BTS Cours 18 Fiabilite

BTS DOMOTIQUE Fiabilité 2008-2010

Fiabilité

Table des matières

I Premières notions de fiabilité 2

I.1 Fonction de défaillance, fonction de fiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I.2 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.3 Taux d’avarie instantané . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.4 MTBF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I.5 Fiabilité d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II Loi exponentielle 6

II.1 Fonction de fiabilité et de défaillance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6II.2 MTBF, Écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

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I Premières notions de fiabilité

la fiabilité est la caractéristique d’un dispositif exprimée par la probabilité par la probabilité que ce dispositifaccomplisse une fonction requise dans des conditions d’utilisation et pour une période de temps déterminées(AFNOR).

Dans tout ce chapitre, on désigne par T la variable aléatoire qui, à tout dispositif choisi au hasard, associeson temps de bon fonctionnement ou sa durée de vie avant une défaillance.Pour simplifier, on choisit t = 0 comme origine des temps lorsque le dispositif est mis en marche pour lapremière fois.La variable T est donc une variable aléatoire continue à valeurs dans [ 0 ; +∞ [. On note f la densité deprobabilité de la variable T .

I.1 Fonction de défaillance, fonction de fiabilité

Définition 1

On appelle fonction de défaillance la fonction F définie pour tout t ≥ 0 par

F (t) = P (T ≤ t)

0 t x

y

F (t) y = f(x)

Le nombre F (t) représente la probabilitéqu’un dispositif choisi au hasard dans la po-pulation ait une défaillance avant l’instant t.On a également F ′(t) = f(t).

On a alors : P (T ≤ t) = P (T > t) = 1− P (T ≤ t) = 1− F (t).D’où la définition suivante :

Définition 2

On appelle fonction de fiabilité R définie pour tout t ≥ 0 par

R(t) = 1− F (t)

0 t

y

1

y = F (t)

y = R(t)

Le nombre R(t) représente la probabilitéqu’un dispositif choisi au hasard dans la po-pulation n’ait pas de défaillance avant l’ins-tant t.




I.2 Estimation

Dans la pratique, on ne connait pas (en général) les fonctions F et R. Dans ce cas, on peut, à partir d’étudesstatistiques, obtenir des estimations de F (t) et R(t) pour des valeurs de t données.

Exemple 1

On a mesuré pour 20 micro-ondes du même type le temps en heures écoulé avant la première panne. On obtient :

Temps t [0; 500] ]500; 1000] ]1000; 1500] ]1500; 2000] ]2000; 2500] ]2500; 3000] ]3000; 4000]

Nombre d’appareils 7 4 3 2 2 1 1

On souhaite estimer les valeurs de la fonction F (t) suivant les valeurs de t.

On note ni le nombre de dispositifs défaillants à l’instant ti et n l’effectif total de l’échantillon.on peut utiliser 3 méthodes :

• Méthode des rangs bruts :

On calcule les valeurs de F grâce à la formule F (ti) =ni

n

• Méthode des rangs moyens :

Avec la méthode précédente, la probabilité qu’un dispositif n’ait pas eu de défaillance à l’instant t = 4000est estimée à 0, ce qui dans la réalité n’est pas forcément vrai. Pour remédier à cette erreur, lorsque

l’échantillon n’est pas très grand, on prend F (ti) =ni

n+ 1

• Méthode des rangs médians :

Enfin, quand l’échantillon est petit, on a prend F (ti) =ni − 0, 3n+ 0, 4

Pour notre exemple 1, on obtient le tableau suivant :

Instant ti 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000

Rangs bruts F (ti) 0, 35 0, 55 0, 70 0, 80 0, 90 0, 95 1

R(ti) 0, 65 0, 45 0, 30 0, 20 0, 10 0, 05 0

Rangs moyens F (ti) 0, 33 0, 52 0, 67 0, 76 0, 86 0, 90 0, 95

R(ti) 0, 67 0, 48 0, 33 0, 24 0, 14 0, 10 0, 05

Rangs médians F (ti) 0, 33 0, 52 0, 67 0, 77 0, 87 0, 92 0, 97

R(ti) 0, 67 0, 48 0, 33 0, 23 0, 13 0, 08 0, 03




I.3 Taux d’avarie instantané

Sur la courbe représentative de la fonction de défaillance F , on s’intéresse à la pente de la tangente pour uninstant t donné. (Cette pente est égale à F ′(t).) :

Définition 3

On appelle taux d’avarie instantané à l’instant t le nombre λ(t) défini pour tout t ≥ 0 par

λ(t) =f(t)R(t)

Remarque 1

• Comme R(t) = 1− F (t), on montre facilement que l’on a également :

λ(t) = −R′(t)R(t)

et λ(t) =f(t)

1− F (t)

Les relations précédentes permettent donc de trouver λ(t) si l’on connaît F (t) ou R(t).

• Inversement, si l’on connaît λ(t), on peut obtenir R(t) et F (t) comme solutions des équations différentiellesdu premier ordre : R′(t) + λ(t)R(t) = 0 et F ′(t) + λ(t)F (t) = λ(t).

On a alors : R(t) = e−∫t

0λ(x)dx et F (t) = 1− e−

∫t

0λ(x)dx

• On constate expérimentalement que, pour la plupart des matériels, la courbe représentative du taux d’ava-rie instantané t 7→ λ(t) a la forme donnée par la figure ci-dessous. Elle est appelée « courbe en baignoire »et comporte trois parties distinctes :

0

pannesprécoces vie utile usure

À gauche, la période de débutde fonctionnement, où le tauxd’avarie instantané décroît avecle temps, car les pannes précocesdues à des défauts de fabricationou de conception sont de moinsen moins nombreuses.

Au centre, la période de maturité,ou « vie utile », où le taux d’ava-rie instantané reste à peu prèsconstant ; pendant cette période,les pannes paraissent dues au ha-sard.

A droite, la période d’usure, oùle taux d’avarie instantané aug-mente avec le temps, car lespannes sont dues à l’usure crois-sante du matériel.




I.4 MTBF

Définition 4

On appelle « Moyenne des Temps de Bon Fonctionnement » (MTBF) l’espérance mathématique de lavariable aléatoire T . On a donc

MTBF = E(T ) =∫ +∞

0tf(t) dt

A l’origine, le sigle MTBF provient de l’expression « Mean Time Between Failures »qui signifie « tempsmoyen entre deux défaillances ».

I.5 Fiabilité d’un système

Fiabilité d’un système monté en série :

Pour un système constitués de n composants montés en série (le bon fonctionnement de chacun étantindépendant du bon fonctionnement des autres), on montre que l’on a

R(T) =R1(t)×R2(t)× · · · ×Rn(t)

où R1, R2, . . ., Rn sont les fonctions de fiabilités respectives des n composants. (En effet, le système estdéfaillant dès qu’un seul composant est défaillant.)

Fiabilité d’un système monté en parallèle :

Pour un système constitués de n composants montés en parallèles (le bon fonctionnement de chacun étantindépendant du bon fonctionnement des autres), on montre que l’on a

F(T) =F1(t)× F2(t)× · · · × Fn(t)

où F1, F2, . . ., Fn sont les fonctions de défaillances respectives des n composants. (En effet, le système estfonctionnel dès qu’un seul composant est fonctionnel.)




II Loi exponentielle

II.1 Fonction de fiabilité et de défaillance

Définition 5

La loi exponentielle est la loi suivie par la variable aléatoire T lorsque le taux d’avarie est constant.Autrement dit, pour tout t ≥ 0, on a

λ(t) = λ

où λ est une constante réelle strictement positive.

Cette loi concerne tous les matériels pendant une durée de leur vie (vie utile) et les matériels électroniquespendant presque toute leur vie.

Propriété 1

♦ La fonction de fiabilité est définie pour tout t ≥ 0 par R(t) = e−λt.

♦ La fonction de défaillance est définie pour tout t ≥ 0 par F (t) = 1− e−λt.

♦ La densité de probabilité de la variable aléatoire T est définie pour tout t ≥ 0 par f(t) = λe−λt.

0

λ

t0 t

y

F (t0)

R(t0)y = f(t)

Si la variable aléatoire T suit une loi exponentielle de paramètre λ, alors on aura lnR(t) = −λt, et lareprésentation graphique de la courbe y = R(t) sur un papier semi-logarithmique sera une droite.

II.2 MTBF, Écart-type

On admettra que, pour la loi exponentielle de paramètre λ, on a

MTBF = E(T ) =1λ

On admet également que l’écart-type de la variable aléatoire T est

σ(T ) =1λ

=MTBF



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