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INTEGRATION

I. Définition graphique de l’intégrale

1°/ Cas d’une fonction à valeurs positives

Définition : Soit , continue et positive sur et la courbe de dans un repère orthogonal .

On appelle intégrale de à de la fonction l’aire du domaine délimité par :

l’axe des abscisses, les droites d’équation et , la courbe de .

On note cette aire

.

Remarques : est une variable muette , on peut noter

l’intégrale

et sont les bornes de l’intégrale.

Exemples :

1.

2. Soit une fonction constante définie sur , c'est-à-dire que, pour tout

où et et deux réels tels que

alors

Remarque : l’intégrale d’une fonction positive s’exprime en unité d’aires ( ua ),

l’unité d’aire correspond à l’aire du rectangle où et , voir représentations :

Attention,

prenons l’exemple ci-dessous de la fonction constante égale à 3, alors

mais si l’unité du

repère est pour les abscisses et les ordonnées alors pour trouver l’aire correspondante en il faudra multiplier

par ….

En effet

2

2°/ Fonctions en escalier

La notion d’intégrale s’étend aisément aux fonctions en escaliers qui présentent des discontinuités.

3°/ Valeur moyenne

Définition : Soit (avec ) , continue, telle que pour tout .

On appelle valeur moyenne de sur le réel :

Interprétation graphique :

Si

alors

, ainsi

correspond à l’aire d’un rectangle de dimensions et .

Prenons l’exemple ci-dessous de la fonction définie sur , par .

La valeur moyenne de la fonction sur est :

Traçons ce rectangle d’aire

et de dimensions et

4°/ Cas d’une fonction de signe quelconque

Convention :

Cf

2 3 4 5

2

3

4

5

6

-1

0 1

1

x

y

3

On compte les aires des domaines situés au-dessus de l’axe des abscisses en positif et les aires des domaines situés au-dessous de l’axe

des abscisses en négatif.

Dans l’exemple ci-dessus :

Exemple :

II. Propriétés de l’intégrale

1°/ Relation de Chasles

A la vue du schéma ci-contre, la proposition suivante est évidente ( du moins pour une

fonction positive en interprétant les différentes intégrales comme des aires ):

Proposition : Soit et réel, tels que est continue et . Alors :

Proposition :

Preuve :

une aire contenue dans un segment est nulle puisque qu’un segment est un rectangle de largeur nulle.

Remarque :

Jusqu’à présent,

n’a de sens que si , on donne un peu de souplesse à la notion dans la définition suivante.

Définition : Si on pose

.

Remarque : cette définition est motivée par le fait qu’on veut conserver la relation de Chasles et la proposition précédente

ce qui impose :

d’où

.

Attention : l’intégrale a été définie comme une aire. Mais l’intégrale

ne représente l’aire du domaine délimité

par l’axe des abscisses, les droites d’équation et et la courbe de que lorsque les deux conditions suivantes

sont réunies : et est positive sur et donc ne sera exprimée en qu’à cette condition.

Exercice 1. On rappelle que

, déterminer

. 2. Déterminer

, puis

,

et

4

Avec ce complément on a la proposition suivante qui est une extension de la première relation de Chasles :

Proposition : ( relation de Chasles )

Pour tous réels , et contenus dans un intervalle et toute fonction définie et continue sur on a :

1°/ Linéarité de l’intégrale

On imagine que si on ajoute 2 fonctions les aires s’ajoutent et que si on multiplie une fonction par 2 l’aire est aussi doublée… Ceci est

exprimé dans la proposition suivante :

Proposition : Soit et des fonctions définies et continues sur un intervalle contenant les réels et ,

et soit et des réels, alors on a :

Exercice 2 :

1. Calculer

et

2. Sachant que

calculer

2°/ Inégalités

IMPORTANT : Dans tout ce paragraphe et sont des réels tels que .

Théorème :

1. Positivité :

Soit une fonction continue sur telle que, pour tout alors

2. Conservation de l’ordre :

Soit trois fonctions continues sur et telles que alors :

Preuve : (feuille annexe)

Exercice 3 :

1. Montrer que pour tout on a

. 2. En déduire un encadrement de

Inégalités de la moyenne

Proposition : Soit une fonction continue sur un intervalle et et deux réels de :

1. Si et s' il existe deux réels et tels que, pour tout

alors

2. S’il existe un réel sur , alors

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Preuve (feuille annexe)

Illustration du 1. : pour une fonction positive sur , l’intégrale

est l’aire définie au I.1°,

Et elle est comprise entre l’aire du rectangle de hauteur et celle du rectangle de hauteur

Exemple : pour tout réel de [ 1 ; 6 ] , on a , d’où

III. Intégrales et primitives

1°/ Notion de primitive

Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle .

On appelle primitive de sur toute fonction dérivable sur telle que, pour tout de .

Exemples :

La fonction définie sur , par a pour primitive la fonction définie sur par

car est ………….. sur et …

La fonction définie sur par a pour primitive la fonction définie sur par

car est ………….. sur et …

2°/ Tableaux de primitives

Primitives des fonctions usuelles

Remarque : sur l’intervalle une primitive de

est la valeur absolue n’est utile que si .

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Exemples :

Sur la fonction définie par a pour primitive……………………………………………………..

Sur la fonction définie par a pour primitive……………………………………………………..

Sur , la fonction définie par

s’écrit

(On passe à la forme avec un exposant négatif ) donc a pour primitive sur telle que

Formes remarquables pour déterminer une primitive

Dans le tableau suivant, désigne une fonction dérivable sur un intervalle .

Remarque :

Une primitive de

est ce qui évite momentanément l’étude du signe de .

Comme la dérivée de la somme de deux fonctions est égale à la somme des dérivées, une primitive de la somme

de deux fonctions peut être obtenue comme la somme de deux primitives des fonctions en question

Par exemple une primitive de définie sur par est :

De plus si a pour primitive et est un réel, alors une primitive de est la fonction .

Par exemple une primitive de définie sur par est telle que

En combinant les deux éléments, une primitive de définie sur par est :

Méthode : pour déterminer une primitive d’une fonction sur , on essaiera de faire apparaitre une des formes

remarquables de la colonne de gauche du tableau précédent.

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Exemples :

Forme avec

, pour tout . On pose Donc

Forme avec

, pour tout

. On pose Donc On a bien, pour tout

Forme

, pour tout

. On pose Donc On a bien, pour tout ,

Forme

, pour tout

Forme

, pour tout . On pose Donc

Forme

, pour tout

. On pose Donc . On remarque que pour tout

donc une primitive de

est .

, pour tout

. On pose Donc . Soit on étudie le signe de

sur pour savoir quelle formule on applique : ou , soit on applique directement , sans se

soucier du signe de . On héritera alors d’une valeur absolue, ce qui ne posera pas de problème dans la plupart

des calculs d’intégrales que l’on fera à l’aide des primitives (voir plus loin ).

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3°/ Non unicité des primitives

Tout d’abord une constatation : La fonction carrée sur admet au moins deux primitives :………………… et ……………………

Remarque : Il n’y a pas unicité des primitives d’une fonction mais on a mieux :

Proposition : Soit une fonction admettant une primitive sur un intervalle e ,

alors les autres primitives de sur sont les fonctions qui s’écrivent :

où est un réel

Preuve :

Supposons que est une primitive de sur alors est dérivable sur et .

Posons alors est dérivable sur en tant que …………………….. de fonctions dérivables

et donc est …………. Et donc pour tout où est un réel ,et, ainsi

Réciproquement : Soit une fonction qui s’écrit alors

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Exemple : Les primitives de la fonction « carré » sur sont les fonctions qui s’écrivent …………………………………………………….

Remarque : On peut définir la notion de primitive sur un ensemble qui n’est pas un intervalle comme par exemple , de

la même manière que pour un intervalle. Mais la proposition ci-dessus devient fausse en général : prenons la fonction

définie sur par et sur par . Les fonctions et définies sur par

et

et sur par

et

sont des primitives de sur ( à vérifier ) mais

sur et sur . Donc ne s’écrit pas .

4°/ Unicité de la primitive vérifiant une condition initiale

Proposition :

Soit une fonction admettant au moins une primitive sur un intervalle .

Soit un élément de et un réel. Alors il existe une unique primitive de sur telle que .

Preuve :

admet une primitive sur , disons . Soit la fonction définie sur par ). Alors est dérivable

sur en tant que ………………… de fonctions dérivables sur et pour tout Donc est une primitive de

sur . De plus

On a ainsi montré l’existence d’une primitive vérifiant la condition , montrons l’unicité :

Tout primitive de sur s’écrit pour tout avec une réel. Si de plus elle vérifie la condition

initiale alors ce qui s’écrit et donc et ainsi pour tout ce qui

montre l’unicité de .

Exercice 4 : Soit la fonction définie sur par . Déterminer la primitive de sur qui s’annule en

.

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5°/ Existence d’une primitive d’une fonction continue sur un intervalle

Théorème :

Soit continue sur un intervalle et .

Alors la fonction définie sur par

est la primitive de sur qui s’annule en .

Preuve sur feuille annexe ( dans le cas où est croissante )

Exemple :

V. Méthodes de calculs d’une intégrale

1°/ Primitives et calcul intégral

Théorème : Soit continue sur un intervalle contenant deux réels et , et une primitive de sur . Alors :

Notation : la différence se note

Preuve : Posons pour tout , . est dérivable sur et :

Pour tout

Donc, est la primitive de sur qui

Ainsi, pour tout

Donc,

Méthode : Pour calculer une intégrale on cherchera d’abord à déterminer une primitive et on appliquera la formule.

Exemple :

2°/ Intégration par parties

Un problème pour commencer : on veut calculer

. Nous savons maintenant que pour calculer une intégrale,

nous pouvons déterminer une primitive grâce aux tableaux, mais parfois ces derniers ne donnent rien. Essayons de

déterminer une primitive de , conclusion :………………………….

Heureusement nous avons la formule suivante qui permet le calcul de certaines intégrales lorsqu’on n’est pas en mesure

de trouver une primitive grâce aux tableaux.

Théorème : Soient et deux fonctions dérivables sur , admettant des dérivées continues. Alors on a :

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Preuve : (indication) on part de la formule qu’on intègre entre et .

Application à notre problème :

On pose

donc

Si on remplace 2 par dans le raisonnement ci-dessus on obtient la primitive de s’annulant en :

Remarques :

La formule d’intégration par parties permet de remplacer le calcul d’une intégrale que l’on ne sait pas calculer

(

ci- dessus) par le calcul d’une intégrale que l’on sait calculer (

). Mais ce ne sera pas la seule

application.

Pour utiliser l’intégration par parties pour la calcul d’une intégrale il faut disposer d’un produit de deux fonctions,

l’une que l’on va dériver ( ) , l’autre dont on va trouver une primitive . Ceci implique que l’on est capable de

trouver une primitive et qu’en outre cela rend le calcul de l’intégrale possible.

Prenons un autre exemple :

Calculer