Série SDurée de l'épreuve : 4 h

11 janvier 2017

Bac Blanc deMathématiques-----------------------------------------------

- Enseignement spécifique -

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Exercice 1 : (5 points)( ) est le suite définie par = 0 et pour tout entier naturel : = .

1. On considère l'algorithme suivant :

Variables : est un réel et sont deux entiers naturels

Entrée : Saisir Traitement :

Sorties :

Affecter à la valeur 0Pour allant de 0 à Afficher Affecter à la valeur Fin Pour

Applique l'algorithme à la main lorsque la valeur saisie en entrée est = 3 ? Interpréter les résultats.2. a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel : ≥ .

b) En déduire la limite de la suite ( ).3. Démontrer que la suite ( ) est croissante sur N.4. Soit ( ) la suite définie, pour tout entier naturel par : = .

a) Démontrer que la suite ( ) est géométrique.b) En déduire que, pour tout entier naturel : = .

5. Soit A un réel positif.a) Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe un entier tel que : ≥ ⇒ ≥ A ?b) Déterminer à l'aide de la calculatrice le plus petit entier tel que : ≥ ⇒ ≥ .c) Proposer un algorithme qui permet d'afficher la valeur de obtenue à la question précédente.n0

UN K

N

UK N

3U ¡ 2K + 3

n un n

un

un

vn n vn un ¡ n+ 1vn

n un 3n + n¡ 1

n0 n n0 un

n0 n n0 un 103

UU

un u0 n un+1 3un ¡ 2n+ 3

N

Exercice 2 : (5 points)1. Résoudre dans C l'équation :

( )( ) = 0. Donner les solutions sous forme algébrique.

2. On se place dans le plan complexe muni du repère orthonormé (O ; , ) d'unité 3 cm. On considère les nombres complexes = et = - . On note A et B les points d'affixes respectives et . a) Montrer que les points A et B appartiennent à un même cercle de centre O dont on précisera rayon.b) Placer les points A et B.c) Démontrer que le triangle OAB est rectangle et isocèle.d) K est le milieu du segment [AB]. Placer K et déterminer son affixe .

3. Soit C le point du plan tel que = .

a) Calculer l'affixe du point C.b) Placer le point C.c) Démontrer que le quadrilatère OACB est un carré.

4. Soit un nombre complexe distinct de . On pose : = .

a) Déterminer et tracer l'ensemble e des points M d'affixe du plan complexe tels que est un imaginaire pur.b) Déterminer et tracer l'ensemble f des points M d'affixe du plan complexe tels que | | = 1.

Exercice 3 : (2 points) Embarqué en mer sur son voilier, Arthur reçoit un sms de sa petite amie Bulle qui l'attend impatiemment au Monumen Nasional de Jakarta. Il se met donc à ramer à toute vitesse pour la rejoindre. En mer, Arthur progresse à la vitesse de 4 km.h mais il sait qu'une fois qu'il aura mis pied à terre, il pourra continuer à pied à la vitesse de 5 km.h . La situation est schématisée ci-dessous :

Arthur est en A tandis que Bulle est en B. On prend pour origine du repère le point O situé à la perpendiculaire de la côte passant par A. On souhaite déterminer la position du point H tel que le trajet A – H – B soit le plus rapide possible. Le trajet [AH] est parcouru à la rame, le trajet [HB] est parcouru à pied.On rappelle la formule = qui permet d'exprimer la vitesse en fonction de la distance et du temps.

1. On note OH = , en km, et la durée totale du parcours A – H – B, en heures. Montrer que pour tout réel de l'intervalle [0 ; 6] on a : = – ( )

2. Montrer que : =

3. A quel endroit de la côte, Arthur doit-il accoster pour rejoindre Bulle au plus vite ?

z

iz + 1 + ip3 z2 ¡ 2z + 4

1 + ip3a b

p3 + i a b

~u ~v

k

¡!OC

¡!OK

12

c

Zz¡az¡b

Z

z Z

z b

-1

-1

x t(x)

x t(x)px2 + 11

415 x¡ 6

vdt

t0(x) 5x¡4px2+1

20px2+1

Exercice 4 : (4 points)On se place dans l'espace, muni du repère orthonormé (O ; , , ).On donne les points A' (2 ; 0 ; 0), B' (0 ; 2 ; 0) et C' (0 ; 0 ; 3).

1. Justifier qu'une représentation paramétrique du plan (A'B'C') est :

avec ∈ R et ∈ R.

2. Donner une représentation paramétrique des droites (AC) et (BC).3. La droite (AC) coupe le plan (A'B'C') en K.

a) Placer K.b) Calculer les coordonnées de K.

4. On donne L (0 ; 4 ; - 3).a) Montrer que L, B et C sont alignés.b) Montrer que L appartient au plan (A'B'C').c) Placer L.

5. Déterminer l'intersection des plans (ABC) et (A'B'C')6. Démontrer que les droites (AB), (A'B') et (KL) sont parallèles.

¡!OA

¡!OB

¡!OC

8<:x = 2¡ t¡ 2sy = tz = 3s

t s

Exercice 5 : (4 points)

est la fonction définie sur ]- ∞ ; 3[ ∪ ]3 ; + ∞[ par : = .Un logiciel a permis d'obtenir la représentation graphique de la fonction ci-dessous :

1. Utiliser cette capture d'écran pour conjecturer :a) Les limites de en - ∞, + ∞ et en 3.

b) Une équation de l'asymptote verticale à cf.2. Vérifier par le calcul l'exactitude de vos conjectures.3. Dresser, en justifiant, le tableau des variations de .

4. Soit un réel strictement positif. Justifier que l'équation = admet exactement deux solutions sur R.

5. a) Déterminer les réels , et tels que, pour tout réel ≠ 3 : = + .

b) Déterminer [ ] et [ ]. Quelle conséquence graphique peut-on en déduire ?

f f(x)2(x¡4)2x¡3

cf

f

xa b c f(x)c

x¡3ax+ b

limx!-1

f(x)¡ (ax+ b) f (x)¡ (ax+ b)limx!+1

f

f

mf(x) m

Correction du bac blanc de janvier 2017Exercice 1 : ( ) est le suite définie par = 0 et pour tout entier naturel : = .

1. On considère l'algorithme suivant : Variables : est un réel

et sont deux entiers naturelsEntrée : Saisir Traitement :

Sorties :

Affecter à la valeur 0Pour allant de 0 à Afficher Affecter à la valeur Fin Pour

Applique l'algorithme à la main lorsque la valeur saisie en entrée est = 3 ? Interpréter les résultats.

Valeur de 0 1 2 3Valeur de affichée 0 3 × 0 – 2 × 0 + 3 = 3 3 × 3 – 2 × 1 + 3 = 10 3 × 10 – 2 × 2 + 3 = 29

Les valeurs affichées correspondent à : = 0 ; = 3 ; = 10 et = 292. a) On note : p( ) : « ∀ ∈ N, ≥ »

Démontrons que la propriété p( ) est vraie par récurrence :

▪ Initialisation :Pour = 0 on a : = 0 ≥ 0. Donc p(0) est vraie.

▪ Hérédité :Soit ∈ N. Démontrons que si p( ) est vraie alors p( ) l'est aussi, c'est-à-dire que ≥ .Si p( ) est vraie alors : ≥

≥ car > 0 ≥

≥ Or : ∀ ∈ N, = et : > On en déduit : ≥ .Ce qui signifie que p( ) est vraie.

▪ Conclusion : p(0) est vraie et la propriété p( ) est héréditaire donc : ∀ ∈ N, ≥

b) ∀ ∈ N, ≥ et : = + ∞.On en déduit, d'après le théorème de comparaison : = + ∞.

3. Démontrons que la suite ( ) est croissante sur N, c'est-à-dire que : ∀ ∈ N, ≥ .∀ ∈ N, – = – = = Or, on a démontré à la question 2a que : ∀ ∈ N, ≥ ⇔ ≥ 0On en déduit : ∀ ∈ N, ≥ ≥ 0 ⇔ – ≥ 0 ⇔ ≥ .Ainsi, la suite ( ) est croissante sur N.

4. Soit ( ) la suite définie, pour tout entier naturel par : = .a) ∀ ∈ N, = = =

= = On en déduit que la suite ( ) est géométrique de raison 3.

b) La suite ( ) est géométrique de raison = 3.Calcul du 1er terme : = = 0 – 0 + 1 = 1On en déduit : ∀ ∈ N, = = Or : ∀ ∈ N, = ⇔ = = .

un n

vn n vn un ¡ n+ 1

vn

K

nn

n

u0n

kk k + 1

k

uk+1 k + 1

uk k3uk 3k 33uk ¡ 2k 3k ¡ 2k3uk ¡ 2k + 3 k + 3

uk+1

uk+1 3uk ¡ 2k + 3 k + 3 k + 1k

k + 1

k + 1

n n un n

n un n nlimn!+1

limn!+1

un

un n unun+1n un+1 un 3un ¡ 2n+ 3 un 2un ¡ 2n+ 3 2(un ¡ n) + 3

n un n un ¡ n2(un ¡ n) + 3n un+1 un un+1 un

un

3

n vn+1 un+1 ¡ (n+ 1) + 1 3un ¡ 2n+ 3¡ n¡ 1 + 1 3un ¡ 3n+ 33(un ¡ n+ 1)vn+1 3vn

vnv0 u0 ¡ 0 + 1

n vn v0 £ qn 3n

q

vn un ¡ n+ 1 un 3n + n¡ 1n

un u0 n un+1 3un ¡ 2n+ 3

UN K

N

UK N

UU 3U ¡ 2K + 3

U

N

u0 u1 u2 u3

vn + n¡ 1

5. Soit A un réel positif.a) On a démontré à la question 2b que : = + ∞.On en déduit que, par définition d'une suite divergente vers + ∞, il existe un entier tel que :

≥ ⇒ ≥ A.

b) En utilisant le tableur de la calculatrice on voit que : = et = ≥ = .De plus, la suite ( ) est croissante sur N.On en déduit que le plus petit entier tel que : ≥ ⇒ ≥ est : =

c) L'algorithme suivant permet d'afficher la valeur de obtenue à la question précédente :

Variables : est un réel est un entier naturel

Traitement : Affecter à la valeur 0Affecter à la valeur 0Tant que < Affecter à la valeur + 1 Affecter à la valeur (*)Fin Tant que

Sortie : Afficher

(*) ou Affecter à la valeur

Exercice 2 :1. Résolvons dans C l'équation :

( )( ) = 0. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Donc :

( )( ) = 0 ⇔ = 0 ou = 0

= 0 ⇔ = - ⇔ = = = = -

Résolvons à présent l'équation = 0 dans C :∆ = = = = - < 0L'équation admet deux solutions complexes conjuguées :

= = = = et : =

Finalement, l'ensemble des solutions de l'équation ( )( ) = 0 est :

S = {- ; ; }

2. On se place dans le plan complexe muni du repère orthonormé (O ; , ) d'unité 3 cm. On considère les nombres complexes = et = - . On note A et B les points d'affixes respectives et .

a) OA = | | = | | = = = = 2

De même : OB = | | = | - | = = = 2OA = OB = 2. On en déduit que les points A et B appartiennent au cercle de centre O et de rayon 2.b) Les points A et B sont sur le cercle c de centre O et de rayon 2. De plus, A a pour affixe = tandis que B a pour affixe = - . On en déduit que A est le point du cercle d'abscisse 1 et que B et celui d'ordonnée 1. Ce qui permet de placer A et B (voir figure en fin d'exercice).

n0n n0 un

n0 n n0 un 103

n0

iz + 1 + ip3 z2 ¡ 2z + 4

~u ~va 1 + i

p3 b

p3 + i a b

limn!+1

un

un

u6 734 u7 2193 1031000

n0 7

UN

UU 1000

N

N NU 3N +N ¡ 1

N

iz + 1 + ip3 iz 1¡ i

p3 z

-1¡ip3

i(-1¡i

p3)i

i2-i¡i2

p3

-1

z2 ¡ 2z + 4b2 ¡ 4ac

p3 + i

(-2)2 ¡ 4£ 1£ 4 4¡ 16 12

z1-b¡i

pj¢j

2a2¡ip12

22¡2i

p3

21¡ i

p3 1 + i

p3z2

iz + 1 + ip3 z2 ¡ 2z + 4

p3 + i 1 + i

p3 1¡ i

p3

iz + 1 + ip3 z2 ¡ 2z + 4 iz + 1 + i

p3 z2 ¡ 2z + 4

1 + ip3

q12 + (

p3)2

p1 + 3

p4

p4

p3 + i

q(-p3)2 + 12

a¡ 0

b¡ 0

a 1 + ip3 b

p3 + i

3U ¡ 2(N ¡ 1) + 3U

c) OA = OB = 2. Donc le triangle OAB est isocèle en O.De plus : BA = | | = | | = | |

BA = = = = D'une part : AB = 8 D'autre part : OA + OB = 2 + 2 = 4 + 4 = 8Donc : AB = OA + OBOn en déduit, d'après la réciproque du théorème de Pythagore que le triangle OAB est rectangle en O.

d) K est le milieu du segment [AB] donc : = = = +

3. Soit C le point du plan tel que = .

a) = ⇔ = 2 ⇔ = ⇔ = = +

b) On a : = si et seulement si K est le milieu de [OC], c'est-à-dire si et seulement si C est le symétrique de O par rapport à K. Ce qui permet de placer le point C.

c) Le quadrilatère OACB est un parallélogramme puisque ses diagonales [AB] et [OC] se coupent en leur milieu K. On a démontré à la question 2c que le triangle OAB est à la fois rectangle et isocèle en O.On en déduit que les côtés consécutifs [OA] et [OB] sont à la fois perpendiculaires et de même longueur. Par conséquent, le parallélogramme OACB est un carré.

4. Soit un nombre complexe distinct de . On pose : = .

a) Soit ≠ . On pose : = où et sont deux réels.

= = = =

=

=

=

= +

M ( ) ∈ e ⇔ est un imaginaire pur ⇔ ∈ R ⇔ Re ( ) = 0

M ( ) ∈ e ⇔ = 0 ⇔ = 0

M ( ) ∈ e ⇔ = 0M ( ) ∈ e ⇔ = 0M ( ) ∈ e ⇔ M ( ) ∈ e ⇔ ⇔

On reconnaît l'équation cartésienne du cercle c' de centre K ( ; ) et de rayon . doit être distinct de = - . Vérifions si le point B (- ; 1) appartient à ce cercle :

= = = = = . Ainsi, B appartient au cercle c'.

Finalement, l'ensemble e est le cercle de centre K ( ; ) et de rayon , privé du point B.

¡!OK

12

¡!OC

z b Zz¡az¡b

a¡ b 1 + ip3 +

p3¡ i (1 +

p3) + i(

p3¡ 1)q

(1 +p3)2 + (

p3¡ 1)2

p1 + 2

p3 + 3 + 3¡ 2

p3 + 1

p8 2

p2

2

2 2 2 2

2 2 2

ka+b2

1+ip3¡p3+i

21¡p3

2 ip3+12

¡!OK

12

¡!OC

¡!OC

¡!OK c¡ 0 2(k ¡ 0) c 2k i1¡

p3 (

p3 + 1)

¡!OK

12

¡!OC

Zz¡az¡b

z b z x+ iy x yx+iy¡1¡i

p3

x+iy+p3¡i

x+iy¡1¡ip3

(x+p3)+i(y¡1)

(x+iy¡1¡ip3)[(x+

p3)¡i(y¡1)]

[(x+p3)+i(y¡1)][(x+

p3)¡i(y¡1)]

Z

Z

Z

Zx2+x(

p3¡1)+y2¡y(1+

p3)

(x+p3)2+(y¡1)2 i

x(1¡p3)+y(

p3+1)¡4

(x+p3)2+(y¡1)2

z Z Z

zx2+x(

p3¡1)+y2¡y(1+

p3)

(x+p3)2+(y¡1)2 x2 + x(

p3¡ 1) + y2 ¡ y(1 +

p3)

z (x+p3¡12 )2 ¡ (

p3¡12 )2 + (y ¡ 1+

p3

2 )2 ¡ (1+p3

2 )2

z (x+p3¡12 )2 ¡ 3¡2

p3+1

4 + (y ¡ 1+p3

2 )2 ¡ 1+2p3+34

z (x+p3¡12 )2 + (y ¡ 1+

p3

2 )2 = 84

z

1¡p3

21+p3

2

p2

(-p3 +

p3¡12 )2 + (1¡ 1+

p3

2 )2 ( -2p3+p3¡1

2 )2 + (2¡1¡p3

2 )2 ( -p3¡12 )2 + (1¡

p3

2 )2

( -p3¡12 )2 + (1¡

p3

2 )2 3+2p3+1

4 + 1¡2p3+34

84

(x+p3¡12 )2 + (y ¡ 1+

p3

2 )2 = 2

2

p3

1¡p3

21+p3

2

p2

(x+p3¡12 )2 + (y ¡ 1+

p3

2 )2 =p22

Z i

[(x¡1)+i(y¡p3)][(x+

p3)+i(1¡y)]

(x+p3)2+(y¡1)2

(x¡1)(x+p3)¡(y¡

p3)(1¡y)+i[(y¡

p3)(x+

p3)+(x¡1)(1¡y)]

(x+p3)2+(y¡1)2

(x2+p3x¡x¡

p3¡y+y2+

p3¡p3y)+i(xy+

p3y¡

p3x¡3+x¡xy¡1+y)

(x+p3)2+(y¡1)2

z bp3 + i

b) M ( ) ∈ f ⇔ | | = 1 ⇔ | | = 1 ⇔ ≠ et | | = | |M ( ) ∈ f ⇔ M ≠ B et AM = BMUn point est équidistant des extrémités d'un segment si et seulement s'il appartient à la médiatrice de ce segment. De plus, A et B étant distincts, si M appartient à la médiatrice de [AM], M est nécessairement distinct de B. On en déduit que l'ensemble f est la médiatrice de [AB].

Exercice 3 : Embarqué en mer sur son voilier, Arthur reçoit un sms de sa petite amie Bulle qui l'attend impatiemment au Monumen Nasional de Jakarta. Il se met donc à ramer à toute vitesse pour la rejoindre. En mer, Arthur progresse à la vitesse de 4 km.h mais il sait qu'une fois qu'il aura mis pied à terre, il pourra continuer à pied à la vitesse de 5 km.h . La situation est schématisée ci-dessous :

Arthur est en A tandis que Bulle est en B. On prend pour origine du repère le point O situé à la perpendiculaire de la côte passant par A. On souhaite déterminer la position du point H tel que le trajet A – H – B soit le plus rapide possible. Le trajet [AH] est parcouru à la rame, le trajet [HB] est parcouru à pied.On rappelle la formule = qui permet d'exprimer la vitesse en fonction de la distance et du temps.

1. On note OH = , en km. Le triangle OAH étant rectangle en O on a, d'après le théorème de Pythagore :AH = OH + OA = + 1. On en déduit : AH = .On note la durée totale du parcours A – H – B, en heures. = ⇔ = En mer, Arthur avance à la vitesse de 4 km.h , tandis qu'à pied il avance à 4 km.h . Donc : ∀ ∈ [0 ; 6], = + = + = + = – ( )

z Zz¡az¡b z ¡ bz ¡ az b

z

e

f

c

-1

-1

vdt

x

t(x) vdt t

dv

-1 -1

t(x)xAH4

BH5

px2+14

OB¡OH5

px2+14

6¡x5

14

px2 + 1

15 x¡ 6

2 2 2 2xpx2 + 1

2. ∀ ∈ [0 ; 6], = – ( ) = –

On en déduit : = – = × – × 1

= – =

3. ∀ ∈ [0 ; 6], ≥ 0. On en déduit que a le même signe que . > 0 ⇔ > 0 ⇔ > ⇔ > > 0 ⇔ > 0 ⇔ > 0

Le polynôme du 2nd degré est du signe contraire de 9 entre ses racines (- et ). On en déduit le tableau de variations suivant :

0 6

– +

La fonction admet un minimum en = .

Ainsi, pour rejoindre Bulle au plus vite, Arthur doit accoster au point H de [OB] tel que OH = km.

Exercice 4 : On se place dans l'espace, muni du repère orthonormé (O ; , , ).On donne les points A' (2 ; 0 ; 0), B' (0 ; 2 ; 0) et C' (0 ; 0 ; 3).

1. Le point A' (2 ; 0 ; 0) appartient au plan (A'B'C').

De plus, les vecteurs non colinéaires et dirigent le plan (A'B'C').

Le vecteur étant colinéaire au vecteur , on en déduit que :

, avec ∈ R et ∈ R, est une représentation paramétrique du plan (A'B'C').

Autre méthode : On peut également vérifier que le système donné a des solutions lorsqu'on remplace ,et par les coordonnées des points A', B' et C'.

2. La droite (AC) passe par A (1 ; 0 ; 0) et est dirigée par .

Donc : , avec ∈ R, est une représentation paramétrique de la droite (AC).

La droite (BC) passe par B (0 ; 1 ; 0) et est dirigée par .

Donc : , avec ∈ R, est une représentation paramétrique de la droite (BC).

3. La droite (AC) coupe le plan (A'B'C') en K.a) Le point K est le point d'intersection des droites (AC) et (A'C') qui est incluse dans le plan (A'B'C').

¡!OA

¡!OB

¡!OC

t0(x)

5x¡4px2+1

20px2+1

t(x)14

px2 + 1 1

5 x¡ 614

15

pu(x) v(x)

14

15

u0(x)

2pu(x)

v0(x) 14

15

2x2px2+1

t0(x) 1£4£px2+1

5£4px2+1

5£x5£4

px2+1

x 20px2 + 1 t0(x) 5x¡ 4

px2 + 1

5x¡ 4px2 + 1 5x 4

px2 + 1 25x2 16(x2 + 1)t0(x)

t0(x) 9x2 ¡ 16 (3x¡ 4)(3x+ 4)9x2 ¡ 16

x

x 43

43

43

t0(x)

t(x)

O

43t x

43

¡¡!A’B’

0@-220

1A ¡¡!

A’C’

0@-203

1A

~u¡¡!A’B’

0@-110

1A

8<:x = 2¡ t¡ 2sy = tz = 3s

t s

¡!AC

0@-101

1A

k

8<:x = 1¡ ky = 0z = k

¡!BC

0@ 0-11

1A

8<:x = 0y = 1¡ k0z = k0

k0

xy z

b) K est le point d'intersection de (A'B'C') : et de (AC) :

Pour déterminer K on résout le système suivant :

⇔ ⇔ ⇔

Puis on remplace par - 3 dans le système d'équations paramétriques de (AC) :

⇔ Finalement, K a pour coordonnées (4 ; 0 ; - 3).

4. On donne L (0 ; 4 ; - 3).

a) On a : et : . On constate que : =

Les vecteurs et sont colinéaires donc les droites (LC) et (LB) sont parallèles, avec un point commun. On en déduit que les points L, B et C sont alignés.

b) On a L (0 ; 4 ; - 3) et (A'B'C') : , avec ∈ R et ∈ R,

⇔ ⇔

On en déduit que L est le point du plan (A'B'C') de paramètres = 4 et = - 1.c) L (0 ; 4 ; - 3). On note P (0 ; 4 ; 0) et Q (0 ; 0 ; -3)On place L en construisant le parallélogramme OPLQ.Remarque : On peut aussi placer L en tant que point d'intersection des droites (BC) et (B'C'). Ces droitesétant sécantes, leur point d'intersection est également le point d'intersection de (BC) et du plan (A'B'C').

5. On sait que L appartient à (A'B'C').De plus, puisque les points L, B et C sont alignés, L appartient à (BC) qui est incluse dans (ABC).Donc : L ∈ (ABC) ∩ (A'B'C'). De même : K ∈ (ABC) ∩ (A'B'C'). On en déduit que : (KL) = (ABC) ∩ (A'B'C').

6. On a , et

On en déduit : = 2 = 4 Ces trois vecteurs étant colinéaires, les droites (AB), (A'B') et (KL) sont parallèles.

8<:x = 2¡ t¡ 2sy = tz = 3s

8<:x = 1¡ ky = 0z = k

8<:1¡ k = 2¡ t¡ 2s0 = tk = 3s

8<:1¡ 3s = 2¡ 2st = 0k = 3s

8<:-s = 1t = 0k = 3s

8<:s = -1t = 0k = -3

k8<:x = 1 + 3y = 0z = -3

8<:x = 4y = 0z = -3

¡!LB

0@ 0-33

1A ¡!

LC

0@ 0-44

1A ¡!

LC43

¡!LB

¡!LC

¡!LB

8<:x = 2¡ t¡ 2sy = tz = 3s

t s

8<:0 = 2¡ t¡ 2s4 = t-3 = 3s

8<:0 = 2¡ 4¡ 2st = 4s = -1

8<:s = -1t = 4s = -1

t s

¡¡!A’B’

0@-220

1A¡!

AB

0@-110

1A ¡!

KL

0@-440

1A

¡!KL

¡¡!A’B’

¡!AB

Exercice 5 :

est la fonction définie sur ]- ∞ ; 3[ ∪ ]3 ; + ∞[ par : = .Un logiciel a permis d'obtenir la représentation graphique de la fonction ci-dessous :

1. Utiliser cette capture d'écran pour conjecturer :a) On peut conjecturer : = - ∞ = + ∞ = - ∞ = + ∞

b) La droite d'équation = 3 semble être asymptote verticale à cf.

2. ∀ ∈ ]- ∞ ; 3[ ∪ ]3 ; + ∞[, = = = La limite en l'infini d'une fonction rationnelle est celle du quotient de ses termes de plus hauts degrés.

Donc : = = = = - ∞.De même : = = + ∞. Etude des limites à gauche et à droite de 3 :

= = = > 0De plus, on a : < 3 ⇔ < 0. On en déduit : = et =

Ainsi, par quotient de limites, on a : = = - ∞ et : = = + ∞

3. ∀ ∈ ]- ∞ ; 3[ ∪ ]3 ; + ∞[, = =

= =

= = =

2 > 0 et ∀ ∈ ]- ∞ ; 3[ ∪ ]3 ; + ∞[, > 0. Donc a le même signe que le polynôme du 2nd degré .∆ = = 36 – 32 = 4 > 0On en déduit deux racines distinctes :

= = = = 2 et = = = 4Le trinôme est du signe de = 1 > 0 à l’extérieur des racines.

f f(x)2(x¡4)2x¡3

f

cf

f(x)limx!-1

f(x)limx!+1

limx!3x<3

f(x) f(x)limx!3x>3

x

f(x)2(x¡4)2x¡3x

2(x2¡8x+16)x¡3

2x2¡16x+32x¡3

limx!-1

f(x) limx!-1

2x2¡16x+32x¡3 lim

x!-12x2

x limx!-1

2x

f(x) 2xlimx!+1

limx!+1

limx!3

2(x¡ 4)2 2(3¡ 4)2 2£ (-1)2 2

limx!3x<3

x¡ 3 x¡ 3 0+limx!3x>3

0¡

limx!3x<3

f(x) limx!3x<3

2(x¡4)2x¡3 f(x)

2(x¡4)2x¡3lim

x!3x>3

limx!3x>3

x¡ 3x

x f(x) 2x2¡16x+32x¡3

u(x)v(x)

f 0(x)u0(x)v(x)¡v0(x)u(x)

v2(x)(4x¡16)(x¡3)¡1(2x2¡16x+32)

(x¡3)24x2¡12x¡16x+48¡2x2+16x¡32

(x¡3)2f 0(x) 2x2¡12x+16(x¡3)2

x (x¡ 3)2f 0(x)

2(x2¡6x+8)(x¡3)2

x2 ¡ 6x+ 8b2 ¡ 4ac

x1-b¡p¢

2a6¡p4

26¡22 x2

-b+p¢

2a6+22

x2 ¡ 6x+ 8 a

Enfin : = = = - 8 et : = = = 0 On en déduit le tableau de variations de :

- ∞ 2 3 4 + ∞+ – – +

- 8- ∞ - ∞

+ ∞ + ∞0

4. Soit un réel strictement positif. ▪ D'après le tableau de variations, on sait que le maximum de la fonction sur ]- ∞ ; 3[ est - 8.

étant strictement positif, l'équation = n'a pas de solution sur ]- ∞ ; 3[. ▪ La fonction est continue et strictement décroissante sur l'intervalle ]3 ; 4].

∀ ∈ ]3 ; 4], ∈ [0 ; + ∞[ et > 0.Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation = admet une unique solution sur ]3 ; 4].

▪ La fonction est continue et strictement croissante sur l'intervalle ]4 ; + ∞[.∀ ∈ ]4 ; + ∞[, ∈ ]0 ; + ∞[ et > 0.Donc l'équation = admet une unique solution sur ]4 ; + ∞[

Finalement, l'équation = admet exactement deux solutions sur R.

5. a) Déterminons les réels , et tels que, pour tout réel ≠ 3 : = + .

= + = = =

Or : =

On en déduit, par identification : ⇔ ⇔

⇔ ⇔

Finalement, pour tout réel ≠ 3 : = + .

b) Pour tout réel ≠ 3, on a : = +

Donc : = On a : = - ∞ et = + ∞.

On en déduit, par quotient de limites : = et = .Ainsi : [ ] = et [ ] = .On en déduit que la droite d'équation = est asymptote oblique à la courbe c en - ∞ et en + ∞

m

f(x) m

a b c x f(x) ax+ bc

x¡3

limx!-1

limx!+1

f

x

f 0(x)

f(x)

f(2)2(2¡4)22¡3

2£4-1 f(4)

2(4¡4)24¡3

2£01

f(x) mm

f

f

x f(x) m

f(x) m

®f

x f(x) m

¯

f(x) m

f(x) ax+ bc

x¡3(ax+b)(x¡3)+c

x¡3ax2¡3ax+bx¡3b+c

x¡3ax2+(b¡3a)x+(c¡3b)

x¡3

f(x)2x2¡16x+32

x¡3 8<:a = 2b¡ 3a = -16c¡ 3b = 32

8<:a = 2b¡ 6 = -16c¡ 3b = 32

8<:a = 2b = -16 + 6c¡ 3b = 328<

:a = 2b = -16 + 6c¡ 3b = 32

8<:a = 2b = -10c+ 30 = 32

8<:a = 2b = -10c = 2

x f(x) 2x¡ 10 2x¡3

f(x) 2x¡ 10 2x¡3x

f(x)¡ (2x¡ 10) 2x¡3

x¡ 3limx!-1

x¡ 3limx!+1

limx!-1

limx!+1

2x¡3

2x¡30¡ 0+

f(x)¡ (2x¡ 10) 0¡ f(x)¡ (2x¡ 10) 0+

2x¡ 10y f