Bilan d'une séquence de géométrie dynamique en CM2revue.sesamath.net/IMG/article_PDF/Bilan-d-une-s-quence-de-g-om... · transformer en géométrie de la mesure au sens où d'une

Bilan d'une séquence de géométrie dynamique en CM2

Extrait du Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiques

http://revue.sesamath.net/spip.php?article346

Bilan d'une séquence de

géométrie dynamique en CM2- N°25 - Mai 2011 -

Date de mise en ligne : dimanche 8 mai 2011

Description :

Une classe de CM2 a fait 7 séances de géométrie dynamique, trois au premier semestre, quatre au second semestre de cette année scolaire. Nous nous proposons

d'analyser les pratiques des élèves et d'étudier l'évolution des représentations de la géométrie par ces élèves et leur enseignante.

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Une classe de CM2 vient de terminer un cycle de 7 séances de géométrie dynamique (GD).Illustré de vidéos de l'ensemble de la séquence, cet article aborde plusieurs questions, dontcelle de la représentation de la géométrie chez les élèves et leurs enseignants. On verra aussi,à travers les échanges entre pairs associés à la manipulation directe, le glissement progressifde certains élèves vers "la géométrie des propriétés des objets" que préconise l'équipeERMEL, mais aussi la difficulté à engager une attitude géométrique chez d'autres. Nousterminerons par un regard critique sur notre séquence et les modifications à y apporter.

Cet article est publié dans le cadre de l'appel à contributions n° 5

La géométrie du cycle 3 de l'école primaire est qualifiée d'instrumentée au sens où l'usage des instruments est unepremière étape pour s'affranchir de la simple perception. La pratique de classe semble toutefois souvent latransformer en géométrie de la mesure au sens où d'une part la règle graduée est omniprésente et surtout, d'autrepart, l'utilisation des propriétés géométriques est peu mise en oeuvre.

L'ouvrage de géométrie de l'équipe ERMEL, publié en décembre 2006, se propose de modifier les pratiques car,pour l'équipe ERMEL, si on instrumente les élèves (plus que la géométrie) c'est parce que la géométrie du cycle 3,au moins du CM1 et du CM2, est un géométrie "des propriétés des objets", et que les instruments sont un premieroutil de validation de cette géométrie. L'avantage didactique de cette étape instrumentée est de rester dans lemonde sensible (du cycle 2).

L'usage d'outils du monde sensible est aussi un obstacle - précision, manipulations éphémères et non reproductibles- qui peut aussi être mis à profit, préconise l'équipe ERMEL, pour proposer aux élèves de s'affranchir du perceptif etessayer de raisonner plus directement sur les propriétés des objets : les limites de l'instrumentation des outils estainsi l'occasion de rentrer dans cette "géométrie des propriétés des objets", au niveau de précisions que l'on peutproposer en CM2.

1. Introduction

Dans le cadre d'un projet de recherche au sein de l'équipe EREDIM, nous travaillons sur l'utilisation de la géométriedynamique à différents niveaux de scolarité, et pour ce qui nous occupe ici, au cycle 3 de l'école primaire.

Les enjeux de la géométrie dynamiques au cycle 3, à la lumière de la position de l'équipe ERMEL et de quelquesactivités d'instrumentation - ont déjà été présentés dans cet article de l'IREM de La Réunion.

Une argumentation sur le choix du logiciel retenu, CaRMetal, ainsi qu'une prise en main de ce logiciel orientée pourl'école sont présentées dans cet autre article.

Cet article rend compte d'une séquence de 7 séances effectuées dans la classe de CM2 d'Hélène Lefèvre, à l'écoleélémentaire Alain Lorraine (La Possession), mise en oeuvre par Isabelle Payet, enseignante à l'IUFM de La Réunion.Trois séances ont été faite au premier semestre, et quatre au second semestre.


http://revue.sesamath.net/spip.php?rubrique28

http://lim.univ-reunion.fr/page.php?css=default&nom=eredim

http://www.reunion.iufm.fr/recherche/irem/spip.php?article386

http://db-maths.nuxit.net/CaRMetal/




Parmi les séances du premier semestre sur l'instrumentation des objets droites et segments, nous avons repris uneactivité d'investigation de l'ouvrage ERMEL de Géométrie, l'activité "faisceaux de traits". Nous avions déjàexpérimenté cette activité plusieurs fois, dans l'environnement informatique et dans l'environnement papier-crayon, àla fois en CM1 et en CM2. Ceci a fait l'objet d'un premier article d'Isabelle Payet, disponible en ligne dans le numéro35 de la revue Expression.

Parmi les séances du second semestre, une autre activité de l'ERMEL de Géométrie a été reprise (celle intitulée "lecercle et les cercles"), et adaptée à l'environnement informatique. Elle avait déjà été testée l'an passé, et a fait l'objetde cet article (Isabelle Payet) sur le site de l'IREM de La Réunion.

C'est pour cela que ne reprendrons pas ces activités dans les analyses proposées ici.

Les 7 séances effectuées

S1. (5 novembre 2010) : Instrumentation sur les points, segments, droites. Tableaux de fils.S2. (26 novembre 2010) : Faisceaux de traits (adapté d'une activité ERMEL).S3. (10 décembre 2010) : Construction d'un rectangle et problème ouvert associé - nombre d'intersections d'unefigure comportant un rectangle et deux cercles distincts.S4. (11 février 2011) : Instrumentation sur les cercles.S5. (18 février 2011) : Le cercle et les cercles (adapté d'une activité ERMEL).S6. (25 février 2011) : Deux programmes de construction du pentagone régulier.S7. (25 mars 2011) : Analyse géométrique et reproduction d'une figure mettant en jeu la construction de carrés.

Comme indiqué ci-dessus, les séances S1, S2, et S5 ont déjà fait l'objet de compte rendus, dans d'autres articles.Nous ne détaillerons donc que les autres.

Particularités de la mise en oeuvre

CaRMetal a cette particularité de travailler avec des classeurs contenant plusieurs figures. L'environnement dechaque figure peut être paramétré individuellement, en particulier en décidant des palettes disponibles pour cettephase de la séance, et dans chaque palette des outils disponibles aux élèves. Cela permet d'éviter une surcharge -mais aussi un éparpillement - aux élèves en ne ciblant que les quelques outils spécifiquement utiles pour la tâche.Les élèves voient très vite qu'ils n'ont pas les mêmes outils en changeant de figure dans le classeur de la séance.

Du côté des élèves un outil est systématiquement utilisé, l'outil Monkey, qui, comme l'indique son propre feedback,permet de secouer la figure.

Comme cet outil déplace aléatoirement tous les objets de base, on verra dans certaines vidéos, quand les élèves nedémarrent pas sur une figure vide, que certains points ne bougent pas : dans la préparation des figures, nous avons


http://www.reunion.iufm.fr/Recherche/Expressions/35.htm

http://www.reunion.iufm.fr/Recherche/Expressions/35.htm




parfois choisi de bloquer ces points pour que l'on puisse plus facilement interpréter les mouvements à l'écran. Maisen pratique c'est assez rare, car l'essentiel des figures sont entièrement faites par les élèves et on n'a pas travaillél'aspect qui consiste à fixer les points.

On notera que suite à cette séquence, nous avons demandé à l'auteur du logiciel, Eric Hakenholz, de pouvoir ralentirle Monkey, trop rapide pour des figures élémentaires de l'école primaire. Et ce paramétrage est disponible depuis laversion 3.6 (avril 2011) dans la palette Taille.

Par défaut il est réglé à 15, on peut le mettre à 4 ou 6 pour une utilisation en CM2.

Ayant deux adultes autres que l'intervenante en classe (l'enseignante titulaire et l'auteur de l'article), les séances ontété filmées à trois caméras (dont une souvent fixe) ce qui permet de relever de nombreux comportements, denombreuses prises d'initiative que l'on ne repèrerait pas nécessairement quand on est seul avec sa classe en salleinformatique.

L'article a été écrit essentiellement pour partager cette prise d'information sur les pratiques d'élèves de CM2découvrant la géométrie dynamique et éventuellement pour inciter les collègues de cycle 3 à commencer à utilisercet outil fabuleux pour l'apprentissage de la géométrie.

Organisation technique de l'article

Chaque séance est rédigée dans un système d'onglets, le premier, toujours affiché par défaut, présente soit la fichede travail, les consignes, ou quelques commentaires généraux sur la séance. Chaque autre onglet contient un extraitvidéo commenté sur un point intéressant de la séance.

La séance S4 contenant trois phases bien distinctes, comporte à elle seule trois systèmes d'onglets.

S3. Construction d'un rectangle Introduction de propriétés euclidiennes

Cette séance est la première où l'on va construire une figure ordinaire,- au sens de connue des élèves - mais demanière dynamique. En effet, dans la deuxième séance, nous avions travaillé essentiellement des questionsd'alignement, il n'y avait pas d'orthogonalité.




L'activité commence par la construction d'un rectangle puis se poursuit par l'ajout de deux cercles (distincts) pourque la figure (rectangle et deux cercles) ait un maximum de points d'intersection. Cette activité a déjà été proposéedans le cinquième onglet (Problème ouvert) de cet article d'introduction à la géométrie dynamique à l'école primaire.

La construction attendue

S3.a - Construction dynamique d'un rectangle

Dans les activités de la séance précédente, le déplacement des points servait certes à valider la figure, mais cettefigure étant abstraite pour les élèves (deux triangles et des droites), sa non validation par le mouvement n'était pasaussi parlante que la non validation immédiatement perceptive, comme cela va être le cas ici : fabriquant unrectangle, si les angles droits disparaissent, les élèves s'aperçoivent immédiatement de leur erreur.

Même si la figure paraît élémentaire, elle a vraiment posé des problèmes aux élèves. Et il est intéressant de s'arrêterun moment sur cette difficulté.

En effet, on pourrait penser que les élèves ayant déjà été plongés deux fois dans cet environnement dynamique, unepremière expérience aurait dû être acquise. Mais en fait, si les élèves ont bien été plongés dans un environnementdynamique, ils l'ont été en conservant leurs représentations géométriques préalables à cette expérience.

Or cette fois, les élèves vont être perturbés non seulement dans leurs représentations, mais surtout dans leursschèmes d'action : ils vont effectuer les gestes ordinaires de leur géométrie papier-crayon, largement validés par desannées de pratique, et cette fois, ces gestes vont être invalidés.

La déstabilisation est importante, et il va falloir plusieurs étapes pour arriver à produire un vrai rectangle dynamique.

En pratique la figure terminée est vidéo-projetée au début de la séance. L'intervenante montre que l'on peut déplacerA et B dans tout le plan (tout l'écran), et C seulement sur une droite.

La construction demandée correspond à ceci : On prend un segment [AB] On trace des perpendiculaires à [AB] en A et B Sur celle issue de B on prend un point C La perpendiculaire à C en cette droite coupe la droite issue de A en un point que l'on nommera D.





Dans les onglets suivants on va voir la progression des productions des élèves sur cette activité au cours de laséance.

Suite à quelques problème de disque dur, seule la première vidéo est dans un format correct. Exceptionnellement lesautres vidéos de cette barette d'onglets sont dans un petit format.

++++Démarche perceptive

S3.b - Les premières démarches

Dans cette première vidéo, on voit que les élèves n'investissent aucunement l'orthogonalité des segmentsconsécutifs, mais qu'ils utilisent en revanche plus naturellement le parallélisme. L'élève qui perle est dans un registretotalement perceptif.

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Télécharger le plug-in Flash

La vidéo suivante est l'occasion de soulever une question qui a probablement été une source de problème ou deconfusion chez plusieurs élèves.

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http://www.adobe.com/go/getflashplayer




La difficulté en question est qu'un rectangle est constitué de segments et que les élèves n'ont probablement jamaisconstruit de rectangle avec des droites. Or ici il va falloir construire des droites perpendiculaires, donc des droites àla place de segments.

En géométrie dynamique, segment [AB] et droite (AB) sont deux objets différents, au sens de feuilles d'arbresdifférentes dans l'arborescence interne de la figure, et donc le segment [AB] n'est pas inclus dans la droite, alors quecette inclusion est naturelle chez les élèves : un peu plus loin dans la séance, un élève a utilisé la gomme commeune gomme papier-crayon en essayant d'effacer les parties de la droite extérieures au segment. D'autres logiciels dedessin (que les élèves peuvent avoir utilisés dans leur vie non scolaire) ont bien une gomme agissant comme celledu monde sensible. Il y a donc un apprentissage spécifique à faire. Nous avions cru que cela avait été fait lors de laséance 2, sur l'activité faisceaux de traits. Ici comme ailleurs, l'apprentissage d'un nouvel environnement de travailest à penser dans la durée ...

Même si l'enseignante en a parlé et a bien insisté, les élèves n'apprennent véritablement cette différence que devantun problème : il faut que leurs représentations soient perturbées, que leurs schèmes d'action soient mis en défautpour qu'ils commencent à écouter ceux qui essaient de les prévenir.

Cela illustre que l'erreur est un chemin naturel dans les phases d'apprentissage (et surtout de changement de cadreradical comme ici). Ce comportement de l'apprenant a souvent été évoqué, et il me revient cette analogie de RolandCharnay : quelque soit la puissance des outils de votre boite à outil, quelque soit la pertinence de ce que vousproposez, un élève testera d'abord si ses propres outils ne permettent pas de résoudre le problème avant decommencer à jeter un oeil sur ce que vous proposez. C'est exactement ce qu'il s'est passé pendant cette séance.

++++Démarche affine

S3.c - Démarche affine

L'extrait suivant, remarquable à bien des égards, illustre cette fois la prégnance de l'affine sur l'euclidien : l'élève neconstruit que des parallèles pour construire son rectangle.

Il est acquis que les propriétés affines (l'alignement en particulier) sont perçues par les élèves bien avant lespropriétés euclidiennes (ici l'orthogonalité). On sait également que dans le domaine géométrique, comme dans ledomaine numérique, il y a un décalage important (de 1 à 2 ans selon le concept) entre le moment où un concept estacquis comme objet et celui où il peut être utilisé comme outil dans une situation donnée (par exemple deraisonnement géométrique). Nous sommes probablement dans cette situation là.

Dans un premier temps, on pourrait penser qu'ici, l'orthogonalité des côtés adjacents d'un rectangle relève de ladéfinition du rectangle, et que l'angle droit est essentiellement du registre de l'objet mathématique, et certainementpas du côté outil. Pourtant le discours de l'élève - qui ne mentionne pas l'orthogonalité - pose question. Il peut s'agird'un élève qui est resté dans la perception affine (car en fin de l'extrait, il ne voit pas la non orthogonalité).

Il est possible aussi que le fait de devoir tracer des droites pour construire un rectangle place quelques élèves de laclasse dans "le monde des droites", c'est-à-dire de l'affine (apprentissage de l'alignement). D'où la possible perte deréférence à l'orthogonalité. Si c'est le cas, la modification profonde des schèmes d'actions des élèves (devoir tracerdes droites là il faut, au final, des segments) serait alors plus perturbante qu'on pourrait l'imaginer.




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Cet extrait vidéo est un concentré d'informations :

L'élève a un vocabulaire géométrique très précis. De plus il dit exactement ce qu'il a fait (et non pas ce qu'il croit avoir fait comme c'est souvent le cas) : le rapport à

la géométrie semble clair. L'élève se situe complètement dans un registre affine Alors qu'on voit à l'écran une forme de parallélogramme, l'élève confirme qu'il s'agit bien d'un rectangle. La discussion se déplace alors sur le fait qu'une droite ne passe pas par A. L'élève n'y voit alors qu'une question secondaire :"ah oui, il n'est pas bien attaché".

Il est clair que, pour cet élève - qui sait parler de géométrie avec précision - le rectangle, objet géométrique fréquentécomme forme depuis la maternelle, n'engage pas du tout l'orthogonalité (ni comme objet ni comme outil) maisseulement le parallélisme (comme outil).

Là encore, dans un environnement papier-crayon, on n'aurait pas pu percevoir ni même imaginer ces difficultéspuisque, perceptivement l'élève dessine un rectangle.

++++Démarche euclidienne

S3.d - Démarche euclidienne

La résolution de cette activité a commencé, pour tous les élèves, par une phase perceptive, puis une secondephase où les élèves ont compris qu'il fallait utiliser des droites, avec l'illustration (extrême) ci-dessus. Les élèves ontgénéralement mélangé parallélisme et orthogonalité avec plus ou moins de sucés.

Dans ce dernier extrait, nous allons voir que les élèves finissent, dans un troisième essai en général, par construireun rectangle dynamique correct.

On notera une difficulté non négligeable pour cette séance : comme les segments et les droites sont des objetsdistincts, une fois les droites utilisées pour construire les sommets du rectangle, il faut ensuite cacher les droites (etnon pas les supprimer) et construire enfin les rectangles.

<div style='width:320px;height:240px;margin:0 auto;overflow:hidden;' class='video_placeholder' > <videosrc="sites/revue.sesamath.net/IMG/flv/Sesam346S0df692a.flv" height="240" width="320" poster=""class="video-jwplayer" data-player="{ file:'sites/revue.sesamath.net/IMG/flv/Sesam346S0df692a.flv',height:240, width:320, wmode: 'window', image:'', controlbar: 'bottom', dock: 'false', autostart: false,'viral.onpause':'false', 'viral.oncomplete':'false', 'viral.allowmenu':'false' }" >







Le premier groupe a produit un rectangle comme attendu : on voit bien que les points A et B peuvent parcourirl'écran et le point C a un autre degré de liberté.

Le deuxième groupe a une production assez surprenante : la direction de [AB] est horizontale. Ceci n'est possibleque si B a été pris comme point sur objet d'une droite horizontale passant par A. C'est bien entendu possible, maisreste surprenant avec la palette disponible. La seule possibilité est qu'ils aient commencé par construire une droitehorizontale et ensuite on fait une parallèle à cette droite passant par un point qui sera le point A.

Le troisième groupe a bien utilisé l'orthogonalité, mais est dans la phase 2 de beaucoup de groupes : la finalisation aété partiellement perceptive (au sens où un objet n'a pas été associé à l'un des objets déjà construit).

On retiendra de cette séance qu'il convient de réécrire la phase de construction du rectangle pour que le déroulé del'activité prenne à sa charge une partie de la difficulté rencontrée par les élèves. Une meilleure option serait déjàd'orienter vers la construction des sommets du rectangle avant de passerau rectangle lui-même pour que la visiondes segments ne soit pas un parasite permanent à la construction dynamique.

S4. Instrumentation du logiciel sur le cercle etactivation des propriétés du cercle

Les activités précédentes utilisaient essentiellement des segments et des droites et les propriétés de parallélisme etd'orthogonalité. On se propose désormais de travailler avec les cercles. Cette séance est donc orientée vers uneinstrumentation des outils associés au cercle. On a choisi, dans la phase 3, une démarche assez technique, aveccomme objectif de mettre en évidence la recherche d'invariants dans la manipulation.

Phase 1 : le dessin d'une néphroïde, pour revenir dans l'interface du logiciel (après les grandes vacances d'étéde La Réunion). Fiche orientée aussi vers la dévolution de la géométrie dynamique.

Fiche élève

S4 - Phase 1 - Fiche élève




On peut être surpris de la fin de la fiche. En fait nous avions déjà vu, dans les séances en CM1 de l'an dernier (avecune autre classe), l'importance pour les élèves de jouer avec les couleurs en temps réel sur la palette de couleur dela fenêtre. Cette fois-ci, nous avons supprimé cette palette dans le gestionnaire d'environnement, mais nous avonschoisi de préciser sur la fiche de travail le principe d'activation d'une trace colorée en animation, ce principe ayant ététrouvé empiriquement par quelques élèves lors de la troisième séance en décembre, il s'agissait de la rappeler et dela partager.




C'est un choix délibéré de dévolution du logiciel par la compétence technique. En effet seuls les élèves ayant réalisécorrectement la figure peuvent produire quelque chose d'intéressant avec l'animation et les traces : c'est donc unemotivation supplémentaire à faire la figure correcte, et rapidement.

(les vidéos de la phase 1 sont dans les onglets suivants)

++++Opportunité en GD

S4 - Phase 1 - Opportunité en GD

En pratique de classe, on remarque très régulièrement l'opportunisme du dessin géométrique qui se traduit, souvent




avec la complicité implicite de l'enseignant, par un usage des outils de la géométrie instrumentée comme des outilsde dessins géométrique, au sens où, dans les constructions, le perceptif est largement présent, car l'on n'impliquepas suffisamment, dans l'acte de construction, les propriétés géométriques engagées.

Cette vidéo très courte est là pour rappeler à la vigilance et à la prudence quant au passage sur un logiciel :l'opportunisme des constructions existe aussi en géométrie dynamique.

<div style='width:640px;height:360px;margin:0 auto;overflow:hidden;' class='video_placeholder' > <videosrc="sites/revue.sesamath.net/IMG/flv/Sesam346S1afd30e.flv" height="360" width="640" poster=""class="video-jwplayer" data-player="{ file:'sites/revue.sesamath.net/IMG/flv/Sesam346S1afd30e.flv',height:360, width:640, wmode: 'window', image:'', title: 'Exemple d\'opportunité en GD', description:'Exemple de constructon réussie de manière opportuniste', controlbar: 'bottom', dock: 'false', autostart: false,'viral.onpause':'false', 'viral.oncomplete':'false', 'viral.allowmenu':'false' }" >Exemple d'opportunité en GDExemple de constructon réussie de manière opportuniste


Sur cette vidéo on voit un élève qui, tirant le cercle vers le haut, allait placer son rayon de manière perceptive. Maisl'écran n'étant pas assez grand, il change de stratégie, redescend et s'approche du point, qui changeant de statut (ildevient jaune, c'est-à-dire sélectionnable par l'outil en cours d'utilisation - invite l'élève à cliquer : l'élève fait donc unefigure juste de manière assez aléatoire : c'est en cela que l'on parle d'opportunisme en géométrie dynamique.

La question se pose alors de savoir si ces gestes sont aussi porteurs d'apprentissages géométriques, s'ils sontconceptualisant, si, dans des cas comme celui-ci, l'engagement direct participe de l'appropriation des propriétésgéométriques engagées (ici définition du cercle) ou si l'élève est seulement dans un contrat didactique construit dansles premières séances quand on mettait en relief l'importance d'attendre qu'un point soit surligné pour cliquer dessus.Dans ce dernier cas, l'élève perçoit essentiellement un apprentissage technique de l'utilisation d'un item.

L'utilisation de la géométrie dynamique peut participer à l'apprentissage et à l'appropriation de la "géométrie despropriétés des objets" (ERMEL) que si on est vigilant sur ces gestes opportunistes qui, comme certaines activités enenvironnement papier-crayon, peuvent ne rien construire de l'ordre du géométrique.

++++Dévolution et apprentissage

S4 - Phase 1 - Dévolution

Cette vidéo illustre la maitrise (assez générale dans la classe) par les élèves de l'usage des traces et des couleurs.On entend la maîtresse de la classe apprendre des élèves les manipulations à faire pour arriver à ces résultats.

<div style='width:640px;height:360px;margin:0 auto;overflow:hidden;' class='video_placeholder' > <videosrc="sites/revue.sesamath.net/IMG/flv/Sesam346S1bf741a.flv" height="360" width="640" poster=""class="video-jwplayer" data-player="{ file:'sites/revue.sesamath.net/IMG/flv/Sesam346S1bf741a.flv',height:360, width:640, wmode: 'window', image:'', title: 'Néphroïde par animation', description: 'Questionfinale comme dévolution de la géométrie dynamique', controlbar: 'bottom', dock: 'false', autostart: false,'viral.onpause':'false', 'viral.oncomplete':'false', 'viral.allowmenu':'false' }" >Néphroïde par animationQuestion finale comme dévolution de la géométrie dynamique






On notera la remarque de l'élève qui dit que quand on modifie les couleurs à la souris "ça [l'animation] va moinsvite". Ce qu'il ne sait pas, c'est que la palette des couleurs de la figure se construit en même temps et qu'elle est viteimportante.

mettre une copie d'écran ici de la palette

Phase 2 : une construction avec 5 cercles. Utilisation des propriétés du carré pour vérifier qu'un quadrilatère estun carré. 2 ou 3 vidéos

La construction est totalement statique. C'est une construction préliminaire qui valide l'apprentissage de lamanipulation des cercles par centre et point dans le logiciel et prépare l'activité de la phase suivante, bien plustechnique.

Fiche élève

S4 - Phase 2 - Travail demandé

ce qui donne tout simplement cette figure





On notera la dernière question sur l'animation : c'est une autre option pour vérifier que la figure est correcte plutôtque le" Monkey" qui fait modifier aussi le centre du cercle initial et son rayon.

En effet, dans cette classe, le "Monkey" est systématiquement utilisé, peut-être un peu trop par les enfants quisemblent juste fascinés par le déplacement mais ne peuvent pas analyser véritablement ce qui se produit dans cetteaction (sinon que la figure est fausse, ça ils voient tout de suite)

++++Une question de désignation

S4 - Phase 2 - Sur la désignation des objets

Cette vidéo met en relief la subite déperdition d'attention entre celle nécessaire à la construction de la figure et sonrelâchement quand la construction est terminée ... mais pas l'activité.

La fiche élève part d'un cercle de centre O et d'un point A sur le cercle. Ce groupe de deux élèves ayant activé lenommage automatique des points, a eu un centre de cercle qui s'est appelé A.

<div style='width:640px;height:360px;margin:0 auto;overflow:hidden;' class='video_placeholder' > <videosrc="sites/revue.sesamath.net/IMG/flv/Sesam346S1cf738a.flv" height="360" width="640" poster=""class="video-jwplayer" data-player="{ file:'sites/revue.sesamath.net/IMG/flv/Sesam346S1cf738a.flv',height:360, width:640, wmode: 'window', image:'', title: 'Une question de désignation', description:'Exemple de déperdition de l\'attention après construction (7 Mo)', controlbar: 'bottom', dock: 'false', autostart:false, 'viral.onpause':'false', 'viral.oncomplete':'false', 'viral.allowmenu':'false' }" >Une question de désignationExemple de déperdition de l'attention après construction (7 Mo)


On remarquera que les élèves ont bien fait la figure, cela veut dire qu'ils ont su translater tous les noms de le figure(le point A s'appelant B etc ...). On entend une certaine aisance : quand la maîtresse de la classe revient sur le fait





que le centre s'appelle O, on entend un des deux élèves dire "oh, ça n'est pas important".

Et pourtant, juste après (la vidéo est en temps réel), pour l'animation, ils oublient cette translation et ne comprennentpas la consigne d'animer le point A qui pour eux est le centre du cercle. Il faut l'intervention de l'enseignante del'IUFM, auteur de la séquence, qui adapte tout de suite la phrase que lisent les élèves au contexte de la figureréalisée.

Phase 3 : version dynamique de l'activité précédente, recherche d'une conjecture sur un cas particulier.

Cette fois-ci, au lieu de prendre des cercles de diamètre le rayon du cercle initial, on veut construire quatre cerclesde rayons variables, mais identiques. L'objectif final étant de faire chercher une propriété d'une configurationparticulière de la figure, et d'inciter les élèves à proposer une conjecture sur la solution de cette configurationparticulière.

Présentation

S4 - Phase 3 - Introduction

Il n'y a pas de fiche élève, mais une alternance - pour le début de l'activité - entre un travail de présentation del'intervenante, et une réalisation des élèves.

Les élèves ouvrent le troisième onglet de leur classeur de travail, ils se retrouvent avec la figure précédentepartiellement commencée : il n'y a que le cercle initial, deux diamètres perpendiculaires et les milieux des 4 rayons. L'intervenante précise bien que c'est la même figure, même s'il n'y a plus de noms aux points et que les points sontbien les milieux des rayons.

Puis elle commence par construire un cercle de rayon fixe, le nomme cbase et décoche l'aspect fixe de ce rayon, enmontrant qu'alors on peut modifier le rayon du cercle à la souris en cliquant sur le cercle. Puis elle demande auxélèves de faire de même sur la figure de leur nouvel onglet.




Une fois ceci fait, elle présente le premier objectif de l'activité : faire une figure qui a 4 cercles de même rayon, sansêtre fixe comme dans la phase 2, mais variable en manipulant le premier cercle. Pour faire cela, elle explique leprocédé dans un discours compréhensible par les élèves de CM2.

Pour construire un cercle de rayon fixe de même rayon que le précédent (cbase) , il suffit de donner le nom du cercle(cbase) dans le champ rayon. On voit sur le montage suivant [avec un discours "enseignant"] qu'un cercle de rayonfixe quelconque prend comme rayon celui du cercle cbase, si on donne à son rayon la valeur numérique cbase.




Explications et remarques

" Du côté de la pratique du logiciel : les noms des objets peuvent aussi être des variables algébriques qui ontune valeur numérique précise. Ainsi le nom d'un segment est une variable numérique qui représente salongueur (dans le système d'unités du logiciel). De même le nom d'un cercle est une variable qui désignesont rayon.

" Utiliser ce procédé en classe de CM2 doit rester dans un champ d'opérationnalité immédiate. Il ne peut sefaire que dans un discours qui se situe seulement du côté de la désignation : on détermine le rayon d'uncercle par le nom du cercle de référence.

" Il est clair qu'il en résulte une représentation assez floue de ce qui se passe, car les nouveaux cercles ontbien un nom qui leur est propre, mais leur rayon prend une valeur déterminée par un autre cercle. C'est unpeu ce qui se passe lors des premiers adressages indirects avec des étudiants sur un tableur, avec unedifférence : ici on reste dans une démarche opérationnelle, on n'essaie pas du tout de conceptualiser ladémarche.

Dans les onglets suivants de cette phase 3, on voit les différentes étapes réalisées par les élèves

++++Constructions

S4 - Phase 3 - Construction des quatre cercles




Les élèves commencent par construire le premier cercle, le décochent, puis construisent les autres. La vidéo sepoursuit par des montages sur l'activité de recherche suivante, décrite par une question assez imprécise (car nevoulant pas donner de pistes) du caméraman - aussi auteur de cet article - question assurément trop conceptuelle .

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La vidéo (à 1' 03 s) se termine par un binôme interrogé par l'enseignante titulaire de la classe qui demande "oùest-ce qu'il faut s'arrêter ?". Posée pendant l'action de l'élève sur le cercle cbase, la question est cette fois bienopérationnelle et c'est peut-être cela qui a enclenché la discussion entre les deux élèves. On entend un des deuxdire "au milieu", et l'autre lui demander "au milieu de quoi ? du carré ?". La maîtresse n'entend pas le dialogue etdemande de faire une animation.

On est probablement là dans un exemple de zone proximal de développement, où l'élève, par une questiondirectement accessible car opérationnelle, va pouvoir aller plus loin que les autres groupes.

++++Consigne terminale

S4 - Phase 3 - la question du contact

La maîtresse a déjà indiqué la consigne finale, la partie à réaliser après la construction du carré, elle demande auxélèves de réinterpréter sa consigne

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L'élève qui prend la parole, généralement à l'aise à l'oral et en mathématique a du mal cette fois-ci à exprimer avecprécision ce qui est demandé, et se fait souffler l'expression "cercle collés" qu'il reprend.

La fin de la vidéo est laissée pour illustrer, en formation, la difficulté que l'on peut parfois avoir pour passer uneconsigne claire quand elle n'a pas été bien préparée en amont : manifestement nous n'avions pas assez travaillé cepoint précis, alors que tout a été construit pour rechercher la conjecture finale. Nous y reviendrons dans l'ongletAnalyse.






++++Choix d'ingénierie

S4 - Phase 3 - Choix d'ingénierie

Nous sommes sur la mise en commun de cette fin d'activité. L'élève qui passe au tableau n'a pas vraiment expriméce qui était attendu, comme un des élèves du groupe final de la vidéo précédente ...

Il commence par "coller les cercles" selon son expression (vidéo plus bas), construit les segments du carré desmilieux (on sait que c'est un carré car cela a été étudié dans la phase 2) et commence à prendre des intersections,comme ceci :

On voit clairement sur cette copie d'écran vidéo que l'élève sélectionne l'intersection à la fois des deux cercles et dusegment, et donc le point cherché "est là" (selon son expression). Nous sommes encore dans le perceptif, malgré lespossibilités de manipulation directe de la figure

Par ailleurs, un utilisateur habitué des logiciels de géométrie dynamique peut être surpris qu'il n'y ait pas d'ambiguïté.A priori on s'attend au comportement reconstitué et reproduit ci-dessous :

Tout d'abord en approchant la souris, il y a surlignage des 3 objets,




puis un clic de la souris propose de lever une ambiguïté.

Or ce n'est pas du tout ce qui se produit, en fait, on a une prise d'intersection de deux objets.

Or si on revient sur la copie d'écran vidéo précédente, on voit tout de suite l'explication : pour cette activité les élèvesn'avaient pas à leur disposition l'outil intersection. C'est un choix qui a été fait ici et qui, à l'analyse n'estprobablement pas pertinent. Si l'intersection a plusieurs fois été présente dans les activités antérieures (en particulier en S3), les élèves n'avaient jamais eu à lever une ambiguïté dans la figure (au sens d'une ambiguïtéconstruite comme telle). Mais en fait, à cause de quelques maladresses de manipulation, pratiquement tous lesgroupes d'élèves avaient eu à lever spontanément des ambiguïtés, y compris dans cette séance, sans difficulté.




<div style='width:640px;height:360px;margin:0 auto;overflow:hidden;' class='video_placeholder' > <videosrc="sites/revue.sesamath.net/IMG/flv/Sesam346S1ffaff8.flv" height="360" width="640" poster=""class="video-jwplayer" data-player="{ file:'sites/revue.sesamath.net/IMG/flv/Sesam346S1ffaff8.flv', height:360,width:640, wmode: 'window', image:'', title: 'Correction - choix d\'environnement', description: 'Corrections -Sur les choix de l\'environnement restreint', controlbar: 'bottom', dock: 'false', autostart: false,'viral.onpause':'false', 'viral.oncomplete':'false', 'viral.allowmenu':'false' }" >Correction - choix d'environnementCorrections - Sur les choix de l'environnement restreint


On aura compris en écoutant cette vidéo que le premier surpris de la situation a été l'auteur de cet article, quicomprit, au troisième clic de l'élève, qu'il n'y avait pas d'outil intersection dans la palette de construction .... ce qu'iln'avait pas vu avant, tant il été occupé par la construction du milieu des côtés par les élèves !!!

Dans cette vidéo, on notera la surprise de l'élève quand il diminue la taille du cercle cbase et que son intersection"là" (vidéo) n'est pas invariante comme il se le représentait. C'est l'occasion de remarquer aussi que l'acceptation desa réponse dans un environnement papier crayon, sans plus de précision (c'est assez assez courant), construit defait, peu à peu, un contrat didactique implicitement plus près du perceptif que de la géométrie des propriétés desobjets.

L'extrait vidéo se termine (on voit qu'il est en temps réel) par la remarque d'un élève qui précise le point cherchécomme le milieu "d'un côté du carré".

La séance s'est terminée par un argumentaire sur le fait que les cercles ayant même rayon, sur un côté du carré lepoint de contact est bien à même distance des deux extrémités du côté, même si la question de l'alignement n'a pasété abordée. La séance s'est donc terminée sur un réinvestissement de propriétés élémentaires du cercle, du milieude deux points, dans un agencement assez nouveau pour les élèves.

En pratique deux groupes seulement avaient vu ce lien invariant entre le point de contact des cercles et le milieud'un côté du carré. Cela peut provenir à la fois de la difficulté de percevoir les propriétés géométriques, mais aussid'une consigne pas suffisamment claire.

++++Analyse

Analyse de la séance S4

Cette séance a été construite dans le but de travailler les deux types de cercles disponibles dans le logiciel, le cerclepar centre et point et le cercle de rayon fixe. Il s'agissait aussi d'introduire naturellement une situation où l'on devrait"défixer" le cercle de rayon fixe et utiliser ainsi un cercle dont le rayon est directement manipulable à la souris, sansqu'il soit défini par un point. Enfin, même s'il s'agissait d'une séance d'intrumentation autour du cercle, nous voulionsla terminer par une question d'investigation permettant de faire fonctionner les propriétés du cercle, essentiellementsa définition.

La phase 1, on l'a déjà dit est essentiellement une reprise de contact avec le logiciel, après les vacances australes -5 semaines en décembre janvier au milieu de l'année scolaire - avec une réactualisation, institutionnalisée par lafiche de travail, de la dévolution produite par les animations.





La phase 2 est une instrumentation du cercle. Une partie mathématique importante, non rendue en vidéo (car lenteet donc longue), a été la vérification collective, avec les outils de test du logiciel, que le quadrilatère BCDE est uncarré. La vérification est du niveau CM2 : énumération par les élèves des propriétés à vérifier, et vérification au vidéoprojecteur. Même si l'enseignante peut orienter la réflexion, il n'y a pas de recherche d'optimisation, par utilisationeffective d'une caractérisation précise du carré (on verra en S7 un exemple précis de justification acceptée en classede CM2, mais dont la validation relève de la classe de 4°). Il en résulte, à la surprise de la titulaire de la classeelle-même, que la géométrie des propriétés des objets a été largement activée chez les élèves.

La seule partie délicate de cette phase a été l'apprentissage de l'outil test "point équidistant" et son utilisation à unsommet (C) et aux deux sommets adjacents (B et D) pour vérifier que les longueurs de deux côtés adjacents (on adit "consécutifs") sont égales. Toutefois, le rapport au cercle de centre C passant par l'un ce ces deux points estl'occasion d'un changement de cadre original qui permet de comprendre autrement la définition du cercle.

Cette partie, même si elle a été collective, au vidéo projecteur, n'en a pas moins été porteuse de sens dans deuxdirections : la formulation mathématique des propriétés du carré et l'usage d'outils de vérification. L'usage simplifiédes tests logiciels participe à la prise de sens de l'outil physique comme instrument de validation d'une propriété(essentiellement équerre et compas).

La Phase 3 est techniquement plus ambitieuse avec la construction d'une figure dynamique d'un nouveau genrepour les élèves : des cercles vont changer de rayon, de façon explicitement prévue, en fonction d'un autre cercle.C'est une figure d'un type nouveau au sens où l'on n'explore pas une situation géométrique donnée (pour mettre enévidence une nouvelle propriété d'objets géométriques déjà identifiés), mais on construit une figure dynamique pourelle-même, avec les contraintes spécifiques, "comme on a voulu" dira un élève. Autrement dit, on est sur uneébauche de simulation d'un processus. Ensuite, une fois réalisée, cette figure porte son propre questionnementmathématique.

L'aspect technique, abordé par étape, a été bien réussi. Tous les groupes sont parvenus à la figure avec les 4cercles dynamiques. Toutefois cette réussite est purement opératoire. Les élèves ayant vu ce qu'il faut produire, et lafigure étant attrayante en soi, ils recommencent jusqu'à la réussite : ils rencontrent essentiellement des erreurs defrappe dans la recopie du nom du cercle. Cet aspect purement opérationnel aurait pu être équilibré par uneprésentation partiellement plus explicative, voire conceptuelle de la démarche, même s'il est clair qu'on est à lafrontière du possible.

La partie d'investigation finale, la recherche du point de contact à partir du carré ne s'est pas déroulée comme prévu.Comme déjà mentionné, la consigne collective n'a pas été claire sur ce point, mais un autre facteur a probablementaussi joué : le comportement des trois adultes dans la classe. En effet l'enthousiasme que nous avons montrédevant la réussite assez rapide de la construction a probablement laissé percevoir aux les élèves, que, la figure faite,l'essentiel du contrat didactique a été accompli. Nous n'avons pas maintenu la distanciation face à cette réussite quiaurait été nécessaire à la poursuite de l'activité de manière concentrée, et seuls deux groupes ont vu la relation auxcôtés du carré.

Cette phase 3 a donc été essentiellement une expérimentation sur une démarche de simulation. Au regard desséances suivantes, même si elle va être réinvestie par certains élèves, on peut dire que cette partie de la séance n'apas été véritablement utile pour la suite et qu'au contraire, il a manqué une partie d'instrumentation de l'outil compas(la troisième façon de construire un cercle avec le logiciel) qui aurait pu servir à faire plus vite une partie de la figurede la séance 7.




S6. Évaluation diagnostique sur l'instrumentation dulogiciel

Cette évaluation s'est faite à travers deux constructions du pentagone régulier :

l'une avec seulement un cercle intermédiaire (celle que l'on utilisait quand on faisait les calculs trigonométriquesassociés en TS, par exemple avec les complexes ... mais ce n'est plus au programme) ;

l'autre, plus complexe avec plusieurs cercles intermédiaires.

La rédaction de la seconde fiche a été un peu plus complexe à comprendre pour les élèves, car il fallait lire lesphrases jusqu'au bout avant d'avoir toute l'information sur la construction en cours. Ce second plan de constructionmériterait d'être réécrit, au moins avec un avertissement.

On a retenu comme définition d'un polygone régulier (implicitement convexe), une définition qui n'implique pas lesangles : c'est un polygone inscrit dans un cercle dont les côtés sont de même longueur. C'est la raison pour laquelleles deux constructions sont inscrites dans un cercle.

Lors de la première correction collective, on a pris soin de vérifier avec les mesures que les côtés étaient de mêmelongueur. On aurait pu le faire avec le "test d'équidistance", mais des élèves ont exprimé le désir de "voir lesmesures" comme s'ils voulaient vérifier eux-mêmes et ne pas laisser la vérification à un outil "boite noire" sur lequelon n'a aucune information et auquel il faut faire entièrement confiance.

Les programmes de construction

S6.a - Les deux programmes de construction




++++ Correction élève

S6.b - Correction de la construction surl'instrumentation des cercles

Le programme de construction est lu phrase par phrase par une élève, une autre élève fait la construction en tempsréel sur l'ordinateur relié au vidéo projecteur. Trois caméras sont ainsi disposées : une sur le plan de projection, unesur l'écran de l'ordinateur où travaille l'élève, la troisième sur les deux élèves.

<div style='width:640px;height:360px;margin:0 auto;overflow:hidden;' class='video_placeholder' > <videosrc="sites/revue.sesamath.net/IMG/flv/Sesam346S3fl41e4.flv" height="360" width="640" poster=""class="video-jwplayer" data-player="{ file:'sites/revue.sesamath.net/IMG/flv/Sesam346S3fl41e4.flv', height:360,width:640, wmode: 'window', image:'', title: 'Construction 2 des pentagones', description: 'Vidéo en tempsréel (5 min - 31 Mo)', controlbar: 'bottom', dock: 'false', autostart: false, 'viral.onpause':'false','viral.oncomplete':'false', 'viral.allowmenu':'false' }" >Construction 2 des pentagonesVidéo en temps réel (5 min - 31 Mo)


Commentaires sur la vidéo

a) On remarque que l'élève commence un peu avant. Ayant mis le nommage automatique le centre de son premiercercle, sans plus de précaution s'appelle A au lieu de O. Au lieu de corriger dans l'inspecteur d'objet, l'élève effacesa construction et reprend la figure en anticipant le nom de O. Ce procédé paraît remarquable, mais comme on va levoir, il est systématiquement utilisé - certes de manière efficace et rapide - ce qui est aussi un signe de non expertise: l'expert pour les maths à l'école primaire est celui qui dispose, selon Brissiaud, de plusieurs procédures pouraccomplir une tâche, ce qui n'est pas le cas ici.

b) On notera au tout début (à 27 s) de la construction, alors qu'il y a deux points placés à l'écran, O et M, que laphrase "la droite (O) recoupe le cercle en B" ne pose pas de problème, et n'en n'a posé à personne. Cela paraîtcomplètement naturel. De même (à 56 s) quand l'élève dit "la perpendiculaire à la droite (OM) en O recoupe le cercleen C et D", là non plus la construction ne pose pas de problème.

Remarque technique : on a laissé l'écran vidéo projeté sur cette partie pour illustrer qu'il peut avoir desconfigurations (de carte graphique ?) pour lesquelles l'engagement direct de la construction de la droite avant lesecond clic, que l'on verrait sur l'écran n'apparait pas au vidéo projecteur.

c) Malgré les remarques d'aisance décrites au point précédent, alors qu'il y a deux cercles, deux droites et 6 pointssur la figure, la phrase (à 1 min 45 s) "la droite (BI) coupe le cercle ..." perturbe l'élève qui officie, et d'une manièregénérale elle a perturbé tous les binômes. Dans les première phrases, la référence à une droite était implicitementprocédurale, il était implicite qu'il fallait la construire. Cette fois, la figure commençant à être complexe, on cherche ladroite avant de la tracer. Ce qui est alors surprenant c'est que, ne la trouvant pas, il n'est pas si naturel que cela dela construire. Pendant le travail individuel, les élèves ont été perturbés, et il a fallu dire explicitement à plusieursbinômes de construire la droite (BI). Il serait intéressant de reproduire cette situation dans des contexte différentsbien définis pour voir si c'est la longueur de la consigne qui a perturbé les élèves ou le début de complexité de lafigure (ou les deux...).





d) On voit (vers 2 min 20 s) que là encore - comme en S4 - les élèves utilisent l'outil point pour les intersections à lavolée, en particulier parce qu'ils n'ont pas l'outil intersection. On sait que pour les logiciels de géométrie dynamique,l'intersection à la volée, en terme de continuité des intersections, quand il y en a deux comme ici, est toujours plusprécise que l'outil intersection. C'est la raison de la réaction un peu "réflexe" de ne pas donner l'outil intersection,mais sur des figures aussi simples il n'y aurait pas de problème de continuité (qui se traduirait dans des situationsplus délicates, par l'échange des points E et F par exemple).

e) La construction de deux points P et Q du pentagone se déroule vers 3 min. Vers 3 min 50 s, alors que l'élèvemanipule les outils avec aisance, on voit qu'une forme d'instrumentation n'est pas tout à fait aboutie : l'élève placecorrectement le point N, mais avec un outil cercle au lieu d'un outil point. Elle aurait pu tout à fait cliquer sur l'outilpoint pour placer son point R, mais elle a effacé la dernière construction (bonne instrumentation de cette pratique)avant de recommencer avec l'outil point. On aurait pu apprendre aux élèves que ce n'était pas nécessaire. L'attitudeest intéressante à observer : alors qu'il ne s'agit que de l'intersection de deux cercles, on voit qu'il y a cetteprégnance de l'environnement papier-crayon dans cette manipulation, à savoir qu'il faut effacer quand on n'a pasutilisé le bon outil. Cette attitude, cette prégnance ne sont pas propres aux jeunes enfants de CM2, on la retrouve enformation initiale des futurs maîtres. Il faut un travail d'appropriation du nouvel environnement pour que l'ondéveloppe des schèmes d'action qui lui sont propres et qu'on ne reproduise pas les schèmes d'un autreenvironnement, un peu comme quand un pianiste pose ses doigts sur un clavier de clavecin ou d'orgue, il doit(fortement) adapter son toucher.

De cette séance S6, la troisième consécutive à un rythme hebdomadaire, on retiendra une instrumentation de bonnequalité. Les élèves n'ont pas le même niveau d'instrumentation sur les mêmes outils. Certains utilisent trèssystématiquement l'inspecteur d'objets, alors que dans la vidéo présentée dans cette séance, il n'est jamais utilisé.

Le rythme hebdomadaire de ces trois séances a certainement joué un rôle déterminant dans l'efficacité de cetteinstrumentation.

S7. Un travail d'investigation des élèves sur le thème de la reproduction d'une figure

Il s'agit de la dernière séance programmée dans l'année. Elle est centrée sur la reproduction d'une figure, avecanalyse collective de la figure avant sa reproduction. La figure comprend deux carrés concentriques, celui àl'extérieur étant de côté double (CAPMaths CM2).




La présentation faite aux élèves est la suivante : la partie droite de la figure est reprise d'un ouvrage, c'est commeune figure papier à reproduire. Le segment [$A_1$$B_1$] est une copie de [AB] (même longueur) comme sur votrepropre feuille de papier : comme vous pouvez déplacer et tourner votre feuille en travaillant, on peut déplacer $A_1$et faire tourner $B_1$1.

Il s'agit tout d'abord de déterminer les propriétés de la figure de droite, qu'il faut analyser avec les outils du logiciel,pour déterminer les quadrilatères à reproduire sur le segment [$A_1$$B_1$], puis de reproduire la figure.

Une partie importante de la séance (12 min), non reproduite ici, a donc consisté à justifier (collectivement) que lesdeux quadrilatères sont des carrés, et à justifier la dimension du plus grand par rapport au plus petit. En pratique lesélèves font des propositions et l'intervenante soit exécute les tests proposés soit encore suggère des pistes sinécessaire.

Par exemple le fait que le grand carré ait pour longueur de côté le double de l'autre a suscité cet argument chez unélève "c'est le double car sinon ça serait trop compliqué à faire". La question du double est posée en même tempsque, implicitement, la complexité des décimaux pour les élèves. Mais l'argument doit être mathématisé ... D'unemanière générale, le rapport entre les deux longueurs a tout de suite été perçu comme de l'ordre du multiplicatif etnon pas de l'additif (mais on a souvent déplacé A dans la présentation).

En pratique le premier quadrilatère vu par les élèves a été ... le troisième, celui non mentionné, le losange, ce qui arallongé cette partie de la séance car nous avons d'abord dû valider que l'on avait affaire à un losange (ce qui n'étaitpas prévu). D'un autre côté, une nouvelle utilisation de l'outil test d'équidistance a permis de le réactiver pour le carré: le traitement des deux carrés sera plus rapide.

Là encore des élèves ont demandé - pour le losange - à voir les mesures des longueurs comme pour validereux-mêmes le test d'équidistance.

On peut penser que le test d'équidistance est trop abstrait. Mais on peut aussi penser que c'est une expression de laprégnance de la mesure dans la pratique géométrique : sans autre habitude que de mesurer pour vérifier l'égalité delongueurs, alors que le compas est un outil aussi naturel et plus précis), les élèves peuvent avoir besoin de




transférer leurs schèmes d'action.

Choix divers

S7.1 - Les choix de la séance

Le choix des variables didactiques

Entre une figure comme celle proposée pour cette séance et un dessin dans un manuel scolaire il y a une grandedifférence, celle des objets initiaux de la figure. Cela signifie qu'en géométrie dynamique, il y tout un choix devariables didactiques à faire, dont il faut bien prendre conscience, car ces choix conditionnent les propriétés qui vontêtre en jeu, et la difficulté de l'activité.

Par exemple, on a choisi de donner aux élèves un côté de carré, alors que la figure à reproduire est modifiable parcentre et sommet. C'est un choix pour travailler essentiellement sur les côtés des quadrilatères en général et ducarré en particulier.

Si on avait choisi de donner le centre et un sommet du carré, l'activité aurait été très différente, on aurait eu àtravailler sur les propriétés des diagonales. On a préféré ici s'en tenir aux définitions des rectangles, carrés,losanges, plutôt qu'à les propriétés caractéristiques des diagonales. D'autant que le fait que ces propriétéscaractérisent mathématiquement ces quadrilatères n'est qu'au programme de 5°.

On a surtout choisi de donner aux élèves le côté du plus petit carré. C'est un choix lourd qui complexifie l'activité, caril va falloir construire des symétriques. Dans notre analyse a priori, nous avons fait ce choix pour activer lespropriétés du cercle avec les objets rayons et diamètre : la longueur d'un diamètre est double de celle d'un rayon,d'où une construction possible avec des cercles. Si on avait choisi, au contraire, un côté du grand carré commedonnée initiale, les élèves auraient eu à construire essentiellement des milieux, l'activité aurait été bien plus simple àréaliser, engageant moins de propriétés mathématiques, et probablement moins riche d'enseignement.

Le choix des constructions acceptables

On a choisi de bien distinguer :

la phase d'analyse de la figure, dans laquelle nous attendions un vocabulaire précis, et sinon une rigueur, aumoins un argumentaire pour justifier des propriétés des quadrilatères.

la phase de construction pour laquelle des constructions exactes mais largement non justifiablesmathématiquement sont validées sans réserves.

En effet, les élèves ont une forte tendance à reproduire la procédure qui fonctionne sans voir qu'une fois unepremière procédure engagée, elle ouvre d'autres voies. Cette tendance n'est d'ailleurs pas propre aux élèves decycle 3, elle est largement partagée par tous les apprenants à tous les niveaux de scolarité.

Une fois construits deux côtés consécutifs d'un carré avec un cercle (partie gauche), on s'attend à la construction quiconsiste à ajouter une perpendiculaire. Pour la justification de la construction du carré, un discours mathématiquecohérent consisterait à dire que les trois angles droits justifient que c'est un rectangle (propriété supposée déjà vue




ou admise) et deux côtés consécutifs égaux (autour de B) justifient le carré, comme rectangle ayant deux côtésconsécutifs de même longueur.

On n'attend pas une logique aussi précise, dégagée individuellement (cela relève du début de collège). Mais dans lecadre d'une mise en commun, ce genre de preuve peut se dégager collectivement, même si l'enchaînementhypothético-déductif ne sera généralement pas perçu comme tel : pour des élèves de CM2, l'enchaînement desarguments relève plus de la narration que de la logique. C'est par le discours qu'on peut faire sentir, chez certains,qu'une argumentation mathématique est différente d'une narration. Selon l'implication de la classe en géométrie,selon sa pratique, on peut aussi plus simplement utiliser le logiciel pour explorer et valider, de manière instrumentale,les propriétés ou des relations entre les propriétés à partir de la construction.

En fait aucun élève n'a fait la construction envisagée comme étant la plus simple (mathématiquement) a priori. Toutle monde a fait cette construction, en reproduisant la procédure du premier cercle sur le second sommet :

La justification que les angles en C et D sont droits, et que [CD] est de même longueur que les trois autres côtés, estalors bien plus complexe, et n'est pas du tout envisageable ni en CM2 ni même en début de collège. Elle relève de laclasse de 4°, de l'utilisation de Pythagore pour justifier que les diagonales sont de même longueur. On peut




poursuivre par des propriétés sur le centre du cercle circonscrit d'un triangle rectangle ou selon la démarche, utiliserdes propriétés angulaires des triangles isocèles.

Note culturelle

Cette figure est connue comme étant un cas particulier du quadrilatère de Saccheri, utilisé (1733) pourétudier le fameux postulat d'Euclide sur les parallèles. Cette figure, toute banale qu'elle puisse paraître, n'estpas triviale et a fait travailler, sur les fondements de la géométrie, plusieurs générations de mathématiciens.

On comprendra mieux l'attitude de validation implicite, c'est-à-dire une attitude opératoire, car pour les élèves, lagrande différence conceptuelle entre les deux constructions n'a tout simplement pas de sens. Didactiquement, onpeut dire que l'on construit en géométrie des schèmes d'actions corrects, mais qui ne seront validés que quelquesannées plus tard, et qu'on a cette attitude car la perception de gestes mentaux (pourtant si) différents dans des cascomme celui-ci n'est pas clair pour les élèves.

L'organisation de la partie construction

Après un travail collectif d'analyse de la figure, la séance s'est déroulée ainsi :

Étape 1 : construction du point C1 (et du carré) Étape 2 : correction de la construction de C1 Étape 3 : construction du carré A1B1C1D1 individuellement Étape 4 : recherche de la construction de M1 Étape 5 : correction de la construction de M1 Étape 5 : construction individuelle du second carré, fin de la figure Étape 6 : correction de la fin de la figure.

Les vidéos des onglets suivants illustrent les différentes voies de réflexion, d'errement ou de réussite des élèves

++++Perceptif

S7.1 - Première approche, perceptive ou naïve

Ces deux extraits très brefs montrent que, même après un quart d'heure de mise en commun sur les propriétés ducarré et du losange, la première reprise de contact de certains élèves avec le problème est encore la voie perceptive.

<div style='width:640px;height:360px;margin:0 auto;overflow:hidden;' class='video_placeholder' > <videosrc="sites/revue.sesamath.net/IMG/flv/Sesam346S4af048d.flv" height="360" width="640" poster=""class="video-jwplayer" data-player="{ file:'sites/revue.sesamath.net/IMG/flv/Sesam346S4af048d.flv',height:360, width:640, wmode: 'window', image:'', controlbar: 'bottom', dock: 'false', autostart: false,'viral.onpause':'false', 'viral.oncomplete':'false', 'viral.allowmenu':'false' }" >



http://www.cabri.net/abracadabri/GeoNonE/GNEIntro/Saccheri.htm




Si nous avons choisi de montrer ces deux extraits, c'est pour illustrer à nouveau, à quel point la prégnance duperceptif chez certains enfants est très forte, et comment l'opportunité de ne représenter que des formes est toujoursprésente. Autrement dit, dans l'environnement papier-crayon, on n'utilise très souvent les outils de la géométrie quecomme des instruments de dessin géométrique, sans la valeur ajoutée des propriétés géométriques que lesprogrammes proposent d'y mettre.

Ces premières approches, perceptives ou naïves, montrent aussi l'intérêt que peut avoir l'usage d'un logiciel engéométrie : il n'est pas couteux, pour les élèves, de supprimer leurs premières figures et de reprendre une autrepiste, ce qui est beaucoup plus couteux dans l'environnement papier-crayon : c'est l'une des raisons fréquente pourlesquelles les élèves "n'aiment pas" la géométrie (la difficulté de faire une figure propre et correcte avecl'instrumentation papier-crayon).

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Il ne s'agit pas de proposer le passage au tout numérique en primaire (l'instrumentation, les constructions dans lemonde sensible sont un objectif du cycle 3), mais de montrer que le passage par le numérique et la géométriedynamique (quelques séances y suffisent) peut efficacement réconcilier des élèves avec la pratique géométrique (etleur permettre d'appréhender les propriétés des objets autrement.

++++Réinvestir S4

S7.2 - Tentative de réinvestissement de la phase 3 deS4

Dans la troisième partie de la séance 4, les élèves avaient utilisé le nom d'un cercle (cbase) pour produire descercles de même rayon. Nous avions bien dit qu'il était délicat de construire une représentation correcte en CM2 (onutilise le nom pour désigner la longueur) et que les représentations construites autour de cette activité ne pouvaientêtre que floues, d'où la proposition d'abandonner cette partie de la séance pour l'avenir.

Nous ne nous attendions pas - pas du tout - dans l'analyse a priori de cette séance - que des élèves puissent avoirl'idée de réinvestir cette démarche, comme on va le voir dans la vidéo suivante. Cette vidéo contient deux parties quivont être analysées : l'idée de reprendre le nom s28 d'un segment pour reproduire la même longueur, puis la fin devidéo où un élève propose une autre démarche.

Tout d'abord, l'idée de reproduire le nom montre une appropriation assez sophistiquée du logiciel, au moins quant àses potentialités. Bien entendu, il y a confusion entre la désignation et la fonctionnalité (la relation à la variable) dunom comme longueur, mais compte tenu de la façon dont s'est passée la séance S4, c'est incontournable.

Dans l'environnement du monde sensible, une des difficultés à faire émerger les procédures géométriques vient dece que les élèves ont des actions correctes, mais généralement tellement furtives, tellement prises dans d'autresconsidérations, qu'ils ne les voient pas - ou ne s'en rappellent pas. Il en résulte que que ces procédures, ou attitudes,ne peuvent pas être conceptualisées, ni même partagées : elles restent un savoir individuel, éventuellement ponctuel





et temporel.

On peut alors faire la même analyse - critique - de la pratique de notre phase 3 de S4. La façon dont a étéprésentée la construction des cercles de "rayon cbase" a été trop furtive pour les élèves pour qu'elle puisseeffectivement être conceptualisée. On aurait pu passer plus de temps sur cette question, mais ce n'était pas le butnon plus de la séance (car trop éloignée des objectifs géométriques du cycle 3).

On retiendra que les analyses (ERMEL géométrie) sur les aspects d'impermanence des procédures géométriquespeuvent parfois, partiellement, s'appliquer à la pratique de la géométrie dynamique. Là encore, la différence est dansla plus grande facilité à reproduire l'expérience, l'élève n'ayant qu'à manipuler la souris en fait : il peut donc être plusfacilement sollicité à reproduire son geste que dans un environnement qu'il perçoit comme plus lourd et difficile.

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Analyse du s28*

Les élèves voient le nom s28 du segment à reproduire perpendiculairement, parce que leur inspecteur d'objet estouvert. Comme il y a difficulté à envisager cette reproduction (un élève dit "je vois pas comment"), l'idée vient dereprendre s28 comme on avait repris cbase. L'autre élève dit "on a qu'a le nommer s28, car comme ça il seraCOMME s28".

Les élèves sont dans une démarche en acte, comme chacun de nous dans une attitude exploratoire, et ne voient pasqu'ils sont sur une droite, pas un segment, et ils renomment donc la droite s28. Le logiciel met automatiquement une* à un nom déjà utilisé pour signaler à l'utilisateur une possible confusion, d'où l'apparition de s28* à l'écran.

Deux remarques mathématiques sur cette situation : Les élèves ont l'habitude de travailler sur les droites numériques, et d'y placer des points d'abscisses données

(sur les fractions et écritures fractionnaires CM1, les décimaux CM2 par exemple). Il est possible que pour cet élève,dans sa démarche en acte, implicitement il s'agissait de reporter s28 sur la droite, comme s'il plaçait une abscisse.

Techniquement, avec l'interface du logiciel, la tentative ne pouvait aboutir de cette façon, car il faut à la fois lalongueur s28, par exemple dans l'onglet numérique d'un segment, mais aussi sur la perpendiculaire au segmentinitial : mathématiquement on est au coeur de l'essence même de l'euclidien (la reproduction d'une longueur dansune direction donnée) par rapport à une démarche affine, et donc au coeur même de la nécessité d'un cercle. Cetteremarque, qu'on pourrait croire a priori technique ou d'interface, montre bien que la construction d'un carré est unesituation caractéristique de la géométrie euclidienne et qu'il n'est pas possible de se passer d'un cercle.

" Essayer indéfiniment"

Suite à l'essai précédent infructueux, les élèves font une autre tentative, ils cherchent l'outil "équidistant", ilssemblent hésiter à le prendre, et l'extrait vidéo se termine par ce fabuleux "on a qu'a essayer indéfiniment".

Pour un élève (c'est le même, on reconnait sa voix) qui a essayé de placer la longueur s28 sur la perpendiculaire, laremarque, même si elle fait sourire, est porteuse de sens - l'élève ne plaisante pas en disant cela : c'est un autre





tentative. Le sens implicite, là encore "en acte", est probablement celui d'une démarche non pas approximativecomme dans l'onglet précédent, mais plutôt celui d'approximations successives, avec cette image bien intégrée, pardiverses pratiques d'exercices sur les décimaux : comme avec les exercices d'encadrement, où les décimauxpermettent d'approcher de plus en plus certains nombres, ici la mesure de s28 doit pouvoir approcher, puisatteindre, ce nombre décimal que l'on voit à l'écran 2,03254.

Une hypothèse qui peut être faite à ce sujet (elle demanderait à être étudiée plus en avant dans d'autres séances,dans d'autres situations) est que pour certains élèves, l'affranchissement des contraintes techniques de réalisationouvre à l'opportunité de s'exprimer plus conceptuellement sur les tâches à accomplir. En effet l'expression estpurement conceptuelle, l'élève n'envisage pas réellement "d'essayer indéfiniment", et par ailleurs elle n'a strictementrien d'opérationnel car il n'envisage pas non plus de procédure pour cela, du fait que les élèves de CM2, s'ilstravaillent souvent sur des encadrements, n'en produisent pas eux-mêmes, cette activité demandant une bonnepratique des calculs est laissée au collège.

Du fait du réglage d'environnement de cette figure - la longueur d'un segment est affichée par défaut - un nombreapparaît à l'écran, un nombre qui a plus de décimales que ceux utilisés en classe, et bien plus que ce que produiraitune lecture directe avec un double décimètre sur un cahier. Nous sommes au début d'une activité de géométrie etpourtant cette situation provoque chez un élève une expression qui illustre, a minima, des appropriationsconceptuelles certaines sur les décimaux. Cette expression là, et le sens qu'elle porte, n'auraient jamais émergédans un environnement papier-crayon, compte tenu de la richesse de l'environnement qui l'a permise.

On voit donc que, dans certains cas, le plongement dans un environnement riche, dynamique, peut aider à desexpressions verbales au niveau de cette richesse, révélatrices de conceptualisations éventuellement avancées ou encours de construction.

Cette analyse là n'augure rien des capacités de production de la tâche demandée : ces élèves vont réaliser le carré,mais vont mettre eux aussi du temps pour y arriver.

++++Diagonales

S7.3 Utilisation inappropriée des tests

Le court extrait suivant pose la question de l'instrumentation des tests, et montre que celle effectuée dans cetteséquence n'a pas été optimale, au sens où des élèves vont l'utiliser dans un contexte où elle ne peut être opérantepour des questions de précision.

L'idée de ce binôme est intéressante a priori, et elle montre une réelle familiarité avec les propriétés géométriques ducarré. Elle consiste à construire un rectangle avec un degré de liberté (le fameux point C) et ajuster ce point entestant si les diagonales du rectangle sont perpendiculaires : on aurait alors un carré.

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Hélas, cela ne peux pas fonctionner. En effet en déplaçant un point à la souris sur une droite on va (grossièrement)de pixel en pixel, donc la précision est assez grossière. Or les tests de parallélisme sont précis à un millième demilliardième, donc sans commune mesure avec la précision en manipulation directe. Autrement dit si on ne construitpas - exactement - la solution, les tests ne valideront pas une construction approximative. On comprend bien ladémarche, le test doit valider une construction exacte.

Dans l'instrumentation des tests, il faut donc préparer les élèves à cette réalité, car une utilisation comme ilsl'envisagent ne peut qu'être décevante a priori pour eux : ils font l'effort d'utiliser une caractérisation d'un carré etcette caractérisation est inopérante en pratique.

En fait, il faut comprendre que passer par les diagonales déplace le problème : il faut arriver à construire lesdiagonales effectivement orthogonales.

++++SoluceC1

S7.4. Correction de la construction du point C1

Cette vidéo a été présentée pour montrer le vocabulaire spontanément utilisé par les élèves. Au moins voit-on quecertains élèves ont dû inventer un vocabulaire personnel assez éloigné du vocabulaire usuel de l'environnementpapier-crayon...

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On notera le vocabulaire généralemen assez précis sauf une fois : à la question "pourquoi une perpendiculaire ?",l'élève répond (21 s) dans le monde perceptif "pour voir un angle droit" en non pas "pour avoir un angle droit" commeon aurait pu s'y attendre dans un contexte de propriétés géométriques et comme le reprend l'enseignante.

++++FinCarré

S7.5. les constructions élèves du carré

Le point C1 ayant été construit par un élève devant un groupe classe, voici les constructions réalisées par les élèvespour le carré final. On y voit que tous les groupes ont utilisé deux cercles.

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La vidéo montre aussi (à 26 s) que des élèves ont utilisé le cercle de rayon fixe pour le report de longueur. Il enrésulte que la figure construite est un rectangle (on le voit avec le Monkey). Mais on voit aussi que le point D est prissur le cercle de manière perceptive, ce qui produit une figure délicate à interpréter par les élèves d'autant que, làencore, la prise perceptive d'un point sur objet peut être, pour ces élèves, un acte furtif qui peut avoir été oublié.

Cela n'a pas été fait dans cette classe, mais dans un environnement où l'enseignant peut projeter l'écran des postesdes élèves, il serait intéressant de projeter ce type d'erreur et de montrer en temps réel comment l'action du Monkeypermet d'interpréter ce qu'on fait les élèves.

Cette attitude peut-être particulièrement efficace en terme de méta-cognition géométrique et d'appropriation desdéfinitions (parfois des propriétés) des objets géométriques. Voici par exemple une copie d'écran de la vidéoprécédente, lors de l'utilisation du Monkey :

On y voit clairement que l'élève a, successivement : utilisé les cercles de rayon fixe (2 cercles de même rayon, différent de la longueur $A_1$$B_1$. construit correctement $C_1$ (intersection du cercle et de la perpendiculaire en $B_1$). comme il n'y avait pas la perpendiculaire en $A_1$ à ($A_1$$B_1$), il a ensuite pris de visu un point $D_1$ sur

le cercle de centre $A_1$, ce point correspondant perceptivement à la solution dans la configuration écran. enfin, il a pris la perpendiculaire en $C_1$ à la droite ($B_1$$C_1$)

On voit cet ordre, car cette droite est bien tangente au cercle centré en $A_1$ mais ne passe pas par $D_1$.

On voit surtout que cette démarche aurait été validée dans l'environnement papier, ce que nous avons appelé, encommentaire à la première vidéo, l'opportuniste du dessin géométrique.

La vidéo se termine par ce qui est autorisé aux élèves qui ont pris un peu d'avance .... même si cela n'a rien demathématique, c'est alors de l'instrumentalisation du logiciel, phase qui peut éventuellement servir à renforcercertaines instrumentations.

++++Milieu et symétrique





S7.6. Retrouver les symétrique à partir des milieux

Les élèves découvrant un logiciel de géométrie dynamique s'approprient à leur façon la richesse des outils mis à leurdisposition. Ils font des expériences en mettant en oeuvre les outils à leur disposition avec une imagination certaine.Même si leurs démarches et leurs expérimentations, toutes nouvelles, ne peuvent aboutir géométriquement,mathématiquement, elles sont porteuses d'une réflexion intéressante. Là encore ce qu'on va voir ici (les 45premières secondes de la vidéo) aurait mérité, si la salle avait été équipée, une projection collective de la démarchepour un analyse qui déboucherait sur une méta-cognition intéressante. On aurait pu aussi copier la figure sur une cléUSB, ou simplement reproduire la démarche, mais cela n'a pas été fait. Psychologiquement, prendre la main sur unposte pour le projeter est plus signifiant, on présente le travail original - et donc l'idée originale d'un élève, on ne lareproduit pas.

Nous sommes dans la phase finale de la construction, il s'agit de construire le point $M_1$, c'est-à-dire un point dugrand carré. Chacun a vu, en préambule, collectivement, qu'il faut construire $M_1$ tel que $A_1$ soit le milieu de$O_1$ et $M_1$, car A est le milieu de O et M. On imagine voir intervenir la relation entre un rayon et un diamètre,et donc l'usage d'un cercle.

Mais l'engagement direct de l'outil milieu qui permet de voir le milieu pendant sa construction donne d'autres idées àun groupe d'élève :

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Ces élèves prennent le milieu du centre du carré, $O_1$, et d'un point en cherchant à faire coïncider le milieu avecle point $A_1$. La démarche est intéressante, ils inventent "le milieu à l'envers", ce qui sera la symétrie centrale aucollège.

Mais en "secouant la figure" (Monkey) les élèves voient que le point placé se déplace et donc que les sommets ducarré qui vient d'être construit ne sont pas les milieux attendus. En tant qu'enseignants anticipant ce qui va sepasser, on peut être perturbé par les traces alors que pour les élèves cela peut être un autre type d'information : le"carré" se déforme. Une autre culture que la nôtre s'installe ...

Il est intéressant de remarquer également que pour les élèves, il n'y a pas vraiment d'erreur (mathématique, deraisonnement), ils sont dans un registre opérationnel, pour eux, ce qu'ils viennent de faire est juste une procédurequi ne fonctionne pas. De fait, ces élèves - ceux de ce binôme - sont dans un apprentissage de type procédural, lequestionnement mathématique n'est pas spontanément engagé. Il commence à l'être quand les procéduresimmédiates, perceptives comme celle-ci, sont mises en échec.

Cette attitude qui consiste à essayer quelques manipulations avant de commencer à s'engager dans une réflexionmathématique, semble assez partagée. Elle milite en faveur de l'usage de la géométrie dynamique, car pour que laréflexion émerge à la suite d'une série de voies sans issues, il faut que ce travail préliminaire soit peu couteux pourque les élèves aient envie de commencer à entrer dans la réflexion mathématique. Dans l'environnement papiercrayon, après deux tentatives infructueuses, la lourdeur des constructions, la noirceur de la feuille parfois, amènentsouvent à l'abandon d'une nouvelle tentative. Par ailleurs l'usage du monkey, quand la figure n'est pas tropcomplexe, avec un peu de pratique, permet de corriger ses représentations.





Une autre réflexion pourrait être envisagée ici, en dégageant un invariant entre l'utilisation précédente, elle aussi,d'une certaine façon "à l'envers" du test d'orthogonalité, et ici l'utilisation "à l'envers" du milieu. Cet invariant pourraitêtre que la dimension fonctionnelle des outils, si elle est acquise de manière opérationnelle, n'est pas perçue demanière conceptuelle.

Certes, on peut dire aux élèves que le milieu est un objet construit à partir de deux autres, et que ce n'est pas là cequ'ils font : ils perçoivent bien que ce n'est pas la même chose (surtout quand le monkey le confirme), en particulierparce qu'ils voient bien que le geste n'est pas le même : ils ajustent le milieu. Pour autant, la différence conceptuellen'émerge pas, et c'est probablement pour cela que la symétrie centrale n'est qu'au programme du collège.

Relation entre connaissance et savoir

La suite de la vidéo est un interview d'élève qui a su construire le point M1, et qui sait pourquoi ce qu'elle a fait estjuste. Mais comme chez un expert qui ne sait pas pourquoi il sait ce qu'il sait (en référence aux exemples deconnaissance opérationnelle de Vergnaud en didactique professionnelle), elle n'arrive pas véritablement àconceptualiser mathématiquement son expertise : ce qu'elle sait est une connaissance personnelle. Cetteconnaissance personnelle devient un savoir, transmissible, quand il est dépersonnalisé, décontextualisé. Ici quandon l'aura relié à des propriétés géométriques. C'est le rôle de la mise en commun puis de l'institutionnalisation parl'enseignant.

On voit bien ici le rôle de l'enseignant qui permet ce passage de la connaissance personnelle (même assurée) ausavoir, capitalisable, ré-exploitable dans d'autres situations.

++++TestValidation

7.7. Exemple d'auto-évaluation par usage des tests

Dans ce dernier extrait vidéo, un élève utilise les tests du logiciel pour confirmer son hypothèse que la constructionfaite par son camarade est fausse. Contrairement aux autres, cet extrait vidéo n'est pas en temps réel : on voit laconstruction du point D1 d'un premier élève, puis sa construction du carré à partir du 3° côté (le saut temporel est là).La réaction du second élève se fait à la construction du 4° côté du carré : le lecteur est invité à observer lui aussi quel'on voit bien, à la création de ce 4° côté, que l'on n'a pas affaire à un carré. C'est l'échange suivant qui estintéressant.

État de la construction avant l'extrait vidéo

Le point M1 a été construit après la mise en commun. Comme la droite (O1A1) a été construite, on peut penser quele point P1 est lui aussi bien construit (là encore de manière opportuniste, parce que la droite a été tracée).

Comme la droite (O1B1) n'a pas été tracée, il est clair que le point nommé B1* est posé sur le cercle de manièreperceptive.

La vidéo commence quand l'élève construit, correctement, le dernier cercle avant la construction du carré.

<div style='width:640px;height:360px;margin:0 auto;overflow:hidden;' class='video_placeholder' > <video




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Cette vidéo illustre la bonne instrumentation des tests (au moins orthogonalité et parallélisme), avec une utilisationeffective des raisons pour lesquelles ces outils ont été construits, contrairement à ce qu'on a pu voir dans un extraitprécédent.

Elle illustre aussi l'entrée, par l'aisance d'utilisation des outils, dans une démarche de validation d'une argumentationpar les instruments. Les instruments sont ici plus conceptuels que ceux du monde sensible, et donc l'élève entredans une approche de fait plus conceptuelle des propriétés des objets.

Bilan et analyse de la séquence

Le bilan de cette séquence est largement satisfaisant, mais on peut être un peu exigeant et voir avec précisions tousles points qui n'ont pas été optimum. Bien entendu il a de nombreuses retombées positives, mais on a aussi vuplusieurs fois en direct les limites ou parfois même les insuffisances de notre ingénierie : dans le même laps detemps, avec le recul d'une première expérimentation, on devrait pouvoir faire mieux. Voyons pourquoi et comment.

Les points positifs organisationnels

Être en binôme sur les postes installe de fait une communication entre les élèves, qui utilisent naturellement unvocabulaire géométrique, au départ pas nécessairement précis, et au fil des séances de plus en plus précis.

Avoir des fiches de travail permet de faire alterner les tâches entre l'élève qui agit sur la souris et celui qui contrôlece qui est fait ou conseille son associé. Là encore voir et observer en direct un autre faire une activité mathématiqueparticipe de la méta-cognition sur les objets géométriques.

Alterner plusieurs fois par séance les phases collectives et celles en binômes permet : de focaliser l'instrumentation du logiciel sur des points précis d'institutionnaliser les pratiques, dont certaines pratiques personnelles d'élèves.

Les séances duraient 1 h 30 (le vendredi de 10 h à 11 h 30) ce qui permet de prendre du temps pour les phasescollectives, que ce soit d'exploration avec les outils tests, de validation des propriétés, de correction par des élèves,tout en proposant des séances significatives.

Le fait que 3 séances au second semestre se sont déroulées trois vendredis de suite a été un facteur de stabilisationde l'instrumentation du logiciel et des outils de test.

Forces et faiblesses de la mise en oeuvre





Tout d'abord l'alternance des phases collectives et en binômes a été particulièrement efficace pour atteindre sonobjectif d'institutionnalisation des pratiques.

Le choix de faire l'apprentissage collectif des outils de test, avec une réflexion mathématique associée aux objets enjeu dans l'activité, a été un moment fort d'apprentissage dans chaque séance où cela a eu lieu. Et les outils de testont ensuite été largement réutilisés par les élèves

Officialisée dans la fiche de la première séance du second semestre, l'instrumentalisation des traces et couleurs(comme dans la seconde vidéo) trouvée en décembre par des élèves, a eu un effet positif sur l'engagement dans lestâches par les élèves en général : un savoir faire spécifique, propre à des élèves, avait été partagé et chacun pouvaitl'utiliser.

Tous ces points ont montré une efficacité certaine. Ce qui a moins bien fonctionné est le dosage, dans chaqueactivité, de la tâche purement opérationnelle et - selon l'activité - de son accompagnement conceptuel ou del'implication de conceptualisation demandée, généralement trop faible.

Peut-être parce que nous voulions, même inconsciemment, des résultats tangibles, mais aussi tout simplement parmanque d'expérience de cette situation, nouvelle pour tout le monde, plusieurs fois l'accent a été mis surl'instrumentation pour elle-même alors qu'elle pouvait s'accompagner, par quelques manipulations supplémentaires,d'explicitations conceptuelles "en actes" qui pouvaient ouvrir à plus de compréhension mathématique. En définitive,c'est dans la subtilité du geste non fait, comme illustration, de quelques secondes, pendant la construction, dudynamisme conservé par exemple que l'on perçoit en temps réel, que l'efficacité opérationnelle a été parfois obtenueau détriment d'un apprentissage conceptuel en parallèle.

Ce point est souligné ici pour dire que la géométrie dynamique ne fonctionne pas "toute seule", qu'elle n'est qu'unenvironnement dont le potentiel est à disposition certes, mais qu'il faut s'approprier. Autrement dit, il faut être vigilant,dans la préparation de sa mise en oeuvre, à ne pas transférer, subtilement, la statique de l'environnement papiercrayon, au dynamisme de l'environnement, pour éviter de figer l'ouverture conceptuelle que permet la richesse de cetenvironnement.

La tache est délicate pour l'enseignant : ne pas en rester au niveau opératoire du logiciel, accompagner la réflexionmathématique implicitement sous-jacente aux gestes effectués, tout en respectant les démarches personnelles desélèves parfois encore fragiles quand ils viennent l'exposer à la classe. À l'école primaire, où la conceptualisation desobjets géométriques commence tout juste à être ébauchée, nous avons une nouvelle attitude à explorer et à installerpour mener cette tâche complexe avec pertinence.

On peut penser qu'il fallait cette première année exploratoire pour voir les potentialités à la fois opérationnelles etconceptuelle d'une telle séquence et voir, en direct, les moments où nous avons pu passer à côté de certainesopportunités de conceptualisation.

Mieux utiliser la richesse de l'environnement de CaRMetal

Le problème du passage à la conceptualisation n'est pas nouveau, il existe aussi dans l'environnement papiercrayon, mais l'environnement étant plus riche, il est à repenser à réinventer. Par exemple, l'analyse en séance desconstructions erronées, et la recréation - collective - de l'historique de la construction par utilisation du monkey,pourrait être une piste intéressante à creuser pour la prochaine expérimentation : ce dispositif est l'occasion, tout enétant dans un registre opérationnel pour les élèves - on recherche les gestes faits - de questionner les objets mis enjeux (définition, propriétés, en lien éventuellement avec les items du logiciel, pour accéder à une réflexion sur la




pratique géométrique abordable par des élèves de CM2 et enrichissante pour eux.

A la lumière de ce qui a été fait cette année, une réorientation de la mise en oeuvre des séances, et une réécriturede la séquence devrait permettre de conserver un bon niveau d'instrumentation tout en développant mieuxl'émergence d'une réflexion conceptualisante au cours des activités ou lors de leurs correction.

Quelques pistes d'amélioration

Voici quelques réflexions en vu d'améliorer la séquence et son efficacité.

une séance initiale d'instrumentation qui traite à la fois des segments et des droites, mais aussi des cercles pourune meilleure efficacité de la séance 3.

conserver la séance "faisceaux de traits", proposée comme problème ouvert, qui ne concerne que des points,segments et droites, avec analyse collective des erreurs des élèves.

conserver la séance 3 (création d'un rectangle et intersections avec deux cercles) : en faire une séanced'argumentation.

réécrire entièrement la séance 4, remplacer la phase 3 (proposée par l'auteur de l'article) par un travail sur l'outilcompas comme report de mesure et construire différents carrés dans cette séance 4.

réécrire la séance 5 (non présentée ici, un autre article lui étant consacré) : l'activité choisie dans ERMEL, aprèsdeux tentatives différentes, ne se transcrit pas de manière pertinente dans un environnement dynamique.

enrichir la séance 6 sur les pentagones qui a été jugée trop facile par les élèves. conserver la séance 7, que l'on peut décliner, au sein de la classe, en plusieurs versions (paragraphe S7.1 sur

variables didactiques) selon l'aisance des élèves.

Ces notes sont données à titre indicatif, comme réflexion sur notre pratique, il est évident que tout est à adapter enfonction du niveau où l'on enseigne et de sa propre pratique de classe.

Prolongation de l'expérimentation

Dans les paragraphes précédents, l'analyse un peu distante et froide de l'enseignant chercheur - qui place peut-êtrela barre un peu haut - ne doit pas masquer l'enthousiasme qu'a suscité cette expérience, chez tous les participants,que ce soient les élèves ou l'enseignante qui nous accueillait, sans laquelle rien n'aurait été possible. Deuxanecdotes significatives à ce sujet.

Lors d'une séance, un élève, malade depuis plusieurs jours, devait être absent. Il a insisté auprès de son père pourqu'il l'amène à l'école le vendredi de 10 h à 11 h 30, pour ne pas rater le cours de géométrie dynamique : il a doncété présent cette partie là de la semaine.

Devant l'engagement verbal des élèves sur les propriétés des objets (carré et losange) et la pertinence de leurspropos, Mme Lefèvre, titulaire de la classe, est allée prendre la classe d'un collègue pour qu'il viennent, unequinzaine de minutes, "voir comme ça se passe", et "ce que ça donne".

L'an prochain nous reprendrons une nouvelle séquence, au minimum retravaillée comme indiqué ci-dessus, à lalumière de cette première année d'expérience, dans deux classes de CM2, et nous commencerons un nouveaucycle, dans la même école, à partir du CE2, avec une ingénierie prévue pour trois années consécutives, du CE2 auCM2.



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Bilan d'une séquence de géométrie dynamique en CM2revue.sesamath.net/IMG/article_PDF/Bilan-d-une-s-quence-de-g-om... · transformer en géométrie de la mesure au sens où d'une