Baccalauréat S 1998 L’intégrale d’avril à décembre 1998 · [Baccalauréat S 1998 \ L’intégrale d’avril à décembre 1998 Pour un accèsdirectcliquez sur les liens bleus

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[ Baccalauréat S 1998 \

L’intégrale d’avril à décembre 1998Pour un accès direct cliquez sur les liens bleus

Pondichéry avril 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Amérique du Nord juin 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Antilles-Guyane juin 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Asie juin 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Centres étrangers juin 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

La Réunion juin 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

Métropole juin 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

Polynésie juin 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Antilles-Guyane septembre 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Métropole septembre 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Polynésie septembre 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

Sportifs de haut-niveau octobre 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Amérique du Sud novembre 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

Nouvelle-Calédonie décembre 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

Tapuscrit : Denis Vergès

Baccalauréat S : l’intégrale de mars à décembre 1998 A. P. M. E. P.

2

[ Baccalauréat C Pondichéry avril 1998 \

EXERCICE 1 4 POINTS

1. On dispose d’une urne U1 contenant trois boules rouges et sept boules noires.

On extrait simultanément deux boules de cette urne ; on considère que tousles tirages sont équiprobables.

a. Quelle est la probabilité p1 que les deux boules tirées soient rouges ?

b. Quelle est la probabilité p2 que les deux boules tirées soient noires ?

c. Quelle est la probabilité p3 que les deux boules tirées soient de mêmecouleur ?

d. Quelle est la probabilité p4 que les deux boules tirées soient de couleursdifférentes ?

2. On dispose aussi d’une deuxième urne U2 contenant quatre boules rouges etsix boules noires.

On tire maintenant deux boules de l’urne U1 et une boule de l’urne U2 ; onsuppose que tous les tirages sont équiprobables.

On considère les évènements suivants :

R : « Les trois boules tirées sont rouges »

D : « Les trois boules tirées ne sont pas toutes de la même couleur »

B : la boule tirée dans l’urne U2 est rouge ».

a. Calculer la probabilité de l’évènement R.

b. Quelle est la probabilité de tirer trois boules de même couleur ?

c. Calculer la probabilité conditionnelle pD(B) de l’évènement B sachantque l’évènement D est réalisé.

Exercice 2 5 pointsEnseignement obligatoire

On considère le polynôme P(z) = z4+17 z2−28 z+260, où z est un nombre complexe.

1. Déterminer deux nombres réels a et b tels que :

P(z) =(

z2 +az +b)(

z2 +4z +20)

.

2. Résoudre dans C l’équation P(z)= 0.

3. Placer dans un repère orthonormal direct(

O,−→u ,

−→v

)

, les images M, N, P et

Q des nombres complexes respectifs m = −2+ 4i, n = −2− 4i, p = 2+ 3i etq = 2−3i.

4. a. Déterminer le nombre complexe z vérifiantz −p

z −m= i. Placer son image

K.

b. En déduire que le triangle MPK est isocèle rectangle en K.

4. a. Déterminer par le calcul l’affixe du point L, quatrième sommet du carréMKPL.

b. Déterminer l’abscisse du point d’intersection R de la droite (KL) et de l’axedes abscisses.

c. Montrer que M, N, P et Q sont sur un même cercle de centre R.

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

Problème 11 points

On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par

f (x) =ex −1

xex +1

On désigne par C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère ortho-

normal(

O,−→ı ,

−→

)

; unité graphique : 4 cm.

Partie A

⋆ étude d’une fonction auxiliaire

Soit la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par

g (x) = x +2−ex .

1. Étudier le sens de variation de g sur [0 ; +∞[ et déterminer la limite de g en+∞.

2. a. Montrer que l’équation g (x) = 0 admet une solution et une seule dans[0 ; +∞[.

On note α cette solution.

a. Prouver que 1,14 <α< 1,15.

2. En déduire le signe de g (x) suivant les valeurs de x.

Partie B

⋆ Étude de la fonction f et tracé de la courbe C

1. a. Montrer que, pour tout x appartenant à [0 ; +∞[,

f ′(x) =ex g (x)

(xex +1)2.

b. En déduire le sens de variation de la fonction f sur [0 ; +∞[.

2. a. Montrer que pour tout réel positif x,

f (x) =1−e−x

x +e−x

b. En déduire la limite de f en +∞. Interpréter graphiquement le résultattrouvé.

3. a. Établir que f (α) =1

α+1.

b. En utilisant l’encadrement de α établi dans la question A.2., donner unencadrement de f (α) d’amplitude 10−2.

4. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe C au point d’abscisse0.

5. a. Établir que, pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; +∞[,

f (x)− x =(x +1)u(x)

xex +1avec u(x) = ex − xex −1.

b. Étudier le sens de variation de la fonction u sur l’intervalle [0 ; +∞[. Endéduire le signe de u(x).

c. Déduire des questions précédentes la position de la courbe C par rapportà la droite (T).

6. Tracer C et (T).

Pondichéry 4 avril 1998


Partie C

⋆ Calcul d’aire et étude d’une suite

1. Déterminer une primitive F de f sur [0 ; +∞[ ; on pourra utiliser l’expressionde f (x) établie dans la question B. 2.

2. On note D le domaine délimité par la courbe C , la tangente (T) et les droitesd’équations x = 0 et x = 1.

Calculer, en cm2, l’aire A du domaine D.

Donner une valeur décimale au mm2 prés de l’aire A .

3. Pour tout entier naturel n, on pose

vn =∫n+1

nf (x) dx

a. Calculer v0, v1 et v2.

On donnera des valeurs décimales approchées à 10−2 prés de v0, v1 et v2.

b. Interpréter graphiquement vn .

c. Montrer que, pour tout n > 2,

f (n+1)6∫n+1

nf (x) dx 6 f (n)

En déduire la monotonie de la suite (vn) à partir de n = 1.

d. Déterminer la limite de la suite (vn).

Pondichéry 5 avril 1998

[ Baccalauréat C Amérique du Nord juin 1998 \

EXERCICE 1 5 POINTS

Afin de créer une loterie, on met dans une urne n billets différents (n supérieur ouégal à 3), dont deux et deux seulement sont gagnants.

1. Dans cette question, on choisit au hasard et simultanément deux billes dansl’urne.

a. On suppose ici n = 10. X désigne la variable aléatoire qui donne le nombrede billets gagnants parmi les deux choisis. Déterminer la loi de probabi-lité de X .

b. On revient au cas général avec n supérieur ou égal à 3. Calculer la pro-babilité notée pn , d’avoir exactement un billet gagnant parmi des deuxchoisis.

2. Dans cette question, on choisit au hasard deux billets dans cette urne en re-mettant le premier bilet tiré avant de tirer le second.

a. On suppose ici n = 10. Y désigne la variable aléatoire qui donne le nombrede billets gagnants parmi les deux choisis. Déterminer la loi de probabi-lité de Y .

b. On revient au cas général avec n supérieur ou égal à 3. Calculer la pro-babilité, notée qn d avoir exactement un billet gagnant parmi les deuxchoisis.

3. a. Montrer que pour tout n supérieur ou égal à 3, on a :

pn −qn =4(n−2)

n2(n−1).

b. En remarquant que pour tout entier n, n−2 est inférieur à n−1, détermi-ner un entier naturel n0 tel que pour tout n supérieur ou égal à n0, on aitpn −qn < 10− 3.

c. Pour obtenir exactement un billet gagnant en choisissant deux billets decette loterie, est-il préférable de les tirer simultanément ou de les tirer l’unaprés l’autre en remettant le premier billet tiré ?

Exercice 2 5 points

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct(

O,−→u ,

−→v

)

, (unité

graphique : 4 cm), on donne les points A et B d’affixes respectives 1 et1

2− i

p3

2.

Pour chaque point M du plan, d’affixe z, M1 d’affixe z1, désigne l’image de M par la

rotation de centre O et d’angleπ

3, puis M ′ d’affixe z ′ l’image de M1 par la translation

de vecteur − −→u .

Enfin, on note T la transformation qui à chaque point M associe le point M ′.

1. a. Démontrer : z ′ = ei π3 z −1.

b. Déterminer l’image du point B.

c. Montrer que T admet un unique point invariant dont on précisera l’affixe.

2. On pose z = x + iy , avec x et y réels.

a. Pour z non nul, calculer la partie réelle du quotientz ′

zen fonction de x et

de y .


b. Démontrer que l’ensemble (E), des points M du plan tels que le triangleOM M ′ soit rectangle en 0, est un cercle (C), dont on précisera le centre etle rayon, privé de deux points. Tracer (E).

3. Dans cette question on pose z = 1+ i.

a. Vérifier que M appartient à (E). Placer M et M ′ sur la figure.

b. Calculer le module de z ′.

c. Calculer l’aire, en cm2, du triangle OM M ′.

Problème 10 points

On désigne par n un entier supérieur ou égal à 2 et on considère les fonctions, notéesfn , qui sont définies pour x appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

f (x) =1+n ln x

x2.

Partie AI. Étude des fonctions fn

1. Calculer f ′n(x) et montrer que l’on peut écrire le résultat sous la forme d’un

quotient dont le numérateur est n−2−2n ln x.

2. Résoudre l’équation f ′n (x) = 0. Étudier le signe de f ′

n (x).

3. Déterminer la limite de fn en +∞.

4. Établir le tableau de variations de la fonction fn et calculer sa valeur maxi-male en fonction de n.

II. Représentation graphique de quelques fonctions fn .

Le plan est rapporté à un repère orthonormal(

O,−→ı ,

−→

)

, (unité graphique : 5 cm).

On note Cn la courbe représentative de la fonction fn dans ce repère.

1. Tracer C2 et C3.

2. a. Calculer fn+1(x)− fn (x) . Cette différence est-elle dépendante de l’entiern ?

b. Expliquer comment il est possible de construire point par point la courbeC4 à partir de C2 et tracer C3. Tracer C4.

Partie B : Calculs d’aires

1. Calculer en intégrant par parties, l’intégrale I =∫e

1ln x dx.

2. En déduire l’aire, en unités d’aire, du domaine plan limité par les courbes Cn ,Cn+1 et les droites d’équation x = 1 et x = e.

3. On note An l’aire, en unités d’aire, du domaine plan limité par la courbe Cn ,et les droites d’équation y = 0, x = 1 et x = e.

a. Calculer A2.

b. Déterminer la nature de la suite An en précisant l’interprétation graphiquede la raison.

Partie C : Étude sur l’intervalle ]1 ; +∞[ de l’équation fn (x) = 1

Dans toute la suite, on prendra n > 3.

1. a. Vérifier que pour tout n, en−22n > 1 et fn

(

en−22n

)

> 1.

b. Vérifier que l’équation fn (x) = 1 n’a pas de solution sur l’intervalle]

1 ; en−22n

[

.

Amérique du Nord 7 juin 1998


2. Montrer que l’équation fn (x) = 1 admet sur l’intervalle[

en−22n ; +∞

[

exacte-

ment une solution notée αn .

3. On se propose de déterminer la limite de la suite αn .

a. Calculer f(p

n)

et montrer que pour tout n > e2, on a fn

(pn

)

> 1.

b. En déduire que, pour n > 8, on a αn >p

n et donner la limite de la suite(αn).

Amérique du Nord 8 juin 1998

[ Baccalauréat C Antilles–Guyane juin 1998 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Un jeu de dominos est fabriqué avec les sept couleurs : violet, indigo, bleu, vert,

jaune, orange, rouge. Un domino se compose de deux cases portant chacune l’unedes sept couleurs. Chaque couleur peut figurer deux fois sur le même domino : c’estun double.

1. Montrer que le jeu comporte 28 dominos différents. Les 28 dominos, indis-cernables au toucher, sont mis dans un sac.

2. On tire simultanément trois dominos du sac.

Quelle est la probabilité d’obtenir exactement deux doubles parmi ces troisdominos ?

3. Dans cette question, on tire un seul domino. Calculer la probabilité des évè-nements suivants :

a. J2 : « Le jaune figure deux fois »

b. J1 : « Le jaune figure une seule fois »

c. J : « Le jaune figure au moins une fois »

4. On effectue n tirages successifs d’un domino, en notant à chaque tirage la(ou les) couleur(s) obtenue(s) avant de remettre dans le sac le domino tiré etde procéder au tirage suivant ; les tirages sont indépendants.

Calculer, en fonction de n, la probabilité pn , que J soit réalisé au moins unefois.

Calculer la plus petite valeur de l’entier naturel n pour laquelle pn > 0,99.

EXERCICE 2 5 POINTS

Partie A On considère le polynôme P de la variable complexe z défini par :

P (z) = z4 +2p

3z3 +8z2 +2p

3z +7

1. a. Calculer P (i) et P (−i) .

b. Montrer qu’il existe un polynôme Q du second degré, que l’on détermi-nera, tel que :

pour tout z ∈C, P (z) =(

z2 +1)

Q (z)

2. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation P (z) = 0.

Partie B

Le plan est rapporté au repère orthonormal direct(

O,−→u ,

−→v

)

(unité graphique 2 cm).

1. Placer dans ce repère les points A, B, C et D d’affixes respectives zA = i,

zB =−i, zC =−p

3 et zD =−p

3−2i.

Montrer que ces quatre points appartiennent au cercle de diamétre [CD].

2. Montrer qu’il existe une rotation de centre O qui transforme C en D. Calcu-ler une valeur entiére approchée à un degré prés d’une mesure de l’angle decette rotation.

3. Calculer, sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique, le rap-port :

zB − zC

zA − zC

Interpréter géométriquement le module et l’argument de ce rapport.


PROBLÈME 11 POINTS

Partie A : étude de fonctions

On considère les fonctions f1, f2, f3 définies sur R par :

f1 (x) = (x +1) e−x f2 (x) =−xe−x f3 (x) = (x −1) e−x

On appelle C1, C2, C3 leurs courbes représentatives respectives dans un repère or-

thogonal(

O,−→ı ,

−→

)

du plan. Les courbes C2 et C3 sont données sur le graphique

ci-dessous.

1. Étude de la fonction f1

a. Calculer la dérivée f ′1 de f1 et étudier son signe. En déduire les variations

de f1.

b. Déterminer les limites de f1 en +∞, en −∞.

c. Dresser le tableau de variation de f1.

2. Étude graphique.

a. Identifier sur la figure donnée les courbes C2 et C3 et placer sur le dessin

le repère(

O,−→ı ,

−→

)

.

b. Étudier la position relative des courbes C1 et C3.

c. Tracer C1 dans le même repère que C2 et C3 sur la figure fournie.

3. Étude d’équations différentielles.

a. Montrer que f1 est solution de l’équation différentielle :

(E1) y ′+ y = e−x

b. Montrer que f1 est aussi solution de l’équation différentielle :

(E2) y ′′+2y ′+ y = 0

c. Déterminer toutes les solutions de l’équation différentielle (E2) . En dé-duire que f2 et f3 sont aussi des solutions de (E2) .

d. Parmi les solutions de (E2) , quelles sont celles qui sont aussi solutions de(E1) ?

Partie B : étude d’aires liées à C1 et C2

Pour n entier strictement positif, on appelle Mn le point de C3 d’abscisse n ln 2. Onpose :

f (x) = f1 (x)− f3 (x)

pour tout x réel.

1. Calculer, en unités d’aire, l’aire Un du domaine plan limité par la courbe C3,la courbe C1 et les segments [Mn Pn] et [Mn+1Pn+1] pour n > 0. Pn et Pn+1

sont les projections orthogonales respectives de Mn et Mn+1 sur(

O ;−→ı

)

.

2. Calculer, en unités d’aire, l’aire Vn du trapèze Pn Mn Mn+1Pn+1 pour n > 0.

Montrer que le rapportVn

Unest constant.

Antilles–Guyane 10 juin 1998


Annexe

−→ı

−→

O

Antilles–Guyane 11 juin 1998

[ Baccalauréat C Asie juin 1998 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Le plan complexe P est rapporté à un repère direct(

O,−→u ,

−→v

)

, ayant comme unité

graphique 3 cm. Les nombres complexes z1, z2, z3, z4, z5 et z6 que l’on va calculerdans cet exercice seront tous exprimés sous forme algébrique et sous forme expo-nentielle

(

ρeiθ)

.

1. Résoudre dans C l’équation :

z2 − zp

3+1 = 0.

On pose z1 =p

3+ i

2et z2 =

p3− i

2. Exprimer z1 et z2 sous forme exponen-

tielle et placer les points M1 et M2 d’affixes respectives z1 et z2 dans le planP .

2. Soit r la rotation de centre O et d’angle2π

3.

Calculer l’affixe z3 du point M3 = r (M2). Placer M3 sur la figure précédente.

3. Soit t la translation dont le vecteur ~w a pour affixe −p

3+ i

2.

Calculer l’affixe z4 du point M4 = t(M2).

Placer M4 sur la figure.

4. Soient z5 =i

2(1+ i

p3) et z6 =

2

i−p

3.

Exprimer z5 et z6 sous forme algébrique et sous forme exponentielle.

Placer les points M5 et M6 d’affixes respectives z5 et z6 sur la figure.

5. a. Calculer z6k

pour k ∈ 1, 2, 3, 4, 5, 6.

b. Écrire z6+1 sous forme d’un produit de trois polynômes du second degréà coefficients réels. Justifier cette écriture.

EXERCICE 2 4 POINTS

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.N* est l’ensemble des entiers strictement positifs.

Pour tout entier n de N⋆, on considère l’intégrale : In =

∫e

1(ln x)n dx.

1. a. Démontrer que pour tout x dans l’intervalle ]1 ; e[, et pour tout n entiernaturel, on a :

(ln x)n − (ln x)n+1 > 0

b. En déduire que la suite (In ) est décroissante.

2. a. Calculer I1 à l’aide d’une intégration par parties.

b. Démontrer à l’aide d’une intégration par parties que, pour tout n ∈ N*,In = e− (n+1)In .

c. En déduire I2, I3 et I4. Donner les valeurs exactes, exprimées en fonctionde e, et les valeurs approchées à 10−3 prés par défaut.

3. a. Démontrer que, pour tout n ∈N*, In > 0.

b. Démontrer que, pour tout n ∈N*, (n+1)In 6 e.

c. En déduire la limite de In .

d. Déterminer la valeur de nIn + (In + In+1) et en déduire la limite de nIn .


EXERCICE 2 4 POINTS

Enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormal(

O,−→ı ,

−→

)

, l’unité graphique étant 1cm.

1. Soit (C ) la courbe dont une représentation paramétrique est :

x = f (t) =1

2

(

t 2 +2)

y = g (t) =1

2

(

t 3 +2t)

, t ∈R

a. Montrer que (C ) est symétrique par rapport à l’axe des abscisses.

b. Étudier conjointement les variations des fonctions f et g sur [0 ; + ∞[.

c. Préciser la tangente au point de paramètre t = 0.

d. Tracer la courbe (C ).

2. Soit (P ) la parabole d’équation y2 = 4x.

a. Tracer (P ) dans le même repère que (C ).

b. Vérifier qu’une représentation paramétrique de (P ) est :

x(t) = t 2

y(t) = 2t, t ∈R

c. Soit (Dt ) la tangente à (P ) au point Mt de coordonnées (x(t) ; y(t)).

Soit (∆t ) la perpendiculaire à (Dt ) au point Mt . Montrer qu’une équationcartésienne de (∆t ) est :

Y =− t X + t 3 +2t .

d. Pour t ∈ R⋆, (∆t ) coupe l’axe des abscisses en un point At et l’axe des

ordonnées en un point Bt . On appelle It le milieu du segment [At Bt ].

Exprimer en fonction de t les coordonnées du point It .

PROBLÈME 11 POINTS

I

Soit la fonction g définie sur R, qui à tout x associe :

g (x) = ex (x −1)+ x2 .

1. a. Montrer que la dérivée de la fonction g sur R est

g ′(x) = x(ex +2)

b. Déterminer les limites de g en +∞ et en −∞.

c. Étudier le signe de g ′(x) sur R, et dresser le tableau de variation de g surR.

2. Montrer que l’équation : g (x) = 0 admet une solution α et une seule sur l’in-

tervalle [0 ; +∞[. Montrer que α est dans l’intervalle I=[

1

2; 1

]

.

II

Asie 13 juin 1998


Soit la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par :

f (x) =ex

ex + x

1. Montrer que les équations : f (x) = x et g (x) = 0 sont équivalentes sur [0 ; +∞[,et que, par suite, l’équation f (x) = x admet α pour solution unique sur I.

2. a. Calculer la dérivée de f et en déduire le sens de variation de f sur [0 ; +∞[.

b. Déterminer la limite de f en +∞[.

c. Dresser le tableau de variation de f .

d. Construire la courbe représentative C de f sur [0 ; +∞[ dans un repèreorthonormal (unité 2 cm). On indiquera en particulier les tangentes à C

aux points d’abscisses 0 et 1.

III

1. Montrer que, pour tout x appartenant à I , f (x) appartient à I .

2. Soit la suite (un )u∈N définie par

u1 =1

2un = f (un−1) pour tout n > 1

a. Montrer que, pour tout n ∈N⋆, un ∈ I .

b. Montrer que, pour tout x ∈ I , | f ′(x)|61

2.

c. En appliquant le théorème de l’inégalité des accroissements finis, démon-trer que :

pour tout n > 1, |un −α|61

2|un−1 −α|.

d. En déduire, par un raisonnement par récurrence, que pour tout n ∈N∗, |un−

α|6(

1

2

)n

.

e. En déduire que (un ) converge vers α.

f. A priori, combien suffit-il de calculer de termes de la suite pour obtenirune valeur approchée de α à 10−7 prés ?

3. En utilisant la décroissance de f , montrer queα est compris entre deux termesconsécutifs quelconques de la suite. En déduire un encadrement de α d’am-plitude 10−7.

Asie 14 juin 1998

[ Baccalauréat C Centres étrangers juin 1998 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Commun à tous les candidats

Une urne contient 5 boules blanches et 4 boules rouges indiscernables au toucher.On effectue n tirages successifs (n entier supérieur ou égal à 1) d’une boule en res-pectant la régle suivante :- si la boule tirée est rouge, on la remet dans l’urne ;- si elle est blanche, on ne la remet pas.Les parties A et B sont indépendantes.Partie A

Dans cette partie n = 3. On donnera les résultats sous forme de fractions irréduc-tibles.Si k est un entier compris entre 1 et 3, on note Ek l’évènement « seule la k-ièmeboule tirée est blanche ». Par exemple, E1 est l’évènement « seule la premiére bouletirée est blanche ».

1. Montrer que la probabilité de l’évènement E1 est p(E1) =5

36.

2. Calculer les probabilités des évènements E2 et E3. En déduire la probabilitéqu’on ait tiré une seule boule blanche à l’issue des trois tirages.

3. Sachant que l’on a tiré exactement une boule blanche, quelle est la probabi-lité que cette boule ait été tirée en dernier ?

Partie B

On effectue maintenant n tirages.

1. Déterminer, en fonction de n, la probabilité pn de tirer au moins une bouleblanche en n tirages.

2. Quelles valeurs faut-il donner à n pour que pn > 0,99?

Exercice 2 4 points)Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct(

O,−→u ,

−→v

)

. L’unité gra-

phique est de 3 cm.On considère les points B, C, D, E définissant le carré de sens direct BCDE d’affixesrespectives :

b = 1− i ; c =−1− i ; d =−1−3i ; e = 1−3i

1. Calculer |b|, |c|, |d | et |e|.2. Soit Γ le cercle de centre O passant par B. Déterminer une équation du cercle

Γ. On considère Q un point de Γ distinct de B et C. L’affixe de Q est notéeq = x + iy (avec x et y réels).

3. Soient F et G les points du plan tels que QBFG soit un carré de sens direct,

c’est-à-dire tels que(−−→QB ,

−−→QG

)

=+π

2. On pose Z =

g −q

b −qoù g est l’affixe du

point G.

Interpréter géométriquement le module et un argument de Z . En déduire Z .

4. Prouver que g = (1+ x + y)+ i(1− x + y). En déduire |g | en fonction de x et y .

5. En utilisant la question 2), exprimer |g | en fonction de x et y .


6. À l’aide de considérations géométriques, prouver que : I f | = |g |, f étant l’af-fixe du point F .

7. Pour quelles valeurs de x et de y les points E, D, G et F sont-ils sur un cerclede centre O ?

Préciser le rayon de ce cercle. En déduire alors la nature du triangle QBC.

Exercice 2 5 pointsCandidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : où on construit un triangle équilatéral.

On considère la figure suivante où (∆) et (D) sont deux droites paralléles et A unpoint situé entre les deux droites et n’appartenant à aucune d’entre elles.

(D)

(∆)

A

On se propose de construire un triangle équilatéral ABC tel que B et C appartiennentrespectivement aux droites (D) et (∆).

Dans toute la suite, on note R la rotation de centre A et d’angle +π

3.

1. On considère la droite (D ′) image de (D) par la rotation R. Montrer que (D ′)coupe (∆). On note C le point d’intersection de (D’) de (∆).

2. Soit B = R− 1(C). Montrer que le triangle ABC répond au probléme posé.

3. Construire la droite(

D ′) et placer les points B et C.

Partie B : où on calcule l’aire de ce triangle équilatétal. Soit O le projeté orthogonal

de A sur la droite (D). Le plan est rapporté au repère orthonormal direct (O ,−→u ,

−→v )

où−→u est un vecteur directeur de (D) et

−→v est choisi de sorte que le point A ait pour

affixe ai (a réel positif).On note α la distance du point A à la droite (∆). Soit B un point de (D) d’affixe zB, (zB

est réel). On appelle zC l’affixe du point C image de B par la rotation R.

1. Montrer que zC =1

2

(

zB +ap

3)

+i

2

(

a + zBp

3)

.

2. En déduire que le point C appartient à la droite (∆) si et seulement si

zB =1p

3(a +2α).

Dans la suite, on prendra cette valeur pour zB.

3. Exprimer AB2 en fonction de a et de α.

En déduire que l’aire du triangle équilatéral ABC est S =p

3

3(a2 +aα+α2).

Problème 11 points

Le but du probléme est l’étude d’une fonction gk , où k est un réel fixe qui vérifie :0< k < e.Dans la partie A on met en évidence certaines propriétés d’une fonction f qui serontutilisées dans la partie B.

Partie A

Centres étrangers 16 juin 1998


Soit f la fonction de la variable réelle x définie sur R par :

f (x) = (2− x)ex −k.

1. Étudier les limites de f en −∞ et en +∞.

2. Calculer f ′(x). En déduire le tableau de variation de f . Calculer f (1)

3. a. Établir que l’équation f (x) = 0 a deux solutions, une notée αk apparte-nant à l’intervalle ]− ∞ ; 1[ et une autre notée βk appartenant à l’inter-valle ]1 ; +∞[.

b. Montrer que eαk −kαk = (eαk −k) (αk −1).

On démontrerait de même que βk vérifie l’égalité

eβk −kβk =(

eβk −k)

(βk −1).

4. Préciser le signe de f (x) suivant les valeurs de x.

Partie B

1. Soit u la fonction de la variable réelle x définie sur R par : u(x) = ex −kx.

a. Étudier le sens de variation de u.

b. On rappelle que 0 < k < e. Justifier la propriété suivante

pour tout réel x, ex −kx > 0.

2. Soit gk la fonction définie sur R par : gk (x) =ex −k

ex −kx. On note Ck la courbe

représentative de la fonction gk dans le plan rappporté à un repère orthogo-nal.

a. Déterminer la limite de gk en −∞ et en +∞.

b. Prouver que : g ′k

(x) =k f (x)

(ex −kx)2.

c. En déduire le tableau de variation de gk . Calculer gk (1).

3. On nomme Mk et Nk les points de la courbe Ck d’abscisses respectives αk etβk .

a. En utilisant la question 3)b) (partie A), montrer que gk (αk ) =1

αk −1.

b. Donner de même gk (βk ).

c. Déduire de la question précédente que lorsque k varie les points Mk etNk sont sur une courbe fixe H dont on donnera une équation.

4. Représentations graphiques pour des valeurs particuliéres de k :

a. Déterminer la position relative des courbes C1 et C2.

b. Prouver que α2 = 0.

c. En prenant comme unité 2 cm sur l’axe des abscisses et 4 cm sur l’axe desordonnées, construire les courbes C1, C2 et H sur le même graphique.

On prendra α1 =−1,1 ; β1 = 1,8 ; β2 = 1,6.

Centres étrangers 17 juin 1998

[ Baccalauréat C La Réunion juin 1998 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Les réponses seront données sous forme de fractions.

Pour un examen, dix examinateurs ont préparé chacun 2 sujets. On dispose donc devingt sujets que l’on place dans 20 enveloppes identiques. Deux candidats se pré-sentent : chacun choisit au hasard deux sujets ; de plus, les sujets choisis par le pre-mier candidat ne seront plus disponibles pour le deuxième.On note A1 l’évènement : « les deux sujets obtenus par le premier candidat pro-viennent du même examinateur » et A2 l’évènement : « les deux sujets obtenus parle deuxième candidat proviennent du même examinateur ».On note A l’évènement contraire de l’évènement A.

1. Montrer que la probabilité de l’évènement A1 est égale à1

19.

2. a. Calculer directement la probabilité conditionnelle p (A2/A1) de l’évène-ment A2 sachant que A1 est réalisé.

b. Montrer que la probabilité que les deux candidats obtiennent chacun deux

sujets provenant d’un même examinateur est égale à1

323.

3. a. Calculer la probabilité p(

A2/A1

)

.

b. En remarquant que A2 = (A2 ∩ A1)∪(

A2 ∩ A1

)

, calculer la probabilité p (A2)

puis en déduire que p (A2 ∪ A1) =33

323.

4. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de candidats qui ont choisi cha-cun deux sujets provenant d’un même examinateur. La variable aléatoire X

prend donc les valeurs 0, 1 ou 2.

a. Déterminer la loi de la probabilité de la variable aléatoire X .

b. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X .

EXERCICE 2 5 POINTS

Enseignement obligatoire

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal direct(

O,−→ı ,

−→ ,

−→k

)

, on donne A, B et

C de coordonnées respectives (2 ; 0 ; 1), (3 ; −2 ; 0) et (2 ; 8 ; −4).Aucune figure n’est demandée.

1. Un point M étant de coordonnées (x ; y ; z), exprimer en fonction de x, y et

z les coordonnées du produit vectoriel−−→AM ∧−−→

BM .

2. Résoudre le systéme :

−x + y −2z = −4−x − y − z = −112x + y − z = 8

On fera figurer les étapes de la résolution sur la copie.

3. Montrer qu’il existe un unique point N vérifiant−−→AN ∧−−→

BN = −−→CN et donner

les coordonnées du point N .

4. On rappelle que le volume d’un tétraèdre s’obtient par la formule V =1

3B×h

où B représente l’aire d’une base et h la hauteur correspondante.


a. Le point N étant défini à la question précédente, montrer que le volume

du tétraédre ABCN est égal à1

6CN 2.

b. En utilisant les résultats du 1., et en prenant M = C, calculer l’aire du tri-angle ABC.

c. Utiliser les résultats précédents pour calculer la distance du point N auplan (ABC).

EXERCICE 2 5 POINTS

Enseignement de spécialité

Dans le plan orienté rapporté au repère orthonormal direct(

O,−→ı ,

−→

)

(unité : le

cm), on trace le cercle (C ) de diamètre [AO] où A est le point de coordonnées (−6 ; 0) ;on appelle Ω le centre de (C ).Si P est un point de (C ), on note K le projeté orthogonal de P sur la droite (AO) et M

le point défini par−−→KM =−→

AP .

Soit t une mesure en radians de l’angle(−−→ΩO ,

−−→ΩP

)

.

On veut déterminer l’ensemble (E ) des points M de paramètre t obtenu lorsque Pdécrit (C ).

1. Sur une figure qui sera complétée à la question 5, représenter (C), placer unpoint P et les points K et M correspondants.

2. a. Exprimer en fonction de t les coordonnées du point P puis celles du pointM.

b. En déduire une représentation paramétrique de (E ).

c. Soit M′ le point de (E ) de paramètre π−t . Par quelle transformation peut-on obtenir le point M′ à partir du point M de paramètre t ?

3. Soit N le point (E ) de paramètre t +π

2. Montrer que le vecteur

(−−→ON

)

est un

vecteur directeur de la tangente à (E ) au point M de paramètre t .

4. Dessin de (E ) :

a. Dresser le tableau des variations conjointes des coordonnées de M pour

t appartenant à[

0 ;π

2

]

.

b. Construire les points M1 M2 et M3 obtenus pour les valeurs de t suivantes :π

6,π

4,π

3et utiliser le résultat des questions 3 et 4 et pour construire trois

autres points de (E ) ainsi que les tangentes à (E ) en M1, M2 et M3.

c. Achever le dessin de (E ).

N. B. La question 5. a. a été transformée (elle demandait d’indiquer la naturede (E ) et de placer les sommets de (E )) afin de tenir compte des modificationsde programme. Par ailleurs, cet exercice peut être traité désormais dans lecadre de l’enseignement obligatoire.

PROBLÈME 11 POINTS

Soit f la fonction définie sur R par

f (x) = ex − x2

dont la courbe représentative C f dans un repère orthonormal(

O,−→ı ,

−→

)

, est don-

née sur le graphique ci-dessous à compléter et à rendre avec la copie.

La Réunion 19 juin 1998


1

1

O x

y

C f

On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par g (x) =f (x)

x=

ex

x− x

et on note Cg sa courbe représentative dans le même repère.

Partie A : Remarques préliminaires concernant la fonction f

1. Sans chercher à déterminer son équation, tracer la tangente à C f passantpar O. On notera A son point de contact avec C f . Évaluer graphiquement lecoefficient directeur de cette tangente en expliquant le procédé utilisé.

2. Calculer la valeur exacte de l’intégrale I =∫2

1f (x) dx, puis en donner une

valeur approchée à 10−2 prés.

3. En déduire une interprétation graphique du nombre réel : e2 −e−7

3.

Partie B : Étude de la fonctiong

1. Étudier les limites de g en +∞ et en 0 et justifier que Cg admet une asymp-tote.

2. a. Calculer la dérivée g ′(x) et montrer qu’elle est du signe de (x −1)ex − x2

sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

b. Soit u la fonction qui à tout x de l’intervalle [0 ; +∞[ associe

u(x) = (x−1)ex−x2. Étudier le sens de variation de u sur l’intervalle [0 ; +∞[.

c. Déterminer le signe de u(x) sur l’intervalle [0 ; 1[.

d. Montrer que l’équation u(x) = 0 admet une solution unique a sur l’inter-valle [1 ; 2].

En déduire, suivant les valeurs de x, le signe de u(x) sur l’intervalle [0 ; +∞[.

e. En déduire le signe de g ′(x) et dresser la tableau de variation de g .

Partie C : Construction de Cg

1. On se propose de construire le point S(a ; g (a)) où a est le réel déterminédans la question B. 2. d.



a. Montrer que, sur l’intervalle ]0 ; +∞[, g ′(x) = 0 équivaut à f ′(x) =f (x)

x

et que par conséquent f ′(a) =f (a)

a.

b. En utilisant ce résultat, établir que a est l’abscisse du point A défini dansla premiére partie.

c. Justifier que l’ordonnée de S est f ′(a) et placer S sur le dessin.

2. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de C f et Cg .

3. Construire la courbe Cg .

Partie D : Étude d’une primitive de g et calcul d’une intégrale

Soit G la primitive de g sur l’intervalle [1 ; 2] qui s’annule pour x = 1 (on ne chercherapas à calculer cette primitive).

1. Déterminer le sens de variation de G sur [1 ; 2].

2. Donner une interprétation géométrique du nombre G(2). Dans la suite, onprendra 1,55 comme valeur approchée de G(2) à 10−2 prés.

3. On considère l’intégrale J =∫2

1G(x) dx.

a. Justifier que l’intégrale I calculée dans la premiére partie peut s’écrire

I =∫2

1xg (x) dx.

b. En utilisant une intégration par parties, établir que I = 2G(2) − J et endéduire une valeur approchée de J , à 10−2 prés.


[ Baccalauréat S Métropole juin 1998 \

EXERCICE 1 5 points

Dans tout l’exercice, A et B étant deux évènements, P(A) désigne la probabilité de A ;P(B / A) la probabilité de B sachant que A est réalisé.

1. Le nombre de clients se présentant en cinq minutes dans une station-serviceest une variable aléatoire X dont on donne la loi de probabilité :

i 0 1 2pi = P (X = i ) 0,1 0,5 0,4

a. Définir et représenter graphiquement la fonction de répartition de X .

b. Calculer l’espérance mathématique de X .

2. Dans cette station-service, la probabilité qu’un client achéte de l’essence est0,7 ; celle qu’il achéte du gazole est 0,3. Son choix est indépendant de celuides autres clients. On considère les évènements suivants :

C1 « en cinq minutes, un seul client se présente » ;

C2 « en cinq minutes, deux clients se présentent » ;

E : « en cinq minutes, un seul client achète de l’essence ».

a. Calculer P(C1 ∩ E).

b. Montrer que P(E/C2) = 0,42 et calculer P(C2 ∩ E) .

c. En déduire la probabilité qu’en cinq minutes un seul client achéte de l’es-sence.

3. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de clients achetant de l’essenceen cinq minutes ; déterminer la loi de probabilité de Y .

Exercice 2 (obligatoire) 5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct(

O,−→u ,

−→v

)

.


(1)z −2

z −1= z

On donnera le module et un argument de chaque solution.


(2)z −2

z −1= i

On donnera la solution sous forme algébrique.

3. Soit M , A et B les points d’affixes respectives : z, 1 et 2. On suppose que M

est distinct des points A et B.

a. Interpréter géométriquement le module et un argument dez −2

z −1.

b. Retrouver géométriquement la solution de l’équation (2).

4. a. Montrer, à l’aide d’une interprétation géométrique, que toute solution del’équation dans C :

(

z −2

z −1

)n

= i,

où n désigne un entier naturel non nul donné, a pour partie réelle3

2.


b. Résoudre alors dans C l’équation

(3)

(

z −2

z −1

)2

= i.

On cherchera les solutions sous forme algébrique.

Exercice 2 (spécialité) 5 points

Dans le plan orienté, une unité étant choisie, on considère un rectangle ABCD tel

que AB =p

2, AD = 1; (−−→AB ,

−−→AD ) est un angle droit direct ; I désigne le milieu de [AB].

A. Soit E l’ensemble des points M du plan tels que MD2 −MB2 = 1.

1. Vérifier que les points C et I appartiennent à E .

2. a. Déterminer et construire l’ensemble E .

b. En déduire que les droites (BD) et (CI) sont perpendiculaires.

B. Le plan est rapporté au repère orthonormé direct (A ; ~u, ~v) avec ~u =1p

2

−−→AB et

~v =−−→AD .

Soit S une similitude directe qui, au point M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixez ′, telle que z ′ = az +b, a et b étant des nombres complexes, avec a 6= 0.

1. Déterminer les nombres a et b pour que S(D) = C et S(C) = B.

2. Soit T la similitude directe qui, au point M d’affixe z, associe le point M ′ d’af-fixe z ′ telle que

z ′ =−ip

2

2z +

p2

2+ i.

Déterminer le rapport et l’angle de T.

3. Montrer que la similitude T transforme B en I.

4. En déduire une autre justification de l’orthogonalité des droites (BD) et (CI).

5. Montrer que le centre Ω de la similitude T est le point d’intersection desdroites (BD) et (CI).

Problème 10 points

Les tracés des courbes seront faits dans un plan rapporté à un repère orthonormal(

O,−→ı ,

−→

)

(unité : 2 cm).

On rappelle qu’une fonction f est majorée par une fonction g (ce qui signifie aussique g est minorée par f ) sur un intervalle I si et seulement si, pour tout x apparte-nant à I , f (x) < g (x).

PARTIE A

Soit f et g les fonctions définies sur [0 ; +∞[ par :

f (x) = ln(1+ x) et g (x) =2x

1+ x.

On notera C la représentation graphique de f et Γ celle de g .On se propose de démontrer que f est minorée par g sur [0;+∞[.Soit h la fonction définie sur [0 ; +∞[ par h(x) = f (x)− g (x).

1. Étudier le sens de variation de h sur [0 ; +∞[ ; calculer h(0).

(L’étude de la limite de h en +∞ n’est pas demandée.)

Métropole 23 juin 1998


2. En déduire que pour tout réel x positif ou nul,

(1)2x

x +2< ln(1+ x).

3. Construire dans le même repère les courbes C et Γ et montrer qu’elles ad-mettent en 0 une même tangente D que l’on tracera. (On justifiera rapide-ment le tracé de ces courbes.)

PARTIE B

k désignant un réel strictement positif, on se propose de déterminer toutes les fonc-tions linéaires x 7→ kx , majorant la fonction f : x 7→ ln(1+ x) sur [0 ; +∞[.Soit fk la fonction définie sur [0 ; +∞[ par fk (x) = ln(1+ x)−kx.

1. Étudier le sens de variation de f1, définie sur [0 ; +∞[ par f1(x) = ln(1+x)−x.

2. Étudier la limite de f , en +∞[ et donner la valeur de f1 en 0.

3. Montrer que pour tout réel x positif ou nul

(2) ln(1+ x) 6 x.

4. En déduire que si k > 1 alors : pour tout x > 0, f (x) 6 kx.

5. Le réel k vérifie les conditions : 0 < k < 1 .

Montrer que la dérivée de fk s’annule pour x =1−k

ket étudier le sens de

variation de fk . (L’étude de la limite de fk en +∞ n’est pas demandée.)

6. En déduire les valeurs de k strictement positives telles que pour tout

x > 0, f (x) < kx.

PARTIE C

1. À l’aide d’une intégration par parties, calculer

I =1

∫

0

ln(1+ x) dx.

(On remarquera éventuellement que :x

1+ x= 1−

1

1+ x.

En déduire le calcul de J =∫1

0(x−ln(1+x)dx puis de K =

∫1

0

[

ln(1+ x)−2x

x +2

]

dx.

(Pour le calcul de K on pourra vérifier que :2x

x +2= 2−

4

2+ x.)

Interpréter géométriquement les valeurs des intégrales J et K en utilisant lescourbes C , Γ et la droite D obtenues dans la partie A.

2. Soit u la fonction définie sur [0 ; 1] de la façon suivante :

u(0) = 1 et si x 6= 0, u(x) =ln(1+ x)

x.

a. Démontrer que la fonction u est dérivable sur ]0 ; 1].

b. On admet que u est dérivable sur [0 ; 1 ] et on pose :

L =∫1

0u(x) dx.

En utilisant les inégalités (1) et (2) obtenues dans les parties A et B, mon-trer que :

∫1

0

2

x +2dx < L < 1.

En déduire une valeur approchée de L à 10−1 prés.

Métropole 24 juin 1998

[ Baccalauréat C Polynésie juin 1998 \

EXERCICE 1 5 POINTS

Une urne A contient 2 boules rouges et 3 boules noires, une urne B contient 3 boulesrouges et deux boules noires.On tire au hasard une boule de l’urne A :

• si elle est noire, on la place dans l’urne B,• sinon, on l’écarte du jeu.

On tire au hasard ensuite une boule de l’urne B.On considère les évènements suivants : R1 : « La boule tirée de A est rouge » ;N1 : « La boule tirée de A est noire » ;R2 : « La boule tirée de B est rouge » ;N1 : « La boule tirée de B est noire ».

1. a. Calculer les probabilités des évènements R1 et N1.

b. Calculer les probabilités des évènements « R2 sachant R1 » et « R2 sachant

N1 ». En déduire que la probabilité de R2 est de27

50.

c. Calculer la probabilité de N2.

2. On répète n fois l’épreuve précédente (tirage d’une boule de A, suivie dutirage d’une boule de B dans les mêmes conditions initiales indiquées ci-dessus), en supposant les différentes épreuves indépendantes.

Quel nombre minimum d’essais doit-on effectuer pour que la probabilitéd’obtenir au moins une fois une boule rouge de l’urne B soit supérieure à0,99?

EXERCICE 2 5 POINTS

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal(

O,−→u ,

−→v

)

(unité graphique

2 cm). On note A le point d’affixe 1 et B le point d’affixe 3+2i.On appelle f l’application qui, à tout point M distinct de A et d’affixe z, associe lepoint M ′ d’affixe z ′ définie par

z ′ =z −1+2i

z −1

1. Calculer les affixes des points O′ et B′, images respectives des points O et Bpar f . Placer les points A, O′, B et B′ dans le plan.

2. a. Calculer, pour tout complexe z différent de 1, le produit

(

z ′−1)

(z −1)

b. En déduire que, pour tout point M distinct de A, on a :

AM ×AM ′ = 2 et(−→

u ,−−→AM

)

+(−→

u ,−−−→AM ′

)

=π

2+2kπ, k ∈Z

3. Démontrer que, si M appartient au cercle (C ) de centre A passant par O, alorsM ′ appartient à un cercle (C ′). En préciser le centre et le rayon.

Construire (C ) et (C ′).

4. a. Déterminer l’angle(−→

u ,−−→AB

)

.

b. Démontrer que, si M est un point autre que A de la demi-droite (d) d’ori-gine A, passant par B, alors M ′ appartient à une demi-droite que l’on pré-cisera.


5. On appelle P le point d’intersection du cercle (C ) et de la demi-droite (d).

Placer son image P′ sur la figure.

EXERCICE 2 10 POINTS

Partie A : Résolution d’une équation différentielle

1. Déterminer les fonctions définies sur R solutions de l’équation différentielle(E1) :

y ′′+2y ′+ y = 0.

2. On considère l’équation différentielle (E2) :

y ′′+2y ′+ y = x +3.

a. Vérifier que la fonction p définie sur R par p(x) = x+1 est solution de (E2).

b. Démontrer qu’une fonction g est solution de (E2) si, et seulement si, lafonction g −p est solution de (E1).

c. Déduire de 1. et 2.(b) les solutions de (E2)

d. Déterminer la solution générale de (E2) qui vérifie :

g (0) = 1 et g ′(0) = 2.

Partie B : étude d’une fonction f et courbe représentative

On appelle f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :

f (x) = x +1+ xe−x .

On note (C ) la courbe représentative de f dans le plan muni du repère orthonormal(

O,−→ı ,

−→

)

(unité graphique 2 cm).

1. a. f ′ et f ′′ désignant respectivement les dérivées première et seconde de f ,calculer, pour tout réel x, f ′(x) et f ′′(x).

b. Étudier le sens de variation de la dérivée f ′.

c. Démontrer que, pour tout réel x, f ′(x) > 0.

d. Calculer la limite de f en +∞.

e. Dresser le tableau de variation de la fonction f .

2. a. Démontrer que la droite (D) d’équation y = x +1 est asymptote à (C ) etpréciser la position relative de (D) et (C ).

b. La courbe (C ) admet en un point A une tangente parallèle à la droite (D).Déterminer les coordonnées de A.

3. Démontrer que l’équation de f (x) = 2 admet sur [0,+∞[ une unique solutionnotée α , puis vérifier que 0 <α< 1.

4. a. Construire la droite (D), le point A défini au 2. b., la courbe (C ) et la tan-gente en A à la courbe (C ).

b. Donner par lecture graphique une valeur approchée de α.

Partie C : Recherche d’une approximation décimale deα

Polynésie 26 juin 1998


1. Démontrer que, sur [0 ; +∞[, l’équation : f (x) = 2 équivaut à l’équation :

ex

ex +1= x

2. On appelle h la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par :

h(x) =ex

ex +1.

a. Calculer h′(x) pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1] et réaliser le tableau devariations de la fonction h.

b. En déduire que, pour tout réel x de [0; 1], h(x) appartient à [0 ; 1].

c. Calculer h′′(x) pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1] ; étudier le sens devariations de h′.

d. En déduire que, pour tout réel x de [0; 1],

06 h′(x)61

4

3. On définit la suite (un)n∈N par :

u0 = 0un+1 = h(un )

pour tout entier naturel n.

a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, un appartient à l’intervalle[0 ; 1].

b. Démontrer que, pour tout entier naturel n,

|un+1 −α|61

4|un −α|

c. En déduire que, pour tout entier naturel n,

|un+1 −α|6(

1

4

)n

puis que la suite (un )n∈N converge vers α.

d. Déterminer un entier p tel que up soit une valeur approchée à 10−6 prèsde α et, à l’aide de la calculatrice, proposer une approximation décimalede up à 10−6 près. Que peut-on en déduire pour α?

Polynésie 27 juin 1998

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 1998 \


Un meuble est composé de 10 tiroirs T1, T2, . . . , T10.Une personne place au hasard une boule dans un des tiroirs et une autre est chargéede trouver le tiroir contenant la boule à l’aide de la stratégie suivante :la personne ouvre le tiroir T1.Si la boule est dans le tiroir T1, la recherche est achevée, sinon la personne ouvre letiroir T2, et ainsi de suite . . . en respectant l’ordre des numéros de tiroirs.On remarquera qu’avec cette stratégie, le tiroir T10 n’est jamais ouvert.Pour i entier compris entre 1 et 10 (16 i 6 10), on appelle Bi l’évènement « La boulese trouve dans le tiroir Ti ».On note X la variable aléatoire égale au nombre de tiroirs qui ont été ouverts afin delocaliser la boule avec cette stratégie.

1. Donner l’ensemble des valeurs possibles de X .

2. a. Montrer que, pour i entier compris entre 1 et 8 (1 6 i 6 8), l’évènement(X = i ) est l’évènement Bi .

b. Justifier que l’évènement (X = 9) est la réunion des évènements B9 et B10.

c. Déterminer la loi de probabilité de X .

d. Calculer l’espérance mathématique de X .


Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct(

O,−→u ,

−→v

)

.

On placera sur une même figure, qui sera complétée au fur et à mesure, les pointsintroduits dans le texte (unité graphique : 2 cm.)

1. a. Résoudre l’équation

(E) : z2 −2zp

3+4= 0.

b. On considère les nombres complexes z1 =p

3+ i et z2 =p

3− i et on dé-signe par M et N les points d’affixes respectives z1 et z2. Déterminer lemodule et l’argument de z1 et z2 ; placer M et N sur la figure.

c. Déterminer les affixes des points Q et P images respectives de M et N par

la translation de vecteur−→w =−2

−→u . Placer P et Q sur la figure.

Montrer que MNPQ est un carré.

2. Soit R le symétrique de P par rapport à O, E l’image de P par la rotation de

centre O et d’angleπ

2, S l’image de E par l’homothétie de centre O et de rap-

portp

3.

Placer ces points sur la figure.

Calculer les affixes de R et de S. Montrer que S appartient au segment [MN].

3. On pose α= 2−p

3.

a. Montrer que 1+α2 = 4α et 1−α2 = 2αp

3.

b. Exprimer les affixes Z de−→PR et Z ′ de

−→PS en fonction de α.


c. Montrer que |Z | = |Z ′| et queZ

Z ′ = ei π3 .

d. Déduire des questions précédentes la nature du triangle PRS.

Problème 11 pointsCommun à tous les candidats

Partie A⋆ Étude d’une fonction auxiliaire

La fonction d est définie sur ]−1 ; +∞[ par :

d(x) = ex

x+1 .

1. Calculer la fonction dérivée d ′. En déduire les variations de d .

2. Déterminer les limites de d en −1 et en +∞.

3. Montrer que, pour tout x >− 1, on a : 0 < d(x) < e.

Partie B⋆ Étude de la fonction f

Dans cette partie on s’intéresse à la fonction f définie sur l’intervalle ]−1 ; +∞[ par :

f (x) = x +1−ex

x+1 .

On appelle (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal, l’unitégraphique étant 5 cm. On désigne par f ′ et f ′′ les dérivées première et seconde def .

1. Démontrer que la droite (D) d’équation y = x−e+1 est asymptote à la courbe(C ).

Préciser la position relative de (D) et (C ).

2. a. Pour x ∈]−1 ; +∞[, calculer f ′(x) et f ′′(x).

Vérifier que f ′′(x) =2x +1

(x +1)4e

xx+1 .

En déduire le sens de variations de f ′.

b. Dresser le tableau de variations de f ′.

(On admettra que limx→−1

f ′ = limx→+∞

f ′ = 1.)

3. Démontrer que l’équation f ′(x) = 0 admet sur ]−1 ; +∞[ deux solutions dontl’une est 0.

Dans la suite du problème, on notera α la solution non nulle. Donner unevaleur approchée de α au centième près.

4. a. Étudier les variations de f .

b. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

c. Dresser le tableau de variations de f

Partie C⋆ Prolongement de la fonction f en −1

On considère la fonction g définie sur ]−1 ; +∞[ par :

g (− 1) = 0g (x) = f (x) pour tout x >−1.

On appelle (C ′) la courbe représentative de la fonction g dans le repère de la partieB.

Antilles-Guyane 29 septembre 1998


1. a. Montrer que l’on peut écrire

g (x)− g (−1)

x − (−1)= 1−

1

x

( x

x +1e

xx+1

)

.

b. Pour x ∈]−1 ; +∞[, déterminer la limite lorsque x tend vers −1 dex

x +1puis de

x

x +1e

xx+1 .

c. En déduire que g est dérivable en−1 et préciser son nombre dérivé g ′(−1).

2. Construire (D) et (C ′). Préciser les tangentes à (C ′) aux points d’abscisses− 1, α, 0.

Antilles-Guyane 30 septembre 1998

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S France septembre 1998 \

Exercice 1 4 points

L’espace est muni d’un repère orthonormal direct(

O,−→ı ,

−→ ,

−→k

)

.

Il n’est pas demandé de faire de figure.Les questions 3 et 4 sont indépendantes des questions 1 et 2.On considère les quatre points A, B, C et I de coordonnées respectives :

A

− 121

B

1− 6− 1

C

222

I

01−1

1. a. Calculer le produit vectoriel−−→AB ∧

−−→AC .

b. Déterminer une équation cartésienne du plan contenant les trois pointsA, B et C.

2. Soit (Q) le plan d’équation :

x + y −3z +2 = 0

et (Q′) le plan de repère(

O,−→ı ,

−→ ,

−→k

)

.

a. Pourquoi (Q) et (Q′) sont-ils sécants ?

b. Donner un point E et un vecteur directeur−→u de la droite d’intersection

(∆) des plans (Q) et (Q′).

3. Écrire une équation cartésienne de la sphère S de centre I et de rayon 2.

4. On considère les points J et K de coordonnées respectives :

J

− 200

K

101

Déterminer avec soin l’intersection de la sphère (S) et de la droite (JK).

Exercice II 5 points

1. On considère le polynôme P défini par :

P (z) = z3 −6z2 +12z −16.

a. Calculer P (4).

b. Résoudre dans C l’équation : P (z)= 0.

2. Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct(

O,−→u ,

−→v

)

tel que : ‖~u‖=‖~v‖ = 2 cm.

Soient A,B, C les points d’affixes respectives :

a = 4 b = 1+ ip

3 c = 1− ip

3

a. Placer les points A, B, C sur une figure que l’on complètera tout au longde l’exercice.


b. Montrer que le triangle ABC est équilatéral.

3. Soit K le point d’affixe k =−p

3+ i

On appelle F l’image de K par la rotation de centre O et d’angle de mesureπ

3et G l’image de K par la translation de vecteur

−−→OB .

a. Quelles sont les affixes respectives de F et de G ?

b. Montrer que les droites (OC) et (OF) sont perpendiculaires.

4. Soit H le quatrième sommet du parallélogramme COFH.

a. Montrer que le quadrilatère COFH est un carré.

b. Calculer l’affixe du point H.

c. Le triangle AGH est-il équilatéral ?

Problème 11 points

Partie A

1. Résoudre l’équation différentielle :

y ′′−4y ′+4y = 0.

2. Déterminer la solution ϕ de cette équation, définie sur R et qui vérifie lesconditions :

ϕ(0) = 0 et ϕ′(0) =−e

Partie B

1. On considère la fonction f définie sur R par :

f (x) =−xe2x+1.

a. Quel est, suivant les valeurs de x, le signe de f (x) ?

b. Étudier le sens de variation de de f .

c. Déterminer les limites de f en +∞ et en −∞.

d. Dresser le tableau de variations de f .

e. On appelle (C ) la représentation graphique de f dans un repère ortho-

normé(

O,−→ı ,

−→

)

(unité graphique : 4 cm).

Quelle est la tangente à (C ) au point O ?

Écrire une équation de la tangente T à (C ) au point d’abscisse (−1).

f. On appelle (Γ) la représentation graphique dans le repère(

O,−→ı ,

−→

)

de la

fonction g définie sur R par :

g (x) = ex .

Quelle est la tangente à (Γ) au point d’abscisse (−1) ?

2. On appelle h la fonction définie sur R par :

h(x) = 1+exex .

a. Étudier le sens de variation de h.

En déduire le signe de h(x) suivant les valeurs de x.

Métropole 32 septembre 1998


b. Étudier la position de (C ) par rapport à (Γ).

c. Tracer, sur le même graphique, les courbes T, (C ) et (Γ).

3. Soit m un réel quelconque et M le point de la courbe (Γ) d’abscisse m.

a. Écrire une équation de la tangente D à (Γ) en M .

b. La tangente D coupe les axes de coordonnées en A et B .

Calculer, en fonction de m, les coordonnées du milieu J du segment [AB].

c. Prouver que J appartient à (C ).

d. Tracer (D) et J pour m = 0.

Partie C

1. Soit x un réel quelconque. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’in-tégrale :

I (x) =∫x

0te2t dt .

2. Soit x un réel négatif.

Calculer l’aire A (x), exprimée en cm2, de l’ensemble des points N du plandont les coordonnées (u, v) vérifient :

x 6 u 6 00 6 v 6 f (x)

3. Calculer A (− 1).

4. A (x) admet-elle une limite quand x tend vers moins l’infini ? Si oui laquelle ?

Métropole 33 septembre 1998

[ Baccalauréat S Polynésie septembre 1998 \

Durée : 4 heures

Exercice 1 5 points

Le plan (P) est muni du repère orthonormal direct(

O,−→u ,

−→v

)

(unité graphique :

2 cm).À tout point M du plan (P) est associé le nombre complexe z, affixe du point M .

1. a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes

z1 =−1, z2 =1− i

p3

2, z3 =−1− i

p3.

b. Déterminer le module et un argument de chacun des cubes z31 , z3

2 , z33 des

complexes ci-dessus, puis la partie réelle et la partie imaginaire de z31 , de

z32 et de z3

3 .

2. a. Si z = x + iy = ρeiθ est un nombre complexe (avec , y et θ réels et ρ réelsupérieur à zéro), déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z3

en fonction de x et y , puis le module et un argument de z3 en fonction deρ et θ.

b. Déterminer l’ensemble (E) des points M d’affixe z caractérisé par : z3 estun nombre réel.

c. Déterminer et tracer l’ensemble (E′) des points M d’affixe z, caractérisépar : z3 est un nombre réel et 16 z3 6 8.

Exercice 2 5 points

Dans l’espace muni du repère orthonormal direct(

O,−→ı ,

−→ ,

−→k

)

, nous considérons

les points A de coordonnées (0 ; 6 ; 0), B de coordonnées (0 ; 0 ; 8), C de coordonnées(4 ; 0 ; 8).

1. a. Réaliser la figure comportant les points définis dans l’exercice (unité gra-phique : 1 cm).

b. Démontrer que :

• les droites (BC) et (BA) sont orthogonales ;

• les droites (CO) et (OA) sont orthogonales ;

• la droite (BC) est orthogonale au plan (OAB).

c. Déterminer le volume, en cm3, du tétraèdre OABC.

d. Démontrer que les quatre points O, A, B, C se trouvent sur une sphèredont vous déterminerez le centre et le rayon.

2. À tout réel k de l’intervalle ouvert ]0 ; 8[, est associé le point M(0 ; 0 ; k). Leplan (π) qui contient M et est orthogonal la droite (OB) rencontre les droites(OC), (AC), (AB) respectivement en N , P, Q .

a. Déterminer la nature du quadrilatère (M N PQ).

b. La droite (P M) est-elle orthogonale à la droite (OB) ? Pour quelle valeurde k, la droite (MP ) est-elle orthogonale à la droite (AC) ?

c. Déterminer MP 2 en fonction de k. Pour quelle valeur de k, la distanceP M est-elle minimale ?


Problème 10 points

L’objectif est d’étudier quelques propriétés de la fonction f définie sur l’intervalle[−1 ; +∞[ par :

f (x) = (1− x2)e−x .

Partie AVariations de f et tracé de la courbe (F)

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [−1 ; +∞[ par :

f (x) = (1− x2)e−x .

Dans le plan (P) muni du repère orthonormal(

O,−→ı ,

−→

)

(unité graphique : 2 cm) la

représentation graphique de la fonction f est notée (F).

1. Déterminer la limite en +∞ de f : interpréter graphiquement ce résultat.

2. a. Déterminer, suivant les valeurs de x de l’intervalle [−1 ; +∞[, le signe dex2 −2x −1 et celui de f (x).

b. Déterminer la fonction dérivée f ′ de f . En déduire le sens de variationsde f puis dresser son tableau de variations ; préciser les valeurs exactesdu minimum et du maximum.

3. Déterminer une équation de la tangente notée (T) la courbe (F) au point A de(F) dont l’abscisse est 0.

4. a. Déterminer la valeur exacte et une valeur décimale approchée à 0,1 prèsde chacun des coefficients directeurs des tangentes à la courbe (F) en B(1;0) et C(−1 ; 0).

b. Tracer les trois tangentes à la courbe (F) en A, B(1; 0) et C(−1 ; 0) et lacourbe (F).

Partie B

Intégrales et aires

Les surfaces S et S1(u) du plan (P), où u est un réel donné de l’intervalle [1 ; +∞[sont définies par :S est l’ensemble des points M(x ; y) tels que : 06 x 6 1 et 06 y 6 f (x),S1(u) est l’ensemble des points M(x ; y) tels que 16 x 6 u et f (x)6 y 6 0.Les aires respectives de ces surfaces sont notées A , A1(u). Leurs valeurs exactesseront exprimées en unités d’aire.

1. Justifier l’existence de l’intégrale∫x

1f (t) dt où x est un réel positif.

En procédant à deux intégrations par parties successives, déterminer cetteintégrale.

2. En déduire la valeur exacte de∫0

1f (t) dt .

En déduire la valeur exacte de l’aire A .

3. Déterminer, en fonction de u où u > 1, l’aire A1(u) puis la limite, lorsque u

tend vers +∞, de A1(u).

Interpréter graphiquement ce résultat.

4. L’objectif est de déterminer le réel α supérieur ou égal à 1 pour lequel

A1(α) =A .

a. Démontrer que, sur l’intervalle [1 ; +∞[, l’équation A1(x) = A est équi-valente à : x = 2ln(1+ x).

Polynésie 35 septembre 1998


b. Étudier le sens de variations de la fonction h définie sur l’intervalle

[1 ; +∞[ par h(x) = x −2ln(1+ x).

Démontrer que, sur l’intervalle [1 ; +∞[, l’équation x = 2ln(1+ x) admetexactement une solution et que celle-ci, notée α, vérifie la condition 2 <α< 3.

c. Déterminer f (α) sous la forme d’une fonction rationnelle de α puis l’en-cadrement de f (α), que vous pouvez déduire du précédent, d’amplitude2×10−4 .

Polynésie 36 septembre 1998

[ Baccalauréat S Sportifs de haut-niveau \

octobre 1998

EXERCICE 1 4 points

Un joueur dispose d’une urne contenant 3 boules rouges, 4 boules blanches et n

boules vertes (06 n 6 10). Les boules sont indiscernables au toucher.

1. Le joueur tire au hasard une boule de l’urne. Calculer la probabilité de cha-cun des évènements suivants :

a. R : « la boule tirée est rouge » ;

b. B : « la boule tirée est blanche » ;

c. V : « la boule tirée est verte ».

2. Le joueur décide de jouer une partie. Celle-ci se déroule de la manière indi-quée ci-dessous.

Le joueur tire une boule de l’urne

• si elle est rouge, il gagne 16 F :• si elle est blanche, il perd 12 F ;• si elle est verte, il remet la boule dans l’urne, puis tire une boule de l’urne ;

— si celle boule est rouge, il gagne 8 F ;— si cette boule est blanche, il perd 2 F ;— si cette boule est verte, il ne perd rien ni ne gagne rien.

Les tirages sont équiprobables et deux tirages successifs sont indépendants.

Au début de la partie, le joueur possède 12 F. Soit X la variable aléatoire quiprend pour valeur la somme que le joueur possède à l’issue de la partie (untirage ou deux tirages selon le cas).

a. Déterminer les valeurs prises par X .

b. Déterminer la loi de probabilité de X .

c. Montrer que l’espérance mathématique de X est 12+16n

(n+7)2.

3. On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 10] par f (x) =x

(x +7)2.

Étudier les variations de f .

4. En déduire la valeur de n pour laquelle l’espérance mathématique X est maxi-male. Calculer celle valeur maximale (on donnera le résultat sous la formed’une fraction irréductible).

EXERCICE 2 5 points

On considère les intégrales I =∫π

0cos4 x dx et J =

∫π

0sin4 x dx.

1. a. Montrer que l’intégrale I peut s’écrire :

I =∫π

0cos x

(

cos x −cos x sin2 x)

dx.

b. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que

I =∫π

0sin2 x dx −

1

3J.

c. Montrer de même que J =∫π

0cos2 x dx −

1

3I.

2. a. Montrer que I + J =3π

4.


b. Montrer que J− I = 0

c. En déduire les intégrales I et J.

PROBLÈME 11 points

Partie A : Étude d’une fonction

Soit h la fonction définie sur R par :

h(x) =(

3ex − x −4)

e3x .

Il semblerait, d’après la représentation graphique de h tracée par ordinateur et don-née ci-après, que l’équation h(x) = 0 admette une seule solution dans R. On se pro-pose, dans cette partie, d’étudier la fonction h et d’examiner si le tracé fourni parl’ordinateur donne une information fiable.

1. Déterminer la limite de h en −∞ (on pourra poser X = 3x).

2. Déterminer la limite de h en +∞ ;

(on observera que 3ex − x −4 =(

3−x

ex−

4

ex

)

ex ).

3. On note h′ la dérivée de h. Montrer que h′(x) = (12ex −3x −13) e3x .

4. Étude d’une fonction auxiliaire. Soit k la fonction définie sur R par

k(x) = 12ex −3x −13.

a. On note k ′ la fonction dérivée de la fonction k. Étudier le signe de k ′ surR.

b. Déterminer la limite de k en +∞.

c. Déterminer la limite de k en −∞.

d. Dresser le tableau de variations de la fonction k.

5. Étude des variations de la fonction h.

a. Montrer qu’il existe un nombre réel négatif α et un seul tel que k(α) = 0et vérifier que −4,3 <α<−4,2.

On admet que l’on peut établir qu’il existe un nombre réel positif β et unseul tel que k(β) = 0 et que 0,1 <β< 0,2.

b. En déduire le signe de k sur R puis le sens de variations de la fonction h.

c. Le plan est rapporté à un repère orthogonal(

O,−→ı ,

−→

)

(unité graphique :

1 cm représente 0,1 sur l’axe des abscisses et 1 cm représente 10 sur l’axedes ordonnées). Représenter graphiquement la fonction h sur l’intervalle[−5 ; −3,9].

6. Montrer que l’équation h(x) = 0 admet une solution unique b dans l’inter-valle ]−∞ ; 0[.

Donner un encadrement de b à 10−1 près.

Partie B : Approximation de l’une des solutions de l’équation h(x) = 0

On admet qu’il existe un nombre réel a et un seul dans l’intervalle I = [0 ; 1] tel queh(a) = 0.

1. Justifier que, dans l’intervalle I, l’équation h(x) = 0 est équivalente à l’équa-

tion 3ex − x −4 = 0 puis à l’équation x = ln

(

x +4

3

)

.

2. On considère la fonction ϕ définie sur l’intervalle I par ϕ(x) = ln

(

x +4

3

)

.

a. Montrer que, pour tout x ∈ I, ϕ(x) ∈ I.

Sportifs de haut-niveau 38 octobre 1998


b. Montrer que, pour tout x ∈ I,∣

∣ϕ′(x)∣

∣61

4.

c. Calculer ϕ(a).

3. On considère la suite (un )n∈N d’éléments de I définie pour tout n ∈N par

u0 = 0 et un+1 =ϕ (un ).

a. Montrer que, pour tout n ∈N, |un+1 −a|61

4|un −a|.

b. Montrer que, pour tout n ∈N, |un −a|6(

1

4

)n

.

c. En déduire que la suite (un )n∈N converge. Préciser sa limite.

d. Déterminer un nombre entier naturel p tel que up soit une valeur appro-chée de a à 10−4 près.

Donner une valeur approchée de up à 10−4.

−1

−2

1

1−1−2−3−4−5x

y

O −→ı

−→

Sportifs de haut-niveau 39 octobre 1998

[ Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 1998 \

Exercice 1 4 points

Le plan est rapporté au repère(

O,−→u ,

−→v

)

orthonormal direct ; unité graphique 2 cen-

timètres.On complétera la figure au fur et à mesure de l’exercice.Soit I le point d’affixe 2i.On nomme f la transformation qui, à tout point M d’affixe z associe le point M ′

d’affixe z ′ tel que z ′ =iz.

1. a. Préciser la nature de f ainsi que ses éléments caractéristiques.

b. Déterminer l’affixe du point A′, image par f du point A d’affixe 1 +p

2 + i.

c. Montrer que les points A, I et A′ sont alignés.

2. a. Montrer que l’ensemble (Γ) des points M du plan tels que M , I et M ′ sontalignés, est le cercle de centre Ω d’affixe 1+ i et de rayon

p2.

b. Vérifier que le point A appartient à (Γ).

c. Déterminer l’ensemble (Γ′) décrit par le point M ′ lorsque le point M dé-crit (Γ).

3. Soit B le point d’affixe 2+2i et B′ l’image de B par f .

a. Démontrer que les droites (AB) et (A′B′) sont perpendiculaires.

b. Soit C le point d’intersection des droites (AB) et (A′B′). Déterminer la na-ture du quadrilatère OACA′.

Exercice 2 5 points

Dans le plan (P), on considère le triangle ABC isocèle en A, de hauteur [AH] tel queAH = BC = 4. On prendra le centimètre pour unité.

1. En justifiant la construction, placer le point G, barycentre du système depoints pondérés (A ; 2);(B ; 1);(C ; 1).

2. On désigne le point M un point quelconque de (P).

a. Montrer que le vecteur−→V = 2

−−→MA −−−→

MB −−−→MC est un vecteur dont la

norme est 8.

b. Déterminer et construire l’ensemble E1 des points M du plan tels que

∥

∥

∥2−−→MA −−−→

MB −−−→MC

∥

∥

∥=∥

∥

∥

−→V

∥

∥

∥

3. On considère le système de points pondérés (A ; 2) ; (B ; n) ; (C ; n) où n estun entier naturel fixé.

a. Montrer que le barycentre Gn de ce système de points pondérés existe.Placer G0, G1, G2.

b. Montrer que le point Gn appartient au segment [AH].

c. Calculer la distance AGn en fonction de n et déterminer la limite de AGn

quand n tend vers + ∞.

Préciser la position limite de Gn quand n tend vers + ∞.

d. Soit En l’ensemble des points M du plan tels que∥

∥

∥2−−→MA +n

−−→MB +n

−−→MC

∥

∥

∥= n∥

∥

∥

−→V

∥

∥

∥ .

Montrer que En est un cercle qui passe par le point A.

En préciser le centre et le rayon, noté Rn .

e. Construire E2.


Exercice 2 5 points

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct(

O,−→ı ,

−→

)

. L’unité graphiqueest 4 cm.On considère les points A(1; 0), C(0; 1), D(0 ; −1) et le cercle (Γ) de centre O et derayon 1. Soit M un point du cercle (Γ), d’ordonnée positive ou nulle, et distinct de C.La droite (DM) rencontre l’axe des abscisses au point I.Le point N est le point d’intersection de la droite (OM) et de la parallèle à la droite(CD) passant par I.

1. Réaliser la figure.

2. On note t une mesure de l’angle orienté(−→

ı ,−−−→OM

)

.

On se propose de déterminer l’ensemble (F) décrit par le point N lorsque t

décrit l’intervalle [0 ; π] privé deπ

2.

a. Déterminer les coordonnées de M en fonction de t .

b. Montrer que les coordonnées de I sont

(

cos t

1+ sin t; 0

)

puis que les coor-

données x(t) et y(t) de N sont :

x(t) =cos t

1+ sin ty(t)=

sin t

1+ sin t

3. a. Comparer d’une part x(t) et x(π− t), puis d’autre part y(t) et y(π− t).

En déduire une propriété géométrique de l’ensemble (F).

b. Faire l’étude conjointe des variations des fonctions t 7→ x(t) et t 7→ y(t)

sur[

0 ;π

2

]

.

c. Déterminer les limites de x(t) et y(t) quand t tend versπ

2.

4. a. Calculer, en fonction de t , la distance ON puis la distance de N à la droited’équation y = 1.

b. En déduire que (F) est inclus dans une conique dont on précisera la na-ture et les éléments.

c. Tracer l’ensemble (F).

Problème 11 points

Partie A ⋆ Résolution d’une équation différentielle(Hors programme depuis 1998.)

1. Résoudre dans R l’équation différentielle (E0) y ′′−2y ′+ y = 0.

2. Soit l’équation différentielle (E) : y ′′−2y ′+ y = x2 −4x +2.

Vérifier que le polynôme h défini sur R par h(x) = x2 est une solution par-ticulière de (E), c’est-à-dire que, pour tout x de R, h′′(x) − 2h′(x) + h(x) =x2 −4x +2.

3. a. Montrer que si f est solution de (E), c’est-à-dire, si pour tout x réel,

f ′′(x)−2 f ′(x)+ f (x) = x2 −4x +2, alors la fonction g , telle que g = f −h,est solution de (E0).

b. Réciproquement, montrer que si g est solution de (E0) alors la fonction f ,telle que f = g +h, est solution de (E).

c. En déduire la forme générale des solutions de (E) sur R.

4. En déduire une solution ϕ de (E) satisfaisant à ϕ(1) = 1 et ϕ′(1) = 0.

Amérique du Sud 41 novembre 1998


Partie B ⋆ Étude de la fonction f et tracé de sa courbe représentative

On considère la fonction définie sur R, par

f (x) = x2 −2(x −1)e(x−1).

On note (C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormal(

O,−→ı ,

−→

)

; (unité

graphique : 2 cm).

1. a. Déterminer la limite de f en + ∞. On pourra montrer que

f (x) = e

(

x2

ex−

2x

e+

2

e

)

.

b. Déterminer la limite de f en - ∞.

c. Calculer f ′(x) pour tout x réel et en déduire le sens de variation de f surR.

2. a. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet sur R une solution unique. Onnote α cette solution.

b. Montrer que α appartient à l’intervalle ]1,7 ; 1,8[.

3. On appelle (Γ) la parabole d’équation y = x2.

a. Étudier la position relative de (C ) et de (Γ).

b. Calculer la limite de f (x)− x2 quand x tend vers −∞.

4. Tracer sur une feuille de papier millimétré, la courbe (C ) et la parabole (Γ).

Partie C ⋆ Calculs d’aires

Soit a un nombre réel strictement inférieur à 1. On appelle Da le domaine du planlimité par les courbes (C ) et (Γ) et les droites d’équations x = a et x = 1.On note A (a) l’aire du domaine Da , exprimée en unités d’aire.

1. Montrer que A (a) = 2(a −1)e(a−1) −2e(a−1) +2.

(On pourra utiliser une intégration par parties).

2. Calculer l’aire A (0) du domaine D.

3. Déterminer la limite de A (a) quand a tend vers −∞.

Partie D ⋆ Calcul de probabilités

Sur la feuille de papier millimétré de la partie B, on place les points I(1 ; 0), J(0 ; 1) etK(1; 1). On utilise cette feuille comme cible.On admet que, pour chaque essai :

• la probabilité d’atteindre un point du carré OIKJ est égale à1

2. ;

• sachant qu’un point du carré est atteint, la probabilité que ce point appartienne àD0 est égale à A(0).

1. Pour un essai, montrer que la probabilité d’atteindre un point du domaine

D0 est égale à 1−2

e.

2. On effectue n essais (n entier naturel non nul), tous indépendants les uns desautres.

a. Exprimer, en fonction de n, la probabilité pn d’atteindre au moins unefois un point du domaine D0 au cours de ces n essais.

b. Déterminer le nombre minimal n d’essais pour que cette probabilité pn

soit supérieure ou égale à 0,99.

Amérique du Sud 42 novembre 1998

[ Baccalauréat S Nouvelle–Calédonie \

décembre 1998

ExerciceCommun à tous les candidats

Dans une foire, une publicité annonce : « Un billet sur deux est gagnant. Achetezdeux billets ».Dans cet exercice, on suppose qu’effectivement, sur le nombre de billets en vente,exactement un billet sur deux est gagnant. Xavier est toujours le premier acheteurde la journée.

Partie A

Il est mis en vente chaque jour cent billets.

1. Xavier acheté deux billets. Calculer la probabilité qu’il achète au moins unbillet gagnant.

Le résultat sera donné sous forme d’une fraction irréductible, puis à 10−3

près.

2. Xavier revient chaque jour, pendant trois tours, acheter deux billets Quelleest la probabilité qu’il achète au moins un billet gagnant sur les trois jours ?

Le résultat sera donné à 10−3 près.

3. Un autre tour, Xavier achète six billets Quelle est la probabilité qu’il achèteau moins un billet gagnant Le resultat sera donné à 10−3 près.

Partie B

Soit n un entier naturel non nul.Désormais, il est mis en vente 2n billets. Xavier achète deux billets.

1. Démontrer que la probabilité pn , qu’il achète au moins un billet gagnant est

pn =2n−1

2(2n−1).

2. a. Étudier les variations de la suite(

pn

)

n∈N.

b. Déterminer la limite de pn , quand n tend vers +∞.

Exercice (spécialité)

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct(

O,−→u ,

−→v

)

(unité

graphique : 5 cm).On considère les points A d’affixe

p2, et B d’affixe i. Soit C te point tel que OACB soit

un rectangle. On note I le milieu du segment [OA], J le milieu du segment [BC] et Kle milieu du segment [AI].Placer ces points sur une figure.

1. On considère la transformation s de P dans P qui, à tout point M d’affixe z,associe le point M ′ d’affixe z ′, tel que

z ′ =−i

p2

2z +

p2

2+ i.

a. Démontrer que s est une similitude dont le centreΩ a pour affixe2p

2

3+

1

3i

et dont on déterminera le rapport k et une mesure θ de l’angle.

b. Determiner les images par s des points O, A, B, C.

2. a. Calculer une mesure de l’angle(−−→ΩB ,

−−→ΩB

)

.

En déduire que les points A, B et Ω sont alignés.


b. Démontrer de même que les points I, C, Ω sont alignés.

c. En déduire une construction de Ω. Placer Ω sur la figure.

3. a. Montrer queΩ appartient aux cerclesΓ1 etΓ2 de diamètres respectifs [BC]et [AI].

b. Démontrer que−→JΩ et

−→JK sont colinéaires.

c. Démontrer que la droite (ΩO) est la tangente commune à Γ1 et Γ2.

Représenter les cercles Γ1, Γ2 et la droite (ΩO) sur la figure.

Problème

Le plan est muni d’un repère orthonormé(

O,−→ı ,

−→

)

(unité : 3 cm). On considère la

fonction numérique f définie sur R par

f (x) = ln(

x2 −2x +2)

.

On désigne par (C ) sa courbe représentative dans(

O,−→ı ,

−→

)

.

Partie A

1. Justifier que, pour tout x réel, x2 −2x +2 > 0.

2. Déterminer la fonction dérivée f ′ de f et étudier le sens de variations de f

sur R.

3. Déterminer les limites de f en +∞, et en −∞.

4. Représenter (C ) et la droite (∆) d’équation y = x ; on montrera que la droited’équation x = 1 est un axe de symétrie de (C ) et on placera les points d’abs-cisses 0 et 2 ainsi que les tangentes à la courbe en ces points.

Partie B

On s’intéresse à l’intersection de (C ) et de (∆).On pose, pour tout réel x, ϕ(x) = f (x)− x.

1. Déterminer la fonction dérivée ϕ′ de ϕ. En déduire que ϕ est strictementdécroissante sur R

2. a. Determiner la limite de ϕ en −∞.

b. Montrer que, pour tout réel x strictement positif,

ϕ(x) = x

2ln x

x+

ln

(

1−2

x+

2

x2

)

x−1

.

En déduire la limite de ϕ en +∞.

3. Montrer que la droite (∆) coupe la courbe (C ) en un point et un seul.

On désigne par α l’abscisse de ce point.

Montrer que 0,3 <α< 0,4.

Nouvelle-Calédonie 44 décembre 1998

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