BAC3 – COURS DE CALCUL DES STRUCTURES - … · 2017-03-30 · Lignes d’influence - Deh 2007 79 BAC3 – COURS DE CALCUL DES STRUCTURES LES LIGNES D’INFLUENCE INSTITUT HEMES

Lignes d’influence - Deh 2007 79

BAC3 – COURS DE CALCUL DES STRUCTURES

LES LIGNES D’INFLUENCE

INSTITUT HEMES GRAMME

Ir. Jacques Dehard Professeur


1. Lignes d’influence dans les systèmes isostatiques

1.1 Introduction

Les charges variables qui agissent sur les structures ne sont pas toujours fixes (convois sur les ponts par exemple) ou ne sont pas toujours réparties uniformément sur l’entièreté de la structure (charge d’exploitation sur un plancher par exemple). A l’inverse des charges permanentes qui sont fixes en intensité et en position, les charges variables ont une intensité bien déterminée, parfois une position relative bien déterminée (comme par exemple une distance précise entre essieux), mais peuvent occuper des positions différentes sur la structure. Il est clair que les effets statiques que ces charges produisent dans n’importe quelle section des éléments de la structure, vont dépendre de leur position. Afin de dimensionner correctement la structure, il est indispensable de trouver les positions de ces charges mobiles qui vont produire le maximum et le minimum d’un effet déterminé dans une section donnée d’un élément de la structure. Il faudra ensuite chiffrer ces effets extrêmes. C’est le rôle des lignes d’influence, qui décrivent l’influence de la position d’une charge sur la grandeur statique étudiée (effort intérieur, réaction, déplacement) dans une section déterminée.

1.2 Rappel de la notion de coupure simple

On sait, par la statique, que des réactions d’appui naissent aux points d’attache d’une structure avec le monde extérieur lorsqu’elle est soumis e à des charges. On dit qu’il y a correspondance entre les liaisons cinématiques (déplacements empêchés) et les forces de liaisons associées (réactions d’appui).

De même, dans la section droite d’une poutre, les efforts intérieurs (M, N, V) sont les forces de liaison entre les deux faces de la section associées aux déplacements relatifs empêchés de ces mêmes deux faces. On peut donc dresser le tableau suivant :

Liaisons cinématiques correspondance Forces de liaison

- du corps avec le monde extérieur ↔ - les réactions d’appui

- entre les deux faces d’une section ↔ - les efforts intérieurs (M, N, V)

La coupure simple, dans un appui ou dans une section, est la suppression d’une liaison cinématique qui imposait un effort statique déterminé. Il s’agit donc d’une opération par laquelle on introduit un degré de liberté nouveau dans la structure. Pour ce faire, des modifications dans les appuis et des dispositifs mécaniques dans les barres doivent être imaginés, pour ne supprimer que la liaison souhaitée (avec la disparition de l’effort correspondant), les autres devant subsister.

Afin de conserver un système équivalent, on devra alors associer à toute coupure simple, la force correspondante,

soit : - une composante de réaction lors d’une coupure dans un appui ;

- deux efforts intérieurs égaux et directement opposées lors d’une coupure dans une poutre. Dans le plan, nous pouvons avoir, par exemple :

Appui Coupure introduite Réaction extériorisée

R

u

R

R

v

θ

v

v

M


Section Coupure introduite Efforts int. extériorisés

1.3 Tracé des lignes d’influence (Li)

Vu que les charges mobiles sollicitant les structures, sont presqu’essentiellement verticales, on se limitera à ce cas. L’effet de plusieurs de ces charges pouvant se déduire de celui d’une seule, en vertu du principe de superposition des effets des forces, on n’envisagera, par la suite, qu’une force verticale unitaire dirigée vers le bas (pesanteur).

Soit une structure isostatique quelconque, parcourue par une charge verticale unitaire, repérée par une abscisse x variable, ainsi qu’un effet déterminé (un moment), produit par cette force dans la section fixe d’abscisse α.

La ligne d’influence devant fournir la variation du moment dans la section α en fonction de la position x de la charge unitaire, il est possible d’envisager le calcul de ce moment pour toute une série de positions x de la charge. Les valeurs obtenues seraient alors portées en ordonnées (avec leur signe) au droit des différentes positions correspondantes de la charge. On obtiendrait alors la courbe suivante, ou ligne d’influence du moment dans la section S, puisque cette courbe

est telle que son ordonnée y lue sous les diverses positions de la charge donne la valeur de l’effet considéré !

On remarquera que les lignes d’influence ont la signification opposée à celle des diagrammes ordinaires d’efforts intérieurs. En effet, alors que ces derniers fournissent les efforts intérieurs dans toutes les sections pour une mise en charge fixe, les lignes d’influence fournissent de leur côté, ces valeurs pour une seule section déterminée, mais pour toutes les positions d’une charge unitaire !

Dans la pratique, la technique précédente est trop fastidieuse pour déterminer le tracé des lignes d’influence. On pourrait aussi résoudre le problème statique, en conservant la variable x, et obtenir ainsi les équations des lignes d’influence. On leur préfère, dans les systèmes isostatiques , l’utilisation du théorème des travaux virtuels .

Reprenons la structure précédente et cherchons, pour une charge unitaire de position x quelconque, le moment MS dans

la section α, par le théorème des travaux virtuels :

S

y

α

Li MS

1

x

M ?

1 S

x

α

M θ

v

u

V

N


Pour ce faire, on introduit une rotule dans la section a, on extériorise les moments intérieurs MS et on donne au système, devenu un mécanisme, un champ de déplacements virtuel compatible avec les liaisons :

Appelons δθ la rotation virtuelle relative au droit de la coupure et δy la projection dans la direction de la force unitaire, donc la projection verticale, du déplacement virtuel du point d’application de cette force. Le travail virtuel total doit être nul, ce qui donne l’équation : δW = MSδθ + 1δy = 0, d’où : MS = −δ y/δ θ.

MS est donc proportionnel à δy quel que soit x. Or, le rapport −δy/δθ est indépendant de δθ puisque δy lui est

directement proportionnel. Par conséquent, si on choisit δθ comme unité pour les projections verticales des déplacements virtuels de la structure, la courbe obtenue avec ces déplacements comme ordonnées, fournira les valeurs de MS pour une charge unitaire se déplaçant sur la structure, c'est-à-dire, la ligne d’influence du moment MS !

On peut alors résumer la méthode de tracé des lignes d’influence comme suit : «pour trouver la ligne d’influence d’un effet dans une structure isostatique, on effectue la coupure simple relative à cet effet, puis on donne à la structure ainsi transformée en mécanisme, un déplacement virtuel compatible avec les appuis, tel que le déplacement relatif des bords de la coupure valle l’unité. La courbe obtenue avec les projections verticales des déplacements virtuels de la structure donne la ligne d’influence cherchée». Cette règle, appelée méthode « cinématique », permet un tracé aisé de toute ligne d’influence, en général à l’échelle près. Ce tracé est d’autant plus simple pour les poutres horizontales, puisqu’alors, la configuration de la déformée virtuelle représente directement la ligne d’influence. En effet, dans ces cas, les déplacements virtuels dδα dus aux différentes

rotations des parties de poutres sont confondus avec leurs projections verticales δy !

Pour trouver l’échelle de lecture ou l’unité d’une Li, on peut procéder géométriquement, ou placer la force unité en une position particulière et rechercher, par la statique, l’effet qu’elle produit. On a alors un point de la ligne d’influence en grandeur et en signe. On peut également signaler à propos des signes , qu’il suffit d’examiner celui (négatif) obtenu dans la formule ci-dessus MS = −δ y/δ θ et celui du travail virtuel correspondant de la charge unitaire (positif). On observe alors que pour des charges verticales vers le bas, et à condition de donner un déplacement virtuel dans le sens où le voudrait l’effet cherché (conventionnellement positif), le signe de MS est le contraire de celui du travail virtuel de la force unitaire.

Les ordonnées de la Li situées au-dessus de la ligne de référence seront donc toujours positives !

δα dδα d

δ y δ y = dδα.cosδα ≈ dδ α car δα est très petit !

−

+

δy

δθ = u

Li MS

δy

δ MS

1 δθ

α

M ?

1 S

x


1.4 Lignes d’influence dans les poutres horizontales

1.4.1 Ligne d’influence d’une réaction d’appui Soit une poutre isostatique soumise à une charge verticale unitaire. Quelle est la Li de la réaction d’appui en B ?

Enlevons l’appui B et donnons, au système ainsi obtenu, un déplacement virtuel compatible avec les appuis dans le sens où le voudrait l’effet cherché (vers le haut). Nous obtenons alors la déformée virtuelle suivante :

Le théorème des travaux virtuels fournit alors l’équation : δW = RB.δv −1.δy = 0, d’où : RB = δ y/δ v. Si on choisit δv comme unité des ordonnées de la déformée virtuelle, ces ordonnées fourniront les valeurs de RB pour une charge unitaire se déplaçant sur la structure, c'est-à-dire, la ligne d’influence de la réaction RB :

1.4.2 Ligne d’influence d’un effort tranchant Soit la même poutre isostatique. Quelle est la Li de l’effort tranchant dans une section S entre les appuis B et C ?

Effectuons une coupure simple relative à l’effort tranchant dans la section choisie et donnons, au système ainsi obtenu, un déplacement virtuel compatible avec les appuis dans le sens où le voudrait l’effet cherché (pour des V positifs). Nous obtenons alors la déformée virtuelle suivante :

Le théorème des travaux virtuels fournit alors l’équation : δW = VS.δv −1.δy = 0, d’où : VS = δ y/δ v. Si on choisit δv comme unité des ordonnées de la déformée virtuelle, ces ordonnées fourniront les valeurs de VS pour une charge unitaire se déplaçant sur la structure, c'est-à-dire, la ligne d’influence de l’effort tranchant VS :

1 S

A B C

+ + −

−

B δy

δv = u

A C Li VS

δy VS

δv

A C

1

B

C

−δy

δv = u

A

+

B

Li RB

C

δy

δv

A

1

RB

A B C

1


1.4.3 Ligne d’influence d’un moment de flexion Soit la même poutre isostatique. Quelle est la Li de l’effort tranchant dans une section S entre les appuis B et C ?

Introduisons une rotule dans la section choisie et donnons, au système ainsi obtenu, un déplacement virtuel compatible avec les appuis dans le sens où le voudrait l’effet cherché (pour des M positifs). Nous obtenons alors la déformée virtuelle suivante :

Le théorème des travaux virtuels fournit alors l’équation : δW = MS.δθ −1.δy = 0, d’où : MS = δ y/δ θ. Si on choisit δθ comme unité des ordonnées de la déformée virtuelle, ces ordonnées fourniront les valeurs de MS pour une charge unitaire se déplaçant sur la structure, c'est-à-dire, la ligne d’influence du moment MS :

On peut observer ici comme dans les deux exemples précédents, que le signe de l’effet cherché est le contraire de celui du travail de la force unitaire ; il est donc confirmé que si l’on donne un déplacement virtuel dans le sens où le voudrait les efforts associés, les plages positives des Li sont toujours situées au-dessus de la ligne repère !

1.5 Utilisation des lignes d’influence

Si l’on veut utiliser les lignes d’influence avec des charges réelles, il faut se servir du principe de superposition. L’effet

produit par n forces concentrées Qi placées au droit des ordonnées δ yi d’une Li sera alors donné par : ∑=

δn

1i

ii u

yQ ;

l’effet produit par une charge q(x) répartie sur l’intervalle (a,b) sera donné par dx u

)x(y)x(q

b

a∫δ

.

Les rapports δ y/u (u étant l’échelle de lecture de la Li ) peuvent se déterminer géométriquement (triangles semblables)

dans le cas de Li de réactions d’appui et d’efforts tranchants. Dans le cas d’une Li de moment, l’unité est un angle (très petit) en radians et on peut procéder comme suit :

u = δyS/a + δyS/b = δyS/(1/a + 1/b) avec a et b en vraie grandeur et le rapport δ y/u = (δy/δyS)(1/a + 1/b), la

quantité (δy/δyS) se déterminant géométriquement (triangles semblables).

Pour dimensionner les structures, il est nécessaire de connaître les valeurs extrêmes des efforts intérieurs et des réactions d’appui. Les effets maxima s’obtiendront, sur base des lignes d’influence, en chargeant au maximum les zones positives et en s’abstenant autant que possible de charger les zones négatives et vice-versa.

Aujourd’hui on n’utilise plus les Li pour calculer des valeurs d’efforts intérieurs ou de réactions, vu la généralisation de l’emploi des programmes de calcul des structures. Cependant, le tracé des Li, même parfois simplement « à main levée », sans calcul, conserve tout son intérêt pour la recherche rapide des mises en charge les plus défavorables !

δy

a b B +

−

−

Li MS δθ = u

δyS A C

B

+ −−

Li MS δθ = u

δy A C

δθ

MS δy

A C

1

B

1 S

A B C


2. Lignes d’influence dans les systèmes hyperstatiques

2.1 Tracé des lignes d’influence (Li)


La définition des lignes d’influence étant la même pour les systèmes hyperstatiques que pour les systèmes isostatiques, nous pouvons, dès lors, passer directement à leur tracé, en se limitant, pour les mêmes raisons qu’au chapitre précédent, au cas d’une force verticale unitaire dirigée vers le bas .

Soit une structure hyperstatique quelconque, parcourue par une charge verticale unitaire, repérée par une abscisse x variable, ainsi qu’un effet déterminé, la réaction d’appui horizontale, produit par cette force en A.

La ligne d’influence devant fournir la variation de la réaction horizontale en A en fonction de la position x de la charge unitaire, il est possible d’envisager le calcul de cette réaction d’appui pour toute une série de positions x de la charge. Les valeurs obtenues seraient alors portées en ordonnées (avec leur signe) au droit des différentes positions correspondantes de la charge. On obtiendrait alors la courbe suivante, ou ligne d’influence de la réaction horizontale à l’appui A puisque cette courbe est telle que son ordonnée y lue sous les diverses positions de la charge donne la valeur de l’effet considéré !

Dans la pratique, la technique précédente est trop fastidieuse pour déterminer le tracé des lignes d’influence. On lui préfère, dans les systèmes hyperstatiques, la méthode basée sur le théorème de Maxwell exposée ci-dessous.

Pour l’expliquer, reprenons la structure précédente soumise à une charge P unitaire au point 2 et désignons par H la

réaction horizontale au point 1 que fait naître la charge P.

Effectuons une coupure simple relative à la poussée cherchée, en permettant un déplacement horizontal à l’appui 1 :

2

1 H

P =1

2

1 H

P =1

y = valeur de HA sous la charge 1

+

Li HA

1

x

A B

x

HA ?

1


Sous le seul effet de la charge unitaire appliquée en 2, l’appui initialement en position 1 se déplace en 1’. La distance d12

= '11 , constitue le déplacement horizontal subi par l’appui 1 sous l’action de la charge unitaire appliquée en 2. Cette

dernière subit, quant à elle, un déplacement '22 dont d22 est la projection sur la direction de la force.

Dans la structure réelle, l’appui fournit une poussée horizontale H qui empêche le déplacement horizontal de l’appui 1 de

se produire. Pour ramener l’appui à rouleau de 1’ à 1, il faudra appliquer à cet endroit une force horizontale égale à celle que la coupure a annulé, c'est-à-dire telle que si elle agissait seule sur le système muni de la coupure et non chargé, elle produirait à l’appui 1, un déplacement d11 de même grandeur que d12 mais de sens opposé. Sous ce chargement, le point

2 subit un déplacement ''22 dont d21 est la projection sur la direction de la force.

La valeur de H correspondant à la charge unitaire pourra donc se déduire de l’équation (vectorielle) de compatibilité :

d12 + d11 = 0.

D’un autre côté, le théorème de Maxwell permet d’écrire : 1.d21 = H.d12, ou, compte tenu de l’équation précédente :

−H.d11 = 1.d21. Finalement, on obtient : 11

21

dd

H−

= .

Dans cette expression, d11 est indépendant de la position de la charge unitaire, ce qui assure la proportionnalité entre H

et d21, quelle que soit la position de cette charge. Or, le rapport sans dimension d21/d11 est indépendant de d11 puisque

d21 lui est proportionnel. Donc si on choisit d11 comme unité de mesure, H sera fourni par d21, lui-même dépendant de la

position de la charge unitaire. La réaction H exprimée ainsi en fonction de la position de la charge unitaire, ce n’est donc

rien d’autre que l’expression formelle de la ligne d’influence de H.

Plus précisément, si on choisit d11 comme unité pour les déplacements projetés sur la verticale d21, la courbe obtenue

avec ces déplacements comme ordonnées, fournira les valeurs de H pour une charge unitaire verticale se déplaçant sur la

structure, c'est-à-dire, la ligne d’influence de H !

A propos des signes, le déplacement d11 est une quantité positive, parce que dirigée dans le sens où l’on mesure

positivement H. Il en résulte, selon 11

21

dd

H−

= , que si l’on suppose H positif, d21 est négatif, donc du sens contraire

de celui choisi pour les déplacements verticaux (positifs vers le bas). En reportant les valeurs d21 positivement vers le

haut de la ligne de repère, on obtiendra donc la ligne d’influence en grandeur et en signe et les Li seront, comme pour les poutres isostatiques, « positives vers le dessus » !

y = d21/d11 +

Li H

1

d21

d11 1’’

2

1

2’’

H

d22

d12 1’

2

1

P =1

2’


Enfin, on peut remarquer que H = 1 si d21 = d11 (le signe étant absorbé par la convention de signe). d11 représente donc

bien l’échelle du dessin puisqu’étant le déplacement relatif des bords de la coupure sous l’effet de H = 1.

La relation 11

21

dd

H−

= s’applique à tous les systèmes élastiques , que l’effet cherché soit une force de réaction, un

moment d’encastrement ou un effort intérieur au système (M, N, V). Il suffira, dans ce dernier cas, d’appliquer aux bords de la coupure intérieure relative à l’effet, deux forces égales et opposées ! d11 représentera alors le déplacement relatif correspondant des bords de la coupure.

La description de la méthode de recherche des Li exposée précédemment, peut se résumer comme suit, ce qui porte le nom de « théorème de LAND » (1890) : «pour trouver la ligne d’influence d’un effet dans une structure hyperstatique, on effectue la coupure simple relative à cet effet et on fait subi r aux bords de la coupure un déplacement généralisé relatif, de même sens que l’effet dont on cherche la Li (en appliquant au système muni de la coupure et non chargé, un moment, ou une force, ou deux efforts égaux et opposés). Les ordonnées de la Li sont données par les projections verticales des déplacements du système ainsi obtenu. L’échelle de la ligne d’influence est donnée par le déplacement relatif des bords de la coupure».

La méthode de LAND, qualifiée de « cinématique », permet de trouver directement et sans calcul, l’allure de toute ligne d’influence, à l’échelle près, ce qui permet une recherche rapide des mises en charge les plus défavorables ! Comme déjà dit, les effets maxima s’obtiendront, en chargeant au maximum les zones positives et en s’abstenant autant que possible de charger les zones négatives et vice-versa .

Exemple : soit à rechercher les Li de RC, MB, et VC(gauche) dans la structure suivante.

Pour des charges horizontales RC −

d11=u

d21

VCg

+ d11=u

d21

MB

− d21 d11=u=Σ rotations

A

B

C

D

Pour des charges verticales RC

d11=u +

d21

VCg

− − d11=u

d21 MB

d11=u=Σ rotations −

+ d21


Si l’on voulait calculer des réactions ou des efforts intérieurs à l’aide du tracé des Li, il faut remarquer qu’à ce moment, il serait nécessaire de calculer des déformées réelles de structures souvent hyperstatiques (chaque fois que la structure de départ est plus d’une fois hyperstatique !). A l’heure actuelle, ceci n’est plus concevable qu’à l’aide d’un programme de calcul de structures. Dans le cas d’utilisation d’un tel programme, on peut appliquer scrupuleusement le théorème de LAND et obtenir les valeurs réelles des projections concernées des déplacements, d’une part, et le déplacement relatif réel des bords de la coupure sous un effort généralisé quelconque, qui représente l’unité, d’autre part. Leur simple rapport fournira les ordonnées de la Li. On peut aussi placer une charge unitaire successivement en divers points de la structure et calculer, à l’aide du programme, pour chacune de ces positions, la ou les valeurs d’un ou de plusieurs effets cherchés. En portant en ordonnée, au droit de chaque position de la charge, la ou les valeurs des effets en question, on établit point par point une ou plusieurs lignes d’influences. Si on dispose d’un dessin de la déformée de la structure fourni par le programme, il ne faudra pas oublier que, dans le cas de la recherche de la Li d’un moment par exemple, l’angle (en radians) représentant la rotation relative des bords de la coupure doit être évalué en tenant compte des échelles des longueurs et des déplacements du dessin !

2.2 Lignes d’influence dans les poutres horizontales

Le théorème de LAND sera encore appliqué, en remarquant que le tracé est plus simple pour les poutres horizontales, puisque, dans ce cas, la configuration de la déformée représente directement la ligne d’influence. En effet, ici aussi, les déplacements réels des points des axes des poutres peuvent encore être confondus avec leurs projections verticales !

2.2.1 Ligne d’influence d’une réaction d’appui Soit une poutre hyperstatique soumise à une charge verticale unitaire. Quelle est la Li de la réaction d’appui en D ?

Faisons une coupure relative à l’appui D et appliquons, séparément, la charge unitaire au point 2 d’une part, et une

réaction d’appui quelconque RD au point 1, d’autre part. Nous obtenons alors les deux déformées réelles suivantes :

La valeur de RD correspondant à la charge unitaire pourra se déduire de l’équation (vectorielle) de compatibilité :

d12 + d11 = 0. D’un autre côté, le théorème de Maxwell permet d’écrire : 1.d21 = RD.d12, ou, compte tenu de l’équation

précédente : − RD.d11 = 1.d21. Finalement, on obtient : 11

21D d

dR

−= .

Si on choisit d11 comme unité, RD est donc donné par le déplacement vertical d21 lu sous la charge unitaire. La déformée

de la poutre munie de la coupure, sous la réaction d’appui quelconque, lue à l’échelle de d11 fournira donc les valeurs de

RD pour une charge unitaire verticale se déplaçant sur la structure, c'est la ligne d’influence de RD ! Pour les raisons évoquées plus avant, les plages positives sont au-dessus de la ligne de repère.

+

−

+ Li de RD u

y

1

RD

d11

d21

1

d22 d12

A B C D

1 1

2


2.2.2 Ligne d’influence d’un moment de flexion Soit la même poutre hyperstatique. Quelle est la Li du moment dans une section S entre les appuis B et C ?

Faisons une coupure relative au moment dans la section S et appliquons, séparément, la charge unitaire au point 2 d’une

part, et deux moments égaux et opposés au point 1, d’autre part. Nous obtenons alors les deux déformées réelles suivantes :

La valeur de MS correspondant à la charge unitaire pourra se déduire de l’équation (vectorielle) de compatibilité :

d12 + d11 = 0. D’un autre côté, le théorème de Maxwell permet d’écrire : 1.d21 = MS.d12, ou, compte tenu de l’équation

précédente : − MS.d11 = 1.d21. Finalement, on obtient : 11

21S d

dM

−= .

Si on choisit d11 comme unité, MS est donc donné par le déplacement vertical d21 lu sous la charge unitaire. La déformée

de la poutre munie de la coupure, sous les deux moments égaux et opposés de valeur quelconque, lue à l’échelle de d11

fournira donc les valeurs de MS pour une charge unitaire verticale se déplaçant sur la structure, c'est la ligne

d’influence de MS ! Pour les raisons évoquées plus avant, les plages positives sont au-dessus de la ligne de repère.

−

+

−

Li de MS u

y

1

MS

d11

d21

1

d22

d12

S

A B C D

1

1 2


2.2.3 Ligne d’influence d’un effort tranchant Soit la même poutre hyperstatique. Quelle est la Li de l’effort tranchant dans une section S entre les appuis B et C ?

Faisons une coupure relative à l’effort tranchant dans la section S et appliquons, séparément, la charge unitaire au point 2 d’une part, et deux efforts tranchants égaux et opposés au point 1, d’autre part. Nous obtenons alors les deux déformées réelles suivantes :

La valeur de VS correspondant à la charge unitaire pourra se déduire de l’équation (vectorielle) de compatibilité :

d12 + d11 = 0. D’un autre côté, le théorème de Maxwell permet d’écrire : 1.d21 = VS.d12, ou, compte tenu de l’équation

précédente : − VS.d11 = 1.d21. Finalement, on obtient : 11

21S d

dV

−= .

Si on choisit d11 comme unité, VS est donc donné par le déplacement vertical d21 lu sous la charge unitaire. La déformée de la poutre munie de la coupure, sous les deux efforts tranchants égaux et opposés de valeur quelconque, lue à l’échelle de d11 fournira donc les valeurs de VS pour une charge unitaire verticale se déplaçant sur la structure, c'est la ligne

d’influence de VS ! Pour les raisons évoquées plus avant, les plages positives sont au-dessus de la ligne de repère.

2.3 Utilisation des lignes d’influence

Si l’on veut utiliser les lignes d’influence avec des charges réelles, il faut se servir du principe de superposition. L’effet

produit par n forces concentrées Qi placées au droit des ordonnées yi d’une Li sera alors donné par : ∑=

n

1i

ii u

yQ ,

l’effet produit par une charge répartie q(x) sur l’intervalle (a,b), par dx u

)x(y)x(q

b

a∫ et si cette charge est constante,

par :uS

.qdx u

)x(yq

b

a=∫ , avec S, la surface délimitée sous la ligne d’influence entre les abscisses a et b.

1

d22

d12

VS

d11

d21

S

A B C D

1

1 2


2.3.1 Combinaison des lignes d’influence Les lignes d’influence (dites primaires) peuvent être combinées selon les règles de la statique, pour obtenir d’autres lignes d’influence (dites secondaires). C’est ainsi que le théorème bien connu « des deux moments » et son corollaire peuvent s’écrire en termes « d’ordonnées de Li » ! Pour rappel le théorème et son corollaire permettent de trouver tout moment ou tout effort tranchant à une abscisse x d’un tronçon de poutre, en fonction de leurs valeurs « isostatiques » et en fonction des moments d’extrémités :

)x(MLx

ML

xLM)x(M isoDG ++

−= et )x(V

LMM

)x(V isoGD +

−=

Exemples :

Dans la poutre à deux travées égales L suivante, la ligne d’influence du moment à l’abscisse x dans la première travée

peut s’obtenir par la relation : )x(M de Li)M de Li(Lx

)x(M de Li isoB +=

Dans la même poutre sur trois appuis, la ligne d’influence de l’effort tranchant à l’abscisse x dans la première travée peut

s’obtenir par la relation : )x(V de Li)M de Li(L1

)x(V de Li isoB +=

A B C

x

Li de MB

Li de Viso(x)

Li de V(x) + −

−

A B C

x

Li de MB

Li de Miso(x)

Li de M(x) +

−

L

D

VD

MD

VG

MG G

x M(x)

V(x)


2.3.2 Utilisation de recueils de lignes d’influence Il existe de nombreux recueils de lignes d’influence de poutres continues, à plusieurs travées égales L et appuis indéformables. Ces recueils fournissent, sous formes de courbes et de tableaux, les ordonnées (y) ou ordonnées relatives (y/L) des lignes d’influence de dixième en dixième de la longueur L de chaque travée. Ils fournissent également les surfaces relatives (s/L) ou (s/L²), partielles ou totales, positives et négatives des lignes d’influence. Les ordonnées permettent de calculer les effets des charges concentrées et les surfaces ceux des charges uniformément réparties, et ce, quelle que soit la longueur des travées, pour autant qu’elles soient égales. Lorsqu’on utilise le recueil dont quelques extraits sont donnés ci-dessous, les formules donnant les effets sont alors les suivantes :

Charge concentrée Q Charge uniformément répartie q

Réaction Q.y q.l.(s/l) Moment Q.l.(y/l) q.l².(s/l²)

Exemples :

Remarque : malheureusement dans ce recueil, la déformée n’a pas toujours été dessinée dans le sens de l’effet positif

cherché, ce qui amène à des ordonnées positives en-dessous de la ligne de repère !

Li de Li de


2.4 Lignes d’influence de déplacements et rotations

Il est possible de déterminer les lignes d’influence d’effets géométriques tels que les déplacements et rotations. Imaginons que l’on cherche la Li du déplacement vertical d’une section S, sous l’action d’une charge verticale unitaire, dans la poutre hyperstatique suivante :

Une charge verticale unitaire appliquée au point 2 (état A) provoquera un déplacement d12 au point 1 (section S) ; une

charge unitaire appliquée au point 1 (état B) provoquera un déplacement vertical d21 au point 2.

Selon le théorème de Maxwell, le déplacement d12 sera égal au déplacement d21 : le déplacement de la section S sous une charge unitaire en 2, est donc donné par la déformée lue en 2 (sous la charge de l’état A) de la poutre dans l’état B (avec une charge unitaire en S). Cette dernière déformée est donc la ligne d’influence cherchée. Dès lors, « la ligne d’influence du déplacement d’une section S, projeté sur une direction déterminée ∆ , est donnée par la déformée du système sous l’action d’une force unitaire appliquée en S dans la direction ∆ ».

Il en va de même pour la Li de la rotation d’une section S sous l’action d’une charge verticale unitaire. Il suffit de généraliser le principe ci-dessus et d’appliquer un moment unitaire en S !

Le théorème de Maxwell permet alors d’écrire : 1.ϕ12 = 1.d21 ou ϕ12 = d21 : la rotation de la section S sous une charge unitaire en 2, est donc donné par la déformée lue en 2 (sous la charge de l’état A) de la poutre dans l’état B (avec un moment unitaire en S). Cette dernière déformée est donc la ligne d’influence cherchée. Dès lors, « la ligne d’influence de la rotation d’une section S est donnée par la déformée du système sous l’action d’un moment unitaire appliquée en S ».

S 1

d21

2 S1

d12

2

S1

d12

2 S1

d21

2

S1

1 2

Li de Li de

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BAC3 – COURS DE CALCUL DES STRUCTURES - … · 2017-03-30 · Lignes d’influence - Deh 2007 79 BAC3 – COURS DE CALCUL DES STRUCTURES LES LIGNES D’INFLUENCE INSTITUT HEMES