BAC3 – COURS DE CALCUL DES STRUCTURES - … STRUCTURE… · Méthode des forces - Deh 2007 66 BAC3 – COURS DE CALCUL DES STRUCTURES CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES La méthode

Méthode des forces - Deh 2007 66

BAC3 – COURS DE CALCUL DES STRUCTURES

CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

La méthode des forces

INSTITUT HEMES GRAMME

Ir. Jacques Dehard Professeur


1. Méthode des forces (ou des coupures)

La méthode des forces (ou des coupures) est une des méthodes générales de calcul des systèmes hyperstatiques. Elle consiste à choisir, et déterminer, des inconnues hyperstatiques qui, une fois calculées, permettent de trouver les efforts en tout point de la structure devenue isostatique. Elle est basée sur le principe de superposition des effets des actions, et constitue une analyse globale élastique, limitée dans le cadre de ces notes, aux structures planes chargées dans leur plan dont la section des poutres est telle que le centre de torsion coïncide avec le centre de gravité.

1.1 Définitions

Une structure est dite « statiquement déterminée » ou « isostatique » lorsque toutes les réactions d’appui et tous les efforts intérieurs peuvent être déterminés par les seules équations de la statique. Dans le cas contraire, lorsqu’il y a trop peu d’équations, la structure est dite « statiquement indéterminée » ou « hyperstatique ». Le « degré d’indétermination statique » ou « degré d’hyperstaticité h » d’une structure est alors égal au nombre de coupures simples nécessaires pour la rendre isostatique. Rappelons que l’hyperstaticité d’une structure peut provenir de liaisons surabondantes avec le monde extérieur (hyperstaticité extérieure), auquel cas les coupures simples seront relatives aux appuis. Mais que l’hyperstaticité peut aussi provenir de liaisons surabondantes à l’intérieur de la structure même (hyperstaticité intérieure), auquel cas les coupures simples seront relatives aux efforts intérieurs M, N, V. Le degré d’hyperstaticité total h est, bien sûr, égal à la somme du degré intérieur hi et extérieur he !

Chaque coupure simple i modifiant le système en supprimant la liaison relative à une composante de réaction inconnue ou à un effort intérieur (en réalité deux efforts égaux et opposés) inconnu, fait disparaître cette composante ou cet effort qui correspond à une inconnue hyperstatique. Le nombre total h de coupures simples à effectuer pour rendre la structure isostatique est donc égal au nombre d’inconnues hyperstatiques du problème.

La structure isostatique déduite de la structure réelle sera appelée « structure isostatique de référence S0 ». Il y a évidemment plusieurs structures isostatiques de référence possibles, pour la même structure de départ, puisque les coupures simples peuvent s’effectuer dans des sections quelconques. Il faudra néanmoins, faire particulièrement attention, en effectuant les coupures, à ne pas aboutir à un mécanisme !

On appellera Xj (j=1, 2, … h) les inconnues hyperstatiques. Aux coupures associées à ces efforts, peuvent exister, dans la structure isostatique de référence S0, sous un chargement de celle-ci, des déplacements di (i=1, 2, … h) appelés déplacements relatifs des bords de la coupure i. L’objectif de la méthode des forces (ou des coupures) est de déterminer les h inconnues hyperstatiques Xj d’une structure dont le degré d’hyperstaticité est h ! Exemples :

X1

h = 1, donc une seule coupure :

Déplacement relatif correspondant

X1 ou

X1 X2

d d

Déplacement relatif correspondant

h = 2, donc deux coupures :


1.2 Coefficients de flexibilité fij et coefficients fip

On appelle coefficient de flexibilité fij, le déplacement relatif des bords de la coupure i dans la direction i, dû à une force unité Xj = 1 agissant sur la coupure j, dans la direction j. Dans cette définition, les termes « force » et « déplacement » doivent être considérés au sens « généralisé ». Ainsi, en cas de coupure relative à un appui, Xj peut désigner une force proprement dite unitaire ou un moment unitaire, et en cas de coupure interne, Xj peut désigner une paire d’efforts intérieurs (M, N, ou V) unitaires ! De même, fij peut représenter le déplacement proprement dit, ou la rotation, associé à une coupure d’appui, ou le déplacement proprement dit relatif, ou la rotation relative, associé à une coupure interne ! Exemple :

Le coefficient de flexibilité fij représentant un déplacement dans la structure isostatique de référence, peut être calculé

par le théorème de la force unité : ∫∫∫ ++=str

0

jistr

0

jistr

0

jiij dx

'GA

VVdx

EI

MMdx

EA

NNf

où : Ni, Mi, Vi sont les équations des efforts intérieurs, dans la structure iso de référence, sous à une charge virtuelle unitaire Xi appliquée en i (afin d’y obtenir le déplacement relatif) ;

et : Nj, Mj, Vj sont les équations des efforts intérieurs, dans la structure iso de référence, sous l’inconnue hyperstatique unitaire Xj appliquée en j.

Il est important de noter qu’en vertu du théorème de réciprocité de Betty-Maxwell, fij = fji !

f12 X2 = 1

f22

f11 X1 = 1

f21

1 2

X4 X1

X3

X2

X1

X4

h = 4

ou

S0

X3 X2

ou

ou

S

X4

X3

X1 X2

X1 X3

X2

X4


On appelle coefficient fiP, le déplacement relatif des bords de la coupure i dans la direction i, produit par les forces extérieures appliquées. Dans cette définition, les termes « force » et « déplacement » doivent être considérés au sens « généralisé ». Ainsi, fiP peut représenter le déplacement proprement dit, ou la rotation, associé à une coupure d’appui, ou le déplacement proprement dit relatif, ou la rotation relative, associé à une coupure interne ! Exemple :

Le coefficient de flexibilité fiP représentant un déplacement dans la structure isostatique de référence, peut être calculé

par le théorème de la force unité : ∫∫∫ ++=str

0

Pistr

0

Pistr

0

PiiP dx

'GAVV

dxEIMM

dxEA

NNf

où : Ni, Mi, Vi sont les équations des efforts intérieurs, dans la structure iso de référence, sous à une charge virtuelle unitaire Xi appliquée en i (afin d’y obtenir le déplacement relatif) ;

et : NP, MP, VP sont les équations des efforts intérieurs, dans la structure iso de référence, dus à l’ensemble des forces extérieures appliquées.

1.3 Equation générale de la méthode des forces Considérons, à présent, la structure isostatique de référence chargée successivement et séparément par chaque inconnue hyperstatique Xj et par les forces réelles appliquées :

En vertu du principe de superposition, nous pouvons considérer la structure hyperstatique (de degré h) réelle comme la superposition des (h+1) états de la structure isostatique de référence, à condition d’imposer que les déplacements relatifs totaux des bords des coupures soient nuls, puisque dans la structure réelle, il n’y a pas de coupure ! Si nous considérons la coupure i dans la direction i, elle sera le siège d’un déplacement relatif total di, somme des déplacements produits par chaque force inconnue Xj, soit fij.Xj, et du déplacement dû aux forces extérieures appliquées, soit fiP. Ce déplacement relatif devant être nul, on pourra donc écrire :

0fXf iP

h

1j

jij =+∑=

pour tout i =1,2,…h.

f12X2 X2

f22X2

f11X1 X1 f21X1

f2P f1P

1 2

f2P f1P


On obtient ainsi, par cette condition, un système de h équations à h inconnues Xj. Ces équations traduisent la condition de compatibilité des déplacements aux h coupures et constituent les équations de la méthode des forces.

Ces dernières peuvent également s’écrire sous forme matricielle : [ ] [ ] [ ]AX.F = , avec :

- [ ]F : la matrice de flexibilité de la structure (tableau des coefficients fij), carrée hxh et symétrique ;

- [ ]X : le vecteur des inconnues hyperstatiques Xj ;

- [ ]A : le vecteur des déplacements fiP changés de signe.

Une fois les h inconnues déterminées, la structure à résoudre est devenue isostatique. La détermination des efforts intérieurs M,N,V dans la structure complète peut alors se faire de deux manières :

- soit en procédant, comme pour toute structure isostatique, par coupes et schémas rendus libres ; - soit par superposition des diagrammes des (h+1) structures isostatiques de référence, en remplaçant les forces

unitaires par les valeurs des inconnues hyperstatiques.

1.4 Détermination numérique des coefficients fij et fiP Pour les poutres essentiellement fléchies, il est usuel de négliger les déformations dues aux efforts normaux et aux efforts tranchants devant celles dues aux moments de flexion. Dans ce cas, les expressions des coefficients fij et fiP se ramènent

à : ∫=str

0

jiij dx

EI

MMf et à : ∫=

str

0

PiiP dx

EIMM

f .

Lorsqu’il s’agit de câbles ou de barres de treillis, ces éléments sont, uniquement ou principalement, le siège d’efforts

normaux. Les expressions des fij et fiP se réduiront alors à : ∫=str

0

jiij dx

EA

NNf et ∫=

str

0

PiiP dx

EANN

f .

Par ailleurs, on remarquera que toute intégrale intervenant dans les calculs des coefficients fij et fiP, fait appel à deux efforts pouvant être de signes différents. Les coefficients fij et fiP pourront donc être négatifs pour i ? j. Dans les applications numériques, le moment d’inertie de la section d’une poutre ou l’aire de la section d’un câble, sont souvent constants sur la longueur de l’élément. De plus, au vu des chargements habituellement considérés, les moments varient linéairement ou paraboliquement et les efforts normaux sont souvent constants ou peuvent être considérés comme

tels. Il a, dès lors, été intéressant de calculer une série d’intégrales de type ∫L

0 Mmdx , en fonction des grandeurs

caractéristiques des diagrammes rectangulaires, triangulaires, trapézoïdaux, et paraboliques, indépendamment des grandeurs EI ou EA (les fonctions M et m doivent être considérées avec leur signe relatif).




Exemples : Soit la poutre sur trois appuis suivante, soutenue, en plus, par un câble :

Ce système étant deux fois hyperstatique, nous effectuerons deux coupures. L’une sous forme de rotule dans la poutre, sur l’appui C, et l’autre, dans le câble. Les inconnues hyperstatiques correspondantes seront alors le moment dans la poutre au droit du deuxième appui et l’effort dans le câble :

On procède alors à la détermination des diagrammes des moments de flexion et des efforts normaux dans la structure isostatique de référence ; l’effet de l’effort normal dans la poutre étant négligé, seul le diagramme de l’effort normal dans le câble sera représenté :

D

C A

B 10m 10m 10m

6m EA=1,6.105 kN

EI=2.105 kNm2 p=15kN/m

D

C A

X2 X1

S0

B


Les expressions des fij et fiP fournissent alors les résultats suivants :

52211 10.510.1.

31

EI1

20.1.31

EI1

f −=

+

= , 42222

22 10.9356,2610.1EA1

10.)573,2.(31

EI1

2f −=

++

−= ,

[ ] 512 10.4325,610).15,0.2.(573,2.

61

EI1

10).573,2.(5,0.31

EI1

f −−=

+−+

−= ,

2P1 10.5,220.750.1.

31

EI1

f −=

= , 2

P2 10.0406,820.750).573,2.(125

EI1

f −−=

−=

La résolution du système : f11 X1 + f12X2 + f1P = 0 f21 X1 + f22X2 + f2P = 0 donne alors les valeurs : X1 = −205,581kNm et X2 = 228, 853kN

Soit le système à trois appuis suivant, complété par un câble :

Cette structure étant deux fois hyperstatique, nous effectuerons deux coupures. L’une en supprimant l’appui D, et l’autre, dans le câble. Les inconnues hyperstatiques correspondantes seront alors la réaction d’appui horizontale en D et l’effort dans le câble :

C

5m

D

A B 5m 5m

EA=4.104 kN

EI=6,5.104 kNm2 60 kN

NP=0

P

MPB=750kNm

D

C A

B MP et NP

D

C A

B

X1=1

M1 et N1

N1=0 M1C =1kNm

M2B=−2,573kNm

D

C A

B

N2=1kN X2=1

M2 et N2


On procède alors à la détermination des diagrammes des moments de flexion et des efforts normaux dans la structure isostatique de référence ; l’effet de l’effort normal dans les poutres étant négligé, seul le diagramme de l’effort normal dans le câble sera représenté :

Les expressions des fij et fiP fournissent alors les résultats suivants :

32211 10.9231,110.5.

31

EI1

5.5.31

EI1

f −=

+

= , 42222

22 10.1797,855.1EA1

5.)536,3.(31

EI1

2f −=

++

= ,

[ ] 312 10.02,15).5,25.2.(536,3.

61

EI1

5.536,3.5.31

EI1

f −=

++

= ,

[ ] 2P1 10.8846,25).55,2.2.(150

61

EI1

5.150.5,2.31

EI1

f −=

++

= , 3

P2 10.8,65.150.536,3.61

EI1

f −=

=

La résolution du système : f11 X1 + f12X2 + f1P = 0 f21 X1 + f22X2 + f2P = 0 donne alors les valeurs : X1 = −31,277kN et X2 = 30, 689kN

1.5 Cas particuliers

1.5.1 Les treillis plans Si la structure est un treillis plan, les efforts normaux dans les n barres du treillis sont constants le long de ces barres, de même que l’aire de leur section. Les intégrales des expressions des fij et fiP se réduisent alors, pour chaque barre, à la

longueur de celle-ci ; on peut alors écrire : ∑=

=n

1k

kk

jiij L

EA

NNf et ∑

=

=n

1k

kk

PiiP L

EANN

f avec :

- Ni : les efforts normaux dans les barres du treillis S0 sous un effort virtuel unitaire Xi ; - Nj : les efforts normaux dans les barres du treillis S0 sous l’inconnue hyperstatique unitaire Xj ; - NP : les efforts normaux dans les barres du treillis S0 sous les charges extérieures appliquées.

D

C A

B

X2 X1 S0

B M2C=3,536 kNm

C A

X2=1 M2 et N2

N2=1kN

MPB=150kNm

D

C A

B

P

MP et NP

NP=0

M1C= 5kNm

D

C A B

X1=1 M1 et N1 N1=0

D


Exemple : Soit le treillis suivant :

Ce treillis étant deux fois hyperstatique, nous effectuerons deux coupures : une dans chacune des diagonales n° 4 et 9. Les inconnues hyperstatiques correspondantes seront les efforts dans ces mêmes diagonales n° 4 et 9.

On procède alors, de façon classique, au calcul des efforts, dans chaque barre, pour chacune des trois structures isostatiques précédentes :

N° barre Longueur barre Effort N1 sous X1=1 Effort N2 sous X2=1 Effort NP sous P 1 L 21− 0 3P

2 L.2 1 0 P.2− 3 L 21− 0 −2P

4 L.2 1 0 0

5 L 21− 21− P

6 L 0 21− 2P

7 L.2 0 1 P.2− 8 L 0 21− −P

9 L.2 0 1 0

10 L 0 21− P

11 L 0 0 P 12 L.2 0 0 P.2−

Le calcul des fij et fiP donne alors : EAL

328,4LEA

)N(f

12

1k

k

2k,1

11 == ∑=

, EAL

5,0LEA

NNff

12

1k

kk,2k,1

2112 === ∑=

,

EAL

828,4LEA

)N(f

12

1k

k

2k,2

22 == ∑=

, EAPL

414,3LEA

NNf

12

1k

kk,Pk,1

P1 −== ∑=

, EAPL

121,4LEA

NNf

12

1k

kk,Pk,2

P2 −== ∑=

.

La résolution du système : f11 X1 + f12X2 + f1P = 0 f21 X1 + f22X2 + f2P = 0 donne alors les valeurs : X1 = 0,781P et X2 = 0,699P

X2 X1 P S0

X1=1

4

7 2

3

5

6

9

8

11

10 12

1

1

X2=1

4

7 2

3

5

6

9

8

11

10 12

1

1 4

7 2

3

5

6

9

8

11

10 12

1

P

4

7 2

3

5

6

9

8

11

10 12

1

P

L L L

L


1.5.2 Les effets thermiques Une structure hyperstatique possédant des liaisons surabondantes, est, de ce fait, empêchée de se dilater (ou se contracter) librement lorsqu’elle est soumise à des variations uniformes de température ou à des gradients thermiques. Ce bridage a pour effet de faire naître des efforts intérieurs dans la structure (à l’opposé d’une structure isostatique, qui subit, elle, des déformations sans apparition d’efforts internes). Les inconnues hyperstatiques dues à cette cause peuvent se déterminer par la méthode des forces. La seule différence avec les applications précédentes, est que les déplacements fiP dus aux charges extérieures, aux coupures i de la structure isostatique de référence S0 , sont, cette fois, provoqués par les variations de températures et notés fiT ! Les deux croquis suivants représentent, d’une part, les accroissements de températures (par rapport à la température de construction, habituellement admise égale à 10°) dans un petit élément de poutre de longueur dx, et, d’autre part, les déformations que celui-ci subit du fait de ces accroissements de températures :

L’accroissement moyen de température T0 provoque la dilatation (ou la contraction) du de l’élément dx, tandis que le gradient de température ∆T = (Tsup −Tinf) provoque une rotation dφ de la section. On a alors les relations suivantes :

0T.dxdu

α= , avec α le coefficient de dilatation thermique du matériau et h

T.dxd

∆α

−=φ

(le signe négatif

correspondant au fait qu’un ∆T positif provoque une courbure correspondant à un moment négatif).

L’expression du coefficient ∫∫ +=str

0

Pistr

0

PiiP dx

EIMM

dxEA

NNf devient alors, compte tenu que :

0Tdxdu

EAN

α== , et que h

Tdxd

EIM

∆α

−=φ

= ,

∫∫ ∆α−+α=

str

0 i

str

0 0iiT dx

hT

.MdxT.Nf

1.5.3 Les déplacements imposés d’appuis Pour les mêmes raisons de bridage qu’évoquées dans le cas des effets thermiques, les structures hyperstatiques sont le siège d’efforts intérieurs lorsque certains de leurs appuis subissent des mouvements différentiels. Les inconnues hyperstatiques dues à cette cause peuvent se déterminer par la méthode des forces, mais deux situations sont possibles : - des coupures sont effectuées pour correspondre aux déplacements d’appuis

dans ce cas, il suffira d’égaler les équations de la méthode des forces qui correspondent à ces coupures, non pas à zéro, mais bien à la valeur du déplacement d’appui ! Le signe de ce déplacement imposé sera positif s’il va dans le même sens que celui dû à la réaction inconnue hyperstatique correspondante !

- le système de coupures n’inclut pas les appuis qui subissent des mouvements dans ce cas, il faudra substituer aux déplacements fiP dus aux charges extérieures aux coupures i de la structure isostatique de référence S0 , les déplacements relatifs fiA des bords de ces mêmes coupures, dus, cette fois, aux mouvements d’appuis. Ces déplacements se déterminent par voie directe, à partir de considérations géométriques et en considérant qu’un fiA est positif s’il se produit dans le même sens que le déplacement dû à l’effort unitaire Xi correspondant !

Exemple :

∆T = (Tsup −Tinf)

(Tsup− T0)

Tinf (Tinf − T0)

T0

=

Tsup

h

dx

Tinf

+

Tsup

T0

Tsup

h

dx

Tinf dφ

du


On déterminera aisément : 2

1A Lf

∆= ,

322A LL

f ∆

−∆

−= et 3

A3 Lf

∆= .

1.5.4 Les appuis élastiques ou ressorts Les coefficients fij prennent implicitement en compte la déformabilité éventuelle d’appuis élastiques (ressorts), car leur définition n’a impliqué aucune hypothèse quant au caractère indéformable des appuis ! La méthode des forces est donc valable pour résoudre des structures possédant de tels appuis. Si l’on prend la précaution de choisir les réactions d’appui fournies par ces ressorts comme inconnues hyperstatiques, il suffira, alors, d’égaler chaque déplacement total di au droit des appuis élastiques (c'est-à-dire la somme des déplacements produits par chaque force inconnue Xj et par les forces extérieures appliquées), non pas à zéro, mais bien à la valeur du déplacement d’appui ! Cette valeur du déplacement d’appui est proportionnelle à la réaction, en

vertu de la formule des ressorts, et est égale à k

Xd j

i −= , avec k la constante de ressort de l’appui concerné (le signe

négatif correspond au fait que le déplacement se fait dans le sens opposé à celui de la réaction choisie comme inconnue hyperstatique). Dans cette formule, le déplacement di peut représenter aussi bien une translation qu’une rotation, associée à une réaction Xj « force » ou « moment » !

On obtient alors, pour les coupures relatives aux appuis élastiques, des équations du type : k

XfXf j

iP

h

1j

jij −=+∑=

Il est clair que cette méthode est facile à appliquer si le nombre d’appuis élastiques est plus petit ou égal au degré d’hyperstaticité de la structure. Dans le cas contraire, la structure isostatique de référence comportera elle-même des appuis élastiques, dont il faudra tenir compte dans le calcul des déplacements relatifs des bords des coupures, ce qui est moins aisé !

X1 X2 X3

f2A

f3A

f1A ∆

∆: tassement d’appui L1 L2 L3 L4

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