7/25/2019 Bac 2016 : maths ES et L

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BACCALAURAT GNRAL

Session 2016

MATHMATIQUES Srie ESENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

Dure de lpreuve: 3 heures coefficient : 5

MATHMATIQUES Srie LENSEIGNEMENT DE SPCIALIT

Dure de lpreuve: 3 heures coefficient : 4

SUJET

Lusage de la calculatrice est autoris.

Le candidat est invit faire figurer sur la copie toute trace de recherche, mme incomplteou non fructueuse, quil aura dveloppe.

Il est rappel que la qualit de la rdaction, la clart et la prcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans lapprciation des copies.

Le candidat sassurera que le sujet est complet, quil correspond bien sa srie et son choixdenseignement (obligatoire ou spcialit).

Le sujet comporte 5 pages, y compris celle-ci.

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EXERCICE 14points

Cet exercice est un questionnaire choix multiples (QCM). Pour chacune des quatre questions, quatre

rponses sont proposes ; une seule de ces rponses convient.

Indiquer sur la copie le numro de la question et la lettre de la rponse choisie sans justifier le choix

effectu.

Une bonne rponse rapporte 1 point. Une rponse fausse, une rponse multiple ou labsence de rponse

ne rapporte ni nenlve aucun point.

1. Un organisme de formation dsire estimer la proportion de stagiaires satisfaits de laformation reue au cours de lanne 2013. Pour cela, il interroge un chantillon reprsentatifde 300 stagiaires. On constate que 225 sont satisfaits.

Alors, un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion de stagiairessatisfaits de la formation reue au cours de lanne 2013 est:

(a) 0,713; 0,771 (b) 0,692; 0,808 (c) 0,754; 0,813 (d) 0,701; 0,799

2. En suivant la loi uniforme, on choisit un nombre au hasard dans lintervalle 4; 11. Laprobabilit que ce nombre soit infrieur 10 est :

(a)

(b)

(c)

(d)

3. On considre la fonctionf dfinie sur Rpar() = ( 1 ) e+. La fonctionest drivablesur Ret sa fonction driveest donne par :

(a)() = 2e+ (b)() = e+

(c)() = (2 3)e+ (d)() = (2 1)e+

4. On considre une fonction dfinie et drivable sur R telle que sa fonctiondrive soit aussi drivable sur R. La courbe ci-contre reprsente lafonction.On peut alors affirmer que :

(a)fest convexe sur 2; 2. (b)fest concave sur 2; 2.

(c)La courbe reprsentative defsur2; 2 admet un pointdinflexion.

(d)est croissante sur 2; 2.

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EXERCICE 25points

Un loueur de voitures dispose au 1ermars 2015 dun total de 10 000 voitures pour lEurope.

Afin dentretenir son parc automobile, il dcide de revendre, au 1ermars de chaque anne, 25% deson parc et dacheter3 000 voitures neuves.

On modlise le nombre de voitures de lagence laide dune suite :

Pour tout entier naturel , on note le nombre de voitures prsentes dans le parc automobile au1ermars de lanne 2015 + .On a donc = 10 000.

1. Expliquer pourquoi pour tout entier naturel , + = 0,75 3 000.

2. Pour tout entier naturel , on considre la suite () dfinie par = 12 000.

a. Montrer que la suite () est une suite gomtrique de raison 0,75. Prciser le premierterme.

b.

Exprimer en fonction de .Dterminer la limite de la suite ().

c. Justifier que, pour tout entier naturel , = 12 000 2 000 0,75.

d.En vous appuyant sur les rponses donnes aux deux questions prcdentes, que pouvez-vous conjecturer sur le nombre de voitures que comptera le parc automobile de ce loueurau bout dun grand nombre dannes?

3. On admet dans cette question que la suite () est croissante.On aimerait dterminer lanne partir de laquelle le parc automobile comptera au moins

11 950 voitures.a. Recopier lalgorithme suivant et complter les pointills afin quil permette de rpondre

au problme pos.

b. laide de la calculatrice, dterminer lanne recherche.

c. Retrouver ce rsultat en rsolvant linquation 12 000 2 000 0,75 11 950.

INITIALISATIONU prend la valeur 10 000N prend la valeur 0

TRAITEMENTTant que .

N prend la valeur .U prend la valeur .

Fin Tant que

SORTIEAfficher .

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EXERCICE 35points

Un tlphone portable contient en mmoire 3 200 chansons archives par catgories : rock, techno,rap, reggaedont certaines sont interprtes en franais.

Parmi toutes les chansons enregistres, 960 sont classes dans la catgorie rock.

Une des fonctionnalits du tlphone permet dcouter de la musique en mode lecturealatoire : les chansons coutes sont choisies au hasard et de faon quiprobable parmilensemble du rpertoire.Au cours de son footing hebdomadaire, le propritaire du tlphone coute une chanson grce cemode de lecture.

On note : R lvnement: la chanson coute est une chanson de la catgorie rock ; F lvnement: la chanson coute est interprte en franais .

Les PARTIESA et B sont indpendantes.

PARTIEA1. Calculer (R), la probabilit de lvnement R.

2. 35% des chansons de la catgorie rock sont interprtes en franais ; traduire cette donneen utilisant les vnements R et F.

3. Calculer la probabilit que la chanson coute soit une chanson de la catgorie rock etquelle soit interprte en franais.

4. Parmi toutes les chansons enregistres 38,5% sont interprtes en franais.Montrer que (F R ) = 0,28.

5. En dduire R (F)et exprimer par une phrase ce que signifie ce rsultat.

PARTIE B Les rsultats de cette partie seront arrondis au millime.Le propritaire du tlphone coute rgulirement de la musique laide de son tlphoneportable.

On appelle X la variable alatoire qui, chaque coute de musique, associe la dure (en minutes)correspondante ; on admet que X suit la loi normale desprance = 3 0et dcart-type = 1 0.

Le propritaire coute de la musique.

1. Quelle est la probabilit que la dure de cette coute soit comprise entre 15 et 45 minutes ?

2. Quelle est la probabilit que cette coute dure plus dune heure?

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EXERCICE 46points

La courbe (C) ci-dessous reprsente, dans un repre orthonorm, une fonction dfinie etdrivable sur 0,5; 6. Les points A(1 ; 3) et B dabscisse 1,5 sont sur la courbe (C).Les tangentes la courbe (C) aux points A et B sont aussi reprsentes en pointills sur cegraphique, la tangente au point B est horizontale.On notela fonction drive de.

LesPARTIESAetBsont indpendantes.

PARTIEA :TUDE GRAPHIQUE

1. Dterminer(1,5).

2.

La tangente la courbe (C) au point A passe par le point de coordonnes (0 ; 2). Dterminerune quation de cette tangente.

3. Donner un encadrement de laire, en units daire et lunit prs, du domaine compris entrela courbe (C), laxe des abscisses et les droites dquation = 1et = 2 .

4. Dterminer la convexit de la fonctionsur 0,5; 6.Argumenter la rponse.

PARTIE B:TUDE ANALYTIQUEOn admet que la fonctionest dfinie sur 0,5; 6par() = 2 5 3ln().

1. Pour tout rel de [0,5; 6], calculer()et montrer que() =+

.

2.

tudier le signe desur 0,5

; 6puis dresser le tableau de variation defsur [0,5 ; 6].

3. Montrer que lquation() = 0admet exactement une solution sur 0,5; 6.

Donner une valeur approche de 10-2prs.

4. En dduire le tableau de signe desur 0,5; 6.

5. On considre la fonction dfinie sur 0,5; 6par () = 2 3ln().a. Montrer que est une primitive desur 0,5; 6.

b. En dduire laire exacte, en units daire, du domaine compris entre la courbe (C), laxedes abscisses et les droites dquation = 1 et = 2. En donner ensuite une valeurarrondie au dixime.