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Baccalauréat A 2005 / Corrigé Page 1 / 8

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Annales Baccalauréat

Baccalauréat A 2005

Prépas Bac

Proposé par : M.TANKOUA S.

Exercice 1 : 5 points

1. Déterminer la primitive U de la fonction numérique u définie par

u(x) =2 x + 1

x ² + x + 1 qui s’annule en 0 1,5 pt

u(x) est sous la forme

g’( x)g( x)

avec g(x) = x² + x + 1

g(x) > 0 pour tout x ∈ IR (en effet, le polynôme x² + x + 1 a un discriminant strictementnégatif)

il vient alors que les primitives de u sur IR sont les fonctionsx a ln(x² + x + 1) + k ; k ∈ IR

La primitive U est telle que U(0) = 0U(0) = 0 entraîne que ln(1) + k = 0

et donc k = 0Conclusion : U : x a U(x) = ln(x² + x + 1)

2. Résoudre dans IR l’équation d’inconnue x suivante : 2e2x – 7ex + 6 = 0 1,5 pt

2e2x – 7ex + 6 = 0 équivaut à 2 ( )ex 2 – 7ex + 6 = 0

équivaut à2t

2 – 7t + 6 = 0

t = ex

Soit à résoudre dans IR l’équation 2t² - 7t + 6 = 0

On a : ∆ = (-7)² - 4(2)(6) = 49 – 48 = 1 et ∆ = 1

il vient alors que

t1 =

-(-7) –(1)2(2)

=64 =

32

t2 =-(-7) + (1)

2(2) =

84 = 2

On a alors ex =32 ou ex = 2

soit x = ln32 ou x = ln 2

Conclusion : S =

ln32 , x = ln 2

Epreuve de Mathématiques

EXAMEN : Baccalauréat A

Durée : 3 heuresSESSION 2005

Coefficient : 2

CORRIGÉ

Rem : on peut déduire les racinespar un calcul mental enconstatant que 2 est une racineévidente

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3. Résoudre dans IR x IR le système (S) :exln3 – eyln27 = 0

lnx – 2lny = 1 2 pts

Contraintes sur les inconnues x et y : x > 0 et y > 0

soient x et y tels que x > 0 et y > 0.

(S) équivaut àexln3 = eyln27

lnx – 2lny = 1

équivaut à xln3 = yln33

lnx – 2lny = 1

équivaut à x = 3y

lnx – 2lny = 1

équivaut à

x = 3y

ln(3y) – 2lny = 1

ln(3y) – 2lny = 1 équivaut à ln(3y) – ln y² = ln e

équivaut à ln3yy²

= ln e

équivaut à3y = e

équivaut à y =3e

alors (S) équivaut à

x =9e

y =3e

S =

9

e ,

3e


Soit f une fonction dérivable sur son ensemble de définition, et sa courbereprésentative à la page 2/2

1. Dresser le tableau de variation de f, avec le signe de sa dérivée 1 pt

x -3 3 7

f ’(x) - +

f(x)

-4

73

il n’ya pas d’information(tangente horizontale)permettant de dire que ladérivée de la fonction fs’annule en x = 3

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2. Déterminer f(0) ; f(5) ; f(-1) 0,75 pt

Par lecture du graphique, on a :

f(0) = 0 f(5) = -2 f(-1) = 2

3. Résoudre dans l’ensemble de définition de f chacune des équations : f(x) = 0 ; f(x) = 3 0,5 pt


f(x) = 0 pour x = 0 ou x = 6

f(x) = 3 pour x = -3 ou x = α ; α ∈]6 ; 7[

4. Résoudre l’inéquation f(x) > 0 0,5 pt


f(x) > 0 pour x ∈ ]-3 ; 0[ U ]6 ; 7[

5. Trouver l’ensemble image de chacun des intervalles : [-1 ; 1] ; [0 ; 5] et ]1 ; 7[ 0,75 pt


f ( )[-1 , 1] = [-3 , 2] f ( )[0 , 5] = [-4 , 0] f ( )]1 , 7[ = ]-4 , 7[

6. Quel est le nombre dérivée de f en 3 ? 0,25 pt

il n’ya pas d’information (tangente en 3) pour répondre à cette question

7. a) Recopier la courbe de f sur votre feuille de composition et tracer la droite d’équation : y = x 0,75 pt

Voir figure sur la dernière page

b) Résoudre alors l’inéquation f(x) ≤ x 0,5 pt

Par lecture du graphique, on a : f(x) ≤ x pour x ∈ [0 ; 7]

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Une association mixte a 50 membres qui peuvent être repartis de la manière suivante :

Activités Nombre d’hommes Nombre de femmes

Pratique au moins un sport x t

Ne pratique aucun sport y z

1. x représente le nombre d’hommes pratiquant au moins le sport, que représente le nombre y ? 0,5 pt

Le nombre y représente le nombre d’hommes ne pratiquant aucun sport

2. Déterminer les valeurs de x , y et z vérifiant : x + y + z = 45

x – 2y + 2z = 302x + y – z = 35

2 pts

Nous conseillons la résolution par la méthode du pivot de Gauss. Elle présente assezclairement les étapes de la résolution.

Soit donc à résoudre : (S) x + y + z = 45

x – 2y + 2z = 302x + y – z = 35

Conservons L1 et éliminons y dans L2 et L3

(S) équivaut à

L1

2L1 + L2

L1 – L2

c'est-à-dire

x + y + z = 45

3x + 4z = 120

-x +2z = 10

Conservons L’ 1 et L’ 3 et éliminons z dans L’ 2

(S) équivaut à

L’ 1

L’ 3L’ 2 – 2L’ 3

c'est-à-direx + y + z = 45

-x +2z = 105x = 100

On peut alors déterminer les valeurs de x, y et z

5x = 100 : x = 20

-x + 2z = 10 : z = 15

x + y + z = 45 : y = 10

Conclusion : (x, y, z) = (20, 10, 15)

3. on suppose dans toute la suite que x = 20 ; y = 10 ; z = 15.Montrer que t = 5 0,25 pt

Il y 50 membres dans l’association : x + y + z + t =50

or : x + y + z = 45

il vient alors que t = 5

L1

L2

L3

L’ 1

L’ 2

L’ 3

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4. On choisit une personne au hasard parmi ces adhérents.Quelle est la probabilité pour que ce soit :

a)

Une femme qui pratique au moins un sport ? 0,75 pt

il y a t = 5 femmes qui pratique au moins un sport

alors la probabilité de choisir une femme qui pratique au moins un sport est

Pt =550

=110

= 0,1

b) Une femme ? 0,75 pt

il y au total (t + z) = 20 femmes

alors la probabilité de choisir une femme est Pf =

2050

=25 = 0,4

c)

Une personne qui pratique au moins un sport ? 0,75 pt

il y au total (x + t) = 25 personne qui pratique au moins un sport

alors la probabilité de choisir une personne qui pratique au moins un sport est

Ps =2550

=12 = 0,5


Le tableau suivant donne le poids x en grammes et y la taille en centimètre en fonction du poids d’une

population donnée :

Poids x 10 25 40 50 55 60 65 70 75 80

Taille y 11 20 35 45 50 53 60 63 73 75

1. Représenter le nuage des points dans le plan muni d’un repère orthogonal.

1 cm pour 10 g et 1 cm pour 10 cm 1 pt

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2. Déterminer le point moyen G de ce nuage 0,5 pt

On a :

x =

10 + 25 + 40 +50 + 55 + 60 + 65 + 70 + 75 + 8010

=53010

= 53

y =11 + 20 + 35 + 45 + 50 + 53 + 60 + 63 + 73 + 75

10 =

48510

= 48,5

Alors G

53

48,5

3. La série ci-dessus est divisée en deux sous séries :

Sous série A Sous série B

a) Calculer les coordonnées de G1 et G2 , points moyens respectifs des sous séries A et B 1 pt

Poids x 10 25 40 50 55

Taille y 11 20 35 45 50

Poids x 60 65 70 75 80

Taille y 53 60 63 73 75

10

10

20

20

30

30

50

40

80

60

50

40

60

70

70

80

y

t a i l l

e

x

poids

G2

G1

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Calcul des coordonnées de G1

x1 =

10 + 25 + 40 + 50 + 555

=1805

= 36

y1 =

11 + 20 + 35 + 45 + 50

5 =

161

5 = 32,2

alors G1( )3632,2

Calcul des coordonnées de G2

x2 =

60 + 65 + 70 + 75 + 805

=3505

= 70

y2 =53 + 60 + 63 + 73 + 75

5 =

3245

= 64,8 alors G2( )70

64,8

b)

Placer les point G1 et G2 et tracer la droite (G1G2) dans le repère orthogonal précédent

Que représente cette droite pour la série étudiée ? 0,75 pt

Voir figure

La droite (G1G2) représente, pour la série étudiée, la droite de Mayer(droite de régression linéaire par la méthode de Mayer)

c) Déterminer une équation cartésienne de la droite (G1G2) 0,75 pt

Une équation de la droite (G1G2) est : ( )y – 32,2 =64,8 – 32,2

70 – 36 ( )x – 36

(G1G2) : y = 0,96x – 2,32

4. à l’aide de l’équation de la droite (G1G2) obtenue, estimer :

a) la taille d’une personne ayant un poids de 97 grammes 0,5 pt

Pour x = 97 : y = 0,96(97) – 2,32 = 90,8

Conclusion : la taille d’une personne ayant un poids de 97 grammes est d’environ 90,8 cm

b) Le poids d’une personne de taille 151 cm 0,5 pt

Pour y = 151 : x =151 + 2,32

0,96 ≈ 159,71

Conclusion : Le poids d’une personne de taille 151 cm est d’environ 159, 71 g

Note : Les valeurs sont approchées à 10-2 près

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Courbe de la fonction f de l’exercice 2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

y = x

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