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LES PRODUITS DÉRIVÉStroisième partie:Black - Scholesmodèle binomial

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VI- Le modèle de Black & Scholes :

Le modèle de Black & Scholes publié en 1973 est de loin le modèle d ’évaluation d ’option le plus utilisé en pratique.

B&S démontrent qu’à partir des paramètres qui influencent la valeur des options (S0, X, T, rf et , il est possible de bâtir une position sans risque en combinant l ’achat d ’une (ou de plusieurs) action(s) et en vendant simultanément un certain nombre d ’options d ’achat.

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À l ’équilibre (absence d ’opportunité d ’arbitrage), la valeur au marché d ’une option d ’achat doit donc être telle que le rendement d ’un portefeuille sans risque composé d ’une action et d ’un certain nombre d ’options d ’achat correspond au rendement sans risque.

B&S démontrent qu’il y aura absence d’opportunité d ’arbitrage, uniquement lorsque la valeur de l ’option d ’achat C0 correspond à:

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Co = S0 N(d1) - Xe-rT N(d2).

Où:

•C0: valeur théorique de l ’option d ’achat à t=0 (moment de l ’évaluation);

•S0: cours de l’action sous-jacente à t=0;

•X: prix d ’exercice de l ’option d ’achat;

•r: taux d ’intérêt sans risque à capitalisation continue. (c’est un taux nominal annuel capitalisé continuellement). Si on a rf le taux sans risque effectif annuel alors r = ln(1+rf);

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•T: Temps qui reste à courir avant l ’échéance de l ’option, exprimé en année,

•N(d): probabilité cumulée jusqu’à la valeur d sous une loi normale centré réduite. C’est l’aire sous la courbe normale centré réduite entre - et d.

ln(S0/X) + (r + 2/2) Td1 = -------------------------------- ½

d2 = d1 - ½

où 2 est la variance du rendement annuels continus de l ’action.

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A- Les hypothèses du modèle de B&S:Le modèle de B&S est basé sur un certain nombre d ’hypothèses plutôt restrictives, dont les principales sont:

•le marché des capitaux est parfait;– pas d ’impôt;– pas de frais de transaction;– information gratuite et accessible à tous;– aucune restriction sur les ventes à découvert;– les investisseurs sont rationnels et peuvent prêter et

emprunter au taux d ’intérêt sans risque qui est connu et constant dans le temps;

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•le titre sous-jacent ne paie ni dividendes, ni intérêt pendant la durée de vie de l ’option;

•L ’option est de type européen (ne peut pas être exercé avant l ’échéance);

•le cours de l ’action sous-jacente obéit à une loi log-normale;

•la variation du taux de rendement continu de l ’action est constante.

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B- Extension du modèle de B&S pour évaluer un put européen:La relation de parité Put-Call:

C - P = S0 - X/(1+rf)T Temps discet

C - P = S0 - Xe-rT Temps continu

P = C - S0 + Xe-rT

C = S0 N(d1) - Xe-rT N(d2)

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d ’où:

P = S0N(d1) - Xe-rTN(d2) - S0 + Xe-rT

P = Xe-rT[1-N(d2)] - S0 [1-N(d1)]

Donc, la valeur d ’un put européen est égale à:

P = Xe-rTN(-d2) - S0 N(-d1) sachant que: N(-x) = 1- N(x).

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Application du modèle de B&S:

Nous sommes le 5 mars et on a l’option d ’achat suivante:

•le cours de l ’action ordinaire le 5 mars est 32$;•le prix d ’exercice de l ’option est 28$;•la valeur marchande de l ’option est 8.875$;•date d ’expiration de l ’option: 3ième vendredi de juin;

•taux de rendement, au début de mars, des bons de trésor échéant dans trois mois est 7.25%;

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•écart-type du rendement hebdomadaire de l ’action est de 6.41% (cette valeur a été estimé à partir des rendements hebdomadaires au cours des 52 dernières semaines).

À l ’aide du modèle de B&S, on peut déterminer la valeur théorique de l ’option d ’achat (juin/28$) à la date du 5 mars?

En comparant la valeur obtenue avec la côte au marché, dites si l ’option est sous-évaluée, sur-évaluée ou correctement évaluée?

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Solution:

Les valeurs des différents paramètres à insérer dans le modèle de B&S s ’établissent ainsi:

S0 = 32$X = 28$r = ln(1+0.0725) = 0.06992 7%T = 106 / 365 = 0.29 ans = (52)½ (0.0641) = 0.46223 46.22%

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ln(32/28) + [0.07 + (0.4622)2/2](0.29)

d1 = ----------------------------------------------- = 0.74 (0.4622) (0.29)½

d2 = 0.74 - (0.4622) (0.29)½ = 0.49

À l’aide de la table de la loi normale centrée réduite, on trouve que:

N(d1) = N(0.74) = 0.7703

N(d2) = N(0.49) = 0.6879

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En insérant les valeurs des différents paramètres dans l ’équation de B&S on obtient:

C0 = S0 N(d1) - Xe-rT N(d2)

C0 = 32 0.7713 - 28e-0.070.29 0.6879

C0 = 5.78$

La valeur théorique est 5.78$ et le prix côté est 8.875$. L ’option était donc sur-évaluée au moment de l ’évaluation.

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VII- Le modèle binomial:Si on suppose que le cours de l’action peut prendre seulement deux valeurs à l ’expiration de l ’option: le prix de l ’action va augmenter à son niveau élevé avec une probabilité p ou diminuer à son niveau bas avec une probabilité (1-p).

Comment peut-on évaluer le prix actuel de l’option (à la date 0)?

La procédure à suivre: solution à l ’envers: de t=n à t=0, où n est la date d ’expiration de l ’option.

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La proportion de l ’augmentation du prix de l’action est:

u = e(t)½

La proportion de la diminution du prix de l ’action est:

d = e-(Dt)½ = 1/u

La probabilité de l ’augmentation du prix de l ’action est:

p = (ert - d ) / (u-d)

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Où: : la volatilité de l ’action durant la période;

t: l’intervalle de temps analysé;

r: le taux d ’intérêt sans risque.

Exemple:Le TIP (Toronto Index Participation) se vend le 12 décembre 1997 à 35.60$. L ’option d ’achat (call) au prix d ’exercice de 36$ et échéant dans exactement deux semaines se vend à 0.8$. L’option de vente (put) au prix d ’exercice de 38$ et échéant dans exactement 3 semaines se vend à 1.40$.

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Les bons du Trésor avec une échéance d ’une semaine à trois semaines se vendent le 12 décembre 1997 à 99.92$ pour chaque tranche de 100$. Évaluer, selon le modèle binomial, le call avec 2 périodes et le put avec 3 périodes ?

Solution:La première étape est de calculer les pourcentages d ’augmentation et de diminution des cours de l ’action par période:

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u = e0.3*(1/52)½ = 1.04248

d = 1/u = 0.95925

Le taux d ’intérêt sans risque:

rf = (100/99.92) - 1 = 0.08%

r = ln(1 + 0.0008) = 0.0416

La probabilité d ’augmentation:

e0.0416*(1/52) - 0.95925 p = ----------------------------------- = 0.5 1.04248 - 0.95925

(1 - p) = 0.5

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Pour le call:

Distribution des prix de l’action:

38.69

37.11

35.60

35.6 35.60

34.15

32.76

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Calcul des prix du call:•branche supérieure t=2: VI = 38.69 - 36 = 2.69$•branche médiane t=2: VI = 0 (35.6 - 36) •branche inférieure t=2: VI = 0 (32.76 - 36)

valeur du call à t=1 (branche supérieure):(2.69*0.5 + 0*0.5)*e-0.0008 = 1.34$

valeur du call à t=1 (branche inférieure):(0*0.5 + 0*0.5)*e-0.0008 = 0

valeur du call à t=0:(1.34*0.5 + 0*0.5)*e-0.0008 = 0.67$

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Distribution des prix du call:

2.69

1.34

0

0.67 0

0

0

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Pour le put:

Distribution des prix de l’action:

40.33

38.69

37.11 37.11

35.6 35.60

34.15 34.15

32.76

31.42

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Calcul des prix du put:•branche supérieure t=3: VI = 0 (38 - 40.33)•branche médiane1 t=3: VI = 38 - 37.11 = 0.89 •branche médiane2 t=3: VI = 38 - 34.15 = 3.85•branche inférieure t=3: VI =38 - 31.42 = 6.58 •valeur du put à t=2 (branche supérieure): (0*0.5 + 0.89*0.5)*e-0.0008 = 0.44$

•valeur du put à t=2 (branche médiane): (0.89*0.5 + 3.85*0.5)*e-0.0008 = 2.36$

•valeur du put à t=2 (branche inférieure): (3.85*0.5 + 6.58*0.5)*e-0.0008 = 5.21$

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Calcul des prix du put:

•valeur du put à t=1 (branche supérieure):

(0.44*0.5 + 2.36*0.5)*e-0.0008 = 1.40$

•valeur du put à t=1 (branche inférieure):

(2.36*0.5 + 5.21*0.5)*e-0.0008 = 3.78$

valeur du put à t=0:

(1.40*0.5 + 3.78*0.5)*e-0.0008 = 2.60$

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Distribution des prix du put:

0

0.44

1.40 0.89

2.60 2.36

3.78 3.85

5.21

6.58