BTS IRIS 2009

Physique

Juillet 2009

Bts irisCorrection du sujet de physique du BTS iris de la session de juin 2009

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Philippe ABBO www.physiqueapp.ovh.org 07‐2009 Toute reproduction même partielle est sujette à une demande écrite – Merci de respecter cette clause ‐ Page 2

Correction du BTS IRIS session 2009 Commande électrique d’un volet d’admission d’air d’un moteur thermique Préambule: Pour mieux comprendre le rôle de ce volet, je vous invite à consulter la page suivante (http://www.techno‐science.net/?onglet=glossaire&definition=198) qui illustre notamment le fonctionnement d’un moteur à explosion.

Partie A Motoréducteur d’entrainement du volet

La transmittance du moto réducteur s’écrie: 1,67( )

1 1,67MT pp

=+

A1 Cette transmittance est du 1er ordre car la variable p est à la puissance 1. Le système est donc solution d’une équation différentielle linéaire du 1er ordre. A2 La constante de temps τM se trouve inscrite dans la fonction de transfert dont la forme canonique habituelle est

( )1M

M

KT p

pτ=

+

On identifie τM = 0,1s

Seconde méthode Pour mémoire, il est possible d’obtenir cette constante graphiquement: Il suffit par exemple de savoir que lorsque t = τM la courbe de réponse à un échelon est à 63% de sa valeur finale. Note: Une autre solution, consiste également à mesurer la pente de la tangente à l’origine.

-0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0.46 0.48 0.5 0.52 0.54

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-0.5

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

5.5

6.5

7.5

8.5

9.5

10.5

1

1

2

2

Groupe 0

1 Échelon 6 6

2 PT1 6.317 6.317

Lecture de la constante de temps


A3 Temps de réponse à 5% : tr5%=3τM; au bout de trois fois la constante de temps le système atteint 95% du régime permanent.

Donc tr5%= 0,3s A4 La courbe précédente montre que le régime final n+∞ tend vers 10 volts environ. Calculons cette valeur plus précisément: Lorsque l’on atteint le régime permanent; la constante de temps du système n’a plus d’influence; cela signifie que seule le coefficient 1,67 de l’équation a une influence. Étant donné que l’entrée est fixée à 6v nous obtenons une sortie = 6*1,67 =10,02 tr/s. Note Il est également possible d’utiliser le théorème de la valeur finale

0

6lim ( )ppT p

p→×

A5

Nous obtenons Pour t1 = 0,1s → n1 = 6.36 tr/s Pour t2 = 0.3s →n2 = 9.53 tr/s

A6 Relation entre l’angle d’ouverture et la vitesse de rotation:

Nous savons que d

dt

θω = avec 2 nω π= en combinant ces deux résultats nous obtenons:

1

2

dn

dt

θπ

= comme θ s’exprime ici en degrés la relation précédente devient: 1

360

dn

dt

θ= (1)

Rq: Le raisonnement précédent est là pour justifier l'affirmation de l’énoncé qui donne la relation (1). Pour répondre à la question il suffit de poser la transformée de Laplace en considérant les conditions initiales de l’énoncé:

( ) ( ) 360( )

360 ( )V Vp p p

N pN p p

θ θ×= ⇒ =

Partie B: Capteur de position du volet

B1 Selon la position du curseur la tension évolue, lorsque

• ΘV=0, le curseur est en position basse, la tension est nulle (Rmin) • ΘV=90, le curseur est en position haute la tension vaut 12V (Rmax)

t (s)0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

n

2

4

6

8

10

95% de la valeur finale

Valeur de n pour t = τ

t1t2

6,362

0,1001

9,532

0,3011


Pour

• Θ =ΘV il suffit d’utiliser la formule du pont diviseur de tension pour obtenir la réponse:

12 12 2

90 15v v v

v

R RU

R Rθ

θθ θ× × × ×

= = =×

Partie C

C1 C’est une question de cours qui demande la mise en œuvre de la formule d’un système bouclé:

1

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( )v M V

BFM V C

p C p T p T pT p

U p C p T p T p T pθ

θ= =

+

C2

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( )v C M V

BFM V C

p T p C p T p T pT p

p C p T p T p T p

θθ

= =+

Partie D

D1 L’allure de la réponse du système est celle d’un second ordre, la présence d’une tangente horizontale à l’origine des temps, ainsi que des dépassements sont les signes que le système est solution d’une équation différentielle linéaire du second ordre. D2 L’erreur statique est nulle, la consigne de 50° est bien atteinte après le régime transitoire. D3 Par définition le dépassement relatif est donné par la formule:

max Re1

Re

100f

f

U UD

U

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜= ×⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

l’application numérique donne: 178 50

100 56%50

D⎛ ⎞− ⎟⎜= ⎟× =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

D4 Pour déterminer graphiquement la marge de phase il faut rechercher la pulsation pour laquelle le gain vaut 0dB. La lecture graphique donne 80 rad.s‐1 en pointant la marge de phase nous relevons environ 7.5° Rq: Avec les informations précédentes de l’énoncé, il est possible de simuler le comportement global du système est de retrouver les résultats proposés. Voici les résultats de cette digression….


Voici la structure simulée avec Simapp. Tous les

paramètres sont lisibles sur le schéma.

Allure des réponses temporelles en boucle fermée et fréquentielle en boucle ouverte:

Le dépassement vaut:

79.4 5050 100

58%

Diagramme de Bode en boucle ouverte:

La marge de phase mesure ici

7.3°

D5 Il est nécessaire d’augmenter la marge de phase, pour rendre le système plus stable. Pour agir sur la marge de phase, il est possible de modifier la valeur de l’action proportionnelle. Il convient de savoir qu’une marge de phase de 45° impose au système un temps de réponse optimal avec un bon compromis sur la stabilité. La marge de phase est donc un critère de stabilité.

P

K 0,13

K

P

K 0,13

K

PT1

K 1,67T 0,1 s

Ts1K+ Reset

Hold

I

Ti 1

sTi1

P

K 360

KÉchelon

H 50TD 0 s

-0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6-0,1 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7

0

10

20

30

40

50

60

70

80

-5

5

15

25

35

45

55

65

75

85

Groupe 0

I 79,494 79,494

Échelon 50 50

-40

-20

0

20

40

60

80

[dB] Amplitude

0,1 10,2 0,3 0,5 102 3 4 5 7 10020 30 50 1000200 400

-50

0

50

-75

-25

25

75

[°] Phase

Fréquence

I

Amplitude [dB] -0,068521 -0,068521

Phase 7,3503 7,3503


D6 Étude de l’asservissement avec correcteur; détermination graphique du temps de réponse à 5% : Le temps de réponse à 5% correspond à la durée nécessaire pour que la réponse du système soit comprise entre 95% et 105% du régime permanent. Pour obtenir cette valeur il suffit de tracer les niveaux 95% et 105% puis de rechercher tr5% Dans notre cas puisque que le système ne présente pas de dépassements, il suffit de rechercher la valeur associée à 95%:

Le temps de réponse est donc de 139 ms .

D7 Le système est du seconde ordre, la présence d’une tangente horizontale à l’origine est un élément caractéristique.

Partie E Étude du système dans sa version numérique

E1 Le bloqueur permet de maintenir le signal à une valeur constante afin que le convertisseur analogique / numérique puisse faire son "travail". En effet il est nécessaire de respecter un temps minimum de conversion qui correspond à la durée minimum nécessaire au traitement des données entre deux valeurs consécutives. E2 La période d’échantillonnage est de 10ms donc

3

1 1100

10.10E E

E

f f HzT −

= ⇒ = =

E3 Le filtrage permet d’éliminer les signaux parasites. En effet en l’absence de filtre l’échantillonnage dont un des effets est de périodiser le spectre pourrait enrichir inutilement le spectre et généré des composantes indésirables; ce filtrage est indispensable.

temps 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

Reponse

10

20

30

40

50

k

tr5% = 139ms

47,64

0,1393


E4 Pour filtrer les signaux parasites un filtre passe‐bas convient très bien, puisque les parasites sont des signaux de fréquence plus élevée. On rappel que la condition de shannon fixe au moins une fréquence d’échantillonnage double de la fréquence du signal échantillonné. Cela est nécessaire pour reconstruire le signal après traitement par l’unité de calcul. E5 Transformée en z: Le principe de la recherche de l’équation aux différences est de faire correspondre à z‐1 un retard égale à Te. En clair cela signifie que les éléments qui composent le correcteur sont retardés de Te. Nous pouvons écrire:

( ) ( )1 1( ) 1 0.5 1,2 1,1 ( )S z z z E z− −− = − donc 1 10,5 1,2 1,1n n n ns s e e− −− = −

Soit 1 11,2 1,1 0,5n n n ns e e s− −= − + E6 Puisque sn‐i apparait dans la formule le correcteur est dit récursif. la sortie dépend de ses états précédents E7

Je n’ai pas respecté la nomenclature de l’énoncé car le schéma ci‐contre a été réalisé avec simapp qui dispose des fonctions sans que la modélisation graphique colle exactement avec celle proposée par l’auteur du sujet. Les blocs repérés T correspondent à un retard de Te, ceux repérés P sont associés aux coefficients de l’équation aux différences, c'est‐à‐dire 1.2, ‐1.1, 0.5 On demande de calculer les quatre premiers échantillons: n 0 1 2 3en 1 0 0 0sn 1,2 ‐0,5 ‐0,25 ‐0,125

E9 La transformée en z d’une impulsion vaut 1, la réponse impulsionnelle correspond donc à sa transmittance:

1

1

1,26 1,1( ) ( ) ( )

1 0.5

zS z C z E z

z

−

−

−= × =

−

z-1

Ts 0.01 s

T

P

K 1.2

P

P

K -1.1

P

z-1

Ts 0.01 s

T

P

K 0.5

P

Impulsion

Sortie sn

Sommateur

Entrée en


E10 Le correcteur est parfaitement stable puisque le tracé de la réponse impulsionnelle tend vers O lorsque le nombre d’échantillons augmente. Il est également possible de raisonner en utilisant le théorème de la valeur finale: Appliquons à l’entrée une impulsion:

1

11 1

1,26 1,1lim( 1) ( ) lim( 1) 0

1 0.5z z

zz S z z

z

−

−

−− × = − × =

−

Ce résultat corrobore les précédents. Si on s’intéresse à la réponse indicielle : On constate que le système tend bien vers une valeur constante en régime permanent Voir le graphique de droite . Rq: Un autre critère de stabilité consiste à vérifier que les pôles de la transmittance C z sont à l’intérieur du cercle de rayon 1.

11,26 1,1

( ) 0.50.5

zC z Pôle z

z

−= =

−

Ce pôle est bien inscrit dans un cercle de rayon 1.

Partie F Bus de données: Dans cette partie il s’agit d’étudier sommairement la propagation guidée dans une ligne bifilaire. F1

Temps de propagation : 8

1050

2.10r rL

t t nsv

= ⇒ = =

F2 Compte tenu de la définition de la résistance caractéristique, il faut placer une résistance R Rc pour supprimer tout phénomène de réflexion, ici Rc 120 Ω. F3

Lorsque la trame est complète : 6

154154

10tt sμ= =

F4

Le débit -16

64415584 bit.s

154.10nD −= = la durée d’une trame ne change pas

Partie G G1 La puissance utile: 14 90 1260uP W= × = G2


t (ms)5 10 15 20

uexc

5

10

15

20

La puissance mécanique 12602000

0.63mnPu

P Wη

= = =

G3

Le couple mécanique 2000 607.64

2 2500mT Nmπ

×= =

×

G4 Pour un courant d’excitation fixé nous savons que lorsque L’annexe 1 permet de trouver l’équation recherchée Pour Iexc 1.5A : Il suffit de choisir deux points sur la courbe puis de chercher son équation: Cela donne:

0.2 24U aI b avec a et b= + = − = Par identification avec les variables proposées nous obtenons: E 24V et a 0.2Ω on observe que le modèle électrique est celui d’un générateur en série avec une résistance. G5 Il suffit de remplacer dans l’equation précédente:

U 24 – 0.2*60 12V G6 Lorsque l’intensité demandée diminue, la tension délivrée augmente. G7 L’intensité du courant d’excitation doit diminuer pour un passage de 60A à 40A. Remarque: Physiquement l’intensité du courant d’excitation agit indirectement sur la fem E, cela se remarque sur les courbes de l’annexe 1, en effet lorsque Iexc augmente E augmente aussi.

Partie H Étude du régulateur Il s’agit d’un hacheur série c'est‐à‐dire un convertisseur continu /continu réglable cela permet d’obtenir une tension continue dont on ajuste précisément la valeur, cela avec un excellent rendement. Le pont diviseur fait la même chose avec un rendement très mauvais à cause de l’effet Joule H1 Pour répondre à cette question il faut connaître le cours sur le hacheur série et se rappeler qu’il s’agit d’un "interrupteur" qui se ferme et s’ouvre périodiquement. Lorsque K est fermé uexc U, lorsque K ouvert uexc 0.

Donc Lorsque uexc U, U vaut 14V.

Le rapport cyclique correspond à la durée de fermeture

p riodeé.

0 0

1 1T T

exc excU

u u dt Udt T UT T T

α

α α⎡ ⎤< >= = = =⎣ ⎦∫ ∫

Ce calcul correspond à la valeur moyenne, il est possible d’obtenir ce résultat en cherchant la surface comprise entre la courbe et le repère sur une période. Partie hachurée


1exc

Uu A T U

T Tα α⎡ ⎤< >= × = =⎣ ⎦

H3 La valeur de α est de 0,75.

H4 &H5 Lorsque la tension U diminue, il faut augmenter le courant d’excitation pour compenser la chute de tension. Si Iexc augmente alors uexc augmente puisque uexc RIexc cela revient dont à augmenter le rapport cyclique α.

Fin

Compléments Simulation du filtrage numérique avec Simapp: Il est possible de simuler le filtre numérique et notamment de s’intéresser à la réponse fréquentielle afin de déterminer la nature du correcteur:

On observe qu’il s’agit d’un filtre passe‐haut, le comportement de la phase n’a pas d’équivalent strict et on ne peut pas l’associer à celui d’un filtre analogique de type passe‐haut.

-15

-10

-5

0

5

-12,5

-7,5

-2,5

2,5

[dB] Amplitude

0,1 10,2 0,3 0,4 0,6 0,8 102 3 4 5 6 7 10020 30 40 60

-50

0

50

-75

-25

25

75

[°] Phase

Fréquence

Amplitude [dB] -13,955 -13,955

Phase 3,7778 3,7778


Cours sur le hacheur série





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