour approfondir, suite à l’exercice " Fibonacci " .

On précisera le niveau de classe choisi. Ce travail n’a pu être réalisé par manque de temps.


Annexe n°1 NOM : …………………….. Prénom : …………………………… classe : …………….. 1°) Voici une liste de six nombres. 1 3 2 7 3 10 4 17 5 27 6 44

Explique comment cette liste a été construite : …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………

2°) Crée de nouvelles listes en conservant le même procédé de construction. Liste 1 Liste 2 Liste 3 1 3 2 7 3 10 4 17 5 27 6 44

3°) Pour chacune des listes, calcule la somme des six nombres et compare cette somme avec le cinquième nombre de la liste. Liste 1 Liste 2 Liste 3 Somme des Somme des Somme des six nombres six nombres six nombres

Ecris ce que tu as observé : ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4°) Ce que tu viens de trouver est-il toujours vrai ? Justifie ta réponse. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


Annexe n°2 Prénom…………………………………… ( Prénom :……………………………)

L’objectif de ce TP est de créer le tableau suivant, et de l’utiliser pour faire une démonstration

A B C D E F G H IG 1 LISTE 1 LISTE 2 LISTE 3 LISTE 4 LISTE 5 …… 2 n°1 3 3 n°2 7 4 n°3 5 n°4 6 n°5 7 n°6 8 9 somme 10 11 relation

1° Pour chaque cellule B4 à B7, tu dois faire calculer par le tableur le nombre qu’elle contient et l’afficher. Ecris ci-dessous les formules utilisées pour chacune de ces lignes du tableau .

cellule B4 ………………………………………………………………………………………

cellule B5 ………………………………………………………………………………………

cellule B6 ………………………………………………………………………………………

cellule B7 ………………………………………………………………………………………

2° Pour la cellule B9, tu dois faire calculer la somme des nombres n°1 à n°6 et l’afficher. Ecris ci-dessous la formule utilisée :

cellule B9 ………………………………………………………………………………………

3° Pour les listes suivantes (colonnes C, D, E, …) Choisis et affiche les deux nombres n°1 et n°2, puis « copie-colle » les formules des cellule B4, B5, B6, B7, B9 4° Pour chaque liste, compare les contenus des cellules ligne 9 et ligne 6 (c’est à dire la somme des six nombres de la liste et le cinquième nombre de la liste). Ecris ce que tu as observé : ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5° Vérifie ton observation en complétant la dernière ligne du tableau ( écris une formule prenant en compte le cinquième nombre et/ou la somme des six nombres)

Cellule B11 …………………………………………………………………………………… Ton observation se vérifie-t-elle ? …………………………………………………………….. Quelle égalité obtiens-tu ? ……………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………….. 6° Ce que tu viens de trouver est-il toujours vrai ? Justifie ta réponse au dos de la feuille,.tout d’abord en te servant de ce qui précède, ensuite en utilisant le calcul littéral.


Annexe 3 : la grille d’analyse de l’exercice utilis ée lors de l’atelier Connaissances

Capacités

Attitude

Difficultés prévisibles Pistes de différenciation


Annexe 4 : les consignes données à chaque groupe d’ une classe de sixième

Groupe1 1) Comparer la réponse de Hugo au 3°) avec celles d’Anna et Bastien.

Sur quelle égalité allez-vous vous mettre d’accord ? 2) Observez la réponse de Bastien au 4°).

Que pouvez-vous en dire ? Comparez-la avec celle d’Anne. Proposer une réponse commune.

3) Comment peut-on faire pour exploiter la réponse d’Anne au 4°) sans avoir à effectuer tous les calculs possibles ? De quel(s) outil(s) auriez-vous besoin ?

Groupe 2 1) Proposer un programme commun de construction d’une liste (voir le 1°)). 2) Pour le 3°) à l’aide de vos trois observations, proposer une égalité. 3) Pensez-vous que plusieurs exemples (aussi nombreux soient-ils), suffisent à prouver qu’un

énoncé ou une égalité est toujours vraie(e) ? De quoi aurait-on besoin pour être sûr que c’est toujours vrai ?

Groupe 3 1) Comparer les observations d’Hervé et Marine avec celle d’Audrey.

Quelle égalité choisissez-vous d’écrire ? 2) Pensez-vous que plusieurs exemples (aussi nombreux soient-ils), suffisent à prouver qu’un

énoncé ou une égalité est toujours vrai(e) ? De quoi aurait-on besoin pour être sûr que c’est toujours vrai ?

Groupe 4 1) Comparer vos observations du 3°)et mettez-vous d’accord sur l’égalité à proposer. 2) Répondre au 4°) Pensez-vous que l’explication de Damien suffise ?

Si non, Pourquoi ? Chercher une solution commune.

Groupe 5 1) Reprendre l’exercice au 3°)

Calculer les sommes des six premiers nombres de chaque liste à l’aide de la calculatrice. 2) Après avoir créer une nouvelle liste à partir des nombres 2 et 7, proposer une égalité. 3) Proposer une réponse commune pour le 4°)

Groupe 5 1) Reprendre ensemble le 1°) et proposer un programme de construction d’une liste. 2) Utiliser la calculatrice pour construire de nouvelles listes en choisissant comme premiers

nombres : 2 et 7 puis, 1 et 2. 3) Compléter la question 3°) en coloriant en rouge la ligne 5 des listes et la ligne de somme des

listes pour les comparer.

Groupe 6 1) Compléter le programme de construction d’une liste en commençant par :

– on choisit d’abord deux premiers nombres – Puis on obtient le troisième nombre en …………………… – Puis on obtient le quatrième nombre en …………………… – Puis on obtient le cinquième nombre en …………………… – Puis on obtient le sixième nombre en ……………………

2) Créer de nouvelles listes en utilisant la calculatrice et en prenant 5 et 5 comme premiers nombres de la première liste puis 2 et 7 pour la deuxième.


Annexe 5 Des élèves ont écrit :

B2 (n°1) B2 B2

B3 (n°2) B3 B3

B4 (n°3) B2 + B3 B2 + B3

B5 (n°4) B3 + B4 B3 + (B2 + B3)

B6 (n°5) B4 + B5 (B2 + B3) + (B3 + B2 + B3)

B7 (n°6) B5 + B6 (B3 + B2 + B3) + (B2 + B3 + B3 + B2 + B3)

B9 (somme) B2 + B3 + B4 + B5 + B6 + B7

Ecris B9 de la même façon :

B9 = B2 + B3 + ………………………………………………………………………………..

Par la méthode de ton choix, fais apparaître dans cette longue écriture de B9

l’écriture de B6 (plusieurs fois ?).


Annexe 6 Vous êtes, au cours de la mise en commun, arrivés aux constatations suivantes en

utilisant les formules contenues dans les cellules B4, B5, B6, B7, B9 :

B4 = B2 + B3

B5 = B2 + B3 x 2

B6 = B2 x 2 + B3 x 3

B7 = B2 x 3 + B3 x 5 d’où B9 = B2 x 8 + B3 x 12

Par ailleurs, vous avez choisi deux égalités : B9 = B6 x 4 et .

Pour démontrer la première égalité, écrire l’expression B6 x 4 , la réduire et

conclure.

Pour démontrer la deuxième égalité , écrire l’expression , la simplifier et

conclure.

B6 x 4 = =

B6 x 4 = =

B6 x 4 = =

B9B6

= 4

B9B6

B9B6

=

B9B6

=

B9B6

=

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