BA3-physique -2009-2010C. Vander Velde 1 X. Diffusions lepton-hadron et modèle des partons PHYS-F-305

BA3-physique -2009-2010 C. Vander Velde 1

X. Diffusions lepton-hadron et modèle des partons

PHYS-F-305

C. Vander Velde 2BA3-physique -2009-2010

Contenu du chapitre X

X.1.Rappel X.2.Diffusions élastiques et facteur de forme X.3. Diffusions inélastiques

Section efficace inélastique Le modèle des partons

X.4. Conclusions


X.1.Introduction et rappelNous avons vu que les expériences de diffusion

de particules ponctuelles par des nucléons

avaient permis de mettre en évidence,

d’abord la structure non ponctuelle des

nucléons, ensuite, à plus haute énergie,

l’existence de partons à l’intérieur des

hadrons, partons qui furent plus tard

identifiés aux quarks. Ce furent les

électrons qui furent tout d’abord

utilisés comme sonde mais tout lepton peut jouer ce rôle et plus tard,

neutrinos et muons furent aussi utilisés. Pour les électrons et les

muons, il s’agit quasi essentiellement d’interactions é.m., les leptons

n’ayant pas d’interactions fortes. Pour les neutrinos, il s’agit

d’interactions faibles.


X.1.Introduction et rappelUne expérience de diffusion sur une cible au repos, peut être décrite de différentes manières selon l'énergie de la particule incidente

.

1. A basse énergie (moins de q.q. GeV), il se produit une collision parfaitement élastique : la particule incidente est seulement déviée de sa trajectoire. Mais ce n’est que si la longueur d’onde associée à la particule test est plus petite que les dimensions de la cible que sa structure interne pourra être mise en évidence, sinon, elle apparaît ponctuelle. C’est avec des e- de q.q. GeV à 20 GeV que l’étendue spatiale du proton a pu être démontrée et son rayon estimé.

2. A très haute énergie, la longueur d’onde de la particule test est trop petite pour voir l’entièreté de la cible; elle ne voit que ses composants séparés. La cible éclate en morceaux.


X.2. Diffusions élastiques et facteur de forme

Section efficace différentielle

On a :

Section efficace différentielle :Le lien entre et b dépend du type d’interaction.

dσσ dΩ

dΩdσ = 2πb db dΩ = 2πsinθ dθ

dσ b db

dθ sinθ dθ

intégré sur



Section efficace de RutherfordEstimons d’abord la section efficace de la diffusion Coulombienne (élastique), de deux particules ponctuelles sans spin, non relativistes, respectivement de charge ze et Ze et de masse m et M (par exemple, la répulsion d’un par un noyau plus lourd). Il nous faut trouver la relation entre b et .

On travaille en coord. relatives : O est placé sur le noyau et on considère la diffusion d’une particule de masse µ et d’énergie E

mMμ =

m + M

21E = μv

2



Section efficace de RutherfordOn va exploiter :

La collision étant élastique, l’énergie cinétique est conservée et la particule diffusée a même vitesse et même impulsion, en module, en t = -∞ et t = +∞. Dans le système d’axes u – v, où u est l’axe de symétrie de la trajectoire qui fait un angle avec l’axe x négatif:

Dès lors :

Utilisons la conservation du moment angulaire (la force Clb est centrale)

2r

20

zZe 1Δp = Fdt F=

4πε r

uΔp = p cos - -p cos 2p cosδ vΔp = p sin -p sin 0

2

u 20

cos dt Zze2p cosδ = F dt = Fcos dt = C d avec C =

r d 4πε



Section efficace de Rutherford2 d

L = μ b v μ r v μ r vcos μ r rω μ rdt

2

d b v C2p cosδ = cos d

dt r b v

2

0

2

2C C2μ v cosδ = sin δ b = tgδ

b v μ

zZe 1 1b =

4 2E t /2

v

g θ



Section efficace de RutherfordEn dérivant b par rapport à et en remplaçant dans l’expression de la section efficace différentielle, on obtient la formule de Rutherford, qui reste valable dans le SL, si m << M (O en M), par exemple, pour la diffusion d’un e- par un p :

Remarque : la section efficace ne dépend pas du signe des charges :

22

40

dσ Zze 1=

dΩ 16πε E sin θ/2



Section efficace de RutherfordLa section efficace de Rutherford peut aussi s’écrire:

Transfert d’impulsionOn définit le transfert d’impulsion :

où p et p’ son les quantités de mouvement de la particule incidente avant et après interaction. En terme d’échange de particule, q est la quantité de mouvement

emportée ou fournie par le boson échangé:

2

4

dσ Zz . c 1=

dΩ 4E sin θ/2

ze ze

Ze

p

q

p’

q = p'-p



Transfert d’impulsionPour une diffusion élastique (p = p’), il y a une relation univoque entre l’angle de diffusion et le transfert d’impulsion:

Les diffusions à grand angle correspondent donc à un transfert d’impulsion important.

Effectuons le changement de variable q dans la section efficace de Rutherford :

On a :

pp’ q

/2 θq = 2.p.sin( )

2

2 2dΩ = -2π dcos θ et dq = 4p sin θ/2 cos θ/2 dθ = 2pdcos θ

22 2 2

42

4dσ=

dq

Z z c

qc



Approximation de BornLe résultat précédent découle directement de l’approximation de Born, pour le calcul de la section efficace de diffusion par un potentiel quelconque, V(r), à l’ordre le plus bas:

où l’amplitude M(q) est la transformée de Fourrier du potentiel:

Vérifions le pour la diffusion Clb de 2 charges ponctuelles de charge -e et e:

2 2

2

dσ E= q

dΩ 4πM

3 iq.rq = d r V(r)eM

2

3 iq.r

0

-C eq = d r e avec C =

r 4πεM



Approximation de BornOn a :

En remplaçant et en intégrant sur les angles, on obtient:

Cette intégrale ne peut être calculée pour r ∞.Toutefois, en pratique, à condition de se placer suffisament loin des charges produisant le potentiel, il y a effet écran et le potentiel 0.

Dès lors, on calcule l’intégrale pour un potentiel :

et on fait tendre ensuite µ 0.

3 2d r = r sin θ drdθd et q.r = qrcos θ

0

sin qrq = 4πC dr

qM

-µr-CV(r) = e

r



Approximation de BornOn a :

Ce qui conduit bien à la section efficace de Rutherford :

-µr

µ 00

-µr-µr

2 20 µ 000

22

sin qrq = 4πClim dr

q

e cos qr cos qr= 4πClim 4πClim µe dr

q q

4π α c4π C= -

q qc

µ

M e

(en intégrant par partie)

22 22 2

42

4α c Edσ E= q =

dΩ 4π qcM

(en rendant la dépendance en c explicite)



Le propagateurRemarquons qu’en terme de l’échange d’un unique photon (ordre le plus bas), l’amplitude M(q), comprend le produit des constantes de couplage des 2 vertex et un terme 1/(qc)² qui est appelé le propagateur. C’est le terme qui rend compte du transfert d’impulsion d’un vertex à l’autre.

Dans une théorie relativiste q² est remplacé par -q²= q²-(E/c)², l’opposé du carré du quadrivecteur énergie-impulsion et si le boson échangé à une masse non nulle MB, le propagateur est de la forme :

2 2B

1

+ Mq

Remarque : ce terme explique la faible intensité des interactions faibles par rapport à l’interaction

électromagnétique; les bosons Z° et W± sont très massifs alors que le photon a une masse nulle.

22 22 2

42

4α c Edσ E= q =

dΩ 4π qcM



Facteur de formeDans le cas où la cible n’est pas ponctuelle mais la charge se répartit suivant une distribution (r), normalisée à l’unité, le potentiel électrostatique devient :

On remplace dans ce qui conduit à l’amplitude :

Changement de variable :

3ρ r' d r'V(r) = C

r-r'

iq.r

3 iq.r 3 3 3ρ r' e

q = -C d r e d r' = -C d r'ρ ' d rr r' r r'

M r

3 3x = r - r' d x = d r et r = x + r'

iq.x

3 iq.r' 3 eq = -C d r'ρ ' e d x

xM r

r’ r

proton

e

3 iq.rq = d r V(r)eM



Facteur de forme

où M(q) est l’amplitude pour la diffusion par une charge ponctuelle. Le terme multiplicatif qui apparaît est appelé facteur de forme:

Nous avons vu que pour un potentiel symétrique comme le potentiel Clb, M(q) est une fct de q², de même, pour une distribution de charge symétrique: F(q) = F(q²)

3 iq.r'q = d r'ρ ' e qM r M

3 iq.r'

q = F q q

F q = d r'ρ r' e

M M

facteur de forme



Diffusion par une cible de densité (r)La section efficace différentielle de diffusion par une charge de distribution spatiale (r) est donc :

La mesure de la section efficace différentielle permet dès lors d’obtenir le facteur de forme F(q²) et à partir de là d’obtenir la distribution de charge, en prenant la transformation de Fourrier inverse:

22 2 2

242

4 Z z α cdσ= F q

dq qc

3 -iq.rρ r = d q F q e



Section efficace de DiracJusqu’à présent, nous avons considéré la section efficace de Rutherford qui suppose la cible beaucoup plus lourde que le projectile (M>>m), ce qui permet de négliger le recul du noyau. En outre elle ignore les effets de spin. Pour étudier la structure du proton à partir de diffusions d’e - par des p, on ne peut ignorer le spin 1/2 de ces particules; en outre, à grand transfert d’impulsion, on ne peut négliger le recul du noyau, E’ ≠ E et p’ ≠ p. On définit :

où q² est le carré du quadri-vecteur énergie- impulsion du photon échangé. La relation entre angle et transfert d’impulsion devient (E ~ p pour l’électron):

q,p,E

e-

Me-

p’,E’

2 22 2E -E' -q = p'-p - E'-E / c 2ν Q

2 2q 2EE' 1-cosθ 4EE'sin θ / 2 Rem. : Pour un réel, q2 = m2

= 0. Ici, virtuel avec q2 < 0



Section efficace de DiracIl faut faire appel à la section efficace de Dirac qui sera dérivée dans des cours ultérieurs:

On reconnaît dans le 1er facteur, la section efficace de Rutherford dans laquelle on a remplacé (q)² par Q² et multiplié par E’/E pour tenir compte du recul du noyau.

Le terme en cos²(/2) reflète la probabilté d’avoir une interaction dans laquelle l’hélicité de l’électron incident est conservée. Dans ce cas le moment angulaire total est conservé si le spin du proton reste inchangé; en effet, le moment angulaire orbital (r x p) est ┴ au spin interaction sans retournement de spin (non-flip spin). Le spin du photon échangé est longitudinal.

2 22 22 2

2 4 2Dirac

4 cd E ' Qcos sin

E 2 2dQ Qc 2 Mc



Section efficace de Dirac

Le terme en sin²(/2) reflète la probabilté d’avoir une interaction dans laquelle l’hélicité de l’électron incident n’est pas conservée. Dans ce cas la conservation du moment angulaire total implique que le spin du proton soit retourné (flip spin); il s’agit d’une interaction magnétique. Le spin du photon échangé est transversal.

Alors que le 1er terme provient d’une interaction purement électrique qui dépend de la distribution de charge statique dans le proton, le 2ème terme implique la distribution de moment magnétique du proton.

22 22 2

2 4 2Dirac

4 cd E ' Qcos sin

E 2 2dQ Qc 2 Mc



Section efficace de DiracL’amplitude M de ce 2ème terme est au moment magnétique du proton (µ = g e S/2M) et donc à 1/M ainsi qu’au champ magnétique produit par la cible durant la diffusion. Ce dernier est proportionnel à la déflection et donc à Q. L’amplitude intervenant au carré dans la section efficace, cela explique le facteur Q²/2M²c².

Facteurs de forme du protonDe ces 2 contributions à la section efficace, avec des dépendances angulaires différentes, il résulte 2 facteurs de forme pour le proton, G1(Q²) et G2(Q²):

22 2

2 2 2 21 22 4 2

Dirac

4 cd E ' QG Q cos G Q sin

E 2 2dQ Qc 2 Mc



Facteurs de forme du protonFacteur électrique,

mesurable à petit Q² où les effets magnétiques

sont négligeables

Facteur magnétique



Facteurs de forme du protonLes facteurs de forme G1(Q²) et G2(Q²) montrent la même dépendance de type dipolaire, 1/ [1 + (Q / Mv)²],

avec Mv ~ √0.71 ~ 0.84 GeV (accord à ~10% jusqu’à Q² ~ 20 GeV²), en contradiction flagrante avec l’hypothèse d’un proton ponctuel qui conduirait a un facteur de forme uniforme.

En prenant la transformée de Fourrier du facteur de forme dipolaire, on obtient une distribution de charge statique :

qui permet d’estimer le rayon de la charge du proton, re :

2 3e e

2 r = 0.8r d 5±r r ρ r 0.02fm

vρ r exp M r / c


X.3. Diffusions inélastiques profondes*

La tâche grise indique que le photon échangé rencontre une particule avec structure. X peut être :

le proton intact; il s’agit alors d’une diffusion élastique : MX = Mp

un état excité, c’est-à-dire une résonance ou N : MX = MR > Mp

un ensemble de hadrons : MX = Minv(hadrons) > Mp

* attention : q.q. changements de notation avec la section précédente.


X.3. Diffusions inélastiques profondes

Section efficace inélastiqueA grand Q², les facteurs de forme dipolaires G1(Q²) et G2(Q²), en 1/Q², deviennent rapidement négligeables par rapport à ceux correspondant à la section efficace inélastique pour laquelle

MX > Mp. On a :

Dans le système de repos du proton cible :

Remarque : pour la diffusion élastique, MX = Mp et Q² = 2 Mp

Il y a une relation univoque entre Q² et . Dans le cas de la diffusion inélastique la section efficace différentielle dépend à priori de Q² et de .

22 2X X XM = E - p

222 2 2X p X p

2 2

X

p

p

2

p

p X

q = E -M - p = M + M -2 M + ν

Q = M -M + 2M ν

M



Section efficace inélastique

On peut montrer que (cours ultérieur) :

où W1(Q²,) et W2(Q²,) sont les facteurs de forme correspondant aux 2 états de polarisation possibles du photon échangé, transverse et longitudinale; on les appelle ici fonctions de structure.

222

2 2 2 22 12 4

p

4 cd E 'W Q , cos 2W Q , sin

E . M 2 2dQ d Qc


Le modèle des partons Si le nucléon n’est pas une particule fondamentale, il est formé de plusieurs parties, nommées partons par Feynman en 1969. Les partons sont des particules ponctuelles, qui n’interagissent pas entre eux de façon significative. A l’approximation d’une interaction avec échange d’un seul photon, on peut considérer que les leptons

n’interagissent alors qu’avec un seul parton.

On considère qu’il s’agit d’une

diffusion élastique du lepton incident avec un parton.



p p

m


Le modèle des partons .Plaçons-nous dans un système de référence où l’impulsion du proton est grande, Ep ~ pp, et la masse du proton peut être négligée. Le proton peut être vu comme un flux parallèle de partons, chacun avec une fraction

Supposons qu’un parton de masse m soit diffusé de

manière élastique en absorbant le photon de quadrivecteur q émis par le lepton incident:

p du quadrivecteur p du proton (0 < < 1). Comme p est grand, on peut aussi négliger la masse des partons et leur impulsion transverse.



Le modèle des partons

La section efficace inélastique de diffusion du lepton par le proton s’obtient en sommant les sections efficaces élastiques sur chaque parton et en pondérant par les probabilités Pi() de trouver un parton i avec une fraction de l’impulsion.

2 2

22 2 2 2 2p p p p

2 2

p p

ξp +q = m 0

ξE + ν - ξp +q ξ M +q + 2ξ E ν -p.q q + 2ξM ν 0

-q Qξ

2M ν 2M ν

négligeable

devant q²

invariant p = 0



Le modèle des partons On définit la variable :

à la limite des grands Q².

Pour un parton ponctuel i de spin 1/2 et de charge zie, la section efficace élastique s’écrit :

Conduisant à la section efficace inélastique du proton :

où Pi(x) est la densité de probabilité d’avoir un parton i de fraction x.

2

p

Qx ξ

2M ν

22 22 2 2

i2 4 2Dirac

4 cd E ' Qcos sin z

E 2 2dQ Qc 2 xMc

22 22 2 2

ii2 4 2iinél

4 cd E ' Qz P x cos sin

E 2 2dQ dx Qc 2 xMc



Le modèle des partons La comparaison de :

et de (p.27) :

montre qu’il est possible de relier les fonctions de structure W (Q²,) aux densités de probabilité Pi(x) d’avoir un parton i de fraction x.

22 22 2 2

ii2 4 2iinél

4 cd E ' Qz P x cos sin

E 2 2dQ dx Qc 2 xMc

222

2 2 2 22 12 4

p

4 cd E 'W Q , cos 2W Q , sin

E . M 2 2dQ d Qc


Le modèle des partonsDe nombreuses mesures de section efficace de diffusion à grand Q² ont permis de mesurer ces densités de probabilité et d’identifier les quarks du modèle statique des quarks aux partons de Feynman, eux aussi de charge fractionnaire et au nombre de 3 pour les partons fixant les nombres quantiques du proton, appelés quarks de valence.

Toutefois, pour rendre compte des observations à très grand Q², il a fallu prendre en compte les interactions quark – gluon qui sont responsables de la cohésion des nucléons. On peut les schématiser de la manière suivante :



Le modèle des partons


q

q

p

q

q

p

gq

q

q

q

p

g

q

q

Pas d’interaction quark-gluon. Le photon émis par le lepton (non représenté) interagit avec un quark de valence.

Le quark de valence interagit avec un gluon avant d’absorber le photon, ce qui augmente les diffusions à petit x.

Un quark de valence émet un gluon qui se convertit en une paire q-q, les quarks de la mer; et c’est l’un d’entre eux qui interagit avec le photon.


Le modèle des partons Les mesures de diffusions d’électrons ou de muons, qui font intervenir l’I.ém. ne permettent pas de distinguer les distributions d’anti-quarks de celles des quarks, leurs charges identiques en valeur absolue intervenant au carré. Pour cela, il a fallu faire appel aux mesures de diffusions de neutrinos par des protons, celles-ci faisant intervenir les interactions faibles mais cela fait l’objet de cours avancé. Voyons seulement les résultats.


quarks

anti-quarks

distributions de x ds les nucléons

quarks de valence

Q² ~10 GeV²CERN – FNALdiffusion de


Le modèle des partonsLes quarks et anti-quarks de la mer étant créées par paires, leurs distributions doivent être identiques. Dès lors on peut déduire la distribution des quarks de valence :

On remarque sur la figure précédente que les quarks de valence dominent pour x > ~0.3, tandis qu’à petit x, loin de la région élastique (x = 1), la contribution des quarks de la mer devient

importante.


i i

i=q i=q

V x = Q x -Q x avec

Q x P x et Q x P x


Dans les diffusions profondément inélastiques de leptons (ponctuels) par des nucléons, le modèle des quarks-partons rend compte qualitativement des observations, à condition de tenir compte des interactions quark – gluon, surtout à grand Q².

constituants ponctuels q, q de spin ½ présence de la mer q q existence des gluons 3 quarks de valence

X.4. Conclusions

2 22q

2 1Q

3 3et


Théorie quantique des champs (QFT) – PHYS-F-302 ... Le modèle standard (SM) - PHYS F- 416 ...

(Interactions fondamentales et particules)

Chromodynamique quantique (QCD) - PHYS F- 477 (Physique auprès des collisionneurs)

Au-delà du SM supersymétrie – PHYS – F - 417 cordes – PHYS – F - 418 ...

Aspects cosmologiques relativité générale et cosmologie - PHYS F-432-A – PHYS – F - 415

astro-particules PHYS – F - 467 Aspects expérimentaux - PHYS – F - 420 - PHYS – F - 314

La suite

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