Box Jenkins

  • Published on
    24-Oct-2015

  • View
    43

  • Download
    1

Embed Size (px)

Transcript

<ul><li><p>La Mthodologie de Box-JenkinsMichel Tenenhaus</p></li><li><p>1.Les donnesUne srie chronologique assez longue</p><p> (n 50).</p><p>Exemple : Ventes danti-inflammatoires en France de janvier 1978 juillet 1982.Objectif : Prvoir les ventes daot dcembre 1982.</p></li><li><p>March totaldes anti-inflammatoires</p></li><li><p>March total des anti-inflammatoires</p></li><li><p>2. Stabiliser la srieIl faut TRANSFORMER la srie observe de manire -enlever la tendance,-enlever la saisonnalit,-stabiliser la variance.</p></li><li><p>Pour enlever la tendanceFaire des diffrences rgulires dordre d :</p><p>d = 2d = 1Diffrence rgulire dordre d :Dans la pratiqued = 0,1, rarement 2</p></li><li><p>March total des anti-inflammatoires : Diffrence rgulire dordre d = 1</p></li><li><p>Pour enlever la saisonnalitFaire des diffrences saisonnires dordre D :</p><p>Dans la pratique D = 0,1,trs trs rarement 2D = 2D = 1Diffrence saisonnire dordre D :Ordre de la saisonnalit : s = 12 (mois) ou 4 (trimestre)</p></li><li><p>March total des anti-inflammatoires : Diffrence saisonnire (s = 12) dordre D = 1</p></li><li><p>Pour enlever tendance et saisonnalitFormule gnrale :</p><p>On peut choisir d et D minimisant lcart-type de wt.Application March total : s = 12, d = 1, D = 1</p></li><li><p>March total des anti-inflammatoires : Diffrence rgulire/saisonnire (s = 12, d = 1, D = 1)</p></li><li><p>Calcul des sries diffrencies</p></li><li><p>Calcul des carts-typess = 12, d = 1, D = 1</p></li><li><p>Dveloppement de ztDeOn dduitOn va modliser la srie stationnaire wt.</p></li><li><p>Pour stabiliser la varianceOn utilise souvent les transformations</p></li><li><p>3. Le modle statistiqueOn suppose que la srie stabilise (w1,,wN)provient dun processus stationnaire (wt) :</p><p>Dans des conditions assez gnrales tout processusstationnaire peut tre approch par des modles AR(p), MA(q) ou ARMA(p,q).</p></li><li><p>AR(p) : Auto-rgressif dordre po at est un bruit blanc :</p></li><li><p>MA(q) : Moyenne Mobile dordre qRemarque : </p></li><li><p>ARMA(p,q)</p></li><li><p>RponseOn utilise les autocorrlations k et les autocorrlations partielles kk.</p></li><li><p>4. Autocorrlation</p></li><li><p>Exemple : March TotalDiffrence rgulire/saisonnire : d = 1, D = 1Autocorrlationscalcules</p></li><li><p>Exemple : March TotalDiffrence rgulire/saisonnire : d = 1, D = 1CorrlogrammeobservFormulede Bartlett</p></li><li><p>Variance des autocorrlations rkFormule de Box-Jenkins pour un bruit blanc(Hypothse : h = 0 pour h 1)</p></li><li><p>Test : H0 : k = 0On rejette H0 : k = 0 au risque = 0.05 siApplication March total :1 = 0, k = 0 pour k &gt; 1</p></li><li><p>5. Autocorrlation partielleRgression de wt sur wt-1,,wt-k :Cest une corrlation partielle :</p></li><li><p>Calcul pratique de estimation de kkSoit :EtcOn obtient les estimations des kk en remplaant les k par rk. </p></li><li><p>Exemple : March TotalDiffrence rgulire/saisonnire : d = 1, D = 1Autocorrlations partielles calcules</p></li><li><p>Corrlogramme partiel observCorrlogrammepartiel thorique0kk1k142</p></li><li><p>6. Autocorrlations et autocorrlations partielles des modles AR(p) et MA(q)</p></li><li><p>Le dernier pic significatif du corrlogramme partiel donnelordre p du modle AR(p).</p></li><li><p>MA(q)Le dernier pic significatif du corrlogramme donne lordre q du modle MA(q).</p></li><li><p>7. tude de la srie March TotalLes autocorrlations suggrent un modle MA(1).</p><p>Les autocorrlations partielles suggrent un modle AR(14).</p></li><li><p>7.1 tude de la voie moyenne mobileOn suppose que wt suit un modle MA(1) :et on a = E(wt) = . On choisit les paramtres , et 2 laidede la mthode du maximum de vraisemblance.</p></li><li><p>Maximum de vraisemblance On suppose que le vecteur alatoire w = (w1,,wN) suit une loi multinormale. Densit de probabilit de w : On recherche maximisant la vraisemblance</p></li><li><p>Qualit de lajustement dans ARIMAOn recherche le modle minimisant SBC.o r est le nombre de paramtres (hors 2).</p></li><li><p>Modle MA(1) avec constante</p></li><li><p>Modle MA(1) sans constante</p></li><li><p>Modlisation de ztDeOn dduit</p></li><li><p>Calcul des prvisions et des erreurs</p></li><li><p>Rsultats</p><p>MA(1) sans constante</p><p>DATE.</p><p>ventes</p><p>Fit</p><p>Error</p><p>1</p><p>JAN 1978</p><p>3741</p><p>.</p><p>.</p><p>2</p><p>FEB 1978</p><p>3608</p><p>.</p><p>.</p><p>3</p><p>MAR 1978</p><p>3735</p><p>.</p><p>.</p><p>4</p><p>APR 1978</p><p>3695</p><p>.</p><p>.</p><p>5</p><p>MAY 1978</p><p>3810</p><p>.</p><p>.</p><p>6</p><p>JUN 1978</p><p>3819</p><p>.</p><p>.</p><p>7</p><p>JUL 1978</p><p>3291</p><p>.</p><p>.</p><p>8</p><p>AUG 1978</p><p>3053</p><p>.</p><p>.</p><p>9</p><p>SEP 1978</p><p>3908</p><p>.</p><p>.</p><p>10</p><p>OCT 1978</p><p>4035</p><p>.</p><p>.</p><p>11</p><p>NOV 1978</p><p>3933</p><p>.</p><p>.</p><p>12</p><p>DEC 1978</p><p>4004</p><p>.</p><p>.</p><p>13</p><p>JAN 1979</p><p>3961</p><p>.</p><p>.</p><p>14</p><p>FEB 1979</p><p>4025</p><p>3828.00</p><p>197.00</p><p>15</p><p>MAR 1979</p><p>4336</p><p>4062.93</p><p>273.07</p><p>16</p><p>APR 1979</p><p>4335</p><p>4140.81</p><p>194.19</p><p>17</p><p>MAY 1979</p><p>4412</p><p>4331.83</p><p>80.17</p><p>18</p><p>JUN 1979</p><p>4268</p><p>4370.99</p><p>-102.99</p><p>19</p><p>JUL 1979</p><p>3968</p><p>3804.86</p><p>163.14</p><p>20</p><p>AUG 1979</p><p>3505</p><p>3626.87</p><p>-121.87</p><p>21</p><p>SEP 1979</p><p>4434</p><p>4437.16</p><p>-3.16</p><p>22</p><p>OCT 1979</p><p>4854</p><p>4563.00</p><p>291.00</p><p>23</p><p>NOV 1979</p><p>4592</p><p>4567.61</p><p>24.39</p><p>24</p><p>DEC 1979</p><p>4264</p><p>4647.55</p><p>-383.55</p></li><li><p>Rsultats (suite)</p><p>MA(1) sans constante</p><p>DATE.</p><p>ventes</p><p>Fit</p><p>Error</p><p>25</p><p>JAN 1980</p><p>4687</p><p>4464.06</p><p>222.94</p><p>26</p><p>FEB 1980</p><p>4704</p><p>4609.72</p><p>94.28</p><p>27</p><p>MAR 1980</p><p>4579</p><p>4955.25</p><p>-376.25</p><p>28</p><p>APR 1980</p><p>4800</p><p>4816.44</p><p>-16.44</p><p>29</p><p>MAY 1980</p><p>4485</p><p>4887.42</p><p>-402.42</p><p>30</p><p>JUN 1980</p><p>4617</p><p>4596.02</p><p>20.98</p><p>31</p><p>JUL 1980</p><p>4491</p><p>4303.71</p><p>187.29</p><p>32</p><p>AUG 1980</p><p>3832</p><p>3909.31</p><p>-77.31</p><p>33</p><p>SEP 1980</p><p>4669</p><p>4809.99</p><p>-140.99</p><p>34</p><p>OCT 1980</p><p>5193</p><p>5178.35</p><p>14.65</p><p>35</p><p>NOV 1980</p><p>4544</p><p>4921.72</p><p>-377.72</p><p>36</p><p>DEC 1980</p><p>4676</p><p>4455.37</p><p>220.63</p><p>37</p><p>JAN 1981</p><p>4709</p><p>4959.18</p><p>-250.18</p><p>38</p><p>FEB 1981</p><p>4705</p><p>4884.55</p><p>-179.55</p><p>39</p><p>MAR 1981</p><p>4677</p><p>4693.78</p><p>-16.78</p><p>40</p><p>APR 1981</p><p>4627</p><p>4908.64</p><p>-281.64</p><p>41</p><p>MAY 1981</p><p>4555</p><p>4490.48</p><p>64.52</p><p>42</p><p>JUN 1981</p><p>4570</p><p>4646.11</p><p>-76.11</p><p>43</p><p>JUL 1981</p><p>4457</p><p>4492.23</p><p>-35.23</p><p>44</p><p>AUG 1981</p><p>3589</p><p>3820.33</p><p>-231.33</p><p>45</p><p>SEP 1981</p><p>4636</p><p>4572.60</p><p>63.40</p><p>46</p><p>OCT 1981</p><p>5077</p><p>5119.82</p><p>-42.82</p><p>47</p><p>NOV 1981</p><p>4623</p><p>4455.14</p><p>167.86</p><p>48</p><p>DEC 1981</p><p>4591</p><p>4648.62</p><p>-57.62</p></li><li><p>Rsultats (fin)Vrifier les calculs pour </p><p>MA(1) sans constante</p><p>DATE.</p><p>ventes</p><p>Fit</p><p>Error</p><p>49</p><p>JAN 1982</p><p>4764</p><p>4660.52</p><p>103.48</p><p>50</p><p>FEB 1982</p><p>4726</p><p>4694.42</p><p>31.58</p><p>51</p><p>MAR 1982</p><p>5080</p><p>4677.99</p><p>402.01</p><p>52</p><p>APR 1982</p><p>4952</p><p>4775.23</p><p>176.77</p><p>53</p><p>MAY 1982</p><p>4633</p><p>4767.98</p><p>-134.98</p><p>54</p><p>JUN 1982</p><p>4830</p><p>4733.54</p><p>96.46</p><p>55</p><p>JUL 1982</p><p>4460</p><p>4655.87</p><p>-195.87</p></li><li><p>Graphique des ventes observes et prdites</p></li><li><p>Graphique des rsidus</p></li><li><p>Qualit de lajustement dans Time Series Modeler</p></li><li><p> Validation du modle tude des</p></li><li><p> Validation du modleCorrlogramme desFormule deBox-JenkinsCorrlogrammethorique des erreurs bt0k(bt)12k</p></li><li><p> Validation du modle : Utilisation de la statistique de Ljung-BoxLa statistique de Ljung-Boxsuit une loi du khi-deux m-r ddl lorsque les rsidusforment un bruit blanc.On accepte le modle tudi si les niveaux de significationsont &gt; .05 pour diffrentes valeurs de m.</p></li><li><p>Utilisation du modle estim en prvisionModle :Prvision de z55+h ralise en t = 55 :Et ainsi de suite</p></li><li><p>Application</p></li><li><p>Intervalle de prvision 95% de z55+hChaque modle a sa propre formule de constructionde lintervalle de prvision.Modle MA(1) :</p></li><li><p>Amlioration du modle MA(1) On suppose maintenant le modle Deon dduit :</p></li><li><p>Demande SPSS</p></li><li><p>Rsultats</p></li><li><p>7.2 tude de la voie autorgressiveOn suppose que wt suit un modle AR(14) :et on a = (1 - 1 -- 14).On choisit les paramtres , 1,,14 et 2 laidede la mthode du maximum de vraisemblance. est appelConstant dansSPSS</p></li><li><p>Rsultats</p></li><li><p>Modle AR : p = (1,2,12,13,14) avec csteDemande SPSS</p></li><li><p>Rsultats</p></li><li><p>Modle AR : p = (1,2,12,13,14) sans csteDemande SPSS</p></li><li><p>Rsultats</p></li><li><p>Modle AR : p = 2, P = 1 avec csteDemande SPSS</p></li><li><p>Rsultats</p></li><li><p>Modle AR : p = 2, P = 1 sans csteDemande SPSS</p></li><li><p>Rsultats</p></li><li><p>Rsultats</p></li><li><p>Rsultats avec Time Series Modeler</p></li><li><p>7.3 tude de la voie AR/MAModle avecconstante</p></li><li><p>Rsultats</p></li><li><p>7.3 tude de la voie AR/MAModle sansconstante</p></li><li><p>Rsultats</p></li><li><p>Rsultats</p></li><li><p>Rsultats (avec Time Series Modeler)</p></li><li><p>Rsultats (avec Time Series Modeler)</p></li><li><p>8. Le modle multiplicatif usuelARIMA(p,d,q)*(P,D,Q)so :Tous ces polynmes doivent tre inversibles.</p></li><li><p>9. PrvisionLe modle gnralpeut scrire :</p></li><li><p>Prvision lhorizon hModlePrvisionavec :</p></li><li><p>10. Calcul de lintervalle de prvision</p></li><li><p>Prvision de zt+h linstant t On a</p></li><li><p>Erreur de prvision lhorizon hDo :</p></li><li><p>Intervalle de prvision 95%de zt+h ralis linstant t</p></li><li><p>Exemple March Total</p></li><li><p>March Total : Intervalle de prvision lhorizon h 12</p></li><li><p>11. Le modle gnral de TS ModelerLe modle fonction de transfertNt = Noise </p></li><li><p>Application la srie IPIIndice de la Production Industrielle de la France (1963 - 1982) </p><p>Anne</p><p>Trimestre 1</p><p>Trimestre 2</p><p>Trimestre 3</p><p>Trimestre 4</p><p>63</p><p>64</p><p>65</p><p>66</p><p>67</p><p>68</p><p>69</p><p>70</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>82</p><p>68</p><p>77</p><p>76</p><p>81</p><p>84</p><p>89</p><p>95</p><p>100</p><p>137</p><p>74</p><p>79</p><p>79</p><p>84</p><p>85</p><p>77</p><p>99</p><p>104</p><p>136</p><p>64</p><p>65</p><p>67</p><p>71</p><p>72</p><p>78</p><p>82</p><p>87</p><p>111</p><p>78</p><p>79</p><p>83</p><p>87</p><p>90</p><p>99</p><p>103</p><p>110</p><p>140</p></li><li><p>Visualisation de la srie IPICette srieprsente unetendance etune saisonnalit</p></li><li><p>Visualisation de la saisonnalit</p></li><li><p>Visualisation de la tendanceMoyenne mobile centredordre 4 :</p><p>Tendance Zt</p></li><li><p>(b) Diffrence saisonnire de IPI (</p><p>)</p><p>_1216885748.unknown</p></li><li><p>Modle avec interventionNt = Noise = Srie corrige stationnarise tapesConstruction de la srie NoiseModlisation de la srie NoiseEstimation du modle complet</p></li><li><p>Etape 1 : Construction de la srie Noise</p></li><li><p>tape 2 : Modlisation de la srie NoiseNoise suit un AR(8)</p></li><li><p>Modlisation de la srie NoiseNoise ~ ARIMA(8,1,0)*(0,1,0)4</p></li><li><p>Modlisation de la srie NoiseNoise ~ ARIMA(0,1,0)*(2,1,0)4 sans constante</p></li><li><p>tape 3 : estimation du modle complet</p></li><li><p>tape 3 : estimation du modle completsans constante</p></li><li><p>Utilisation de Time Series ModelerFentre 1</p></li><li><p>Utilisation de Time Series ModelerFentre 2</p></li><li><p>Utilisation de Time Series ModelerFentre 3</p></li><li><p>Utilisation de Time Series Modeler pour la prvision</p></li><li><p>Utilisation de Time Series Modeler pour la prvisionLa syntaxe SPSSPREDICT THRU END.* Time Series Modeler.TSMODEL /MODELSUMMARY PRINT=[ MODELFIT] /MODELSTATISTICS DISPLAY=YES MODELFIT=[ SRSQUARE] /MODELDETAILS PRINT=[ PARAMETERS FORECASTS] /SERIESPLOT OBSERVED FORECAST FIT FORECASTCI /OUTPUTFILTER DISPLAY=ALLMODELS /SAVE NRESIDUAL(NResidual) /AUXILIARY CILEVEL=95 MAXACFLAGS=24 /MISSING USERMISSING=EXCLUDE /MODEL DEPENDENT=ipi INDEPENDENT=i22 PREFIX='Model' /ARIMA AR=[0] DIFF=1 MA=[0] ARSEASONAL=[1,2] DIFFSEASONAL=1 MASEASONAL=[0] TRANSFORM=NONE CONSTANT=NO /TRANSFERFUNCTION VARIABLES=i22 DIFF=1 DIFFSEASONAL=1 /AUTOOUTLIER DETECT=OFF.</p></li><li><p>Utilisation de Expert Modeler</p></li><li><p>Utilisation de Expert ModelerRponse :</p></li><li><p>Utilisation de Expert Modeler</p></li><li><p>Utilisation de Expert Modeler</p></li><li><p>Utilisation de Expert Modelerpour All modelsRponse :</p></li></ul>