Série ES / LDurée de l'épreuve : 3 h

10/05/17

Bac Blanc deMathématiques-----------------------------------------------

- Enseignement de spécialité -

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Exercice 1 : ( 5 points )Une association décide d'ouvrir un centre de soin pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution le 1er

janvier 2017 avec 115 oiseaux. On estime que chaque année, 60% des oiseaux présents dans le centre seront relâchés et 120 nouveaux oiseaux seront accueillis. On s'intéresse au nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1er janvier des années suivantes. On modélise la situation par une suite ( ) admettant pour premier terme = 115 et dont le terme de rang donne une estimation du nombre d'oiseaux l'année 2017 + .

1. Calculer et . Justifier la précision choisie. 2. a) On considère les trois algorithmes ci-dessous. L'algorithme 3 permet d’estimer le nombre

d'oiseaux au 1er janvier de l’année 2017 + . Justifier que les deux premiers algorithmes ne donnent pas le résultat attendu.

b) Donner, pour tout entier naturel , l'expression de en fonction de .

3. On considère la suite ( ), définie pour tout entier naturel , par = . a) Montrer que ( ) est une suite géométrique de raison 0,4. Préciser . b) Exprimer le terme général de la suite ( ) en fonction de . c) En déduire que pour tout entier naturel , = .

4. L'association dispose d'une capacité d'accueil de 200 places. a) Est-ce suffisant pour accueillir les oiseaux ? b) Calculer à partir de quelle année le centre atteindra sa capacité maximale.

un u0 nn

u1 u2

n

n un+1 un

vn n vn un ¡ 200vn v0

vn n

n un 200¡ 85£ 0, 4n

Exercice 2 : Vote de paille ( 4 points ) Partie A :En 1936, afin de prédire le résultat de l'élection présidentielle, le magazine américain Literary Digest organisa un « vote de paille » en envoyant par la poste environ dix millions de « bulletins de vote ». L'échantillon de ce sondage reposait sur différentes sources : listes des abonnés à la revue, annuaire téléphonique, immatriculationsautomobiles. Des dix millions de bulletins envoyés, le magazine reçut environ 2,4 millions de réponses de personnes souhaitant participer au sondage. Seulement 41 % des répondants indiquèrent qu'ils voteraient pour le président sortant, Franklin Roosevelt. Le magazine annonça donc la chute du président en place. Mais celui-ci fut réélu avec 61 % des suffrages ! On considère au hasard une personne parmi les dix millions de destinataires des bulletins de vote. On note :

• S l'évènement « la personne participe au sondage » • R l'évènement « la personne vote pour Roosevelt ».

On suppose que P (R) = 0,61.1. Déduire de l'énoncé P (S) et P (R).2. Calculer P (R ∩ S).

3. En déduire que P ( ∩ R) = 0,5116.

4. Calculer P (R) à 10 près. Interpréter ce résultat et le comparer avec P (R).

5. Calculer P (S) et P (S) à 10 près. Comparer et interpréter ces deux résultats.

Point info : Malgré la taille gigantesque de l'échantillon utilisé par le magazine Literary Digest, celui-ci présentait plusieurs biais et prédit le mauvais résultat. Dans le même temps, l'institut Gallup réalisa un sondagesur un échantillon « représentatif » de 5 000 personnes et prédit la victoire de Roosevelt. Ce fût le début de l'utilisation de méthodes scientifiques pour les sondages.

Partie B : Le 24 juin 2016, les Britanniques participaient à un referendum à deux issues :

• Le « In » pour les favorables au maintient du Royaume-Uni dans l'Union Européenne.• Le « Out » pour les favorables à la sortie du Royaume-Uni dans l'Union Européenne.

Ce jour là, le camp du « Leave » favorable à la sortie du Royaume-Uni de l'UE, remportait le referendum avec 51,9 % des voix contre 48,1 % pour le « Remain », pro-européen. Une étude d'opinion réalisée par Ipsos Mori auprès de 1 592 britanniques et publiée 2 jours plus tôt, le 22 juin 2016, dans le quotidien Evening Standard prédisait la victoire du « In » avec 52 % contre 48 % pour le Brexit.Le résultat du referendum était-il envisageable le 22 juin, au niveau de confiance 95 % ? Justifier.

S

S̄

S̄-3

S

R R̄-3

Exercice 3 : ( 5 points )Les points de collecte d'un camion d'une société recyclant des déchets papier, ainsi que les temps de trajet (en minutes) entre ces différents points, sont représentés par le graphe ci-dessous.Le dépôt est représenté par le sommet A et les autres sommets représentent les différents points de collecte.

La personne responsable de la tournée propose les 6 affirmations suivantes. Justifier, pour chacune, si elle est Vraie ou Fausse.

◦ Affirmation 1 : Quelle que soit la position du camion, son chauffeur sera toujours en mesure de rejoindre n'importe quel autre point de collecte en une seule étape.

◦ Affirmation 2 : Quelle que soit la position du camion, son chauffeur sera toujours en mesure de rejoindre n'importe quel autre point de collecte.

◦ Affirmation 3 : Il existe 9 trajets en 4 étapes permettant d'aller du dépôt A au lotissement H.

◦ Affirmation 4 : Le trajet le plus rapide pour aller du point A au point H dure 24 minutes.

Afin de rendre son plan plus lisible, le chauffeur du camion souhaite colorer les sommets du graphe représentant son réseau de manière à ce que deux sommets adjacents n’aient jamais la même couleur.

◦ Affirmation 5 : Il est possible de n'utiliser que 3 couleurs pour colorer le graphe.

Le point de collecte H est lui-même un lotissement résidentiel privé dont un plan est représenté à l’aide du graphe ci-dessous. Les sommets sont les différents carrefours et les arêtes sont les voies de circulation.

Le conducteur du camion doit passer le long de chaque voie afin de collecter les déchets individuels de chaque habitation. Il entre dans le lotissement par le sommet 8.

◦ Affirmation 6 : Il est possible de parcourir le lotissement en empruntant une fois et une seule chaquevoie.

Exercice 4 : ( 6 points )On étudie la propagation d'une maladie lors d'une épidémie. Partie A :Des relevés statistiques ont permis de modéliser par une fonction le nombre de malades durant l'épidémie. Cette fonction est définie sur [ 1 ; 26 ] par :

=

où est le nombre de semaines écoulées depuis le premier cas constaté et est le nombre de milliers de malades comptabilisés après semaines.

1. Montrer que pour tout réel de l'intervalle [ 1 ; 26 ] on a : =

2. Les variations de la fonction dérivée sont données dans le tableau suivant :

1 4 26

a) Justifier ce tableau de variations.b) Montrer que l'équation = 0 admet, dans l'intervalle [ 1 ; 26 ], une unique solution puis donner un encadrement de par deux entiers naturels consécutifs.c) En déduire le signe de sur [ 1 ; 26 ] et les variations de sur cet intervalle.

3. Le réel représente la vitesse de propagation de la maladie au bout de t semaines.

a) Dans le contexte du problème, donner une interprétation de l'expression mathématique suivante :« La fonction est décroissante sur l'intervalle [ 4 ; 26 ] »

b) A partir des questions précédentes, déterminer le nombre de semaines écoulées à partir duquel le nombre de malades par semaine a commencé à diminuer.

Partie B :1. Montrer que la fonction définie sur [ 1 ; 26 ] par = est une primitive de la

fonction définie par = .

2. En déduire une primitive de la fonction .

3. On a trouvé que l'arrondi à l'entier près de est . Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

f

f

f(t) 24t ln(t)¡ 3t2 + 10t

t

f(t)

t

f 0(t) 24ln(t)¡ 6t+ 24

t

f 0(t)

f 0

f 0(t) ®

®

f 0(t) f

f 0(t)

f 0

12t2 ln(t)¡ 6t2G(t)

24t ln(t)g(t)

F f

[F (26)¡ F (1)]126¡1 202

g

G

Série ES / LDurée de l'épreuve : 3 h

10/05/17

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- Enseignement spécifique - L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Exercice 3 : ( 5 points )Soit une fonction définie et deux fois dérivable sur R. On considère c sa courbe représentative dans le repère orthogonal ( O ; I , J ) ci-dessous. c passe par les points A ( ; ), B ( 0 ; 5 ) et C ( 5 ; 0 ). Le point D ( - 3 ; 0 ) appartient à la tangente (T) à c au point A.

Partie A : Lectures graphiques1. Déterminer le signe de . Justifier.

2. Que semble représenter le point A pour la courbe c ?

3. a) Préciser à quel domaine du plan correspond l'aire I = .

b) Choisir et recopier l'encadrement qui convient parmi :0 ≤ I ≤ 9 10 ≤ I ≤ 12 20 ≤ I ≤ 24

Partie B : CalculsOn admet que, pour tout réel , on a :

= et : =

1. a) Montrer que, pour tout réel , on a : =

b) Etudier la convexité de la fonction .

c) Justifier que le point A est le point d'inflexion de la courbe c .2. Soit la fonction définie sur R par :

=

On admet que est une primitive de sur R.Calculer I = . On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.

f

4e0,51

f

f

f

(T)

cf

f 0(1)

f R 30f(x) dx

x

f(x) f 0(x) (1, 5¡ 0, 5x)e0,5x

x f 00(x)

(5¡ x)e0,5x

0, 25(1¡ x)e0,5x

f

f

F

(14¡ 2x)e0,5xF (x)

F fR 30f(x) dx

Correction du bac blanc – mai 2017

Exercice 1 : Une association décide d'ouvrir un centre de soin pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution le 1er

janvier 2017 avec 115 oiseaux. On estime que chaque année, 60% des oiseaux présents dans le centre seront relâchés et 120 nouveaux oiseaux seront accueillis. On s'intéresse au nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1er janvier des années suivantes. On modélise la situation par une suite ( ) admettant pour premier terme = 115 et dont le terme de rang donne une estimation du nombre d'oiseaux l'année 2017 + .

1. = – + 120 = =

= – + 120 = ≈ On arrondit, le cas échéant, à l'entier près car donne le nombre d'oiseaux en 2017 + .Le 1er janvier 2018, le centre accueillera 166 oiseaux. Le 1er janvier 2019 il en accueillera environ 186.

2. a) On considère les trois algorithmes ci-dessous. L'algorithme 3 permet d’estimer le nombre d'oiseaux au 1er janvier de l’année 2017 + . Justifier que les deux premiers algorithmes ne donnent pas le résultat attendu.

Dans le 1er algorithme, la ligne « U prend la valeur » ne convient pas.En effet, la suite est définie sur N par = 115 et la formule de récurrence suivante :

= = = Dans l'algorithme 2, l'initialisation « U prend la valeur » aurait dû se faire avant l'entrée en boucle.Tel que l'algorithme est écrit, U est réinitialisé sur la valeur 115 à chaque tour de boucle. La valeur affichée en sortie de boucle correspond alors au résultat de au lieu de correspondre à .

b) Donner, pour tout entier naturel , l'expression de en fonction de .

La suite est définie sur N par = 115 et la formule de récurrence suivante : = = =

3. On considère la suite ( ), définie pour tout entier naturel , par = . a) Montrer que ( ) est une suite géométrique de raison 0,4. Préciser .∀ ∈ N, = = = = = Puisque = alors ( ) est une suite géométrique de raison .

= = = -

b) Exprimer le terme général de la suite ( ) en fonction de . ∀ ∈ N, = = -

c) En déduire que pour tout entier naturel , = .

∀ ∈ N, = Donc : = = .

un u0 nn

u1

n

n un+1 un

vn n vn un ¡ 200vn v0

vn n

n un 200¡ 85£ 0, 4n

u060100u0 115¡ 0, 6£ 115 + 12060100

166

u1 u1u2 166¡ 0, 6£ 166 + 120 186

un n

unun+1 un ¡ 0, 6un + 120 (1¡ 0, 6)un + 120 0, 4un + 120

0, 6U+ 120

115

u1 uN

un+1 un ¡ 0, 6un + 120 (1¡ 0, 6)un + 120 0, 4un + 120

un u0

u0

n vn+1 un+1 ¡ 200 0, 4un + 120¡ 200 0, 4un ¡ 80 0, 4(un ¡ 200) 0, 4vnvn+1 0, 4vn vn 0, 4

v0 u0 ¡ 200 115¡ 200 85

n vn v0 £ qn 85£ 0, 4n

n vn un ¡ 200 un vn + 200 200¡ 85£ 0, 4n

4. L'association dispose d'une capacité d'accueil de 200 places. a) Est-ce suffisant pour accueillir les oiseaux ? 0 < 0,4 < 1 donc = 0On en déduit successivement :

◦ = = 0

◦ = = Donc = Cela signifie que le nombre d'oiseaux présents dans le centre tendra à se rapprocher de 200, dans un très grand nombre d'année, théoriquement sans jamais atteindre ni dépasser cette valeur. La capacité d'accueil maximale du centre est donc suffisante.

b) Calculer à partir de quelle année le centre atteindra sa capacité maximale. Théoriquement, la capacité d'accueil maximale du centre n'est jamais atteinte.Dans la pratique, on peut considérer qu'en arrondissant le nombre d'oiseau par excès, à partir de 199,5 on aura atteint la capacité d'accueil maximale. On résout dans N :

≥ 199,5 ≥ 199,5

0,5 ≥ ≤

≤

≤ ≤ -

0 < 0,4 < 1 donc < 0 donc ≥ ≈ 5,6

Or ∈ N donc ≥ 6On en déduit que dans 6 ans, en 2023, on pourra considérer que le centre aura atteint sa capacité d'accueil maximale.

Exercice 2 : Vote de paille Partie A :En 1936, afin de prédire le résultat de l'élection présidentielle, le magazine américain Literary Digest organisa un « vote de paille » en envoyant par la poste environ dix millions de « bulletins de vote ». L'échantillon de ce sondage reposait sur différentes sources : listes des abonnés à la revue, annuaire téléphonique, immatriculationsautomobiles. Des dix millions de bulletins envoyés, le magazine reçut environ 2,4 millions de réponses de personnes souhaitant participer au sondage. Seulement 41 % des répondants indiquèrent qu'ils voteraient pour le président sortant, Franklin Roosevelt. Le magazine annonça donc la chute du président en place. Mais celui-ci fut réélu avec 61 % des suffrages ! On considère au hasard une personne parmi les dix millions de destinataires des bulletins de vote. On note :

• S l'évènement « la personne participe au sondage » • R l'évènement « la personne vote pour Roosevelt ».

On suppose que P (R) = 0,61.1. Déduire de l'énoncé P (S) et P (R).

Sur les dix millions de bulletins envoyés, le magazine reçut environ 2,4 millions de participations.Donc : P (S) = = 41 % des répondants indiquèrent qu'ils voteraient pour le président sortant, Franklin Roosevelt. Donc : P (R) = 0,41

2. P (R ∩ S) = P (S) × P (R) = 0,24 × 0,41 = 0,0984

3. P ( ∩ R) + P (R ∩ S) = P (R)Donc : P ( ∩ R) = P (R) – P (R ∩ S) = 0,61 – 0,0984 = 0,5116.

S

S̄

limn!+1

0, 4n

limn!+1

85£ 0, 4n 85£ 0lim

n!+1200¡ 85£ 0, 4n 200¡ 0 200

limn!+1

200un

un200¡ 85£ 0, 4n

85£ 0, 4n

0, 4n0,585

0, 4n1170

ln(0, 4n)

ln(170)

ln(1170)

n ln(0, 4)

n- ln(170)ln(0,4ln(0, 4)

n n

2,410 0, 24

S

S

S̄

4. P (R) = = ≈ 0,673

La probabilité qu'un destinataire de bulletin de vote ait voté pour Roosevelt sachant qu'il n'a pas participé au sondage est d'environ 0,673. Elle est plus forte que la probabilité P (R) = 0,41 qu'un des destinataires ait voté pour Roosevelt sachant qu'il avait participé au sondage.

5. P (S) = = ≈ 0,161

P (S) =

Or : P (S ∩ ) = P (S) – P (S ∩ R) = 0,24 – 0,0984 = 0,1416.Donc : P (S) = ≈ 0,363P (S) > P (S)Donc la probabilité qu'une personne destinataire d'un bulletin de vote ait participé au sondage sachant qu'elle ne voterait pas Roosevelt était plus forte que la probabilité qu'une personne destinataire d'un bulletin de vote ait participé au sondage sachant qu'elle voterait Roosevelt. Le magazine s'est trompé en annonçant la chute du président en place car les opposants à Roosevelt ont davantage participé au sondage que ses partisans ou que les américains qui n'avaient pas encore pris leur décision.

Point info : Malgré la taille gigantesque de l'échantillon utilisé par le magazine Literary Digest, celui-ci présentait plusieurs biais et prédit le mauvais résultat. Dans le même temps, l'institut Gallup réalisa un sondagesur un échantillon « représentatif » de 5 000 personnes et prédit la victoire de Roosevelt. Ce fût le début de l'utilisation de méthodes scientifiques pour les sondages.

Partie B : Le 24 juin 2016, les Britanniques participaient à un referendum à deux issues :

• Le « In » pour les favorables au maintient du Royaume-Uni dans l'Union Européenne.• Le « Out » pour les favorables à la sortie du Royaume-Uni dans l'Union Européenne.

Ce jour là, le camp du « Leave » favorable à la sortie du Royaume-Uni de l'UE, remportait le referendum avec 51,9 % des voix contre 48,1 % pour le « Remain », pro-européen. Une étude d'opinion réalisée par Ipsos Mori auprès de 1 592 britanniques et publiée 2 jours plus tôt, le 22 juin 2016, dans le quotidien Evening Standard prédisait la victoire du « In » avec 52 % contre 48 % pour le Brexit.Le résultat du referendum était-il envisageable le 22 juin, au niveau de confiance 95 % ? Justifier.

Pour répondre à cette question on calcule les intervalles de confiance au seuil 0,95 à partir des fréquences observées au moment du dernier sondage, le 22 juin 2016 :

= [ – ; + ] = [ 0,52 – ; 0,52 + ] = [ 0,494 ; 0,546 ]

= [ – ; + ] = [ 0,48 – ; 0,48 + ] = [ 0,454 ; 0,506 ]

On remarque que les intervalles de confiance se chevauchent. Cela signifient que le camp du « Leave » pouvait remporter le referendum avec, par exemple 50,6 % des voix contre 49,4 % en faveur du « Remain », même si au départ le camp du « Leave » était au départ donné perdant. Cela dit le résultat final de 51,9 % pour le Brexit contre 48,1 % pour le maintien dans l'UE est surprenant car ces proportions ne rentrent pas dans les intervalles de confiances respectifs et . Il n'y avait que 5 % de risque que de tels résultats apparaissent.

S̄

R

R̄

P(S̄\R)P(S̄)

0,51161¡0,24

S

P(S\R)P(R)

0,09840,61

P(S\R̄)P(R̄)

R̄

R̄0,14161¡0,61

R̄ R

1pn

f f 1pn

1p1592

1p1592

f 1pnf 1p

n1p1592

1p1592

I”Out”

I”In”

I”Out” I”In”

Exercice 3 : (pour les élèves n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité en mathématiques)Soit une fonction définie et deux fois dérivable sur R. On considère c sa courbe représentative dans le repère orthogonal ( O ; I , J ) ci-dessous. c passe par les points A ( ; ), B ( 0 ; 5 ) et C ( 5 ; 0 ). Le point D ( - 3 ; 0 ) appartient à la tangente (T) à c au point A.

Partie A : Lectures graphiques1. Déterminer le signe de . Justifier.

La tangente en A « monte » donc son coefficient directeur est positif.On en déduit : > 0.

2. Que semble représenter le point A pour la courbe c ?La tangente en A traverse la courbe donc A semble représenter un point d'inflexion pour c .

3. a) Préciser à quel domaine du plan correspond l'aire I = .I est l'aire du domaine situé entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation = 0 et = 3.b) Choisir et recopier l'encadrement qui convient parmi :

0 ≤ I ≤ 9 10 ≤ I ≤ 12 20 ≤ I ≤ 24En comptant le nombre d'unités d'aires dans la surface hachurée on compte plus de 19 petits carrés.La seule bonne réponse possible est donc : 20 ≤ I ≤ 24

Partie B : CalculsOn admet que, pour tout réel , on a :

= et : =

1. a) Montrer que, pour tout réel , on a : =

∀ ∈ R, = = avec : = et : = Donc : =

= = = =

b) Etudier la convexité de la fonction .

La convexité de dépend du signe de .∀ ∈ R, = 0,25 > 0 et ∀ ∈ R, > 0

> 0 ⇔ < 1On en déduit que > 0 sur ] - ∞ ; 1 [ et > 0 sur ] 1 ; + ∞ [.Ainsi, est convexe sur ] - ∞ ; 1 [ et concave sur ] 1 ; + ∞ [.

f f

f 1 4e0,5

f

f 0(1)

f

R 30f(x) dx

x

f(x) (5¡ x)e0,5x f 0(x) (1, 5¡ 0, 5x)e0,5x

x f 00(x) 0, 25(1¡ x)e0,5x

f

(T)

cf

f 0(1)

f

x x

x f 0(x) (1, 5¡ 0, 5x)e0,5x u(x)v(x)

f 00(x) u0(x)v(x) + u(x)v0(x)f 00(x) (-0, 5)e0,5x + (1, 5¡ 0, 5x)0, 5e0,5xf 00(x) (-0, 5 + 0, 75¡ 0, 25x)e0,5x (0, 25¡ 0, 25x)e0,5x 0, 25(1¡ x)e0,5x

f 00(x)f

x f 00(x) 0, 25(1¡ x)e0,5xx e0,5x

1¡ x xf 00(x) f 00(x)

f

u(x) 1, 5¡ 0, 5x v(x) e0,5x

c) Justifier que le point A est le point d'inflexion de la courbe c .

s'annule et change de signe en = 1 donc le point A d'abscisse 1 est le point d'inflexion de c .

2. Soit la fonction définie sur R par : =

On admet que est une primitive de sur R.Calculer I = . On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.

I = = = – I = – = – u.a.I ≈

Exercice 4 : On étudie la propagation d'une maladie lors d'une épidémie. Partie A :Des relevés statistiques ont permis de modéliser par une fonction le nombre de malades durant l'épidémie. Cette fonction est définie sur [ 1 ; 26 ] par :

=

où est le nombre de semaines écoulées depuis le premier cas constaté et est le nombre de milliers de malades comptabilisés après semaines.

1. Montrer que pour tout réel de l'intervalle [ 1 ; 26 ] on a : =

∀ ∈ [ 1 ; 26 ], = = avec : = et : = Donc : = = × – =

2. Les variations de la fonction dérivée sont données dans le tableau suivant :

1 4 26

a) Justifier ce tableau de variations.Les variations de dépendent du signe de .∀ ∈ [ 1 ; 26 ], = Donc = × – =

∀ ∈ [ 1 ; 26 ], > 0 donc > 0 ⇔ > 0 ⇔ > 6t ⇔ < ⇔ < 4On en déduit que est strictement croissante sur [ 1 ; 4 ] puis strictement décroissante sur [ 4 ; 26 ].

b) Montrer que l'équation = 0 admet, dans l'intervalle [ 1 ; 26 ], une unique solution puis donner un encadrement de par deux entiers naturels consécutifs.

= = = 18 > 0 = = > 0

ne change pas de signe sur l'intervalle [ 1 ; 4 ] donc l'équation = 0 n'a pas de solution sur [ 1 ; 4 ]. = = < 0

est continue, strictement décroissante et change de signe sur [ 4 ; 26 ] donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation = 0 admet une unique solution sur [ 4 ; 26 ] et par conséquent sur [ 1 ; 26 ]. Le tableur de la calculatrice donne :

≈ 3,3 > 0 et ≈ - 1,007 < 0 donc 14 < < 15.

f

F

F (x) (14¡ 2x)e0,5x

F fR 30f(x) dx

f

f

f(t) 24t ln(t)¡ 3t2 + 10t f(t)

t

t f 0(t) 24ln(t)¡ 6t+ 24

f 0

t

f 0(t)

f 0(t) ®

®

f 00(x) x f

R 30f(x) dx F (3)¡ F (0) (14¡ 2£ 3)e0,5£3 (14¡ 2£ 0)e0,5£0

8e1,5 14e0 8e1,5 1421, 85

t f(t) 24t ln(t)¡ 3t2 + 10 u(t)v(t) ¡ 3t2 + 10f 0(t) 24ln(t)¡ 6t+ 24u0(t)v(t) + u(t)v0(t)¡ 6t 1

t

u(t) 24t v(t) ln(t)

24 ln(t) + 24 t 6 t

f 0 f 00

t f 0(t) 24ln(t)¡ 6t+ 24f 00(t) 1

t 62424¡6tt

f 00(t)t t 24¡ 6t 24246t t

f 0

f 0(1)f 0(4)

24 ln(1)¡ 6£ 1 + 2424 ln(4)¡ 6£ 4 + 24 24 ln(4)

f 0(26) 24 ln(26)¡ 6£ 26 + 24 24 ln(26)¡ 132

24£ 0¡ 6 + 24

f 0 f 0(t)

f 0

f 0(t)

f 0(14) f 0(15)

®

®

c) En déduire le signe de sur [ 1 ; 26 ] et les variations de sur cet intervalle.

En complétant le tableau des variations de (les images sont arrondies à 0,1 près) on obtient :

1 4 26

33,318 - 53,8

On en déduit le tableau des signes de et de variations de :

1 26

+ –

3. Le réel représente la vitesse de propagation de la maladie au bout de t semaines.

a) Dans le contexte du problème, donner une interprétation de l'expression mathématique suivante :« La fonction est décroissante sur l'intervalle [ 4 ; 26 ] »

« La fonction est décroissante sur l'intervalle [ 4 ; 26 ] » signifie que la propagation de la maladie ralentie de la 4ème à la 26ème semaine après le début de l'épidémie.

b) A partir des questions précédentes, déterminer le nombre de semaines écoulées à partir duquel le nombre de malades par semaine a commencé à diminuer.Le nombre de malades par semaine est donné par . Du tableau de signe de on déduit :

1 26

+ –

Avec : 14 < < 15On en déduit que le nombre de malades par semaine a commencé à diminuer dès la 15ème semaine.

Partie B :1. Montrer que la fonction définie sur [ 1 ; 26 ] par = est une primitive de la

fonction définie par = .

∀ ∈ [ 1 ; 26 ], = = avec : = et : = Donc : = = × –

= = = = donc est une primitive de sur [ 1 ; 26 ].

2. En déduire une primitive de la fonction .∀ ∈ [ 1 ; 26 ], = = – On en déduit : = –

= –

3. On a trouvé que l'arrondi à l'entier près de est . Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.On reconnaît la formule de la valeur moyenne de la fonction sur l'intervalle [ 1 ; 26 ]:

= = ≈ 202On en déduit que le nombre moyen de malades par semaine sur cette période est d'environ 202 milliers.

f 0(t) f

f 0(t)

f 0

G G(t) 12t2 ln(t)¡ 6t2g g(t) 24t ln(t)

F f

126¡1[F (26)¡ F (1)] 202

t

f 0(t)

®

0

f 0

f 0(t)

t ®

f 0(t) O

f 0

f(t) f 0

®

O

t

f 0(t)

f(t)

®

t

G0(t)

G(t) 12t2 ln(t) ¡ 6t2 u(t) v(t) ln(t)u(t)v(t) ¡ 6t2 12 t2

u0(t)v(t) + u(t)v0(t)¡ 12 t 1t24 t ln(t) + 12 t2 12 t

G0(t) 24 t ln(t) + 12 t¡ 12 t 24t ln(t) g(t)

G0 g G g

t f(t) 24t ln(t)¡ 3t2 + 10 g(t) 3 t2 + 10

F (t) G(t) t3 + 10 t

F (t) 12t2 ln(t)¡ 6t2 t3 + 10 t

f1

26¡1 [F (26)¡ F (1)]mR 261f(x) dx

126¡1

f

f(t)

Exercice 3 : (pour les élèves ayant choisi l'enseignement de spécialité en mathématiques)Les points de collecte d'un camion d'une société recyclant des déchets papier, ainsi que les temps de trajet (en minutes) entre ces différents points, sont représentés par le graphe ci-dessous.Le dépôt est représenté par le sommet A et les autres sommets représentent les différents points de collecte.

La personne responsable de la tournée propose les 6 affirmations suivantes. Justifier, pour chacune, si elle est Vraie ou Fausse.

◦ Affirmation 1 : Quelle que soit la position du camion, son chauffeur sera toujours en mesure de rejoindre n'importe quel autre point de collecte en une seule étape.Le graphe n'est pas complet donc tous les sommets ne sont pas 2 à 2 adjacents.L'affirmation 1 est donc FAUSSE.

◦ Affirmation 2 : Quelle que soit la position du camion, son chauffeur sera toujours en mesure de rejoindre n'importe quel autre point de collecte.Le graphe est connexe donc il existe une chaîne permettant de relier tous les sommets : Par exemple, la chaîne A – B – C – D – E – F – G – HL'affirmation 2 est donc VRAIE.

◦ Affirmation 3 : Il existe 9 trajets en 4 étapes permettant d'aller du dépôt A au lotissement H.

La matrice d'adjacence de ce graphe est : M =

Le nombre de trajets en 4 étapes permettant d'aller du dépôt A au lotissement H se lit à l'intersection de la 1ère ligne et de la dernière colonne dans M . En utilisant la calculatrice on obtient :

M =

L'affirmation 3 est donc VRAIE.

4

0BBBBBBBBBB@

0 1 1 1 0 0 0 01 0 1 1 1 0 0 01 1 0 1 1 0 0 01 1 1 0 1 0 1 00 1 1 1 0 1 1 00 0 0 0 1 0 1 10 0 0 1 1 1 0 10 0 0 0 0 1 1 0

1CCCCCCCCCCA

4

0BBBBBBBBBB@

31 34 34 38 40 13 23 934 47 46 50 40 22 33 1034 46 47 50 44 22 33 1038 50 50 62 54 28 34 1640 44 44 54 60 24 36 2013 22 22 28 24 21 23 1123 33 33 34 36 23 35 139 10 10 16 20 11 13 11

1CCCCCCCCCCA

◦ Affirmation 4 : Le trajet le plus rapide pour aller du point A au point H dure 24 minutes.

On applique l'algorithme de Dijkstra :A B C D E F G H

Initialisation 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ AItération 1 / 3A 7A 11A ∞ ∞ ∞ ∞ BItération 2 / / 6B 10B 14B ∞ ∞ ∞ CItération 3 / / / 10B 9C ∞ ∞ ∞ EItération 4 / / / 10B / 17E 19E ∞ DItération 5 / / / / / 17E 12D ∞ GItération 6 / / / / / 16G / 24G FItération 7 / / / / / / / 23F H

En remontant l'algorithme de Diskstra, on observe que le trajet le plus rapide de A à H est :A – B – D – G – F – H en 23 minutes

L'affirmation 4 est donc FAUSSE.

Afin de rendre son plan plus lisible, le chauffeur du camion souhaite colorer les sommets du graphe représentant son réseau de manière à ce que deux sommets adjacents n’aient jamais la même couleur.

◦ Affirmation 5 : Il est possible de n'utiliser que 3 couleurs pour colorer le graphe.

Le sous graphe constitué des sommets B, C, D et E est complet d'ordre 4. Ses 4 sommets sont deux à deux adjacents donc il faut au moins 4 couleurs pour colorer le graphe.L'affirmation 5 est donc FAUSSE.

Le point de collecte H est lui-même un lotissement résidentiel privé dont un plan est représenté à l’aide du graphe ci-dessous. Les sommets sont les différents carrefours et les arêtes sont les voies de circulation.

Le conducteur du camion doit passer le long de chaque voie afin de collecter les déchets individuels de chaque habitation. Il entre dans le lotissement par le sommet 8.

◦ Affirmation 6 : Il est possible de parcourir le lotissement en empruntant une fois et une seule chaquevoie.Ce graphe admet exactement 2 sommets de degrés impairs : le sommet 8 de degré 3 et le sommet 6 de degré 5. D'après le théorème d'Euler il existe une chaîne eulérienne qui permet, en partant du sommet 8 et en terminant sur le sommet 6, de passer le long de chaque voie une et une seule fois afin de collecter les déchets individuels de chaque habitation.L'affirmation 6 est donc VRAIE.