Box Jenkins

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  • La Mthodologie de Box-JenkinsMichel Tenenhaus

  • 1.Les donnesUne srie chronologique assez longue

    (n 50).

    Exemple : Ventes danti-inflammatoires en France de janvier 1978 juillet 1982.Objectif : Prvoir les ventes daot dcembre 1982.

  • March totaldes anti-inflammatoires

  • March total des anti-inflammatoires

  • 2. Stabiliser la srieIl faut TRANSFORMER la srie observe de manire -enlever la tendance,-enlever la saisonnalit,-stabiliser la variance.

  • Pour enlever la tendanceFaire des diffrences rgulires dordre d :

    d = 2d = 1Diffrence rgulire dordre d :Dans la pratiqued = 0,1, rarement 2

  • March total des anti-inflammatoires : Diffrence rgulire dordre d = 1

  • Pour enlever la saisonnalitFaire des diffrences saisonnires dordre D :

    Dans la pratique D = 0,1,trs trs rarement 2D = 2D = 1Diffrence saisonnire dordre D :Ordre de la saisonnalit : s = 12 (mois) ou 4 (trimestre)

  • March total des anti-inflammatoires : Diffrence saisonnire (s = 12) dordre D = 1

  • Pour enlever tendance et saisonnalitFormule gnrale :

    On peut choisir d et D minimisant lcart-type de wt.Application March total : s = 12, d = 1, D = 1

  • March total des anti-inflammatoires : Diffrence rgulire/saisonnire (s = 12, d = 1, D = 1)

  • Calcul des sries diffrencies

  • Calcul des carts-typess = 12, d = 1, D = 1

  • Dveloppement de ztDeOn dduitOn va modliser la srie stationnaire wt.

  • Pour stabiliser la varianceOn utilise souvent les transformations

  • 3. Le modle statistiqueOn suppose que la srie stabilise (w1,,wN)provient dun processus stationnaire (wt) :

    Dans des conditions assez gnrales tout processusstationnaire peut tre approch par des modles AR(p), MA(q) ou ARMA(p,q).

  • AR(p) : Auto-rgressif dordre po at est un bruit blanc :

  • MA(q) : Moyenne Mobile dordre qRemarque :

  • ARMA(p,q)

  • RponseOn utilise les autocorrlations k et les autocorrlations partielles kk.

  • 4. Autocorrlation

  • Exemple : March TotalDiffrence rgulire/saisonnire : d = 1, D = 1Autocorrlationscalcules

  • Exemple : March TotalDiffrence rgulire/saisonnire : d = 1, D = 1CorrlogrammeobservFormulede Bartlett

  • Variance des autocorrlations rkFormule de Box-Jenkins pour un bruit blanc(Hypothse : h = 0 pour h 1)

  • Test : H0 : k = 0On rejette H0 : k = 0 au risque = 0.05 siApplication March total :1 = 0, k = 0 pour k > 1

  • 5. Autocorrlation partielleRgression de wt sur wt-1,,wt-k :Cest une corrlation partielle :

  • Calcul pratique de estimation de kkSoit :EtcOn obtient les estimations des kk en remplaant les k par rk.

  • Exemple : March TotalDiffrence rgulire/saisonnire : d = 1, D = 1Autocorrlations partielles calcules

  • Corrlogramme partiel observCorrlogrammepartiel thorique0kk1k142

  • 6. Autocorrlations et autocorrlations partielles des modles AR(p) et MA(q)

  • Le dernier pic significatif du corrlogramme partiel donnelordre p du modle AR(p).

  • MA(q)Le dernier pic significatif du corrlogramme donne lordre q du modle MA(q).

  • 7. tude de la srie March TotalLes autocorrlations suggrent un modle MA(1).

    Les autocorrlations partielles suggrent un modle AR(14).

  • 7.1 tude de la voie moyenne mobileOn suppose que wt suit un modle MA(1) :et on a = E(wt) = . On choisit les paramtres , et 2 laidede la mthode du maximum de vraisemblance.

  • Maximum de vraisemblance On suppose que le vecteur alatoire w = (w1,,wN) suit une loi multinormale. Densit de probabilit de w : On recherche maximisant la vraisemblance

  • Qualit de lajustement dans ARIMAOn recherche le modle minimisant SBC.o r est le nombre de paramtres (hors 2).

  • Modle MA(1) avec constante

  • Modle MA(1) sans constante

  • Modlisation de ztDeOn dduit

  • Calcul des prvisions et des erreurs

  • Rsultats

    MA(1) sans constante

    DATE.

    ventes

    Fit

    Error

    1

    JAN 1978

    3741

    .

    .

    2

    FEB 1978

    3608

    .

    .

    3

    MAR 1978

    3735

    .

    .

    4

    APR 1978

    3695

    .

    .

    5

    MAY 1978

    3810

    .

    .

    6

    JUN 1978

    3819

    .

    .

    7

    JUL 1978

    3291

    .

    .

    8

    AUG 1978

    3053

    .

    .

    9

    SEP 1978

    3908

    .

    .

    10

    OCT 1978

    4035

    .

    .

    11

    NOV 1978

    3933

    .

    .

    12

    DEC 1978

    4004

    .

    .

    13

    JAN 1979

    3961

    .

    .

    14

    FEB 1979

    4025

    3828.00

    197.00

    15

    MAR 1979

    4336

    4062.93

    273.07

    16

    APR 1979

    4335

    4140.81

    194.19

    17

    MAY 1979

    4412

    4331.83

    80.17

    18

    JUN 1979

    4268

    4370.99

    -102.99

    19

    JUL 1979

    3968

    3804.86

    163.14

    20

    AUG 1979

    3505

    3626.87

    -121.87

    21

    SEP 1979

    4434

    4437.16

    -3.16

    22

    OCT 1979

    4854

    4563.00

    291.00

    23

    NOV 1979

    4592

    4567.61

    24.39

    24

    DEC 1979

    4264

    4647.55

    -383.55

  • Rsultats (suite)

    MA(1) sans constante

    DATE.

    ventes

    Fit

    Error

    25

    JAN 1980

    4687

    4464.06

    222.94

    26

    FEB 1980

    4704

    4609.72

    94.28

    27

    MAR 1980

    4579

    4955.25

    -376.25

    28

    APR 1980

    4800

    4816.44

    -16.44

    29

    MAY 1980

    4485

    4887.42

    -402.42

    30

    JUN 1980

    4617

    4596.02

    20.98

    31

    JUL 1980

    4491

    4303.71

    187.29

    32

    AUG 1980

    3832

    3909.31

    -77.31

    33

    SEP 1980

    4669

    4809.99

    -140.99

    34

    OCT 1980

    5193

    5178.35

    14.65

    35

    NOV 1980

    4544

    4921.72

    -377.72

    36

    DEC 1980

    4676

    4455.37

    220.63

    37

    JAN 1981

    4709

    4959.18

    -250.18

    38

    FEB 1981

    4705

    4884.55

    -179.55

    39

    MAR 1981

    4677

    4693.78

    -16.78

    40

    APR 1981

    4627

    4908.64

    -281.64

    41

    MAY 1981

    4555

    4490.48

    64.52

    42

    JUN 1981

    4570

    4646.11

    -76.11

    43

    JUL 1981

    4457

    4492.23

    -35.23

    44

    AUG 1981

    3589

    3820.33

    -231.33

    45

    SEP 1981

    4636

    4572.60

    63.40

    46

    OCT 1981

    5077

    5119.82

    -42.82

    47

    NOV 1981

    4623

    4455.14

    167.86

    48

    DEC 1981

    4591

    4648.62

    -57.62

  • Rsultats (fin)Vrifier les calculs pour

    MA(1) sans constante

    DATE.

    ventes

    Fit

    Error

    49

    JAN 1982

    4764

    4660.52

    103.48

    50

    FEB 1982

    4726

    4694.42

    31.58

    51

    MAR 1982

    5080

    4677.99

    402.01

    52

    APR 1982

    4952

    4775.23

    176.77

    53

    MAY 1982

    4633

    4767.98

    -134.98

    54

    JUN 1982

    4830

    4733.54

    96.46

    55

    JUL 1982

    4460

    4655.87

    -195.87

  • Graphique des ventes observes et prdites

  • Graphique des rsidus

  • Qualit de lajustement dans Time Series Modeler

  • Validation du modle tude des

  • Validation du modleCorrlogramme desFormule deBox-JenkinsCorrlogrammethorique des erreurs bt0k(bt)12k

  • Validation du modle : Utilisation de la statistique de Ljung-BoxLa statistique de Ljung-Boxsuit une loi du khi-deux m-r ddl lorsque les rsidusforment un bruit blanc.On accepte le modle tudi si les niveaux de significationsont > .05 pour diffrentes valeurs de m.

  • Utilisation du modle estim en prvisionModle :Prvision de z55+h ralise en t = 55 :Et ainsi de suite

  • Application

  • Intervalle de prvision 95% de z55+hChaque modle a sa propre formule de constructionde lintervalle de prvision.Modle MA(1) :

  • Amlioration du modle MA(1) On suppose maintenant le modle Deon dduit :

  • Demande SPSS

  • Rsultats

  • 7.2 tude de la voie autorgressiveOn suppose que wt suit un modle AR(14) :et on a = (1 - 1 -- 14).On choisit les paramtres , 1,,14 et 2 laidede la mthode du maximum de vraisemblance. est appelConstant dansSPSS

  • Rsultats

  • Modle AR : p = (1,2,12,13,14) avec csteDemande SPSS

  • Rsultats

  • Modle AR : p = (1,2,12,13,14) sans csteDemande SPSS

  • Rsultats

  • Modle AR : p = 2, P = 1 avec csteDemande SPSS

  • Rsultats

  • Modle AR : p = 2, P = 1 sans csteDemande SPSS

  • Rsultats

  • Rsultats

  • Rsultats avec Time Series Modeler

  • 7.3 tude de la voie AR/MAModle avecconstante

  • Rsultats

  • 7.3 tude de la voie AR/MAModle sansconstante

  • Rsultats

  • Rsultats

  • Rsultats (avec Time Series Modeler)

  • Rsultats (avec Time Series Modeler)

  • 8. Le modle multiplicatif usuelARIMA(p,d,q)*(P,D,Q)so :Tous ces polynmes doivent tre inversibles.

  • 9. PrvisionLe modle gnralpeut scrire :

  • Prvisi