I Les suites

A Etude globale d'une suite

B Limites

La suite est majorée si et seulement s'il existe un réel tel que, pour

tout entier naturel :

DÉFINIT IO N

( )un Mn

⩽ Mun

La suite est minorée si et seulement s'il existe un réel tel que, pour tout

entier naturel :

DÉFINIT IO N

( )un mn

⩾ mun

La suite est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel :

DÉFINIT IO N

( )un n

⩾un+1 un

La suite est décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel :

DÉFINIT IO N

( )un n

⩽un+1 un

La suite est bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.

DÉFINIT IO N

( )un

La suite est constante si et seulement si, pour tout entier naturel :

DÉFINIT IO N

( )un n

=un+1 un

La suite est monotone si et seulement si elle est croissante ou

décroissante (sans changer de sens).

DÉFINIT IO N

( )un

tend vers le réel quand tend vers si et seulement si tout

intervalle ouvert (aussi petit que l'on veut) contenant contient tous les termes

à partir d'un certain rang.

Le réel est appelé limite (finie) de la suite ; on note :

DÉFINIT IO N

un L n +∞L

un

L ( )un

= Llimn→+∞

un

Si elle existe, la limite de la suite est unique.

THÉO RÈME

L ( )un

tend vers ( ) quand tend vers si et seulement si pour tout

réel A (aussi grand que l'on veut), tous les termes sont supérieurs à A à

partir d'un certain rang.

On note :

DÉFINIT IO N

un +∞ −∞ n +∞un

= +∞ ( − ∞)n

= +∞ ( − ∞)limn→+∞

un

La suite est convergente si et seulement si elle admet une limite finie.

DÉFINIT IO N

( )un

Toute suite convergente est bornée.

THÉO RÈME

La suite est divergente si et seulement si elle n'est pas convergente, c'est-

à-dire si sa limite est ou si elle n'admet pas de limite.

DÉFINIT IO N

( )un

±∞

Soit un réel différent de :

si , alors a pour limite ;

si , alors a pour limite ;

si , alors n'admet pas de limite.

THÉO RÈME

q 1

−1 < q < 1 q n 01 < q q n +∞q ⩽ −1 q n

Soient une fonction , une suite , et deux réels ou ou , avec :

la suite est telle que

la fonction est telle que

alors .

THÉO RÈME

f ( )un a b +∞ −∞

( )un = alimn→+∞

un

f f(x) = blimx→a

f( ) = blimn→+∞

un

Soit une suite convergente vers L et un réel m tels qu'à partir d'un certain

rang , alors :

THÉO RÈME

( )un

m ⩽ un

m ⩽ L

Soit une suite convergente vers L et un réel M tels qu'à partir d'un certain

rang , alors :

THÉO RÈME

( )un

⩽ Mun

L ⩽ M

Soient et deux suites telles qu'à partir d'un certain rang, .

Si converge vers le réel et converge vers le réel , alors :

THÉO RÈME

( )un ( )vn ⩽un vn

( )un L ( )vn L′

L ⩽ L′

Soient et deux suites telles qu'à partir d'un certain rang, :

si , alors par théorème de comparaison,

.

si , alors par théorème de comparaison,

.

THÉO RÈME

( )un ( )vn ⩽un vn

= +∞limn→+∞

un

= +∞limn→+∞

vn

= −∞limn→−∞

vn

= −∞limn→−∞

un

Soient , et trois suites telles qu'à partir d'un certain rang,

.

Si et convergent vers le même réel , alors par théorème

d'encadrement converge vers .

THÉO RÈME

( )un ( )vn ( )wn

⩽ ⩽un vn wn

( )un ( )wn L( )vn L

THÉO RÈME

C Raisonnement par récurrence

Pour démontrer par récurrence qu'une proposition est vraie, pour tout entier

naturel à partir du rang :

a. Initialisation : on vérifie que la proposition est vérifiée au premier rang ;

b. Hérédité : on montre que si la proposition est vérifiée à un certain rang ( ),

elle est alors vérifiée au rang suivant ;

c. Conclusion : la proposition est alors vraie pour tout entier naturel supérieur ou

égal à .

II Les limites de fonctions

A Limite d’une fonction en l’infini

B Limite d’une fonction en un réel

D'après le théorème de la convergence (ou limite) monotone :

si une suite est croissante et majorée, alors elle est convergente.

si une suite est décroissante et minorée, alors elle est convergente.

Toute suite croissante et non majorée diverge vers .

Toute suite décroissante et non minorée diverge vers .

THÉO RÈME

+∞−∞

n k

kp ⩾ k

p + 1

k

Une fonction tend vers le réel quand tend vers si, pour tout

intervalle ouvert centré en , il existe un réel tel que pour tous les

supérieurs à , appartient à cet intervalle :

Une fonction tend vers le réel quand tend vers si, pour tout

intervalle ouvert centré en , il existe un réel tel que pour tous les

inférieurs à , appartient à cet intervalle :

DÉFINIT IO N

f L x +∞L x0 x

x0 f(x)

f(x) = Llimx→+∞

f L x −∞L x0 x

x0 f(x)

f(x) = Llimx→−∞

Une fonction tend vers quand tend vers si, pour tout réel

, il existe un réel tel que pour tous les supérieurs à , :

Une fonction tend vers quand tend vers si, pour tout réel

, il existe un réel tel que pour tous les supérieurs à , :

Une fonction tend vers quand tend vers si, pour tout réel

, il existe un réel tel que pour tous les inférieurs à , :

Une fonction tend vers quand tend vers si, pour tout réel

, il existe un réel tel que pour tous les inférieurs à , :

DÉFINIT IO N

f +∞ x +∞A x0 x x0 f(x) > A

f(x) = +∞limx→+∞

f −∞ x +∞A x0 x x0 f(x) < A

f(x) = −∞limx→+∞

f +∞ x −∞A x0 x x0 f(x) > A

f(x) = +∞limx→−∞

f −∞ x −∞A x0 x x0 f(x) < A

f(x) = −∞limx→−∞

a

Une fonction tend vers le réel quand tend vers le réel si, pour tout

intervalle ouvert centré en , il existe un voisinage de tel que pour tous les

appartenant à ce voisinage, appartient à cet intervalle :

DÉFINIT IO N

f L x aL a x

f(x)

f(x) = Llimx→a

C Règles d’opérations

Limite de en

Limite de en

Limite de en ?

Limite

de

en

L

Limite

de

en

Limite

de

en

?

Limite

de

en

ou ou

Limite

de

en

Limite

de

en

? ?

D Limites et ordre

Une fonction tend vers quand tend vers le réel si, pour tout

réel , il existe un voisinage de tel que pour tous les appartenant à ce

voisinage, :

Une fonction tend vers quand tend vers le réel si, pour tout

réel , il existe un voisinage de tel que pour tous les appartenant à ce

voisinage, :

DÉFINIT IO N

f +∞ x aA a x

f(x) > A

f(x) = +∞limx→a

f −∞ x aA a x

f(x) < A

f(x) = −∞limx→a

On peut étudier la limite d'une fonction en un réel :

par valeurs inférieures à ce réel (on parle de limite à gauche de ) :

par valeurs supérieures à ce réel (on parle de limite à droite de ) :

DÉFINIT IO N

a

a limx→a−

a limx→a+

Les fonctions polynômes, rationnelles, racine carrée, valeur absolue, sinus et

cosinus admettent une limite finie en tout réel a de leur ensemble de définition,

qui est égale à leur valeur en .

PRO PRIÉTÉS

a

f α L L L +∞ −∞ +∞

g α L′ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞

f + g α L + L′ +∞ −∞ +∞ −∞

fα

L > 0 L < 0 L > 0 L < 0 +∞ −∞ +∞ 0

gα

L′ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ −∞ −∞ ±∞

f × gα

L × L′ +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ +∞ −∞

fα

L L +∞ +∞ −∞ −∞ 0 ±∞ L > 0 +∞ L < 0 −∞

gα

≠ 0L′ ±∞ > 0L′ < 0L′ > 0L′ < 0L′ 0 ±∞ 0+ 0− 0+ 0−

f

gα

L

L′0 +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞

Si et alors .

THÉO RÈME

g(x) = βlimx→α

f(x) = γlimx→β

f ∘ g(x) = γlimx→α

On désigne par un réel, ou . On désigne par un réel.

E Asymptotes

III Les dérivées

A Nombre dérivé

α +∞ −∞ L

Soient , et trois fonctions telles que sur un voisinage de ,

.

Si et alors .

THÉO RÈME

f g h αf(x) ⩽ g(x) ⩽ h(x)

f(x) = Llimx→α

h(x) = Llimx→α

g(x) = Llimx→α

Soient et deux fonctions telles que sur un voisinage de , .

Si et alors .

THÉO RÈME

f g α f(x) ⩽ g(x)f(x) = Llim

x→αg(x) =lim

x→αL′ L ⩽ L′

Soient et deux fonctions telles que sur un voisinage de , :

si , alors par théorème de comparaison,

.

si , alors par théorème de comparaison,

.

THÉO RÈME

f g α f(x) ⩽ g(x)

f(x) = +∞limx→α

g(x) = +∞limx→α

g(x) = −∞limx→α

f(x) = −∞limx→α

La droite d'équation est asymptote horizontale à en si et

seulement si :

DÉFINIT IO N

y = L C +∞

f(x) = Llimx→+∞

La droite d'équation est asymptote horizontale à en si et

seulement si :

DÉFINIT IO N

y = L C −∞

f(x) = Llimx→−∞

La droite d'équation est asymptote verticale à si et seulement si :

DÉFINIT IO N

x = a C

f(x) = ±∞limx→a−

ou f(x) = ±∞limx→a+

Soit un réel appartenant au domaine de définition d'une fonction .

Pour tout réel non nul, on appelle taux d'accroissement ou taux de variation

de entre et le quotient :

En posant , le taux d'accroissement entre et s'écrit :

DÉFINIT IO N

a fh

f a a + h

f(a + h) − f(a)h

x = a + h x a

f(x) − f(a)x − a

La fonction est dérivable en si et seulement si son taux d'accroissement en

admet une limite finie quand tend vers (ou quand tend vers dans la

deuxième forme).

DÉFINIT IO N

f aa h 0 x a

(a)′

B Fonction dérivée

(si ne s'annule pas sur )

(si ne s'annule pas sur )

Cette limite est appelée nombre dérivé de en , et est notée :f a (a)f ′

= = (a)limh→0

f(a + h) − f(a)h

limx→a

f(x) − f(a)x − a

f ′

Si est dérivable en , alors est continue en .

PRO PRIÉTÉS

f a f a

Si est dérivable en , sa courbe représentative admet une tangente non

verticale au point de coordonnées , de coefficient directeur , dont

une équation est :

THÉO RÈME

f a(a; f(a)) (a)f ′

y = (a)(x − a) + f(a)f ′

La fonction est dérivable sur un intervalle si et seulement si elle est

dérivable en tout réel de cet intervalle.

On appelle alors fonction dérivée de la fonction notée , qui a tout réel

associe .

DÉFINIT IO N

f I

f f ′ x(x)f ′

Soit une fonction dérivable sur un intervalle .

Si est également dérivable sur , la dérivée de , notée , est appelée

dérivée seconde de ou dérivée d'ordre de .

DÉFINIT IO N

f If ′ I f ′ f ′′

f 2 f

f(x) (x)f ′ Df Df ′

λ 0 R R

x 1 R R

(n ⩾ 1)xnnxn−1 R R

(n ⩾ 1)1

xn−

n

xn+1R∗ R∗

x−−√ 12 x√

R+ R+∗

ex ex R R

ln(x) 1x

R+∗ R+∗

sin(x) cos(x) R R

cos(x) − sin(x) R R

f f ′

λu λu′

u + v +u′ v′

uv v + uu′ v′

1u

u I −u′

u2

u

vv I v– uu′ v′

v2

(si )

(si )

C Applications de la dérivation

IV La continuité

A Continuité sur un intervalle

Soient une fonction dérivable sur , et deux réels tels que .

La fonction est alors dérivable sur et a pour dérivée :

THÉO RÈME

f I a b ax + b ∈ Ix ⟼ f(ax + b) I

a (ax + b)f ′

f f ′

(n ⩾ 1)unnu′un−1

u√ u(x) > 0 u′

2 u−−√

eu u′eu

ln(u) u(x) > 0 u′

u

sin(u) cos(u)u′

cos(u) − sin(u)u′

Soit une fonction dérivable sur un intervalle :

si est positive sur , alors est croissante sur .

si est négative sur , alors est décroissante sur .

si est nulle sur , alors est constante sur .

THÉO RÈME

f I

f ′ I f I

f ′ I f I

f ′ I f I

Soit une fonction dérivable sur un intervalle :

si est positive et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur , alors

est strictement croissante sur .

si est négative et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur ,

alors est strictement décroissante sur .

THÉO RÈME

f I

f ′ If I

f ′ If I

Soit une fonction dérivable sur un intervalle ouvert :

si admet un extremum local en un réel de , alors .

Si s'annule en changeant de signe en , alors est un extremum

local de .

THÉO RÈME

f I

f a I (a) = 0f ′

f ′ a f(a)f

Si admet un extremum local en , alors sa courbe représentative admet une

tangente horizontale au point d'abscisse .

PRO PRIÉTÉS

f aa

Une fonction est continue sur un intervalle si et seulement seulement s'il

est possible de tracer sa courbe représentative sur sans lever le crayon.

DÉFINIT IO N

f II

Les fonctions usuelles sont continues sur leur ensemble de définition.

PRO PRIÉTÉS

PRO PRIÉTÉS

B Théorème des valeurs intermédiaires

C Fonction partie entière

V La fonction exponentielle

A Propriétés caractéristiques de l’exponentielle

Toute fonction construite comme somme, produit, quotient ou composée de

fonctions continues sur un intervalle est continue sur .I I

Soit une fonction continue sur un intervalle , et et deux réels de cet

intervalle.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel compris entre

et , il existe au moins un réel compris entre et tel que : .

THÉO RÈME

f I a b

kf(a) f(b) c a b f(c) = k

Si est continue sur et si et sont de signes opposés, alors

s'annule au moins une fois entre et .

PRO PRIÉTÉS

f [a; b] f(a) f(b) fa b

Si est continue et strictement monotone sur , alors pour tout réel

compris entre et , il existe un unique réel compris entre et tel que

: .

PRO PRIÉTÉS

f [a; b] kf(a) f(b) c a b

f(c) = k

Soit un réel . La partie entière de est l'unique entier relatif tel que :

DÉFINIT IO N

x x E(x)

E(x) ⩽ x < E(x) + 1

La fonction partie entière est la fonction définie pour tout réel par :

DÉFINIT IO N

f x

f(x) = E(x)

La fonction exponentielle, notée , est l'unique fonction telle que :

est dérivable sur ;

;

.

L'écriture courante de est .

DÉFINIT IO N

exp f

f R= ff ′

f(0) = 1

exp(x) ex

Pour tous réels et : .

PRO PRIÉTÉS

x y exp(x + y) = exp(x) × exp(y)

Il existe un unique réel, noté , tel que : ( ).

PRO PRIÉTÉS

e exp(1) = e ≈ 2, 718

Pour tout réel : .

PRO PRIÉTÉS

x > 0ex

Soient deux réels et , et un entier .

PRO PRIÉTÉS

x y n

= ⇔ x = yex ey

< ⇔ x < yex ey

=ex+y exey

=−x 1

B Etude de la fonction exponentielle

VI La fonction logarithme népérien

A Propriétés caractéristiques du logarithme népérien

=e−x 1ex

=ex−y ex

ey

( =ex)nenx

Les limites de la fonction exponentielle aux bornes de son ensemble de

définition sont :

THÉO RÈME

= 0limx→−∞

ex

= +∞limx→+∞

ex

D'après le théorème des croissances comparées, pour tout entier naturel :

THÉO RÈME

n

= 0limx→−∞

xnex

= +∞limx→+∞

ex

xn

Le nombre dérivé de la fonction exponentielle en étant égal à :

THÉO RÈME

0 1

= 1limx→0

− 1ex

x

La fonction exponentielle est dérivable sur .

Pour tout réel :

THÉO RÈME

Rx

(x) = exp(x) =exp′ ex

Soit une fonction dérivable sur un intervalle .

La composée est alors dérivable sur , et pour tout réel de :

THÉO RÈME

u Ieu I x I

( (x) = (x)eu)′u′ eu(x)

La fonction exponentielle est strictement croissante sur .

THÉO RÈME

R

La droite d'équation est tangente à la courbe représentative de la

fonction exponentielle au point d'abscisse .

PRO PRIÉTÉS

y = x + 10

La fonction logarithme népérien, définie sur et notée , est la bijection

réciproque de la fonction exponentielle :

DÉFINIT IO N

R+∗ ln

∀x > 0 , ln(x) = y ⇔ x = ey

Pour tous réels strictement positifs et : .

PRO PRIÉTÉS

x y ln(xy) = ln(x) + ln(y)

B Etude du logarithme népérien

Pour tout réel : .

PRO PRIÉTÉS

x ln( ) = xex

Pour tout réel strictement positif : .

PRO PRIÉTÉS

x = xeln(x)

PRO PRIÉTÉS

ln(1) = 0

,

,

PRO PRIÉTÉS

∀x ∈]0; 1[ ln(x) < 0∀x > 1 ln(x) > 0

Pour tous réels strictement positifs et , et tout entier naturel :

PRO PRIÉTÉS

x y n

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ln ( ) = − ln(x)1x

ln ( ) = ln(x) − ln(y)x

y

ln( ) = n ln(x)xn

ln( ) = ln(x)x√12

Les limites de la fonction logarithme népérien aux bornes de son ensemble de

définition sont :

THÉO RÈME

ln(x) = −∞limx→0

ln(x) = +∞limx→+∞

D'après le théorème des croissances comparées, pour tout entier naturel non

nul :

THÉO RÈME

n

= 0limx→+∞

ln(x)xn

ln(x) = 0limx→0+

xn

Le nombre dérivé de la fonction logarithme népérien en étant égal à :

THÉO RÈME

1 1

= 1limx→1

ln(x)x − 1

La fonction logarithme népérien est dérivable sur .

Pour tout réel strictement positif :

THÉO RÈME

R+∗

x

(x) =ln′ 1x

Soit une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle .

La composée est alors dérivable sur , et pour tout réel de :

THÉO RÈME

u Iln(u) I x I

VII Etude de fonctions

A Existence et représentation graphique

B Comportement

(ln(u) (x) =)′ (x)u′

u(x)

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur .

THÉO RÈME

R+∗

La droite d’équation est tangente à la courbe représentative de la

fonction logarithme népérien au point d’abscisse .

PRO PRIÉTÉS

y = x − 11

Les fonctions exponentielle et logarithme népérien étant réciproques, leurs

courbes représentatives sont symétriques par rapport à la droite d'équation

.

PRO PRIÉTÉS

y = x

La fonction logarithme décimal, notée , est définie sur par :

DÉFINIT IO N

log R+∗

log(x) =ln(x)ln(10)

Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des réels pour

lesquels existe.

DÉFINIT IO N

Df f xf(x)

La courbe représentative d'une fonction dans un repère du plan est

l'ensemble des points de coordonnées , pour tous les réels du

domaine de définition de .

DÉFINIT IO N

Cf f(x; f(x)) x

f

Une fonction est croissante sur un intervalle si et seulement si elle est

définie sur , et pour tous réels et de tels que :

DÉFINIT IO N

f II x y I x < y

f(x) ⩽ f(y)

Une fonction est décroissante sur un intervalle si et seulement si elle est

définie sur , et pour tous réels et de tels que :

DÉFINIT IO N

f II x y I x < y

f(x) ⩾ f(y)

Une fonction est strictement croissante sur un intervalle si et seulement si

elle est définie sur , et pour tous réels et de tels que :

DÉFINIT IO N

f II x y I x < y

f(x) < f(y)

Une fonction est strictement décroissante sur un intervalle si et seulement

si elle est définie sur , et pour tous réels et de tels que :

DÉFINIT IO N

f II x y I x < y

f(x) > f(y)

C Opérations

D Fonction sinus

Une fonction est constante sur un intervalle si et seulement si elle est

définie sur et s'il existe un réel tel que, pour tout réel de :

DÉFINIT IO N

f II a x I

f(x) = a

Le maximum de la fonction sur l'intervalle est le plus grand réel sur ,

s’il existe.

DÉFINIT IO N

f I f(x) I

Le minimum de la fonction sur l'intervalle est le plus petit réel sur , s’il

existe.

DÉFINIT IO N

f I f(x) I

Si deux fonctions et ont même sens de variation sur l'intervalle , la

fonction possède également le même sens de variation sur .

THÉO RÈME

f g If + g I

Soit un réel strictement positif.

La fonction possède le même sens de variation que la fonction sur

l'intervalle .

THÉO RÈME

kkf f

I

Soit un réel strictement négatif.

La fonction possède le sens de variation contraire à celui de la fonction sur

l'intervalle .

THÉO RÈME

kkf f

I

Une fonction est positive sur si et seulement si, pour tout réel de :

THÉO RÈME

f I x I

f(x) ⩾ 0

Une fonction est négative sur si et seulement si, pour tout réel de :

THÉO RÈME

f I x I

f(x) ⩽ 0

La fonction sinus , définie sur , est égale à :

DÉFINIT IO N

f R

f(x) = sin(x)

La fonction sinus est impaire.

PRO PRIÉTÉS

La fonction sinus est -périodique.

PRO PRIÉTÉS

2π

La fonction sinus est toujours comprise entre et .

PRO PRIÉTÉS

−1 1

La fonction sinus est dérivable et continue sur .

PRO PRIÉTÉS

R

E Fonction cosinus

VIII Les primitives

A Primitives d’une fonction continue

B Primitives des fonctions usuelles

si

si et

En reconnaissant le taux d'accroissement de la fonction sinus en 0 :

THÉO RÈME

= (0) = cos(0) = 1limx→0

sin(x)x

sin′

La fonction cosinus , définie sur , est égale à :

DÉFINIT IO N

f R

f(x) = cos(x)

La fonction cosinus est paire.

PRO PRIÉTÉS

La fonction cosinus est -périodique.

PRO PRIÉTÉS

2π

La fonction cosinus est toujours comprise entre et .

PRO PRIÉTÉS

−1 1

La fonction cosinus est dérivable et continue sur .

PRO PRIÉTÉS

R

Soit une fonction définie sur un intervalle .

On appelle primitive de sur toute fonction dérivable sur qui vérifie :

DÉFINIT IO N

f If I F I

∀x ∈ I , (x) = f(x)F ′

Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur .

PRO PRIÉTÉS

I I

Si est un primitive de sur , alors les primitives de sur sont de la forme :

, pour tout réel .

PRO PRIÉTÉS

F f I f IF(x) + k k

f(x) F(x) I

k kx R

xnxn+1

n + 1n ⩾ 1 : R

n ⩽ −2 :] − ∞; 0[ ]0; +∞[

1x−−√

2 x√ ]0; +∞[

1x

ln(x) ]0; +∞[

ex ex R

, avec

, avec

C Opérations et primitives

Conditions

si

IX Les intégrales

A Aires et intégrales

sin(x) − cos(x) R

cos(x) sin(x) R

sin(ax + b) − cos(ax + b)1a

R a ≠ 0

cos(ax + b) sin(ax + b)1a

R a ≠ 0

f F

u′unun+1

n + 1n ⩽ −2 : u(x) ≠ 0

u′

u

ln(u) u > 0

u′

u√2 u−−√ u > 0

u′eu eu

sin(u)u′ − cos(u)

cos(u)u′ sin(u)

Soit une fonction continue et positive sur un intervalle , et sa

courbe représentative dans un repère orthogonal.

L'intégrale de la fonction sur est égale à l'aire (en unités

d'aire) de la partie du plan délimitée par la courbe , l'axe des abscisses, et les

droites d'équation et .

DÉFINIT IO N

f [a; b](a < b) C

f(x) dx∫ b

a

f [a; b]

Cx = a x = b

Soit une fonction continue et négative sur un intervalle , et sa

courbe représentative dans un repère orthogonal.

L'intégrale de la fonction sur est égale à l'opposé de

l'aire (en unités d'aire) de la partie du plan délimitée par la courbe , l'axe des

abscisses, et les droites d'équation et .

DÉFINIT IO N

f [a; b](a < b) C

f(x) dx∫ b

a

f [a; b]

Cx = a x = b

Soit une fonction continue sur un intervalle , et sa courbe

représentative dans un repère orthogonal.

L'intégrale de la fonction sur est égale à la différence

entre la somme des aires où est positive et la somme des aires où est

négative.

DÉFINIT IO N

f [a; b](a < b) C

f(x) dx∫ b

a

f [a; b]

f f

Soient et deux fonctions continues sur . L'aire située entre les courbes

de et sur est égale à :

THÉO RÈME

f g [a; b]f g [a; b]

|f(x) − g(x)| dx∫ b

a

DÉFINIT IO N

B Propriétés de l’intégrale

On appelle valeur moyenne de sur le réel :f [a; b](a < b)

f(x) dx1

b − a∫ b

a

PRO PRIÉTÉS

f(x) dx = 0∫ a

a

PRO PRIÉTÉS

f(x) dx = − f(x) dx∫ a

b

∫ b

a

PRO PRIÉTÉS

kf(x) dx = k f(x) dx∫ b

a

∫ b

a

Relation de Chasles :

PRO PRIÉTÉS

f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx∫ b

a

∫ c

a

∫ b

c

Linéarité :

PRO PRIÉTÉS

(f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx∫ b

a

∫ b

a

∫ b

a

Si est une fonction paire et continue sur un intervalle , alors pour tout réel

de tel que appartient à :

PRO PRIÉTÉS

f I aI −a I

f(x) dx = 2 f(x) dx∫ a

−a

∫ a

0

Si est une fonction impaire et continue sur un intervalle , alors pour tout réel

de tel que appartient à :

PRO PRIÉTÉS

f Ia I −a I

f(x) dx = 0∫ a

−a

Si est une fonction périodique de période et continue sur , alors pour tout

réel :

PRO PRIÉTÉS

f T Ra

f(x) dx = f(x) dx∫ T

0∫ a+T

a

Positivité : si sur , alors

PRO PRIÉTÉS

f ⩾ 0 [a; b] f(x) dx ⩾ 0∫ b

a

Comparaison : si sur , alors

PRO PRIÉTÉS

f ⩽ g [a; b] f(x) dx ⩽ g(x) dx∫ b

a

∫ b

a

Inégalité de la moyenne :

PRO PRIÉTÉS

m(b − a) ⩽ f(x) dx ⩽ M(b − a)∫ b

a

X Les nombres complexes

A Notion de nombre complexe

Soient une fonction continue sur et une primitive de sur , et deux

réels de :

THÉO RÈME

f I F f I a bI

f(t) dt = F(b) − F(a)∫ b

a

Soit une fonction continue sur , et un réel de .

La fonction définie ci-après est l'unique primitive de qui s'annule en :

THÉO RÈME

f I a IF f a

F(x) = f(t) dt∫ x

a

On appelle le nombre (non réel) dont le carré est égal à :

DÉFINIT IO N

i −1

= −1i2

Un nombre complexe est un nombre qui peut s'écrire sous la forme

, avec et deux réels.

L'ensemble des nombres complexes est désigné par .

DÉFINIT IO N

zz = x + iy x y

C

L'écriture est appelée forme algébrique de . Elle est unique.

THÉO RÈME

z = x + iy z

Soit un nombre complexe :

on appelle partie réelle de , notée , le réel ;

on appelle partie imaginaire de , notée , le réel .

DÉFINIT IO N

z = x + iy

z Re(z) x

z Im(z) y

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont même partie réelle

et même partie imaginaire.

THÉO RÈME

Le nombre est réel si et seulement si .

PRO PRIÉTÉS

z Im(z) = 0

Le nombre est imaginaire pur si et seulement si .

PRO PRIÉTÉS

z Re(z) = 0

Soit un nombre complexe non nul, il existe un unique nombre complexe tel

que .

Ce nombre est l'inverse de , noté .

THÉO RÈME

z z ′

z = 1z ′

z1z

Soit un nombre complexe .

On appelle conjugué de , noté , le complexe .

DÉFINIT IO N

z = x + iyz z̄ x − iy

PRO PRIÉTÉS

= zz̄̄

z + = 2Re(z)z̄

z − = 2Im(z)¯

B Equations dans

C Formes trigonométrique et exponentielle

est réel

est imaginaire pur

Si non nul :

Pour tout entier :

z − = 2Im(z)z̄

z ⇔ z = z̄z ⇔ z = −z̄

= +z + z ′¯ ¯¯̄ ¯̄ ¯̄z̄ z ′¯¯̄

=zz ′¯ ¯¯̄¯z̄z ′¯¯̄

z ′ =( )z

z ′

¯ ¯¯̄ ¯̄ ¯̄ ¯ z̄

z ′¯¯̄

n = (zn¯ ¯¯̄ z̄)n

Soit un nombre complexe .

On appelle module de , noté , le réel .

DÉFINIT IO N

z = x + iy

z |z| +x2 y 2− −−−−−√

Si non nul :

Pour tout entier :

PRO PRIÉTÉS

z = |zz̄ |2

|z| = | |z̄

|z| = | − z||z | = |z| × | |z ′ z ′

z ′ =∣∣

z

z ′∣∣

|z|

| |z ′

n | | = |zzn |n

Soit un repère orthonormal direct du plan .

A tout point de coordonnées on associe le nombre complexe

:

le nombre complexe est appelé affixe du point (et du vecteur ) ;

le point est appelé image du nombre complexe .

On définit ainsi le plan complexe.

THÉO RÈME

(O; ; )u→

v→

M (x; y)z = x + iy

z M OM− →−

M z

Les points et , images respectives des nombres complexes et dans le

plan complexe, sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

PRO PRIÉTÉS

M M ′ z z̄

Le module du nombre complexe , affixe du point , est égal à la distance

.

PRO PRIÉTÉS

|z| z MOM

C

Soit un trinôme du second degré à coefficients réels ( ) , avec

.

Ce trinôme admet deux racines complexes :

THÉO RÈME

a ≠ 0 a + bz + cz2

Δ < 0

=z1−b − i −Δ− −−−√

2a

=z2−b + i −Δ− −−−√

2a

On appelle argument de , noté la mesure en radians de l'angle orienté

:

DÉFINIT IO N

z arg(z)

( ; )u→

OM− →−

arg(z) = ( ; )[2π]u→

OM− →−

Soit un nombre complexe non nul d'argument . On peut alors exprimer sous

sa forme trigonométrique :

Réciproquement, si , avec et réel quelconque,

alors :

THÉO RÈME

z θ z

z = |z|(cos(θ) + isin(θ))

z = r(cos(θ) + isin(θ)) r > 0 θ

|z| = r

arg(z) = θ

Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement s'ils ont même

module et même argument.

THÉO RÈME

Pour tout entier naturel :

est réel ou

est imaginaire pur ou

PRO PRIÉTÉS

arg(z ) = arg(z) + arg( )z ′ z ′

arg( ) = − arg(z)1z

arg( ) = arg(z) − arg( )z

z ′ z ′

n arg( ) = n arg(z)zn

z ⇔ arg(z) = 0[2π] arg(z) = π[2π]

z ⇔ arg(z) = [2π]π

2arg(z) = − [2π]

π

2

Pour tout réel , on pose :

DÉFINIT IO N

θ

= cos(θ) + isin(θ)eiθ

Soit un nombre complexe non nul d'argument . On peut alors exprimer sous

sa forme exponentielle :

Réciproquement, si , avec et réel quelconque, alors :

THÉO RÈME

z θ z

z = |z|eiθ

z = reiθ r > 0 θ

|z| = r

arg(z) = θ

Pour tout entier :

PRO PRIÉTÉS

=eiθ¯ ¯¯̄e−iθ

=ei(θ+ )θ′

eiθeiθ′

=1

eiθe−iθ

n ( =eiθ)neinθ

Soient et deux points d'affixes respectives et :

THÉO RÈME

A B zA zB

AB = | − |zB zA

Soient et deux points d'affixes respectives et :

THÉO RÈME

A B zA zB

( ; ) = arg( − )u→

AB−→−

zB zA

THÉO RÈME

XI La géométrie dans l'espace

A Positions relatives des droites et plans de l’espace

Soient et deux vecteurs non nuls d'affixes respectives et :v1→

v2→

z1 z2

( ; ) = arg ( )v1→

v2→ z2

z1

Soient , et trois points distincts d'affixes respectives , et :

THÉO RÈME

A B C zA zB zC

( ; ) = arg ( )AB−→−

AC−→− −zC zA

−zB zA

L'intersection des droites de l'espace et peut être :

Vide si les droites et ne sont pas coplanaires.

Vide si les droites et sont strictement parallèles.

Une droite si les droites et sont confondues.

Un point si les droites et sont coplanaires et non parallèles.

PRO PRIÉTÉS

D D′

D D′

D D′

D D′

D D′

L'intersection de la droite et du plan peut être :

Vide si la droite est strictement parallèle au plan .

Une droite si la droite est contenue dans le plan .

Un point si la droite n'est pas parallèle au plan .

PRO PRIÉTÉS

D P

D P

D P

D P

L'intersection des plans et peut être :

Vide si les plans et sont strictement parallèles.

Un plan si les plans et sont confondus.

Une droite si les plans et ne sont pas parallèles.

PRO PRIÉTÉS

P P ′

P P ′

P P ′

P P ′

L'intersection des plans , et peut être :

Vide.

Un plan (les trois plans sont confondus).

Une droite.

Un point.

PRO PRIÉTÉS

P P ′ P ′′

Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles.

Si une droite est parallèle à une seconde, alors elle est parallèle à tous les

plans contenant cette seconde droite.

Si deux plans distincts ont un point en commun,leur intersection est alors

une droite.

Si une droite est parallèle à deux plans sécants, elle est parallèle à leur

droite d'intersection.

Si deux droites sécantes d'un plan sont parallèles à un second plan, les

deux plans sont alors parallèles.

Deux plans parallèles à un même troisième sont parallèles entre eux.

PRO PRIÉTÉS

Soient deux plans et ayant pour intersection la droite . D'après le

théorème du toit, si appartenant à et appartenant à sont parallèles,

alors ces deux droites sont également parallèles à .

THÉO RÈME

P P ′ Δd P d ′ P ′

Δ

B Orthogonalité dans l’espace

C Géométrie vectorielle dans l’espace

Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à toutes les droites

de ce plan.

DÉFINIT IO N

Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est

orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Si deux droites sont parallèles, tout plan orthogonal à l'une est alors

orthogonal à l'autre.

Si deux droites sont orthogonales à un même plan, elles sont alors

parallèles.

Si deux plans sont parallèles, toute droite orthogonale à l'un est

orthogonale à l'autre.

Si deux plans sont orthogonaux à une même droite, ils sont alors

parallèles.

PRO PRIÉTÉS

On appelle plan médiateur d'un segment le plan orthogonal à ce segment qui

passe par son milieu.

DÉFINIT IO N

Le plan médiateur d’un segment est formé de l’ensemble des points

équidistants des extrémités de ce segment.

PRO PRIÉTÉS

Un plan est caractérisé par :

trois points non alignés ;

ou un point et deux vecteurs non colinéaires.

DÉFINIT IO N

Les vecteurs , et sont coplanaires si et seulement s'il existe deux réels

et tels que :

THÉO RÈME

u→

v→

w→

a b

= a + bw→

u→

v→

Si , et sont trois vecteurs non coplanaires et un point de l'espace, on

peut alors définir le repère de l'espace ( ).

Dans ce repère, tout point est identifié par un unique triplet de réels

tel que :

Le triplet est appelé coordonnées du point , et on note :

On appelle l'abscisse, l'ordonnée et la cote du point .

DÉFINIT IO N

i→

j→

k→

O

O; ; ;i→

j→

k→

M (x; y; z)

= x + y + zOM− →−

i→

j→

k→

(x; y; z) M

M (x; y; z)

x y z M

Un repère est dit orthogonal si les vecteurs , et sont deux à deux

orthogonaux.

Un repère est dit orthonormal ou orthonormé si de plus les vecteurs ,

et ont même norme.

DÉFINIT IO N

i→

j→

k→

i→

j→

k→

Dans un repère, le milieu de a pour coordonnées :

THÉO RÈME

I [AB]

D Produit scalaire dans l’espace

Dans un repère, le milieu de a pour coordonnées :

I ( ; ; )+xA xB

2+yA yB

2+zA zB

2

Dans un repère orthonormal, la distance est égale à :

THÉO RÈME

AB

AB = ( − + ( − + ( −xB xA)2yB yA)2

zB zA)2− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

Soient un point de l'espace et un vecteur non nul.

La droite passant par et de vecteur directeur est l'ensemble des points

de l'espace de coordonnées vérifiant l'équation paramétrique, ou

représentation paramétrique, de la droite (avec ) :

DÉFINIT IO N

A( ; ; )x0 y0 z0 (a; b; c)u→

Δ A u→

(x; y; z)Δ k ∈ R

⎧

⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

x = + kax0

y = + kby0

z = + kcz0

Soient un point de l'espace et , deux

vecteurs non colinéaires.

Le plan passant par et de vecteur directeurs et est l'ensemble des

points de l'espace de coordonnées vérifiant l'équation paramétrique, ou

représentation paramétrique, du plan (avec et ) :

DÉFINIT IO N

A( ; ; )x0 y0 z0 (a; b; c)u→

( ; ; )v→

a′ b′ c′

P A u→

v→

(x; y; z)P k ∈ R ∈ Rk′

⎧

⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

x = + ka +x0 k′a′

y = + kb +y0 k′b′

z = + kc +z0 k′c′

Soient et deux vecteurs non nuls de l'espace. Il existe alors un plan qui

contient les points , et tels que et .

Le produit scalaire est alors égal au produit scalaire dans le

plan .

DÉFINIT IO N

u→

v→

P

A B C =u→

AB−→−

=v→

AC−→−

⋅u→

v→

⋅AB−→−

AC−→−

P

Soit un repère orthonormal de l'espace .

Le produit scalaire des vecteurs et est égal à :

THÉO RÈME

(O; ; ; )i→

j→

k→

(x; y; z)u→

( ; ; )v→

x′ y ′ z ′

⋅ = x + y + zu→

v→

x′ y′ z′

Un vecteur non nul est normal à un plan s'il est orthogonal à deux

vecteurs non colinéaires de .

DÉFINIT IO N

n→

PP

Soient un vecteur non nul et un réel.

Une équation cartésienne du plan admettant pour vecteur normal est :

Réciproquement, un plan de l'espace admet (au moins) une équation

THÉO RÈME

(a; b; c)n→

d

P n→

ax + by + cz + d = 0

P

XII Les probabilités discrètes

A Probabilités conditionnelles

B Lois de probabilité discrètes

Réciproquement, un plan de l'espace admet (au moins) une équation

cartésienne de la forme :

et le vecteur est alors normal à .

P

ax + by + cz + d = 0

(a; b; c)n→

P

Dans un repère orthonormal, une équation cartésienne de la sphère de centre

et de rayon est :

THÉO RÈME

I (a; b; c) R

(x − a + (y − b + (z − c =)2 )2 )2R 2

Soient et deux événements, avec de probabilité non nulle.

On définit la probabilité de sachant par :

DÉFINIT IO N

A B AB A

(B) =PA

P (A ∩ B)P (A)

Deux événements et sont indépendants si et seulement si :

DÉFINIT IO N

A B

P (A ∩ B) = P (A) × P (B)

Soient et deux événements de probabilités non nulles :

THÉO RÈME

A B

P (A ∩ B) = P (A) × P (B) ⇔ (B) = P (B) ⇔ (A) = P (A)PA PB

Soient et deux variables aléatoires définies sur un univers telles que :

Les variables et sont indépendantes si et seulement si, pour tout

compris entre et et tout compris entre et :

DÉFINIT IO N

X Y Ω

X(Ω) = , , . . . ,x1 x2 xn

Y (Ω) = , , . . . ,y1 y2 yp

X Y i1 n j 1 p

P (X = ∩ Y = ) = P (X = ) × P (Y = )xi yj xi yj

Soit un ensemble .

Les événements de probabilités non nulles forment un

système complet ou une partition de si et seulement si :

;

les événements sont deux à deux incompatibles ;

et leur réunion est égale à l'ensemble .

DÉFINIT IO N

E{ , , , . . . , }E1 E2 E3 Ek

E

∀i ∈ [[1; k]] , ∈ EEi

, , , . . . ,E1 E2 E3 Ek

E

Soit un système complet d'événements de l'univers .

D'après la formule des probabilités totales, pour tout événement de E :

THÉO RÈME

, , , . . . ,E1 E2 E3 Ek ΩA

P (A) = P (A ∩ ) + P (A ∩ ) + P (A ∩ )+. . . +P (A ∩ )E1 E2 E3 Ek

Une variable aléatoire réelle est une fonction qui associe un réel à chaque

événement de l'univers d'une expérience aléatoire.

DÉFINIT IO N

événement de l'univers d'une expérience aléatoire.

Soit une variable aléatoire prenant les valeurs : .

La loi de probabilité de associe à chaque réel la probabilité .

DÉFINIT IO N

X X(Ω) = , , . . . ,x1 x2 xn

X xi P (X = )xi

L'espérance d'une variable aléatoire est le réel :

Soit :

DÉFINIT IO N

X

E(X) = P (X = )∑i=0

n

xi xi

E(X) = P (X = ) + P (X = )+. . . + P (X = )x1 x1 x2 x2 xn xn

La variance d'une variable aléatoire est le réel :

DÉFINIT IO N

X

V (X) = [ − E(X) P (X = )∑i=0

n

xi ]2xi

L'écart-type d'une variable aléatoire est le réel :

DÉFINIT IO N

X

σ(X) = V (X)− −−−−√

Soit un réel compris entre et .

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ne présentant que deux

issues possibles :

succès, de probabilité

échec, de probabilité .

DÉFINIT IO N

p 0 1

p

1 − p

Soit un réel compris entre et .

Une variable aléatoire suit la loi de Bernoulli de paramètre si :

et

DÉFINIT IO N

p 0 1p

X(Ω) = {0; 1}P(X = 1) = p P(X = 0) = 1 − p

Si suit la loi de Bernoulli de paramètre , on a :

THÉO RÈME

X p

E(X) = p

V (X) = p(1 − p)

Soit un réel compris entre et et un entier naturel non nul.

Le nombre de succès dans la répétition de épreuves de Bernoulli identiques et

indépendantes suit la loi binomiale de paramètres et .

Une variable aléatoire suit ainsi la loi binomiale de paramètres et , notée

, si :

Le coefficient est égal au nombre de possibilités de placer les succès

parmi les répétitions.

DÉFINIT IO N

p 0 1 nn

n p

n pB(n; p)

X(Ω) = [[0; n]]

∀k ∈ [[0; n]] , P(X = k) = ( ) (1 − pn

kpk )n−k

( )n

kk

n

THÉO RÈME

XIII Les lois de probabilités à densité

A Densité de probabilité

B Loi uniforme sur

C Loi exponentielle

Si suit la loi binomiale de paramètres et , on a :X n p

E(X) = np

V (X) = np(1 − p)

Soit une fonction définie sur un intervalle , positive et continue sur

, telle que :

Alors, en posant pour tout réel de : , on définit une

loi de probabilité continue sur . La fonction est la densité de probabilité de

cette loi.

DÉFINIT IO N

f I = [a; +∞[I

f(t) dt = 1limx→+∞

∫ x

a

b I P([a; b]) = f(t) dt∫ b

a

I f

PRO PRIÉTÉS

P([a; b]) = P([a; b[) = P(]a; b]) = P(]a; b[)P([a; a]) = 0P(a ⩽ X ⩽ b) = P(X ⩽ b) − P(X ⩽ a)P(X ⩽ a) + P(X ⩽ −a) = 1

[a; b]

Une variable aléatoire suit la loi uniforme sur l'intervalle ( ) si elle

admet pour densité la fonction f définie sur par :

DÉFINIT IO N

X [a; b] a < b[a; b]

f(x) =1

b − a

Si suit la loi uniforme sur l'intervalle , alors pour tous réels et tels que

:

THÉO RÈME

X [a; b] c da ⩽ c ⩽ d ⩽ b

P (c ⩽ X ⩽ d) =d − c

b − a

Si suit la loi uniforme sur l'intervalle , son espérance est alors égale à :

THÉO RÈME

X [a; b]

E(X) =a + b

2

Soit un réel strictement positif.

La loi exponentielle de paramètre (ou loi de durée de vie sans

vieillissement) a pour densité de probabilité la fonction définie pour tout réel

positif par :

DÉFINIT IO N

λλ

f

f(t) = λe−λt

Si suit la loi exponentielle de paramètre , alors :

THÉO RÈME

X λ

P (a ⩽ X ⩽ b) = λ dt∫ b

a

e−λt

D Loi normale centrée réduite

E Loi normale générale

a

Soit un réel positif .

Soit un réel positif :

PRO PRIÉTÉS

a

P(X ⩽ a) = λ dt = 1 −∫ a

0e−λt e−λa

P(X > a) = 1 − P(X ⩽ a) = e−λa

s (a ⩽ X ⩽ a + s) = P(0 ⩽ X ⩽ s)P(X⩾a)

Une variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite notée si

elle admet pour densité la fonction de Gauss normalisée f définie sur par :

DÉFINIT IO N

X N (0; 1)R

f(x) =12π−−−√

e− x2

2

Si suit la loi normale centrée réduite, alors :

THÉO RÈME

X

P (X ⩽ a) = dt12π−−−√

∫ a

−∞e− t2

2

Si suit la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel de il existe

un unique réel positif tel que :

THÉO RÈME

X α ]0; 1[uα

P (− ⩽ X ⩽ ) = 1 − αuα uα

Si suit la loi normale centrée réduite, son espérance est alors égale à :

THÉO RÈME

X

E(X) = 0

Si suit la loi normale centrée réduite, sa variance (et son écart-type) est alors

égale à :

THÉO RÈME

X

V (X) = 1

Une variable aléatoire suit la loi normale ( , ) si la

variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite.

DÉFINIT IO N

X N (μ; )σ2 μ ∈ R σ ∈ R+∗

X − μ

σ

Si suit la loi normale , son espérance est alors égale à :

THÉO RÈME

X N (μ; )σ 2

E(X) = μ

Si suit la loi normale , sa variance est alors égale à :

et son écart-type est donc égale à .

THÉO RÈME

X N (μ; )σ 2

V (X) = σ2

σ

Si suit la loi normale , on a les valeurs remarquables suivantes :

THÉO RÈME

X N (μ; )σ 2

Fiche de révision -

Obligatoire

Bac

Fiches bac (http://www.kartable.fr/recherche/terminale-s/mathematiques/bac,1644/fiche-bac)

Quiz bac (http://www.kartable.fr/recherche/terminale-s/mathematiques/bac,1644/quiz-bac)

ROC (http://www.kartable.fr/recherche/terminale-s/mathematiques/bac,1644/roc)

Sujet type (http://www.kartable.fr/recherche/terminale-

(http://www.kartable.fr/)

(http://www.kartable.fr/terminale-s)

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Terminale S

F Théorème de Moivre-Laplace

XIV Estimation et statistique

A Intervalles de fluctuation

B Intervalles de confiance

Si suit la loi normale , on a les valeurs remarquables suivantes :X N (μ; )σ

P (μ − σ ⩽ X ⩽ μ + σ) ≈ 0, 68P (μ − 2σ ⩽ X ⩽ μ + 2σ) ≈ 0, 95

P (μ − 3σ ⩽ X ⩽ μ + 3σ) ≈ 0, 997

Soit une variable aléatoire suivant la loi binomiale , on définit la

variable aléatoire par :

Pour tous réels et ( ), on a alors :

THÉO RÈME

Xn B(n; p)Zn

=Zn− npXn

np(1 − p)− −−−−−−−−√

a b a < b

P (a ⩽ ⩽ b) = dtlimn→+∞

Zn12π−−−√

∫ b

a

e− t2

2

Soient Z une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, un réel

de et l'unique réel positif tel que .

Si est une variable aléatoire suivant la loi binomiale , on pose :

et on a alors :

L'intervalle est appelé intervalle de fluctuation de au seuil , si

les conditions suivantes sont satisfaites :

DÉFINIT IO N

α]0; 1[ uα P(− ⩽ Z ⩽ ) = 1 − αuα uα

Xn B(n; p)

= [p − ; p + ]In uα

p(1 − p)− −−−−−−−√

n−−√uα

p(1 − p)− −−−−−−−√

n−−√

P ( ∈ ) = 1 − αlimn→+∞

Xn

nIn

InXn

n1 − α

n ⩾ 30 , np ⩾ 5 , n(1 − p) ⩾ 5

On considère une expérience de Bernoulli dont on veut estimer la probabilité de

succès . On appelle la fréquence d'apparition du succès après répétitions

indépendantes. Si , et , alors appartient à

l'intervalle suivant avec un niveau de confiance de :

DÉFINIT IO N

p fn nn ⩾ 30 n ⩾ 5fn n(1 − ) ⩾ 5fn p

95%

[ − ; + ]fn

1n−−√

fn

1n−−√

I

A

B

C

II

A

B

C

D

E

III

A

B

C

IV

A

B

C

V

A

B

VI

A

B

VII

A

B

C

D

E

VIII

A

B

C

IX

A

B

X

A

B

C

XI

A

B

C

D

XII

A

B

Les suites

Etude globale d'une suite

Limites

Raisonnement par récurrence

Les limites de fonctions

Limite d’une fonction en

l’infini

Limite d’une fonction en un

réel

Règles d’opérations

Limites et ordre

Asymptotes

Les dérivées

Nombre dérivé

Fonction dérivée

Applications de la dérivation

La continuité

Continuité sur un intervalle

Théorème des valeurs

intermédiaires

Fonction partie entière

La fonction exponentielle

Propriétés caractéristiques de

l’exponentielle

Etude de la fonction

exponentielle

La fonction logarithme

népérien

Propriétés caractéristiques du

logarithme népérien

Etude du logarithme népérien

Etude de fonctions

Existence et représentation

graphique

Comportement

Opérations

Fonction sinus

Fonction cosinus

Les primitives

Primitives d’une fonction

continue

Primitives des fonctions

usuelles

Opérations et primitives

Les intégrales

Aires et intégrales

Propriétés de l’intégrale

Les nombres complexes

Notion de nombre complexe

Equations dans

Formes trigonométrique et

exponentielle

La géométrie dans l'espace

Positions relatives des droites

et plans de l’espace

Orthogonalité dans l’espace

Géométrie vectorielle dans

l’espace

Produit scalaire dans l’espace

Les probabilités discrètes

Probabilités conditionnelles

Lois de probabilité discrètes

a

C

s/mathematiques/bac,1644/sujet-type)

Annale (http://www.kartable.fr/recherche/terminale-s/mathematiques/bac,1644/annale)

Méthodologie (http://www.kartable.fr/recherche/terminale-s/mathematiques/bac,1644/methodologie)

Organisation (http://www.kartable.fr/recherche/terminale-s/mathematiques/bac,1644/organisation)

Chapitre, matière...

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