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LOI BINOMIALEI. Rptition d'expriences identiques et indpendantesExemples :

1) On lance un d plusieurs fois de suite et on note chaque fois le rsultat. On rpte ainsi la mme exprience (lancer un d) et les expriences sont indpendantes l'une de l'autre (un lancer n'influence pas le rsultat d'un autre lancer).

2) Une urne contient 2 boules blanches et 3 boules noires. On tire au hasard une boule et on la remet dans l'urne.

On rpte cette exprience 10 fois de suite. Ces expriences sont identiques et indpendantes.

Dfinition : Plusieurs expriences sont identiques et indpendantes si :

- elles ont les mmes issues,

- chaque issue possde la mme probabilit.

Proprit : On considre une exprience alatoire deux issues A et B avec les probabilits P(A) et P(B).

Si on rpte l'exprience deux fois de suite de faon identique et indpendante :

- la probabilit d'obtenir l'issue A suivie de l'issue B est gale P(A) x P(B),

- la probabilit d'obtenir l'issue B suivie de l'issue A est gale P(B) x P(A),

- la probabilit d'obtenir deux fois l'issue A est gale P(A)2,

- la probabilit d'obtenir deux fois l'issue B est gale P(B)2.

-Admis-

Mthode : Reprsenter la rptition d'expriences identiques et indpendantes dans un arbreOn considre l'exprience suivante :

Une urne contient 3 boules blanches et 2 boules rouges. On tire au hasard une boule et on la remet dans l'urne. On rpte l'exprience deux fois de suite.

1) Reprsenter l'ensemble des issues de ces expriences dans un arbre.

2) Soit X la variable alatoire qui compte le nombre de boules blanches.

Dterminer la probabilit que :

a) X = 2,

b) une boule blanche et une boule rouge,

c) X 1.1) On note A l'issue "On tire une boule blanche" et B l'issue "On tire une boule rouge".

P(A) = = 0,6 et P(B) = = 0,4.

On rsume les issues de l'exprience dans un arbre de probabilit :

2)a) Obtenir deux boules blanches correspond l'issue (A ; A) :

P1 = 0,36 (d'aprs l'arbre).

b) Obtenir une boule blanche et une boule rouge correspond aux issues

(A ; B) et (B ; A) :

P2 = 0,24 + 0,24 = 0,48.

b) Obtenir au moins une boule blanche correspond aux issues

(A ; B), (A ; A) et (B ; A) :

P2 = 0,24 + 0,36 + 0,24 = 0,84.

Remarques :

Pour une exprience dont le nombre d'issues est suprieur 2, le principe reste le mme.

Pour une exprience dont le nombre de rptition est suprieur 2, le principe reste le mme.

Exemple :

On lance un d six faces 4 fois de suite.

On considre les issues suivantes :

A : On obtient un nombre pair.

B : On obtient un 1.

C : On obtient un 3 ou un 5.

La probabilit d'obtenir la suite d'issues (A ; B ; A ; C) est gale :

.

II. Epreuve de BernoulliDfinition : Une preuve de Bernoulli est une exprience alatoire deux issues que l'on peut nommer "succs" ou "chec".Remarque :

Au succs, on peut associer le nombre 1 et l'chec, on peut associer le nombre 0.

Exemples :

1) Le jeu du pile ou face : On considre par exemple comme succs "obtenir pile" et comme chec "obtenir face".

2) On lance un d et on considre par exemple comme succs "obtenir un six" et comme chec "ne pas obtenir un six".

La loi de Bernoulli associe cette exprience est:

xi10

P(X = xi)1/65/6

Dfinition : Une loi de Bernoulli est une loi de probabilit qui suit le schma suivant :

- la probabilit d'obtenir 1 est gale p,

- la probabilit d'obtenir 0 est gale 1 p.

p est appel le paramtre de la loi de Bernoulli.

On peut rsumer la loi de Bernouilli de paramtre p dans le tableau:

xi10

P(X = xi)p1 - p

Exemples : Dans les exemples prsents plus haut :

1)

2).

Proprit : Soit X une variable alatoire qui suit la loi de Bernoulli de paramtre p.

Alors:

E(X) = pDmonstration :

E(X) = 1 x p + 0 x (1 p) = pIII. Schma de BernoulliDfinition : Un schma de Bernoulli est la rptition de n preuves de Bernoulli identiques et indpendantes pour lesquelles la probabilit du succs est p.Exemple :

La rptition de 10 lancers d'une pice de monnaie est un schma de Bernoulli de paramtres n = 10 et p =.Dfinition : On ralise un schma de Bernoulli compos de n preuves de Bernoulli identiques et indpendantes.

Une loi binomiale est une loi de probabilit dfinie sur l'ensemble {0 ; 1 ; 2 ; ; n} qui donne le nombre de succs de l'exprience.Remarque: n et p sont les paramtres de la loi binomiale et on note B(n; p).Exemple :On a reprsent dans un arbre de probabilit les issues d'une exprience suivant un schma de Bernoulli compos de 3 preuves de Bernoulli de paramtre p.

Soit X la variable alatoire qui compte le nombre de succs.

Alors X suit une loi binomiale de paramtre n = 3 et p.

On a par exemple :

- P(X=3) = p3.

En effet, en suivant les branches sur le haut de l'arbre, on arrive 3 succs avec une probabilit de p x p x p.- Pour obtenir 2 succs, il faut suivre les chemins suivants :

(Succs ; Succs ; Echec)

(Succs ; Echec ; Succs)

(Echec ; Succs ; Succs)

Donc P(X=2) = 3 x p2 (1 p) IV. Coefficients binomiaux

1) DfinitionExemple :Dans l'arbre prcdent, combien existe-t-il de chemins conduisant 2 succs parmi 3 preuves ? On dit aussi combien y a-t-il de combinaisons de 2 parmi 3 ?

(Succs ; Succs ; Echec)

(Succs ; Echec ; Succs)

(Echec ; Succs ; Succs)

Il existe donc trois chemins conduisant 2 succs parmi 3 preuves et on note : .

Dfinition : On ralise une exprience suivant un schma de Bernoulli de paramtre n et p.Soit un entier naturel k tel que

On appelle coefficient binomiale, le nombre de chemins conduisant k succs parmi n preuves sur l'arbre reprsentant l'exprience.Ce nombre se note : .Proprits :Pour tout entier naturel n :

Dmonstrations :

- Il n'y a qu'un seul chemin correspondant 0 succs parmi n preuves :

(Echec, Echec, , Echec)

- Il n'y a qu'un seul chemin correspondant n succs parmi n preuves :

(Succs, Succs, , Succs)

- Il n'y a n chemins correspondant 1 succs parmi n preuves :

(Succs, Echec, Echec, , Echec)

(Echec, Succs, Echec, , Echec)

(Echec, Echec, Succs, , Echec)

(Echec, Echec, Echec, , Succs)

Exemples :

: (SSEEE), (SESEE), (SEESE), (SEEES), (ESSEE), (ESESE), (ESEES), (EESSE), (EESES), (EEESS).Avec la calculatrice :Il est possible d'obtenir le rsultat l'aide d'une calculatrice. La fonction se nomme "combinaison" ou "nCr".

Pour calculer , on saisie : 3combinaison2 ou 3nCr2 suivant le modle de calculatrice.

Avec un tableur :

La fonction se nomme "COMBIN".

Pour calculer , on saisie : =COMBIN(3;2)

2) Application la loi binomialeProprit : On ralise une exprience suivant un schma de Bernoulli de paramtre n et p.La loi binomiale de paramtres n et p est dfinie par :

-Admis-

Mthode : Calculer les probabilits d'une loi binomiale

Une urne contient 5 boules gagnantes et 7 boules perdantes. Une exprience consiste tirer au hasard 4 fois de suite une boule et de la remettre.

1) Dterminer la loi binomiale.

2) Calculer la probabilit d'obtenir 3 boules gagnantes.

1) On rpte 4 fois une exprience deux issues : boules gagnantes (5 issues) ; boules perdantes (7 issues).

Le succs est dobtenir une boule gagnante.

La probabilit du succs sur un tirage est gale .

Les paramtres de la loi binomiale sont donc : n = 4 et p = .

On a ainsi :

3+1 = 42)

On obtient avec la calculatrice : .

Et donc : .

V. Esprance de la loi binomialeProprit : Soit X une variable alatoire qui suit la loi binomiale de paramtre n et p. Alors:

E(X) = n x p

-Admis-

Mthode : Calculer lesprance dune loi binomialeUn QCM comporte 8 questions. A chaque question, trois solutions sont proposes; une seule est exacte.

Chaque bonne rponse rapporte 0,5 point.

On rpond au hasard chaque question. Quelle note peut-on esprer obtenir?

Soit X la variable alatoire qui compte le nombre de bonnes rponses.

X suit une loi binomiale de paramtre n = 8 et

E(X) = .

On peut esprer obtenir bonnes rponses en rpondant au hasard.

On peut donc esprer obtenir point en rpondant au hasard.

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