Exemple. Montrons que l’intégrale∫ +∞

1tαe−t dt converge,

quel que soit le réel α.

— Pour cela nous écrivons d’abord : tαe−t = tαe−t/2 e−t/2.

— On sait que limt→+∞ tαe−t/2 = 0, pour tout α, car l’exponentielle l’emportesur les puissances de t.

— En particulier, il existe un réel A > 0 tel que :

∀t > A tαe−t/2 ≤ 1 .

— En multipliant les deux membres de l’inégalité par e−t/2 on obtient :

∀t > A tαe−t ≤ e−t/2 .

— Or l’intégrale∫ +∞1 e−t/2 dt converge. En effet :

∫ x

1e−t/2 dt =

[

−2e−t/2]x

1= 2e−1/2 − 2e−x/2

etlim

x→+∞2e−1/2 − 2e−x/2 = 2e−1/2 .

— Par le théorème de comparaison, puisque∫ +∞1 e−t/2 dt converge, on en déduit

que∫ +∞1 tαe−t dt converge aussi.

Déjà tu t'etest continue sur Eliotdonc localement intégrable

Théorème 4.6 (Théorème d’équivalence). Si f et g sont continues par morceaux sur

[a, b[, si f a un signe constant au voisinage de b et si f(x) ∼x→b

g(x) alors∫ b

g(t) dt

et∫ b

f(t) dt sont de même nature.

Démonstration : Supposons par exemple f positive au voisinage de b (sinon on consi-dérerait −f).

• Par hypothèsef(x) = g(x)(1 + ε(x))

avec limx→b

ε(x) = 0 et donc en particulier −12 < ε(x) < 1

2 pour x suffisamment prochede b.

• Sur ce voisinage, g est aussi positive et on déduit donc : 12g(x) < f(x) < 3

2g(x).

• Le théorème de comparaison permet alors de conclure. !

Exemple. Étude de l’intégrale

∫ +∞

1

t5 + 3t + 1t3 + 4

e−t dt.

On at5 + 3t + 1

t3 + 4e−t ∼

+∞t2e−t ,

Nous avons déjà montré que l’intégrale∫ +∞1 t2e−t dt converge, d’où la convergence

de∫ +∞

1

t5 + 3t + 1t3 + 4

e−t dt.

ft festcontinuesurtitodonclocalementintegrable

Théorème 4.7 (Domination). Soit g ∈ Cm([a, b[,R) une fonction positive.

Soit f ∈ Cm([a, b[,R) une fonction positive telle que f(x) = Ox→b

(g(x)).Si l’intégrale de g sur [a, b[ converge alors il en est de même de celle de f .

Démonstration : Supposons tout d’abord b ∈ R.

• Comme f(x) = Ox→b

(g(x)), il existe des réels δ > 0 et M > 0 tels que

∀x ∈]b − δ, b[, |f(x)| " Mg(x)

• On a alors∀x ∈]b − δ, b[, 0 " f(x) " Mg(x).

• Comme∫ b

ag(t) dt converge,

∫ b

b−δg(t) dt converge et donc (théorème de compa-

raison) l’intégrale de f sur [b − δ, b[ est convergente.

Par suite,∫ b

af converge.

Si b = +∞, on procède de même en remarquant qu’il existe A > 0 et M > 0 telsque

∀x > A, 0 " f(x) " Mg(x).

!

4.2.2 Étude de la convergence lorsque b = +∞.

Fonctions témoins : intégrales de Riemann

L’intégrale de Riemann∫ +∞ dt

tαconverge si et seulement si α > 1.

• La fonction f : t "→1

tαest continue sur [1, +∞[.

• Si α = 1, la fonction F : t "→ "n t est une primitive de f et

• si α $= 1, la fonction F : t "→ 1

−α+1t−α+1 est une primitive de f .

• On remarque bien que F admet une limite finie en +∞ si et seulement si α > 1.

Règle de la partie principale

Soit f continue par morceaux sur [a, +∞[ telle que f(x) ∼x→+∞

A

xαoù A est une

constante réelle non nulle.

Alors∫ +∞

f(t) dt converge si et seulement si α > 1.

Règle de Riemann

Soit f continue par morceaux et positive sur [a, +∞[.

• Si on peut trouver α > 1 tel que xαf(x) soit majoré au voisinage de +∞ alors

l’intégrale∫ +∞

f(t) dt converge.

• Si on peut trouver α ! 1 tel que xαf(x) soit minoré par un nombre non nul au

voisinage de +∞ alors l’intégrale∫ +∞

f(t) dt est divergente.

Exercice 4.4. Démontrer ces deux résultats.

Le premier Par hypothèse

JM 0 Je 0 Kaze Ifas FMAlas

Kaze f k My

La fonction f étant positive par comparaison avecune

intégrale de Riemann convergente en C ca x 1 on en

déduit la convergence de 5f

Remarques.— Les règles précédentes s’appliquent encore pour la borne −∞. Pour la règle de

Riemann, on étudiera |x|α f(x).

— Si∫ +∞

f(t) dt converge et si f a une limite finie en +∞ alors cette limite est

nulle.

En effet, si f admet une limite " $= 0 en +∞, on a a fortiori f(x) ∼x→+∞

".

Exemple. Déterminer la nature de l’intégrale∫ +∞

0

√x"n x

2 + x2dx.

• f : x "−→√

x"n x

2 + x2est continue par morceaux (donc localement intégrable) sur

[0, +∞[.

• En effet, f a une limite finie en 0 puisque√

x"n x !

x→0+ 0.

• Pour tout x > 0,

x54 f(x) =

12

x2 + 1

"n x

x14

!

x→+∞ 0

(par croissance comparée des fonctions logarithmes et puissances).

• La règle de Riemann permet donc d’affirmer que∫ +∞

0

√x"n x

2 + x2dx converge.

Intégrales de Bertrand

Une intégrale de Bertrand est

∫ +∞

2

1

t (ln t)βdt

où β ∈ R.

La primitive est explicite :

∫ +∞

2

1

t (ln t)βdt =

limx→+∞

[

1

−β+1(ln t)−β+1

]x

2si β /=1

limx→+∞

[

ln(ln t)]x

2si β = 1

On en déduit la nature des intégrales de Bertrand.

Si β > 1 alors∫ +∞

2

1

t (ln t)βdt converge.

Si β ≤ 1 alors∫ +∞

2

1

t (ln t)βdt diverge.

Exercice 4.5. Démontrer la convergence de

∫ +∞

2

√t2 + 3t ln

(

cos1

t

)

sin2

(

1

ln t

)

dt.

Exercice 4.6. Discuter selon α > 0 et β ∈ R la nature de l’intégrale de Bertrand

généralisée∫ +∞

2

1

tα(ln t)βdt.

t f4 est continue sur 2 donc localement

intégrable

f est négative

Faisons un équivalent de f en o

cesE I E to f donc lu f Io ta

soit Ettoletdonc si En htt

FI tf zotAinsi

par produit d'équivalents

flot f ÊtOn t Ia donne une intégrale de Bertrand

convergente en o

Par équivalence de fonctions positives 5f converge

Par linéarité Stf converge

4.2.3 Étude de la convergence lorsque b est fini

Fonctions témoins : intégrales de Riemann

L’intégrale de Riemann∫

0

dt

tαconverge si et seulement si α < 1.

Avec les notations précédentes, on remarque que F admet une limite finie en 0 si

et seulement si α < 1.

Ce même raisonnement montre que

L’intégrale de Riemann∫ b dt

(b − t)αconverge si et seulement si α < 1.

Règle de la partie principale.

Soit f continue par morceaux sur [a, b[ telle que f(x) ∼x→b

A

(b − x)αoù A est une

constante réelle non nulle.

Alors∫ b

f(t) dt converge si et seulement si α < 1.

Règle de Riemann.

Soit f continue par morceaux et positive sur [a, b[.

• Si on peut trouver α < 1 tel que (b−x)αf(x) soit majoré alors l’intégrale∫ b

f(t) dt

converge.

• Si on peut trouver α " 1 tel que (b − x)αf(x) soit minoré par un nombre non nul

alors l’intégrale∫ b

f(t) dt est divergente.

dtExercice Nature de 5 f E n

t ff1 onest continue et positive seu 30 II

donc localement intégrable

l'intégrale est généralisé en 0 et en 1 on étudie

donc sur 10 t et E I

Sur Jo I fai I done If carnage

par équivalence avec une intégralede Riemann x en o

Sur E II f y I donc If diverge

par équivalence avec une intégralede Riemann x1

Au final j dt

o C tt rdiverge

4.3 Intégrale d’une fonction quelconque. Convergence abso-lue

On considère toujours un intervalle de la forme I = [a, b[ avec a < b et

b ∈ R ∪ {+∞}.

Définition 4.8. Soit f ∈ Cm([a, b[,R) (ou f ∈ Cm([a, b[,C)). On dit que∫ b

af(t)dt

converge absolument si∫ b

a|f(t)| dt converge.

Par exemple,∫ +∞

1

sin t

t2dt

est absolument convergente.

En effet, pour tout t,| sin t|

t2≤

1

t2.

Or l’intégrale de Riemann∫+∞1

1

t2 dt est convergente. D’où le résultat par le théorème

de comparaison.

Théorème 4.9. Soit f ∈ Cm([a, b[,R) (ou f ∈ Cm([a, b[,C)) dont l’intégrale sur [a,

b[ converge absolument. Alors l’intégrale de f sur [a, b[ converge et∣

∣

∣

∣

∣

∫ b

af(t) dt

∣

∣

∣

∣

∣

!∫ b

a|f(t)| dt

Démonstration : On va le montrer pour une fonction a priori à valeurs complexes.

• Comme |Re f | ! |f | et |Im f | ! |f |, par linéarité, il suffit de le montrer pour

les fonctions à valeurs réelles.

• Pour f à valeurs réelles, on note f+ = max (f, 0) et f− = max (−f, 0).

Ce sont deux fonctions positives, 0 ! f+ ! |f | et 0 ! f− ! |f |, dont l’intégrale

converge par majoration.

• Et comme f = f+ − f−, on déduit (par linéarité) que l’intégrale de f converge

sur [a, b[.

• Enfin,∫ b

af =

∫ b

af+ −

∫ b

af− donc

∣

∣

∣

∣

∣

∫ b

af

∣

∣

∣

∣

∣

!

∣

∣

∣

∣

∣

∫ b

af+

∣

∣

∣

∣

∣

+∣

∣

∣

∣

∣

∫ b

af−

∣

∣

∣

∣

∣

=∫ b

af+ +

∫ b

af−

(intégrales de fonctions positives)

• soit finalement∣

∣

∣

∣

∣

∫ b

af

∣

∣

∣

∣

∣

!∫ b

a(f+ + f−) =

∫ b

a|f |. #

Exemple. L’intégrale∫ +∞

1

sin t

t2dt

est donc convergente.

Remarque. On dit parfois que f est intégrable sur l’intervalle I pour signifier que

l’intégrale de f sur I converge absolument.

Exemple. Déterminer la nature de l’intégrale∫ +∞

0

2 cos x

3 + x√

xdx.

• La fonction f : x "−→2 cos x

3 + x√

xest continue (donc localement intégrable) sur

[0, +∞[ et, pour tout x > 0,

|f(x)| !2

x√

x.

• Comme∫ +∞ dx

x32

converge (intégrale de Riemann avec3

2> 1), le théorème de

comparaison permet d’affirmer que∫ +∞

f converge absolument.

L’intégrale proposée converge donc.

Exemple. Déterminer la nature de l’intégrale∫ +∞

0

cos x√x

dx.

La fonction f : x "−→cos x√

xest continue (donc localement intégrable) sur ]0, +∞[.

Étude en 0

On a f(t) ∼t→0

1√t

et∫

0

dt√t

converge (intégrale de Riemann avec1

2< 1) donc

∫

0f

converge.

Étude en +∞• Pour tout x " 1, |f(x)| !

1√x

. Le théorème de comparaison ne permet pas ici

de conclure, la puissance au dénominateur n’étant pas suffisante pour obtenir une

intégrale de Riemann convergente.

L’idée est alors d’augmenter cette puissance par une intégration parparties.

Exercice

Soit A > 1. Les fonctions u : x "→1√x

et v : x "→ sin x sont de classe C1 sur [1, A]

donc (théorème d’intégration par parties)

∫ A

1

cos x√x

dx =

sin x√x

A

1

+1

2

∫ A

1

sin x

x32

dx =sin A√

A− sin 1 +

1

2

∫ A

1

sin x

x32

dx

• D’une part,sin A√

A!

A→+∞ 0.

• D’autre part

∀x > 1,

∣

∣

∣

∣

∣

sin x

x32

∣

∣

∣

∣

∣

!1

x32

et∫ +∞ dx

x32

converge (intégrale de Riemann avec3

2> 1) donc

∫ +∞ sin x

x32

dx converge

(absolument)

• et en particulier∫ A

1

sin x

x32

dx a une limite finie lorsque A tend vers +∞.

• On en déduit donc que∫ A

1f a une limite finie lorsque A tend vers +∞ : l’in-

tégrale∫ +∞

f converge.

En conclusion, l’intégrale∫ +∞

0

cos x√x

dx converge.

Exercice Déterminer la nature de fasinxéda

Définition 4.10. Soit f ∈ Cm([a, b[,R). On dit que l’intégrale∫ b

af(t) dt est semi-

convergente sur [a, b[ quand elle converge sans être absolument convergente.

Exemple.∫ 1

0

sin t

tdt est semi convergente. (Voir Td.)